NCERT Solutions Class 7 Maths Chapter 1 हमारे आस-पास की बड़ी संख्याएँ

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा7

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 1: हमारे आस-पास क बड़ीी
संख्याएँ

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

1 – 22 22 83 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 71 pages

कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 7 · ग णत · ग णत प्रकाश

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 1: हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ
ग णत प्रकाश (कक्षा 7, भाग I) का अध्याय 1 चावल के बीज खरीदने वाले एक कृषक से आरंभ होकर करोड़ तक पहुँचता है। इसम आप लाख,
करोड़ और अरब, भारतीय एवं अमे रक पद्ध त, स न्नकटन, गुणन क सं क्षप्त व धयाँ तथा हँसमुख हजार, दबंग दहाई, समझदार सैकड़ा, चतुर चत्ती
और साधारण सप्पी नामक वशेष गणक सीखगे।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत प्रकाश (कक्षा 7) 1 – 22

खं ड प्रश्न

22 83

माध्यम

हन्द

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 1–2
1.1 एक लाख कस्म!

प्र.1 ऐस्तु को आश्चय हुआ, “एक लाख! अब तक मने केवल 3 कस्म ही चखी ह। य द हम प्रत्येक दन एक नई कस्म
को चखने का प्रयत्न कर तो सभी कस्म का स्वाद लेने म जीवन काल के 100 वष लग जाएँगे?” आप क्या सोचते
ह? अनुमान लगाइए।

नह — इसके नकट भी नह पहुँचगे। प्र त दन एक कस्म खाने पर 100 वष म लगभग 36,500 कस्म ही चखी जा सकगी, जो
एक लाख का लगभग एक तहाई है।

एक वष में िदन = 365 (अिधवष को छोड़ कर)

100 वष ं में िदन = 365 × 100 = 36,500

चखी गई िकस्में = 36,500 × 1 = 36,500

शेष िकस्में = 1,00,000 − 36,500 = 63,500 िक स्में

ऐसा क्य होता है: एक लाख अथात 1,00,000 होता है। पूरे 100 वष के जीवन काल म केवल लगभग 36,500
दन ही होते ह, अत: जन्म से मृत्यु तक प्र त दन एक कस्म चखने पर भी एक लाख का केवल 36% भाग ही पूरा
होगा। इससे पता चलता है क एक लाख वास्तव म कतना बड़ा है।

संकेत: अ धवष के अ त रक्त दन (लगभग 25 प्र त शताब्द ) को जोड़ने पर भी योग लगभग 36,525 ही होगा —
एक लाख से बहुत कम।

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प्र.2 परंतु एक लाख होता कतना है? प्र तरूप (पैटन) का नरीक्षण क जए और नीचे दए गए बक्स को भ रए।

3 अंक ों की सबसे बड़ ी संख्या है 999
+1
4 अंक ों की सबसे छोटी संख्या है

4 अंक ों की सबसे बड़ ी संख्या है
+1
5 अंक ों की सबसे छोटी संख्या है

5 अंक ों की सबसे बड़ ी संख्या है
+1
6 अंक ों की सबसे छोटी संख्या है 1,00,000

1,00,000 को “एक लाख” पढ़ ा जाता है

99,995 99,996 99,998

पृष्ठ 2 — कथन क ंखला तथा 99,995 से आगे गनने वाले दस बक्से।

प्रत्येक तीर का अथ केवल “+ 1” है, अत: प्रत्येक सबसे बड़ी संख्या से एक अ धक अगली सबसे छोट संख्या है।

कथन संख्या

3 अंक ों की सबसे बड़ी संख्या है 999

4 अंक ों की सबसे छोटी संख्या है 1,000

4 अंक ों की सबसे बड़ी संख्या है 9,999

5 अंक ों की सबसे छोटी संख्या है 10,000

5 अंक ों की सबसे बड़ी संख्या है 99,999

6 अंक ों की सबसे छोटी संख्या है 1,00,000

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नीचे दए गए दस बक्स क ंखला म केवल 1-1 करके आगे गनना है:

99,995 → 99,996 → 99,997 → 99,998 → 99,999 → 1,00,000 → 1,00,001 → 1,00,002 →

1,00,003 → 1,00,004

ऐसा क्य होता है: 99,999 वह सबसे बड़ी संख्या है जसे 5 अंक म लखा जा सकता है। इसम 1 जोड़ने पर
प्रत्येक 9 पलटकर 0 बन जाता है और एक नया 1 एक बल्कुल नए स्थान — लाख के स्थान — पर आ जाता है।
इसी प्रकार 1,00,000 बनता है, जसे “एक लाख” पढ़ा जाता है।

प्र.3 क्या होगा य द एक व्य क्त 3 कस्म के चावल प्र त दन खाए? क्या वे 100 वष के जीवन काल म सभी 1 लाख
कस्म का स्वाद ले सकगे? ात क जए।

हाँ — प्र त दन 3 कस्म खाने पर व्य क्त एक लाख का आँकड़ा पार कर लेगा।

100 वष ं में िदन = 365 × 100 = 36,500

100 वष ं में िकस्में = 36,500 × 3

= 1,09,500

1,09,500 > 1,00,000, अिधक = 9,500 िक स्में

ऐसा क्य होता है: प्र त दन 2 कस्म खाने पर 36,500 × 2 = 73,000 कस्म ही ह गी, जो 27,000 कम है। 2 से
3 करने पर 36,500 और जुड़ जाते ह और यही योग को एक लाख के पार ले जाता है।

स्वयं जाँ चए: केवल 50 वष म एक लाख तक पहुँचने के लए प्र त दन कतनी कस्म चा हए? दन = 18,250,
अत: 1,00,000 ÷ 18,250 ≈ 5.5, अथात प्र त दन कम-से-कम 6 कस्म।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 3
1.1 एक लाख कस्म!

प्र.1 y के लए एक संख्या चु नए। आपके चुने हुए y के लए, y वष म दन क संख्या 1 लाख के कतने नकट है?

y = 274 ली जए — यही वह मान है जो लगभग ठ क एक लाख पर पहुँचता है।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
y वष ं में िदन = 365 × y
m l as
.co
365 × 274 = 365 × 200 + 365 × 74
m a g
l a se
g
= 73,000 + 27,010
a= 1,00,010 िद न

co m
. ag
1,00,010 − 1,00,000 = के वल 10 िद न अिधक
e m
g l as
कुछ अन्य वकल्प: a

co m
m.
Y (वष) दन = 365 × Y 1,00,000 से तुलना

m ase
50
.co
18,250 81,750 कम
a g l
se m
g l a
100 36,500 63,500 कम

a 200 73,000 27,000 कम

m a s
m .co agl
se
274 1,00,010 केवल 10 अ धक

g l a
300 1,09,500
a 9,500 अ धक

co m
.
ऐसा क्य होता है: 1,00,000 ÷ 365 ≈ 273.97 होता है। अत: लगभग 274 वष म एक लाख दन होते ह। पृष्ठ
4 पर रोक्सी यही कहती है — “1 लाख दन जीने का अथ होगा 274 वष तक जीना”। em
c o m g l as
m . a
as e
agl
पता लगाइए — पृष्ठ 3
se m
com g l a
. a
1.1 एक लाख कस्म!

m
ase
प्र.1 agl
2011 क जनगणना के अनुसार चन्ताम ण नगर क जनसंख्या लगभग 75,000 थी। 75,000 एक लाख से
कतना कम है?

co m
m .
as e
comएक लाख से 25,000 कम है। l

. a g
sem
75,000

a
agl c
एक लाख = 1,00,000
m .
m a s e
. co agl
1,00,000 − 75,000
e m
= 25,000
g l as
a

com
m .
m ase
.co


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ऐसा क्य होता है: हजार म सो चए। एक लाख 100 हजार होता है और 75,000 केवल 75 हजार। अत: अंतर
100 − 75 = 25 हजार अथात 25,000 है। 2011 म चन्ताम ण क जनसंख्या एक लाख क तीन-चौथाई थी।

प्र.2 वष 2024 म चन्ताम ण नगर क अनुमा नत जनसंख्या 1,06,000 थी। 1,06,000 एक लाख से कतना अ धक
है?

1,06,000 एक लाख से 6,000 अ धक है।

1,06,000 − 1,00,000

= 6,000

ऐसा क्य होता है: भारतीय पद्ध त म 1,06,000 को “एक लाख छह हजार” पढ़ा जाता है। 1 के बाद लगा
अल्प वराम ही लाख को शेष भाग से अलग कर दे ता है, अत: एक लाख से आगे का भाग केवल 06,000 = 6,000
है।

प्र.3 2011 से 2024 तक चन्ताम ण नगर क जनसंख्या कतनी बढ़ ?

जनसंख्या 31,000 बढ़ ।

2024 की जनसंख्या = 1,06,000

2011 की जनसंख्या = 75,000

वृिद्ध = 1,06,000 − 75,000

= 31,000 व्यिक्त

ऐसा क्य होता है: ऊपर के दोन उत्तर जोड़कर भी यही मलता है: 75,000 से एक लाख तक पहुँचने म 25,000
क वृ द्ध और उसके बाद 1,06,000 तक पहुँचने म 6,000 क वृ द्ध। 25,000 + 6,000 = 31,000 — बना
कसी हा सल के वही उत्तर।

क्या आप जानते ह? यह 13 वष म लगभग 41% क वृ द्ध है — प्र तवष लगभग 2,400 व्य क्त।

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पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 3 (बड़ी संख्याओं क अनुभू त)

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1.1 एक लाख कस्म!

प्र.1 दाईं ओर दए गए चत्र को दे खए। सोमू 1 मीटर लंबा है। य द प्रत्येक तल उसक ऊँचाई का चार गुना हो तो भवन
क अनुमा नत ऊँचाई क्या है?

नमस्ते ,
मै ं सोमू हूँ!

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पृष्ठ 3 — पाठ के साथ दया भवन; सोमू एक बालकनी से हाथ हला रहा है।

चत्र म भवन के 10 तल ह, अत: उसक ऊँचाई लगभग 40 मीटर है।

सोमू की ऊँ चाई = 1 मी.

एक तल की ऊँ चाई = 4 × 1 मी. = 4 मी.

िचत्र में तलों की संख्या = 10

भवन की ऊँ चाई = 10 × 4 मी. = 40 मी.

ऐसा क्य होता है: सोमू सबसे ऊपरी तल क बालकनी म खड़ा है। चत्र म नीचे तक गनने पर 10 बालक नयाँ
मलती ह और प्रत्येक तल उसक अपनी ऊँचाई का चार गुना है। 4 मीटर को 10 तल से गुणा करने पर 40 मीटर
प्राप्त होता है।

संकेत: इस 40 मीटर ऊँचे भवन को याद र खए — पूरे अध्याय म एकता क प्र तमा, कुंचीकल जलप्रपात, माउं ट
एवरेस्ट और हवाई जहाज क तुलना इसी “मापदं ड” से क गई है।

प्र.2 कौन ऊँचा है ______ एकता क प्र तमा या यह भवन? कतना ऊँचा है? ______ मी.

एकता क प्र तमा ऊँची है, 140 मी. अ धक।

एकता की पितमा की ऊँ चाई = 180 मी.

सोमू के भवन की ऊँ चाई = 40 मी.

अंत र = 180 − 40 = 140 मी.

ऐसा क्य होता है: 180 ÷ 40 = 4.5, अत: प्र तमा भवन क लगभग साढ़े चार गुनी है। पुस्तक इसे “सोमू के भवन
क ऊँचाई क लगभग 4 गुनी” कहती है।

क्या आप जानते ह? गुजरात के केव ड़या म स्थत एकता क प्र तमा वश्व क सबसे ऊँची प्र तमा है — सरदार
पटे ल के सर तक पहुँचने के लए लगभग साढ़े चार दस-मं ज़ला भवन एक के ऊपर एक रखने ह गे।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
कुंचीकल जलप्रपात सोमू के भवन क तुलना म कतना ऊँचा है? ______ मी.
e
प्र.3

m l as
.co a g
a s em
agl भवन से 410 मी. ऊँचा है।
जलप्रपात

co m
. ag
कं ु चीकल जलपपात की ऊँ चाई = 450 मी.
e m
सोमू के भवन की ऊँ चाई = 40 मी.
g l as
अंत र = 450 − 40 = 410 मी.
a

co m
se m.
o m l a
.c क ऊँचाई क कल्पना तब तक क ठन है जब तक उसक तुलना कसी पagर चत वस्तु से न क जाए।
ऐसा क्य होता है: 450 ÷ 40 = 11.25, अत: जलप्रपात पूरे भवन से ग्यारह गुने से भी अ धक ऊँचा है। इसी लए

se m
450 मीटर

g l a
a
क्या आप जानते ह? कनाटक के शवमोग्गा जले म वराही नद पर स्थत कुंचीकल जलप्रपात भारत के सबसे ऊँचे
m a s
.co agl
जलप्रपात म से एक है।

se m
g l a
a
m
सोमू के भवन म कतने तल होने चा हए ता क उसक ऊँचाई जलप्रपात क ऊँचाई के समान हो जाए?

co
प्र.4

m .
m as e
.co a g l
se m
a
लगभग 113 तल।

ag l
जलपपात की ऊँ चाई = 450 मी.
se m
com g l a
m . a
ase
एक तल की ऊँ चाई = 4 मी.

agl
तलों की संख्या = 450 ÷ 4

= 112.5

co m
= 113 तल (आधा तल नही ं बन सकता, अत: ऊपर की ओर सि कटन)
m .
m as e
.co a g l
se m ऐसा क्य होता है: 112 तल क ऊँचाई केवल 448 मी. होगी, जो जलप्रपात से 2 मी. कम है। एक और तल जोड़ने
g l a
a c
.
पर भवन 452 मी. का हो जाता है, जो जलप्रपात के शखर से थोड़ा ऊपर है — अत: 113 सबसे छोट पूण संख्या
है।
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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प्रयास कर: भारत का सबसे ऊँचा भवन लगभग 280 मी. का है। यह सोमू के कतने तल के बराबर है? 280 ÷ 4
= 70 तल।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 4–5
संख्याओं को लखना और पढ़ना

प्र.1 आप एक लाख को कैसे दे खते ह — क्या यह एक बड़ी संख्या है या छोट ?

दोन — यह इस बात पर नभर करता है क आप कसक गनती कर रहे ह। धीमी चीज़ के लए एक लाख बड़ा है और भीड़
भरी चीज़ के लए छोटा।

एक लाख बड़ा लगता है जब… एक लाख छोटा लगता है जब…

1 लाख िदन = 274 वष का जीवन अहमदाबाद के िक्रके ट स्टेिडयम में 1 लाख व्यिक्त बैठ जाते है ं

1 लाख व्यिक्त एक पंिक्त में 38 िकमी तक फै ल जाते है ं एक ही िसर पर 80,000–1,20,000 बाल होते है ं

चावल की 1 लाख िकस्में बीजों का िवशाल खज़ाना है ं एक मादा मछली एक बार में लगभग एक लाख अंडे दे दे ती है

ऐसा क्य होता है: कसी संख्या का अपने आप म कोई आकार नह होता — आकार तुलना से आता है। 1 लाख
सेकंड एक दन से थोड़ा ही अ धक है, परंतु 1 लाख दन लगभग तीन शता ब्दयाँ ह। अत: पहले पू छए “ कसका एक
लाख?”

प्रयास कर: चन्ताम ण क जनसंख्या लगभग 1 लाख है। क्या पूरा नगर अहमदाबाद के स्टे डयम म बैठ सकता है?
हाँ — स्टे डयम म 1 लाख से अ धक व्य क्तय के बैठने क क्षमता है।

प्र.2 नीचे द गई संख्याओं को शब्द म ल खए — (a) 3,00,600 (b) 5,04,085 (c) 27,30,000 (d) 70,53,138

समूह को बाईं ओर से प ढ़ए: करोड़, लाख, हजार, फर अं तम तीन अंक।

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संख्या संख्या नाम (भारतीय पद्ध त)

(a) 3,00,600 तीन लाख छह सौ

(b) 5,04,085 पाँच लाख चार हजार पचासी

(c) 27,30,000 स त्त ाईस लाख तीस हजार

(d) 70,53,138 स त्त र लाख ितरे पन हजार एक सौ अड़ तीस

ऐसा क्य होता है: 3,00,600 म हजार के समूह का “00” बताता है क हजार बल्कुल नह है, अत: पढ़ते समय
वह समूह छोड़ दया जाता है — “शून्य हजार” नह कहते। यही 27,30,000 म हुआ है, जहाँ अं तम तीन अंक 000
ह और आगे कुछ नह पढ़ा जाता।

संकेत: संख्या नाम म समूह को उनके क्रम म ही प ढ़ए — 5,04,085 “पाँच लाख चार हजार पचासी” है, न क
“पाँच लाख चार सौ पचासी”।

प्र.3 नम्न ल खत म से प्रत्येक के लए भारतीय ानीय मान प्रणाली म संगत संख्या ल खए — (a) एक लाख तेईस
हजार चार सौ छप्पन (b) चार लाख सात हजार सात सौ चार (c) पचास लाख पाँच हजार पचास (d) दस लाख
दो सौ पतीस

प्रत्येक समूह को उसके अपने स्थान पर ल खए और जो समूह अनुप स्थत हो उसम शून्य भ रए।

संख्या नाम संख्या

(a) एक लाख तेईस हजार चार सौ छप्पन 1,23,456

(b) चार लाख सात हजार सात सौ चार 4,07,704

(c) पचास लाख पाँच हजार पचास 50,05,050

(d) दस लाख दो सौ पैतं ीस 10,00,235

(d) दस लाख = 10,00,000
दो सौ पैत
ं ीस = 235

10,00,000 + 235 = 10,00,235

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ऐसा क्य होता है: पूरा रहस्य शून्य म है। “दस लाख दो सौ पतीस” म हजार बल्कुल नह है, अत: हजार के स्थान
पर 0 लखना ही होगा — अन्यथा 10,00,235 घटकर 10,235 रह जाएगी।

स्वयं जाँ चए: अंक ग नए। एक लाख और दस लाख के बीच क प्रत्येक संख्या म 6 अंक होते ह; दस लाख और
एक करोड़ के बीच क प्रत्येक संख्या म 7 अंक। (c) 50,05,050 म 7 अंक ह — पचास लाख के लए सही।

दहाइय क भू म — पृष्ठ 5–6
1.2 दहाइय क भू म

प्र.1 हँसमुख हजार के पास +1000 का एक बटन है। नम्न ल खत को दखाने के लए इसे कतनी बार दबाना चा हए
— (a) तीन हजार? 3 बार (b) 10,000? (c) तरेपन हजार? (d) 90,000? (e) एक लाख? (f) ______ 153
बार? (g) 1 लाख बनाने के लए कतने हजार चा हए?

प्रत्येक बार दबाने पर 1000 जुड़ता है, अत: बटन दबाने क संख्या = संख्या ÷ 1000।

वां छत संख्या हल कतनी बार

(a) तीन हजार 3000 ÷ 1000 3 बार

(b) 10,000 10000 ÷ 1000 10 बार

(c) ितरे पन हजार 53000 ÷ 1000 53 बार

(d) 90,000 90000 ÷ 1000 90 बार

(e) एक लाख 1,00,000 ÷ 1000 100 बार

(f) 1,53,000 153 × 1000 153 बार

(g) एक लाख बनाने के लए 100 हजार चा हए।

1 लाख = 1,00,000

1,00,000 ÷ 1,000 = 100

अत: 100 × 1000 = 1,00,000 ✓

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ऐसा क्य होता है: हँसमुख हजार केवल 1000 के गुणज तक ही पहुँच सकता है। इसी लए ऊपर के सभी उत्तर
पूण संख्याएँ ह — और इसी लए यह गणक 3,700 या 97,600 जैसी संख्या कभी नह दखा सकता।

प्र.2 दबंग दहाई के पास +10 का मात्र एक बटन है। नम्न ल खत को दखाने के लए इसे कतनी बार दबाना चा हए
— (a) पाँच सौ? (b) 780? (c) 1000? (d) 3700? (e) 10,000? (f) एक लाख? (g) ______ 435 बार?

प्रत्येक संख्या को 10 से भाग द जए।

वां छत संख्या हल कतनी बार

(a) पाँच सौ 500 ÷ 10 50 बार

(b) 780 780 ÷ 10 78 बार

(c) 1000 1000 ÷ 10 100 बार

(d) 3700 3700 ÷ 10 370 बार

(e) 10,000 10000 ÷ 10 1000 बार

(f) एक लाख 1,00,000 ÷ 10 10,000 बार

(g) 4,350 435 × 10 435 बार

ऐसा क्य होता है: 10 से भाग दे ने पर अंत का एक शून्य हट जाता है। इसी लए बटन दबाने क संख्या मूल संख्या
जैसी ही दखती है, बस एक शून्य कम — 3700 से 370 और 1,00,000 से 10,000।

संकेत: दबंग दहाई वास्तव म थकाऊ है — एक लाख तक पहुँचने के लए दस हजार बार बटन दबाना पड़ेगा। एक
सेकंड म एक बार दबाएँ तो लगभग 3 घंटे लगगे!

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
m (g)
समझदार सैकड़े के पास +100 का मात्र एक बटन है। नम्न ल खत को दखाने के लए इसे कतनी बार दबाना
चा हए — (a) चार सौ? (b) 3,700? (c) 10,000? (d) तरेपन हजार? (e) 90,000? (f) e97,600?
प्र.3

m a s
. gl
co (h) ______ 582 बार? (i) दस हजार बनाने के लए कतने सैकड़ क aआवश्यकता
m
se बनाने के लए कतने सैकड़ क आवश्यकता होती है? (k) समझदार सैकड़ा कहता है, “यहाँ कुछ संख्याएँ
1,00,000? होती है? (j) एक

l aलाख
g ह जो दबंग दहाई और हँसमुख हजार नह दखा सकता है, परंतु म दखा सकता ँ।” क्या यह कथन सत्य है?
a
सो चए और खो जए।

co m
em . ag
l as

प्रत्येक संख्या को 100 से भाग द जए। a g

co m
m.
वां छत संख्या हल कतनी बार

m as e
(a) चार सौ
.co
400 ÷ 100
a g l
4 बार

se m
g l a
(b) 3,700 3700 ÷ 100 37 बार

a (c) 10,000 10000 ÷ 100 100 बार

m a s
(d) ितरे पन हजार
em
.co
53000 ÷ 100 530 बार
agl
a s
(e) 90,000
a gl 90000 ÷ 100 900 बार

m
97600 ÷ 100 976 बार

.co
(f) 97,600

1000m
m a se बार
(g) 1,00,000 100000 ÷ 100

. c o a g l
s e m58,200 582 × 100 582 बार
a
(h)

agl (i) 10,000 ÷ 100 = 100 सैकड़े दस हजार बनाते ह।
se m
com l a
(j) 1,00,000 ÷ 100 = 1000 सैकड़े एक लाख बनाते ह।

. a g
m
ase
(k) नह , यह कथन सत्य नह है।

a gl
समझदार सैक ड़ ा के वल 100 के गुणज िदखा सकता है।

co m
.
100 का पत्येक गुणज 10 का भी गुणज होता है।
em
m l as
.co g
जै से 3,700 = 37 × 100 = 370 × 10
m अत: जो भी संख्या समझदार सैकड़ ा िदखा सकता है, दबंग दहाई भी िदखा सकता है। a
l a se
ag
.c
s e m
m a
co agl
ऐसा क्य होता है: समझदार सैकड़ा हँसमुख हजार से आगे अवश्य है — 3,700 और 97,600 को +1000 बटन

m .
e
कभी नह दखा सकता। परंतु वह दबंग दहाई से आगे नह जा सकता, क्य क 100 स्वयं दस दहाइयाँ ह। कथन

g l as
तभी सत्य होता जब कोई संख्या 100 क गुणज हो पर 10 क न हो — ऐसी कोई संख्या है ही नह ।
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 14 of 71

कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 चतुर चत्ती एक अलग प्रकार का कैलकुलेटर है। इसम नम्न ल खत बटन ह — +1, +10, +100, +1000,
+10000, +100000 और +1000000। इसम सदै व काम करने के कई तरीके होते ह। संख्या 321 प्राप्त करने के
लए वह +10 को 32 बार और +1 को एक बार दबाता है। क्या उसे 321 प्राप्त होगा? वैक ल्पक रूप से वह +100
को दो बार, +10 को बारह बार तथा +1 को एक बार दबा सकता है।

हाँ, दोन व धय से ठ क 321 प्राप्त होता है।

िविध 1: (32 × 10) + (1 × 1)

= 320 + 1 = 321 ✓ (33 बार)

िविध 2: (2 × 100) + (12 × 10) + (1 × 1)

= 200 + 120 + 1 = 321 ✓ (15 बार)

ऐसा क्य होता है: बटन दबाने पर एक न श्चत मान जुड़ता है और योग कसी भी क्रम म कया जा सकता है। अत:
कोई भी ऐसा संयोजन काम करेगा जसका योग 321 हो। चत्ती यही दखा रहा है क एक संख्या को कई प्रकार से
तोड़ा जा सकता है — 321 = 320 + 1 = 200 + 120 + 1 = 300 + 21 = …

प्रयास कर: एक तीसरी व ध ात क जए। (3 × 100) + (2 × 10) + (1 × 1) = 321 म केवल 6 बार बटन
दबाना पड़ता है — यही न्यूनतम है, क्य क 3 + 2 + 1 = 6 अंक का योग है।

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प्र.5 5072 को प्राप्त करने के लए नीचे दो भन्न प्रकार दखाए गए ह।

बटन 5072

+10,00,000

+1,00,000

+10,000

+1,000 3

+100 50 20

+10 7

+1 2 72

इन दो प्रकार को नम्न रूप म व्यक्त कया जा सकता है — (a) (50 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1) = 5072
(b) (3 × 1000) + (20 × 100) + (72 × 1) = 5072। 5072 प्राप्त करने क एक अलग व ध ात क जए और
उसी के लए एक व्यंजक ल खए।

यहाँ तीन नई व धयाँ द गई ह, तीन ऊपर द गई दोन से भन्न।

िविध 1: (5 × 1000) + (7 × 10) + (2 × 1)

= 5000 + 70 + 2 = 5072 (14 बार)

िविध 2: (4 × 1000) + (10 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1)

= 4000 + 1000 + 70 + 2 = 5072 (23 बार)

िविध 3: (5 × 1000) + (72 × 1)

= 5000 + 72 = 5072 (77 बार)

ऐसा क्य होता है: प्रत्येक व ध 5072 को 1, 10, 100, 1000 … मूल्य के टु कड़ म बाँटने का एक अलग तरीका
है। चूँ क 1000 = 10 × 100 है, आप +1000 के एक बार दबाने को +100 के दस बार दबाने से बदल सकते ह।
इससे योग नह बदलता, केवल बटन दबाने क संख्या बदलती है।

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

संकेत: व ध 1 म 5072 के अपने अंक ही प्रयोग हुए ह (5 हजार, 0 सैकड़ा, 7 दहाई, 2 इकाई)। यही सदै व सबसे
सस्ती व ध होती है — इसे आप पृष्ठ 7 पर सद्ध करगे।

पता लगाइए — पृष्ठ 6
1.2 दहाइय क भू म

प्र.1 नीचे द गई प्रत्येक संख्या के लए संख्या को प्राप्त करने के लए कम से कम दो भन्न व धय ारा बटन दबाकर
व्यंजक ल खए। चत्ती क तरह सो चए और रचनात्मक ब नए। (a) 8300 (b) 40629 (c) 56354 (d) 66666
(e) 367813

प्रत्येक जोड़ी म पहली व ध संख्या के अपने अंक का प्रयोग करती है; दूसरी व ध एक बड़े बटन को दस छोटे बटन से बदलती है।

संख्या वध1 वध2

(a) 8300 (8 × 1000) + (3 × 100) (83 × 100)

(b) 40629 (4 × 10000) + (6 × 100) + (2 × 10) + (9 × 1) (40 × 1000) + (62 × 10) + (9 × 1)

(c) 56354 (5 × 10000) + (6 × 1000) + (3 × 100) + (5 × 10) + (4 × 1) (56 × 1000) + (35 × 10) + (4 × 1)

(d) 66666 (6 × 10000) + (6 × 1000) + (6 × 100) + (6 × 10) + (6 × 1) (66 × 1000) + (6 × 100) + (66 × 1)

(e) (3 × 100000) + (6 × 10000) + (7 × 1000) + (8 × 100) + (1 × 10) + (36 × 10000) + (78 × 100) + (13 ×
367813 (3 × 1) 1)

जाँच (b), िविध 2: 40 × 1000 = 40,000

62 × 10 = 620

9×1=9
40,000 + 620 + 9 = 40,629 ✓

जाँच (e), िविध 2: 36 × 10,000 = 3,60,000

78 × 100 = 7,800

13 × 1 = 13

3,60,000 + 7,800 + 13 = 3,67,813 ✓

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: चूँ क 1000 = 10 × 100 और 100 = 10 × 10 है, आप सदै व एक बड़े बटन को अगले छोटे
बटन के दस बार दबाने म बदल सकते ह। (a) म +1000 का एक बार दबाना +100 के दस बार दबाने म बदला
गया: 8 हजार + 3 सैकड़ा से 83 सैकड़ा बन गया।

प्रयास कर: 8300 के लए एक तीसरी व ध ल खए, जैसे (5 × 1000) + (33 × 100) = 5000 + 3300 =
8300। इसम कतनी बार बटन दबाना पड़ेगा? 5 + 33 = 38 बार।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 7
1.2 दहाइय क भू म

प्र.1 चतुर चत्ती के पास आपके लए कुछ प्रश्न ह — (a) आपको संख्या बनाने के लए बटन को ठ क 30 बार दबाना
है। आप 3 अंक क सबसे बड़ी संख्या कौन-सी बना सकते ह? आप 3 अंक क सबसे छोट संख्या कौन-सी बना
सकते ह?

सबसे बड़ी = 993। सबसे छोट = 102।

सबसे बड़ी : अिधक-से-अिधक बार +100 दबाइए।

(9 × 100) + (8 × 10) + (13 × 1)

= 900 + 80 + 13 = 993

कु ल बार = 9 + 8 + 13 = 30 ✓

सबसे छोटी : कम-से-कम बार +100 दबाइए।

(0 × 100) + (8 × 10) + (22 × 1)

= 0 + 80 + 22 = 102

कु ल बार = 0 + 8 + 22 = 30 ✓

ऐसा क्य होता है: कुल 30 बार न श्चत है, अत: +1 का एक दबाव +100 म बदलने से संख्या 99 बढ़ जाती है।
इस लए बड़ी संख्या के लए +100 को अ धक दबाइए — परंतु 10 बार नह (वह अकेला 1000 अथात 4 अंक क
संख्या हो जाएगा), अत: 9 सीमा है; शेष 21 बार से 93 बनाना है और 8 दहाई + 13 इकाई से यह हो जाता है। छोट
संख्या के लए +100 का प्रयोग ही मत क जए; दहाई और इकाई के 30 दबाव से भी कम-से-कम 100 तक
पहुँचना है और 8 दहाई + 22 इकाई = 102 न्यूनतम है।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
स्वयं जाँ चए: क्या 101 बन सकता है? इसके लए 1 सैकड़ा + 0 दहाई + 1 इकाई (2 बार) या 10 दहाई + 1

m as e
l
इकाई (11 बार) चा हए — दोन 30 नह ह। अत: 102 ही सबसे छोट है।

m .co a g
l a se
a g
प्र.2 25 बार बटन दबाकर 997 प्राप्त कया जा सकता है। क्या 997 को 25 से कम या अ धक बार बटन दबाकर बना

co m
ag
सकते ह?

m .
as e
a g l
हाँ — 997 को कई भन्न संख्याओं म बटन दबाकर बनाया जा सकता है।

co m
em.
om as
25 बार: (9 × 100) + (9 × 10) + (7 × 1) = 900 + 90 + 7 = 997

= 9.c+ 9 + 7 = 25
कु ल m a g l
l a se
a g
34 बार: (9 × 100) + (8 × 10) + (17 × 1) = 900 + 80 + 17 = 997
m a s
m .co agl
se
कु ल = 9 + 8 + 17 = 34

g l a
a
106 बार: (99 × 10) + (7 × 1) = 990 + 7 = 997
co m
m .
e
कु ल = 99 + 7 = 106
m l as
.co
m बार: (997 × 1) = 997 a g
a s e997
agl
se m
com g l a
. a
ऐसा क्य होता है: +100 के एक दबाव को +10 के दस दबाव से बदलने पर योग वही रहता है परंतु 9 दबाव बढ़
m
ase
जाते ह; +10 को +1 के दस दबाव से बदलने पर भी 9 दबाव बढ़ते ह। अत: 997 के लए संभव दबाव सदै व 25,

agl
34, 43, 52, … ह गे — 25 म 9 का गुणज जोड़ने पर। न्यूनतम 25 (अंक का योग) और अ धकतम 997 है।

co m
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
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m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
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कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 साधारण सप्पी म नम्न ल खत बटन ह — +1, +10, +100, +1,000, +10,000, +1,00,000। इसका उपयोग
यथासंभव न्यूनतम कया जाना चा हए। हम कम-से-कम बटन दबाकर संख्याएँ (a) 5072 और (b) 8300 कैसे
प्राप्त कर सकते ह? साथ ही: नीचे द गई ता लका म 5072 को 23 बार बटन दबाकर प्राप्त करने क एक व ध द
गई है।

बटन 5072

+10,00,000

+1,00,000

+10,000

+1,000 5

+100 0

+10 6

+1 12

क्या 23 से कम बार बटन को दबाकर 5072 प्राप्त करने क कोई अन्य व ध है? इसके लए एक व्यंजक ल खए।

हाँ। 5072 को केवल 14 बार और 8300 को केवल 11 बार बटन दबाकर बनाया जा सकता है।

(a) 5072 = (5 × 1000) + (0 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1)

कु ल बार = 5 + 0 + 7 + 2 = 14

(b) 8300 = (8 × 1000) + (3 × 100) + (0 × 10) + (0 × 1)

कु ल बार = 8 + 3 + 0 + 0 = 11

ता लका वाली व ध थी (5 × 1000) + (0 × 100) + (6 × 10) + (12 × 1) = 5000 + 60 + 12 = 5072, अथात 5 + 0 + 6
+ 12 = 23 बार। 6 दहाई और 12 इकाई के स्थान पर 7 दहाई और 2 इकाई लेने से 9 दबाव बच जाते ह।

ऐसा क्य होता है: जब भी आप एक बड़े बटन के स्थान पर दस छोटे बटन दबाते ह, 9 दबाव व्यथ जाते ह। अत:
सबसे सस्ता माग यही है क कसी भी बटन को 9 बार से अ धक न दबाया जाए — और संख्या के अंक ठ क यही
बताते ह।

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

पता लगाइए — पृष्ठ 7
1.2 दहाइय क भू म

ग णत चचा

प्र.1 पछले ‘पता लगाइए’ म द गई संख्याओं के लए ात क जए क प्रत्येक संख्या को कम-से-कम बटन दबाकर
कैसे प्राप्त कया जा सकता है और संगत व्यंजक ल खए।

संख्या के प्रत्येक अंक को उसी के बटन को दबाने क संख्या मान ली जए।

संख्या न्यूनतम बटन वाला व्यंजक कुल बार

(a) 8300 (8 × 1000) + (3 × 100) 8 + 3 = 11

(b) 40629 (4 × 10000) + (0 × 1000) + (6 × 100) + (2 × 10) + (9 × 1) 4 + 0 + 6 + 2 + 9 = 21

(c) 56354 (5 × 10000) + (6 × 1000) + (3 × 100) + (5 × 10) + (4 × 1) 5 + 6 + 3 + 5 + 4 = 23

(d) 66666 (6 × 10000) + (6 × 1000) + (6 × 100) + (6 × 10) + (6 × 1) 6 × 5 = 30

(e) (3 × 100000) + (6 × 10000) + (7 × 1000) + (8 × 100) + (1 × 10) + (3 × 3+6+7+8+1+3=
367813 1) 28

ऐसा क्य होता है: य द कसी बटन को 10 या उससे अ धक बार दबाया जाए तो उसे अगले बड़े बटन के एक दबाव
तथा कुछ छोटे दबाव से बदला जा सकता है, जससे 9 दबाव बचते ह। ऐसा बार-बार करने पर प्रत्येक बटन 0 से 9
बार ही दबता है — और यही संख्या का स्थानीय मान रूप है।

प्र.2 क्या आप प्रत्येक संख्या और सबसे कम बार बटन दबाने क संख्या के बीच कोई संबंध दे खते ह?

हाँ — न्यूनतम बटन दबाने क संख्या उस संख्या के अंक का योग है।

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संख्या अंक का योग न्यूनतम बार

8300 8 + 3 + 0 + 0 = 11 11

40629 4 + 0 + 6 + 2 + 9 = 21 21

56354 5 + 6 + 3 + 5 + 4 = 23 23

66666 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 30

367813 3 + 6 + 7 + 8 + 1 + 3 = 28 28

ऐसा क्य होता है: प्रत्येक अंक बताता है क संख्या म उस स्थानीय मान क कतनी इकाइयाँ ह, और उनम से
प्रत्येक ठ क एक बार बटन दबाने के बराबर है। सभी अंक को जोड़ने पर कुल दबाव मल जाते ह।

प्रयास कर: 5 अंक क कस संख्या के लए सबसे अ धक बार बटन दबाना पड़ेगा? 99,999 — अंक का योग
45। और सबसे कम? 10,000 — केवल 1 बार।

प्र.3 य द आप ध्यान द तो सबसे कम बटन दबाने के लए व्यंजक संख्याओं का भारतीय ानीय मान संकेतन दखाता
है। सो चए ऐसा क्य है?

क्य क स्थानीय मान संकेतन ही संख्या लखने का “ बना व्यथ” तरीका है।

56354 = (5 × 10000) + (6 × 1000) + (3 × 100) + (5 × 10) + (4 × 1)

अंक : 5 | 6 | 3 | 5 | 4

बटन: +10000, +1000, +100, +10, +1

ऐसा क्य होता है: सप्पी के बटन 1, 10, 100, 1000 … ह — ठ क हमारी संख्या पद्ध त के स्थानीय मान। य द
कोई बटन 10 या अ धक बार दबाया जाए तो उन दस दबाव को अगले बटन के एक दबाव से बदलकर 9 दबाव
बचाए जा सकते ह। अत: सबसे सस्ती योजना म कोई बटन 9 बार से अ धक नह दबता, और 0 से 9 तक क गनती
ही एक अंक है। इसी कारण सबसे सस्ता व्यंजक संख्या के वस्ता रत रूप के समान हो जाता है।

क्या आप जानते ह? इसी लए हमारी पद्ध त को स्थानीय मान पद्ध त कहते ह — अंक क स्थ त बताती है क वह
10 क कौन-सी घात गन रहा है।

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 8–9
1.3 करोड़ और करोड़ का!

प्र.1 क्या होगा य द +10,00,000 के बटन को 10 बार दबाया जाए? आपको कौन-सी संख्या प्राप्त होगी? इसम कतने
शून्य ह गे? हम इसे क्या कहगे?

1,00,00,000 प्राप्त होगी — एक करोड़ — और इसम 7 शून्य ह गे।

10,00,000 × 10

= 1,00,00,000

= 100 लाख = 1 करोड़
1 के आगे 7 शून्य

ऐसा क्य होता है: 10 से गुणा करने पर प्रत्येक अंक एक स्थान बाईं ओर खसक जाता है और अंत म एक शून्य
जुड़ जाता है। दस लाख म पहले ही 6 शून्य ह, अत: उसके दस गुने म 7 शून्य ह गे।

संकेत: इस सीढ़ को याद र खए — 1 लाख (5 शून्य) → 10 लाख (6) → 1 करोड़ (7) → 10 करोड़ (8) → 1
अरब (9)।

प्र.2 एक हजार लाख म कतने शून्य ह? _____________

8 शून्य।

1 हजार लाख = 1,000 × 1,00,000
= 10,00,00,000

= 10 करोड़

शून्य: 3 (1,000 से) + 5 (1 लाख से) = 8

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as e
कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
ऐसा क्य होता है: जब दो ऐसी संख्याओं को गुणा कया जाए जनम से प्रत्येक 1 के आगे शून्य वाली हो, तो शून्य

m as e
l
केवल जुड़ जाते ह। 103 × 105 = 108।

m .co a g
l a se
a g
प्र.3 एक सौ हजार म कतने शून्य ह? _______________

co m
e m . ag
l as

5 शून्य। a g

co m
em.
1 सौ हजार = 100 × 1,000
m l as
= 1,00,000
.co a g
em2 + 3 = 5
शूsन्य:
a
agl
और 1,00,000 = 1 लाख

m a s
m .co agl
l a se
g
ऐसा क्य होता है: यही दोन पद्ध तय के बीच का सेतु है। जसे अमे रक पद्ध त “एक सौ हजार” (100,000)
a
कहती है, उसी को भारतीय पद्ध त “एक लाख” (1,00,000) कहती है — संख्या वही, अल्प वराम और नाम
अलग।

co m
m .
m as e
.co g l
क्या आप जानते ह? ‘लाख’ शब्द संस्कृत के लक्ष से और ‘करोड़’ संस्कृत के को ट से बना है। भारतीय पद्ध त
a
a s em नेपाल, श्रीलंका, बांग्लादे श, पा कस्तान, भूटान, मालद व, अफगा नस्तान और म्यांमार म भी अपनाई जाती है।

ag l
se m
com g l a
पता लगाइए — पृष्ठ 9
m . a
ase
agl
1.3 करोड़ और करोड़ का!

co m
प्र.1 संख्याओं को भारतीय ानीय मान संकेतन के अनुसार प ढ़ए और उनके संख्या नाम को भारतीय और अमे रक

m .
e
दोन पद्ध तय म ल खए — (a) 4050678 (b) 48121620 (c) 20022002 (d) 246813579 (e)

m l as
.co g
345000543 (f) 1020304050

emउत्तर a
a s
agl
.c
m
पहले अल्प वराम लगाइए — भारतीय पद्ध त म दाएँ से 3-2-2-2, अमे रक पद्ध त म 3-3-3।

m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 24 of 71

कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

संख्या भारतीय पद्ध त अमे रक पद्ध त

(a) 4050678 40,50,678 4,050,678
चालीस लाख पचास हजार छह सौ अठहत्त र चार िमिलयन पचास हजार छह सौ अठहत्त र

(b) 48121620 4,81,21,620 48,121,620
चार करोड़ इक्यासी लाख इक्कीस हजार छह सौ बीस अड़ तालीस िमिलयन एक सौ इक्कीस हजार छह सौ बीस

(c) 20022002 2,00,22,002 20,022,002
दो करोड़ बाईस हजार दो बीस िमिलयन बाईस हजार दो

(d) 246813579 24,68,13,579 246,813,579
चौबीस करोड़ अड़ सठ लाख तेर ह हजार पाँच सौ दो सौ िछयालीस िमिलयन आठ सौ तेर ह हजार पाँच सौ
उ न्यासी उ न्यासी

(e) 345000543 34,50,00,543 345,000,543
चौंतीस करोड़ पचास लाख पाँच सौ तैतं ालीस तीन सौ पैतं ालीस िमिलयन पाँच सौ तैतं ालीस

(f) 1,02,03,04,050 1,020,304,050
1020304050 एक अरब दो करोड़ तीन लाख चार हजार पचास एक िबिलयन बीस िमिलयन तीन सौ चार हजार पचास

ऐसा क्य होता है: अंक कभी नह बदलते — केवल समूहीकरण बदलता है। (c) म भारतीय समूहीकरण
2,00,22,002 दखाता है “दो करोड़, शून्य लाख, बाईस हजार, दो”, और शून्य लाख वाला समूह पढ़ा ही नह
जाता।

संकेत: एक शीघ्र जाँच — भारतीय पद्ध त म 8 अंक क संख्या करोड़ म होती है, 9 अंक क दस-करोड़ म और
10 अंक क अरब म।

प्र.2 नम्न ल खत संख्याओं को भारतीय ानीय मान संकेतन म ल खए — (a) एक करोड़ एक लाख एक हजार दस
(b) एक ब लयन एक म लयन एक हजार एक (c) दस करोड़ बीस लाख तीस हजार चालीस (d) नौ ब लयन
अस्सी म लयन सात सौ हजार छह सौ

(b) और (d) के लए पहले अमे रक पद्ध त म संख्या बनाइए, फर भारतीय ढं ग से अल्प वराम लगाइए।

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ AglaSem · NCERT Solutions

संख्या नाम भारतीय ानीय मान संकेतन

(a) एक करोड़ एक लाख एक हजार दस 1,01,01,010

(b) एक िबिलयन एक िमिलयन एक हजार एक 1,00,10,01,001

(c) दस करोड़ बीस लाख तीस हजार चालीस 10,20,30,040

(d) नौ िबिलयन अस्सी िमिलयन सात सौ हजार छह सौ 9,08,07,00,600

(b) 1 िबिलयन = 1,000,000,000

1 िमिलयन = 1,000,000
1 हजार = 1,000 तथा एक = 1

योग = 1,001,001,001

भारतीय अल्पिवराम → 1,00,10,01,001

(d) 9,000,000,000 + 80,000,000 + 700,000 + 600

= 9,080,700,600

भारतीय अल्पिवराम → 9,08,07,00,600

ऐसा क्य होता है: दोन पद्ध तयाँ एक ही अंक लखती ह; केवल अल्प वराम का प्र तरूप भन्न होता है। पहले बना
अल्प वराम के अंक ल खए, फर दाईं ओर से — 3, फर 2, 2, 2 — अल्प वराम लगाइए।

प्र.3 तुलना क जए और ‘<’, ‘>’ या ‘=’ उपयुक्त चह्न लगाइए — (a) 30 हजार ____ 3 लाख (b) 500 लाख ______
5 म लयन (c) 800 हजार ____ 8 म लयन (d) 640 करोड़ ______ 60 ब लयन

पहले दोन पक्ष को सामान्य अंक म बद लए, फर तुलना क जए।

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तुलना बाईं ओर अंक म दाईं ओर अंक म चह्न

(a) 30 हजार ? 3 लाख 30,000 3,00,000 <

(b) 500 लाख ? 5 िमिलयन 5,00,00,000 50,00,000 >

(c) 800 हजार ? 8 िमिलयन 8,00,000 80,00,000 <

(d) 640 करोड़ ? 60 िबिलयन 6,40,00,00,000 60,00,00,00,000 <

(b) 500 लाख = 500 × 1,00,000 = 5,00,00,000 (5 करोड़ )

5 िमिलयन = 5 × 10,00,000 = 50,00,000 (50 लाख)

5 करोड़ , 50 लाख का दस गुन ा है, अत: 500 लाख > 5 िमिलयन

(d) 640 करोड़ = 640 × 1,00,00,000 = 6.4 िबिलयन

60 िबिलयन बहुत अिधक है

अत: 640 करोड़ < 60 िबिलयन

ऐसा क्य होता है: सबसे सुर क्षत व ध है अंक गनना। 6,40,00,00,000 म 10 अंक ह जब क
60,00,00,00,000 म 11 — पूण संख्याओं म अ धक अंक सदै व बड़ी संख्या दशाते ह।

संकेत: दो रूपांतरण याद रखने योग्य ह: 1 म लयन = 10 लाख और 1 ब लयन = 100 करोड़।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 10
1.4 सट क और स न्नकट मान

प्र.1 आप इस बातचीत के बारे म क्या सोचते ह? क्या आपने ऐसा कोई समाचार या कथन पढ़ा या सुना है? (“पुस्तक
मेले म 1 लाख लोग आए।” “य द म नह गया होता तो वे लखते, ‘ पछले सप्ताह पुस्तक मेले म 99,999 लोग
आए।’”)

मज़ा इसी बात म है क समाचार वाली संख्या कभी यथाथ थी ही नह — वह एक स न्नक टत संख्या है।

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ऐसा क्य होता है: “पुस्तक मेले म 1 लाख लोग आए” का अथ है लगभग एक लाख — यह 97,400 भी हो सकता
है और 1,02,600 भी। एक व्य क्त के आने या न आने से स न्नक टत संख्या नह बदलती। लड़का स न्नकट मान को
यथाथ गनती मान बैठा है, इसी लए बात हास्यास्पद लगती है।

ऐसे समाचार चार ओर मलते ह:

“एकादशी पर मं दर म 50,000 से अ धक श्रद्धालु।”
“लगभग 1 करोड़ लोग ने मैच दे खा।”
“प्र त दन लगभग 2 लाख वाहन पुल पार करते ह।”

संकेत: लगभग, करीब, से अ धक, के आस-पास जैसे शब्द संकेत दे ते ह क संख्या स न्नक टत है। जहाँ यथाथता
आवश्यक है — बक का शेष, परीक्षा के अंक, रेलगाड़ी का नंबर — वहाँ ये शब्द कभी नह आते।

प्र.2 सो चए और ऐसी प र तय को साझा क जए जहाँ यह उ चत हो (a) ऊपर क ओर स न्नकटन (b) नीचे क
ओर स न्नकटन (c) या तो ऊपर क ओर स न्नकटन अथवा नीचे क ओर स न्नकटन सही हो और (d) जब यथाथ
संख्याओं क आवश्यकता हो।

स न्नकटन उसी दशा म क जए जो आपको कमी से बचाए।

पर त उदाहरण कारण

(a) ऊपर की 732 व्य क्तय वाले व ालय के लए 750 मठाइयाँ; 118 अ त थय के लए कम पड़ जाना, अ धक होने से बुरा
ओर 125 कु सयाँ है

(b) नीचे की ₹470 क वस्तु को दुकानदार “लगभग ₹450” बताता है; 27 क ा बोरी को बढ़ा-चढ़ाकर कहने से कम बताना
ओर “लगभग 25 क ा” सुर क्षत है

(c) कोई भी सही दल्ली से जयपुर क दूरी (268 कमी) → “लगभग 270 कमी”; कसी नगर केवल मोटा अनुमान चा हए
क जनसंख्या

(d) यथाथ बक खाते का धन, परीक्षा के अंक, मतगणना, फोन नंबर, दवा क मात्रा 1 का अंतर भी पूरा अथ बदल दे ता
संख्या है

ऐसा क्य होता है: जहाँ कमी से परेशानी हो (भोजन, कु सयाँ, टकट, सीमट क बो रयाँ) वहाँ ऊपर क ओर
स न्नकटन कया जाता है। जहाँ अ धक वचन दे ने से परेशानी हो (मूल्य, समय का अनुमान) वहाँ नीचे क ओर। और
जहाँ संख्या स्वयं ही उत्तर है — धन, अंक, गनती — वहाँ स न्नकटन बल्कुल नह ।

प्रयास कर: बप्पी ने “स न्नक टत संख्या” मलाई। यह गलती क्य है? क्य क 139 एक यथाथ हेल्पलाइन नंबर है
— उसे 140 करने पर कसी से बात नह होगी।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

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पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 11 ( नकटतम पड़ोसी)
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1.4 सट क और स न्नकट मान
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ग णत चचा

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इसी प्रकार इन संख्याओं के लए पाँच नकटतम संख्या ल खए — (a) 3,87,69,957 (b) 29,05,32,481
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प्र.1

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a
जस स्थान तक स न्नकटन करना है, केवल उसके दाईं ओर के अंक दे खए: 5 या अ धक हो तो ऊपर, कम हो तो नीचे।

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नकटतम… (A) 3,87,69,957 (B) 29,05,32,481

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हजार 3,87,70,000 29,05,32,000

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a g दस हजार 3,87,70,000 29,05,30,000

m a s
लाख 3,88,00,000 29,05,00,000

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दस लाख 3,90,00,000 29,10,00,000

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4,00,00,000 29,00,00,000

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(a) अंितम 3 अंक 957 ≥ 500 → हजार ऊपर 3,87,70,000
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. co4mअंक 9957 ≥ 5000 → दस हजार भी 3,87,70,000 a g l
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अंितम
a अंितम 5 अंक 69,957 ≥ 50,000 → लाख ऊपर 3,88,00,000
agl
अंितम 6 अंक 7,69,957 ≥ 5,00,000 → दस लाख ऊपर 3,90,00,000
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om ऊपर 4,00,00,000
अंितम 7 अंक 87,69,957 ≥ 50,00,000 →.cकरोड़ g l a
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(b) 481 < 500 → नीचे ; 2481 < 5000 → नीचे ; 32,481 < 50,000 → नीचे ;

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5,32,481 ≥ 5,00,000 → ऊपर; 05,32,481 < 50,00,000 → नीचे
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se m ऐसा क्य होता है: संख्या (b) रोचक है — इसके चार पड़ोसी नीचे क ओर जाते ह परंतु “ नकटतम दस लाख”
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ऊपर क ओर। कारण यह है क 5,32,481 दस लाख के आधे से थोड़ा ऊपर है जब क 32,481 एक लाख के आधे
से बहुत नीचे। प्रत्येक स्थान का नणय अलग से होता है।
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प्र.2 मेरे पास एक संख्या है जसके लए सभी पाँच नकटतम संख्या 5,00,00,000 ह। यह संख्या क्या हो सकती है?
ऐसी यहाँ कतनी संख्याएँ ह?

संख्या 4,99,99,500 से 5,00,00,499 के बीच होनी चा हए, और ऐसी ठ क 1000 पूण संख्याएँ ह।

िनकटतम करोड़ = 5,00,00,000 → संख्या 4,50,00,000 से 5,49,99,999 के बीच

िनकटतम दस लाख = 5,00,00,000 → 4,95,00,000 से 5,04,99,999

िनकटतम लाख = 5,00,00,000 → 4,99,50,000 से 5,00,49,999

िनकटतम दस हजार = 5,00,00,000 → 4,99,95,000 से 5,00,04,999

िनकटतम हजार = 5,00,00,000 → 4,99,99,500 से 5,00,00,499

िगनती = 5,00,00,499 − 4,99,99,500 + 1 = 1000 संख्याए ँ

ऐसा क्य होता है: प्रत्येक शत 5,00,00,000 के चार ओर एक अंतराल दे ती है, और ये अंतराल एक-दूसरे के
भीतर ह — करोड़ वाली शत सबसे ढ ली और हजार वाली सबसे कसी हुई। अत: सबसे कसी हुई शत ही सब कुछ
तय करती है, और उसके भीतर क प्रत्येक संख्या शेष चार शत अपने आप पूरी कर दे ती है।

स्वयं जाँ चए: 5,00,00,300 ली जए। नकटतम हजार = 5,00,00,000 ✓, नकटतम दस हजार =
5,00,00,000 ✓, नकटतम लाख, दस लाख और करोड़ = 5,00,00,000 ✓। पाँच समान।

योग और अंतर का अनुमान — पृष्ठ 11–12
1.4 सट क और स न्नकट मान

प्र.1 4,63,128 + 4,19,682। रोक्सी — “इनका योगफल 8,00,000 के नकट है और 8,00,000 से अ धक है।” ऐस्तु
— “इनका योगफल 9,00,000 के नकट है और 9,00,000 से कम है।” (a) क्या ये अनुमान सही ह? कसका
अनुमान योगफल के नकटतम है? (b) क्या इनका योगफल 8,50,000 से अ धक होगा या 8,50,000 से कम
होगा? आप ऐसा क्य सोचते ह? (c) क्या इनका योगफल 8,83,128 से अ धक होगा या 8,83,128 से कम
होगा? आपको ऐसा क्य लगता है? (d) 4,63,128 + 4,19,682 का यथाथ मान = ___________ है।

(a) दोन अनुमान सही ह, परंतु ऐस्तु का अनुमान अ धक नकट है।

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यथाथ योगफल = 4,63,128 + 4,19,682 = 8,82,810

8,00,000 से दू री = 82,810 (रोक्सी)

9,00,000 से दू री = 17,190 (ऐस्त )ु

17,190 < 82,810 → ऐस्त ु अिधक िनकट

(b) योगफल 8,50,000 से अ धक होगा।

4,63,128 > 4,50,000 तथा 4,19,682 > 4,00,000
अत: योगफल > 4,50,000 + 4,00,000 = 8,50,000 ✓

(c) योगफल 8,83,128 से कम होगा।

8,83,128 = 4,63,128 + 4,20,000

परंत ु दू सरी संख्या 4,19,682 है, जो 4,20,000 से 318 कम है

अत: योगफल = 8,83,128 − 318 = 8,82,810 < 8,83,128

(d) यथाथ मान = 8,82,810।

ऐसा क्य होता है: (b) और (c) का उत्तर बना जोड़े ही दया जा सकता है। प्रत्येक संख्या के स्थान पर उसके
नकट क गोल संख्या रखकर पता चल जाता है क योगफल कसी सीमा के कस ओर पड़ेगा — यही अनुमान का
पूरा उ े श्य है।

प्र.2 14,63,128 – 4,90,020। रोक्सी — “इनका अंतर 10,00,000 के नकट है और 10,00,000 से कम है।” ऐस्तु
— “इनका अंतर 9,00,000 के नकट है और 9,00,000 से अ धक है।” (a) क्या ये अनुमान सही ह? कसका
आकलन अंतर के नकटतम है? (b) क्या इनम अंतर 9,50,000 से अ धक होगा या 9,50,000 से कम होगा?
आपको ऐसा क्य लगता है? (c) क्या अंतर 9,63,128 से अ धक होगा या 9,63,128 से कम होगा? आपको ऐसा
क्य लगता है? (d) 14,63,128 – 4,90,020 का सट क मान = __________ है।

(a) दोन सही ह, परंतु रोक्सी का आकलन अ धक नकट है।

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यथाथ अंत र = 14,63,128 − 4,90,020 = 9,73,108

10,00,000 से दू री = 26,892 (रोक्सी)

9,00,000 से दू री = 73,108 (ऐस्त )ु
26,892 < 73,108 → रोक्सी अिधक िनकट

(b) अंतर 9,50,000 से अ धक होगा।

14,63,128 − 5,00,000 = 9,63,128

वास्तव में हम 4,90,020 घटा रहे है,ं जो 5,00,000 से कम है

कम घटाने पर शेष अिधक बचता है, अत: अंत र > 9,63,128 > 9,50,000 ✓

(c) अंतर 9,63,128 से अ धक होगा।

9,63,128 = 14,63,128 − 5,00,000

5,00,000 − 4,90,020 = 9,980

अत: अंत र = 9,63,128 + 9,980 = 9,73,108

(d) सट क मान = 9,73,108।

ऐसा क्य होता है: घटाने म, जो संख्या घटाई जा रही है उसे छोटा करने पर उत्तर बड़ा हो जाता है। 4,90,020 को
5,00,000 तक बढ़ाने पर मलने वाला अंतर वास्त वक से कम होगा — अथात एक वश्वसनीय नचली सीमा।

स्वयं जाँ चए: वापस जो ड़ए: 9,73,108 + 4,90,020 = 14,63,128 ✓

नगर क जनसंख्या — पृष्ठ 13

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1.4 सट क और स न्नकट मान

प्र.1 नीचे द गई ता लका म कुछ भारतीय नगर क जनसंख्या को दे खए —

क्रम शहर जनसंख्या (2011) जनसंख्या (2001)

1 मुंबई 1,24,42,373 1,19,78,450

2 नई दल्ली 1,10,07,835 98,79,172

3 बगलुरु 84,25,970 43,01,326

4 हैदराबाद 68,09,970 36,37,483

5 अहमदाबाद 55,70,585 35,20,085

6 चेन्नई 46,81,087 43,43,645

7 कोलकाता 44,86,679 45,72,876

8 सूरत 44,67,797 24,33,835

9 वडोदरा 35,52,371 16,90,000

10 पुणे 31,15,431 25,38,473

11 जयपुर 30,46,163 23,22,575

12 लखनऊ 28,15,601 21,85,927

13 कानपुर 27,67,031 25,51,337

14 नागपुर 24,05,665 20,52,066

15 इंदौर 19,60,631 14,74,968

16 ठाणे 18,18,872 12,62,551

17 भोपाल 17,98,218 14,37,354

18 वशाखापटनम 17,28,128 13,45,938

19 पपरी- चचवड़ 17,27,692 10,12,472

20 पटना 16,84,222 13,66,444

ता लका म द गई सूचनाओं के आधार पर नम्न ल खत प्रश्न के उत्तर स न्नकट मान के ारा द जए — इन
आँकड़ के वषय म आपका सामान्य अवलोकन क्या है? कक्षा के साथ साझा क जए।

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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ता लका के लगभग सभी नगर क जनसंख्या 2001 से 2011 के बीच बढ़ है — कुछ क तो बहुत अ धक — और केवल एक नगर

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क घट है।

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a बगलुरू, हैदराबाद, सूरत और वडोदरा क जनसंख्या दस वष म लगभग दो गुनी हो गई।
पहले दो नगर मुंबई और नई दल्ली ही एक करोड़ से ऊपर ह (2011 म 1,24,42,373 और 1,10,07,835)।

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कोलकाता एकमात्र नगर है जसक जनसंख्या घट — 45,72,876 से घटकर 44,86,679, लगभग 86,000 क कमी।

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मुंबई क वृ द्ध केवल लगभग 4.6 लाख रही, जब क बगलुरू क 41 लाख — अथात सबसे बड़ा होने का अथ सबसे तेज़ बढ़ना
नह है।
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ता लका के सभी 20 नगर क 2011 क जनसंख्या 16 लाख से अ धक थी।

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ऐसा क्य होता है: जन नगर म उ ोग और सूचना प्रौ ो गक का काम तेज़ी से बढ़ा (बगलुरू, हैदराबाद, सूरत,

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मुंबई धीरे.cबढ़े या बल्कुल नह बढ़े ।
पुणे, पपरी- चचवड़) वहाँ अन्य स्थान से लोग आकर बसे, जब क पहले से भीड़ भरे पुराने नगर जैसे कोलकाता और

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प्र.2
क्रम शहर जनसंख्या (2011) जनसंख्या (2001)

1 मुंबई 1,24,42,373 1,19,78,450

2 नई दल्ली 1,10,07,835 98,79,172

3 बगलुरु 84,25,970 43,01,326

4 हैदराबाद 68,09,970 36,37,483

5 अहमदाबाद 55,70,585 35,20,085

6 चेन्नई 46,81,087 43,43,645

7 कोलकाता 44,86,679 45,72,876

8 सूरत 44,67,797 24,33,835

9 वडोदरा 35,52,371 16,90,000

10 पुणे 31,15,431 25,38,473

11 जयपुर 30,46,163 23,22,575

12 लखनऊ 28,15,601 21,85,927

13 कानपुर 27,67,031 25,51,337

14 नागपुर 24,05,665 20,52,066

15 इंदौर 19,60,631 14,74,968

16 ठाणे 18,18,872 12,62,551

17 भोपाल 17,98,218 14,37,354

18 वशाखापटनम 17,28,128 13,45,938

19 पपरी- चचवड़ 17,27,692 10,12,472

20 पटना 16,84,222 13,66,444

उपयुक्त ता लका के लए एक उपयुक्त शीषक क्या है?

अ ा शीषक बताता है क क्या, कहाँ और कब। जैसे:

“भारत के 20 सबसे बड़े नगर क जनसंख्या, 2001 और 2011”

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“प्रमुख भारतीय नगर क जनगणना जनसंख्या (2001 बनाम 2011)”
“भारत के बीस सवा धक जनसंख्या वाले नगर और उनक वृ द्ध, 2001–2011”

ऐसा क्य होता है: ता लका म तीन प्रकार क सूचना है — क्रम, नगर का नाम और 2001 तथा 2011 क दो
जनसंख्याएँ। जस शीषक म वष न ह वह पाठक को यह नह बताएगा क ता लका समय के साथ हुए प रवतन के
वषय म है।

प्र.3 2011 म पुणे क जनसंख्या कतनी है? 2001 क तुलना म इसम लगभग कतनी वृ द्ध हुई है?

पुणे क 2011 क जनसंख्या 31,15,431 है, जो 2001 क तुलना म लगभग 6 लाख अ धक है।

2011 की जनसंख्या = 31,15,431

2001 की जनसंख्या = 25,38,473

वृिद्ध = 31,15,431 − 25,38,473 = 5,76,958

िनकटतम लाख तक सि कटन = लगभग 6,00,000 (6 लाख)

ऐसा क्य होता है: पहले स न्नकटन कर लेने पर मौ खक गणना सरल हो जाती है: लगभग 31 लाख म से लगभग
25 लाख घटाने पर लगभग 6 लाख। यथाथ घटाव भी यही पु ष्ट करता है — 5,76,958 का स न्नकट मान 6 लाख
है।

प्र.4 2001 और 2011 के बीच म कस नगर क जनसंख्या म सबसे अ धक वृ द्ध हुई?

बगलुरू, जहाँ 41,24,644 व्य क्तय क वृ द्ध हुई — 41 लाख से भी अ धक।

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नगर 2011 2001 वृ द्ध

बेगं लुरू 84,25,970 43,01,326 41,24,644

हैद राबाद 68,09,970 36,37,483 31,72,487

अहमदाबाद 55,70,585 35,20,085 20,50,500

सूर त 44,67,797 24,33,835 20,33,962

वडोदरा 35,52,371 16,90,000 18,62,371

मुंबई 1,24,42,373 1,19,78,450 4,63,923

ऐसा क्य होता है: बगलुरू ने दस वष म उतने लोग जोड़े जतनी पुणे क पूरी 2011 क जनसंख्या है। ध्यान
द जए क मुंबई कह अ धक बड़ी होने पर भी केवल 5 लाख से कम जुड़ी — बड़ी जनसंख्या और बड़ी वृ द्ध दो
अलग बात ह।

प्र.5 क्या यहाँ ऐसे भी नगर ह जनक जनसंख्या लगभग दो गुनी हो गई? यह कौन-से नगर ह?

हाँ — बगलुरू, हैदराबाद, सूरत और वडोदरा। वडोदरा क जनसंख्या तो दो गुनी से भी अ धक हो गई।

नगर 2001 2011 लगभग कतने गुना

वडोदरा 16,90,000 35,52,371 लगभग 2.1 गुना

बेगं लुरू 43,01,326 84,25,970 लगभग 2 गुना

हैद राबाद 36,37,483 68,09,970 लगभग 1.9 गुना

सूर त 24,33,835 44,67,797 लगभग 1.8 गुना

िपंपरी-िचंचवड़ 10,12,472 17,27,692 लगभग 1.7 गुना

ऐसा क्य होता है: “दो गुनी” जाँचने के लए दे खए क 2001 क संख्या का दुगुना 2011 क संख्या से कम है या
नह । वडोदरा म 16,90,000 × 2 = 33,80,000 है और 35,52,371 उससे बड़ा — अत: वह दो गुनी से भी
अ धक हुई। बगलुरू म 43,01,326 × 2 = 86,02,652 है, जो 84,25,970 से थोड़ा ऊपर — अत: वह लगभग दो
गुनी हुई।

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प्र.6 पटना क जनसंख्या को कस संख्या से गुणा कया जाए क वह मुंबई क जनसंख्या के लगभग समान हो जाए?

लगभग 7 से (अ धक ठ क-ठ क लगभग 7.4 से)।

पटना (2011) = 16,84,222 ≈ 17 लाख

मुंबई (2011) = 1,24,42,373 ≈ 124 लाख

124 ÷ 17 ≈ 7.3

जाँच : 16,84,222 × 7 = 1,17,89,554 (मुंबई से थोड़ ा कम)

16,84,222 × 8 = 1,34,73,776 (मुंबई से थोड़ ा अिधक)

ऐसा क्य होता है: पटना का 7 गुना लगभग 6.5 लाख कम पड़ता है और 8 गुना लगभग 10 लाख अ धक हो जाता
है, अत: 7 अ धक नकट पूण संख्या है। यथाथ भाग करने पर 1,24,42,373 ÷ 16,84,222 ≈ 7.39 आता है।

संकेत: शीघ्र तुलना के लए दोन संख्याओं को पहले लाख म बदल ली जए। 124 ÷ 17 का अनुमान लगाना
1,24,42,373 ÷ 16,84,222 से कह सरल है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 14
1.5 गुणनफल म प्र तरूप

ग णत चचा

प्र.1 क्या आप गुणन और वभाजन के अथ का उपयोग करते हुए यह स्पष्ट कर सकते ह क कसी संख्या को 5 से गुणा
करना या उसे 2 से भाग करके 10 से गुणा करने पर समान संख्या क्य प्राप्त होती है?

क्य क 5, 10 का आधा है।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
5 = 10 ÷ 2
m l as
.co
अत: n × 5 = n × (10 ÷ 2) = (n ÷ 2) × 10
m a g
l a se
g
aरोक्सी का उदाहरण: 116 × 5

com
. ag
= 116 ÷ 2 × 10
e m
= 58 × 10
g l as
= 580 a

co m
se m.
o m l a
ऐसा क्य होता है: 10 से गुणा करना बहुत सरल है — अंत म एक शून्य लगा द जए। आधा करना भी सरल है।
c “× 5” के स्थान पर ये दो सरल चरण क जए। इसी वचार पर अध्यायaकg अन्य सं क्षप्त व धयाँ भी
अत: क .ठन
m
se ह: × 25 = × 100 ÷ 4 (क्य क 25 = 100 ÷ 4) और × 125 = × 1000 ÷ 8 (क्य क 125 = 1000 ÷
g l aटक
a 8)।

m a s
. c o
स्वयं जाँ चए: ऐस्तु का 824 × 25 = 824 ÷ 4m× 100 = 206 × 100 = 20,600 ✓ agl
l a se
ag

co m
पता लगाइए — पृष्ठ 14
m .
m as e
.co g l
1.5 गुणनफल म प्र तरूप

em a
a s
agl प्र.1 इन गुणनफल का शीघ्र प रकलन करने क व धयाँ ात क जए — (a) 2 × 1768 × 50 (b) 72 × 125 [संकेत
m
— 125 = 1000 ÷ 8] (c) 125 × 40 × 8 × 25

a se
. com a g l
e m
s क 100, 1000 या 10,000 बन जाए।
g l aजए
a
गुणनखंड को इस प्रकार पुन: समूहीकृत क

co m
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 39 of 71

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(a) 2 × 1768 × 50

= (2 × 50) × 1768

= 100 × 1768
= 1,76,800

(b) 72 × 125

= 72 × (1000 ÷ 8)

= (72 ÷ 8) × 1000

= 9 × 1000

= 9,000

(c) 125 × 40 × 8 × 25

= (125 × 8) × (40 × 25)

= 1000 × 1000

= 10,00,000

ऐसा क्य होता है: गुणन कसी भी क्रम और कसी भी समूह म कया जा सकता है। जो जोड़े गोल संख्या बनाते ह
उन्ह पहचान लेना — 2 × 50 = 100, 125 × 8 = 1000, 40 × 25 = 1000 — लंबे गुणन को एक पं क्त के
उत्तर म बदल दे ता है।

संकेत: ये जोड़े याद रखने योग्य ह: 2 × 5, 4 × 25, 8 × 125, 2 × 50, 20 × 5, 40 × 25।

प्र.2 इन गुणनफल का प रकलन शीघ्र क जए — (a) 25 × 12 = _____ (b) 25 × 240 = _____ (c) 250 × 120 =
_____ (d) 2500 × 12 = _____ (e) ______ × ______ = 120000000

25 के स्थान पर 100 ÷ 4, 250 के स्थान पर 1000 ÷ 4 और 2500 के स्थान पर 10,000 ÷ 4 र खए।

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(a) 25 × 12 = (100 ÷ 4) × 12 = 100 × 3 = 300

(b) 25 × 240 = 100 × (240 ÷ 4) = 100 × 60 = 6,000

(c) 250 × 120 = 1000 × (120 ÷ 4) = 1000 × 30 = 30,000

(d) 2500 × 12 = 10,000 × (12 ÷ 4) = 10,000 × 3 = 30,000

(e) 12,00,00,000 को कई प्रकार से तोड़ा जा सकता है। तीन सरल व धयाँ:

1200 × 1,00,000 = 12,00,00,000

12,000 × 10,000 = 12,00,00,000

1,20,000 × 1,000 = 12,00,00,000

ऐसा क्य होता है: 12,00,00,000 = 12 × 107। 12 और सात शून्य को दो गुणनखंड म कसी भी प्रकार बाँटने
पर उत्तर वही रहेगा — शून्य केवल एक गुणनखंड से दूसरे म चले जाते ह।

स्वयं जाँ चए: (c) और (d) दोन का उत्तर 30,000 है। ठ क भी है: 250 × 120 और 2500 × 12 वही गुणनफल
ह, बस 10 का एक गुणनखंड एक संख्या से दूसरी म खसक गया है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 14–15 (गुणनफल कतना लंबा है?)

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1.5 गुणनफल म प्र तरूप

ग णत चचा

प्र.1 नीचे दए गए प्रत्येक बक्से म गुणन के रोचक पैटन दखाई दे ते ह। पैटन ात करने के लए उन्ह हल क जए। ात
पैटन के आधार पर गुणन को आगे बढ़ाइए।

11 × 11 = 66 × 61 =
111 × 111 = 666 × 661 =
1111 × 1111 = 6666 × 6661 =

3×5= 101 × 101 =
33 × 35 = 102 × 102 =
333 × 335 = 103 × 103 =

पृष्ठ 14 — गुणन के चार बक्से।

प्रत्येक को हल क जए और पैटन स्पष्ट हो जाएगा।

गुणन गुणनफल गुणन गुणनफल

11 × 11 121 66 × 61 4,026

111 × 111 12,321 666 × 661 4,40,226

1111 × 1111 12,34,321 6666 × 6661 4,44,02,226

आगे: 11111 × 11111 12,34,54,321 आगे: 66666 × 66661 4,44,40,22,226

3×5 15 101 × 101 10,201

33 × 35 1,155 102 × 102 10,404

333 × 335 1,11,555 103 × 103 10,609

आगे: 3333 × 3335 1,11,15,555 आगे: 104 × 104 10,816

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पैट न:

1 वाला: गुणनफल बढ़ कर िफर घटता है — 1, 121, 12321, 1234321, 123454321

6 वाला: 4026 → 440226 → 44402226 — हर बार एक 4 और एक 2 अिधक

3 और 5: 15 → 1155 → 111555 — िजतने 1 उतने ही 5

101, 102, 103: 10201, 10404, 10609 — बीच का अंक 2, 4, 6 और अंितम 1, 4, 9 (वग)

ऐसा क्य होता है: 1 वाले पैटन म 1111 × 1111 वास्तव म (1000 + 100 + 10 + 1) को चार खसक हुई
पं क्तय म जोड़ना है, अत: स्तंभ म 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 का ढे र बनता है — और चूँ क कोई स्तंभ 10 तक नह
पहुँचता, कोई हा सल नह आता और गनती ही अंक बन जाती है। 1111111111 × 1111111111 पर यह पैटन
टू ट जाता है क्य क तब एक स्तंभ म 10 आ जाएगा।

स्वयं जाँ चए: 333 × 335 = 1,11,555 ✓ — और ध्यान द जए क 3333 × 3335 = 1,11,15,555 म चार 1
और चार 5 ह।

प्र.2 गुणा क जाने वाली दोन संख्याओं म अंक क संख्याओं और प्रत्येक त म उनके गुणनफल को ध्यान से
दे खए। क्या गुणा क जाने वाली संख्याओं म और उनके गुणनफल म अंक क संख्याओं के बीच कोई संबंध है?

हाँ। य द एक संख्या म m अंक और दूसरी म n अंक ह , तो गुणनफल म या तो (m + n − 1) अंक ह गे या (m + n) अंक —
इसके अ त रक्त कुछ नह ।

गुणन M+N गुणनफल म अंक

11 × 11 = 121 2+2=4 3=m+n−1

1111 × 1111 = 12,34,321 4+4=8 7=m+n−1

66 × 61 = 4,026 2+2=4 4=m+n

666 × 661 = 4,40,226 3+3=6 6=m+n

3 × 5 = 15 1+1=2 2=m+n

ऐसा क्य होता है: m अंक क सबसे छोट संख्या 10m−1 है और सबसे बड़ी 10m से थोड़ी कम। अत: गुणनफल
10m−1 × 10n−1 = 10m+n−2 और 10m × 10n = 10m+n के बीच रहता है। इससे केवल दो ही संभावनाएँ
बचती ह: m + n − 1 या m + n अंक।

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ase
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
रोक्सी कहती है क 2 अंक क दो संख्याओं का गुणनफल केवल 3 या 4 अंक क संख्या ही हो सकती है। क्या
e
प्र.3

m l as
.co
वह सही है?

a g
se m
g l a
a

हाँ, रोक्सी सही है।

. c om ag
2 अंक ों की सबसे छोटी × सबसे छोटी = 10 × 10m
a s e = 100 → 3 अंक

ag×l 99 = 9,801 → 4 अंक
2 अंक ों की सबसे बड़ ी × सबसे बड़ ी = 99

m
अत: ऐसा पत्येक गुणनफल 100 और 9,801 के बीच होगा
co
e m.
as
→ उसमें 3 या 4 अंक ही होंगे
m l
.co a g
a s emक्य होता है: यह ऊपर के नयम से मेल खाता है जहाँ m = n = 2: गुणनफल म m + n − 1 = 3 अंक या
a gl ऐसा
m + n = 4 अंक। रोक्सी का अपना तक 100 × 100 = 10,000 को ऊपरी सीमा मानता है — यह भी सुंदर

m a s
.co agl
तरीका है, क्य क दोन संख्याएँ 100 से कम ह तो गुणनफल 10,000 से कम ही होगा।

se m
g l a
a
यह जानने के लए क रोक्सी का कथन सही है, क्या हम 2 अंक क संख्याओं के साथ सभी संभव गुणन का
प्र.4
प्रयत्न करना चा हए? या इसे पता लगाने क कोई और उपयुक्त व ध है?
co m
m .
m as e
.co a g l
a s emकह अ
gl नह ।
इससे व ध है — केवल सबसे छोट और सबसे बड़ी त जाँ चए। सभी 8,100 जोड़े आजमाने क आवश्यकता

a
se m
ं m
2 अंक ों की सभी संख्याएँ 10 और 99 के बीच.cहैo। g l a
a
अत: पत्येक गुणनफल 10 × 10 =l100 a sem
ag
और 99 × 99 = 9,801 के बीच होगा।

co m
दोनों िसरों में 3 या 4 अंक है ं → सभी ग ुणनफलों में भी
m .
m as e
.co a g l
se m ऐसा क्य होता है: गुणन “एक दष्ट” होता है — कसी भी गुणनखंड को बड़ा करने पर गुणनफल भी बड़ा होता है।
g l a
a अत: गुणनखंड को उनके न्यूनतम और अ धकतम के बीच बाँधने पर गुणनफल भी दोन चरम गुणनफल के बीच
c
m .
s e
अपने आप बँध जाता है। दो स्थ तय क जाँच से सभी का नणय हो जाता है।
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 44 of 71

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संकेत: ग णत म यह बहुत उपयोगी आदत है — अन गनत उदाहरण जाँचने के स्थान पर चरम स्थ तयाँ ात क जए
और बीच के प रसर पर तक क जए।

प्र.5 क्या 3 अंक क संख्या को दूसरी 3 अंक क संख्या से गुणा करने पर 4 अंक क संख्या प्राप्त होगी?

नह । गुणनफल म सदै व 5 या 6 अंक ह गे।

न्यून तम िस्थित: 100 × 100 = 10,000 → 5 अंक

अिधकतम िस्थित: 999 × 999 = 9,98,001 → 6 अंक

सबसे छोटा संभ व गुणनफल 10,000 ही पहले से 5 अंक ों की संख्या है।

ऐसा क्य होता है: नयम के अनुसार 3 अंक क दो संख्याओं के लए m + n − 1 = 5 और m + n = 6 होता है।
4 अंक का उत्तर 10,000 से कम होना चा हए, परंतु 3 अंक क कोई भी जोड़ी गुणा करने पर 10,000 से कम नह
दे सकती।

प्र.6 क्या 4 अंक क संख्या को 2 अंक क संख्या के साथ गुणा करने पर 5 अंक क संख्या प्राप्त होगी?

हाँ।

न्यून तम िस्थित: 1000 × 10 = 10,000 → 5 अंक ✓

अिधकतम िस्थित: 9999 × 99 = 9,89,901 → 6 अंक

उदाहरण: 1234 × 12 = 14,808, 5 अंक ों की संख्या

ऐसा क्य होता है: यहाँ m = 4 और n = 2 है, अत: गुणनफल म m + n − 1 = 5 अंक या m + n = 6 अंक
ह गे। दोन संभव ह, और 5 अंक वाली स्थ त तब आती है जब दोन संख्याएँ अपने प रसर के नचले सरे के पास
ह।

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प्र.7 नीचे दए गए गुणन कथन को दे खए। क्या आप कोई पैटन दे खते ह? दे खए क क्या यह पैटन अन्य संख्याओं
पर भी लागू होता है?

1-अंक × 1-अंक = 1-अंक या 2-अंक

2-अंक × 1-अंक = 2-अंक या 3-अंक

2-अंक × 2-अंक = 3-अंक या 4-अंक

3-अंक × 3-अंक = 5-अंक या 6-अंक

5-अंक × 5-अंक = या

8-अंक × 3-अंक = या

12-अंक × 13-अंक = या

रक्त स्थान वही नयम मानते ह: उत्तर म (m + n − 1) या (m + n) अंक होते ह।

M-अंक × N-अंक = M+N−1 या M+N

1-अंक × 1-अंक = 1-अंक या 2-अंक

2-अंक × 1-अंक = 2-अंक या 3-अंक

2-अंक × 2-अंक = 3-अंक या 4-अंक

3-अंक × 3-अंक = 5-अंक या 6-अंक

5-अंक × 5-अंक = 9-अंक या 10-अंक

8-अंक × 3-अंक = 10-अंक या 11-अंक

12-अंक × 13-अंक = 24-अंक या 25-अंक

5-अंक × 5-अंक की जाँच :

10,000 × 10,000 = 10,00,00,000 → 9 अंक

99,999 × 99,999 = 9,99,98,00,001 → 10 अंक ✓

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ऐसा क्य होता है: एक व चत्र-सी छलाँग पर ध्यान द जए: 2-अंक × 2-अंक से 3 या 4 अंक मलते ह, परंतु 3-
अंक × 3-अंक से 5 या 6 — कभी 4 नह । कारण यह है क 3 अंक क संख्याओं के लए m + n − 1 = 5 होता
है, अत: 4 अंक का उत्तर संभव ही नह ।

बड़ी संख्याओं के बारे म आकषक तथ्य — पृष्ठ 16–18
1.5 गुणनफल म प्र तरूप

प्र.1 दं त कथाओं के अनुसार पुरंदरदास ारा र चत क तन क संख्या 1250 × 380 = ______________ है। इतने सारे
गीत रचने के लए वे कतने वष तक जी वत रहे? उन्ह ने कतने वष क आयु म गीत क रचना प्रारंभ क थी?
य द उन्ह ने 4,75,000 गीत क रचना क तो उन्ह ने प्र तवष कतने गीत क रचना क ?

छपी हुई संख्या है 4,75,000।

1250 × 380

= 1250 × 38 × 10

= 47,500 × 10
= 4,75,000

भारतीय पद्धित: चार लाख पचहत्तर हजार

अमेिरकी पद्धित: four hundred seventy five thousand

प्र तवष कतने गीत? पुरंदरदास लगभग 80 वष (1484–1564) जी वत रहे माने जाते ह।

यिद उन्होंने पूरे 80 वष रचना की:

4,75,000 ÷ 80 = लगभग 5,938 गीत पितवष

= पितिदन लगभग 16 गीत

यिद उन्होंने लगभग 30 वष की आयु में आरंभ िकया और 50 वष रचना की:

4,75,000 ÷ 50 = 9,500 गीत पितवष

= पितिदन लगभग 26 गीत

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ऐसा क्य होता है: दर नकालने से ही पता चलता है क यह कथा कतनी आश्चयजनक है — अस्सी वष तक
प्र त दन 16 पूरे गीत। इसी लए इ तहासकार 4,75,000 को पारंप रक आँकड़ा मानते ह, यथाथ गनती नह ; आज
उनके कुछ सौ क तन ही उपलब्ध ह।

क्या आप जानते ह? पंद्रहव शताब्द के संगीतकार और गायक पुरंदरदास को कनाटक संगीत का पतामह कहा
जाता है। उनके बनाए क्रमबद्ध पाठ आज भी कनाटक संगीत के व ाथ सबसे पहले सीखते ह।

प्र.2 पृथ्वी और सूय के बीच क दूरी लगभग 2,100 × 70,000 = _______________ कलोमीटर है।

छपी हुई संख्या है 14,70,00,000 कमी — लगभग 14 करोड़ 70 लाख कलोमीटर।

2100 × 70,000

= 21 × 7 × 100 × 10,000

= 147 × 10,00,000

= 14,70,00,000

भारतीय पद्धित: चौदह करोड़ सत्तर लाख

अमेिरकी पद्धित: एक सौ सैत
ं ालीस िमिलयन

ऐसा क्य होता है: पहले शून्य हटा द जए — 21 × 7 = 147 — फर हटाए गए 2 + 4 = 6 शून्य वापस लगा
द जए। यह लंबे गुणन से कह शीघ्र है।

क्या आप जानते ह? पुस्तक बताती है क सबसे अ धक दूरी लगभग 15 करोड़ 20 लाख कमी है। पृथ्वी क कक्षा
थोड़ी अंडाकार है, इस लए यह दूरी पूरे वष बदलती रहती है।

प्र.3 अमेजन नद ारा अटलां टक महासागर म प्र त सेकंड छोड़े जाने वाले जल क औसत मात्रा 6,400 × 62,500 =
_________________ लीटर है।

छपी हुई संख्या है 40,00,00,000 लीटर प्र त सेकंड — 40 करोड़ लीटर।

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as e
कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
6400 × 62,500
m l as
.co
= 64 × 625 × 100 × 100
m a g
l a se
g
= 40,000 × 10,000
a= 40,00,00,000

co m
e m . ag
भारतीय पद्धित: चालीस करोड़
g l as
अमेिरकी पद्धित: चार सौ िमिलयन a

co m
em.
m
10,000.c=o4 × 10,000 = 40,000। पुन: समूहीकरण से पूरा लंबा गुणन बच जाता l as
ऐसा क्य होता है: 64 × 625 पहचानने योग्य है: 625 = 10,000 ÷ 16, अत: 64 × 625 = 64 ÷ 16 ×
g
e m a है ।
s
agla
क्या आप जानते ह? इतना मीठा जल बहता है क खुले समुद्र म 160 कमी दूर तक पीने योग्य जल मल जाता है।
m a s
.co agl
एक सेकंड म अमेजन लगभग 160 ओलं पक तरणताल जतना जल छोड़ती है।

se m
g l a
a
वश्व म सबसे लंबी एकल रेल यात्रा क दूरी ( कलोमीटर म) 13,95,000 ÷ 150 = _________________ है।
m
प्र.4

. co
e m
c o m g l as
.

छपीmहुई संख्या है 9,300 कमी।
e a
la s
ag
13,95,000 ÷ 150
se m
com g l a
= 13,95,000 ÷ 15 ÷ 10
m . a
ase
agl
= 93,000 ÷ 10

= 9,300

co m
m .
m as e
.co
दोनों पद्धितयों में: नौ हजार तीन सौ
a g l
se m
g l a
a c
ऐसा क्य होता है: 150 को 15 × 10 म तोड़ने से भाग सरल हो जाता है — 1395 ÷ 15 = 93, अत:
m .
m a s e
agl
13,95,000 ÷ 15 = 93,000 और 10 से एक और भाग दे ने पर 9,300।
. co
e m
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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क्या आप जानते ह? यह ांस-साइबे रयन रेलमाग पर माॅस्को–व्ला दवोस्तोक क यात्रा है, जसम लगभग 7 दन
लगते ह। भारत का सबसे लंबा माग ड ुगढ़ (असम) से कन्याकुमारी (त मलनाडु ) है — 4,219 कमी, लगभग 76
घंटे म।

प्र.5 वयस्क नीली व्हेल का भार 10,50,00,000 ÷ 700 = _________________ कलो ाम से अ धक हो सकता है।

छपी हुई संख्या है 1,50,000 क ा — एक लाख पचास हजार कलो ाम अथात 150 टन।

10,50,00,000 ÷ 700

= 10,50,00,000 ÷ 7 ÷ 100

= 1,50,00,000 ÷ 100

= 1,50,000

भारतीय पद्धित: एक लाख पचास हजार

अमेिरकी पद्धित: एक सौ पचास हजार

ऐसा क्य होता है: पहले शून्य काट द जए। 10,50,00,000 ÷ 100 = 10,50,000 और 10,50,000 ÷ 7 =
1,50,000। दो सरल चरण म भाग करना एक लंबे भाग से बेहतर है।

क्या आप जानते ह? एक नवजात नीली व्हेल का भार ही लगभग 2,700 क ा होता है — एक वयस्क द रयाई
घोड़े के बराबर। उसका हृदय लगभग 700 क ा का होता है और वह प्र त दन 3,500 क ा तक क्रल खा सकती
है। सबसे बड़ा ात स्थलीय पशु अजट नोसॉरस भी केवल लगभग 90,000 क ा का आक लत है।

प्र.6 वष 2021 म उत्पन्न वै श्वक प्ला स्टक कचरे का भार 52,00,00,00,000 ÷ 130 = _________________ टन था।

छपी हुई संख्या है 40,00,00,000 टन — 40 करोड़ टन।

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52,00,00,00,000 ÷ 130

= 52,00,00,00,000 ÷ 13 ÷ 10

= 4,00,00,00,000 ÷ 10

= 40,00,00,000

भारतीय पद्धित: चालीस करोड़

अमेिरकी पद्धित: चार सौ िमिलयन

ऐसा क्य होता है: 52 ÷ 13 = 4 ठ क-ठ क आता है, अत: पूरा भाग केवल शून्य गनने तक समट जाता है — लंबे
भाग क आवश्यकता ही नह ।

बड़ी संख्या का तथ्य: 1 ाम स्वस्थ म म 10 करोड़ से 1 अरब तक बैक्ट रया और 1 लाख से 10 लाख तक
कवक हो सकते ह। ऐसे बड़ी संख्या वाले तथ्य अपनी कक्षा के साथ साझा क जए।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 18–19
1.6 क्या आपने कभी सोचा…?

प्र.1 “क्या मुंबई क पूरी जनसंख्या एक लाख बस म समा सकती है?” आपको क्या लगता है? हम इसका पता कैसे
लगा सकते ह?

नह , नह समा सकती। एक लाख बस म लगभग 50 लाख व्य क्त ही बैठ सकते ह, जब क मुंबई क जनसंख्या 1 करोड़ 24
लाख से अ धक है।

माना एक बस में 50 व्यिक्त बैठते है।
ं

1 लाख बसों में = 1,00,000 × 50

= 50,00,000 = 50 लाख व्यिक्त

मुंबई की जनसंख्या (2011) = 1,24,42,373

1,24,42,373 > 50,00,000

शेष रह जाएँगे = 1,24,42,373 − 50,00,000 = 74,42,373 व्यिक्त

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ऐसा क्य होता है: यहाँ व ध महत्वपूण है — एक तकसंगत कल्पना क जए (प्र त बस 50 सीट), गुणा क जए,
फर वास्त वक आँकड़े से तुलना क जए। पूरी मुंबई को समाने के लए 1,24,42,373 ÷ 50 ≈ 2,48,848 बस
चा हए, लगभग ढाई लाख।

प्र.2 आर.एम.एस. टाइटै नक जहाज पर लगभग 2,500 यात्री सवार थे। क्या मुंबई क जनसंख्या ऐसे 5,000 जहाज
म समा सकती है?

हाँ — परंतु बहुत थोड़े अंतर से।

क्षमता = 5000 × 2500

= 5 × 25 × 1000 × 100

= 125 × 1,00,000

= 1,25,00,000 व्यिक्त (1 करोड़ 25 लाख)

मुंबई की जनसंख्या = 1,24,42,373

1,24,42,373 < 1,25,00,000 ✓

शेष स्थान = 57,627 स्थान

ऐसा क्य होता है: अंतर बहुत कम है — जहाज म मुंबई क जनसंख्या से केवल लगभग 58,000 अ धक स्थान ह,
अथात आधे प्र तशत से भी कम। य द 2011 क जनगणना के स्थान पर आज क जनसंख्या ली जाए तो उत्तर
“नह ” भी हो सकता है।

प्र.3 रोक्सी को आश्चय हुआ, “य द म 100 कलोमीटर क यात्रा प्रत्येक दन करूँ तो क्या म चाँद तक 10 वष म पहुँच
सकती ँ?” (पृथ्वी और चाँद के बीच क दूरी 3,84,400 कलोमीटर है।) एक वष म वह कतनी दूरी क यात्रा कर
सकेगी? 10 वष म वह कतनी दूरी क यात्रा कर सकेगी?

नह — 10 वष के बाद भी वह लगभग 19,400 कमी दूर रह जाएगी।

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1 वष में दू री = 100 × 365

= 36,500 िकमी

10 वष ं में दू री = 36,500 × 10

= 3,65,000 िकमी

चाँद तक की दू री = 3,84,400 िकमी

शेष = 3,84,400 − 3,65,000 = 19,400 िकमी

ऐसा क्य होता है: गणना को चरण म करना — पहले प्र त वष, फर 10 वष के लए — संख्याओं को छोटा और
संभालने योग्य रखता है। इस व ध का उपयोग कसी भी बड़ी गणना म कया जा सकता है।

स्वयं जाँ चए: पूरी यात्रा म कतना समय लगेगा? 3,84,400 ÷ 36,500 ≈ 10.5 वष — अथात साढ़े दस वष से
थोड़ा अ धक।

प्र.4 य द आप प्र त दन 1,000 कलोमीटर क यात्रा करते ह तो पता लगाइए क क्या आप अपने जीवनकाल म सूय
तक पहुँच सकते ह? (आपने पृथ्वी और सूय के बीच क दूरी को पछले ‘पृष्ठ 16’ म दे खा था।)

नह । इस यात्रा म लगभग 403 वष लगगे — जीवनकाल से कह अ धक।

सूय तक की दू री = 14,70,00,000 िकमी (पृष्ठ 16 से)

1 वष में दू री = 1000 × 365 = 3,65,000 िकमी

आवश्यक वष = 14,70,00,000 ÷ 3,65,000

= 1,47,000 ÷ 365

≈ 402.7 वष

ऐसा क्य होता है: मनुष्य का जीवनकाल अ धक-से-अ धक लगभग 100 वष है, अत: आप केवल 100 ×
3,65,000 = 3,65,00,000 कमी ही तय कर पाएँगे — लगभग एक चौथाई माग। प्र त दन 1000 कमी चलते हुए
भी चार पूरे जीवनकाल चा हए।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
संकेत: भाग दे ने से पहले उभय नष्ठ शून्य काट द जए: 14,70,00,000 ÷ 3,65,000 बन जाता है 1,47,000 ÷

m as e
l
365, जो कह सरल है।

m .co a g
l a se
a g
प्र.5 आवश्यक तकसंगत कल्पना क जए और नीचे दए गए प्रश्न के उत्तर द जए — (a) य द कागज क एक शीट

co m
ag
(पत्रक) का भार 5 ाम हो तो क्या आप एक लाख कागज क शीट को एक साथ उठा सकते हो? (b) य द पूरे

m .
as e
वश्व म प्रत्येक मनट म 250 शशु जन्म लेते ह तो क्या एक दन म 10 लाख (1 म लयन) शशु जन्म ले सकते ह?

g l
(c) क्या आप 10 लाख सक्क को एक दन म गन सकते ह? मान ली जए क आप प्रत्येक सेकंड म 1 सक्का
गन सकते हो। a

co m
em.

m l as
.co g
तीन का उत्तर नह है।

em a
a s
a gl (a) भार = 1,00,000 × 5 गाम
= 5,00,000 गाम = 500 िकगा
om a s
एक व्यिक्त लगभग 40–50 िकगा ही उठा सकता .हैc, अत:
em
— 500 िकगा लगभग 8 वयस्कों के भार के agl
a s
नही ं

बराबर है।
agl

co m
m .
e
(b) एक िदन में िमनट = 60 × 24 = 1,440
m l as
.co
एक िदन में िशशु = 250 × 1,440 = 3,60,000
a g
a s e1mिमिलयन = 10,00,000
agl
m
3,60,000 < 10,00,000 → नही,ं यह एक िमिलयन का लगभग एक ितहाई ही है।
a se
. com a g l
m
gl ase
(c) एक िदन में सेकं ड = 60 × 60 × 24 = 86,400
a
अत: अिधक-से-अिधक 86,400 िसक्के पितिदन।

co m
.
86,400 < 10,00,000 → नही,ं यह एक िमिलयन का दसवाँ भाग भी नही ं।
em
m l as
.co a g
a s em ऐसा क्य होता है: भाग (c) म एक बहुत उपयोगी तथ्य छपा है — एक दन म केवल 86,400 सेकंड होते ह। प्र त

agl सेकंड एक वस्तु गनते हुए 10 लाख वस्तुएँ गनने म 10,00,000 ÷ 86,400 ≈ 11.6 दन लगगे, वह भी बना
.c
e m
सोए।

m a s
. co a gl
s m
eबनाइए। “क्या आपके व ालय के सभी व ाथ 1 कमी क सड़क पर कंधे से
a
l “क्या एक लाख एक-रुपये के सक्के आपके बस्ते म समा जाएँगे?”
प्रयास कर: इसी शैली के अपने प्रश्न
कंधा मलाकर खड़े हो सकते agह?”

co m
m .
m ase
.co


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पता लगाइए — पृष्ठ 19–21
1.6 क्या आपने कभी सोचा…?

प्रयास कर

प्र.1 10 अंक क संख्या बनाने के लए 0 से 9 तक सभी अंक को एक बार (पहला अंक 0 नह हो सकता) प्रयोग
करते हुए ल खए — (a) 5 का सबसे बड़ा गुणज (b) सबसे छोट सम संख्या

(a) 9876543210 (b) 1023456798

(a) 5 का गुणज होने के िलए अंत में 0 या 5 होना चािहए।

0 पर समाप्त करना बेहतर है — इससे 5 ऊँ चे स्थान के िलए मुक्त हो जाता है।

शेष अंक ों को घटते क्रम में रिखए: 9,8,7,6,5,4,3,2,1

सबसे बड़ ा = 9876543210

(b) सम संख्या का अंितम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 होना चािहए।

छोटी होने के िलए आरंभ 1,0,2,3,4,… होना चािहए।

अंत में 8 रखने से आरंभ सबसे छोटा रहता है: 102345679 | 8

सबसे छोटी = 1023456798

ऐसा क्य होता है: (b) म अंत म 0 क्य नह ? क्य क 0 आरंभ को छोटा बनाने के लए सबसे मूल्यवान अंक है
और उसका स्थान 1 के ठ क बाद है। 2, 4 या 6 पर समाप्त करने से कोई बड़ा अंक पहले के स्थान पर आ जाएगा।
8 पर समाप्त करने से शेष अंक 0,1,2,3,4,5,6,7,9 बचते ह जन्ह 102345679 के रूप म सबसे छोटा आरंभ
बनाया जा सकता है।

स्वयं जाँ चए: 1023456798 ÷ 2 = 511728399, अत: यह सम है ✓, और इसम 0 से 9 तक प्रत्येक अंक ठ क
एक बार है ✓।

प्र.2 संख्या 10,30,285 शब्द म दस लाख तीस हजार दो सौ पचासी है जसम 14 अक्षर ह। 7 अंक क ऐसी संख्या
का नाम ल खए जसम अक्षर क संख्या अ धकतम हो।

एक ऐसी संख्या है 48,48,748 — “अड़तालीस लाख अड़तालीस हजार सात सौ अड़तालीस” — जसम 22 अक्षर ह।

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अ-ड़ -ता-ली-स = 5 अक्षर

ला-ख = 2 → 7

अ-ड़ -ता-ली-स = 5 → 12
ह-जा-र = 3 → 15

सात = 1 → 16

सौ = 1 → 17

अ-ड़ -ता-ली-स = 5 → 22 अक्षर

ऐसा क्य होता है: 7 अंक क संख्या का नाम इस रूप म होता है — [2 अंक] लाख [2 अंक] हजार [1 अंक] सौ
[2 अंक]। दो अंक वाले नाम म सबसे लंबे 5 अक्षर के ह (अड़तालीस, इकतालीस, उनतालीस, पचहत्तर, अठहत्तर,
सतहत्तर, उनहत्तर)। एक अंक वाले सभी नाम (एक, दो, तीन … नौ) और ‘सौ’ 1-1 अक्षर के ह। अत: अ धकतम =
5 + 2 + 5 + 3 + 1 + 1 + 5 = 22 अक्षर।

संकेत: 78,78,778 (“अठहत्तर लाख अठहत्तर हजार सात सौ अठहत्तर”) से भी 22 अक्षर मलते ह। अक्षर गनने
का तरीका थोड़ा बदलने पर संख्या भी थोड़ी बदल सकती है — अपनी गनती स्पष्ट ल खए।

प्र.3 9 अंक क ऐसी संख्या ल खए जसम कन्ह दो अंक को परस्पर बदलने पर एक बड़ी संख्या प्राप्त हो। ऐसी
कतनी संख्याएँ ह?

वह संख्या है 123456789, और ऐसी ठ क एक ही संख्या है।

1 और 2 को बदिलए → 213456789 > 123456789 ✓

1 और 9 को बदिलए → 923456781 > 123456789 ✓
8 और 9 को बदिलए → 123456798 > 123456789 ✓

पत्येक अदला-बदली से संख्या बड़ ी हो जाती है।

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ऐसा क्य होता है: मान ली जए आप दो स्थान के अंक बदलते ह — पहले स्थान पर a और बाद के स्थान पर b।
संख्या तभी बढ़े गी जब b > a हो, अथात बड़ा अंक अ धक मूल्यवान स्थान पर आ जाए। प्रत्येक अदला-बदली से
संख्या बढ़े , इसके लए हर अंक अपने दाईं ओर के हर अंक से छोटा होना चा हए, अथात अंक कड़ाई से बढ़ते क्रम म
ह । साथ ही कोई दो अंक समान नह हो सकते, क्य क समान अंक क अदला-बदली से संख्या वही रहती है (बड़ी
नह होती)। 9 कड़ाई से बढ़ते अंक, जनम आरंभ म 0 नह हो सकता, केवल 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ही हो सकते ह
— अत: 123456789 एकमात्र उत्तर है।

पुस्तक क उत्तर-कुंजी पर टप्पणी: कुंजी म 987654312 दया है, परंतु उसके पहले दो अंक को बदलने पर
897654312 मलता है, जो छोट संख्या है। अत: वह उत्तर “ कन्ह दो अंक ” क शत पूरी नह करता। सही उत्तर
123456789 है।

प्र.4 संख्या 12345123451234512345 म से 10 अंक को इस प्रकार का टए क शेष संख्या संभवत: बड़ी से बड़ी
हो।

सबसे बड़ी शेष संख्या है 5534512345।

12345 12345 12345 12345 (20 अंक , 10 रखने है)ं

चरण 1: पहले अंक के िलए स्थान 1–11 दे िखए → सबसे बड़ ा 5 (स्थान 5)

चरण 2: दू सरे के िलए स्थान 6–12 → सबसे बड़ ा 5 (स्थान 10)

चरण 3: तीसरे के िलए स्थान 11–13 → सबसे बड़ ा 3 (स्थान 13)

चरण 4: अब के वल 7 अंक (स्थान 14–20) बचे है ं और 7 ही चािहए → सब रख लीिजए: 4512345

पिरणाम: 5 5 3 4512345 = 5534512345

ऐसा क्य होता है: सबसे बाईं ओर का अंक सबसे महत्वपूण है, अत: जतना बड़ा अंक ले सक ली जए — परंतु
इतना ध्यान र खए क आगे संख्या पूरी करने के लए पयाप्त अंक बचे रह। यही पूरी रणनी त है: प्रत्येक चरण म
उतनी ही दूर तक दे खए जतना सामथ्य हो, और उस खड़क का सबसे बड़ा अंक ले ली जए।

स्वयं जाँ चए: काटे गए अंक ग नए — 1,2,3,4 (4 अंक), फर 1,2,3,4 (4 और), फर 1,2 (2 और) = 10 ✓,
और 10 अंक शेष रह जाते ह ✓।

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प्र.5 शब्द ‘बारह’ और ‘तेरह’ म अक्षर (र और ह) समान ह। शब्द ‘तेरह’ और ‘चौदह’ म अक्षर (ह) समान है और शब्द
‘चौदह’ और ‘पंद्रह’ म अक्षर (द और ह) समान ह। ऐसी दो क्रमागत संख्याओं को ात करने के लए आपको
कहाँ तक गनना होगा जसम कोई भी अक्षर उभय नष्ठ न हो?

हद म आपको बल्कुल भी दूर नह गनना पड़ेगा — ‘एक’ और ‘दो’ म ही कोई अक्षर उभय नष्ठ नह है।

क्रमागत जोड़ा अक्षर उभय नष्ठ अक्षर

एक, दो ए, क | द, ◌ो कोई नही ं ✓

दो, तीन द, ◌ो | ती, न कोई नही ं ✓

बारह, तेर ह बा, र, ह | ते, र, ह र, ह

अठारह, उ ीस अ, ठा, र, ह | उ, न्नी, स कोई नही ं ✓

ऐसा क्य होता है: हद संख्या-नाम म एक जैसे अंत नह आते जैसे अं ेज़ी म आते ह। ‘एक’ म केवल ए और क
ह, ‘दो’ म केवल द है — इस लए पहली ही जोड़ी शत पूरी कर दे ती है। य द आप पुस्तक के उदाहरण (बारह से
आगे) से गनना आरंभ कर तो अठारह और उन्नीस पहली ऐसी जोड़ी है।

क्या आप जानते ह? यही प्रश्न अं ेज़ी म पूछा जाए तो उत्तर च काने वाला है — ऐसी कोई जोड़ी है ही नह । 100
से नीचे क सभी जो ड़य म कोई-न-कोई अक्षर समान है; 100 से 999 तक दोन नाम म ‘hundred’ आता है;
और 1000 से आगे दोन म ‘thousand’, ‘million’ या ‘billion’ आता है, जनम से हर शब्द म n और o ह।
अत: अं ेज़ी म आप कतना भी गन ल, ऐसी जोड़ी कभी नह मलेगी।

प्र.6 माना क आप सभी संख्याओं 1,2,3,4,...,9,10,11,... को लखते ह। आपके ारा लखा गया दसवाँ अंक 1 है
और ग्यारहवाँ अंक 0 है और यह संख्या 10 का भाग है। (a) 1000वाँ अंक क्या होगा? यह कस संख्या पर
आएगा? (b) कस संख्या म 10 लाखवाँ अंक आएगा? (c) आपने अंक 5 को 5000व बार कब लखा होगा?

(a) 1000वाँ अंक 3 है, जो संख्या 370 का पहला अंक है।

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as e
कक्षा 7 ग णत अध्याय 1 हमारे आस-पास क बड़ी संख्याएँ
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
1–9: 9 संख्याएँ × 1 अंक = 9 अंक (कु ल 9)
m l as
.co
10–99: 90 संख्याएँ × 2 अंक = 180 अंक (कु ल 189)
m a g
l a se
g
शेष आवश्यक अंक = 1000 − 189 = 811
a811 ÷ 3 = 270, शेषफल 1

co m
. ag
270 तीन अंक ों की संख्याएँ: 100 से 369 → 810 अंक (कु ल 999)
e m
अगला अंक , अथ त 1000वाँ, 370 का पहला अंक 3 है
g l as
a
m
(b) 10 लाखवाँ अंक संख्या 1,85,185 म आएगा।
co
e m.
m l as
.co a g
1–9: 9 अंक (कु ल 9)

a s em 180 अंक (कुल 189)
gl
10–99:
a 100–999: 2,700 अंक (कु ल 2,889)

m a s
.co agl
1000–9999: 36,000 अंक (कु ल 38,889)

se m
10,000–99,999: 4,50,000 अंक (कु ल 4,88,889)
g l a
a
शेष आवश्यक अंक = 10,00,000 − 4,88,889 = 5,11,111

com
5,11,111 ÷ 6 = 85,185, शेषफल 1
.
m a s em
gl
85,185 छह अंक ों की संख्याएँ: 1,00,000 से 1,85,184 → 5,11,110 अंक (कु ल 9,99,999)
. coअंक, अथ त 10 लाखवाँ, 1,85,185 a
a sem
अगला है का पहला अंक

agl
se m
(c) अंक ‘5’ आप 13,495 संख्या पर 5000व बार लखगे — यह 13,495 का इकाई अंक है।

com g l a
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ase
1 से 13,494 तक िलखे गए 5 की िगनती = 4,999
13,495 में एक 5 है (इकाई के स्थान पर) agl
4,999 + 1 = 5,000 ✓
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g े नह , ब ल्क खंड म ग नए (1
.cऐसा क्य होता है: तीन भाग क यु क्त एक ही है — अंक को एक-एकaकरक
se m अंक क संख्याएँ, 2 अंक क , 3 अंक क …), फर भाग दे कर दे खए क आप अगले खंड म कतनी दूर पहुँचे।
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शेषफल बताता है क आप कस संख्या के कस अंक पर ह।
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