Class 12 Question Bank गणित

Class 12 Maths Question Bank

अध्माम-1
सॊफध एवॊ परन

स्भयणीम बफॊद ु :
इस अध्माम भें हभने ववववध प्रकाय सॊफॊधों परनों तथा द्ववआधायी सॊक्रिमाओॊ का अध्ममन क्रकमा है ।
इस अध्माम की भुख्म ववषम-वस्तु ननम्नलरखित है ्
® भें ]as द्वाया प्रदत्त सॊफॊध रयक्त सॊफॊध होता है ।
® भें द्वाया प्रदत्त सॊफॊध साववबिक सॊफॊध है ।
भें ऐसा सॊफॊध क्रक स्वतल्
ु म सॊफॊध है ।
भें इस प्रकाय का सॊफॊध जो प्रनतफॊध का तात्ऩमव है क्रक
को सॊतुष्ट कयता है सभलभत सॊफॊध है ।
भें प्रनतफॊध तथा ⇒ को सॊतुष्ट कयने वारा सॊफॊध सॊिाभक
सॊफॊध है ।
भें सॊफॊध जो स्वतल्
ु म सभलभत तथा सॊिाभक है तल्
ु मता सॊफॊध है ।
भें क्रकसी तुल्मता सॊफॊध के लरए के सॊगत तुल्मता वगव [ ] का वह उऩसभुच्चम है जजसके सबी अवमव
से सॊफॊधधत हैं।
® एक परन एकैकी (अथवा एकैक) परन है
⇒
® एक परन आच्छादक (अथवा आच्छादी) परन है मदद क्रकसी प्रदत्त

इस प्रकाय क्रक

® एक परन एकैकी तथा आच्छादक (अथवा एकैकी आच्छादक) परन है मदद एकैकी तथा अच्छादक दोनों
है ।
® क्रकसी प्रदत्त ऩरयलभत सभुच्चम के लरए परन एकैकी तदानुसाय आच्छादक होता है मदद औय केवर मदद
आच्दछादक तदानस
ु ाय एकैकी है । मह क्रकसी ऩरयलभत सभच्
ु चम का अलबराऺखणक गण
ु धभव (Characterstic Property) है ।
मह अऩरयलभत सभुच्चम के लरए सत्म नहीॊ है ।

प्रश्न 1. सही विकल्प चुननए -
(i) मदद सभुच्चम { } भें द्वाया प्रदत्त सॊफॊध है :
केवर सभलभत केवर स्वतल्
ु म केवर सॊिाभक एक तल्
ु मता सॊफॊध
(ii) मदद परन जो द्वाया ऩरयबावषत है तो्
एकैकी आच्छादक है । एकैकी है क्रकन्तु आच्छादक नहीॊ है ।
आच्छादक है क्रकन्तु एकैकी नहीॊ एकैकी आच्छादक दोनो नहीॊ है ।
(iii) मदद परन जो द्वाया ऩरयबावषत है तो :
एकैकी आच्छादक है । एकैकी है क्रकन्तु आच्छादक नहीॊ है ।
आच्छादक है क्रकन्तु एकैकी नहीॊ एकैकी आच्छादक दोनो नहीॊ है ।
(iv) मदद सभुच्चम { } भें { } द्वाया प्रदत्त सॊफॊध है
तो्
स्वतुल्म तथा सभलभत है क्रकन्तु सॊिभक नहीॊ है ।
स्वतल्
ु म तथा सॊिाभक है क्रकन्तु सभलभत नहीॊ है ।
सभलभत तथा सॊिभक है क्रकॊ तु स्वतुल्म नहीॊ है ।
एक तुल्मता सॊफॊध है ।

4

(v) मदद सभुच्चम { } भें { }द्वाया प्रदत्त सॊफॊध है तो्
स्वतुल्म तथा सभलभत है क्रकन्तु सॊिभक नहीॊ है ।
स्वतल्
ु म तथा सॊिाभक है क्रकन्तु सभलभत नहीॊ है ।
सभलभत तथा सॊिभक है क्रकॊ तु स्वतुल्म नहीॊ है ।
एक तुल्मता सॊफॊध है ।
(vi) मदद { } हो ननम्न भें से कौन सा तुल्मता सॊफॊध नही है ्
{ } { }
{ } इनभें से कोई नहीॊ
(vii) भाना सभुच्चम भें { } द्वाया प्रदत्त सॊफॊध है तफ ननम्न
भे से सही उत्तय चनु नए्

(viii) मदद परन क्रकसी सभुच्चम से ऩय ऩरयबावषत है तफ व्मुत्िभणीम परन होगा जफ परन अननवामवत
हो्
एकैकी आच्छादक एकैकी एवॊ आच्छादक इनभें से कोई नहीॊ
(ix) भाना ये िाओॊ के सभुच्चम ऩय सॊफॊध ये िा ये िा ऩय रॊफवत है ’ द्वाया ऩरयबावषत है तो क्रकस
प्रकाय का सॊफॊध है ्
स्वतुल्म एवॊ सभलभत सभलभत एवॊ सॊिाभक तुल्मता सॊफॊध सभलभत सॊफॊध
(x) ददए गए सभुच्चम { } के लरए एक तत्सभक सॊफॊध होगा्
{ } { }
{ } { }
(xi) भाना द्वाया ऩरयबावषत है तो्
एकैकी आच्छादक है । फहुएक आच्छादक नहीॊ है ।
एकैकी ऩय आच्छादक नहीॊ न एकैकी है औय न आच्छादक।
(xii) भाना इस प्रकाय ऩरयबावषत है क्रक जहाॉ तफ होगा्
आच्छादक प्रनतरोभ एकैकी इनभें से कोई नहीॊ
(xiii) मदद जहाॉ¡ तफ का भान होगा :
0 28 14 35
(xiv) भाना सभुच्चम { } औय सभुच्चम ऩय ऩरयबावषत सॊफॊध इस प्रकाय
है क्रक { } तफ सॊफॊध होगा।
रयक्त सॊफॊध स्वतुल्म सॊफॊध सभलभत सॊफॊध तुल्मता सॊफॊध
(xv) भाना एक सम्फॊध ऩय इस प्रकाय ऩरयबावषत है क्रक ⇒ तफ होगा
सभलभत सॊिाभक क्रकन्तु स्वतुल्म नहीॊ। स्वतुल्म सभलभत क्रकन्तु सॊिाभक नहीॊ।
स्वतुल्म औय सॊिाभक क्रकन्तु सभलभत नहीॊ। एक तुल्मता सॊफॊध
(xvi) भाना { } { } औय सॊफॊध से ऩय इस प्रकाय ऩरयबावषत है
क्रक फड़ा है से तफ का ऩरयसय क्मा होगा
{ } { } { } इनभें से कोई नहीॊ
(xvii) मदद सभुच्चम { } ऩय सॊफॊध इस प्रकाय ऩरयबावषत है
क्रक ⇒ तफ फयाफय है ।
{ } { }
{ } इनभें से कोई नही
(xviii) मदद { } हो तो अवमव वारे तुल्मता सॊफॊधों की सॊख्मा है -

(xix) X भें प्रनतफॊध R, (a, b)  R तथा (b, c)  R  (a, c)  R जहाॉ को सॊतुष्ट कयने वारा सम्फॊध R

सभलभत सम्फॊध है । स्वतुल्म सम्फॊध है ।
सॊिाभक सम्फॊध है । रयक्त सम्फॊध है ।

5

(xx) प्रदत्त सम्फॊध R रयक्त सम्फॊध हे ागा मदद -

(xxi) एक आच्छादक परन होगा मदद -

(xxii) भान रीजजमे क्रक द्वाया ऩरयबावषत परन है तफ :
एकैकी आच्छादक फहुएक आच्छादक है ।
एकैकी है ऩयन्तु आच्छादक नहीॊ न तो एकैकी है औय न आच्छादक है ।
(xxiii) मदद तथा तो =
6 2 4 3
(xxiv) X भें सम्फॊध जो स्वतल्
ु म सभलभत तथा सॊिाभक है वह सम्फॊध कहराता है -
तुल्मता सम्फॊध साववबिक सम्फॊध
रयक्त सम्फॊध सभलभत सम्फॊध
प्रश्न 2. ररक्त स्थानो की पूनति कीजजए :
(i) सभच्
ु चम ऩय ऩरयबावषत कोई सॊफॊध स्वतल्
ु म, सभलभत तथा सॊिाभक है तो एक ------ कहराता है ।
(ii) मदद { } { } तथा { } से ऩय एक परन है तो एक--------परन है ।
(iii) भें प्रनतफॊध तथा ⇒ जहाॉ को सॊतुष्ट कयने वारा
सम्फॊध ...............................सम्फॊध है ।
(iv) भें इस प्रकाय का सम्फॊध जो प्रनतफॊध का तात्ऩमव है क्रक को सॊतुष्ट कयता है
............................. सम्फॊध है ।
(v) भें ऐसा सम्फॊध है क्रक पॉय ऑर ...................... सम्फॊध है ।
(vi) भें द्वाया प्रदत्त सम्फॊध ................. सम्फॊध है ।
(vii) एक परन एकैकी परन है मदद तफ सबी के लरए .............
प्रश्न 3. सत्य/असत्य शऱखो :
(i) मदद { } हो तो ऐसे सॊफॊध जजनभे अवमव तथा हो
औय जो स्वतुल्म तथा सभलभत है क्रकॊ तु सॊिाभक नहीॊ है की सॊख्मा 1 है
(ii) मदद तथा सभुच्चम भे तुल्मता सॊफॊध है तो
बी एक तुल्मता सॊफॊध होगा
(iii) मदद एक परन है भें { } द्वाया प्रदत्त एक
सॊफॊध है तो एक तल्
ु मता सॊफॊध नहीॊ है ।
(iv) एक आच्छादक परन है मदद औय केवर मदद का ऩरयसय
(v) एकैकी कहराता है मदद के लरए ⇒

प्रश्न क्रमाींक -
4. लसद्ध कीजजए क्रक भें { } द्वाया ऩरयबावषत सॊफॊध स्वतुल्म तथा सॊिाभक है ।
मदद ववषभ है
5. मदद के लरए { द्वाया ऩरयबावषत एक परन
मदद सभ है

है तो ददिाइए क्रक एकैकी आच्छादक है ।

6. जाॉच कीजजए क्रक क्मा सभुच्चम { } भें { } द्वाया ऩरयबावषत सॊफॊध एक तुल्मता सॊफॊध
है ।

6

7. लसद्ध कीजजए क्रक ऩूणाांको के सभुच्चम ‘सॊख्मा को ववबाजजत कयती है ’ द्वाया प्रदत्त सॊफध
ॊ एक
तुल्मता सॊफॊध है ।
8. मदद परन द्वाया प्रदत्त परन की एकैकी तथा आच्छादी गण
ु ों की जाॉच कीजजए।
9. मदद { } { } तथा { } से ऩय एक परन है तो ददिाएइ क्रक
एकैकी है ।
10. लसद्ध कीजजए क्रक सभुच्चम { } भें { } द्वाया प्रदत्त सॊफॊध सभलभत है ।
11. लसद्ध कीजजए क्रक तथा के लरए द्वाया प्रदत्त परन आच्छादक तो है
क्रकन्तु एकैकी नहीॊ है ।

12. fl) dhft, fd fdlh dkWyst ds iqLrdky; dh leLr iqLrdksa ds leqPp; esa { rFkk
esa istksa dh la[;k leku gS} }kjk iznÙk lac/a k ,d rqY;rk lac/a k gSA
13. fl) dhft, fd { } esa] { – le gS} }kjk iznÙk lac/a k ,d rqY;rk
laca/k gSA izekf.kr dhft, fd {1, 3, 5} ds lHkh vo;o ,d nwljs ls lacaf/kr gSa vkSj leqPp; {2, 4} ds lHkh
vo;o ,d nwljs ls lacaf/r gSa ijarq {1, 3, 5} dk dksbZ Hkh vo;o {2, 4} ds fdlh vo;o ls lacaf/r ugha gSA
14. fl) dhft, fd }kjk ifjHkkf"kr Qyu ,dSdh rFkk vkPNknd gS] tgk¡ lHkh
_.ksrj okLrfod la[;kvksa dk leqPp; gSA ;fn izkra dks ls cny fn;k tk,] tc fd lgizkar iwoZor
gh jgs] rks Hkh D;k ;g ifj.kke lR; gksxk\
15. fl) dhft, fd leLr cgqHkqtksa ds leqPp; esa, { rFkk dh Hkqtkvksa dh la[;k
leku gS} izdkj ls ifjHkkf"kr lac/a k ,d rqY;rk lac/a k gSA 3] 4] vkSj 5 yackbZ dh Hkqtkvksa okys ledks.k
f=Hkqt ls lacaf/kr leqPp; ds lHkh vo;oksa dk leqPp; Kkr dhft,A

mRrj& ¼v/;k; 1½

प्रश्न 1- (i) b (ii) a (iii) b (iv) b (v) d (vi) d (vii) c (viii) c (ix) d (x) b (xi) b (xii) c (xiii) b (xiv) a
(xv) c (xvi) b (xvii) c (xviii) b (xix) c (xx) a (xxi) c (xxii) a (xxiii) a (xxiv) a
प्रश्न 2- (i) rqY;rk laca/k (ii) ,dSadh ¼iii½ laØked ¼iv½ lefer lEca/k ¼v½ LorqY; lEca/k ¼vi½ lkoZf=d lEca/k ¼vii½

प्रश्न 3- (i) lR; (ii) lR; (iii) vlR; (iv) lR; (v) vlR;

7

अध्माम-2
प्रनतरोभ बिकोणलभतीम परन

स्मरि य बबींद ु
 प्रनतरोभ बिकोणलभतीम परनों (भुख्म शािा) के प्राॊत तथा ऩरयसय ननम्न सायणी भें वखणवत है :
परन प्राॊत ऩरयसय (भुख्म शािा)
[ ] * +
[ ] [ ]

* + { }

[ ] { }

( )

 से की भ्राजन्त नहीॊ होनी चादहएA वास्तव भें = औय इसी प्रकाय मे तथ्म
अन्म बिकोणलभतीम परनों के सत्म होता है A
 क्रकसी प्रनतरोभ बिकोणलभतीम परन का वह भान, जो उसकी भख्
ु म शािा भें जस्थत होता है , प्रनतरोभ
बिकोणलभतीम परन का भुख्म भान (Principle Value) कहराता है A
उऩमुक्त प्रान्तों के लरए :
 मा

 मा








 ,
 , ,
 ,



8

प्रश्न 1. सही विकल्प चनु नए -
(i) ;fn rc

(ii) ( √ )

(iii) √

(iv) ( ( ))

(v) √ ( √ )
√
(vi)
√ √ √ √
(vii) rc

(viii) ( )

 1 
(ix) sin 1   dk eq[; dk eku gksrk gS&
 2
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½
(x) cot-1(- dk eq[; dk eku gksrk gS&
√
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½
(xi) tan 1 (1) dk eq[; dk eku &
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½
(xii) ( ) cjkcj gS &
1 1 1 1
¼v½ sin x ¼c½ cos x ¼l½ sec x ¼n½ cot x
(xiii) Sin 1   x  dk eq[; dk eku gksrk gS

¼v½ sin 1 x ¼c½  sin 1 x
1
¼l½ cos x
1
¼n½  cos x
(xiv) tan 1 x  tan 1 y 
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½
(xv) sin 1 x  cos 1 x 
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½

9

(xvi) 2 tan 1 x dk eku gksrk gS &
¼v½ ¼c½
¼l½ ¼n½
(xvii) dk eku gksrk gS &
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½
(xviii) dh eq[; 'kk[kk dk ifjlj gksrk gS &
 
¼v½  0,   ¼c½  0,  ¼l½  0,   ¼n½  0, 
 2  6
(xix) tan 1 dh eq[; 'kk[kk dk ifjlj gksrk gS &
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½

(xx) dk izkar
¼v½ [-1, 1] ¼c½ (1,-1) ¼l½ (1, 7) ¼n½ (1, 1)
 7 
(xxi) cos 1  Cos  dk eku cjkcj gS &
 6 

¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½
 3 
(xxii) tan 1  tan  dk eku cjkcj gSA
 4 
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½
(xxiii) dk eku
¼v½ ¼c½ ¼l½ ¼n½

(xxiv) Sin1 1  x   2sin 1 x  gks rks dk eku cjkcj gSA
2
¼v½ ¼c½ ¼l½ 0 ¼n½
(xxv) cos-1 dk izkar &

¼v½ (-1, 1) ¼c½ [-1,1] ¼l½ ( ¼n½ (

प्रश्न 2. रयक्त स्थानो की ऩूनतव कीजजए:
i. का प्राॊत &&&&&& है A
ii. की भुख्म भान शािा &&&&&&& है SaA
प्रश्न 3. सत्म/असत्म लरिो
i. का प्राॊत है AS
ii. की भख्
ु म भान शािा [ ] , - है A

10

प्रश्न 3. एक शब्द@वाक्म भें उत्तय दीजजमे %
i. का प्राॊत लरखिमे
ii. की भख्
ु म भान शािा लरखिमेA
iii. का भान लरखिमे
iv. का भान लरखिमेA

प्रश्न 1. ( ) का भुख्म भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 2- का भुख्म भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 3- ( ) का भख्
ु म भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 4- ( ) का भुख्म भान ऻात कीजजएA
प्रश्न 5- ( ) ( ) का भान ऻात कीजजएA
प्रश्न 6- ( ) ( ) का भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 7. दशावइए क्रक ( √ )
√ √

प्रश्न 8- दशावइए क्रक ( √ )
√

प्रश्न 9- लसद्ध कीजजमे क्रक ( )
√
प्रश्न 10- लसद्ध कीजजमे क्रक * +
प्रश्न 11- लसद्ध कीजजमे क्रक * +
प्रश्न 12- लसद्ध कीजजमे क्रक √ * + [ ]
√ √
प्रश्न 13- लसद्ध कीजजमे क्रक * +
√ √ √
प्रश्न 14- *√ + को सयरतभ रूऩ भें लरखिमे A

प्रश्न 15- *√ + को सयरतभ रूऩ भें लरखिमे A
√
प्रश्न 16- [ ] को सयरतभ रूऩ भें लरखिमे A

प्रश्न 17- *√ + को सयरतभ रूऩ भें लरखिमेA

प्रश्न 18- * + को सयरतभ रूऩ भें लरखिमे A
√ √
प्रश्न 19- * + को सयरतभ रूऩ भें लरखिमेA

प्रश्न 20- [√ ] को सयरतभ रूऩ भें लरखिमे A

प्रश्न 21- * + को सयरतभ रूऩ भें लरखिमे A

1 1 2 3
प्रश्न 22- लसद्ध कीजजमे & tan  tan 1  tan 1
2 11 4
1  3 x  x 
3
2x 1
प्रश्न 23- लसद्ध कीजजमे & tan
1
x  tan 1  tan  2 
x
1 x 2
 1  3x  3

प्रश्न 24- tan 1 2 x  tan 1 3x  को सयर कीजजमेA

4

11

1 3 8 84
प्रश्न 25- दशावइए क्रक sin  sin 1  cos1
5 17 85

8 3 77
प्रश्न 26- लसद्ध कीजजमे& sin 1  sin 1  tan 1
17 5 36
1 1 31
प्रश्न 27. लसद्ध कीजजमे& 2 tan 1  tan 1  tan 1
2 7 17

प्रश्न 28. परन tan
 3a  x  , a  0; a  x  a को सयरतभ रूऩ भें लरखिमेA
1
2 3

a 3  3ax 2 3 3

प्रश्न 29.- सयर कीजजमे * +

√ √
प्रश्न 30. लसद्ध कीजजमे : * + * +
√ √
प्रश्न 31. दशावइए क्रक :

प्रश्न 32. लसद्ध कीजजमे :

प्रश्न 33. हर कीजजमे :

प्रश्न 34. लसद्ध कीजजमे :

प्रश्न 35. * ( )+ का भान ऻात कीजजएA
प्रश्न 36. * + औय
का भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 37. मदद ( ) तोs का भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 38. मदद तोs का भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 39. हर कीजजमे

प्रश्न 40. * + का भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 41. * + का भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 42. * + का भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 43. * + का भान ऻात कीजजएA

प्रश्न 44. * + का भान ऻात कीजजएA
प्रश्न 45. * + का भान ऻात कीजजएA
प्रश्न 46. दशावइए क्रक

प्रश्न 47. दशावइए क्रक

प्रश्न 48. दशावइए क्रक
x

1 1 x  y
प्रश्न 49. tan    tan का भान ऻात कीजजएA
 y x y

12

 1  sin x  1  sin x  x  
प्रश्न 50. cot 1    x   0, 
 1  sin x  1  sin x  2  4
 

1 cos x 3 
प्रश्न 51. tan   x  को सयरतभ रूऩ भें लरखिमेA
1  sin x 2 2
1  1 2 x 1  y² 
प्रश्न 52. tan   cos 1 x  1, y  0 rFkk xy  1 का भान ऻात कीजजएA
1  y ² 
sin
2 1  x²

1 12 3 55
प्रश्न 53. cos  sin 1  sin 1 का भान ऻात कीजजएA
13 5 65
 1 x  1 x   1 1 1
प्रश्न 54. tan 1   ¾  cos x,   x  1 का भान ऻात कीजजएA
 1 x  1 x  2 2 2
 

1 1 1 1 1 
प्रश्न 55. tan  tan 1  tan 1  tan 1  का भान ऻात कीजजएA
5 7 3 8 4
mRrj& ¼v/;k; 2½
iz-1- (i) b (ii) a (iii) b (iv) d (v) b (vi) d (vii) c (viii) c (ix) c (x) a (xi) b (xii) d
(xiii) b (xiv) a (xv) b (xvi) a (xvii) c (xviii) a (xix) b (xx) a (xxi) b (xxii) b (xxiii) a
(xxiv) c (xxv) b

iz-2- (i) [ ] (ii) ( )
iz-3- (i) lR; (ii) lR;
iz-4- (i) (ii) ( ) { } (iii) 0 (iv) 0

13

अध्माम-3
आव्मूह
स्भयणीम बफॊद ु -
आव्मूह परनों मा सॊख्माओॊ का एक आमताकाय िभ ववन्मास है ।
आव्मह
ू को [ ] (फडे कोष्ठक) के अॊदय अवमवों को यिकय प्रदलशवत क्रकमा जाता है ।
ऺैनतज ये िामों को ऩॊजक्तमाॊ तथा उध्वावधय ये िामों को स्तॊब कहते हैं।
ऩॊजक्तमाॊ स्तॊब फारे आव्मह
ू को कोदट का आव्मूह कहते हैं।
आव्मूह को अॊग्रेजी के फडे अऺय से प्रदलशवत क्रकमा जाता है। [ ] जहाॊ ऩय
आव्मह
ू की प्रववजष्ट है । दो आव्मह
ू का मोग तबी सॊबव है जफक्रक उनकी कोदट सभान हो।
कोदट का आव्मूह एक वगव आव्मूह कहराता है मदद
दो आव्मूह का गुणनपर तबी सॊबव है जफक्रक ऩहरे आव्मूह के स्तॊबों की सॊख्मा औय दस
ू ये
आव्मूह की ऩॊजक्तमों की सॊख्मा सभान हो।
प्रश्न 1. सही विकल्प चुननए-
(i) कोदट के ऐसे आव्मह
ू ों की कुर सॊख्मा होगी जजनकी प्रत्मेक की प्रववजष्ट
0 मा 1 है ।

(ii) [ ] एक वगव आव्मूह है मदद
इनभें से कोई नहीॊ
(iii) आव्मूह तथा एक दस
ू ये के व्मुत्िभ होंगे मदद

(iv) मदद एक आव्मह
ू सभलभत एवॊ ववषभ सभलभत दोनों ही है तो
एक ववकणव आव्मूह है एक शून्म आव्मूह है
एक वगव आव्मूह है इनभें से कोई नहीॊ
(v) मदद तथा सभान कोदट के सभलभत आव्मूह है तो
ववषभ सभलभत आव्मूह है । सभलभत आव्मूह है ।
शून्म आव्मूह है । तत्सभक आव्मूह है ।
(vi) मदद एक वगव आव्मूह है तो सभलभत आव्मूह होगा मदद

(vii) एक ववषभ सभलभत आव्मूह के ववकणव का प्रत्मेक अवमव होता है ्
शून्म धनात्भक ऋणात्भक अवास्तववक
(viii) [ ] एक आव्मूह है ।
ऩॊजक्त आव्मूह स्तॊब आव्मह
ू वगव आव्मह
ू ववकणव आव्मूह

(ix) कोदट के आव्मह
ू भें अवमवों की सॊख्मा है ।
5 1 6 8

(x) मदद [ ]=* + तो औय के भान ऻात कयो-

14

(xi) आव्मह
ू व का गण
ु नपर ऩरयबावषत होगा मदद

(xii) एक आव्मह
ू । =[ ] जहाॉ = की ऩहरी ऩॊजक्त औय दस
ू ये
स्तॊब का अवमव है ।

(xiii) मदद आव्मूह =* + है तो का भान होगा -

* + * + * + * +

(xiv) का भान ननम्न के फयाफय है ।

’

(xv) मदद =[ ] =[ ] तो भें अवमवों की सॊख्मा होगी-

1 6 6 9
(xvi) ननम्न आव्मूह सभलभत आव्मूह है -

* + * + * + * +
प्रश्न 2. सत्य/असत्य शऱणखए:
(i) [ ] एक ऩॊजक्त आव्मह
ू होता है ।
(ii) आव्मूहों भें मोग की सॊक्रिमा के लरए साहचमव ननमभ का ऩारन नहीॊ होता है ।
(iii) क्रकसी आव्मूह के लरए [ ] एक स्तॊब आव्मूह होता है ।
(iv) आव्मह
ू ों भें गण
ु न की सॊक्रिमा के िभ ववननभेम ननमभ का ऩारन होता है ।
(v) तीन आव्मूहों व के लरए
(vi) प्रत्मेक वगव आव्मूह एक ववकणव आव्मूह होता है ।
(vii) प्रत्मेक वगव आव्मूह एक अददश आव्मूह होता है ।
(viii) प्रत्मेक ववकणव आव्मूह एक अददश आव्मूह होता है ।
(ix) प्रत्मेक अददश आव्मूह एक ववकणव आव्मूह होता है ।
(x) प्रत्मेक अददश आव्मूह एक तत्सभक आव्मूह होता है ।
(xi) प्रत्मेक तत्सभक आव्मूह एक अददश आव्मूह होता है ।
(xii) प्रत्मेक तत्सभक आव्मूह एक ववकणव आव्मूह होता है ।
(xiii) प्रत्मेक तत्सभक आव्मूह एक वगव आव्मूह होता है ।
(xiv) क्रकसी आव्मह
ू के ऩरयवतव आव्मह
ू का ऩन
ु ् ऩरयवतव आव्मूह भर
ू आव्मह
ू के फयाफय होता है ।
(xv) मदद आव्मूह इस प्रकाय है क्रक = तो आव्मूह को ववषभ सभलभत आव्मूह कहते हैं।

(xvi) मदद वगव आव्मूह इस प्रकाय है क्रक = - तो को ववषभ सभलभत आव्मूह कहते हैं।
(xvii) मदद दो वगव आव्मूह इस प्रकाय है क्रक जहाॉ तत्सभक आव्मूह है तो आव्मूह औय को
एक दस
ू ये का ऩरयवतव आव्मूह कहते हैं।
(xviii) दो आव्मूहों का मोग ऻात कयने के लरमे मह आवश्मक नहीॊ है क्रक उनकी कोदटमाॉ सभान हों।
(xix) मदद आव्मूह की कोदट व आव्मूह की कोदट हो तो इनके गुणनपर से प्राप्त
आव्मह
ू की कोदट होगी।

15

प्रश्न 3- एक िब्द/िाक्य में उत्तर दीजजए %
i. मदद * + तथा है तो का भान क्मा है \

ii. मदद * + * + है तो का भान क्मा है \
iii. कोदट का तत्सभक आव्मूह लरिोA
iv. ववकणव आव्मूह का कोई एक उदाहयण लरिोA

v. एक 2 2 आव्मूह =[ ] की यचना कूजजमे जफक्रक =

vi. मदद [ ] = [ ] तो तथा के भान ऻात कीजजमे।

vii. तत्सभक आव्मूह को उदाहयण सदहत ऩरयबावषत कीजजमे।
viii. ववकणव आव्मूह क्मा है ?

ix. मदद =* +, = * + तो का भान ऻात कीजजमे।

x. आव्मह
ू ों के मोग का िभ ववननभेम ननमभ लरखिमे।

xi. [ ][ ] का भान ऻात कीजजमे।

xii. वगव आव्मूह A को एक सभलभत आव्मूह औय एक ववषभ सभलभत आव्मूह के मोग के रूऩ भें व्मक्त कीजजमे।

xiii. मदद = * + तो ऻात कीजजमे।

xiv. ऩॉजक्त आव्मह
ू को ऩरयबावषत कीजजमे।

प्रश्न 4- ररक्त स्थानों की पनू ति कीजजए :

(i) ऩॊजक्त आव्मूह भें ऩॊजक्तमों की सॊख्मा ................होती है ।
(ii) वगव आव्महू भें ऩॊजक्तमों की सॊख्मा स्तॊबों की सॊख्मा .............. होती है।
(iii) ऐसा वगव आव्मूह जजसके ववकणव की प्रत्मेक प्रववजष्ठ 1 हो तथा शेष प्रववजष्ठ शून्म
हो .......... आव्मूह कहराता है ।
(iv) मदद एक वगव आव्मूह है तथा एक तत्सभक आव्मूह है तो =………………….।

(v) मदद * + तो =……………………………….।

(vi) मदद = तो =…………………………….।

(vii) मदद जफक्रक िभश् तो कोदट के आव्मूह हैं,
तो ………………..।
(viii) मदद A का ऩरयवतव आव्मूह है तो …………।
(ix) वगव आव्मूह A का ऩरयवतव आव्मूह है तो एक .......... आव्मूह होता है ।
(x) वगव आव्मूह A का ऩरयवतव आव्मूह है तो एक .......... आव्मूह होता है ।
(xi) ऐसा ववकणव आव्मूह जजसके ववकणव के सबी अवमव सभान होते हैं.......आव्मूह कहराता है ।
(xii) ऐसा ववकणव आव्मूह जजसके ववकणव के सबी अवमव इकाई होते हैं.......आव्मूह कहराता है ।
(xiii) * +* +=* + तो …………………….।

(xiv) मदद * + * + तो …………………….।

(xv) मदद औय एक दस
ू ये के व्मुत्िभ आव्मूह हों तो ……………………..

16

प्रश्न 05 सही जोड़ शमऱाईये।

A B

(i) (a) * +

(ii) (b) आव्मह
ू के मोग का िभ ववननभेम ननमभ।
(iii) (c) एक सभलभत आव्मह
ू है ।
(iv) (d)
(v) (e) एक ववषभ सभलभत आव्मूह है ।
(vi) (f) औय एक दस
ू ये के व्मत्ु िभ है ।

(vii) [ ] (g) * +

(viii) * ++* + (h) तत्सभक आव्मूह(3 3) कोदट का।

(ix) * +* + (i) कोदट का वगव आव्मूह ।
(x) (j)

प्रश्न-1 कोदट के आव्मूह की यचना कीजजमे जजसके अवमव ननम्न प्रकाय से प्राप्त होते हैं

प्रश्न-2 सयर कीजजमे * +* +

प्रश्न-3- सयर कीजजमे * + * +

प्रश्न-4- का भान ऻात कीजजमे, मदद * + औय * +

प्रश्न-5- मदद * + तथा * + तफ का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-06 मदद =* + तथा =* + है तो ऻात कीजजमे।

प्रश्न-07 मदद = [√ ], B=[ √ ] है तो ऻात कीजजमे।

प्रश्न- 08 मदद [ ] * + तो व के भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न- 09 3 4 आव्मूह A =[ ] की यचना कीजजमे मदद =

प्रश्न-10 मदद * + तथा * + है तो ऻात कीजजमे।

प्रश्न- 11 आव्मूह * + व * + के लरमे आव्मूहों के मोग के िभ ववननभेम ननमभ का सत्माऩन कीजजमे।

प्रश्न -12 * + व * + तो ऻात कीजजमे।

17

प्रश्न-13 ननम्न गुणनपर ऩरयकलरत कीजजमे

[ ][ ]

प्रश्न -14 मदद * ++ * +=* + है तो व के भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-15 मदद [ √ ] , * + है तो ननम्न को सत्मावऩत कीजजमे

√
प्रश्न-16 सत्मावऩत कीजजमे क्रक [ ] एक सभलभत आव्मह
ू है ।

प्रश्न-17 मदद A = * +तथा है तो सत्मावऩत कीजजमे A A =
’

प्रश्न-18 मदद A = * + तथा B = * + तो लसद्ध कीजजमे क्रक दोनो आव्मूह

एक दस
ू ये के व्मुत्िभ हैं।
प्रश्न-19 मदद A + जहाॉ व िभश् 2 2 के तत्सभक आव्मूह एवॊ शून्म
आव्मूह हैं, तो 2 2 कोदट के आव्मूह A का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-20 मदद * + औय * + तो
सत्मावऩत कीजजमे

प्रश्न-21- ददिाइए क्रक [ ] एक सभलभत आव्मूह है ।

प्रश्न-22- मदद * + तो लसद्ध कीजजमे क्रक * +

प्रश्न-23- वगव आव्मूह * + सभलभत एवॊ एक ववषभ सभलभत आव्मूहों के

मोग के रूऩ भें व्मक्त कीजजमे।

प्रश्न-24- मदद आव्मूह [ ] सभीकयण को सॊतुष्ट कयता है

तो व के भान ऻात कीजजमे।
प्रश्न-25- मदद आव्मूह * + औय तो का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-26- तथा ऻात कीजजमे मदद * + तथा * +

प्रश्न-27 आव्मूह =* + के लरमे सत्मावऩत कीजजमे क्रक एक सभलभत आव्मूह है ।

प्रश्न- 28 आव्मूह =* + के लरमे सत्मावऩत कीजजमे क्रक एक ववषभ सभलभत आव्मूह है ।

प्रश्न- 29 मदद =[ ] तथा =[ ] है तो सत्मावऩत कीजजमे क्रक

प्रश्न- 30 मदद + एवॊ तो का भान ऻात कीजजमे।
2
=* +तथा =* = -2

प्रश्न- 31 ददमे गमे सभीकयण को तथा के लरमे हर कीजजमे मदद

2 * + * + +3 * +

प्रश्न- 32 तथा के भान ऻात कीजजमे मदद + तथा

=* * +

18

प्रश्न- 33 तथा के भान ऻात कीजजमे मदद * + तथा

=* +

प्रश्न- 34 मदद =[ ] तथा =[ ] हो तो ऻात कीजजमे।

प्रश्न- 35 मदद =* + * + * + हो तो आव्मूहों के लरमे मोग के साहचमव

ननमभ का सत्माऩन कीजजमे।

प्रश्न- 36 मदद [ ], [ ] तथा ददमा हो तो आव्मूह ऻात कीजजमे

प्रश्न्-37 मदद [ ], [ ] ददमा हो तथा तो आव्मह
ू ऻात कीजजमे

प्रश्न-38 मदद =[ ] है तो का भान ऻात कयें ।

प्रश्न-39 आव्मूह [ ] को एक सभलभत एवॊ एक ववषभ सभलभत आव्मूहों के मोग के रूऩ भें

व्मक्त कीजजमे।

प्रश्न-40 आव्मह
ू * + के लरमे सत्मावऩत कीजजमे क्रक
(i) एक सभलभत आव्मूह है
(ii) एक ववषभ सभलभत आव्मूह है
प्रश्न- 41 प्रायॊ लबक रूऩाॊतयण के प्रमोग से आव्मूह * + का व्मुिभ आव्मूह ऻात कीजजमे।

प्रश्न- 42 मदद * + * + * + हो तो एक ऐसा आव्मूह D
ऻात कीजजमे क्रक – जहाॉ एक शून्म आव्मूह हे ।
प्रश्न- 43 आव्मूह , , के लरमे गुणन के साहचमव ननमभ का सत्माऩन कीजजमे
मदद * + * + * + हो।

प्रश्न- 44 आव्मूह * + को एक सभलभत एवॊ एक ववषभ सभलभत आव्मूह के मोग के
रूऩ भें व्मक्त कीजजमे।
प्रश्न्- 45 लसद्ध कीजजमे क्रक वास्तववक अवमवों वारे क्रकसी वगव आव्मूह के लरमे
एक सभलभत एवॊ एक ववषभ सभलभत आव्मह
ू होते हैं।

प्रश्न-46 मदद [ ] , [ ] तथा क्रक [ ] हो तो

सत्मावऩत कीजजमे क्रक

प्रश्न-47 मदद * + औय [ ] है दशावइए क्रक

प्रश्न-48 आव्मूह * + के लरए सत्मावऩक कीजजमे क्रक
(i) एक सभलभत आव्मूह
(ii) एक ववषभ सभलभत आव्मूह है

प्रश्न-49 मदद [ ] तथा [ ] है तो सत्मावऩत कीजजमे

क्रक

19

mRrj%& ¼v/;k; 3½

प्रश्न 1-& (i) d (ii) c (iii) d (iv) c (v) a (vi) c (vii) a (viii) a (ix) c (x) c
(xi) b (xii)b (xiii) b (xiv) b (xv) d (xvi) c
प्रश्न 2- (i) सत्म (ii) असत्म (iii) सत्म (iv) असत्म (v) असत्म (vi) असत्म (vii) असत्म (viii) सत्म
(ix) असत्म (x) सत्म (xi) सत्म (xii) सत्म (xiii) सत्म (xiv) सत्म (xv) सत्म (xvi) असत्म
(xvii) असत्म (xviii) सत्म

प्रश्न 3- (i) (ii) 3 (iii) * + (iv) [ ] ;k * + (v) [ ]

, (vii) ऐसा वगव आव्मूह जजसके ववकणव के सबी आव्मूह इकाई हो (1) तथा शेष अवमव शून्म
हो , तत्सभक आव्मूह कहराता है I * +
(viii) एसा वगव आव्मूह जजसके ववकणव के अवमव अशून्म तथा शेष सबी अवमव शून्म होंI
(ix) * + (x) सभान कोदट के दो आव्मूह मोग के िभ ववननभेम ननमभ का ऩारन कयते है

मदद (xi) [ ] (xii)

(i) * + (xiv) एसा आव्मूह जजसभे केवर एक ऩॊजक्त हो , ऩॊजक्त आव्मूह कहराता है I

प्रश्न 4 (i) एक (ii) सभान (iii) तत्सभक (iv) (v) * + (vi) (vii) 4 (viii) (ix)

सभलभत (x) ववषभ-सभलभत (xi) अददश (xii) तत्सभक (xiii) 5

(xiv) * + (xv) ( identity matrix )

प्रश्न 5. (i) c (ii) e (iii) d (iv) j (v) f (vi) i (vii) h (viii) a (ix) g (x) b

20

v/;k;&4
सारणिक

Lej.kh; fcanq %&
 प्रत्मेक वगव आव्मूह से सॊफॊधधत एक सायखणक होता है ।
 सायखणक भें बी प्रववजष्ठमाॉ ऩॉजक्तमों एवॊ स्तॊबों के रूऩ भें होती हैं।
 सायखणक भें ऩॉजक्तमों एवॊ स्तॊबों की सॊख्मा सभान होती है ।
 सायखणक को दो सभान्तय उध्वावधय ये िाओॊ के भध्म प्रववजष्ठमों को प्रववष्ठ कयके प्रदलशवत क्रकमा जाता है ।
 आव्मह
ू A=| | का सायखणक अथावत

| | के द्वाया प्रदलशवत क्रकमा जाता है ।
 एक सायखणक को k से गुणा कयने का अथव है , क्रक उसके अॊदय केवर क्रकसी एक ऩॉजक्त मा केवर एक स्तॊब के
सबी अवमवों को से गुणा क्रकमा गमा है ।
 मदद A = [ तो
3
] =k

 मदद आव्मूह A = [ ] तो A का सहिण्डज आव्मूह [ ] होता है ।जहाॉ अवमव ,

का सहिण्जड है ।
 कोई आव्मूह A अव्मत्ु िभणीम मा व्मत्ु िभणीम कहराता है = 0 मदद मा
 आव्मूह A का ऩरयवतव आव्मूह A है तो
’

प्रश्न 1- सही विकल्प चुननए &
(i) मदद | | | | तफ का भान होगा

(ii) मदद कोदट का वगव आव्मूह होगा तो

(iii) ननम्नलरखित भें से कौन सा सत्म है
सायखणक एक वगव आव्मूह है A
सायखणक आव्मह
ू से सम्फद्ध एक सॊख्मा है A
सायखणक एक वगव आव्मूह से सम्फद्ध एक सॊख्मा है A
इनभे से कोई नहीॊ
(iv) ;fn f=Hkqt dk {ks=Qy 35 oxZ bZdkbZ gS rFkk blds 'kh"kZ rFkk gS rks dk eku
gSA
(v) ;fn dksfV dk oxZ vkO;wg gS rks dk eku gSA
(vi) ;fn dksfV nks dk O;qRØe.kh; vkO;wg gSa rks cjkcj gS %

(vii) ;fn vkSj nks O;qRØe.kh; vkO;wg gks rc dk eku cjkcj gksxkA

(viii) ;fn | | vkSj dk lg[k.M gS rksa dk eku fuEufyf[kr :i esa O;Dr
fd;k tkrk gSA

21

(ix) = | | का भान है ्-

(a) (b) (c) (d) 0

(x) सायखणक | | का भान है-

(a) 2 (b) (c) 0 (d) -8

(xi) सायखणक | | के अवमव 1 का उऩसायखणक है ्-

(a) 4 (b) (c) 1 (d) 3

(xii) सायखणक | | के अवमव 4 का सहिण्ड है ्-

(a) 2 (b) (c) -4 (d) 1

(xiii) एक वगव आव्महू A व्मत्ु िभणीम कहराता है मदद्-
(a) = 0 (b) (c) = 1 (d) =2
(xiv) एक वगव आव्मूह A अव्मुत्िभणीम कहराता है मदद्-
(a) = 0 (b) (c) = 1 (d) =2

प्रश्न 2- ,d 'kCn@okD; esa mRrj nhft,%
i. | | eku D;k gS \
ii. ds fdl eku ds fy, vkO;wg | | ,d vO;qRØe.kh; vkO;wg gksxkA
iii. ;fn dksbZ dksfV dk vkO;wg gS rc lkjf.kd ds milkjf.kdksa dh la[;k fyf[k,A
iv. ;fn fcUnq vkSj lajs[k gS rks dk eku D;k gS \
v. | | का भान ऻात कयें ।

vi. | | | |, का भान ऻात कयें ।

vii. मदद क्रकसी सायखणक की कोई ऩॊजक्त मा स्तॊब के सबी अवमव शून्म हों तो सायखणक का भान क्मा होता है ?
viii. मदद , 3 3 कोदट का वगव आव्मूह हो तो औय भें सॊफॊध होता है ।
ix. मदद तो का भान क्मा होगा ? मदद का वगव आव्मूह है ।
x. मदद A , 3 3 कोदट का वगव आव्मूह हो, तथा ,तो का भान क्मा होगा ?

xi. | | का भान ऻात कयें ।

xii. | | का भान क्मा होगा ?

xiii. क्मा * + एक व्मुत्िभणीम आव्मूह है ?
प्रश्न 3- fjDr LFkkuksa dh iwfrZ dhft, :

i. lkjf.kd | | esa vo;o 6 dk milkjf.kd&&&&&&&&&&gSA

ii. fcUnq vkSj &&&&&&&&&&&&gSA
22

iii. ;fn dksbZ oxZ vkO;wg gS rFkk rks ,d&&&&&&&&&&&vkO;wg gSA
iv. ,d oxZ vkO;wg vO;qRØe.kh; dgykrk gSA ;fn&&&&&&&&

v. मदद क्रकसी बिबुज के शीषों के ननदे शाॊक हों तो बिबुज का ऺेिपर सायखणक रूऩ
भें ………………….. होता है .
vi. मदद कोदट का अव्मत्ु िणीम आव्मह
ू है तो =……………
vii. मदद 3 3 कोदट के वगव आव्मूह के लरमे = 3 हो तो …………..
viii. दो व्मुत्िभणीम आव्मूह औय के लरमे = ………………

ix. सायखणक | | का भान ....................होगा।

x. मदद A कोदट 2 का व्मुत्िभणीम आव्मूह है तो ........................होगा।

xi. मदद | | तो का भान ................होगा।

xii. मदद सायखणक | | भें अवमव का सहिणड है तो सायखणक

का प्रसाय से कयने ऩय सायखणक का भान ............होगा।

xiii. | | का भान ............होगा।

xiv. | | का भान ............होगा।

प्रश्न 4- lR;@vlR; fyf[k,&
i. ;fn ,d iafDr ;k LraHk ds vo;oksa dks vU; iafDr ;k LraHk ds lg[k.Mksa ls xq.kk fd;k tk, rks mudk
;ksx 'kwU; gksrk gSA
ii. ;fn | | rc dk eku 'kwU; gksxkA
iii. dsoy oxZ vkO;wg lkjf.kd dgykrs gSA
iv. ;fn ,d oxZ vkO;wg gS rc tgk¡ dk ifjorZA
v. प्रत्मेक कोदट के आव्मूह से सॊफॊधधत एक सायखणक प्राप्त क्रकमा जा सकता है।
vi. मदद क्रकसी सायखणक की कोई दो ऩॉजक्तमाॉ मा कोई दा स्तॊबों के सॊगत अवमव सभान हों,तो उस सायखणक का भान
शून्म होता है ।
vii. मदद क्रकसी सायखणक की कोई दो ऩॉजक्तमाॉ मा कोई दो स्तॊबों को आऩस भें फदर ददमा जाम ,तो उस सायखणक का
भान अऩरयवनतवत यहता है ।
viii. मदद = 0 तो एक व्मुत्िभणीम आव्मूह है ।

ix. | | का भान -2 है ।

x.
xi. मदद कोदट के सायखणक के प्रत्मेक अवमव भें से गण
ु ा कय ददमा जाम तो सायखणक का भान बी गण
ु ा
हो जाता है ।
xii. क्रकसी सायखणक का भान इसकी ऩॉजक्तमों औय स्तॊबों को ऩयस्ऩय फदर दे ने ऩय अऩरयवनतवत यहता है ।

xiii. मदद | | | | हो तो का भान है ।

xiv. * + एक अव्मुत्िभणीम आव्मूह है ।

23

प्रश्न- 05 सही जोड़ शमऱाईये।

A B

(i) (a)
(ii) (b)
(iii) (c) =0
(iv) -1
(d)

(v) व्मुत्िभणीम आव्मूह (e) -1 -1

(vi) अव्मुत्िभणीम आव्मूह (f)

(vii) | | (g) =

(viii) Det( ’) (h) =4

(ix) | | =0 (i) 0

(x) | | = 0 (j)

प्रश्न-06 | | का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-07 मदद | |=| | , तो का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-08 मदद =* + तो ददिाइमे क्रक .

प्रश्न-09 मदद [ ] , हो तो का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-10 एक बिबुज का ऺेिपर ऻात कीजजमे जजसके शीषव औय हैं।

प्रश्न-11 दशावइमे क्रक औय सॊयेि हैं।

प्रश्न-12 सायखणक [ ] भें का उऩसायखणक ऻात कीजजमे।

प्रश्न-13 सायखणक [ ] भें 6 का सहिण्ड ऻात कीजजमे।

प्रश्न-14 मदद * + तो ऻात कीजजमे।

प्रश्न-15 लसद्ध कीजजमे क्रक [ ]=0

प्रश्न-16 मदद | | | | हो तो का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-17 | | का भान ऻात कीजजमे।

24

प्रश्न-18 दस
ू यी ऩॉजक्त के अवमवों के सहिण्डों का प्रमोग कयके [ ] का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-19 मदद आव्मह
ू के लरमे तो ऻात कीजजमे।
प्रश्न-20 मदद आव्मूह के लरमे तो का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-21 मदद =* + तो सत्मावऩत कीजजमे क्रक

प्रश्न-22 सभीकयण ननकाम को आव्मह
ू ववधध से हर कीजजमे।

प्रश्न-23 प्रसाय क्रकमे बफना लसद्ध कीजजमे क्रक | |= 0

प्रश्न-24 | | का भान ऻात कीजजमे।

प्रश्न-25 dk eku Kkr dhft, tcfd f=Hkqt dk {ks=Qy oxZ bdkbZ gS tgk¡ f=Hkqt ds
'kh"kZ
प्रश्न-26 सायखणकों का प्रमोग कयके ) व को लभराने वारी ये िा का सभीकयण
ऻात कीजजमे।

प्रश्न-27 | | के प्रत्मेक अवमव के सहिण्ड ऻात कीजजमे।

प्रश्न-28 लसद्ध कीजजमे क्रक | | = 0

प्रश्न-29 लसद्ध कीजजमे क्रक | | 0

प्रश्न-30 सायखणक | | का भान ऻात काजजमे।

प्रश्न-31 ;fn | | rks fl} dhft,

प्रश्न-32 ;fn fHkUu&fHkUUk gS vkSj | |

प्रश्न-33 rhljs LraHkks ds lg[kaMks ds iz;ksx ls | | dk eku Kkr dhft, %

प्रश्न-34 लसद्ध कीजजमे क्रक | | = 0

प्रश्न-35 लसद्ध कीजजमे क्रक | |

प्रश्न-36 लसद्ध कीजजमे क्रक | |

प्रश्न-37 लसद्ध कीजजमे क्रक | |

25

प्रश्न-38 लसद्ध कीजजमे क्रक | |

प्रश्न-39 लसद्ध कीजजमे क्रक |
3
| = (1 + )

प्रश्न-40 , कोदट के वगव आव्मह
ू A के लरमे लसद्ध कीजजमे क्रक =

प्रश्न-41 मदद [ ] हो तो सत्मावऩत कीजजमे क्रक औय बी ऻात कीजजमे।

प्रश्न-42 मदद =* + B=* + हो तो सत्मावऩत कीजजमे क्रक =

प्रश्न-43 सभीकयण ननकाम ,

, को आव्मूह ववधध से हर कीजजमे

प्रश्न-44 fl) dhft, | |

प्रश्न-45 lkjf.kdksa ds iz;ksx ls fcUnqvksa vkSj dks feykus okyh js[kk dk lehdj.k Kkr dhft,A
प्रश्न-46 ;fn * + vkSj * + rks fl) dhft,

प्रश्न-47 vkO;wg [ ] dk izfrykse Kkr dhft,A

प्रश्न-48 vkO;wg [ ] vkO;wg dk lg[k.Mt Kkr dhft,A

प्रश्न-49 vkO;wg [ ] gS rks fl) dhft, fd rFkk Hkh
Kkr dhft,A
प्रश्न-50 gy djds dk eku Kkr dhft, ;fn [ ]

प्रश्न-51 xq.k/keksZ dk iz;ksx djds lkjf.kd dk eku Kkr dhft, [ ]

प्रश्न-52 fuEufyf[kr iz'uksa ds fy, lR;kfir dhft, fd %

* + [ ]

प्रश्न-53- fuEufyf[kr vkO;wgkas ds fy, O;qRØe ¼;fn O;qRØe vfLro gks½ Kkr dhft, %

(i) * + [ ]

प्रश्न-54 ;fn [ ] gks rks lR;kfir dhft, fd vkSj Kkr dhft,A

प्रश्न-55 lkjf.kd | | ds vo;oksa ds milkjf.kd rFkk lg[kaM Kkr dhft,A

26

mRrj%&¼v/;k; 4½

प्रश्न 1- (i) b (ii) c (iii) b (iv) c (v) c (vi) b (vii) b (viii) d (ix) b (x) (xi) d (xii) a (xiii) b
(xiv) a
प्रश्न 2- (i) (ii) 2 (iii) (iv) ⁄ (v) 1 (vi) (vii) 0 (viii) (ix) 270
(x) 400 (xi) (xii) 0 (xiii) नहीॊ

प्रश्न 3- (i) 6 (ii) lajs[k (iii) O;qRØe.kh; (iv) (v) | | (vi) 0 (vii) 9

(viii) (ix) 7 (x) 1 (xi) (xii) (xiii) 0 (xiv) 6
प्रश्न 4- (i) lR; (ii) lR; (iii) vlR; (iv) lR; (v) vlR; (vi) lR; (vii) vlR;
(viii) vlR; (ix) lR; (x) lR; (xi) vlR; (xii) vlR; (xiii) lR; (xiv) vlR;
प्रश्न- 05 (i)- (e) (ii) (a) (iii) (b) (iv) (f) (v)(d) (vi)(c) (vii)(i) (viii) (j) (ix) (g) (x)(h)

27

अध्माम-5
सातव्म एवॊ अवकरनीमता
स्मरि य बबींद ु :
® एक वास्तववक भानीम परन अऩने प्राॊत के क्रकसी बफॊद ु ऩय सॊतत होता है मदद
उस बफॊद ु ऩय परन की सीभा, उस बफॊद ु ऩय परन के भान के फयाफय होती है ।
® सॊतत परनों के मोग, अॊतय, गुणनपर औय बागपर सॊतत होते हैं, अथावत ्,
मदद तथा सॊतत परन हैं , तो
सॊतत होता है ।

सॊतत होता है ।

( ) जहाॉ , सॊतत होता है ।
® प्रत्मेक अवकरनीम परन सॊतत होता है क्रकॊ तु इसका ववरोभ सत्म नहीॊ है ।
® श्ॊि
र रा-ननमभ परनों के सॊमोजन का अवकरन कयने वेप लरए एक ननमभ है ।
मदद औय मदद तथा का अजस्तत्व है तो

® कुछ भानक अवकरज (ऩरयबावषत प्राॊतों भें ) ननम्नलरखित हैं :

√ √

√ √

)=

® रघुगणकीम अवकरन, [ ] के रूऩ के परनों के अवकरन कयने
के लरए एक सशक्त तकनीक है । इस तकनीक के अथवऩूणव होने के लरए आवश्मक है क्रक
तथा दोनों ही धनात्भक हों।
प्रश्न1. सही ववकल्ऩ चुननए-
(i) का के साऩेऺ अवकर गण
ु ाॊक होगा।

(ii) का के साऩेऺ अवकर गुणाॊक होगा्

(iii) मदद तफ का भान होगा्
इनभे से कोई नहीॊ
(iv) मदद तफ

(v) ( ) का के साऩेऺ अवकर गुणाॊक
इनभें से कोई नहीॊ
प्रश्न2. रयक्त स्थानों की ऩूनतव कीजजए

(i) का के साऩेऺ अवकरन--------------होगा।
(ii) का भान --------- होगा मदद

28

(iii) तफ का भान---------होगा।
(iv) ( ) का के साऩेऺ अवकरन--------है ।
(v) मदद है तो ( ) का भान---------है ।
(vi) मदद तफ .....................…

(vii) मदद 1 + + + +........... तफ =..................

(viii) मदद हो तो का भान होगा ...............
(ix) मदद हो तो के साऩेऺ अवकर का भान .................होगा
(x) का अवकर गुणाॊक,......................... होता है

प्रश्न 3. सत्य/असत्य शऱणखए -
(i) प्रत्मेक फहुऩद परन सतत ् होता है ।
(ii) परन ऩय सतत ् व अवकरनीम है ।
(iii) प्रत्मेक अवकरनीम परन सतत ् होता है ।
(iv) का अवकर गुणाॊक होता है ।
(v) मदद हो तो का भान 1 होगा।
(vi) का अवकर गुणाॊक होगा

(vii) का अवकर गुणाॊक होता है
(viii) ( ) का भान है
(ix) का अवकरन गुणाॊक होता हैं
(x) का अवकर गुणाॊक है
(xi) मदद हो तो =
(xii) क्रकसी अचय यालश का अवकर गुणाॊक सदै व एक अचय होगा
प्रिन 4 सही जोड़ बनाइए

िण्ड (अ) िण्ड (फ)

(i) का अवकर गुणाॊक. (a).
(ii) . (b). सतत ् होता है ।

(iii) का के साऩेऺ अवकर गुणाॊक. (c).
(iv) ु ाॊक.
का अवकर गण (d). √
(v) प्रत्मेक अवकरनीम परन (e).
(vi) का अवकर गण
ु ाॊक (f)
(vii) का (g) √

प्रश्न 5. एक शब्द/वाक्म भें उत्तय दीजजए।

(i) मदद ( ) तफ क्मा होगा ?
(ii) का अवकरज लरखिए।

(iii) मदद तो का भान क्मा होगा ?

(iv) मदद तफ का भान ऩय क्मा होगा ?

29

(v) का अवकर गुणाॊक क्मा होगा
(vi) का अवकर गुणाॊक क्मा होगा
(vii) का अवकर गुणाॊक क्मा होगा
(viii) का अवकर गण
ु ाॊक क्मा होगा
(ix) का अवकर गण
ु ाॊक क्मा होगा

प्रश्न क्रमाींक 6
1. ऩय परन के सततता की जॉच कीजजए
2. परन = सततता है क्रक नही जॉच कीजजए
3. परन को के साऩेऺ अवकलरत कीजजए

4. का ऻात कीजजए

5. को के साऩेऺ अवकलरत कीजजए

6. परन का द्ववतीम कोदट का अवकरज ऻात कीजजए
7. मदद सतत हो तो बी सतत होगा क्मों?
8. परन का द्ववतीम कोदट का अवकरज ऻात कीजजए
9. परन का द्ववतीम कोदट का अवकरज ऻात कीजजए
10. , औय परनो के ववचाय कीजजए क्रक कोन सतत है मा असतत
11. दशावए क्रक द्वाया ऩरयबावषत परन एक सतत परन है ?
12. जॉच कीजजए क्रक क्मा एक सतत परन है ?
13. द्वाया ऩरयबावषत है । परन के सबी असतत के बफॊद ु को ऻात कीजजए

14. { द्वाया ऩरयबावषत परन ऩय सतत है |

15. का ऻात कीजजए |

16. ( ) का ऻात कीजजए |

17. ( √ ) का ऻात कीजजए |
√ √
18. ( ) का ऻात कीजजए |

19. ( ) का ऻात कीजजए |
√
20. ( + ) का क्मा होगा |

21. तथा तफ ऻात कीजजए |

22. है तो लसद्ध कीजजए क्रक

23. का ऻात कीजजए |

24. = तफ का भान क्मा होगा |
25. क्मा परन सतत है |
26. परन का द्ववतीम कोदट के अवकरज ऻात कीजजए |

27. मदद है तो ऻात कीजजए |

28. मदद है तो ऻात कीजजए |

जह ाँ 0
29. { ऩय सतत है तो का भान ऻात क्रकजजए |
जह ाँ

30

30. मदद हो तो लसद्ध कीजजए :

( )
31. का भान ऻात कीजजए मदद परन { ऩय सतत ् है ।

32. मदद तो का भान ऩय ऻात कीजजए।

33. का के साऩेऺ अवकरन कीजजए।

34. मदद तो का भान ऻात कीजजए।

35. मदद है तो ऻात कीजजए।

36. मदद है तो दशावइए क्रक

37. मदद है तो ऻात कीजजए।

38. मदद है तो ऻात कीजजए।

39. मदद ⁄
तो का भान ऻात कीजजए।

40. मदद √ तो का भान ऻात कीजजए।

41. मदद तो का भान ऻात कीजजए।
42. परन का द्ववतीम कोदट के अवकरज ऻात क्रकजजए
43. परन का द्ववतीम कोदट के अवकरज ऻात क्रकजजए
44. परन का द्ववतीम कोदट के अवकरज ऻात क्रकजजए
45. परन का द्ववतीम कोदट के अवकरज ऻात क्रकजजए

mRrj%& ¼v/;k; 5½
प्रश्न 1- (i) (ii) (iii) (iv) (v)
⁄ ( ) ( )
प्रश्न 2- (i) (ii) (iii) ( ) (iv) (v)
√

(vi) 1 (vii) (viii) (ix) (x)

प्रश्न 3- (i) lR; (ii) vlR; (iii) lR; (iv) vlR; (v) vlR; (vi) vlR; (vii) lR;
(viii) vlR; (ix) lR; (x) lR; (xi) lR; (xii) vlR;
प्रश्न 4 (i) (ii) (iii) (iv) (v) vi) (vii)
प्रश्न 5- (i) (ii) (iii) 2 (iv) (v) (vi) (vii) (viii) √
(ix)

31

अध्माम-6
अवकरज के अनुप्रमोग

स्भयणीम बफॊद ु -

® मदद एक यालश एक दस
ू यी यालश के साऩेऺ क्रकसी ननमभ को

सॊतुष्ट कयते हुए ऩरयवनतवत होती है तो मा के साऩेऺ के ऩरयवतवन की दय को ननरूवऩत कयता है ।

औय ⟧ ( मा ऩय ) के साऩेऺ के ऩरयवतवन की दय को ननरूवऩत कयता है ।

® मदद दो यालशमाॉ औय , के साऩेऺ ऩरयवनतवत हो यही हों अथावत ्

औय , तफ श्ॊि
र रा ननमभ से

= , मदद

® एक परन अॊतयार

( ) [ ] भे वधवभान है मदद [ ] भे < ⇒ ,

सबी , के लरए ववकल्ऩत् मदद प्रत्मेक [ ] के लरए

, है ।

( ) अॊतयार [ ] भें ह्रासभान है मदद [ ] भे < ⇒

सबी , के लरए ववकल्ऩत् मदद प्रत्मेक [ ] के लरए

, है ।

® परन के प्राॊत भें एक बफॊद ु जजस ऩय मा तो मा

अवकरनीम नहीॊ है का िाॊनतक बफॊद ु कहराता है ।

® प्रथभ अवकरज ऩयीऺण भान रीजजए एक वववत्त
र अॊतयार ऩय परन

ऩरयबावषत है । भान रीजजए भें एक िाॊनतक बफॊद ु ऩय परन सॊतत है तफ

( ) जफ बफॊद ु के फामीॊ ओय से दामीॊ ओय फढता है तफ का धचन्ह धन से

ऋण भें ऩरयवनतवत होता है अथावत के फामीॊ ओय औय ऩमावप्त ननकट प्रत्मेक

बफॊद ु ऩय मदद तथा के दामी ओय औय ऩमावप्त ननकट प्रत्मेक

बफॊद ु ऩय मदद तफ स्थानीम उच्चतभ का एक बफॊद ु है ।

32

( ) जफ बफॊद ु के फामीॊ ओय से दामीॊ ओय फढता है तफ का धचन्ह ऋण से

धन भें ऩरयवनतवत होता है अथावत के फामीॊ ओय औय ऩमावप्त ननकट प्रत्मेक

बफॊद ु ऩय मदद तथा के दामी ओय औय ऩमावप्त ननकट प्रत्मेक

बफॊद ु ऩय मदद तफ स्थानीम ननम्नतभ का एक बफॊद ु है ।

( ) जफ फद ु के फामीॊ ओय से दामीॊ ओय फढता है तफ ऩरयवनतवत नहीॊ होता

है तफ न तो स्थानीम उच्चतभ का एक बफॊद ु है औय न ही स्थानीम ननम्नतभ

का एक बफॊद ु है तफ फ ननत ऩरयवतवन का बफॊद ु है ।

द्वित य अिकऱज परीऺि भान रीजजए एक अॊतयार ऩय एक ऩरयबावषत परन

है औय है , भान रीजजए , ऩय रगाताय दो फाय अवकरनीम है , तफ

(i) मदद औय तफ स्थानीम उच्चतभ का एक बफॊद ु है । का स्थानीम उच्चतभ भान
है ।
(ii) मदद औय तफ स्थानीम ननम्नतभ का एक बफॊद ु है । का स्थानीम ननम्नतभ भान
है ।
(iii) मदद औय तफ मह ऩयीऺण असपर यहता है । इस जस्थनत भें हभ ऩन
ु ् वाऩस प्रथभ
अवकरज ऩयीऺण का प्रमोग कयते हैं औय मह ऻात कयते हैं क्रक उच्चतभ, ननम्नतभ मा ननत ऩरयवतवन का बफॊद ु
है ।

® ननयऩेऺ उच्चतभ औय ननयऩेऺ ननम्नतभ भानों को ऻात कयने की व्मावहारयक

ववधध है :

चरि 1: अॊतयार भें के सबी िाॊनतक बफॊद ु ऻात कीजजए अथावत ् के वे सबी भान ऻात

कीजजए जहाॉ मा तो मा अवकरनीम नहीॊ है ।

चरि 2: अॊतयार के अॊत्म बफॊद ु रीजजए।

चरि 3: (चयण 1 व 2 से प्राप्त) सबी बफॊदओ
ु ॊ ऩय के भानों की गणना कीजजए।

चरि 4: चयण 3 भें गणना से प्राप्त के सबी भानों भें से उच्चतभ औय ननम्नतभ भानों को रीजजए। मही उच्चतभ

भान का ननयऩेऺ उच्चतभ भान औय ननम्नतभ भान का ननयऩेऺ ननम्नतभ भान होंगे।

33

प्रश्न िभाॊक 1- सही ववकल्ऩ चन
ु कय लरखिए।

(i) एक वत्तर की तज्र मा ऩय के साऩेऺ ऺेिपर भें ऩरयवतवन की दय है :

( ) 10 ( ) 12 ( ) 8 ( ) 11
(ii) एक उत्ऩाद की इकाइमों के वविम से प्राप्त कुर आम रूऩमों भें =3
से प्रदत्त है , जफ 15 है तो सीभाॊत आम है :

( ) 116 ( ) 96 ( ) 90 ( ) 126
(iii) ननम्नलरखित भें कौन से परन ( ) भें ननयॊ तय ह्रासभान नही है :

( ) ( ) ( ) ( ) इनभें से कोई नही

(iv) ननम्नलरखित अॊतयारों भें से क्रकस अॊतयार भें – द्वाया प्रदत्त
परन ननयॊ तय ह्रासभान है :

( ) ( ) ( ) ( ) इनभें से कोई नही
(v) ननम्नलरखित भें से क्रकस अॊतयार भें वधवभान है ?

( ) (– , ) ( ) (– 2, 0) ( ) (2, ) ( ) (0, 2)

(vi) के सबी वास्तववक भानों के लरए का न्मूनतभ भान है :

( )0 ( )1 ( )3 ( )

(vii) [ ] का उच्चतभ भान है्

( )( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0
(viii) एक 10 बिज्मा के फेरनाकाय टॊ की भें 314 / की दय से गेहूॉ बया जाता है । बये गए गेहूॉ की गहयाई की
वद्
र धध दय है ्
(a) (b) (c) (d)

प्रश्न िभाॊक 2-एक शब्द/वाक्म भें उत्तय दीजजए

(i) [ ] ]0 का उच्चतभ भान क्मा है ?
(ii) वि औय एक दस
ू ये को सभकोण ऩय काटते है मदद 8 ?

(iii) के सबी वास्तववक भानों के लरए का न्मन
ू तभ भान क्मा है ?
(iv) क्रकस अॊतयार भें से प्रदत्त परन न तो वधवभान है औय न ही ह्रासभान है ।

(v) मदद औय , तफ श्ॊि
र रा ननमभ से फयाफय क्मा होगा ?

प्रश्न िभाॊक 3-रयक्त स्थानों की ऩनू तव कीजजए

(i) एक तज्
र मा के फेरनाकाय टॊ की भें ⁄ , की दय से गें हूॉ बया जाता है , बये गए गेहूॉ की गहयाई की वद्
र धध
दय .......... है ।

(ii) से प्रदत्त परन अॊतयार भें .......... है
(iii) एक ददए हुए वत्त
र भें िीॊचे गए सबी आमतों भें वगव का ऺेिपर .......... होता है ।

34

(iv) से प्रदत्त परन अॊतयार .......... भें ननयॊ तय ह्रासभान है
(v) वि औय एक दस
ू ये को .......... ऩय काटते है मदद 8 1
(vi) एक शॊकु के अॊतगवत भहत्तभ विऩष्र ठ वारे रॊफ वत्त
र ीम फेरन की बिज्मा शॊकु की बिज्मा की .......... होती है ।
(vii) मदद औय तफ , .......... का एक बफॊद ु है ।
(viii) मदद औय तफ , .......... का एक बफॊद ु है ।

प्रश्न िभाॊक 4- ननम्न लरखित भें से सत्म/असत्म लरखिए :

(i) क्रकसी उत्ऩाद की इकाईमों के वविम से प्राप्त कुर आम रूऩए भें से प्रदत्त है ,
जफ है तो सीभाॊत आम 36 रू. होगी।
(ii) वत्तर के ऺेिपर के ऩरयवतवन की दय इसकी तज्र मा के साऩेऺ होगी जफक्रक
(iii) न्मूनतभ ऩष्र ठ का ददए आमतन के रॊफ वत्त
र ीम शॊकु की ऊॉचाई आधाय की बिज्मा की 2 गुनी होती है ।
(iv) दी हुई नतमवक ऊॊचाई औय भहत्तभ आमतन वारे शॊकु अद्वध शीषव कोण √ होता है |
(v) मदद औय तफ स्थानीम ननम्नतभ का एक बफॊद ु है । का स्थानीम ननम्नतभ
भान है ।
(vi) मदद औय तफ स्थानीम उच्चतभ का एक बफॊद ु है । का स्थानीम उच्चतभ भान
है ।

प्रश्न.5 दशावइए क्रक वि औय एक दस
ू ये को सभकोण ऩय काटते है मदद 8 1
प्रश्न.6- एक 5 भीटय रॊफी सीढ़ी दीवाय से दटकी है । सीढ़ी के ननचरे लसये को दीवाय से की दय से हटामा
जाता है सीढ़ी की दीवाय ऩय ऊॉचाई क्रकस दय से कभ होगी जफ इसका ननचरा लसया दीवाय से भी.दयू हो।
प्रश्न.7- लसद्ध कीजजए क्रक एक ददए हुए वत्त
र भें िीॊचे गए सबी आमतों भें वगव का
ऺेिपर उजच्चष्ठ होता है ।
प्रश्न.8- दो धनात्भक सॊख्माएॉ औय ऻात कीजजए जजनका मोग 35 औय गण
ु नपर भहत्तभ हो।
प्रश्न.9- परन का भहत्तभ भान ऻात कयो।
प्रश्न.10- मदद अॊतयार [ ] भेंas ऩय परन उच्चतभ भान प्राप्त कयता है तो
का भान ऻात कीजजए।
प्रश्न.11. लसद्ध कीजजए से प्रदत्त परन
भें ननयॊ तय वधवभान है ( ) भें ननयॊ तय ह्रासभान है
( ) भें न तो वधवभान है औय न ही ह्रासभान है ।

प्रश्न.12. अॊतयार ऻात कीजजए जजनभें – से प्रदत्त परन
ननयॊ तय वधवभान है ननयॊ तय ह्रासभान है
प्रश्न.13. अॊतयार ऻात कीजजए जजनभें – – से प्रदत्त परन
ननयॊ तय वधवभान है ननयॊ तय ह्रासभान है
प्रश्न.14. का वह न्मूनतभ भान ऻात कीजजए जजसके लरए अॊतयार [ ] भें से प्रदत्त
परन ननयॊ तय वधवभान है ।
प्रश्न.15. लसद्ध कीजजए क्रक परन , औय भें ननयॊ तय ह्रासभान है ।

प्रश्न.16. लसद्ध कीजजए क्रक एक शॊकु के अॊतगवत भहत्तभ विऩष्र ठ वारे रॊफ वत्त
र ीम फेरन की बिज्मा शॊकु की
बिज्मा की आधी होती है ।

प्रश्न.17. आमतन वारे डडब्फे सबी फॊद फेरनाकाय (रॊफ-वत्त
र ीम) डडब्फों भें से न्मन
ू तभ ऩष्र ठ ऺेिपर वारे
डडब्फे की ववभाएॉ ऻात क्रकजजए।

35

प्रश्न.18. ऐसी दो धन सॊख्माएॉ औय ऻात कीजजए ताक्रक औय उच्चतभ हो।
प्रश्न.19. लसद्ध कीजजए क्रक ददए हुए ऩष्र ठ औय भहत्तभ आमतन वारे रॊफ वत्त
र ीम शॊकु का अधव शीषव
कोण होता है ।
प्रश्न.20. लसद्ध कीजजए क्रक बिज्मा के गोरे के अॊतगवत ववशारतभ शॊकु का आमतन गोरे के
आमतन का होता है ।
प्रश्न.21. – द्वाया प्रदत्त परन के लरए स्थानीम उच्चतभ औय स्थानीम
ननम्नतभ के सबी बफॊदओ
ु ॊ को ऻात कीजजए।
प्रश्न.22. लसद्ध कीजजए क्रक न्मूनतभ ऩष्र ठ का ददए आमतन के रॊफ वत्त
र ीम शॊकु की ऊॉचाई आधाय
की बिज्मा की √ गन
ु ी होती है ।
प्रश्न.23. एक वत्त
र औय एक वगव के ऩरयभाऩों का मोग है , जहाॉ एक अचय है लसद्ध कीजजए
क्रक उनके ऺेिपरों का मोग ननम्नतभ है , जफ वगव की बुजा वत्त
र की बिज्मा की दग
ु ुनी है
प्रश्न.24. लसद्ध कीजजए क्रक दी हुई नतमवक ऊॊचाई औय भहत्तभ आमतन वारे शॊकु अद्वध शीषव
कोण √ होता है |

mRrj%& ¼v/;k;&6½
iz’u dzekad&1
(i) b (ii) d (iii) c (iv) d (v) d (vi) d (vii) c (viii) a

iz’u dzekad&2
(i) 1 (ii) 1 (iii) 1 (iv) (v) = , मदद

iz’u dzekad&3
(i) 1m/h (ii) ननयॊ तय वधवभान (iii) अधधकतभ(उच्चतभ) (iv) (v) सभकोण (vi)आधी (vii) स्थानीम
उच्चतभ (viii) स्थानीम ननम्नतभ

iz’u dzekad&4
(i) lR; (ii) vlR; (iii) vlR; (iv) lR; (v) vlR; (vi) lR;

36

अध्माम-7
सभाकरन
स्मरि य बबींद ु
1. क्रकसी परन का अवकरन ऻात कयने की प्रनतरोभ ववधध को सभाकरन कह्ते है ।
2. क्रकसी परन का सभाकरन अद्ववतीम नहीॊ होता है ।
3. सभाकरन ऻात कयने की ववधधमाॊ – प्रनतस्थाऩन द्वाया सभाकरन , आलशॊक लबन्न भें
ववमोजन द्वाया सभाकरन , िॊडश: सभाकरन
4.िॊडश: सभाकरन का सूि –
प्रथभ परन * द्ववतीम का सभाकरन – [ प्रथभ का अवकरन गण
ु ाॊक * द्ववतीम का सभाकरन ] का सभाकरन
∫ [ ] का सभाकरन =
6.∫[ ] का सभाकरन =

7∫[ का सभाकरन =
8.िॊडश: सभाकरन भें जजस परन का सभाकरन ऻात नहीॊ है प्रथभ परन भाना जाना चादहमे ।
9.मदद दोनों परनो के सभाकरन ऻात हों तो वह परन जो उत्तयोतय अवकरन कयने ऩय शून्म हो जाता है उसे प्रथभ
परन भानना चादहमें ।
10. मदद सभाकल्म कोई अकेरा परन है तो 1 को द्ववतीम परन भानना चादहमे ।
11. दो परनो के गुणनपर का सभाकरन कयने के लरमे उस परन को प्रथभ परन भानना उधचत होगा जो शब्द
“ILATE” के अऺयों से प्रायम्ब हो अथावत
I = INVERSE FUNCTION , L = LOGARITHAMIC FUNCTION , A= ALGEBRAIC FUNCTION ,T = TRIGONOMETRIC ,E=
EXPONENTIAL FUNCTION
12. ∫
13. ∫ =
14. ∫
15.∫
16.∫
17.∫
18.∫
19. ∫
20.∫
21.∫
22.∫
23. ∫ √
24.∫
25.∫ √
26. ∫
27. ∫
28. ∫
29. ∫ √
30. ∫ √ √

31. ∫ √ √

32. ∫ √ ) = [ √ ( √ )]
33. ∫ √ ) = [ √ ( √ )]
34. ∫ √ ) = [ √ ]
37

प्रश्नdza&1%&lgh fodYi pqudj fyf[k,A
(i) [√ + + ] dk izfr vodyt gS%
√
⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

;fn ftlesa rks gS%

∫ dk eku gS &

∫ (1 ) cjkcj gS %&

√
∫ cjkcj gS %&

⁄
∫ cjkcj gS %&

∫ का भान है –

(a) (b) (c) (d)
∫ का भान है –

(a) (b) (c) (d)

∫ का भान है –

(a) (b) (c) √ (d) √
∫ का भान है –

(a) (b) (d)
मदद तफ का भान है –

∫
(a) (b) (d)

38

∫ का भान है –

(a) | |+ c (b) | | + c (c) | | + c (d) | | +c

∫ का भान है –

(a) (b) (c) (d)
∫ का भान होगा -

(a) (b) (c) (d)

∫ का भान होगा -

(a) (b) (c) (d)

प्रश्नक्र.&2 ररक्त स्थानों की पूनति कीजजए &
(i) ;fn ∫ rc का भान ............ है A

(ii) lekdyu ∫ का भान ............ है A

(iii) ∫ ½ का भान ............ है A

(iv) ∫ का भान ............ है A

(v) ∫ का भान ............ हैA

(vi) ∫ का भान ............ है A
(vii) ∫ का भान ............ है A
(viii) ∫ का भान ............ है A

(ix) ∫√ का भान ............ हैA

(x) ∫ का भान ............ है

(xi) ∫ का भान ............ हैA

(xii) ∫ का भान ............ हैA

(xiii) ∫ का भान ............ हैA

(xiv) मदद सभाकरन की सीभाएॉ फदर दी जाएॉ तो सभाकरन के भान का धचन्ह ................ हो जाता है ।

(xv) ∫ का भान ............ है A
प्रश्नक्र.&3 एक िब्द/िाक्य में उत्तर दीजजये :
(i) मदद है तो ∫ फयाफय है ?

(ii) ∫ फयाफय है ?

(iii) ∫ फयाफय है ?

√
(iv) ∫ का भान क्मा होगा ?
(v) क्रकसी परन का अवकरज ऻात कयने की प्रनतरोभ सॊक्रिमा को क्मा कहते है ?

39

(vi) का प्रनतअवकरज लरिो ।
(vii) ∫ का भान क्मा होगा ?
(viii) ∫ का भान क्मा होगा ?
(ix) ∫ ∫ का भान क्मा होगा ?

(x) ∫ का भान क्मा होगा ?
√
(xi) ∫ का भान क्मा होगा ?

(xii) ∫ का भान क्मा होगा ?
(xiii) ∫ का भान क्मा होगा ?

प्रश्नि &4(A) जोड़ी लभराइमे

[ ]
(i) ∫ (a)

(ii) ∫ (b)

(iii) ∫ (c)

(iv) ∫ (d)

⁄ √
(iv) ∫ (e) 1
√ √

(v) ∫ (f)

प्रश्नि &4(B) जोड़ी लभराइमे

∫√ (a)

(ii) ∫√ (b) | |

(iii) ∫ (c)

(iv) ∫ (d) | √ |

(v) ∫√ (e) √

(vi) ∫ √ (f) √ | √ |

40

प्रश्नि &4(C) जोड़ी लभराइमे

(i) ∫ (a)

(ii) ∫ (b)

(iii) ∫√ (c) | √ |

(iv) ∫√ (d) | |

(v) ∫ (e) √ | √ |

(vi) ∫ (f)

प्रश्नि &4(D) जोड़ी लभराइमे

[ ]
(i) ∫[ ]
(a) | |
(ii) ∫ ½ (b)
(iii) ∫ √ (c) √
| √ |
(iv) ∫ √ (d)
(v) ∫ (e)
(vi) ∫ (f) √ I √ I+

प्रश्नि &4(E) जोड़ी लभराइमे

(i) ∫ (a)
(ii) ∫ (b)
(iii) ∫ (c)
∫ (d)
√
(v) ∫ (e)
(vi) ∫ (f)
प्रश्न 5. सत्म / असत्म लरखिमे ।
(i) ∫ का भान 0 होगा ।

(ii) ∫ का भान 0 होगा ।

(iii) अचय ऩद का सभाकरन 0 होता है ।

(iv) ∫ का भान होता है ।

(v) ∫ का भान होता है ।

41

(vi) क्रकसी परन का सभाकरन अद्ववतीम नहीॊ होता है ।
(vii) ∫ [ ] का सभाकरन =

(viii) ∫ का भान होता है ।

(ix) ∫ ∫ होता है ।

(x) ∫ ∫ होता है ।

प्रश्न 1. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 2. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 3. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 4. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 5. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 6. भान ऻात कीजजए : ∫ ,
प्रश्न 7. भान ऻात कीजजए : ∫

प्रश्न 8. भान ऻात कीजजए : ∫

प्रश्न 9. भान ऻात कीजजए : ∫

√
प्रश्न 10. भान ऻात कीजजए : ∫
√ √

प्रश्न 11. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 12. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 13. ∫ √ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 14. ∫ का भान ऻात कीजजए ।
√
प्रश्न 15. ∫ √ का भान ऻात कीजजए ।
√

प्रश्न 16. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 17. ∫ का भान ऻात कीजजए ।
√
प्रश्न 18. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 19. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 20. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 21. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 22. भान ऻात कीजजए : ∫

प्रश्न 23. भान ऻात कीजजए : ∫

प्रश्न 24. भान ऻात कीजजए : ∫

√

42

प्रश्न 25. भान ऻात कीजजए : ∫
प्रश्न 26. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 27. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 28. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 29. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 30. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 31. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 32. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 33.∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 34. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 35. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 36. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 37. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 38. लसध्द कयो क्रक ∫ 2 2 2

प्रश्न 39. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 40. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 41. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 42. ∫ √ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 43. ∫ √ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 44. भान ऻात कीजजए : ∫

प्रश्न 45. का भान ऻात कीजजए : ∫

प्रश्न 46. का भान ऻात कीजजए : ∫

प्रश्न 47. ∫ √ का भान ऻात कीजजए

प्रश्न 48. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 49. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

प्रश्न 50. ∫ का भान ऻात कीजजए ।

43

mRrj ¼v/;k;&7½
प्रश्न ¼1½ i) a ii) a iii) a iv) b v) d vi) c vii) b viii) b ix) b
x) c xi) b xii) c xiii) b xiv) d xv) b

प्रश्न ¼2½ i) sin ii) 4 iii) iv) 0 v) tan( ) +C vi) )
vii) ( ) viii) ix) x) xi) 0 xii) 0 xiii) 0
xiv) ववऩयीत

प्रश्न ¼3½ ∫ d ++ +C iv) v) सभाकरन
vi) vii) viii) ix) 0 x) xi) xii) 17 xiii) 4

प्रश्न ¼4½

(i) & (b) (i) & (d) (i) - (b) (i) & (b) (i) & (d)
(ii)& (a) (ii) & (c) (ii)& (a) (ii)& (e) (ii)& (f)
(iii)& (d) (iii) & (a) (iii)& (e) (iii)& (f) (iii)& (b)
(iv)- (c) (iv)- (b) (iv)- (c) (iv)- (c) (iv)- (e)
(v)- (f) (v)- (f) (v)- (d) (v)- (a) (v)- (a)
(vi) – (e) (vi) – (e) (vi) – (f) (vi) – (d) (vi) – (c)

प्रश्न 5 i) सत्म ii) सत्म iii) असत्म iv) असत्म v) सत्म vi) सत्म vii) सत्म viii) असत्म ix) सत्म x) सत्म

44

अध्माम-8
सभाकरन के अनप्र
ु मोग
स्मरि य बबींद ु
1.वि - अऺ तथा बज
ु ो एवभ ् से नघये बाग का
ऺेिपर = ∫ ∫
2. वि - अऺ तथा कोदटमों एवभ ् से नघये बाग का
ऺेिपर = ∫ ∫

3. दो विो , तथा ये िामे एवभ ् के भध्म नघये बाग
का ऺेिपर =∫ [ ]
4. दो विो , तथा ये िामे एवभ ् के भध्म नघये बाग
का ऺेिपर = ∫ [ ]

दीघव वत्त
र का सभीकयण जहाॉ - अऺ ऩय ननदे शाॊक तथा अऺ ऩय
ननदे शाॊक (0, b) है ।
6. वत्त
र का सभीकयण जहाॉ अऺ ऩय ननदे शाॊक तथा - अऺ ऩय
ननदे शाॊक 0 है ।
7 ऩयवरम का सभीकयण जहाॉ शीषव ( 0,0 ) तथा नालब ननदे शाॊक है ।
8. ऩयवरम का सभीकयण जहाॉ शीषव ( 0,0 ) तथा नालब ननदे शाॊक है ।

प्रश्न िभाॊक-1
(i) प्रथभ चतुथाांश भें वत्तर एवॊ ये िाओॊ से नघये ऺेि का ऺेिपर है ।
(a) (b)- (c) - (d) -

(ii) वि -अऺ एवॊ ये िा से नघये ऺेि का ऺेिपर है ।

(a) (b) (c) (d)

(iii) वि -अऺ एवॊ कोदटमों तथा से नघये ऺेि का ऺेिपर है ।
(a) &9 (b) (c) (d)
(iv) वि , -अऺ एवॊ कोदटमों तथा से नघये ऺेि का ऺेिपर है ।

(a) 0 (b)- (c)- (d) -
(v) दीघव वत्त
र का सॊऩूणव ऺेिपर है -

(अ) (फ) (स) (द)
(vi) वत्त
र का ऺेिपर है –
(अ) (फ) (स) (द)
(vii) वि ,ये िाओॊ एवभ ् -अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर है -

(अ) वगव इकाई (फ) वगव इकाई (स) वगव इकाई (द) वगव इकाई
(viii) के भध्म वि से नघये ऺेि का ऺेिपर है

(अ) (फ) (स) (द)

45

(ix) वि के धनात्भक अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर है

(अ) (फ) (स) (द)

(x) अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर है

(अ) √ (फ) √ (स) √ (द)
(xi) वि का अऺ ये िाओ से नघये ऺेि का ऺेिपर है
(अ) वगव इकाई (फ) वगव इकाई (स) वगव इकाई (द) वगव इकाई
(xii) एवभ ् ये िा से नघये बाग का ऺेिपर है
(अ) वगव इकाई (फ) वगव इकाई (स) वगव इकाई (द) वगव इकाई

(xiii) वि ,ये िाओॊ = 1, = 2 एवभ ् -अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर है -

(अ) वगव इकाई (फ) वगव इकाई (स) वगव इकाई (द) वगव इकाई

(xiv) वि ,ये िा = 3 एवभ ् -अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर है

(अ) वगव इकाई (फ) वगव इकाई (स) वगव इकाई (द) वगव इकाई
प्रश्न 2. ररक्त स्थान िररये ।
(i) वि का ऺेिपर है
(ii) वि का ऺेिपर है
(iii) वि ये िा से नघये ऺेि का ऺेिपर है
(iv) प्रथभ चतुथाांश भें वत्त
र 2 से नघये ऺेि का ऺेिपर है ।
(v) वि ये िा एवभ ् अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर है
(vi) दीघव वत्त
र से नघये ऺेि का ऺेिपर है

(vii) दीघव वत्त
र से नघये ऺेि का ऺेिपर है
(viii) वत्त
र 1 के एक चतथ
ु ाांश का ऺेिपर है
(ix) वि अऺ तथा ये िा व से नघये ऺेि का ऺेिपर है
(x) वि अऺ तथा ये िा व से नघये ऺेि का ऺेिपर है
प्रश्न 3. सही जोड़ बनाये ।
(i) वत्त
र का ऺेिपर (अ) वगव इकाई
(ii) वत्त
र का ऺेिपर (फ) वगव इकाई
(iii) वि व अऺ से नघया ऺेिपर (स) वगव इकाई
(iv) वि व अऺ से नघया ऺेिपर (द) वगव इकाई
(v) ये िा व से नघया ऺेिपर (इ) √ वगव इकाई
(vi) वि व ये िा 3 से नघया ऺेिपर (प) वगव इकाई
प्रश्न क्रमाींक-4 ननम्नशऱणखत में से सत्य/असत्य शऱणखए।
(i) वि अऺ एवॊ ये िाओॊ तथा से नघये ऺेि का ऺेिपर ∫ है ।
(ii) क्रकसी वत्त
र का ऺेिपर होता है ।
(iii) वि का ऺेिपर वगव इकाई है
(iv) दीघव वत्त
र से नघये ऺेि का ऺेिपर वगव इकाई है
(v) वि व अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर वगव इकाई है
(vi) वत्त
र का ऺेिपर वगव इकाई है
(vii) वत्त
र 1 के एक चतुथाांश का ऺेिपर वगव इकाई है

(viii) वि का ऺेिपर वगव इकाई है
(ix) ∫ [ ] का सभाकरन =
(x) ∫ का भान होता है ।
46

(xi) ∫ ∫ होता है ।
(xii) ∫ ∫ होता है |

प्रश्न क्रमाींक- 5 एक िब्द/िाक्य में उत्तर दीजजए।
(i) वि ये िाओॊ एवॊ a अऺ से नघये ऺेि का प्रथभ चतुथाांश ् भें ऺेिपर
क्मा होगा ?
(ii) वि एवॊ अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा है ?
(iii) प्रथभ चतुथाांश भें वत्त
र 4 एवभ ् ये िाओ 0 2 से नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा ?
(iv) वत्त
र 36 का ऺेिपर क्मा होगा ?
(v) वि व व अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा ?
(vi) वि व अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा ?
(vii) वि व से नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा ?
(viii) वि √ व अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा ?
(ix) वि √ व व अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा ?
(x) वि व अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा ?
(xi) वि 2 व सयर ये िा नघये ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा ?
(xii) वत्त
र द्वाया ऩरयफद्ध ऺेि का ऺेिपर क्मा होगा
प्रश्न क्रमाींक :
प्रश्न 1. वि अऺ व 0 तथा 2 नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 2. वि अऺ व 0 तथा 2 नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।

प्रश्न 3. ये िा तथा ननदे शाॊकों के ऺेि का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।

प्रश्न 4. वि के प्रथभ चतुथाांश का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 5.वत्त
र 25 के ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 6. वि 2
अऺ व 0 तथा नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 7. वि 2
अऺ व 0 तथा नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 8. वि अऺ व तथा नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 9. वि 2
अऺ नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 10. ये िा तथा नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 11. वि = तथा नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे
प्रश्न 12. वि 2
ये िा नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 13. ऩयवरम 2
8 तथा सयर ये िा 8 के फीच का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 14. ऩयवरम 2
तथा सयर ये िा से नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे
प्रश्न 15. ऩयवरम 2
4 तथा सयर ये िा से नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे
प्रश्न 16. वि व सयर ये िा के फीच के ऺेि का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 17. ऩयवरम तथा उसकी नालबरम्फ जीवा से नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।

प्रश्न 18. दीघववत्त
र एवॊ कोदटओॊ औय से नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।

जहाॉ = एवॊ है ।
प्रश्न 19. वत्त
र का सॊऩूणव ऺेिपर ऻात कीजजमे ।

47

प्रश्न 20. ऩयवरम तथा सयर ये िा 3 से नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 21. व सयर ये िा 2 से िॊडडत रघु बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 22. वि का - अऺ तथा ये िाओॊ के नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 23. वि तथा ये िा नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।

प्रश्न 24. दीघववत्त
र तथा ये िा से नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।

प्रश्न 25. सभाकरन का उऩमोग कयते हुमे बिबुज का ऺेिपर ऻात कीजजमे जजसके शीषव व है ।
प्रश्न 26. ऩयवरम तथा ये िा से नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 27. उस बिबज
ु का ऺेिपर सभाकरन द्वाया ऻात कीजजमे जजसके बज
ु ामे व है ।
प्रश्न 28. ऩयवरम =3 से ये िा द्वाया कटे बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 29. वत्त
र तथा ये िा से नघये छोटे बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 30. सभाकरन का उऩमोग कयते हुमे बिबुज का ऺेिपर ऻात कीजजमे जजसके शीषव व है ।
प्रश्न 31. सभाकरन ववधध से ये िओ नघये बाग का ऺेिपर ऻात कीजजमे ।
प्रश्न 32. वि एवॊ ये िा से नघये ऺेि का ऺेिपर ऻात कीजजए।
प्रश्न 33. प्रथभ चतुथाांश भें वत्त
र ये िा एवॊ -अऺ से नघये ऺेि का ऺेिपर ऻात कीजजए।
प्रश्न 34. दीघववत्त
र से नघये ऺेि का ऺेिपर ऻात कीजजए।
प्रश्न 35. वि एवॊ ये िा से नघये ऺेि का ऺेिपर ऻात कीजजए।
प्रश्न 36. छे दक ये िा द्वाया वत्त
र के छोटे बाग का ऺेिपर ऻात कीजजए।
√

(उत्तय)अध्माम-8

प्रश्न 1& i) a ii) b iii) d iv) c (v) (vi) (vii) (viii) वगव इकाई

(ix) (x) (xi) √ (xii) वगव इकाई (xiii) वगव इकाई (xiv) वगव इकाई (xv) वगव इकाई

प्रश्न 2. (i) वगव इकाई (ii) वगव इकाई (iii) ) वगव इकाई (iv) वगव इकाई (v) वगव इकाई (vi) वगव इकाई
(vii ) वगव इकाई (viii) वगव इकाई (ix) वगव इकाई (x) ∫
प्रश्न 3. (i) वगव इकाई (ii) ) वगव इकाई (iii) वगव इकाई (iv) वगव इकाई (v) वगव इकाई (vi) √ वगव इकाई
प्रश्न 4& i) lR; ii) vlR; (iii) असत्म (iv) सत्म (v) असत्म (vi) असत्म (vii) सत्म (viii) सत्म (ix) सत्म
(x) असत्म (xi) सत्म (xii) सत्म
√
प्रश्न 5. oxZ bdkbZ (ii) oxZ bdkbZ
(iii) वगव इकाई (iv) 36 वगव इकाई (v) वगव इकाई (vi) वगव इकाई (vii) वगव इकाई (viii)

वगव इकाई (ix ) वगव इकाई (x) वगव इकाई
(xi) 18 वगव इकाई (xii) 2 वगव इकाई

48

अध्माम-8
अिकऱ सम करि
स्मरि य बब्‍द ु :-

1. वे फीजगखणतीम सभीकयण जजनभें अवकर गुणाॊक के ऩद हो अवकर सभीकयण (differential equation) कहराते
है ।

उदा :

2. साधायण अवकर सभी. वह अवकर सभी. जजनभें केवर एक ही स्वतॊि चय है ।

उदा :-

 अवकर सभीकयण की कोदट (order of a diff. equeation) क्रकसी अवकर सभी. भें उसके उच्चतभ अवकरज
की कोदट उसकी कोदट कहराती है ।

उदा :- की कोदट 2 है ।

 अवकर सभीकयण की घात (Degree of a diff. equeation) क्रकसी अवकर सभी. प्रमुक्त अवकरज मा अवकर
गुणाॊक लबन्नात्भक घातों तथा कयणी धचन्हों से भुक्त हो तफ उच्चतभ अवकरन की घात, उस सभी. की घात
कहराती है ।

उदा:- ( ) ( ) की घात 3 है ।

 अवकर सभी. का हर - क्रकसी अवकर सभी. का हर अथवा सभाकरन चयों भें वह सम्फन्ध होता है जजनसे
औय जजनसे प्राप्त अवकरजों से सभीकयण सॊतुष्ट हो जाए।
 व्माऩक औय ववशेष हर (general and Particular solution) क्रकसी अवकर सभी. भें उस हर को जजसभें स्वेच्छ
अचयों की सॊख्मा, सभी. की कोदट के फयाफय हो व्माऩक हर कहते है । व्माऩक हर भें स्वेच्छ अचयों को ववशेष
भान दे ने ऩय प्राप्त हर को ववशेष हर कहते है ।

 प्रथभ कोदट एवॊ प्रथभ घात का अवकर सभी. इसे ननम्न रूऩ भें बी लरिा जा सकता है :

 सभघात अवकर सभी. (Homogeneous equation)

उदा.-

 यै खिक अवकर सभी. (Linear diff. equ.) क्रकसी अवकर सभी. भें ऩयतन्ि चय (भाना Y) औय उसके अवकरज प्रथभ
घात के हो तो उसे यै खिक अवकर सभी. कहते है ।

जहाॊ एवॊ अचय अथवा केवर के परन है ।

उदाहयण : एक यै खिक सभी. है ।

इसका हर : ∫
महाॊ (सभाकरन गुणाॊक) = ∫
 सभघातीम परन (Homogeneous function):-

वह अवकर सभी. जजसे अथवा के रूऩ भें व्मक्त क्रकमा जा सकता है , जहाॊ

एवॊ शून्म घात वारे सभघातीम परन है , सभघातीम अवकर सभी. कहराता है ।

उदा:-

49

प्रश्न 1- सही विकल्प चुननये

(i) अवकर सभीकयण &3 की कोदट है ्
ऩरयबावषत नहीॊ है ।
(ii) अवकर सभीकयण [ ] की घात है :
ऩरयबावषत नहीॊ है ।

(iii) के रूऩ वारे सभघातीम अवकर सभीकयण को हर कयने के लरए ननम्नलरखित भें से कौन सा
प्रनतस्थाऩन क्रकमा जाताहै ्

(iv) अवकर सभीकयण का सभाकरन गुणक है ्

√ √

(v) अवकर सभी. √ ( ) की कोदट एवॊ घात होगी।

1, 2 (b) 2, 1 (c) 1, 1 (d) 2, 2

(vi) अवकर सभी. ( ) की कोदट एवॊ घात होगी।

(a)1, 2 (b) 2, 1 (c) 1, 3 (d) 3, 1

(vii) अवकर सभी. ( ) ( ) की कोदट एवॊ घात होगी।

(a)1, 2 (b) 2, 2 (c) 2, 1 (d) 1, 1

(viii) अवकर सभी. ( ) की कोदट एवॊ घात होगी।

(a)2, 2 (b) 2, 1 (c) 1, 2 (d) 1, 1

{ ( ) }
(ix) अवकर सभी. की कोदट एवॊ घात होगी।

(a) 6, 2 (b) 2, 6 (c) 2, 3 (d) 2, 3/2

(x) ये िीम अवकर सभी. का सभाकरन गण
ु ाॊक (I.F.) होगा ।
∫ (b) ∫ (c) ∫ (d) ∫

(xi) ये िीम अवकर सभी. भें एवॊ है ।

अचय अथवा के परन (b) अचय (c) के परन (d) अचय अथवा के परन

(xii) ये िीम अवकर सभी. भें एवॊ है ।

अचय अथवा के परन (b) अचय (c) के परन (d) अचय अथवा के परन

50

(xiii) ये िीम अवकर सभी. का हर है ।

∫ ∫ ] ∫ ∫ ]
∫[ ∫[

∫ ∫[ ∫ ] ∫ ∫[ ∫ ]

(xiv) सभीकयण है ।

(a) सभघात (b) यै खिक (c) फयनौरी (d) इनभें से कोई नही

प्रश्न 2- ,d ’kCn@okD; esa mRrj nhft,&
(i) का सभाकरन गण
ु क लरखिए ।
(ii) अवकर सभीकयण का व्माऩक हर लरखिए।
(iii) यै खिक अवकर सभीकयण का भानक रूऩ लरखिए।
(iv) अवकर सभीकयण ( ) कोदट एवॊ घात लरखिए।
2
(v) अवकर सभी. 2
√1 ( ) की कोदट व घात फताईमे।
(vi) सभी. का हर है ।
(vii) का अवकर सभी. है ।
(viii) सभघात सभी. का एक उदा. लरखिमे।
(ix) यै खिक सभी. का एक उदा. लरखिमे।
(x) का सभाकरन गुणाॊक क्मा है ।

(xi) का व्माऩक हर फताईमे।
(xii) यै खिक सभी. भें औय का भान फताईमे।

(xiii) ( ) √ ( ) की कोदट तथा घात क्मा है।
(xiv) प्रथभ कोदट व दो घात वारा अवकर सभीकयण लरखिमे।

प्रश्न 3- सही जोड बनाईये -

स्तम्ब (A) स्तम्ब (B)

(i) के सॊगत अवकर सभी है । (अ) सभघात अवकर सभी.

(ii) सभी. है । (फ)
(iii) अवकर सभी. (स)
(iv) अवकर सभी- का (द) यै िीम अवकर सभी.
सभाकरन गुणाॊक है ।
(v) अवकर सभी. का (इ) एक
सभाकरन गुणाॊक है ।
2
(vi) 2
0 की घात है। (प)

(vii) है एक (र) सभघात सभी.

(viii) है (स) यै खिक सभी.

51

प्रश्न 4. ननम्नशऱणखत में से सत्य/असत्य शऱणखए।
(i) अवकर सभीकयण का व्माऩक हर है ।

(ii) एक सभघातीम अवकरन सभीकयण नहीॊ है ।

(iii) अवकर सभीकयण का हर √ है ।

(iv) एक यै खिक अवकरन सभीकयण नहीॊ है ।
(v) सभघात अवकर सभी. को हर कयने के लरमे भान यिा जाता है ।
(vi) को चयों के ऩथ
र क्कयण द्वाया हर क्रकमा जा सकता है ।
(vii) का हर है ।
2
(viii) 2 की कोदट एक है ।

(ix) ( ) की घात दो है ।
2
(x) अवकर सभी. 2
0 का एक हर है।
(xi) एक सभघात परन है ।

(xii) का सभाकरन गुणाॊक ∫ है ।

(xiii) का सभाकरन गण
ु ाॊक है ।
(xiv) एक यै खिक सभी. है ।
प्रश्न 5. ररक्त स़्थानों की पूनति कीजजए।
(i) अवकर सभीकयण का हर.....................है ।
(ii) अवकर सभीकयण मदद का ववलशष्ट हर..............है ।

(iii) अवकर सभी. का हर .............. है

(iv) यै खिक अवकर सभी. का सभाकरन गुणाॊक ( ) .............. है

(v) अवकर सभीकयण है ।

(vi) मदद हो तो ……………………………………

(vii) अवकर सभी. ( ) की कोदट व घात है .

(viii) अवकर सभी. का हर ......................... है ।

(ix) अवकर सभी. का व्माऩक हर ......................... है ।

(x) अवकर सभी. का हर ......................... है ।

प्रश्न क्रमाींक 6 :

1) लसद्ध कयो क्रक अवकर सभी. का हर है ।

2) लसद्धकयो क्रक √ अवकर सभी. का हर है ।

3) का अवकरसभी. ऻात कयो जहाॊ एक स्वेच्छ अचय है ।

4) लसद्ध कयो क्रक अवकर सभी. का एक हर है ।

52

5) अवकर सभी- को हर कीजजमे।

2
6) लसद्ध कयो क्रक 2
का एक व्माऩक हर है ।

7) का व्माऩक हर ऻात कयो।

8) लसद्ध कयो क्रक का व्माऩक हर है ।

9) को हर कीजजमे।

10) का सभाकरन गुणाॊक ऻात कयो।

11) भें औय का भान ऻात कयों।

12) सभघात सभी. क्रकसे कहते है ? एक उदाहयण दीजजमे।

13) यै खिक सभी. क्मा है ? एक उदाहयण दीजजमे।

14) यै खिक सभी. का सभाकरन गण
ु ाॊक क्मा होगा ?

15) अवकर सभी. का व्माऩक हर ऻात कयो।

16) का व्माऩक हर ऻात कयो।

17) का व्माऩक हर ऻात कयों।

18) विों के भुर जहाॊ व स्वेच्छ अचय है को ननरूवऩत कयने वारे अवकर सभी. को ऻात

कयो।

19) की कोदट एवॊ घात फताओॊ।

20) का सभाकरन गुणाॊक ऻात कयो।

21) का व्माऩक हर ऻात कयो।

22) ऐसे दीघववत्र तों के कुर का अवकर सभी. ऻात कयो जजनकी नालबमाॊ -अऺ ऩय है तथा जजरका केन्र भूर बफन्द ु
है ।

23) का व्माऩक हर ऻात कयो।

24) का व्माऩक हर ऻात कयो।

25) ) का व्माऩक हर ऻात कयो।

26) √ का व्माऩक हर ऻात कयो।

27) अवकर सभी. के लरमे बफन्द ु (1,-1) से गुजयने वारा वि ऻात कयो।
का व्माऩक हर ऻात कयो।

28)

29) का व्माऩक हर ऻात कयो।

53

30) मदद का ववलशष्ट हर ऻात कयो।

31) क्रकसी फैंक भें भूरधन की वद्
र धध 5 प्रनतषत वावषवक दय से होती है । इस फैंक भें 1000 जभा कयाए जाते है , ऻात

कीजजए क्रक 10 वषव फाद मह यालश क्रकतनी हो जाएगी \(

32) अवकर सभीकयण का व्माऩक हर ऻात कीजजए

33) दशावइमे क्रक सभी. एक सभघातीम सभी. है । इसका व्माऩक हर ऻात कयो।

34) को हर कयो।

35) को हर कयो।

36) , = 1 जफ = 1 का ववलशष्ट हर ऻात कयो।

37) को हर कीजजमे।

38) को हर कीजजमे।

39) को हर कयो।

40) = 0 मदद का हर ऻात कयो।

41) का ववलशष्ट हर ऻात कयो। मदद = 0 हो।

42) ( ) को हर कीजजमे।

43) अवकर सभीकयण के लरए बफन्द ु ¼1]&1½ से गुजयने वारा वि
ऻात कीजजए।
प्रश्न-7 ननम्नलरखित अवकर सभीकयणों के व्माऩक हर ऻात कीजजए।
(i)
(ii)

(iii) ( ) ( )

(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)

प्रश्न-8 ननम्नलरखित अवकर सभीकयणों के ववलशष्ट हर कीजजए।
(i) ;fn
(ii) ;fn

(iii) ;fn
(iv) ( ) ;fn

54

mRrj (v/;k;&9)
प्रश्न1- i) a (ii) b (iii) c (iv) d (v) a (vi) a (vii) c (viii) b (ix) b (x) d
(xi) a (xii) d (xiii) d (xiv) a
प्रश्न 2- (i) (iii) OR (iv) 1,2

(v) (2,2) (vi) (vii) (viii) (ix)

(x) (xi) (xii) (xiii) (1,6) (xiv) ( )

प्रश्न 3- (i) फ (ii) अ (iii द (iv) स (v) प (vi) इ (vii) स (viii) र

प्रश्न 4 i) lR; (ii)- vlR; (iii)- lR; (iv) lR; (v) सत्म (vi) सत्म (vii) सत्म

(viii) असत्म (ix) सत्म (x) सत्म (xi) असत्म (xii) सत्म (xiii) सत्म (xiv) सत्म

प्रश्न 5 (ii) (iii) * + (iv)[ ] (v) [ ]

(vi) सभघात (vii) * + (viii) [कोदट घात ] (ix) [ ]

(x)[ ] (xi) [ ].

55

अध्याय-10
सददि ब जगणित
स्मरि य त्य
 ऐसी यालश जजसभें ऩरयभाण एवॊ ददशा दोनों होते हैं, सददश यालश कहराती है ।
 सददश AB को ⃗⃗⃗⃗⃗ मा से प्रदप्रलशवत कयते हैं।
 A को प्रायॊ लबक बफन्द ु तथा B को अजन्तभ बफन्द ु कहते हैं।
 ⃗⃗⃗⃗⃗ = - ⃗⃗⃗⃗⃗
 जस्थनत सददश (Position Vector) : - भाना भूरबफन्द ु 0 (0,0,0) के साऩेऺ क्रकसी बफनद् ु P के ननदे शाॊक
है , तो सददश ⃗⃗⃗⃗⃗ को बफन्द ु P का जस्थनत सददश कहते हैं , जहाॊ O प्रायॊ लबक बफन्द ु तथा P अॊनतभ बफन्द ु
है ।
अत: का जस्थनत सददश = ⃗⃗⃗⃗⃗
= ̂+ ̂+ ̂
 मदद व के जस्थनत सददश िभश: व ⃗ है तो ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ –

 ददक कोज्मा (Direction Cosines) :- भाना ⃗⃗⃗⃗⃗ = = ̂+ ̂+ ̂, -अऺ, -अऺ एवॊ Z अऺ के साथ िभश
α, β एवॊ ϒ कोण फनाता है तो cosα, cosβ, cosϒ को की ददककोज्माए कहा जाता है ।
 ददक कोज्माओॊ को से प्रदलशवत क्रकमा जाता है । अथावत

√

√

√
+ + = 1 मा =1
 सददशों के मोग का बिबुज ननमभ –

Q

𝑐
𝑏⃗
O P
𝑎

 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ मा = + ⃗
 ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ = ̅ सददश मोगपर के गण
ु धभव
1. िभ ववननभम ननमभ का ऩारन कयता है । अथावत + ⃗ =⃗ +
2. साहचमव ननमभ का ऩारन कयता है । अथावत ( + ⃗ ) + = + ( ⃗ + )
3. शून्म सददश ⃗ को सददश मोगपर के लरमे मोज्म सववसलभका कहा जाता है ।
अथावत +⃗ =⃗ + =

56

 शून्म सददश (zero vector, null vector) :- वह सददश जजसका प्रायॊ लबक एवॊ अजन्तभ बफन्द ु सम्ऩाती होता है । इसे ⃗
से मा ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ ………… आदद से ननददव ष्ट क्रकमा जाता है । इसका ऩरयभाण शून्म होता है ।
 सॊयेि सददश (Collinear Vectors) :- दो मा दो से अधधक सददश जो एक ही ये िा के सभाॊतय हो, सये ि सददश
कहराते है ।
 सभान सददश (Equal Vector) :- दो सददश तथा ⃗ सभान सददश कहराते है मदद उनके ऩरयभाण एवॊ ददशा
सभान है । इन्हे = ⃗ के रूऩ भें लरिा जाता है ।
 ऋणात्भक सददश (Negative of a vector) :- एक सददश जजसका ऩरयभाण, ददमे हुए सददश के सभान है ऩयन्तु
ददशा ववऩयीत हो ऋणात्भक सददश कहराता है । उदाहयण सददश ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ का ऋणात्भक सददश है ।
̅̅̅̅ = - ̅̅̅̅
̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ = ̅
̅̅̅̅ = ̅

 आददश से सददश का गुणनपर :-
𝜆
महा 𝜆 , सददश का सॊयेि है तथा 𝜆 का भान धनात्भक मा ऋणात्भक होने के अनुसाय इसकी ददशा सभान मा
ववऩयीत होती है ।
 एक सददश के घटक (Components of a vector) :-
मदद = ̂+ ̂+ ̂ हो तो सददश के अददश घटक कहराते हैं। तथा ̂+ ̂+ ̂ सददश के सददश
घटक कहराते है ।
 ऩयस्ऩय रॊफवत इकाई सददश :- ̂ , ̂ , ̂ ऩयस्ऩय रॊफवत इकाई सददश है ।
 क्रकसी सददश का ऩरयणाभ मदद = ̂+ ̂+ ̂ हो तो सददश का ऩरयभाण | | = √

 क्रकसी सददश का इकाई सददश क्रकसी सददश का इकाई सददश ̂ द्वाया प्रदलशवत क्रकमा जाता है । तथा ̂ =
⃗
⃗

 दो बफन्दओ
ु ॊ को लभराने वारा सददश :-
मदद ̂+ ̂+ ̂ तथा

̂+ ̂+ ̂ हो तो
⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ̂+ ̂+ ̂ – ( ̂+ ̂+ ̂)
= ̂+ ̂+ ̂
 िण्ड सूि (Section Formula) :- मदद बफन्द ु एवॊ को भें अॊत: ववबाजजत कयता है तो का जस्थनत
सददश होगा। तथा
̅ ̅

̅ ̅
 मदद बफन्द ु औय को फहामत: ववबाजजत कयता है तो

 दो सददशों का आददश गण
ु नपर (Scalar Product of dot product) : - दो शून्मोत्तय सददशों व ⃗ का अददश
गण
ु नपर . ⃗ प्रदलशवत क्रकमा जाता है तथा . ⃗= जहाॊ औय के फीच का कोण है ।

1. .⃗ =⃗ . [ . ⃗ एक अददश यालश है ]
𝑏⃗
2. मदद . ⃗ = 0 तफ ⃗
3. . =| |
2 θ
4. .( ⃗ = .⃗ + . 𝑎

5. 𝜆 =𝜆 = 𝜆

57

 मदद ̂+ ̂+ ̂ तथा
⃗ ̂+ ̂+ ̂ हो तफ
= + +
 दो सददशों का सददश गुणनपर (Vector Product or cross product) :- दो मून्मोत्तय सददशों तथा ⃗ का सददश
गण
ु नपर ⃗ से ननददव ष्ट क्रकमा जाता है औय ⃗ = ⃗ ̂ भें जहाॊ व के फीच का कोण है
तथा ̂ एक भािक सददश है जो व के रम्फवत है ।
 भहत्वऩूणव तथ्म :-
1. ⃗ एक सददश यालश है
2. मदद ⃗ = 0
मा ⃗ मा = 0 अथवा ⃗ = 0
3. ⃗ = - ⃗
4. सददश गण
ु नपर िभ ववननभम ननमभ का ऩारन नही कयता। अथावत ⃗ ≠⃗
5. मदद ̂+ ̂ + ̂ तथा
⃗ ̂+ ̂+ ̂ हो तो
⃗ =
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏 𝑏 𝑏

6. ⃗ )= ⃗ +
7. 𝜆 = 𝜆 = 𝜆
 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
⃗
व के रम्फवत भािक सददश =
⃗
 ⃗|
|⃗

 बिबज
ु का ऺेिपर :- मदद औय बिबज
ु की सॊरग्न बज
ु ाओॊ को प्रदलशवत कयते है तफ
∆ ABC का ऺे. = | ⃗ | मा
∆ का ऺे. = | ⃗ | | |.
 सभाॊतय चतब
ु ज
ुव का ऺेिपर :- मदद व क्रकसी सभाॊतय चतब
ु ज
ुव की सॊरग्न बज
ु ाओॊ को प्रदलशवत कयते हैं तो

सभाॊतय चतुबज
ुव का ऺे. : = | ⃗|

= | | | ⃗ |.

मदद . ⃗ = | |.| ⃗ |.
 मदद . ⃗ = | |.| ⃗ |. ददमा हो तो दोनों सददशों के फीच का कोण θ
⃗ ⃗
सभी cosθ = ⃗
द्वाया ऻात क्रकमा जा सकता है ।
⃗
 मदद ⃗ = ⃗ ̂ ददमा हो तो दोनों के फीच का कोण θ ऻात कयने के लरमे
मा | ⃗|=| ⃗ ̂ |
मा | ⃗ | = | |.| |.| |.| ̂|
मा | ⃗ | =| |.| | |
⃗ ⃗

मा =
⃗ ⃗
 एक सददश का दस
ू ये सददश ⃗ ऩय प्रऺेऩ ⃗
से प्राप्त होता है ।

58

प्रश्न 1. सही विकल्प चुननये
(i) क्रकसी बिबुज ABC के लरए ननम्न भे से कौन सा कथन सत्म नहीॊ है
̅̅̅̅ + ̅̅̅̅̅+ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅
̅̅̅̅+ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
(ii) मदद औय ⃗ दो सॊयेि सददश है तो ननम्नलरखित भें से कौन सा कथन सत्म है
⃗ क्रकसी अददश π के लरए
⃗⃗ औय ⃗⃗ के िभागत घटक सभानुऩाती नहीॊ है
दोनों सददशों तथा ⃗⃗ की ददशा सभान है ऩयन्तु ऩरयभाण ववलबन्न है ।
(iii) मदद शून्मेत्तय सददश का ऩरयभाण है औय एक शून्मेत्तय अददश है एक भानक सददश है मदद :

मदद सददशों औय ⃗ इस प्रकाय है क्रक औय | ⃗ | ] तफ | ⃗ |, एक भािक सददश है
√
(iv)
मदद औय ⃗ के फीच का कोण है :

(v) मदद आमत के शीषव औय हैं जजनके जस्थत सददश िभश:

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ औय ̂ ̂ ̂ का ऺेिपर है ्

(a) वगव इकाई (b) 1 वगव इकाई (c) वगव इकाई (d) 4 वगव इकाई
(vi) मदद दो सददशों ⃗⃗⃗ औय ⃗ के फीच कोण θ है तो ⃗⃗⃗ ⃗ होगा मदद

(vii) मदद दो सददशों ⃗⃗⃗ औय ⃗ दो भािक सददश हैं औय उनके फीच का कोण θ है तो ⃗⃗ एक

भानक सददश है मदद
(b)
(c) (d)
(viii) ̂ (̂ ̂) ̂(̂ ̂) ̂ ̂ ̂ का भान है ्
0 b) &1 c) 1 d) 3

(ix) मदद दो सददशों ⃗⃗⃗ औय ⃗ के फीच का कोण θ है तो |⃗⃗⃗ ⃗ | | ⃗ | जफ θ फयाफय है :

(b) (c) (d)
(x) की ददशा भें इकाई सॊददश होगा -

. ̂ .⃗
⃗ ⃗
⃗

(xi) क्रकसी बिबज
ु ABC भें ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ का भान होगा -
. 0 (b). 1 (c). 3 (d).
(xii) मदद ̅̅̅̅ = तथा ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ हो तो ⃗⃗⃗⃗⃗ का भान होगा -
(a). +⃗ (b). ⃗ - (c). - ⃗ (d).
(xiii) ननम्न भें से शून्म सददश है –
(a). ̅̅̅̅ (b). ̅̅̅̅ (c). ̅̅̅̅ (d). |AB|
̂ का भान होगा –

(xiv) ̂
(a). 0 (b). 1 (c). 2 (d). कुछ नहीॊ

59

(xv) ̂ ̂ का भान होगा –
(a). ̂ (b). ̂ (c). ̂ (d). 0
(xvi) ̂.( ̂ ̂ ) का भान होगा –

(a). ̂ (b). ̂ (c). 1 (d). 0
(xvii) मदद औय ⃗ सभान्तय हो तो ⃗ होगा।

(a) (b). (c). (d). 0
(xviii) ̂ ( ̂ ̂ ) का भान होगा –

(a). ̂ (b). ̂ (c). ⃗ (d). 0
(xix) को कहते है –
(a). ददक कोण (b). ददक कोज्मा (c). कोण (d). सददश
(xx) . ⃗ है एक –
(a). सददश यालश (b). अददश यालश (c). सॊयेि सददश (d). ऋणात्भक सददश
(xxi) ⃗ है एक –

(a). सददश यालश (b). अददश यालश (c). सॊयेि सददश (d). सभान सददश
(xxii) मदद + + हो तो सददश का ऩरयभाण होगा –
(a). ( ) (b). (c). √ (d). √
(xxiii) .( ⃗ + ) का भान होगा –
(a). ⃗ + (a). .⃗ (c). (d). ⃗ +

(xxiv) दो सददशों ̂ - ̂ - 3 ̂ तथा ̂ ̂ ̂ तथा के फीच का कोण होगा -

(d). इनभे से कोई नहीॊ
0 0 0
(a). 30 (b). 0 (c). 90
प्रश्न-2 ननम्नलरखित भें से सत्म/असत्म लरखिए।
i) बिबुज की तीनों बुजाओॊ को िभ भें रेने ऩय उनका सददsश मोग होता है ।
ददए हुए सददश के लरए की ददशा भें भािक सददश होता है ।
⃗
ii) ⃗
iii) एक सददश के सददश घटक इसके ददक अनुऩात कहराते हैं।
iv) मदद क्रकसी सभान्तय चतुबज
ुव की सॊरग्न बुजाएॉ औय ⃗ हैं तो उसका ऺेिपर | ⃗ | द्वाया प्राप्त होता है ।
v) मदद |⃗⃗⃗ ⃗ | | ⃗ | हो तो व के फीच का कोण होगा।
vi) ̂ (̂ ̂) ̂(̂ ̂) ̂ ̂ ̂ का भान 1 है ।
vii) मदद θ का भान π हो तो ⃗⃗⃗ ⃗ = - |⃗⃗⃗ |.|⃗⃗⃗ | होगा।
viii) मदद A व B का जस्थनत सददश ⃗⃗⃗ व ⃗⃗⃗ हो तो AB का भान (⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗ ) होगा।
ix) ( ̂ – ̂ + ̂ ) का ऩरयभाण 1 है ।
x) ⃗ = ⃗⃗⃗ ⃗ होता है ।
xi) सभाॊतय चतब
ु ज
ुव का ऺेिपर | ⃗ | है ।

xii) ( 3 ̂ - 2 ̂ + ̂ ) औय (2 ̂ + ̂ - 4 ̂ ) ऩयस्ऩय रॊफ है ।
xiii) ⃗⃗⃗ ⃗ = 5√ , |⃗⃗⃗ | = 2, |⃗⃗⃗ | = 5 हो तो दोनों के फीच का कोण होगा।
4

xiv) + + का भान 1 होता है ।

60

प्र.3. सही जोड बनाईये –

स्तम्ि A स्तम्ि B
(i) व तो ( a) √

(ii) = ̂ + ̂ - 8 ̂ तथा ⃗ = ̂ + 3 ̂ - 4 ̂ हो तो |⃗⃗⃗ + ⃗ | (b) 5

(iii) .( x ⃗ ) = (c) 10

(iv) मदद = ̂ – ̂ + 5 ̂ तथा ⃗ = 3 ̂ - 2 ̂ + ̂ हो तो .⃗ = (d) 0

(e) शून्म सददश
(v) ( ̂ + ̂) के सभाॊतय इकाई सददश

(vi) जजस सददश का आदद एवॊ अॊनतभ बफन्द ु सम्ऩाती हो। (f) ⁄ + ⁄
√ √

(vii) मदद Ʇ ⃗ तफ | + ⃗ |2 का भान
(g) 1

(viii) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

(h) |
2 2
| +| |

प्रश्न 4. ररक्त स्थानों की पूनति कीजजए।

i) मदद दो शून्मेत्तय सददशों व ⃗⃗ तो | ⃗| ..................
ii) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ .............................
iii) मदद बफन्द ु औय सॊयेि है तो |⃗⃗⃗⃗⃗ | ----------+ |⃗⃗⃗⃗⃗ |
iv) दो सददशों औय ⃗⃗ औय के लरए सदै व |⃗⃗⃗ ⃗ |-------------- |⃗ |
v) मदद व ⃗ रम्फवत हो तो . ⃗ = ………………………….
vi) मदद व ⃗ सभान्तय हो तो =………………………………
vii) मदद व सभान्तय हो तो ⃗ =………………………………
viii) मदद + ⃗ = ⃗ हो तो व ⃗ के फीच का कोण…………………..होगा।
2 2
ix) + + 2 =………………………………, जहाॉ क्रकसी ये िा की ददक् कोज्मएॉ हैं
x) मदद = ⃗ हो तो मे दोनो …………………………कहराते है ।
xi) + + हो तो ( ) सददश के.........................कहराते है ।

प्रश्न 5. एक िब्द/िाक्य में उत्तर दीजजए।
i) दो सददशों औय ⃗ के लरए बिबुज असलभका लरखिए।
ii) सददश ̂ ̂ ̂ के अनदु दश एक भािक सददश लरखिए।
iii) सददश ⃗ ̂ ̂ ̂ का ऩरयभाण ऻात कीजजए।
iv) क्मा दो सददशों के मोग के लरए िभ-ववननभमता का ऩारन होता है ?
v) 3 ̂+4 ̂ की ददशा भें इकाई सददश क्मा होगा ?

vi) ̂ – 3 ̂ + √ ̂ का भाऩाॊक क्मा है ?
vii) मदद ⃗⃗⃗⃗⃗ = ̂ + ̂ + ̂ हो तो सददश OP की रॊफाई क्मा होगी।
viii) ̂x ( ̂ x ̂ ) का भान क्मा है ?
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ix) ̂ + ̂ + ̂ की ददशा भें इकाई सददश होगा ।
x) ̂ - 2 ̂ + 3 ̂ व 3 ̂ + 6 ̂- 5 ̂ ऩयस्ऩय रम्फवत हो तो का भान होगा ।
xi) मदद = ̂ + ̂ + 2 ̂ हो तो . का भान क्मा होगा।
xii) 6 ̂ + 2 ̂- 3 ̂ की ददक कोज्माऐॊ क्मा होगी।
xiii) सददश फीजगखणत भें ववस्थाऩन क्रकस प्रकाय की यालश है ।
प्रश्न क्रमाींक 6 –
1) सददशों के अददश गुणनपर की ऩरयबाषा दीजजमे।
2) भािक सददश की ऩरयबाषा दीजजमे।
3) सददशों के सददश गण
ु नपर की ऩरयबाषा दीजजमे।
4) का भान ऻात कयो मदद सददश =( ̂+ ̂+ ̂ ) तथा = ( 2 ̂ + 3 ̂ + ̂ ) सभान सददश है ।
5) लसद्ध कयो ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
6) लसद्ध कयो ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 0
7) लसद्ध कयो ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 0
8) लसद्ध कयो ̂ ̂ ̂
9) सददश = ( ̂ + ̂ + 2 ̂ ) के अनुददश एक भािक सददश ऻात क्रकजजमे।
10) ( ̂ +2 ̂ + 3 ̂ ) भी ददक कोज्माऐॊ ऻात कयो।
11) मदद तथा हो तो इसके फीच का कोण ऻात कयो।
12) मदद = ( ̂ - 7 ̂ + 7 ̂ ) तथा = (3 ̂ - 2 ̂ + 2 ̂ ) हो तो | ⃗ | का भान ऻात कयो।
13) सददशों के अददश गण
ु नपर का िभववननभम ननमभ लसद्ध कयो। अथावत . ⃗ = ⃗.
14) लसद्ध कयो ⃗ = - (⃗ )
15) मदद = 5 ̂ – ̂ - 3 ̂ औय ⃗ = ̂ +3 ̂ - 5 ̂ हो तो लसद्ध कयो क्रक ( + ⃗ ) औय ( - ⃗ ) रॊफवत है ।
16) सददश = 2 ̂ + 3 ̂ + 2 ̂ का सददश ⃗ = ̂ + 2 ̂ + ̂ ऩय प्रऺेऩ ऻात कीजजमे।
17) मदद | | = 2 हो | ⃗ | = 3 तथा . ⃗ = 4 हो तो | - ⃗ | का भान ऻात कयो।
18) (̂ ̂) ऩय सददश ( ̂ ̂) का प्रऺेऩ ऻात कीजजमे।
19) ( ⃗ ⃗ का भान ऻात कयो।
20) मदद ( ̂ ̂ ̂ ) औय ⃗ ( ̂ ̂ ̂ ) हो तो | ⃗ | का भान ऻात कयों।
21) औय के भान ऻात कीजजए मदद सददश ̂ ̂ ̂ औय ⃗ ̂ ̂ ̂ सभान हैं।
22) सददशों ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ औय ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ का मोगपर ऻात कीजजए।
23) दशावइए क्रक सददश ̂ ̂ ̂ ] औय ̂ ̂ ̂ सॊयेि हैं।
24) सददश ̂ ̂ ̂ ] औय ̂ ̂ ̂ के फीच का कोण ऻात कीजजए।
25) दो सददशों तथा ⃗ के ऩरयभाण िभश: √ एवॊ 2 हैं औय . ⃗ √ है तो तथा ⃗ के फीच कोण
ऻात कीजजए।
26) सददश ̂ ̂ ̂ की ददक् कोज्माऐॊ ऻात कीजजए।
27) सददश ̂ ̂ ̂ के अनदु दश एक ऐसा सददश ऻात कयो जजसका ऩरयभाण 8 इकाई है ।
28) का भान ऻात कयो मदद ̂ ̂ ̂ एक इकाई सदद है ।
29) मदद = ̂+ ̂+ ̂ , ⃗⃗⃗ = 2 ̂ – ̂ + 3 ̂ औय = ̂ - 2 ̂ + ̂ हो तो वेक्टय ⃗ के सभान्तय भािक
सददश ऻात कीजजमे।
30) दशावइमे क्रक सददश ̂ ̂ ̂ अऺों तथा के साथ फयाफय झुका हुआ है ।
31) दो बफन्दओु ॊ P(2,3,4) तथा Q(4,1,-2) को लभराने वारे सददश का भध्म बफन्द ु ऻात कीजजए।
32) दशावइमे क्रक बफन्द ु A, B औय C जजनके जस्थनत सददश िभश: = (3 ̂ - 4 ̂ - 4 ̂ ), ⃗ = ̂ ̂ ̂ औय
̂ है , एक सभकोण बिबुज के शीषो का ननभावण कयते है ।

33) ̂ ̂
34) औय ̂ ̂ ̂ के फीच का कोण ऻात कीजजमे।
35) सददश ̂ ̂ ̂ का सददश ̂ ̂ ̂ ऩय प्रऺेऩ ऻात कीजजमे।

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