NCERT Solutions for Class 10 Maths (गणित) Chapter 2 बहुपद

NCERT
SOLUTIONS
CLASS - 10th

aglase .co

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

Class : 10th
Subject : Mathematics
Chapter : 2
Chapter name : बहुपद

Exercise 3.1

Q1 िकसी बहुपद p(x) के िलए , y=p(x) का ग्राफ के नीचे आकृित 2.10 म िदया है । प्र येक ि थित म p(x) के शू यकों की सं या
ात कीिजए।

Answer.
(i) ग्राफ x- अ को एक भी िबंद ु पर प्रित छे द नही ं करता है अतः शू यकों की सं या 0 है।
(ii) ग्राफ x- अ को एक िबंद ु पर प्रित छे द करता है अतः शू यकों की सं या 1 है।
(iii) ग्राफ x- अ को तीन िबंद ु पर प्रित छे द करता है अतः शू यकों की सं या 3 है।
(iv) ग्राफ x- अ को दो िबंद ु पर प्रित छे द करता है अतः शू यकों की सं या 2 है।
(v) ग्राफ x- अ को चार िबंद ु पर प्रित छे द करता है अतः शू यकों की सं या 4 है।
(vi) ग्राफ x- अ को तीन िबंद ु पर प्रित छे द करता है अतः शू यकों की सं या 3 है।
Page : 31 , Block Name : प्र नावली 2.1

Q1 िन न ि घात बहुपदों के शू यकों तथा गुणांकों के बीच के संबध
ं की स यता की जाँच कीिजए।
(i)x − 2x − 8
2

Answer.x − 4x + 2x − 8
2

=x(x-4)+2(x-4)
=(x+2)(x-4)
समीकरण x 2
− 2x − 8 का मान शू य है , x+2=0 या x-4=0 , अथात x=-2 और x=4 हो ।
इसिलए x 2
− 2x − 8 के शू यक -2 और 4 है ।
x
अब शू यकों का योग=-2+4=2=-(-2)=2= 2
का गुणांक
x

−8 अचरपद
शू यकों का गुणनफल = −2 × 4 = −8 = =
2
का गुणांक
1 x

Page 1 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

(ii) 4s − 4s + 1
2

Answer. 4s − 2s − 2s + 12

=2s(2s-1)-1(2s-1)
=(2s-1)(2s-1)
1
समीकरण 4s -4s+1 का मान शू य है , 2s-1=0 अथात s =
2
हो ।
2
1 1
अतः4s -4s+1 के शू यक
2
और है ।
2 2
1 1 −4 −s
अब शू यकों का योग= + = 1 = =
2
का गुणांक
2 2 4 s

1 1 1 अचरपद
शू यकों का गुणनफल = × = =
2
का गुणांक
2 2 4 s

Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

(iii)6x − 3 − 7x
2

Answer. 6x − 7x − 3 2

2
= 6x − 9x + 2x − 3

=3x(2x-3)+1(2x-3)
=(2x-3)(3x+1)
3 −1
समीकरण 6x 2
− 3 − 7x का मान शू य है , 2x-3=0 या 3x+1=0 , अथात x = या x = हो ।
2 3

3 1 9 − 2 7 −(−7) −x
अब, शू यकों का योग = − = = = = का गुणांक
2 3 6 6 6 2
x

3 −1 −1 −1 × 3 −3 अचरपद
शू यकों का गुणनफल = × = = = = का गुणांक
2 3 2 2 × 3 6 2
x

Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

(iv) 4u + 8u 2

Answer. 4u(u+2)
समीकरण 4u 2
+ 8u का मान शू य है , 4u=0 या u+2=0 , अथात u=0 हो या u=-2 हो ।
−8 −x
अब, शू यकों का योग=0+(-2)=-2= = 2
का गुणांक
4 x

0 अचरपद
शू यकों का गुणनफल =0 × (−2) = 0 = = 2
का गुणांक
4 u

Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

(v) t 2
− 15
2
Answer. t 2
− √15 = (t + √15)(t − √15)

समीकरण t 2
− 15 का मान शू य है , t + √15 = 0 या t − √15 = 0, अथात t = √15 या t = −√15 हो ।
− −(t)
अब, शू यकों का योग = −√15 + √15 = 0 = 1 = 2
का गुणांक
0 t

−15 अचरपद
शू यकों का गुणनफल = −√15) × √15 = −√15 = =
2
का गुणांक
1 t

Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

Page 2 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

(vi)3x − x − 4
2

Answer. 3x − 4x + 3x − 4
2

=(x(3x-4)+1(3x-4)
=(3x-4)(x+1)
समीकरण 3x − x − 4 का मान शू य है , 3x-4=0 या
2

4
x+1=0, अथात x = या x=-1 हो ।
3
4
अतः समीकरण 3x 2
− x − 4 के शू यक और -1 है ।
3

4 4 − 3 1 −(−1) −(x)
अब, शू यकों का योग = − 1 = = = =
2
का गुणांक
3 3 3 3 x

4 −4 अचरपद
शू यकों का गुणनफल = × (−1) = =
2
का गुणांक
3 3 x

Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

Q2 एक ि घात बहुपद ात कीिजए , िजसके शू यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई सं याएँ है।
1
(i) , −1
4

Answer. माना ax 2
+ bx + c कोई ि घात बहुपद है। इसके शू यक α और β है।
1 −b
अब, शू यकों का योग ,α + β = =
4 a

−4 c
शू यकों का गुणनफल ,α × β = −1 = =
4 a

तुलना करने पर,
a=4,b=-1 और c=-4
अतः वह ि घात बहुपद, िजसम सभी शत संत ु ट होती है 4x 2
− x − 4 है।
Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

1
(ii) √2,
3

Answer. माना ax 2
+ bx + c कोई ि घात बहुपद है। इसके शू यक α और β है।
अब,
3 −b
शू यकों का योग ,α + β = √2 = =
√23 a

1 c
शू यकों का गुणनफल ,α × β = =
3 a

तुलना करने पर,
a=3, b=-3√2 और c=1
अतः वह ि घात बहुपद, िजसम सभी शत संत ु ट होती है 3x 2
− 3√2x + 1 है।
Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

(iii) 0, √5
Answer. माना ax 2
+ bx + c कोई ि घात बहुपद है। इसके शू यक α और β है।
अब,
0 −b
शू यकों का योग ,α + β = 0 = =
1 a

Page 3 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
√5 c
शू यकों का गुणनफल ,α × β = √5 = =
1 a

तुलना करने पर,
a=1, b=0 और c=√5
अतः वह ि घात बहुपद, िजसम सभी शत संत ु ट होती है x 2
+ 0.x + √5 है।
Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

(iv) 1,1
Answer. माना ax 2
+ bx + c कोई ि घात बहुपद है। इसके शू यक α और β है।
अब,
1 −b
शू यकों का योग ,α + β = 1 = =
1 a

1 c
शू यकों का गुणनफल ,α × β = 1 = =
1 a

तुलना करने पर,
a=1, b=-1 और c=1
अतः वह ि घात बहुपद, िजसम सभी शत संत ु ट होती है x 2
− x + 1 है।
Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

−1 1
(v) ,
4 4

Answer. माना ax 2
+ bx + c कोई ि घात बहुपद है। इसके शू यक α और β है।
अब,
−1 −b
शू यकों का योग ,α + β = =
4 a

1 c
शू यकों का गुणनफल ,α × β = =
4 a

तुलना करने पर,
a=4, b=1 और c=1
अतः वह ि घात बहुपद, िजसम सभी शत संत ु ट होती है, 4x 2
+ x + 1 है।
Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

(vi) 4,1
Answer. माना ax 2
+ bx + c कोई ि घात बहुपद है। इसके शू यक α और β है। अब,
4 −b
शू यकों का योग ,α + β = 4 = =
1 a

1 c
शू यकों का गुणनफल ,α × β = 1 = =
1 a

तुलना करने पर,
a=1, b=-4 और c=1
अतः वह ि घात बहुपद, िजसम सभी शत संत ु ट होती है, x 2
− 4x + 1 है।
Page : 36 , Block Name : प्र नावली 2.2

Q1 िवभाजन ए गोिर म का प्रयोग करके ,िन न म p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ात कीिजए :
(i)p(x) = x − 3x + 5x − 3, g(x) = x − 2
3 2 2

Answer.

Page 4 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

भागफल =x-3
शेषफल =7x-9
Page : 39 , Block Name : प्र नावली 2.3

(ii) p(x) = x 4
− 3x
2
+ 4x + 5, g(x) = x
2
+ 1 − x

Answer.

भागफल =x + x − 3
2

शेषफल =8
Page : 39 , Block Name : प्र नावली 2.3

(iii) p(x) = x 4
− 5x + 6, g(x) = 2 − x
2

Answer.

Page 5 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

भागफल =−x − 2
2

शेषफल =-5x+10
Page : 39 , Block Name : प्र नावली 2.3

Q2 पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके ,जाँच कीिजए िक या प्रथम बहुपद ि तीय बहुपद का एक गुणनखंडन है :
(i)t − 3, 2t + 3t − 2t − 9t − 12
2 4 3 2

Answer.

चूिं क शेषफल शू य है , अतः t − 3, 2t + 3t
2 4 3
− 2t
2
− 9t − 12 का एक गुणनखंडन है ।
Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.3

(ii)x + 3x + 1, 3x
2 4
+ 5x
3
− 7x
2
+ 2x + 2

Answer.

Page 6 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

चूिं क शेषफल शू य है , अतः x 2
+ 3x + 1, 3x
4
+ 5x
3
− 7x
2
+ 2x + 2 का एक गुणनखंडन है ।
Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.3

(iii) x − 3x + 1, x
3 5
− 4x
3
+ x
2
+ 3x + 1

Answer.

चूिं क शेषफल शू य नही ं है , अतः x 3
− 3x + 1, x
5
− 4x
3
+ x
2
+ 3x + 1 का एक गुणनखंडन है ।
Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.3

5 5
Q3 3x 4
+ 6x
3
− 2x
2
− 10x − 5 के अ य सभी शू यक ात कीिजए, यिद इसके दो शू यक √ और −√ है।
3 3

Answer. माना q(x)=3x 4
+ 6x
3
− 2x
2
− 10x − 5

5 5
इस प्रकार √ और −√ , q(x) के शू यक है।
3 3

5 5
अतः x − √ और x + √ , q(x) के गुणनखंडन है ।
3 3

,q(x) का गुणनखंडन है ।
5
या x 2
−
3

अब

5
4 3 2 2 2
⇒ 3x + 6x − 2x − 10x − 5 = (x − )(3x + 6x + 3)
3

5
2 2
= 3(x − )(x + 2x + 1)
3

Page 7 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths

इस प्रकार, p(x)=
5
2 2
3(x − )(x + x + x + 1)
3

5
2
= 3(x − )[x(x + 1) + 1(x + 1)]
3

5
2
= 3(x − )(x + 1)(x + 1)
3

5 5
इसिलए 3x 4
+ 6x
3
− 2x
2
− 10x − 5 के शू यक √ , −√ ,-1 और -1 है ।
3 3

Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.3

Q4 यिद x 3
− 3x
2
+ x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर , भागफल और शेषफल क्रमशः x-2 और -2x+4 ह तो g(x)
ात कीिजए ।
Answer. g(x)= भाजक
भागफल=x-2
3 2
भा य=x − 3x + x + 2
शेषफल=-2x+4
हम ात है,
भा य= भाजक × भागफल+ शेषफल
अतः,
x − 3x + x + 2=g(x) ×(x − 2) + (−2x + 4)
3 2

x
3
− 3x
2
+ x + 2 -(-2x+4)=g(x) ×(x-2)
3 2
⇒ g(x) × (x − 2) = x − 3x + x + 2 + 2x − 4
3 2
(x − 3x + x + 2
⇒=
(x − 2)

अतः , g(x)=x − x + 1 2

Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.3

Q5 बहुपदों p(x),q(x),g(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीिजए जो िवभाजन ए गोिर म को संत ु ट करते हों तथा
Answer. यूि लड िवभाजन ए गोिर म ारा p(x)=g(x)×q(x)+r(x) जहाँ q(x) ≠ 0, घात r(x)=0 या घात r(x)< घात g(x)
(i) घातp(x)= घातq(x)
Answer. भा य और भागफल की घात समान होने के िलये आव यक है जब भाजक एक अचर (घात 0 हों ) सं या हो ।

Page 8 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
माना p(x)=3x − 6x + 5 2

माना g(x)=3
अतः, q(x)=x − 2x + 1 और r(x)=2
2

(ii) घातq(x)= घातr(x)
Answer. माना p(x)=2x − 4x + 3 2

माना g(x)=x − 2x + 1 2

अतः , q(x)=2 और r(x)=1

(iii) घातr(x)=0
Answer. माना p(x)=2x − 4x + 3 2

माना g(x)=x − 2x + 1 2

अतः , q(x)=2 और r(x)=1

Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.3

Q1 स यािपत कीिजए की िन न ित्रघात बहुपदों के साथ दी गई सं याएँ उसकी शू यक है। प्र येक ि थित म शू यकों और गुणाकों के
ं को भी स यािपत कीिजए:
बीच के संबध
1
(i)2x 3
+ x
2
− 5x + 2; , 1, −2
2

Answer. माना p(x)= 2{x}^{3}+{x}^{2}-5x+2
1
p( )=
2
3 2
1 1 1
2 + − 5( ) + 2
2 2 2

1 1 1
= 2 × + − 5 × + 2
8 4 2

1 1 5
= + − + 2
4 4 2

1 5
= − + 2
2 2

1 − 5 + 4 0
= =
2 2

= 0

1
अतः , p( ) , p(x) का शू यक है।
2

p(1)=21 + 1 − 5(1) + 2 =2+1-5+2 =5-5 =0
3 2

अतः 1, p(x) का शू यक है।
p(-2)=2−2 + (−2) − 5(−2) + 2 =2(-8)+4+10+2 =-16+16 =0
3 2

अतः -2 , p(x) का शू यक है।
1
माना α = ,β = 1 तथा γ = −2
2
1 1 + 2 − 4 1 –
⇒ α + β + γ = + 1 − 2 = =− = 2
x
3
का गुणांक
2 2 2 (x )

Page 9 of 12 1 1

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
1 1
⇒ αβ + βγ + γα = (( 2) × 1) + (1 × −2)) + (−2 × )
( 2

1 1 − 4 − 2 −5
= − 2 − 1 = =
2 2 2

x
=
3
x

का गुणांक
1 −2 ( अचरपद)
⇒ αβγ = × 1 × (−2) = −1 = = −
3
का गुणांक
2 2 x

Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.4

(ii)x − 4x + 5x − 2; 2, 2, 1
3 2

Answer. माना p(x)=x − 4x + 5x − 23 2

p(2)=(1) =8-16+10-2 =18-18 =0
3 2
− 4(2) + 5 × 2 − 2

अतः 2 , p(x) का शू यक है।
p(1)=(1) =1-4+5-2 =6-6=0
3 2
− 4(1) + 5 × 1 − 2

अतः 1 , p(x) का शू यक है।
माना α = 2, β = 1 और γ = 1
(−4) −
⇒ α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4 = − = − x
3
क◌ाग◌ुण◌ा◌ंक
1 x
2
क◌ाग◌ुण◌ा◌ंक
5 x
⇒ αβ + βγ + γα = 2 × 1 + 1 × 1 + 1 × 2 = 5 = =
3
का गुणांक
1 x

− ( अचरपद)
αβγ = 2 × 1 × 1 = 2 = 1 = − का गुणांक
3
(−2) x

Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.4

Q2 एक ित्रघात बहुपद प्रा त कीिजए िजसके शू यकों का योग , दो शू यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों
शू यकों के गुणनफल क्रमश: 2,-7,-14 हो।
Answer. माना p(x)=ax + bx + cx + d एक ित्रघात बहुपद है। α, β तथा γ इसके शू यक है।
3 2

अब ,
2
−(x ) −b
α + β + γ = 2 = का गुणांक =
x
3 a

x c
αβ + βγ + γα = −7 का गुणांक =
x
3 a

( अचरपद) −d
αβγ = −14 = − का गुणांक =
x
3 a

−b c −7 −d −14
⇒ = −cf rac21, = , =
a a 1 a 1

अतः p(x)=x 3
− 2x
2
− 7x + 14

Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.4

Q3 यिद बहुपद x 3
− 3x
2
+ x + 1 के शू यक a-b, a, a+b हो, तो a और b ात कीिजए।

Page 10 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
Answer.
2
−(x )
शू यकों का योगफल = 3
का गुणांक
x
−(−3)
⇒ (a − b) + a + (a + b) =
1

⇒ 3a = 3

⇒ a = 1

( अचरपद)
शू यकों के गुणनफल=− 3
का गुणांक
x
−1
⇒ (a − b)a(a + b) =
1

2 2
⇒ (a − b )a = −1

2
⇒ (1 − b ) = −1

[ योंिक a=1]
2
⇒ b = 1 + 1 = 2

⇒ b = ± √2

इसिलए , a=1 और b = ±√2

Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.4

Q4 यिद बहुपद p(x)=x − 6x − 26x + 138x − 35 के दो शू यक 2 ± √3 हों , तो अ य शू यक ात कीिजए।
4 3 2

Answer. माना p(x)= x − 6x − 26x + 138x − 35 4 3 2

p(x) के दो शू यक 2 + √3 और 2 − √3 है।
इसिलए x − 2 − √3 और x − 2 + √3 , p(x) के दो गुणनखंड है।
इसिलए (x − 2) − (√3) बहुपद p(x) का गुणनखंड है।
2 2

p(x)=x − 6x − 26x + 138x − 35
4 3 2

इसिलए , p(x)=(x 2
− 4x + 1)(x
2
− 2x − 35) − (x
2
− 4x + 1)(x
2
− 7x + 5x − 35)
4 3 2 2
x − 6x − 26x + 138x − 35 = (x − 4x + 1)(x − 7)(x + 5)

x+5=0 , x-7=0
x=-5 , x=7
अतः x=-5 या x=7 अ य शू यक है।

Page 11 of 12

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 2 Maths
Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.4

Q5 यिद बहुपद x − 6x + 16x − 25x + 10 को एक अ य बहुपद x − 2x + k से भाग िदया जाए और शेषफल x+a
4 3 2 2

आता हो ,तो k तथा a ात कीिजए।
Answer. भाजक=x − 2x + k 2

4 3 2
भा य=x − 6x + 16x − 25x + 10
शेषफल=x+a
हम ात है,
भा य= भाजक × भागफल + शेषफल
x − 6x + 16x − 25x + 10 = (x − 2x + k)× भागफल +(x + 2)
4 3 2 2

⇒ x − 6x + 16x − 25x + 10 − x − a = (x − 2x + k)× भागफल
4 3 2 2

4 3 2
x − 6x + 16x − 25x + 10 − a
⇒ भागफल = 2
x − 2x + k

यिद बहुपद x 4
− 6x
3
+ 16x
2
− 25x + 10 − a को x 2
− 2x + k से भाग िदया जाए शेषफल 0 होगा ।
इसिलए ,

तुलना करने पर
10
−10 + 2k = 0 ⇒ k = = 5
2

और
2
10 − a − 8k + k = 0
2
10 − a − 8 × 5 + 5 = 0

10-a-40+25=0
a=-40+35=-5
अतः a=-5 तथा k=-5

Page : 40 , Block Name : प्र नावली 2.4

Page 12 of 12