NCERT Solutions for Class 10 Maths (गणित) Chapter 3 दो चार वाले रैखिक समीकरण युग्म
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NCERT Solutions for Class 10 Maths (गणित) Chapter 3 दो चार वाले रैखिक समीकरण युग्म – Text
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NCERT
SOLUTIONS
CLASS - 10th
aglase .co
SOLUTIONS
CLASS - 10th
aglase .co
Page 2
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
Class : 10th
Subject : Mathematics
Chapter : 3
Chapter Name : दो चर वाले रैिखक समीकरण यु म
प्र नावली – 3.1
Q1 आफताब अपनी पुतर् ी से कहता है, 'सात वष पूव मै तुमसे सात गुनी आयु का था? अब से 3 वष बाद मै तुमसे केवल तीन गुनी आयु
का रह जाऊँगा।‘( या यह मनोरंजक है?) इस ि थित को बीजगिणतीय एवं ग्राफीए पों म य त कीिजए।
Answer. माना आफताब की वतमान आयु x वष है और पुतर् ी की वतमान आयु y वष है
अब, प्र नानुसार सात वष पूव,
आफताब की आयु = (x − 7) वष
पुतर् ी की आयु = (y − 7) वष
और x − 7 = (y − 7)7
x-7=7y-49
x-7y=-42 ⟶ (1)
3 वष बाद,
आफताब की आयु = (x + 3) वष
पुतर् ी की आयु = (y + 3) वष
प्र नानुसार,
(x + 3) = 3(y + 3)
x+3=3y+9
x-3y=6 ⟶ (2)
अतः समीकरणों (1) व (2) का बीजगिणतीय प है।
अब ग्राफीय हल के िलए:
समीकरण (1) से,
x=7y-42
X=0,7,-7
Y=6,7,5
समीकरण (2) से,
x=3y-6
X=6,3,0
Y=0,-1,-2
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Class : 10th
Subject : Mathematics
Chapter : 3
Chapter Name : दो चर वाले रैिखक समीकरण यु म
प्र नावली – 3.1
Q1 आफताब अपनी पुतर् ी से कहता है, 'सात वष पूव मै तुमसे सात गुनी आयु का था? अब से 3 वष बाद मै तुमसे केवल तीन गुनी आयु
का रह जाऊँगा।‘( या यह मनोरंजक है?) इस ि थित को बीजगिणतीय एवं ग्राफीए पों म य त कीिजए।
Answer. माना आफताब की वतमान आयु x वष है और पुतर् ी की वतमान आयु y वष है
अब, प्र नानुसार सात वष पूव,
आफताब की आयु = (x − 7) वष
पुतर् ी की आयु = (y − 7) वष
और x − 7 = (y − 7)7
x-7=7y-49
x-7y=-42 ⟶ (1)
3 वष बाद,
आफताब की आयु = (x + 3) वष
पुतर् ी की आयु = (y + 3) वष
प्र नानुसार,
(x + 3) = 3(y + 3)
x+3=3y+9
x-3y=6 ⟶ (2)
अतः समीकरणों (1) व (2) का बीजगिणतीय प है।
अब ग्राफीय हल के िलए:
समीकरण (1) से,
x=7y-42
X=0,7,-7
Y=6,7,5
समीकरण (2) से,
x=3y-6
X=6,3,0
Y=0,-1,-2
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
Page : 49 , Block Name : प्र नावली – 3.1
Q2 िक्रकेट टीम के एक कोच ने Rs.3900 म 3 ब ले तथा 6 गद खरीदी। बाद मे उसने एक और ब ला तथा उसी प्रकार की 3 गद
Rs.1300 मे खरीदी। इस ि थित को बीजगिणतीय तथा यािमतीय पों मे य त कीिजए।
Answer. माना, एक ब ले का मू य = x
और, एक गद का मू य = y
प्र नानुसार, 3x+6y=3900 ⟶ (1)
x+3y=1300 ⟶ (2)
अतः समीकरणों (1) व (2) का बीजगिणतीय प है।
अब ग्राफीय हल के िलए:
समीकरण (1) से,
3x+6y=3900
x+2y=1300
x=1300-2y
X = 500,300,100
Y = 400,500,600
समीकरण (2) से,
x=1300-3y
X=400,100,-200
Y=300,400,500
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Page : 49 , Block Name : प्र नावली – 3.1
Q2 िक्रकेट टीम के एक कोच ने Rs.3900 म 3 ब ले तथा 6 गद खरीदी। बाद मे उसने एक और ब ला तथा उसी प्रकार की 3 गद
Rs.1300 मे खरीदी। इस ि थित को बीजगिणतीय तथा यािमतीय पों मे य त कीिजए।
Answer. माना, एक ब ले का मू य = x
और, एक गद का मू य = y
प्र नानुसार, 3x+6y=3900 ⟶ (1)
x+3y=1300 ⟶ (2)
अतः समीकरणों (1) व (2) का बीजगिणतीय प है।
अब ग्राफीय हल के िलए:
समीकरण (1) से,
3x+6y=3900
x+2y=1300
x=1300-2y
X = 500,300,100
Y = 400,500,600
समीकरण (2) से,
x=1300-3y
X=400,100,-200
Y=300,400,500
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
Page : 49 , Block Name : प्र नावली – 3.1
Q3 2kg सेब और 1kg अंगरू का मू य िकसी िदन Rs.160 था। एक महीने बाद 4kg सेब और 2kg अंगरू का मू य Rs.300 हो
जाता है। इस ि थित को बीजगिणतीय तथा यािमतीय पों म य त कीिजए।
Answer. माना, 1kg सेब का मू य = Rs.x
और, 1kg अंगरू का मू य = Rs.y
प्र नानुसार, 2x+y=160 ⟶ (1)
4x+2y=300 ⟶ (2)
अतः समीकरणों (1) व (2) का बीजगिणतीय प है।
अब ग्राफीय हल के िलए:
समीकरण (1) से,
y=160-2x
Y=60,40,20
समीकरण (2) से,
4x+2y=300
2x+y=150
y=150-2x
X=50,60,70
Y=50,30,10
Page : 49 , Block Name : प्र नावली – 3.1
प्र नावली – 3.2
Q1 िन न सं याओं म रैिखक समीकरणों के यु म बनाइए और उनके ग्राफीए िविध से हल ात कीिजए।
(i) क ा X के 10 िव ािथॆयो ने एक गिणत की पहेली प्रितयोिगता म भाग िलया। यिद लड़िकयों की सं या लड़को की सं या से 4
अिधक हो, तो प्रितयोिगता म भाग िलए लड़को और लड़िकयों की सं या ात कीिजए।
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Page : 49 , Block Name : प्र नावली – 3.1
Q3 2kg सेब और 1kg अंगरू का मू य िकसी िदन Rs.160 था। एक महीने बाद 4kg सेब और 2kg अंगरू का मू य Rs.300 हो
जाता है। इस ि थित को बीजगिणतीय तथा यािमतीय पों म य त कीिजए।
Answer. माना, 1kg सेब का मू य = Rs.x
और, 1kg अंगरू का मू य = Rs.y
प्र नानुसार, 2x+y=160 ⟶ (1)
4x+2y=300 ⟶ (2)
अतः समीकरणों (1) व (2) का बीजगिणतीय प है।
अब ग्राफीय हल के िलए:
समीकरण (1) से,
y=160-2x
Y=60,40,20
समीकरण (2) से,
4x+2y=300
2x+y=150
y=150-2x
X=50,60,70
Y=50,30,10
Page : 49 , Block Name : प्र नावली – 3.1
प्र नावली – 3.2
Q1 िन न सं याओं म रैिखक समीकरणों के यु म बनाइए और उनके ग्राफीए िविध से हल ात कीिजए।
(i) क ा X के 10 िव ािथॆयो ने एक गिणत की पहेली प्रितयोिगता म भाग िलया। यिद लड़िकयों की सं या लड़को की सं या से 4
अिधक हो, तो प्रितयोिगता म भाग िलए लड़को और लड़िकयों की सं या ात कीिजए।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
(ii) 5 पिसल तथा 7 कलमों का कु ल मू य Rs.50 है, जबिक 7 पिसल तथा 5 कलमों का कु ल मू य Rs.46 है। एक पिसल का मू य
तथा एक कलम का मू य ात कीिजए।
Answer. (i) माना, लड़को की सं या = x
और, लड़िकयों की सं या = y
प्र नानुसार, x+y=10 ⟶ (1)
और y=x+4 ⟶ (2)
समीकरण (1) से, x=10-y
X=6,5,4
Y=4,5,6
समीकरण (2) से, y=x+4
X=0,1,2
Y=4,5,6
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
(ii) माना, एक पिसल का मू य = Rs.x
और, एक कलम का मू य = Rs.y
प्र नानुसार, 5x+7y=50 ⟶ (1)
और 7x+5y=46 ⟶ (2)
50 − 7y
समीकरण (1) से, x =
5
X=10,3,-4
Y=0,5,10
46 − 5y
समीकरण (2) से,
7
X=3,8,-2
Y=5,-2,12
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(ii) 5 पिसल तथा 7 कलमों का कु ल मू य Rs.50 है, जबिक 7 पिसल तथा 5 कलमों का कु ल मू य Rs.46 है। एक पिसल का मू य
तथा एक कलम का मू य ात कीिजए।
Answer. (i) माना, लड़को की सं या = x
और, लड़िकयों की सं या = y
प्र नानुसार, x+y=10 ⟶ (1)
और y=x+4 ⟶ (2)
समीकरण (1) से, x=10-y
X=6,5,4
Y=4,5,6
समीकरण (2) से, y=x+4
X=0,1,2
Y=4,5,6
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
(ii) माना, एक पिसल का मू य = Rs.x
और, एक कलम का मू य = Rs.y
प्र नानुसार, 5x+7y=50 ⟶ (1)
और 7x+5y=46 ⟶ (2)
50 − 7y
समीकरण (1) से, x =
5
X=10,3,-4
Y=0,5,10
46 − 5y
समीकरण (2) से,
7
X=3,8,-2
Y=5,-2,12
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
a1 b1 c1
Q2 अनुपातों , और की तुलना कर ात कीिजए की िन न समीकरण यु म ारा िन िपत रेखाएँ एक िबंद ु पर प्रित छे द
a2 b2 c2
करती है, समांतर है अथवा संपाित है:
(i) 5x-4y+8=0 (ii) 9x+3y+12=0
7x+6y-9=0 18x+6y+24=0
(iii) 6x-3y+10=0
2x-y+9=0
Answer.
(i) 5x-4y+8=0
7x+6y-9=0
a1 5 b1 −4 −2
= , = =
a2 7 b2 6 3
a1 b1
≠ ,
a2 b2
अतः समीकरण यु म ारा बनी रेखाएँ एक िबंद ु पर प्रित छे द करती है
(ii) 9x+3y+12=0
18x+6y+24=0
a1 b1 c1
= = ,
a2 b2 c2
अतः समीकरण यु म ारा बनी रेखाएँ संपाित है
(iii) 6x-3y+10=0
2x-y+9=0
a1 6 3 b1 −3 3 c1 10
= = , = = और =
a2 2 1 b2 −1 1 c2 9
a1 b1 c1
= ≠ ,
a2 b2 c2
अतः समीकरण यु म ारा बनी रेखाएँ संपाित है
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Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
a1 b1 c1
Q2 अनुपातों , और की तुलना कर ात कीिजए की िन न समीकरण यु म ारा िन िपत रेखाएँ एक िबंद ु पर प्रित छे द
a2 b2 c2
करती है, समांतर है अथवा संपाित है:
(i) 5x-4y+8=0 (ii) 9x+3y+12=0
7x+6y-9=0 18x+6y+24=0
(iii) 6x-3y+10=0
2x-y+9=0
Answer.
(i) 5x-4y+8=0
7x+6y-9=0
a1 5 b1 −4 −2
= , = =
a2 7 b2 6 3
a1 b1
≠ ,
a2 b2
अतः समीकरण यु म ारा बनी रेखाएँ एक िबंद ु पर प्रित छे द करती है
(ii) 9x+3y+12=0
18x+6y+24=0
a1 b1 c1
= = ,
a2 b2 c2
अतः समीकरण यु म ारा बनी रेखाएँ संपाित है
(iii) 6x-3y+10=0
2x-y+9=0
a1 6 3 b1 −3 3 c1 10
= = , = = और =
a2 2 1 b2 −1 1 c2 9
a1 b1 c1
= ≠ ,
a2 b2 c2
अतः समीकरण यु म ारा बनी रेखाएँ संपाित है
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
a1 b1 c1
Q3 अनुपातों , और की तुलना कर ात कीिजए की िन न समीकरणो यु म संगत है या असंगत:
a2 b2 c2
(i) 3x+2y=5; 2x-3y=7 (ii) 2x-3y=8; 4x-6y=9
3 5
(iii) x + y = 7; 9x − 10y = 14 (iv) 5x-3y=11; -10x+6y=-22
2 3
4
(v) x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
3
Answer. (i) 3x+2y=5
2x-3y=7
a1 3 b1 2
= , =
a2 2 b2 −3
a1 b1 2
≠ =
a2 b2 −3
अतः समीकरणो के यु म असंगत है
(ii) 2x-3y=8
4x-6y=9
a1 2 1 b1 −3 1 c1 8
= = , = = , और =
a2 4 2 b2 −6 2 c2 9
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
3 5
(iii) x + y = 7
2 3
9x-10y=14
a1 3 1 b1 5 −1
= = , = = ,
a2 2 × 9 6 b2 − 3 × 10 6
a1 b1
≠
a2 b2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
(iv) 5x-3y=11
-10x+6y=-22
a1 5 − 1 b1 −3 −1 c1 11 −1
= = , = = , और = =
a2 − 10 2 b2 6 2 c2 − 22 2
a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
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Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
a1 b1 c1
Q3 अनुपातों , और की तुलना कर ात कीिजए की िन न समीकरणो यु म संगत है या असंगत:
a2 b2 c2
(i) 3x+2y=5; 2x-3y=7 (ii) 2x-3y=8; 4x-6y=9
3 5
(iii) x + y = 7; 9x − 10y = 14 (iv) 5x-3y=11; -10x+6y=-22
2 3
4
(v) x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
3
Answer. (i) 3x+2y=5
2x-3y=7
a1 3 b1 2
= , =
a2 2 b2 −3
a1 b1 2
≠ =
a2 b2 −3
अतः समीकरणो के यु म असंगत है
(ii) 2x-3y=8
4x-6y=9
a1 2 1 b1 −3 1 c1 8
= = , = = , और =
a2 4 2 b2 −6 2 c2 9
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
3 5
(iii) x + y = 7
2 3
9x-10y=14
a1 3 1 b1 5 −1
= = , = = ,
a2 2 × 9 6 b2 − 3 × 10 6
a1 b1
≠
a2 b2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
(iv) 5x-3y=11
-10x+6y=-22
a1 5 − 1 b1 −3 −1 c1 11 −1
= = , = = , और = =
a2 − 10 2 b2 6 2 c2 − 22 2
a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
4
(v) x + 2y = 8
3
2x+3y=12
a1 4 2 b1 2 c1 8 2
= = , = और = =
a2 3 × 2 3 b2 3 c2 12 3
a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
Q4 िन न रैिखक समीकरणो के यु मो म से कौन से युग सांगत/असंगत है, यिद सांगत है तो ग्राफीय िविध से हल ात कीिजए।
(i) x+y=5, 2x+2y=10
(ii) x-y=8, 3x-3y=16
(iii) 2x+y-6=0, 4x-2y-4=0
(iv) 2x-2y-2=0, 4x-4y-5=0
Answer. (i) x+y=5 ⟶ (1)
2x+2y=10 ⟶ (2)
a1 1 b1 1 c1 5 1
= , = और = =
a2 2 b2 2 c2 10 2
a1 b1 c1
→ = =
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
समीकरण (1) से,
x=5-y
X=4,3,2
Y=1,2,3
समीकरण (2) से,
2x+2y=10
x+y=5
x=5-y
X=4,3,2
Y=1,2,3
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4
(v) x + 2y = 8
3
2x+3y=12
a1 4 2 b1 2 c1 8 2
= = , = और = =
a2 3 × 2 3 b2 3 c2 12 3
a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
Q4 िन न रैिखक समीकरणो के यु मो म से कौन से युग सांगत/असंगत है, यिद सांगत है तो ग्राफीय िविध से हल ात कीिजए।
(i) x+y=5, 2x+2y=10
(ii) x-y=8, 3x-3y=16
(iii) 2x+y-6=0, 4x-2y-4=0
(iv) 2x-2y-2=0, 4x-4y-5=0
Answer. (i) x+y=5 ⟶ (1)
2x+2y=10 ⟶ (2)
a1 1 b1 1 c1 5 1
= , = और = =
a2 2 b2 2 c2 10 2
a1 b1 c1
→ = =
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
समीकरण (1) से,
x=5-y
X=4,3,2
Y=1,2,3
समीकरण (2) से,
2x+2y=10
x+y=5
x=5-y
X=4,3,2
Y=1,2,3
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
(ii) x-y=8
2x+2y=10
a1 1 b1 −1 1 c1 8 1
= , = = और = =
a2 3 b2 −3 3 c2 16 2
a1 b1 c1
→ = ≠
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म असंगत है
(iii) 2x+y-6=0 ⟶ (1)
4x-2y-4=0 ⟶ (2)
a1 2 1 b1 1 c1 −6 3
= = , = , और = =
a2 4 2 b2 −2 c2 −4 2
a1 b1
≠
a2 b2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
समीकरण (1) से,
2x+y=6
y=6-2x
X=0,1,2
Y=6,4,2
समीकरण (2) से,
4x-2y=4
2x-y=2
y=2x-2
X=1,2,3
Y=0,2,4
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(ii) x-y=8
2x+2y=10
a1 1 b1 −1 1 c1 8 1
= , = = और = =
a2 3 b2 −3 3 c2 16 2
a1 b1 c1
→ = ≠
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म असंगत है
(iii) 2x+y-6=0 ⟶ (1)
4x-2y-4=0 ⟶ (2)
a1 2 1 b1 1 c1 −6 3
= = , = , और = =
a2 4 2 b2 −2 c2 −4 2
a1 b1
≠
a2 b2
अतः समीकरणो के यु म संगत है
समीकरण (1) से,
2x+y=6
y=6-2x
X=0,1,2
Y=6,4,2
समीकरण (2) से,
4x-2y=4
2x-y=2
y=2x-2
X=1,2,3
Y=0,2,4
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
(iv) 2x-2y-2=0
4x-4y-5=0
a1 2 1 b1 −2 2 c1 −2 2
= = , = , और = =
a2 4 2 b2 −5 5 c2 −5 5
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म असंगत है
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
Q5 एक आयातकार बाग, िजसकी ल बाई, चौड़ाई से 4m अिधक है, के अधपिरमाप 36m है। बाग़ की िवमाएँ ात कीिजए।
Answer. माना बाग की चौड़ाई = x m
माना बाग की ल बाई = y m
प्र नानुसार, y=x+4 ⟶ (1)
बाग़ का अधपिरमाप = 36m
1
[2(x + y)]
2
x+y=36 ⟶ (2)
अब ग्राफीय हल के िलए:
समीकरण (1) से, y=x+4
X=0,8,12
Y=4,12,16
समीकरण (2) से, y=36-x
X=0,26,16
Y=36,10,20
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(iv) 2x-2y-2=0
4x-4y-5=0
a1 2 1 b1 −2 2 c1 −2 2
= = , = , और = =
a2 4 2 b2 −5 5 c2 −5 5
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
अतः समीकरणो के यु म असंगत है
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
Q5 एक आयातकार बाग, िजसकी ल बाई, चौड़ाई से 4m अिधक है, के अधपिरमाप 36m है। बाग़ की िवमाएँ ात कीिजए।
Answer. माना बाग की चौड़ाई = x m
माना बाग की ल बाई = y m
प्र नानुसार, y=x+4 ⟶ (1)
बाग़ का अधपिरमाप = 36m
1
[2(x + y)]
2
x+y=36 ⟶ (2)
अब ग्राफीय हल के िलए:
समीकरण (1) से, y=x+4
X=0,8,12
Y=4,12,16
समीकरण (2) से, y=36-x
X=0,26,16
Y=36,10,20
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
दोनों रेखाओं का प्रित छे द िबंद ु (16, 20) है। इसिलए, बाग़ की चौड़ाई 16m और लंबाई 20m है।
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
Q6 एक रैिखक समीकरण 2x+3y-8=0 दी गई है। दो चरों म एक ऐसी और रैिखक समीकरण िलिखए तािक प्रा त यु म का
यािमतीय िन पण जैसा िक
(i) प्रित छे द करती रेखाएँ हो। (ii) समांतर रेखाएँ हो।
(iii) संपाती रेखाएँ हो।
Answer. (i) प्रित छे द करती रेखाएँ, अथात
a1 b1
≠
a2 b2
∴ प्रित छे द रेखा की समीकरण: 2x+4y-12=0
(ii) समांतर रेखाएँ, अथात
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
∴ समांतर रेखा की समीकरण: 2x+3y-12=0
(iii) संपाती रेखाएँ अथात
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
∴ संपाती रेखा की समीकरण: 4x+6y-16=0
Page : 56 , Block Name : प्र नावली – 3.2
Q7 समीकरणो x-y+1=0 और 3x+2y-12=0 का ग्राफ खीिचए। x-अ और इन रेखाओ से बने ित्रभुज के शीषो के िनदशांक ात
कीिजए और ित्रभुजाकार पटल को छायांिकत कीिजए।
Answer. x-y+1=0
x=y-1
X=-1,0,1
Y=0,1,2
3x+2y-12=0
− 2y + 12
x=
3
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दोनों रेखाओं का प्रित छे द िबंद ु (16, 20) है। इसिलए, बाग़ की चौड़ाई 16m और लंबाई 20m है।
Page : 55 , Block Name : प्र नावली – 3.2
Q6 एक रैिखक समीकरण 2x+3y-8=0 दी गई है। दो चरों म एक ऐसी और रैिखक समीकरण िलिखए तािक प्रा त यु म का
यािमतीय िन पण जैसा िक
(i) प्रित छे द करती रेखाएँ हो। (ii) समांतर रेखाएँ हो।
(iii) संपाती रेखाएँ हो।
Answer. (i) प्रित छे द करती रेखाएँ, अथात
a1 b1
≠
a2 b2
∴ प्रित छे द रेखा की समीकरण: 2x+4y-12=0
(ii) समांतर रेखाएँ, अथात
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
∴ समांतर रेखा की समीकरण: 2x+3y-12=0
(iii) संपाती रेखाएँ अथात
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
∴ संपाती रेखा की समीकरण: 4x+6y-16=0
Page : 56 , Block Name : प्र नावली – 3.2
Q7 समीकरणो x-y+1=0 और 3x+2y-12=0 का ग्राफ खीिचए। x-अ और इन रेखाओ से बने ित्रभुज के शीषो के िनदशांक ात
कीिजए और ित्रभुजाकार पटल को छायांिकत कीिजए।
Answer. x-y+1=0
x=y-1
X=-1,0,1
Y=0,1,2
3x+2y-12=0
− 2y + 12
x=
3
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
X=4,2,0
Y=0,3,6
अतः x-अ और दी गई रेखाओ से बने ित्रभुज के शीषो के िनदशांक ( − 1, 0), (4, 0) और (2, 3) है।
Page : 56 , Block Name : प्र नावली – 3.2
प्र नावली – 3.3
Q1 िन न रैिखक समीकरणों यु म को प्रित थापन िविध से हल कीिजए।
s t
(i) x+y=14, x-y=4 (ii) s-t=3, + = 6
3 2
(iii) 3x-y=3, 9x-3y=9 (iv) 0.2x+0.3y=1.3, 0.4x+0.5y=2.3
(v) √2x + √3y = 0, √3x − √8y = 0
x y 13
(vi) + =
3 2 6
Answer. (i) x+y=14 ⟶ (1)
x-y=4 ⟶ (2)
समीकरण (1) से, x=14-y
समीकरण (2) मे x का मान रखने पर,
14-y-y=4
-2y=4-14
-2y=-10
− 10
y=
−2
y=5
y का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
x+5=14
x=14-5
x=9
अतः x=9 और y=5
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X=4,2,0
Y=0,3,6
अतः x-अ और दी गई रेखाओ से बने ित्रभुज के शीषो के िनदशांक ( − 1, 0), (4, 0) और (2, 3) है।
Page : 56 , Block Name : प्र नावली – 3.2
प्र नावली – 3.3
Q1 िन न रैिखक समीकरणों यु म को प्रित थापन िविध से हल कीिजए।
s t
(i) x+y=14, x-y=4 (ii) s-t=3, + = 6
3 2
(iii) 3x-y=3, 9x-3y=9 (iv) 0.2x+0.3y=1.3, 0.4x+0.5y=2.3
(v) √2x + √3y = 0, √3x − √8y = 0
x y 13
(vi) + =
3 2 6
Answer. (i) x+y=14 ⟶ (1)
x-y=4 ⟶ (2)
समीकरण (1) से, x=14-y
समीकरण (2) मे x का मान रखने पर,
14-y-y=4
-2y=4-14
-2y=-10
− 10
y=
−2
y=5
y का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
x+5=14
x=14-5
x=9
अतः x=9 और y=5
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
(ii) s-t=3 ⟶ (1)
s t
+ = 6 ⟶ (2)
3 2
समीकरण (1) से, s=t+3
‘s’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
t+3 t
→ + =6
3 2
2t + 6 + 3t
=6
6
5t+6=36
5t=36-6
t=6
‘t’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
s-6=3
s=3+6
s=9
अतः s=9 और t=6
(iii) 3x-y=3 ⟶ (1)
9x-3y=9 ⟶ (2)
समीकरण (1) से,
3x=3+y
3+y
x=
3
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→9 ( )
3+y
3
− 3y = 9
3(3 + y) − 3y = 9
9+3y-3y=9
9=9
अतः रैिखक यु म के अनंत हल है।
(iv) 0.2x+0.3y=1.3 ⟶ (1)
0.4x+0.5y=2.3 ⟶ (2)
समीकरण (1) से,
0.2x=1.3-0.3y
1.3 0.3y
x= −
0.2 0.2
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
0.4 ( 1.3
0.2
−
0.3y
0.2 ) + 0.5y = 2.3
2.6-0.6y+0.5y=2.3
-0.1y=2.3-2.6
y = dfrac− 0.3− 0.1
y=3
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(ii) s-t=3 ⟶ (1)
s t
+ = 6 ⟶ (2)
3 2
समीकरण (1) से, s=t+3
‘s’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
t+3 t
→ + =6
3 2
2t + 6 + 3t
=6
6
5t+6=36
5t=36-6
t=6
‘t’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
s-6=3
s=3+6
s=9
अतः s=9 और t=6
(iii) 3x-y=3 ⟶ (1)
9x-3y=9 ⟶ (2)
समीकरण (1) से,
3x=3+y
3+y
x=
3
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→9 ( )
3+y
3
− 3y = 9
3(3 + y) − 3y = 9
9+3y-3y=9
9=9
अतः रैिखक यु म के अनंत हल है।
(iv) 0.2x+0.3y=1.3 ⟶ (1)
0.4x+0.5y=2.3 ⟶ (2)
समीकरण (1) से,
0.2x=1.3-0.3y
1.3 0.3y
x= −
0.2 0.2
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
0.4 ( 1.3
0.2
−
0.3y
0.2 ) + 0.5y = 2.3
2.6-0.6y+0.5y=2.3
-0.1y=2.3-2.6
y = dfrac− 0.3− 0.1
y=3
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
0.2x+0.9=1.3
0.2x=0.4
0.4
x=
0.2
x=2
अतः x=2 और y=3
(v) √2x + √3y = 0 ⟶ (1)
√3x − √8y = 0 ⟶ (2)
समीकरण (2) से,
→ √3x = √8
√
8
x= y
3
‘x’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
t+3 t
+ =6
3 2
√8
√2. y + √3y = 0
√3
√16y + 3y
=0
√3
4y+3y=0
7y=0
y=0
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
√2x + 0 = 0
x=0
s=9
अतः x=0 और y=0
3x 5y
(vi) − = −2
2 3
9x − 10y
= −2
6
9x-10y=-12 ⟶ (1)
x y 13
+ =
3 2 6
2x + 3y 13
=
6 6
s t
+ = 6 ⟶ (2)
3 2
समीकरण (1) से,
9x=-12+10y
Page 13 of 49
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
0.2x+0.9=1.3
0.2x=0.4
0.4
x=
0.2
x=2
अतः x=2 और y=3
(v) √2x + √3y = 0 ⟶ (1)
√3x − √8y = 0 ⟶ (2)
समीकरण (2) से,
→ √3x = √8
√
8
x= y
3
‘x’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
t+3 t
+ =6
3 2
√8
√2. y + √3y = 0
√3
√16y + 3y
=0
√3
4y+3y=0
7y=0
y=0
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
√2x + 0 = 0
x=0
s=9
अतः x=0 और y=0
3x 5y
(vi) − = −2
2 3
9x − 10y
= −2
6
9x-10y=-12 ⟶ (1)
x y 13
+ =
3 2 6
2x + 3y 13
=
6 6
s t
+ = 6 ⟶ (2)
3 2
समीकरण (1) से,
9x=-12+10y
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Page 15
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
− 12 + 10y
x=
9
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
2
( − 12 + 10y
9 ) + 3y = 13
− 24 + 20y + 27y
= 13
9
47y=117+24
141
y=
47
y=3
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
2x + (3 × 3) = 13
2x=13-9
4
x=
2
x=2
अतः x=2 और y=3
Page : 59 , Block Name : प्र नावली – 3.3
Q2 2x+3y=11 और 2x-4y=-24 को हल कीिजए और इससे m का वह मान ात कीिजए िजसके िलए y=mx+3 हो
Answer. 2x+3y=11
2x=11-3y
11 − 3y
x= ⟶ (1)
2
2x-4y=-24
x-2y=-12
समीकरण (1) से, ‘x’ का मान रखने पर,
11 − 3y
− 2y = − 12
2
11-3y-4y=-24
11-7y=-24
7y=24+11
y=5
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
11 − 3 × 5
x=
2
11 − 15
x=
2
−4
x=
2
x=-2
अतः x=-2 और y=5
Page : 59 , Block Name : प्र नावली – 3.3
Page 14 of 49
− 12 + 10y
x=
9
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
2
( − 12 + 10y
9 ) + 3y = 13
− 24 + 20y + 27y
= 13
9
47y=117+24
141
y=
47
y=3
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
2x + (3 × 3) = 13
2x=13-9
4
x=
2
x=2
अतः x=2 और y=3
Page : 59 , Block Name : प्र नावली – 3.3
Q2 2x+3y=11 और 2x-4y=-24 को हल कीिजए और इससे m का वह मान ात कीिजए िजसके िलए y=mx+3 हो
Answer. 2x+3y=11
2x=11-3y
11 − 3y
x= ⟶ (1)
2
2x-4y=-24
x-2y=-12
समीकरण (1) से, ‘x’ का मान रखने पर,
11 − 3y
− 2y = − 12
2
11-3y-4y=-24
11-7y=-24
7y=24+11
y=5
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
11 − 3 × 5
x=
2
11 − 15
x=
2
−4
x=
2
x=-2
अतः x=-2 और y=5
Page : 59 , Block Name : प्र नावली – 3.3
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
Q3 िन न सम याओ म रैिखक समीकरण यु म बनाइए और उनके हल प्रित थापन िविध ारा ात कीिजए:
(i) दो सं याओं का अंतर 26 है और एक सं या दूसरी सं या की तीन गुना है। उ ह ात कीिजए।
(ii) दो संपरू क कोणों म बड़ा कोण छोटे कोण से 18 िडग्री अिधक है। उ ह ात कीिजए।
(iii) एक िक्रकेट टीम के कोच ने 7 ब ले तथा 6 गद Rs.3800 म खरीदी। बाद म, उसने 3 ब ले तथा 5 गद म Rs.1750 खरीदी।
प्र येक ब ले और प्र येक गद का मू य ात कीिजए।
(iv) एक नगर म टै सी के भाड़े म एक िनयत भाड़े के अितिर त चली गई दूरी पर भाड़ा सि मिलत िकया जाता है। 10km दूरी के िलए
भाड़ा Rs.105 है तथा 15km के िलए भाड़ा Rs.155 है। िनयत भाड़ा तथा प्रित भाड़ा या है? एक यि त को 25km यात्रा करने
के िलए िकतना भाड़ा देना होगा?
9
(v) यिद िकसी िभ न के अंश और दोनों म 2 जोड़ िदया जाए, तो वह हो जाती है। यिद अंश और हर दोनों म 3 जोड़ िदया जाए, तो
11
5
वह हो जाती है। वह िभ न ात कीिजए।
6
(vi) पाँच वष बाद जैकब की आयु उसके पुतर् की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वष पूव जैकब की आयु उसके पुतर् की आयु की
सात गुनी थी। उनकी वतमान आयु या है?
Answer. (i) माना एक सं या x और दूसरी सं या y है।
अतः प्र नानुसार x-y=26 ⟶ (1)
और x = 3y ⟶ (2)
2x-4y=-24
x-2y=-12
समीकरण (1) व (2)से, ‘x’
3y-y=26
2y=26
26
y=
2
y=13
‘y’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→ x = 3 × 13 = 39
अतः पहली सं या 39 और दूसरी सं या 13 है।
(ii) माना बड़ा कोण x और छोटे कोण y है।
अतः प्र नानुसार x = y + 18 ⟶ (1)
दोनों संपरू क कोणों है, इसिलए
x+y=180
समीकरण (1) से ‘x’ का मान रखने पर,
y+18+y=18
2y=180-18
162
y=
2
y=81
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
x=81+18=99
अतः बड़ा कोण 99 और छोटे कोण 81 है।
(iii) माना एक ब ले का मू य Rs.x और एक गद का मू य Rs.y है।
अतः प्र नानुसार 7x+6y=3800 ⟶ (1)
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Q3 िन न सम याओ म रैिखक समीकरण यु म बनाइए और उनके हल प्रित थापन िविध ारा ात कीिजए:
(i) दो सं याओं का अंतर 26 है और एक सं या दूसरी सं या की तीन गुना है। उ ह ात कीिजए।
(ii) दो संपरू क कोणों म बड़ा कोण छोटे कोण से 18 िडग्री अिधक है। उ ह ात कीिजए।
(iii) एक िक्रकेट टीम के कोच ने 7 ब ले तथा 6 गद Rs.3800 म खरीदी। बाद म, उसने 3 ब ले तथा 5 गद म Rs.1750 खरीदी।
प्र येक ब ले और प्र येक गद का मू य ात कीिजए।
(iv) एक नगर म टै सी के भाड़े म एक िनयत भाड़े के अितिर त चली गई दूरी पर भाड़ा सि मिलत िकया जाता है। 10km दूरी के िलए
भाड़ा Rs.105 है तथा 15km के िलए भाड़ा Rs.155 है। िनयत भाड़ा तथा प्रित भाड़ा या है? एक यि त को 25km यात्रा करने
के िलए िकतना भाड़ा देना होगा?
9
(v) यिद िकसी िभ न के अंश और दोनों म 2 जोड़ िदया जाए, तो वह हो जाती है। यिद अंश और हर दोनों म 3 जोड़ िदया जाए, तो
11
5
वह हो जाती है। वह िभ न ात कीिजए।
6
(vi) पाँच वष बाद जैकब की आयु उसके पुतर् की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वष पूव जैकब की आयु उसके पुतर् की आयु की
सात गुनी थी। उनकी वतमान आयु या है?
Answer. (i) माना एक सं या x और दूसरी सं या y है।
अतः प्र नानुसार x-y=26 ⟶ (1)
और x = 3y ⟶ (2)
2x-4y=-24
x-2y=-12
समीकरण (1) व (2)से, ‘x’
3y-y=26
2y=26
26
y=
2
y=13
‘y’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→ x = 3 × 13 = 39
अतः पहली सं या 39 और दूसरी सं या 13 है।
(ii) माना बड़ा कोण x और छोटे कोण y है।
अतः प्र नानुसार x = y + 18 ⟶ (1)
दोनों संपरू क कोणों है, इसिलए
x+y=180
समीकरण (1) से ‘x’ का मान रखने पर,
y+18+y=18
2y=180-18
162
y=
2
y=81
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
x=81+18=99
अतः बड़ा कोण 99 और छोटे कोण 81 है।
(iii) माना एक ब ले का मू य Rs.x और एक गद का मू य Rs.y है।
अतः प्र नानुसार 7x+6y=3800 ⟶ (1)
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
3x+5y=1750 ⟶ (2)
समीकरण (1) से,
7x=3800-6y
3800 − 6y
x= ⟶ (3)
7
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
3 ( 3800 − 6y
7 ) + 5y = 1750
11400 − 18y + 35y
= 1750
7
17y=12250-11400
850
y=
17
y=50
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
3800 − (6 × 50)
x=
7
3800 − 300
x=
7
3500
x=
7
x=500
अतः एक ब ले का मू य Rs.500 और एक गद का मू य Rs.50 है।
(iv) माना िनयत भाड़ा Rs.x और प्रित िकमी भाड़ा का मू य Rs.y है।
अतः प्र नानुसार x+10y=105 ⟶ (1)
x+15y=155 ⟶ (2)
समीकरण (1) से, x = 105 − 10y ⟶ (3)
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
105-10y+15y=155
5y=155-105
50
y=
5
850
y=
17
y=10
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
x = 105 − (10 × 10)
x=105-100
x=5
अतः िनयत भाड़ा Rs.5 और प्रित िकमी भाड़ा का मू य Rs.10 है।
25 िकमी का भाड़ा =x+25y=5 + (25 × 10)=Rs.255
(v) माना अंश = x
x
और हर = y, पिरमय सं या =
y
अतः प्र नानुसार
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3x+5y=1750 ⟶ (2)
समीकरण (1) से,
7x=3800-6y
3800 − 6y
x= ⟶ (3)
7
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
3 ( 3800 − 6y
7 ) + 5y = 1750
11400 − 18y + 35y
= 1750
7
17y=12250-11400
850
y=
17
y=50
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
3800 − (6 × 50)
x=
7
3800 − 300
x=
7
3500
x=
7
x=500
अतः एक ब ले का मू य Rs.500 और एक गद का मू य Rs.50 है।
(iv) माना िनयत भाड़ा Rs.x और प्रित िकमी भाड़ा का मू य Rs.y है।
अतः प्र नानुसार x+10y=105 ⟶ (1)
x+15y=155 ⟶ (2)
समीकरण (1) से, x = 105 − 10y ⟶ (3)
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
105-10y+15y=155
5y=155-105
50
y=
5
850
y=
17
y=10
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
x = 105 − (10 × 10)
x=105-100
x=5
अतः िनयत भाड़ा Rs.5 और प्रित िकमी भाड़ा का मू य Rs.10 है।
25 िकमी का भाड़ा =x+25y=5 + (25 × 10)=Rs.255
(v) माना अंश = x
x
और हर = y, पिरमय सं या =
y
अतः प्र नानुसार
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
x+2 9
=
y+2 11
11x+22=9y+18
11x-9y=18-22
11x=9y-4
9y − 4
x= ⟶ (1)
11
x+3 5
पुनः प्र नानुसार, =
y+3 6
6x+18=5y+15
6x=5y+15-18
6x=5y-3
समीकरण (1) से, x का मान रखने पर,
→6
( )
9y − 4
11
− 5y = − 3
54y-24-55y=-33
-y=-33+24
-y=-9
y=9
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
9×9−4
x=
11
77
x=
11
x=7
x 7
अतः = =
y 9
(vi) माना जैकब की वतमान आयु x वष और पुतर् की वतमान आयु y वष है।
अतः प्र नानुसार 5 वष बाद
जैकब की आयु =(x+5) वष
पुतर् की आयु =(y+5) वष
x + 5 = 3(y + 5)
x=3y+15-5
x=3y+10 ⟶ (1)
5 वष पूव,
जैकब की आयु =(x-5) वष
पुतर् की आयु =(y-5) वष
x − 5y = 7(y − 5)
x-5=7y-35
समीकरण (1) से, का मान रखने पर,
3y + 10 − 5 = 7y − 35
7y-3y=35+5
4y=40
40
y=
4
y=10
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x+2 9
=
y+2 11
11x+22=9y+18
11x-9y=18-22
11x=9y-4
9y − 4
x= ⟶ (1)
11
x+3 5
पुनः प्र नानुसार, =
y+3 6
6x+18=5y+15
6x=5y+15-18
6x=5y-3
समीकरण (1) से, x का मान रखने पर,
→6
( )
9y − 4
11
− 5y = − 3
54y-24-55y=-33
-y=-33+24
-y=-9
y=9
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
9×9−4
x=
11
77
x=
11
x=7
x 7
अतः = =
y 9
(vi) माना जैकब की वतमान आयु x वष और पुतर् की वतमान आयु y वष है।
अतः प्र नानुसार 5 वष बाद
जैकब की आयु =(x+5) वष
पुतर् की आयु =(y+5) वष
x + 5 = 3(y + 5)
x=3y+15-5
x=3y+10 ⟶ (1)
5 वष पूव,
जैकब की आयु =(x-5) वष
पुतर् की आयु =(y-5) वष
x − 5y = 7(y − 5)
x-5=7y-35
समीकरण (1) से, का मान रखने पर,
3y + 10 − 5 = 7y − 35
7y-3y=35+5
4y=40
40
y=
4
y=10
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
x = (3 × 10) + 10
x=40
अतः जैकब की वतमान आयु 40 वष और पुतर् की वतमान आयु 10 वष है।
Page : 60 , Block Name : प्र नावली – 3.3
प्र नावली – 3.4
Q1 िन न समीकरणों के यु म को िवलोपन िविध तथा प्रित थापन िविध से हल कीिजए। कौन-सी िविध अिधक उपयु त है?
(i) x+y=5 और 2x-3y=4 (ii) 3x+4y=10 और 2x-2y=2
(iii) 3x-5y-4=0 और 9x=2y+7
x 2y y
(iv) + = − 1 और x − = 3
2 3 3
Answer. (i) िवलोपन िविध:
x+y=5 ⟶ (1)
2x-3y=4 ⟶ (2)
समीकरण (1) को गुणा करने पर,
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
6
x+ =5
5
6
x=5−
5
19
x=
5
19 6
अतः x = और y =
5 5
प्रित थापन िविध :
समीकरण (1) से,x=5-y ⟶ (3)
समीकरण (2) व (3) से,
2(5 − y) − 3y = 4
10-2y-3y=4
-5y=4-10
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‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
x = (3 × 10) + 10
x=40
अतः जैकब की वतमान आयु 40 वष और पुतर् की वतमान आयु 10 वष है।
Page : 60 , Block Name : प्र नावली – 3.3
प्र नावली – 3.4
Q1 िन न समीकरणों के यु म को िवलोपन िविध तथा प्रित थापन िविध से हल कीिजए। कौन-सी िविध अिधक उपयु त है?
(i) x+y=5 और 2x-3y=4 (ii) 3x+4y=10 और 2x-2y=2
(iii) 3x-5y-4=0 और 9x=2y+7
x 2y y
(iv) + = − 1 और x − = 3
2 3 3
Answer. (i) िवलोपन िविध:
x+y=5 ⟶ (1)
2x-3y=4 ⟶ (2)
समीकरण (1) को गुणा करने पर,
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
6
x+ =5
5
6
x=5−
5
19
x=
5
19 6
अतः x = और y =
5 5
प्रित थापन िविध :
समीकरण (1) से,x=5-y ⟶ (3)
समीकरण (2) व (3) से,
2(5 − y) − 3y = 4
10-2y-3y=4
-5y=4-10
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
6
y=
5
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
6 19
x=5− =
5 5
अतः प्रित थापन िविध उपयु त है
(ii) 3x + 4y = 10 ⟶ (1) [ िवलोपन िविध: ]
2x-2y=2 ⟶ (2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करके समीकरण मे जोड़ने पर
14
x=
7
‘x’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
3 × 2 + 4y = 10
4y=10-6
4
y=
4
y=1
अतः x=2 और y=1
प्रित थापन िविध:
समीकरण (1) से, 3x=10-4y
10 − 4y
x= ⟶ (3)
3
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→2
( 10 − 4y
3 ) − 2y = 2
20 − 8y − 6y = 2 × 3
-14y=6-20
− 121
y=
− 14
y=1
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
10 − 4y 10 − 4
→x= =
3 3
x=2
अतः x=2 और y=1
अतः प्रित थापन िविध उपयु त है
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6
y=
5
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
6 19
x=5− =
5 5
अतः प्रित थापन िविध उपयु त है
(ii) 3x + 4y = 10 ⟶ (1) [ िवलोपन िविध: ]
2x-2y=2 ⟶ (2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करके समीकरण मे जोड़ने पर
14
x=
7
‘x’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
3 × 2 + 4y = 10
4y=10-6
4
y=
4
y=1
अतः x=2 और y=1
प्रित थापन िविध:
समीकरण (1) से, 3x=10-4y
10 − 4y
x= ⟶ (3)
3
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→2
( 10 − 4y
3 ) − 2y = 2
20 − 8y − 6y = 2 × 3
-14y=6-20
− 121
y=
− 14
y=1
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
10 − 4y 10 − 4
→x= =
3 3
x=2
अतः x=2 और y=1
अतः प्रित थापन िविध उपयु त है
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
(iii) 3x-5y-4=0 [ िवलोपन िविध: ]
3x-5y=4 ⟶ (1)
9x-2y=7 ⟶ (2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करके (2) मे से घटाने पर
−5
y=
13
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
3x − 5 ( )−5
13
=4
25
3x + =4
13
25 52 − 25
3x = 4 − =
13 13
27 9
x= × 13 =
3 13
9 −5
अतः x = और y =
13 13
प्रित थापन िविध :
4 + 5y
समीकरण (1) से, x = ⟶ (3)
3
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→9 ( )
4 + 5y
3
− 2y = 7
12+15y-2y=7
12+15y-2y=7
13y=-5
−5
y=
13
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
5×5
4−
13 52 − 25
→x= =
3 3 × 13
27
x=
39
9
x=
13
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(iii) 3x-5y-4=0 [ िवलोपन िविध: ]
3x-5y=4 ⟶ (1)
9x-2y=7 ⟶ (2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करके (2) मे से घटाने पर
−5
y=
13
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
3x − 5 ( )−5
13
=4
25
3x + =4
13
25 52 − 25
3x = 4 − =
13 13
27 9
x= × 13 =
3 13
9 −5
अतः x = और y =
13 13
प्रित थापन िविध :
4 + 5y
समीकरण (1) से, x = ⟶ (3)
3
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→9 ( )
4 + 5y
3
− 2y = 7
12+15y-2y=7
12+15y-2y=7
13y=-5
−5
y=
13
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
5×5
4−
13 52 − 25
→x= =
3 3 × 13
27
x=
39
9
x=
13
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Page 22
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
9 −5
अतः x = और y =
13 13
अतः प्रित थापन िविध उपयु त है
x 2y
(iv) + = − 1 [ िवलोपन िविध: ]
2 3
→ 3x + 4y = − 6 ⟶ (1)
y
x− =3
3
3x-y=9 ⟶ (2)
समीकरण (2) को 4 से गुणा करके (1) मे जोड़ने पर,
x=2
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
6-y=9
-y=9-6
y=-3
अतः x=2 और y=-3
प्रित थापन िविध:
समीकरण (2) से, y = 3x − 9 ⟶ (3)
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
y=3×2−9
y=-3
अतः x=2 और y=-3
अतः प्रित थापन िविध उपयु त है
Page : 63 , Block Name : प्र नावली – 3.4
Q2 िन न सम याओं म रैिखक समीकरणों के यु म बनाइए और उनके हल ( यिद उनका अि त व हो ) िवलोपन िविध से ात कीिजए:
1
(i) यिद हम अंश म 1 जोड़ दे तथा हर म से 1 घटा दे, तो िभ न 1 म बदल जाती है। यिद हर म 1 जोड़ दे, तो यह हो जाती है। वह
2
िभ न या है?
(ii) पाँच वष पूव नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वष प चात, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुना हो जाएगी।
नूरी और सोनू की आयु िकतनी है।
(iii) दो अंको की सं या के अंको का योग 9 है इस सं या का नौ गुना, सं या के अंको को पलटने से बनी सं या का दो गुना है। वह
सं या ात कीिजए।
(iv) मीना Rs.2000 िनकालने के िलए एक बक गई। उसने खजांची से Rs.50 तथा Rs.100 के नोट देने के िलए कहा। मीना ने
कु ल 25 नोट प्रा त िकए। ात कीिजए िक उसने Rs.50 और Rs.100 के िकतने-िकतने नोट प्रा त िकए।
(v) िकराए पर पु तके देने वाले िकसी पु तकालय का प्रथम तीन िदनों का िनयत िकराया है तथा उसके बाद प्र येक अितिर त िदन
का अलग िकराया है। सिरता ने सात िदनों तक एक पु तक रखने के िलए Rs.27 अदा िकए, जबिक सूसी ने एक पु तक पाँच िदनों
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9 −5
अतः x = और y =
13 13
अतः प्रित थापन िविध उपयु त है
x 2y
(iv) + = − 1 [ िवलोपन िविध: ]
2 3
→ 3x + 4y = − 6 ⟶ (1)
y
x− =3
3
3x-y=9 ⟶ (2)
समीकरण (2) को 4 से गुणा करके (1) मे जोड़ने पर,
x=2
‘x’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
6-y=9
-y=9-6
y=-3
अतः x=2 और y=-3
प्रित थापन िविध:
समीकरण (2) से, y = 3x − 9 ⟶ (3)
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
y=3×2−9
y=-3
अतः x=2 और y=-3
अतः प्रित थापन िविध उपयु त है
Page : 63 , Block Name : प्र नावली – 3.4
Q2 िन न सम याओं म रैिखक समीकरणों के यु म बनाइए और उनके हल ( यिद उनका अि त व हो ) िवलोपन िविध से ात कीिजए:
1
(i) यिद हम अंश म 1 जोड़ दे तथा हर म से 1 घटा दे, तो िभ न 1 म बदल जाती है। यिद हर म 1 जोड़ दे, तो यह हो जाती है। वह
2
िभ न या है?
(ii) पाँच वष पूव नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वष प चात, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुना हो जाएगी।
नूरी और सोनू की आयु िकतनी है।
(iii) दो अंको की सं या के अंको का योग 9 है इस सं या का नौ गुना, सं या के अंको को पलटने से बनी सं या का दो गुना है। वह
सं या ात कीिजए।
(iv) मीना Rs.2000 िनकालने के िलए एक बक गई। उसने खजांची से Rs.50 तथा Rs.100 के नोट देने के िलए कहा। मीना ने
कु ल 25 नोट प्रा त िकए। ात कीिजए िक उसने Rs.50 और Rs.100 के िकतने-िकतने नोट प्रा त िकए।
(v) िकराए पर पु तके देने वाले िकसी पु तकालय का प्रथम तीन िदनों का िनयत िकराया है तथा उसके बाद प्र येक अितिर त िदन
का अलग िकराया है। सिरता ने सात िदनों तक एक पु तक रखने के िलए Rs.27 अदा िकए, जबिक सूसी ने एक पु तक पाँच िदनों
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
तक रखने के Rs.21 अदा िकए। िनयत िकराया तथा प्र येक अितिर त िदन का िकराया ात कीिजए।
Answer. (i) माना अंश = x
और हर = y
x
अतः िभ न =
y
x+1
प्र नानुसार, =1
y+1
x+1=y-1
x-y=-1-1
x-y=-2 ⟶ (1)
x 1
पुनः प्र नानुसार, =
y+1 2
2x=y+1
2x-y=1 ⟶ (2)
समीकरण (1) को (2) मे से घटाने पर,
‘x’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
3-y=-2
-y=-5
y=5
अतः अंश, x=3 और हर, y=5
3
अतः िभ न =
5
(ii) माना नूरी की वतमान आयु x वष और सोनू की वतमान आयु y वष है।
5 वष पूव, नूरी की आयु = (x-5) वष
और सोनू की आयु = (y-5) वष
प्र नानुसार, x+10=2(y + 10)
x+10=2y+20
x-2y=20-10
x-2y=10 ⟶ (2)
x-y=-2 ⟶ (1)
समीकरण (1) को (2) मे से घटाने पर,
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तक रखने के Rs.21 अदा िकए। िनयत िकराया तथा प्र येक अितिर त िदन का िकराया ात कीिजए।
Answer. (i) माना अंश = x
और हर = y
x
अतः िभ न =
y
x+1
प्र नानुसार, =1
y+1
x+1=y-1
x-y=-1-1
x-y=-2 ⟶ (1)
x 1
पुनः प्र नानुसार, =
y+1 2
2x=y+1
2x-y=1 ⟶ (2)
समीकरण (1) को (2) मे से घटाने पर,
‘x’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
3-y=-2
-y=-5
y=5
अतः अंश, x=3 और हर, y=5
3
अतः िभ न =
5
(ii) माना नूरी की वतमान आयु x वष और सोनू की वतमान आयु y वष है।
5 वष पूव, नूरी की आयु = (x-5) वष
और सोनू की आयु = (y-5) वष
प्र नानुसार, x+10=2(y + 10)
x+10=2y+20
x-2y=20-10
x-2y=10 ⟶ (2)
x-y=-2 ⟶ (1)
समीकरण (1) को (2) मे से घटाने पर,
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
‘y’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
x-40=10
x=10+40
x=50
अतः नूरी की वतमान आयु 50 वष और सोनू की वतमान आयु 20 वष है।
(iii) माना इकाई का अंक x और दहाई का अंक y है।
इसिलए सं या = 10y+x
प्र नानुसार,x+y=9 ⟶ (1)
अंको को पलटने पर प्रा त सं या = 10x + y
प्र नानुसार, 9(10y + x) = 2(10x + y)
90y+9x=20x+2y
20x-9x=-2y+90y
11x-88y=0
x-8y=0 ⟶ (2)
समीकरण (2) को (1) मे से घटाने पर,
y=1
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
x+1=9
x=9-1
x=8
इसिलए सं या = 10y + x = 10 × 1 + 8 = 18
(v) माना िनयत िकराया Rs.x तथा प्र येक अितिर त िदन का िकराया Rs.y है।
सात िदनों तक एक पु तक रखने के िलए = Rs.27
इसिलए, x+4y=27 ⟶ (1)
पाँच िदनों तक एक पु तक रखने के िलए = Rs.21
इसिलए, x+2y=21 ⟶ (2)
समीकरण (2) को (1) मे से घटाने पर,
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‘y’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
x-40=10
x=10+40
x=50
अतः नूरी की वतमान आयु 50 वष और सोनू की वतमान आयु 20 वष है।
(iii) माना इकाई का अंक x और दहाई का अंक y है।
इसिलए सं या = 10y+x
प्र नानुसार,x+y=9 ⟶ (1)
अंको को पलटने पर प्रा त सं या = 10x + y
प्र नानुसार, 9(10y + x) = 2(10x + y)
90y+9x=20x+2y
20x-9x=-2y+90y
11x-88y=0
x-8y=0 ⟶ (2)
समीकरण (2) को (1) मे से घटाने पर,
y=1
‘y’ का मान समीकरण (1) मे रखने पर,
x+1=9
x=9-1
x=8
इसिलए सं या = 10y + x = 10 × 1 + 8 = 18
(v) माना िनयत िकराया Rs.x तथा प्र येक अितिर त िदन का िकराया Rs.y है।
सात िदनों तक एक पु तक रखने के िलए = Rs.27
इसिलए, x+4y=27 ⟶ (1)
पाँच िदनों तक एक पु तक रखने के िलए = Rs.21
इसिलए, x+2y=21 ⟶ (2)
समीकरण (2) को (1) मे से घटाने पर,
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
y=3
‘y’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→ x + (2 × 3) = 21
x=21-6
x=15
इसिलए, िनयत िकराया Rs.15 तथा प्र येक अितिर त िदन का िकराया Rs.3 है।
Page : 64 , Block Name : प्र नावली – 3.4
प्र नावली – 3.5
Q1 िन न रैिखक समीकरणो के यु मो म से िकसका एक अि तीय हल है, िकसका कोई हल नही ं है या िकसके आपरीिमत प से अनेक
हल है। अिदूतीय हल की ि थित म, उसे वज-ृ गुणन िविध से ात कीिजए।
(i) x-3y-3=0, 3x-9y-2=0 (ii) 2x+y=5, 3x+2y=8
(iii) 3x-5y=20, 6x-10y=40 (iv) x-3y-7=0, 3x-3y-15=0
Answer. (i) x-3y-3=0 ⟶ (1)
3x-9y-2=0 ⟶ (2)
a1 1 b1 −3 1 c1 − 3 3
= , = = और = =
a2 3 b2 −9 3 c2 − 2 2
a1 1 b1 c1
= , ≠ , अतः समीकरण यु म के कोई हल नही ं है
a2 3 b2 c2
(ii) 2x+y-5=0 ⟶ (1)
3x+2y-8=0 ⟶ (2)
a1 2 b1 1 c1 −5 5
= ≠ = और = =
a2 3 b2 2 c2 −8 8
a1 b1 c1
≠ ≠ , अतः समीकरण यु म का अि तीय हल है
a2 b2 c2
वज-ृ गुणन िविध से,
x y 1 x
= = ( )
1( − 8 + 10) ( − 5) × 3 − (8)(2) 2 × 2 − 3 × 1 − 8 + 10
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y=3
‘y’ का मान समीकरण (2) मे रखने पर,
→ x + (2 × 3) = 21
x=21-6
x=15
इसिलए, िनयत िकराया Rs.15 तथा प्र येक अितिर त िदन का िकराया Rs.3 है।
Page : 64 , Block Name : प्र नावली – 3.4
प्र नावली – 3.5
Q1 िन न रैिखक समीकरणो के यु मो म से िकसका एक अि तीय हल है, िकसका कोई हल नही ं है या िकसके आपरीिमत प से अनेक
हल है। अिदूतीय हल की ि थित म, उसे वज-ृ गुणन िविध से ात कीिजए।
(i) x-3y-3=0, 3x-9y-2=0 (ii) 2x+y=5, 3x+2y=8
(iii) 3x-5y=20, 6x-10y=40 (iv) x-3y-7=0, 3x-3y-15=0
Answer. (i) x-3y-3=0 ⟶ (1)
3x-9y-2=0 ⟶ (2)
a1 1 b1 −3 1 c1 − 3 3
= , = = और = =
a2 3 b2 −9 3 c2 − 2 2
a1 1 b1 c1
= , ≠ , अतः समीकरण यु म के कोई हल नही ं है
a2 3 b2 c2
(ii) 2x+y-5=0 ⟶ (1)
3x+2y-8=0 ⟶ (2)
a1 2 b1 1 c1 −5 5
= ≠ = और = =
a2 3 b2 2 c2 −8 8
a1 b1 c1
≠ ≠ , अतः समीकरण यु म का अि तीय हल है
a2 b2 c2
वज-ृ गुणन िविध से,
x y 1 x
= = ( )
1( − 8 + 10) ( − 5) × 3 − (8)(2) 2 × 2 − 3 × 1 − 8 + 10
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
y 1
=
− 15 + 16 4−3
x 1
= ,
2 1
y 1
=
1 1
x=2 और y=1
(iii) 3x-5y=20
3x-5y-20=0 ⟶ (1)
6x-10y=40
6x-10y-40=0 ⟶ (2)
a1 3 1 b1 −5 1 c1 − 20 1
= = , = = और = =
a2 6 2 b2 − 10 2 c2 − 40 2
a1 b1 c1
= = , अतः समीकरण यु म के अनेक हल है।
a2 b2 c2
(iv) x-3y-7=0 ⟶ (1)
3x-3y-15=0 ⟶ (2)
a1 1 b1 −3 1
= , = =
a2 3 b2 3 1
a1 b1
≠ , अतः समीकरण यु म का अि तीय हल है
a2 b2
वज-ृ गुणन िविध से,
x y 1
= =
[( − 3)( − 15)] ( − 7) × 3 − (1 × ( − 15)) 1 × ( − 3) − 3( − 3)
x y 1
= =
45 − 21 − 21 + 15 −3 + 9
x y 1
= =
24 − 6 6
x 1
=
24 6
24
x= =4
6
y 1
=
−6 6
−6
y= = −1
6
अतः x=4 और y=-1
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y 1
=
− 15 + 16 4−3
x 1
= ,
2 1
y 1
=
1 1
x=2 और y=1
(iii) 3x-5y=20
3x-5y-20=0 ⟶ (1)
6x-10y=40
6x-10y-40=0 ⟶ (2)
a1 3 1 b1 −5 1 c1 − 20 1
= = , = = और = =
a2 6 2 b2 − 10 2 c2 − 40 2
a1 b1 c1
= = , अतः समीकरण यु म के अनेक हल है।
a2 b2 c2
(iv) x-3y-7=0 ⟶ (1)
3x-3y-15=0 ⟶ (2)
a1 1 b1 −3 1
= , = =
a2 3 b2 3 1
a1 b1
≠ , अतः समीकरण यु म का अि तीय हल है
a2 b2
वज-ृ गुणन िविध से,
x y 1
= =
[( − 3)( − 15)] ( − 7) × 3 − (1 × ( − 15)) 1 × ( − 3) − 3( − 3)
x y 1
= =
45 − 21 − 21 + 15 −3 + 9
x y 1
= =
24 − 6 6
x 1
=
24 6
24
x= =4
6
y 1
=
−6 6
−6
y= = −1
6
अतः x=4 और y=-1
Page : 69 , Block Name : प्र नावली – 3.5
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
Q2 (i) a और b के िकन मानो के िलए, िन न रैिखक समीकरणो के यु म के आपरीिमत प से अनेक हल होंगे?
2x+3y=7
(a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
(ii) k के िकस मान के िलए, िन न रैिखक समीकरणो के यु म का कोई हल नही ं है?
3x+y=1
(2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1
Answer. (i)2x+3y-7=0 ⟶ (1)
(a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
(a − b)x + (a + b)y − (3a + b − 2) = 0 ⟶ (2)
दी गई समीकरण यु म के अनेक हल होंगे यिद
a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2
2 3 −7
= =
a−b a+b− (3a + b − 2)
2 3 3 7
= और =
a−b a+b a+b 3a + b − 2
2a+2b=3a-3b और 9a+3b-6=7a+7b
a=5b और 2a=4b+6
2(5b) = 4b + 6
10b-4b=6
6b=6
b=1
और a=5b
a=5×1=5
अतः a=5 और b=1
(ii) 3x+y=1
3x+y-1=0 ⟶ (2)
(2k − 1)x + (k − 1)y − (2k + 1) = b ⟶ (2)
दी गई समीकरण यु म का कोई हल नही ं है, यिद
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
3 1 1 −1
= और ≠
2k − 1 k−1 k−1 − (2k + 1)
3 1 1 1
= और ≠
2k − 1 k − 1 k − 1 2k + 1
3k-3=2k-1
k=3-1
k=2
और k − 1 ≠ 2k + 1
k≠ −2
अतः k=2 के िलए समीकरण यु म का कोई हल नही ं है
Page : 70 , Block Name : प्र नावली – 3.5
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Q2 (i) a और b के िकन मानो के िलए, िन न रैिखक समीकरणो के यु म के आपरीिमत प से अनेक हल होंगे?
2x+3y=7
(a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
(ii) k के िकस मान के िलए, िन न रैिखक समीकरणो के यु म का कोई हल नही ं है?
3x+y=1
(2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1
Answer. (i)2x+3y-7=0 ⟶ (1)
(a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
(a − b)x + (a + b)y − (3a + b − 2) = 0 ⟶ (2)
दी गई समीकरण यु म के अनेक हल होंगे यिद
a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2
2 3 −7
= =
a−b a+b− (3a + b − 2)
2 3 3 7
= और =
a−b a+b a+b 3a + b − 2
2a+2b=3a-3b और 9a+3b-6=7a+7b
a=5b और 2a=4b+6
2(5b) = 4b + 6
10b-4b=6
6b=6
b=1
और a=5b
a=5×1=5
अतः a=5 और b=1
(ii) 3x+y=1
3x+y-1=0 ⟶ (2)
(2k − 1)x + (k − 1)y − (2k + 1) = b ⟶ (2)
दी गई समीकरण यु म का कोई हल नही ं है, यिद
a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2
3 1 1 −1
= और ≠
2k − 1 k−1 k−1 − (2k + 1)
3 1 1 1
= और ≠
2k − 1 k − 1 k − 1 2k + 1
3k-3=2k-1
k=3-1
k=2
और k − 1 ≠ 2k + 1
k≠ −2
अतः k=2 के िलए समीकरण यु म का कोई हल नही ं है
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
Q3 िन न रैिखक समीकरणो के यु म को प्रित थापन एवं वज्र-गुणन िविधयों से हल कीिजए। िकस िविध को आप अिधक उपयु त
मानते है?
8x+5y=9
3x+2y=4
Answer. 8x+5y=9 ⟶ (1)
3x+2y=4(2)
समीकरणो (1) से,
8x=9-5y
9 − 5y
x= ⟶ (3)
8
समीकरण (2) मे ‘x’ का मान रखने पर,
3 ( )
9 − 5y
8
+ 2y = 4
27-15y+16y=32
y=32-27
y=5
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
9 − (5 × 5)
x=
8
− 16
x=
8
x=-2
अतः x=-2 और y=5
वज्र-गुणन िविध से,
8x+5y-9=0 ⟶ (1)
3x+2y-4=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
5( − 4) − 2( − 9) ( − 9)3 − ( − 4)8 (8 × 2) − (3 × 5)
x y 1
= =
− 20 + 18 − 27 + 32 16 − 15
x y 1
= =
−2 5 1
x 1
=
−2 1
x=-2
y 1
और =
5 1
y=5
अतः वज्र-गुणन िविध उपयु त है
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Q3 िन न रैिखक समीकरणो के यु म को प्रित थापन एवं वज्र-गुणन िविधयों से हल कीिजए। िकस िविध को आप अिधक उपयु त
मानते है?
8x+5y=9
3x+2y=4
Answer. 8x+5y=9 ⟶ (1)
3x+2y=4(2)
समीकरणो (1) से,
8x=9-5y
9 − 5y
x= ⟶ (3)
8
समीकरण (2) मे ‘x’ का मान रखने पर,
3 ( )
9 − 5y
8
+ 2y = 4
27-15y+16y=32
y=32-27
y=5
‘y’ का मान समीकरण (3) मे रखने पर,
9 − (5 × 5)
x=
8
− 16
x=
8
x=-2
अतः x=-2 और y=5
वज्र-गुणन िविध से,
8x+5y-9=0 ⟶ (1)
3x+2y-4=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
5( − 4) − 2( − 9) ( − 9)3 − ( − 4)8 (8 × 2) − (3 × 5)
x y 1
= =
− 20 + 18 − 27 + 32 16 − 15
x y 1
= =
−2 5 1
x 1
=
−2 1
x=-2
y 1
और =
5 1
y=5
अतः वज्र-गुणन िविध उपयु त है
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
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Q4 िन न सम याओं म रैिखक समीकरणो के यु म बनाइए और उनके हल ( यिद उनका अि त व हो ) िकसी बीजगिणतीय िविध से ात
कीिजए:
(i) एक छात्रावास के मािसक यय का भाग िनयत है तथा शेष इस पर िनभर करता है िक छात्र ने िकतने िदन भोजन िलया है। जब
एक िव ाथ A को, जो 20 िदन भोजन करता है, Rs.1000 छात्रावास के यय के िलए अदा करने पड़ते है, जबिक एक िव ाथ B
को, जो 26 िदन भोजन करता है छात्रावास के यय के िलए Rs.1180 अदा पड़ते है। िनयत यय और प्रितिदन के भोजन का मू य
ात कीिजए।
1 1
(ii) एक िभ न हो जाती है, जब उसके अंश से घटाया जाता है और वह हो जाती है, जब हर म 8 जोड़ िदया जाता है। वह िभ न
3 4
ात कीिजए।
(iii) यश ने एक टे ट म 40 अंक अिजत िकए, जब उसे प्र येक सही उ र पर 3 अंक िमले तथा अशु उ र पर 1 अंक की कटौती
की गई। यिद उसे सही उ र पर 4 अंक िमलते तथा अशु उ र पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अिजत करता। टे ट म िकतने
प्र न थे?
(iv) एक राजमाग पर दो थान A और B, 100km की दूरी पर है। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रार भ
करता है। यिद ये कारे िभ न-िभ न चालो से एक ही िदशा म चलती है, तो वे 5 घंटे प चात िमलती है। दोनों कारो की चाल ात
कीिजए।
(v) एक आयात का ेतर् फल 9 वग इकाई बढ़ा दी जाती है। यिद उसकी ल बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई
बढ़ा दी जाती है यिद हम ल बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो ेतर् फल 67 वग इकाई बढ़ जाती है। आयात की
िवमाए ात कीिजए।
Answer. (i) माना िनयत भाग = Rs.x
और प्रितिदन भोजन का मू य = Rs.y
अब, 20 िदन भोजन करने म यय = Rs.1000
x+20y=1000
x+20y-1000=0 ⟶ (1)
और, 26 िदन भोजन करने म यय = Rs.1180
x+26y=1180
x+26y-1180=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
20 × ( − 1180) − 26( − 1000) 1 × ( − 1000) − 1( − 1180) 1 × 26 − 1 × 20
x y 1
→ = =
− 23600 + 26000 − 1000 + 1180 26 − 20
x y 1
= =
2400 180 6
x 1 y 1
= और =
2400 6 180 6
x=400 और y=30
अतः िनयत यय Rs.400 और प्रितिदन भोजन का मू य Rs.30 है
(ii) माना िभ न का अंश = x
और िभ न का हर = y
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Q4 िन न सम याओं म रैिखक समीकरणो के यु म बनाइए और उनके हल ( यिद उनका अि त व हो ) िकसी बीजगिणतीय िविध से ात
कीिजए:
(i) एक छात्रावास के मािसक यय का भाग िनयत है तथा शेष इस पर िनभर करता है िक छात्र ने िकतने िदन भोजन िलया है। जब
एक िव ाथ A को, जो 20 िदन भोजन करता है, Rs.1000 छात्रावास के यय के िलए अदा करने पड़ते है, जबिक एक िव ाथ B
को, जो 26 िदन भोजन करता है छात्रावास के यय के िलए Rs.1180 अदा पड़ते है। िनयत यय और प्रितिदन के भोजन का मू य
ात कीिजए।
1 1
(ii) एक िभ न हो जाती है, जब उसके अंश से घटाया जाता है और वह हो जाती है, जब हर म 8 जोड़ िदया जाता है। वह िभ न
3 4
ात कीिजए।
(iii) यश ने एक टे ट म 40 अंक अिजत िकए, जब उसे प्र येक सही उ र पर 3 अंक िमले तथा अशु उ र पर 1 अंक की कटौती
की गई। यिद उसे सही उ र पर 4 अंक िमलते तथा अशु उ र पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अिजत करता। टे ट म िकतने
प्र न थे?
(iv) एक राजमाग पर दो थान A और B, 100km की दूरी पर है। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रार भ
करता है। यिद ये कारे िभ न-िभ न चालो से एक ही िदशा म चलती है, तो वे 5 घंटे प चात िमलती है। दोनों कारो की चाल ात
कीिजए।
(v) एक आयात का ेतर् फल 9 वग इकाई बढ़ा दी जाती है। यिद उसकी ल बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई
बढ़ा दी जाती है यिद हम ल बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो ेतर् फल 67 वग इकाई बढ़ जाती है। आयात की
िवमाए ात कीिजए।
Answer. (i) माना िनयत भाग = Rs.x
और प्रितिदन भोजन का मू य = Rs.y
अब, 20 िदन भोजन करने म यय = Rs.1000
x+20y=1000
x+20y-1000=0 ⟶ (1)
और, 26 िदन भोजन करने म यय = Rs.1180
x+26y=1180
x+26y-1180=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
20 × ( − 1180) − 26( − 1000) 1 × ( − 1000) − 1( − 1180) 1 × 26 − 1 × 20
x y 1
→ = =
− 23600 + 26000 − 1000 + 1180 26 − 20
x y 1
= =
2400 180 6
x 1 y 1
= और =
2400 6 180 6
x=400 और y=30
अतः िनयत यय Rs.400 और प्रितिदन भोजन का मू य Rs.30 है
(ii) माना िभ न का अंश = x
और िभ न का हर = y
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
x
अतः िभ न =
y
x−1 1
प्रशानुसार, =
y 3
3x-3=y
3x-y-3=0 ⟶ (1)
x 1
पुनः प्रशानुसार, =
y+8 4
4x=y+8
4x-y-8=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
( − 1)( − 8) − [( − 1)( − 3)] ( − 3) × 4 − ( − 8) × 3 3 × ( − 1) − 4 × ( − 1)
x y 1
= =
8−3 − 12 + 24 −3 + 4
x y 1
= =
5 12 1
x 1 y 1
= और =
5 1 12 1
x=5 और y=12
5
अतः िभ न =
12
(iii) माना सही उ र की सं या x और अशु उ र की सं या y है
प्रशानुसार,
3x-y=40
3x − y − 40 = 0 ⟶ (1)
और 4x-2y=50
4x-2y-50=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
( − 1) ( − 50) − ( − 40)( − 2) − 40 × 4 − 3 × − 50 3 × ( − 2) − 4 × ( − 1)
x y 1
= =
50 − 80 − 160 + 150 −6 + 4
x y 1
= =
− 30 − 10 − 2
x 1 y 1
= और =
− 30 − 2 − 10 − 2
x=15 और y=5
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x
अतः िभ न =
y
x−1 1
प्रशानुसार, =
y 3
3x-3=y
3x-y-3=0 ⟶ (1)
x 1
पुनः प्रशानुसार, =
y+8 4
4x=y+8
4x-y-8=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
( − 1)( − 8) − [( − 1)( − 3)] ( − 3) × 4 − ( − 8) × 3 3 × ( − 1) − 4 × ( − 1)
x y 1
= =
8−3 − 12 + 24 −3 + 4
x y 1
= =
5 12 1
x 1 y 1
= और =
5 1 12 1
x=5 और y=12
5
अतः िभ न =
12
(iii) माना सही उ र की सं या x और अशु उ र की सं या y है
प्रशानुसार,
3x-y=40
3x − y − 40 = 0 ⟶ (1)
और 4x-2y=50
4x-2y-50=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
( − 1) ( − 50) − ( − 40)( − 2) − 40 × 4 − 3 × − 50 3 × ( − 2) − 4 × ( − 1)
x y 1
= =
50 − 80 − 160 + 150 −6 + 4
x y 1
= =
− 30 − 10 − 2
x 1 y 1
= और =
− 30 − 2 − 10 − 2
x=15 और y=5
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
अतः प्र नो की सं या =x+y=15+5=20
(iv) माना A से चलने वाली कार की चाल = x km/h
और B से चलने वाली कार की चाल = y km/h
एक ही िदशा म चलने पर, 5 घंटे म कार A ारा चली गई
दूरी 5x km और B कार ारा चली गई दूरी 5y km है।
अतः x+y=100
x+y-100=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
( − 1)( − 100) − (1) × ( − 20) ( − 20) × 1 − ( − 100) × 1 1 × 1 − (1)( − 1)
x y 1
= =
100 + 20 − 20 + 100 1+1
x y 1
= =
120 80 2
x 1 y 1
= और =
120 2 80 2
x=60 और y=40
अतः A से चलने वाली कार की चाल 60km/h और B से चलने वाली कार की चाल 40km/h है।
(v) माना आयात की लंबाई = x इकाई
और आयात की चौड़ाई = y इकाई
आयात का ेतर् फल = xy वग इकाई
प्र नानुसार, (x − 5)(y + 3)=xy=9
xy+3x-5y-15=xy-9
xy+3x-5y-15-xy+9=0
3x-5y-6=0 ⟶ (1)
पुनः प्र नानुसार, (x + 3)(y + 2) = xy + 67
xy+2x+3y+6=xy+67
xy+2x+3y+6-xy-67=0
2x+3y-61=0 ⟶ (2)
Page 30 of 49
अतः प्र नो की सं या =x+y=15+5=20
(iv) माना A से चलने वाली कार की चाल = x km/h
और B से चलने वाली कार की चाल = y km/h
एक ही िदशा म चलने पर, 5 घंटे म कार A ारा चली गई
दूरी 5x km और B कार ारा चली गई दूरी 5y km है।
अतः x+y=100
x+y-100=0 ⟶ (2)
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
( − 1)( − 100) − (1) × ( − 20) ( − 20) × 1 − ( − 100) × 1 1 × 1 − (1)( − 1)
x y 1
= =
100 + 20 − 20 + 100 1+1
x y 1
= =
120 80 2
x 1 y 1
= और =
120 2 80 2
x=60 और y=40
अतः A से चलने वाली कार की चाल 60km/h और B से चलने वाली कार की चाल 40km/h है।
(v) माना आयात की लंबाई = x इकाई
और आयात की चौड़ाई = y इकाई
आयात का ेतर् फल = xy वग इकाई
प्र नानुसार, (x − 5)(y + 3)=xy=9
xy+3x-5y-15=xy-9
xy+3x-5y-15-xy+9=0
3x-5y-6=0 ⟶ (1)
पुनः प्र नानुसार, (x + 3)(y + 2) = xy + 67
xy+2x+3y+6=xy+67
xy+2x+3y+6-xy-67=0
2x+3y-61=0 ⟶ (2)
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Page 32
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
− 5 × ( − 61) − 3 × ( − 6) − 6 × 2 − 3 × ( − 61) 3 × 3 − 2 × ( − 5)
x y 1
= =
3.5 + 18 − 12 + 183 9 + 10
x y 1
= =
323 171 19
x 1 y 1
= और =
323 19 171 19
x=17 और y=9
अतः आयात की लंबाई 17 इकाई और आयात की चौड़ाई 9 इकाई है।
Page : 70 , Block Name : प्र नावली – 3.5
प्र नावली – 3.6
Q1 िन न समीकरणों के यु मो को रैिखक समीकरणो के यु म म बदल करके हल कीिजए:
1 1 1 1 13
(i) + = 2, + =
2x 3y 3x 2y 6
2 3 4 9
(ii) + = − 1, − = −1
√x √y √x √y
4 3
(iii) + 3y = 14, − 4y = 23
x x
5 1 6 3
(iv) + = 2, =1 −
x−1 y−2 x−1 y−2
7x − 2y 8x + 7y
(v) = 5, = 15
xy xy
(vi) 6x+3y=6xy,2x+4y=5xy
10 2 15 5
(vii) + = 4, − = −2
x+y x−y x+y x−y
1 1 3 1 1 −1
(viii) + = , − =
3x + y 3x − y 4 2(3x + y) 2(3x − y) 8
1 1
Answer. (i) + = 2 ⟶ (1)
2x 3y
1 1 13
+ = ⟶ (2)
3x 2y 6
1 1
माना = a और= b,
x y
समीकरण (1) व् (2) से,
Page 31 of 49
वज्र-गुणन िविध से,
x y 1
= =
− 5 × ( − 61) − 3 × ( − 6) − 6 × 2 − 3 × ( − 61) 3 × 3 − 2 × ( − 5)
x y 1
= =
3.5 + 18 − 12 + 183 9 + 10
x y 1
= =
323 171 19
x 1 y 1
= और =
323 19 171 19
x=17 और y=9
अतः आयात की लंबाई 17 इकाई और आयात की चौड़ाई 9 इकाई है।
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प्र नावली – 3.6
Q1 िन न समीकरणों के यु मो को रैिखक समीकरणो के यु म म बदल करके हल कीिजए:
1 1 1 1 13
(i) + = 2, + =
2x 3y 3x 2y 6
2 3 4 9
(ii) + = − 1, − = −1
√x √y √x √y
4 3
(iii) + 3y = 14, − 4y = 23
x x
5 1 6 3
(iv) + = 2, =1 −
x−1 y−2 x−1 y−2
7x − 2y 8x + 7y
(v) = 5, = 15
xy xy
(vi) 6x+3y=6xy,2x+4y=5xy
10 2 15 5
(vii) + = 4, − = −2
x+y x−y x+y x−y
1 1 3 1 1 −1
(viii) + = , − =
3x + y 3x − y 4 2(3x + y) 2(3x − y) 8
1 1
Answer. (i) + = 2 ⟶ (1)
2x 3y
1 1 13
+ = ⟶ (2)
3x 2y 6
1 1
माना = a और= b,
x y
समीकरण (1) व् (2) से,
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Page 33
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
a b
+ =2
2 3
3a + 2b
=2
6
3a+2b=12 ⟶ (3)
a b 113
और + =
3 2 6
2a + 3b
= 13
6
2a+3b=13 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 2 से और समीकरण (3) को 3 से गुणा करने पर,
6a + 4b = 24 ⟶ (5)
6a+9b=39 ⟶ (6)
समीकरण (5) को समीकरण (6) म से घटाने पर,
b=3
‘b’ का मान समीकरण (5) म रखने पर,
6a+12=24
6a=12
a=2
1
अतः = a
x
1 1
x= =
a 2
1
और = b
y
1 1
y= =
b 3
2 3
(ii) + = 2 ⟶ (1)
√x √y
4 9
+ = − 1 ⟶ (2)
√x √y
1 1
माना = a और =b
√x √y
2a+3b=2 ⟶ (3)
और 4a-9b=-1 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 3 से गुणा करके समीकरण (4) म जोड़ने पर,
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a b
+ =2
2 3
3a + 2b
=2
6
3a+2b=12 ⟶ (3)
a b 113
और + =
3 2 6
2a + 3b
= 13
6
2a+3b=13 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 2 से और समीकरण (3) को 3 से गुणा करने पर,
6a + 4b = 24 ⟶ (5)
6a+9b=39 ⟶ (6)
समीकरण (5) को समीकरण (6) म से घटाने पर,
b=3
‘b’ का मान समीकरण (5) म रखने पर,
6a+12=24
6a=12
a=2
1
अतः = a
x
1 1
x= =
a 2
1
और = b
y
1 1
y= =
b 3
2 3
(ii) + = 2 ⟶ (1)
√x √y
4 9
+ = − 1 ⟶ (2)
√x √y
1 1
माना = a और =b
√x √y
2a+3b=2 ⟶ (3)
और 4a-9b=-1 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 3 से गुणा करके समीकरण (4) म जोड़ने पर,
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Page 34
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
5
a=
10
1
a=
2
‘a’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
1
2 × + 3b = 2
2
1+3b=2
2−1
b=
3
1
b=
3
√x
अतः a
=
1
√x = a
1
x = 2 = (2) 2 = 4
a
√y
b
=
1
√y = b
1
y = 2 = (3) 2 = 9
b
इसिलए x=4 और y=9
4
(iii) + 3y = 14 ⟶ (1)
x
3
− 4y = 23 ⟶ (2)
x
1
माना =a
x
4a+3y =14 ⟶ (3)
और 3a-4y=23 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 4 से और समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर,
16a+12y=56 ⟶ (5)
9a-12y=69 ⟶ (6)
समीकरण (5) और (6) को जोड़ने पर
25a=125
Page 33 of 49
5
a=
10
1
a=
2
‘a’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
1
2 × + 3b = 2
2
1+3b=2
2−1
b=
3
1
b=
3
√x
अतः a
=
1
√x = a
1
x = 2 = (2) 2 = 4
a
√y
b
=
1
√y = b
1
y = 2 = (3) 2 = 9
b
इसिलए x=4 और y=9
4
(iii) + 3y = 14 ⟶ (1)
x
3
− 4y = 23 ⟶ (2)
x
1
माना =a
x
4a+3y =14 ⟶ (3)
और 3a-4y=23 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 4 से और समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर,
16a+12y=56 ⟶ (5)
9a-12y=69 ⟶ (6)
समीकरण (5) और (6) को जोड़ने पर
25a=125
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Page 35
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
a=5
समीकरण (3) म a का मान रखने पर
3 × 5 − 4y = 23
15-4y=23
4y=-8
y=-2
1
और = a
x
1 1
x= =
a 5
1
अतः x = और y=-2
5
5 1
(iv) + = 2 ⟶ (1)
x−1 y−2
6 3
− = 1 ⟶ (2)
x−1 y−2
1 1
माना = a, =b
x−1 y−2
5a+b =2 ⟶ (3)
और 6a-3b=1 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 3 से गुणा करके समीकरण (4) जोड़ने पर,
7
a=
21
1
a=
3
‘a’ का मान समीकरण (4) म रखने पर,
2-3b=1
-3b=1-2
−1 1
b= =
−3 3
1
अब, =a
x−1
1
x−1=
a
x-1=3
x=4
1
और =b
y−2
Page 34 of 49
a=5
समीकरण (3) म a का मान रखने पर
3 × 5 − 4y = 23
15-4y=23
4y=-8
y=-2
1
और = a
x
1 1
x= =
a 5
1
अतः x = और y=-2
5
5 1
(iv) + = 2 ⟶ (1)
x−1 y−2
6 3
− = 1 ⟶ (2)
x−1 y−2
1 1
माना = a, =b
x−1 y−2
5a+b =2 ⟶ (3)
और 6a-3b=1 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 3 से गुणा करके समीकरण (4) जोड़ने पर,
7
a=
21
1
a=
3
‘a’ का मान समीकरण (4) म रखने पर,
2-3b=1
-3b=1-2
−1 1
b= =
−3 3
1
अब, =a
x−1
1
x−1=
a
x-1=3
x=4
1
और =b
y−2
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Page 36
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
1
y−2=
b
y-2=3
y=5
7x − 2y
(v) =5
xy
7x 2y
− =5
xy xy
7 2
− = 5 ⟶ (1)
y x
8x + 7y
= 15
xy
8x 7y
+ = 15
xy xy
8 7
+ = 15 ⟶ (2)
y x
1 1
माना = a, = b
x y
7b-2a=5 ⟶ (3)
और 8b+7a=15 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 7 से और समीकरण (4) को 2 से गुणा करने पर,
49b-14a=35 ⟶ (5)
16b+14a=30 ⟶ (6)
समीकरण (5) और (6) को जोड़ने पर
65b=65
b=1
समीकरण (4) म b का मान रखने पर
8+7a=15
7a=7
a=1
1
और = a
x
1
x=
a
x=1
1
अतः = b
y
1
y=
b
y=1
(vi) 6x+3y=6xy
6x 3y
+ =6
xy xy
6 3
+ = 6 ⟶ (1)
y x
Page 35 of 49
1
y−2=
b
y-2=3
y=5
7x − 2y
(v) =5
xy
7x 2y
− =5
xy xy
7 2
− = 5 ⟶ (1)
y x
8x + 7y
= 15
xy
8x 7y
+ = 15
xy xy
8 7
+ = 15 ⟶ (2)
y x
1 1
माना = a, = b
x y
7b-2a=5 ⟶ (3)
और 8b+7a=15 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 7 से और समीकरण (4) को 2 से गुणा करने पर,
49b-14a=35 ⟶ (5)
16b+14a=30 ⟶ (6)
समीकरण (5) और (6) को जोड़ने पर
65b=65
b=1
समीकरण (4) म b का मान रखने पर
8+7a=15
7a=7
a=1
1
और = a
x
1
x=
a
x=1
1
अतः = b
y
1
y=
b
y=1
(vi) 6x+3y=6xy
6x 3y
+ =6
xy xy
6 3
+ = 6 ⟶ (1)
y x
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Page 37
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
2x+4y=5xy
2x 4y
+ =5
xy xy
2 4
+ = 5 ⟶ (2)
y x
1 1
माना = a और = b
x y
6b+3a=6 ⟶ (3)
और 2b+4a=5 ⟶ (4)
समीकरण (4) को 3 से गुणा करके समीकरण (3) म से घटाने पर,
a=1
‘a’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
6b+3=6
6b=3
1
b=
2
1
और = a
x
1
x=
a
x=1
1
अतः = b
y
1
y=
b
y=2
10 2
(vii) + =4
x+y x−y
15 5
− = −2
x+y x−y
1 1
माना = a, =b
x+y x−y
10a+2b=4 ⟶ (1)
और 15a-5b=-2 ⟶ (2)
समीकरण (1) को 3 से और समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर,
30a+6b=12 ⟶ (3)
30a-10b=-4 ⟶ (4)
समीकरण (3) को (4) म घटाने पर,
Page 36 of 49
2x+4y=5xy
2x 4y
+ =5
xy xy
2 4
+ = 5 ⟶ (2)
y x
1 1
माना = a और = b
x y
6b+3a=6 ⟶ (3)
और 2b+4a=5 ⟶ (4)
समीकरण (4) को 3 से गुणा करके समीकरण (3) म से घटाने पर,
a=1
‘a’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
6b+3=6
6b=3
1
b=
2
1
और = a
x
1
x=
a
x=1
1
अतः = b
y
1
y=
b
y=2
10 2
(vii) + =4
x+y x−y
15 5
− = −2
x+y x−y
1 1
माना = a, =b
x+y x−y
10a+2b=4 ⟶ (1)
और 15a-5b=-2 ⟶ (2)
समीकरण (1) को 3 से और समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर,
30a+6b=12 ⟶ (3)
30a-10b=-4 ⟶ (4)
समीकरण (3) को (4) म घटाने पर,
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Page 38
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
b=1
समीकरण (3) म b का मान रखने पर
30a+6=12
30a=6
1
a=
5
1
अब =a
x+y
1
x+y=
a
x+y=5 ⟶ (5)
1
और =b
x − yy
1
x−y=
b
x-y=1 ⟶ (6)
समीकरण (5) और (5) म जोड़ने पर,
2x=6
x=3
x का मान समीकरण (5) म रखने पर,
3+y=5
y=2
अतः x=3 और y=2
1 1 3
(viii) + =
3x + y 3x − y 4
1 1 −1
− =
2(3x + y) 2(3x − y) 8
1 1
माना = a, =b
3x + y 3x − y
3
a+b=
4
4a+4b=3 ⟶ (1)
a b −1
और − =
2 2 8
−1
a-b=
4
4a-4b=-1 ⟶ (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,
8a=2
Page 37 of 49
b=1
समीकरण (3) म b का मान रखने पर
30a+6=12
30a=6
1
a=
5
1
अब =a
x+y
1
x+y=
a
x+y=5 ⟶ (5)
1
और =b
x − yy
1
x−y=
b
x-y=1 ⟶ (6)
समीकरण (5) और (5) म जोड़ने पर,
2x=6
x=3
x का मान समीकरण (5) म रखने पर,
3+y=5
y=2
अतः x=3 और y=2
1 1 3
(viii) + =
3x + y 3x − y 4
1 1 −1
− =
2(3x + y) 2(3x − y) 8
1 1
माना = a, =b
3x + y 3x − y
3
a+b=
4
4a+4b=3 ⟶ (1)
a b −1
और − =
2 2 8
−1
a-b=
4
4a-4b=-1 ⟶ (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,
8a=2
Page 37 of 49
Page 39
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
1
a=
4
‘a’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
1+4b=3
4b=2
1
b=
2
1
अब =a
3x + y
1
3x+y=
a
3x+y=4 ⟶ (3)
1
और =b
3x − y
1
3x-y=
b
3x-y=2 ⟶ (4)
समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर,
6x=6
x=1
x का मान समीकरण (3) म रखने पर,
3+y=4
y=1
अतः x=1 और y=1
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.6
Q2 िन न सम याओं को रैिखक समीकरणो यु म के प मे य त कीिजए और िफर उनके हल ात कीिजए:
(i) िरतु धारा के अनुकूल 2 घंटे म 20km तैर सकती है और धारा के प्रितकूल 2 घंटे म 4km तैर सकती है उसकी ि थर जल म
तैरने की चाल तथा धारा की चाल ात कीिजए ।
(ii) 2 मिहलाएँ एव 5 पु ष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 िदन मे पूरा कर सकते है, जबिक 3 मिहलाएँ एव 6 पु ष इसको 3 िदन
मे पूरा कर सकते है ात कीिजए िक इसी काय को करने म एक अकेली मिहला िकतना समय लेगी। पुनः इसी काय को करने म एक
पु ष िकतना समय लेगा।
(iii) ही 300km दूरी पर ि थित अपने घर जाने के िलए कु छ दूरी रेलगाड़ी ारा तथा कु छ दूरी बस ारा तय करती है। यिद वह
60km रेलगाड़ी ारा तथा शेष बस ारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते है। यिद वह 100km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा
करे, तो उसे 10 िमनट अिधक लगते है। रेलगाड़ी एव बस की क्रमशः चाल ात कीिजए।
Answer. माना धारा की चाल = y km/h
और ि थर जल म तैरने की चाल = x km/h
धारा के अनुकूल चाल =(x + y)km / h
दूरी =20km
समय =2h
अतः चाल = दूरी / समय
20
x+y=
2
x+y=10 ⟶ (1)
धारा के प्रितकूल चाल = (x − y)km / h
दूरी =4 km
Page 38 of 49
1
a=
4
‘a’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
1+4b=3
4b=2
1
b=
2
1
अब =a
3x + y
1
3x+y=
a
3x+y=4 ⟶ (3)
1
और =b
3x − y
1
3x-y=
b
3x-y=2 ⟶ (4)
समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर,
6x=6
x=1
x का मान समीकरण (3) म रखने पर,
3+y=4
y=1
अतः x=1 और y=1
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.6
Q2 िन न सम याओं को रैिखक समीकरणो यु म के प मे य त कीिजए और िफर उनके हल ात कीिजए:
(i) िरतु धारा के अनुकूल 2 घंटे म 20km तैर सकती है और धारा के प्रितकूल 2 घंटे म 4km तैर सकती है उसकी ि थर जल म
तैरने की चाल तथा धारा की चाल ात कीिजए ।
(ii) 2 मिहलाएँ एव 5 पु ष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 िदन मे पूरा कर सकते है, जबिक 3 मिहलाएँ एव 6 पु ष इसको 3 िदन
मे पूरा कर सकते है ात कीिजए िक इसी काय को करने म एक अकेली मिहला िकतना समय लेगी। पुनः इसी काय को करने म एक
पु ष िकतना समय लेगा।
(iii) ही 300km दूरी पर ि थित अपने घर जाने के िलए कु छ दूरी रेलगाड़ी ारा तथा कु छ दूरी बस ारा तय करती है। यिद वह
60km रेलगाड़ी ारा तथा शेष बस ारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते है। यिद वह 100km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा
करे, तो उसे 10 िमनट अिधक लगते है। रेलगाड़ी एव बस की क्रमशः चाल ात कीिजए।
Answer. माना धारा की चाल = y km/h
और ि थर जल म तैरने की चाल = x km/h
धारा के अनुकूल चाल =(x + y)km / h
दूरी =20km
समय =2h
अतः चाल = दूरी / समय
20
x+y=
2
x+y=10 ⟶ (1)
धारा के प्रितकूल चाल = (x − y)km / h
दूरी =4 km
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Page 40
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
समय =2h
अतः चाल = दूरी / समय
4
x-y=
2
x-y=2 ⟶ (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
2x=12
x=6
अतः ि थर जल म तैरने की चाल 6km/h और धारा की चाल 4km/h है
(ii) माना एक मिहला ारा काय को पूरा करने म लगा समय = x िदन
और एक पु ष ारा काय को पूरा करने म लगा समय = y िदन
1
अतः एक मिहला का एक िदन का काय =
x
1
और एक पु ष का एक िदन का काय =
y
( )
प्र नानुसार,
2
x
+
5
y
=
1 8
4 x
+
20
y
= 1 ⟶ (1)
पुनः ( )
3
x
+
6
y
=
1 9
3 x
+
18
y
= 1 ⟶ (2)
1 1
माना = a और
= b,
x y
अतः 8a+20b=1 ⟶ (3)
और 9a+18b=1 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 9 से और (4) को 8 से गुणा करने पर,
72a+180b=9 ⟶ (5)
और 72a+144b=8 ⟶ (6)
समीकरण (6) को समीकरण (5) म से घटाने पर,
‘b’ का मान समीकरण (4) म रखने पर,
1
9a + = 1
2
1
9a =
2
1
a=
18
1
अब, = a
x
1
x=
a
x=18
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समय =2h
अतः चाल = दूरी / समय
4
x-y=
2
x-y=2 ⟶ (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
2x=12
x=6
अतः ि थर जल म तैरने की चाल 6km/h और धारा की चाल 4km/h है
(ii) माना एक मिहला ारा काय को पूरा करने म लगा समय = x िदन
और एक पु ष ारा काय को पूरा करने म लगा समय = y िदन
1
अतः एक मिहला का एक िदन का काय =
x
1
और एक पु ष का एक िदन का काय =
y
( )
प्र नानुसार,
2
x
+
5
y
=
1 8
4 x
+
20
y
= 1 ⟶ (1)
पुनः ( )
3
x
+
6
y
=
1 9
3 x
+
18
y
= 1 ⟶ (2)
1 1
माना = a और
= b,
x y
अतः 8a+20b=1 ⟶ (3)
और 9a+18b=1 ⟶ (4)
समीकरण (3) को 9 से और (4) को 8 से गुणा करने पर,
72a+180b=9 ⟶ (5)
और 72a+144b=8 ⟶ (6)
समीकरण (6) को समीकरण (5) म से घटाने पर,
‘b’ का मान समीकरण (4) म रखने पर,
1
9a + = 1
2
1
9a =
2
1
a=
18
1
अब, = a
x
1
x=
a
x=18
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
1
और, =b
y
1
y=
b
y=36
अतः एक मिहला ारा काय को पूरा करने म लगा समय 18 िदन और एक पु ष ारा काय को पूरा करने म लगा समय 36 िदन है
(iii) माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h
और बस की चाल = y km/h
अब, चाल = दूरी / समय
समय =दूरी / चाल
60 240
अतः + = 4 ⟶ (1)
x y
100 200 10
पुनः + =4+
x y 60
100 200 250
+ =
x y 60
100 200 25
+ = ⟶ (2)
x y 6
1 1
माना = a और = b,
x y
अतः 60a + 240b = 4 ⟶ (3)
25
और 300a+600b= ⟶ (96)
2
समीकरण (3) को 5 से और (4) को 3 से गुणा करने पर,
300a+1200b=20 ⟶ (5)
और 300a+600b= \dfrac{25}{2}\longrightarrow \left96\right)
समीकरण (6) को समीकरण (5) म से घटाने पर,
‘b’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
60a+3=4
60a=1
1
a=
60
1
अब, = a
x
1
x=
a
x=60
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1
और, =b
y
1
y=
b
y=36
अतः एक मिहला ारा काय को पूरा करने म लगा समय 18 िदन और एक पु ष ारा काय को पूरा करने म लगा समय 36 िदन है
(iii) माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h
और बस की चाल = y km/h
अब, चाल = दूरी / समय
समय =दूरी / चाल
60 240
अतः + = 4 ⟶ (1)
x y
100 200 10
पुनः + =4+
x y 60
100 200 250
+ =
x y 60
100 200 25
+ = ⟶ (2)
x y 6
1 1
माना = a और = b,
x y
अतः 60a + 240b = 4 ⟶ (3)
25
और 300a+600b= ⟶ (96)
2
समीकरण (3) को 5 से और (4) को 3 से गुणा करने पर,
300a+1200b=20 ⟶ (5)
और 300a+600b= \dfrac{25}{2}\longrightarrow \left96\right)
समीकरण (6) को समीकरण (5) म से घटाने पर,
‘b’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
60a+3=4
60a=1
1
a=
60
1
अब, = a
x
1
x=
a
x=60
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
1
और, =b
y
1
y=
b
y=80
अतः रेलगाड़ी की चाल 60 km/h और बस की चाल 80 km/h है
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.6
प्र नावली – 3.7
Q1 दो िमत्रो अनी और बीजू की आयु म 3 वष का अंतर है। अनी के िपता धरम की आयु अनी की आयु की दुगनी और बीजू की आयु
अपनी बहन कैथी की आयु की दुगनी है कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वष है अनी और बीजू की आयु ात कीिजए।
Answer. माना लीिजये अनी की वतमान आयु = x वष
और बीजू के वतमान आयु = y वष
प्र नानुसार, यिद अनी, बीजू से बड़ा है
x=y+3 ⟶ (1)
और यिद बीजू, अनी से बड़ा है
y=x+3 ⟶ (1)
धरम की आयु = 2x वष
y
और की आयु = वष
2
y
प्रशानुसार, 2x − = 30) ⟶ (3)
2
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (3) म रखने पर,
y
2(y + 3) − = 30
2
y
2y + 6 − = 30
2
3y
= 24
2
24 × 2
y=
3
y=16
‘y’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
x=16+3=19
अतः अनी की वतमान आयु 19 वष व बीजू की वतमान आयु 16 वष है यिद बीजू अनी से बड़ा है, तब समीकरण (2) से ‘y’ का मान
समीकरण (3) म रखने पर,
x+3
2x − = 30
2
x 3
2x − − = 30
2 2
3x 63
=
2 2
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1
और, =b
y
1
y=
b
y=80
अतः रेलगाड़ी की चाल 60 km/h और बस की चाल 80 km/h है
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.6
प्र नावली – 3.7
Q1 दो िमत्रो अनी और बीजू की आयु म 3 वष का अंतर है। अनी के िपता धरम की आयु अनी की आयु की दुगनी और बीजू की आयु
अपनी बहन कैथी की आयु की दुगनी है कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वष है अनी और बीजू की आयु ात कीिजए।
Answer. माना लीिजये अनी की वतमान आयु = x वष
और बीजू के वतमान आयु = y वष
प्र नानुसार, यिद अनी, बीजू से बड़ा है
x=y+3 ⟶ (1)
और यिद बीजू, अनी से बड़ा है
y=x+3 ⟶ (1)
धरम की आयु = 2x वष
y
और की आयु = वष
2
y
प्रशानुसार, 2x − = 30) ⟶ (3)
2
समीकरण (1) से x का मान समीकरण (3) म रखने पर,
y
2(y + 3) − = 30
2
y
2y + 6 − = 30
2
3y
= 24
2
24 × 2
y=
3
y=16
‘y’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
x=16+3=19
अतः अनी की वतमान आयु 19 वष व बीजू की वतमान आयु 16 वष है यिद बीजू अनी से बड़ा है, तब समीकरण (2) से ‘y’ का मान
समीकरण (3) म रखने पर,
x+3
2x − = 30
2
x 3
2x − − = 30
2 2
3x 63
=
2 2
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Page 43
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
63
x=
3
x=21
‘x’ का मान समीकरण (2) म रखने पर,
y=21+3=24
अतः अनी की वतमान आयु 21वष व बीजू की वतमान आयु 24वष है
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q2 एक िमत्र दूसरे से कहता है िक ‘यिद मुझे एक सौ दे दो, तो मै आपसे दो गुना धनी बन जाऊंगा।‘ दूसरा उ र देता है यिद आप मुझे
दस दे दे, तो मै आपसे छः गुना धनी बन जाऊंगा। बताइए िक उनकी क्रमशः या स पितयाँ है? [ भा कर II की बीजगिणत से ]
Answer. माना पहले िमत्र के पास Rs.x है और दूसरे िमत्र के पास Rs.y है
प्र नानुसार, x + 100 = 2(y = 100)
x − 2y = − 200 − 100
x-2y=-300 ⟶ (1)
पुनः, y + 10 = 6(x − 10)
y + 10 = 6x − 60
6x-y=60+10
6x-y=70 ⟶ (2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करके समीकरण (1) म से घटाने पर,
x का मान समीकरण (1) म रखने पर,
40-2y=-300
-2y=-340
y=170
अतः एक िमत्र की पास 40 पये और दूसरे की पास 170 पये है
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q3 एक रेलगाड़ी कु छ दूरी समान चाल से तय करती है। यिद रेलगाड़ी 10km/h अिधक तेज चलती होती, तो उसे िनयत समय से 2
घंटे कम लगते और यिद रेलगाड़ी 10km/h धीमी चलती होती, तो उसे िनयत समय से 3 घंटे अिधक लगते। रेलगाड़ी ारा तय की गई
दूरी ात कीिजए।
Answer. माना रेलगाड़ी की समान चाल = x km/h
और िनयत दूरी = y km
द ◌ू र ◌ी
अब, समय =
च ◌ा ल
y
अतः िनयत समय = घंटे
x
y y
प्र नानुसार, = −2
x + 10 x
Page 42 of 49
63
x=
3
x=21
‘x’ का मान समीकरण (2) म रखने पर,
y=21+3=24
अतः अनी की वतमान आयु 21वष व बीजू की वतमान आयु 24वष है
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q2 एक िमत्र दूसरे से कहता है िक ‘यिद मुझे एक सौ दे दो, तो मै आपसे दो गुना धनी बन जाऊंगा।‘ दूसरा उ र देता है यिद आप मुझे
दस दे दे, तो मै आपसे छः गुना धनी बन जाऊंगा। बताइए िक उनकी क्रमशः या स पितयाँ है? [ भा कर II की बीजगिणत से ]
Answer. माना पहले िमत्र के पास Rs.x है और दूसरे िमत्र के पास Rs.y है
प्र नानुसार, x + 100 = 2(y = 100)
x − 2y = − 200 − 100
x-2y=-300 ⟶ (1)
पुनः, y + 10 = 6(x − 10)
y + 10 = 6x − 60
6x-y=60+10
6x-y=70 ⟶ (2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करके समीकरण (1) म से घटाने पर,
x का मान समीकरण (1) म रखने पर,
40-2y=-300
-2y=-340
y=170
अतः एक िमत्र की पास 40 पये और दूसरे की पास 170 पये है
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q3 एक रेलगाड़ी कु छ दूरी समान चाल से तय करती है। यिद रेलगाड़ी 10km/h अिधक तेज चलती होती, तो उसे िनयत समय से 2
घंटे कम लगते और यिद रेलगाड़ी 10km/h धीमी चलती होती, तो उसे िनयत समय से 3 घंटे अिधक लगते। रेलगाड़ी ारा तय की गई
दूरी ात कीिजए।
Answer. माना रेलगाड़ी की समान चाल = x km/h
और िनयत दूरी = y km
द ◌ू र ◌ी
अब, समय =
च ◌ा ल
y
अतः िनयत समय = घंटे
x
y y
प्र नानुसार, = −2
x + 10 x
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Page 44
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
y y
− =2
x x + 10
y [ 1
x
−
1
x + 10 ] =2
y [ x + 10 − x
x(x + 10) ] =2
y\left(\dfrac{10}{x^2+10x\right)}=2
10y = 2x 2 + 20x
1 2
y=
5 [
x + 10x ⟶ (1) ]
पुनः प्र नानुसार,
y y
= +3
x − 10 x
y y
− =3
x − 10 x
3 2
(
10y = 3 x 2 − 10x \(y =
10 )
x − 10x ( )
समीकरण (1) से y का मान रखने पर,
1 3
5 ( ) (
x 2 + 10x =
10 )
x 2 − 10x
2 (x + 10x ) = 3 (x − 10x )
2 2
2x 2 + 20x = 3x 2 − 30x
3x 2 − 2x 2 = 30x + 20x
x 2 = 50x
x=50
x का मान समीकरण (1) म रखने पर,
y=\dfrac{1}{5}\left(\left(50^2\right)+10\times 50\right
1
= (2500 + 500)
5
1
= × 3000
5
y=600
अतः रेलगाड़ी ारा तय की गए दूरी 600km है
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q4. एक क ा के िव ािथयों को पंि तयों मे खड़ा होना है। यिद पंि त मे 3 िव ाथ अिधक होते, तो 1 पंि त कम होती। यिद पंि त मे
3 िव ाथ अिधक होते, तो 2 पंि तयॉ अिधक बनती। क ा मे िव ािथयों की सं या ात कीिजए।
Answer. माना पि तयो की सं या x और एक पंि त म िव ािथयों की सं या y है
अतः कु ल िव ािथयों की सं या =xy
प्र नानुसार, (x − 1)(y + 3) = xy
xy+3x-y-3=xy
3x-y=3 ⟶ (1)
पुनः, (x + 2)(y − 3) = xy
xy-3x+2y-6=xy
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y y
− =2
x x + 10
y [ 1
x
−
1
x + 10 ] =2
y [ x + 10 − x
x(x + 10) ] =2
y\left(\dfrac{10}{x^2+10x\right)}=2
10y = 2x 2 + 20x
1 2
y=
5 [
x + 10x ⟶ (1) ]
पुनः प्र नानुसार,
y y
= +3
x − 10 x
y y
− =3
x − 10 x
3 2
(
10y = 3 x 2 − 10x \(y =
10 )
x − 10x ( )
समीकरण (1) से y का मान रखने पर,
1 3
5 ( ) (
x 2 + 10x =
10 )
x 2 − 10x
2 (x + 10x ) = 3 (x − 10x )
2 2
2x 2 + 20x = 3x 2 − 30x
3x 2 − 2x 2 = 30x + 20x
x 2 = 50x
x=50
x का मान समीकरण (1) म रखने पर,
y=\dfrac{1}{5}\left(\left(50^2\right)+10\times 50\right
1
= (2500 + 500)
5
1
= × 3000
5
y=600
अतः रेलगाड़ी ारा तय की गए दूरी 600km है
Page : 75 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q4. एक क ा के िव ािथयों को पंि तयों मे खड़ा होना है। यिद पंि त मे 3 िव ाथ अिधक होते, तो 1 पंि त कम होती। यिद पंि त मे
3 िव ाथ अिधक होते, तो 2 पंि तयॉ अिधक बनती। क ा मे िव ािथयों की सं या ात कीिजए।
Answer. माना पि तयो की सं या x और एक पंि त म िव ािथयों की सं या y है
अतः कु ल िव ािथयों की सं या =xy
प्र नानुसार, (x − 1)(y + 3) = xy
xy+3x-y-3=xy
3x-y=3 ⟶ (1)
पुनः, (x + 2)(y − 3) = xy
xy-3x+2y-6=xy
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Page 45
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
-3x+2y=6
3x − 2y = − 6 ⟶ (2)
समीकरण (1) को (2) म से घटाने पर
y का मान समीकरण (2) म रखने पर,
3x-18=-6
3x=12
x=4
अतः िव ािथयों की सं या = xy = 4 × 9 = 36 है
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q5 एक △ABC मे, ∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B) है ित्रभुज के तीनो कोण ात कीिजए।
Answer. माना ∠A = x
और ∠B = y
अतः ∠C = 3y ( ∴ ∠C = 3∠B)
अब, 3∠B = 2(∠A + B)
3y = 2(x + y)
3y=2x+2y
y=2x ⟶ (1)
ित्रभुजा के तीनो कोणों का योग = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
x+y+3y=180°
x+4y=180°
समीकरण (1) से y का मान रखने पर,
x+8x=180°
9x=180°
x=20°
y = 2x = 2 × 20° = 40°
और ∠C = 3y = 3 × 40° = 120°
अतः ∠A = 20°, ∠B = 40° और ∠C = 120°
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q6 समीकरणों 5x-y=5 और 3x-y=3 के ग्राफ खीिचए इन रेखाओ और y-अ से बने ित्रभुजा के शीषो के िनदशांक ात कीिजए।
इस प्रकार बने ित्रभुज के ेतर् फल का पिरकलन कीिजए।
Answer. 5x-y=5
y=5x-5 ⟶ (1)
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-3x+2y=6
3x − 2y = − 6 ⟶ (2)
समीकरण (1) को (2) म से घटाने पर
y का मान समीकरण (2) म रखने पर,
3x-18=-6
3x=12
x=4
अतः िव ािथयों की सं या = xy = 4 × 9 = 36 है
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q5 एक △ABC मे, ∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B) है ित्रभुज के तीनो कोण ात कीिजए।
Answer. माना ∠A = x
और ∠B = y
अतः ∠C = 3y ( ∴ ∠C = 3∠B)
अब, 3∠B = 2(∠A + B)
3y = 2(x + y)
3y=2x+2y
y=2x ⟶ (1)
ित्रभुजा के तीनो कोणों का योग = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
x+y+3y=180°
x+4y=180°
समीकरण (1) से y का मान रखने पर,
x+8x=180°
9x=180°
x=20°
y = 2x = 2 × 20° = 40°
और ∠C = 3y = 3 × 40° = 120°
अतः ∠A = 20°, ∠B = 40° और ∠C = 120°
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q6 समीकरणों 5x-y=5 और 3x-y=3 के ग्राफ खीिचए इन रेखाओ और y-अ से बने ित्रभुजा के शीषो के िनदशांक ात कीिजए।
इस प्रकार बने ित्रभुज के ेतर् फल का पिरकलन कीिजए।
Answer. 5x-y=5
y=5x-5 ⟶ (1)
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Page 46
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
x=0,1,2
y=-5,0,5
3x-y=3
y=3x-3 ⟶ (2)
x=0,1,2
y=-3,0,3
इन रेखाओ और y-अ से बने △ABC के िनदशांक है A(0, − 3), B(1, 0) और C(0, − 5)
1
△ABC का ेतर् फल = × AC × OB
2
1
= ×2×1
2
=1 वग इकाई
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q7 िन न रैिखक समीकरणों के यु मो को हल कीिजए:
(i) px+qy=p-q, qx-py=p+q
(ii) ax+by=c, bx+ay=1+c
x y
(iii) − = 0, ax + by = a 2 + b 2
a b
(iv) (a − b)x + (a + b)y = a 2 − 2ab − b 2, (a + b)(x + y) = a 2 + b 2
(v) 152x-378y=-74, -378x+152y=-604
Answer.
(i) px+qy=p-q ⟶ (1)
qx-py=p+q ⟶ (2)
समीकरण (1) को q से व (2) को p से गुणा करके घटाने पर
Page 45 of 49
x=0,1,2
y=-5,0,5
3x-y=3
y=3x-3 ⟶ (2)
x=0,1,2
y=-3,0,3
इन रेखाओ और y-अ से बने △ABC के िनदशांक है A(0, − 3), B(1, 0) और C(0, − 5)
1
△ABC का ेतर् फल = × AC × OB
2
1
= ×2×1
2
=1 वग इकाई
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q7 िन न रैिखक समीकरणों के यु मो को हल कीिजए:
(i) px+qy=p-q, qx-py=p+q
(ii) ax+by=c, bx+ay=1+c
x y
(iii) − = 0, ax + by = a 2 + b 2
a b
(iv) (a − b)x + (a + b)y = a 2 − 2ab − b 2, (a + b)(x + y) = a 2 + b 2
(v) 152x-378y=-74, -378x+152y=-604
Answer.
(i) px+qy=p-q ⟶ (1)
qx-py=p+q ⟶ (2)
समीकरण (1) को q से व (2) को p से गुणा करके घटाने पर
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
y=1
y का मान समीकरण (1) म रखने पर,
px + q( − 1) = p − q
px-q=p-q
px=p-q+q
p
x=
p
x=1
अतः x=1 और y=-1
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
(ii) ax+by=c ⟶ (1)
bx+ay=1+c ⟶ (2)
समीकरण (1) को b से व (1) को a से गुणा करके घटाने पर,
‘y’ का मान समीकरण म (1) रखने पर,
(bc − a − ac)
ax + b =c
b2 − a2
b 2c − ab − abc
ax = c −
b2 − a2
x=
a [
1 b 2c − a 2c − b 2c + ab + abc
b2 − a2 ]
x=
a (
a − ac + b + bc
b2 − a2 )
− ac + b + bc bc − a − ac
x= और y = प्र नावली – 3.7
b2 − a2 b2 − a2
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
x y
(iii) = 0 ⟶ (1)
−
a b
ax + by = a 2 + b 2 ⟶ (2)
ay
समीकरण (1) से, x = ⟶ (3)
b
समीकरण (2) व (3) से,
a2
+ by = a 2 + b 2
b
Page 46 of 49
y=1
y का मान समीकरण (1) म रखने पर,
px + q( − 1) = p − q
px-q=p-q
px=p-q+q
p
x=
p
x=1
अतः x=1 और y=-1
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
(ii) ax+by=c ⟶ (1)
bx+ay=1+c ⟶ (2)
समीकरण (1) को b से व (1) को a से गुणा करके घटाने पर,
‘y’ का मान समीकरण म (1) रखने पर,
(bc − a − ac)
ax + b =c
b2 − a2
b 2c − ab − abc
ax = c −
b2 − a2
x=
a [
1 b 2c − a 2c − b 2c + ab + abc
b2 − a2 ]
x=
a (
a − ac + b + bc
b2 − a2 )
− ac + b + bc bc − a − ac
x= और y = प्र नावली – 3.7
b2 − a2 b2 − a2
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
x y
(iii) = 0 ⟶ (1)
−
a b
ax + by = a 2 + b 2 ⟶ (2)
ay
समीकरण (1) से, x = ⟶ (3)
b
समीकरण (2) व (3) से,
a2
+ by = a 2 + b 2
b
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
a 2y + b 2y = a 2b + b 3
(a + b )y = (a + b )b
2 2 2 2
y=b
‘y’ का मान (3) म रखने पर,
ab
x= =a
b
अतः x=a और y=b
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
(iv) (a − b)x + (a + b)y = a 2 − 2ab − b 2 ⟶ (1)
(a + b)(x + y) = a 2 + b 2
(a + b)x + (a + b)y = a 2 + b 2 ⟶ (2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) म से घटाने पर,
− 2bx = − 2b(a + b)
x=a+b
‘x’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
(a − b)x + (a + b)y = a 2 − 2ab − b 2
a 2 − b 2 + (a + b)y = a 2 − 2ab − b 2
(a + b)y = a 2 − 2ab − b 2 − a 2 + b 2
− 2ab
y=
a+b
− 2ab
अतः x = (a + b) और y =
a+b
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
(v) 152x-378y=-74 ⟶ (1)
-378x+152y=-604 ⟶ (2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) म से घटाने पर,
x-y=1
x=1+y ⟶ (3)
‘x’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
152(1 + y) − 378y = − 74
Page 47 of 49
a 2y + b 2y = a 2b + b 3
(a + b )y = (a + b )b
2 2 2 2
y=b
‘y’ का मान (3) म रखने पर,
ab
x= =a
b
अतः x=a और y=b
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
(iv) (a − b)x + (a + b)y = a 2 − 2ab − b 2 ⟶ (1)
(a + b)(x + y) = a 2 + b 2
(a + b)x + (a + b)y = a 2 + b 2 ⟶ (2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) म से घटाने पर,
− 2bx = − 2b(a + b)
x=a+b
‘x’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
(a − b)x + (a + b)y = a 2 − 2ab − b 2
a 2 − b 2 + (a + b)y = a 2 − 2ab − b 2
(a + b)y = a 2 − 2ab − b 2 − a 2 + b 2
− 2ab
y=
a+b
− 2ab
अतः x = (a + b) और y =
a+b
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
(v) 152x-378y=-74 ⟶ (1)
-378x+152y=-604 ⟶ (2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) म से घटाने पर,
x-y=1
x=1+y ⟶ (3)
‘x’ का मान समीकरण (1) म रखने पर,
152(1 + y) − 378y = − 74
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
152+152y-378y=-74
-226y=-74-152
− 226
y=
− 226
y=1
‘y’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
x=1+1=2
अतः x=2 व y=1
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q8 ABCD एक चक्रीय चतुभज
ु है इस चक्रीय चतुभज
ु के कोण ात कीिजए।
Answer.
ु के सामने के कोण स पूरक होते है,
चक्रीय चतुभज
∠A + ∠C = 180° ⟶ (1)
और ∠B + ∠D = 180° ⟶ (2)
अतः 4y+20-4x=180°
4y-4x=160 °
y-x=40 °
y = 40° + x ⟶ (3)
3y-5-7x+5=180 °
3y-7x=180 °
समीकरण (3) से ‘y’ का मान रखने पर,
3(40 + x) − 7x = 180°
Page 48 of 49
152+152y-378y=-74
-226y=-74-152
− 226
y=
− 226
y=1
‘y’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
x=1+1=2
अतः x=2 व y=1
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Q8 ABCD एक चक्रीय चतुभज
ु है इस चक्रीय चतुभज
ु के कोण ात कीिजए।
Answer.
ु के सामने के कोण स पूरक होते है,
चक्रीय चतुभज
∠A + ∠C = 180° ⟶ (1)
और ∠B + ∠D = 180° ⟶ (2)
अतः 4y+20-4x=180°
4y-4x=160 °
y-x=40 °
y = 40° + x ⟶ (3)
3y-5-7x+5=180 °
3y-7x=180 °
समीकरण (3) से ‘y’ का मान रखने पर,
3(40 + x) − 7x = 180°
Page 48 of 49
Page 50
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 3 Maths
120+3x-7x=180 °
-4x=60
x=-15
‘x’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
y = 40 + ( − 15) = 25
अतः ∠A = 4y + 20 = 4 × 25 + 20 = 120°
∠B = 3y − 5 = 3 × 25 − 5 = 70°
∠C = − 4x = − 4( − 15) = 60°
और ∠D = − 7x + 5 = − 7( − 15) + 5 = 110°
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
Page 49 of 49
120+3x-7x=180 °
-4x=60
x=-15
‘x’ का मान समीकरण (3) म रखने पर,
y = 40 + ( − 15) = 25
अतः ∠A = 4y + 20 = 4 × 25 + 20 = 120°
∠B = 3y − 5 = 3 × 25 − 5 = 70°
∠C = − 4x = − 4( − 15) = 60°
और ∠D = − 7x + 5 = − 7( − 15) + 5 = 110°
Page : 76 , Block Name : प्र नावली – 3.7
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Document Details
| Board / Org | NCERT |
| Exam | Class 10 |
| Type | Solution |
| Pages | 50 |
| Language | hindi |
| Updated | 30 Apr 2026 |