NCERT Solutions for Class 10 Maths (गणित) Chapter 6 त्रिभुज

NCERT
SOLUTIONS
CLASS - 10th

aglase .co

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

Class : 10th
Subject : Maths
Chapter : 6
Chapter Name : ित्रभुज

प्र नावली 6.1

Q1 को ठको म िदए श दों म से सही श दों का प्रयोग करते हुए, िर त थानों को भिरए:
(i) सभी वतृ --------- होते है (सवागसम,सम प)
(ii) सभी वग --------- होते है (सवागसम,सम प)
(iii) सभी--------ित्रभुज सम प होते है (समि बाहु,समबाहु)
(iv) भुजाओ की समान सं या वाले दो बहुभजु सम प होते है, यिद (i) उनके संगत कोण -------हो तथा(ii) उनकी संगत भुजाएँ ---
------हों (बराबर, समानुपाती)

Answer. (i) सम प
(ii) सम प
(iii) समबाहु
(iv) बराबर, समानुपाती

Page : 135 , Block Name : प्र नावली – 6.1

Q2 िन निलिखत यु मों के दो िभ न-िभ न उदहारण दीिजये:
(i) सम प आकृितया (ii) ऐसी आकृितया जो सम प नही है

Answer. (i)

△ABC और △XY Z समबाहु △ है अतः सम प है।

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दो वग ABCD और वग PQRS सम प है।

(ii)

समल ब और वग

ु
ित्रभुज और समांतर चतुभज
Page : 136 , Block Name : प्र नावली – 6.1

Q3 बताइए िक िन निलिखत चतुभज
ु सम प है या नही:

Answer. चतुभज
ु सम प नही ं है, योिक दोनों की भुजाएँ तो अनुपाितक है,

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PS SR RQ PQ 1.5 1
= = = = =
AD CD CB AB 3 2

पर तु उनके अनु प कोण समान नही ं है।

Page : 136 , Block Name : प्र नावली – 6.1

प्र नावली 6.2

Q1 (i) और (ii) म, DE ∥ BC है (i) म EC और (ii) म AD ात कीिजए:

Answer. (i) माना EC=y cm
△ABC म DE ∥ BC , अतः आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से

AD AC
=
DB EC
1.5 1
=
3 y

3 × 1
y = = 2cm
1.5

अतः EC=2cm

Page : 142 , Block Name : प्र नावली – 6.2

(ii) माना AD=y cm
△ABC म DE ∥ BC , अतः आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से

AC AD
=
EC BD
y 1.8
=
7.2 5.4
1.8 × 7.2
y = = 2.4cm
5.4

अतः AD=2.4cm

Page : 142 , Block Name : प्र नावली – 6.2
Q2 िकसी △P QR की भुजाओ PQ पर क्रमशः िबंद ु E और F ि थत है िन निलिखत म से प्र येक ि थित के िलए, बताइए िक या
EF ∥ QR है:

(i) PE=3.9cm, EQ=3cm, PF=3.6cm और FR=2.4cm
(ii) PE=4cm,QE=4.5cm,PF=8cm और RF=9cm
(iii) PQ=1.28cm,PR=2.56cm,PE=0.18 और PF=0.36cm

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Answer. (i) PE=3.9cm, EQ=3cm, PF=3.6cm,FR=2.4cm
PE 3.9
= = 1.3
EQ 1.3

PF 3.9
और = = 1.5
FR 2.4
PE PF
∵ ≠ , ∴ EF तथा QR समांतर नही ं है
EQ FR

(ii) PE=4cm, QE=4.5cm, PF=8cm, RF=9cm

PF 8
और =
FR 9
PE PF
∵ = ,
EQ FR

अतः EF ∥ QR [आधारभूत समानुपाित ता प्रमेय के िवलोम से]

(iii) PQ=1.28cm, PR=2.56cm,PE=0.18cm, PF=0.36cm

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PE 0.18 18 9
→ = = =
EQ 1.10 110 55

PF 0.36 36 9
और = = =
FR 2.20 220 55
PE PF
∵ = , अतः आधारभूत समानुपाित ता प्रमेय के िवलोम से EF ∥ QR
EQ FR

Page : 142 , Block Name : प्र नावली – 6.2

AM AN
Q3 आकृित म यिद LM ∥ CB और LN ∥ CD हो तो िस कीिजए िक = है
AB AD

Answer. △ABC म,
LM ∥ CB (िदया है)

∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
AM AL
= ⟶ (1)
AB AC

LN ∥ CD (िदया है), △ADC म
∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,

AN AL
= ⟶ (2)
AD AL

समीकरण (1) व (2) से,

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AM AN
=
AB AD

Page : 142 , Block Name : प्र नावली – 6.2

BF BE
Q4 आकृित म DE ∥ AC और DF ∥ AE है िस कीिजए िक = है
FE EC

Answer. △ABC म, DE ∥ AC (िदया है)

∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
BD BE
= ⟶ (1)
DA EC

और △ABC म, DF ∥ AE (िदया है)
∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
BD BF
= ⟶ (2)
DA FE

समीकरण (1) व (2) से,
BE BF
=
EC FE

Page : 142 , Block Name : प्र नावली – 6.2

Q5 आकृित म क्रमशः OP,OQ और OR पर ि थत िबंद ु A,B और C इस प्रकार है िक AB ∥ P Q और AC ∥ P R है दशाइए
िक EF ∥ QR है।

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Answer. △P QR म, DE ∥ OQ (िदया है)

∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
PD PE
= ⟶ (1)
DO EQ

और △P OQ म, DF ∥ OR,
∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
PF PD
= ⟶ (2)
FR DD

समीकरण (1) व (2) से,
PE PF
= ⟶ (2)
EQ FR

अब △P QR म,
PE PF
= [समीकरण (2) से]
EQ FR

∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय के िवलोम से EF ∥ QR

Page : 142 , Block Name : प्र नावली – 6.2

Q6 आकृित म क्रमशः OP,OQ और OR पर ि थत िबंद ु A,B और C इस प्रकार है िक AB ∥ P Q और AC ∥ P R है दशाइए
िक BC ∥ QR है

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Answer. △P OQ म, AB ∥ P Q (िदया है)

∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
OA OB
= ⟶ (1)
AP BQ

और △P OR म, AC ∥ P R, (िदया है)
∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
OA OC
= ⟶ (2)
AP CR

समीकरण (1) व (2) से,
OB OC
= ⟶ (3)
OQ CR

अब △OQR म,
OB OC
= [समीकरण (3) से]
OQ CR

∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय के िवलोम से BC ∥ QR

Page : 142 , Block Name : प्र नावली – 6.2

Q7 प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए िस कीिजए िक एक ित्रभुज की एक भुजा के म य-िबंद ु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खी ंची
गई रेखा तीसरी भुजा को समि भािजत करती है (याद कीिजए िक आप इसे क ा IX म िस कर चुके है।)

Answer. माना TS, △P QR की भुजा के म यिब दु T से होकर QR के समांतर खीची गए रेखा है

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अथात T S ∥ QR
∴ △P QR म, आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
PT PS
=
TQ SR

PS
1 = [ ∵ P T = T Q, T म यिब दु है ]
SR

PS=SR
अतः S भुजा PR का म यिब दु है
इसिलए △P QR की भुजा PQ के म यिब दु T से QR समांतर खी ंची गए रेखा, PR को िबंद ु S पर समि भािजत करती है

Page : 143 , Block Name : प्र नावली – 6.2

Q8 प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए िस कीिजए िक एक ित्रभुज िक िक ही दो भुजाओ के म य-िब दुओ को िमलने वाली रेखा तीसरी
भुजा के समांतर होती है। (याद कीिजए िक आप क ा IX म ऐसा कर चुके है।)

Answer. माना TS, △P QR की भुजा PQ के म यिब दु T तथा दूसरी भुजा PR के म यिब दु S से होकर जाने वाली रेखा है

∴ PT=TQ और PS=SR
PT PS
और = 1
TQ SR
PT PS
अथात = = 1 ⟶ (1)
TQ SR

PT PS
△P QR म, = [समीकरण (1) म]
TQ SR

∴ आधारभूत समानुपाित ता प्रमेय के िवलोम से,
T S ∥ QR

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Page : 143 , Block Name : प्र नावली – 6.2

Q9 ABCD एक समलंब है िजसमे AB ∥ DC है तथा इसके िवकण पर पर िबंद ु O पर प्रित छे द करते है दशाइए िक
AO CO
= है।
BO DO

Answer. ABCD एक समलंब है तथा िवकण AC व BD एक दूसरे को िबंद ु O पर प्रित छे द करते है।

िबंद ु O से होती हुई तथा CD के समांतर एक रेखा PQ खी ंची।
∴ P Q ∥ CD

△ADC म P O ∥ CD [ ∵ P Q ∥ CD और O,PQ पर को िबंद ु है ]
∴ आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
AP AO
= ⟶ (1)
PD OC

इसी प्रकार △ABD म,
AP BO
= ⟶ (2)
PD OD

समीकरण (1) व (2) से,
AO BO AO CO
= → =
OC OD BO OD

Page : 143 , Block Name : प्र नावली – 6.2

AO CO
Q10 एक चतुभज
ु ABCD के िवकण पर पर िबंद ु O पर इस प्रकार प्रित छे द करते है िक = है दशाइए िक ABCD
BO DO

एक समलंब है।

Answer. चतुभज
ु ABCD के िवकण AC व BD पर पर िबंद ु O पर प्रित छे द करते है।

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O से होती हुई AB के समांतर एक रेखा OP खी ंची, अतः P O ∥ AB
△ABD म, P O ∥ AB, आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय से,
AP BO
= ⟶ (1)
PD OD
AO CO
पर तु = (िदया है)
BO DO
AO BO
= ⟶ (2)
CO OD

अतः समीकरण (1) व (2) से
P O ∥ DC [आधारभूत समानुपाितकता प्रमेय के िवलोम से]
→ AB ∥ DE ∥ DC

→ AB ∥ CD, ∴ ABCD एक समलंब है।

Page : 143 , Block Name : प्र नावली – 6.2

प्र नावली 6.3

Q1 बताइए िक आकृित म िदए गये ित्रभुजो के यु मों म से कौन-कौन से यु म सम प है। उस सम पता कसौटी को िलिखये िजसका
प्रयोग अपने उ र देने म िकया है तथा साथ ही सम प ित्रभुजो को संकेितक प म य त कीिजए।
(i)

(ii)

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(iii)

(iv)

(v)

(vi)

Answer. (i) ∠A = ∠P = 60°, ∠B = ∠Q = 80°, ∠C = ∠R = 40°
∴ △ABC ∼ △P QR [ AAA सम पता से ]

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AB BC CA
(ii) = =
QR RD PQ

∴ △ABC ∼ △QRP [ SSS सम पता से ]

(iii) संगत भुजाएँ समानुपाती नही ं है इसिलये ित्रभुज सम प नही ं है

(iv) संगत भुजाएँ समानुपाती नही ं है इसिलये ित्रभुज सम प नही ं है

(v) संगत भुजाएँ समानुपाती नही ं है इसिलये ित्रभुज सम प नही ं है

(vi) △DEF म
∠D + ∠E + ∠F = 180° [ित्रभुज के सम त कोंणो का योग]
70° + 80° + ∠F = 180°

∠F = 180° − 150°

∠F = 30°

इसी प्रकार △P QR म
∠P + ∠Q + ∠R = 180°

∠P + ∠Q + ∠R = 180°

∠P + 80° + 30° = 180°

∠P = 180° − 110°

∠P = 70°

△DEF ∼ △P QR [ AAA सम पता से ]

Page : 153 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q2 आकृित म, िजसमे △ODC ∼ △OBA, ∠BOC = 125 और ∠CDO = 70 है ∠DOC, ∠DCO और
∠OAB ात कीिजए।

Answer. △ODC ∼ △OBA
∠BOC = 125

∠CDO = 70

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DOB एक सरल रेखा है, अतः
∠DOC + ∠COB = 180

∠DOC + ∠125 = 180

∠DOC = 180 − 125 = 55

△DOC म,
∠DCO + ∠DOC + ∠CDO = 180

∠DCO + 55 + 70 = 180

∠DCO = 180 − 125

∠DCO = 55

△ODC ∼ △OBA

अतः ∠OCD = ∠OAB [सम प ित्रभुज के संगत कोण बराबर होते है।]
∠OAB = 55

Page : 153 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q3 समलंब ABCD, िजसमे AB ∥ DC है, िक िवकण AC और BD पर पर O पर प्रित छे द करते है दो ित्रभुजो की सम पता
OA OB
कसौटी का प्रयोग करते हुए, दशाइए िक = है।
OC OD

Answer. △DOC व △BOA म,
शीषािभमुख कोण
∠DOC = ∠BOA

समांतर कोण
∠DCO = ∠BAO

एकांतर कोण
∠CDO = ∠ABO

∴ △DOC ∼ △BOA [ AAA सम पता से ]

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DO CO
=
BO AO
BO AO
= [ सम प ित्रभुजों की संगत भुजाएँ ]
DO CO

Page : 153 , Block Name : प्र नावली – 6.3

QR QT
Q4 आकृित म, = तथा ∠1 = ∠2 है दशाइए िक △P QS ∼ △T QR है।
QS PR

Answer. △P QR म,

∠P QR = ∠P RQ

∴ P Q = P R ⟶ (1)

QR QT
= [िदया है]
QS PR

QR QT
= [ समीकरण (1) से ] ⟶ (2)
QS PQ

△P QS और △T QR म,

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QR QT
= [ समीकरण (2) से ]
QS QP

∠Q = ∠Q [उभयिन ठ कोण ]
∴ △P QS ∼ △T QR [ SAS सम पता से ]

Page : 154 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q5 △P QR की भुजाओ PR और QR पर क्रमशः िबंद ु S और T इस प्रकार ि थत है िक ∠P = ∠RT S है दशाइए िक
△RP Q ∼ △RT S है।

Answer. △RP Q व △RST म,

∠QP S = ∠RT S

∠R = ∠R (उभयिन ठ कोण)
अतः △RP Q ∼ △RT S (AA सम पता से )

Page : 154 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q6 आकृित म, यिद △ABE ≅ △ACD, है, तो दशाइए िक △RP Q ∼ △ABC, है

Answer.

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△ABE ≅ △ACD,

∴ AB = AC (सवागसम △ की संगत भुजाएँ)
और AE=AD (सवागसम △ की संगत भुजाएँ)
△ADE ≅ △ABC, म,

AD AE
=
AB AC

∠A = ∠A[उभयिन ठ कोण ]
∴ △ADE ∼ △ABC [SAS सम पता से]

Page : 154 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q7 आकृित म, △ABC के शीषलंब AD और CE पर पर िबंद ु P पर प्रित छे द करते है दशाइए िक
(i) △AEP ∼ △CDP
(ii) △ABD ∼ △CBE
(iii) △AEP ∼ △ADB
(iv) △P DC ∼ △BEC

Answer. (i)

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

△AEP व △CDP म,
∠AP E = ∠CP D (शीषािभमुख कोण)

∠AEP = ∠CDP

∴ △AEP ∼ △CDP (AA सम पता से)

(ii) △ABD व △CBE म,
∠ADB = ∠CEB

∠ABD = ∠CBE (उभयिन ठ कोण )
∴ △ABD ∼ △CBE (AA सम पता से)

(iii) △AEP व △ADB म,
∠P AE = ∠DAB (उभयिन ठ कोण ])

∠AEP = ∠ADB

∴ △AEP ∼ △ADB (AA सम पता से)

(iv) △P DC व △BEC म,
∠P CD = ∠BCE (उभयिन ठ कोण )

∠P DC = ∠BEC

∴ △P DC ∼ △ADB (AA सम पता से)

Page : 154 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q8 समांतर चतुभज
ु ABCD की बढाई गई भुजा AD पर ि थत E एक िबंद ु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रित छे द करती है दशाइए
की △ABE ∼ △CF B है।

Answer. △ABE और △CF B म,

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∠AEB = ∠CBF [एकांतर कोण AE ∥ BC ]
∠A = ∠C [स मुख कोण]

अतः △ABE ∼ △CF B [ AA सम पता से ]

Page : 154 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q9 आकृित म, ABC और AMP दो समकोण ित्रभुज है, िजनके कोण B और M समकोण है िस कीिजए िक:
(i) △ABC ∼ △AM P
CA BC
(ii) =
PA MP

Answer. (i)

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
△ABC और △AM P
∠A = ∠A (उभयिन ठ कोण)

∠ABC = ∠AM P (प्र येक 90)

∠ABC ∼ ∠AM P ( AA सम पता से )

(ii) Ans(i) से, △ABC ∼ △AM P
AB AB
अतः, = (सम प ित्रभुज की संगत भुजाएँ)
PQ PM

Page : 154 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q10 CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समि भािजत है िक िबंद ु D और H क्रमशः △ABC और
△F EG की भुजाओं AB और FE ि थत है यिद △ABC ∼ △F EG है, तो दशाइए िक:

CD AC
=
GH FG

△DCB ∼ △H GE

△DCA ∼ △H GF

Answer. (i) △ABC ∼ △F EG (िदया है)

∴ ∠A = ∠F

∠B = ∠E

∠ACB = ∠F GE

∠ACD = ∠F GH ( CD और GH कोण समि भाजक ह )
∠DCB = ∠H GE

△ACD और △F GH म,
∠A = ∠F

और ∠ACD = ∠F GH (िस िकया)
∴ △ACD ∼ △F GH (AA सम पता से )

CD AC
=
GH FG

(ii) △DCB और △H GE म,
∠DCB = ∠H GE (िस िकया)
∠B = ∠E (िस िकया)
∴ △DCB ∼ △H GE (AA सम पता से )

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
(iii) △DCA और △H GF म,
∠ACD = ∠F GH (िस िकया)
∠A = ∠F (िस िकया)
∴ △DCA ∼ △H GF ( AA सम पता से )

Page : 154 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q11 आकृित म, AB=AC वाले, एक समि बाहु ित्रभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर ि थत E एक िबंद ु है यिदAD⊥BC और
EF ⊥AC है तो िस कीिजए िक △ABD एक समि बाहु △ECF है।

Answer. △ABC एक समि बाहु △ है,

∴ AB = AC

अतः ∠ABD = ∠ECF
△ABD और △ECF म

∠ADB = ∠ECF (िस िकया)
∠ADB = ∠EF C (प्र येक 90)

∴ △ABD ∼ △ECF ( AA सम पता से )

Page : 155 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q12 एक ित्रभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माि यक AD एक अ य ित्रभुज PQR की क्रमशः भुजाओ PQ और QR तथा
माि यका PM के समानुपाती है (देखीये आकृित म) दशाइए िक △ABC ∼ △P QR है।

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Answer.

AD और PM, △ABC व △P QN की माि यकाएँ (क्रमशः) है अतः
BC QR
BD = तथा QM =
2 2
AB BC AD
= = (िदया है )
PQ QR PM

1
BC
AB 2 AD
= =
PQ 1 PM
QR
2
AB BD AD
= = ⟶ (2)
PQ QM PM

△ABD और △P QM म
AB BD AD
= = [समीकरण (1) से]
PQ QA PM

∴ △ABD ∼ △P QM ( SSS सम पता से )
∠ABD = ∠P QM (सम प ित्रभुज के संगत कोण) ⟶ (2)

△ABC व् △P QR म
∠ABD = ∠P QM (समीकरण (2) से )
AB BC
= िदया है
PQ QR

अतः △ABC ∼ △P QR (SSS सम पता से)
Page : 155 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q13 एक ित्रभुज ABC की भुजा BC पर एक िबंद ु D इस प्रकार ि थत है िक ∠ADC = ∠BAC है दशाइए िक
CA = CB × CD है।
2

Answer. △ADC व् △BAC म,

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

∠ADC = ∠BAC

∠ACD = ∠BCA (उभयिन ट कोण)
∴ △ADC ∼ △BAC ( AA सम पता से )

CA CD
अतः = (सम प ित्रभुजों की संगत भुजाएँ)
CB CA
2
CA = CB × CD

Page : 155 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q14 एक ित्रभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा मि यका AD एक अ य ित्रभुज की भुजाओ PQ और PR तथा मि यका PM
के क्रमशः समानुपाती है दशाइए िक △ABC ∼ △P QR है।

Answer.

AB AC AD
= = (िदया है)
PQ PR PM

AD तथा PM को क्रमशः िब दुओ X व Y तक बढ़ाया, AD=DX व PM=MY। B तथा C को X से व Q तथा R को Y से िमलाया।
AD व PM △ABC व △P QR की माि यकाएँ (क्रमशः) है।
∴ BD=DC और QM=MR

और AD=DX व PM =MNY (रचना ारा)
ु ABCD म, िवकण AC व BC एक दूसरे को िबंद ु D पर समि भािजत करते है। अतः ABXC एक समांतर चतुभज
चतुभज ु है।
इस प्रकार PQYR की एक समांतर चतुभज
ु है।
∴ AC=BX और AB+XC तथा PR=QY और PQ=YR

AB AC AD
= = (िदया है)
PQ PR PM

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
AB BX 2AD
= =
PQ QM 2P M

AB BX AX
= =
PQ QY PY

∴ △ABX ∼ △P QY ( SSS सम पता से)
अतः ∠BAX ∼ ∠QP Y (सम प ित्रभुजाओ के संगत कोण) ⟶ (1)
इस प्रकार, △AXC ∼ △P Y R
और ∠CAX = ∠RP N ⟶ (2)
समीकरण (1) व् (2) को जोड़ने पर
∠BAX + ∠CAR = ∠QP Y + ∠RP Y

∠CAB = ∠RP Q ⟶ (3)

△ABC व △P QR म
AB AC
=
PQ PR

∠CAB = ∠RP Q

∴ △ABC ∼ △P QR (SAS सम पता से)

Page : 155 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q15 लंबाई 6m वाले एक उ वाधर तंभ की भूिम पर छाया की लंबाई 4m है, जबिक उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28m
है मीनार की ऊचाई ात कीिजए।

Answer.

माना DE त भ है और AB मीनार है अतः DF तनक की छाया और BC मीनार की छाया है
△ABC व △DEF म

∠BAC = ∠DEF (एक ही समय पर बने सूय के कोण)

∠ABC = ∠EDF (प्र येक कोण 90)

∴ △ABC ∼ △EDF ( AA सम पता से )

AB BC
अतः =
ED DF
ED × BC 6 × 28
AB = =
DF 4

AB=42

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अतः मीनार की ऊंचाई 42m है।

Page : 155 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q16 AD और PM ित्रभुजो ABC और PQR की क्रमशः माि यकाएँ है, जबिक △ABC ∼ △P QR है िस कीिजए िक
AB AD
= है।
PQ PM

Answer.

△ABC ∼ △P QR ( िदया है )
AB BC AC
अतः = = ⟶ (1) (सम प ित्रभुजों की संगत भुजाएँ)
PQ QR PR

और ∠A = ∠P (सम प ित्रभुजों के संगत कोण) ⟶ (2)
∠B = ∠Q

∠C = ∠R

BC QR
AD तथा PM △ABC व △P QR की माि यकाएँ (क्रमशः) है इसिलए BD = और Q ⟶ (3)
2 2

समीकरण (1) व (3) से,
AB BD
= ⟶ (4)
PQ QM

△ABD व △P QM म,
∠B = ∠Q (समीकरण (2) से)

AB BD
= (समीकरण (4) से)
PQ QM

∴ △ABD ∼ △P QM [ SAS सम पता से ]
AB BD AD
अतः = = [ सम प ित्रभुजों की संगतभुजाएँ ]
PQ QM PM

AB AD
→ =
PQ PM

Page : 155 , Block Name : प्र नावली – 6.3

प्र नावली 6.4

Q1 मान लीिजये △ABC ∼ △DEF है और इनके ेतर् फल क्रमशः 64cm और 121cm है यिद EF =15.4cm हो, तो
2 2

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
BC ात कीिजए।

Answer. △ABC ∼ △DEF (िदया है)
क◌्ष◌ेत◌्रफल△ABC AB
2
BC
2
AC
2

अतः, = = =
क◌्ष◌ेत◌्रफल△DEF DE
2
EF
2
DF
2

2 2
EF = 15.4cm, ar△ABC = 64cm , ar△DEF = 121cm
2 2
64 BC BC
∴ = =
2 2
121 EF 15.4
2
BC 64
=
2
15.4 121

BC 8
=
15.4 11
8 × 15.4
BC =
11

BC=11.2cm

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.4

Q2 एक समलंब ABCD िजसम AB ∥ DC है, के िवकण पर पर िबंद ु O पर प्रित छे द करते है यिद AB=2CD हो हो ित्रभुजों
AOB और COD के ेतर् फलों का अनुपात ात कीिजए।

Answer.

AB ∥ CD (िदया है)
∴ ∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण)
और ∠OBA = ∠ODC (एकांतर कोण)
△AOB व △COD म,

∠AOB = ∠COD (शीषािभमुख कोण)

∠OBA = ∠ODC (एकांतर कोण)

∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण)

∴ △AOB ∼ △COD ( AAA सम पता से)
2
ar (△AOB) AB
अतः =
2
ar (△COD) CD
2
(2CD)
= ( ∵ AB = 2CD, िदया है)
2
CD
2
4CD
=
2
CD

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4
=
1

अतः ar (△AOB) : ar (△COD) = 4 : 1

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.4

Q3 आकृित म एक ही आधार BC पर दो ित्रभुज ABC औत DBC बने हुए है यिद AD,BC और O पर प्रित छे द करे, तो दशाइए िक
ar (ABC) AO
= है।
ar (DBC) DO

Answer.

माना AX व DY रेखा BC पर शीषलंब है
1
△ के ेतर् फल = × आधार × शीषलंब
2

अतः
1
× BC × AX
ar (△ABC)
2
अतः =
ar (△DBC) 1
× BC × DY
2

ar (△ABC) AX
→ = → (1)
ar (△DBC) DY

△AXO व △DF O म
∠AOX = ∠DOY (शीषिभमुख कोण)

∠AXO = ∠DY O (एकांतर कोण)

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∴ △AXO ∼ △DY O ( AA सम पता से )
AX AO
अतः = (सम प ित्रभुजों की संगत समानुपाती भुजाएँ)
DY DO

समीकरण (1) से,
ar△ABC AO AX AO
= (∵ = )
ar△DBC DO DY DO

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.4

Q4 यिद दो सम प ित्रभुजा के ेतर् फल बराबर हो तो िस कीिजए िक वे ित्रभुज सवागसम होते है।

Answer. माना △ABC व △DEF सम प ित्रभुज है, अतः
2 2 2
ar△ABC AB BC AC
= 2
=
2
=
2
⟶ (1)
ar△DEF DE EF DF

ar△ABC = ar△DEF

ar△ABC
इसिलए, = 1
ar△DEF

और समीकरण (1) से,
2 2 2
AB BC AC
= = = 1
2 2 2
DE EF DF
AB BC AC
= = = 1
DE EF DF

AB=DE
BC=EF
और AC=DF
अतः △ABC ≅ △DEF ( SSS सवागसमता से )

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.4

Q5 एक ित्रभुज ABC की भुजाओ AB,BC और CA के म य-िबंद ु क्रमशः D,E और F है △DEF और △ABC के ेतर् फलों
का अनुपात ात कीिजए।

Answer.

D,E और F भुजाओ AB,BC व CA के म यिब दु (क्रमशः) है।
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1
∴ DE ∥ AC और DE = AC
2

△ADC व △BED म
∠ACB = ∠DEB (संगत कोण)

CAB = ∠EDB (संगत कोण)

∵ △ACB ∼ △DEB (AA सम प से)
2
ar (△ACB) AC
=
2
ar (△DEB) DE
2
AC
=
2
1
( AC)
2
2
4AC
=
2
AC
4
=
1
1
ar△DEB = ar (△ACB)
4
1
इसी प्रकार, ar (△CEF ) = ar (△ACB)
4
1
ar (△ADF ) = ar (△ACB)
4

ar (△DEF ) = ar (△ABC) − ar (△BED) − ar (△CEF ) − ar (△ADF )

1 1 1
= ar (△ABC) − ar (△ABC) − ar (△ABC) − (ar△ABC)
4 4 4
1
= ar (△ABC)
4
ar (△DEF ) 1
=
ar (△ABC) 4

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.3

Q6 िस कीिजए िक दो सम प ित्रभुजो के ेतर् फलों का अनुपात इनकी संगत माि यकाओं के अनुपात का वग होता है।

Answer.

△XY Z ∼ △M N O तथा YW और MP ित्रभुजों की माि यकाएँ है।
△XY Z ∼ △M N O

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XY YZ XZ
अतः = = ⟶ (1)
MN NO MO

तथा ∠X = ∠M , ∠Y = ∠N और ∠Z = ∠O ⟶ (2)
∵ XW और MP माि यकाएँ है, अतः
1
Y W = WZ = YZ
2
1
और N P = P O = NO
2

समीकरण (1) से
XY YW XZ
= = ⟶ (3)
MN NP MO

△XY W व △M N P म
XY YW
= (समीकरण (3) से)
MN NP

∠Y = ∠N (समीकरण (2) से)
∴ △XY W ∼ △M N P (SAS सम पता से )
XY YW XW
अतः = = (सम प ित्रभुजों की संमानुपाितक संगत भुजाएँ) ⟶ (4)
MN NP MP

2 2 2
ar (△XY Z) XY WZ XZ
तथा, = = =
2 2 2
(ar (△M N P ) MN NO MO

समीकरण (1) व (4) से
XY YZ XZ XW
= = =
MN NO MO MP
2
ar (△XY Z) XW
अतः, =
2
(ar (△M N O) MP

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.4

Q7 िस कीिजए िक एक वग की िकसी भुजा पर बनाएं गए समबाहु ित्रभुज का ेतर् फल उसी वग के एक िवकण पर बनाएं गए समबाहु
ित्रभुज के ेतर् फल का आधा होता है।

Answer.

माना PQRS एक वग है। िजसकी प्र येक भुजा ‘a’ इकाई है
अतः िवकण QR = √2a इकाई △P QX और △RQY , वग की भुजा और िवकण (क्रमशः) पर बनाए गए समबाहु ित्रभुज
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है।
△P QX की प्र येक भुजा a इकाई तथा
△RQY की प्र येक भुजा a√2 इकाई है

दोनों ित्रभुज समबाहु है, अतः प्र येक कोण 60 के है इस प्रकार (△P QX ∼ △RQY ) ( AAA सम पता से )
2
ar (△P QX) a 1
और = ( ) =
(ar (△RQY ) √2a 2

1
और ar (△P QX) = (ar△RQY )
2

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.4

Q8 ABC और BDE दो समबाहु ित्रभुज इस प्रकार है िक D भुजा BC का म य-िबंद ु है ित्रभुजो ABC और BDE के ेतर् फलो का
अनुपात है:
2:1 (B)1:2 (C)4:1 (D)1:4

Answer.

△ABC , △BDE
समबाहु △ है
इसिलये दोनों ित्रभुजों के सभी कोण 60 के है
अतः, △ABC ∼ △EBD (AAA सम पता से)
y
माना △ABC के प्र येक भुजा y इकाई है, इसिलए △BDE की प्र येक भुजा की ल बाई होगी
2
2

⎛ ⎞
ar (△ABC) y 4
अब = ⎜
⎜
⎟
y ⎟
=
(ar (△BDE) 1
⎝ ⎠
2

इसिलये उ र, िवक प (c) है।

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.4

Q9 दो सम प ित्रभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात म है। इन ित्रभुजो के ेतर् फलो का अनुपात है:
(A)2:3 (B)4:9 (C)81:16 (D)16:81

Answer. योिक दोनों ित्रभुज सम प है, अतः

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

े र् फल का अनुपात = (भुजाओ के अनुपात)2
ित्रभुजों के त
2
4
= ( )
9

16
=
81

इसिलये उ र, िवक प (D) है

Page : 158 , Block Name : प्र नावली – 6.4

प्र नावली 6.5

Q1 कु छ ित्रभुजो की भुजाएँ नीचे दी गई है। िनधािरत कीिजए िक इनम से कौन- कौन से ित्रभुज समकोण ित्रभुज है इस ि थित म
कण की लंबाई भी िलिखए।
7cm,24cm,25cm
3cm,8cm,6cm
50cm,80cm,100cm
13cm,12cm,5cm

Answer. (i) दी गई भुजाओ का वग करने पर,
49,576,625
49+576=625
2 2 2
(7) + (24) = (25)

भुजाएँ पाइथोगोरस प्रमेय को संत ु ट करती है, अतः यह समकोण ित्रभुज है समकोण ित्रभुज म कण की ल बाई सबसे अिधक होती है,
अतः कण की ल बाई 25cm है

(ii) दी गई भुजाओ का वग करने पर,
9,64,36
9 + 36 ≠ 64
2 2 2
(3) + (6) = (8)

अतः दी गई भुजाएँ पाइथोगोरस प्रमेय को संत ु ट नही ं करती, इसिलए यह समकोण ित्रभुज नही ं है

(iii) दी गई भुजाओ का वग करने पर,
2500,6400,1000049,576,625
2500 + 6400 ≠ 10000
2 2 2
(50) + (80) = (100)

योंिक दी गई भुजाएँ पाइथोगोरस प्रमेय को संत ु ट नही ं करती, इसिलए यह समकोण ित्रभुज नही ं है

(iv) दी गई भुजाओ का वग करने पर,
169,144,25
25+144=169
2 2 2
(5) + (12) = (13)

भुजाएँ पाइथोगोरस प्रमेय को संत ु ट करती है, अतः यह समकोण ित्रभुज है समकोण ित्रभुज म कण की ल बाई सबसे अिधक होती है,
अतः कण की ल बाई 13cm है

Page 32 of 57

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

Page : 164 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q2 PQR एक समकोण ित्रभुज है िजसका कोण P समकोण है तथा QR पर िबंद ु M इस प्रकार ि थत है िक P M ⊥QR है
2
दशाइए िक P M = QM . M R है।

Answer.

△M P R म,
∠M RP = 180 − 90 − ∠M P R = 90 − ∠M P R

इसी प्रकार, ∠M P Q = 90 − ∠M P R
और ∠M QP = 180 − 90 − 90 + ∠M P R = ∠M P R
△QM P व △P M R म

∠M P Q = ∠M RP (िस िकया)
∠P M Q = ∠RM P (प्र येक कोण 90)

∠M QP = ∠M P R (िस िकया)
अतः △QM P ∼ △P M R (AAA सम पता से)
QM MP
∴ = (सम प ित्रभुजों की समानुपाती भुजाएँ)
PM MR
2
PM = QM πM R

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q3 आकृित म ABD एक समकोण ित्रभुज है िजसका कोण A समकोण है तथा AC⊥BD है दशाइए िक
(i) AB = BC. BD
2

(ii) AC = BC. DC
2

(iii) AD = BD. CD
2

Page 33 of 57

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

Answer. △ABD एक समकोण ित्रभुज, िजसमे A समकोण है और AC⊥BD
(i)

△ADB व △CAB म
∠DAB = ∠ACB (प्र येक कोण 90)

∠ABD = ∠CBA (उभयिन ट कोण)

∴ △ADB ∼ △CAB (AA सम पता से)

AB BD
अतः = (सम प ित्रभुजों की समानुपाती भुजाएँ)
CB AB
2
AB = CB × BD

(ii) △CBA म,
∠CBA = 180 − 90 − ∠CAB

△CAD म,
∠CBA = 90 − ∠CAB

और ∠CDA = 180 − 90 − ∠CAD
= 90 − 90 + ∠CAB

∠CDA = ∠CAB

△CBA व △CAD म,
∠CBA = ∠CAD ( िस िकया )
∠CAB = ∠CDA ( िस िकया )
∠ACB = ∠DCA (प्र येक कोण 90)

∴ △CBA ∼ △CAD

Page 34 of 57

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
AC BC
= (सम प ित्रभुजों की समानुपाती भुजाएँ)
DC AC
2
AC = BC × DC

(iii) △DCA व △DAB म
∠DCA = ∠DAB (प्र येक कोण 90)

∠CDA = ∠ADB (उभयिन ट कोण)

∴ △DCA ∼ △DAB (AA सम पता से )

DC DA
= (स मुख ित्रभुजों की समानुपाती भुजाएँ)
DA DB
2
AD = BD × DC

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q4 ABC एक समि बाहु ित्रभुज है िजसका कोण C समकोण है िस कीिजए AB 2
= 2AC
2
है

Answer.

△ABC एक समि बाहु ित्रभुज है और कोण C समकोण है
∴ AC = BC और ∠90

पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AB = AC + BC

AB
2
= AC
2
+ AC
2
(∵ AC = BC )
2 2
AB = 2AC

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q5 ABC एक समि बाहु ित्रभुज है िजसमे AC=BC है यिद AB 2
= 2AC
2
है तो िस कीिजए की ABC एक समकोण ित्रभुज
है।

Answer.

Page 35 of 57

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

△ABC एक समि बाहु ित्रभुज है,
िजसमे, AC=BC और AB = 2AC 2 2

2 2
AB = 2AC
2 2 2
AB = AC + AC
2 2 2
AB = AC + BC (∵ AC = BC)

△ACB की भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय को संत ु ट करती है, अतः यह समकोण ित्रभुज है

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q6 एक समबाहु ित्रभुज ABC की भुजा 2a है उसके प्र येक शीषल ब की लंबाई ात कीिजए।

Answer.

△ABC एक समबाहु ित्रभुज, अतः AB=BC=AC=2a
2a
समबाहु ित्रभुज म, शीषल ब भुजा को समि भिजत करता है, अतः BP = P C = = a
a

पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AP + PC = AC
2 2 2
AP + (a) = (2a)
2 2 2
AP = 4a − a
2
AP = √3a

AP = √3a

अतः प्र येक शीषल ब की भुजाएँ √3a है

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5
Page 36 of 57

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

Q7 िस कीिजए िक एक समचतुभज
ु की भुजाओ के वग का योग उसके िवकण के वग के योग के बराबर होता है।

Answer.

△P OQ , पाइथोगोरस प्रमेय से
2 2 2
PQ = PO + OQ ⟶ (1)

इसी प्रकार, △QOR म,
2 2 2
QR = QO + OR ⟶ (2)

△ROS म, RS 2
= RO
2
+ OS
2
⟶ (3)

△P OS म, P S 2
= PO
2
+ OS
2
⟶ (4)

समीकरणों (1) , (2) , (3) व (4) को जोड़ने पर,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
→ PQ + QR + RS + PS = OP + OQ + OR + QO + RO + OS + PO + OS
2 2 2 2
= 2 [OP + OQ + OR + OS ]

= 2 (2OP
2
+ 2OQ )
2
(∵ OP = OR, और OQ=OS )
2 2
= 4 [OP + OQ ]

2 2
PR QS 1 1
= 4 [( ) + ( ) ] (∵ OP = P R, और OQ= QS)
2 2 2 2

1
2 2
= 4 × [P R + QS ]
4
2 2 2 2 2 2
PQ + QR + RS + PS = PR + QS

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q8 आकृित म, △ABC के अ यंतर म ि थत कोई िबंद ु O है तथा OD⊥BC, OE⊥AC और OF ⊥AB है दशाइए िक
(i) OA + OB + OC − OD − OE − OF = AF + BD + CE
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(ii) AF + BD + CE = AE + CD + BF
2 2 2 2 2 2

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Answer. (i)

OA,OB और OC को िमलाया,
△AOF , पाइथोगोरस प्रमेय से
2 2 2
OA = OF + AF ⟶ (1)

इसी प्रकार,
2 2 2
OB = OD + BD ⟶ (2)
2 2 2
OC = OD + BD ⟶ (3)

समीकरणों (1) , (2) व (3) को जोड़ने पर,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
OA + OB + OC = OF + AF + OD + BD + OE + EC
2 2 2 2 2 2 2 2 2
OA + OB + OC − OD − OE − OF = AF + BD + EC ⟶ (4)

(ii) समीकरण (4) से
2 2 2 2 2 2 2 2 2
AF + BD + EC = OA + OB + OC − OD − OE − OF
2 2 2 2 2 2
= (OA − OE ) + (OC − OD ) + (OB − OF )

2 2 2 2 2 2
AF + BD + EC = AE + CD + BF

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q9 10m लंबी एक सीढी एक दीवार पर िटकने पर भूमी से 8m की ऊचाई पर ि थत एक िखड़की तक पहुचती है दीवार के आधार से
सीढी के िनचले िसरे की दूरी ात कीिजए।

Answer.

Page 38 of 57

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माना PQ दीवार व PR सीढ़ी है
△P QR, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
PQ + QR = PR
2 2 2
(8) + (QR) = (10)
2
QR = 100 − 64

QR = √36

QR=6
इसिलये दीवार के आधार से सीढ़ी की दूरी 6m है

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q10 18m ऊँचे एक उ वाधर खंभे के ऊपरी िसरे से एक तार का िसरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा िसरा एक खूट
ं े से जुड़ा हुआ है
ं े को िकतनी दूरी पर गाडा़ जाए िक तार तना रहे जबिक तार की लंबाई 24m है।
खंभे के आधार से खूट

Answer.

माना PQ खंभे की ऊचांई व PR तार की लंबाई है।
अब, △P QR म पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
PR = PQ + QR
2 2 2
(24) = (18) + QR
2
QR = 576 − 324

QR = √252

Page 39 of 57

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
QR = 6√7

ं े की दूरी 6√7 है
इसिलये खंभे के आधार से खूट

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q11 एक हवाई जहाज एक हवाई अ डे से उ र की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है इसी समय एक अ य हवाई जहाज उसी
1
हवाई अ डे से पि चम की ओर 1200km/hr की चाल से उड़ता है 1 घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी िकतनी होगी
2

?

Answer.

1 3
1 घंटे म उ र की और जाने वाले िवमान ारा तय दूरी = 1000 × = 1500km
2 2

∴ OY = 1500km
1 3
1 घंटे म पि चम की और जाने वाले िवमान ारा तय दूरी = 1200 × = 1800km
2 2

△XOY म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
XY = XO + OY
2 2 2
XY = (1800) + (1500)

XY = √5490000

AB = 300√61
1
अतः 1 घंटे प चात दोनों िवमानों के म य 300√61km की दूरी होगी
2

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q12 दो खंभे िजनकी ऊँचाईया 6m और 11m है तथा ये समतल भूमी पर खड़े है यिद इनके पाद िब दुओ के बीच की दूरी 12m है तो
इनके ऊपरी िसरों के बीच की दूरी ात कीिजए।

Answer.

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△SP X म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
SP = XP + XS
2 2
= (SR − XR) + PX
2 2
= (11 − 6) + (12)

=25+144
=169
P S = √169

P S = 13

अतः ऊपरी िसरों के म य दूरी 13m है

Page : 165 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q13 एक ित्रभुज ABC िजसका कोण C समकोण है, की भुजाओ CA और CB पर क्रमशः िबंद ु D और E ि थत है िस कीिजए िक
2 2 2 2
AE + BD = AB + DE है।

Answer.

△ACE , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AE = AC + CE ⟶ (1)
2 2 2
इसी प्रकार BD = BC + CD ⟶ (2)

समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
2 2 2 2 2 2
AE + BD = AC + CE + BC + CD ⟶ (3)

△CDE म, पाइथोगोरस प्रमेय से,

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2 2 2
DE = CD + CE ⟶ (4)

इसी प्रकार, AB 2
= AC
2
+ CB
2
⟶ (5)

समीकरण (3) , (4) व (5) से,
2 2 2 2
DE + AB = AE + BD
2 2 2 2
AE + BD = AB + DE

Page : 166 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q14 िकसी ित्रभुज ABC के शीष A से BC पर डाला गया ल ब BC को िबंद ु D पर इस प्रकार प्रित छे द करता है िक DB=3 CD
है (देिखय आकृित) िस कीिजए िक 2AB = 2AC + BC है।
2 2 2

Answer.

△ABC म, AD⊥BC और BD=3CD
△ACD, पाइथोगोरस प्रमेय से
2 2 2
AC = AD + CD
2 2 2
AD = AC − CD ⟶ (1)

△ABD , पाइथोगोरस प्रमेय से
2 2 2
AB = AD + BD
2 2 2
AD = AB − BD ⟶ (2)

समीकरण (1) व (2) से,
2 2 2 2
AC − CD = AB − BD ⟶ (3)

3DC=BD

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BC 3BC
DC = और BD = ⟶ (4)
4 4

समीकरण (3) व (4) से,
2 2
BC 3BC
2 2
AC − ( ) = AB − ( )
4 4
2 2
BC 9BC
2 2
AC − = AB −
16 16
2 2 2 2
16AC − BC = 16AB − 9BC
2 2 2
16AC = 16AB − 8BC
2 2 2
2AC = 2AB − BC
2 2 2
2AB = 2AC + BC

Page : 166 , Block Name : प्र नावली – 6.5

1
Q15 िकसी समबाहु ित्रभुज ABC की भुजा BC एक िबंद ु D इस प्रकार ि थत है िक BD = BC है िस कीिजए िक
3
2 2
9AD = 7AB है।

1
Answer. △ABC एक समबाहु ित्रभुज है, िजसम AB=BC=AC और BD = BC
3

AX⊥BC ,(रचना से)

माना AB=BC=AC=a
a
∴ BX = XC = (∵ AX⊥BC )
2

△AXB म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AB = AX + BX
2
a
2 2
a = AX + ( )
2
2 2
a 3a
2 2
AX = a − =
4 4

△ADX म, पाइथोगोरस प्रमेय से
2 2 2
AD = AX + XD
2 2
3a a a
2
AD = + ( − )
4 2 3

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BC
(BD = )
3
2 2
3a a
= +
4 36
2 2
27a + a
2
AD =
36
2 2
36AD = 28a
2 2
36AD = 28AB [∵ AB = a]
2 2
9AD = 7AB

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Q16 िकसी समबाहु ित्रभुज म, िस कीिजए िक उसकी एक भुजा के वग का ितगुना उसके एक शीषलंब के वग के चार गुने के बराबर
होता है।

Answer. △XY Z एक समबाहु ित्रभुज है, िजसमे XY=YZ=XZ=a (माना)
और XP ⊥Y Z

a
∴ Y P = PZ =
2

△XY P , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
XY = YP + XP
2
a
2 2
a = XP + ( )
2
2
a
2 2
XP = a −
4
2
3a
2
XP =
4
2 2
4XP = 3(AB)

4× (शीषलंब के वग) = भुजा 2

Page : 166 , Block Name : प्र नावली – 6.5

Q17 सही उ र चुनकर उसका औिच य दीिजए: △ABC म, AB = 6√3cm,AC=12cm और BC =6cm है कोण B है:
(A) 120 (B) 60 (C) 90 (D) 45
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Answer.

AB = 6√3cm

AC=12cm
BC=6cm
2
AB = 108
2
AC = 144
2
BC = 36
2 2 2
AB + BC = 144 = AC

अतः △ABC की भुजाएँ पाइथोगोरस प्रमेय को संत ु ट करती है, इसिलए ∠B = 90
अतः िवक प (c) सही है

Page : 166 , Block Name : प्र नावली – 6.5

प्र नावली 6.6

QS PQ
Q1 आकृित म, PS कोण QPR का समि भाजक है िस कीिजए िक = है।
SR PR

Answer. SP के समांतर एक रेखाखंड RX खी ंचा, जो भुजा QP को बढ़ाने पर X पर िमलती है। SP, \(\angle QPR का
समि भाजक है, अतः

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∠QP S = ∠SP R ⟶ (1)

P S ∥ XR, अतः
∠SP R = ∠P RX ⟶ (2)

और ∠QP S = ∠QXR ⟶ (3)
समीकरण (1) , (2) व् (3)
∠P RX = ∠QXR

∴ PX = PR

रचना से, P S ∥ XR
△QXR म, थे स प्रमेय से
QS QP
=
SR PX
QS PQ
= (∵ P X = XR]
SR QR

Page : 166 , Block Name : प्र नावली – 6.6

Q2 आकृित म, D ित्रभुज ABC के कण AC पर ि थत एक िबंद ु है जबिक BD⊥AC तथा DM ⊥BC और DN ⊥AB ह
िस कीिजए िक
(i) DM = DN . M C (ii) DN = DM . AN
2 2

Answer. (i) △ABC म, DN ∥ CB, DM ∥ AB और ∠B = 90
अतः DMBN आयात ह

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∴ DN = M B और DM = N B
BD⊥AC, ∴ ∠CDB = 90

∠2 + ∠3 = 90 ⟶ (1)

△CDM म,
∠1 + ∠2 + ∠DM C = 180

∠1 + ∠2 + 90 = 180

∠1 + ∠2 = 90 ⟶ (2)

△DM B म,
∠3 + ∠4 + ∠DM B = 180

∠3 + ∠4 + 90 = 180

∠3 + ∠4 = 90 ⟶ (3)

समीकरण (1) व् (2) से,
∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠2

∠1 = ∠3

और समीकरण (1) व् (3) से,
∠2 + ∠3 = ∠3 + ∠4

∠2 = ∠4

△DCM व् △BDM म,
∠1 = ∠3 (िस िकया)
∠2 = ∠4 (िस िकया)
∴ △DCM ∼ △BDM ( AA सम पता से )
BM DM
अतः =
DM MC
DN DM
= [∵ BM = DN ]
DM MC
2
DM = DN × M C

(ii)

समीकरण △DBN म,
∠5 + ∠7 = 180 − 90

∠5 + ∠7 = 90 ⟶ (1)

समीकरण △DAN म,
∠6 + ∠8 = 180 − 90

∠6 + ∠8 = 90 ⟶ (2)

BD⊥AC , अतः ∠ADB = 90
∠5 + ∠6 = 90 ⟶ (3)

समीकरण (1) व् (3) से,
∠5 + ∠7 = ∠5 + ∠6

∠6 = ∠7

और समीकरण (2) व् (3) से,
∠6 + ∠8 = ∠5 + ∠6

∠5 = ∠8

△DN A व् △BN D म,
∠6 = ∠7 (िस िकया)

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∠5 = ∠8 (िस िकया)
∴ △DN A ∼ △BN D ( AA सम पता से )
AN DN
अतः =
DN NB
2
DN = AN × DM [∵ N B = DM ]

Page : 166 , Block Name : प्र नावली – 6.6

Q3 आकृित म, ABC एक ित्रभुज है िजसमे ∠ABC > 90 है तथा AD⊥CB िस कीिजए िक
2 2
AC = AB + 2BC. BD है।

Answer. △ABC म,

∠ABC > 90,

AD⊥CB

△ADB म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AB = AD + DB ⟶ (1)

△ACD म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AC = AD + DC
2 2 2
AC = AD + (DB + BC)
2 2 2 2
AC = AD + DB + BC + 2DB × BC
2 2 2
AC = AB + BC + 2DB × BC

Page : 167 , Block Name : प्र नावली – 6.6

Q4 आकृित म, ABC एक ित्रभुज है िजसमे ∠ABC < 90 है तथा AD⊥BC है िस कीिजए िक
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2 2 2
AC = AB + BC − 2BC. BD है।

Answer. △ABC म, (\angle ABC >90,\)
AD⊥BC

△ADB , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AB = AD = BD
2 2 2
AD = AB = BD ⟶ (1)

△ADC , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AC = AD + CD
2 2 2 2 2 2 2 2
AC = AB − BD + CD AC = AB − BD + (BC − BD)
2 2 2 2 2
AC = AB − BD + BC + BD − 2BC × BD
2 2 2
AC = AB + BC − 2BC × BD

Page : 167 , Block Name : प्र नावली – 6.6

Q5 आकृित म, AD ित्रभुज ABC की एक मि यका है तथा AM ⊥BC है िस कीिजए िक
2
BC
(i) AC 2
= AD
2
+ BC. DM + ( )
2
2
BC
(ii) AB 2
= AD
2
− BC. DM + ( )
2

1
(iii) AC 2
+ AB
2
= 2AD
2
+ BC
2

2

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Answer. (i)

AD, △ABC की मि यका है और AM ⊥BC है
△AM D, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AM + MD = AD ⟶ (1)

△AM C , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
(AM + MC ) = AC

2 2 2
AM + (M D + DC) = AC
2 2 2 2
(AM + M D ) + DC + 2M D × CD = AC

BC
AD
2
+ DC
2
+ 2M D × CD = AC
2
DC = [ AD मि यका है ]
2
2
BC BC
2 2
∵ AD + ( ) + 2M D × = AC
2 2
2
BC
2 2
AD + ( ) + M D × BC = AC
2

(ii) △ABM , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AB = AM + MB
2 2 2
= (AB − DM ) + MB

2 2 2
= (AD − DM ) + (BD − M D)
2 2 2 2
= AD − DM + BD + MD − 2BD × DM
2 2
= AD + BD − 2BD × DM
2
BC BC
2 2
AB = AD + ( ) − 2 × MD
2 2

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2
BC
2
= AD + ( ) − BC × M D
2

(iii) △ABM , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AB = AM + MB ⟶ (1)

△AM C , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
AC = AM + MC ⟶ (2)

समीकरण (1) व् (2) को जोड़ने पर,
2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM + MB + MC
2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM + (BD − DM ) + (M D + DC)
2 2 2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM = BD + DM − 2BD × DM + M D + DC + 2M D × DC
2 2 2 2 2 2
AB + AC = 2AM + 2M D + BD + CD + 2M D (−BD + DC)
2 2
BC BC BC BC
2 2 2 2
AB + AC = 2 (AM + MD ) + ( ) + ( ) + MD ( − )
2 2 2 2
2
BC
2 2 2
AB + AC = 2AD + 2
4
2
BC
2 2 2
AB + AC = 2AD +
2

Page : 167 , Block Name : प्र नावली – 6.6

Q6 िस कीिजए िक एक समांतर चतुभज
ु के िवकणो के वग का योग उसकी भुजाओ के वगो के योग के बराबर होता है।

Answer. माना PQRS एक समांतर चतुभज
ु है
ST ⊥P Q तथा P U ⊥RS , बनाया

△ST P म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
SP = TP + ST ⟶ (1)

△ST Q म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
SQ = TQ + ST
2 2 2
SQ = ST + (T P + P Q)
2 2 2 2
SQ = (ST + TP ) + PQ + 2T P × P Q

SQ
2
= SP
2
+ PQ
2
+ 2P T × P Q [ समीकरण (1) से ] ⟶ (2)
△P SU म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
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2 2 2
PS = PU + SU ⟶ (3)

△P U R म, पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
PR = PU + UR
2 2
= PU + (SR − SU )
2 2 2
= PU + RS + SU − 2SR × SU
2 2 2 2
PS = (P U + SU ) + SR − 2SR × SU

PR
2
= PS
2
+ SR
2
− 2SR × SU [ समीकरण (3) से ] ⟶ (4)
PQRS एक समांतर चतुभज
ु है, अतः
P Q = RS ⟶ (5)

QR = P S ⟶ (6)

△ST P व् △P SU म,
∠ST P = ∠P U S [ प्र येक 90 ]

∠T P S = ∠P SU [एका तर कोण]

PS=PS [ उभयिन ठ ]
अतः △T P S ≅ △U SP [ AAS सवागसमता से ]
∴ T P = SU [सवागसम ित्रभुजो की संगत भुजाएँ] ⟶ (7)

समीकरण (1) व् (2) को जोड़ने पर,
2 2 2 2 2 2
PR + QS = PS + PQ + 2T P × P Q + P S + DC − 2SR × SU
2 2 2 2 2 2
PR + QS = PS + PQ + PS + SR + 2T P × P Q − 2SR × SU
2 2 2 2 2 2
PR + QS = QR + PQ + PS + RS + 2T P × P Q − 2P Q × T P

समीकरण (5) व् (7) से,
2 2 2 2 2 2
PR + QS = PQ + QR + RS + PS

Page : 167 , Block Name : प्र नावली – 6.6

Q7 आकृित म, एक वत
ृ की दो जीवाए AB और CD पर पर िबंद ु P पर प्रित छे द करती है िस कीिजए िक
(i) △AP C ∼ △DP B
(ii) AP.PB=CP.DP

Answer. (i)

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BC को िमलाया
△AP C व् △DP B म,

∠AP C = ∠DP B

∠CAP = ∠BDP

△AP C ∼ △DP B [ AA सम पता से ]

(ii) उ र (i) से,
△AP C ∼ △DP B

AP PC CA
अतः = = [ सम प ित्रभुजो की समानुपाती संगत भुजाएँ]
DP PB BD
AP PC
=
DP PB

AP × P B = P C × DP

Page : 167 , Block Name : प्र नावली – 6.6

Q8 आकृित म, एक वत
ृ की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर पर पर िबंद ु P पर प्रित छे द करती है िस कीिजए िक
(i) △P AC ∼ △P DB
(ii) PA.PB=PC.PD

Answer. (i)

Page 53 of 57

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△P AC व् △P DB म,
∠P = ∠P [उभयिन ठ कोण]

∠P AC = ∠P DB [चिक्रय चतुभज
ु के बा कोण स मुख आंतिरक कोण के बराबर होते है]
∴ △P AC ∼ △P OB [ AA सम पता से ]

(ii) उ र (i) का प्रयोग करके
PA AP PC
= = [सम प ित्रभुजो की समानुपाती संगत भुजाएँ]
PD BD PB
PA PC
=
PD PB

PA × PB = PD × PC

Page : 168 , Block Name : प्र नावली – 6.5

BD AB
Q9 आकृित म ित्रभुज ABC की भुजा BC पर एक िबंद ु D इस प्रकार ि थत है िक = है िस कीिजए िक AD, कोण
CD AC

BAC का समि भािजत है

Answer. △ABC म,
BD AB
=
CD AC

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BA को िबंद ु X तक इस प्रकार बढ़ाया तािक AX=AC हो और X और C को िमलाया
BD AB
=
CD AC
BD AX
=
CD AC

थे स प्रमेय के िवलोम से
AD ∥ XC

∴ ∠BAD = ∠AXC ⟶ (1) [संगत कोण]
और ∠DAC = ∠ACX ⟶ (2) [एकांतर कोण]
AX=AC [ रचना से ]
∠AXC = ∠ACX ⟶ (1)

समीकरण (1) , (2) व् (3) की तुलना करने पर
∠BAD = ∠AXC

अतः AD, ∠BAC का समि भाजक है

Page : 168 , Block Name : प्र नावली – 6.6

Q10 नािजमा एक नदी की धारा म मछिलया पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड का िसरा पानी की सतह से 1.8m ऊपर
है तथा डोरी के िनचले िसरे से लगा कांटा पानी के सतह पर इस प्रकार ि थत है िक उसकी नािजमा से दूरी 3.6m है और छड़ के िसरे
के ठीक नीचे पानी के सतह पर ि थत िबंद ु से उसकी दूरी 2.4m है यह मानते हुए िक उसकी डोरी ( उसकी छड़ के िसरे से कांटे तक )
तनी हुई है, उसने िकतनी डोरी बाहर िनकाली हुई है ( देिखए आकृित )? यिद वह डोरी को 5cm/s की दर से अंदर खी ंचे, तो 12
सेक ड के बाद नािजमा की काँटे से ैितज दूरी िकतनी होगी?

Answer. मान लीिजये PQ पानी की सतह से छड़ की नोक की ऊंचाई तथा QR छड़ की नोक से उडान की दूरी है
अतः PR डोरी की ल बाई है
Page 55 of 57

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△P QR , पाइथोगोरस प्रमेय से,
2 2 2
PR = PQ + QR
2 2
= (1.8) + (2.4)

=3.24+5.76
PR=9
P R = √9

PR=3
अतः छड़ की डोरी की ल बाई 3m है
नािजमा डोरी को 5cm/s की दर से खी ंचे तो 12 से० के बाद नािजमा की काँटे से दूरी = 12 × 5=60cm=0.6m

माना उड़ान 12स० बाद S पर होगी
अतः 12 sec म बाहर िनकली डोरी की ल बाई PS है
PS=PR-12 सेक ड म नािजमा ारा बाहर खीची गयी डोरी की ल बाई
= (3 − 0.6)

=2.4m
△P SQ म,
2 2 2
PS = PQ + BD
2 2 2
(2.4) = (1.8) + BD
2
QS = 5.76 − 3.24

QS = √2.56

QS=1.587m
उडान की दूरी =QS=1.2m
=1.587+1.2
=2.787m

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
=2.79m

Page : 168 , Block Name : प्र नावली – 6.6

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