NCERT Solutions for Class 10 Maths (गणित) Chapter 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

NCERT
SOLUTIONS
CLASS - 10th

aglase .co

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

Class : 10th
Subject : Mathematics
Chapter : 13
Chapter name : प ृ ठीय ेतर् फल और आयतन

Exercise 13.1

22
(जब तक अ यथा न कहा जाए ,π = लीिजए।)
7

Q1 दो घनों िजनम से प्र येक का आयतन 64cm है िक संल न फलकों को िमलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्रा त घनाभ
3

का प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

घन का आयतन =64cm 3

भुजा3=64
भुजा= √64 = 4cm
3

दो घनों को िमलाकर बने घनाभ की भुजाएँ 4cm , 4cm और 8cm होगी।
⇒ l=4cm , b=4cm , h=8cm

घनाभ का प ृ ठीय ेतर् फल=2(lb + bh + hl)
=2(4 × 4 + 4 × 8 + 4 × 8)
=2 × 80
=160cm 2

Page: 268 , Block Name : प्र नावली 13.1

Q2 कोई बतन एक खोखले अधगोले के आकार का है िजसके ऊपर एक खोखला बेलन अ यारोिपत है। अधगोले का यास 14cm है
और इस बतन (पात्र) की कु ल ऊँचाई 13cm है। इस बतन का आंतिरक प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

Page 1 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

अधगोले का यास =14cm
अधगोले की ित्र या= बेलन की ित्र या
14
=
2

.=7cm
बतन की कु ल ऊँचाई =13cm
बेलन की ऊँचाई =13-7=6cm
बतन का आंतिरक प ृ ठीय ेतर् फल=2πrh + 2πr 2

=2πr(h + r)
22
=2 × × 7(6 + 7)
7

=44 × 13
=572cm 2

Page: 268 , Block Name : प्र नावली 13.1

Q3 एक िखलौना ित्र या 3.5cm वाले एक शंकु के आकार का है , जो उसी ित्र या वाले एक अधगोले पर अ यारोिपत है । इस
ू ऊँचाई 15.5cm है । इस िखलौने का संपण
िखलौने की संपण ू प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

शंकु की ित्र या =3.5cm= अधगोले की ित्र या
िखलौने की संपणू ऊँचाई =15.5cm
शंकु की ऊँचाई =15.5-3.5=12cm
2
शंकु की ितयक ऊँचाई=√h + r
2

Page 2 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

=√12 + 3.5 2 2

=√144 + 12.25
=√156.25
=12.5cm
ू प ृ ठीय ेतर् फल=πrl + 2πr
िखलौने का संपण 2

=πr(l + 2r)
22
= × 3.5[12.5 + (2 × 3.5)]
7

=11 × (12.5 + 7)
=11 × 19.5
=214.5cm 2

Page: 268 , Block Name : प्र नावली 13.1

Q4 भुजा 7cm वाले एक घनाकार लाॅक के ऊपर एक अधगोला रखा हुआ है।अधगोले का अिधकतम यास या हो सकता है?इस
प्रकार बने ठोस का प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

अधगोले का यास= घनाकार लाॅक की भुजा =7cm
7
अधगोले की ित्र या= = 3.5cm
2

ठोस का प ृ ठीय ेतर् फल= घनाकार लाॅक का प ृ ठीय ेतर् फल+ अधगोले का प ृ ठीय ेतर् फल- अधगोले के आधार का ेतर् फल
=6a + 2πr − πr
2 2 2

=6a + πr2 2

22
=(6 × 7 × 7) + × 3.5 × 3.5
7

=294+38.5
=332.5 cm 2

Page: 268 , Block Name : प्र नावली 13.1

Q5 एक घनाकार लाॅक के एक फलक को अंदर की ओर से काट कर एक अधगोलाकार ग ढा इस प्रकार बनाया गया है िक अधगोले
का यास घन के एक िकनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

Page 3 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

माना घनाकार लाॅक की भुजा=a
अधगोले का अिधकतम यास= घनाकार लाॅक की भुजा=a
a
अधगोले की ित्र या , (r)=
2

ठोस का प ृ ठीय ेतर् फल= घनाकार लाॅक का प ृ ठीय ेतर् फल+ अधगोले का प ृ ठीय ेतर् फल- अधगोले के आधार का ेतर् फल
=6a + 2πr − πr
2 2 2

=6a + πr
2 2

2
a
=6a 2
+ π
2
2
πa
=6a 2
+
4
π
=(6 + )a
2
वग इकाई
4

Page: 268 , Block Name : प्र नावली 13.1

Q6 दवा का एक कै सूल (capsule) एक बेलन के आकार है िजसके दोनों िसरों पर एक-एक अधगोला लगा हुआ है। पूरे कै सूल की
लंबाई 14mm है और उसका यास 5mm है। इसका प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

बेलन का यास= 5mm
5
बेलन की ित्र या= = 2.5mm
2

बेलनाकार भाग की लंबाई=14-(2.5+2.5)=9mm
5
अधगोले की ित्र या = = 2.5mm
2

Page 4 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
कै सूल का प ृ ठीय ेतर् फल=2πrh + 2 × 2πr 2

=2πr(h + 2r)
22
=2 × × 2.5(9 + 2 × 2.5)
7
22
=2 × × 2.5 × 14
7

=220mm 2

Page: 268 , Block Name : प्र नावली 13.1

Q7 कोई तंब ू एक बेलन के आकार का है िजस पर एक शंकु अ यारोिपत है। यिद बेलानाकार भाग की ऊँचाई और यास क्रमशः
2.1m और 4m है तथा शंकु की ितयक ऊँचाई 2.8m है तो इस तंब ू को बनाने म प्रयु त कैनवस (canvas) का ेतर् फल ात
कीिजए । साथ ही Rs.500 प्रित m की दर से इसम प्रयु त कैनवस की लागत ात कीिजए। ( यान दीिजए िक तंब ू के आधार को
2

कैनवस से नही ं ढका जाता है।)

बेलानाकार भाग की ऊँचाई=21m
बेलानाकार भाग का यास=4m
बेलानाकार भाग की ित्र या=2m
शंकवाकार भाग की ितयक ऊँचाई (l)=2.8m
कैनवस का प ृ ठीय ेतर् फल =πrl + 2πrh
=πr(l + 2h)
22
= × 2(2.8 × 2 × 2.1)
7
22
= × 2 × 7
7

=44m 2

1m कैनवस की लागत =Rs. 500
2

44m कैनवस की लागत =Rs. (500 × 44 = Rs.22000)
2

Page: 268 , Block Name : प्र नावली 13.1

Q8 ऊँचाई 2.4cmऔर यास 1.4cm jवाले एक ठोस बेलन म से इसी ऊँचाई और इसी यास वाला एक शं वाकार खोल काट िलया
जाता है । शेष बचे ठोस का िनकटतम वग सटीमीटर तक प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

Page 5 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

बेलन का यास= शंकु का यास=1.4m
1.4
बेलन की ित्र या= शंकु की ित्र या= = 0.7cm
2

बेलन की ऊँचाई= शंकु की ऊँचाई=2.4cm
2
शंकु की ितयक ऊँचाई=√r + h = √0.7 + 2.4
2 2 2

=√0.49 + 5.76 = √6.25 = 2.5cm
शेष बचे ठोस का प ृ ठीय ेतर् फल= बेलानाकार भाग का प ृ ठीय ेतर् फल+ शंकु का प ृ ठीय ेतर् फल+ बेलन के आधार का ेतर् फल
=2πrh + πrl + πr 2

=πr(2h + l + r)
22
= × 0.7(2 × 2.4 + 2.5 + 0.7)
7

=2.2(4.8 + 3.2)
=2.2 × 8
=17.60cm 2

2
≈ 18cm

Page: 269 , Block Name : प्र नावली 13.1

Q9 लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्र येक िसरे पर एक अधगोला खोदकर िनकालते हुए , एक व तु बनाई गई है । यिद बेलन की ऊँचाई
10cm है और आधार की ित्र या 3.5cm है तो इस व तु का संपण
ू प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

बेलन की ित्र या=3.5cm
बेलन की ऊँचाई =10cm
Page 6 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
अधगोले की ित्र या =3.5cm
ू प ृ ठीय ेतर् फल=2πrh + 2 × 2πr
व तु का संपण 2

=2πr(h + 2r)
22
=2 × × 3.5(10 + 2 × 3.5)
7

=22 × 17
=374cm 2

Page: 269 , Block Name : प्र नावली 13.1

Exercise 13.2

22
(जब तक अ यथा न कहा जाए ,π = लीिजए।)
7

Q1 एक ठोस एक अधगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है िजनकी ित्र याएँ 1cm है तथा शंकु की ऊँचाई उसकी ित्र या के
बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों म ात कीिजए।

अधगोले की ित्र या =1cm
शंकु की ऊँचाई=1cm
1 2
ठोस का आयतन= 2
πr h + πr
3

3 3
1
= 2
πr (h + 2r)
3
1
= 2
× π × 1 (1 + 2 × 1)
3
π
= × 3
3

=πcm 3

Page: 271 , Block Name : प्र नावली 13.2

Q2 एक इंजीिनयिरंग के िव ाथ रचेल से एक पतली ए यूमीिनयम की शीट का प्रयोग करते हुए एक माॅडल बनाने को कहा गया जो
एक ऐसे बेलन के आकार का हो िजसके दोनों िसरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस माॅडल का यास 3cm है और इसकी लंबाई 12cm

Page 7 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
है। यिद प्र येक शंकु की ऊँचाई 2cm हो तो रचेल ारा बनाए गए माॅडल म अंतिव ट हवा का आयतन ात कीिजए। (यह मान लीिजए
िक माॅडल की आंतिरक और बाहरी िवमाएँ लगभग बराबर है।)

शंकु की ऊँचाई , h 1 = 2cm
3
शंकु की ित्र या = बेलन की ित्र या = = 1.5cm
2

बेलन की ऊँचाईh = 12 − 2 × h
1 1

=12 − (2 × 2)
=12-4
h2 = 8 cm
1
हवा का आयतन=2 × 2
πr h1 + πr h2
2

3
2h1
=πr ( 2
+ h2 )
3
22 2 × 2
= × 1.5 × 1.5( + 8)
7 3
22 4
= × 1.5 × 1.5( + 8)
7 3
22 28
= × 2.25 ×
7 3

=22 × 0.75 × 4
=66cm 3

Page: 271 , Block Name : प्र नावली 13.2

Q3 एक गुलाबजामुन म उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों म लगभग िकतनी चाशनी होगी ,
यिद प्र येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है , िजसक दोनों िसरे अधगोलाकार है तथा उसकी लंबाई 5cm और 2.8cm यास
है।

Page 8 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

2.8
अधगोलीय भाग की ित्र या= बेलानाकार भाग की ित्र या= = 1.4cm
2

अधगोलीय भाग की ऊँचाई= बेलानाकार भाग की ऊँचाई=1.4cm
बेलानाकार भाग की ऊँचाई , h=5 − (2 × 1.4 = 5 − 2.8 = 2.2cm)
2
2 3
एक गुलाबजामुन का आयतन=πr h + 2 × πr
3
4
=πr (h +2
r)
3
22 4
= × 1.4 × 1.4(2.2 + × 1.4)
7 3

=25.05cm 3

45 गुलाबजामुनों का आयतन=25.05 × 45 = 1127.25cm 3

चीनी की चाशनी का आयतन=1127.25 का 30%
30
=1127.25 ×
100

=338.17cm 3

Page: 272 , Block Name : प्र नावली 13.2

Q4 एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लड़की से बना है िजसम कलम रखने के िलए चार शं वाकार ग ढे बने हुए है । घनाभ की
िवमाएँ 15cm × 10 × 3.5cm है। प्र येक ग ढे की ित्र या 0.5cm है और गहराई 1.4cm है। पूरे कलमदान म लकड़ी का
आयतन ात कीिजए।

ग ढे की गहराई

Page 9 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
h=1.4cm
ग ढे की ित्र या
r= 0.5cm
पूरे कलमदान की लकड़ी का आयतन= घनाभ का आयतन-4× ग ढे का आयतन
1
=lbh − 4 × πr h
2

3
1 22 1 1
=15 × 10 × 3.5 − 4 × × × × × 1.4
3 7 2 2

=525-1.47
=523.53cm 3

Page: 272 , Block Name : प्र नावली 13.2

Q5 एक बतन एक उ टे शंकु के आकार है । इसकी ऊँचाई है और इसकी ऊपरी िसरे (जो खुला हुआ है) की ित्र या 5cm है। यह
ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बतन म सीसे की कु छ गोिलयाँ िजनम प्र येक 0.5cm ित्र या वाला एक गोला है , डाली
जाती है , तो इसम से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर िनकल जाता है। बतन म डाली गई सीस की गोिलयों की सं या ात
कीिजए।

बतन की ऊँचाई =8cm
बतन की ित्र या r = 5cm 1

सीस की गोली की ित्र या , r = 0.5cm 2

माना गोिलयों की सं या=m
∴ बतन से िनकले पानी आयतन=m× सीस की गोली का आयतन
1
× शंकु का आयतन=m× सीस की गोली का आयतन
4
1 1 4
2 3
× πr1 h = m × πr2
4 3 3
2 3
r1 h = m × 16r2
2 3
5 × 8 = m × 16(0.5 )

200
m =
3
16 × (0.5 )

m=100

Page: 272 , Block Name : प्र नावली 13.2

Q6 ऊँचाई 220cm और आधार यास 24cm वाले एक बेलन , िजस पर ऊँचाई 60cm और ित्र या 8cm वाला एक अ य बेलन
आरोिपत है, से लोहे का एक तंभ का द्र यमान ात कीिजए , जबिक िदया है 1cm लोहे का द्र यमान लगभग 8g होता है।
3

Page 10 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
π = 3.14 लीिजए।)

बडा़ बेलन-
ित्र या = 12cm , उँ चाई = 220cm
छोटा बेलन-
ित्र या = 8cm , उँ चाई = 60cm
िनिमत त भ का आयतन = (बडा़ बेलन + छोटा बेलन) का आयतन
= (pir h)बडा़ बेलन+ (pir h) छोटा बेलन
2 2

=3.14 × 144 × 220 + 3.14 × 64 × 60
=111532.8cm 3

1cm लोहे का वजन = 8g
3

111532.8cm लोहे का वजन = 111532.8 × 8g = 892.262kg
3

Page: 272 , Block Name : प्र नावली 13.2

Q7 एक ठोस म , ऊँचाई 120cm और ित्र या 60cm वाला एक शंकु सि मिलत है , जो 60cm ित्र या वाले एक अधगोले पर
आरोिपत है।इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृ ीय बेलन म इस प्रकार सीधा डाल िदया जाता है यह बेलन की तली को पश
करे। यिद बेलन की ित्र या 60cm है और ऊँचाई 180cm है तो बेलन म शेष बचे पानी का आयतन ात कीिजए।

अधगोले की ित्र या = शंकु की ित्र या = बेलन की ित्र या=60cm
बेलन की ऊँचाई , h = 180cm(120 + 60)
1

शंकु की ऊँचाई , h = 120cm
2

बेलन म शेष बचे पानी का आयतन= बेलन का आयतन- अधगोले का आयतन- शंकु का आयतन

Page 11 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
2 1
=πr h 2
1 − πr
3
− πr h2
2

3 3
2 h2
=πr [h 2
1 − r − ]
3 3
22 2 120
= × 60 × 60[180 − × 60 − ]
7 3 3
22
= × 3600[180 − 40 − 40]
7
22
= × 3600 × 100
7

=1131428.57cm 3

3
≈ 1.13m

Page: 272 , Block Name : प्र नावली 13.2

Q8 एक गोलाकार काँच के बतन की बेलन के आकार की गदन है िजसकी लंबाई 8cm है और यास 2cm है जबिक गोलाकार भाग का
यास 8.5cm है। इसम भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर , एक ब चे ने यह ात िकया की इस बतन का आयतन
345cm है। जाँच कीिजए िक उस ब चे का उ र सही है या नही ं , यह मानते हुए िक उपरो त मापन आंतिरक मापन है और
3

π = 3.14 ।

गोलाकार भाग की ित्र या ,r 1 = 4.25cm
2
बेलानाकार भाग की ित्र या ,r 2 = = 1cm
2

बेलानाकार भाग की ऊँचाई , h=8cm
4
2 2
बतन का आयतन=πr 2 h + πr1
3
4
=π(r 2
2
h + r1 )
3

3
4
=3.14(1 2 3
× 8 + × (4.25) )
3

बतन का आयतन=346.51cm 3

ब चे का उ र सही नही ं है।

Page: 272 , Block Name : प्र नावली 13.2

Exercise 13.3
Page 12 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

22
(जब तक अ यथा न कहा जाए ,π = लीिजए।)
7

Q1 ित्र या 4.2cm वाले धातु के एक गोले को िपघलाकर ित्र या 6cm वाले एक बेलन के प म ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई
ात कीिजए।
Answer. गोले की ित्र या , r = 4.2cm 1

बेलन की ित्र या , r = 6cm 2

माना बेलन की ऊँचाई=h cm
िदया है, गोले का आयतन= बेलन का आयतन
4
3 2
πr1 = πr2 h
3
4 2 2
× (4.2) = (6) × h
3
4 × 4.2 × 4.2
h =
3 × 36

h=2.74cm

Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Q2 क्रमशः 6cm,8cm और 10cm ित्र याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को िपघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है।
इस गोले की ित्र या ात कीिजए।
Answer. माना बड़े गोले की ित्र या=R cm
4 4 4 4
अब प्र नानुसार , 3 3 3 3
πr1 + πr2 + ( πr3 = ( πR
3 3 3 3
3 3 3 3
R = r1 + r2 + r3
3 3 3 3
R = (6) + (8) + (10)
3
R = √216 + 512 + 1000
3
R = √1728

R=12cm
Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Q3 यास 7m वाला 20m गहरा एक कु आँ खोदा जाता है और खोदने से िनकली हुई िम टी को समान प से फैलाकर
22m × 14m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ात कीिजए।

Page 13 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
7
कु एँ की ित्र या= = 3.5m
2

कु एँ की गहराई=20m
माना चबूतरे की ऊँचाई=H
चबूतरे की चौड़ाई=14m
चबूतरे की लंबाई=22m
कु एँ से िनकली िम टी का आयतन= चबूतरे की िम टी का आयतन
2
πr h = L × B × H
22 7 7
× × × 20 = 22 × 14 × H
7 2 2
770
H = = 2.5m
22 × 14

Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Q4 यास 3m का एक कु आँ 14m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे िनकली हुई िम टी से कु एँ के चारों ओर 4m चौड़ी एक
वृ ाकार वलय (ring) बनाते हुए , समान प से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ात कीिजए।

3
कु एँ की ित्र या , r = m = 1.5m
2

कु एँ की गहराई ,h=14m
बाँध की चौड़ाई=4m
3
बाँध की आंतिरक ित्र या , = m = 1.5m
2

और बा ित्र या=1.5+4=5.5m
माना बाँध की ऊँचाई=H m
कु एँ से िनकली िम टी का आयतन= बाँध की िम टी का आयतन
2 2 2
πr1 h = π(r2 − r1 )H
2 2 2
(1.5) × 14 = ((5.5) − (1.5) ) × H

2.25 × 14
H =
28

H=1.225 m

Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Q5 यास 12cm और ऊँचाई 15cm वाले एक लंब वृ ीय बेलन के आकार का बतन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस

Page 14 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
आइसक्रीम को ऊँचाई 12cm और यास 6cm वाले शंकुओं म भरा जाना है , िजनका ऊपरी िसरा अधगोलाकार होगा। उन शंकुओं
की सं या ात कीिजए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते है।
12
Answer. बेलन की ित्र या , r 1 = = 6cm
2

बेलन की ऊँचाई , h 1 = 15cm
6
शंकु की ित्र या , r 2 = = 3cm
2

शंकु की ऊँचाई , h = 12cm 2

माना शंकुओं की सं या=m
∴ बेलन का आयतन=n× आइसक्रीम का आयतन

1 2
2 2 3
πr1 h1 = m[ πr2 h2 + πr2 ]
3 3
1 2
2
6 × 15 = m[ × 3 × 3 × 12 + × 27]
3 3
36 × 15
m =
54

m=10

Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Q6 िवमाओं 5.5cm × 10cm × 3.5cm वाला एक घनाभ बनाने के िलए , 1.75cm यास और 2mm मोटाई वाले िकतने चाँदी
के िस कों को िपघलाना पड़ेगा?

माना चाँदी के िस कों की सं या=m
1.75
िस कों की ित्र या ,r = = 0.875cm
2

िस कों की ऊँचाई , h = 2mm = 0.2cm
1

घनाभ की लंबाई , l=5.5cm
घनाभ की चौड़ाई , b=10cm
घनाभ की ऊँचाई , h=3.5cm
प्र नानुसार ,
n× चाँदी के िस क का आयतन= घनाभ का आयतन
2
m × πr h1 = l × b × h
22 2
m × × (0.875) × 0.2 = 5.5 × 10 × 3.5
7

Page 15 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
5.5 × 10 × 3.5 × 7
m =
2
22 × (0.875) × 0.2

m=400
Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Q7 32cm ऊँची और आधार ित्र या 18cm वाली एक बेलनाकार बा टी रेत से भरी हुई है। इस बा टी को भूिम पर खाली िकया
जाता है और इस रेत की एक शं वाकार ढे री बनाई जाती है। यिद शं वाकार ढे री की ऊँचाई 24cm है , तो इस ढे री की ित्र या और
ितयक ऊँचाई ात कीिजए।

18
बा टी की ित्र या ,r 1 = = 9cm
2

बा टी की ऊँचाई , h = 32cm 1

शंकु की ऊँचाई , h = 24cm 2

माना शंकु की ित्र या=r cm 2

बेलनाकार बा टी का आयतन= शं वाकार ढे र का आयतन
1
2 2
πr1 h1 = πr2 h2
3

2
1
2
9 × 32 = × r2 × 24
3
2
3 × 18 × 32
2
r2 =
24
2 2
r2 = 36

√ 2
r2 = 36 = 36cm
2 2 2
ढे र की ितयक ऊँचाई=√r 2
2
+ h = √36 + 24

Page 16 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
=√1296 + 576
=√1872
=12√13cm

Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Q8 6m चौड़ी और 1.5m गहरी एक नहर म पानी 10km/h की चाल से बह रहा है। 30 िमनट म , यह नहर िकतने ेतर् फल की
िसंचाई के िलए 8cm गहरे पानी की आव यकता होती है।

नहर की गहराई=1.5m
नहर की चौड़ाई=6m
1000
पानी गित=10km/h = m/min
60
1000
1 िमनट म बहे पानी का आयतन=6 × 1.5 ×
60

=1500m 3

30 िमनट म बहे पानी का आयतन=30 × 1500 = 45000m 3

माना िसंिचत ेतर् फल=A
अब , 30 िमनट म बहे पानी का आयतन= खेत म 8cm गहरे पानी का आयतन
A × B
45000 =
100
45000 × 100
A =
8
2
A = 562500m

Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Q9 एक िकसान अपने खेत म बनी 10m यास वाली और 2m गहरी एक बेलनाकार टं की को आंतिरक यास 20cm वाले एक पाइप
ारा एक नहर को जोड़ा जाता है। यिद पाइप म पानी 3km/h की चाल से बह रहा है , तो िकतने समय बाद टं की भर जाएगी?

Page 17 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

20
पाइप की ित्र या ,r 1 = = 0.1cm
200

पाइप के काट का ेतर् फल =πr 2 2 2
1 = π(0.1) = 0.01πm

3000
पानी की गित =3km/h = = 50m/min
60

पाइप ारा 1 िमनट म बहे पानी का आयतन=50 × 0.1π = 0.5πm 3

पाइप ारा t िमनट म बहे पानी का आयतन=50 × 0.1π = t × 0.5πm 3

बेलनाकार टं की की ित्र या ,r = 5m 2

टं की की ऊँचाई , h = 2m
2

माना टं की को भरने म लगा समय=t िमनट
अतः t िमनट म बहे पानी का आयतन= टं की का आयतन
2 2
t × 0.5π = πr2 h2
2
t × 0.5 = 5 × 2
50
t =
0.5

t=100 िमनट

Page: 276 , Block Name : प्र नावली 13.3

Exercise 13.4

22
(जब तक अ यथा न कहा जाए ,π = लीिजए।)
7

Q1 पानी िपने वाला एक िगलास 14cm ऊँचाई वाले एक शंकु के िछ नक के आकार का है। दोनों वृ ाकार िसरों के यास 4cm और
2cm है। इस िगलास का धािरता ात कीिजए।

Page 18 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

4
ऊपरी भाग की ित्र या ,r 1 = = 2cm
2
2
िन न भाग की ित्र या ,r 2 = = 1cm
2

िछ नक की ऊँचाई , h=14cm
िगलास का धािरता= िछ नक का आयतन
1
= πh(r1
2
+ r2
2
+ r1 r2 )
3
1 22
= × × 14(2
2
+ 1
2
+ 2 × 1)
3 7
44
= × 7
3
308
=
3
2
=102 cm
3

3

Page: 282 , Block Name : प्र नावली 13.4

Q2 एक शंकु के िछ नक की ितयक ऊँचाई 4cm है तथा इसके वृ ीय िसरों के पिरमाप (पिरिधयाँ) 18cm और 6cm है। इस िछ नक
का वक्र प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।

ऊपरी भाग का पिरमाप=18cm
2πr1 = 18
9
r1 =
π

Page 19 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
िन न भाग का पिरमाप=6cm
2πr2 = 6
3
r2 =
π

िछ नक की ितयक ऊँचाई =4cm
िछ नक का प ृ ठीय ेतर् फल=π(r 1 + r2 )l

9 3
=π( + ) × 4
π π
12
=π × × 4
π

=48cm 2

Page: 282 , Block Name : प्र नावली 13.4

Q3 एक तुक टोपी शंकु के एक िछ नक के आकार की है। यिद इसके खुले िसरे की ित्र या 10cm है , ऊपरी िसरे की ित्र या है
और टोपी की ितयक ऊँचाई 15cm है , तो इसके बनाने म प्रयु त पदाथ का ेतर् फल ात कीिजए।

ऊपरी भाग की ित्र या ,r = 4cm 2

िन न भाग की ित्र या ,r = 10cm 1

िछ नक की ितयक ऊँचाई , l =15cm
टोपी बनाने म प्रयु त पदाथ का ेतर् फल= िछ नक का प ृ ठीय ेतर् फल+ ऊपरी भाग का ेतर् फल
=π(r + r )l + πr
1 2 2
2

22 22
= (10 + 4) × 15 + × 4 × 4
7 7
352
=660 +
7
4620 + 352
=
7
4972
=
7
2
=710 cm
2

7

Page: 282 , Block Name : प्र नावली 13.4

Q4 धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बतन शंकु के एक िछ नक के आकार का है , िजसकी ऊँचाई 16cm है तथा िनचले
और ऊपरी िसरों की ित्र याएँ क्रमशः 8cm और 20cm है। Rs.20 प्रित लीटर की दर से , इस बतन को पूरा भर सकने वाले दूध
Page 20 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
का मू य ात कीिजए। साथ ही , इस बतन को बनाने के िलए प्रयु त धातु की चादर का मू य Rs.8 प्रित 100cm की दर से ात
3

कीिजए। π = 3.14 लीिजए।

ऊपरी भाग की ित्र या ,r = 20cm 1

िन न भाग की ित्र या ,r = 8cm 2

बतन की ऊँचाई =16cm
2

बतन की ितयक ऊँचाई , l = √r 1
2
− r2
2
+ h
2

2 2
= √(20 − 8) + 16

√ 2 2
= 12 + 16

= √400 = 200
1
2 2
बतन की धािरता= πh(r1 + r2 + r1 r2 )
3
1
= × 3.14 × 16(20
2
+ 8
2
+ 20 × 8)
3
1
= × 3.14 × 16(400 + 64 + 160)
3
1
= × 3.14 × 16 × 624
3

=10449.92cm 3

≈ 10.45 ल◌ीटर
1 लीटर दूध का मू य=Rs.20
10.45 लीटर दूध का मू य=20 × 10.45 = Rs.209
बतन को बनाने के िलए प्रयु त धातु की चादर का ेतर् फल
=π(r + r )l + πr
1 2 2
2

=π(20 + 8) × 20 + π × 8 2

=560π + 64π
=624πcm 2

2
100cm चादर का मू य=Rs.8
8
624πcm
2
चादर का मू य=Rs × 624π
100
8
=Rs × 624 × 3.14
100

=Rs.156.75
Page: 282 , Block Name : प्र नावली 13.4

Page 21 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
Q5 20cm ऊँचाई और शीष कोण (vertical angle) 60 वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोबीच से होकर जाते हुए एक तल
o

1
से दो भागों को काटा गया है , जबिक तल शंकु के आधार के समांतर है। यिद इस प्रा त शंकु के िछ नक को यास cm वाले एक
16

तार के प म बदल िदया जाता है तो तार की लंबाई ात कीिजए।

△P T V म,
o
TV
tan 30 =
PV
1 TV
=
√3 10

10
TV =
√3

△P QS म,
o
QS
tan 30 =
PS

1 QS
=
√3 20

20
QS = cm
√3

10
ऊपरी भाग की ित्र या ,r 1 = cm
√3

20
िन न भाग की ित्र या ,r 2 = cm
√3

ऊँचाई ,h=10cm
1
2 2
आयतन= πh(r1 + r2 + r1 r2 )
3
2 2
1 10 20 10 20
= π × 10[ + + × ]
3 √3 √3 √3 √3

1 22 100 400 200
= × × 10[ + + ]
3 7 4 3 3
1 22 700
= × × 10 ×
3 7 3
22000
= cm
3

9
1 1 1
तार की ित्र या r= × = cm
2 16 32

Page 22 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
माना तार की लंबाई l cm है।
2
तार का आयतन=πr × l
2
1
=π × ( ) × l
32

िछ नक का आयतन= तार का आयतन
2
22000 1
= π × ( ) × l
9 32
22000 × 7 × 32 × 32
l =
9 × 22

l=796444.44cm
l=7964.44m
Page: 282 , Block Name : प्र नावली 13.4

Exercise 13.5

Q1 यास 3mm वाले ताँबे के एक तार को 12cm लंबे और 10cm यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है िक वह बेलन
के वक्र प ृ ठ को पूणतया ढक लेता है। तार की लंबाई और द्र यमान ात कीिजए , यह मानते हुए की ताँबे का घन व 8.88g प्रित
3
cm है।

तार का यास= 3mm=0.3cm
बेलन की लंबाई=12cm
बेलन का यास=10cm
कु ल लपेटों की सं या= बेलन की लंबाई / तार का यास
12
=
0.3

=40
एक बार लपेटने म तार की लंबाई= बेलन के आधार की पिरिध
=2πr
=2π × 5
=10πcm
40 लपेटों म तार की लंबाई=40 × 10π = 400πcm
22
=400 ×
7

Page 23 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
8800
=
7

=1257.14 cm=12.57 m
3
तार की ित्र या= = 1.5mm = 0.15cm
2
2
तार का आयतन=πr × 1257.14
22
= × 0.15 × 0.15 × 1257.14
7

=88.898cm 3

तार का द्र यमान= आयतन× घन व
=88.898 × 8.88
=789.41
Page: 283 , Block Name : प्र नावली 13.5

Q2 एक समकोण ित्रभुज , िजसकी भुजाएँ 3cm और 4cm है (कण के अितिर त) , को उसके कण के पिरतः घुमाया जाता है। इस
प्रकार प्रा त ि -शंकु (double cone) के आयतन और प ृ ठीय ेतर् फल ात कीिजए।(π का मान जो भी उपयु त लगे , प्रयोग
कीिजए।)

कण PR=√3
2 2
+ 4 = √25 = 5cm
1
समकोण △P QR का ेतर् फल= × OQ × P R
2
1 1
× P R × OQ = × OQ × P R
2 2
1 1
× 5 = × 4 × 3
2 2
12
OB = = 2.4cm
5
1 1
ि शंकु का आयतन= 2
πr h1 +
2
πr h2
3 3
1
= 2
πr [h1 + h2 ]
3
1
=
2
× 3.14 × (2.4) × 5
3

=30.14cm 3

ि शंकु का प ृ ठीय ेतर् फल=πr(l 1 + l2 )

=3.14 × 2.4(4 + 3)
=3.14 × 2.4 × 7
Page 24 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths
=52.75cm 2

Page: 283 , Block Name : प्र नावली 13.5

Q3 एक टं की , िजसके आंतिरक मापन 150cm × 120cm × 110cm है , म 129600cm पानी है। इस पानी म कु छ िछद्र
3

1
ं े तब तक डाली जाती है , जब तक टं की पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्र येक ईट
वाली ईट ं अपने आयतन का पानी सोख लेती है।
17

यिद प्र येक ईट ं की माप 22.5cm × 7.5cm × 6.5cm है , तो टं की म कु ल िकतनी ईट
ं े डाली जा सकती है , तािक उसम से
पानी बाहर न आए।
Answer. टं की का आयतन=150 × 120 × 110 = 198000cm 3

3
टं की म उपि थत पानी का आयतन=129600cm
∴ टं की म भरी जानी वाली ईट ं ो का आयतन=198000-129600
=1850400 cm 3

माना ईट ं ो की सं या =m ,
mईट ं ो का आयतन=m × 22.5 × 7.5 × 6.5 = 1096.875mcm 3

m
1850400 + × 1096.875 = 1096.875m
17
m
1850400 = (m − )1096.875
17
16m
× 1096.875 = 1850400
17
1850400 × 17
m =
16 × 1096.875

m ≈ 1792

Page: 283 , Block Name : प्र नावली 13.5

Q4 िकसी महीने के 15 िदनों म , एक नदी की घाटी म 10cm वषा हुई । यिद इस घाटी का ेतर् फल 7280km है , तो दशाइए िक
2

कु ल वषा तीन निदयों के सामा य पानी के योग के समतु य थी , जबिक प्र येक नदी 1072km लंबी , 75m चौड़ी और 3m गहरी है।
Answer. घाटी म हुई वषा=10cm=0.1m
घाटी का ेतर् फल =7280km = 7280000000m
2 2

2
वषा के पानी का आयतन=7280000000 × 0.1 = 728000000m
3
नदी के पानी का आयतन=1072000 × 75 × 3 = 241200000m
3
तीन निदयों के पानी का आयतन=3 × 241200000 = 843600000m
3 3
9728000000m ≈ 843600000m

Page: 283 , Block Name : प्र नावली 13.5

Q5 टीन की बनी हुई एक तेल की कु पी 10cm लंबे एक बेलन म एक शंकु के िछ नक को जोड़ने से बनी है। यिद इसकी कु ल ऊँचाई
22cm है , बेलनाकार भाग का यास 8cm है और कु पी के ऊपरी िसरे का यास 18cm है , तो इसके बनने म लगी टीन की चादर का
ेतर् फल ात कीिजए।

Page 25 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

ऊपरी भाग की ित्र या ,r = 9cm 1

िन न भाग की ित्र या ,r = 4cm 2

बेलनाकार भाग की ित्र या=4cm
िछ नक की ऊँचाई =22-10=12cm
बेलनाकार भाग की ऊँचाई =h = 10cm 2

िछ नक की ितयक ऊँचाई ,l= √r − r 2 + h 2
1 2 1

=√(9 − 4)
2 2
+ 12

=√25 + 144
=√169
=13cm
टीन की चादर का ेतर् फल=π(r 1 + r2 )l + 2πr2 h2

22 22
= (9 + 4) × 13 + 2 × × 4 × 10
7 7
22
= [169 + 80]
7
22
= × 249
7
4
=782 cm
2

7

Page: 283 , Block Name : प्र नावली 13.5

Q6 शंकु के एक िछ नक के िलए , पूव प ट िकए संकेतों का प्रयोग करते हुए , वक्र प ृ ठीय ेतर् फल और संपण
ू प ृ ठीय ेतर् फल के
उन सूतर् ों को िस कीिजए।

Page 26 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

मान लीिजये PQR एक शंकु है िजससे िछ नक िनिमत िकया गया है। माना r तथा r दोनों िसरों की ित्र याएँ एवं h ऊँचाई है।
1 2

△P QV और △P SU म,

QV||SU
∠P QV = ∠P SU [संगत कोण]

∠P V Q = ∠P U S [प्र येक कोण {90}^{o}]

∴ △P QV ∼ △P SU (AA सम पता से)

SU PU PS
अतः = = [सम प ित्र यों की समापाती भुजाएँ]
QV PV PQ

r2 h2 − h1 l1 − l
= =
r1 h1 l1

r2 h l
= 1 − = 1 −
r1 h1 l1

r2 l
= 1 −
r1 l1
l r2 r1 − r2
= 1 − =
l1 r1 r1

l1 r1
=
l r1 − r2

r1 l
l =
r1 − r2

िछ नक का वक्र प ृ ठीय ेतर् फल= शंकु PQR का वक्र प ृ ठीय ेतर् फल- शंकु PST का वक्र प ृ ठीय ेतर् फल
=πr l − πr (l − l)
1 1 2 1

r1 l r1 l
=πr ( 1 ) − πr2 ( − l)
r1 − r2 r1 − r2
2 2
πr1 l πr2 l
= −
r1 − r2 r1 − r2
2 2
r1 − r2 (r1 − r2 )(r1 + r2 )
=πl( ) − πl
r1 − r2 r1 − r2

=πl(r 1 + r2 )

ू प ृ ठीय ेतर् फल=π(r
िछ नक का संपण 1 + r2 l + πr2
2 2
+ πr1 )

= िछ नक का वक्र प ृ ठीय ेतर् फल+ ऊपरी आधार का ेतर् फल+ िनचले आधार का ेतर् फल

Page: 283 , Block Name : प्र नावली 13.5

Q7 शंकु के एक िछ नक के िलए , पूव प ट िकए संकेतों का प्रयोग करते हुए , आयतन का वह सूतर् िस कीिजए।

Page 27 of 28

Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 13 Maths

△P QV और △P SU म,
QV||SU
∠P QV = ∠P SU [संगत कोण]
∠P V Q = ∠P U S [प्र येक कोण {90}^{o}]

∴ △P QV ∼ △P SU (AA सम पता से)

SU PU PS
अतः = = [सम प ित्र यों की समापाती भुजाएँ]
QV PV PQ

r2 h2 − h1 l1 − l
= =
r1 h1 l1

r2 h l
= 1 − = 1 −
r1 h1 l1

r2 h
= 1 −
r1 h1
h r2 r1 − r2
= 1 − =
h1 r1 r1

h1 r1
=
h r1 − r2

िछ नक का आयतन = शंकु PQR का आयतन - शंकु PST का आयतन
1 1
= 2
πr1 h1 −
2
πr2 (h1 − h)
3 3
1
= 2
π(r1 h1 − r2 (h1 − h))
2

3
1 r1 h r1 h
= π[r1 (
2
) − r2 (
2
− h)]
3 r1 − r2 r1 − r2
3
1 r1 h r1 h − r1 h + r2 h
= π[ r1 − r2 − r2 (
2
r1 − r2 )]
3 r1 h r1 h
3 3
1 r1 h r2 h
= π[ − ]
3 r1 − r2 r1 − r2
3 3
1 r1 − r2
= πh[ ]
3 r1 − r2
2 2
1 (r1 − r2 )r1 + r2 + r1 r2
= πh[ ]
3 r1 − r2

1
= πh[(r1
2
+ r2
2
+ r1 r2 )]
3

Page: 283 , Block Name : प्र नावली 13.5

Page 28 of 28