NCERT Solutions for Class 10 Maths (गणित) Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

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CLASS - 10th

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 7 Maths

Class : 10th
Subject : Mathematics
Chapter : 7
Chapter Name : िनदशांक यािमित

Exercise 7.1

Q1 िब दुओ के िन निलिखत यु मों के बीच की दूिरयां ात कीिजए:
(i) (2, 3) , (4, 1)
(ii) (−5, −7) , (−1, 3)
(iii) (a, b) , (−a, −b)

Answer. (i) A (2, 3) , B (4, 1)
िबंद ु A तथा B की दूरी के िलए, दूरी सूतर्
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(4 − 2) + (1 − 3)

= √4 + 4

= √8

= 2 √2

(ii) A (−5, −7) , B (−1, 3)
िबंद ु A तथा B की दूरी के िलए, दूरी सूतर्
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−1 + 5) + (3 − 7)

= √16 + 16

= √32

= 4 √2

(iii) A (a, b) , B (−a, −b)
िबंद ु A तथा B की दूरी के िलए, दूरी सूतर्
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−a − a) + (−b − b)

2 2
= √4a + 4b
2 2
= √4 (a + b )

2 2
= 2 √a + b

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 7 Maths
Page : 177 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q2 िब दुओ (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ात कीिजए। या अब आप अनु छे द 7.2 म िदए दोनों शहरों A और B के बीच
की दूरी ात कर सकते है ?

Answer. A (0, 0) , B (36, 15)
िबंद ु A तथा B की दूरी के िलए, दूरी सूतर्
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(36 − 0) + (15 − 0)

= √1296 + 225

= √1521

=39
का प्रयोग करके हम अनु छे द 7.2 म िदए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ात
2 2
दूरी सूतर् √(x 2 − x1 ) + (y2 − y1 )

कर सकते है।

Page : 177 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q3 िनधािरत कीिजए िक या िबंद ु (1, 5), (2, 3) और (−2, −11) संरेखी है।

Answer. माना िबंद ु A (1, 5) , B (2, 3) व C (−2, −11) है
अब, दूरी सूतर् का प्रयोग करके,
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(2 − 1) + (3 − 5)

= √1 + 4

= √5

2 2
BC = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−2 − 2) + (−11 − 3)

= √16 + 196

= √212

2 2
AC = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−2 − 1) + (−11 − 5)

= √9 + 256

= √265

AB + BC = √5 + √212 ≠ √265 = AC

अतः िबंद ु A,B,व C संरेख नही है

Page : 177 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q4 जाँच कीिजए िक या िबंद ु (5, −2) , (6, 4) और (7, −2) एक समि बाहु ित्रभुज के शीष है।

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 7 Maths
Answer. माना िबंद ु A,B व C △ABC के शीष है अतः
A (5, −2) , B (6, 4) , C (7, −2)

दूरी सूतर् का प्रयोग करके,
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(6 − 5) + (4 + 2)

= √1 + 36

= √37

2 2
BC = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(7 − 6) + (−2 − 4)

= √1 + 36

= √37

2 2
AC = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(7 − 5) + (−2 + 2)

= √4 + 0

= √4

=2
यहाँ AB = BC ≠ AC है, अतः A,B,व C समि बाहु ित्रभुज के शीष है

Page : 177 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q5 िकसी क ा म, चार िमत्र िबंदओ ु ं A,B,C और D पर बैठे हुए है, जैसािक आकृित म दशाया गया है चंपा और चमेली क ा के अंदर
आती है और कु छ िमनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘ या तुम नही सोचती हो िक ABCD एक वग है?’ चमेली इससे
सहमत नही है दूरी सूतर् का प्रयोग करके, बताइए िक इनम कौन सही है।

Answer. आकृित के अनुसार A (3, 4) , B (6, 7) , C (9, 4) व D (6, 1) है
अब, दूरी सूतर् का प्रयोग करके,
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(6 − 3) + (7 − 4)

= √9 + 9

= √18

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= 3 √2

2 2
BC = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(9 − 6) + (4 − 7)

= √9 + 9

= √18

= 3 √2

2 2
CD = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(6 − 9) + (1 − 4)

= √9 + 9

= √18

= 3 √2

2 2
AD = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(6 − 3) + (1 − 4)

= √9 + 9

= √18

= 3 √2

ु ABCD की चारों भुजाए बराबर है अतः, यह एक समचतुभज
चतुभज ु अथवा एक वग हो सकता है इसिलए िवकण की दूरी ात करके
इस त य को प ट िकया जा सकता है।
2 2
AC = √(9 − 3) + (4 − 4) = √36 + 0 = 6

2 2
AC = √(6 − 6) + (1 − 7) = √0 + 36 = 6

िवकण की दूरी भी समान है, अतः ABCD एक वग है इसिलए चंपा सही है।

Page : 177 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q6 िन निलिखत िब दुओ ारा बनने वाले चतुभज
ु का प्रकार (यिद कोई है तो) बताइए तथा अपने उ र के िलए कारण भी दीिजए:
(i) (−1, −2) ,(1, 0), (−1, 2),(−3, 0)
(ii) (−3, 5),(3, 1),(0, 3),(−1, −4)
(iii) (4, 5),(, 6),(1, 2)

Answer. (i) A (−1, −2), B (1, 0), C (−1, 2), D (−3, 0)
दूरी सूतर् का प्रयोग करके,
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(1 + 1) + (0 + 2)

= √4 + 4

= √8

= 2 √2

2 2
BC = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−1 − 1) + (2 − 0)

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= √4 + 4

= √8

= 2 √2

2 2
CD = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−3 + 1) + (0 − 2)

= √4 + 4

= √8

= 2 √2

2 2
AD = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−3 + 1) + (0 + 2)

= √4 + 4

= √8

= 2 √2

ु की चारों भुजाए समान है, यह एक समचतुभज
चतुभज ु या एक वग हो सकता है अतः िवकण की दूरी ात करके इसको प ट कर
सकते है।
2 2
AC = √(−1 + 1) + (2 + 2) = √0 + 16 = √16 = 4

2 2
AC = √(−3 − 1) + (0 − 0) = √16 + 0 = √16 = 4

िवकण की दूरी भी समान है, अतः ABCD एक वग है इसिलए चंपा सही है।

(ii) (−3, 5) , (3, 1) , (0, 3) , (−1, −4)
दूरी सूतर् का प्रयोग करके,
2 2
AB = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(3 + 3) + (1 − 5)

= √36 + 16

= √52

= 2√13

2 2
BC = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(0 + 3) + (3 − 1)

= √9 + 4

= √13

2 2
CD = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−1 − 0) + (−4 − 3)

= √1 + 49

= √50

ु की चारों भुजाए समान है, यह एक समचतुभज
चतुभज ु या एक वग हो सकता है अतः िवकण की दूरी ात करके इसको प ट कर
सकते है।
2 2
AC = √(4 − 4) + (3 − 5) = √0 + 4 = √4 = 2

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2 2
AC = √(1 − 7) + (2 − 6) = √36 + 16 = √52 = 2√13

AB = CD, BC = AD और AD ≠ BD अतः ABCD एक समांतर चतुभज
ु है।

Page : 178 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q7 x-अ पर वह िबंद ु ात कीिजए जो (2, −5) और (−2, 9) से समदूर थ है।

Answer. माना िबंद ु P (x, 0) , x-अ पर कोई िबंद ु है जो A (2, −5) और B (−2, 9) से समान दूरी पर है।
अतः P A = P B
दूरी सूतर् का प्रयोग करके,
2 2
P A = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(2 − x) + (−5 − 0)

= √4 + x
2
− 4x + 25
2
= √x − 4x + 29

2 2
P B = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(−2 − x) + (9 − 0)

2
= √4 + x + 4x + 81
2
= √x + 4x + 85

→ PA = PB
2 2
→ √x − 4x + 29 = √x + 4x + 85

दोनों ओर का वग करने पर
2 2
x − 4x + 29 = x + 4x + 85

अब, यिद x=4 है, तो
2 2
QR = √(4 − 0) + (6 − 1) = √16 + 25 = √41

2 2
P R = √(4 − 5) + (6 + 3) = √1 + 81 = √82

अब, यिद x=-4 है, तो
2 2
QR = √(−4 − 0) + (6 − 1) = √16 + 25 = √41

2 2
P R = √(−4 − 5) + (6 + 3) = √81 + 81 = √162 = 9√2

Page : 178 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q8 y का वह मान ात कीिजए, िजसके िलए िबंद ु P (2, −3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
Answer. दूरी सूतर् का प्रयोग करके,
2 2
P Q = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
10 = √(10 − 2) + (y + 3)

2
= √y + 6y + 73
2
100 = y + 6y + 73
2
y + 6y − 27 = 0

(y+9)(y-3)=0
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y=-9,3

Page : 178 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q9 यिद Q (0, 1) िब दुओ P (5, −3) और R (x, 6) से समदूर थ है, तो x के मान ात कीिजए दूिरयां QR और PR भी ात
कीिजए।

Answer. दूरी सूतर् का प्रयोग करके,
2 2
P Q = √(x2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2 2 2
√(5 − 0) + (−3 − 1) = √(x − 0) + (6 − 1)

√25 + 16 = √x2 + 25
2
x = 16

x=4,-4
अब, x=4
2 2
QR = √(4 − 0) + (6 − 1) = √41

2 2
P R = √(4 − 5) + (6 + 3) = √82

अब, x=-4
2 2
QR = √(−4 − 0) + (6 − 1) = √41

2 2
P R = √(−4 − 5) + (6 + 3) = √162

Page : 178 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Q10 x और y म एक ऐसा संबध
ं ात कीिजए िक िबंद ु (x, y) िब दुओ (3, 6) और (−3, 4) से समदूर थ हो।

Answer. माना P = (x, y) , A (3, 6) और B (−3, 4) से समान दूरी अथात समदूर थ है
∴ PA = PB

2 2 2 2
√(3 − x) + (6 − y) = √(−3 − x) + (4 − y)

√9 + x2 − 6x + 36 + y 2 − 12y = √9 + x2 + 6x + 16 + y 2 − 8y
2 2 2 2
9 + x − 6x + 36 + y − 12y = 9 + x + 6x + 16 + y − 8y

-12x-4y=-20
3x+y=5

Page : 178 , Block Name : प्र नावली – 7.1

Exercise 7.2

Q1 उस िबंद ु के िनदशांक ात कीिजए, जो िब दुओ (−1, 7) और (4, −3) को िमलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात म
िवभािजत करता है।
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Answer.

िवभाजन सूतर् ारा
m1 x 2 + m2 x 1 m 1 y2 + m 2 y1
= ,
m1 + m2 m1 + m2
2 × 4 + 3 × (−1) 2 × (−3) + 3 × 7
िबंद ु X के िनदशांक= ,
2 + 3 2 + 3
8 − 3 −6 + 21
= ,
5 5

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

Q2 िब दुओ (4, −1) और (−2, −3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-ित्रभािजत करने वाले िब दुओ के िनदशांक ात
कीिजए।

Answer.

माना िदये गये िब दुओ ं से बने रेखाख ड को A तथा B सम ित्रभािजत करते ह।
िवभाजन सूतर् ारा
m1 x 2 + m2 x 1 m 1 y2 + m 2 y1
= ,
m1 + m2 m1 + m2

1 × −2 + 2 × 4 1 × (−3) + 2 × −1
िबंद ु X के िनदशांक= ,
2 + 1 2 + 1
−5
= 2,
3

2 × −2 + 1 × 4 2 × (−3) + 1 × −1
िबंद ु Y के िनदशांक= ,
2 + 1 2 + 1
−7
= 0,
3

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

Q3 आपके कूल म खेल-कूद िक्रयाकलाप आयोिजत करने के िलए,एक आयताकार मैदान ABCD म, चूने से पर पर 1m की दूरी
पर पंि तया बनाई गई है AD के अनुिदश पर पर 1m की दूरी पर 100 गमले रखे गए है, जैसा िक आकृित म दशाया गया है िनहािरका
1 1
दूसरी पंि त म AD के भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहा एक हरा झंडा गाड़ देती है प्रीत आठवी ं पंि त म AD के भाग
4 5

के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहा एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडो के बीच की दूरी या है? यिद रि म को एक नीला झंडा इन

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दोनों झंडो को िमलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच म) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहा गाड़ना चाइये?

1
Answer. िनहािरका ारा गाड़े गए झंडे के िनदशांक, P = (2, × 100) =(2,25)
4

1
प्रीत ारा गाड़े गए झंडे के िनदशांक, Q = (8, × 100)
5

= (98, 20)

2 2
झंडो के बीच दूरी, P Q = √(x 2 − x1 ) + (y2 − y1 )

2 2
= √(8 − 2) + (20 − 25)

= √36 + 25

= √61

रि म ारा गाड़े गए झंडे के िनदशांक = PQ के म य िबंद ु के िनदशांक
x1 + x2 y1 + y2
R= ,
2 2
2 + 8 25 + 20
= ,
2 2

=(5,22.5)

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

Q4 िब दुओ (−3, 10) और (6, −8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को िबंद ु (−1, 6) िकस अनुपात म िवभािजत करता है।

Answer.

माना िबंद ु R, P तथा Q को जोड़ने वाले रेखाखंड को m:1 अनुपात म िवभािजत करता है िवभाजन सूतर् से िबंद ु R के िनदशांक,
m × 6 + 1x1 m × (−8) + 1 × 10
R (x, y) = ,
m + 1 m + 1
6m − 3 −8m + 10
(−1, 6) = ,
m + 1 m + 1

तुलना करने पर,

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6m − 3 −8m + 10
= −1 और = 6
m + 1 m + 1

6m-1=-m-1
7m=2
2
m =
7

अतः िबंद ु R,P तथा Q को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2:7 के अनुपात म िवभािजत करता है

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

Q5 वह अनुपात ात कीिजए िजसमे िब दुओ A (1, −5) और B (−4, 5) को िमलाने वाला रेखाखंड x-अ से िवभािजत होता है
इस िवभाजन िबंद ु के िनदशांक भी ात कीिजए।

Answer.

माना िबंद ु X, A तथा B को जोड़ने वाले रेखाखंड को m:1 अनुपात म िवभािजत करता है िवभाजन सूतर् से िबंद ु P के िनदशांक,
m × −4 + 1 × 1 m × (5 + 1 × −5)
X (x, y) = ,
m + 1 m + 1
−4m + 1 5m − 5
(x, 0) = ,
m + 1 m + 1

तुलना करने पर,
−4m + 1 5m − 5
= x और = 0
m + 1 m + 1

m=1
−4 + 1
= x
1 + 1
−3
x =
2

अतः िबंद ु X,A तथा B को जोड़ने वाले रेखाखंड को 1:1 के अनुपात म िवभािजत करता है

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

Q6 यिद िबंद ु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम म लेने पर, एक समांतर चतुभज
ु के शीष हो तो x और y ात
कीिजए।

Answer.

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िबंद ु P(1, 2), Q(4, y), R(x, 6) और S(3, 5)
PR का म य िबंद ु = QS का म य िबंद ु
1 + x 2 + 6 3 + 4 5 + y
, = ,
2 2 2 2
1 + x 7
अब, ,
2 2
5 + y 8
और, ,
2 2

x=6, y=3

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

Q7 िबंद ु A के िनदशांक ात कीिजए, जहां AB एक वत
ृ का यास है िजसका कद्र (2, −3) है तथा B के िनदशांक (1, 4) है।

Answer.

माना वृ का कद्र C है अतः C के िनदशांक (2, −3) और A के िनदशांक (x, y) है
अब AB के म यिबंद ु के िनदशांक =C के िनदशांक
x + 1 y + 4
( , ,
) (2, −3)
2 2

तुलना करने पर,
x + 1 y + 4
= 2 और = −3
2 2

x+1=4 और y+4=-6
x=3 और y=-10
िबंद ु A के िनदशांक = (3, −10)

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2
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3
Q8 यिद A और B क्रमशः (2, −2) और (2, −4) हो तो िबंद ु P के िनदशांक ात कीिजए तािक AP = AB हो और P
7

रेखाखंड AB पर ि थत हो।

Answer.

3
A (2, −2) , B (2, −4) AP = , AB
7

िबंद ु P के िनदशांक,
3 × 2 + 4 × (−2) 3 × (−4) + 4 × (−2)
= ,
3 + 4 3 + 4
6 − 8 −12 − 8
= ,
7 7
−2 −20
= ,
7 7

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

Q9 िब दुओ A (−2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागो म िवभािजत करने वाले िब दुओ के
िनदशांक ात कीिजए।

Answer.

A (−2, 2) , B (2, 8) , AP : DB = 1; 3

योिक िबंद ु X,Y और Z, A,B को जोड़ने वाले रेखाखंड को चार बराबर भागो म िवभािजत करते है
1 × 2 + 3 × (−2) 1 × 8 + 3 × 2
िबंद ु X के िनदशांक = ( , )
1 + 3 1 + 3

−4 14
= ( , )
4 4

7
= (−1, )
2

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

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Q10 एक समचतुभज
ु का ेतर् फल ात कीिजए िजसके शीष, इसी क्रम म (3, 0), (4, 5) , (−1, 4) और (−2, −1) है।
1
[संकेत: समचतुभज
ु का ेतर् फल = (उसके िवकण का गुणनफल)]
2

Answer.

शीष, P(3, 0), S(4, 5) , R(−1, 4) और Q(−2, −1)
PR =√( − 1 − 3) 2
+ (4 − 0)
2
= √32 = 4√2

QS =√( − 2 − 4) 2
+ (−1 − 5)
2
= √72 = 6√2

1
ु का त
समचतुभज े र् फल = (उसके िवकण का गुणनफल)
2

= ½ PR.QS
=0.5 × 4√2 × 6√2
=24 वग इकाई

Page : 184 , Block Name : प्र नावली – 7.2

Exercise 7.3

Q1 उस ित्रभुज का ेतर् फल ात कीिजए िजसके शीष है:
(i) (2,3),(-1,0),(2,-4)
(ii) (-5,-1),(3,-5),(5,2)

Answer. (i) ित्रभुज के शीष A (2, 3) , B (−1, 0) , C (2, −4)
1
ित्रभुज का ेतर् फल = [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )]
2
1
= [2 (0 − (−4)) + (−1)(−4 − 3) + 2(3 − 0)]
2
1
= [8 + 7 + 6]
2
21
=
2

=10.5 वग इकाई

Page 13 of 25

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 7 Maths

(ii) ित्रभुज के शीष A (−5, −1) , (3, −5) , (5, 2)
ित्रभुजा का ेतर् फल
1
= [x1 ] (y2 − y3 ) + [x2 ] (y3 − y1 ) + [x3 ]
2

= (y1 − y2 ))

1
= [(−5)(−5 − 2) + 3(2 − (−1)) + 5 (−1 − (−5))]
2
1
= [35 + 9 + 20]
2
64
=
2

=32 वग इकाई

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.3

Q2 िन निलिखत म से प्र येक म ‘k’ का मान ात कीिजए, तािक तीनो िबंद ु सरेखी हो:
(i) (7, −2) , (5, 1) , (3, k)
(ii) (8, 1) , (k, −4) , (2, −5)

Answer. (i) A (7, −2) , B (5, 1) , C (3, k)
यिद तीनों िबंद ु संरेख है, तो इनसे िनिमत ित्रभुज का ेतर् फल शू य होगा अतः
1
△ABC का ेतर् फल = [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )]
2
1
0 = [7(1 − k) + 5(k + 2) + 3(−2 − 1)]
2
1
0 = [7 − 7k + 5k + 10 − 9]
2

8-2k=0
-2k=-8
k=4

(ii) (8, 1) , (k, −4) , (2, −5)
यिद तीनों िबंद ु संरेख है, तो इनसे िनिमत ित्रभुज का ेतर् फल शू य होगा अतः
△ABC का ेतर् फल =0
1
[x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )] = 0
2
1
[8 (−4 + 5) + k (−5 − 1) + 2 (1 + 4)] = 0
2

8-6k+10=0
-6k=-18
k=3

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.3

Q3 शीष (0, −1) , (2, 1) , (0, 3) वाले ित्रभुज की भुजाओ के म य-िब दुओ से बनने वाले ित्रभुज का ेतर् फल ात कीिजए
इस ेतर् फल का िदए हुए ित्रभुज के ेतर् फल के साथ अनुपात ात कीिजए।

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 7 Maths

Answer.

x1 + x2 y1 + y2
PQ के म यिबंद ु X के िनदशांक = ,
2 2
0 + 2 −1 + 1
= ,
2 2

= (1, 0)

2 + 0 11 + 3
QR के म यिबंद ु Y के िनदशांक = ,
2 2

= (1, 2)

0 + 0 −1 + 3
PR के म यिबंद ु Z के िनदशांक = ,
2 2

= (0, 1)

1
△P QR का ेतर् फल = [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )] = 0
2
1
= [1 (2 − 1) + 1 (1 − 0) + 0 (0 − 1)]
2
1
= [1 + 1 + 0]
2

=1 वग इकाई
1
△XY Z का ेतर् फल = [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )] = 0
2
1
= [0 (1 − 3) + 2 (3 + 1) + 0 (−1 − 1)]
2
1
= [0 + 8 + 0]
2

=4 वग इकाई
1
अतः, XYZ का ेतर् फल / PQR का ेतर् फल=
4

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.3

Q4 उस चतुभज
ु का त
े र् फल ात कीिजए िजसके शीष, इसी क्रम म (−4, −2) , (−3, −5) , (3, −2) और (2, 3) है।

Answer.

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ु PQRS का ेतर् फल = △P QR का ेतर् फल △P RS का ेतर् फल
चतुभज
1
△P QR का ेतर् फल = [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )] = 0
2
1
= [−4 (−5 + 2) + (−3) (−2 + 2) + 3 (−2 + 5)]
2
1
= [12 + 0 + 9]
2
21
= वग इकाई
2
1
△P RS का ेतर् फल = [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )] = 0
2
1
= [(−4) (−2 − 3) + 3 (3 + 2) + 2 (−2 + 2)]
2
1
= [20 + 15 + 0]
2
35
= वग इकाई
2
21 35
ु PQRS का ेतर् फल =
चतुभज + = 28 वग इकाई
2 2

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.3

Q5 क ा IX म आपने पढ़ा है िक िकसी ित्रभुज की एक मि यका उसे बराबर ेतर् फलो वाले दो ित्रभुज म िवभािजत करती है उस
ित्रभुज ABC के िलए इस पिरणाम का स यापन कीिजए िजसके शीष A (4, −6) , B (3, −2) और C (5, 2) है।

Answer.

A (4, −6) , B (3, −2) और C (5, 2)
x1 + x2 y1 + y2
BC के म यिबंद ु P के िनदशांक = ,
2 2

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3 + 5 −2 + 2
= ,
2 2

= (4, 0)

△ABP का ेतर् फल
1
= [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )]
2
1
= [4 (−2 − 0) + 3 (0 + 5) + 4 (−6 + 2)]
2
1
= [−8 + 18 − 16]
2
21
= (−6)
2

=-3 =3 वग इकाई
1
△ACP े र् फल =
का त [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )]
2
1
= [4 (2 − 0) + 5 (0 + 6) + 4 (−6 − 2)]
2
1
= [8 + 30 − 32]
2
6
=
2

=3 वग इकाई
△ABP का ेतर् फल = △ACP का ेतर् फल

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.3

Exercise 7.4

Q1 िब दुओ A (2, −2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y − 4 = 0 िजस अनुपात म िवभािजत करते
है उसे ात कीिजए।

Answer. माना A और B, रेखाखंड 2x+y-4=0 को m:1 म िवभािजत करते है।
m1 x 2 + m2 x 1 m 1 y2 + m 2 y1
उस िबंद ु के िनदशांक = ,
m1 + m2 m1 + m2
3m + 2 7m − 2
= ( , )
m + 1 m + 1

योिक यह िबंद ु रेखा पर ि थत है, अतः
3m + 2 7m − 2
2( ), − 4 = 0
m + 1 m + 1

6m + 4 + 7m − 2 − 4k − 4
= 0
m + 1

9m-2=0
2
m =
9

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.4
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Q2 x और y म एक संबध
ं ात कीिजए, यिद िबंद ु (x, y) , (1, 2) और (7, 0) संरेखी है।

Answer. A (x, y) , B (1, 2) , C (7, 0)
A,B तथा C संरेखी है अतः इनसे िनिमत ित्रभुज का ेतर् फल शू य होगा
अतः △ABC का ेतर् फल =0
1
[x (2 − 0) + (0 − y) + 7 (y − 2)] = 0
2

2x-y+7y-14=0
2x+6y=14
x+3y-7=0

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.4

Q3 िब दुओ (6, −6) , (3, −7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वत
ृ का कद्र ात कीिजए।

Answer. A (6, −6) , B (3, −7) , C (3, 3)
माना वृ का कद्र O है, अतः OA = OB = OC ित्र याय है
अब OA=OB
2 2 2 2
√(x − 6) + (y + 6) = √(x − 3) + (y + 7)

√x2 + 36 − 12x + y 2 + 36 + 12y = √x2 + 9 − 6x + y 2 + 49 + 14y

दोनों ओर वग करने पर,
2 2 2 2
x + 36 − 12x + y + 36 + 12y = x + 9 − 6x + y + 49 + 14y

72-12x+12y=58-6x+14y
-6x-2y=58-72
6x-2y+14=0
x=7-3x ⟶ (1)
इसी प्रकार OA=OC
2 2 2 2
√(x − 6) + (y + 6) = √(x − 3) + (y − 3)

√x2 + 36 − 12x + y 2 + 36 + 12y = √x2 + 9 − 6x + y 2 + 49 + 14y

दोनों ओर वग करने पर,
2 2 2 2
x + 36 − 12x + y + 36 + 12y = x + 9 − 6x + y + 9 − 6y

72-12x+12y=18-6x-6y
-6x+18y=18-72
-6x+18y=-54
x-3y=9
x − 3 (7 − 3x) = 9

x-21+9x=9
10x=30
x=3
और y = 7 − 3x = 7 − 3 × 3 = −2
इस प्रकार वृ का कद्र 0(3,-2) है

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.4

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Q4 िकसी वग के दो स मुख शीष (-1,2) और (3,2) ह। वग के अ य दोनों शीष ात कीिजये।
Answer.

माना वग के अ य दो शीष (x,y) तथा (p,q) ह।
चूिं क वग की सभी भुजाय बराबर होती ह

2 2 2 2
√(x + 1) + (y + 2) = √(x − 3) + (y − 2)

2 2 2 2
x + 1 + 2x + y + 4 − 4y = x + 9 − 6x + y + 4 − 4y

x=1
वग म अंतः कोण समान तथा 90 के होते ह
2 2 2
PQ + QR = PR
2 2 2 2 2 2
(1 + 1) + (y − 2) + (1 − 3) + (y − 2) = (3 + 1) + (2 − 2)
2 2
4 + y + 4 − 4y + 4 + y − 4y + 4 = 16

y(y-4)=0
y=0,4

चूिं क वग के िवकण बराबर होते ह तथा एक दूसरे को समि भािजत भी करते ह PR और QS के म य िबंद ु के िनदशांक बराबर होंगे।

−1 + 3 2 + 2 x + p y + q
, = ,
2 2 2 2
1 + p
= 1
2

p=1
y + q
= 2
2

y+q=4
अब y=0 रखने पर
q=4
तथा y=4 रखने पर
q=0
अतः अ य शीष (1,0) तथा (1,4) ह।

Page : 188 , Block Name : प्र नावली – 7.4

Q5 कृ णानगर के एक सेकडरी कूल के क ा X के िवधािथयों को उनके बागवानी िक्रयाकलाप के िलए, एक आयताकार भूखड ं िदया
गया है गुलमोहर की पौध को पर पर 1m की दूरी पर इस भूखड
ं की पिरसीमा पर लगाया जाता है इस भूखड
ं के अंदर एक ित्रभुजाकार

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घास लगा हुआ लॉन है, जैसािक आकृित म दशाया गया है िवधािथयों को भूखडं के शेष भाग म फूलो के पौधे के बीज बोने है।
(i) A को मूलिबंद ु मानते हुए, ित्रभुज के शीष के िनदशांक ात कीिजए
(ii) यिद मूलिबंद ु C हो, तो △P QR के िनदशांक या होंगे?
साथ ही, उपरो त दोनों ि थतयो म, ित्रभुज के ेतर् फल ात कीिजए आप या देखते है?

Answer. (i) A को मूल-िबंद ु लेने पर x-अ AD और AB y-अ होगा अतः P (4, 6) , Q (3, 2) और R (6, 5) होंगे
△P QR का ेतर् फल
1
= [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )]
2
1
= [4 (2 − 5) + 3 (5 − 6) + 6 (6 − 2)]
2
1
= [−12 − 3 + 24]
2
1
= × 9
2
9
= वग इकाई
2

(ii) यिद मूल-िबंद ु C है तो AD x-अ और y-अ AB होगा अतः P (12, 2) , Q (13, 6) और R (10, 3) होंगे
△P QR का ेतर् फल
1
= [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )]
2
1
= [12 (6 − 3) + 13 (3 − 2) + 10 (2 − 6)]
2
1
= [36 + 13 − 40]
2
9
= वग इकाई
2

दोनों है ि थतयो म ित्रभुजो का ेतर् फल समान है।

Page : 189 , Block Name : प्र नावली – 7.4

Q6 एक ित्रभुज ABC के शीष A (4, 6) , B (1, 5) और C (7, 2) है भुजाओ AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रित छे द
AD AE 1
करते हुए एक रेखा इस प्रकार खी ंची गई है िक = = है △ADE का ेतर् फल पिरकिलत कीिजए और इसकी
AB AC 4

तुलना △ABC के ेतर् फल से कीिजए।

Answer. A (4, 6) , B (1, 5) , C (7, 2)
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 7 Maths

AD AE 1
= =
AB AC 4

माना AD=x,AB=4x
BD=AB-AD=4x-x=3x
AD 1
=
DB 3
AE 1
इसी प्रकार, =
EC 3

इसिलये िबंद ु D तथा E भुजाओ AB और AC को 1:3 के अनुपात म िवभािजत करते है
1 × 1 + 3 × 4 1 × 5 + 3 × 6 13 23
िबंद ु D के िनदशांक = ( , ) =( , )
1 + 3 1 + 3 4 4

1 × 7 + 3 × 4 1 × 2 + 3 × 6
िबंद ु E के िनदशांक = ( , )
1 + 3 1 + 3

19 20
= ( , )
4 4

19
= ( , 5)
4

△ADE का ेतर् फल
1
= [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )]
2
1 23 20 13 20 19 23
= [4 ( − ) + ( − 6) + (6 − )]
2 4 4 4 4 4 4

1 13 19
= [3 − + ]
2 4 16

1 48 − 52 + 19
= [ ]
2 16

15
= वग इकाई
32

△ABC का ेतर् फल
1
= [x1 (y2 − y3 ) + x2 (y3 − y1 ) + x3 (y1 − y2 )]
2
1
= [4 (5 − 2) + 1 (2 − 6) + 7 (6 − 5)]
2
1
= [12 − 4 + 7]
2
15
= वग इकाई
2

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 7 Maths
15

32 2 1
अब, △ ADE का ेतर् फल / △ ABC का ेतर् फल= = =
15 32 16

2

Page : 189 , Block Name : प्र नावली – 7.4

Q7 मान लीिजये A (4, 2) , B (6, 5) और C (1, 4) एक ित्रभुज ABC के शीष है।
(i) A से होकर जाने वाली माि यका BC से D पर िमलती है। िबंद ु D के िनदशांक ात कीिजए।
(ii) AD पर ि थत ऐसे िबंद ु P के िनदशांक ात कीिजए िक AP:PD=2:1 हो।
(iii) मि यकाओ BE और CF पर ऐसे िब दुओ Q और R के िनदशांक ात कीिजए िक BQ:QE=2:1 हो और CR:RF=2:1 हो।
(iv) आप या देखते है।
(नोट: वह िबंद ु जो तीनो मि यकाओ म साविन ठ हो, उस ित्रभुज का कद्रक कहलाता है और यह प्र येक मि यका को 2:1 के
अनुपात म िवभािजत करता है)
(v) यिद A (x , y ) , B (x , y ) और (x , y ) ित्रभुज ABC के शीष है, तो इस ित्रभुज के कद्रक के िनदशांक ात
1 1 2 2 3 3

कीिजए।

Answer. (i)

िबंद ु D के िनदशांक = BC के म य िबंद ु के िनदशांक
x1 + x2 y1 + y2
= ( , )
2 2

6 + 1 5 + 4
= ( , )
2 2

7 9
= ( , )
2 2

m1 x 2 + m2 x 1 m 1 y2 + m 2 y1
(ii) िबंद ु D के िनदशांक =( , )
m1 + m2 m1 + m2

7 9
⎛ 2 × + 1 × 4 2 × + 1 × 2 ⎞
2 2
= ⎜ , ⎟
⎜ ⎟
2 + 1 2 + 1
⎝ ⎠

11 11
= ( , )
3 3

Page 22 of 25

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 7 Maths

(iii) B से होकर जाने वाली मि यका AC को E पर िवभािजत करते है अतः E, AC का म यिबंद ु है।
4 + 1 2 + 4
िबंद ु E के िनदशांक = ( , )
2 2

5
= ( , 3)
2

5
⎛ 2 × + 1 × 6 ⎞
2 2 × 3 + 1 × 5
AE, पर ि थत िबंद ु Q के िनदशांक = ⎜
⎜
, ⎟
⎟
2 + 1 2 + 1
⎝ ⎠

11 11
= ( , )
3 3

4 + 6 2 + 5
F, AB का म यिबंद ु है, अतः, F के िनदशांक = ( , )
2 2

7
= (5, )
2

CF पर ि थत िबंद ु R के िनदशांक
7
⎛ 2 × + 1 × 4 ⎞
2 × 5 + 1 × 1 2
= ⎜ , ⎟
⎜ ⎟
2 + 1 2 + 1
⎝ ⎠

11 11
= ( , )
3 3

(iv) P,Q और R तीनो िब दुओ के िनदशांक समान है

(v) A (x , y ) , B (x , Y ) और C (x , y ) ित्रभुज के शीष है, A से होकर जाने वाली मि यका BC से D पर िमलती है
1 1 2 2 3 3

इसिलए BC का म यिबंद ु D है
x2 + x3 y2 + y3
िबंद ु D के िनदशांक = ( , )
2 2

माना O ित्रभुज का के द्रक है, और AO:OD=2:1
िबंद ु O के िनदशांक
x2 + x3 y2 + y3
⎛ 2 × + 1 × x1 2 × + 1 × y1 ⎞
2 2
= ⎜ , ⎟
⎜ ⎟
2 + 1 2 + 1
⎝ ⎠

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
= ( , )
3 3

Page : 189 , Block Name : प्र नावली – 7.4

Q8 िब दुओ और से एक आयत ABCD बनता है P,Q,R और S क्रमशः भुजाओ AB,BC,CD और DA के म य िबंद ु है या चतुभज
ु
PQRS एक वग है? या यह एक आयत है? या यह एक समचतुभजु है? सकारण उ र दीिजए।

Answer.

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−1 − 1 −1 + 4
िबंद ु P के िनदशांक = ,
2 2
3
= (−1, )
2

−1 + 5 4 + 4
िबंद ु Q के िनदशांक = ( , )
2 2

= (2, 4)

5 + 5 −1 + 4
िबंद ु R के िनदशांक = ( , )
2 2

3
= (5, )
2

−1 + 5 −1 − 1
िबंद ु S के िनदशांक = ( , )
2 2

= (2, −1)

2
3
PQ की ल बाई = √(−1 − 2)
2
+ ( − 4)
2

25
=√9 +
4

61
=√
4

2
3
QR की ल बाई
2
= √(2 − 5) + (4 − )
2

25 61
=√9 + =√
4 4

2
3 25 61
PS की ल बाई =√9 + =√
2
= √(5 − 2) + ( + 1)
2 4 4

2
3 25 61
SP की ल बाई =√9 + =√
2
= √(2 + 1) + (−1 − )
2 4 4

ु PQRS की सभी भुजाएँ समान है, पर तु िवकण की ल बाई समान नही है अतः यह एक समचतुभज
चतुभज ु है

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Page : 189 , Block Name : प्र नावली – 7.4

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