NCERT Solutions for Class 10 Maths (गणित) Chapter 4 द्विघात समीकरण

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CLASS - 10th

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 4 Maths

Class : 10th
Subject : Maths
Chapter : 4
Chapter name : ि घात समीकरण

प्र नावली 4.1

Q1 जाँच कीिजए िक या िन न ि घात समीकरण है।
(i) (x + 1)
2
= 2(x − 3)

Answer. (x + 1)
2
= 2(x − 3)

समीकरण को हल करने पर
2
(x + 1) = 2(x − 3)
2
x + 2x + 1 = 2x − 6
2
x + 7 = 0
2
x + 0x + 7 = 0
2
उपरो त समीकरण ax + bx + c = 0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः उपरो त समीकरण एक ि घात समीकरण है।
Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(ii) x − 2x = (−2)(3 − x)
2

Answer. x − 2x = (−2)(3 − x)
2

समीकरण को हल करने पर
2
x − 2x = (−2)(3 − x)
2
x − 2x = −6 + 2x
2
x − 4x + 6 = 0
2
उपरो त समीकरण x − 4x + 6 = 0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः उपरो त समीकरण एक ि घात समीकरण है।

Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(iii) (x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)
Answer. (x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)
समीकरण को हल करने पर
(x-2)(x+1)=(x-1)(x+3)
2 2
x − 2x + x − 2 = x − x + 3x − 3

-3x+1=0
2
यह ax + bx + c = 0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः उपरो त समीकरण एक ि घात समीकरण है।

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Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(iv)(x-3)(2x-1)=x(x+5)
Answer.(x-3)(2x-1)=x(x+5)
समीकरण को हल करने पर
(x-3)(2x-1)=x(x+5)
2 2
2x − 6x + x − 3 = x + 5x
2
x − 10x − 3 = 0
2
यह ax + bx + c = 0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः उपरो त समीकरण एक ि घात समीकरण है।
Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(v)(2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)
Answer. (2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)
समीकरण को हल करने पर
(2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)
2 2
2x − x − 6x + 3 = x + 5x − x − 5
2
x − 11x + 8 = 0
2
x − 11x + 8 = 0
2
यह ax + bx + c = 0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः उपरो त समीकरण एक ि घात समीकरण है।
Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(vi)x 2 2
+ 3x + 1 = (x − 2)

Answer.x 2 2
+ 3x + 1 = (x − 2)

समीकरण को हल करने पर
2 2
x + 3x + 1 = (x − 2)
2 2
x + 3x + 1 = x − 4x + 4

7x-3=0
यह ax + bx + c = 0 के प्रकार का समीकरण है।
2

अतः उपरो त समीकरण एक ि घात समीकरण है।

Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(vii)(x + 2)
3 2
= 2x(x − 1)

Answer.(x + 2) = 2x(x
3 2
− 1)

समीकरण को हल करने पर
3 2
(x + 2) = 2x(x − 1)
3 2 3
x + 6x + 12x + 8 = 2x − 2x
3 2
−x + 6x + 14x + 8 = 0
2
यह ax + bx + c = 0 के प्रकार का समीकरण है।
अतः उपरो त समीकरण एक ि घात समीकरण है।

Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(viii)x 3 2 3
− 4x − x + 1 = (x − 2)

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Answer.x 3 2 3
− 4x − x + 1 = (x − 2)

समीकरण को हल करने पर
3 2 3
x − 4x − x + 1 = (x − 2)
3 2 3 2
x − 4x − x + 1 = x − 6x + 12x − 8
2
2x − 13x + 9 = 0

यह ax + bx + c = 0 के प्रकार का समीकरण है।
2

अतः उपरो त समीकरण एक ि घात समीकरण है।
Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

Q2 िन न ि थितयों को ि घात समीकरणों के प म िन िपत कीिजएः
(i) एक आयताकार भूखड ं को ेतर् फल 528m है। ेतर् की लंबाई (मीटरों म) चौड़ाई के दुगनु े से एक अिधक है।हम भूखड
2
ं की
लंबाई और चौड़ाई ात करनी है।
Answer. माना भूखड ं की चौड़ाई =x m
भूखडं की लंबाई =2x+1 m
इसिलये ेतर् फल =x(2x+1) m 2

िदया है, x(2x+1=528)
2
2x + x = 528
2
x + x − 528 = 0

अतः लंबाई और चौड़ाई ि घात समीकरण को संत ु ट करती है।
Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(ii) दो क्रमागत धना मक पूणाको का गुणनफल 306 है। हम पूणाँको ात करना है।
Answer. माना पहला पूणाक =x
दूसरा पूणाक=x+1
इसिलये, गुणनफल=x(x+1)
िदया है, x(x+1)=2306
2
x + x = 306
2
x + x − 306 = 0

अतः पूणाक ि घात समीकरण को संत ु ट करते है।
Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वष बड़ी है। उनकी आयु (वष म) का गुणनफल अब से तीन वष प चात 360 हो जाएगी।हम रोहन की
वतमान आयु ात करनी है।
Answer. माना रोहन की आयु =x वष
माँ की आयु =x+26 वष
तीन वष बाद आयु ,
रोहन की आयु =(x+3) वष
माँ की आयु =(x+26+3)=(x+29) वष
गुणनफल =(x+3) (x+29) वष
िदया है,
(x+3)(x+29)=360
2
x + 3x + 29x + 87 − 360 = 0
2
x + 32x − 273 = 0

अतः रोहन की आयु ि घात समीकरण को संत ु ट करती है।
Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

(iv) एक रेलगाड़ी 480km की दूरी समान चाल से तय करती है। यिद इसकी चाल 8 km/hr कम होती, तो वह उसी दूरी को तय
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करने म 3 घंटे अिधक लेती। हम रेलगाड़ी की चाल ात करनी है।
Answer. माना रेलगाड़ी की चाल=x km/hr
कु ल दी हुयी दूरी =480km
480
दूरी तय करने म लगा समय = (समय= दूरी /चाल )
h
480
यदी इसकी चाल 8km/hr कम होती, तो िलया गया समय = घंटे
x − 8
480 480
− = 3
x − 8 x

480x − 480x + 3640
= 3
x(x − 8)
2
3(x − 8x) = 3640
2
3x − 24x − 3640 = 0

अतः रेलगाड़ी की चाल ि घात समीकरण को संत ु ट करती है।
Page : 82 , Block Name : प्र नावली 4.1

प्र नावली 4.2

Q1 गुणनखंडन िविध से िन न ि घात समीकरणों के मूल ात कीिजएः
(i)x − 3x − 10
2

Answer. x − 3x − 10 2

2
x − 5x + 2x − 10 = 0

x(x − 5) + 2(x − 5) = 0

अतः x+2=0 या x-5=0
x=-2 या x=5
अतः ि घात समीकरण के मूल -2 और 5 है।

(ii)2x + x − 6 = 0
2

Answer.2x + x − 6 = 0 2

2
2x + 4x − 3x − 6 = 0

2x(x + 2) − 3(x + 2) = 0

(2x − 3)(x + 2) = 0

अतः x+2=0 या 2x-3=0
3
x=-2 या x = है।
2
3
अतः ि घात समीकरण के मूल -2 और है।
2

(iii)√2x + 7x + 5√2 = 0
2

Answer.√2x + 7x + 5√2 = 0 2

2
√2x + 5x + 2x + 5√2 = 0

x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0

(√2x + 5)(x + √2) = 0

अतः √2x + 5 = 0 या x + √2 = 0

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−5
x = य◌ाx = −√2
√2

−5
अतः ि घात समीकरण के मूल और − √2 है।
√2

1
(iv)2x 2
− x +
8
1
Answer. 2x 2
− x +
8

समीकरण को 8 से गुणा करने पर,
2
16x − 8x + 1 = 0
2
16x − 4x − 4x + 1 = 0

4x(4x-1)-1(4x-1)=0
(4x-1)(4x-1)=0
अतः 4x-1=0 या 4x-1=0
1 1
x = य◌ाx =
4 4
1 1
अतः समीकरण के मूल और है।
4 4

(v)100x − 20x + 1 = 0
2

Answer. 100x − 20x + 1 = 0 2

2
100x − 10x − 10x + 1 = 0

10x(10x-1)-1(10x-1)=0
(10x-1)(10x-1)=0
अतः 10x-1=0 या 10x-1=0
1 1
x = य◌ा
10 10
1 1
अतः समीकरण के मूल और है।
10 10

Page : 85 , Block Name : प्र नावली 4.2

Q2 उदाहरण 1 म दी गई सम याओं को हल कीिजए।
Answer.
(i) उदाहरण 1 म दी गई सम याएं x − 45x + 324 = 0 और x 2 2
− 55x + 750 = 0 है।
2
x − 45x + 324 = 0
2
x − 36x − 9x + 324 = 0

x(x-36)-9(x-36)=0
(x-9)(x-36)=0
अतः x-9=0 या x-36=0
x=9 या x=36
अतः जाॅन और जीवंती के पास शु म 9 और 36 कंचे थे।

(ii) x − 55x + 750 = 0
2

Answer. x − 30x − 25x + 750 = 0
2

x(x-30)-25(x-30)=0
(x-25)(x-30)=0
अतः x-25=0 या x-30=0
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x=25 और x=30
इसिलये बनाये गये िखलौनों िक सं या 30 या 25 है।
Page : 85 , Block Name : प्र नावली 4.2

Q3 ऐसी दो सं याएँ जात िकिजए ,िजनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
Answer. माना पहली सं या=x
दूसरी सं या=27-x
दोनों सं याओं का गुणनफल=182
x(27-x)=182
2
27x − x = 182
2
x − 27x + 182 = 0
2
x − 14x − 13x + 182 = 0

x(x-14)-13(x-14)=0
(x-13)(x-14)=0
x-13=0 या x-14=0
x=13 या x=14
इसिलये 13 और 14 दो सं याएँ है।
Page : 85 , Block Name : प्र नावली 4.2

Q4 दो क्रमागत धना मक पूणाक ात िकिजए िजनके वग का योग 365 हो।
Answer. माना पहली सं या=x
दूसरी सं या=x+1
2
गुणनफल=x 2
+ (x + 1) = 365
2 2
x + x + 1 + 2x − 365 = 0
2
2x + 2x − 364 = 0
2
x + x − 182 = 0
2
x + 14x − 13x − 182 = 0

x(x+14)-13(x+14)=0
(x-13)(x+14)=0
x+14=0 तथा x-13=0
x=-14 या x=13
x+1=13+1=14
इसिलये दो धना मक पूणाक 13 और (13+1) 14 है।
Page : 85 , Block Name : प्र नावली 4.2

Q5 एक समकोण ित्रभुज िक ऊँचाई इसके आधार से 7cm कम है। यिद कण 13cm का हो ,तो अ य दो भुजाएँ ात िकिजए।
Answer. माना आधार =x सेमी
ऊँचाई =x-7 सेमी
कण =13 सेमी
पाइथागोरस प्रेमय ारा ,
आधार2 + ऊँचाई2 =कण2
2 2 2
x + (x − 7) = 13
2 2
x + x − 14x + 49 = 169
2
2x − 14x + 49 − 169 = 0
2
2x − 14x − 120 = 0
2
x − 7x − 60 = 0
2
x − 12x + 5x − 60 = 0

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x(x-12)+5(x-12)=0
(x+5)(x-12)=0
x+5=0 या x-12=0
x=-5 या x=12
आधार =12 सेमी
ऊँचाई =12-7=5 सेमी
Page : 85 , Block Name : प्र नावली 4.2

Q6 एक कु टीर उ ोग एक िदन म कु छ बतनों का िनमाण करता है। एक िवशेष िदन यह देखा गया िक प्र येक नग की िनमाण लागत
(Rs म) उस िदन के िनमाण िकए बतनों की सं या के दुगनु े से 3 अिधक थी। यिद उस िदन की कु ल िनमाण लागत 90Rs थी तो
िनिमत बतनों की सं या और प्र येक नग की लागत ात िकिजए।
Answer. माना बतनों की सं या=x
एक नग की लागत=2x+3
कु ल लागत=90Rs
x(2x+3)=90
2
2x + 3x = 90
2
2x + 3x − 90 = 0
2
2x + 15x − 12x − 90 = 0

x(2x+15)-6(2x+15)=0
(x-6)(2x+15)=0
x-6=0 या 2x+15=0
−15
x=6 या x =
2

इसिलये बतनों की सं या =6
प्र येक नग की लागत =2(6)+3=12+3=15Rs
Page : 85 , Block Name : प्र नावली 4.2

प्र नावली 4.3

Q1 यिद िन निलिखत ि घात समकरणों के मूलों का अि त व हो तो इ ह पूण वग बनाने की िविध ारा ात िकिजए।
(i)2x − 7x + 3
2

Answer. 2 से भाग करने पर
7 3
2
x − x + = 0
2 2
7 3
2
x − x = −
2 2
2
7 1
दोनों ओर [ ] जोड़ने पर,
2 2
2 2
7 7 7
2
x − x + ( ) = −3 + ( )
2 4 4
2
7 3 49
(x − ) = − +
4 2 16
2
7 −24 + 49
(x − ) =
4 16

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2
7 25
(x − ) =
4 16
7 5
x − = ±
4 4
7 5 7 5
x − = या x − = −
4 4 4 4
5 7 5 7
x = + या x = − +
4 4 4 4
7 + 5 −5 + 7
x = या x =
4 4
12 2
x = या x =
4 4
1
x=3 या x =
2
1
इसिलये ि घात समीकरण के मूल 3 और है।
2

(ii)2x + x − 4 = 0
2

Answer. समीकरण को 2 से भाग करने पर
x
2
x + − 2 = 0
2
x
2
x + = 2
2
2
1 1
दोनों ओर [ ( )] जोड़ने पर,
2 2
2 2
1 1 1
2
x + x + ( ) = 2 + ( )
2 2 4
2
1 1 33
(x + ) = 2 + =
4 16 16

1 √33
x + = ±
4 4

1 √33 1 √33
x + = या x + = −
4 4 4 4

√33 1 √33 1
x = − या x = − −
4 4 4 4

√33 − 1 −√33 − 1
x = या x =
4 4

√33 − 1 −√33 − 1
इसिलये ि घात समीकरण के मूल और है।
4 4

(iii)4x + 4√3x + 3 = 0
2

Answer. समीकरण को 4 से भाग करने पर
3
2
x + √3x + = 0
4
3
2
x + √3x = −
4
2
1
दोनों ओर [ (√3)
2

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2 2
√3 3 √3
2
⇒ x + √3x + ( = − + ( )
2 4 2
2
√3 3 3
(x + ) = − +
2 4 4
2
√3
(x + ) = 0
2

√3
x + = 0
2

√3
x = −
2

√3 √3
इसिलये ि घात समीकरण के मूल − और है।
2 2

(iv)2x + x + 4 = 0
2

Answer. समीकरण को 2 से भाग करने पर
1
2
x + x + 2 = 0
2
1
2
x + x = −2
2
2
1 1
दोनों ओर [ ( )] जोड़ने पर,
2 2
2 2
x 1 1
2
x + + ( ) = −2 + ( ) ]
2 4 4
2
1 1
(x + ) = −2 +
4 16
2
1 −32 + 1
(x + ) =
4 16
2
1 −31
(x + ) = < 0
4 16

इसिलये समीकरण का कोई वा तिवक मूल नही ं है।
Page : 97 , Block Name : प्र नावली 4.3

Q2. उपयु त प्र न म िदए गए ि घात समीकरणों के मूल , ि घाती सूतर् का उपयोग करके ात िकिजए।
(i)2x − 7x + 3 = 0
2

Answer. िदये हुये समीकरण म ,
a=2,b=-7 और c=3 है।
2 2
b − 4ac = (−7) − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25
2
b − 4ac = 25 > 0
2
−b ± √b − 4ac
अतः x = ]
2a

−(−7) ± √25
x =
2 × 2
7 ± 5
x =
4
7 + 5 7 − 5
x = या x =
4 4

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12 2
x = या x =
4 4
1
x = 3 या x =
2
1
इसिलये ि घात समीकरण के मूल 3 और है।
2

(ii)2x + x − 4 = 0
2

Answer. िदयेहुये समीकरण म ,
a=2,b=1 और c=-4 है।
2 2
(b − 4ac = (1) − 4 × 2 × (−4)
2
(b − 4ac = 1 + 32
2
(b − 4ac = 33 > 0

2
−b ± √b − 4ac
अतः x = ]
2a

−1 ± √33
x =
2 × 2

−1 + √33 −1 − √33
x = या x =
4 4

√33 − 1 −√33 − 1
इसिलये ि घात समीकरण के मूल और है।
4 4

(iii)4x + 4√3 + 3 = 0
2

Answer. िदये हुये समीकरण म ,
a=4, b=4√3 और c=3 है।
2
2
b − 4ac = 4√3 − 4 × 4 × 3
2
b − 4ac = 48 − 48
2
(b − 4ac = 0

√ 2
−b ± b − 4ac
अतः x = ]
2a

−4√3 ± √0
x =
2 × 4

√3
x = −
2

√3 √3
इसिलये ि घात समीकरण के मूल − और − है।
2 2

(iv)2x + x + 4 = 0
2

Answer. िदये हुये समीकरण म ,
a=2, b=1 और c=4 है।
2 2
b − 4ac = (1) − 4 × 2 × 4
2
b − 4ac = 1 − 32
2
b − 4ac = −31 < 0

2
िकसी वा तिवक सं या का वग ॠणा मक होना संभव नही ं अतः √(b) − 4ac का मान वा तिवक नही ं होगा।
इसिलये समीकरण का कोई वा तिवक मूल नही ं है।
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Page : 97 , Block Name : प्र नावली 4.3

Q3. िन न समीकरणों के मूल को ात िकिजए।
1
(i)x − = 3, x ≠ 0
x
1
Answer. x − = 3, x ≠ 0
x
2
x − 1
= 3
x
2
x − 1
3x
=
2
x − 3x − 1 = 0

यहाँ a=1, b=-3 और c=-1 है।
2 2
b − 4ac = (−3) − 4(1)(−1)
2
b − 4ac = 9 + 4
2
b − 4ac = 13 > 0
2
−b ± √b − 4ac
अतः x = ]
2a

−(−3) ± √13
x =
2 × 1

3 + √13 3 − √13
x = या x =
2 2

3 + √13 3 − √13
इसिलये ि घात समीकरण के मूल और है।
2 2

1 1 11
(ii) − = , x ≠ −4, 7
x + 4 x − 7 30
1 1 11
Answer. − = , x ≠ −4, 7
x + 4 x − 7 30
x − 7 − x − 4 11
=
(x + 4)(x − 7) 30

−11 11
=
2
x − 7x + 4x − 28 30
2
x − 3x − 28 = −30
2
x − 3x − 28 + 30 = 0
2
x − 3x + 2 = 0

यहाँ a=1, b=-3 और c=2 है।
2 2
b − 4ac = (−3) − 4(1)(2)
2
b − 4ac = 9 − 8
2
b − 4ac = 1 > 0
2
−b ± √b − 4ac
अतः x = ]
2a

−(−3) ± √1
x =
2 × 1
3 + 1 3 − 1
x = या x =
2 2

x = 2 या x = 1
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इसिलये ि घात समीकरण के मूल 2 और 1 है।
Page : 97 , Block Name : प्र नावली 4.3

1
Q4 3 वष पूव रहमान की आयु (वष म) का यु क्रम और अब से 5 वष प चात आयु के यु क्रम का योग है। उसकी वतमान आयु
3

ात कीिजए।
Answer. माना रहमान की वतमान आयु=x वष
3 वष पूव रहमान की आयु=(x-3) वष
5 वष बाद रहमान की आयु=(x+5) वष
1 1 1
+ =
x − 3 x + 5 3
x + 5 + x − 3 1
=
(x − 3)(x + 5) 3
2
x − 3x + 5x − 15 = 3(2x + 2)
2
x + 2x − 15 − 6x − 6 = 0
2
x − 4x − 21 = 0

यहाँ a=1, b=-4 और c=-21 है।
2 2
b − 4ac = (−4) − 4(1)(−21)
2
b − 4ac = 16 + 84
2
b − 4ac = 100 > 0

√ 2
−b ± b − 4ac
अतः x = ]
2a

−(−4) ± √100
x =
2 × 1
4 + 10 4 − 10
x = या x =
2 2

x=7 या x=-3
इसिलये समीकरण के मूल 7 और -3 है।
पर तु आयु कभी ॠणा मक नही ं होती, इसिलए रहमान की वतमान आयु 7 वष है।
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Q5 एक लास टे ट म शेफाली के गिणत और अंगर् ेजी म प्रा त िकए गए अंकों का योग 30 है। यिद उसको गिणत म 2 अंक अिधक
और अंगर् ेजी म 3 अंक कम िमल होते , तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके ारा दोनों िवषयों म प्रा त िकए अंक ात
िकिजए।
Answer. माना शेफाली के गिणत म अंक=x
अंगर् ेजी म अंक=30-x
अब यिद उसे गिणत म 2 अिधक और अंगर् ेजी म 3 कम अंक कम प्रा त हो तो,
(x+2)(30-x-3)=210
(x+2)(27-x)=210
2
27x + 54 − x − 2x = 210
2
x − 25x − 54 + 210 = 0
2
x − 25x + 156 = 0
2
x − 12x − 13x + 156 = 0

x(x-12)-13(x-12)=0
(x-13)(x-12)=0
x-12=0 या x-13=0
x=12 या x=13
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यिद x=12,
तब गिणत म अंक =12
और अंगर् ेजी म अंक =30-12=18
यिद x=13,
तब गिणत म अंक =13
और अंगर् ेजी म अंक =30-13=17
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Q6 एक आयताकार खेत का िवकण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अिधक लंबा है । यिद बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अिधक हो ,तो
खेत की भुजाएँ ात िकिजए।
Answer.

माना छोटी भुजा =x m
िवकण =(x+60) m
बड़ी भुजा =(x+30) m
ABCD एक आयताकार खेत है । अतः पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए ,
2 2 2
x + (x + 30) = (x + 60)
2 2 2
x + x + 60x + 900 = x + 120x + 3600
2 2
2x + 60x + 900 − x − 120x − 3600 = 0
2
x − 120x − 2700 = 0
2
x − 90x − 30x − 2700 = 0

x(x-90)+30(x-90)=0
(x+30)(x-90)=0
x+30=0 या x-90=0
x=-30 या x=90
खेत की भुजा ॠणा मक नही ं होती । अतः
खेत की छोटी भुजा =90 m
और खेत की बड़ी भुजा =90+30=120 m
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Q7 दो सं याओं के वग का अंतर 180 है । छोटी सं या का वग बड़ी सं या का आठ गुना है। दोनों सं याएँ ात िकिजए।
Answer. माना बड़ी सं या=x
और छोटी सं या=y
तब , y = 8x 2

और x − y = 180
2 2

समीकरण (1) से y का मान रखने पर ,
2

2
x − 8x = 180
2
x − 8x − 180 = 0
2
x − 18x + 10x − 180 = 0

x(x-18)+10(x-18)=0
(x+10)(x-18)=0

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x+10=0 या x-18=0
x=-10 या x=18
योिकं x, एक बड़ी सं या है , इसिलए ॠणा मक नही ं होगी।
अतः x=18 और y = √8x = √8 × 18 = √144 = 12
इसिलए बड़ी सं या 18 और छोटी सं या 12 होगी।
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Q8 एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है।यिद यह चाल 5 km/hr अिधक होती, तो वह उसी यात्रा म 1
घंटा कम समय लेती । रेलगाड़ी की चाल ात िकिजए।
360
Answer. माना रेलगाड़ी की चाल x km/hr है। तब 360 िकमी दूरी तय करने म लगा समय = घंटे [∵ (समय = दूरी /चाल
x

)
360
यिद चाल 5 km/hr यादा होती तब , दूरी तय करने म लगा समय = घंटे
x + 5
360 360
= + 1
x x + 5
360 360
− = 1
x x + 5
1 1
360[ ] − = 1
x x + 5
x + 5 − x
360[ ] = 1
x(x + 5)

5
360[ ] = 1
2
x + 5x
2
360 × 5 = x + 5x
2
x + 5x − 1800 = 0
2
x + 45x − 40x − 1800 = 0

x(x+45)-40(x+45)=0
(x-40)(x+45)=0
x-40=0 या x+45=0
x=40 या x=-45
चाल कभी ॠणा मक नही ं होती , अतः रेलगाड़ी की चाल 40 km/hr है।
Page : 97 , Block Name : प्र नावली 4.3

3
Q9 दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9 घंटों म भर सकते है।बड़े यास वाला नल हौज को भरने म , कम यास वाले नल से
8

10 घंटे कम समय लेता है। प्र येक ारा अलग से हौज को भरने के समय ात िकिजए।
Answer. माना बड़े यास वाले नल ारा िलया गया समय =x घंटे
छोटे यास वाले नल ारा िलया गया समय=(x+10) घंटे
1
अब 1 घंटे म बड़े यास वाले नल ारा भरा गया हौज =
x
1
और 1 घंटे म छोटे यास वाले नल ारा भरा गया हौज =
x + 10
1 1 1
+ =
x 1 + x 3
9
8
x + 10 + x 8
=
x(x + 10) 75

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2
75(2x + 10) = 8(x + 10x)
2
150x + 750 = 8x + 80x
2
8x + 80x − 150x − 750 = 0
2
8x − 70x − 750 = 0
2
4x − 35x − 375 = 0
2
4x − 60x + 25x − 375 = 0

4x(x-15)+25(x-15)=0
(4x+25)(x-15)=0
4x+25=0 या x-15=0
−25
x = या x=15
4

योिकं समय ॠणा मक नही ं होता और x समय है। इसिलए x=15।
अतः बड़े यास वाले नल ारा िलया गया समय =15 घंटे
और छोटे यास वाले नल ारा िलया गया समय=15+10=25 घंटे
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Q10 मैसरू और बैगल
ं ोर के बीच के 132 km यात्रा करने म एक ए सप्रेस रेलगाड़ी , सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (म य
के टे शनों पर ठहरन का समय यान म न िलया जाए) । यिद ए सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल , सवारी गाड़ी की औसत चाल 11
km/hr अिधक हों , तो दोनों रेलगाड़ीयों की औसत चाल ात िकिजए।
Answer. माना सवारी गाड़ी की औसत चाल=x km/hr
अतः ए सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल =(x+11) km/hr
कु ल दूरी=132 km
132
सवारी गाड़ी ारा दूरी तय करने म िलया गया समय = घंटे
x
132
ए सप्रेस गाड़ी ारा दूरी तय करने म िलया गया समय = घंटे
x + 11
132 132
= ( + 1
x x + 11
132 132
− = 1
x x + 11
132(x + 11) − 132x
= 1
x(x + 11)
2
132x + 1452 − 132x = x + 11x
2
x + 11x − 1452 = 0
2
x + 44x − 33x − 1452 = 0

x(x+44)-33(x+44)=0
(x-33)(x+44)=0
x-33=0 या x+44=0
x=33 या x=-44
योिकं x, रेलगाड़ी की चाल है और चाल कभी भी ॠणा मक नही ं होती , अतः गाड़ी की औसत चाल 33 km/hr है।
इसिलए ए सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल (33+11)=44 km/hr
Page : 97 , Block Name : प्र नावली 4.3

Q11 दो वग के ेतर् फलों का योग 468 m है। यिद उनके पिरमापों का अंतर 24 m हो , तो दोनों वग की भुजाएँ ात िकिजए।
2

Answer. माना बड़े वग की भुजा=x m
और छोटे वग की भुजा=y m
2 2
x + y = 468 – (1)

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और 4x-4y=24
x-y=6
x=6+y – (2)
समीकरण (2) से x का मान समीकरण (1) म रखने पर ,
2 2
(y + 6) + y = 468
2 2
y + 36 + 12y + y = 468
2
2y + 12y − 432 = 0
2
y + 6y − 216 = 0
2
y + 18y − 12y − 216 = 0

y(y+18)-12(y+18)=0
(y-12)(y+18)=0
y-12=0 या y+18=0
y=12 या y=-18
योिकं y , वग की भुजा है , अतः y कभी भी ॠणा मक नही ं होगा ।
इसिलए y=12 और x=6+12=18
अतः बड़े वग की भुजा =18 m
और छोटे वग की भुजा =12 m
Page : 97 , Block Name : प्र नावली 4.3

प्र नावली 4.4

Q1 िन न ि घात समीकरणों के मूलों की प्रकृित ात िकिजए। यिद मूलों का अि त व हो तो उ ह ात िकिजए:
(i)2x − 3x + 5 = 0
2

Answer. िदये गये समीकरण की तुलना ax + bx + c = 0 से करने पर,
2

a=2 , b=-3 और c=5 प्रा त होते है।
अब िविव तकर , b − 4ac = (−3) − 4(2)(5)
2 2

2
b − 4ac = 9 − 40
2
b − 4ac = −31 < 0

इसिलये समीकरण के कोई वा तिवक मूल नही ं है।

(ii)3x − 4√3x + 4 = 0
2

Answer. िदये गये समीकरण की तुलना ax + bx + c = 0 से करने पर,
2

a=3 , b=−4√3 और c=4 प्रा त होते है।
2
अब िविव तकर , b 2
− 4ac = (−4√3) − 4(3)(4)
2
b − 4ac = 48 − 48
2
b − 4ac = 0

िदये गये समीकरण के मूल वा तिवक और समान है।
2
−b ± √b − 4ac
अतः x =
2a

−(−4√3) ± √0
x =
2 × 3

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4√3 2√3
x= =
6 3

2√3 2√3
इसिलये ि घात समीकरण के मूल और है।
3 3

(iii)2x − 6x + 3 = 0
2

Answer. िदये गये समीकरण की तुलना ax 2
+ bx + c = 0 से करने पर,
a=2 , b=-6 और c=3 प्रा त होते है।
अब िविव तकर , b
2 2
− 4ac = (−6) − 4(2)(3)
2
b − 4ac = 36 − 24
2
b − 4ac = 12 > 0

िदये गये समीकरण के मूल वा तिवक और असमान है।
√ 2
−b ± b − 4ac
अतः x =
2a

−(−6) ± √12
x=
2 × 2

6 + √12 6 − √12
x = या x =
4 4

6 + 2√3 6 − 2√3
x = या x =
4 4

3 + 2√3 3 − 2√3
x = या x =
2 2

3 + 2√3 3 − 2√3
इसिलये ि घात समीकरण के मूल और
2 2

Page : 100 , Block Name : प्र नावली 4.4

Q2 िन न प्र येक ि घात समीकरण म k का ऐसा मान ात िकिजए िक उसके दो बराबर मूल हों।
(i)2x + kx + 3 = 0
2

Answer. 2x + kx + 3 = 0 2

a=2, b=k, c=3
2 2
b − 4ac = k − 4(2)(3)
2 2
b − 4ac = k − 24

चूिं क समीकरण के मूल बराबर है ,
2
k − 24 = 0
2
k = 24

k = ±√24

k = ±2√6

(ii)kx(x − 2) + 6 = 0
Answer. kx − 2kx + 6 = 0 2

a=k ,b=-2k, c=6
2 2
b − 4ac = (−2k) − 4(k)(6)
2 2
b − 4ac = 4k − 24k

चूिं क समीकरण के मूल बराबर है ,
2
4k − 24k = 0

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4k(k-6)=0
4k=0 या k-6=0
k=0 या k=6
k=0 , मूल समीकरण को संत ु ट नही ं करता , इसिलए k=6
Page : 100 , Block Name : प्र नावली 4.4

Q3 या एक ऐसी आम की बिगया बनाना संभव है िजसकी लंबाई , चौड़ाई से दुगनु ी हो और उसका ेतर् फल 800m हों? यिद है , तो
2

उसकी लंबाई और चौड़ाई ात िकिजए ।
Answer. माना बिगया की चौड़ाई=x m
और बिगया की लंबाई=2x m
बिगया का ेतर् फल= लंबाई × चौड़ाई
=2x ×x=2x 2

2 2
2x = 800m
2
x = 400

x = ±√400

x = ±20

योिकं x बिगया की चौड़ाई है , इसिलए ॠणा मक नही ं हो सकती ,अतः x=20
इसिलए , बिगया की चौड़ाई=20 m
और बिगया की लंबाई=2(20)=40 m
Page : 100 , Block Name : प्र नावली 4.4

Q4 या िन न ि थित संभव है? यिद है तो उसकी वतमान आयु ात िकिजए ।
दो िमत्रों की आयु का योग 20 वष है।चार वष पूव उनकी आयु (वष म) का गुणनफल 48 था।
Answer. माना पहले िमत्र की आयु =x वष
तो दूसरे िमत्र की आयु =(20-x) वष
चार वष पूव ,
पहले िमत्र की आयु =(x-4) वष
और दूसरे िमत्र की आयु =(20-x-4)=(16-x) वष
(x-4)(16-x)=48
2
16x − x − 64 + 4x = 48
2
–x + 20x − 64 − 48 = 0
2
–x + 20x − 112 = 0
2
x − 20x + 112 = 0

a=1 , b=-20, c=112
अतः िविव तकर , b − 4ac = (−20)
2 2
− 4(1)(112)
2
b − 4ac = 400 − 448
2
b − 4ac = −48 < 0

इसिलये समीकरण के कोई वा तिवक मूल नही ं है।
अतः यह ि थित संभव नही ं है।
Page : 100 , Block Name : प्र नावली 4.4

Q5 या पिरमाप 80 m तथा ेतर् फल 400m के एक पाक को बनाना संभव है?यिद है , तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ात िकिजए
2

।
Answer. माना पाक की चौड़ाई=x m
और पाक की पिरमाप =80 m
पाक की चौड़ाई = (पिरमाप / 2 )- लंबाई [∵ पिरमाप = 2(लंबाई+ चौड़ाई)]

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80
= − x
2

=(40-x)m
पाक का ेतर् फल =400m 2

x(40-x)=400
2
40x − x = 400
2
x − 40x + 400 = 0
2
x − 20x − 20x + 400 = 0

x(x-20)-20(x-20)=0
(x-20)(x-20)=0
2
(x − 20) = 0

x-20=0
x=20
इसिलए , पाक की लंबाई=20 m
और पाक की चौड़ाई=40-20=20 m
अतः , यह ि थित संभव है।
Page : 100 , Block Name : प्र नावली 4.4

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