Class 11 Question Bank गणित

Class 11 Maths Question Bank

अ याय 1: समु य
मरणीय बंद:ु
 समु य और उनका िन पण
N: ाकृ त सं या का समु य
Z: पूणाक का समु य
Q: प रमेय सं या का समु य
T: अप रमेय सं या का समु य
R: वा तिवक सं या का समु य
Z+: धना मक पूणाक का समु य
Q+: धना मक प रमेय सं या का समु य और
R+: धना मक वा तिवक सं या का समु य
 व तु के सुप रभािषत सं ह को समु य कहते ह |
 समु य को ाय: अँ ेजी के बड़े अ र A, B, C, X, Y, Z इ या द से िन िपत करते ह |
 समु य के अवयव को िन िपत करने के िलए अँ ेजी वणमाला के छोटे अ र a, b, c, x, y, z इ या द
का उपयोग करते ह |
 य द a, समु य ‘A’ का एक अवयव है तो हम a  A कहते ह और य द नह है तो हम a A. कहते ह।
 समु य को िन िपत करने क दो िविधयाँ ह:
(i) रो टर या सारणीब प
(ii) समु य िनमाण िविध
 रो टर प म सभी अवयव को अ पिवराम से अलग करके सूचीब कया गया है और उ ह को क { } म
रखा गया है। उदाहरण के िलए अं ेजी वणमाला म वर V के सेट को इस कार व णत कया गया है :
V  a, e, i, o, u
 र समु य: एक समु य िजसम कोई भी अवयव नह होता, एक र समु य कहलाता है | र
समु य को  या { } से िन िपत करते ह |
 वह समु य जो र हो या िजसम िनि त सं या म अवयव ह , प रिमत समु य कहलाता है अ यथा
समु य को अनंत समु य कहते ह।
उदाहरण के िलए:
मान लीिजए M एक वष के महीन का समु य है। तब समु य M एक प रिमत समु य है।
मान लीिजए P एक रे खा के सभी बंदु का समु य है। तब समु य P एक अप रिमत समु य है।
 दो समु य A और B को समान कहा जाता है, य द उनके अवयव समान ह और हम A = B िलखते ह।
अ यथा, समु य को असमान समु य कहा जाएगा और हम A  B िलखते ह।
उदाहरण के िलए:
माना A  1, 2, 3, 4, 5 और B  5, 4, 3, 2, 1 , तब A  B .
 समु य A को समु य B का उपसमु य कहा जाता है य द A का येक अवयव B का भी अवयव है ।
दूसरे श द म, A  B य द जब a  A , तब a  B भी |

उदाहरण: ाकृ त सं या का समु य N वा तिवक सं या के समु य R का एक उपसमु य है, अथात
NR ।

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 य द A, B का उपसमु य नह है, तो हम िलखते ह, A  B .
 येक समु य वयं का एक उपसमु य है। य द A एक समु य है तो A  A .
 N  1, 2, 3, 4, 5, ...
Z  ...,3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, ...
 p 
Q   x : x  , p, q  Z and q  0
 q 
T  x : x  R and x  Q
 R के उप-समु
समु य के प म अ तराल
a, b  R और a  b तब,
(i) a , b   a , b  x : a  x  b
(ii) a , b  x : a  x  b
(iii) [a , b)  x : a  x  b
(iv) (a , b]  x : a  x  b
वा तिवक रेखा पर R के उप-समु
समु य के प म व णत उपयु अंतराल को इस कार दशाते ह :

b  a  को अ तराल क ल बाई कहते ह |
 समु य A और B का सि मलन वह समु य है िजसम A के सभी अवयव के साथ B के भी सभी
अवयव ह , तथा उभयिन अवयव को के वल एक बार िलया गया हो |
A U B  x : x  A or x  B
उदाहरण के िलए A  1, 2, 3 और B  1, 3, 5, 7, तब AU B  1, 2, 3, 5, 7 .
दो समु य के सि मलन को आकृ ित म दखाए गए वेन आरेख से द शत कया जा सकता
सकता है :

 x  A  B  x  A and x  B.
 समु य A और B का सविन उन सभी अवयव का समु य है, जो A और B दोन म उभयिन ह
तथा उभयिन अवयव को के वल एक बार िलया गया हो |
A  B  x : x  A और x  B 
उदाहरण के िलए A  1, 2, 3 और B  1, 3, 5, 7 तब A  B  1, 3 .
दो समु य के सविन को आकृ ित म दखाए गए वेन आरे ख से द शत कया जा सकता है :

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 य द A और B तो समु य इस कार ह क A  B   , तब A और B असंयु समु य कहलाते ह |
उदाहरण के िलए: A  1, 2, 3 और B  4, 5, 6, 7 असंयु समु य ह |
 x  A  B  x  A or x  B.
 समु य A और B का अंतर उन अवयव का समु य है जो A म ह क तु B म नह ह, जब क A और B
को इसी म म िलया जाए |
A  B  x : x  A and x  B
उदाहरण के िलए A  1, 2, 3 और B  1, 3, 5, 7 तब A  B   2 .
दो समु य के अंतर को आकृ ित म दखाए गए वेन आरेख से द शत कया जा सकता है :

 समु य A B , A B और B  A पर पर असंयु समु य होते ह, अथात् इनम से क ह दो
समु य का सविन एक र समु य होता है |

 मान लीिजए क U सावि क समु य है और A , U का एक उपसमु य है, A का पूरक समु य U के उन
अवयव का समु य है, जो A के अवयव नह ह | A के पूरक समु य को A से िन िपत करते ह |
अतः A  U  A  x : x  U and x  A .
उदाहरण के िलए : य द U  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 और A  1, 3, 5, 7 तव A   2, 4, 6, 8, 9
दो समु य के अंतर को आकृ ित म दखाए गए वेन आरेख से द शत कया जा सकता है :

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 ( A)   A
 समु य का बीजगिणत के िनयम
1. वगसम िनयम (i ) A  A  A (ii ) A  A  A
2. त समक िनयम (i ) A    A (ii ) A  U  A (iii ) A     (iv ) A  U  U
3. म-िविनमेय िनयम (i ) A  B  B  A (ii ) A  B  B  A
4. साहचय िनयम (i ) ( A  B )  C  A  ( B  C ) (ii ) A  ( B  C )  ( A  B )  C
5. िवतरण िनयम
(i ) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C ) (ii ) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
(i ) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C ) (ii ) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
6. पूरक िनयम (i) A  A  U C
(ii ) A  A C   (iii )  C  U (iv) U C  
7. डी-मागन िनयम (i ) ( A  B )   A  B  (ii ) ( A  B )  A  B .
8. डी-मागन िनयम के अ य प (i ) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
(ii ) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
 A  B  A  B
 य द A, B और C प रिमत समु य ह तब
(i ) n( A  B )  n( A)  n ( B )  n( A  B )
(ii ) n( A  B  C )  n ( A)  n ( B )  n (C )  n ( A  B )  n ( B  C )  n ( A  C )  n ( A  B  C )
Q1. सही िवक प चुिनये:
1. कसी क ा म बुि मान छा का समु य है:
(a) र समु य (b) एकक समु य
(c) प रिमत समु य (d) सुप रभािषत सं ह नह है
2. कसी अ र समु य A के िलए ( A)  बराबर है:
(a) A (b) A (c)  (d) U
3. य द A  {1 , 2 , 3 , 4} और B  {3 , 4 , 5 , 6} तो A  B का मान है:
(a) {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6} (b) {3 , 4 , 5 , 6} (c) {1, 2 , 3 , 4} (d) {3 , 4}
4. समु य { } के उपसमु य क सं या होगी:
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 0
5. समु य {1} के उपसमु य क सं या होगी:
होगी
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
6. समु य B  A तो A  B बराबर होगा:
(a)  (b) A (c) B (d) U

7. समु य B  A तो A  B बराबर होगा:
(a)  (b) A (c) B (d) U

6

8. मान लीिजए क A  {1, 2 , 3} तब इसके उपसमु य क सं या होगी :
(a) 3 (b) 8 (c) 9 (d) 16
9. समीकरण x  x  2  0 का हल समु य रो टर
2
प (सारणीब प) म होगा:
(a) 1,  2 (b)  1,  2 (c) 1, 2 (d)  1, 2
Q2. र थान क पू त क िजए:
1. य द X  {1, 3 , 5} तथा Y  {1 , 2 , 3} तब X Y  ..........
2. एक समु य िजसम एक भी अवयव नह होता है, .......... कहलाता है |
3. A  A  ..........
4.    A  ..........
5. A  A  ..........
6. U   A  ..........
7. A    ..........
8. A    ..........
9. वह समु य िजसम अवयव क सं या िनि त होती है, ..........समु य कहलाता है |
10. य द A  B  B  A हो तब समु य A और B .......... समु य ह ग |
Q3. सही जोड़ी बनाइए :
त भ –A त भ –B

(i)  A (a) U  A

(ii)  A  B  (b) A
(iii) A  B  (c) A  B 

(iv) A   (d)  A  B 
(v) A (e) 
Q4. एक श द या वा य म उ र िलिखए:
1. य द समु य A म n अवयव ह तो समु य A के कतने उपसमु य ह गे |
2. य द A  { 2 , 4 , 6 , 8} और B  {6 , 8 ,10 ,12} तो A  B ात क िजए |
3. य द U  {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} और A  {1 , 3 , 7 , 9} तो A का पूरक समु य ( A)  िलिखए |
4. समीकरण x 2  x  2  0 का हल समु य रो टर प म िलिखए |
5. य द A  { b , h , o , p , a , l} और B  {g , w , a , l , i , o , r} तो A  B ात क िजए |
6. य द n( A  B )  18 , n ( A)  8 , n ( B )  15 तब n ( A  B ) का मान िलिखए |
7. य द A  { b , h , o , p , a , l} और B  {g , w , a , l , i , o , r} तो A  B ात क िजए |
8. य द A और B दो असंयु समु य ह तो A  B म कतने अवयव ह गे |
9. य द U  {a , b , c , d , e , f , g , h } और A  {a , d , f , h} तो ( A)  िलिखए |
Q5. स य / अस य िलिखए :
1. य द A  {a , b } तथा B  {a , b , c } तो A  B .

2.   एक र समु य है |
3. प रिमत समु य म अवयव क सं या िनि त होती है |

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4. अप रिमत समु य म अवयव क सं या िनि त होती है |
5.   A , स य है, जहाँ  एक र समु य एवं A कोई भी प रिमत समु य है |
Q6. समु य A  {2 , 4 , 6 , 8 ,10 , ......} को समु य िनमाण प म िलिखए |
Q7. समान समु य को उदाहरण सिहत समझाइए |
Q8. अ तराल 6 ,12 को समु य िनमाण प म िलिखए |
Q9. समु य U  {1, 2 , 3 ,..........,10} एक सावि क समु य है, िजसके A  {2 , 4 , 6 , 8, 10} और
B  { 4 , 6} उपसमु य ह | इ ह वेन आरे ख ारा द शत क िजए |
Q10. य द A  {2 , 4 , 6 , 8, 10} और B  { 4 , 6,10} तो A  B और A  B ात क िजए |
Q11. असंयु समु य कसे कहते ह | उदाहरण सिहत िलिखए |
Q12. य द A  {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6} तथा B  {2 , 4 , 6 , 8} तो A  B तथा B  A के मान ात क िजए |
Q13. समु य {1, 2 , 3 } के सभी उपसमु य िलिखए |
Q14. ( A  B )  का वेन आरेख ख िचए |
Q15. A  B  का वेन आरे ख ख िचए |
Q16. ( A  B )  का वेन आरे ख ख िचए |
Q17. A  B  का वेन आरे ख ख िचए |
Q18. य द X और Y दो ऐसे समु य ह क X  Y म 50 अवयव ह, X म 28 अवयव ह और Y म 32
अवयव ह, तो X  Y म कतने अवयव ह?
Q19. य द X और Y दो ऐसे समु य ह क n ( X )  17 , n (Y )  23 तथा n ( X  Y )  38 , हो तो
n ( X  Y ) ात क िजए |
Q20. य द A और B दो समु य ह A  B और B  A को वेन आरे ख ारा द शत क िजए |
Q21. समु य के गुणधम का उपयोग करके िस क िजए क A  ( A  B )  A .
Q22. य द U  {1, 2 , 3 , 4 , 5 } , A  {2 , 3} , B  {4 , 5 } तो ( A  B )  तथा A  B के मान ात क िजए |
Q23. य द U  {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } , A  {2 , 4 , 6 , 8} और B  {2 , 3 , 5 , 7} तो स यािपत क िजए क
( A  B )   A  B  |
Q24. य द U  {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } , A  {2 , 4 , 6 , 8} और B  {2 , 3 , 5 , 7} तो स यािपत क िजए क
( A  B )   A  B  |
Q25. एक िव ालय म 20 अ यापक ह जो गिणत या भौितक पढ़ाते ह | इनम से 12 गिणत पढ़ाते ह और 4
भौितक और गिणत दोन पढ़ाते ह | कतने अ यापक भौितक पढ़ाते ह?
Q26. 35 िव ा थय क एक क ा म, 24 के ट खेलना पसंद करते ह और 16 फु टबाल खेलना पसंद करते ह |
इसके अित र येक िव ाथ कम से कम एक खेल अव य खेलना पसंद करता है| कतने िव ाथ के ट
और फु टबाल दोन खेलना पसंद करते ह?
Q27. 400 ि य के समूह म, 250 िह दी तथा 200 अं ेजी बोल सकते ह | कतने ि िह दी तथा अं ेजी
दोन बोल सकते ह |
Q28. 70 ि य के समूह म, 37 कॉफ , 52 चाय पसंद करते ह और येक ि दोन म से कम से कम एक

पेय पसंद करता है, तो कतने ि कॉफ और चाय दोन को पसंद करते ह?
Q29. एक कमेटी म, 50 ि च, 20 ि पेिनश और 10 ि पेिनश और च दोन ही भाषा को

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बोल सकते ह | कतने ि इन दोन ही भाषा म से कम से कम एक भाषा बोल सकते ह?
Q30. कसी कू ल के 400 िव ा थय के सव ण म 100 िव ाथ सेब का रस, 150 िव ाथ संतरे का रस और
75 िव ाथ सेब तथा संतरे दोन का रस पीने वाले पाए जाते ह| ात क िजए क कतने िव ाथ न तो
सेब का रस पीते ह और न ही संतरे का?
Q31. 200 ि कसी चम रोग से पीिड़त ह, इनम 120 ि रसायन C1 , 50 ि रसायन C2 , और 30
ि रसायन C1 और C 2 दोन ही से भािवत ए ह, तो ऐसे ि य क सं या ात क िजए जो
भािवत ए ह :
(i) रसायन C1 क तु रसायन C2 से नह ,
(ii) रसायन C 2 क तु रसायन C1 से नह
(iii) रसायन C1 अथवा रसायन C2 से
भािवत ए ह |
Q32. 65 ि य के समूह म, 40 ि के ट, और 10 ि के ट तथा टेिनस दोन को पसंद करते ह, तो
कतने ि के वल टेिनस को पसंद करते ह क तु के ट को नह ? कतने ि टेिनस को पसंद करते ह?
Q33. कसी िव ालय के 600 िव ा थय के सव ण से ात आ क 150 िव ाथ चाय, 225 िव ाथ कॉफ
तथा 100 िव ाथ चाय और कॉफ दोन पीते ह | ात क िजए क कतने िव ाथ न तो चाय पीते ह
और न कॉफ पीते ह |
………………………………………………………………………………………………………
उ रमाला
(व तुिन )
A1. 1. (d) सुप रभािषत सं ह नह है 2. (b) A 3. (d) {3 , 4} 4. (a) 1
5. (b) 2 6. (c) B 7. (b) A 8. (b)8 9. (a) {1 ,  2}
A2. 1. {1 , 3} 2. र समु य 3. U 4. A 5.  6. 
7. A 8.  9.प रिमत 10.समान
उ. 3 (i).↔ (b), (ii).↔ (c), (iii).↔ (d), (iv).↔ (e), (v).↔ (a)

A4. 1. 2 n 2. 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 3. 2 , 4 , 5 , 6 , 8
4.  2 , 1 5. {o , a , l} 6. 5
7. {b , h , p} 8. 0 9. {a , d , f , h}
A5. 1. स य 2. अस य 3.स य 4.अस य 5.स य
…………………………………………………………………………………………………………

अ याय 2: संबध
ं एवं फलन
 दो अ र समु य A तथा B का कात य गुणन A  B ारा िन िपत कया जाता है तथा इस कार से
प रभािषत होता है:
A  B  a , b  : a  A , b  B

यहाँ (a , b) एक िमत यु म कहलाता है |
 य द समु य A या B म से कोई भी एक समु य र समु य होता है तो A  B  

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 दो िमत यु म समान होते ह य द और के वल य द उनके संगत घटक समान ह |
 य द n ( A)  p तथा n( B )  q तो n ( A  B )  pq .
 A या B म से कोई अप रिमत समु य है तो A  B अप रिमत समु य होता है |
 A  A  A  (a , b , c) : a , b , c  A . यहाँ (a , b , c) एक िमत ि क कहलाता है
 कसी अ र समु य A से अ र समु य B म संबध ं (R), कात य गुणन A  B का उपसमु य होता
है | इस उपसमु य के येक िमत यु म के थम घटक एवं ि तीय घटक के म य एक संबंध थािपत
होता है | ि तीय घटक को थम घटक का ित बंब (Image) कहते ह |
 R: A B
R  A B
 कसी अ र समु य A से अ र समु य B म संबध ं R के सभी िमत यु म के थम घटक के समु य
को संबंध R का ांत (Domain) कहते ह |
 कसी अ र समु य A से अ र समु य B म संबध ं R के सभी िमत यु म के ि तीय घटक के समु य
को संबंध R का प रसर (Range) कहते ह |
 कसी अ र समु य A से अ र समु य B म य द कोई संबंध R प रभािषत है तो समु य B, संबध ं R
का सह- ांत (Co–domain) कहलाता है |
 कसी संबंध R का प रसर (Range) उस संबंध के सह- ांत (Co–domain) का उपसमु य
(Subset) होता है, अथात प रसर (Range)  सह- ांत (Co–domain) |
 कसी संबंध का बीजीय िन पण (algebraic representation) या तो रो टर िविध या
समु य िनमाण िविध (set builder form) ारा कया जा सकता है |
 तीर आरे ख (Arrow diagram) कसी संबंध का दृि िच ण (visual representation)
होता है |
 कसी अ र समु य A से अ र समु य B म संबध ं क कु ल खं या, कात य गुणन A  B के
उपसमु य क कु ल सं या के बराबर होती है |
 य द n ( A)  p तथा n( B )  q तो n ( A  B )  pq तथा A से B म संबंध क कु ल सं या  2 pq .
 य द कोई संबंध A से A पर प रभािषत है तो इसे ‘A पर संबंध’ भी कहते ह |
 कसी अ र समु य A से अ र समु य B म संबध ं f एक फलन कहलाता है य द A के येक अवयव
(पूव ित बंब) का B म एक और के वल एक अवयव ( ित बंब) हो |
f : AB
 फलन f के सभी िमत यु म के थम घटक के समु य को फलन f का ांत (Domain) कहते ह |
 फलन f के सभी िमत यु म के ि तीय घटक के समु य को फलन f का प रसर (Range) कहते
ह|
 कसी अ र समु य A से अ र समु य B म य द कोई फलन f प रभािषत है तो समु य B, फलन
f का सह- ांत (Co–domain) कहलाता है |
 कसी फलन f का प रसर (Range) उस फलन f के सह- ांत (Co–domain) का उपसमु य
(Subset) होता है, अथात प रसर (Range)  सह- ांत (Co–domain) |
 कसी फलन f का बीजीय िन पण (algebraic representation) या तो रो टर िविध या
समु य िनमाण िविध (set builder form) ारा कया जा सकता है |
 फलन f का प रसर (Range) य द वा तिवक सं या का समु य या उसका कोई उपसमु य हो,
तो फलन f वा तिवक मान फलन कहलाता है |
 f ( x)  ax  b , x  R एक रैिखक फलन कहलाता है, जहाँ a तथा b अचर ह |
 त समक फलन (Identity Function) :

एक वा तिवक मान फलन f : R  R , त समक फलन (Identity Function) कहलाता है
यद येक x  R , के िलये y  f ( x)  x .

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ा त Domain ( f )  R
प रसर Range ( f )  R

 अचर फलन (Constant
Constant Function) :
एक वा तिवक मान फलन f : R  R , अचर फलन (Constant Function) कहलाता है
यद येक x  R , के िलये y  f ( x)  c जहाँ c एक अचर है |
ा त Domain ( f )  R
प रसर Range ( f )  c
उदाहरण:
येक x  R , के िलये y  f ( x)  3 , जहाँ 3 एक अचर है |
ा त Domain ( f )  R
प रसर Range ( f )  3

`

 ब पद फलन (Polynomial
Polynomial Function) :
एक वा तिवक मान फलन f : R  R , एक ब पदीय फलन (Polynomial Function)
कहलाता है, य द येक x  R , के िलये y  f ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  a3 x 3  ...  a n x n जहाँ n
ऋणेतर पूणाक है तथा a0 , a1 , a2 , ..., a n  R |
ा त Domain ( f )  R
 प रमेय फलन (Rational Function) :
य द f (x) तथा g ( x)  0 एक ांत (Domain) म x के ब पदीय फलन (Polynomial
Polynomial
f ( x)
Function) ह तो फलन एक प रमेय फलन कहलाता है |
g ( x)
 मापांक फलन (Modulus Function) :

एक वा तिवक मान फलन f : R  R , मापांक फलन (Modulus Function) कहलाता है
यद येक x  R , के िलये y  f ( x)  x .

11

ा त Domain ( f )  R
प रसर Range ( f )  0 , )

 िच ह फलन (Signum Function) :
एक वा तिवक मान फलन f : R  R , मापांक फलन (Modulus Function) कहलाता है
1 , if x  0

य द येक x  R , के िलये y  f ( x)  0 , if x  0 .
1 , if x  0

ा त Domain ( f )  R
प रसर Range ( f )   1 , 0 , 1

 मह म पूणाक फलन (Greatest Integer Function) :
एक वा तिवक मान फलन f : R  R , मह म पूणाक फलन (Greatest Integer
Function) कहलाता है य द येक x  R , के िलये y  f ( x)  x  .
ा त Domain ( f )  R
प रसर Range ( f )  I  Set of Integers = पूणाक का समु य

12

 वा तिवक फलन का बीजगिणत (Algebra of real functions) :
 दो वा तिवक फलन का योग (Addition)
(
दो वा तिवक फलन f : X  R तथा g : X  R , जहाँ X  R , के िलये
 f  x : X  R को येक x  R , के िलये ( f  x)( x)  f ( x)  g ( x) ारा प रभािषत कया
जाता है |
 दो वा तिवक फलन का वकलन (Subtraction)
दो वा तिवक फलन f : X  R तथा g : X  R , जहाँ X  R , के िलये  f  x : X  R
को येक x  R , के िलये ( f  x)( x)  f ( x)  g ( x) ारा प रभािषत कया जाता है |
 अ दश का वा तिवक फलन से गुना (Multiplication)
वा तिवक फलन f : X  R का कसी अ दश  से गुणन को येक x  R , के िलये
(f )( x)  f ( x) , x  X ारा प रभािषत कया जाता है |
 दो वा तिवक फलन का गुणन ( (Multiplication)
दो वा तिवक फलन f : X  R तथा g : X  R , जहाँ X  R , के िलये  f .x  : X  R
को येक x  R , के िलये ( f .x)( x)  f ( x).g ( x) ारा प रभािषत कया जाता है |
Q1. सही िवक प चुिनये:
1. फलन f ( x)  x कहलाता है:
(a) त समक फलन (b) अचर फलन (c) मापांक फलन (d) िच ह फलन
2. फलन f ( x )  c , जहाँ c एक अचर है, कहलाता है:
(a) त समक फलन (b) अचर फलन (c) मापांक फलन (d) िच ह फलन
3. फलन f ( x)  x कहलाता है:

(a) त समक फलन (b) अचर फलन (c) मापांक फलन (d) िच ह फलन
4. य द (a  1 , b  2)  (3 , 1) तो a व b के मान मशः ह गे:
(a) 2 , 3 (b)  2 ,  3 (c) 2 ,  3 (d)  2 , 3
5. य द A  {1 , 2} और B  {3 , 4} तब A से B पर संबंध क सं या होगी:
(a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 16

6. दो प रभािषत समु य A तथा B इस कार ह क n( A)  2 , n( B )  3 तब A से B म संबध
ं क
सं या होगी:

13

(a) 64 (b) 4 (c) 8 (d) 16
7. य द A तथा B दो समु य ह , तब A  B  B  A य द और के वल य द
(a) A  B (b) B  A (c) A  B (d) A  B
Q2. र थान क पू त क िजए:
1. A    ..........
2. A या B म से कोई अप रिमत समु य है तो A  B .......... समु य होता है |
3. कसी अ र समु य A से अ र समु य B म संबध
ं (R), कात य गुणन A  B का .......... होता है |
4. कसी अ र समु य A से अ र समु य B म संबध
ं R के सभी िमत यु म के थम घटक के समु य
को संबंध R का .......... कहते ह |

Q3. सही जोड़ी बनाइए :
त भ –A त भ –B
(i) f ( x)  x , x  R (a) 
(ii) y  f ( x)  x , x  R (b) त समक फलन
1 , if x  0

(iii) y  f ( x)  0 , if x  0 , x  R (c) मापांक फलन
1 , if x  0

(iv) y  f ( x )  x  , x  R (d) िच ह फलन
(v) A   (e) मह म पूणाक फलन
Q4. एक श द या वा य म उ र िलिखए:
1. य द A  {1 , 2} और B  { 3 , 4} तो समु य A  B ात क िजए |
2. एक फलन f ( x )  2 x  5 ारा प रभािषत है तो f (3) का मान िलिखए |
3. य द A  {1 , 2} और B  {3 , 4} तो A से B म संबध
ं क सं या कतनी होगी ?
4. य द X  1, 2 तथा Y  4, 5, 6 तो X  Y या होगा?
Q5. स य / अस य िलिखए :
1. A    A
2. A    
3. दो िमत यु म समान होते ह, य द और के वल य द उनके संगत थम घटक समान ह और संगत ि तीय
घटक भी समान ह |
4. A  A  A  (a , b , c) : a , b , c  A . यहाँ (a , b , c) एक िमत ि क कहलाता है |
5. कसी संबंध R का प रसर (Range) उस संबंध के सह- ांत (Co–domain) का उपसमु य (Subset)
होता है, अथात प रसर (Range)  सह- ांत (Co–domain) |
6 . य द n ( A)  p तथा n( B )  q तो n ( A  B )  pq तथा A से B म संबंध क कु ल सं या  2 pq .

Q6. य द f ,g : R  R मशः f ( x )  x  1 , g ( x )  2 x  3 ारा प रभािषत ह | f  g और f  g
ात क िजए|

14

f
Q7. य द f ,g : R  R मशः f ( x )  x  1 , g ( x )  2 x  3 ारा प रभािषत है | f .g और ात
g
क िजए |
Q8. य द f ( x)  x 2 तथा g ( x )  2 x  1 हो तो ( f  g )( x ) और ( f  g )( x ) ात क िजए |
f 
Q9. य द f ( x)  x 2 तथा g ( x )  2 x  1 हो तो ( f .g )( x ) और  (x) ात क िजए |
x
Q10. य द f ( x )  x तथा g ( x )  x , ऋणे र वा तिवक सं या के िलए प रभािषत दो फलन ह तो
( f  g )( x ) और ( f  g )( x ) ात क िजए|
Q11. य द f ( x )  x तथा g ( x )  x , ऋणे र वा तिवक सं या के िलए प रभािषत दो फलन ह तो
f 
( f .g )( x ) और  (x) ात क िजए|
x
Q12. य द A  1 ,2, B  1 ,2 , 3 , C  5 ,6 तथा D  5 ,6 ,7 ,8. स यािपत क िजए क A C ,
B  D का एक उपसमु य है|
Q13. य द A  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, R  ( x, y ) : y  x  1 ारा A से A म एक संबध
ं प रभािषत क िजए |
(i) इस संबंध को एक तीर आरे ख ारा दशाइए | (ii) R के ांत, सह- ांत तथा प रसर िलिखए |
Q14. य द A  1, 2 , 3 , ...,14 . R  ( x, y ) : 3x  y  0 , x , y  A ारा, A से A का एक संबध
ं R
िलिखए | इसके ांत, सह- ांत और प रसर िलिखए |
Q15. ाकृ त सं या के समु य पर
R  ( x, y ) : y  x  5 , x सं या 4 से कम, एक ाकृ त सं या है, x , y  N 
ारा एक संबध
ं R प रभािषत क िजए | इस संबंध को (i) रो टर प म िलिखए (ii) इसके ांत और
प रसर िलिखए |
Q16. य द A  1, 2 , 3 , 4, 6  और R , A पर (a, b) : a , b  A , सं या a सं या b को यथावत िवभािजत
करती है  ारा प रभािषत एक संबंध है | (i) R को रो टर प म िलिखए (ii) R का ांत ात
क िजए| (iii) R का प रसर ात क िजए |
Q17. R  ( x, x  5) : x  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ारा प रभािषत संबंध R के ांत और प रसर ात
क िजए |
Q18. य द N ाकृ त सं या का समु य है और N पर प रभािषत एक संबंध R इस कार
है क R  ( x, y) : y  2 x , x , y  N . R के ांत, सह- ांत और प रसर या ह? या यह
संबंध, एक फलन है?
Q19. फलन f ( x)  9  x 2 का ांत (Domain) तथा प रसर (Range) ात क िजए |
Q20. फलन f ( x )  ( x  1) ारा प रभािषत वा तिवक फलन f का ांत (Domain) तथा प रसर
(Range) ात क िजए |
f (1.1)  f (1)
Q21. य द f ( x )  x 2 हो तो का मान ात क िजए |
(1.1  1)
x2  x 1
Q22. फलन f ( x )  2 का ांत ात क िजए |

x  8 x  12
x 2  3x  5
Q23. फलन f ( x )  2 का ांत ात क िजए |
x  5x  4

15

Q24. य द f  {(1 ,1), ( 2, 3), (0 ,  1), ( 1,  3)} , Z से Z म एक रै िखक फलन है तो f (x) ात
क िजए |
अथवा
य द f  {(1,1), (2, 3), (0 ,  1), (1,  3)} , Z से Z म, f ( x )  ax  b , ारा प रभािषत एक फलन
, जहाँ a ,b , कोई दो पूणाक ह तो a ,b , को िनधा रत करते ए f (x ) ात क िजए |
1
Q25. य द f ( x)  x 2  2 x  3 हो तो f (0) , f (1) , f   , f (sin x ) के मान ात क िजए |
 3
9C
Q26. फलन 't ' सेि सयस तापमान का फारेनहाइट तापमान म ितिच ण करता है, जो t (C
C)   32
5
ारा प रभािषत है. िन िलिखत को ात क िजए
िजए:
(i) t (0) (ii) t ( 28) (iii) t (10) (iv) C का मान जब t (C )  212 .
******************************************************************
*************************************************************************************************
*******************************

उ रमाला
(व तुिन )
A1. 1. (a) त समक फलन 2. (b) अचर फलन 3. (c) मापांक फलन 4. (a)
( 2,3
5. (d) 16 6. (a) 64 7. (c) A  B
A2. 1.  2. अप रिमत 3. उपसमु य 4. ात
A. 3 (i).↔ (b), (ii).↔ (c), (iii).↔ (d
d), (iv).↔ (e), (v).↔ (a)

A4. 1. A  B  (1 , 3) , (1 , 4) , ( 2 , 3) , ( 2 , 4)  2.  11 3. 16
4. X  Y  (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}
A5. 1. अस य 2. स य 3. स य 4. स य 5. स य 6.
6 सय
................................................................................................................................................
.............................................................................................................................

अ याय 3: ि कोणिमतीय फलन
मरणीय बंदु
 Trigonometry श द क ु पि ीक श द Tri , gone और metron से ई है िजनका संयु प से
अथ ‘ ि भुज क भुजा को मापना ‘ होता है |
 एक कोण वह माप है जो एक करण के उसके ारि भक िब दु के प रत
रत: घूमने पर बनता है |

16

 िड ी माप: एक पूण प र मण का 360वाँ भाग एक िड ी कहलाता है |
अथात एक पूण प र मण  360 0 .
एक िड ी का साठवाँ भाग एक िमनट कहलाता है | इसे हम 1 0  6 0  से िलखते ह |
एक िमनट का साठवाँ भाग एक सेकंड कहलाता है | इसे हम 1  6 0  से िलखते ह |
 रे िडयन माप: इकाई वृ के क पर एक इकाई लंबाई के चाप ारा बने कोण को एक रेिडयन कहते ह|
ह
 िड ी तथा रेिडयन के म य संबंध : वृत, क पर एक कोण बनाता है िजसक माप 2  रेिडयन है तथा
यह 360 0 माप है | 2 रेिडयन  360 िड ी
 इकाई ि या के वृ क प रिध  2
 एक पूण प र मण  2 रे िडयन
 2  c  360 0
  रेिडयन  180 िड ी
180
 रे िडयन माप  िड ी माप


 िड ी माप  रे िडयन माप
180
 य द एक वृ , िजसक ि या r है, चाप क लंबाई l तथा क पर अं कत कोण  रे िडयन है, तो
l
 .
r

 00
30 0 45 0 60 0 90 0

t.r.

0    
6 4 3 2
0 1 1 3
sin  1
2 2 2
1 3 1 1
cos 0
2 2 2
0 1
tan 1 3 
3
 2
cos ec 2 2 1
3
1 2
sec 2 2 
3

 1
cot  3 1 0
3

17

sin 2   cos 2   1 1  sin 2   cos 2  1  cos   sin 
2 2

1  tan 2   sec 2  sec   1  tan  sec   tan   1
2 2 2 2

1  cot 2   cos ec 2  cos ec 2   1  cot 2  cos ec 2   cot 2   1
1 1
 sin  . cos ec   1   cos ec   sin 
sin  cos ec
1 1
cos  .sec   1   sec   cos
cos sec
1 1
tan  . cot   1   cot   tan
tan  cot
 sin(90)  cos
cos(90 )  sin
tan(90 )  cot
cosec(90 )  sec
sec(90 )  cosec
cot(90 )  tan
 sin(90  )  cos
cos(90)  sin
tan(90)  cot
cosec(90)  sec
sec(90)  cosec
cot(90)  tan
 sin(180)  sin
cos(180)  cos
tan(180)  tan
cosec(180 )  cosec
sec(180 )  sec
cot(180 )  cot
 sin(180)  sin
cos(180)  cos
tan(180)  tan
cosec(180)  cosec
sec(180)  sec
cot(180)  cot

 sin(270)  cos
cos(270)  sin
18

tan(270)  cot
cosec(270)  sec
sec(270)  cosec
cot(270 )  tan
 sin(270)  cos
cos(270 )  sin
tan(270)  cot
cosec(270)  sec
sec(270)  cosec
cot(270)  tan
 sin(360 )  sin
cos(360)  cos
tan(360)  tan
cosec(360)  cosec
sec(360)  sec
cot(360 )  cot
 sin(360)  sin
cos(360)  cos
tan(360 )  tan
cosec(360)  cosec
sec(360 )  sec
cot(360 )  cot
 sin(2n )  sin
cos(2n )  cos
tan(2n )  tan
cosec(2n )  cosec
sec(2n )  sec
cot(2n )  cot
 sin()  sin
cos()  cos
tan()  tan
cosec()  cosec

sec()  sec
cot()  cot
19

 sin(A  B)  sinAcosB  cosAsinB
sin(A  B)  sinAcosB  cosAsinB
cos(A  B)  cosAcosB  sinAsinB
cos(A  B)  cosAcosB  sinAsinB
tan A  tan B
tan( A  B ) 
1  tan A tan B
tan A  tan B
tan( A  B ) 
1  tan A tan B
cot A cot B  1
cot( A  B) 
cot A  cot B
cot A cot B  1
cot( A  B) 
cot B  cot A
2 tan 
 sin 2  2 sin  cos 
1  tan 2 
1  tan 2 
cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2 sin 2  
1  tan 2 
2 tan
tan 2 
1  tan 2 
 1  cos 2  2 cos 2 
1  cos 2  2 sin 2 

2 tan
 2 
 sin  2 sin cos 
2 2 1  tan 2 
2

1  tan 2
    2
cos  cos2  sin 2  2 cos2  1  1  2 sin 2 
2 2 2 2 1  tan 2 
2

2 tan
tan  2

1  tan 2
2
2 
 1  cos  2 cos
2

1  cos  2 sin2
2
 sin 3  3 sin   4 sin 3 

cos 3  4 cos 3   3 sin 
3 tan   tan 3 
tan 3 
1  3 tan 2 
20

CD CD
 sin C  sin D  2 sin cos
2 2
CD CD
sin C  sin D  2 cos sin
2 2
CD CD
cosC  cos D  2 cos cos
2 2
CD CD
cosC cos D  2 sin sin
2 2
 2sinAcosB  sin(A  B)  sin(A  B)
2cosAsinB  sin(A B) sin(A B)
2cosAcosB  cos(A B)  cos(A B)
2sinAsinB  cos(A B) cos(A B)
Q1. सही िवक प चुिनये
(1) 225° क रे िडयन माप होती है:
(𝑎) (𝑏 ) (𝑐 ) (𝑑 )
(2) रे िडयन माप क संगत िड ी माप होती है:
(𝑎) 150° (𝑏) 210° (𝑐 ) 135° (𝑑) 300°
(3) फलन 𝑦 = cos 𝑥 का प रसर (𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒) होती है:
(𝑎) (−1,1) (𝑏) [−1,1] (𝑐 ) (−∞, ∞) (𝑑) [0, 𝜋]
(4) sin + cos का मान होता है:
(𝑎) 1 (𝑏) 1/2 (𝑐 ) − 1/2 (𝑑) 0
(5) 𝑠𝑖𝑛15° का मान है:
(𝑎) √ (𝑏) √ (𝑐 ) √3 − 2 (𝑑) 2 − √3
√ √
(6) 𝑐𝑜𝑠 एवं sec फलन कन चतुथाश म धना मक होते है:
(𝑎) थम एवं तृतीय (𝑏) थम एवं ि तीय (𝑐 ) थम एवं चतुथ (𝑑) सभी चतुथास म
Q2. र थान क पू त क िजये।
(𝑖 ) sin 𝛼 = हो तो sin 2𝛼 = ………. होगा |
(𝑖𝑖 ) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 का मान ……… होता है |
Q3. सही जोड़ी िमलाइए:
1. त भ–A त भ-B
2
1. sec x  1 a. cos x
180
2. tan 2 x b. िड ी माप

 
3. sin  x c. tan x
2

2 
4. रे िडयन माप d. sin x

2 tan x
5. sin(2n  x) e.
1  tan 2 x

21

2.
त भ–A त भ-B

1. 180
o a. tan 
2. cos  b.  tan 
3. tan(  ) c. 
c

4. sec(90   ) d.  1

5. cot 30
o e. 1
f. cos ec 
g. 3

3.
त भ–A त भ-B
1. 2 sin Acos A a. sin 3

2. 1  2 sin
2A b. cos 3
2 tan A
3. c. sin 2 A
1  tan 2 A
4. 3 sin   4 sin
3 d. cos 2 A

5. 4 cos
3   3 cos e. tan 2 A

4.
त भ–A त भ-B
o 2 tan x
1. sin 15 a.
1  tan 2 x
1  tan 2 x
2. sin 2 x b.
1  tan 2 x
2 tan x
3. tan 2 x c.
1  tan 2 x
3 1
4. cos 2 x d.
2 2
o 3 1
5. cos15 e.
2 2
Q4. एक श द या वा य म उ र िलिखए:
1. रे िडयन माप और िड ी माप म संबंध िलिखए |

2. एक िड ी म कतने िमनट होते ह |
3. कोण को प रभािषत क िजए |

22

Q5. स य/ अस य िलिखए:
1. एक कोण वह माप है जो एक करण के उसके ारि भक िब दु के प रत: घूमने पर बनता है |
2. एक पूण प र मण का 180वाँ भाग एक िड ी कहलाता है |
3. इकाई वृ के क पर एक इकाई लंबाई के चाप ारा बने कोण को एक रेिडयन कहते ह|
180
4. रे िडयन माप  िड ी माप

5. य द एक वृ , िजसक ि या r है, चाप क लंबाई l तथा क पर अं कत कोण  रेिडयन है, तो
l
 .
r
Q6. 40 0 20 को रेिडयन माप म बदिलए |
Q7. 6 रे िडयन को िड ी माप म बदिलए |
Q8. 25 0 को रेिडयन माप म बदिलए |
11
Q9. रेिडयन को िड ी माप म बदिलए |
16
Q10. sin 15 का मान ात क िजए |
0

Q11. sin 75 का मान ात क िजए |
0

Q12. tan150 का मान ात क िजए |
Q13. उस वृत क ि या ात क िजए िजसम 60 का क ीय कोण प रिध पर 37.4 सेमी लंबाई का चाप
0

22
काटता है | (   का योग कर)
7
Q14. एक घड़ी म िमनट क सुई 1.5 सेमी लंबी है | इसक नोक 40 िमनट म कतनी दूर जा सकती है?
(   3 .14 का योग कर)
Q15. एक वृत, िजसका ास 40 सेमी है, क एक जीवा 20 सेमी लंबाई क है तो इसके संगत छोटे चाप क
लंबाई ात क िजए |
Q16. एक पिहया एक िमनट म 360 प र मण करता है तो एक सेक ड म कतने रे िडयन माप का कोण
बनाएगा?
Q17. य द दो वृत के चाप क लंबाई समान हो और वे अपने क पर मशः 65 तथा 110 0 का कोण
0

बनाते ह, तो उनक ि या का अनुपात ात क िजए |
Q18. य द दो वृत के चाप क लंबाई समान ह और वे अपने क पर मशः 60 तथा 75 का कोण बनाते
0 0

ह, तो उनक ि या का अनुपात ात क िजए |
Q19. 75 सेमी लंबाई वाले एक दोलायमन दोलक का एक िसरे से दूसरे िसरे तक दोलन करने से जो कोण बनता
है, उसका माप रे िडयन म ात क िजए, जब क उसके नोक ारा बनाए गए चाप क लंबाई 21 सेमी है |
 5  
Q20. िस क िजए क 3 sin cot  1 .
sec  4 sin
6 3 6 4
2    1

Q21. िस क िजए क sin  cos 2  tan 2   .
6 3 4 2

23

 7  3
Q22. िस क िजए क 2 sin
2
 cos ec 2 cos 2  .
6 6 3 2
13
Q23. tan का मान ात क िजए |
12
sin( x  y ) tan x  tan y
Q24. िस क िजए क  .
sin( x  y ) tan x  tan y
 
tan  x  2
 4   1  tan x 
Q25. िस क िजए क   .
   1  tan x 
tan  x 
4 
Q26. दशाईए क tan 3 x tan 2 x tan x  tan 3 x  tan 2 x  tan x .
cos 7 x  cos 5 x
Q27. िस क िजए क  cot x .
sin 7 x  sin 5 x
cos 9 x  cos 5 x sin 2 x
Q28. िस क िजए क  .
sin 17 x  sin 3x cos10 x
sin 5 x  sin 3 x
Q29. िस क िजए क  tan 4 x .
cos 5 x  cos 3 x
sin x  sin y x y
Q30. िस क िजए क  tan .
cos x  cos y 2
sin x  sin 3x
Q31. िस क िजए क  tan 2 x .
cos x  cos 3 x
3
Q32. य द cos x   हो और x तृतीय चतुथाश म ि थत है, तो अ य पाँच ि कोणिमतीय अनुपात के
5
मान ात क िजए |
1
Q33. य द cos x   हो और x तृतीय चतुथाश म ि थत है, तो अ य पाँच ि कोणिमतीय अनुपात के
2
मान ात क िजए |
3
Q34. य द sin x  हो और x दूसरे चतुथाश म ि थत है, तो अ य पाँच ि कोणिमतीय अनुपात के मान
5
ात क िजए |
5
Q35. य द tan x   हो और x दूसरे चतुथाश म ि थत है, तो अ य पाँच ि कोणिमतीय अनुपात के मान
12
ात क िजए |
   
Q36. िस  x   cos  x   2 cos x .
क िजए क cos
4  4 
sin 5 x  2 sin 3 x  sin x
Q37. िस क िजए क  tan x .
cos 5 x  cos x

Q38. िस क िजए क sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  4 cos x cos 2 x sin 4 x .
Q39. िस क िजए क cos 4 x  1  8 sin x cos x .
2 2

24

x 9x 5x
Q40. िस क िजए cos 2 x cos  cos 3x cos  sin 5 x sin .
2 2 2
................................................................................................................................................
उ रमाला
(व तुिन )
A1. (1) 𝑐 , (2) 𝑏, (3) 𝑏, (4) 𝑏, (5) 𝑎, (6) 𝑐
√
A2. (𝑖 ) , (𝑖𝑖 ) − 2
A3. 1. (1).↔ (c), (2).↔ (e), (3).↔ (a), (4).↔ (b), (5).↔ (d)
2. (1).↔ (c), (2).↔ (d), (3).↔ (b), (4).↔ (f), (5).↔ (g)
3. (1).↔ (c), (2).↔ (d), (3).↔ (e), (4).↔ (a), (5).↔ (b)
4. (1).↔ (e), (2).↔ (c), (3).↔ (a), (4).↔ (b), (5).↔ (d)
A4. 1.  रे िडयन  180 िड ी
2. 60
3. एक कोण वह माप है जो एक करण के उसके ारि भक िब दु के प रत: घूमने पर बनता है |
A5. 1. स य 2.अस य 3. स य 4. स य 5. स य
................................................................................................................................................
अ याय 5: सि म सं याएँ और ि घात समीकरण
मरणीय िब दुः-
 (iota) आयोटा i = √−1
 सि म सं या का ा प a + ib, a तथा b वा तिवक सं याएँ ह। a को वा तिवक भाग एवं b को
का पिनक भाग कहते ह।
Z = a + ib
R (z) = a , I (z) = b
 सि म सं या का बीजगिणत:
मान लो z = a + ib तथा z = c + id दो सिम सं याएँ ह।
1. म िविनमेय िनयम: z + z = z + z
2. साहचय िनयम : (z + z ) + z = z + (z + z )
3. योगा मक त समक: z + 0 = z , जहाँ 0 = 0 + 0i , योगा मक त समक है।
4. योगा मक ितलोम: z + (−z) = 0 यहाँ – z , z का योगा मक ितलोम है |
5. सि म सं या का गुणनफल:
z . z = (ac − bd) + i(ad + bc)
6. गुणा मक त समक: z · 1 = z जहाँ 1 = 1 + io गुणा मक त समक है |
7. गुणा मक ितलोम:
1 a b
या z 1 = 2 +i 2 , (a ≠ 0, b ≠ 0)
z a b2 a b2
2
 i क घात: i = √−1 , i = i · i = −1
i = i2 · i = −i, i4 = (i2 )2 = 1
3
1 i i i
i 1 = × = 2 = = −i
i i i 1
अथात् कसी पूणाक k के िलए

i4k = 1, i4k 1 = i, i4k 2 = -1, i4k 3 = - i
 सि म सं या का मापांक (Modulus) और संयु मी (Complex Conjugate) −
माना z = a + ib ,

25

मापांक |z| = a2 + b2
संयु मी z = a − ib
 गुणा मक ितलोम: z = = =
│ │
 z. z = |z |
 |z z | = |z ||z |
| |
 =| |
 z ·z = z · z
 |z ± z | = z ± z
 z1  z1
    य द z2  0 .
 z2  z2
Q1. सही िवक प चुिनये:
1. य द 4 x  i (3x  y )  3  i(6) , जहाँ x और y वा तिवक सं याएँ ह, तब x और y के मान
मशः ह:
3 33 3  33
और
(a) (b) और
4 4 4 4
3 33 3  33
(c) और (d) और
4 4 4 4
2. i का मान होगा:
4

(a)  1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
3. 3  4i का संयु मी है:
(a)  3  4i (b) 3  4i (c)  3  4i (d) 3  4i
4. 2  3i का गुणा मक ितलोम है:
2 3 2 3 2 3 2 3
(a)  i (b)   i (c)  i (d)   i
13 13 13 13 13 13 13 13
Q2. र थान क पू त क िजए:
1.  3  i का मापांक .......... होगा |
2. i  ..........
4k

3. i
4 k 1
 ..........
4. सि म सं या  2  i का संयु मी .......... होगा |
5.  i का गुणां मक ितलोम .......... होगा |
Q3. स य / अस य िलिखए :

1. 1  i
2. i  1
2

3. i  i
3

4. i  1
4

5. दो सि म सं या का योगफल एक सि म सं या होती है |

26

Q4. एक श द या वा य म उ र िलिखए:
1. z  i का गुणा मक ितलोम या होगा?
2. i को a  ib के
 39
पम क िजए |
3. z  a  ib का संयु मी िलिखए |
3
 1 
Q5. (i )(2i)  i  को a  ib के प म क िजए |
 8 
Q6.  
 3   2 2 3  i को a  ib के प म  क िजए |
1 2  5
Q7.   i    4  i  को a  ib के प म क िजए |
5 5  2
Q8. 2  3i का गुणा मक ितलोम ात क िजए |
Q9. 5  3i का गुणा मक ितलोम ात क िजए |
Q10. z  4  3i का गुणा मक ितलोम ात क िजए |
Q11.  i का गुणा मक ितलोम ात क िजए |
1
Q12. का मापांक ात क िजए।
1 i

Q13.
3  i 5 3  i 5  को a  ib के प म क िजए |
 3  2i    3  i 2 
5  2i
Q14. को a  ib के प म क िजए |
1  2i
3
1 
Q15.   3i  को a  ib के प म क िजए |
3 
3
 1 
Q16.   2  i  को a  ib के प म क िजए |
 3 
Q17. 5  3i  को a  ib के प म
3
क िजए |
3
 18  1  25 
Q18. i     का मान ात क िजए |
 i 
 1 2  3  4i 
Q19.     को मानक प म प रव तत क िजए |
 1  4i 1  i  5  i 
1 i 1 i
Q20. सि म सं या  का मापांक ात क िजए |
1 i 1 i
1
Q21. समीकरण x 2  x   0 को हल क िजए |
2
x
Q22. समीकरण x 2   1  0 को हल क िजए |
2
20
Q23. समीकरण 3 x 2  4 x   0 को हल क िजए |

3
3
Q24. समीकरण x 2  2 x   0 को हल क िजए |
2
27

Q25. समीकरण 27 x 2  10 x  1  0 को हल क िजए |
Q26. समीकरण 21x  28 x  10  0 को हल क िजए |
2

Q27. समीकरण x  x  1  0 को हल क िजए |
2

Q28. समीकरण 2 x  x  1  0 को हल क िजए |
2

Q29. समीकरण x  3 x  9  0 को हल क िजए |
2

Q30. समीकरण  x  x  2  0 को हल क िजए |
2

Q31. समीकरण 5 x 2  x  5  0 को हल क िजए |
Q32. समीकरण x  3 x  5  0 को हल क िजए |
2

Q33. समीकरण x  x  2  0 को हल क िजए |
2

Q34. समीकरण 2 x 2  x  2  0 को हल क िजए |
Q35. समीकरण 3 x 2  2 x  3 3  0 को हल क िजए |
Q36. समीकरण
3  2i ( 2  3i ) का संयु मी ात क िजए |
(1  2i )( 2  i )
m
1  i 
Q37. समीकरण    1 म m का यूनतम मान ात क िजए |
1  i 
a  ib
Q38. य द x  iy  है तो, िस क िजए क x  y  1.
2 2

a  ib
 
Q39. य द  और  िभ सि म सं याएँ ह, जहाँ   1 , तब का मान ात क िजए |
1 
Q40. य द 4 x  i (3 x  y )  3  i ( 6), जहाँ x और y वा तिवक सं याएँ ह, तब x और y ात क िजए |
1 
Q41. (5i ) i  को a  ib के प म क िजए |
8 
 3 
Q42. (5i )  i  को a  ib के प म क िजए |
 5 
Q43. i 9  i 19 को a  ib के पम क िजए |
 1 7  1   4 
Q44.  3  i 3    4  i 3     3  i   को a  ib के प म क िजए |
     
1 i
Q45. सि म सं या का मापांक ात क िजए |
1 i
1
Q46. सि म सं या का मापांक ात क िजए |
1 i
3  2i sin 
Q47.  का वा तिवक मान बताइए, जब क मा वा तिवक है |
1  2i sin 
Q48. क ही दो सि म सं या z1 और z 2 के िलए, िस क िजए:
Re( z1 z 2 )  Re z1 Re z 2  Im z1 Im z 2 .
a  ib a2  b2
, तो िस क िजए क x 2  y 2   2
2
Q49. य द x  iy  .
c  id c d2

z  z2  1
Q50. य द z1  2  i, z 2  1  i , 1 का मान ात क िजए |
z1  z 2  i

28

( x  i) 2 ( x 2  1) 2
Q51. य द a  ib  , तो िस क िजए क a 2  b 2  .
2x2  1 ( 2 x 2  1) 2
z z 
Q52. य द z1  2  i, z 2  2  i , Re  1 2  का मान ात क िजए |
 z 
 1 
 1 
Q53. य द z  2  i , Im   का मान ात क िजए |
 zz 
Q54. य द ( x  iy )(3  5i ) ,  6  24i क संयु मी है तो वा तिवक सं याएँ x और y ात क िजए |
u v
Q55. य द ( x  iy ) 3  u  iv , तो िस क िजए क   4( x 2  y 2 ).
x y
x
Q56. समीकरण 1  i  2 x के शू ये र पूणाक मूल क सं या ात क िजए |
................................................................................................................................................

उ रमाला
(व तुिन )
3 33 2 3
A1. 1. (a) और 2. (b) 1 3. (d) 3  4i 4. (a)  i
4 4 13 13
A2. 1. 2 2. 1 3. i 4. 2i 5. i
A3. 1. स य 2. स य 3. स य 4. स य 5. स य
A4. 1. i 2. 0  i 3. a  ib
................................................................................................................................................

अ याय 6: रै िखक असिमकाएँ
मरणीय बंद ु
 एक असिमका, दो वा तिवक सं या या दो बीजीय ज
ं क म < , >,  , या  के िच ह के योग से
बनती ह | 3  5 , 7  4 इ या द सं यांक असिमका के उदाहरण ह | x  5 , 7  y , x  y  51 इ या द
शाि दक (चरांक ) असिमका के उदाहरण ह |
 एक असिमका 15x  50 पर िवचार करते ह , जहाँ x कोई पूण सं या है | इस असिमका को स य कथन
करने वाले x के मान के वल 0, 1, 2, 3 ह जब क य द x के थान पर 4 िलया जाए तो असिमका एक
अस य कथन हो जाती है | x के वे मान जो असिमका को एक स य कथन बनाते ह , असिमका के हल
कहलाते ह |
 एक असिमका के दोन प म समान सं या जोड़ी या घटायी जा सकती है |
 कसी असिमका के दोन प को समान धना मक सं या से गुणा (या भाग) कया जा सकता है | परं तु
दोन प को समान ऋणा मक सं या से गुणा (या भाग) करने पर असिमका के िच ह तदनुसार बदल
जाते ह |
Q1. र थान क पू त क िजए:
1. x के उन मान को जो दए गए असिमका को एक स य कथन बनाते ह, उ ह असिमका का ..........

कहते ह |
2. ax  by  c एक रै िखक ……………. है |

29

Q2. स य / अस य िलिखए :
1. ax  by  c एक रै िखक असिमका है |
2. ax  by  c एक सुिनि त असिमका है |
Q3. 30 x  200 का हल ात क िजए जब
(i) x एक ाकृ त सं या है | (ii) x एक पूणाक है |
Q4. 24 x  100 , का हल ात क िजए जब
(i) x एक ाकृ त सं या है | (ii) x एक पूणाक है |
Q5. हल क िजए: 5 x  3  3 x  1, जब
(i) x एक पूणाक है | (ii) x एक वा तिवक सं या है |
Q6. हल क िजए:  12 x  30 , जब
(i) x एक ाकृ त सं या है | (ii) x एक पूणाक है |
Q7. हल क िजए: 3 x  8  2 , जब
(i) x एक पूणाक है | (ii) x एक वा तिवक सं या है |
Q8. हल क िजए: 4 x  3  6 x  7.
Q9. हल क िजए: 3x  7  5 x  1 .
Q10. हल क िजए: 3( x  1)  2( x  3) .
Q11. हल क िजए: 3(2  x )  2(1  x) .
x x
Q12. हल क िजए: x    11 .
2 3
x x
Q13. हल क िजए:   1 .
3 2
3( x  2) 5(2  x)
Q14. हल क िजए:  .
5 3
Q15. हल क िजए:  8  5 x  3  7.
5  2x x
Q16. हल क िजए:   5.
3 6
x (5 x  2) (7 x  3)
Q17. वा तिवक सं या x के िलए हल क िजए:   .
4 3 5
3x  4 x  1
Q18. हल क िजए   1 तथा इस हल को सं या रे खा पर आलेिखत क िजए |
2 4
x (5 x  2) (7 x  3)
Q19. हल क िजए   तथा इस हल को सं या रे खा पर आलेिखत क िजए |
2 3 5
Q20. हल क िजए 7 x  3  5 x  9 तथा इस हल को सं या रे खा पर आलेिखत क िजए |
Q21. क ा XI के थम स व ि तीय स क परी ा म एक छा के ा ांक 62 और 48 ह | वह यूनतम
अंक ात क िजए, िजसे वा षक परी ा म पाकर वह छा 60 अंक का यूनतम औसत ा कर सके |
Q22. रिव ने पहली दो एकक परी ा म 70 और 75 अंक ा कए ह | वह यूनतम अंक ात क िजए िजसे वह

तीसरी एकक परी ा म पाकर 60 अंक का यूनतम औसत ा कर सके |
Q23. कसी पा म म ेड ‘A’ पाने के िलए एक ि को सभी पाँच परी ा ( येक 100 म से) म 90 अंक

30

या अिधक अंक का औसत ा करना चािहए | य द सुनीता के थम चार परी ा के ा ांक 87, 92,
94 और 95 ह तो वह यूनतम अंक ात क िजए िजसे पाँचवी परी ा म ा करके सुनीता उस पा म
म ेड ‘A’ पाएगी |
Q24. मागत िवषम सं या के ऐसे यु म ात क िजए, िजनम दोन सं याएँ 10 से बड़ी ह , और उनका
योगफल 40 से कम हो |
Q25. 10 से कम मागत िवषम सं या के ऐसे यु म ात क िजए, िजनके योगफल 11 से अिधक ह |
Q26. मागत सम सं या के ऐसे यु म ात क िजए, िजनम से येक 5 से बड़े ह , तथा उनका योगफल 23 से
कम हो |
Q27. एक िवलयन को 68 F और 77 F के म य रखना है | सेि सयस पैमाने पर िवलयन के तापमान
o o

9
का प रसर ात क िजए , जहाँ सेि सयस फारे नहाइट प रवतन सू F  C  32 है |
5
MA
Q28. एक ि के बौि क – लि ध (IQ) मापन सू िन िलिखत है: IQ   100 ,
CA
जहाँ MA मानिसक आयु और CA कालानु मी आयु है | य द 12 वष क आयु के ब के एक समूह क
IQ , असिमका 80  IQ  140 ारा हो, तो उस समूह के ब क मानिसक आयु का प रसर
ात क िजए |
................................................................................................................................................
उ रमाला
(व तुिन )
A1. 1. हल 2. असिमका
A2. 1. स य 2. स य
................................................................................................................................................

अ याय 7: मचय एवं संचय
मरणीय बंद:ु -
 य द कसी काय A को m तरीके से तथा काय B को n तरीके से कया जा सकता है, और C एक काय
है जो A तथा B के होने के बाद स पा दत होता है तब C काय को करने के m × n तरीके ह।
 य द तीन सं याएँ पृथक- पृथक मशः m, n और p िविधय से संप हो रही ह तो तीनो
सं या को एक साथ m × n × p िविधय से संप कया जा सकता है ।
 थम ाकृ त सं या के गुणा म िलखने को मगुिणत कहा जाता है और इसे n! या Ln से द शत
कया जाता है।
अथात n! = 1× 2 × 3 × 4 × − − − −× (𝑛 − 1) × 𝑛
3! = 1× 2 × 3 = 6
5! = 1× 2 × 3 × 4 × 5 = 120 आ द
 n! के वल धना मक पूणाक के िलए प रभािषत है।

 मचय एक िनि त म िव यास है, िजसको दी यी व तु म से एक समय म कु छ या सभी को
लेकर बनाया गया है। अ र A, B, C से बनने वाले िभ मचय, जब क दो अ र एक साथ िलए
जाए, AB, BA, BC, CB, AC, CA ह गे|
31

 n िभ व तु म से एक समय म r व तु को लेकर बनाये गए मचयो क सं या 𝑃 इसे
P (n, r) से द शत क जाती है।
 n िभ व तु म से एक समय म r व तु को लेकर बनाये गए मचयो क सं या को तीक 𝑃
से िन िपत करते ह, जहाँ 0 < r ≤ n तथा कसी भी मचय म व तु क पुनरावृि क अनुमित
नह है।
!
𝑃 = n(n-1)(n-2)----------(n-r+1) = ( )!

 n िभ व तु म से एक समय म से सभी व तु को लेकर बनाए गये मचय क सं या
P(n , n) = 𝑃 = n!
 जब r > 𝑛 , हम 𝑃 के बारे म नह सोचते , य क कम व तु म से अिधक व तु को लेकर
!
वि थत नह कया जा सकता है | साथ ही 𝑃 = ( )!
का कोई अथ नह है, जब r > 𝑛 अथात
(n – r ) < 0 य क ऋणा मक सं या का मगुिणत प रभािषत नह है |
! !
 𝑃 =( )!
= = 1, इस कार n िभ व तु म से कोई भी व तु न लेकर बने मचयो क सं या
!
1 है |
अतः r = 0 के िलए –
!
𝑃 =( )!
, 0≤ 𝑟 < 𝑛
 कु छ या सभी व तु को लेकर ा कया गया चयन संचय कहलाता है।
अ र A,B,C से बनने वाले िभ संचय, जब क दो अ र एक साथ िलए जाए, AB, BC, AC ह गे।
𝑛
 r व तु को एक साथ लेते ए n व तु के संचयो क सं या C (n,r) या 𝐶 या से द शत
𝑟
कया जाता है |
इस कार, 𝐶 या C (n,r) = n व तु म से r व तु के चयन क िविध |
!
 n िभ व तु म से r एक साथ लेते ए संचयो क सं या 𝐶 = ( )! !
, 0≤ 𝑟 ≤ 𝑛
 माना n और r ऋणे र पूणाक इस कार ह क –
r ≤ n तब 𝐶 + 𝐶 -1 = 𝐶
 𝑃 = 𝐶 r! , 0≤ 𝑟 ≤ 𝑛
!
 𝐶 = =1
! !
 𝐶 =1
 n िविभ व तु म से एक समय म r को लेकर बनने वाले मचयो क सं या, जब क पुनरावृि क
अनुमित है; nr है |
 संचय म के वल चयन करते है , जब क मचय म न के वल चयन करते ह बि क एक िनि त म म वि थत
कया जाता है।
 संचय म चुनी यी व तु का म मह वपूण नह है | जब क मचय म, म मह वपूण है| उदाहरण के िलए,
A, B और B, A संचय म समान है, ले कन मचय म िभ ह |
 r व तुएँ एक साथ लेते ए, n िभ व तु के मचय ा करने हेतु सव थम हम n व तु म से r व तु

को चुनते ह, और फर उ ह वि थत करते ह अतः मचयो क सं या संचयो क सं या से अिधक होती है |
 कई मचय के संगत एक संचय होती है उदाहरण के िलए छः मचय ABC, ACB, BCA, BAC, CBA

32

और CAB समान संचय ABC के संगत |
 ापक प म हम श द arrangement's का योग मचय और selections का योग संचय के िलए
करते है।
Q1. सही िवक प चुिनये:
1. P2 का मान होगा:
12

(a) 132 (b) 1320 (c) 12 (d) 11880
n
2. P0 का मान होगा:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) n
n
3. Pn का मान होगा:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) n!
4. 0! का मान होगा:

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) n
5. C0 का मान होगा:
n

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) n
6. C n का मान होगा:
n

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) n
7. अंको 1,2,3,4,5 से कतनी 2 अंक य सं याएं बन सकती है, य द अंको क़ पुनरावृि क़ जा सकती है।
(a) 25 (b) 10 (c) 16 (d) 20
8. 5! का मान होगा:

(a) 5 (b) 120 (c) 16 (d) 20
9. यद 5 𝑃 =6 𝑃 , है तो r का मान होगा:
(a) 3 (b) 8 (c) 4 (d) 5

10. 𝐶 का मान है-
! ( )! 𝒏!
(a) ( (b) (c) (d) इनमे से कोई नह
)! ! ! 𝒓!(𝒏 𝒓)!

11. 𝐶 = 𝐶 तो 𝑟 का मान होगा-
(a) 3 (b) 8 (c) 4 (d) 5
12. य द (n+2)! = 20n! है तो n का मान होगा-
(a) -6 (b) 3 (c) 6 (d) 5

13. 𝐶+ 𝐶 का मान होगा
(a) 𝐶 (b) 𝐶 (c) 𝐶 (d) 𝐶
Q2. र थान क पू त क िजए:
1. य द C12  C8 तो n  ..........

n n

2. 0! ..........

33

7!
3.  ..........
5!
4. n िभ व तु म से सभी व तु को लेकर बनाये गए मचयो क सं या …………… होगी।
5. n िभ व तु म से कोई भी व तु न लेकर बने मचयो क सं या …………………… है।
6. n िभ व तु म से r व तु को लेकर बनाये गए मचयो क सं या …………………….. से
द शत क जाती है |
7. n िविभ व तु म से एक समय म, r व तु को लेकर बने मचयो क सं या, जब क व तु के
पुनरावृि क अनुमित हो, ………………………. होती है।
8. 𝐶 = 𝐶 है तो 𝐶 का मान …………………………होगा।
9. n िविभ व तु म से एक समय म r व तु को लेकर बनने वाले संचयो क सं या को …………. से
कट करते है।
10. 𝑃 का मान ………………………… है |
11. 𝐶 =2 𝐶 हो, तो n का मान …………………. होगा |
12. (7! -5!) का मान …………………..है |
Q3. स य / अस य िलिखए :
1. 0! का मान 0 होता है |
5
2. C2 का मान 20 होता है |
3. मचय एक िनि त म म बना िव यास है, िजसको दी ई व तु म से एक समय म कु छ या सभी को
लेकर बनाया गया है।
4. n िविभ व तु म से एक समय म r व तु को लेकर बनाये मचयो क सं या को तीक 𝑃 से
िन िपत करते है।
5. 3! + 4! का मान 7! होगा |
6. 7! का मान 4050 है |
7. n िविभ व तु म से एक समय म r व तु को लेकर बने मचयो क सं या जब क व तु क
पुनरावृि क अनुमित हो, nr होती है |
8. 𝑃 = n! होता है |
9. 𝐶+ 𝐶 = 𝐶 होता है|
10. य द 𝐶 = 𝐶 हो, तो 𝐶 का मान 10 होगा।
Q4. एक श द या वा य म उ र िलिखए:
1. 5 ! का मान िलिखए |
2. 7 ! का मान िलिखए |
3. 4! 3 ! का मान िलिखए |
4. C2 का मान िलिखए |
5

9
5. P3 का मान िलिखए |

6. मचय क प रभाषा िलिखए।
7. संचय क प रभाषा िलिखए।

34

8. मचय तथा संचय के बीच या स ब ध है?
!
9. ( )!
का मान िनकािलये जब n=9, r=5 |
10. MATHEMATICS श द के अ र से बने मचयो क सं या कतनी है?
11. REWA श द के अ र से बनने वाले मचयो क सं या ात क िजये|
Q5. सही जोड़ी िमलाइए:
त भ–A त भ-B
1. 5 ! a. n . ( n  1)!
5
2. C 2 b. 1
n
3. P0 c. 18
4. 4! 3 ! d. 10
5. n ! e. 120
Q6. 𝐶 = 𝐶 तो 𝐶 का मान ात क िजये |
Q7. य द 𝑃 = 5040, हो, तो r का मान ात क िजये।
Q8. 𝐶 = 𝐶 हो, तो 𝐶 का मान कतना होगा |
Q9. + = हो, तो 𝑥 का मान ात क िजये|
! ! !
Q10. ELEPHANT श द के अ र से बनने वाले मचयो क सं या िलिखए|
Q11. श द ROSE के अ र से बनने वाले 4 अ र वाले, अथपूण या अथहीन, श द क सं या ात
क िजए , जब क अ र क पुनरा ि क अनुमित नह ह |
Q12. िभ – िभ रं ग के दए ए 4 झंड से, कतने िभ – िभ संकेत उ प कए जा सकते ह, य द एक
संकेत के िलए एक दूसरे के नीचे 2 झंड क आव यकता पड़ती है?
Q13. अंक 1, 2, 3, 4 और 5 से कतनी 3 अंक य सं याएँ बनाई जा सकती ह, य द अंक क पुनरावृि क
अनुमित न हो?
Q14. 1 से 9 तक के अंक को योग करके कतनी 4 अंक य सं याएँ बन सकती ह, य द अंक क पुनरावृि
अनुमित नह ह?
n!
Q15. मान िनकािलए , जहाँ n  5 , r  2 .
r !(n  r )!
1 1 x
Q16. य द   तो x ात क िजए |
8! 9! 10!
Q17. ALLAHABAD श द के अ र से बनने वाले मचय क सं या ात क िजए |
Q18. n का मान ात क िजए य द P5  42 p3 , n  4 .
n n

Q19. य द C9  C8 तो C17 मान ात क िजए |
n n n

Q20. कसी वृत पर ि थत 21 िब दु से होकर जाने वाली कतनी जीवाएँ ख ची जा सकती ह?
Q21. िस क िजये क C + C = C.

Q22. DAUGHTER श द के अ र से 8 अ र वाले िव यास क सं या ात क िजये य द सभी वर एक साथ
रह|

35

Q23. n का मान ात क िजये C : C = 11:1
Q24. श द INDEPENDENCE के अ र को कतनी िविधय से वि थत कया जा सकता है, य द श द P से
आर भ हो।
Q25. EQUATION श द के अ र म से येक को त यत: के वल एक बार उपयोग करके कतने अथपूण या
अथहीन, श द बन सकते ह?
Q26. 8 ि य क सिमित म, हम कतने कार से एक अ य और एक उपा य चुन सकते ह, यह मानते
ए क एक ि एक से अिधक पद पर नह रह सकता है?
Q27. अँ ेजी वणमाला के थम 10 अ र से कतने 4 अ र के कोड बनाए जा सकते ह ,य द कसी भी
अ र क पुनरावृि नह क जा सकती है?
Q28. 0 से 9 तक के अंक का योग करके कतने 5 अंक य टेलीफोन नंबर बनाए जा सकते ह, य द येक
नंबर 67 से ार भ होता है और कोई अंक एक बार से अिधक नह आता है?
Q29. अंक 1, 2, 3, 4, और 5 के उपयोग ारा कतनी 4 अंक य सं याएँ बनाई जा सकती ह, य द कोई भी
अंक दोहराया नह गया है? इनम से कतनी सम सं याएँ ह गी?
Q30. कसी भी अंक को दोहराए िबना कतनी 4 अंक य सं याएँ होती ह?
Q31. 100 और 1000 के बीच ि थत कतनी सं याएँ ह, िज ह अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5 से बनाया जा सकता है ,
य द अंक के पुनरावृि क अनुमित नह है|
Q32. अंक 1, 2, 3, 4 और 5 से कतनी 3 अंक य सं याएँ बनाई जा सकती ह, य द अंक क पुनरावृि क जा
सकती है |
Q33. अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कतनी 3 अंक य सम सं याएँ बन सकती ह, य द अंक क पुनरावृि क जा
सकती है |
Q34. 4 लाल, 3 पीली तथा 2 हरी िड क को एक पंि म कतने कार से वि थत कया जा सकता
है, य द एक ही रं ग क िड क म कोई अंतर नह है ?
Q35. य द P3 :n P4  1 : 9 तो n का मान ात क िजए |
n 1

Q36. r का मान ात क िजए य द 5 Pr  6 Pr 1 .
4 5

Q37. n का मान ात क िजए य द
2n
C3 :n C 2  12 : 1 .
Q38. 2 पु ष और 3 मिहला के एक समूह से 3 ि य क एक सिमित बनानी है | यह कतने कार से
कया जा सकता है? इनम से कतनी सिमितयाँ ऐसी ह, िजनम 1 पु ष तथा 2 मिहलाएँ ह?
Q39. 5 लड़के और 4 लड़ कय म से 3 लड़के और 3 लड़ कय क टीम बनाने के कतने तरीके ह?
Q40. 6 लाल रं ग क , 5 सफ़े द रं ग क और 5 नीले रं ग क गद म से 9 गद के चुनने के तरीक क सं या ात
क िजए , य द येक सं ह म येक रं ग क 3 गद ह |
Q41. 52 प क एक ग ी म से 5 प को लेकर बनने वाले संचय क सं या िनधा रत क िजए, य द येक
संचय म त यत: एक इ ा है |
Q42. एक थैली म 5 काली तथा 6 लाल गद ह | 2 काली तथा 3 लाल गद के चयन के तरीक क सं या

िनधा रत क िजए |
Q43. PERMUTATIONS श द के अ र को कतने तरीक से वि थत कया जा सकता है:

36

(i) चयिनत श द का ार भ P से तथा अंत S से होता है।
(ii) चयिनत श द म सभी वर एक साथ है।
(iii) चयिनत श द म P तथा S के म य सदैव 4 अ र हो।
Q44. MONDAY श द के अ र म से कतने अथपूण या अथहीन श द बन सकते ह, यह मानते ए क कसी
भी अ र क पुनरावृि नह क जाती है; य द
(i) एक समय म 4 अ र िलए जाते ह।
(ii) सभी अ र का योग कया जाता है क तु थम अ र एक वर है|
Q45. 52 ताशो क ग ी म 4 प को चुनने के तरीको क सं या या है; इन तरीको म से कतन म -
(i) चार प े एक ही कार के है?
(ii) दो लाल रं ग के , दो काले रं ग के है?
Q46. 1, 2, 0, 2, 4, 2, 4 अंको के योग ारा 1000000 से बड़ी कतना सं याये बन सकती ह।
Q47. 5 लड़ कयाँ और 3 लड़क को एक पंि म कतने कार से बैठा सकते ह जब क कोई भी दो लड़के एक साथ
नह बैठते ह |
Q48. ASSASSINATION श द के अ र के कतने िव यास बनाये जा सकते ह जब क सभी ‘S’ एक साथ रह।
Q49. अं ेजी वणमाला म 5 वर और 21 ंजन ह। इस वणमाला से िभ वर और िभ ंजन वाले कतने
श द क रचना क जा सकती है।
Q50. 9 उपल ध पा म म से, एक िव ाथ 5 पा म का चयन कतने कार से कर सकता है, य द
येक िव ाथ के िलए 2 िविश पा म अिनवाय ह?
Q51. 17 िखलािड़य म से, िजनम के वल 5 िखलाड़ी गदबाजी कर सकते ह, एक के ट टीम के 11 िखलािड़य का
चयन कतने कार से कया जा सकता है, य द येक टीम म त यत: 4 गदबाज ह?
................................................................................................................................................
उ रमाला
(व तुिन )
A1. 1. (a) 132 2. (b) 1 3. (d) n ! 4. (b) 1 5. (b) 1 6. (b) 1 7. (a) 25 8. (b)120
n!
9. (a) 3 10. (c) 11. (a) 3 12. (b)3 13. (b) n 1 c r
r! ( n  r )!
A2. 1. 20 2. 1 3. 42 4. n! 5. 1 6. n
pr
7. n r 8. 1 9. n
cr 10. 120 11. 5 12. 4920
A3. 1. अस य 2. अस य 3. स य 4. स य 5. अस य 6. अस य
7. स य 8. स य 9. स य 10. अस य
A4.
1. 5 ! 5  4  3  2  1  120
2. 7 ! 7  6  5  4  3  2  1  5040
3. 4! 3 ! 4  3  2  1  3  2  1  24  6  18

5 4
4.
5
C2   10
2 1
5. P3  9  8  7  504
9

37

6. मचय एक िनि त म िव यास है, िजसको दी यी व तु म से एक समय म कु छ या सभी को लेकर
बनाया गया है। अ र A, B, C से बनने वाले िभ मचय, जब क दो अ र एक साथ िलए जाए, AB,
BA, BC, CB, AC, CA ह गे|
7. कु छ या सभी व तु को लेकर ा कया गया चयन संचय कहलाता है। अ र A,B,C से बनने वाले
िभ संचय, जब क दो अ र एक साथ िलए जाए, AB, BC, AC ह गे
8. n
p r  n c r .r ! , 0  r  n.
9. 15120
10. 4989600
11. 24
A5. (1).↔ (e), (2).↔ (d), (3).↔ (b), (4).↔ (c), (5).↔ (a)
******************************************************************************************************
अ याय 8: ि पद मेय
मरणीय िब दु
 (a  b)  a  2ab  b
2 2 2

 (a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
 ि पद मेय:
(a  b) n  n C0 a n0b 0  nC1a n1b1  nC2 a n 2b 2  ... nCn a nn b n
ि पद मेय म आने वाले गुणांक Cr को ि पद गुणांक कहते ह |
n

 (a  b) n के सार म पद क सं या ( n  1) है अथात घातांक से 1 अिधक है |
 (a  b) n के सार म येक पद म a तथा b क घातांक का योग n है |

n
C 0  nC1  nC 2  ... nC n  2 n

n
C 0  n C1  nC 2  ...  (1) n nC n  0
Q1. सही िवक प चुिनये:
1. (a  b) के सार म कु ल पद क सं या होगी:
n

(a) n (b) n  1 (c) n  1 (d) n  2
Q2. र थान क पू त क िजए:
1. C0  C1  C 2  ...... C n  ..........
n n n n

2.
n
C 0  n C1  nC 2  ...  (1) n nC n  ..........
Q3. स य / अस य िलिखए :
1. (a  b) n के सार म येक पद म a तथा b क घातांक का योग n है |
n
2. ि पद मेय म आने वाले गुणांक Cr को ि पद गुणांक कहते ह |
3. ( a  b ) n के सार म पद क सं या ( n  1) है अथात घातांक से 1 अिधक है |
Q4. एक श द या वा य म उ र िलिखए:
1. ि पद मेय से (a  b) का सार िलिखए |
n

2. ि पद मेय से ( a  b ) n का सार िलिखए |

38

4
 2 3
Q5.  x   , x  0 का सार ात क िजए |
 x
5
 x 1
Q6.    का सार ात क िजए |
3 x
6
 1
Q7.  x   का सार ात क िजए |
 x
Q8. 1  2 x 5 का सार ात क िजए |
5
2 x
Q9.    का सार ात क िजए |
 x 2
Q10. 2 x  3 का सार ात क िजए |
6

Q11. 102 का मान ात क िजए |
5

Q12. 101 का मान ात क िजए |
4

Q13. 98 क गणना क िजए |
5

Q14. 96 का मान ात क िजए |
3

Q15. 99 का मान ात क िजए |
5

Q16. 1.01
1000000
और 10,000 म कौन सी सं या बड़ी है |
Q17. ि पद मेय का योग करके बताइए कौन सी सं या बड़ी है 1.1
10000
या 1000 म कौन सी
सं या बड़ी है |
n
Q18. िस क िजए क  3 Cr  4 n .
r n

r 0

Q 19. ( a  b )  ( a  b ) 4 का िव तार क िजए | इसका योग करके ( 3  2 ) 4  ( 3  2 ) 4 का मान
4

ात क िजए |
Q 20. ( x  1) 6  ( x  1) 6 का िव तार क िजए | इसका योग करके ( 2  1) 6  ( 2  1) 6 का मान
ात क िजए |
Q 21. ि पद मेय का योग करके िस क िजए क 6 n  5n को जब 25 से भाग दया जाए तो सदैव 1 शेष
बचता है |
Q 22. दखाइए क 9 n 1  8n  9 ,64 से िवभा य है जहाँ n एक धन पूणाक है |
................................................................................................................................................
उ रमाला (व तुिन )
A1. 1. (b) n  1 2. (a) 672
n 
A2. 1.   1 2. 2
n
3. 0
2 
A3. 1. स य 2. स य 3. स य
A4.

1. ( a  b)  C0 a b 0  nC1 a n 1b1  nC 2 a n 2 b 2  ... nC n a n n b n
n n n 0

2. ( a  b ) n  n C 0 a n  0 b 0  n C1 a n 1b 1  n C 2 a n  2 b 2  .....  ( 1) n n C n a n  n b n
******************************************************************************************************

39

अ याय 9: अनु म तथा ढ़
े ी
मरणीय िब दु
 समांतर ेढ़ी a, a  d , a  2d ,... म
T1  a ,
T2  a  d ,
T3  a  2d ,
T4  a  3d इ या द |
जहाँ a थम पद तथा d साव-अंतर है |
 समांतर ेढ़ी a, a  d , a  2d ,... का n वां पद
Tn  a  (n  1)d
जहाँ a थम पद तथा d साव-अंतर है |
 समांतर ेढ़ी a, a  d , a  2d ,... म पद क सं या य द n है तो अंितम पद
l  a  (n  1)d
जहाँ a थम पद तथा d साव-अंतर है |
 समांतर ेढ़ी a, a  d , a  2d ,... के n पद का योग
n
S n  2a  (n  1)d 
2
जहाँ a थम पद तथा d साव-अंतर है |
 समांतर ेढ़ी a, a  d , a  2d ,... के n पद का योग
n
S n  a  l 
2
जहाँ a थम पद तथा l अंितम पद है |
ab
 सं या a तथा b का समांतर मा य ( A.M )  .
2
2
गुणो र ेढ़ी a, ar , ar ,... म
T1  a ,
T2  ar ,
T3  ar 2 ,
T4  ar 3 इ या द |
जहाँ a थम पद तथा r साव-अनुपात है |
2
 गुणो र ेढ़ी a, ar , ar ,... का n वां पद
Tn  ar n1
जहाँ a थम पद तथा r साव-अनुपात है |
2
 गुणो र ेढ़ी a, ar, ar ,... म पद क सं या य द n है तो अंितम पद
l  ar n1
जहाँ a थम पद तथा r साव-अनुपात है |
2
 गुणो र ेढ़ी a, ar , ar ,... के n पद का योग

a(1  r n )
Sn  , r 1
1 r
या
40

a(r n  1)
Sn  , r 1
r 1
जहाँ a थम पद तथा r साव-अनुपात है |
 दो सं या a तथा b का गुणो र मा य ab होता है |
 A तथा G दो सं या a तथा b के मशः समांतर मा य तथा गुणो र मा य ह तो A  G होता
है|
Q1. सही िवक प चुिनये:
1. ेढ़ी 2, 4, 8... का 8 वां पद होगा:
(a) 64 (b) 128 (c) 256 (d) 512
2. ेढ़ी a n  n(n  2) का 5वां पद होगा:
(a) 35 (b) 7 (c) 12 (d) 5
3. अनु म √3, √12, √27 .......................... का 10 वाँ पद होगा\
(a) 10 3 (b) 3 10 (c) 30 (d) 3 3
4. य द कसी समा तर ेढ़ी के p व पद का p गुना, उसी ेढ़ी के q व पद के q गुना के बराबर ह तो उसका
(p + q) वां पद होगा:
(a) p (b) q (c) p + q (d) 0
5. य द कसी अनु म का n वाँ पद an = है, तो उस 5वाँ पद होगा?
1 1 1
(a) (b) (c) (d) 9
5 10 9
6. अनु म 1 + 2 + 3 + ....................n का योगफल है :
( ) ( )
(a) (b) (c) n2 (d)
7. कसी क चर म बै टी रया क सं या येक घंटे के प ात् दुगनी हो जाती है। य द ार भ म
उसम 30 बै टी रया उपि थत ह तो बै टी रया क सं या दूसरे घ टे बाद होगी:
(a) 20 (b) 120 (c) 480 (d) 60
Q2. र थान क पू त क िजए:
1. कोई दो धना मक वा तिवक सं या a और b का गुणो र मा य .......... होता है |
2. 2 , 8 , 18 , ... का 5 वां पद .......... होगा |
3. अनु म (1) n1 5 n 1 का तीसरा पद ......... है |
4. य द a , A , b समा तर ेणी म ह , तो सं या A को a और b का .......... कहते ह |
Q3. स य / अस य िलिखए :

1. दो सं या a और b का समांतर मा य a  b होता है |
2
2. 4 और 12 का समांतर मा य 6 होगा |
3. य द कसी समांतर ेढ़ी के येक पद म एक अचर से गुणा कया जाए तो, इस कार ा अनु म भी
समांतर ेढ़ी होता है |

4. दो सं या का समांतर मा य, गुणो र मा य से छोटा होता है |
5. ेणी 5 , 25 , 125, .... का n वाँ पद 5 n 1 है |

41

Q4. एक श द या वा य म उ र िलिखए:
1. गुणो र ेढ़ी a , ar, ar ... का n वां पद िलिखए |
2

2. गुणो र ेढ़ी a , ar, ar ... के n पद का योग का सू िलिखए |
2

3. समांतर ेणी a , a  d , a  2d , .......... का n वां पद िलिखए |
4. समांतर ेणी a , a  d , a  2d , .......... के n पद का योग का सू िलिखए |
n2  5
Q5. य द कसी अनु म का n वां पद a n  n. हो, तो उसका 10वाँ पद िलिखए |
4
Q6. अनु म a n  ( n  1)( 2  n )(3  n) ारा प रभािषत अनु म का 20वाँ पद या है?
1
Q7. य द कसी समांतर ण े ी के n पद का योग nP  n ( n  1)Q , है, जहाँ P तथा Q अचर ह तो
2
साव-अंतर ात क िजए |
Q8. माना क a n िन िलिखत प म प रभािषत है :
a1  3 ,
a n  3a n 1  2 सभी n  1 .
तो अनु म के थम पाँच पद ात क िजए तथा संगत ेणी िलिखए |
Q9. माना क a n िन िलिखत प म प रभािषत है :
a1  1 ,
a n  a n 1  2 जहाँ n  2 .
तो अनु म के थम पाँच पद ात क िजए तथा संगत ेणी िलिखए |
Q10. माना क a n िन िलिखत प म प रभािषत है :
a1  1 ,
a
a n  n 1 जहाँ n  2 .
n
तो अनु म के थम पाँच पद ात क िजए तथा संगत ेणी िलिखए |
Q11. माना क a n िन िलिखत प म प रभािषत है :
a1  a 2  2 ,
a n  a n 1  1 जहाँ n  2 .
तो अनु म के थम पाँच पद ात क िजए तथा संगत ेणी िलिखए |
Q12. य द कसी समांतर ेढ़ी का m वां पद n तथा n वां पद m , जहाँ m  n हो तो p वां पद
ात क िजए |
Q13. ऐसी 6 सं याएँ ात क िजए िजनको 3 और 24 के बीच रखने पर ा अनु म एक समांतर ेणी बन
जाए|
Q14. 1 से 2001 तक के िवषम पूणाक का योग ात क िजए |
1 1
Q15. कसी समांतर ेढ़ी का p वाँ पद तथा q वाँ पद , हो तो िस क िजए क थम pq पद का योग
q p
1
( pq  1) होगा, जहाँ p  q.
2
Q16. य द कसी समांतर ेढ़ी के थम p पद का योग, थम q पद के योगफल के बराबर हो तो थम

( p  q ) पद का योगफल ात क िजए |
Q17. एक ब भुज के दो िमक अंत:कोण का अंतर 50 है | य द सबसे छोटा कोण 1200 हो, तो ब भुज क

42

भुजा क सं या ात क िजए |
Q18. एक गुणो र ेणी म तीसरा पद 24 तथा 6 वाँ पद 192 है, तो 10 वाँ पद ात क िजए |
Q19. अनु म 7, 77 , 777 , 7777 , ... के n पद का योगफल ात क िजए |
Q20. अनु म 8, 88, 888, 8888, ... के n पद का योगफल ात क िजए |
Q21. ेढ़ी 5  55  555  5555  ... के n पद का योगफल ात क िजए |
Q22. अनु म .6  .66  .666  .6666  ... के n पद का योगफल ात क िजए |
Q23. Fibonacci अनु म िन िलिखत प म प रभािषत है :
1  a1  a 2 तथा
a n  a n 1  a n  2 , n  2
a n 1
तो ात क िजए, जब क n  1, 2, 3, 4, 5.
an
Q24. दो समांतर े ढ़य के n पद के योगफल का अनुपात (3n  8) : (7 n  15) है | 12 व पद का
अनुपात ात क िजए |
Q25. दो समांतर े ढ़य के n पद के योगफल का अनुपात 5n  4 : 9n  6 हो, तो उनके 18 व पद का
अनुपात ात क िजए |
Q26. य द कसी समांतर ेढ़ी के थम p , q , r पद का योगफल मशः , a, b तथा c हो तो िस
a b c
क िजए क (q  r )  (r  p)  ( p  a)  0 .
p q r
a b
n n

Q27. य द n 1 , a तथा b के म य समांतर मा य हो तो n का मान ात क िजए |
a  b n 1
Q28. य द दो धना मक सं या a तथा b के बीच समांतर मा य तथा गुणो र मा य मशः 10 तथा 8
ह तो सं याएँ ात क िजए |
a n 1  b n 1
Q29. n का मान ात क िजए ता क , a तथा b के बीच गुणो र हो |
an  bn
Q30. एक ि क थम वष म आय Rs. 3,00,000 है तथा उसक आय Rs. 10,000 ित वष, उ ीस वष
तक बढती है, तो उसके ारा 20 वष म ा आय ात क िजए |
Q31. 100 तथा 1000 के म य उन सभी ाकृ त सं या का योगफल ात क िजए जो 5 के गुणज ह |
Q32. कसी समांतर ेणी म थम पद 2 है तथा थम पांच पद का योगफल, अगले पांच पद के योगफल का
एक चौथाई है | दशाइए क 20 वाँ पद – 112 है |
11
Q33. समांतर ेणी  6,  ,  5, ... के कतने पद का योगफल – 25 है ?
2
Q34. कसी समांतर ेणी 25 , 22 ,19 , .... के कु छ पद का योगफल 116 है तो अंितम पद ात क िजए |
Q35. उस समांतर ेणी के n पद के योगफल ात क िजए, िजसका k वाँ पद 5 k + 1 है |
Q36. य द कसी समांतर ेणी के n पद का योगफल ( pn  qn 2 ) है, जहाँ p तथा q अचर ह तो साव अंतर
ात क िजए |
3 3 3069
Q37. गुणो र ेणी 3 , , ,.... के कतने पद आव यक ह ता क उनका योगफल हो जाए?

2 4 512
13
Q38. एक गुणो र ेणी के थम तीन पद का योगफल है तथा उनका गुणनफल 1 है, तो साव अनुपात ात
12
क िजए |
43

Q39. ऐसी 3 सं याएँ ात क िजए िजनको 1 तथा 256 के बीच रखने पर ा अनु म एक गुणो र ेणी बन
जाए |
Q40. कसी गुणो र ेणी का 5 वाँ, 8 वाँ तथा 11 वाँ पद मशः p , q तथा s ह, तो दखाइए क q2 = ps.
11
Q41. मान ात क िजए  ( 2  3 k ) .
k 1

................................................................................................................................................
उ रमाला
(व तुिन )
1 n( n  1)
A1. 1. (c) 256 2. (a) 35 3. (a) 10 3 4. (d) 0 5. (c) 6. (d) 7. (b) 120
9 2
A2. 1.  ab 2. 5 2 3. 625 4. समांतर मा य
A3. 1. अस य 2. अस य 3. स य 4. अस य 5. अस य
n 1 a (1  r )n
a ( r  1) n
A4. 1. ar 2. S n  , r  1 , Sn  ,r  1 3. a  ( n  1) d
1 r r 1
n
4. [ 2a  (n  1)d ]
2
*******************************************************************************************************
अ याय 10: सरल रे खाएँ
मरणीय िब दु
m2  m1
 य द m1 और m2 ढाल वाली दो रे खा के बीच का कोण  हो तो tan 
1  m1m2 .
 दो रे खाएँ िजनके ढाल m1 और m2 ह, समांतर ह गी य द m1  m2 .
.
 दो रे खाएँ िजनके ढाल m1 और m2 ह, ल बवत ह गी य द m1 .m2  1.
.
 दो िब दु A x1 , y1  और Bx2 , y 2  के बीच क दूरी
AB  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
y  y1
 दो िब दु  x , y  और  x , y  से होकर जाने वाली रे खा का ढाल  2 .
x2  x1
1 1 2 2

 अंतःखंड प म सरल रे खा का समीकरण
x y
 1
a b
जहाँ a तथा b मशः x और y अंतः खंड ह |
 य द एक रे खा x -अ क धन दशा से  कोण बनाती है तो रे खा क ढाल m  tan  ,   90 0 है |
 िै तज रे खा क ढाल शू य है और ऊ वाधर रे खा क ढाल अप रभािषत है |
 दो रे खाएँ समांतर होती ह य द और के वल य द उनके ढाल समान ह |
 दो रे खाएँ पर पर ल बवत होती ह य द और के वल य द उनके ढाल का गुणनफल – 1 है |
 तीन बंद ु A, B और C संरेख होते ह य द और के वल य द AB क ढाल = BC क ढाल |
 दो िब दु  x1 , y1  और  x2 , y 2  से होकर जाने वाली रे खा का समीकरण है :
y 2  y1

y  y1  .(x  x1 )
x2  x1
 ढाल m और y  अंतःख ड c वाली रे खा का समीकरण है : y  mx  c .

44

 ढाल m और x  अंतःख ड d वाली रे खा का समीकरण है : y  m( x  d ). .
 मूल बंदु से लाि बक दूरी p और इस ल ब तथा धन x  अ के बीच w कोण बनाने वाली रेखा का
समीकरण है : x cos w  y sin w  p .
 य द A और B एक साथ शू य न ह तो Ax  By  C  0 के प का कोई समीकरण रे खा का ापक
रै िखक समीकरण या रे खा का ापक समीकरण कहलाता है |
 एक बंदु ( x1 , y1 ) से रे खा Ax  By  C  0 क लाि बक दूरी (d ) इस कार है क :
Ax1  By1  C
d .
A2  B 2
C1  C 2
 समांतर रे खा Ax  By  C1  0 और Ax  By  C 2  0 के बीच क दूरी है : d  .
A2  B 2

Q1. सही िवक प चुिनये:
1. य द एक रे खा x  अ क धन दशा से  कोण बनाती है तो रेखा का ढाल होगा :
(a) tan  (b) cot  (c) sin  (d) cos
2. दो रे खाएँ पर पर लंबवत ह तो उनके ढाल का गुणनफल होगा :
(a) 0 (b) 1 (c)  1 (d) 2
3. य द m1 और m2 ढाल वाली दो रे खा के बीच का कोण  हो तो
m2  m1 m2  m1
(a) tan  (b) tan 
1  m1m2 . 1  m1m2 .
m2  m1 m2 m1
(c) tan  (d) tan 
1  m1m2 . 1  m1m2
4. दो रे खाएँ िजनके ढाल m1 और m2 ह, समांतर ह गी य द
(a) m1  m2 .
2
(b) m1  m2 . (c) m1  m2 . (d) m1  m3 2 .
.
5. दो िब दु  x , y  और  x , y  से होकर जाने वाली रे खा का ढाल 
1 1 2 2

y  y1 y  y1 y 2  y1 y 2  y1
(a) 2 . (b) 2 . (c) . (d) .
x2  x1 x2  x1 x2  x1 x2  x1 .
Q2. र थान क पू त क िजए:
1. ैितज रे खा क ढाल शू य है और ऊ वाधर रे खा क ढाल .......... है |
2. दो रेखाएँ समांतर होती ह य द और के वल य द उनके ढाल ………. ह |
3. य द एक रे खा x -अ क धन दशा से  ,   90 0 कोण बनाती है तो रे खा क ढाल ..........है |
4. य द AB क ढाल = BC क ढाल तो बंद ु A, B और C.......... ह ग |
Q3. स य / अस य िलिखए :
1. m1 और m 2 ढाल वाली रे खा L1 और L2 के बीच का यून कोण  हो तो
m2  m1
tan   , 1  m1m2  0 .
1  m1 m2

2. तीन बंद ु A , B और C संरेख होते ह य द और के वल य द AB क ढाल = BC क ढाल |
3. दो िब दु  x , y  और  x , y  से होकर जाने वाली रे खा का समीकरण है :
1 1 2 2

45

y 2  y1
y  y1  ( x  x1 )
x2  x1
4. ढाल m और y  अंतःख ड c वाली रे खा का समीकरण है : y  mx  c .
5. ढाल m और x  अंतःख ड d वाली रेखा का समीकरण है : y  m( x  d ).
Q4. एक श द या वा य म उ र िलिखए:
1. बंद ु (2 , 3) से जाने वाली और ढाल  4 क रे खा का समीकरण िलिखए |
2. उस रे खा का समीकरण िलिखए जो x  अ और y  अ से मशः  3 और 2 के अंतःखंड बनाती है |
3. उस रे खा के ढाल का मान कतना होगा जो िब दु (3 ,  2) और (1 , 4) से होकर जाती है |
4. उस रे खा के ढाल का मान कतना होगा जो धन x  अ से 60 0 का कोण बनाती है |
Q5. (2 , 6) और (4 , 8) िब दु को िमलाने वाली रे खा, (8 ,12) और (x , 24 ) िब दु को िमलाने वाली
रे खा पर ल ब है | x का मान ात क िजए |
Q6. िब दु (1 ,  1) और (3 , 5) से होकर जाने वाली रे खा का समीकरण िलिखए |
1
Q7. उस रे खा का समीकरण िलिखए िजनके िलए tan   , जहाँ  रे खा का झुकाव है और y  अंतःखंड
2
3
 है |
2
1
Q8. उस रे खा का समीकरण िलिखए िजनके िलए tan   , जहाँ  रे खा का झुकाव है और x  अंतःखंड
2
4 है |
Q9. उस रे खा का समीकरण ात क िजए िजसक मूल बंदु से लाि बक दूरी 5 इकाई और ल ब, धन x  अ से
300 का कोण बनाती है |
Q10. एक रे खा का समीकरण 3x  4 y  10  0 है, इसका ढाल ात क िजए |
Q11. एक रे खा का समीकरण 3x  4 y  10  0 है, इसके x - अंतःखंड और y - अंतःखंड ात क िजए ||
Q12. बंद ु (3 ,  5) क रे खा 3x  4 y  26  0 से दूरी ात क िजए |
Q13. कात य तल म एक चतुभज
ु ख िचए िजसके शीष (4 , 5) , (0 , 7 ) , (5 ,  5) , और ( 4 ,  2) ह |
इसका े फल भी ात क िजए |
Q14. x  अ पर एक िब दु ात क िजए जो (7 , 6) और (3 , 4) िब दु से समान दूरी पर है |
Q15. x का वह मान ात क िजए िजसके िलए िब दु ( x ,  1) , ( 2 , 1) और ( 4 , 5) संरेख ह |
a b
Q16. य द तीन िब दु ( h , 0) , ( a , b ) और (0 , k ) एक रे खा पर ह तो दखाइए क   1.
h k
Q17. समीकरण 3x  y  8  0 को ल ब प म पांत रत क िजए और p तथा w के मान ात क िजए |
Q18. y  3 x  5  0 और 3 y  x  6  0 रेखा के बीच का कोण ात क िजए|
Q19. 3x  y  1और x  3 y  1 रेखा के बीच का कोण ात क िजए|
Q20. समांतर रे खा 3x  4 y  7  0 और 3x  4 y  5  0 के बीच क दूरी ात क िजए |
 1
Q21. य द दो रे खा के बीच का कोण है और एक रे खा क ढाल है तो दूसरी रे खा क ढाल ात क िजए|
4 2

Q22. एक रे खा क ढाल दूसरी रे खा क ढाल का दुगन
ु ा है | य द दोन के बीच के कोण क पश या (tangent)
1
है तो रे खा क ढाल ात क िजए |
3
46

Q23. िब दु ( 2 , 2) से जाने वाली रे खा का समीकरण ात क िजए िजसके ारा अ से कटे अंतःखंड का योग
9 है |
x y
Q24. अ के बीच रेखाख ड का म य िब दु P ( a , b ) है | दखाइए क रे खा का समीकरण   2 है |
a b
Q25. अ के बीच रे खाखंड को िब दु R ( h , k ) , 1 : 2 के अनुपात म िवभ करता है | रेखा का समीकरण ात
क िजए |
Q26. दशाइए क रे खाएँ a1 x  b1 y  c1  0 और a 2 x  b2 y  c 2  0 , जहाँ b1 , b2  0
a1 a 2
(i) समांतर है य द  और (ii) लंब है य द a1 a 2  b1b2  0 .
b1 b2
Q27. य द p मूल िब दु से उस रे खा पर डाले गए लंब क लंबाई हो िजस पर अ पर कटे अंतः-खंड a और
1 1 1
b ह , तो दखाइए क 2
 2  2.
p a b
Q28. 2a भुजा के समबा ि भुज का आधार y –अ के अनु दश इस कार है क आधार का म य बंदु मूल बंद ु
पर है | ि भुज के शीष ात क िजए |
Q29. रेखा क ढाल ात क िजए जो मूल बंद ु और P(0 ,- 4 ) तथा B(8 ,-0 ) िब दु को िमलाने वाले
रे खाखंड के म य बंदु से जाती ह |
Q30. पाइथागोरस मेय के योग के िबना दखलाइए क बंद ु (4, 4), (3, 5) और (-1, -1) एक समकोण ि भुज
के शीष ह |
Q31. उस रे खा का समीकरण ात क िजए जो y –अ क धन दशा से वामावत मापा गया 300 का कोण
बनाती है |
Q32. दूरी सू का योग कए िबना दखलाइए क बंद ु (-2, -1), (4, 0), (3, 3) और (-3 , 2) एक समांतर
चतुभुज के शीष ह |
Q33. x-अ और (3 ,-1) और ( 4 , -2) िब दु को िमलाने वाली रे खा के बीच का कोण ात क िजए |
Q34. एक रे खा (1, 0) तथा (2 , 3 ) िब दु को िमलाने वाली रे खा खंड पर ल ब है तथा उसको 1: n के
अनुपात म िवभािजत करती है | रे खा का समीकरण ात क िजए |
Q35. रे खा x – 2 y + 3 = 0 पर ल ब और बंदु ( 1 , -2 ) से जाने वाली रे खा का समीकरण ात क िजए |
*******************************************************************************************************
उ रमाला
(व तुिन )
m2  m1
A1. 1. (a) tan  2. (c)  1 3. (a) tan   4. (a) m1  m2 .
1  m1m2
y 2  y1
5. (c)
x 2  x1
A2. 1. अप रभािषत 2. समान 3. tan  4. संरेख
A3. 1. स य 2. स य 3. अस य 4. स य 5. अस य
3
A4. 1. 4 x  y  5  0 2 . 2x  3y  6  0 3.  4. 3
2
................................................................................................................................................

47

अ याय 11 शंकु प र छेद
मरणीय बंद:ु -
 वृत का ापक समीकरण
x  y  2 gx  2 fy  c  0
2 2

ि या  g 2  f 2  c तथा क ( g , f ) होगा |
परवलय y  4ax म
2

नािभ के िनदशांक = (a , 0)
परवलय क अ = x  अ
िनयता का समीकरण: x   a
नािभलंब जीवा क लंबाई = 4a
परवलय x  4ay म
2

नािभ के िनदशांक = (0 , a)
परवलय क अ = y  अ
िनयता का समीकरण: y   a
नािभलंब जीवा क लंबाई = 4a
x2 y2
 दीघवृत 2  2  1 , a  b म
a b
दीघ –अ ( x-अ पर) क लंबाई = 2a

लघु –अ (y-अ पर) क लंबाई = 2b

b2
उ के ता: e  1 
a2
2b 2
नािभलंब जीवा क लंबाई =
a
x2 y2
 दीघवृत 2  2  1 , a  b म
b a
दीघ –अ (y-अ पर) क लंबाई = 2a

लघु –अ (x-अ पर) क लंबाई = 2b

b2
उ के ता: e  1  2
a

2b 2
नािभलंब जीवा क लंबाई =
a
x2 y2
 अितपरवलय  1 म
a2 b2

अनु थ –अ (x-अ पर) क लंबाई = 2a

संयु मी –अ (y-अ पर) क लंबाई = 2b
48

b2
उ के ता: e  1 
a2

2b 2
नािभलंब जीवा क लंबाई =
a
y2 x2
 अितपरवलय  1 म
a2 b2
अनु थ –अ (y-अ पर) क लंबाई = 2a

संयु मी –अ (x-अ पर) क लंबाई = 2b

b2
उ के ता: e  1 
a2

2b 2
नािभलंब जीवा क लंबाई =
a
Q1 सही िवक प चुिनए:-
(I) वृ का समीकरण िजसका के मूल िब दु पर तथा ि या 4 है-
(अ) x2 + y2 = 4 (ब) 𝑥 +𝑦 =4
(स) x2 + y2 = 16 (द) x2 - y2 = 16
(II) य द कसी परवलय का शीष मूल िब दु तथा नािभ (0, a) है तो उसका समीकरण होगा-

(अ) y2 = 4ax (ब) x2 = 4ay

(स) y2 = -4ax (द) x2 = -4ay

(III) परवलय x2 = 16y क नािभक य ल ब जीवा क ल बाई होगी
(अ) -16 (ब) +4

(स) -4 (द) 16

(IV) नािभ (2, 0) तथा िनयता x = -2 वाले परवलय का समीकरण होगा-
(अ) y2 = -4x (ब) x2 = 8y

(स) y2 = 4x (द) y2 = 8x

(V) दीघ वृ + = 1 के नािभल ब जीवा क ल बाई है-
(अ) (ब)
(स) (द)
(VI) समकोिणक अितपरवलय क उ के ता है-
(अ) 2 (ब) 1

(स) √2 (द) 0

(VII) दीघवृ क उ के ता होती है-
49

(अ) 1 (ब) 1 से अिधक
(स) 1 से कम (द) 0
x
(VIII) दीघवृ + = 1 के दीघा क ल बाई है-
(अ) 9 (ब) 4
(स) 3 (द) 6
(IX) अितपरवलय − = 1 क उ के ता या होगी-
(अ) 2 (ब) 1
(स) (द)
√
√
(X) कस शंकु प र छेद क उ के ता शू य होती है-
(अ) अितपरवलय (ब) परवलय
(स) वृ (द) दीघवृ
Q2. र थान क पू त क िजएः-
(I) वृ (𝑥 + 5) + (𝑦 − 3) = 36 का के ................ है।
[(5, 3)/(-5, 3)/(5, -3]
(II) वृ पर कसी एक िब दु क के से दूरी को ............ कहते ह। [ ास/ि या/जीवा]
(III) परवलय 𝑥 = −4𝑎𝑦 क िनयता का समीकरण ............ है। {y = - a / y = a / x = - a}
(IV) परवलय 𝑦 = −4𝑎𝑥 क नािभ ............. है। {0, a) / (- a , 0 ) / ( a , 0)}
(V) दीघवृ म नािभय क सं या ............ है। {1 / 2 / 3}
(VI) य द दीघवृ + = 1 म a = b बनने वाला व ........... होता है।
{परवलय / वृ / अितपरवलय}
(VII) अितपरवलय − = 1 का अनु थ अ ........... होगा। {𝑦 = 0/𝑥 = 0/𝑥 = 0}
(VIII) अितपरवलय क उ के ता ........ होती है। {1 से कम/1 से अिधक/1 के बराबर}
Q3. सही जोड़ी बनाइएः-
त भI त भ II
(i) व 𝑥 = 4𝑦 क नािभल ब जीवा क ल बाई a. 8
(ii) व + = 1 का दीघा है b. 4

(iii) व 𝑥 + 𝑦 =4 क ि या है। c. 2
(iv) व 𝑥 + (y - 4) = 𝑟 का के है। d. (0, 4)
(v) + =1 क उ के ता है। e. √5
3
Q 4. एक श द/वा य म उ र दीिजए-
(i) के (2, -1) एवं ि या 5 वाले वृ का समीकरण िलिखए?
(ii) वृ (x +7)2 + (y - 4) = 2 का के एवं ि या ात क िजए?
(iii) परवलय का समीकरण िलिखए िजसका शीष (0, 0) तथा नािभ (-2, 0) हो?

(iv) व x = − 8𝑦 क िनयता का समीकरण िलिखए?
(v) परवलय y = - 16x के नािभ का िनदशांक िलिखए?

50

(vi) व 36x + 4𝑦 = 144 के दीघा एवं लघुअ क ल बाईयां िलिखए?
(vii) य द दीघवृ के दीघा क ल बाई 10 एवं लघुअ क ल बाई 6 है तो उसका समीकरण
िलिखए?
(viii) य द कसी अितपरवलय के अनु थ अ एवं संयु मी अ बराबर हो तो उस व को या
कहते ह?
(ix) अितपरवलय − = 1 क नािभयाँ कस अ पर है?
Q5. स य/अस य िलिखए-
1 वृ (x + 2) + (y - 3) = 9 का के (2,3) है।
2 वृ x + (y − 5) = 4 का के y - अ पर है।
3 परवलय y = 4𝑎𝑥 क िनयता का समीकरण 𝑥 = −𝑎 है।
4 परवलय x = 4𝑎y क नािभल ब जीवा क ल बाई 2a है।
5 य द परवलय क समिमत अ x- अ के अनु दश है तथा x का गुणांक धना मक हो तो
परवलय दांई ओर खुलता है।
6 तल के उन िब दु का समु य िजनका तल म दो िब दु से दू रय का योग
अचर हो दीघवृ कहलाता है।

Q6. उस वृ का समीकरण ात क िजए िजसका के (1, 1) और ि या √2 इकाई
है।
Q7. वृ x2 + y2 + 8x + 10y - 8 = 0 का के तथा ि या ात क िजए?
Q8. 2 2
या िब दु (- 2.5 , 3.5) वृ x + y = 25 के अ दर , बाहर या वृ पर ि थत है?
Q9. उस वृ का समीकरण ात क िजए िजसका के (2, 2) हो तथा िब दु (4, 5) से
जाता है।
Q10. परवलय y2 = 10x के नािभ के िनदशांक और िनयता का समीकरण ात क िजए?
Q11. उस परवलय का समीकरण ात क िजए िजसक नािभ ( 0 , - 3) और िनयता
y = 3 है।
Q12. उस परवलय का समीकरण ात क िजए िजसका शीष (0, 0) तथा नािभ (3, 0)
हो?
Q13. दीघवृ + =1 के नािभय के िनदशांक, उ के ता तथा नािभल ब जीवा ात
क िजए?
Q14. उस दीघवृ का समीकरण ात क िजए िजसक नािभय के िनदशांक (± 5 , 0)
तथा शीष के िनदशांक (± 13 , 0) है?
Q15. उस दीघवृ का समीकरण ात क िजए िजसके दीघा क ल बाई 16 एवं
नािभयाँ (0, ± 6) ह?
Q16. उस दीघवृ के शीष के िनदशांक, दीघ अ और लघुअ क ल बाईयाँ ात
क िजए िजसका समीकरण 16 x2 + y2 = 16 है?
Q17. अितपरवलय क प रभाषा िलिखए?
Q18. उस अितपरवलय का समीकरण ात क िजए िजसक नािभयाँ ( 0, ± 13) एवं
संयु मी अ क ल बाई 24 है?
Q19. उस अितपरवलय का समीकरण ात क िजए िजसका शीष (0, ± 3) और नािभयाँ
(0, ± 5) ह?

Q20. अितपरवलय 5y2 - 9x2 = 36 क उ के ता एवं नािभल ब जीवा क ल बाई ात
क िजए

51

Q21. ि या 6 के उस वृ का समीकरण ात क िजए िजसका के x अ पर हो
और जो िब दु (2, 3) से जाता है?
Q22. िब दु (0, 0) से होकर जाने वाले वृ का समीकरण ात क िजए जो िनदशां
पर a और b अ तः ख ड बनाता है?
Q23. उस परवलय का समीकरण ात क िजए िजसका शीष (0,0) तथा जो बंद ु
(5, 2) से जाता है और y अ के सापे समिमत है?
Q24. परवलय x 2 = - 24y के नािभ के िनदशांक, िनयता के समीकरण और परवलय का
अ ात क िजए?
Q25. उस दीघवृ का समीकरण ात क िजए िजसका दीघा x अ के अनु दश है
और िब दु (4 , 3) एवं (- 1 , 4) दीघवृ पर ि थत है।
Q26. उस दीघवृ का समीकरण ात क िजए िजसके दीघा के सीमांत िब दु
(±3 , 0) और लघुअ के सीमांत िब दु (0 , ± 2) ह।
Q27. अितपरवलय 16x2 - 9y2 = 576 के शीष , नािभय के िनदशांक और उ के ता ात
क िजए?
Q28. अितपरवलय 49y2 - 16 x2 = 784 के अनु थ अ , संयु मी अ एवं नािभल ब
जीवा क ल बाईयाँ ात क िजए?
Q29. उस अितपरवलय का समीकरण ात क िजए िजसका शीष ( ±7, 0) एवं उ के ता
𝑒 = है।

Q30. िब दु (2, 3) और (-1, 1) से जाने वाले वृ का समीकरण ात क िजए िजसका
के रे खा x - 3y - 11 = 0 पर ि थत है?
Q31. उस वृ का समीकरण ात क िजए िजसका के वृ x2 + y2 - 4x + 6y + 4 = 0
के के पर हो तथा िब दु ( 4 , 3) से जाता हो?
Q32. उस परवलय का समीकरण ात क िजए जो y - अ के प रतः समिमत हो तथा
िब दु (2, - 3) से गुजरता हो। इसक नािभल ब जीवा भी ात क िजए?
Q33. परवलय y2 = - 32x के नािभ के िनदशांक, अ , िनयता का समीकरण और
नािभल ब जीवा क ल बाई ात क िजए?
Q34. उस दीघ वृ का समीकरण ात क िजए िजसका दीघा x- अ पर और
िब दु (4 , 3) और (6, 2) से जाता है?
Q35. उस दीघ वृ का समीकरण ात क िजए िजसका के (0, 0) पर दीघ अ y-
अ पर और िब दु (3, 2) एवं (1, 6) से जाता है?
Q36. दीघ वृ 16x2 + 25y2 = 400 के दीघा , लघुअ , नािभय एवं शीष के िनदशांक
तथा उ के ता ात क िजए?
Q37. उस अितपरवलय का समीकरण ात क िजए िजसक नािभयाँ (0 , ±√10 ) ह
तथा िब दु (2, 3) से होकर जाता है?
Q38. उस अितपरवलय का समीकरण ात क िजए िजसक नािभयाँ ( ± 4 , 0 ) एवं
नािभल ब जीवा क ल बाई 12 है?
Q39. 15 से.मी. ल बी एक छड़ AB दोन िनदशा के बीच इस कार रखी गई है
क उसका एक िसरा A, X- अ पर दूसरा िसरा B, y- अ पर रहता है, छड़ पर
एक िब दु p (x, y) इस कार िलया गया है क AP = 6 से.मी. है तो िब दु P
का िब दु पथ ात क िजए तथा बताइये क यह कौन सा व है।
.............................................................................................................................................................................

52

उ रमाला
(व तुिन )
A1. (i) (स) (ii) (ब) (iii) (द) (iv) (द) (v) (ब) (vi) (स) (vii) (स) (viii) (द) (ix) (अ) (x)
(स)
A2. (I) (-5, 3) (II) ि या (III) y = a (IV) (-a, 0) (V) 2 (VI) वृ (VII) y = 0
(VIII) 1 से अिधक
A3. (i) ↔ (b), (ii) ↔ (a), (iii) ↔ (c), (iv) ↔ (d), (v) ↔ (e)
A 4. (i) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 25 (ii) क (-7, 4), ि या = √2 (iii) y2 = - 8x

(iv) y = 2 या y - 2 = 0 (v) (-4, 0) (vi) दीघा = 12, लघु अ = 4

(vii) + =1 (viii) समकोणीय अितपरवलय (ix) y - अ पर

A5. 1. अस य 2. स य 3. स य 4. अस य 5. स य 6. स य

*******************************************************************************************************
अ याय 12: ि िवमीय यािमित का प रचय

मरणीय बंद:ु -
1. ि िवमीय यािमितः- िजस कार कसी तल म ि थत एक िब दु क ि थित िनधारण करने के िलए
दो पर पर ल ब ित छेदी रे खा से लाि बक दू रय क आव यकता पड़ती है। इन रे खा को
िनदशां तथा दो लाि बक दू रय को अ के सापे िब दु का िनदशांक कहते ह ठीक उसी कार
अंत र म एक िब दु क ि थित को िनधारण करने के िलए अंत र को तीन पर पर ित छे दत
करने वाले तल क आव यकता पड़ती है। इन तल से ल ब दू रय को करने वाली तीन
सं याएं उस िब दु के तीन िनदशांक तल के सापे िनदशांक कहलाते ह।
ये तल िनदशांक तल तथा इनसे बनने वाली तीन पर पर ल बवत रे खाएं िनदशां कहलाती ह।
तथा िब दु P(x, y, z) का िनदशांक होता है।
जहाँ पर तीन तल पर पर ल बवत िमलते ह वह मूल िब दु (0, 0, 0) होता है।
िनदशांक तल- तीन िनदशांक तल रे खा XOX', YOY', ZOZ' पर ित छेद करते ह िज ह
X-अ , Y-अ , Z-अ कहते ह, तथा XOY, YOZ, ZOX को िनदशांक तल कहते ह, इन तल
को XY, YZ, ZX तल भी कहते ह।
अ ांशः- ये तीन तल अंत र को आठ भाग म बांटते ह िज ह अ ांश कहते ह।
2. दो िब दु के बीच क दूरी य द दो िब दु के िनदशांक मशः P(x1 , y1 , z1 ) एवं
Q (x2 , y2 , z2 ) हो तो उनके बीच क दूरी
PQ = (𝑥 − 𝑥 ) + (𝑦 − 𝑦 ) + (𝑧 − 𝑧 )
3. मूल िब दु O(0, 0, 0) से िब दु P(x,y,z) क दूरी OP = 𝑥 +𝑦 +𝑧
4. िब दु P(x, y, z) क x अ से दूरी= 𝑦 + 𝑧
िब दु P(x, y, z) क y अ से दूरी= √𝑥 + 𝑧
िब दु P(x, y, z) क z अ से दूरी= 𝑥 + 𝑦
िब दु P(x, y, z) क xy समतल से दूरी= z

िब दु P(x, y, z) क yz तल क दूरी = x
िब दु P(x, y, z) क zx तल से दूरी= y

53

व तुिन :-
Q1. सही िवक प चुिनए:-
(I) x-अ पर कसी िब दु के िनदशांक होते ह-
(अ) (0, x, 0) (ब) (x, 0, 0)
(स) (0, 0, x) (द) (x, x, x)
(II) xy - समतल पर कसी िब दु के िनदशांक होते ह-

(अ) (0, y, z) (ब) (x, 0, z)
(स) (x, y, 0) (द) (x, y, z)
(III) y -अ पर कसी िब दु के िनदशांक होते ह-
(अ) (0, y, 0) (ब) (y, 0, 0)
(स) (0, 0, y) (द) (y, y, y)
(IV) य द कोई िब दु z- अ पर है तो उसके िनदशांक ह गे -
(अ) (z, 0, 0) (ब) (0, z, 0)
(स) (0, 0, z) (द) (z, z, z)
(V) ZX - तल पर कसी िब दु के िनदशांक होते ह-
(अ) (x, 0, z) (ब) (x, y, 0)
(स) (x, y, z) (द) (0, y, z )
(VI) YZ - तल पर कसी िब दु के िनदशांक होते ह -
(अ) (0, y, z) (ब) (x, y, 0)
(स) (x, y, 0) (द) (x, y, z)
(VII) िब दु (4, 3, 6) क Z- अ से दूरी होगी-
(अ) 6 (ब) 5
(स) √45 (द) √52
(VIII) िब दु (12, 5, 8) क XY - तल से दूरी है-
(अ) 13 (ब) 12
(स) 8 (द) 7

(IX) िब दु (3, - 2, 5) क Y- अ से दूरी है -
(अ) √13 (ब) √34
(स) √29 (द) √8

Q2. र थान क पू त क िजए:-
(I) िनदशां तल अंत र को .......... भाग म िवभािजत करता है {4 /8 /3}
(II) Y अ एवं Z अ दोन एक साथ िमलकर ......... तल बनाते ह।
{xy / yz / zx}
(III) िब दु (7, 3, - 8) क YZ समतल से दूरी .............. है। {7/3/8}
(IV) िब दु (1, - 3, 4) और ( - 4, 1 , 2) के बीच क दूरी ............... है।
{√17 / 3√5/√33}
(V) िब दु (3, -4, 5) क मूल िब दु से दूरी ................ है।

{5√2 /3√2 /5}
(VI) िब दु (-3, 5, 0) िनदशांक तल..............पर है। {XY / YZ / ZX}
(VII) िब दु (5, 0, 0) ............ अ पर है। {x/y/z}

54

(VIII) ZX समतल म Y िनदशांक का मान ............ है। {y / 0 / x}
(IX) िब दु (- a, o , c) क ZX समतल से दूरी ........ है। {a / c / o}

Q3. एक श द/वा य म उ र दीिजए-
(i) बंद ु (-3, 5, 0) कस तल पर ि थत है?
(ii) कोई िब दु ZX तल पर है तो उसका कौन सा िनदशांक शू य है?
(iii) िब दु (3, 0, 0) एवं (0, 4, 5) के बीच क दूरी या है?
(iv) तीन िनदशांक तल िजस िब दु पर ित छेद करते ह उसके िनदशांक या है?
(v) य द कोई िब दु XY तल पर है तो उसका कौन सा िनदशांक ात है?
(vi) तीन िनदशांक तल के पर पर ल बवत् ित छेदन से बनने वाली तीन रे खा
को पृथक-पृथक या कहते ह?
(vii) य द कोई िब दु Z -अ पर है तो उसके कौन-कौन से िनदशांक ात ह?
(viii) िब दु (- 3, 1, 4) क YZ -समतल से दूरी कतनी है?
(ix) िब दु (12, 5, 23) क Z अ से दूरी कतनी है?
Q4. स य/अस य िलिखए-
(i) िब दु (7, 0, 0), x-अ पर ि थत है।
(ii) िब दु (3, 4, 5) क y-अ से दूरी 4 है ।
(iii) ZX - तल पर िब दु के िनदशांक (x, 0, z) के प के होते ह।
(iv) िब दु (x, y, z) क XY-तल से दूरी 𝑥 + 𝑦 है।
(v) िब दु (4 , 1 , 7), YZ - तल पर ि थत है।

Q5. िब दु (- 1, 3, - 4) और (1, - 3, 4) के बीच क दूरी ात क िजए?
Q6. दशाइये क िब दु P(- 2, 3, 5), Q(1, 2, 3) और R(7, 0, - 1) संरेख है?
Q7. Y अ पर उस िब दु के िनदशांक ात क िजए िजसक िब दु P (3, - 2, 5) से दूरी
5√2 है।
Q8. िब दु ( - 3, 7, 2) और (2, 4, - 1) के बीच क दूरी ात क िजए?
Q9. िब दु (- 3, 4, -5) क Y अ से दूरी ात क िजए?
Q10. िब दु ( - 6, 7, -2) क िब दु (3, 1, 5) से दूरी ात क िजए?
Q11. दशाइये क िब दु (0, 7, 10), (-1, 6, 6) और ( - 4, 9, 6) एक समकोण ि भुज के
शीष ह?
Q12. िब दु (13, 5, 12) एवं (4, 3, -7) के बीच क दूरी ात क िजए?
Q13. या िब दु ( - 1, 7, 3), (4, 1, 2) तथा (3, 2, -5) संरेख ह?
Q14. दशाइये क िब दु (0 , 7, - 10), (1, 6, - 6) और (4, 9, -6) एक समबा ि भुज के
शीष ह।
Q15. दशाइये क िब दु ( - 2, 3, 5), (1, 2, 3) और (7, 0, -1) संरेख है या नह |
Q16. दशाइये क िब दु (3, -1, 5), (-2,7,1) एवं (5, 2, -3) संरेख है या नह ?
Q17. या िब दु A(3, 6, 9), B(10, 20, 30) और C (25, -41, 5) समकोण ि भुज के शीष
ह?
Q18. समा तर चतुभज के तीन शीष A (3, - 1, - 2), B (1, 2, - 4) व C ( - 1, 1, 2) ह।
चौथे शीष D के िनदशांक ात क िजए?
Q19. दो बंद ु A तथा B के िनदशांक मशः (3, 4, 5) और (- 1, 3, - 7) ह | गितशील बंदु P
के पथ का समीकरण ात क िजए, जब क PA2 + PB2 = 2 k2.

Q20. ऐसे िब दु के समु य का समीकरण ात क िजए जो बंदु (1, 2, 3) और (3, 2, -1) से
समदूर थ ह |

55

21. िब दु P से बने समु य का समीकरण ात क िजए िजनक बंदु A(4, 0, 0) और
B(- 4, 0, 0) से दू रय का योगफल 10 है |
................................................................................................................................................
उ रमाला
(व तुिन )

Q1.
(i) (ब)
(ii) (स)
(iii) (अ)
(iv) (स)
(v) (अ)
(vi) (अ)
(vii) (ब)
(viii) (स)
(ix) (ब)

Q2.

(i) 8
(ii) YZ
(iii) 7
(iv) 3√5
(v) 5√2
(vi) XY
(vii) x
(viii) 0
(ix) 0
Q 3.
(i) xy तल
(ii) y- िनदशांक
(iii) 5√2
(iv) (0,0,0)
(v) Z िनदशांक
(vi) Xअ , Yअ , Zअ
(vii) Y एवं X िनदशांक
(viii) 3
(ix) 13
Q4. स य/अस य-
(i) सय
(ii) अस य
(iii) सय

(iv) अस य
(v) अस य
…………………………………………………………………………………………………………
56

अ याय 13: सीमा और अवकलज
मरणीय त य
 सीमा
फलन f(x) = x2 पर िवचार क िजए | जैसे –जैसे x को शू य के अिधक िनकट मान देते ह, f(x) का मान भी 0 क
ओर अ सर हो जाता है | इसे हम lim → 𝑓(𝑥 ) = 0 से दशाते ह |
ापक प से, जब x→a, f(x)→ 𝑙, तब 𝑙 को फलन f(x) क सीमा कहा जाता है और इसे lim → 𝑓(𝑥) = 𝑙 से
िलखा जाता है |
lim → 𝑓 (𝑥 ), 𝑥 = 𝑎 पर f(x) का आपेि त मान है, िजसम x के बा ओर िनकट मान के िलए f(x) को मान दए
ह | इस मान को a पर f(x) क बाएँ प क सीमा कहते ह |

lim f ( x), x  a पर f(x) का आपेि त मान है, िजसम x के a के दाई ओर के िनकट मान के िलए f(x) के मान
xa 
दए गए ह | इस मान को a पर f(x) क दाएं प क सीमा कहते ह |
य द दाएं और बाएँ प क सीमाएँ संपाती ह तो हम इस उभयिन मान को x = a पर f(x) क सीमा कहते ह
और इसे lim → 𝑓(𝑥) से िन िपत करते ह |
अथात्
lim → 𝑓 (𝑥 ) = lim → 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎)

 सीमा का बीजगिणत
मान लीिजए क f और g दो फलन ऐसे ह क lim → 𝑓(𝑥) और lim → 𝑔(𝑥) दोन का अि त व है | तब
1. दो फलन के योग क सीमा फलन क सीमा का योग होता है, अथात्
lim → [ 𝑓 (𝑥 ) + 𝑔(𝑥)] = lim → 𝑓 (𝑥) + lim → 𝑔(𝑥)
2. दो फलन के अंतर क सीमा फलन ’ क सीमा का अंतर होता है, अथात्
lim → [ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim → 𝑓(𝑥) − lim → 𝑔(𝑥)
3. दो फलन के गुणन क सीमा फलन क सीमा का गुणन होता है, अथात्
lim → [ 𝑓 (𝑥 ). 𝑔(𝑥)] = lim → 𝑓(𝑥). lim → 𝑔(𝑥 )
4. दो फलन के गुणन क सीमा फलन क सीमा का भागफल होता है, (जब क हर शू येतर होता है)
अथात्
( ) → ( )
lim → = ( )
( ) →

 कसी धन पूणाक n के िलए

lim = 𝑛𝑎
→

 lim =1
→

 lim =0
→

 अवकलज
मान लीिजए f एक वा तिवक मानीय फलन है और इसक प रभाषा के ा त म एक बंदु a है | a पर f का
अवकलज
( ) ( )
lim

→
से प रभािषत है , बशत
क इस सीमा का अि त व हो | a पर f(x) का अवकलज f(a) से िन िपत होता है |

57

 फलन के अवकलज का बीजगिणत
मान लीिजए f और g दो ऐसे फलन ह क उनके उभयिन ा त म उनके अवकलन प रभािषत ह, तब
(i) दो फलन के योग का अवकलन उन फलन के अवकलन का योग है, अथात्
[f(x) + g(x)] = 𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥) ( )
(ii) दो फलन के अंतर का अवकलन उन फलन के अवकलन का अंतर है, अथात्
[f(x) − g(x)] = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(iii) दो फलन के गुणन का अवकलन िन िलिखत गुणन िनयम से दया गया है अथात्
d d 𝑑
[f(x). g(x)] = 𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ) . 𝑔(𝑥)
dx dx 𝑑𝑥
(iv) दो फलन के भागफल का अवकलन िन िलिखत भागफल िनयम से दया गया है ( जहाँ हर शू येतर)
( ) ( ) . ( ) ( ). ( )
= ( ( ))
( )

 अवकलन म उपयोग होने वाले मह वपूण सू
(i) x = nx
(ii) (c) = 0
(iii) sinx = cosx
(iv) cosx = −sinx
(v) tanx = sec x
(vi) cosecx = −cosecx. cotx
(vii) secx = secx. tanx
(viii) cotx = −cosec x
Q.1 सही िवक प चुने |
𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒏 𝒂𝒏
I. जहाँ 𝒏 ∈ 𝑵 का मान होगा:
𝒙→𝐚 𝒙 𝒂
(अ) n𝒂𝒏 𝟏 (ब) (𝒏 − 𝟏). 𝒂𝒏
𝒂𝒏 𝟏 𝒂𝒏
(स) (द)
𝒏 𝒏 𝟏
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏 𝒑𝒙
II. यद = 𝟒 हो तो p का मान होगा:
𝒙 → 𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒙
(अ) 6 (ब) 9
(स) 12 (द) 14
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏𝒙𝟐
III. का मान होगा :
𝒙→𝟎 𝒙
(अ) 1 (ब) 2
(स) 0 (द) -1
𝒅
IV. 𝒔𝒆𝒄 𝒙 का मान होगा:
𝒅𝒙
(अ) – 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 (ब) – 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙
(स) 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙 (द) 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙
V. 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 का अवकलज गुणांक होगा:

(अ) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 (ब) 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙
(स) 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝒙 (द) 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙

58

Q.2 स य / अस य छां टए।
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏 𝒙
I. का मान 0 होगा।
𝒙 → 𝟎 √𝒙
𝝅
II. 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 का 𝒙 = अवकलन गुणांक 2 होगा।
𝟐
𝒅 𝒔𝒆𝒄 𝒙
III. का मान 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 होगा।
𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙
IV. य द 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 हो तो 𝒇 (𝟐) का मान - 2 होगा।
Q.3 र त थान क पू त क िजए ।
𝒅𝒚
I. य द 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 है तो 𝒙 = 𝟎 पर = .......... होगा।
𝒅𝒙
𝜽
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏
II. का मान .......... होगा।
𝟒
𝜽 →𝟎 𝜽
𝒍𝒊𝒎 𝜽
III. का मान .......... होगा।
𝜽 → 𝟎 𝒕𝒂𝒏 𝜽
𝒍𝒊𝒎 𝒙
IV. का मान ......... होगा।
𝒙 → 𝟎 √𝟏 𝒙 𝟏
Q.4 सही जोड़ी िमलाइये।
तंभ अ तंभ ब
𝒍𝒊𝒎 𝒙𝟐 𝟏
I. का मान (a) 0
𝒙 → 𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟎

𝒍𝒊𝒎 𝟐
II. 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 (b)
𝒙 →𝟎 𝟏𝟎𝟏
𝒍𝒊𝒎
III. 𝝅𝒓𝟐 (c) 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙
𝒓 →𝟏
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏 (𝝅 𝒙)
IV. (d) 𝝅
𝒙 → 𝝅 𝝅 (𝝅 𝒙)

𝒅 𝟏
V. 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 (e) 𝝅
𝒅𝒙

Q.5 एक श द / वा य म उ तर िलिखए।
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏 𝒙𝟎
I. का मान िलिखए।
𝒙 →𝟎 𝒙
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏 𝒙
II. का मान िलिखए।
𝒙 →𝝅𝒙 𝝅
𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒙
III. का मान िलिखए।
𝒙 → 𝟎 𝒃𝒙
IV. 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 पर 𝟗𝟗𝒙 का अवकलन गुणांक िलिखए।
V. 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 का अवकलज िलिखए।

𝒍𝒊𝒎
Q.6 [𝒙 (𝒙 + 𝟏)] का मान ात कर।
𝒙 →𝟑
𝟏 𝟏
𝒍𝒊𝒎
Q.7 𝒙 𝟐
को हल कर।
𝒙 → −𝟐 𝒙 𝟐
𝒍𝒊𝒎 𝒕𝒂𝒏 𝒙
Q.8 का मान ात कर।
𝒙 →𝟎 𝒙
𝒍𝒊𝒎 √𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙
Q.9 को हल कर।
𝒙 →𝟎 𝒙

𝒍𝒊𝒎 𝒄𝒐𝒔𝒙
Q.10 को हल कर।
𝒙 →𝟎 𝝅 𝒙

59

𝒍𝒊𝒎 𝒙𝟒 𝟐𝟓𝟔
Q.11 का मान ात क िजए।
𝒙 →𝟒 𝒙 𝟒
𝒍𝒊𝒎 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙
Q.12 क गणना क िजए।
𝒙 →𝟎 𝒙
Q.13 𝒙 𝟒
𝟑 − 𝟒𝒙 का अवकलन क िजए।
𝟓

Q.14 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙 क अवकलन गुणांक ात क िजए।
Q.15 (𝒙 − 𝟐)𝟐 का अवकलन गुणांक ात क िजए।
Q.16 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 का अवकलन ात करो।
𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝝅 𝒅𝒚
Q.17 य द 𝒚 = है तब 𝒙 = पर ात क िजए।
𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟒 𝒅𝒙
Q.18 (𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙) (𝒙 − 𝒕𝒂𝒏𝒙) का अवकलज क िजए।
Q.19 (𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 𝟕 𝒔𝒆𝒙 + 𝒙𝟒 ) का अवकलन गुणांक ात क िजए।
𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝝅 𝒅𝒚
Q.20 य द 𝒚 = जहां 𝒙 ∈ 𝟎 , तब ात क िजए।
𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝟐 𝒅𝒙
𝒅𝒚
Q.21 य द 𝒚 = 𝒙𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝒙 हो तो का मान ात क िजए।
𝒅𝒙
Q.22 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 का अवकलन गुणांक ात क िजए।
𝒍𝒊𝒎 𝒙𝟑 𝟒𝒙𝟐 𝟒𝒙
Q.23 का मान ात क िजए।
𝒙 →𝟐 𝒙𝟐 𝟒
𝒍𝒊𝒎 𝒙 𝟏 𝟏𝟓
Q.24 को हल क िजए।
𝒙 → 𝟏 𝒙𝟏𝟎 𝟏
𝒍𝒊𝒎 √𝟏 𝐱 𝟏
Q 25. का मान ात क िजए।
𝒙 →𝟎 𝒙
𝒍𝒊𝒎 𝒂 𝐱𝐱
Q 26. का मान ात क िजए।
𝒙 →𝟎 𝒃𝐱
𝒙𝒏 𝒂𝒏
Q 27. कसी अचर a के िलए का अवकलज ात क िजए।
𝒙 𝒂
𝒍𝒊𝒎 𝟒
𝒙 𝟖𝟏
Q.28 का मान ात क िजए।
𝒙 → 𝟑 𝟐𝒙𝟐 𝟓𝒙 𝟑
𝟏
𝒍𝒊𝒎 𝒛 𝟑 𝟏
Q.29 का मान ात क िजए।
𝒛 → 𝟏 𝒁𝟏 𝟔 𝟏
𝒍𝒊𝒎 𝟐
Q.30 𝒇(𝒙) का मान ात क िजए, जहां 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟐− 𝟏 𝒙≤𝟏
𝒙 →𝟏 −𝒙 − 𝟏 𝒙>1
𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒚
Q.31 𝒚 = है तो मान ात क िजए।
𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙
𝟒𝒙 𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝒙
Q.32 का अवकलन गुणांक ात क िजए।
𝟑𝒙 𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝟏
Q.33 का अवकलन गुणांक ात क िजए।
𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝟏
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙
Q.34 का अवकलन गुणांक ात क िजए।
𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙
Q.35 𝒕𝒂𝒏 𝒙 का थम िस ांत से अवकलन गुणांक ात क िजए।
Q.36 𝒔𝒊𝒏 𝒙 को थम िस ांत से अवकिलत क िजए।
𝒙𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙
Q.37 का अवकलन गुणांक ात क िजए।
𝒔𝒊𝒏 𝒙
√𝒂 √𝒙
Q.38 को 𝒙 के सापे अवकलन क िजए।
√𝒂 √𝒙
................................................................................................................................................
उ रमाला (व तुिन )
A.1 I (अ), II (स), III (स), IV (द), V (ब)
A.2 I. स य , II .अस य, III .अस य, IV. अस य
A.3 (I) 3

(II) 𝟏 𝟒
(III) 1

60

(IV) 2
A.4 (I) ↔ (b), (II) ↔ (a), (III) ↔ (d), (IV) ↔ (e), (V) ↔ (c)

A.5
(I) 𝝅 𝟏𝟖𝟎
(II) -1,
(III) 𝒂𝒃,
(IV) 99
(V) 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏 𝒙

*******************************************************************************************************
अ याय 15: सांि यक
मरणीय त य
 वग कृ त आँकड़ के िलए मा य :

M .D.( x ) 
 fx
f
 अवग कृ त आँकड़ के िलए मा य के सापे मा य िवचलन :

M .D.( x ) 
xx
n
जहाँ x  मा य
 वग कृ त आँकड़ के िलए मा य के सापे मा य िवचलन :

M .D.( x ) 
 f xx
f
जहाँ x 
 fx
f
 अवग कृ त आँकड़ के िलए माि यका के सापे मा य िवचलन :

M .D.( M ) 
xM
n
जहाँ M  माि यका
 वग कृ त आँकड़ के िलए माि यका के सापे मा य िवचलन :

M .D.( M ) 
f xM
f
जहाँ M  माि यका
 वग कृ त आँकड़ के िलए सरण :

सरण (var(x)) 
 f (x  x) 2

f

 मानक िवचलन ( S .D)  var(x)
Q1. एक श द वा य म उ र दीिजए :
1. आँकड़ के प रसर को प रभािषत क िजए |
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