NCERT Solutions Class 7 Maths Chapter 8 भिन्नों के साथ कार्य करना

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा7

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 8: भ के साथ काय करना

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

173 – 199 16 62 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 44 pages

क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना AglaSem · NCERT Solutions

क ा 7 · ग णत · ग णत प्रकाश

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 8: भन्न के साथ काय करना
ग णत प्रकाश भाग 1 का अध्याय 8 भन्न को जोड़ने-घटाने से आगे ले जाता है। चलते हुए कछु ए, इकाई वग और आयत के ेत्रफल क सहायता से
यहाँ भन्न का गुणन और भन्न का वभाजन सीखा जाता है — और यह भी क दोन के सामान्य सूत्र सवप्रथम ब्रह्मगुप्त ने 628 सामान्य संवत् म
लखे थे।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत प्रकाश (क ा 7) 173 – 199

खं ड प्रश्न

16 62

माध्यम

हन्द

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 173–175
खंड 8.1 भन्न का गुणन

प्र.1 आरोन एक घंटे म 3 कलोमीटर चलता है। वह 5 घंटे म कतना चल सकता है?

5 घंटे चलने का अथ है 1 घंटे क दूरी को 5 बार लेना।

1 घंटे में तय की गई दू री = 3 िक.मी.

5 घंटे में तय की गई दू री = 5 × 3 िक.मी.

= 3 + 3 + 3 + 3 + 3 िक.मी.

= 15 िक .मी.

ऐसा क्य होता है: गुणा बार-बार जोड़ना ही है। हर नए घंटे म 3 क.मी. और जुड़ते ह, इस लए 5 घंट म 3 क.मी.
पाँच बार जुड़ते ह।

प्र.2 आरोन का पालतू कछु आ बहुत ही धीमी ग त से चलता है। वह एक घंटे म केवल 1⁄4 कलोमीटर ही चलता है। वह
3 घंटे म कतना चल सकता है?

अब चाल एक भन्न है, पर व ध वही रहती है — गुणा।

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1 घंटे में दू री = 1/4 िक.मी.

3 घंटे में दू री = 3 × 1/4 िक.मी.

= 1/4 + 1/4 + 1/4 िक.मी.
= 3/4 िक .मी.

कछु आ 3 घंटे म 3⁄4 क.मी. चल सकता है।

संकेत: तीन चौथाई कलोमीटर अथात 750 मीटर — एक कलोमीटर से भी कम, जो एक धीमे कछु ए के लए ठ क
बैठता है।

प्र.3 हमने दे खा क आरोन एक घंटे म 3 कलोमीटर चल सकता है। वह 1⁄5 घंटे म कतनी दूर तक चल सकता है?

घंटे का पाँचवाँ भाग, तो दूरी भी पाँचवाँ भाग।

1 घंटे में दू री = 3 िक.मी.

1/5 घंटे में दू री = 3 िक.मी. को 5 समान भागों में बाँट ने पर

=3÷5

= 3/5 िक .मी.

अत: 1⁄5 × 3 = 3⁄5।

ऐसा क्य होता है: 1⁄5 घंटे के पाँच टु कड़े मलकर एक पूरा घंटा बनाते ह, इस लए दूरी के पाँच समान टु कड़े मलकर
3 क.मी. बनगे और हर टु कड़ा 3⁄5 क.मी. होगा।

प्र.4 आरोन 2⁄5 घंट म कतनी दूर तक चल सकता है?

दो चरण म — पहले 1⁄5 घंटे क दूरी, फर उसे दोगुना।

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चरण 1: 1/5 घंटे में दू री = 3 ÷ 5 = 3/5 िक.मी.

चरण 2: 2/5 घंट ा, 1/5 घंटे का दोगुन ा है

दू री = 2 × 3/5
= 6/5 िक .मी. = 1 1/5 िक.मी.

अत: 2⁄5 × 3 = 6⁄5।

संकेत: पूरी व ध यही है — गुणक के हर से भाग द जए, फर गुणक के अंश से गुणा क जए। इस अध्याय का
हर गुणन इन्ह दो चरण पर चलता है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 176
खंड 8.1 हल कए गए उदाहरण

प्र.1 उदाहरण 1— एक कसान के 5 पोते-पो तयाँ ह। वह अपने प्रत्येक पोता-पोती को 2⁄3 एकड़ भू म वत रत करता
है। उसने अपने सभी पोते-पो तय को कुल कतनी भू म द ?

2⁄
3 एकड़ के पाँच बराबर हस्से।

5 × 2/3 = 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3
= 10/3

= 3 1/3 एकड़

ऐसा क्य होता है: कुल दस एक- तहाई टु कड़े बाँटे गए। तीन तहाई मलकर एक एकड़ बनते ह, इस लए दस तहाई
से 3 पूरे एकड़ और एक तहाई शेष रहता है।

प्र.2 उदाहरण 2 — एक घंटे इंटरनेट समय क लागत ₹8 है। 1 1⁄4 घंटे इंटरनेट समय क लागत क्या होगी?

पहले म त भन्न को वषम भन्न म बद लए।

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as e
क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
1 1/4 घंटे = 5/4 घंटे
m l as
लागत = 5/4 × 8
m .co a g
l a se
g
= (5 × 8) ÷ 4
a= 5 × 2

co m
. ag
= ₹10
em
g l as
a
संकेत: पहले भाग द जए (8 ÷ 4 = 2), फर गुणा (5 × 2 = 10)। संख्याएँ छोट रहगी और गलती क संभावना
कम।
co m
em.
m l as
.co a g
पता a sem — पृष्ठ 176–177
agl
लगाइए
खंड 8.1 भन्न का गुणन

omसप्ताह म कतने गलास दूध पीता है? उसने जनवरी माह म a s
तेन जन प्र त दन 1⁄
em
. c agl
s
प्र.1 गलास दूध पीता है । वह एक
a
2

agl
कतने गलास दूध पया?

co m
m .
प्र त दन क मात्रा को दन क संख्या से गुणा क जए।
m as e
.co a g l
s m सप्ताह (7 िदन) = 7 × 1/2 = 7/2 = 3 1/2
eएक
gl a
a
िगलास

m
जनवरी में 31 िदन होते है ं

a se
जनवरी में = 31 × 1/2 = 31/2 = 15 1/2 िगलास
. com a g l
m
ase
agl
ऐसा क्य होता है: दो आधे गलास मलकर एक पूरा गलास बनते ह। सात आधे = तीन पूरे और एक आधा;

m
इकतीस आधे = पंद्रह पूरे और एक आधा।
. co
em
m l as
.co a g
a s emप्र.2
gl
श्र मक का एक समूह 1 क.मी. लंबी एक पानी क नहर को 8 दन म बना सकता है। अत: यह समूह एक दन म

a ____ क.मी. पानी क नहर बना सकता है। य द वे एक सप्ताह म 5 दन काय करते ह तो वे एक सप्ताह म ____
c
m .
e
क.मी. पानी क नहर बना सकते ह।

m a s
e m . co agl
as

एक कलोमीटर का काम 8 दन म बराबर बँटा है।
a g l

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 4 of 44

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1 िदन में काम = 1 ÷ 8 = 1/8 िक .मी.

5 िदनों में काम = 5 × 1/8 = 5/8 िक .मी.

काय दवस बनी नहर

1 1/8 िक .मी.

5 (एक सप्ताह) 5/8 िक .मी.

8 8/8 = 1 िक .मी.

स्वयं जाँ चए: 5/8 क.मी. = 625 मीटर — पाँच दन के सप्ताह म आधे कलोमीटर से कुछ अ धक।

प्र.3 मंजू और उसक दो पड़ोसन मलकर प्रत्येक सप्ताह 5 लीटर तेल खरीदती ह और उसे समान मात्रा म 3 प रवार
के बीच साझा करती ह? प्रत्येक प रवार को एक सप्ताह म कतना तेल मलता है? एक प रवार को 4 सप्ताह म
कतना तेल प्राप्त होगा?

5 लीटर तेल 3 प रवार म बराबर बँटता है।

1 सप्ताह में पित पिरवार = 5 ÷ 3 = 5/3 लीटर = 1 2/3 लीटर

4 सप्ताह में = 4 × 5/3 = 20/3 = 6 2/3 लीटर

ऐसा क्य होता है: हर लीटर को 3 समान भाग म का टए। कुल 5 × 3 = 15 एक- तहाई भाग बनते ह और 15 ÷ 3
= 5 भाग हर प रवार को मलते ह, अथात 5⁄3 लीटर।

प्र.4 सा फया ने सोमवार को रात 10 बजे चंद्रमा को अस्त होते दे खा। उसक माताजी एक वै ा नक ह। उन्ह ने बताया
क चंद्रमा प्रत्येक दन पछले दन क तुलना म 5⁄6 घंटे दे र से अस्त होता है। चंद्रमा बृहस्प तवार को रात 10 बजे
के कतने घंटे बाद अस्त होगा?

सोमवार से बृहस्प तवार तक 3 दन ह, अत: दे री तीन बार जुड़ती है।

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दे री = 3 × 5/6

= 15/6

= 5/2
= रात 10 बजे के 2 1/2 घंटे बाद

अथात चंद्रमा लगभग रात 12:30 बजे अस्त होगा।

संकेत: सोमवार → मंगलवार पहली दे री, मंगलवार → बुधवार दूसरी, बुधवार → बृहस्प तवार तीसरी। दन क
नह , दन के अंतराल क गनती क जए।

प्र.5 गुणा क जए और उसे म श्रत भन्न म बद लए। (a) 7 × 3⁄5 (b) 4 × 1⁄3 (c) 9⁄7 × 6 (d) 13⁄11 × 6

पूण संख्या को अंश से गुणा क जए, फर पूण भाग अलग क जए।

प्रश्न गुणनफल म श्रत भन्न

(a) 7 × 3/5 21/5 4 1/5

(b) 4 × 1/3 4/3 1 1/3

(c) 9/7 × 6 54/7 7 5/7

(d) 13/11 × 6 78/11 7 1/11

21 ÷ 5 = 4 शेष 1 → 4 1/5

54 ÷ 7 = 7 शेष 5 → 7 5/7

78 ÷ 11 = 7 शेष 1 → 7 1/11

यह क्य काम करता है: भागफल बताता है क वषम भन्न म कतने पूण छपे ह और शेषफल बताता है क कतने
पाँचव (या सातव या ग्यारहव) भाग बचे ह।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 177–179

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दो भन्न को गुणा करना

ग णत चचा

प्र.1 हम जानते ह क आरोन का पालतू कछु आ 1 घंटे म केवल 1⁄4 क.मी. चल सकता है। वह आधे घंटे म कतनी दूर
चल सकता है?

आधे घंटे म एक घंटे क दूरी का आधा भाग तय होगा।

दू री = 1/2 × 1/4 िक.मी.

= 1/4 को 2 समान भागों में बाँट ने पर

= 1/8 िक .मी.

1/8

पूण = 4 पंि तयाँ × 2 स्तंभ = 8 समान भाग

इकाई वग 4 पं क्तय और 2 स्तंभ म बँटा है। एक चौथाई को आधा करने पर गहरा भाग 8 म से 1 भाग है।

ऐसा क्य होता है: पूण को 4 पं क्तय और फर 2 स्तंभ म बाँटने पर 4 × 2 = 8 समान भाग बनते ह, इस लए
प्रत्येक भाग पूण का 1⁄8 है।

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प्र.2 अब हम इस 1⁄4 को 2 समान भाग म बाँटते ह। हम क्या प्राप्त होता है? पूण का कतना भन्न छायां कत है?

अब पूण 8 समान भाग म है और उनम से एक भाग छायां कत है।

पूण = 8 समान भाग

छायांिकत = 1 भाग

= पूण का 1/8

अत: 1⁄2 × 1⁄4 = 1⁄8, और कछु आ आधे घंटे म 1⁄8 क.मी. चलता है।

संकेत: एक चौथाई का आधा सदै व एक अठवाँ होता है — भाग क संख्या दोगुनी होती है, इस लए हर भाग का
आकार आधा।

प्र.3 य द कछु आ तेज चलता है और वह 1 घंटे म 2⁄5 क.मी. क दूरी तय कर सकता है तो वह 3⁄4 घंटे म कतनी दूर
चलेगा?

वही दो चरण — पहले 4 से भाग, फर 3 से गुणा।

(i) 1/4 घंटे में दू री = 2/5 ÷ 4

पूण 5 पंि तयों और 4 स्तं भ ों में = 20 समान भाग

छायांिकत भाग = 2, अत: दू री = 2/20

(ii) 3/4 घंटे में दू री = 3 × 2/20

= 6/20

= 3/10 िक .मी.

अत: 3⁄4 × 2⁄5 = 6⁄20 = 3⁄10।

ऐसा क्य होता है: 5 पं क्तयाँ गुण्य के हर से आती ह और 4 स्तंभ गुणक के हर से। यही कारण है क हर आपस म
गुणा हो जाते ह।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
इस समझ का उपयोग करके 5⁄4 × 3⁄2 गुणा क जए।
e
प्र.4

m l as
.co a g
a s em
3⁄ कोlएक पूण और एक आधे के रूप म बनाइए, फर उसे 4 समान भाग म बाँ टए।
a2 g

co m
पूण 2 पंि तयों और 4 स्तं भ ों में = 8 समान भाग
e m . ag
g l as
a
3/2 ÷ 4 = उनमें से 3 भाग = 3/8

अब 5 से गुणा:

co m
m.
5/4 × 3/2 = (5 × 3)/8

m as e
.co
= 15/8 = 1 7/8
a g l
se m
g l a
a स्वयं जाँ चए: ब्रह्मगुप्त के सूत्र से भी यही उत्तर मलता है — (5 × 3)/(4 × 2) = 15/8। दोन संख्याएँ 1 से बड़ी

m a s
agl
ह, इस लए गुणनफल दोन से बड़ा है। ✔

m .co
l a se
a g
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 180

co m
.
एक आयत के ेत्रफल और भन्न गुणन के बीच संबंध

e m
om g l as
प्र.1 .c चत्र 8.3 म छायां कत आयत क लंबाई और चौड़ाई क्या है? a
a s em
agl
se m
com g l a
m . a
ase
1
8
agl

co m
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
a c
m .
s e
चत्र 8.3, पृष्ठ 180 — इकाई वग के अंदर छायां कत आयत।

m a
e m . co agl
g l as
उत्तर a
m
बड़ा वग एक इकाई वग है, अत: उसक प्रत्येक भुजा 1 इकाई है।

. co
e m
m l as
.co a g
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वग 2 स्तं भ ों में बँट ा है → पत्येक स्तं भ 1/2 इकाई चौड़ ा

वग 4 पंि तयों में बँट ा है → पत्येक पंि त 1/4 इकाई ऊँ ची

लंबाई = 1/2 इकाई, चौड़ ाई = 1/4 इकाई

ऐसा क्य होता है: जाल पर लंबाई पढ़ने का अथ है यह गनना क भुजा कतने समान भाग म बँट है। 1 इकाई के
दो समान भाग आधे बनते ह और चार समान भाग चौथाई।

प्र.2 इस आयत का ेत्रफल क्या है? क्या आपको ेत्रफल और लंबाई व चौड़ाई के गुणनफल के बीच कोई संबंध
दखाई दे रहा है?

ऐसे 8 आयत मलकर इकाई वग बनाते ह।

8 आयत = 1 वग इकाई

एक आयत का ेत्रफल = 1 ÷ 8 = 1/8 वग इकाई

लंबाई × चौड़ ाई = 1/2 × 1/4 = 1/8

दोन बराबर ह — भन्नात्मक भुजाओं वाले आयत का ेत्रफल उसक भुजाओं का गुणनफल होता है।

संकेत: इससे हर भन्न-गुणन का एक चत्र मल जाता है। a⁄b × c⁄d ात करने के लए इकाई वग म इन भुजाओं का
आयत बनाइए और उसका ेत्रफल पढ़ ली जए।

पता लगाइए — पृष्ठ 180–181
भन्नात्मक इकाइय का गुणन

प्र.1 नम्न ल खत गुणनफल को ात क जए। भन्न को प्रद शत करने के लए एक इकाई वग को एक पूण के रूप म
उपयोग क जए। (a) 1⁄3 × 1⁄5 (b) 1⁄4 × 1⁄3 (c) 1⁄5 × 1⁄2 (d) 1⁄6 × 1⁄5

इकाई वग को पं क्तय (पहला हर) और स्तंभ (दूसरा हर) म बाँ टए, फर एक खाना छायां कत क जए।

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प्रश्न पं क्तयाँ × स्तंभ गुणनफल

(a) 1/3 × 1/5 3 × 5 = 15 भाग 1/15

(b) 1/4 × 1/3 4 × 3 = 12 भाग 1/12

(c) 1/5 × 1/2 5 × 2 = 10 भाग 1/10

(d) 1/6 × 1/5 6 × 5 = 30 भाग 1/30

1/15

3 पंि तयाँ × 5 स्तंभ = 15 समान भाग

(a) का चत्र — एक-पाँचव का एक- तहाई अथात 15 म से 1 खाना, यानी 1⁄15।

ऐसा क्य होता है: ै तज कटान और ऊध्वाधर कटान एक-दूसरे से स्वतंत्र ह, इस लए छोटे खान क संख्या सदै व
पं क्तयाँ × स्तंभ होती है।

प्र.2 अब 1⁄12 × 1⁄18 ात क जए।

216 छोटे खाने बनाना क ठन है — इसके ान पर प्र तरूप दे खए।

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पंि तयों की संख्या = 18 (गुण्य का हर)

स्तं भ ों की संख्या = 12 (गुणक का हर)

पूण 18 × 12 = 216 समान भागों में
1/18 × 1/12 = 1/(18 × 12) = 1/216

सामान्यत:, दो भन्नात्मक इकाइय के लए —

1⁄ × 1⁄ = 1/(b × d)
b d

संकेत: जब चत्र बनाना क ठन हो जाए तो दे खए क चत्र कर क्या रहा था और उसी को नयम बना ली जए। इस
अध्याय का हर सूत्र इसी तरह जन्मा है।

प्र.3 नम्न ल खत गुणनफल को ात क जए। भन्न को प्रद शत करने के लए एक इकाई वग को एक पूण के रूप म
उपयोग क जए और सं क्रयाओं को करके दखाइए। (a) 2⁄3 × 4⁄5 (b) 1⁄4 × 2⁄3 (c) 3⁄5 × 1⁄2 (d) 4⁄6 × 3⁄5

अब एक से अ धक खाने छायां कत होते ह — उतने ही जतने (अंश × अंश)।

प्रश्न कुल भाग छायां कत भाग गुणनफल

(a) 2/3 × 4/5 3 × 5 = 15 2×4=8 8/15

(b) 1/4 × 2/3 4 × 3 = 12 1×2=2 2/12 = 1/6

(c) 3/5 × 1/2 5 × 2 = 10 3×1=3 3/10

(d) 4/6 × 3/5 6 × 5 = 30 4 × 3 = 12 12/30 = 2/5

ऐसा क्य होता है: छायां कत टु कड़ा 3 × 5 के जाल म 2 खाने चौड़ा और 4 खाने ऊँचा एक आयत है — उसका
ेत्रफल 3 × 5 म से 2 × 4 खाने। यही ब्रह्मगुप्त का नयम स्वयं प्रकट हो रहा है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 181–182

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अंश और हर को गुणा करना; न्यूनतम रूप म सरलीकरण

प्र.1 अब 5⁄12 × 7⁄18 ात कर।

वही दो चरण, बस संख्याएँ सामान्य ह।

पूण 18 पंि तयों और 12 स्तं भ ों में = 12 × 18 भाग

7/18 ÷ 12 = 7/(12 × 18)

अब 5 से गुणा: (5 × 7)/(12 × 18)

= 35/216

5⁄ 7⁄ 35⁄
12 × 18 = 216

सामान्यत: — ब्रह्मगुप्त का सूत्र (ब्रह्म ु ट- स ांत, 628 सामान्य संवत्):

a⁄ × c⁄ = (a × c)/(b × d)
b d

क्या आप जानते ह? यही सूत्र तब भी चलता है जब एक संख्या पूण संख्या हो — उसे हर 1 वाली भन्न लख
ली जए। जैसे 3 × 3⁄4 = 3⁄1 × 3⁄4 = 9⁄4।

प्र.2 नम्न ल खत भन्न का गुणा क जए और गुणनफल को न्यूनतम रूप म व्यक्त क जए। 12⁄7 × 5⁄24

गुणा करने से पहले उभय नष्ठ गुणनखंड काट द जए।

12/7 × 5/24 = (12 × 5)/(7 × 24)

12 और 24 का उभयिनष्ठ गुणनखंड 12 है

12 ÷ 12 = 1, 24 ÷ 12 = 2

= (1 × 5)/(7 × 2)

= 5/14

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as e
क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
यह क्य मान्य है: अंश और हर को एक ही संख्या से भाग दे ने पर भन्न नह बदलती। पहले काटने से संख्याएँ छोट

m as e
l
रहती ह — पहले गुणा करने पर 60⁄168 मलता, जो सरल होकर 5⁄14 ही बनता।

m .co a g
l a se
a g
आइए, इस व ध का उपयोग करते हुए हम एक और गुणन कर। 14⁄15 × 25⁄42
m
प्र.3

. co ag
e m
g l as
अंश और हर के बीच काट-छाँट क जए, फर a
गुणा।

co m
14/15 × 25/42 = (14 × 25)/(15 × 42)
em.
m l as
m .co
14 और 42 में 14 उभयिनष्ठ → 1 और 3
a g
a s eऔर
gl
25 15 में 5 उभयिनष्ठ → 5 और 3
a = (1 × 5)/(3 × 3)
m a s
.co agl
= 5/9
se m
g l a
a
क्या आप जानते ह? भारत म भन्न को न्यूनतम रूप म लाने क प्र क्रया को अपवतन कहते ह। जैन व ान
उमास्वा त (लगभग 150 सामान्य संवत्) ने एक दाश नक ंथ म भी इसे उपमा के रूप म प्रयोग कया था।
co m
m .
m as e
.co a g l
e m
las लगाइए — पृष्ठ 183–184
agखंड 8.1 भन्न का गुणन
पता

se m
com g l a
. a
प्रयास कर

m
ase
प्र.1 agl
एक पानी क टं क एक नल से भरी जाती है। य द नल 1 घंटा खुला रहता है तो टं क का 7⁄10 भाग भर जाता है।

टं क का कतना भाग भरेगा य द नल को नम्न ल खत समय के लए खुला छोड़ा जाए— (a) 1⁄3 घंटा ____ (b)

co m
2⁄ 3⁄ 7⁄
m .
e
3 घंटा ____ (c) 4 घंटा ____ (d) 10 घंटा ____ (e) टं क को पूरा भरने के लए नल को कतने समय तक चलते

m l as
.co g
रहने दे ना चा हए?

emउत्तर a
a s
agl
.c
प्रत्येक भाग = (समय) × 7⁄10।
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 14 of 44

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नल खुला हल टं क का भरा भाग

(a) 1/3 घंटा 1/3 × 7/10 7/30

(b) 2/3 घंटा 2/3 × 7/10 = 14/30 7/15

(c) 3/4 घंटा 3/4 × 7/10 21/40

(d) 7/10 घंटा 7/10 × 7/10 49/100

(e) टं क तब पूरी भरती है जब भरा भाग 1 हो।

समय = 1 ÷ 7/10

= 1 × 10/7

= 10/7 घंटे = 1 3/7 घंटे ≈ 1 घंट ा 26 िमनट

ऐसा क्य होता है: 7⁄10 घंटे म टं क का केवल 49⁄100 भाग भरता है — आधे से भी कम — क्य क यह भाग का
भाग है।

प्र.2 सरकार ने एक सड़क बनाने के लए सोमू क भू म का 1⁄6 भाग ले लया। अब सोमू के पास भू म का कतना भाग
शेष बचा है? वह शेष भाग क आधी भू म अपनी पुत्री कृष्णा को और 1⁄3 भाग अपने पुत्र बोरा को दे दे ता है। उनके
हस्स को दे ने के बाद वह शेष भू म अपने पास रखता है। (a) मूल भू म का कतना भाग कृष्णा को प्राप्त हुआ?
(b) मूल भू म का कतना भाग बोरा को प्राप्त हुआ? (c) मूल भू म का कतना भाग सोमू ने अपने लए रखा?

पहले दे खए क सड़क बनने के बाद कतनी भू म शेष है।

शेष भूिम = 1 − 1/6 = मूल भूिम का 5/6

(a) कृष्णा को उसका आधा मला —

1/2 × 5/6 = 5/12

(b) बोरा को उसका एक- तहाई मला —

1/3 × 5/6 = 5/18

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(c) सोमू ने शेष रखा —

5/6 − 5/12 − 5/18

6, 12, 18 का ल.स. = 36

= 30/36 − 15/36 − 10/36

= 5/36

स्वयं जाँ चए: 1/6 + 5/12 + 5/18 + 5/36 = 6/36 + 15/36 + 10/36 + 5/36 = 36/36 = 1 ✔ पूरी भू म
का हसाब मल गया।

प्र.3 एक ऐसे आयत का ेत्रफल ात क जए जसक भुजाएँ 3 3⁄4 फ ट और 9 3⁄5 फ ट ह।

दोन म त भन्न को वषम भन्न बनाइए, फर गुणा क जए।

3 3/4 = 15/4 9 3/5 = 48/5

ेत्रफल = 15/4 × 48/5

कािटए: 15 और 5 → 3 और 1; 48 और 4 → 12 और 1

= 3 × 12

= 36 वग फीट

यह क्य काम करता है: पूण संख्या वाली भुजाओं के लए जो ेत्रफल का नयम आप जानते ह, वही भन्नात्मक
भुजाओं पर भी लागू होता है — इकाई वग के चत्र ने यही दखाया था।

प्र.4 त्सेवांग ने अपने उद्यान म एक पं क्त म चार पौध लगाई। दो पौध के बीच क दूरी 3⁄4 मीटर है। पहले और अं तम
पौध के बीच क दूरी को ात क जए। (संकेत — चार पौध का एक क ा चत्र बनाइए जसम दो पौध के बीच
क दूरी 3⁄ 4 मीटर हो।)

एक पं क्त म चार पौध के बीच 3 अंतराल होते ह, 4 नह ।

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3/4 मी 3/4 मी 3/4 मी

पहली चौथी

चार पौध, बीच म 3⁄4 मीटर के तीन अंतराल।

दू री = 3 × 3/4

= 9/4

= 2 1/4 मीटर

संकेत: यह वही पुरानी भूल है — पं क्त म n वस्तुएँ ह तो अंतराल केवल n − 1 होते ह।

प्र.5 कौन अ धक भारी है — 500 ाम का 12⁄15 अथवा 4 कलो ाम का 3⁄20?

दोन को एक ही मात्रक — ाम — म लाइए।

500 गाम का 12/15 = (12 × 500)/15

= 6000/15

= 400 गाम

4 िक.गा. = 4000 गाम

4000 गाम का 3/20 = (3 × 4000)/20

= 12000/20

= 600 गाम

4 कलो ाम का 3⁄20 (600 ाम) अ धक भारी है — 500 ाम के 12⁄15 (400 ाम) से 200 ाम अ धक।

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छोट भन्न क्य जीती: 3⁄20, 12⁄15 से बहुत छोट भन्न है, पर वह 8 गुनी बड़ी रा श का भाग है। भन्न क तुलना से
पहले पूण को अवश्य दे खए।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 184–186
क्या गुणनफल गुणन क संख्याओं से सदै व बड़ा होता है? / गुणन का क्रम

प्र.1 आपको क्या लगता है क गुणा क जाने वाली दोन संख्याओं से गुणनफल कब बड़ा है, यह दोन संख्याओं के
बीच म है और कब यह दोन संख्याओं से छोटा है? (संकेत— गुणनफल और गुणा क जाने वाली संख्याओं के
बीच संबंध इस बात पर नभर करता है क क्या वे 0 और 1 के बीच म ह या वे 1 से बड़ी ह।)

सब कुछ इस पर नभर है क प्रत्येक संख्या 1 क तुलना म कहाँ है।

त गुणा संबंध

दोन संख्याएँ 1 से बड़ी 4/3 × 4 = 16/3 ग ुणनफ ल द ोनों से बड़ ा

दोन संख्याएँ 0 और 1 के बीच 3/4 × 2/5 = 3/10 ग ुणनफ ल द ोनों से छोटा

एक 0 और 1 के बीच, एक 1 से बड़ी 3/4 × 5 = 15/4 ग ुणनफ ल द ोनों के बीच में

बीच वाली पंि त जाँिचए: 3/4 = 15/20 और 2/5 = 8/20

गुणनफल 3/10 = 6/20

6/20 < 8/20 < 15/20 ✔

ऐसा क्य होता है: 1 से छोट संख्या से गुणा करने का अथ है दूसरी संख्या का केवल एक भाग लेना, इस लए उत्तर
घट जाता है। 1 से बड़ी संख्या से गुणा करने का अथ है उससे अ धक लेना, इस लए उत्तर बढ़ जाता है।

प्र.2 प्रत्येक त के लए और अ धक उदाहरण का नमाण क जए तथा गुणनफल एवं गुणा क जाने वाली
संख्याओं के बीच के संबंध को ध्यान से दे खए। आप गुणा क जाने वाली संख्याओं और गुणनफल के बीच संबंध
के वषय म क्या नष्कष नकाल सकते ह? रक्त ान भ रए— • जब गुणा क जाने वाली संख्याओं म से एक
संख्या 0 और 1 के बीच क हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से ____ (बड़ा / छोटा) होता है। • जब गुणा क जाने
वाली संख्याओं म से एक संख्या 1 से बड़ी हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से ____ (बड़ा / छोटा) होता है।

दोन रक्त ान एक ही वचार से भरते ह।

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as e
क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

जब एक संख्या 0 और 1 के बीच क हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से छोटा होता है।
co m
em.
as
जब एक संख्या 1 से बड़ी हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से बड़ा होता है।

c o m g l
. a
a s em
आपका उदाहरण गुणनफल दूसरी संख्या से तुलना

a1/2gl× 9 9/2 = 4 1/2 9 से छोटा

m
.co ag
5/2 × 6 15 6 से बड़ा

a sem
agl
2/3 × 3/7 2/7 दोन से छोटा

7/5 × 10/9 14/9 दोन से बड़ा

co m
em.
omहै। l as
संकेत: “गुणा करने से सदै व बड़ा होता है” — यह बात केवल 1 से बड़ी पूण संख्याओं के लए सही है। भन्न के
साथ यह.cगलत a g
a s em
a gl
m a s
.co agl
प्र.3 हम जानते ह क 1⁄2 × 1⁄4 = 1⁄8। अब 1⁄4 × 1⁄2 क्या होगा?

se m
g l a
a
यह भी 1⁄
m
8 ही होगा।

. co
e m
m l as
.co a g
1/4 × 1/2 = (1 × 1)/(4 × 2) = 1/8

s m a⁄ b × c⁄ d = c⁄ d × a⁄ b
eअत:
gl a
a
se m
com g l a
. a
ऐसा क्य होता है: आयत को घुमा दे ने पर उसका ेत्रफल वही रहता है — लंबाई और चौड़ाई बस आपस म बदल
m
ase
जाती ह। यही बात ब्रह्मगुप्त के सूत्र म भी दखती है, क्य क a × c = c × a और b × d = d × b।

agl

co m
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 186–188
m .
m as e
.co
खंड 8.2 भन्न का वभाजन (भाग)
a g l
a s em
agl
c
12 ÷ 4 क्या है? यह आप पहले से ही जानते ह। परंतु क्या इस समस्या को गुणन समस्या के रूप म पुनः व्यक्त
.
प्र.1
कया जा सकता है? 4 को कससे गुणा कया जाए क 12 प्राप्त हो?
s e m
m a
e m . co agl
as

a g l
12 ÷ 4 = 3, और यही तथ्य उलट कर भी लखा जा सकता है।

co m
m .
m as e
.co


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12 ÷ 4 = 3

अथ त 4 × ? = 12

4 × 3 = 12 ✔

यह क्य महत्वपूण है: हर वभाजन वस्तुत: “लुप्त गुणनखंड” का प्रश्न है। ÷ को × म बदल लेने से भन्न का
वभाजन बना कोई नई व ध गढ़े हो जाता है।

प्र.2 1 ÷ 2⁄3 क्या है?

प्रश्न यह बनाइए — 2⁄3 को कससे गुणा कर क 1 मले?

2/3 × ? = 1

2/3 को उलट दीिजए: 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1 ✔

अत: 1 ÷ 2/3 = 3/2

संकेत: 3⁄2 को 2⁄3 का व्युत्क्रम कहते ह। कोई भी भन्न अपने व्युत्क्रम से गुणा करने पर सदै व 1 दे ती है।

प्र.3 आइए, एक अन्य समस्या हल कर — 3 ÷ 2⁄3। यह 2⁄3 × ? = 3 के समान है। क्या आप उत्तर ात कर सकते ह?

हम जानते ह क 2⁄3 को 1 कैसे बनाया जाए — अब उसे तगुना कर द जए।

2/3 × 3/2 = 1

2/3 × (3/2 × 3) = 3

अत: 3 ÷ 2/3 = 3/2 × 3

= 9/2 = 4 1/2

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उत्तर 3 से बड़ा क्य है: आप पूछ रहे ह क 3 म कतने दो- तहाई समाते ह। हर टु कड़ा 1 से छोटा है, इस लए 3 से
अ धक टु कड़े समाएँगे — साढ़े चार।

1⁄ 1⁄
प्र.4 5÷ 2 क्या है?

गुणन के रूप म ल खए और भाजक के व्युत्क्रम का उपयोग क जए।

1/2 × ? = 1/5
1/2 × 2 = 1, अत: 1/2 × (2 × 1/5) = 1/5

1/5 ÷ 1/2 = 2 × 1/5

= 2/5

स्वयं जाँ चए: 2⁄5 × 1⁄2 = 2⁄10 = 1⁄5 ✔

2⁄ 3⁄
प्र.5 3÷ 5 क्या होगा?

भाजक 3⁄5 का व्युत्क्रम 5⁄3 है।

3/5 × ? = 2/3

3/5 × 5/3 = 1, अत: 3/5 × (5/3 × 2/3) = 2/3

2/3 ÷ 3/5 = 5/3 × 2/3

= 10/9 = 1 1/9

स्वयं जाँ चए: 10⁄9 × 3⁄5 = 30⁄45 = 2⁄3 ✔

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प्र.6 उपरोक्त वभाजन क प्रत्येक समस्या म हमने उत्तर कैसे पाया इसका अवलोकन क जए। दो भन्न का वभाजन
कैसे कया जाता है क्या इसके लए हम एक नयम बना सकते ह?

हाँ — हर बार दो चरण।

1. भाजक का व्युत्क्रम ात क जए ( भन्न को उलट द जए)।
2. भाज्य को उस व्युत्क्रम से गुणा क जए।

a⁄ ÷ c⁄ = a⁄ × d⁄ = (a × d)/(b × c)
b d b c

वभाजन भाजक का व्युत्क्रम भागफल

1 ÷ 2/3 3/2 3/2

3 ÷ 2/3 3/2 9/2

1/5 ÷ 1/2 2/1 2/5

2/3 ÷ 3/5 5/3 10/9

क्या आप जानते ह? यह नयम सामान्य रूप म सवप्रथम ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्म ु ट- स ांत (628 सामान्य संवत्) म
बताया था, और भास्कर तीय ने लीलावती (1150 सामान्य संवत्) म इसे व्युत्क्रम क धारणा से स्पष्ट कया।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 189
भाज्य, भाजक और भागफल

प्र.1 आपको क्या लगता है क भागफल कब भाज्य से कम और कब भाज्य से अ धक है?

यह पूरी तरह भाजक पर नभर है, ठ क गुणन क तरह।

भाजक 1 से बड़ा → भागफल भाज्य से छोटा।
भाजक 0 और 1 के बीच → भागफल भाज्य से बड़ा।
भाजक 1 के बराबर → भागफल भाज्य के बराबर।

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वभाजन भाजक भागफल भाज्य से तुलना

6÷3 3>1 2 6 से छोटा

6 ÷ 1/4 1/4 < 1 24 6 से बड़ा

1/8 ÷ 1/4 1/4 < 1 1/2 1/8 से बड़ा

ऐसा क्य होता है: 1⁄4 से भाग दे ना 4 से गुणा करने के समान है, क्य क 1 से छोट संख्या का व्युत्क्रम 1 से बड़ा
होता है। इस लए छोटा भाजक बड़ा उत्तर दे ता है।

प्र.2 क्या भाजक और भागफल के बीच भी ऐसा ही एक संबंध है? गुणन म ऐसे संबंध क अपनी समझ का प्रयोग
करके ऊपर दए गए प्रश्न के उत्तर द जए।

हाँ — भाज्य र रहे तो भाजक और भागफल वपरीत दशा म चलते ह।

12 ÷ 2 = 6

12 ÷ 4 = 3 (भाजक दोगुन ा → भागफल आधा)

12 ÷ 1/2 = 24 (भाजक 2 से 4 गुन ा छोटा → भागफल 4 गुन ा बड़ ा)

अथात भाजक जतना बड़ा, भागफल उतना छोटा; भाजक जतना छोटा, भागफल उतना बड़ा। दोन बराबर तभी होते ह जब
भाजक × भाजक = भाज्य हो, जैसे 9 ÷ 3 = 3।

संकेत: भागफल × भाजक = भाज्य, सदै व। य द एक गुणनखंड बढ़ता है तो गुणनफल वही रखने के लए दूसरे को
घटना ही पड़ेगा।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 190–191
खंड 8.3 भन्न से संबं धत कुछ समस्याएँ

प्र.1 उदाहरण 3 — लीना 5 कप चाय बनाती है। इसके लए वह 1⁄4 लीटर दूध उपयोग करती है। चाय के प्रत्येक कप म
कतना दूध है?

एक चौथाई लीटर दूध 5 कप म बराबर बँटा है।

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as e
क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
पित कप दू ध = 1/4 ÷ 5
m l as
.co
5 का व्युत्क्रम 1/5 है
m a g
l a se
g
= 1/5 × 1/4
a= 1/20 लीटर = 50 िम.ली.

co m
e m . ag
l as
ऐसा क्य होता है: 5 × (प्र त कप दूध) = 1⁄4 लीटर होना चा हए। ऐसे बीस कप मलकर एक पूरा लीटर बनाएँगे,
g
अत: प्रत्येक कप म 1⁄20 लीटर दूध है। a

co m
se m.
o m l a
g उदाहरण लया गया है। 7 1⁄2
m .c 4 — यहाँ बौधायन के शुल्बसूत्र (लगभग 800 सामान्य संवत् पूव) सेaएक
se वग इकाई ेत्र को वगाकार ईंट से ढ कए जनक प्रत्येक भुजा 1⁄5 इकाई क है। ऐसी कतनी वगाकार ईंट क
प्र.2 उदाहरण

l a
ag आवश्यकता है?

m a s
m .co agl
se

g l a
a
पहले एक ईंट का ेत्रफल नका लए।

co m
.
एक ईंट का ेत्रफल = 1/5 × 1/5 = 1/25 वग इकाई
e m
m l as
.co
कु ल ेत्रफल = 7 1/2 = 15/2 वग इकाई

ईंm a g
s e
la
ट ों की संख्या = 15/2 ÷ 1/25

ag 1/25 का व्युत्क्रम 25 है

se m
= 25 × 15/2
com g l a
m . a
ase
= 375/2 = 187 1/2 ईंटें

agl
m
क्या आप जानते ह? उत्तर वास्तव म 187½ है — शुल्बसूत्र के अ ग्न-वेद नमाता ईंट को आधा काटकर लगाते

. co
m
थे, इस लए उनके लए आधी ईंट पूरी तरह सामान्य बात थी।

m as e
.co a g l
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 उदाहरण 5 — चार फव्वारे एक कुण्ड को भरते ह। पहला फव्वारा कुण्ड को एक दन म भर सकता है। दूसरा उसे
आधे दन म भर सकता है। तीसरा उसे एक चौथाई दन म भर सकता है। चौथा फव्वारा उस कुण्ड को 1⁄5 दन म
भर सकता है। य द उन सभी को एक साथ खोल दया जाए तो वे सभी कुण्ड को कतने समय म भर दगे? एक
दन म कतनी बार — पहला फव्वारा कुण्ड को भर दे गा = 1 ÷ 1 = 1; दूसरा फव्वारा कुण्ड को भर दे गा = 1 ÷ 1⁄2
= ____; तीसरा फव्वारा कुण्ड को भर दे गा = 1 ÷ 1⁄4 = ____; चौथा फव्वारा कुण्ड को भर दे गा = 1 ÷ 1⁄5 = ____। 1
दन म चार फव्वारे मलकर कुण्ड को ____ + ____ + ____ + ____ = 12 बार भरगे।

ग नए क एक पूरे दन म हर फव्वारा कतनी बार कुण्ड भरता है।

फव्वारा एक बार भरने का समय एक दन म भराव

पहला 1 िदन 1÷1=1

दूसरा 1/2 िदन 1 ÷ 1/2 = 2

तीसरा 1/4 िदन 1 ÷ 1/4 = 4

चौथा 1/5 िदन 1 ÷ 1/5 = 5

िमलकर एक िदन में = 1 + 2 + 4 + 5 = 12 बार

1 बार भरने का समय = 1 ÷ 12

= 1/12 िद न = 2 घंटे

समय नह , दर क्य जोड़ी जाती है: चार फव्वारे एक ही समय बहते ह, इस लए उनक ग तयाँ जुड़ती ह। एक दन
म 12 कुण्ड का अथ है दन के बारहव भाग म एक कुण्ड।

ग णत चचा — पृष्ठ 192–193

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भन्नात्मक संबंध

ग णत चचा

प्र.1 यहाँ एक वग है जसके अंदर कुछ रेखाएँ ख ची गई ह ( चत्र 8.4)। छायां कत ेत्र पूरे वग के ेत्रफल का कतना
भाग घेरता है?

चत्र 8.4, पृष्ठ 192 — वग के अंदर ख ची गई रेखाएँ; प्रश्न वाला ेत्र रेखां कत है।

पूरे वग का ेत्रफल 1 वग इकाई मानकर एक-एक परत खो लए।

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क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना AglaSem · NCERT Solutions

चरण 1: दायाँ शीष वग पूरे वग का एक चौथाई = 1/4 वग इकाई

चरण 2: उसके अंद र का पीला ित्रभुज उसका आधा = 1/2 × 1/4 = 1/8 वग इकाई

चरण 3: छायांिकत भाग उस ित्रभुज का 3/4 = 3/4 × 1/8

= 3/32 वग इकाई

अत: छायां कत ेत्र पूरे वग का 3⁄32 भाग घेरता है।

यह व ध क्य चलती है: “ भन्न का भन्न का भन्न” वस्तुत: गुणा क एक ृंखला है। हर चरण म दे खा जाने वाला
टु कड़ा छोटा होता जाता है, और तीन भन्न का गुणनफल मूल पूण म उसका हस्सा बता दे ता है।

प्र.2 इस पीले त्रभुज का कतना भाग छायां कत है? क्या आप पता कर सकते ह क ऐसा क्य है?

पीले त्रभुज का 3⁄4 भाग छायां कत है।

4

3
1 2

4 समान भाग; भाग 2, 3, 4 छायािं कत
भुजाओं के मध्य- बदुओं को कण के मध्य- बदु से जोड़ने पर त्रभुज चार समान भाग म बँट जाता है। उनम से तीन छायां कत ह।

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क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना AglaSem · NCERT Solutions

िबना छायािं कत भाग = 4 समान भागों में से 1 = 1/4

छायांिकत = 1 − 1/4 = 3/4

चार भाग बराबर क्य ह: आधार के मध्य- बदु से ख ची ऊध्वाधर रेखा और ऊध्वाधर भुजा के मध्य- बदु से ख ची
ै तज रेखा दोन कण के मध्य- बदु पर मलती ह। ये त्रभुज को एक छोटा त्रभुज, एक वग (जो ऐसे दो त्रभुज के
बराबर है) और एक और छोटा त्रभुज म काटती ह — कुल चार बराबर भाग।

प्र.3 नीचे दए गए प्रत्येक चत्र म बड़े वग का वह भाग ात क जए जसे छायां कत ेत्र घेरता है।

(a) (b)

इस प्रश्न के साथ पृष्ठ 193 पर छपे दोन चत्र।

चत्र (a): 3⁄8। छायां कत प दो समांतर वकण के बीच है।

मुख्य िवकण के नीचे का बड़ ा ित्रभुज = वग का 1/2

छोटी समांत र रेखा के नीचे का ित्रभुज = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

छायािं कत प ी = 1/2 − 1/8

= 4/8 − 1/8

= 3/8

चत्र (b): 1⁄16। सारा काम बाएँ-ऊपरी चौथाई म हो रहा है।

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as e
क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
बायाँ-ऊपरी चौथाई = वग का 1/4
m l as
.co
उसके मध्य-िबंद ुओ ं को जोड़ कर बना ितरछा वग = 1/2 × 1/4 = 1/8
m a g
l a se
g
चारों कोने के ित्रभुज िमलकर = 1/4 − 1/8 = 1/8, अत: पत्येक = 1/32
aदो कोने के ित्रभुज छायांिकत = 2 × 1/32

co m
. ag
= 1/16
em
g l as
a
संकेत: (b) म छायां कत टु कड़े तरछे वग के दाईं ओर के कोने वाले त्रभुज ह — एक ऊपर और एक नीचे।

co m
em.
coपृmष्ठ 193–194 g l as
. a
em
पाठ्य प्रश्न —
a s
agl
एक द्रम्म संबंधी दान

a s
comजानते ह तो आप मुझे बताओ क कृपण ने भखारी को agl
“हे बु मान! एक कृपण (कंजूस) ने एक भखारी को एक द्रम्म का 1⁄5 का 1⁄16 का 1⁄4 का 1⁄2 का 2⁄3 का 3⁄4
भाग दया। य द आप भन्न का ग णत अ े .प्रकार
प्र.1

a s emड़याँ)
agl
कतनी कौ ड़याँ द ?” (1 द्रम्म = 1280 कौ

co m
m .
as e
“का” का अथ है गुणा — अत: छह भन्न को गुणा क जए।
m l
.co
m × 2/3 × 3/4 × 1/5 × 1/16 × 1/4 a g
a s e1/2
agl
m
1/2 × 2/3 = 1/3

a se
. com g l
1/3 × 3/4 = 1/4
m a
ase
agl
1/4 × 1/5 = 1/20

1/20 × 1/16 = 1/320

1/320 × 1/4 = द म्म का 1/1280
co m
m .
m as e
.co a g l
se m 1 दम्म = 1280 कौिड़ याँ
g l a
a c
.
दान = 1/1280 × 1280

s e m
m a
co agl
= 1 कौड़ी

m .
ase
a g l

co m
m .
m ase
.co


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क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना AglaSem · NCERT Solutions

क्या आप जानते ह? भास्कराचाय ने ग णत के भीतर वनोद छपा रखा है — इतनी बड़ी-बड़ी भन्न के बाद कृपण
ने केवल एक कौड़ी द , जो सबसे कम मूल्य क मुद्रा थी।

प्र.2 य द हम मान क 1 सोने का द नार = 12 चाँद के द्रम्म, 1 चाँद का द्रम्म = 4 ताँबे के पण, 1 ताँबे का पण = 6
मशक और 1 पण = 30 कौ ड़याँ, तो 1 ताँबे का पण = 1⁄48 सोने का द नार। 1 कौड़ी = ____ ताँबे के पण। 1 कौड़ी
= ____ सोने का द नार।

सक्क क ृंखला म उलट दशा म च लए।

1 पण = 30 कौिड़ याँ

अत: 1 कौड़ ी = 1/30 ताँबे का पण

1 पण = 1/48 सोने का दीनार

1 कौड़ ी = 1/30 × 1/48

= 1/1440 सोने का द ीनार

1 सोने का द नार = मान

द्रम्म म 12 × 1 12 द म्म

पण म 12 × 4 48 पण

कौ ड़य म 48 × 30 1440 कौिड़याँ

यह क्य काम करता है: “1 बड़ा सक्का = n छोटे सक्के” को उलट कर “1 छोटा सक्का = बड़े सक्के का 1⁄n”
लखा जाता है। ृंखला बनाने पर ये भन्न आपस म गुणा हो जाती ह।

पता लगाइए — पृष्ठ 196–198

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अध्याय अभ्यास

प्र.1 नम्न ल खत का मूल्यांकन क जए। 3 ÷ 7⁄9; 14⁄4 ÷ 2; 2⁄3 ÷ 2⁄3; 14⁄6 ÷ 7⁄3; 4⁄3 ÷ 3⁄4; 7⁄4 ÷ 1⁄7; 8⁄2 ÷
4⁄ 1⁄ 1⁄ ; 1⁄ ÷ 11⁄ ; 3 2 ⁄3 ÷ 1 3 ⁄8
15; 5÷ 9 6 12

हर भाजक को उल टए और गुणा क जए।

वभाजन व्युत्क्रम से गुणा उत्तर

3 ÷ 7/9 3 × 9/7 27/7 = 3 6/7

14/4 ÷ 2 14/4 × 1/2 14/8 = 7/4 = 1 3/4

2/3 ÷ 2/3 2/3 × 3/2 1

14/6 ÷ 7/3 14/6 × 3/7 42/42 = 1

4/3 ÷ 3/4 4/3 × 4/3 16/9 = 1 7/9

7/4 ÷ 1/7 7/4 × 7 49/4 = 12 1/4

8/2 ÷ 4/15 4 × 15/4 15

1/5 ÷ 1/9 1/5 × 9 9/5 = 1 4/5

1/6 ÷ 11/12 1/6 × 12/11 12/66 = 2/11

3 2/3 ÷ 1 3/8 11/3 × 8/11 8/3 = 2 2/3

संकेत: म त भन्न को पहले बद लए — 3 2⁄3 = 11⁄3 और 1 3⁄8 = 11⁄8। फर 11 आपस म सुंदर ढं ग से कट
जाते ह।

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प्र.2 नीचे दए गए प्रत्येक प्रश्न के लए उस व्यंजक को चु नए जो हल का वणन करता हो। फर उसे सरल क जए। (a)
मा रया ने वद्यालय के लए बनाए गए थैल को सजाने के लए 8 मीटर फ ता ( रबन) खरीदा। उसने प्रत्येक थैले
के लए 1⁄4 मीटर फ ते का उपयोग कया और सारा फ ता खत्म कर दया। उसने कतने थैल को सजाया? (i) 8
× 1⁄4 (ii) 1⁄8 × 1⁄4 (iii) 8 ÷ 1⁄4 (iv) 1⁄4 ÷ 8. (b) 8 बल्ले (Badges) बनाने के लए 1⁄2 मीटर फ ते ( रबन)
उपयोग कया जाता है। प्रत्येक बल्ला बनाने के लए उपयोग कए गए फ ते क लंबाई क्या है? (i) 8 × 1⁄2 (ii)
1⁄ 1⁄ 1⁄ 1⁄ (c) एक रोट बनाने वाले (Baker) को बड़ी रोट बनाने के लए 1⁄6
2÷ 8 (iii) 8 ÷ 2 (iv) 2 ÷ 8.
कलो ाम आटे क आवश्यकता है। उसके पास 5 क. ा. आटा है। उससे वह कतनी रो टयाँ बना सकता है? (i)
5 × 1⁄6 (ii) 1⁄6 ÷ 5 (iii) 5 ÷ 1⁄6 (iv) 5 × 6

(a) वकल्प (iii) — 8 मीटर म एक-चौथाई मीटर के कतने टु कड़े ह?

8 ÷ 1/4 = 8 × 4 = 32 थै ले

(b) वकल्प (iv) — आधा मीटर 8 बल्ल म बँटता है।

1/2 ÷ 8 = 1/2 × 1/8 = 1/16 मीटर (पत्येक 6.25 से.मी.)

(c) वकल्प (iii) — 5 क. ा. म एक-छठाई कलो ाम के कतने भाग ह?

5 ÷ 1/6 = 5 × 6 = 30 रोिटयाँ

वकल्प कैसे चुन: पू छए क प्रश्न कस प्रकार का है। “छोटे टु कड़े कतने समाते ह?” का अथ है टु कड़े से भाग।
“एक पूण कई म बँटा?” का अथ है हस्स क संख्या से भाग। (c) म वकल्प (iv) संयोग से सही संख्या दे ता है,
पर 5 × 6 उस त का वणन नह करता।

प्र.3 य द 12 रो टयाँ बनाने के लए 1⁄4 क. ा. आटे का उपयोग कया जाता है तो 6 रो टयाँ बनाने के लए कतना
आटा उपयोग होता है?

6 रो टयाँ, 12 रो टय क आधी ह।

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1 रोटी के िलए आटा = 1/4 ÷ 12 = 1/48 िक.गा.

6 रोिटयों के िलए = 6 × 1/48

= 6/48

= 1/8 िक .गा.

छोटा रास्ता: आधी रो टय के लए आधा आटा — 1⁄4 क. ा. का आधा 1⁄8 क. ा. (125 ाम) है।

प्र.4 नौव शताब्द ई. म श्रीधराचाय ारा ल खत पुस्तक पाट ग णत म इस समस्या का उल्लेख है, “ मत्र! सोचकर
बताइए क 1 ÷ 1⁄6, 1 ÷ 1⁄10, 1 ÷ 1⁄13, 1 ÷ 1⁄9 और 1 ÷ 1⁄2 को एक साथ जोड़ने पर क्या प्राप्त होगा?” मत्र का
क्या उत्तर होगा?

1 को इकाई भन्न से भाग दे ने पर उसका हर ही उत्तर होता है।

1 ÷ 1/6 = 6

1 ÷ 1/10 = 10

1 ÷ 1/13 = 13

1 ÷ 1/9 = 9

1 ÷ 1/2 = 2

योग = 6 + 10 + 13 + 9 + 2 = 40

मत्र को 40 कहना चा हए।

ऐसा क्य होता है: 1 ÷ 1⁄n पूछता है क “एक पूण म 1⁄n के कतने टु कड़े ह?” — और उत्तर सदै व n होता है।

प्र.5 मीरा एक उपन्यास पढ़ रही है, जसम 400 पृष्ठ ह। उसने कुल पृष्ठ का 1⁄5 भाग कल पढ़ा और आज कुल पृष्ठ का
3⁄
10 भाग पढ़ा। उपन्यास को पूरा पढ़ने के लए उसे अभी और कतने पृष्ठ को पढ़ने क आवश्यकता है?

दोन दन पढ़े गए पृष्ठ नका लए, फर 400 म से घटाइए।

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as e
क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
कल = 1/5 × 400 = 80 पृष्ठ
m l as
.co
आज = 3/10 × 400 = 120 पृष्ठ
m a g
l a se
g
अब तक पढ़ े = 80 + 120 = 200 पृष्ठ
aशेष = 400 − 200 = 200 पृष्ठ

co m
e m . ag
g l as
दूसरा तरीका: 1/5 + 3/10 = 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2। उसने ठ क आधी पुस्तक पढ़ ली है, अत: 400
का आधा = 200 पृष्ठ शेष ह। a

co m
em.
m l as
.co a g
प्र.6 एक कार 1 लीटर पे ोल का उपयोग करके 16 क.मी. चलती है। 2 3⁄4 लीटर पे ोल का उपयोग करके यह कतनी

se mदूर तक जाएगी?
g l a
a
s

m a
.co agl
प्र त लीटर दूरी को लीटर क संख्या से गुणा क जए।

se m
g l a
2 3/4 लीटर = 11/4 लीटर a
दू री = 11/4 × 16
co m
m .
as e
com. .
= 11 × 4
. a g l
m
ase
= 44 िक मी

agl
यह क्य काम करता है: 16 क.मी. प्र त लीटर, अत: 2 लीटर से 32 क.मी. और शेष 3⁄4 लीटर से 3⁄4 × 16 = 12
se m
com g l a
क.मी.। कुल 32 + 12 = 44 क.मी.।
m . a
ase
agl

c o m
अमृतपाल अपनी छु य के लए एक गंतव्य का चयन करता है। य द वह एक रेलगाड़ी से जाता है तो वहाँ पहुँचने
.
प्र.7

em2 घंटा लगेगा? हवाई जहाज
as
म उसे 5 1⁄ घंटे लगगे। य द वह हवाई जहाज से जाता है तो वहाँ पहुँचने म उसे 1⁄
m ारा जाने से कतना समय बचेगा?
6

.co a g l
a s em
agl उत्तर
.c
बचा समय दोन समय का अंतर है।
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 34 of 44

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5 1/6 = 31/6 घंटे

बचत = 31/6 − 1/2

= 31/6 − 3/6

= 28/6

= 14/3 घंटे = 4 2/3 घंटे

हवाई जहाज से 4 2⁄3 घंटे, अथात 4 घंटे 40 मनट बचते ह।

स्वयं जाँ चए: 1⁄2 + 4 2⁄3 = 3⁄6 + 28⁄6 = 31⁄6 = 5 1⁄6 ✔

प्र.8 म रयम क दाद माँ एक केक बनाती ह। म रयम और उसके चचेरे भाई केक का 4⁄5 भाग खा लेते ह। शेष केक को
म रयम क तीन सहे लय ारा बराबर-बराबर बाँट लया जाता है। प्रत्येक सहेली को केक का कतना भाग मला?

पहले शेष केक नका लए, फर उसे तीन म बाँ टए।

शेष के क = 1 − 4/5 = 1/5

पत्येक सहेली = 1/5 ÷ 3

= 1/5 × 1/3

= के क का 1/15 भाग

ऐसा क्य होता है: केक के एक-पाँचव भाग को 3 बराबर टु कड़ म काटने पर पंद्रहव भाग बनते ह, क्य क ऐसे 5 ×
3 = 15 टु कड़े मलकर पूरा केक बनाएँगे।

प्र.9 (565⁄465 × 707⁄676) के गुणनफल का वणन करने के लए एक अथवा अ धक वकल्प को चु नए — (a) >
565⁄ 565⁄ 707⁄ 707⁄
465 (b) < 465 (c) > 676 (d) < 676 (e) > 1 (f) < 1

गुणा करने क आवश्यकता ही नह — बस दे खए क प्रत्येक भन्न 1 क तुलना म कहाँ है।

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565 > 465, अत: 565/465 > 1

707 > 676, अत: 707/676 > 1

दोन संख्याएँ 1 से बड़ी ह। इस लए गुणनफल दोन से बड़ा है और 1 से भी बड़ा है।
सही वकल्प: (a), (c) और (e)।

स्वयं जाँ चए: 565⁄465 ≈ 1.22 और 707⁄676 ≈ 1.05, अत: गुणनफल ≈ 1.27 — 1.22 से बड़ा, 1.05 से बड़ा, 1
से बड़ा ✔

प्र.10 पूरे वग का कतना भाग छायां कत है?

छायांकन पूरी तरह वग के दाएँ- नचले चौथाई के अंदर है।

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“Y” आकृित दाएँ-िनचले चौथाई को बाँटती है

दाएँ- नचले चौथाई के अंदर छायां कत भाग एक त्रभुज और एक वग मलकर बनता है — उसके 8 बराबर आध म से 3।

उस चौथाई को 1 इकाई मािनए।

ं न उस चौथाई के बाएँ आधे को भरता है, के वल ऊपर का एक छोटा ित्रभुज छोड़ कर।
छायाक

चौथाई का बायाँ आधा = 1/2

कटा हुआ ित्रभुज = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8

चौथाई का छायांिकत भाग = 1/2 − 1/8 = 3/8

पूरे वग का छायािं कत भाग = 3/8 × 1/4

= 3/32

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चत्र कैसे पढ़: दोन तरछ रेखाएँ चौथाई के ऊपरी कोन से चलकर उसके कद्र पर मलती ह; वहाँ से एक सीधी
रेखा नीचे क भुजा तक जाती है। यह रेखा ठ क बीच बीच है, इस लए छायां कत टु कड़ा = चौथाई का बायाँ आधा −
तरछ रेखा के ऊपर का छोटा त्रभुज।

प्र.11 च टय का एक समूह भोजन क खोज म नकला। जैसे-जैसे वे खोजते ह, वे प्रत्येक बदु पर समान रूप से
वभा जत होते रहते ह (जैसा क चत्र 8.7 म दखाया गया है) और दो भोजन के ोत पर पहुँचते ह — एक
समूह आम के पेड़ के पास और दूसरा समूह गन्ने के खेत के पास। मूल समूह का कतना भाग प्रत्येक खाद्य ोत
तक पहुँचा?

आम का पेड़ गन्ने का खेत

चत्र 8.7, पृष्ठ 197 — च टय के माग। प्रत्येक लाल बदु पर समूह बराबर-बराबर बँट जाता है।

पूरे समूह को 1 मा नए और हर वभाजन बदु पर उसे आधा करते जाइए।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
वभाजन आम के पेड़ क ओर आगे बढ़ा

m 1/2 as e
पहला बदु
.co
1/2
a g l
se m
g l a
दूसरा बदु
a
1/4 1/4

तीसरा बदु 1/16 + 1/16 (वह शाखा िफ र ब ँटती है) 1/8 → 1/16 और 1/16 में

co m
चौथा बदु 1/32
e m . 1/32 → गन्ने का खेत ag
g l as
a
आम का पेड़ = 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/16 + 1/32

co m
m.
= 16/32 + 8/32 + 2/32 + 2/32 + 1/32

m ase
= 29/32
.co a g l
se m
g l a
a गन्ने का खेत = 1/16 + 1/32

m a s
.co agl
= 2/32 + 1/32

se m
= 3/32
g l a
a
स्वयं जाँ चए: 29⁄32 + 3⁄32 = 32⁄32 = 1 — पूरे समूह का हसाब मल गया ✔ लगभग सारी च टयाँ आम के पेड़
co m
m .
m
तक पहुँचती ह।
as e
.co a g l
se m
g l a
a 1 – 1⁄2 क्या है? (1 – 1⁄2) × (1 – 1⁄3) ? (1 – 1⁄2) × (1 – 1⁄3) × (1 – 1⁄4) × (1 – 1⁄5) ? (1 – 1⁄2) × (1 –
se m
प्र.12

com g l a
.
1⁄ ) × (1 – 1⁄ ) × (1 – 1⁄ ) × (1 – 1⁄ ) × (1 – 1⁄ ) × (1 – 1⁄ ) × (1 – 1⁄ ) × (1 – 1⁄ ) ? एक सामान्य कथन

m a
3 4 5 6 7 8 9 10

ase
बनाइए और व्याख्या क जए।

agl

co m
.
पहले हर कोष्ठक को एक भन्न म बद लए।

em
m l as
m .co a g
l a se
ag
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s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
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1 − 1/2 = 1/2

(1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 1/2 × 2/3 = 1/3

1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5 = 1/5

1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5 × 5/6 × 6/7 × 7/8 × 8/9 × 9/10 = 1/10

सामान्य कथन:

(1 − 1/2) × (1 − 1/3) × (1 − 1/4) × … × (1 − 1/n) = 1/n

ऐसा क्य होता है: 1 − 1⁄k = (k − 1)⁄k। अत: पूरी ृंखला 1⁄2 × 2⁄3 × 3⁄4 × … × (n − 1)⁄n बन जाती है। हर हर
अगले अंश से कट जाता है और केवल पहला अंश 1 तथा अं तम हर n बचते ह।

पहेली का समय — पृष्ठ 199
शतरंज क पहे लयाँ — गैर-आक्रमणकारी रा नयाँ

प्रयास कर

प्र.1 शतरंज दो खला ड़य का एक लोक प्रय रणनी तक खेल है। इस खेल क उत्प त्त भारत म हुई है। यह 8 × 8 के
वगाकार जाल ( ड) पर खेला जाता है। यहाँ सफेद और काले रंग के मोहर के दो सेट होते ह, प्रत्येक खलाड़ी के
लए 1 सेट। पता लगाइए क प्रत्येक मोहरे को कैसे चला जाता है और इस खेल के नयम क्या ह?

शतरंज प्राचीन भारतीय खेल चतुरंग से वक सत हुआ है। छह मोहर क चाल इस प्रकार है।

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मोहरा चाल प्र त खलाड़ी संख्या

राजा िकसी भी िदशा में एक खाना 1

रानी (वज़ीर) पंि त, स्तंभ या िवकण पर िकतने भी खाने 1

हाथी (रुख) पंि त या स्तंभ पर िकतने भी खाने 2

ऊँट िवकण पर िकतने भी खाने 2

घोड़ा “L” आकार में — दो खाने एक ओर, एक खाना बगल में; यह मोहरों को फाँद सकता है 2

प्यादा एक खाना आगे (पहली चाल में दो); ितरछे खाकर मारता है 8

खेल का लक्ष्य है शहमात — वरोधी के राजा को ऐसा घेर लेना क वह बच न सके।

क्या आप जानते ह? रानी सबसे श क्तशाली मोहरा इसी लए है क्य क उसम हाथी और ऊँट दोन क चाल है —
और यही आगे क पहेली को क ठन बनाता है।

प्र.2 अपनी वतमान त से रानी का मोहरा ै तज, ऊध्वाधर या वकण क दशा म आगे बढ़ सकता है। 4 रा नय
को इस प्रकार रख क कोई भी 2 रा नयाँ एक-दूसरे पर आक्रमण न कर।

4 × 4 बोड पर प्रत्येक पं क्त और प्रत्येक स्तंभ म ठ क एक रानी होनी चा हए और कोई दो एक ही वकण पर न ह ।

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Q
Q
Q
Q
पंि त 1–4 → स्तंभ 2, 4, 1, 3
4 × 4 बोड पर 4 गैर-आक्रमणकारी रा नय क एक व्यव ा।

पंि त 1 → स्तं भ 2

पंि त 2 → स्तं भ 4

पंि त 3 → स्तं भ 1

पंि त 4 → स्तं भ 3

यह क्य सही है: चार स्तंभ अलग-अलग ह, अत: कोई ऊध्वाधर आक्रमण नह । वकण के लए पं क्त + स्तंभ
दे खए — 3, 6, 4, 7 सभी भन्न; और पं क्त − स्तंभ — −1, −2, 2, 1 सभी भन्न। योग या अंतर समान होने का
अथ होता एक ही वकण।

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प्र.3 अब 8 रा नय को इस 8 × 8 ड पर इस प्रकार र खए क कोई भी 2 रा नयाँ एक-दूसरे पर आक्रमण न कर।

यहाँ भी प्रत्येक पं क्त और स्तंभ म एक रानी, और सभी वकण खाली।

पं क्त 1 2 3 4 5 6 7 8

स्तंभ 1 5 8 6 3 7 2 4

पंि त + स्तं भ : 2, 7, 11, 10, 8, 13, 9, 12 — सभी िभन्न ✔

पंि त − स्तं भ : 0, −3, −5, −2, 2, −1, 5, 4 — सभी िभन्न ✔

अत: कोई भी दो रा नयाँ एक ही पं क्त, स्तंभ या वकण पर नह ह।

क्या आप जानते ह? 8-रानी पहेली के कुल 92 हल ह, पर उनम वास्तव म भन्न केवल 12 ह — शेष उन्ह के
घुमाव और दपण-प्र त बब ह।

अध्याय — एक नज़र म
भन्न से गुणा करने के दो चरण ह — गुण्य को गुणक के हर से भाग द जए, फर गुणक के अंश से गुणा क जए।
दोन भन्न को इकाई वग के अंदर एक आयत क भुजाएँ मानकर दे खने पर दखता है क ेत्रफल = भुजाओं का गुणनफल।
ब्रह्मगुप्त का सूत्र — a⁄b × c⁄d = a × c⁄b × d। गुणा करने से पहले उभय नष्ठ गुणनखंड काटे जा सकते ह।
गुणनफल सदै व बड़ा नह होता — 0 और 1 के बीच क संख्या से गुणा करने पर वह छोटा होता है और 1 से बड़ी संख्या से
गुणा करने पर बड़ा।
a⁄ b⁄
b का व्युत्क्रम a है; भन्न × उसका व्युत्क्रम = 1। भाग दे ने के लए भाजक के व्युत्क्रम से गुणा क जए।

0 और 1 के बीच क संख्या से भाग दे ने पर भागफल भाज्य से बड़ा हो जाता है — इसी लए 6 ÷ 1⁄4 = 24 होता है।

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as e
क ा 7 ग णत अध्याय 8 भन्न के साथ काय करना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
त्व रत पुनरावृ त्त
m l a se
m .co अथ ag मुख्य प रणाम
ase
वचार अध्याय से उदाहरण

agl
पूण संख्या × भन्न िभन्न का बार-बार जोड़ 3 × 1/4 3/4

m
.co ag
भन्न × पूण संख्या हर से भाग, अंश से ग ण
ु ा 2/5 × 3 6/5

a sem
gl
इकाई वग नरूपण पूण को पंि तयों × स्तंभों में बाँटना 1/2 × 1/4 1/8

भन्नात्मक इकाइयाँ हरों के ग ण
ु नफल पर 1
a 1/b × 1/d 1/(b × d)

co m
m.
ब्रह्मगुप्त का गुणन सूत्र अंश × अंश, हर × हर 5/12 × 7/18 35/216

m l a se 5/14
.co ag
अपवतन (काटना) पहले उभयिनष्ठ ग ण
ु नखंड कािटए 12/7 × 5/24

se m
g l a
a
आयत का ेत्रफल िभन्नात्मक भुजाओं का ग ण
ु नफल भुजाएँ 3¾ फ ट और 9⅗ फ ट 36 वग फ ट

s
गुणनफल का आकार संख्याएँ 1 से छोटी है ं या बड़ी, इस पर िनभर 3/4 × 2/5 3/10, दोन से छोटा

m a
m .co agl
ase
व्युत्क्रम िभन्न को उलट दीिजए 3/5 5/3, और 3/5 × 5/3 = 1

वभाजन का नयम agl
भाज्य को भाजक के व्युत्क्रम से ग ण
ु ा 2/3 ÷ 3/5 10/9

m
.co
छोटा भाजक 1 से छोटी िभन्न से भाग दे ने पर उत्तर बड़ा 6 ÷ 1/4 24

se m 1/8
com l a
क्रम से अंतर नह 1/2 × 1/4 = 1/4 × 1/2
g
भुजाएँ बदलने पर भी आयत वही रहता है

m . a
ase
agl
se m
com g l a
m . a
ase
agl

com
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
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m .
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e m . co agl
g l as
a

com
m .
m as e
.co


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