NCERT Solutions for Class 8 Maths (गणित) Chapter 5 वर्ग और वर्गमूल

NCERT
SOLUTIONS
CLASS - 8TH

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 6 Maths

Class: 8th
Subject: Mathematics
Chapter: 6
Chapter Name: वग और वगमूल

Exercise 6.1

Q1 िन निलिखत सं याओं के वग के इकाई के अंक या होंग?े
(i) 81 (ii) 272 (ii) 799 (iv) 3853 (v) 1234 (vi) 26387 (vii) 52698 (viii) 99880
(ix) 12796 (x) 55555

Answer. हम जानते है िक िकसी भी सं या का वग अथात a = a × a होता है। इसी प्रकार यिद िकसी सं या के इकाई के
2

थान पर X अंक है। उस सं या X का वग करने पर जो अंक प्रा त होंगे वह उसके इकाई के थान पर X × X प्रा त होगा।
(i) 81
सं या के ईकाई पर 1 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 1 × 1 =1 प्रा त होगा।
(ii) 272
सं या के ईकाई पर 2 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 2 × 2 = 4 प्रा त होगा।
(iii) 799
सं या के ईकाई पर 9 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 9 × 9 = 81 अथात 1 प्रा त होगा।
(iv) 3853
सं या के ईकाई पर 3 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 3 × 3 = 9 प्रा त होगा।
(v) 1234
सं या के ईकाई पर 4 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 4 × 4 = 16 अथात 6 प्रा त होगा।
(vi) 26387
सं या के ईकाई पर 7 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 7 × 7 = 49 अथात 9 प्रा त होगा।
(vii) 52698
सं या के ईकाई पर 8 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 8 × 8 = 64 अथात 4 प्रा त होगा।
(viii) 99880
सं या के ईकाई पर 0 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 0 × 0 = 0 प्रा त होगा।
(ix) 12796
सं या के ईकाई पर 6 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 6 × 6 = 36 अथात 6 प्रा त होगा।
(x) 55555
सं या के ईकाई पर 5 है। सं या के वग के ईकाई के थान पर 5 × 5 = 25 अथात 5 प्रा त होगा।

Page : 102 , Block Name : प्र नवाली 6.1

Q2 िन निलिखत सं याएँ प ट प से पूण वग सं याएँ नही ं है, इसका कारण दीिजए।
(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222 (v) 6400 (vi) 89722 (vii) 222000
(viii) 505050
Answer. िकसी भी सं या का वग 0 ,1 ,5 ,6 और 9 अंक से समा त होना चािहये। तभी िकसी सं या का वग पूण वग होता है।
(i) 1057
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ईकाई का अंक 7 है। यह एक पूण वग नही ं है।
(ii) 23453
ईकाई का अंक 3 है। यह एक पूण वग नही ं है।
(iii) 7928
ईकाई का अंक 8 है। यह एक पूण वग नही ं है।
(iv) 222222
ईकाई का अंक 2 है। यह एक पूण वग नही ं है।
(v) 64000
सं या के अंत म 3 शू य है जो िक िवषम है। यह एक पूण वग नही ं है।
(vi) 89722
ईकाई का अंक 2 है। यह एक पूण वग नही ं है।
(vii) 222000
सं या के अंत म 3 शू य है जो िक िवषम है। यह एक पूण वग नही ं है।
(viii) 505050
सं या के अंत म 1 शू य है जो िक िवषम है। यह एक पूण वग नही ं है।

Page : 102 , Block Name : प्र नवाली 6.1

Q3 िन निलिखत सं याओं म से िकस सं या का वग िवषम सं या होगा?
(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004
Answer. हम जानते है सं या का इकाई का अंक यिद िवषम है तो वग भी एक िवषम सं या होगा। और यिद ईकाई का सम है तो वग
भी सम सं या होगा।
(i) 431 वग ,िवषम सं या होगी।
(ii) 2826
वग ,सम सं या होगी।
(iii) 7779
वग ,िवषम सं या होगी।
(iv) 82004
वग ,सम सं या होगी।

Page : 102 , Block Name : प्र नवाली 6.1

Q4 िन न प्रित प का अवलोकन कीिजए और िर त थान भिरए।
112=121
(101)2=10201
(1001)2=1002001
(1000001)2=1………2……….1
(10000001)2= ……………………….
Answer. प्रित प का अवलोकन करने पर यह ात होता है िक िदए हुए सं या के वग म उतने ही शू य है िजतने की सं या म अंक
2 से पहले और बाद म ।
112=121
(101)2=10201
(1001)2=1002001
(1000001)2=1000002000001
(10000001)2= 100000020000001

Page : 103 , Block Name : प्र नवाली 6.1
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Q5 िन न प्रित प का अवलोकन कीिजए और िर त थान भिरए:
112=121
(101)2=10201
(10101)2=102030201
(1010101)2=………………………………………
……………………2= 10203040504030201
Answer. 112=121
(101)2=10201
(10101)2=102030201
(1010101)2=1020304030201
(101010101)2= 10203040504030201

Page : 103 , Block Name : प्र नवाली 6.1

Q6 िदए गए प्रित प का उपयोग करते हुए लु त सं याओं को प्रा त कीिजए:
2 2 2 2
1 + 2 + 2 = 3
2 2 2 2
2 + 3 + 6 = 7
2 2 2 2
3 + 4 + 12 = 13
2 2 2 2
4 + 5 + () = 21
2 2 2 2
5 + () + 30 = 21
2 2 2 2
6 + 7 + () = ()

Answer. 1
2 2 2 2
+ 2 + 2 = 3
2 2 2 2
2 + 3 + 6 = 7
2 2 2 2
3 + 4 + 12 = 13
2 2 2 2
4 + 5 + 20 = 21
2 2 2 2
5 + 6 + 30 = 21
2 2 2 2
6 + 7 + 42 = 43

Page : 103 , Block Name : प्र नवाली 6.1

Q7 योग संिक्रया िकये िबना योगफल ात कीिजए:
(i) 1+3+5+7+9 (ii) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
(iii) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
Answer. हम जानते है प्रथम n िवषम प्राकृितक सं या का योग n2 होता है। अतः इस िस ांत का प्रयोग करने पर।
(i) 1+3+5+7+9
1+3+5+7+9= (5)2= 25
प्रथम 5 िवषम प्राकृितक सं याय है।

(ii) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19= (10)2=100
प्रथम 10 िवषम प्राकृितक सं याय है।

(iii)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23=(12)2=144
प्रथम 12 िवषम प्राकृितक सं याय है।

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Page : 103 , Block Name : प्र नवाली 6.1

Q8 (i) 49 को 7 िवषम सं याओं के योग के प म िलिखए।
(ii) 121 को 11 िवषम सं याओं के योग के प म िलिखए।
Answer. हम जानते है प्रथम n िवषम प्राकृितक सं या का योग n2 होता है।
49=7^{2} अथात प्रथम 7 िवषम प्राकृितक सं या।
1+3+5+7+9+11+13=49

(ii) हम जानते है प्रथम n िवषम प्राकृितक सं या का योग n2 होता है।
121= 112 अथात प्रथम 11 िवषम प्राकितक सं या।
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=121

Page : 103 , Block Name : प्र नवाली 6.1

Q9 िन निलिखत सं याओं के वग के बीच म िकतनी सं याएँ ह?
(i) 12 और 13
(ii) 25 और 26
(iii) 99 और 100
Answer. िक ही भी 2 क्रमागत सं याओं अथात n व (n + 1) म 2n सं या बीच म होगी।
2 2

(i) 12 और 13
12 और 13 के बीच म 2 × 12 = 24 सं याय होंगी।
(ii) 25 और 26
25 और 26 के बीच म 25 × 2 = 50 सं याय होंगी
(iii) 99 और 100
99 और 100 के बीच म 99 × 2 = 198 सं याय होंगी

Page : 103 , Block Name : प्र नवाली 6.1

Exercise 6.2

Q1 िन न सं याओं का वग ात कीिजए।
(i) 32 (ii) 35 (iii) 86 (iv) 93 (v) 71 (vi) 46
Answer. (i) 32
30
2
= (30 + 2)
2
= (30)
2
+ 2 × 30 × 2 + (2)
2
=900+120+4=1024
(ii) 35
35
2
= (30 + 5)
2
= (30)
2
+ 2 × 30 × 5 + (5)
2
=900+300+25=1225
(iii) 86
86
2
= (80 + 6)
2
= (80)
2
+ 2 × 80 × 6 + (6)
2
=6400+960+36=7396
(iv) 93
=8100+540+9=8649
2 2 2 2
93 = (90 + 3) = (90) + 2 × 90 × 3 + (3)

(v) 71
=4900+140+1=5041
2 2 2 2
71 = (70 + 1) = (70) + 2 × 70 × 1 + (1)

(vi) 46
46
2
= (40 + 6)
2
= (40)
2
+ 2 × 40 × 6 + (6)
2
=1600+480+36=2116

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Page : 105 , Block Name : प्र नवाली 6.2

Q2 पाइथागोरस ित्रक िलिखए िजसका एक सद य है,
(i) 6
(ii) 14
(iii) 16
(iv) 18
Answer. हम जानते ह,
िकसी भी प्राकृत सं या m >1 के िलए
(2m)2 + (m2-1)2 = (m2+1)2 होता है।
अतः 2m ,(m2-1)2 और (m2+1)2 पाइथागोरस ित्रक् है।
(i) 6
2m=6
m=3
पाइथागोरस ित्रक है –
2 × 3, 32-1,32+1= 6,9-1,9+1

अथात 6,8,10
(ii) 14
माना 2m=14
m= 7
पाइथागोरस ित्रक है –
2 × 7, 72-1, 72+1= 14, 49-1, 49+1

अथात 14,48,50
(iii) 16
माना, 2m=16
m= 8
पाइथागोरस ित्रक है –
2\times 8, 82-1, 82+1= 16, 64-1, 64+1
अथात 16,63,65
(iv) 18
माना, 2m=18
m= 9
पाइथागोरस ित्रक है –
2 × 9, 92-1, 92+1= 18, 18-1,18+1

अथात 18,80,82

Page : 109 , Block Name : प्र नवाली 6.2

Exercise 6.3

Q1 िन निलिखत सं याओं के वगमूल ात करने म इकाई अंक की या संभावना है।
(i) 9801
(ii) 99856
(iii) 998001
(iv) 65766025

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Answer. (i) 9801
यिद सं या के ईकाई पर 1 है तब सं या के वगमूल के ईकाई पर या 9 हो सकता है।
(ii) 99856
यिद सं या के ईकाई पर 6 है तब सं या के वगमूल के ईकाई पर 4 व 6 हो सकता है।
(iii) 998001
यिद सं या के ईकाई पर 1 है तब सं या के वगमूल के ईकाई पर 1 व 9 हो सकता है।
(iv) 7666025
यिद सं या के ईकाई पर है तब सं या के वगमूल के ईकाई पर 5 हो सकता है।

Page : 109 , Block Name : प्र नवाली 6.3

Q2 िबना गणना िकये वह सं या बताये जो वा तव म पूण वग नही ं है।
(i) 153
(ii) 257
(iii) 408
(iv) 441
Answer. हम जानते है िकसी भी सं या का पूण वग तभी संभव है जब उसके ईकाई के थान पर 0,1,4,5,6,9 हो।
(i) 153
153 पूण वग नही ं है योिक ईकाई अंक 3 है।
(ii) 257
257 पूण वग नही ं है योिक ईकाई अंक 7 है।
(iii) 408
408 पूण वग नही ं है योिक ईकाई अंक 8 है।
(iv) 441
441 पूण वग है योिक ईकाई अंक 1 है।

Page : 109 , Block Name : प्र नवाली 6.3

Q3 बार -बार घटाने की िविध से 100 और 169 का वगमूल ात कीिजये।
Answer. 100 का वगमूल
100-1=99

99-3=96

96-5=91

91-7=84

84-9=75

75-11=64

64-13=51

51-15=36

36-17=19

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 6 Maths

19-19=0
हमने क्रमागत िवषम सं या को 1 से 100 तक घटाया और 10वे चरण म 0 प्रा त िकया
√100 = 10

169 का वगमूल
169-1=168

168-3=165

165-5=160

160-7=153

153-9=144

144-11=133

133-13=120

120-15=105

105-17=88

88-19=69

69-21=48

48-23=25

25-25=0
हमने क्रमागत िवषम सं या को 1 से 169 तक घटाया और 13 वे चरण म 0 प्रा त िकया
√169 = 13

Page : 109 , Block Name : प्र नवाली 6.3

Q4 अभा य गुणनखंड िविध से िन न सं याओं का वगमूल ात कीिजए:
(i) 729 (ii) 400 (iii) 1764 (iv) 4096 (v) 7744 (vi) 9604 (vii) 5929 (viii) 9216 (ix) 529 (x) 8100
Answer.

(i)
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

√729 = 3 × 3 × 3 = 27

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(ii)
400 = 2 × 2 × 2 × 2 × ×5 × 5

√400 = 2 × 2 × 5 = 20

(iii)

1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7

√1764 = 2 × 3 × 7

=42

(iv)

4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

√4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

=64

(v)

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7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11

√7744 = 2 × 2 × 2 × 11

= 88

(vi)

9604 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7

√9604 = 2 × 7 × 7 = 98

(vii)

5929 = 7 × 7 × 11 × 11

√5929 = 7 × 11

(viii)

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 6 Maths

9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

√9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

=96

(ix)

529 = 23 × 23

√529 = 23

(x)

8100 = 2 × 2 × 3 × 3 × ×5 × 5

√8100 = 2 × 3 × 3 × 5

=90

Page : 110 , Block Name : प्र नवाली 6.3

Q5 िन निलिखत सं याओं म प्र येक के िलए वह सबसे छोटी पूण सं या ात कीिजए िजससे इस सं या को गुणा करने पर यह एक
पूण वग सं या बन जाये। इस पूण वग सं या का वगमूल भी ात कीिजये।
(i) 252 (ii) 180 (iii) 1008 (iv) 2028 (v) 1458 (vi) 768
Answer.

(i)
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 6 Maths
यहाँ अभा य गुणनखंड 7 का यु म नही ं है।
यिद 7 का यु म बन जाए तो सं या पूण वग बन जाएगी
252 × 7 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7

= 1764 एक पूण वग है
√1764 = 2 × 3 × 7

= 42

(ii)

180=2\times 2 \times 3\times 3\times 5
यहाँ अभा य गुणनखंड 5 का यु म नही ं है।
यिद 5 का यु म बन जाए तो सं या पूण वग बन जाएगी
180 × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

=900 एक पूण वग है
√900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

=30

(iii)

1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7

यहाँ अभा य गुणनखंड 7 का यु म नही ं है।
यिद 7 का यु म बन जाए तो सं या पूण वग बन जाएगी
180 × 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7

=7056 एक पूण वग है
√7056 = 2 × 2 × 3 × 7

=84

(iv)

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 6 Maths

2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13

यहाँ अभा य गुणनखंड 3 का यु म नही ं है।
यिद 3 का यु म बन जाए तो सं या पूण वग बन जाएगी
2028 × 3 = 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13

=6048 एक पूण वग है
√6084 = 2 × 3 × 13

=78

(v)

1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

यहाँ अभा य गुणनखंड 2 का यु म नही ं है।
यिद 2 का यु म बन जाए तो सं या पूण वग बन जाएगी
1458 × 2 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

= 2916 एक पूण वग है
√2916 = 2 × 3 × 3 × 3

=54

(vi)

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 6 Maths

768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

यहाँ अभा य गुणनखंड 3 का यु म नही ं है।
यिद 3 का यु म बन जाए तो सं या पूण जाएगी
768 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

= 2304 एक पूण वग है
√2916 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

=48

Page : 110 , Block Name : प्र नवाली 6.3

Q6 िन निलिखत सं याओं म प्र येक के िलए वह सबसे छोटी पूण सं या ात कीिजए िजससे इस सं या को भाग करने पर यह एक
पूण वग सं या बन जाये। इस पूण वग सं या का वगमूल भी ात कीिजये।
(i) 252 (ii) 2925 (iii) 396 (iv) 2645 (v) 2800 (vi) 1620
Answer.

(i)
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7

यहाँ अभा य गुणनखंड 7 का यु म नही ं है।
यिद हम 252 को 7 से भाग कर दे तो सं या पूण वग बन जाएगी।
252 ÷ 7 = 36 एक पूण वग है

36 = 2 × 2 × 3 × 3

√36 = 2 × 3

=6

(ii)

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 6 Maths

2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13

यहाँ अभा य गुणनखंड 13 का यु म नही ं है।
यिद हम 2925 को 13 से भाग कर दे तो सं या पूण वग बन जाएगी।
2925 ÷ 13 = 225 एक पूण वग है

225 = 3 × 3 × 5 × 5

√225 = 3 × 5 = 15

(iii)

396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11

यहाँ अभा य गुणनखंड 11 का यु म नही ं है।
यिद हम 396 को 11 से भाग कर दे तो सं या पूण वग बन जाएगी।
396 ÷ 11 = 36 एक पूण वग है

36 = 2 × 2 × 3 × 3

√36 = 2 × 3 = 6

(iv)

2645 = 5 × 23 × 23

यहाँ अभा य गुणनखंड 5 का यु म नही ं है।
यिद हम 2645 को 5 से भाग कर दे तो सं या पूण वग बन जाएगी।
2645 ÷ 5 = 529 एक पूण वग है

529 = 23 × 23

√529 = 23

(v)

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 6 Maths

2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7

यहाँ अभा य गुणनखंड 7 का यु म नही ं है।
यिद हम 2800 को 7 से भाग कर दे तो सं या पूण वग बन जाएगी।
2800 ÷ 7 = 400 एक पूण वग है

400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5

√400 = 2 × 2 × 5

=20

(vi)

1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5

यहाँ अभा य गुणनखंड 5 का यु म नही ं है।
यिद हम 1620 को 5 से भाग कर दे तो सं या पूण वग बन जाएगी।
1620 ÷ 5 = 324 एक पूण वग है

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

√324 = 2 × 3 × 3 = 18

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Q7 एक िव ालय म क ा VIII के सभी िव ािथयों ने प्रधानमंतर् ी रा ट् रीय राहत कोष म 2401 दान म िदए। प्र येक िव ाथ ने
उतने ही पये दान म िदए िजतने क ा म िव ाथ थे। क ा के िव ािथयों की सं या ात कीिजए।
Answer. िदया है,
प्र येक िव ाथ ने उतने पये िदए िजतने क ा म िव ाथ है।
अथात क ा म िव ािथओं की सं या दान िकए हुए रािश के वगमूल बराबर है।
कु ल दान की गयी धनरािश = 2401

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क ा म िव ािथओं की सं या =√2401
2401 = 7 × 7 × 7 × 7

√2401 = 7 × 7 = 49

अतः क ा म कु ल 49 िव ाथ है।

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Q8 एक बाग़ म 2025 पौधे इस प्रकार लगाए जाने है िक प्र येक पंि त म उतने ही पौधे हो, िजतनी पंि तयों की सं या हो। पंि तयों
की सं या और प्र येक पंि त म पौधों िक सं या ात कीिजये।
Answer. िदया है ,
प्र येक पंि त म उतने ही पौधे लगगे िजतनी पंि त है।
अथात , पंि त की सं या = एक पंि त म पौधों की सं या
कु ल पौधे = 2025
पंि त की सं या x एक पंि त म पौधों की सं या = कु ल पौधों की सं या
(पंि त की सं या)2= 2025
पंि त की सं या = √2025
2025 = 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3

√2025 = 5 × 3 × 3

=45
पंि तयों की सं या व प्र येक पंि त म पौधों की सं या 45 होगी।

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Q9 वह सबसे छोटी वग सं या ात कीिजए जो 4, 9 और 20 प्र येक से िवभािजत हो जाए।
Answer. 4 ,9 ,10 से पूण िवभािजत होने वाली सं या उसके ल.स. से प्रा त होगी ।
ल.स.प. (4 ,9 ,10 ) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

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यहाँ 5 का यु म नही ं है। यिद 5 का यु म बन जाए तो सं या पूण वग बन जाएगी।
180 × 5 = 900 यह एक पूण वग सं या है।

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Q10 वह सबसे छोटी वग सं या ात कीिजए जो 8, 15 और 20 प्र येक से िवभािजत हो जाए।
Answer. 8 ,15 ,20 से पूण िवभािजत होने वाली सं या उसके ल.स. से प्रा त होगी ।
ल.स.प. (8 ,15 ,20 ) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

यहाँ अभा य गुणनखंड 2 ,3 ,5 का यु म नही ं है। यिद यु म बन जाये तो सं या पूण वग बन जाएगी।
120 को गुणा 2 ,3 ,5 से करने पर
120 × 2 × 3 × 5 = 3600

3600 एक पूण वग सं या है।

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Exercise 6.4

Q1. िन निलिखत सं याओं का वगमूल, भाग िविध से ात कीिजए:
(i) 2304 (ii) 4489 (iii) 3481 (iv)529 (v) 3249 (vi) 1369 (vii) 5776 (viii) 7921 (ix) 576 (x) 1024 (xi) 3136
(xii)900
Answer.

(i)
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चरण I
ईकाई के थान से प्रारंभ करते हुए दो दो यु म बनाते है और उस पर बार लगाते है।
जैसे - 23, 04
¯
¯¯¯
¯¯ ¯
¯¯¯
¯¯

चरण II
¯
¯¯¯
¯¯
वह सबसे बड़ी सं या ात करते है। िजसका वग बाई तरफ िलखी सं या 23 बार से बराबर या छोटा है।
2 2
जैसे 4 < 23 < 5
तो वह सं या 4 है।
चरण III
शेषफल तथा सं या िलिखए
चरण IV
भाजक का दो गुना कीिजये और इसके दाएं म खाली थान के साथ िलिखए –

चरण V
िर त थान भरने के िलए संभािवक अंक का अनुमान लगाइये जो िक भागफल म नया अंक होगा और भाजक भागफल का गुणा करने
पर गुणनफल भा य से काम या बराबर होगा।
अथात 88 × 8 = 704
चरण VI
शेषफल 0 है
अतः √2304 = 48

(ii)

√4489 = 67

(iii)

√3481 = 59

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(iv)

√529 = 23

(v)

√3249 = 57

(vi)

√1369 = 37

(vii)

√5776 =76

(viii)

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√7921 = 89

(ix)

√0576 = 24

(x)

√1024 = 32

(xi)

√3136 = 56

(xii)

√900 = 30

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Q2 िन निलिखत सं याओं म से प्र येक के वगमूल के अंको की सं या ात कीिजये:
(i) 64 (ii) 144 (iii) 4489 (iv) 27225 (v) 390625
Answer. (i)64
¯
¯¯¯
¯¯

एक बार है।
अतः वगमूल के अंको की सं या 1 है।

(ii) 1 |44
¯
¯¯ ¯
¯¯¯
¯¯

दो बार है।
अतः वगमूल के अंको की सं या 2 है।

(iii) 44|89
¯
¯¯¯
¯¯ ¯
¯¯¯
¯¯

दो बार है।
अतः वगमूल के अंको की सं या 2 है।

(iv) 2 |72|25
¯
¯¯ ¯
¯¯¯
¯¯ ¯
¯¯¯
¯¯

तीन बार है।
अतः वगमूल के अंको की सं या 3 है।

(v) 39|06|25
¯
¯¯¯
¯¯ ¯
¯¯¯
¯¯ ¯
¯¯¯
¯¯

तीन बार है।
अतः वगमूल के अंको की सं या 3 है।

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Q3 िन निलिखत दशमलव सं याओं के वगमूल ात कीिजए:
(i)2.56 (ii) 7.29 (iii)51.84 (iv)42.25 (v) 31.36
Answer.

(i)

(ii)

(iii)

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(iv)

(v)

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Q4 िन निलिखत सं याओं म से प्र येक म यूनतम सं या या घटाई जाए िक एक पूण वग सं या प्रा त हो जाए। इस प्रकार प्रा त
पूण वग सं याओं का वगमूल भी ात कीिजए:
(i) 402 (ii) 1989 (iii) 3250 (iv) 825 (v) 63
Answer.

(i)
शेषफल 2 है।
यह दशाता है िक 20 का वग 2 से कम 402 है।
िदए गई सं या से दो घटाने पर
400 -2 =400 एक पूण वगमूल सं या है।
√400 = 20

(ii)

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शेषफल 53 है।
यिद हम 53 को 1989 से घटा दे तो यह सं या एक पूण वगमूल सं या बन जाएगी।
1989 -53 =1936
√1936 = 44

(iii)

शेषफल 1 है।
यह दशाता है िक 57 का वग 3250 से 1 कम है।
यिद हम 3250 से 1 घटा दे तो यह सं या एक पूण वगमूल सं या बन जाएगी।
िदए गई सं या से 1 घटाने पर
3250-1=3249 एक पूण वगमूल सं या है।
√3249 = 57

(iv)
शेषफल 41 है।
यह दशाता है िक 28 का वग 825 से 41 कम है।
यिद हम 825 से 41 घटा दे तो यह सं या एक पूण वगमूल सं या बन जाएगी।
िदए गई सं या से दो घटाने पर
825-41=784 एक पूण वगमूल सं या है।
√784 = 28

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(v)
शेषफल 31 है।
यह दशाता है िक 63 का वग 4000 से 31 कम है।
यिद हम 4000 से 31 घटा दे तो यह सं या एक पूण वगमूल सं या बन जाएगी।
िदए गई सं या से दो घटाने पर
4000-31=3969 एक पूण वगमूल सं या है।
√3696 = 63

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Q5 िन निलिखत सं याओं म से प्र येक म कम से कम िकतना जोड़ा जाए िक एक पूण वग सं या प्रा त हो जाए। इस प्रकार प्रा त
पूण वग सं याओं का वगमूल भी ात कीिजए:
(i) 525 (ii) 1750 (iii) 252 (iv) 1852 (v) 6412
Answer.

(i)
शेषफल 41 है।
यह दशाता है िक 22 का वग 525 से कम है।
अथात 22 के बाद सं या 23 है।
2
और 23 = 529
525 को पूणवग बनाने हेत ु सं या की आव यकता
529 -522 =4
√529 = 23 यह पूण वगमूल सं या है।

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(ii)
शेषफल 69 है।
यह दशाता है िक 41 का वग 1750 से कम है।
अथात 41 के बाद सं या 42 है।
2
और 42 = 1764
1750 को पूणवग बनाने हेत ु सं या की आव यकता
1764-1750=14
√1764 = 42 यह पूण वगमूल सं या है।

(iii)

शेषफल 27 है।
यह दशाता है िक 15 का वग 252 से कम है।
अथात 15 के बाद सं या 16 है।
2
और 16 = 256
252 को पूणवग बनाने हेत ु सं या की आव यकता
256-252=4
√256 = 16 यह पूण वगमूल सं या है।

(iv)

शेषफल 61 है।
यह दशाता है िक 42 का वग 1825 से कम है।
अथात 42 के बाद सं या 43 है।
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2
और 43 = 1849
1825 को पूणवग बनाने हेत ु सं या की आव यकता
1849-1825=24
√1849 = 43 यह पूण वगमूल सं या है।

(v)

शेषफल 12 है।
यह दशाता है िक 80 का वग 6412 से कम है।
अथात 80 के बाद सं या 81 है।
2
और 81 = 6561
6412 को पूणवग बनाने हेत ु सं या की आव यकताता
6561-6412=149
√6561 = 81 यह पूण वगमूल सं या है।

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Q6 िकसी वग की भुजा की ल बाई ात कीिजए िजसका ेतर् फल 441m है।
2

Answer. माना , वग की भुजा = x मीटर
िदया है ,
वग का ेतर् फल = भुजा x भुजा
x × x = 441
2
x = 441

x = √441

√441 वगमूल भाग िविध से प्रा त िकया जा सकता है
x= 21 m
अतः वग की भुजा की ल बाई 21 मीटर है

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Q7 समकोण ित्रभुज ABC म, ∠B=90°
(a) यिद AB=6 सेमी, BC=8 सेमी, है तो AC ात कीिजए।
(b) यिद AC=13 सेमी ,BC=5 सेमी , है तो AB ात कीिजए।
Answer. (a) समकोण ΔABC म , ∠ B=90° है
यिद AB=6 सेमी
BC=8 सेमी
AC=?

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समकोण ΔABC म पाइथागोरस प्रमेय से
2 2 2
(AC) = (AB) + (BC)

(कण)2= (ल ब)2 +(आधार)2
2 2 2
(AC) = 6 + 8

=36+64
2
(AC) = 100

(AC = √100

AC=10 सेमी

(b) AC=13 सेमी
BC=5 सेमी
AB=?
समकोण ΔABC म पाइथागोरस प्रेमय से

2 2 2
AC) = (AB) + (BC)

(कण)2= (ल ब)2 +(आधार)2
2 2 2
13 = (AB) + (5)
2
169 − 25 = (AB)
2
AB) = 144

AB = √144

AB=12 सेमी

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Q8 एक माली के पास 1000 पौधे है। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है िक पंि तयों की सं या और कॉलम की सं या
समान रहे। इसके िलए कम से कम पौधों की सं या ात कीिजए िजसकी उसे आव यकता हो।
Answer. माली के पास पौधे =1000
िदया है,
कॉलम की सं या =पंि त की सं या
अतः हम ात करना है िक 1000 म िकतने और पौधे जोड़े िजससे कॉलम और पंि त की सं या बराबर हो जाये।
अतः,

शेषफल 39 है।
यह दशाता है िक 31 का वग 1000 से कम है। 31 से अगली सं या 32 है।
2
32) = 1024

अतः 1000 को पूणवग बनाने हेत ु सं या की आव यकता
=32 − 1000 = 1024 − 100
2

=24
अतः 24 अितिर त पौधों की आव यकता है।

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Q9 एक िव ालय म 500 िव ाथ है। पी.टी. के अ यास के िलए इ हे इस तरह से खड़ा िकया गया िक पंि तयों की सं या और कॉलम
की सं या के समान रहे। इस यव था को बनाने म िकतने िव ािथयों को बाहर जाना होगा?
Answer. कूल म कु ल ब चे =500
िदया है ,
कॉलम की सं या =पंि त की सं या
इस यव था को बनाने हेत ु 500 का वगमूल

शेषफल 16 है।
अतः 500 के अनुसार 22 के वग म 16 अिधक है।
कु ल 22 पंि त व कॉलम बनेगी, िजस कारण यह ययव था बनाने म कु ल 16 ब चे रह जायगे।

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