NCERT Solutions for Class 10 Maths (गणित) Chapter 5 समान्तर श्रेणियाँ

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CLASS - 10th

aglase .co

Class : 10th
Chapter : 5
Chapter Name : समांतर श्रेिढयाँ
Book Name : गिणत

प्र नावली 5.1

Q1 िन निलिखत ि थितयो म से िकन ि थितयो म संब सं याओं की सूची A.P. है और यों?
i). प्र येक िकलो मीटर के बाद का टै सी का िकराया, जबिक प्रथम िकलो मीटर के िलए िकराया Rs.15 है और प्र येक अितिर त
िकलो मीटर के िलए िकराया Rs.8 है|
1
ii). िकसी बेलन म उपि थत हवा की मात्रा, जबिक वायु िनकालने वाला पंप प्र येक बार बेलन की शेष हवा का भाग बाहर िनकाल
4

देता है |
iii). प्र येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कु आँ खोदने म आइ लागत, जबिक प्रथम मीटर खुदाई की लागत Rs.150 है और बाद म
प्र येक मीटर खुदाई की लागत बढ़ती जाती है |
iv). खाते म प्र येक वष का िमश्रधन, जबिक की रािश वािषक की दर से चक्रविृ याज पर जमा की जाती है |

Ans. i). 1 िकलोमीटर के िलए िकराया = a = Rs. 15 1

2 िकलोमीटर के िलए िकराया = a = Rs. (15 + 8) = Rs.23
2

3 िकलोमीटर के िलए िकराया = a = Rs. (23 + 8) = Rs.31
3

4 िकलोमीटर के िलए िकराया = a = Rs. (31 + 8) = Rs.39
4

अब, a − a = 23 − 15 = 8
2 1

a3 − a2 = 31 − 23 = 8

a4 − a3 = 39 − 31 = 8

अतः क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए सं याओं की सूची A.P. है |
Page : 108 , Block name : प्र नावली 5.1

ii). माना, बेलन म उपि थत हवा की मात्रा = a 1 = x
1 3
प्रथम बार हवा िनकालने पर बेलन म शेष हवा = a 2 = x − x = x
4 4
3 1 3 9
दूसरी बार हवा िनकालने पर बेलन म शेष हवा = a 3 = x − ( x) = x
4 4 4 16

9 1 9 27
तीसरी बार हवा िनकालने पर बेलन म शेष हवा = a 4 = x − ( x) = x
16 4 16 64

3 1
अब, a 2 − a1 = x − x = −
4 4
9 3 3
a3 − a2 = x − x = −
16 4 16

27 9 9
a4 − a3 = x − x = − x
64 16 64

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान नही ं है, अतः सं याओं की सूची A.P. नही ं है
Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

iii). 1 मीटर खुदाई की लागत = a = Rs.150 1

2 मीटर खुदाई की लागत = a = Rs. (150 + 50) = Rs.200
2

3 मीटर खुदाई की लागत = a = Rs. (200 + 50) = Rs.250
3

4 मीटर खुदाई की लागत = a 4 = Rs. (250 + 50) = Rs.300

अब, a 2 − a1 = 200 − 150 = 50

a3 − a2 = 250 − 200 = 50

a4 − a3 = 300 − 250 = 50

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, अतः सं याओं की सूची A.P. है
Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

Q2 दी हुई A.P. के प्रथम चार पद िलिखए, जबिक प्रथम पद a और साव अंतर d िन निलिखत है :
i). a=10, d=10 ii). a=-2, d=0
1
iii). a=4, d=-3 iv). a=-1, d=
2

v). a=-1.25, d=-0.25

Ans. i). a=10, d=10
पहला पद, a = a = 10
1

दूसरा पद, a = a + d = 10 + 10 = 20
2 1

तीसरा पद a = a + d = 20 + 10 = 30
3 2

और चौथा पद a = a + d = 30 + 10 = 40
4 3

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

ii). a=-2, d=0
पहला पद, a = a = −2
1

दूसरा पद, a = a + d = −2 + 0 = −2
2 1

तीसरा पद a = a + d = −2 + 0 = −2
3 2

और चौथा पद a = a + d = −2 + 0 = −2
4 3

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

iii). a=4,d=-3
पहला पद, a = a = 4
1

दूसरा पद, a = a + d = 4 + (−3) = 4 − 3 = 1
2 1

तीसरा पद a = a + d = 1 + (−3) = 1 − 3 = −2
3 2

और चौथा पद a = a + d = −2 + (−3) = −2 − 3 = −5
4 3

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

1
iv). a=-1, d=
2

पहला पद, a 1 = a = −1

1 1
दूसरा पद, a 2 = a1 + d = −1 + = −
2 2
1 1
तीसरा पद a 3 = a2 + d = − + = 0
2 2
1 1
और चौथा पद a 4 = a3 + d = 0 + =
2 2

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

v). a=-1.25, d=-0.25
पहला पद, a = a = −1.25
1

दूसरा पद, a = a + d = −1.25 + (−0.25) = −1.25 − 0.25 = −1.50
2 1

तीसरा पद a 3 = a2 + d = −1.50 + (−0.25) = −1.50 − 0.25 = −1.75

और चौथा पद a = a + d = −1.75 + (−0.25) = −1.75 − 0.25 = −2.00
4 3

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

Q3 िन निलिखत म से प्र येक A.P. के िलए प्रथम पद तथा साव अंतर िलिखए :
i). 3,1,-1,-3,…..
ii). -5,-1,3,7,……
1 5 9 13
iii). , , , ,…..
3 3 3 3

iv). 0.6,1.7,2.8,3.9,…..

Ans. i). प्रथम पद, a = 3 1

साव अंतर, d = a − a = −1 − 3 = −2
2 1

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

ii). प्रथम पद, a = −5 1

साव अंतर, d = a − a = −1 − (−5) = −1 + 5 = 4
2 1

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

1
iii). प्रथम पद, a 1 =
3
5 1 4
साव अंतर, d = a 2 − a1 = − =
3 3 3

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

iv). प्रथम पद, a = 0.6 1

साव अंतर, d = a − a = −1.7 − 0.6 = 1.1
2 1

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

Q4 िन निलिखत म से कौन - कौन A.P. है? यिद कोई A.P. है, तो इसका साव अंतर ात कीिजए और इनके तीन और पद िलिखए|
i). 2,4,8,16,…..
5 7
ii). 2, , 3, ,….
2 2

iii). -1.2,-3.2,-5.2,-7.2,…..
iv). -10,-6,-2,2,…….
v). 3,3+√2,3+2√2, 3 + 3√2, … . .
vi). 0.2,0.22,0.222,0.2222,…..
vii). 0,-4,-8,-12,……
1 1 1 1
viii). − ,− ,− ,− ,…..
2 2 2 2

ix). 1,3,9,27,…..
x). a,2a,3a,4a,…..
xi). a, a , a , a , …
2 3 4

xii). √2, √8, √18, √32, … .
xiii). √3, √6, √9, √12, …
xiv). 1 , 3 , 5 , 7 , … .
2 2 2 2

xv). 1 , 5 , 7 , 73, … …
2 2 2

Ans. i). पहला पद, a = 2 1

दूसरा पद, a = 4 2

तीसरा पद a = 8 3

और चौथा पद a = 16 4

a2 − a1 = 4 − 2 = 2

a3 − a2 = 8 − 4 = 4

a4 − a3 = 16 − 8 = 8

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान नही ं है, अतः सं याओं की सूची A.P. नही ं है
Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

5 7
ii). 2, , 3,
2 2
5 7
a1 = 2, a2 = , a3 = 3, a4 =
2 2
5 1
→ a2 − a1 = − 2 =
2 2
5 1
→ a3 − a2 = 3 − =
2 2
7 1
→ a4 − a3 = − 3 =
2 2

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, अतः सं याओं की सूची A.P. है
1
साव अंतर, d =
2
7 1
अब, a 5 = a4 + d = + = 4
2 2
1 9
a6 = a5 + d = 4 + =
2 2
9 1
a7 = a6 + d = + = 5
2 2

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

iii). a 1 = −1.2, a2 = −3.2, a3 = −5.2, a4 = −7.2

→ a2 − a1 = −3.2 − (1.2) = −3.2 + 1.2 = −2.0

→ a3 − a2 = −5.2 − (−3.2) = −5.2 + 3.2 = −2.0

→ a4 − a3 = −7.2 − (5.2) = −7.2 + 5.2 = −2.0

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए पद A.P. म है अतः साव अंतर, d=-2.0.
अब, a = a + d = −7.2 + (−2.0) = −9.2
5 4

a6 = a5 + d = −9.2 + (−2.0) = −11.2

a7 = a6 + d = −11.2 + (−2.0) = −13.2

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

iv). a 1 = −10, a2 = −6, a3 = −2, a4 = 2

→ a2 − a1 = −6 − (−10) = −6 + 10 = 4

→ a3 − a2 = −2 − (−6) = −2 + 6 = 4

→ a4 − a3 = −2 − (−2) = 2 + 2 = 4

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए पद A.P. म है अतः साव अंतर, d=4.
अब, a = a + d = 2 + 4 = 6
5 4

a6 = a5 + d = 6 + 4 = 10

a7 = a6 + d = 10 + 4 = 14

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

v). 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2
→ a 2 − a 1 = 3 + √2 − 3 = √2

→ a 3 − a 2 = 3 + 2 √2 − 3 − √2 = √2

→ a 4 − a 3 = 3 + 3 √2 − 3 − 2 √2 = √2

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए पद A.P. म है अतः साव अंतर, d = √2
अब, a = a + d = −3 + 3√2 + √2 = 3 + 4√2
5 4

a 6 = a 5 + d = 3 + 4 √2 + √2 = 3 + 5 √2

a 7 = a 6 + d = 3 + 5 √2 + √2 = 3 + 6 √2

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

vi). a 1 = 0.2, a2 = 0.22, a3 = 0.222, a4 = 0.2222

→ a2 − a1 = 0.22 − 0.2 = 0.02

→ a3 − a2 = 0.222 − 0.22 = 0.002

→ a4 − a3 = 0.2222 − 0.222 = 0.0002

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान नही ं है, इसिलए पद A.P. म नही ं है
Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

vii). a 1 = 0, a2 = −4, a3 = −8, a4 = −12

→ a2 − a1 = −4 − 0 = −4

→ a3 − a2 = −8 + 4 = −4

→ a4 − a3 = −12 + 8 = −4

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए पद A.P. म है अतः साव अंतर, d=-4.
अब, a = a + d = −12 − 4 = −16
5 4

a6 = a5 + d = −16 − 4 = −20

a7 = a6 + d = −20 − 4 = −24

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

1 1 1 1
viii). a 1 = − , a2 = − , a3 = − , a4 = −
2 2 2 2
1 1
→ a2 − a1 = − + = 0
2 2
1 1
→ a3 − a2 = − + = 0
2 2
1 1
→ a4 − a3 = − + = 0
2 2

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए पद A.P. म है अतः साव अंतर, d=0.
1 1
अब, a 5 = a4 + d = − + 0 = −
2 2
1 1
a6 = a5 + d = − + 0 = −
2 2
1 1
a7 = a6 + d = − + 0 = −
2 2

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

ix). a 1 = 1, a2 = 3, a3 = 9, a4 = 27

→ a2 − a1 = 3 − 1 = 2

→ a3 − a2 = 9 − 3 = 6

→ a4 − a3 = 27 − 9 = 18

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान नही ं है, इसिलए पद A.P. म नही ं है
Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

x). a 1 = a, a2 = 2a, a3 = 3a, a4 = 4a

→ a2 − a1 = 2a − a = a

→ a3 − a2 = 3a − 2a = a

→ a4 − a3 = 4a − 3a = a

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए पद A.P. म है अतः साव अंतर, d=a है|
अब, a = a + d = 4a + a = 5a
5 4

a6 = a5 + d = 5a + a = 6a

a7 = a6 + d = 6a + a = 7a

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

xi). a 1
2
= a, a2 = a , a3 = a , a4 = a
3 4

2
→ a2 − a1 = a − a = a (a − 1)
3 2 2
→ a3 − a2 = a − a = a (a − 1)
4 3 3
→ a4 − a3 = a − a = a (a − 1)

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान नही ं है, इसिलए पद A.P. म नही ं है
Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

xii). a 1 = √2, a2 = √8 = 2√2, a3 = √18 = 3√2, a4 = √32 = 4√2

→ a 2 − a 1 = 2 √2 − √2 = √2

→ a 3 − a 2 = 3 √2 − 2 √2 = √2

→ a 4 − a 3 = 4 √2 − 3 √2 = √2

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए पद A.P. म है अतः साव अंतर, d = √2 है|
अब, a = a + d = 4√2 + √2 = 5√2 = √50
5 4

a6 = a5 + d = 5√2 + √2 = 6√2 = √72

a7 = a6 + d = 6√2 + √2 = 7√2 = √98

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

xiii). a 1 = √3, a2 = √6, a3 = √9, a4 = √12

→ a 2 − a 1 = √6 − √3

→ a 3 − a 2 = √9 − √6 = 3 − √6

→ a4 − a3 = √12 − √9 = 2√3 − 3

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान नही ं है, इसिलए पद A.P. म नही ं है|
Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

xiv). a 1 = 1
2
= 1, a2 = 3
2
= 9, a3 = 5
2
= 25, a4 = 7
2
= 49

→ a2 − a1 9 − 1 = 8

→ a3 − a2 = 25 − 9 = 16

→ a4 − a3 = 49 − 25 = 24

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान नही ं है, इसिलए पद A.P. म नही ं है|
Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

xv). a 1 = 1
2
= 1, a2 = 5
2
= 25, a3 = 7
2
= 49, a4 = 73

→ a2 − a1 = 25 − 1 = 24

→ a3 − a2 = 49 − 25 = 24

→ a4 − a3 = 73 − 49 = 24

योंिक क्रमागत पदों म अंतर समान है, इसिलए पद A.P. म है अतः साव अंतर, d=24 है|
अब, a = a + d = 73 + 24 = 97
5 4

2
a6 = a5 + d = 97 + 24 = 121 = 11

a7 = a6 + d = 121 + 24 = 145

Page : 109 , Block name : प्र नावली 5.1

प्र नावली 5.2

Q1 िन निलिखत सारणी म, िर त थानों को भिरए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a,साव अंतर d और nवाँ पद a ह:
n

Ans. i). a n = a + (n − 1) d

→ an = 7 + (8 − 1) 3

→ an = 7 + 21

→ an = 28

Page : 116 , Block name : प्र नावली 5.2

ii). a n = a + (n − 1) d

→ 0 = −18 + (10 − 1) d

→ 18 = 9d

d=2
Page : 116 , Block name : प्र नावली 5.2

iii). a n = a + (n − 1) d

→ −5 = a + (18 − 1) (−3)

→ −5 = a − 51

→ a = −5 + 51

→ a = 46

Page : 116 , Block name : प्र नावली 5.2

iv). a n = a + (n − 1) d

→ 3.6 = −18.9 + )(n − 1) 2.5

→ 3.6 + 18.9 = 2.5 (n − 1)

22.5
→ = (n − 1)
2.5

→ n − 1 = 9

→ n = 9 + 1 = 10

Page : 116 , Block name : प्र नावली 5.2

v). a n = a + (n − 1) d

→ an = 3.5 + 9105 − 1 × 0

→ an = 3.5 + 0

→ an = 3.5

Page : 116 , Block name : प्र नावली 5.2

Q2 िन निलिखत म सही उ र चुिनए और उसका औिच य दीिजए:
(i) A.P.:10,7,4,….., का 30वाँ पद ह:
(A) 97 (B) 77 (C) -77 (D) -87
1
(ii) A.P.:−3, − , 2, … . . , का 11वाँ पद ह:
2
1
(A) 28 (B) 22 (C) -38 (D) −48
2

Ans. i) a n = a + (n − 1) d

→ n = 30, a1 = 10, a2 = 7

d = a2 − a1 = 7 − 10 = −3

a30 = 10 + (30 − 1) (−3)

a30 = 10 − 87

a30 = −77

अतः िवक प (C) सही ह
Page : 116 , Block name : प्र नावली 5.2

1
ii). a 1 = a = −3, a2 = − , n = 11
2
1 5
→ d = a2 − a1 = − + 3 =
2 2

→ an = a + (n − 1) d

5
→ a11 = −3 + (11 − 1) ( )
2

→ a11 = −3 + 25

→ a11 = 22

अतः िवक प (B) सही ह
Page : 116 , Block name : प्र नावली 5.2

Q3 िन निलिखत समांतर श्रेिढयों म से प्र येक श्रेढी ं म िकतने पद ह?
(i). 2, , 26
(ii). , 13, , 3
1
(iii). 5, , , 9
2

(iv). -4, , , , , , 6
(v). , 38, , , , -22

Ans. i). a 1 = 2, a2 =?, a3 = 26

→ n = 3, an = a3 = 26

→ an = a + (n − 1) d

→ 26 = 2 + (3 − 1) d

→ 26 − 2 = 2d
24
→ d =
2

→ d = 12

अतः a 2 = a1 + d = 2 + 12 = 14

Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

ii). a 1 =?, a2 = 13, a3 =?, a4 = 3

an = a + (n − 1) d

a2 = a + (2 − 1) d

13=a+d
a = 13 − d ⇒ (1)

अब, a 4 = a + (4 − 1) d

→ 3 = a + 3d

समीकरण (1) से ‘a’ का मान रखने पर,
→ 13 − d + 3d = 3

→ 2d = 3 − 13
10
→ d = − = −5
2

‘d’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,

a = 13 − (−5) = 13 + 5 = 18

∴ a1 = a = 18

a3 = a + 2d = 18 + 2 × (−5)

a3 = 18 + 10 = 8

अतः a = 18 और a = 8
1 3

Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

1 19
iii). a 1 = 5, a2 =?, a3 =?, a4 = a =
2 2

→ a1 = a = 5
19
→ a4 =
2
19
→ a + (n + 1) d =
2
19
→ 5 + (4 − 1) d =
2
19
→ 3d = − 5
2
9
→ 3d =
2
3
→ d =
2
3 13
अतः a 2 = a1 + d = 5 + =
2 2
3
a3 = a + 2d = 5 + 2 × = 8
2

Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

iv). a 1 = a = −4, a2 =?, a3 =?, a4 =?, a5 =?, a6 = 6

→ a6 = 6

→ a + 5d = 6

→ −4 + 5d = 6

→ 5d = 6 + 4
10
→ d =
5

→ d = 2

अतः a 2 = a + d = −4 + 2 = 2

a3 = a + 2d = −4 + (2 × 2) = −4 + 4 = 0

a4 = a + 3d = −4 + (3 × 2) − 4 + 6 = 2

a5 = a + 4d = −4 + (4 × 2) = −4 + 8 = 4

Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

v). a =?, a = 38, a =?, a
1 2 3 4 =?, a5 =?, a6 = −22

माना a = a, और साव अंतर = d
1

अब, a = a + d
2

→ a + d = 38 ⟶ (1)

और a 6 = −22

→ a + 5d = −22 ⟶ (2)

समीकरण (1) को समीकरण (2) म से घटाने पर,

‘d’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
→ a − 15 = 38

→ a = 38 + 15

→ a = 53

अतः a 1 = a = 53

a3 = a + 2d = 53 + (2 × −15) = 53 − 30 = 23

a4 = a + 3d = 53 + (3 × −15) = 53 − 45 = 8

a5 = a + 4d = 53 + (4 × −15) = 53 − 60 = −7

Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q4 A.P., 11,8,5,2………का कौन सा पद 78 है।

Ans. a 1 = 3, a2 = 8, an = 78

→ an = a = (n − 1) d

→ 78 = 3 + (n − 1) (8 − 3)

→ 78 − 3 = (n − 1) 5

75
→ (n − 1) =
5

→ n = 15 + 1

→ n = 16

अतः A.P. 3,8,13,……….. का 16वा पद 78 है|
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q5 िन निलिखत समांतर श्रेिढयों म से प्र येक श्रेढी ं म िकतने पद ह?
1
(i). 7,13,19,…….205 (ii). 18,15 ,13,……,-47
2

Ans. i). a 1 = 7, a2 = 13

→ d = a2 − a1 = 13 − 7 = 6

→ a1 = a = 7

→ a − n = 205

→ a + (n − 1) d = 205

→ 7 + (n − 1) 6 = 205

→ 6 (n − 1) = 205 − 7

198
→ (n − 1) =
6

→ n = 33 + 1

→ n = 34

Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

1
ii). a 1 = a = 18, a2 = 15
2
31 5
→ d = a2 − a1 = − 18 = −
2 2

→ an = −47

→ a + (n − 1) d = −47

5
→ − (n − 1) = −47 − 18
2
−2
→ (n − 1) = (−65) × ( )
5

→ (n − 1) = 26

→ n = 26 + 1

→ n = 27

Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q6 या A.P.,11,8,5,2,….. का एक पद -150 ह? यों ?

Ans. माना – 150, A.P. का nवा पद है|
a1 = a = 11, a2 = 8

→ d = a2 − a1 = 8 − 11 = −3

→ a + (n − 1) d

→ −150 = 11 + (n − 1) (−3)

→ (−3) (n − 1) = −150 − 11

−161
→ (n − 1) =
−3
161
→ n = + 1
3
164 2
→ n = = 54
3 3

‘n’ का माना सं या नही ं है| अतः -150 A.P. का पद नही ं है
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q7 उस A.P. का 31वाँ पद ात कीिजये, िजसका 11वाँ पद 38 ह और 16वाँ पद 73 ह|

Ans. माना A.P. का पहला पद a 1 = a

और साव अंतर = d
अब, a = 38
11

→ a + (n − 1) d = 38

→ (11 − 1) = 38

→ a + 10d = 38

→ a = 38 − 10d ⟶ (1)

और a 16 = 73

→ a + (n − 1) d = 73

→ (16 − 1) = 73

→ a + 15d = 73

समीकरण (1) से ‘a’ का मान रखने पर,
→ 38 − 10d + 15d = 73

→ 5d = 35

→ d = 7

‘d’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
→ a = 38 − 10 × 7

→ a = 38 − 70

→ a = −32

अतः a 31 = a + (n − 1) d

= −32 + (31 − 1) 7

=-32+210
a31 = 178

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Q8 एक A.P म 50 पद ह, िजसका तीसरा पद 12 ह और अंितम पद 106 है इसका 29वाँ पद ात कीिजए

Ans. माना प्रथम पद ‘a’ और साव अंतर ‘d’ है |
अतः a = 12
3

→ a + 2d = 12

→ a = 12 − 2d ⟶ (1)

और a n = 106

→ a + (n − 1) d = 106

‘a’ का मान समीकरण (1) से रखने पर,
→ 12 − 2d + (50 − 1) d = 106

→ 12 − 2d + 49d = 106

→ 47d = 94

→ d = 2

‘d’ का मान समीकरण (1) से रखने पर,
→ a = 12 − 2 × 2 = 12 − 4

→ a = 8

अब, a 29 = a + (n − 1) d

= a + (29 − 1) 2

=8+56
a29 = 64

Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q9 यिद िकसी A.P. के तीसरे और नौव पद क्रमशः 4 और -8 ह, तो इसका कौन-सा पद शू य होगा?

Ans. माना n वाधद शू य है और प्रथम पद ‘a’ तथा साव अंतर d है |
अब, a = 4
3

→ a + 2d = 4

→ a = 4 − 2d ⟶ (1)

और a 9 = −8

→ a + 8d = −8

‘a’ का मान समीकरण (1) से रखने पर,
→ 4 − 2d + 8d = −8

→ 6d = −8 − 4
12
→ d = −
6

→ d = −2

‘d’ का मान समीकरण (1) से रखने पर,
→ a = 4 − 2 (−2) = 4 + 4 = 8

अब, a_n=0

→ 8 + (n − 1) (−2) = 0

→ −2 (n − 1) = −8

→ n − 1 = 4

→ n = 4 + 1

→ n = 5

अतः A.P. का 5वा पद शू य होगा |
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Q10 िकसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वे पद से 7 अिधक है इसका साव अंतर ात कीिजए

Ans. माना प्रथम पद ‘a’ और साव अंतर ‘d’ है |
अतः प्र नानुसा, a = a + 7
17 10

→ a + 16d = a + 9d + 7

→ a + 16d − a − 9d = 7

→ 7d = 7

→ d = 1

अतः साव अंतर 1 है |
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q11 A.P.: 3,15,27,39,…… का कौन-सा पद उसके 54वे पद से 132 अिधक होगा?

Ans. a 1 = a = 3, a2 = 15

d = a2 − a1

= 15 − 3 = 12

माना nवा पद 54वे पद से 132 अिधक है| अतः
प्र नानुसा, a = a + 132
n 54

→ a + (n − 1) d = a + (54 − 1) d + 132

→ 3 + (n − 1) 12 = 3 + (53 × 12) + 132

→ (n − 1) 12 = 3 + 636 + 132 − 3

768
→ n − 1 =
12

→ n = 64 + 1

→ n = 65

अतः 65वा पद 54वे पद से 132 अिधक होगा|
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q12 दो समांतर श्रेिढयों का साव अंतर सामान है यिद इनके 100व पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000व पदों का अंतर या
होगा?

Ans. माना पहली समांतर श्रेणी का प्रथम पद=a और साव अंतर=d है |
और दूसरी समांतर श्रेणी का प्रथम पद=A और साव अंतर=d है |
प्र नानुसार, a
100 − A = 100
100

→ (a + 99d) − (A + 99d) = 100

→ a − A = 100

पुनः, a
1000− A = (a + 999d) − (A + 999d)
1000

=a-A
=100 [∴ a − A = 100]
अतः 1000 वे पदों का अंतर 100 होगा|
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Q13 तीन अंको वाली िकतने सं याएँ 7 से िवभा य है?

Ans. 7 से िवभा य तीन अंको के सं याए, 105, 112,119,……994
माना 7 से िवभा य तीन अंको की कु ल सं याए =n
a = 105, d = 112 − 105 = 7, an = 994

→ 994 = 105 + (n − 1) 7

→ (n − 1) 7 = 994 − 105

889
→ (n − 1) =
7

→ n = 127 + 1

→ n = 128

अतः 7 से िवभा य तीन अंको की सं याए 128 है |
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q14 10 और 250 के बीच म 4 के िकतने गुणज है?

Ans. 4 के गुणज, 12,16,20,……248.
a=12,d=16-12=4,a_n=248
माना 4 के गुणज ‘n’ है |
अब, a = a + (n − 1) d
n

→ 248 = 12 + (n − 1) 4

→ 4 (n − 1) = 248 − 12

236
→ (n − 1) =
4

→ n = 59 + 1

→ n = 60

अतः 10 और 250 के बीच 4 के गुणज ‘n’ है
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q15 n के िकस मान के िलए, दोनों समांतर श्रेिढयों 63,65,67,…..और 3,10,17,…..के nव पद बराबर होंगे?

Ans. A n = an

→ A + (n − 1) D = a + (n − 1) d

→ 63 + (n − 1) (65 − 63) = 3 + (n − 1) (10 − 3)

→ 63 + 2n − 2 = 3 + 7n − 7

→ 5n = 65

→ n = 13

अतः दोनों समांतर श्रेिढयों के 13 वे पद बराबर है।
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q16 वह A.P. ात कीिजए िजसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5व पद से 12 अिधक है।

Ans. माना पहला पद a और साव अंतर d है।
प्र नानुसार, a = 16
3

→ a + 2d = 16

→ a = 16 − 2d ⟶ (1)

→ a7 = a5 + 12

→ a + 6d = a + 4d + 12

→ 6d − 4d = 12

→ 2d = 12

→ d = 6

d का मान समीकरण 1 म रखने पर,
→ a = 16 − (2 × 6)

→ a = 16 − 12

→ a = 4

अतः, a 1 = a = 4

a2 = a1 + d = 4 + 6 = 10

a3 = a2 + d = 10 + 6 = 16

a4 = a3 + d = 16 + 6 = 22

अतः A.P. =4,10,16,22,………
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q17 A.P. :3,8,13,…..,253 म अंितम पद से 20वाँ पद ात कीिजए।

Ans. 3,8,13,……..,253 म अंितम पदों से 20 वा पद, 253,….13,8,3 म आर भ से 20 वा पद होगा ।

अतः, a=253,d=3-8=-5
→ a20 = a + 19d

→ a20 = 253 + 19 × (−5)

→ a20 = 253 − 95

→ a20 = 158

अतः 20 वा पद 158 है।
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q18 िकसी A.P. के चौथे और 8वे पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वे पदों का योग 44 है इस A.P के प्रथम तीन पद ात
कीिजए।

Ans. माना पहला पद a और साव अंतर d है।
प्र नानुसार,
→ a4 + a8 = 24

→ a + 3d + a + 7d = 24

→ 2a + 10d = 24

→ a + 5d = 12

→ a = 12 − 5d ⟶ (1)

पुनः, a 6 + a10 = 44

→ a + 5d + a + 9d = 44

→ 2a + 14d = 44

→ a + 7d = 22

समीकरण (1) से ‘a’ का मान रखने पर
→ 12 − 5 + 7d = 22

→ 2d = 22 − 12
10
→ d =
2

→ d = 5

‘d’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
→ a = 12 − (5 × 5)

a=12-25
a=-13
अतः A.P. =a,a+d,a+2d,…=-13,-13+5,-13+10,….
A.P. =-13,-8,-3,……
Page : 117 , Block name : प्र नावली 5.2

Q19 सु बा राव ने 1995 म Rs.5000 के मािसक वेतन पद काय आर भ िकया और प्र येक वष Rs.200 की वेतन व्रि प्रा त की|
िकस वष म उसका वेतन Rs.7000 हो गया?

Ans. माना n वष म वेतन 7000 हो जायेगा ।
a = 5000, d = 200, an = 7000

an = a + (n − 1) d

7000 = 5000 + (n − 1) 200

2000 = (n − 1) 200

n-1=10
n=10+1
n=11
अतः 11 वे वष म वेतन 7000 हो जायेगा ।
Page : 118 , Block name : प्र नावली 5.2

Q20 रामकली ने िकसी वष की प्रथम स ताह म Rs.50 की बचत की और िफर अपनी सा तािहक बचत Rs.17.5 बढ़ती गई यिद| nवे
स ताह म उसकी सा तािहक बचत Rs.207.50 हो जाती है, तो n ात कीिजए।

Ans. a = Rs.50, d = Rs.17.5, a n = Rs.207.5

→ an = a + (n − 1) d

207.5 = 50 + (n − 1) 17.5

(n − 1) 17.5 = 157.5

157.5
n − 1 =
17.5

n-1=9
n=9+1
n=10
Page : 118 , Block name : प्र नावली 5.2

प्र नावली 5.3

Q1 िन निलिखत समांतर श्रेिढयों का योग ात कीिजए:
(i) 2,7,12,…….10 पदों तक
(ii) -37,-33,-29,……12 पदों तक
(iii) 0.6,1.7,2.8,……,100 पदों तक
1 1 10
(iv) , , … . . , 11 पदों तक
15 12 ,

Answer. i). a=2,d=7-2=5,n=10
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
10
= [2 × 2 + (10 − 1) 5]
2

= 5 [4 + 45]

= 5 × 49

=245
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

ii). a=-37,d=-33+37=4,n=12
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
12
= [2 × (−37) + (12 − 1) (4)]
2

= 6 [−74 + 44]

= 6 × (−30)

=-180
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

iii). a=0.6,d=1.7-0.6=1.1,n=100
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
100
= [2 × 0.6 + (100 − 1) 1.1]
2

= 50 [1.2 + (99 × 1.1)]

= 50 × 110.1

=5505
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

1 1 1 5 − 4 1
iv). a = ,d = − = = , n = 11
15 12 15 60 60
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
11 1 1
= [2 × + (11 − 1) ]
2 15 60

11 2 1
= [ + ]
2 15 6

11 × 9
=
2 × 30
99
=
60
33
=
20

Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

Q2 नीचे िदए हुए योगफलों को ात कीिजए:
1
(i) 7 + 10 + 14 + … . +84
2

(ii) 34+32+30+……+10
(iii) -5+(-8)+(-11)+…..+(-230)

21 7
Ans. i). a = 7, d = − 7 = , an = 84
2 2

→ an = a + (n − 1) d

7
84 = 7 + (n − 1)
2
7
(n − 1) = 77
2
77 × 2
n − 1 =
7

n=22+1
n=23

n
∴ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
23
Sn = [14 + 77]
2
23
= × 91
2
2093
=
2
1
= 1046
2

Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

ii). a = 34, d = 32 − 34 = −2, a n = 10

→ an = a + (n − 1) d

10 = 34 + (n − 1) (−2)

(n − 1) (−2) = −24

n-1=12
n=12+1
n=13
n
→ Sn = [a + 2] [ l=last term ]
2
13
= [34 + 10]
2
13
= × 44
2

= 13 × 22

=286
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

iii). a = −5, d = −8 + 5 = −3, a n = −230

→ an = a + (n − 1) d

−230 = −5 + (n − 1) (−3)

(n − 1) (−3) = −225

n-1=75
n=76
n
Sn = [a + l]
2
76
= [−5 − 230]
2

Sn = 38 × (−235)

S7 6 = −8930

Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

Q3 एक A.P. म,
(i) a=5,d=3 और a = 50 िदया है n और S ात कीिजए
n n

(ii) a=7 और a = 35 िदया है d और S
13 ात कीिजए 13

(iii) a = 12 = 37 और d=3 िदया है a और S ात कीिजए 12

(iv) a = 15 और S = 125 िदया है d और a
3 10 ात कीिजए 10

(v) d=5 और S = 75 िदया है a और a ात कीिजए
9 9

(vi) a=2,d=8 और S = 90 िदया है n और a ात कीिजए
n n

(vii) a=8,a = 62 और S = 210 िदया है n और d ात कीिजए
n n

(viii) a = 4,d=2 और S = −14 िदया है n और a ात कीिजए
n n

(ix) a=3,n=8 और S = 192 िदया है d ात कीिजए
(x) l=28,S=144 और कु ल 9 पद है a ात कीिजए

Ans. i). a n = a + (n − 1) d

→ 50 = 5 + (n − 1) 3

3 (n − 1) = 45

n-1=15
n=15+1
n=16
n
Sn = [a + l]
2
16
= [5 + 50]
2

= 8 × 55

=440
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

ii). a 13 = 35

→ a + 12d = 35

7+12d=35
12d=28
28
d =
12
7
d =
3
n
S13 = [a + l]
2
13
= [7 + 35]
2
13
= × 42
2

= 13 × 21

=273
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

iii). a 12 = 37

→ a + 11d = 37

a + 11 × 3 = 37

a+33=37
a=37-33
a=4
12
S12 = [a + l]
2

= 6 [4 + 37]

= 6 × 41

=246

Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

iv). a 3 = 15

→ a + 2d = 15

a = 15 − 2d ⟶ (1)
n
Sn = [2a + (n − 1) d]
2
10
S10 = [2a + (10 − 1) d]
2

125 = 5 [2a + 9d]

2a=9d=25
समीकरण (1) से ‘a’ का मान रखने पर,
→ 2 (15 − 2d) + 9d = 25

30-4d+9d=25
5d=-5
d=-1
‘d’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
a=15+2=17
a10 = a + 9d = 17 + 9 (−1) = 17 − 9 = 8

Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

n
v). S n = [2a + (n − 1) d]
2
9
→ S9 = [2a + (9 − 1) 5]
2
9
75 = [2a + 40]
2
150
2a + 40 =
9
150
2a = − 40
9
−210
2a =
9
−105
a =
9
−35
a =
3
35 35
a9 = a + 8d = − + 8 × 5 = − + 40
3 3
85
a9 =
3

Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

n
vi). S n =
[2a + (n − 1) d]
2
n
→ 90 = [2 × 2 + (n − 1) 8]
2

180 = n [4 + 8n − 8]

n (8n − 4) = 180
2
8n − 4n − 180 = 0

2
2n − n − 45 = 0
2
2n − 10n + 9n − 45 = 0

2n (n − 5) + 9 (n − 5) = 0

(n − 5) (2n + 9) = 0

n-5=0 और 2n+9=0
9
n=5 या n = −
2
9
अतः n=5 [∵≠ − ]
2

an = a5 = a + (n − 1) d

= 2 + (5 − 1) 8

=2+32
=34
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

n
vii). S n = [a + l]
2
n
210 = [8 + 62]
2

420 = n × 70

n=6
→ an = a + (n − 1) d

62 = 8 + (6 − 1) d

5d=54
54
d =
5

Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

viii). a n = a + (n − 1) d

→ 4 = a + (n − 1) 2

4=a+2n-2
a+2n=6
a = 6 − 2n ⟶ (2)
n
Sn = [2a + (n − 1) d]
2
n
−14 = [2a + (n − 1) 2]
2

−28 = n [2a + 2n − 2]

−28 = 2n [a + n − 1]

−14 = n [a + n − 1]

समीकरण (1) से ‘a’ का मान रखने पर,
→ −14 = n [6 − 2n + n − 1]

−14 = n [5 − n]
2
−14 = 5n − n
2
n − 5n − 14 = 0
2
n − 7n + 2n − 14 = 0

n (n − 7) + 2 (n − 7) = 0

(n − 7) (n + 2) = 0

n-7=0 या n+2=0
n=7 या n=-2
अतः n=7 ∵ n ≠ −2
‘n’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
a = 6 − 2 × 7

a=6-14
a=-8
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

8
ix).→ 192 = [3 + an ]
2
192
3 + an =
4

an = 48 − 3

an = 45

a + (n − 1) d = 45

3 + (8 − 1) d = 45

7d=42
d=6
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

n
x). S n = [a + l]
2
9
→ 144 = [a + 28]
2

a+28=32
a=32-28
a=4
Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

Q4 636 योग प्रा त करने के िलए, A.P.:9,17,25 के िकतने पद लेने चािहए?

Ans. S = 636 n

a=9
d=17-9=8
n
Sn = [2a + (n − 1) d]
2
n
636 = [2 × 9 + (n − 1) 8]
2

1272 = n [18 + 8n − 8]
2
1272 = n (10 + 8n) (→ 8n + 10n − 1272 = 0
2
4n + 5n − 636 = 0
2
4n + 53n − 48n − 636 = 0

n (4n + 53) − 12 (4n + 53) = 0

4x+53=0 या x-12=0

53
n = − या x=12
4

√3
अतः x=12 [∵ x ≠ − ]
4

Page : 124 , Block name : प्र नावली 5.3

Q5 िकसी A.P. का प्रथम पद 5, अंितम पद 45 और योग 400 है पदों के सं या और साव अंतर ात कीिजये।

Ans. a = 5, a n = 45, Sn = 400
n
→ Sn = [a + an ]
2
n
400 = [5 + 45]
2

800 = n × 50

n=16
→ an = a + (n − 1) d

45 = 5 + (16 − 1) d

15d=40
40
d =
15
8
d =
3

Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q6 िकसी A.P. के प्रथम और अंितम पद क्रमशः 17 और 350 है यिद साव अंतर 9 है, तो इसम िकतने पद है और इनका योग या
है।

Ans. a = 17, a n = 350, d = 9

→ an = a + (n − 1) d

350 = 17 + (n − 1) 9

9 (n − 1) = 333

n-1=37
n=38
n
Sn = [a + an ]
2
38
S38 = [17 + 350]
2

= 19 × 367

=6973
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q7 उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ात कीिजए, िजसमे d=7 है और 22वाँ पद 149 है।

Ans. a 22 = 149, d = 7

→ a + 21d = 149

a + 21 × 7 = 149

a=149-147
a=2
n
→ S22 = [a + an ]
2
22
= [2 + 149)
2

= 11 × 151

=1661
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q8 उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ात कीिजए, िजसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः14 और 18 है।

Ans. a 2 = 14

→ a + d = 14

a = 14 − d ⟶ (1)

a3 = 18

a+2d=18
समीकरण (1) से ‘a’ का मान रखने पर,
→ 14 − d + 2d = 18

d=4
‘d’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
→ a = 14 − 4 = 10
n
S51 = [2a + (n − 1) d]
2
51
= [2 × 10 + (51 − 1) 4]
2
51
= [20 + 200]
2
51 × 220
=
2

=5610
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q9 यिद िकसी A.P. का प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग कीिजए।

Ans. S 7 = 49, S17 = 289

→ S7 = 49
7 n
[2a + (7 − 1) d] = 49 [Sn = [2a + (n − 1) d]]
2 2

2a+6d=14
a+3d=7
a = 7 − 3d → (1)

S17 = 289
17
→ [2a + (17 − 1) d] = 289
2

2a+16d=34

a+8d=17
समीकरण (1) से ‘a’ का मान रखने पर,
→ 7 − 3d + 8d = 17

5d=10
d=2
‘d’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
→ a = 7 − 3 × 2

a=7-6
a=1
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
n
= [2 × 1 + (n − 1) 2]
2
n
= [2 + 2n − 2]
2
2
Sn = n

Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q10 दशाइए िक a , a , … … a , … . से एक A.P. बनती है, यिद a नीचे िदए अनुसार पिरभािषत है:
a 2 n n

(i) a = 3 + 4n (ii) a = 9 − 5n
n n

साथ ही, प्र येक ि थित म, प्रथम पदों का योग ात कीिजए।

Ans. i). a n = 3 + 4n

a1 = 3 + 4 × 1 = 7 n = 1

a2 = 3 + 4 × 2 = 11 n = 2

a3 = 3 + 4 × 3 = 15 n = 3

a4 = 3 + 4 × 4 = 19 n = 4

a2 − a1 = 11 − 7 = 4

a3 − a2 = 15 − 11 = 4

a4 − a3 = 19 − 15 = 4

क्रमागत पदों का अंतर सामान है। अतः a , a , a … … से एक है।
1 2 3

n
S15 = [2a + (n − 1) d]
2
15
= [14 + 56]
2
15
= × 70
2

=525
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

ii). a n = 9 − 5n

a1 = 9 − 5 × 1 = 4 (n = 1)

a2 = 9 − 5 × 2 = −1 (n = 2)

a3 = 9 − 5 × 3 = −6 (n = 3)

a4 = 9 − 5 × 4 = −11 (n = 4)

a2 − a1 = −1 − 4 = −5

a3 − a2 = −6 + 1 = −5

a4 − a3 = −11 + 6 = −5

क्रमागत पदों का अंतर सामान है। अतः a , a , a … … से एक बनती है।
1 2 3
n
Sn = [2a + (n − 1) d]
2
15
= [8 − 70]
2
15 × (−62)
=
2

=-465
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q11 यिद िकसी A.P. के प्रथम n पदों के योग 4n − n है, तो इसका प्रथम पद ( अथात S ) या है? प्रथम दो पदों का योग
2
1

या है? दूसरा पद या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वे और nवे पद ात कीिजए ।

Ans. S = 4n − n62
n

2
प्रथम पद, S = 4 − 1 = 3 = a
1 1 (n = 1)
2
प्रथम दो पद का योग = a 1 + a2 = S2 = 4 (2) − 2 = 4 (n = 2)

a1 + a2 = 4

a2 = 1

d = a2 − a1 = 1 − 3 = −2

अतः a 10 = a + 9d = 3 + 9 (−2) = −15

an = a + (n − 1) d = 3 + (n − 1) (−2) = 3 − 2n + 2 = 5 − 2n

प ृ ठ सं या – 125
लोक नाम - लघु उ र प्र न

Q12 ऐसे प्रथम 40 धन पूणको का योग ात कीिजए जो 6 से िवभा य है।

Ans. 6 िवभा य धन पूणक है।,6,12,18,…..240
a=6,d=12-6=6,n=40
n
S40 = [2a + (n − 1) d]
2
40
= [2 × 6 + (40 − 1) 6]
2

= 20 [12 + 234]

= 20 × 246

=4920
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q13 8 के प्रथम 15 गुणजो का योग कीिजए।

Ans. 8 के गुणजो 8,16,24,…..120.
a = 8, an = 120, n = 15
n
Sn = [a + an ]
2
15
= [8 + 12−]
2

15
= × 128
2

=960
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

प्र न14 0 और 50 के बीच की िवषम सं याओं का योग ात कीिजए।
उ र. 0 से 50 के बीच िवषय सं याएँ, 1,3,5,…….49.
a = 1, an = 49, d = 3 − 1 = 2

an = a + (n − 1) d

49 = 1 + (n − 1) 2

2 (n − 1) = 48

n-1=24
n=25
n
Sn = [2a + (n − 1) d]
2
25
= [2 × 1 + (25 − 1) 2]
2
25
= [2 + 48]
2
25
= × 50
2

= 25 × 25

=625
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q15 िनमाण काय से स बि धत िकसी ठे के म, एक िनि चत ितिथ के बाद काय को िवल ब से पूरा करने के िलए, जुमाना लगाने का
प्राभदान इस प्रकार है: पहले िदन के िलए Rs.200, दूसरे िदन के िलए Rs.250, तीसरे िदन के िलए Rs.300 इ यािद, अथात
प्र येक उ रोतर िदन का जुमाना अपने से ठीक पहले िदन के जुमाने से Rs.50 अिधक है एक ढे केदार को जुमाना के प म िकतने
रािश अदा करनी पड़ेगी, यिद वह इस काय म 30 िदन का िवल ब कर देता है?

Ans. 200,250,300,……..
a=200,d=250-200=50,n=30
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
30
S30 = [2 × 200 + (30 − 1) 50]
2

= 15 (400 + 1450)

= 15 × 1850

=27750
अतः, x + (x − 20) + (x − 40) + (x − 60) + (x − 80) + (x − 100) + (x − 120) = 700
→ 7x − 420 = 700

7x=1120
1120
x =
7

x=160
अतः 7 पु कारो के रािश = 160,140,120,100,80,60 तथा 40 है।

Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q17 एक कूल के िवघािथॆयो ने वायु प्रदूषण कम करन के िलए कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे म सोचा। यह िनणय
िलया गया िक प्र येक क ा का प्र येक अनुभाग अपनी क ा की सं या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणाथॆ, क ा I का एक अनुभाग
1 पेड़ लगाएगा, क ा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगायेगा, क ा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इ यािद और ऐसा क ा XII तक
के िलए चलता रहेगा। प्र येक क ा के तीन अनुभाग है। इस कूल के िवघािथॆयो ारा लगाए गए कु ल पेड़ो की सं या िकतनी होगी?

Ans. क ा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगायेगा और प्र येक क ा के तीन अनुभाग है। अतः,
क ा I के िवघािथॆयो ारा लगाए गए कु ल पेड़ो की सं या = 3 × 1 = 3
क ा II के िवघािथॆयो ारा लगाए गए कु ल पेड़ो की सं या = 3 × 2 = 6
इसे प्रकार, प्र येक क ा ारा लगाए गए पेड़ो की सं या िन निलिखत है:
3,6,9,……,36
a = 3, d = 6 − 3 = 3, an = 36

an = a + (n − 1) d

36 = 3 + (n − 1) 3

3 (n − 1) = 33

n-1=11
n=12
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
12
→ S12 = [2 × 3 + (12 − 1) 3]
2

= 6 [6 + 33]

= 6 × 39

=234
Page : 125 , Block name : प्र नावली 5.3

Q18 कद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से के द्रो A और B को लेते हुए, ित्रनयाओ 0.5cm, 1.0cm, 1.5cm, 2.0cm,
…..वाले उ रो र अधॆवत ृ ो को खीचकर एक सिपल बनाया गया है, जैसिे क आकृित 5.4 म दशाया गया है। तेरह क्रमागत अधॆवत
ृ ो से
बने इस सिपल की कु ल ल बाई या है?
22
(π = ) लीिजए।
7

1
Ans. = × 2π×
2

= π×

0.5cm,1.0cm,1.5cm,2.0cm,…..
l1 = π × 0.5 = 0.5π

l2 = π × 1.0 = 1.0π

l3 = 1.5π, l4 = 2.0π, … … . .

0.5π, 1.0π, 1.5π, 2.0π, … … . .

a = 0.5π, d = (1.0 − 0.5) π = 0.5π, x = 13

2a + (n − 1)
Sn =
d
13
S13 = 2 × 0.5π + (13 − 1) (0.5π)
2

= 6.5 [π + 6π]

= 6.5 [7π]

22
= 6.5 × 7 ×
7

=143cm.
Page : 126 , Block name : प्र नावली 5.3

Q19 200 ल ठो (logs) को ढे री के प म इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंि त म 20 ल ठो, उससे अगली पंि त म
19 ल ठो, उससे अगली पंि त म 18 ल ठो, इ यािद ( देिखए आकृित 5.5 )। ये 200 ल ठो िकतनी पंि तयों म रखे गए है तथा सबसे
ऊपरी पंि त म िकतने ल ठो है?

Ans. 20,19,18,17,…….

a = 20, d = 19 − 20 = −1, Sn = 200
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
n
200 = [2 × 20 + (n − 1) (−1)]
2

400 = n [40 − n + 1]

400 = n (41 − n)
2
400 = 41n − n
2
n − 41n + 400 = 0
2
n − 25n − 16n + 400 = 0

n (n − 25) − 16 (n − 25) = 0

(n − 25) − (n − 16) = 0

n-25=0 या n-16=0
n=25 या n=16
यिद 9n = 25, a = a + 24d = 20 + 24 (−1) = 20 − 24 = −4
25

और यिद n = 16, a = a + 15d = 20 + 15 (−1) = 20 − 15 = 5
16

4 संभव नही ं है अतः ये लढे 16 पंि तयों म रखे गए है तथा सबसे ऊपरी पंि त म 5 लढे है
Page : 126 , Block name : प्र नावली 5.3

Q20 एक आलू दौड़ म, प्रारंिभक थान पर एक बा टी रखी हुए है, जो पहले आलू से 5m की दुरी पर है, तथा अ य आलुओ को एक
सीधी रेखा म पर पर 3m की दूिरयों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए है।

प्र येक प्रितयोगी बा टी से चलना प्रारंभ करती है, िनकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बा टी म डालती
है, दूसरा आलू उठाने के िलए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बा टी म डालती है, और वह ऐसा तब करती रहती है, जब तक सभी
आलू बा टी म ना आ जाए। इसम प्रितयोिगता को कु ल िकतनी दुरी दोड़नी पड़ेगी?
[ संकेत: पहले और दूसरे aaluoo को उठाकर बा टी म डालने तक दौड़ी गए दुरी = 2 × 5 + 2 × (5 + 3) ]

Ans. पहले आलू को उठाकर बा टी म डालने तक तय की दूरी = 2 × 5 = 10m
दूसरे आलू को उठाकर बा टी म डालने तक तय की दुरी = 2 × (5 + 3) = 16m
इस प्रकार, 10,16,22,28,……
a=10,d=16-10=6,n=10
n
→ Sn = [2a + (n − 1) d]
2
10
S10 = [2 × 10 + (10 − 1) 6]
2

= 5 [20 + 54]

= 5 × 74

=370
अतः प्रितयोिगता की कु ल 370m दुरी दोड़नी होगी।
Page : 126 , Block name : प्र नावली 5.3

प्र नावली 5.4

Q1 A.P.: 121,117,113,……, का कौंन-सा पद सबसे पहला ऋणातमक पद होगा?
[ संकेत: a < 0 के िलए n ात कीिजए। ]
n

Answer. a=121,d=117-121=-4
माना A.P. का वा पद पतला श्र ा मक पद है।
an < 0

a + (n − 1) d < 0

121 + (n − 1) (−4) < 0

121 − 4n + 4 <= 0

125 − 4n − 125 < 0 − 125 (125 दोनों तरफ घटाने पर )
−4n < −125 ( -1 से दोनों तरफ गुणा करने पर )

4n > 125
125
n >
4

n > 31.25

n=32
अतः A.P. का 32वा पद पहली सरणा मक पद होगा
Page : 127 , Block name : प्र नावली 5.4

Q2 िकसी A.P. के तीसरे और सातवे पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ात
कीिजए।

Ans. a 3 + a7 = 8

→ (a + 2d) (a + 6d) = 8

समीकरण (1) से ‘a’ का मान रखने पर,
(3 − 4d + 2d) (3 − 4d + 6d) = 8

(3 − 2d) (3 + 2d) = 8
2
9 − 4d = 8
2
−4d = 8
1
2
d =
4
1
d = ±
2
1 1
अब यिद d = ,a = 3 − 4 × = 3 − 2 = 1
2 2
n
→ S16 = [2a + (n − 1) d]
2
16 1
= [2 (1) + (16 − 1) ]
2 2

15
= 8 [2 + ]
2

=8 x 9.5

=76
1 1
यिद d = − , a = 3 − 4 (− ) = 3 + 2 = 5
2 2

16 1
→ S16 = [2 × 5 + (16 − 1) (− )]
2 2

5
= 8 × = 20
2

Page : 127 , Block name : प्र नावली 5.4

Q3 एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे पर पर 25cm की दुरी पर है। डंडो की ल बाई एक saman प से ghtte jati है तथा सबसे
1
िनचले डंडे के ल बाई 45cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की ल बाई 25cm है। यिद ऊपरी और िनचले डंडे के बीच की दूरी 2 m
2

है, तो डंडो को बनाने के िलए लकड़ी की िकतने ल बाई की अ य कता होगी?

250
[ संकेत: डंडो की सं या = + 1 है। ]
25

250
Ans. डंडो की सं या = + 1 = 11
25

डंडो की ल बाई सामान प से बड़ रही है अतः, ल बाई की समांतर
का प्रथम पद, a=25 और अंितम पद a = 45 ह n

अतः, a = a + (n − 1) g
n

→ a11 = a + (11 − 1) d

45=25+10d
10d=20
d=2
n
Sn = [2a + (n − 1) d]
2
11
= [2 × 25 + (11 − 1) 2]
2
11
= [50 + 20]
2

11
= × 70
2

= 11 × 35

=385cm
अतः डंडो को बनाने की िलए लकडी की 385cm ल बाई की आवयसकता होगी।
Page : 127 , Block name : प्र नावली 5.4

Q4 एक पंि त के मकानों को क्रमागत प से सं या 1 से 49 तक अंिकत िकया गया है। दरसाई िक x का एक ऐसा मान है िक x से
अंिकत मकान से पहले के मकानों की सं याओं का योग उसके बाद मकानों की सं याओं के योग के बराबर है। x का मान ात
कीिजए।
[संकेत: S = Sx−1 − S है।]
49 x

Ans. a=1,d=1
n
Sn = [2a + (n − 1) d]
2

→ Sx−1 = S49 − Sx

x − 1 49 x
[2a + (x − 1 − 1) d] = [2a + (49 − 1) d] − [2a + (x − 1) d]
2 2 2
x − 1 49 x
[2 × 1 + (x − 2) 1] = [2 × 1 + (48) 1] − [2 × 1 + (x − 1) 1]
2 2 2

(x − 1) (2 + x − 2) = 49 (2 + 48) − x (2 + x − 1)

x (x − 1) = 2450 − x (x + 1)
2 2
x − x = 2450 − x − x
2
2x = 2450
2
x = 1225

x=35
Page : 128 , Block name : प्र नावली 5.4

Q5 एक फु टबॉल के मैदान म एक छोटा चबूतरा है िजसमे 15 सीिढयाँ बनी हुई है इन सीिढयो म से प्र येक की ल बाई 50m है और
1 1
ठोस कंक्रीट की बनी है प्र येक सीढी म m की चढ़ाई है और m का फैलाब है इस चबूतरे को बनाने म लगी कंक्रीट का कु ल
4 2

आयतन पिरकिलत कीिजए।

1 1
[संकेत: पहली सीढी को बनाने म लगी कंक्रीट का आयतन = × × 50m
3
है।]
4 2

1 1 1
Ans. पहली बनाने म लगे लािक्रट का आपतन = × × 50 = × 25m
3

4 2 4
2 1 2
दूसरी बनाने म लगे लािक्रट का आपतन = × × 50 = × 25m
3

4 2 4
3 1 3
तीसरी बनाने म लगे लािक्रट का आपतन = × × 50 = × 25m
3

4 2 4

अतः आपतन का क्रम समा तर म बढ़ रहा है इसिलए,
25 50 25 25
a = और d = − =
4 4 4 4
15
और a n = a15 = × 25
4
n
S15 = [a + an ]
2
15 25 15
= [ + ( × 25)]
2 4 4

15 25
= × [1 + 15]
2 4
15
= × 25 × 16
8

=750
अतः चबूतरे को बनाने म लगी का आयतन है।
Page : 128 , Block name : प्र नावली 5.4