NCERT Solutions Class 7 Maths Chapter 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

कक्षा 7

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 4: अक्षर-संख्याओं के उपयोगी
ज
ं क

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

81 – 105 15 106 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 69 pages

कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 7 · ग णत · ग णत प्रकाश

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 4: अक्षर-संख्याओं के उपयोगी
व्यंजक
ग णत प्रकाश भाग I का अध्याय 4 हम अक्षर-संख्याओं से प र चत कराता है — a, n या w जैसे अक्षर जो संख्याओं को दशाते ह। इनक सहायता से
हम छोटे -से बीजग णतीय व्यंजक एवं सूत्र लखते ह जो पूरे पैटन को एक ही पं क्त म व्यक्त कर दे ते ह, और फर उन्ह सरल करना सीखते ह।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत प्रकाश (कक्षा 7) 81 – 105

खं ड प्रश्न

15 106

माध्यम

हन्द

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 81
खंड 4.1 अक्षर-संख्याओं क धारणा

प्र.1 उदाहरण 1 — शबनम, आफताब से 3 वष बड़ी है। जब आफताब क आयु 10 वष थी तब शबनम क आयु 13
वष रही होगी। अब आफताब क आयु 18 वष है तो अब शबनम क आयु कतनी होगी? _________

शबनम सदै व 3 वष बड़ी है, अतः आफताब क आयु म 3 जो ड़ए।

शबनम की आयु = आफताब की आयु + 3

= 18 + 3

= 21 वष

ऐसा क्य होता है: दो व्य क्तय क आयु का अंतर कभी नह बदलता। जब आफताब 10 वष का था तब शबनम
13 वष क थी — अंतर 3 वष। यही अंतर सदै व बना रहता है, अतः आफताब क कसी भी आयु म 3 जोड़ा जा
सकता है।

प्र.2 आफताब क आयु द गई है तो आप शबनम क आयु कैसे ात करगे?

आफताब क आयु म 3 जो ड़ए।

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शबनम की आयु = आफताब की आयु + 3

आफताब क आयु शबनम क आयु

4 4+3=7

10 10 + 3 = 13

23 23 + 3 = 26

संकेत: पहले नयम को सामान्य भाषा म ल खए। वही शब्द बता दे ते ह क प्रतीक म क्या लखना है।

प्र.3 क्या हम इसे एक व्यंजक के रूप म लख सकते ह?

हाँ। आफताब क आयु को एक छोटा-सा नाम द जए और नयम एक पं क्त का हो जाएगा।

मान लीिजए a = आफताब की आयु, s = शबनम की आयु

शबनम की आयु = आफताब की आयु + 3

s=a+3

ऐसा क्य होता है: ‘आफताब क आयु’ बार-बार लखना लंबा है। एक अकेला अक्षर a उस संख्या को दशा दे ता है,
वह चाहे कुछ भी हो। इस प्रकार उपयोग कए गए अक्षर अक्षर-संख्याएँ कहलाते ह और a + 3 जैसा व्यंजक
बीजग णतीय व्यंजक कहलाता है।

प्र.4 य द a का मान 23 है (वष म आफताब क आयु) तो शबनम क आयु कतनी है?

व्यंजक a + 3 म a को 23 से प्र त ा पत क जए।

s=a+3

= 23 + 3

= 26 वष

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स्वयं जाँ चए: a = 40 र खए। तब s = 43 — और 43 – 40 = 3, वही अंतर। सूत्र कभी नह टू टता।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 82
खंड 4.1 अक्षर-संख्याओं क धारणा

प्र.1 शबनम क आयु द गई है तो आफताब क आयु ात करने के लए एक व्यंजक ल खए।

आफताब 3 वष छोटा है, अतः 3 घटाइए।

आफताब की आयु = शबनम की आयु – 3

a=s–3

ऐसा क्य होता है: s = a + 3 और a = s – 3 एक ही बात को दो सर से कहते ह। 3 जोड़ना एवं 3 घटाना एक-
दूसरे को नरस्त कर दे ते ह।

प्र.2 य द शबनम क आयु 20 वष हो तो इस व्यंजक का उपयोग करके आफताब क आयु ात क जए।

s के ान पर 20 र खए।

a=s–3

= 20 – 3

= 17 वष

स्वयं जाँ चए: अब वापस च लए — s = a + 3 = 17 + 3 = 20। मान मल गया।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
उदाहरण 2 — पा थव मा चस क ती लय से प्र तरूप बना रहा है। वह समान L को एक के आगे एक लगा रहा है।
emL बनाने के लए
प्र.3

m a s
coचस क ती लय क आवश्यकता है? अब L क संख्या एवं ती लय क aसंgख्lया के बीच क्या संबंध है?
प्रत्येक L म मा चस क दो ती लयाँ ह, जैसा क चत्र 4.2 म दखाया गया है। 5 L, 7 L एवं 45
कतनी.मा

a s em
ag l

co m
e m . ag
g l as
a

co m
em.
m l as
.co
चत्र 4.2, पृष्ठ 82 — मा चस क ती लय से बने एक L, दो L एवं तीन L।

a g
se m
g l a
a उत्तर
m a s
.co agl
प्रत्येक L म ठ क 2 ती लयाँ लगती ह, अतः ती लय क संख्या सदै व L क संख्या क दुगुनी होती है।

se m
g l a
5 L → 5 × 2 = 10 तीिलयाँ a
m
7 L → 7 × 2 = 14 तीिलयाँ
. co
45 L → 45 × 2 = 90 तीिलयाँ
e m
m l as
m .co a g
l a se
शब्द म — मा चस क ती लय क संख्या = 2 × L क संख्या। L क संख्या को n लेने पर व्यंजक होगा —

ag
se m
com a
2×n

. a g l
m
gl ase
a
ऐसा क्य होता है: कोई भी दो L आपस म तीली साझा नह करते — हर L अलग है। अतः कुल ती लयाँ 2 को n
बार गनने से मलती ह, अथात 2 × n।

co m
m .
as e
om — पृष्ठ 83
पाठ्य.cप्रश्न a g l
a s em
agl
.c
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


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खंड 4.1 अक्षर-संख्याओं क धारणा

प्र.1 उदाहरण 3 — केतक ना रयल व गुड़ के लड्डू बनाकर उनक आपू त करती है। एक ना रयल का मूल्य ₹35 है एवं
1 कलो ाम गुड़ का मूल्य ₹60 है। य द वह 10 ना रयल एवं 5 कलो ाम गुड़ खरीदती है तो उसे कतने रुपये
चुकाने चा हए?

दोन मूल्य अलग-अलग ात क जए एवं जोड़ द जए।

10 नािरयलों का मूल्य = 10 × ₹35 = ₹350

5 िकलोगाम गुड़ का मूल्य = 5 × ₹60 = ₹300

कु ल मूल्य = ₹350 + ₹300 = ₹650

प्र.2 य द वह 8 ना रयल एवं 9 कलो ाम गुड़ खरीदती है तो उसे कतने रुपये चुकाने ह गे?

वही दो चरण, नई संख्याएँ।

8 नािरयलों का मूल्य = 8 × ₹35 = ₹280

9 िकलोगाम गुड़ का मूल्य = 9 × ₹60 = ₹540

कु ल = ₹280 + ₹540 = ₹820

संकेत: 8 × 35 को इस प्रकार सरल क जए — 8 × 30 + 8 × 5 = 240 + 40 = 280।

प्र.3 द गई ना रयल क संख्या एवं गुड़ क मात्रा के लए चुकाए जाने वाले कुल रुपय को ात करने के लए
बीजग णतीय व्यंजक ल खए।

मान ली जए c ना रयल क संख्या है एवं j गुड़ के कलो ाम क संख्या।

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आवश्यक मात्रा संबंध व्यंजक

ना रयल का मूल्य ना रयल क संख्या × 35 c × 35

गुड़ का मूल्य गुड़ के कलो ाम क संख्या × 60 j × 60

कु ल रािश = नािरयलों का मूल्य + गुड़ का मूल्य

c × 35 + j × 60

ऐसा क्य होता है: दर 35 एवं 60 कभी नह बदलत ; केवल मात्राएँ c एवं j बदलती ह। सूत्र ठ क इसी काम के लए
बनाया जाता है।

प्र.4 7 ना रयल एवं 4 कलो ाम गुड़ के लए भुगतान क जाने वाली कुल रा श को ात करने के लए इस व्यंजक का
उपयोग क जए।

c = 7 एवं j = 4 र खए।

c × 35 + j × 60

= 7 × 35 + 4 × 60

= 245 + 240

= ₹485

प्र.5 उदाहरण 4 — कसी वग का प रमाप इसक भुजा क लंबाई का 4 गुना होता है, जसे व्यंजक 4 × q से लखा
जाता है। 7 से.मी. भुजा वाले वग का प रमाप क्या है? इसे ात करने के लए व्यंजक का उपयोग क जए।

4 × q म q = 7 र खए।

पिरमाप = 4 × q

=4×7

= 28 से.मी.

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ऐसा क्य होता है: वग क चार भुजाएँ समान होती ह, अतः उसक सीमा वही लंबाई 4 बार जोड़ने से बनती है —
q + q + q + q = 4 × q।

पता लगाइए — पृष्ठ 84–85
खंड 4.1 अक्षर-संख्याओं क धारणा

प्र.1 प रमाप के लए सूत्र ल खए — (a) समान भुजाओं वाला त्रभुज (b) एक सम पंचभुज (जैसा क हम गत वष
सीख चुके ह क हम ‘सम’ शब्द का उपयोग यह बताने के लए करते ह क सभी भुजाओं क लम्बाई और कोण
के माप समान ह)। (c) एक सम षट् भुज

प्रत्येक त म प रमाप, भुजा क लंबाई को भुजाओं क संख्या जतनी बार जोड़ने से मलता है। मान ली जए भुजा क लंबाई a
इकाई है।

आकार समान भुजाओं क संख्या प रमाप का सूत्र

समबाहु त्रभुज 3 3a

सम पंचभुज 5 5a

सम षट् भुज 6 6a

(a) पिरमाप = a + a + a = 3a इकाई

(b) पिरमाप = a + a + a + a + a = 5a इकाई

(c) पिरमाप = 6a इकाई

ऐसा क्य होता है: सम बहुभुज म हर भुजा समान लंबाई क होती है। एक ही संख्या को बार-बार जोड़ना ही गुणा
है, अतः k समान भुजाओं वाले बहुभुज का प रमाप ka होगा।

प्र.2 मु नरत्न के पास 20 मी. लंबा पाइप है। यद्य प उसे उसके बगीचे के लए एक अ धक लंबे पानी के पाइप क
आवश्यकता है। वह इसम कुछ और लंबाई का एक अन्य पाइप जोड़ता है। पाइप क कुल लंबाई के लए व्यंजक
द जए। अन्य पाइप क लंबाई को मीटर म दशाने के लए अक्षर-संख्या ‘k’ का उपयोग क जए।

दो पाइप को सरे से सरा जोड़ने पर लंबाइयाँ जुड़ जाती ह।

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कु ल लंबाई = 20 + k

= (20 + k) मीटर

स्वयं जाँ चए: य द दूसरा पाइप 15 मी. का हो तो k = 15 एवं कुल 20 + 15 = 35 मी.। य द 8 मी. का हो तो कुल
28 मी. — एक ही व्यंजक हर त सँभाल लेता है।

प्र.3 य द कृ तका के पास ₹100, ₹20 एवं ₹5 के नम्न ल खत संख्या म नोट ह तो बताइए उसके पास कुल कतने
रुपये ह? द गई सारणी पूण क जए —

₹100 के नोट क ₹20 के नोट क ₹5 के सक्क क व्यंजक और कुल रा श
संख्या संख्या संख्या

3 5 6

6 × 100 + 4 × 20 + 3 × 5 =
695

8 4 z

x y z

प्रत्येक पं क्त म वही नयम लगता है — (₹100 के नोट क संख्या × 100) + (₹20 के नोट क संख्या × 20) + (₹5 के सक्क
क संख्या × 5)।

₹100 के नोट क ₹20 के नोट क ₹5 के सक्क क व्यंजक और कुल रा श
संख्या संख्या संख्या

3 5 6 3 × 100 + 5 × 20 + 6 × 5 = 430

6 4 3 6 × 100 + 4 × 20 + 3 × 5 = 695

8 4 z 8 × 100 + 4 × 20 + z × 5 = 880 + 5z

x y z x × 100 + y × 20 + z × 5 = 100x + 20y
+ 5z

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
पंि त 1: 300 + 100 + 30 = ₹430
m as e
.co
पंि त 2: 600 + 80 + 15 = ₹695
a g l
se m
l a
पंि त 3: 800 + 80 + 5z = ₹(880 + 5z)
g
aपंि त 4: ₹(100x + 20y + 5z)

com
m . ag
l a se
ऐसा क्य होता है: अं तम पं क्त ही सामान्य सूत्र है। उसम x = 8, y = 4 र खए तो 800 + 80 + 5z मलता है —
agउसी व्यंजक क वशेष
ठ क तीसरी पं क्त। ऊपर क सभी पं क्तयाँ तयाँ ह।

co m
se m.
o m l a
g हुए क प्रारंभ म मशीन बंद
.c के प्रत्येक कलो ाम को आटे के रूप म पीसने म 8 सेकंड लगते ह। यहaमानते
प्र.4 वकटलक्ष्मी क एक आटा चक्क है। रोलर मल को शुरू होने म 10 सेकंड लगते ह। एक बार शुरू हो जाने पर

se m
अनाज
a
agl
थी, नीचे दए गए व्यंजक म से कौन-सा व्यंजक y कलो ाम अनाज को पूणतया पीसने म लगने वाले समय को
दशाता है? (a) 10 + 8 + y (b) (10 + 8) × y (c) 10 × 8 × y (d) 10 + 8 × y (e) 10 × y + 8

m a s
m.co agl
se

g l a
a
सही उत्तर (d) 10 + 8 × y है।

co m
.
चालू होने का समय = 10 सेकं ड (के वल एक बार)

e m
m l as
.co
पीसने का समय = पत्येक िक.गा. के िलए 8 सेकं ड = 8 × y
a g
a s em कु ल = 10 + 8y सेकं ड

ag l
se m
comाम पर दोहराए जाते ह, इस लए उसे y से गुणा कया जाता है। l a
ऐसा क्य होता है: चालू होने के 10 सेकंड केवल एक बार लगते ह, अनाज कतना भी हो — इस लए इसे जोड़ा
जाता है, गुणा नह कया जाता। 8 सेकंड हर .कलो
a g
a s em
a gl
स्वयं जाँ चए: y = 5 क. ा. के लए समय = 10 + 40 = 50 से.। वकल्प (b) से 90 से. और (c) से 400 से.
आता — दोन बहुत अ धक।
co m
m .
m as e
.co a g l
a s emप्र.5
gl
अपनी पसंद के अक्षर का उपयोग करके बीजग णतीय व्यंजक ल खए। (a) एक संख्या से 5 अ धक (b) एक
a c
.
संख्या से 4 कम (c) एक संख्या के 13 गुना से 2 कम (d) एक संख्या के 2 गुना से 13 कम

s e m
m a

e m . co agl
मान ली जए संख्या n है।
g l as
a

com
m .
m ase
.co


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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

शब्द म व्यंजक

(a) एक संख्या से 5 अ धक n+5

(b) एक संख्या से 4 कम n–4

(c) एक संख्या के 13 गुना से 2 कम 13n – 2

(d) एक संख्या के 2 गुना से 13 कम 2n – 13

ऐसा क्य होता है: (c) एवं (d) म वही दो संख्याएँ ह, कतु उनक भू मकाएँ उलट ह। n = 10 के लए 13n – 2 =
128 है जब क 2n – 13 = 7। वाक्य को ध्यान से प ढ़ए — ‘गुना’ बताता है कससे गुणा करना है, ‘कम’ बताता है
अंत म क्या घटाना है।

प्र.6 नम्न ल खत बीजग णतीय व्यंजक क संगत तय का वणन क जए — (a) 8 × x + 3 × y (b) 15 × j – 2
×k

(a) 8 × x + 3 × y
एक दुकान पर एक पेन ₹x का एवं एक कॉपी ₹y क है। आभा 8 पेन एवं 3 कॉ पयाँ खरीदती है। उसका कुल बल 8x + 3y रुपये
होगा।
(b) 15 × j – 2 × k
एक बढ़ई प्र त दन 15 स्टू ल बनाता है और j दन काम करता है, अतः वह 15j स्टू ल बनाता है। उनम से k दन म 2-2 स्टू ल टू ट जाते
ह। शेष अ े स्टू ल 15j – 2k ह गे।

प्रयास कर: एक ही व्यंजक पर कई कहा नयाँ बनती ह। 8x + 3y के लए क्रकेट क एक कहानी ल खए — मान
ली जए हर चौके पर x रन एवं हर छक्के पर y रन।

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प्र.7 य द कसी कैलडर के महीने म चत्र म दशाए अनुसार दनांक से भरी कोई 2 × 3 जाल चुनी जाती है तो खाली
बक्स म दनांक के लए व्यंजक ल खए य द नीचे क पं क्त म मध्य कक्ष म दनांक ‘w’ हो।

नवंबर 2024
सोम मंग ल बुध गुरु शुक्र शिन रिव
1 2

3 4 5 6 7 8 9 w–1 w
10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30

नवंबर 2024 का कैलडर, जसम दनांक क एक 2 × 3 जाल च ह्नत है (बाएँ)। वही जाल जसे भरना है (दाएँ) —
नीचे के मध्य कक्ष म w है।

कैलडर म एक कदम दाईं ओर जाने पर 1 जुड़ता है एवं एक कदम ऊपर जाने पर 7 घटता है। नीचे क पं क्त के मध्य कक्ष w से
आरंभ क जए —

w–8 w–7 w–6

w–1 w w+1

w के बाईं ओर = w – 1, दाईं ओर = w + 1

ठीक w के ऊपर = w – 7

ऊपर-बाएँ = w – 7 – 1 = w – 8

ऊपर-दाएँ = w – 7 + 1 = w – 6

ऐसा क्य होता है: कैलडर क एक पं क्त म 7 दन होते ह, अतः कसी भी दनांक के ठ क ऊपर वाला कक्ष उससे
7 कम होता है।

स्वयं जाँ चए: चत्र म च ह्नत जाल 12, 13, 14 के नीचे 19, 20, 21 है। यहाँ w = 20, अतः w – 1 = 19, w +
1 = 21, w – 7 = 13, w – 8 = 12 एवं w – 6 = 14। सभी मान मलते ह।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 85–86

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खंड 4.2 अंकग णतीय व्यंजक का पुनरावलोकन

प्र.1 आइए, इन अवधारणाओं को दोहराते ह और नम्न ल खत व्यंजक के मान ात करते ह — 1. 23 – 10 × 2 2.
83 + 28 – 13 + 32 3. 34 – 14 + 20 4. 42 + 15 – (8 – 7) 5. 68 – (18 + 13) 6. 7 × 4 + 9 × 6 7. 20 + 8
× (16 – 6)

प्रत्येक व्यंजक को पद के योग के रूप म ल खए, हर पद को संख्या म बद लए, फर जो ड़ए।

1. 23 – 10 × 2 = 23 + (–10 × 2) = 23 + (–20) = 3

2. 83 + 28 – 13 + 32 = (83 – 13) + (28 + 32) = 70 + 60 = 130

3. 34 – 14 + 20 = (34 – 14) + 20 = 20 + 20 = 40

4. 42 + 15 – (8 – 7) = 57 – 1 = 56

5. 68 – (18 + 13) = 68 – 31 = 37

6. 7 × 4 + 9 × 6 = 28 + 54 = 82

7. 20 + 8 × (16 – 6) = 20 + 8 × 10 = 20 + 80 = 100

ऐसा क्य होता है: (2) म हमने अदला-बदली एवं समूहीकरण का उपयोग कया — 83 के साथ –13 और 28 के
साथ 32। (5) म पुस्तक क दोन व धयाँ एक ही उत्तर दे ती ह — 68 – 31 = 37 तथा 68 – 18 – 13 = 50 – 13
= 37। कोष्ठक के बाहर का ऋण चह्न अंदर के हर पद का चह्न बदल दे ता है।

संकेत: जस पद म × हो, उसे जोड़ने से पहले एक संख्या म बदलना आवश्यक है। इसी लए 23 – 10 × 2 का मान
3 है, 26 नह ।

प्र.2 इस ेणी का nवाँ पद ात करने के लए बीजग णतीय व्यंजक ात क जए — 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...

ये बढ़ते क्रम म 4 के गुणज ह, अतः n ान पर पद 4 का n गुना होगा।

तीसरा पद = 4 × 3 = 12
29वाँ पद = 4 × 29 = 116

nवाँ पद = 4 × n = 4n

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ऐसा क्य होता है: पहला पद 4 × 1 है, दूसरा 4 × 2, तीसरा 4 × 3 … ान संख्या ही सदै व गुणक होती है, अतः
ान n पर 4 × n आता है। मानक अभ्यास म × हटाकर 4n लखते ह — पहले संख्या, फर अक्षर।

प्र.3 य द k = 4 हो तो व्यंजक 7k का मान ात क जए। जब m = 2 हो तो व्यंजक 5m + 3 के मान को ात
क जए।

याद र खए 7k का अथ 7 × k है एवं 5m का अथ 5 × m।

k = 4 पर 7k → 7 × 4 = 28

m = 2 पर 5m + 3 → 5 × 2 + 3 = 10 + 3 = 13

संकेत: 5m + 3 का अथ 5 × (m + 3) नह है। पहले गुणा, फर जोड़ — 5m एक पद है और 3 दूसरा।

त्रु टयाँ ढूँ ढ़ए, त्रु टयाँ सुधा रए — पृष्ठ 87
खंड 4.3 बीजग णतीय व्यंजक म गुणा का चह्न हटाना

प्रयास कर

प्र.1 य द a = – 4, तब 10 – a = 6।

त्रु ट है। a का ऋण चह्न छोड़ दया गया।

10 – a = 10 – (–4)

= 10 + 4

= 14

ऐसा क्य होता है: कसी ऋणात्मक संख्या को घटाना उसके वपरीत को जोड़ने के समान है। हल करने वाले ने
केवल 10 – 4 लख दया।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
य द d = 6, तब 3d = 36।
e
प्र.2

m l as
.co a g
a s em
त्रु टgहैl। 3d का अथ 3 × d है, d × d नह ।
a

co m
. ag
3d = 3 × 6 = 18
e m
g l as
a
ऐसा क्य होता है: 36 तो 6 × 6 से आता है। अक्षर-संख्या के आगे लखी संख्या गुणक होती है, और यहाँ वह 3 है।

co m
em.
m
य .दcso= 7, तब 3s – 2 = 15। g l as
em a
s
प्र.3

a
agl उत्तर

m a s
.co agl
त्रु ट है। गुणा से पहले 2 घटा दया गया।

se m
g l a
3s – 2 = 3 × 7 – 2
a
= 21 – 2
co m
m .
e
= 19
m l as
.co a g
m क्य होता है: 15 = 3 × (7 – 2) है। कतु 3s – 2 म दो पद ह — 3s एवं –2। पद 3s के अंदर क गुणा पहले
a s eऐसा
agl करनी होगी।

se m
com g l a
m . a
ase
agl
प्र.4 य द r = 8, तब 2r + 1 = 29।

co m
.

em
m l as
त्रु ट है। 2 एवं 8 को साथ-साथ लखकर 28 बना लया गया।

m .co a g
l a se
ag 2r + 1 = 2 × 8 + 1
.c
= 16 + 1
s e m
m a
= 17
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 14 of 69

कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: 2r एक गुणनफल है, दो अंक क संख्या नह । r के ान पर 8 रखने से 2 × 8 बनता है, कभी
‘28’ नह ।

प्र.5 य द j = 5, तब 2j = 10।

कोई त्रु ट नह । यह सही है।

2j = 2 × 5 = 10

प्र.6 य द m = –6, तब 3(m + 1) = 19।

त्रु ट है। कोष्ठक म ऋणात्मक मान नह रखा गया।

3 (m + 1) = 3 × (–6 + 1)

= 3 × (–5)

= –15

ऐसा क्य होता है: –6 + 1 = –5 होता है, 6 + 1 नह । कोष्ठक के अंदर काम करने से पहले चह्न स हत पूरा मान
र खए।

प्र.7 य द f = 3, g = 1 तब 2f – 2g = 2।

त्रु ट है। गुणा से पहले घटाव कर दया गया।

2f – 2g = 2 × 3 – 2 × 1
=6–2

=4

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: 2 का मान 2 × (3 – 1) से आता है। यहाँ 2f एवं 2g अलग-अलग पद ह; हर पद को पहले
संख्या बनाना होगा।

प्र.8 य द t = 4, b = 3 तब 2t + b = 24।

त्रु ट है। + को × क तरह पढ़ लया गया।

2t + b = 2 × 4 + 3
=8+3

= 11

ऐसा क्य होता है: 24 = 2 × 4 × 3 है। इस व्यंजक म दो पद ह — 2t एवं b — जो जोड़ से जुड़े ह।

प्र.9 य द h = 5, n = 6 तब h – (3 – n) = 4।

त्रु ट है। कोष्ठक ठ क से नह खोला गया।

h – (3 – n) = 5 – (3 – 6)

= 5 – (–3)

=5+3

=8

ऐसा क्य होता है: 3 – 6 = –3 है, और –3 को घटाना 3 जोड़ने के समान है। कोष्ठक पहले खोलने पर भी वही
आता है — h – 3 + n = 5 – 3 + 6 = 8।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 88–90

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

खंड 4.4 बीजग णतीय व्यंजक का सरलीकरण

ग णत चचा

प्र.1 उदाहरण 5 — प्रत्येक प सल क क मत c है एवं प्रत्येक रबर क क मत d है। पहले दन प सल बेचकर अ जत
कए गए रुपये 5c ह। इसी प्रकार दूसरे दन प सल बेचकर अ जत कए गए रुपये _____ ह एवं तीसरे दन _______
ह।

उस दन बक प सल क संख्या को प्र त प सल क मत से गुणा क जए।

दू सरा िदन: 3 पेंिसल → 3c

तीसरा िदन: 10 पेंिसल → 10c

पहला दन दूसरा दन तीसरा दन

प सल (मूल्य c) 5 3 10

प सल से अ जत रुपये 5c 3c 10c

प्र.2 य द c = ₹50 हो तो प सल क बक्र से अ जत क गई कुल रा श ात क जए।

प सल से कुल रा श 5c + 3c + 10c है, जो सरल होकर 18c बन जाती है।

5c + 3c + 10c = (5 + 3 + 10) × c = 18c

18c = 18 × ₹50

= ₹900

ऐसा क्य होता है: c के 5 गुने, 3 गुने एवं 10 गुने को जोड़ने पर c के 18 गुने मलते ह। यही वतरण गुण है।

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प्र.3 रबर क बक्र से अ जत कए गए कुल रुपय के लए व्यंजक ल खए फर व्यंजक को हल क जए।

रबर बके — पहले दन 4, दूसरे दन 6 एवं तीसरे दन 1, प्रत्येक क क मत d।

रबर से कु ल रािश = 4d + 6d + 1d

= (4 + 6 + 1) × d

= 11d

संकेत: 1d को केवल d लखा जाता है। अतः तीन दन क कुल कमाई 18c + 11d है।

प्र.4 क्या व्यंजक 18c + 11d को आगे हल कया जा सकता है?

नह । यह पहले से ही अपने सरलतम रूप म है।

ऐसा क्य होता है: 18c एवं 11d म भन्न अक्षर-संख्याएँ ह — ये वजातीय पद ह। c प सल का मूल्य है और d
रबर का; ‘प्र त प सल रुपये’ एवं ‘प्र त रबर रुपये’ को एक ही पद म नह मलाया जा सकता।

क्या आप जानते ह? (5c, 3c, 10c) जैसे समूह सजातीय पद कहलाते ह और सदै व एक पद म मलाए जा सकते
ह। {18c, 11d} जैसे समूह वजातीय पद ह और नह मलाए जा सकते।

प्र.5 जाँ चए क य द c को व भन्न संख्याओं से प्र त ा पत कया जाए तो क्या दोन व्यंजक (5c + 3c + 10c एवं
18c) के मान समान प्राप्त ह गे?

c के तीन भन्न मान लेकर दे खए।

C 5C + 3C + 10C 18C

2 10 + 6 + 20 = 36 36

5 25 + 15 + 50 = 90 90

50 250 + 150 + 500 = 900 900

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
ऐसा क्य होता है: सरलीकरण म केवल वही नयम लगते ह जो संख्याओं पर लागू होते ह। अतः दोन रूप के मान

m
c के हर मान के लए समान ह गे — ‘समान व्यंजक’ का यही अथ है।
as e
.co a g l
se m
g l a
a पूव क तरह एक बड़े आयत को नीचे दशाए अनुसार दो छोटे आयत म बाँटा गया है। आयत AEFD का क्षेत्रफल
प्र.6

co m
ag
ात करने के लए व्यंजक ल खए।

m .
as e
a g l
4
D F
co mC
e m.
m l as
m .co a g
l a se
g
n
a
m a s
em12
.co agl
a s
gl
A E B
a
आयत ABCD, पृष्ठ 90 — लंबाई AB = 12, चौड़ाई AD = n। बदु कत रेखा FE इसे AEFD एवं EBCF म बाँटती है;

co m
.
FC = 4।

e m
m l as
.co a g
a s em
gl

a AEFD वह भाग है जो ABCD म से प EBCF हटाने पर बचता है।

se m
com g l a
m . a
ase
िविध 1 — अपनी ही भुजाओं से:
AE = 12 – 4 = 8, AD = n agl
m
AEFD का क्षेत्रफल = 8 × n = 8n
. co
em
m l as
m .co
िविध 2 — घटाकर:
a g
l a se
ag ABCD का क्षेत्रफल = 12n, EBCF का क्षेत्रफल = 4n

.c
AEFD का क्षेत्रफल = 12n – 4n = 8n
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 19 of 69

कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

D F C

n

A E B
12 4
12 एवं n भुजाओं वाला आयत ABCD, EF पर वभा जत। छायां कत प EBCF का क्षेत्रफल 4n है।

ऐसा क्य होता है: दोन व धय का उत्तर एक ही आना चा हए, और आता भी है — 12n – 4n = (12 – 4)n =
8n। यह वतरण गुण का क्षेत्रफल-रूप है।

प्र.7 उदाहरण 7 — एक दुकान कुस (₹40) एवं मेज (₹75) कराए पर दे ती है; लौटाने पर कुस के ₹6 एवं मेज के
₹10 वापस करती है। x कु सय एवं y मेज के लए इन रा शय को प्राप्त करने क व ध का वणन क जए।

प्रारंभ म भुगतान क गई रा श: हर दर को उसक संख्या से गुणा करके जो ड़ए।

कु िसयाँ: x × ₹40 = 40x
मेज: y × ₹75 = 75y

पारंभ में भुगतान = 40x + 75y

वापस मलने वाली रा श: वही व ध, वापसी दर के साथ।

कु िसयाँ: x × ₹6 = 6x

मेज: y × ₹10 = 10y

वापस िमली रािश = 6x + 10y

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अतः वास्तव में भुगतान की गई कु ल रािश = (40x + 75y) – (6x + 10y)

प्र.8 क्या हम इस व्यंजक को हल कर सकते ह? य द हाँ, तो कैसे? य द नह , तो क्य नह ? [(40x + 75y) – (6x +
10y)]

हाँ। कोष्ठक खो लए, फर सजातीय पद को एक साथ र खए।

(40x + 75y) – (6x + 10y)

= 40x + 75y – 6x – 10y

= 40x + (–6x) + 75y + (–10y) (अदला-बदली एवं समूहीकरण)

= (40 – 6)x + (75 – 10)y

= 34x + 65y

ऐसा क्य होता है: कोष्ठक के बाहर का ऋण चह्न अंदर के दोन पद का चह्न बदल दे ता है। उसके बाद 40x एवं –
6x सजातीय पद ह, तथा 75y एवं –10y भी।

स्वयं जाँ चए: x = 2 कु सयाँ एवं y = 1 मेज पर — ₹155 दए, ₹22 वापस मले, अतः ₹133 लगे। और 34 × 2
+ 65 × 1 = 68 + 65 = ₹133 ✔

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 91–93
खंड 4.4 बीजग णतीय व्यंजक का सरलीकरण

ग णत चचा

प्र.1 क्या हम प्रारं भक व्यंजक को इस प्रकार लख सकते थे — (40x + 75y) + (– 6x – 10y)?

हाँ। कसी व्यंजक को घटाना उसके वपरीत को जोड़ने के समान है।

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– (6x + 10y) = – 6x – 10y

अतः (40x + 75y) – (6x + 10y) = (40x + 75y) + (– 6x – 10y)

= दोनों पकार से 34x + 65y

ऐसा क्य होता है: हर घटाव को वपरीत संख्या के योग म बदला जा सकता है। पद के योग के रूप म लखा
व्यंजक अदला-बदली एवं समूहीकरण के लए कह अ धक सरल हो जाता है।

प्र.2 उदाहरण 8 — चारु प्रश्नोत्तरी प्र तयो गता के तीन चरण म उसके अंक 7p – 3q, 8p – 4q एवं 6p – 2q ह। यहाँ
सही उत्तर के लए अंक p से एवं गलत उत्तर पर कटने वाले अंक q से दशाए गए ह। प्रत्येक व्यंजक का क्या अथ
है?

चरण व्यंजक अथ

1 7p – 3q 7 सही उत्तर एवं 3 गलत उत्तर

2 8p – 4q 8 सही उत्तर एवं 4 गलत उत्तर

3 6p – 2q 6 सही उत्तर एवं 2 गलत उत्तर

ऐसा क्य होता है: हर सही उत्तर से p अंक मलते ह, अतः 7 सही उत्तर से 7p। हर गलत उत्तर पर q अंक कटते
ह, अतः 3 गलत उत्तर पर 3q — इसी लए घटाव।

प्र.3 य द एक सही उत्तर के लए 4 अंक (p = 4) हो एवं गलत उत्तर के लए दण्ड के रूप म कटने वाला अंक 1 (q =
1) हो तो पहले चरण म चारु के ारा प्राप्त कए गए अंक ात क जए।

7p – 3q = 7 × 4 – 3 × 1

= 7 × 4 + (–3 × 1)

= 28 + (–3)

= 25

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प्र.4 दूसरे एवं तीसरे चरण म उसके कतने अंक ह?

प्रत्येक व्यंजक म p = 4 एवं q = 1 र खए।

चरण 2: 8p – 4q = 8 × 4 – 4 × 1 = 32 – 4 = 28

चरण 3: 6p – 2q = 6 × 4 – 2 × 1 = 24 – 2 = 22

स्वयं जाँ चए: 25 + 28 + 22 = 75, और आगे दे खगे क उसके कुल अंक 21p – 9q = 84 – 9 = 75 ह ✔

प्र.5 क्या होगा य द गलत उत्तर दे ने पर दण्ड के रूप म अंक न कट? उस त म q का मान क्या होगा?

दण्ड न होने का अथ है क गलत उत्तर पर कुछ भी नह कटता।

q=0

चरण 1 के अंक = 7p – 3 × 0 = 7p = 28

कु ल अंक = 21p – 9 × 0 = 21p = 84

ऐसा क्य होता है: q = 0 रखने पर दण्ड वाला हर पद शून्य हो जाता है, क्य क कसी भी संख्या को 0 से गुणा
करने पर 0 ही मलता है।

प्र.6 तीन चरण के बाद उसके अं तम अंक कतने ह गे?

तीन चरण के अंक जोड़कर सरल क जए।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
(7p – 3q) + (8p – 4q) + (6p – 2q)
m l as
.co
= 7p + (–3q) + 8p + (–4q) + 6p + (–2q)
m a g
l a se
g
= 7p + 8p + 6p + (–3q) + (–4q) + (–2q) (अदला-बदली एवं समूहीकरण)
a= (7 + 8 + 6)p – (3 + 4 + 2)q

co m
. ag
= 21p – 9q
e m
g l as
a
कृ षता के लए प्राप्त तीन चरण म कुछ ऐसे संभा वत अंक बताइए जससे क उनका योगफल 23p – 7q हो।
co m
m.
प्र.7

m as e
.co a g l
m

l a se
23 को तीन भाग म एवं 7 को तीन भाग म बाँ टए।
a g
m a s
agl
एक संभ ावना:

m .co
se
चरण 1: 8p – 3q

g l a
चरण 2: 7p – 2q a
m
चरण 3: 8p – 2q
. co
e m
as
योग = (8 + 7 + 8)p – (3 + 2 + 2)q = 23p – 7q ✔
m l
m .co a g
a s eप्रयास
agl कर: एक अन्य समूह है 10p – 4q, 6p – 1q एवं 7p – 2q। स्वयं एक तीसरा समूह बनाइए — ऐसी अनेक
संभावनाएँ ह।

se m
com g l a
m . a
ase
प्र.8
agl
क्या हम बता सकते ह क कसके अंक अ धक ह और क्य ? (चारु: 21p – 9q, कृ षता: 23p – 7q)

co m
m .
m as e
.co l
कृ षता के अंक अ धक ह।

a g
se m
g l a
a
कृ िषता के 23p, चारु के 21p → कृ िषता को 2p अिधक िमले
.c
कृ िषता के 7q कटे , चारु के 9q → कृ िषता के 2q कम कटे
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 24 of 69

कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: कृ षता दोन दृ ष्टय से आगे है — अ धक सही उत्तर एवं कम गलत उत्तर। चूँ क p एवं q
धनात्मक संख्याएँ ह, अंकन योजना कुछ भी हो, उसके कुल अंक अ धक ही रहगे।

प्र.9 कृ षता ने चारु से कतने अ धक अंक प्राप्त कए? इस व्यंजक को आगे हल क जए — 23p – 7q – (21p –
9q)

23p – 7q – (21p – 9q)
= 23p – 7q – 21p + 9q

= 23p – 21p + (–7q) + 9q

= (23 – 21)p + (9 – 7)q

= 2p + 2q

स्वयं जाँ चए: p = 4 एवं q = 1 पर कृ षता के 92 – 7 = 85 और चारु के 84 – 9 = 75 अंक ह। अंतर 10, और
2p + 2q = 8 + 2 = 10 ✔

प्र.10 उदाहरण 9 — व्यंजक 4 (x + y) – y को हल क जए।

4 (x + y) – y

= 4x + 4y – y (िवतरण गुण)

= 4x + 4y + (– y)

= 4x + (4 – 1)y

= 4x + 3y

ऐसा क्य होता है: कसी योगफल का 4 गुना, हर भाग के 4 गुने का योगफल होता है। उसके बाद 4y एवं –y
सजातीय पद ह, और 4y – y = 3y।

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प्र.11 उदाहरण 10 — क्या व्यंजक 5u एवं 5 + u एक-दूसरे के समान ह?

नह । ये दोन भन्न सं क्रयाएँ दशाते ह।

5u का अथ है संख्या u का 5 गुन ा

5 + u का अथ है संख्या u से 5 अिधक

ऐसा क्य होता है: दो व्यंजक तभी समान कहलाते ह जब अक्षर के हर मान के लए उनके मान समान ह । यहाँ वे
केवल u = 1.25 पर मलते ह, अन्यत्र सवत्र भन्न रहते ह — अतः ये समान व्यंजक नह ह।

प्र.12 अक्षर-संख्याओं को संख्याओं से प्र त ा पत करके नीचे दए गए रक्त ान क पू त क जए, एक उदाहरण
दशाया गया है। फर 5u एवं 5 + u के मान क तुलना क जए। (u = 11, 2, 8 एवं 5)

U 5U 5+U

11 55 16

2 10 7

8 40 13

5 25 10

5 × 11 = 55 िकं त ु 5 + 11 = 16

5 × 2 = 10 िकं त ु 5 + 2 = 7

5 × 8 = 40 िकं त ु 5 + 8 = 13

5 × 5 = 25 िकं त ु 5 + 5 = 10

दोन स्तंभ के मान कह भी नह मलते, अतः 5u ≠ 5 + u।

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प्र.13 क्या व्यंजक 10y – 3 एवं 10 (y – 3) समान ह? आइए, y के व भन्न मान (y = 2, 0, 7, 10) के लए इन
व्यंजक के मान क तुलना करते ह। क्या आपको लगता है क दोन आरेख म रक्त ान क पू त करने के
बाद दोन व्यंजक समान ह?

10y – 3 का अथ है ‘y के 10 गुना से 3 कम’, जब क 10(y – 3) का अथ है ‘y से 3 कम का 10 गुना’।

Y 10Y – 3 10 (Y – 3)

2 17 –10

0 –3 –30

7 67 40

10 97 70

y = 2: 10 × 2 – 3 = 17, िकं त ु 10 × (2 – 3) = 10 × (–1) = –10

y = 0: 0 – 3 = –3, िकं त ु 10 × (–3) = –30

y = 7: 70 – 3 = 67, िकं त ु 10 × 4 = 40

y = 10: 100 – 3 = 97, िकं त ु 10 × 7 = 70

नह , दोन व्यंजक समान नह ह।

ऐसा क्य होता है: कोष्ठक खोलने पर अंतर स्पष्ट हो जाता है — 10(y – 3) = 10y – 30, जो हर y के लए 10y
– 3 से 27 कम है।

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प्र.14 उदाहरण 11 — चत्र म द गई संख्याओं का योग क्या है? (अ ात मान को अक्षर-संख्याओं ारा प्रद शत कया
गया है)

3 3 3 3

r s

r s

3 3 3 3

उदाहरण 11 का चत्र, पृष्ठ 93 — ऊपर चार 3, फर r एवं s, फर r एवं s, फर नीचे चार 3।

तीन अलग-अलग व धयाँ, एक ही उत्तर।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
1. पंि तवार: (4 × 3) + (r + s) + (r + s) + (4 × 3)
m l as
.co
= 12 + 12 + 2r + 2s = 2r + 2s + 24
m a g
l a se
g
a2. सजातीय पद साथ: (8 × 3) + (r + r) + (s + s)

co m
. ag
= 24 + 2r + 2s = 2r + 2s + 24
e m
g l as
3. ऊपर का आधा भाग दुगन
ु ा: 2 × (4 × 3 + r + s) a

co m
m.
= 2 × (12 + r + s) = 24 + 2r + 2s = 2r + 2s + 24

m as e
.co a g l
a s em
ऐसा क्य होता है: चत्र ऊपर-नीचे सम मत है, इसी लए तीसरी व ध काम करती है। तीन व्यंजक अलग दखते ह,

a gl सरल होकर एक ही रूप बन जाते ह — यही समान व्यंजक क पहचान है।
कतु

m a s
m .co agl
पता लगाइए — पृष्ठ 93–94
l a se
ag

co m
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
a
se m
com g l a
m . a
ase
agl

co m
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 29 of 69

कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

खंड 4.4 बीजग णतीय व्यंजक का सरलीकरण

ग णत चचा

प्र.1 आगे दए गए प्रत्येक चत्र म संख्याओं का योग क जए। उनके संगत व्यंजक ल खए और उन्ह हल क जए।
प्रत्येक चत्र म संख्याओं का कम से कम तीन अलग-अलग प्रकार से योग करने का प्रयत्न क जए एवं दे खए क
क्या आपको समान मान प्राप्त होता है।

2p 3q –2 3
5y –6 x

3q 2p 3 –2

x 2 5y
2p 3q

(i)
3q 2p

(ii)

–5g 5k 5k –5g

5k 5k 5k 5k

5k 5k 5k 5k

–5g 5k 5k –5g

(iii)

चत्र (i), (ii) एवं (iii), पृष्ठ 94 — प्रत्येक क संख्याओं का योग करना है।

चत्र (i) — दो पं क्तयाँ: 5y, –6, x तथा x, 2, 5y।

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

िविध 1 (पंि तवार): (5y – 6 + x) + (x + 2 + 5y)

िविध 2 (सजातीय पद): (5y + 5y) + (x + x) + (–6 + 2)

= 10y + 2x + (–4)

= 2x + 10y – 4

चत्र (ii) — 2p एवं 3q दोन 4-4 बार आते ह; संख्या वाले खाने –2, 3, 3, –2 ह।

िविध 1 (सजातीय पद): 4 × 2p + 4 × 3q + (–2 + 3 + 3 – 2)
= 8p + 12q + 2

िविध 2 (स्तं भ वार): (2p + 3q) + (3q + 2p) + (–2 + 3 + 2p + 3q) + (3 – 2 + 3q + 2p)

= 8p + 12q + 2

चत्र (iii) — चार कोन पर –5g है एवं शेष हर वृत्त म 5k (कुल 12)।

िविध 1 (सजातीय पद): 4 × (–5g) + 12 × 5k

= –20g + 60k

िविध 2 (स्तं भ वार): पहला स्तं भ (–5g + 5k + 5k – 5g) = –10g + 10k

बीच के दो स्तं भ = 8 × 5k = 40k

अंितम स्तं भ = –10g + 10k

कु ल = 60k – 20g

ऐसा क्य होता है: पद को कसी भी क्रम म जोड़ा एवं कसी भी प्रकार समूहीकृत कया जा सकता है, अतः चत्र
को पं क्तवार दे ख, स्तंभवार दे ख या सजातीय चह्न इक े कर — सरल कया हुआ उत्तर एक ही आएगा।

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

प्र.2 नीचे दए गए व्यंजक म से प्रत्येक को सरल रूप म व्यक्त क जए — (a) p + p + p + p, p + p + p + q, (b)
p + q + p – q, (c) p – q + p – q, (d) p + q – p + q, (e) p + q – (p + q), (f) p – q – p – q, (g) 2d –
d – d – d, (h) 2d – d – d – c, (i) 2d – d – (d – c), (j) 2d – (d – d) – c, (k) 2d – d – c – c

व्यंजक हल सरलतम रूप

(a) p + p + p + p p के 4 गुने 4p

(a) p + p + p + q p के 3 गुने, एक q 3p + q

(b) p + q + p – q (p + p) + (q – q) 2p

(c) p – q + p – q (p + p) + (–q – q) 2p – 2q

(d) p + q – p + q (p – p) + (q + q) 2q

(e) p + q – (p + q) p+q–p–q 0

(f) p – q – p – q (p – p) + (–q – q) –2q

(g) 2d – d – d – d (2 – 1 – 1 – 1)d –d

(h) 2d – d – d – c (2 – 1 – 1)d – c = 0 – c –c

(i) 2d – d – (d – c) 2d – d – d + c c

(j) 2d – (d – d) – c 2d – 0 – c 2d – c

(k) 2d – d – c – c (2 – 1)d – 2c d – 2c

ऐसा क्य होता है: (h) एवं (i) क तुलना क जए। (h) म d घटाकर फर c घटाया गया। (i) म कोष्ठक के कारण d
घटता है कतु c जुड़ जाता है, क्य क बाहर का ऋण चह्न अंदर के हर चह्न को बदल दे ता है। एक कोष्ठक पूरा उत्तर
बदल दे ता है।

स्वयं जाँ चए: d = 5, c = 2 र खए। (h) से 10 – 5 – 5 – 2 = –2 = –c ✔। (i) से 10 – 5 – (5 – 2) = 5 – 3
=2=c✔

त्रु टयाँ ढूँ ढ़ए, त्रु टयाँ सुधा रए — पृष्ठ 94–95

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

खंड 4.4 बीजग णतीय व्यंजक का सरलीकरण

प्र.1 3a + 2b → दया गया सरलतम रूप: 5

त्रु ट है। वजातीय पद को जोड़ दया गया।

सही सरलतम रूप: 3a + 2b

ऐसा क्य होता है: 3 एवं 2 को जोड़कर अक्षर छोड़ दए गए। कतु a एवं b भन्न अक्षर-संख्याएँ ह, अतः 3a एवं
2b वजातीय पद ह और इन्ह मलाया नह जा सकता।

प्र.2 3b – 2b – b → दया गया सरलतम रूप: 0

कोई त्रु ट नह ।

3b – 2b – b = (3 – 2 – 1)b = 0 × b = 0

प्र.3 6 (p + 2) → दया गया सरलतम रूप: 6p + 8

त्रु ट है। 6 को केवल p से गुणा करके 2 जोड़ दया गया।

6 (p + 2) = 6 × p + 6 × 2

= 6p + 12

ऐसा क्य होता है: वतरण गुण के अनुसार गुणक कोष्ठक के प्रत्येक पद तक पहुँचता है।

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as e
कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
(4x + 3y) – (3x + 4y) → दया गया सरलतम रूप: x + y
e
प्र.4

m l as
.co a g
a s em
त्रु टgहैl। y वाले पद का चह्न नह बदला गया।
a

co m
. ag
(4x + 3y) – (3x + 4y)
e m
= 4x + 3y – 3x – 4y
g l as
= (4 – 3)x + (3 – 4)y
a

co m
m.
=x–y

m as e
.co a g l
a s em
a glप्र.5 5 – (2 – 6z) → दया गया सरलतम रूप: 3 – 6z
m a s
m .co agl

l a se
g
त्रु ट है। कोष्ठक के केवल पहले पद का चह्न बदला गया।
a
m
5 – (2 – 6z) = 5 – 2 + 6z
. co
e m
as
= 3 + 6z
m l
m .co a g
a s eस्वयं
agl जाँ चए: z = 1 पर 5 – (2 – 6) = 5 – (–4) = 9, और 3 + 6 = 9 ✔, जब क 3 – 6 = –3 ✘

se m
com g l a
m . a
ase
agl
प्र.6 2 + (x + 3) → दया गया सरलतम रूप: 2x – 6

m

. co
m
त्रु ट है। कोष्ठक को गुणा समझ लया गया।

m as e
.co a g l
s e m 2 + (x + 3) = 2 + x + 3
agla
.c
=x+5

s e m
om a
e
. c
m चह्न है, अतः कोष्ठक को सीधे हटाया जा सकता है। agl
s
ऐसा क्य होता है: कोष्ठक के पहले धन
a
agl

co m
m .
m ase
.co


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प्र.7 2y + (3y – 6) → दया गया सरलतम रूप: – y + 6

त्रु ट है। कोष्ठक के पहले धन चह्न होने पर भी अंदर के चह्न बदल दए गए।

2y + (3y – 6) = 2y + 3y – 6

= 5y – 6

प्र.8 7p – p + 5q – 2q → दया गया सरलतम रूप: 7p + 3q

त्रु ट है। – p को छोड़ दया गया।

7p – p + 5q – 2q

= (7 – 1)p + (5 – 2)q

= 6p + 3q

संकेत: अकेला लखा अक्षर, जैसे p, वास्तव म 1p होता है। उसे गनना आवश्यक है।

प्र.9 5 (2w + 3x + 4w) → दया गया सरलतम रूप: 10w + 15x + 20w

त्रु ट है। वतरण तो ठ क हुआ, कतु सजातीय पद नह जोड़े गए — अतः यह सरलतम रूप नह है।

5 (2w + 3x + 4w) = 5 (6w + 3x)

= 30w + 15x

संकेत: कोष्ठक के अंदर ही सजातीय पद जोड़ ली जए — 2w + 4w = 6w — तो काम छोटा हो जाता है।

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प्र.10 3j + 6k + 9h + 12 → दया गया सरलतम रूप: 3 (j + 2k + 3h + 4)

त्रु ट है। यह उत्तर समान व्यंजक तो है, कतु सरलतम रूप नह है क्य क कोष्ठक अब भी बना हुआ है।

सही सरलतम रूप: 3j + 6k + 9h + 12

ऐसा क्य होता है: इस अध्याय म ‘सरलतम रूप’ का अथ है — कोष्ठक हटा दए गए, सजातीय पद जोड़ दए गए
एवं केवल संख्याओं वाले पद भी जोड़ दए गए। दया गया व्यंजक पहले से ही ऐसा है, उसे बदलने क आवश्यकता
ही नह थी।

प्र.11 4 (2r + 3s + 5) → दया गया सरलतम रूप: – 20 – 8r – 12s

त्रु ट है। कह ऋण चह्न न होने पर भी हर पद को ऋणात्मक बना दया गया।

4 (2r + 3s + 5) = 4 × 2r + 4 × 3s + 4 × 5

= 8r + 12s + 20

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प्र.12 सभी सही सरलतम रूप पर दृ ष्ट डा लए (जैसे कोष्ठक को हटा दया गया है, सजातीय पद का योग कर दया
गया है एवं केवल संख्याओं वाले पद का भी योग कर दया गया है)। क्या इन व्यंजक म पद क संख्या एवं
अक्षर-संख्याओं क संख्या म कोई संबंध है?

क्र. सही सरलतम रूप पद क संख्या अक्षर-संख्याओं क संख्या

1 3a + 2b 2 2

2 0 1 0

3 6p + 12 2 1

4 x–y 2 2

5 3 + 6z 2 1

6 x+5 2 1

7 5y – 6 2 1

8 6p + 3q 2 2

9 30w + 15x 2 2

10 3j + 6k + 9h + 12 4 3

11 8r + 12s + 20 3 2

हाँ। हर पं क्त म अक्षर-संख्याओं क संख्या पद क संख्या से कभी अ धक नह है —

अक्षर-संख्याओं की संख्या ≤ पदों की संख्या

ऐसा क्य होता है: पूरी तरह सरल कए गए व्यंजक म प्रत्येक अक्षर-संख्या केवल एक ही पद म आ सकती है —
उसके सारे सजातीय पद पहले ही जोड़े जा चुके होते ह। इसके अ त रक्त केवल संख्याओं वाला एक पद और हो
सकता है, जसम कोई अक्षर नह होता। अतः पद अ धक हो सकते ह, कम कभी नह ।

सूत्र खोजो — पृष्ठ 95–96

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खंड 4.5 प्र तरूप (पैटन) चु नए तथा संबंध बताइए

प्र.1 दए गए चत्र को दे खए। हर बार संख्या-मशीन ‘Y’ के शीष पर 2 संख्याओं को न वष्ट (Input) के रूप म लेती
है, कुछ सं क्रयाएँ करती है एवं नीचे प रणाम दे ती है। इस संख्या-मशीन के सूत्र का पता लगाइए।

5 2 8 1 9 11 10 10

8 15 7 10

यंजक
व् यंजक
व् यंजक
व् यंजक
व्

6 4

यंजक
व्

पाँच संख्या-मशीन, पृष्ठ 95 — प्रत्येक ‘Y’ के शीष क दो संख्याएँ लेकर नीचे प रणाम दे ती है।

सूत्र है ‘पहली संख्या के दुगुने म से दूसरी संख्या घटाना’, अथात 2a – b।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
न वष्ट (A, B) व्यंजक प रणाम

m as e
5, 2
.co
2×5–2
a
8
g l
se m
g l a 2×8–1
a
8, 1 15

9, 11 2 × 9 – 11 7

co m
m . ag
s×e6 – 4
10, 10 2 × 10 – 10 10

l a
6, 4
ag 2 8

co m
m.
ऐसा क्य होता है: केवल एक उदाहरण कभी पयाप्त नह होता — 5 एवं 2 पर ‘a + b + 1’ भी सही बैठता है।

m as e
.co l
प्रत्येक जोड़े पर नयम जाँचने से ही 2a – b क पु ष्ट होती है।
a g
se m
g l a
a
नीचे द गई संख्या-मशीन के लए सूत्र का पता लगाइए और प्रत्येक समूह के न वष्ट के लए व्यंजक ल खए।
s
प्र.2

m a
.co agl
(मशीन 1: 5, 2 → 5; 8, 1 → 7; 9, 11 → 18; 10, 10 → 18; a, b → ? मशीन 2: 4, 1 → 5; 6, 0 → 1; 3,
2 → 7; 10, 3 → ?; a, b → ?)
se m
g l a
a
मशीन 1 — ‘दोन संख्याओं को जोड़कर 2 घटाना’, अथात a + b – 2।
co m
m .
m as e
न वष्ट
.co
व्यंजक
a g lप रणाम

a s e5,m2
agl
5+2–2 5

8, 1 8+1–2 7
se m
com g l a
m . a
e
9, 11 9 + 11 – 2 18

a s
10, 10
a10gl+ 10 – 2 18

a, b a+b–2 a+b–2
co m
m .
m as e
.co l
मशीन 2 — ‘दोन संख्याओं का गुणनफल नकालकर 1 जोड़ना’, अथात ab + 1।
a g
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

न वष्ट व्यंजक प रणाम

4, 1 4×1+1 5

6, 0 6×0+1 1

3, 2 3×2+1 7

10, 3 10 × 3 + 1 31

a, b a×b+1 ab + 1

संकेत: मशीन 2 का रहस्य (6, 0) वाला जोड़ा खोलता है। केवल जोड़ने वाला कोई नयम 6 या 7 दे ता; 6 को 1 तक
गराना केवल गुणा से ही संभव है।

प्र.3 अब आप स्वयं का एक सूत्र बनाइए। उस सूत्र का उपयोग करके उदाहरण के रूप म कुछ संख्या-मशीन ल खए।
अपने सहपा ठय को इसका पता लगाने क चुनौती द जए।

यह ली जए एक उदाहरण। सूत्र: 3a – 2b — ‘पहली संख्या का तगुना घटा दूसरी संख्या का दुगुना’।

न वष्ट (A, B) हल प रणाम

4, 1 3×4–2×1 10

5, 5 3×5–2×5 5

2, 3 3×2–2×3 0

7, 2 3×7–2×2 17

1, 4 3×1–2×4 –5

प्रयास कर: ऊपर क तरह एक जोड़ा ऐसा र खए जससे 0 मले और एक ऐसा जससे ऋणात्मक उत्तर मले। ये दो
तयाँ अनुमान लगाना कह क ठन — और कह अ धक रोचक — बना दे ती ह।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 96–97

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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

प्र तरूप (पैटन) का वणन करने के लए बीजग णतीय व्यंजक

प्र.1 उदाहरण 12 — सोमजीत ने एक साड़ी के कनारे पर एक दोहराव वाले पैटन (A B C D E F …) को दे खा।
सोमजीत को आश्चय होता है क क्या सभी तय का वणन करने क कोई ऐसी व ध है जहाँ (i) डजाइन A,
(ii) डजाइन B एवं (iii) डजाइन C वद्यमान है।

कनारा तीन-तीन के समूह म दोहराता है — A, B, C, A, B, C, …

डजाइन जन ान पर आता है Nव बार का सूत्र

A 1, 4, 7, 10, 13, … 3n – 2

B 2, 5, 8, 11, 14, … 3n – 1

C 3, 6, 9, 12, 15, … 3n

ऐसा क्य होता है: चत्र म D, E, F वास्तव म A, B, C का ही दोहराव ह। हर तीसरे ान पर C आता है, अतः C
के ान 3 के गुणज ह। B सदै व C से एक ान पहले और A दो ान पहले आता है।

प्र.2 डजाइन C nव बार कहाँ दखाई दे गा?

डजाइन C पहली बार ान 3 पर, फर 6 पर, फर 9 पर आता है — अथात 3 के गुणज पर।

C का nवी ं बार आना स्थान 3n पर होगा

स्वयं जाँ चए: 20वाँ C ान 3 × 20 = 60 पर होगा।

प्र.3 इसी प्रकार अन्य डजाइन के लए nव बार वद्यमान होने क तय के लए सूत्र ात क जए।

B के ान 2, 5, 8, 11, 14, … ह — सदै व 3 के गुणज से एक कम।

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िडजाइन B का nवी ं बार आना: 3n – 1

िडजाइन A का nवी ं बार आना: 3n – 2

ऐसा क्य होता है: तीन के हर समूह म C अंत म, B उससे ठ क पहले एवं A उससे भी पहले आता है। अतः उनके
ान क्रमशः 3n, 3n – 1 एवं 3n – 2 ह।

प्र.4 द गई संख्या के लए क्या हम बता सकते ह क वहाँ कौन-सा डजाइन वद्यमान होगा? त 122 पर कौन-सा
डजाइन वद्यमान होगा?

A B C D E F
1 2 3 4 5 6

पृष्ठ 96 — सोम जत क साड़ी क दोहराई जाने वाली कनारी, त 1 से 6 तक। छह डजाइन यहाँ सरलीकृत रूप म
बनाए गए ह; क्रम तथा पुनरावृ त्त पुस्तक के अनुसार ह।

हाँ, और ान 122 पर डजाइन B होगा।

122 = 3 × 41 – 1

अथ त 122, गुणज 123 से एक कम है

3n – 1 रूप वाले स्थानों पर िडजाइन B होता है

ऐसा क्य होता है: हर ान या तो 3 का गुणज है (→ C), या गुणज से एक कम (→ B), या दो कम (→ A)।
चौथी कोई संभावना नह है।

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प्र.5 क्या इसके लए ान संख्या को 3 से वभा जत करने पर प्राप्त शेषफल को उपयोग म लाया जा सकता है? नीचे
द गई सारणी को ध्यान से दे खए।

ान संख्या 3 से वभा जत करने पर भागफल शेषफल

99 33 0

122 40 2

148 49 1

हाँ। केवल शेषफल से ही डजाइन तय हो जाता है।

3 से भाग दे ने पर शेषफल ान का रूप डजाइन

0 3n C

1 3n + 1, अथात 3(n+1) – 2 A

2 3n + 2, अथात 3(n+1) – 1 B

स्वयं जाँ चए: ान 1 का शेषफल 1 है और वहाँ A है ✔। ान 2 का शेषफल 2 है और वहाँ B है ✔। ान 3 का
शेषफल 0 है और वहाँ C है ✔

प्र.6 इस सारणी का उपयोग तय 99, 122 एवं 148 पर वद्यमान डजाइन को ात करने म क जए।

ान 3 से भाग शेषफल डजाइन

99 99 = 3 × 33 + 0 0 C

122 122 = 3 × 40 + 2 2 B

148 148 = 3 × 49 + 1 1 A

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as e
कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
99 = 3 × 33 → िडजाइन C
m l as
.co
122 = 3 × 41 – 1 → िडजाइन B
m a g
l a se
g
148 = 3 × 50 – 2 → िडजाइन A
a

co m
e m . ag
as
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 97–99
कैलडर ( त थपत्र) म पैटन a g l

co m
ग णत चचा

em.
m l as
.co a g
आइए, च ह्नत 2 × 2 वग लेते ह एवं वकण पर वद्यमान संख्याओं 12 एवं 20; 13 एवं 19 को लेते ह। इनका

em
प्र.1

a s
योगफल ात क जए; 12 + 20, 13 + 19। आपने क्या दे खा?
l
agउत्तर
m a s
.co agl
दोन वकण का योगफल समान है।

se m
g l a
12 + 20 = 32 a
m
13 + 19 = 32
. co
e m
as
दोनों िवकण योगफल समान है।
ं
m l
m .co a g
a s eप्रयास
agl कर: उसी नवंबर 2024 के कैलडर से 5, 6 के नीचे 12, 13 वाला वग ली जए। 5 + 13 = 18 एवं 6 + 12 =

m
18। फर समान।

a se
. com a g l
m
ase
agl

co m
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक AglaSem · NCERT Solutions

प्र.2 क्या इस अनंत जाल म प्रत्येक 2 × 2 वग म वकण संख्याओं के योगफल समान ह गे? हम कैसे सु न श्चत कर
सकते ह?

नवंबर 2024
सोम मंगल बुध गुरु शुक्र शिन रिव
1 2

3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37

38 39 40 41 42 43 44

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

पृष्ठ 98 — नवंबर 2024 का कैलडर, जसक पं क्तयाँ 30 के आगे अनंत तक बढ़ाई गई ह।

हाँ — कतु उदाहरण दे खकर हम कभी सु न त नह हो सकते, क्य क 2 × 2 वग असी मत संख्या म ह।

ऐसा क्य होता है: सु न त होने के लए ऐसा तक चा हए जो सभी वग को एक साथ ढँ क ले। बीजग णत यही
करता है — ऊपरी बाईं संख्या को a क हए और शेष तीन को a के पद म ल खए। एक ही गणना हर वग का उत्तर
दे दे ती है।

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प्र.3 जैसा क हम ऊपरी बाईं संख्या जानते ह तो इस 2 × 2 वग म हम अन्य संख्याएँ कैसे ात करगे?

पहले शब्द म वणन क जए, फर प्रतीक म।

a के दाईं ओर क संख्या इससे 1 अ धक होगी
a के नीचे क संख्या इससे 7 अ धक होगी
a से वकण त पर संख्या इससे 8 अ धक होगी

a a+1

a+7 a+8

िवकण 1: a + (a + 8) = a + a + 8 = 2a + 8

िवकण 2: (a + 1) + (a + 7) = a + a + 1 + 7 = 2a + 8

दोनों िवकण योगफल समान है ं — a के हर मान के िलए।

ऐसा क्य होता है: कैलडर के एक सप्ताह म 7 दन होते ह, अतः एक पं क्त नीचे जाने पर 7 जुड़ता है। एक स्तंभ
दाईं ओर जाने पर 1 जुड़ता है। वकण वाला कक्ष दोन काम करता है, अतः 8 जुड़ता है।

प्र.4 कोई भी 2 × 2 वग लेकर एवं इसक ऊपरी बाईं संख्या को ‘a’ मानकर वकण संख्याओं के योगफल के लए इस
व्यंजक क जाँच क जए।

ऊपरी बाईं संख्या 25 वाला वग ली जए (अथात a = 25): वग है 25, 26 के नीचे 32, 33।

िवकण 1: 25 + 33 = 58

िवकण 2: 26 + 32 = 58

सूत्र: 2a + 8 = 2 × 25 + 8 = 58 ✔

अब a = 40 ली जए: वग है 40, 41 के नीचे 47, 48।

40 + 48 = 88 एवं 41 + 47 = 88

2a + 8 = 80 + 8 = 88 ✔

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क्या आप जानते ह? यही बीजग णतीय मॉडल क श क्त है — एक छोटा-सा प्रमाण असी मत जाँच का ान ले
लेता है।

प्र.5 अनंत पं क्तय वाले कैलडर से नीचे दए गए आकार म संख्याओं के समूह पर वचार क जए। सभी संख्याओं का
योगफल ात क जए। इसक तुलना मध्य म लखी संख्या 15 से क जए। इस आकार म संख्याओं के अन्य समूह
के लए इसे दोहराइए। आपने क्या दे खा?

8

14 15 16

22

पृष्ठ 99 — अनंत कैलडर से ली गई पाँच संख्याओं का धन (+) आकार।

8 + 14 + 15 + 16 + 22

= (8 + 22) + (14 + 16) + 15

= 30 + 30 + 15
= 75

और 75 = 5 × 15, अथ त मध्य संख्या का 5 गुन ा।

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26 पर क त एक अन्य समूह ली जए: संख्याएँ ह 19 / 25, 26, 27 / 33।

19 + 25 + 26 + 27 + 33 = 130 = 5 × 26 ✔

नष्कष: कुल योगफल सदै व मध्य म लखी संख्या का 5 गुना होता है।

प्र.6 क्या सदै व ऐसा होगा? आप इसे कैसे दशाएँगे? (संकेत — इस आकार म संख्याओं के एक सामान्य समूह पर
वचार क जए। मध्य म लखी संख्या को ‘a’ ली जए। अन्य संख्याओं को ‘a’ के पद म व्यक्त क जए।)

8

14 15 16

22

पृष्ठ 99 — अनंत कैलडर से ली गई पाँच संख्याओं का धन (+) आकार।

हाँ, सदै व। मध्य संख्या को a ली जए।

a–7

a–1 a a+1

a+7

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as e
कक्षा 7 ग णत अध्याय 4 अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
योगफल = (a – 7) + (a – 1) + a + (a + 1) + (a + 7)
m l as
.co
= a + a + a + a + a + (–7 + 7) + (–1 + 1)
m a g
l a se
g
= 5a + 0 + 0
a= 5a

com
m . ag
l a se
agसंख्या को (–1 एवं +1)। अंत म केवल मध्य संख्या क पाँच प्र तयाँ बचती
ऐसा क्य होता है: यह आकार अपने मध्य के चार ओर सम मत है। ऊपर क संख्या नीचे क संख्या को नरस्त कर
दे ती है (–7 एवं +7), और बाईं संख्या दाईं
ह।

co m
em.
m l as
.co a g
a s em अन्य आकार ात क जए जनके लए चत्र के अंदर क संख्याओं का योगफल हमेशा उनम से कसी एक संख्या
l का गुणज है।
प्र.7

ag
m a s
m.co agl
l a se
ag
8 m
. co
e m
m l as
m .co a g
l a se
ag
14 15 16 m
a se
. com a g l
m
ase
agl
22 m
. co
e m
m l as
m .co a g
l a se
ag पृष्ठ 99 — अनंत कैलडर से ली गई पाँच संख्याओं का धन (+) आकार।

.c
s e m
m a
m . co agl
l a se
ऐसा हर आकार काम करता है जोag
कसी एक कक्ष के चार ओर सम मत हो। मध्य को a लेने पर —

co m
m .
m as e
.co


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आकार A के पद म संख्याएँ योगफल

3 क क्षै तज पं क्त a – 1, a, a + 1 3a

3 का ऊध्वाधर स्तंभ a – 7, a, a + 7 3a

3 का वकण (↘) a – 8, a, a + 8 3a

5 का X (चार कोने + मध्य) a – 8, a – 6, a, a + 6, a + 8 5a

पूरा 3 × 3 खंड a के चारों ओर की नौ संख्याएँ 9a

3 × 3 खंड: (a – 8) + (a – 7) + (a – 6) + (a – 1) + a + (a + 1) + (a + 6) + (a + 7) + (a + 8)

= 9a

ऐसा क्य होता है: इनम से हर आकार म कक्ष मध्य के चार ओर जोड़ म बँट जाते ह, और हर जोड़े का योग 2a
होता है। इसी लए कुल योगफल सदै व मध्य संख्या का गुणज होता है।

स्वयं जाँ चए: 15 पर क त 3 × 3 खंड (नवंबर के कैलडर म 7 से 23 तक) ली जए। उसक नौ संख्याओं का योग
135 = 9 × 15 ✔

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 100–101

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मा चस क ती लय से प्र तरूप (पैटन)

प्र.1 नीचे दए गए चत्र को दे खए। यह मा चस क ती लय से बनाया गया एक पैटन है। क्या आप पहचान सकते ह
क पैटन क्या है?

4
3
2
1
मा चस क ती लय का पैटन, पृष्ठ 100 — चरण 1, 2, 3 एवं 4।

प्रत्येक चरण म पं क्त म एक त्रभुज और जुड़ता है, कतु केवल 2 अ त रक्त ती लयाँ लगती ह, क्य क नया त्रभुज पछले त्रभुज
के साथ एक भुजा साझा करता है।

चरण संख्या 1 2 3 4 5 6

त्रभुज 1 2 3 4 5 6

मा चस क ती लय क संख्या 3 5 7 9 11 13

ऐसा क्य होता है: पहले त्रभुज को तीन भुजाएँ चा हए। उसके बाद पछले त्रभुज क तरछ भुजा फर से उपयोग
हो जाती है, अतः केवल 2 नई ती लयाँ लगती ह।

प्र.2 क्या आप बता सकते ह क अगले चरण (5व चरण) म कतनी मा चस क ती लयाँ ह गी?

चरण 4 म 9 ती लयाँ ह, और हर चरण म 2 जुड़ती ह।

चरण 5 = 9 + 2 = 11 तीिलयाँ

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प्र.3 चरण 33, चरण 84 एवं चरण 108 म कतनी मा चस क ती लयाँ ह गी? अवश्य, हम आरेख ख च सकते ह एवं
गन सकते ह कतु क्या यहाँ वद्यमान पैटन का उपयोग करके शीघ्रता से उत्तर दे ने क कोई व ध है?

4
3
2
1
पृष्ठ 100 — मा चस क ती लय का पैटन, चरण 1 से 4 तक।

हाँ — ग नए क कतनी बार 2 जोड़ा गया है। चरण 1 म 3 से आरंभ होता है और हर आगे के चरण म एक 2 और जुड़ता है।

चरण 33 = 3 + 2 × 32 = 3 + 64 = 67

चरण 84 = 3 + 2 × 83 = 3 + 166 = 169
चरण 108 = 3 + 2 × 107 = 3 + 214 = 217

संकेत: 108 त्रभुज बनाने म पूरा पृष्ठ भर जाएगा। पैटन से उत्तर एक ही पं क्त म मल जाता है।

प्र.4 33 त्रभुज (चरण संख्या 33) बनाने के लए आवश्यक मा चस क ती लय क संख्या _______ है। इसी प्रकार
चरण संख्या 84 एवं चरण संख्या 108 के लए आवश्यक मा चस क ती लय क संख्या ात क जए।

चरण 33 के लए 67 ती लयाँ चा हए।

चरण कतनी बार 2 जुड़ा हल ती लयाँ

33 32 3 + 2 + 2 + … (32 बार 2) 67

84 83 3 + 2 × 83 169

108 107 3 + 2 × 107 217

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ऐसा क्य होता है: चरण 2 म एक बार 2 जुड़ा, चरण 3 म दो बार, चरण 4 म तीन बार। अतः चरण y म आरं भक 3
के साथ (y – 1) बार 2 जुड़ता है।

प्र.5 कसी भी चरण म मा चस क ती लय क संख्या ात करने के लए नयम या सूत्र का वणन करने के लए कौन-
सा व्यंजक हो सकता है? चरण संख्या y के लए व्यंजक क्या है?

चरण y म एक 3 है एवं (y – 1) बार 2।

चरण y में तीिलयों की संख्या = 3 + 2 × (y – 1)

यह ध्यान दे ने पर क पहले चरण म भी 2 स म लत है (क्य क 3 = 1 + 2), एक दूसरा रूप मलता है —

2y + 1

प्र.6 क्या उपरोक्त व्यंजक कसी भी चरण म मा चस क ती लय क संख्या बताता है? क्या ये दोन व्यंजक समान ह?

दोन का उत्तर हाँ है। पहले व्यंजक को सरल करने पर वह दूसरा बन जाता है।

3 + 2 × (y – 1) = 3 + 2y – 2

= 2y + (3 – 2)

= 2y + 1

Y 3 + 2(Y – 1) 2Y + 1

1 3 3

5 11 11

33 67 67

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
ऐसा क्य होता है: एक ही चत्र को दो व्य क्त अलग-अलग ढं ग से गन सकते ह और दोन सही हो सकते ह। उनके

m as e
l
व्यंजक अलग दखते ह कतु सरल होकर एक ही रूप बन जाते ह।

m .co a g
l a se
a g
प्र.7 मा चस क ती लय को दो अ भ वन्यास म रखा गया है — (a) ऊपर एवं नीचे क्षै तज रूप से एवं (b) मध्य म

co m
ag
वकण रूप से। उदाहरण के लए, चरण संख्या 2 म मा चस क 2 ती लयाँ क्षै तज रूप म एवं 3 ती लयाँ वकण

m .
ase
रूप से रखी गई ह। चरण संख्या 3 एवं चरण संख्या 4 म ये संख्याएँ क्या ह?

a g l

co m
m.
चरण क्षै तज वकण कुल

m l a se 3
1
m .co 1 2
ag
l a se
a g 2 2 3 5

m a s
3 3 4 7

m .co agl
ase
4 4 5 9

agl
चरण 3: 3 क्षैितज एवं 4 िवकण (3 + 4 = 7 ✔)
co m
m .
e
चरण 4: 4 क्षैितज एवं 5 िवकण (4 + 5 = 9 ✔)
m l as
m .co a g
l a se
ag
m
चरण के बढ़ने के साथ प्रत्येक अ भ वन्यास म मा चस क ती लय क संख्या कैसे बदलती है? प्रत्येक

se
प्र.8

com a
अ भ वन्यास म चरण संख्या y पर मा चस क ती लय क संख्या के लए व्यंजक ल खए। क्या दोन व्यंजक का

. a g l
m
योगफल 2y + 1 आता है?

ase
उत्तर agl
m
क्षै तज ती लयाँ 1, 2, 3, 4, … के क्रम म और वकण ती लयाँ 2, 3, 4, 5, … के क्रम म बढ़ती ह। दोन प्र त चरण ठ क 1 बढ़ती ह।

. co
em
m l as
.co a g
चरण y पर क्षैितज = y

se m चरण y पर िवकण = y + 1
g l a
a c
m .
m a s e
. co agl
योगफल = y + (y + 1) = 2y + 1 ✔

em
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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ऐसा क्य होता है: हर नया त्रभुज एक क्षै तज एवं एक तरछ तीली जोड़ता है — यही ‘हर बार 2 अ धक’ है। एक
अ त रक्त वकण तीली पहले त्रभुज से आती है, जसक दो भुजाएँ तरछ ह।

स्वयं जाँ चए: चरण 6 → 6 क्षै तज + 7 वकण = 13, और 2 × 6 + 1 = 13 ✔

पता लगाइए — पृष्ठ 102–105
खंड 4.5 प्र तरूप (पैटन) चु नए तथा संबंध बताइए

प्रयास कर ग णत चचा

प्र.1 एक प्लेट ज्वार क रोट का मूल्य ₹30 है एवं एक प्लेट पुलाव का मूल्य ₹20 है। य द एक दन म ज्वार क रोट x
प्लेट एवं पुलाव क y प्लेट का ऑडर दया गया तो उस दन अ जत कुल रा श को रुपय म व णत करने के लए
कौन-सा व्यंजक होगा? (a) 30x + 20y (b) (30 + 20) × (x + y) (c) 20x + 30y (d) (30 + 20) × x + y
(e) 30x – 20y

सही व्यंजक (a) 30x + 20y है।

ज्वार की रोटी से रािश = 30 × x = 30x

पुलाव से रािश = 20 × y = 20y

कु ल = 30x + 20y

ऐसा क्य होता है: (b) तभी सही होता जब हर ाहक दोन म से एक-एक प्लेट लेता। (c) म दोन दर आपस म
बदल गई ह। (d) म केवल x को 50 से गुणा कया गया है। (e) पुलाव क रा श जोड़ने के ान पर घटा रहा है।

स्वयं जाँ चए: x = 3 एवं y = 2 पर वास्त वक कमाई ₹90 + ₹40 = ₹130 है, और 30 × 3 + 20 × 2 = 130 ✔

प्र.2 पु ष्पता स्वतंत्रता दवस पर चंपा एवं गदे के दो तरह के फूल बेचती है। ‘p’ ाहक केवल चंपा खरीदते ह, ‘q’
ाहक केवल गदा खरीदते ह एवं ‘r’ ाहक दोन खरीदते ह। उसी दन वह प्रत्येक ाहक को एक छोटा रा ीय
झंडा दे ती है। उस दन वह कतने झंडे दे ती है? (a) p + q + r (b) p + q + 2r (c) 2 × (p + q + r) (d) p + q
+ r + 2 (e) p + q + r + 1 (f) 2 × (p + q)

सही व्यंजक (a) p + q + r है।

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कु ल गाहक = p + q + r

पत्येक गाहक को एक झंडा

िदए गए झंडे = p + q + r

ऐसा क्य होता है: झंडा ाहक को दया जाता है, फूल को नह । जसने दोन प्रकार के फूल खरीदे वह भी एक ही
व्य क्त है और उसे एक ही झंडा मलेगा — इसी लए (b) एवं (c) गलत ह।

प्र.3 एक घ घा एक गहरे कुएँ क द वार पर चढ़ने का प्रयत्न कर रहा है। दन के समय यह ‘u’ से.मी. चढ़ता है एवं रात
के समय वह धीरे से ‘d’ से.मी. नीचे फसल जाता है। 10 दन एवं 10 रात तक ऐसा होता है। (a) घ घा अपनी
प्रारं भक त से कतना दूर है, यह बताने के लए एक व्यंजक ल खए। (b) य द d > u तो हम घ घे क ग त के
बारे म क्या कह सकते ह?

(a) एक पूरे दन-रात म घ घा (u – d) से.मी. आगे बढ़ता है। यह 10 बार दोहराया जाता है।

पारंिभक िस्थित से दू री = 10 × (u – d)

= 10(u – d) से.मी. = 10u – 10d से.मी.

(b) य द d > u हो तो u – d ऋणात्मक होगा।

10(u – d) ऋणात्मक → घोंघा अपनी पारंिभक िस्थित से नीचे पहुँच जाएगा

वह दन म जतना चढ़ता है, रात म उससे अ धक फसल जाता है, अतः वह लगातार पीछे जाता रहेगा और कभी ऊपर नह पहुँच
पाएगा।

स्वयं जाँ चए: u = 8 से.मी. एवं d = 3 से.मी. पर घ घा 10 × 5 = 50 से.मी. ऊपर है। u = 3 से.मी. एवं d = 8
से.मी. पर वह 10 × (–5) = –50 से.मी., अथात प्रारंभ से 50 से.मी. नीचे है।

प्र.4 राधा साइ कल दौड़ क प्र तस्पधा के लए तैयारी कर रही है एवं प्र त दन अभ्यास करती है। पहले सप्ताह म वह
प्र त दन 5 क.मी. साइ कल चलाती है। प्रत्येक सप्ताह वह प्र त दन साइ कल चलाने क दूरी को ‘z’ क.मी.
बढ़ाती है। 3 सप्ताह के बाद राधा कतने क.मी. साइ कल चला चुक होगी?

प्रत्येक सप्ताह अलग-अलग ात क जए — एक सप्ताह म 7 दन होते ह।

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सप्ताह प्र त दन दूरी उस सप्ताह क दूरी

1 5 क.मी. 7 × 5 = 35

2 (5 + z) क.मी. 7(5 + z) = 35 + 7z

3 (5 + 2z) क.मी. 7(5 + 2z) = 35 + 14z

कु ल = 35 + (35 + 7z) + (35 + 14z)

= (35 + 35 + 35) + (7z + 14z)

= 105 + 21z िक .मी.

स्वयं जाँ चए: z = 1 क.मी. पर कुल 35 + 42 + 49 = 126 क.मी., और 105 + 21 × 1 = 126 ✔

प्र.5 नीचे दए गए चत्र को ध्यान से दे खए क कैसे व्यंजक w + 2 एक रास्ते के माध्यम से व्यंजक 4w + 20 हो जाता
है। अन्य रास्त पर रक्त ान क पू त क जए। अंडाकार ान म व्यंजक लखे जाएँगे एवं बक्स म ग णतीय
सं क्रयाएँ लखी जाएँगी।

×3 w–3 –5 +3 w+5 ×4 4w + 20

w+2

–4 –8 –4 ×3 3w – 6

रास्त का चत्र, पृष्ठ 102 — अंडाकार ान म व्यंजक एवं बक्स म सं क्रयाएँ ह। w + 2 से चार रास्ते नकलते ह।

मध्य के अंडाकार w + 2 से आरंभ करके प्रत्येक तीर क दशा म एक-एक बक्सा लगाते च लए।

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रास्ता चरण प रणाम

ऊपर-दाएँ ( दया हुआ) w + 2 → +3 → w + 5 → ×4 4w + 20

ऊपर-बाएँ w + 2 → –5 → w – 3 → ×3 3w – 9

नीचे-दाएँ w + 2 → –4 → w – 2 → ×3 3w – 6

नीचे-बाएँ w + 2 → –8 → w – 6 → –4 w – 10

ऊपर-बाएँ: (w – 3) × 3 = 3w – 9

नीचे -दाएँ: (w + 2) – 4 = w – 2, और (w – 2) × 3 = 3w – 6 ✔
नीचे -बाएँ: (w + 2) – 8 = w – 6, और (w – 6) – 4 = w – 10

ऐसा क्य होता है: ×3 हर पद को गुणा करता है, अतः (w – 3) × 3 = 3w – 9 होता है, 3w – 3 नह । नीचे-दाएँ
रास्ते को 3w – 6 से उलटा चलकर जाँचने पर पता चलता है क रक्त अंडाकार म w – 2 ही होगा।

प्र.6 यहाँपुर से वहाँपुर जाने वाली एक लोकल े न माग म समान दूरी पर तीन स्टे शन पर रुकती है। एक स्टे शन से दूसरे
स्टे शन तक दूरी तय करने म मनट म लगने वाला समय समान है एवं इसे t से प्रद शत कया गया है। े न तीन
स्टे शन पर 2 मनट के लए रुकती है। (a) य द t = 4 हो तो यहाँपुर से वहाँपुर क यात्रा म लगने वाला समय क्या
होगा? (b) यहाँपुर से वहाँपुर क यात्रा म लगने वाले समय के लए बीजग णतीय व्यंजक क्या होगा? (संकेत —
त के दृश्यीकरण के लए एक रफ आरेख ख चए।)

तीन स्टे शन दोन नगर के बीच ह, अतः यात्रा 4 चरण म बँटती है और 3 ठहराव होते ह।

t t t t

यहाँपरु 2 2 2 वहाँपरु

t मनट के चार यात्रा-चरण, और बीच के तीन स्टे शन पर 2-2 मनट का ठहराव।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
(b) कु ल समय = 4 × t + 3 × 2
m l as
= 4t + 6 िमनट
m .co a g
l a se
g
a(a) t = 4 पर: 4 × 4 + 6 = 16 + 6 = 22 िमनट

co m
e m . ag
g l as
ऐसा क्य होता है: बीच के तीन ठहराव चार अंतराल बनाते ह, तीन नह — ठ क वैसे ही जैसे रस्सी पर 3 कट
लगाने से 4 टु कड़े मलते ह। a

co m
em.
m l as
m .co a g
l a se
a g
m a s
m .co agl
l a se
ag

co m
m .
m as e
.co a g l
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com g l a
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co m
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.co a g l
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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