HBSE Class 12 Sample Paper 2024 Answers Maths

HBSE
MODEL PAPER
2024
Practice Papers
MODEL PAPERS
Marking Scheme
ANSWER KEY

BOARD OF SCHOOL EDUCATION HARYANA
MARKING SCHEME
CLASS: 12th (Sr. Secondary)
Practice Paper 2023 – 24 SET – A
गणित
MATHEMATICS
[ Hindi and English Medium ]
(ACADEMIC / OPEN)

• मार्किंग स्कीम में दिए गए हल केवल एक ववधि है इसके अतिरिक्ि सब
ववधियाां भी बिाबि मान्य होंगी यदि वे गणििीय रूप से सही हैं |
• The solution methods adopted in the marking scheme are suggestive.
Different methods are also acceptable if these are mathematically correct.
Section -A : (1 Mark each)
Question Answer Hints/ Solution
No. उत्तर सांकेत / हल
प्रश्न
क्रम ांक
1. D (−1)2 = (1)2 = 1 , so 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 is not one-one.
Square root (preimage) of any negative number
does not exist in R , so 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 is not onto.

(−1)2 = (1)2 = 1,अिः 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 एकैकी नहीां है |

र्कसी भी ऋिात्मक सांख्या का वगगमल
ू (पव
ू ग
प्रतिबबम्ब ) R में उपलब्ि नहीां है | अिः 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 आच्छािक नहीां है |
𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒/असत्य −1
2. माना (Let) 𝑐𝑜𝑡 −1 ( 3 ) = 𝑦
√

−1 𝜋 𝜋 2𝜋
cot 𝑦 = = −𝑐𝑜𝑡 = cot (𝜋 − ) = 𝑐𝑜𝑡
√3 3 3 3
3. A दिया है (Given that) : 𝐴 = 𝐴, 𝐵 = 𝐵
′ ′

(𝐴𝐵 − 𝐵𝐴)′ = (𝐴𝐵)′ − (𝐵𝐴)′
= 𝐵 ′ 𝐴′ − 𝐴′ 𝐵 ′
= 𝐵𝐴 − 𝐴𝐵
= −(𝐴𝐵 − 𝐵𝐴)
4. C |𝑎𝑑𝑗 𝐴| = |𝐴| 𝑛−1
, यदि ( 𝑖𝑓) 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟(𝐴) = 𝑛
इसदिए (So) |𝑎𝑑𝑗 𝐴| = 42 = 16
5. D 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 1(1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) − 𝑠𝑖𝑛 𝜃(−𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃)
+ 1(𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 1)
= 2 + 2𝑠𝑖𝑛2 𝜃
अदिकतम मान (Min value) of 𝑠𝑖𝑛2 𝜃=0
न्यूनतम मान (Max value) of 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 1
So 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ∈ [2,4]
2 2
6. 2𝑥. 𝑒 𝑥 𝑓 ′ (𝑥 ) = 2𝑥. 𝑒𝑥
2
7. 2𝑥. 𝑒 𝑥 𝑑𝑓 2
𝑑𝑓 𝑑𝑥 2𝑥. 𝑒 𝑥
− 𝑠𝑖𝑛𝑥 = =
𝑑𝑔 𝑑𝑔 −𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑥
8. B 𝑑𝑥 𝑑𝑥
∫ 2 =∫
𝑥 + 2𝑥 + 1 + 1 (𝑥 + 1)2 + 1
= tan−1 (𝑥 + 1) + 𝑐
𝑎
9. 0 By integral property : ∫−𝑎 𝑜𝑑𝑑 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 = 0
since 𝑠𝑖𝑛7 𝑥 is an odd function within given limits.

समाकलन गुििमग ∫−𝑎 दिषम फिन = 0 द्वािा
𝑎

क्योंर्क 𝑠𝑖𝑛7 𝑥 एक ववषम फलन है |

10. B 1. 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
∫ =∫ 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥)𝑑𝑥 = tan 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝑐

11. D 𝑑𝑦 −𝑦 2
= = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2
माना (Let) 𝑥 = 𝜆𝑥, 𝑦 = 𝜆𝑦
−𝜆2 𝑥 2
𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 2 2 2 2 = 𝜆0 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜆 𝑥 − 𝜆𝑥. 𝜆𝑦 − 𝜆 𝑦
12. असत्य /False Degree not defined since this is not a polynomial
equation in 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ 𝑜𝑟 𝑦 ′′′ .

क्योंदक यह समीकरण 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ 𝑜𝑟 𝑦 ′′′ . में एक बहुपि
नहीों है |
13. D |𝜆 𝑎 ⃗⃗⃗ | = 1,
|𝜆||𝑎| = 1, 𝑎|𝜆| = 1, 𝑎 = 1/|𝜆|
14. असत्य /False |𝑎. 𝑏⃗ | = |𝑎 × 𝑏⃗|
⃗⃗⃗⃗⃗ . |𝑏|
|𝑎| ⃗⃗⃗ cos 𝜃 = |𝑎| ⃗⃗⃗⃗⃗ . |𝑏|
⃗⃗⃗ sin 𝜃
cos 𝜃 = sin 𝜃
𝜋
⟹𝜃≠
2
15. −9 6 −2 𝑟 = √(−18)2 + (12)2 + (−4)2 = 22
, ,
11 11 11 अतः दिक् कयसाइन,
−18 12 −4
So direction cosines = , ,
22 22 22
−9 6 −2
= 11 , 11 , 11
16. B यदि घटनाएों 𝐴 ि 𝐵 परस्पर स्वतोंत्र घटनाएों हैं तय
𝐴′ ि 𝐵′ भी परस्पर स्वोंतोंत्र घटनाएों हयोंगी अतः

𝑃(𝐴′ 𝐵 ′ ) = 𝑃(𝐴′ )𝑃(𝐵 ′ )
= 𝑃[1 − 𝑃(𝐴)][1 − 𝑃(𝐵)]

If 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵 𝑎𝑟𝑒 independent events then
𝐴′ 𝑎𝑛𝑑 𝐵 ′ will also be independent so :
𝑃(𝐴′ 𝐵 ′ ) = 𝑃(𝐴′ )𝑃(𝐵 ′ )
= 𝑃[1 − 𝑃(𝐴)][1 − 𝑃(𝐵)]
17. D 𝑃(𝐴⁄𝐵 ) = 𝑃(𝐵⁄𝐴)
𝑃(𝐴⋂𝐵) 𝑃(𝐵⋂𝐴)
⟹ =
𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴)
⟹ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)

असत्य/ False
18. 1 4
× 4
𝑃(𝐸) = 2 5 =
1 4 1 1 5
2×5+2×5
19. C समाांिि िे खाओां के दिक् अनुपाि समान नहीां
समानुपािी होने अतनवायग हैं|
यहाां दिक् अनुपाि :
3 2 −8 1
= = = सभी
6 4 −16 2

Parallel lines must have direction ratios
proportional but not equal necessarily.
Here direction ratios are :
3 2 −8 1
= = = 𝑎𝑙𝑙
6 4 −16 2
20. A (एकैकी फलन ) One-one function:

If 𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑡ℎ𝑒𝑛 2𝑥1 ≠ 2𝑥2 , ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℛ
So 𝑓 is one-one.

(आच्छादक फलन ) Onto function :
Let 𝑦 = 2𝑥
𝑦
𝑥 = ∈ ℛ 𝑎𝑙𝑤𝑎𝑦𝑠 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℛ
2

Given reason is correct and explains A correctly.
दिया गया कािि सही है एवां A की सही व्याख्या
कििा है |

खंड – ब
SECTION – B (2×5=10)
21. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2
𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(3𝑥 2 ) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 2 1
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑐𝑜𝑠 𝑥 ) = 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
⟹ 𝑔𝑜𝑓 ≠ 𝑓𝑜𝑔 1

अथवा (OR)
𝜋
1
−1 −1
Using cos 𝑥 + sin 𝑥 = 2
−1 −1
tan−1 1 + cos −1 ( ) + sin−1 ( ) 1
2 2
𝜋 𝜋 3𝜋
= 4+2= 4

22. 𝐴 + 𝐴′ = 𝐼

𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 1 0
⟹[ ]+[ ]=[ ] ½
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 0 1

2 cos 𝑥 0 1 0 ½
⟹[ ]=[ ]
0 2 cos 𝑥 0 1
1
⟹ 2 cos 𝑥 = 1 ⟹ cos 𝑥 = ½
2
𝜋
⟹𝑥=
3 ½

23. 𝑥 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 2𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠
y = tan−1 ( ) = tan−1 ( 2 2) 1
1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥
2𝑐𝑜𝑠 2 2
𝑥
= tan−1 (tan )
2
𝑥
⟹𝑦=
2 1
𝑑𝑦 1
=
𝑑𝑥 2

24. 𝑦 = 𝑎 cos 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥
𝑑𝑦 ½
⟹ = −𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥
𝑑𝑥
𝑑2 𝑥
⟹ 2 = −𝑎 cos 𝑥 − 𝑏 sin 𝑥
𝑑𝑦 ½
𝑑2 𝑥
⟹ = −𝑦
𝑑𝑦 2
𝑑2 𝑥 1
⟹ +𝑦 = 0
𝑑𝑦 2

अथवा (OR)

𝑑𝑦 1 − cos 𝑥
=
𝑑𝑥 1 + cos 𝑥
2𝑥
𝑑𝑦 2𝑠𝑖𝑛 2 2
𝑥 1
⟹ = = 𝑡𝑎𝑛
𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 2
2
𝑥
⟹ ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑑𝑥 + 𝑐
2
𝑥
⟹ ∫ 𝑑𝑦 = ∫ (𝑠𝑒𝑐 2 − 1) 𝑑𝑥 + 𝑐
2 1
𝑥
⟹ 𝑦 = 2𝑡𝑎𝑛 − 𝑥 + 𝑐
2
1
25. Let P( odd number )=𝑝 = 2 ,
1
माना दिषम सोंख्या आने की प्रादयकता=𝑝 = 2
1
½
𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑃(𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟) = 𝑞 =
2
1
माना सम सोंख्या आने की प्रादयकता=𝑞 =
2

𝑝(𝑥 ≥ 1) = 1 − 𝑝(𝑥 = 0)
1 1 1 1
= 1− × ×
2 2 2
1 7 ½
= 1− =
8 8

खंड – स
SECTION – C (3×6=18)

26. Given that :
L= set of all lines in XY-plane
ℛ = {(𝐿1 , 𝐿2 ): 𝐿1 𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑡𝑜 𝐿2 }
Reflexivity:
𝐿1 ||𝐿1 ∀ 𝐿1 ∈ 𝐿 1
So ℛ is reflexive.
Symmetry:
𝐿𝑒𝑡 𝐿1 , 𝐿2 ∈ 𝐿 𝑎𝑛𝑑 𝐿1 ||𝐿2
⟹ 𝐿2 ||𝐿1 1
So ℛ is symmetric.
Transitivity:
𝐿𝑒𝑡 𝐿1 , 𝐿2 , 𝐿3 ∈ 𝐿
𝑎𝑙𝑠𝑜 𝐿1 ||𝐿2 𝑎𝑛𝑑 𝐿2 ||𝐿3
⟹ 𝐿1 ||𝐿2 ||𝐿3
⟹ 𝐿1 ||𝐿3 1
So ℛ is Transitive.
Hence ℛ is an equivalance relation.

दिया है:
L= XY-िल में स्स्िि समस्ि िे खाओां का समच्
ु चय
ℛ = {(𝐿1 , 𝐿2 ): 𝐿1 समाों तर है 𝑡𝑜 𝐿2 }
स्वतुल्यत :
𝐿1 ||𝐿1 ∀ 𝐿1 ∈ 𝐿 1
अिः ℛ स्विुल्य है |
समममतत :
माना 𝐿1 , 𝐿2 ∈ 𝐿 और 𝐿1 ||𝐿2
⟹ 𝐿2 ||𝐿1 1
अिः ℛ समममि है |

सांक्र मकत :
माना 𝐿1 , 𝐿2 , 𝐿3 ∈ 𝐿
तथा 𝐿1 ||𝐿2 , 𝐿2 ||𝐿3
⟹ 𝐿1 ||𝐿2 ||𝐿3
1
⟹ 𝐿1 ||𝐿3
अिः ℛ सांक्रामक है |
.
अिः ℛ एक तुल्यत सांबांि है |

अथवा (OR)
माना (Let ) 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃
1
𝑥 𝑎 sin 𝜃
tan−1 ( ) = tan−1 ( )
√𝑎2 − 𝑥 2 √𝑎2 − 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑎 sin 𝜃
= tan−1 ( )
𝑎√1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 1
sin 𝜃
= tan−1 ( )
cos 𝜃
= tan−1 (tan 𝜃)
𝑥 1
= 𝜃 = sin−1
𝑎
27. 2 −2 −4
दिया है (Given that): 𝐵 = [−1 3 4]
1 −2 −3
2 −1 1
𝐵′ = [−2 3 −2]
−4 4 −3
1 1 4 −3 −3
𝑃 = (𝐵 + 𝐵′) = [−3 6 2]
2 2
−3 2 −6
2 −3/2 −3/2 1
= [−3/2 3 1 ]
−3/2 1 −3

1

1 1 0 −1 −5
𝑄= (𝐵 − 𝐵′) = [1 0 6]
2 2
5 −6 0
0 −1/2 −5/2
= [1/2 0 3 ]
5/2 −3 0
अब (Now) :
2 −3/2 −3/2
𝑃 + 𝑄 = [−3/2 3 1 ]
−3/2 1 −3
0 −1/2 −5/2
+ [1/2 0 3 ]
5/2 −3 0 1
−3 1 −3 5
2+0 − −
2 2 2 2
−3 1
⟹𝑃+𝑄 = + 3+0 1+3
2 2
−3 5
[ 2 +2 1 − 3 −3 + 0 ]
2 −2 −4
⟹ 𝑃 + 𝑄 = [−1 3 4 ]=𝐵
1 −2 −3
Where P is a symmetric matrix and Q is a skew
symmetric matrix.
जहााँ एक P समममि आव्यूह है ििा Q एक ववषम
समममि आव्यूह है |
28. At 𝑥 = 0
3𝑥 + 4 tan 𝑥 0
lim 𝑓(𝑥) = lim = 𝑓𝑜𝑟𝑚 ½
𝑥→0 𝑥→0 𝑥 0

Applying L’Hospital Rule:
L’Hospital तनयम का प्रयोग किने पि :

3 + 4 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
lim 𝑓(𝑥) = lim =3+4= 7 1
𝑥→0 𝑥→0 1
So 𝑎𝑡 𝑥 = 0 for being continuous function should be
redefined as:

अिः 𝑥 = 0 पि सिि बनाने के मलए फलन 𝑓(𝑥) को
तनम्न प्रकाि से पुनपगरिभावषि र्कया जाना चादहए :
3𝑥 + 4 tan 𝑥
; 𝑥≠0
𝑓(𝑥) = { 𝑥

7 ; 𝑥=0
िब Then lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) = 7
𝑥→0 1
So 𝑓 is continuous at 𝑥 = 0
अब 𝑓 अब एक सतत फिन हयगा |
½

29. दिया है (Given that):
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + cos 𝑥
⟹ 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 − sin 𝑥
½
रखिए (Put ): 𝑓 ′ (𝑥) = 0

⟹ cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0
⟹ cos 𝑥 = sin 𝑥 ½
𝜋 5𝜋
⟹𝑥= , ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋
4 4
𝜋 5𝜋
The points 𝑥 = 4 𝑎𝑛𝑑 𝑥 = 4 divide the interval [0,2𝜋]
Into three disjoint intervals namely :
बबांि ु 𝑥 = 4 𝑎𝑛𝑑 𝑥 = 4 अांििाल [0,2𝜋] को िीन
𝜋 5𝜋

असयांक्
ु ि अांििालों में बाांटिे हैं , नामिः
𝜋 𝜋 5𝜋 5𝜋 ½
[0, ) , ( , ) , ( , 2𝜋]
4 4 4 4
तनष्कषग(Conclusion):
अांतर ल 𝑓′(𝑥) का धचह्न फलन की प्रकृति
(Interval) Sign of 𝑓′(𝑥) Nature of function
𝜋
[0, ) >0 𝑓 विगमान है
4
½

𝑓 is strictly
increasing.
𝜋 5𝜋
( , )
<0 𝑓 ह्रासमान है ½
4 4
𝑓 is strictly
decreasing

(
5𝜋
, 2𝜋]
>0 𝑓 विगमान है ½
4
𝑓 is strictly
increasing
30. Put tan 𝑥 = 𝑦 रिने पर
Differentiating w.r.t. 𝑥:
𝑥के सापेक्ष अिकिन करने पर :
𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦

𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑦 1
𝐼=∫ 𝑑𝑥 = ∫
√𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 4 √𝑦 2 + 4
𝑑𝑦
𝐼=∫
√𝑦 2 + (2)2
सूत्र(formula):
𝑑𝑥
∫ = log |𝑥 + √𝑥 2 + 𝑎2 | + 𝑐 1
√𝑥 2 + 𝑎2
अतः(So):
𝐼 = log |𝑦 + √𝑦 2 + 22 | + 𝑐
Put y = tan 𝑥
𝐼 = log | tan 𝑥 + √𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 4| + 𝑐 1

अथवा (OR)

Put 𝑥 4 = 𝑦 रिने पर
Differentiating w.r.t. 𝑥:
𝑥के सापेक्ष अिकिन करने पर:
4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦
𝑑𝑦 1
𝑥 3 𝑑𝑥 =
4

𝑥3 𝑑𝑦
𝐼=∫ 𝑑𝑥 = ∫
√1 − 𝑥 8 4√1 − 𝑦 2
Using
𝑑𝑥 𝑥 1
∫ √𝑎2 −𝑥 2 = sin−1 𝑎 + 𝑐 (का उपययग करते हुए) :
then (तब):
1
𝐼 = sin−1 𝑦
4
Put 𝑥 4 = 𝑦 रिने पर:
1 1
𝐼 = sin−1 (𝑥 4 ) + 𝐶
4

31. 𝑎 + 𝑏⃗ = (𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂ ) + (𝑖̂ + 2𝑗̂ + 3𝑘̂ ) = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 4𝑘̂ ½
𝑎 − 𝑏⃗ = (𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂ ) − (𝑖̂ + 2𝑗̂ + 3𝑘̂ ) = −𝑗̂ − 2𝑘̂
½
अब (Now)

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
𝑐 = (𝑎 + 𝑏⃗ ) × (𝑎 − 𝑏⃗ ) = |2 3 4|
0 −1 −2
𝑐 = −2𝑖̂ + 4𝑗̂ ± 2𝑘̂ ½
|𝑐 | = 2√6
𝑐 −1 2 1
⟹ 𝑐̂ = = 𝑖̂ + 𝑗̂ − 𝑘̂ ½
|𝑐 | √6 √6 √6

Then 𝑐̂ will be perpendicular to (𝑎 + 𝑏⃗) 𝑎𝑛𝑑 (𝑎 − 𝑏⃗ )
𝑠𝑖𝑛𝑐𝑒
𝐴 ×𝐵 ⃗ 𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑤𝑎𝑦𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑜 𝑏𝑜𝑡ℎ 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵 ⃗.
1
अब 𝑐̂ , 𝑎 + 𝑏⃗) और (𝑎 − 𝑏⃗ ) पि एक लम्ब मात्रक
सदिश होगा क्योंर्क 𝐴 × 𝐵 ⃗ िोनों पि एक
⃗ , 𝐴 और 𝐵
लम्ब सदिश होगा|

खंड – द

SECTION – D (5×4=20)
32. Comparing with 𝐴𝑋 = 𝐵:
𝐴𝑋 = 𝐵 के साि िुलना किने पि :
1⁄
2 3 10 𝑥 4
𝐴 = [4 −6 5 ] , 1
𝑋 = [ ⁄𝑦] , 𝐵 = [1]
6 9 −20 1⁄ 2
𝑧 ½
|𝐴| = 1200 ≠ 0
⟹ 𝐴−1 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑠(उपखथथत हयगा )
Co-factors of A are :
A के सहिोंडज :
𝐴11 = 75 , 𝐴12 = 110 , 𝐴13 = 72 ½

𝐴21 = 150 , 𝐴22 = −100 , 𝐴23 = 0 ½

𝐴31 = 75 , 𝐴32 = 30 , 𝐴33 = −24 ½

75 150 75
⟹ 𝑎𝑑𝑗𝐴 = [110 −100 30 ] ½
72 0 −24
𝑎𝑑𝑗 𝐴 1 75 150 75
−1
⟹𝐴 = = [110 −100 30 ] ½
|𝐴| 1200
72 0 −24
1 75 150 75 4
−1
⟹𝑋=𝐴 𝐵= [110 −100 30 ] [1]
1200 ½
72 0 −24 2
1 300 + 150 + 150
⟹𝑋= [ 440 − 100 + 60 ]
1200 ½
288 + 0 − 48
1 600
⟹𝑋= [400]
1200
240
1⁄ 1⁄
𝑥 2
⟹ [1⁄𝑦] = 1⁄3 ½
1⁄ 1
𝑧 [ ⁄5]
𝑥 2
⟹ [ 𝑦 ] = [ 3]
𝑧 5 ½

𝜋 𝜋
33. 2 2
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥
𝐼=∫ =∫
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 4(1 − 𝐶𝑂𝑆 2 𝑥)
0 0
=
𝝅
𝟐
−𝟏 −𝟑𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 ½
⟹𝑰= ∫
𝟑 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 4(1 − 𝐶𝑂𝑆2 𝑥)
𝟎
And(और):
𝜋
2
−1 (4 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 4) 𝑑𝑥 ½
⟹𝐼= ∫
3 4 − 3𝐶𝑂𝑆2 𝑥
0
𝜋 𝜋
2 2
−1 (4 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)𝑑𝑥 4 𝑑𝑥
⟹𝐼= ∫ + ∫ ½
3 2
4 − 3𝐶𝑂𝑆 𝑥 3 4 − 3𝑐𝑜𝑠2 𝑥
0 0
𝜋 𝜋
2 2
−1 4 𝑑𝑥
⟹𝐼= ∫ 1. 𝑑𝑥 + ∫
3 3 3
0 0 4−
𝜋
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
2
−1 𝜋 4 𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥
⟹𝐼= [ − 0] + ∫
3 2 3 4𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 3 ½
0
𝜋
2
−𝜋 4 𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥 ½
⟹𝐼=[ ]+ ∫
6 3 4(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥) − 3
0
𝜋
2
−𝜋 2 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 ½
⟹𝐼= + ∫
6 3 1 + 4𝑡𝑎𝑛 2𝑥
0
Put (रखिए): 2tan 𝑥 = 𝑡
2
⟹ 2𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
𝜋 ½
If (यदि): 𝑥 = 0 ⟹ 𝑡 = 0 ; 𝑥 = 2 , 𝑡 = ∞
∞
−𝜋 2 𝑑𝑡
⟹𝐼= + ∫
6 3 1 + 𝑡2 ½
0
−𝜋 2
⟹𝐼= + [tan−1 ∞ − tan−1 0] ½
6 3
−𝜋 2 𝜋
⟹𝐼= + [ − 0]
6 3 2
½

−𝜋 2𝜋 𝜋
⟹𝐼= + =
6 6 6
अथवा (OR)
Given ellipse is :
दिया गया िीर्गवि ृ :
𝑥2 𝑦2
+ =1
52 √32
1
𝑥 2 √3 2
√
⟹ 𝑦 = √3. 1 − 2 = √5 − 𝑥 2
5 5
आकृदत में (in figure ) : 𝑎 = ±5 , 𝑏 = ±√3

1

𝑎
Required Arae (िाों दित क्षेत्रफि )=𝐴 = 4. ∫0 𝑦. 𝑑𝑥 1
5 5
√3 2 4√3
𝐴 = 4∫ √5 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ √52 − 𝑥 2 𝑑𝑥
5 5
0 0 1
4√3 𝑥 25 −1 𝑥 5
⟹𝐴= √ 2
[ 25 − 𝑥 + sin ]
5 2 2 50
4√3 25 𝜋 1
𝐴= [ × ] = 5√3𝜋 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠.
5 2 2

34. Here (यहाों):
𝑎1 = −𝑖̂ − 𝑗̂ − 𝑘̂ ,
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
𝑏1 = 7𝑖̂ − 6𝑗̂ + 𝑘̂ ½
½
𝑎2 = 3𝑖̂ + 5𝑗̂ + 7𝑘̂ ,
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
𝑏2 = 𝑖̂ − 2𝑗̂ + 𝑘̂
⃗⃗⃗⃗ 𝑎1 = 4𝑖̂ + 6𝑗̂ + 8𝑘̂
𝑎2 − ⃗⃗⃗⃗ ½

1

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
⃗⃗⃗
𝑏1 × 𝑏2 = |7 −6 1| = −4𝑖̂ − 6𝑗̂ − 8𝑘̂
⃗⃗⃗⃗
1 −2 1 1
⃗⃗⃗1 × ⃗⃗⃗⃗
(𝑏 𝑏2 ). (𝑎 𝑎1 )
⃗⃗⃗⃗2 − ⃗⃗⃗⃗
𝑆. 𝐷. = | |
|𝑏⃗⃗⃗1 × 𝑏
⃗⃗⃗⃗2 |
1
न्यूनतम िू री (𝑆. 𝐷. )
(−4𝑖̂ − 6𝑗̂ − 8𝑘̂ ). (4𝑖̂ + 6𝑗̂ + 8𝑘̂ )
=| | ½
|√16 + 36 + 64|
116
𝑆. 𝐷. = | | = √116 = 2√29 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠
|√116|

अथवा (OR)
The vector equation of a line passing through a point
with position vector𝑎 and parallel to a vector 𝑏⃗ is
given by :
1
दिए गए बबांि ु 𝑎 से जाने वाली ििा दिए गए सदिश 𝑏⃗
के समाांिि िे खा का समीकिि:
𝑟 = 𝑎 + 𝜆𝑏⃗
Given that (दिया है ): ½
𝑎 = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂
Direction vectors of given two lines :
िी हुई िोनों िे खाओां के दिक् सदिश:
⃗⃗⃗ 1
𝑏1 = 3𝑖̂ − 16𝑗̂ + 7𝑘̂
⃗⃗⃗⃗2 = 3𝑖̂ + 8𝑗̂ − 5𝑘̂
𝑏
⃗⃗⃗
𝑏1 × ⃗⃗⃗⃗
𝑏2 will be perpendicular to both ⃗⃗⃗ 𝑏1 and ⃗⃗⃗⃗
𝑏2 . ½
⃗⃗⃗ 𝑏2 ियनयों ⃗⃗⃗
𝑏1 × ⃗⃗⃗⃗ 𝑏1 और𝑏⃗⃗⃗⃗2 के िम्ब सदिश हयगा|

Now (अब) :
1
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
⃗⃗⃗
𝑏1 × ⃗⃗⃗⃗
𝑏2 = |3 −16 7 | = 24𝑖̂ + 36𝑗̂ + 72𝑘̂ = 𝑏⃗
3 8 −5
So required line is:
अिः वाांतछि िे खा का समीकिि:
𝑟 = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂ + 𝜆(24𝑖̂ + 36𝑗̂ + 72𝑘̂ ) 1

Or
𝑟 = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂ + 𝜆(2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 6𝑘̂ )
35. Objective function (उद्िे श्य फलन) : 𝑍 = −𝑥 + 2𝑦
Given constraints are:
दिए गए अविोि:
𝑥 ≥ 3, 𝑥 + 𝑦 ≥ 5, 𝑥 + 2𝑦 ≥ 6, 𝑦 ≥ 0
Consider the system of lines according to given
constraints:
दिए गए अविोिों के अनुसाि िै णखक समीकििों का
तनकाय: x 3 3 ½
𝑥=3 y 0 1

x 5 0
𝑥+𝑦 =5
y 0 5 ½

𝑥 + 2𝑦 = 6 x 6 0
½
y 0 3

1.5

Corner Point 𝑍 = −𝑥 + 2𝑦
Z का मान(Value of Z)
(शीषग बबांि)ु 1
(6,0) -6

(4,1) -2
(3,2) 1
Since feasible region is unbounded so we have to graph
the inequality 𝑍 >1 from which we find that resulting
region has points in common with U.F.R.
So Z has no maximum value.
क्योंर्क सस
ु ांगि क्षेत्र असीममि है अिः हमें 𝑍 > 1 का 1

आलेख बनाना होगा स्जससे हम ये पािे हैं र्क 𝑍 > 1
का सुसांगि क्षेत्र में कुछ सााँझा क्षेत्र भी है अिः Z का
कोई भी अधिकिम मान नहीां हो सकिा |

खंड – ल
SECTION – E (4×3=12)
36. Here (यहाां) : 𝑝(𝑥) = 41 − 72𝑥 − 18𝑥 2
𝑝′(𝑥) = −72 − 36𝑥
𝑝′′(𝑥) = −36 < 0 1
⟹ 𝑝 will attain maximum value where 𝑝 ′ (𝑥) = 0
अिः 𝑝 ′ (𝑥) = 0 पि 𝑝(𝑥) का मान अधिकिम होगा|
Now(अब) :
𝑝 ′ (𝑥) = 0
−72 − 36𝑥 = 0
(a)
⟹ 𝑥 = −2 is the point of local maxima.
⟹ 𝑥 = −2 स्िानीय उच्चिम का एक बबांि ु होगा| 1
Yes ,we can apply second derivative test here since
being a polynomial function of second degree 𝑝(𝑥) is
twice differentiable.
हााँ हम यहाां द्वविीय अवकलज पिीक्षि लगा सकिे हैं 1
क्योंर्क 𝑝(𝑥) एक द्ववर्ाि समीकिि होने के कािि
िो बाि लगािाि अवकलनीय है |

(b) Maximum profit (अधिकिम लाभ ):
𝑝(−2) = 41 − 72(−2) − 18(−2)2 = 113 units 1

37. दिया हुआ अवकलज समीकिि:
Given differential equation is :
𝑑𝑦
+ 2𝑦 = sin 𝑥
𝑑𝑥
प्रकाि (Type ) :
This is a Linear differential equation of the type :
यह तनम्न प्रकाि का िै णखक अवकलज समीकिि है :
𝑑𝑦 ½
+ 𝑃𝑦 = 𝑄, 𝑃 = 𝑃(𝑥), 𝑄 = 𝑄(𝑥)
𝑑𝑥
Where degree =1,order = 1
जहाों घात = 1 ,कयदट = 1 ½
General solution :
व्यापक हल :
𝐼. 𝐹. = 𝑒 ∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑒 2𝑥
⟹ 𝑦. 𝑒 2𝑥 = ∫ sin 𝑥 . 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
⟹ 𝑦. 𝑒 2𝑥 = 𝐼 + 𝑐 ½
Now (अब):
𝐼 = ∫ sin 𝑥 . 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
𝑒 2𝑥 1
𝐼 = sin 𝑥 .
2
− ∫ cos 𝑥 . 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
2 ½
2𝑥
𝑒 1 1
𝐼 = sin 𝑥 . − cos 𝑥 . 𝑒 2𝑥 − ∫ sin 𝑥 . 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
2 4 4
2𝑥
𝑒 1 1 ½
𝐼 = sin 𝑥 . − cos 𝑥 . 𝑒 2𝑥 − 𝐼
2 4 4
1 𝑒 2𝑥 1
𝐼 + 𝐼 = sin 𝑥 . − cos 𝑥 . 𝑒 2𝑥
4 2 4
½
2𝑥
5 𝑒 1
𝐼 = sin 𝑥 . − cos 𝑥 . 𝑒 2𝑥
4 2 4

4 𝑒 2𝑥 1
𝐼 = (sin 𝑥 . − cos 𝑥 . 𝑒 2𝑥 )
5 2 4
2𝑥
𝑒
𝐼= (2 sin 𝑥 − cos 𝑥 ) ½
5
2𝑥
𝑒 2𝑥
⟹ 𝑦. 𝑒 = (2 sin 𝑥 − cos 𝑥 ) + 𝑐
5 ½
1
⟹ 𝑦 = (2 sin 𝑥 − cos 𝑥 ) + 𝑐𝑒 −2𝑥
5
38. Ram celebrates his birthday on 29th February ,so the
given year is a leap year.
In a leap year, there are 366 days i.e., 52 weeks and 2
days.
In 52 weeks, there are 52 Tuesdays.
Therefore, the probability that the leap year will
contain 53 Tuesday is equal to the probability 1
that the remaining 2 days will be Tuesdays.

The remaining 2 days can be any of the following :

Monday and Tuesday, Tuesday and Wednesday,
Wednesday and Thursday, Thursday and
Friday, Friday and Saturday, Saturday and Sunday and 1
Sunday and Monday
Total number of cases = 7 1
Favourable cases = 2
2
⸫ Probability that a leap year will have 53 Tuesdays = 7
1
2
So 𝑃(𝑅𝑎𝑚 𝑤𝑖𝑛𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑤𝑎𝑡𝑐ℎ) = 7

िाम अपना जन्मदिन 29 फिविी को मनािा है अिः
दिया हुआ वषग एक लीप वषग है |
लीप वषग में कुल दिन = 366 अिागि 52 सप्िाह एवां
2 दिन
52 सप्िाहों में 52 मांगलवाि होंगे|अिः 53 वाां 1

मांगलवाि बचे हुए अांतिम िो दिनों में ही आएगा |
अांतिम िो दिनों में सांभव जोड़ियाां :

(सोमवाि, मांगलवाि) (मांगलवाि,बुिवाि)
(बुिवाि ,वीिवाि ) (वीिवाि ,शुक्रवाि)
1
(शुक्रवाि ,शतनवाि) (शतनवाि ,िवववाि)
(िवववाि, सोमवाि)
कुल सांभव परििाम = 7
1
अनक
ु ू ल परििाम = 2
अिः वषग में 53 मांगलवाि होने या िाम के र्िी जीिने
की प्रातयकिा = 7
2
1