Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi)
Download the Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) PDF for free at AglaSem. Practise a large collection of chapter-wise and topic-wise questions with answers covering every important concept.
More Detail
Latest News
Finished viewing? Save it for later —
Download Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) (PDF · 104 pages)Downloaded 117 times
About Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi)
Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) is available here for free download. Published by Maharashtra Board for Class 10, this question bank can be viewed online or downloaded as a PDF (104 pages). Candidates preparing for Class 10 can use Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) to understand the exam pattern, the type of questions asked, and the overall difficulty level.
Frequently Asked Questions
How can I download Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi)?
Open this page and click the Download button to save Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) as a PDF. It is completely free on AglaSem Docs.
Is Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) free to download?
Yes. Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) can be viewed online and downloaded as a PDF free of cost on AglaSem Docs.
How many pages does Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) have?
Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) contains 104 pages, which you can read online or download together as a single PDF.
Where can I find more Class 10 study material?
You can find more Class 10 question papers, sample papers, syllabus, and answer keys on AglaSem Docs.
Maharashtra Board Class 10 Question Bank Maths (Marathi) – Text
Read the full text of this question bank below — useful to quickly search, copy and reference the content online without downloading the PDF.
📄 View text version (104 pages)
Page 1
महाराष्ट्र शासन
शालेय शशक्षण व क्रीडा शवभाग
राज्य शैक्षशणक सश
ं ोधन व प्रशशक्षण पररषद, महाराष्ट्र
७०८ सदाशिव पेठ, कुमठे कर मार्ग, पुणे ४११०३०
संपकग क्रमांक (020) 2447 6938 E mail: [email protected]
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Question Bank
Standard :- 10th
Subject :- र्शणत भार् १
सूचना
१. फक्त शवद्यार्थ्यांना प्रश्नप्रकारांचा सराव करून देण्यासाठीच
२. सदर प्रश्नसंचातील प्रश्न बोर्डाच्या प्रश्नपशिकेत येतीलच असे नाही
याची नोंद घ्यावी.
शालेय शशक्षण व क्रीडा शवभाग
राज्य शैक्षशणक सश
ं ोधन व प्रशशक्षण पररषद, महाराष्ट्र
७०८ सदाशिव पेठ, कुमठे कर मार्ग, पुणे ४११०३०
संपकग क्रमांक (020) 2447 6938 E mail: [email protected]
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Question Bank
Standard :- 10th
Subject :- र्शणत भार् १
सूचना
१. फक्त शवद्यार्थ्यांना प्रश्नप्रकारांचा सराव करून देण्यासाठीच
२. सदर प्रश्नसंचातील प्रश्न बोर्डाच्या प्रश्नपशिकेत येतीलच असे नाही
याची नोंद घ्यावी.
Page 2
राज्य शैक्षणिक संशोधन व प्रणशक्षि पररषद ,महाराष्ट्र,पु िे -30
इ 10 वी गणित भाग 1
प्रश्नपे ढी
प्रकरण : दोन चलातील रेषीय समीकरणे
Q. 1 A) 1 गुिाचे MCQ
1. 4x + 5y = 19 या समीकरणाचा आले ख काढण्यासाठी 𝑥 = 1 असताना y ची ककिंमत --
-- असेल.
A) 4 B) 3 C) 2 D) −3
2. किले ल्या िोन समीकरणािं साठी Dx = 26, Dy = −39 आकण D= 13 असल्यास 𝑥 =?
A) 2 B) − 3 C) − 2 D) 3
3. खालीलपैकी कोणते समीकरण एकसामकयक नाही?
𝑥 𝑦
A) 3+5 = 6 B) 2x-3y=8-3y C) x+2y=5-3y D) 3 x²+y=9
4. खालील पैकी कोणती 3x + 6y=12 या समीकरणाची उकल नाही?
A) (-4,4) B) (0,2) C) (8, -2) D) (3,1)
3 5
5. | | = 2 ∴ 𝑥 = -------
2 𝑥
A) 3 B) 4 C) – 3 D) – 4
6. पुढील समीकरणासाठी D ची ककिंमत काढा.5x + 3y + 11 = 0 ; 2x + 4y = - 10
A) 14 B) – 14 C) 26 D) – 26
7. जर 49 x – 57 y = 172 आकण 57 x – 49 y = 252 असल्यास x + y = ?
A) 80 B) 0 C) 10 D) 8
इ 10 वी गणित भाग 1
प्रश्नपे ढी
प्रकरण : दोन चलातील रेषीय समीकरणे
Q. 1 A) 1 गुिाचे MCQ
1. 4x + 5y = 19 या समीकरणाचा आले ख काढण्यासाठी 𝑥 = 1 असताना y ची ककिंमत --
-- असेल.
A) 4 B) 3 C) 2 D) −3
2. किले ल्या िोन समीकरणािं साठी Dx = 26, Dy = −39 आकण D= 13 असल्यास 𝑥 =?
A) 2 B) − 3 C) − 2 D) 3
3. खालीलपैकी कोणते समीकरण एकसामकयक नाही?
𝑥 𝑦
A) 3+5 = 6 B) 2x-3y=8-3y C) x+2y=5-3y D) 3 x²+y=9
4. खालील पैकी कोणती 3x + 6y=12 या समीकरणाची उकल नाही?
A) (-4,4) B) (0,2) C) (8, -2) D) (3,1)
3 5
5. | | = 2 ∴ 𝑥 = -------
2 𝑥
A) 3 B) 4 C) – 3 D) – 4
6. पुढील समीकरणासाठी D ची ककिंमत काढा.5x + 3y + 11 = 0 ; 2x + 4y = - 10
A) 14 B) – 14 C) 26 D) – 26
7. जर 49 x – 57 y = 172 आकण 57 x – 49 y = 252 असल्यास x + y = ?
A) 80 B) 0 C) 10 D) 8
Page 3
8 2x – y = 2 या समीकरणाची उकल --------आहे .
A) (2,2) B) (5,2) C) (2,5) D) (5,5)
9. x - y=10 आकण x + y=70 या समीकरणािं ची उकल -------- आहे .
A) (40,30) B) (30,40) C) (10,60) D) (50,20)
10. 4𝑥 + 3 𝑦 = 19 आकण 4 𝑥 − 3 𝑦 = −11 या समीकरणािं साठी Dx ची ककिंमत -----
--- आहे .
A) 24 B) 0 C) −24 D) 108
Q. 1 B) 1 गुिाचे प्रश्न
1. 3𝑥 2 − 7y = 13 हे समीकरण िोन चलातील रे षीय समीकरण आहे का ते सकारण
कलहा.
2. 𝒳 आकण 𝒴 या चलाचा वापर करून पुढील समीकरण कलहा :- िोन सिंख्यातील फरक
3 आहे .
3. 4𝑥 + 5𝑦 = 20 या समीकरणामध्ये 𝑥 = 0 असताना y ची ककिंमत काढा.
4. x + y = 7 या समीकरणाच्या कोणत्याही िोन उकली कलहा.
5. 5x + 3y = 6 या समीकरणाची (0, 2) ही उकल आहे का? ते ठरवा.
6. a - b = - 3 या समीकरणाच्या कोणत्याही िोन उकली कलहा.
7. जर x+2y=5 आकण 2x+y=7 असल्यास x+y ची ककिंमत काढा.
8. जर Dx = 24 आकण x = - 3 तर D ची ककिंमत काढा.
9. पुस्तकाची ककिंमत पेनच्या ककिंमतीच्या िु पटीपेक्षा 5 रुपयाने जास्त आहे , हे कवधान पुस्तकाची
ककिंमत (x) आकण पेनची ककिंमत (y) मानून िोन चलातील रे षीय समीकरणाने िर्श वा.
𝑎 𝑏
10. पु ढील समीकरण सामान्य रूपात कलहा. + = 4.
4 3
A) (2,2) B) (5,2) C) (2,5) D) (5,5)
9. x - y=10 आकण x + y=70 या समीकरणािं ची उकल -------- आहे .
A) (40,30) B) (30,40) C) (10,60) D) (50,20)
10. 4𝑥 + 3 𝑦 = 19 आकण 4 𝑥 − 3 𝑦 = −11 या समीकरणािं साठी Dx ची ककिंमत -----
--- आहे .
A) 24 B) 0 C) −24 D) 108
Q. 1 B) 1 गुिाचे प्रश्न
1. 3𝑥 2 − 7y = 13 हे समीकरण िोन चलातील रे षीय समीकरण आहे का ते सकारण
कलहा.
2. 𝒳 आकण 𝒴 या चलाचा वापर करून पुढील समीकरण कलहा :- िोन सिंख्यातील फरक
3 आहे .
3. 4𝑥 + 5𝑦 = 20 या समीकरणामध्ये 𝑥 = 0 असताना y ची ककिंमत काढा.
4. x + y = 7 या समीकरणाच्या कोणत्याही िोन उकली कलहा.
5. 5x + 3y = 6 या समीकरणाची (0, 2) ही उकल आहे का? ते ठरवा.
6. a - b = - 3 या समीकरणाच्या कोणत्याही िोन उकली कलहा.
7. जर x+2y=5 आकण 2x+y=7 असल्यास x+y ची ककिंमत काढा.
8. जर Dx = 24 आकण x = - 3 तर D ची ककिंमत काढा.
9. पुस्तकाची ककिंमत पेनच्या ककिंमतीच्या िु पटीपेक्षा 5 रुपयाने जास्त आहे , हे कवधान पुस्तकाची
ककिंमत (x) आकण पेनची ककिंमत (y) मानून िोन चलातील रे षीय समीकरणाने िर्श वा.
𝑎 𝑏
10. पु ढील समीकरण सामान्य रूपात कलहा. + = 4.
4 3
Page 4
Q. 2 A) 2 गुि कृती पूिण करा.
1. 2x – 3y = 3 या समीकरणाचा आले ख काढण्यासाठी तक्ता पूणश करा.
X −6
y 1
(x, y)
2. किले ल् या कनश्चयकाची ककिंमत काढण्यासाठी कृती पूणश करा.
3 −2
| |=3× − ×4= −8=
4 5
3. खालील समीकरणामध्ये 𝑥 ची ककिंमत काढण्यासाठी कृती पूणश करा.
3 𝑥 + 2𝑦 = 11 −---- (1) आकण 2 𝑥 + 3 𝑦 = 4 ------(2)
कृती : समीकरण (1) ला ने आकण समीकरण (2) ला ने गुणू.
3 × (3 𝑥 + 2𝑦 = 11) ∴ 9 𝑥 + 6 𝑦 = 33 --------(3)
2 × (2 𝑥 + 3 𝑦 = 4) ∴ 4 𝑥 + 6 𝑦 = 8 --------(4)
समीकरण (3) मधून समीकरण (4) वजा करू,
5𝑥 =
∴ 𝑥 =
4. जर (2, 0) ही 2x +3y = k या समीकरणाची उकल असेल तर k ची ककिंमत
काढण्यासाठी कृती पूणश करा.
कृती : (2,0) ही 2x +3y = k या समीकरणाची उकल आहे .
𝑥 = आकण 𝑦 = ककिंमती घालू .
∴2 + 3 × 0= k
∴ 4 + 0 = k
∴ k=
1. 2x – 3y = 3 या समीकरणाचा आले ख काढण्यासाठी तक्ता पूणश करा.
X −6
y 1
(x, y)
2. किले ल् या कनश्चयकाची ककिंमत काढण्यासाठी कृती पूणश करा.
3 −2
| |=3× − ×4= −8=
4 5
3. खालील समीकरणामध्ये 𝑥 ची ककिंमत काढण्यासाठी कृती पूणश करा.
3 𝑥 + 2𝑦 = 11 −---- (1) आकण 2 𝑥 + 3 𝑦 = 4 ------(2)
कृती : समीकरण (1) ला ने आकण समीकरण (2) ला ने गुणू.
3 × (3 𝑥 + 2𝑦 = 11) ∴ 9 𝑥 + 6 𝑦 = 33 --------(3)
2 × (2 𝑥 + 3 𝑦 = 4) ∴ 4 𝑥 + 6 𝑦 = 8 --------(4)
समीकरण (3) मधून समीकरण (4) वजा करू,
5𝑥 =
∴ 𝑥 =
4. जर (2, 0) ही 2x +3y = k या समीकरणाची उकल असेल तर k ची ककिंमत
काढण्यासाठी कृती पूणश करा.
कृती : (2,0) ही 2x +3y = k या समीकरणाची उकल आहे .
𝑥 = आकण 𝑦 = ककिंमती घालू .
∴2 + 3 × 0= k
∴ 4 + 0 = k
∴ k=
Page 5
5. 𝑥 − 2 𝑦 = 5 आकण 2 𝑥 + 3 𝑦 = 10 या समीकरणािं साठी y ची ककिंमत काढण्यासाठी
कृती पूणश करा.
1 −2
D = | | = 3 + 4 = 7
2 3
5 −2
Dx = | | =
10 3
1 5
Dy = | | =
2 10
Dx Dy
X= = , y= =
D D
Q. 2 B) 2 गु ि
1. एक कोन आकण त्याचा कोकटकोन यािं च्या मापातील फरक 10° असल्यास मोठ्या कोनाचे
माप ककती?
3 −1
2. कनश्चयकाची ककिंमत काढा. | |
1 4
3. समीकरण 𝑦 + 2𝑥 = 19 आकण 2𝑥 − 3𝑦 = − 3 साठी D ची ककिंमत काढा.
4. समीकरण 2𝑥 − 𝑦 = 2 मध्ये 𝑥 = 3 असेल तर y=?
5. जर (2, −5) ही 2𝑥 − 𝑘 𝑦 = 14 या समीकरणाची उकल असेल तर k = ?
6. समीकरण a + 2b = 7 मध्ये b = 4 असताना a ची ककिंमत काढा.
7. x = 2 आकण y = −1 ही 2x + y = 3 या समीकरणाची उकल आहे का?
8. 𝑎 आकण 𝑏 वापरुन कोणतीही िोन समीकरणे कलहा ज्ािं ची उकल (0,2) असेल.
9. जर 52 𝑥 + 65 𝑦 = 183 आकण 65 𝑥 + 52 𝑦 = 168 असेल तर 𝑥 + 𝑦 =?
10. (3, −2) हा क िंिू 5 𝑚 − 3 𝑛 = −21 या समीकरणाच्या आले खावर असेल का ते
सकारण कलहा .
कृती पूणश करा.
1 −2
D = | | = 3 + 4 = 7
2 3
5 −2
Dx = | | =
10 3
1 5
Dy = | | =
2 10
Dx Dy
X= = , y= =
D D
Q. 2 B) 2 गु ि
1. एक कोन आकण त्याचा कोकटकोन यािं च्या मापातील फरक 10° असल्यास मोठ्या कोनाचे
माप ककती?
3 −1
2. कनश्चयकाची ककिंमत काढा. | |
1 4
3. समीकरण 𝑦 + 2𝑥 = 19 आकण 2𝑥 − 3𝑦 = − 3 साठी D ची ककिंमत काढा.
4. समीकरण 2𝑥 − 𝑦 = 2 मध्ये 𝑥 = 3 असेल तर y=?
5. जर (2, −5) ही 2𝑥 − 𝑘 𝑦 = 14 या समीकरणाची उकल असेल तर k = ?
6. समीकरण a + 2b = 7 मध्ये b = 4 असताना a ची ककिंमत काढा.
7. x = 2 आकण y = −1 ही 2x + y = 3 या समीकरणाची उकल आहे का?
8. 𝑎 आकण 𝑏 वापरुन कोणतीही िोन समीकरणे कलहा ज्ािं ची उकल (0,2) असेल.
9. जर 52 𝑥 + 65 𝑦 = 183 आकण 65 𝑥 + 52 𝑦 = 168 असेल तर 𝑥 + 𝑦 =?
10. (3, −2) हा क िंिू 5 𝑚 − 3 𝑛 = −21 या समीकरणाच्या आले खावर असेल का ते
सकारण कलहा .
Page 6
Q. 3 A) 3 गु ि कृती पू िण करा.
1.
x y
मी समकिभुज
किकोण आहे . माझा
पाया एकरूप
ाजूिं च्या िु पटीपेक्षा 3
ने जास्त आहे . माझी
पररकमती 35 सेमी
आहे ,तर माझ्या
पायाची लािं ी ककती?
z
2. 3 𝑥 − 2 𝑦 = 18 या समीकरणाचा आले ख काढण्यासाठी खालील तक्ता पूणश करा.
X 0 4 2 ------
Y -9 −3 ------- ---------
x, y (0,-9) (---, - (----,-- (-----,--
---) -) ---)
3. एक िोन अिंकी सिं ख्या आकण त्याच्या अिंकािं ची अिला िल करून येणारी सिंख्या यािं ची
ेरीज 132 आहे . या सिंख्येचा िर्क स्थानचा अिंक एिं कक स्थानच्या अिंकापेक्षा 2 ने
मोठा आहे . मूळ सिंख्या र्ोधण्यासाठी कृती पूणश करा.
कृती : एकक स्थानचा अिंक y आकण िर्क स्थानचा अिंक 𝑥 मानू .
∴ ती सिंख्या = 10 𝑥 + 𝑦
∴ त्या सिंख्येच्या अिंकािं ची अिला िल करून येणारी सिंख्या =
पहिल्या अटीनुसार िोन्ही सिंख्यािं ची ेरीज = 132
1.
x y
मी समकिभुज
किकोण आहे . माझा
पाया एकरूप
ाजूिं च्या िु पटीपेक्षा 3
ने जास्त आहे . माझी
पररकमती 35 सेमी
आहे ,तर माझ्या
पायाची लािं ी ककती?
z
2. 3 𝑥 − 2 𝑦 = 18 या समीकरणाचा आले ख काढण्यासाठी खालील तक्ता पूणश करा.
X 0 4 2 ------
Y -9 −3 ------- ---------
x, y (0,-9) (---, - (----,-- (-----,--
---) -) ---)
3. एक िोन अिंकी सिं ख्या आकण त्याच्या अिंकािं ची अिला िल करून येणारी सिंख्या यािं ची
ेरीज 132 आहे . या सिंख्येचा िर्क स्थानचा अिंक एिं कक स्थानच्या अिंकापेक्षा 2 ने
मोठा आहे . मूळ सिंख्या र्ोधण्यासाठी कृती पूणश करा.
कृती : एकक स्थानचा अिंक y आकण िर्क स्थानचा अिंक 𝑥 मानू .
∴ ती सिंख्या = 10 𝑥 + 𝑦
∴ त्या सिंख्येच्या अिंकािं ची अिला िल करून येणारी सिंख्या =
पहिल्या अटीनुसार िोन्ही सिंख्यािं ची ेरीज = 132
Page 7
∴ 10 𝑥 + 𝑦 + 10 𝑦 + 𝑥 =
∴x+ y= (I)
िु सऱ्या अटीनुसार ,
िर्क स्थानचा अिंक = एकक स्थानचा अिंक + 2
∴
∴x-y=2 . . . . (II)
समीकरण (I ) आकण (II) सोडवू .
x = y =
कवचारले ली मूळ सिंख्या = -------------
Q. 3 B) 3 गु िांचे प्रश्न
1. 𝑥 + 𝑦 = 5 आकण 𝑦 = 5 या समीकरणाचे आले ख एकाच आले ख कागिावर काढा.
2. अजय हा कवजय पेक्षा 7 वषाां नी लहान आहे . त्यािं च्या वयाची ेरीज 25 वषश आहे . तर
त्या िोघािं ची वये ककती ?
2. क्रेमरच्या कनयमाने सोडवा. 3x − 4y = 10 ; 4x + 3y = 5
3. िोन सिंख्यातील फरक 3 आहे . मोठ्या सिं ख्येची कतप्पट आकण लहान सिंख्येची िु प्पट
यािं ची ेरीज 19 आहे तर त्या सिंख्या र्ोधा.
4. सोडवा: 99x + 101y = 499 ; 101x + 99y = 501.
5. सोडवा, 4m - 2n = -4 ; 4m + 3n = 16
6. एका आयताची लािं ी त्याच्या रुिंिीच्या िु पटीपेक्षा 5 ने जास्त आहे . त्या आयताची
पररकमती 52 से. मी. असल् यास आयताची लािं ी ककती?
7. 2 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 आकण 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 या समीकरणािं चे आले ख परस्परािं ना P(a ,b)
क िंिुमध्ये छे ितात. क िंिू P चे कनिे र्क काढा.
8. 𝑎 𝑥 + b y + 5 = 0 आकण 𝑏 𝑥 − 𝑎 𝑦 − 12 = 0 या समीकरणािं ची उकल (2,-3)
असल् यास a आकण b च्या ककिंमती र्ोधा .
9. एक व्यक्ती एका कनश्श्चत पगार आकण िरवषी ठराकवक वेतनवाढ या अटीिंवर नोकरी
सुरू करते. 4 वषाश नी त्या व्यक्तीचा पगार रुपये 15000 आकण 10 वषाश नी पगार रुपये
18000 रुपये असल् यास त्या व्यक्तीचा मूळ पगार आकण वेतनवाढ काढा.
10. समीकरण 3 𝑥 − 2 𝑦 = 17 मध्ये i) y = −1 असताना x ची ककिंमत र्ोधा.
ii) x = 3 असताना y ची ककिंमत काढा.
∴x+ y= (I)
िु सऱ्या अटीनुसार ,
िर्क स्थानचा अिंक = एकक स्थानचा अिंक + 2
∴
∴x-y=2 . . . . (II)
समीकरण (I ) आकण (II) सोडवू .
x = y =
कवचारले ली मूळ सिंख्या = -------------
Q. 3 B) 3 गु िांचे प्रश्न
1. 𝑥 + 𝑦 = 5 आकण 𝑦 = 5 या समीकरणाचे आले ख एकाच आले ख कागिावर काढा.
2. अजय हा कवजय पेक्षा 7 वषाां नी लहान आहे . त्यािं च्या वयाची ेरीज 25 वषश आहे . तर
त्या िोघािं ची वये ककती ?
2. क्रेमरच्या कनयमाने सोडवा. 3x − 4y = 10 ; 4x + 3y = 5
3. िोन सिंख्यातील फरक 3 आहे . मोठ्या सिं ख्येची कतप्पट आकण लहान सिंख्येची िु प्पट
यािं ची ेरीज 19 आहे तर त्या सिंख्या र्ोधा.
4. सोडवा: 99x + 101y = 499 ; 101x + 99y = 501.
5. सोडवा, 4m - 2n = -4 ; 4m + 3n = 16
6. एका आयताची लािं ी त्याच्या रुिंिीच्या िु पटीपेक्षा 5 ने जास्त आहे . त्या आयताची
पररकमती 52 से. मी. असल् यास आयताची लािं ी ककती?
7. 2 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 आकण 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 या समीकरणािं चे आले ख परस्परािं ना P(a ,b)
क िंिुमध्ये छे ितात. क िंिू P चे कनिे र्क काढा.
8. 𝑎 𝑥 + b y + 5 = 0 आकण 𝑏 𝑥 − 𝑎 𝑦 − 12 = 0 या समीकरणािं ची उकल (2,-3)
असल् यास a आकण b च्या ककिंमती र्ोधा .
9. एक व्यक्ती एका कनश्श्चत पगार आकण िरवषी ठराकवक वेतनवाढ या अटीिंवर नोकरी
सुरू करते. 4 वषाश नी त्या व्यक्तीचा पगार रुपये 15000 आकण 10 वषाश नी पगार रुपये
18000 रुपये असल् यास त्या व्यक्तीचा मूळ पगार आकण वेतनवाढ काढा.
10. समीकरण 3 𝑥 − 2 𝑦 = 17 मध्ये i) y = −1 असताना x ची ककिंमत र्ोधा.
ii) x = 3 असताना y ची ककिंमत काढा.
Page 8
Q. 4) 4 गु ि
1. पुढील समीकरणे आले ख पद्धतीने सोडवा.
𝑥 − 𝑦 = 1; 2 𝑥 + 𝑦 = 8
2. खाली किले ल् या कनश्चयकाच्या सहाय्याने िोन समीकरणे तयार करून ती सोडवा.
5 7 5 4
D = | | , Dy = | |
2 −3 2 −10
3. एका अिंकगकणती श्रेढी साठी t 17 = 54 आकण t 9 = 30 असल्यास प्रथम पि(a)
आकण सामान्य फरक (d ) काढा.
4. एक गाडी कवकर्ष्ट अिं तर एकाच ठराकवक वेगाने कापते . जर गाडीचा वेग 6 कक. मी
/तास वाढला असता तर ती कतच्या कनधाश ररत वेळेच्या 4 तास लवकर पोहचते . जर
गाडीचा वेग 6 ककमी/तास कमी झाला असता तर गाडीला कतच्या कनधाश ररत वेळेपेक्षा 6 तास
जास्त लागतील. तर गाडीने एकूण ककती ककमी प्रवास केला?
5. सोडवा. 0.4 𝑥 + 0.3 𝑦 = 1.7; 0.7 𝑥 − 0.2 𝑦 = 0.8
6. एका आयताकृती ागेची अधशपररकमती 36 से . मी आहे . ागेची लािं ी रुिंिीपेक्षा 4 से .
मी ने जास्त आहे . तर ागेचे एकूण क्षेिफळ ककती?
Q. 5) 3 गुि
1. खालील कनश्चयकावरून समीकरण तयार करा.
4 −3 5 −3 4 5
D=| | Dx = | | Dy = | |
2 5 9 5 2 9
2. मी 75 ही सिंख्या मनात धरली,
त्या सिंख्येच्या िोन्ही अिंकातील सिं िंध िर्शवणारी अट कलहा.
मूळ सिंख्या आकण अिंकािं ची अिला िल करून येणाऱ्या सिंख्येतील सिं िंध िर्शवणारी अट
कलहा.
3. कोणतीही िोन एकसामकयक समीकरणे कलहा- ज्ामध्ये चलािं च्या ककिंमती 12 आकण 10
असतील.
4. मी स्टे र्न वरून घरी जाण्यासाठी एक ररक्षा ठरवली.
पहिल्या ककलोमीटर साठी रुपये x आकण पुढच्या प्रत्येक ककलोमीटरसाठी रुपये y रुपये
ठरले .
िहा ककलोमीटर गेल्यावर 40 रुपये झाले व 16 ककलोमीटर गेल्यावर 58 रुपये झाले तर
पहिल्या ककलोमीटरला ककती भाडे होते?
____________________________________________________________
1. पुढील समीकरणे आले ख पद्धतीने सोडवा.
𝑥 − 𝑦 = 1; 2 𝑥 + 𝑦 = 8
2. खाली किले ल् या कनश्चयकाच्या सहाय्याने िोन समीकरणे तयार करून ती सोडवा.
5 7 5 4
D = | | , Dy = | |
2 −3 2 −10
3. एका अिंकगकणती श्रेढी साठी t 17 = 54 आकण t 9 = 30 असल्यास प्रथम पि(a)
आकण सामान्य फरक (d ) काढा.
4. एक गाडी कवकर्ष्ट अिं तर एकाच ठराकवक वेगाने कापते . जर गाडीचा वेग 6 कक. मी
/तास वाढला असता तर ती कतच्या कनधाश ररत वेळेच्या 4 तास लवकर पोहचते . जर
गाडीचा वेग 6 ककमी/तास कमी झाला असता तर गाडीला कतच्या कनधाश ररत वेळेपेक्षा 6 तास
जास्त लागतील. तर गाडीने एकूण ककती ककमी प्रवास केला?
5. सोडवा. 0.4 𝑥 + 0.3 𝑦 = 1.7; 0.7 𝑥 − 0.2 𝑦 = 0.8
6. एका आयताकृती ागेची अधशपररकमती 36 से . मी आहे . ागेची लािं ी रुिंिीपेक्षा 4 से .
मी ने जास्त आहे . तर ागेचे एकूण क्षेिफळ ककती?
Q. 5) 3 गुि
1. खालील कनश्चयकावरून समीकरण तयार करा.
4 −3 5 −3 4 5
D=| | Dx = | | Dy = | |
2 5 9 5 2 9
2. मी 75 ही सिंख्या मनात धरली,
त्या सिंख्येच्या िोन्ही अिंकातील सिं िंध िर्शवणारी अट कलहा.
मूळ सिंख्या आकण अिंकािं ची अिला िल करून येणाऱ्या सिंख्येतील सिं िंध िर्शवणारी अट
कलहा.
3. कोणतीही िोन एकसामकयक समीकरणे कलहा- ज्ामध्ये चलािं च्या ककिंमती 12 आकण 10
असतील.
4. मी स्टे र्न वरून घरी जाण्यासाठी एक ररक्षा ठरवली.
पहिल्या ककलोमीटर साठी रुपये x आकण पुढच्या प्रत्येक ककलोमीटरसाठी रुपये y रुपये
ठरले .
िहा ककलोमीटर गेल्यावर 40 रुपये झाले व 16 ककलोमीटर गेल्यावर 58 रुपये झाले तर
पहिल्या ककलोमीटरला ककती भाडे होते?
____________________________________________________________
Page 9
प्रकरि : वगण समीकरिे
प्रश्न 1 अ) प्रत्येकी 1 गु िाचे बहुपर्ाणर्ी प्रश्न :
खालील प्रश्नांच्या उत्तरांचा अचूक पर्ाणर् णनवडा.
1) खालीलपैकी कोिते वगण समीकरि आहे ?
A) X3+5X2+X+3=0 B) 4X2-3X-5=0 C) X+5=0 D) 4X5 = 0
2) खालीलपैकी कोिते वगण समीकरि नाही ?
A) 2X2-X+3=0 B) 4X2-3X=0 C) X3-5X +3 =0 D) 4X2 = 0
3) X2 + 2X + k = 0 र्ा वगणसमीकरिाची मु ळे वास्तव व समान असतील, तर k ची णकमत
खालीलपैकी कोिती?
A) 1 B) -1 C) 2 D) -2
4) X2 – 2X - 3 = 0 र्ा वगण समीकरिासाठी णववेचकाची णकंमत खालीलपैकी कोिती?
A) -16 B) 16 C) 8 D) 4
5) खालीलपैकी कोित्या समीकरिाची मुळे-3 व -5आहे .
A) X2-8X+15=0 B) X2-8X-15=0 C) X2+8X+15=0 D) X2+8X-15=0
6) X2 – kX + 27 = 0 र्ा वगण समीकरिाचे एक मूळ 3 असेल तर k ची णकंमत खालीलपैकी
कोिती?
A) 10 B) 12 C) -12 D) 16
7) वगणसमीकरिाची कोटी --------------- असते.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
प्रश्न 1 ब) प्रत्येकी 1 गुिाची उदाहरिे :
प्रश्न 1 अ) प्रत्येकी 1 गु िाचे बहुपर्ाणर्ी प्रश्न :
खालील प्रश्नांच्या उत्तरांचा अचूक पर्ाणर् णनवडा.
1) खालीलपैकी कोिते वगण समीकरि आहे ?
A) X3+5X2+X+3=0 B) 4X2-3X-5=0 C) X+5=0 D) 4X5 = 0
2) खालीलपैकी कोिते वगण समीकरि नाही ?
A) 2X2-X+3=0 B) 4X2-3X=0 C) X3-5X +3 =0 D) 4X2 = 0
3) X2 + 2X + k = 0 र्ा वगणसमीकरिाची मु ळे वास्तव व समान असतील, तर k ची णकमत
खालीलपैकी कोिती?
A) 1 B) -1 C) 2 D) -2
4) X2 – 2X - 3 = 0 र्ा वगण समीकरिासाठी णववेचकाची णकंमत खालीलपैकी कोिती?
A) -16 B) 16 C) 8 D) 4
5) खालीलपैकी कोित्या समीकरिाची मुळे-3 व -5आहे .
A) X2-8X+15=0 B) X2-8X-15=0 C) X2+8X+15=0 D) X2+8X-15=0
6) X2 – kX + 27 = 0 र्ा वगण समीकरिाचे एक मूळ 3 असेल तर k ची णकंमत खालीलपैकी
कोिती?
A) 10 B) 12 C) -12 D) 16
7) वगणसमीकरिाची कोटी --------------- असते.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
प्रश्न 1 ब) प्रत्येकी 1 गुिाची उदाहरिे :
Page 10
1) खालील वगण समीकरि सामान्यरुपात णलहून a, b, व c च्या णकंमती णलहा.
4y2 – 3y = -7
2) खालील वगण समीकरिाची मुळे णलहा.
(p – 5 ) (p + 3 ) = 0
3) जरa = 1 , b = 4 , c = -5 तरb2 – 4ac ची णकंमत काढा.
4) जरb2 – 4ac> 0 व b2 – 4ac< 0 असेल तर र्ा प्रत्येक बाबतीत वगण समीकरिाच्या मुळाचे
स्वरूप णलहा.
5) खालील वगण समीकरि प्रमािरुपात णलहा.
m (m – 6) = 9
प्रश्न 2 अ) प्रत्येकी 2 गुिाचे कृतीर्ुक्त प्रश्न :
1) खालील वगण समीकरि अवर्व पद्धतीने सोडणवण्यासाठी कृती पूिण करा.
कृती : X2 + 8 x – 20 = 0
X2 + (....) – 2x – 20 = 0
X (x+10) – (....) (x+10) = 0
(x + 10) (.......) = 0
X = …… or x = 2
2) 4x2 – 5x + 3 = 0 र्ा वगण समीकरिासाठी णववेचकाची णकंमत काढण्यासाठी खालील
कृती पूिण करा.
कृती :4x2 – 5x + 3 = 0
a= 4 , b = …… , c = 3
b - 4ac = (-5) 2 – (….) x 4 x 3
2
= (….) – 48
2
b - 4ac = ……
3) X2 + kx + 54 = 0 र्ा वगण समीकरिाचे एक मूळ -6 असेल तर k ची णकंमत
काढण्यासाठी खालील कृती पूिण करा.
कृती :X2 + kx + 54 = 0 र्ा वगण समीकरिाची एक उकल -6 आहे
म्हिून x = ....... घेऊ
(-6)2+ k(-6) + 54= 0
(......) -6 k + 54= 0
-6k+ ...... = 0
k= .........
4) X2 + 4x -5 = 0 र्ा वगण समीकरिाचे 1 हे मूळ आहे णकंवा नाही ते ठरणवण्यासाठी
खालील कृती पूिण करा.
कृती : x=(....) असताना
डा. बा.
4y2 – 3y = -7
2) खालील वगण समीकरिाची मुळे णलहा.
(p – 5 ) (p + 3 ) = 0
3) जरa = 1 , b = 4 , c = -5 तरb2 – 4ac ची णकंमत काढा.
4) जरb2 – 4ac> 0 व b2 – 4ac< 0 असेल तर र्ा प्रत्येक बाबतीत वगण समीकरिाच्या मुळाचे
स्वरूप णलहा.
5) खालील वगण समीकरि प्रमािरुपात णलहा.
m (m – 6) = 9
प्रश्न 2 अ) प्रत्येकी 2 गुिाचे कृतीर्ुक्त प्रश्न :
1) खालील वगण समीकरि अवर्व पद्धतीने सोडणवण्यासाठी कृती पूिण करा.
कृती : X2 + 8 x – 20 = 0
X2 + (....) – 2x – 20 = 0
X (x+10) – (....) (x+10) = 0
(x + 10) (.......) = 0
X = …… or x = 2
2) 4x2 – 5x + 3 = 0 र्ा वगण समीकरिासाठी णववेचकाची णकंमत काढण्यासाठी खालील
कृती पूिण करा.
कृती :4x2 – 5x + 3 = 0
a= 4 , b = …… , c = 3
b - 4ac = (-5) 2 – (….) x 4 x 3
2
= (….) – 48
2
b - 4ac = ……
3) X2 + kx + 54 = 0 र्ा वगण समीकरिाचे एक मूळ -6 असेल तर k ची णकंमत
काढण्यासाठी खालील कृती पूिण करा.
कृती :X2 + kx + 54 = 0 र्ा वगण समीकरिाची एक उकल -6 आहे
म्हिून x = ....... घेऊ
(-6)2+ k(-6) + 54= 0
(......) -6 k + 54= 0
-6k+ ...... = 0
k= .........
4) X2 + 4x -5 = 0 र्ा वगण समीकरिाचे 1 हे मूळ आहे णकंवा नाही ते ठरणवण्यासाठी
खालील कृती पूिण करा.
कृती : x=(....) असताना
डा. बा.
Page 11
= 12+ 4 (……) – 5
=1+4–5
= (….) – 5
= ……..
= उ. बा.
म्हिून x = 1 ही णदले ल् र्ा समीकरिाचे मूळ आहे.
प्रश्न 2 ब) प्रत्येकी 2 गुिांची उदाहरिे :
1) खालील वगणसमीकरि अवर्व पद्धतीने सोडवा.
3p2 + 8p+ 5= 0
2) X2 – kx – 15 = 0 र्ा वगण समीकरिाचे एक मूळ-3 असेल तर k ची णकंमत काढा.
3) एका वगण समीकरिाची मुळे 4 व -5 आहेत तर ते वगण समीकरि तर्ार करा.
4) 3y2+ ky+ 12= 0 र्ा वगणसमीकरिाची मुळे वास्तव व समान आहेत तर k ची
णकंमत काढा.
5) x2+ 8x – 48= 0र्ा वगण समीकरिासाठी णववेचकाची णकंमत काढा.
6) एका वगणसमीकरिाची मुळे 5 व -4 आहेत तर ते वगणसमीकरि तर्ार करा.
प्रश्न 3 अ) प्रत्येकी 3 गुिांचे कृती र्ुक्त प्रश्न :
1) खालील वगण समीकरि सूत्र पद्धतीने सोडणवण्यासाठीकृती पूिण करा .
2x2 + 13x + 15 = 0
कृती :2x2 + 13x + 15 = 0
a= (.....) , b = 13, c = 15
b – 4ac = (13)2 - 4 x 2 x (…….)
2
= 169 – 120
2
b – 4ac = 49
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
−(… … ) ± √𝟒𝟗
𝒙=
𝟒
−𝟏𝟑 ± (… . )
𝒙=
𝟒
𝟔 −𝟐𝟎
𝒙= 𝒙=
𝟒 𝟒
X = (….) x = (….)
=1+4–5
= (….) – 5
= ……..
= उ. बा.
म्हिून x = 1 ही णदले ल् र्ा समीकरिाचे मूळ आहे.
प्रश्न 2 ब) प्रत्येकी 2 गुिांची उदाहरिे :
1) खालील वगणसमीकरि अवर्व पद्धतीने सोडवा.
3p2 + 8p+ 5= 0
2) X2 – kx – 15 = 0 र्ा वगण समीकरिाचे एक मूळ-3 असेल तर k ची णकंमत काढा.
3) एका वगण समीकरिाची मुळे 4 व -5 आहेत तर ते वगण समीकरि तर्ार करा.
4) 3y2+ ky+ 12= 0 र्ा वगणसमीकरिाची मुळे वास्तव व समान आहेत तर k ची
णकंमत काढा.
5) x2+ 8x – 48= 0र्ा वगण समीकरिासाठी णववेचकाची णकंमत काढा.
6) एका वगणसमीकरिाची मुळे 5 व -4 आहेत तर ते वगणसमीकरि तर्ार करा.
प्रश्न 3 अ) प्रत्येकी 3 गुिांचे कृती र्ुक्त प्रश्न :
1) खालील वगण समीकरि सूत्र पद्धतीने सोडणवण्यासाठीकृती पूिण करा .
2x2 + 13x + 15 = 0
कृती :2x2 + 13x + 15 = 0
a= (.....) , b = 13, c = 15
b – 4ac = (13)2 - 4 x 2 x (…….)
2
= 169 – 120
2
b – 4ac = 49
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
−(… … ) ± √𝟒𝟗
𝒙=
𝟒
−𝟏𝟑 ± (… . )
𝒙=
𝟒
𝟔 −𝟐𝟎
𝒙= 𝒙=
𝟒 𝟒
X = (….) x = (….)
Page 12
2) खालील शाब्दिक उदाहरि सोडणवण्यासाठी कृती पूिण करा.
दोन क्रमागत सम नैसणगणक संख्ांच्या वगाणची बेरीज 244 आहे, तर त्या संख्ा शोधा.
कृती : पणहली सम नैसणगणक संख्ा x मानू,
दु सरी क्रमागत सम नैसणगणक संख्ा = (.....)
णदले ल् र्ा अटीनुसार,
X + (x+ 2)2 = 244
2
X2+ X2+ 4x+4 – (....) = 0
2x2 + 4x – 240 = 0
X2 + 2x – 120 = 0
X2+ (……..) – (……..) – 120 = 0
X (x+12) – (…..) (x+12) = 0
(x + 12) (x – 10) = 0
X = (……) / X = 10
परं तु नैसणगणक संख्ा ऋि नसते म्हिून x = -12 शक्य नाही.
म्हिून पणहली नैसणगणक संख्ा x = 10 असेल.
म्हिून दु सरी नैसणगणक संख्ा = x+ 2= 10+ 2= 12 असेल.
प्रश्न 3 ब) प्रत्येकी 3 गुिांची उदाहरिे :
1) खालील वगण समीकरिाची मुळे वास्तव व समान असतील तर k ची णकंमत काढा.
Kx (x-2) + 6 = 0
2) मुकंु दजवळ सागरपेक्षा 50 रु अणधक आहेत. त्यांच्याजवळील रकमांचा गुिाकार
15000 असेल तर प्रत्येकाजवळील रक्कम णकती?
3) खालील वगण समीकरि सोडवा.
√𝟑 x2 + √𝟐 x – 2√𝟑 =0
3) खालील वगण समीकरिे सूत्र पद्धतीने सोडवा.
a) 5m2 – 4m -2 = 0
𝟏
b) Y2 + y = 2
𝟑
4) 2 + √𝟕 व 2 - √𝟕 वगणमूळे असिारे वगणसमीकरि तर्ार करा.
प्रश्न 4) प्रत्येकी 4 गुिांची उदाहरिे :
1) मनीषच्या आईचे आजचे वर् त्याच्या वर्ाच्या 5 पटीपेक्षा 1 ने जास्त आहे . 4 वषाांपूवी
त्यांच्या वर्ाचा गुिाकार 22 असल् र्ास : त्यांची आजची वर्े काढा.
2) एका बागेत 200 झाडे असून प्रत्येक रांगेतील झाडांची संख्ा ओळीच्या संख्ेपेक्षा 10 ने
जास्त आहे . तर प्रत्येक रांगेतील झाडांची संख्ा काढा.
3) खालील वगण समीकरिाची मुळे वास्तव व समान असतील तर m ची णकंमत काढा.
(m-12) x2 + 2 (m-12) x + 2 = 0
दोन क्रमागत सम नैसणगणक संख्ांच्या वगाणची बेरीज 244 आहे, तर त्या संख्ा शोधा.
कृती : पणहली सम नैसणगणक संख्ा x मानू,
दु सरी क्रमागत सम नैसणगणक संख्ा = (.....)
णदले ल् र्ा अटीनुसार,
X + (x+ 2)2 = 244
2
X2+ X2+ 4x+4 – (....) = 0
2x2 + 4x – 240 = 0
X2 + 2x – 120 = 0
X2+ (……..) – (……..) – 120 = 0
X (x+12) – (…..) (x+12) = 0
(x + 12) (x – 10) = 0
X = (……) / X = 10
परं तु नैसणगणक संख्ा ऋि नसते म्हिून x = -12 शक्य नाही.
म्हिून पणहली नैसणगणक संख्ा x = 10 असेल.
म्हिून दु सरी नैसणगणक संख्ा = x+ 2= 10+ 2= 12 असेल.
प्रश्न 3 ब) प्रत्येकी 3 गुिांची उदाहरिे :
1) खालील वगण समीकरिाची मुळे वास्तव व समान असतील तर k ची णकंमत काढा.
Kx (x-2) + 6 = 0
2) मुकंु दजवळ सागरपेक्षा 50 रु अणधक आहेत. त्यांच्याजवळील रकमांचा गुिाकार
15000 असेल तर प्रत्येकाजवळील रक्कम णकती?
3) खालील वगण समीकरि सोडवा.
√𝟑 x2 + √𝟐 x – 2√𝟑 =0
3) खालील वगण समीकरिे सूत्र पद्धतीने सोडवा.
a) 5m2 – 4m -2 = 0
𝟏
b) Y2 + y = 2
𝟑
4) 2 + √𝟕 व 2 - √𝟕 वगणमूळे असिारे वगणसमीकरि तर्ार करा.
प्रश्न 4) प्रत्येकी 4 गुिांची उदाहरिे :
1) मनीषच्या आईचे आजचे वर् त्याच्या वर्ाच्या 5 पटीपेक्षा 1 ने जास्त आहे . 4 वषाांपूवी
त्यांच्या वर्ाचा गुिाकार 22 असल् र्ास : त्यांची आजची वर्े काढा.
2) एका बागेत 200 झाडे असून प्रत्येक रांगेतील झाडांची संख्ा ओळीच्या संख्ेपेक्षा 10 ने
जास्त आहे . तर प्रत्येक रांगेतील झाडांची संख्ा काढा.
3) खालील वगण समीकरिाची मुळे वास्तव व समान असतील तर m ची णकंमत काढा.
(m-12) x2 + 2 (m-12) x + 2 = 0
Page 13
4) खालील वगण समीकरि सोडवा.
𝟏 𝟏 𝟏
- =𝟒
𝟒−𝒑 𝟐+𝒑
5) एका वगण समीकरिाच्या दोन मुळांची बेरीज 5 आणि त्यांच्या घनांची बेरीज 35 आहे तर
ते वगण समीकरि कोिते?
प्रश्न 5) प्रत्येकी 3 गुिांची उदाहरिे :
1) असे एक शाब्दिक उदाहरि तर्ार करा की त्यापासून णमळिाऱ्र्ा वगण समीकरिाचे एक
मूळ 5 असेल. समीकरि तर्ार करून णलहा.( वगणसमीकरिासाठीतर्ार करण्यासाठी
वर्, रुपर्े, नैसणगणक संख्ा र्ांसारख्ा राशी ंचा उपर्ोग करा.)
(वरील उदाहरि णवद्यार्थ्ाांच्या सोर्ीसाठी सोडवून दाखवीत आहोत. णवद्यार्थी वेगळी
संख्ा घेऊन असेच उदाहरि तर्ार करून सोडवू शकतात.)
उकल: आपल्याला समीकरिाचे एक मूळ 5 हवे आहे . मग दु सरे मूळ आपि आपल्या मनाने
कोितीही संख्ा (धन,ऋि,शून्य) घेऊ शकतो.मग आपि समजा इर्थे दु सरे मूळ 2 घे तले .
मग आपि खालील प्रमािे उदाहरि तर्ार करू शकतो ,
ब्दिता ही णतची बहीि णमता पे क्षा 3 वषाांनी लहान आहे (5-2 = 3). दोघी ंच्या वर्ांचा गु िाकार
10 आहे (5 x 2 = 10). तर दोघी ंचे आजचे वर् काढा. (शाब्दिक उदाहरि तर्ार करिे 1 गुि)
णमताचे वर् x मानू ,
म्हिून ब्दिताचे वर् = x-3 (र्ाकररता 1 गु ि)
णदले ल् र्ा अटीनु सार,
X(x-3) = 10
X2 – 3x – 10 = 0 (समीकरि तर्ार करिे 1 गुि)
𝟏 𝟏 𝟏
- =𝟒
𝟒−𝒑 𝟐+𝒑
5) एका वगण समीकरिाच्या दोन मुळांची बेरीज 5 आणि त्यांच्या घनांची बेरीज 35 आहे तर
ते वगण समीकरि कोिते?
प्रश्न 5) प्रत्येकी 3 गुिांची उदाहरिे :
1) असे एक शाब्दिक उदाहरि तर्ार करा की त्यापासून णमळिाऱ्र्ा वगण समीकरिाचे एक
मूळ 5 असेल. समीकरि तर्ार करून णलहा.( वगणसमीकरिासाठीतर्ार करण्यासाठी
वर्, रुपर्े, नैसणगणक संख्ा र्ांसारख्ा राशी ंचा उपर्ोग करा.)
(वरील उदाहरि णवद्यार्थ्ाांच्या सोर्ीसाठी सोडवून दाखवीत आहोत. णवद्यार्थी वेगळी
संख्ा घेऊन असेच उदाहरि तर्ार करून सोडवू शकतात.)
उकल: आपल्याला समीकरिाचे एक मूळ 5 हवे आहे . मग दु सरे मूळ आपि आपल्या मनाने
कोितीही संख्ा (धन,ऋि,शून्य) घेऊ शकतो.मग आपि समजा इर्थे दु सरे मूळ 2 घे तले .
मग आपि खालील प्रमािे उदाहरि तर्ार करू शकतो ,
ब्दिता ही णतची बहीि णमता पे क्षा 3 वषाांनी लहान आहे (5-2 = 3). दोघी ंच्या वर्ांचा गु िाकार
10 आहे (5 x 2 = 10). तर दोघी ंचे आजचे वर् काढा. (शाब्दिक उदाहरि तर्ार करिे 1 गुि)
णमताचे वर् x मानू ,
म्हिून ब्दिताचे वर् = x-3 (र्ाकररता 1 गु ि)
णदले ल् र्ा अटीनु सार,
X(x-3) = 10
X2 – 3x – 10 = 0 (समीकरि तर्ार करिे 1 गुि)
Page 14
प्रकरि:अंकगणित श्रेढी
1 गु िांचे प्रश्न
A) पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पयाश यी उत्तरे किली आहे त.त्यापैकी
अचूक पयाश य कनवडून त्याचे वणाश क्षर कलहा.
1. 2,4,6,8,……..या अिंकगकणती श्रेढीमध्ये सामाईक फरक..........आहे .
(A) 8 (B) 6 (C) 2 (D) -2
2. 0,-4,-8,-12 या क्रकमकेचा सामाईक फरक काय?
(A) 4 (B) -4 (C) 8 (D) -8
3. एका अिंकगकणती श्रेढीसाठी 5,12,19,26,........ a=?
(A) 12 (B) 26 (C) 19 (D) 5
4. नैसकगशक सिंख्यािं च्याप्रमाणे कवकर्ष्ट क्रमाने माांडलेल्या सिंख्यािं च्या समूहाला........
म्हणतात.
(A) अनुक्रमकणका (B) सिंख्या (C) ओळ (D) क्रकमका
5. पकहले पि -2 आकण साधारण फरक -2 असणाऱ्या अिंकगकणती श्रेढीची पकहली चार
पिे पुढीलप्रमाणे आहे त......
(A)-2,0,2,4 (B)-2,4,-8,16 (C)-2,-4,-6,-8 (D)-2,-4,-8,-16
6. 1,4,7,10,13...... या अिंकगकणती श्रेढीचे पुढील िोन पिे ...........
(A) 16,19 (B) 10,7 (C) 19,22 (D) 16,18
7. पकहली िोन पिे -3 आकण 4 असणाऱ्या अिंकगकणती श्रेढीचा d=?
(A) 7 (B) 4 (C) -7 (D) -3
8. एका अिंकगकणती श्रेढीचे िु सरे पि 13 आकण पाचवे पि 25 असेल तर कतचे 7 वे
पि=?
(A) 30 (B) 33 (C) 37 (D) 38
9. 9,15,21,27 अिंकगकणती श्रेढीमध्ये t3 = ?
(A) 27 (B) 21 (C) 15 (D) 9
10. 0,-4,-8,-12......या अिंकगकणती श्रेढीमध्ये t2 = ?
(A) -8 (B) -4 (C) -12 (D) 0
1 गु िांचे प्रश्न
A) पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पयाश यी उत्तरे किली आहे त.त्यापैकी
अचूक पयाश य कनवडून त्याचे वणाश क्षर कलहा.
1. 2,4,6,8,……..या अिंकगकणती श्रेढीमध्ये सामाईक फरक..........आहे .
(A) 8 (B) 6 (C) 2 (D) -2
2. 0,-4,-8,-12 या क्रकमकेचा सामाईक फरक काय?
(A) 4 (B) -4 (C) 8 (D) -8
3. एका अिंकगकणती श्रेढीसाठी 5,12,19,26,........ a=?
(A) 12 (B) 26 (C) 19 (D) 5
4. नैसकगशक सिंख्यािं च्याप्रमाणे कवकर्ष्ट क्रमाने माांडलेल्या सिंख्यािं च्या समूहाला........
म्हणतात.
(A) अनुक्रमकणका (B) सिंख्या (C) ओळ (D) क्रकमका
5. पकहले पि -2 आकण साधारण फरक -2 असणाऱ्या अिंकगकणती श्रेढीची पकहली चार
पिे पुढीलप्रमाणे आहे त......
(A)-2,0,2,4 (B)-2,4,-8,16 (C)-2,-4,-6,-8 (D)-2,-4,-8,-16
6. 1,4,7,10,13...... या अिंकगकणती श्रेढीचे पुढील िोन पिे ...........
(A) 16,19 (B) 10,7 (C) 19,22 (D) 16,18
7. पकहली िोन पिे -3 आकण 4 असणाऱ्या अिंकगकणती श्रेढीचा d=?
(A) 7 (B) 4 (C) -7 (D) -3
8. एका अिंकगकणती श्रेढीचे िु सरे पि 13 आकण पाचवे पि 25 असेल तर कतचे 7 वे
पि=?
(A) 30 (B) 33 (C) 37 (D) 38
9. 9,15,21,27 अिंकगकणती श्रेढीमध्ये t3 = ?
(A) 27 (B) 21 (C) 15 (D) 9
10. 0,-4,-8,-12......या अिंकगकणती श्रेढीमध्ये t2 = ?
(A) -8 (B) -4 (C) -12 (D) 0
Page 15
B) खालील उपप्रश्न सोडवा.
1. 2,4,6,8.........ही अिंकगकणती श्रेढी आहे का ते ओळखा.
2. 1,4,7,10.......या अिंकगकणती श्रेढीत a व d ची ककिंमत काढा.
3. अिंकगकणती श्रेढीच्या पहिल्या n पिािं ची ेरीज काढण्याचे सूि कलहा.
4. जर a=20 आकण d=3 तर tn र्ोधा.
5. जर a=3 आकण d= -3 तर t5 र्ोधा.
6. एका क्रकमकेत tn=2n-5 आहे तर कतची पकहली िोन पिे काढा.
7. tn=2n+1 या क्रकमकेतील प्रथम पि काढा.
8. tn=3n-2 या क्रकमकेची िोन पिे काढा.
9. 0.9,0.6,0.3...... या अिंकगकणतीय श्रे ढीचा साधारण फरक काढा.
10. जर t9=23 व a=7 तर d ची ककिंमत काढा.
2 गु िांचे प्रश्न
A) खालील कृती कलहून पूणश करा.
1)पहिल्या 1000 धन पूणाां कािं ची ेरीज करा.
कृती :- समजा 1+2+3+------+1000
अिंकगकणती श्रे ढीच्या पहिल्या n पिािं च्या ेरजेचे सूि Sn= वापरून,
S1000 = (1+1000)
2
= 500 × 1001
=
प्रथम 1000 धन पूणाां कािं ची ेरीज एवढी आहे .
2) -940 ही सिंख्या 50,40,30,20.......या अिंकगकणती श्रे ढीचे ककतवे पि
आहे ?
कृती :- येथे a= d= tn= -940
सूिानुसार tn= a+(n-1)d
-940 =
n =
1. 2,4,6,8.........ही अिंकगकणती श्रेढी आहे का ते ओळखा.
2. 1,4,7,10.......या अिंकगकणती श्रेढीत a व d ची ककिंमत काढा.
3. अिंकगकणती श्रेढीच्या पहिल्या n पिािं ची ेरीज काढण्याचे सूि कलहा.
4. जर a=20 आकण d=3 तर tn र्ोधा.
5. जर a=3 आकण d= -3 तर t5 र्ोधा.
6. एका क्रकमकेत tn=2n-5 आहे तर कतची पकहली िोन पिे काढा.
7. tn=2n+1 या क्रकमकेतील प्रथम पि काढा.
8. tn=3n-2 या क्रकमकेची िोन पिे काढा.
9. 0.9,0.6,0.3...... या अिंकगकणतीय श्रे ढीचा साधारण फरक काढा.
10. जर t9=23 व a=7 तर d ची ककिंमत काढा.
2 गु िांचे प्रश्न
A) खालील कृती कलहून पूणश करा.
1)पहिल्या 1000 धन पूणाां कािं ची ेरीज करा.
कृती :- समजा 1+2+3+------+1000
अिंकगकणती श्रे ढीच्या पहिल्या n पिािं च्या ेरजेचे सूि Sn= वापरून,
S1000 = (1+1000)
2
= 500 × 1001
=
प्रथम 1000 धन पूणाां कािं ची ेरीज एवढी आहे .
2) -940 ही सिंख्या 50,40,30,20.......या अिंकगकणती श्रे ढीचे ककतवे पि
आहे ?
कृती :- येथे a= d= tn= -940
सूिानुसार tn= a+(n-1)d
-940 =
n =
Page 16
3) एका अिंकगकणती श्रेढीसाठी t1= 1 व tn= 149 असेल तर Sn काढा.
कृती :- येथे t1= 1, tn= 149, Sn= ?
n
सूि वापरून, Sn= ( + )
2
n
= ×
2
= n
4) 9,4,-1,-6......या अिंकगकणती श्रेढीसाठी t19 = ?
कृती :- येथे a=9, d=
tn = a+(n-1)d
t19= 9+(19-1)
= 9+
=
5) 7,14,21,28......... अिंकगकणती श्रेढीसाठी सामान्य फरक d = ?
कृती :- येथे t1=7, t2=14, t3=21, t4=
t2 - t1=
t3 – t2= 7
t4 – t3=
म्हणून सामान्य फरक d=
B) खालील उपप्रश्न सोडवा.
1. 3,5,7,9,11…….ही क्रकमका अिंकगकणती श्रेढी आहे की नाही ते ठरवा.
2. अिंकगकणती श्रेढीचे पकहले पि 3 व साधारण फरक 4 आहे तर या श्रेढीची पकहली
चार पिे काढा.
3. 1,6,11,16......या अिंकगकणती श्रेढीचे 18 वे पि र्ोधा.
4. एका अिंकगकणती श्रेढीमध्ये a=2 व d=3 आहे तर S12 काढा.
कृती :- येथे t1= 1, tn= 149, Sn= ?
n
सूि वापरून, Sn= ( + )
2
n
= ×
2
= n
4) 9,4,-1,-6......या अिंकगकणती श्रेढीसाठी t19 = ?
कृती :- येथे a=9, d=
tn = a+(n-1)d
t19= 9+(19-1)
= 9+
=
5) 7,14,21,28......... अिंकगकणती श्रेढीसाठी सामान्य फरक d = ?
कृती :- येथे t1=7, t2=14, t3=21, t4=
t2 - t1=
t3 – t2= 7
t4 – t3=
म्हणून सामान्य फरक d=
B) खालील उपप्रश्न सोडवा.
1. 3,5,7,9,11…….ही क्रकमका अिंकगकणती श्रेढी आहे की नाही ते ठरवा.
2. अिंकगकणती श्रेढीचे पकहले पि 3 व साधारण फरक 4 आहे तर या श्रेढीची पकहली
चार पिे काढा.
3. 1,6,11,16......या अिंकगकणती श्रेढीचे 18 वे पि र्ोधा.
4. एका अिंकगकणती श्रेढीमध्ये a=2 व d=3 आहे तर S12 काढा.
Page 17
5. tn=n+2 या क्रकमकेची पकहली चार पिे काढा.
6. जर अिंकगकणती श्रेढीचे पकहले पि a=10 आकण d= -3 असेल तर कतची प्रथम
चार पिे काढा.
7. 1,7,13,19......या अिंकगकणती श्रेढीचे 18 वे पि र्ोधा.
8. जर a=4 आकण d=0 तर अिंकगकणती श्रेढीची पकहली पाच पिे र्ोधा.
9. जर a=6 आकण d=10 तर S10 काढा.
10. 24,17,10,3......ही क्रकमका अिंकगकणती श्रे ढी आहे का? असल् यास कतचे
सामान्यपि (tn)काढा.
3 गु िांचे प्रश्न
A) खालील कृती कलहून पूणश करा.
1) 5 ने भाग जाणाऱ्या िोन अिंकी सिंख्या ककती आहे त?
कृती :- 5 ने भाग जाणाऱ्या िोन अिंकी सिंख्या 10,15,20........95., ह्या आहे त.
d=5 असल् याने किले ली क्रकमका अिंकगकणती श्रेढी आहे .
येथे a=10, d=5, tn=95, n=?
tn = a+(n-1)
= 10+(n-1)×5
= (n-1)×5
= (n-1)
म्हणून n=
5 ने भाग जाणाऱ्या िोन अिंकी सिंख्या आहे त.
2)कल्पना िर मकहन्याला ठराकवक रक्कम चत करते .कतने पहिल्या मकहन्यात
100रु.,िु सऱ्या मकहन्यात 150रु.,कतसऱ्या मकहन्यात 200रु. याप्रमाणे चत
केली.तर ककती 1200रु. चत मकहन्यात होईल?
कृती :- कल्पनाची माकसक चत 100रु,150रु,200रु........1200रु. अर्ी आहे .
येथे d=50रु.आहे म्हणून किले ली क्रकमका ही अिंकगकणती श्रेढी आहे .
a=10, d=50, tn= n=?
6. जर अिंकगकणती श्रेढीचे पकहले पि a=10 आकण d= -3 असेल तर कतची प्रथम
चार पिे काढा.
7. 1,7,13,19......या अिंकगकणती श्रेढीचे 18 वे पि र्ोधा.
8. जर a=4 आकण d=0 तर अिंकगकणती श्रेढीची पकहली पाच पिे र्ोधा.
9. जर a=6 आकण d=10 तर S10 काढा.
10. 24,17,10,3......ही क्रकमका अिंकगकणती श्रे ढी आहे का? असल् यास कतचे
सामान्यपि (tn)काढा.
3 गु िांचे प्रश्न
A) खालील कृती कलहून पूणश करा.
1) 5 ने भाग जाणाऱ्या िोन अिंकी सिंख्या ककती आहे त?
कृती :- 5 ने भाग जाणाऱ्या िोन अिंकी सिंख्या 10,15,20........95., ह्या आहे त.
d=5 असल् याने किले ली क्रकमका अिंकगकणती श्रेढी आहे .
येथे a=10, d=5, tn=95, n=?
tn = a+(n-1)
= 10+(n-1)×5
= (n-1)×5
= (n-1)
म्हणून n=
5 ने भाग जाणाऱ्या िोन अिंकी सिंख्या आहे त.
2)कल्पना िर मकहन्याला ठराकवक रक्कम चत करते .कतने पहिल्या मकहन्यात
100रु.,िु सऱ्या मकहन्यात 150रु.,कतसऱ्या मकहन्यात 200रु. याप्रमाणे चत
केली.तर ककती 1200रु. चत मकहन्यात होईल?
कृती :- कल्पनाची माकसक चत 100रु,150रु,200रु........1200रु. अर्ी आहे .
येथे d=50रु.आहे म्हणून किले ली क्रकमका ही अिंकगकणती श्रेढी आहे .
a=10, d=50, tn= n=?
Page 18
tn = a+(n-1)
= 100+(n-1)×50
= n-1
50
n =
म्हणून 1200रु. चत मकहन्यात होईल.
3) 12,14,16,18,20.......या अिंकगकणतीश्रेढीच्या पकहल् या 100 पिािं ची ेरीज
करा.
कृती :- येथे a=12, d= n=100, S100=?
n
Sn= [ + ( n - 1 ) d ]
2
S100= [ 24+( 100 - 1 ) 2 ]
2
= 50 ( 24 + )
= 50 × 222
=
4) 1 ते 140 या िरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसकगशक सिंख्यािं ची ेरीज करा.
कृती :- 1 ते 140 या िरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसकगशक सिंख्या
4,8,12,16,......136 या आहे त.
येथे d=4 आहे म्हणून किले ली क्रकमका ही अिंकगकणती श्रेढी आहे .
a=4, d=4, tn=136, Sn= ?
tn = a+(n-1)d
= 4+(n-1)×4
= (n-1)×4
n =
n
आता Sn = + [a + tn]
2
Sn =17 ×
Sn =
म्हणून 1 ते 140 या िरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नै सकगशक सिंख्यािं ची ेरीज आहे .
= 100+(n-1)×50
= n-1
50
n =
म्हणून 1200रु. चत मकहन्यात होईल.
3) 12,14,16,18,20.......या अिंकगकणतीश्रेढीच्या पकहल् या 100 पिािं ची ेरीज
करा.
कृती :- येथे a=12, d= n=100, S100=?
n
Sn= [ + ( n - 1 ) d ]
2
S100= [ 24+( 100 - 1 ) 2 ]
2
= 50 ( 24 + )
= 50 × 222
=
4) 1 ते 140 या िरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसकगशक सिंख्यािं ची ेरीज करा.
कृती :- 1 ते 140 या िरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नैसकगशक सिंख्या
4,8,12,16,......136 या आहे त.
येथे d=4 आहे म्हणून किले ली क्रकमका ही अिंकगकणती श्रेढी आहे .
a=4, d=4, tn=136, Sn= ?
tn = a+(n-1)d
= 4+(n-1)×4
= (n-1)×4
n =
n
आता Sn = + [a + tn]
2
Sn =17 ×
Sn =
म्हणून 1 ते 140 या िरम्यानच्या 4 ने भाग जाणाऱ्या नै सकगशक सिंख्यािं ची ेरीज आहे .
Page 19
5) 301 ही सिंख्या 5,11,17,23,......या क्रकमकेचे पि असे ल का ते तपासा.
कृती :- येथे 5,11,17,23,....... या क्रकमकेत d= आहे त्यामुळे किले ली
क्रकमका ही अिंकगकणती श्रेढी आहे .
a=5 आकण असून समजा 301 ही सिंख्या या अिंकगकणती श्रे ढीचे n वे पि
आहे .
tn = a+(n-1)
301 = 5+(n-1)×6
301 = 6n-1
n= 6 =
302
परिं तु n हा धन पू णाां क येत नाही त्यामुळे 301 ही सिंख्या 5,11,17,23,......या
क्रकमकेचे पि .
B) खालील उपप्रश्न सोडवा.
1. जर a=6 आकण d=3 तर S10 काढा.
2. 12,16,20,24......या अिंकगकणती श्रेढीचे 25 वे पि काढा.
3. एका क्रकमकेचे nवे पि tn=2n-5 असेल तर कतची पकहली पाच पिे काढा.
4. 4 ने भाग जाणाऱ्या तीन अिंकी नैसकगशक सिंख्यािं ची ेरीज काढा.
5. मेरीला िरमहा 15000 रु. पगाराची नोकरी कमळाली,जर कतला िरमहा 100 रु.
पगारवाढ कमळत असेल तर 20 मकहन्यािं निंतर मेरीचा पगार कककत होईल?
6. 5,8,11,14...... या क्रकमकेचे n वे पि 68 आहे तर n ची ककिंमत काढा.
7. 1 ते 50 मधील सवश कवषम सिंख्यािं ची ेरीज करा.
8. एका अिंकगकणती श्रेढीसाठी t4=12 आकण d= -10 तर tn काढा.
9. 5,2,-1,-4.......या क्रकमकेचे 27 वे पि आकण n वे पि काढा.
10. t8=3, t12=52 या अिंकगकणती श्रेढीचे प्रथम पि व साधारण फरक काढा.
कृती :- येथे 5,11,17,23,....... या क्रकमकेत d= आहे त्यामुळे किले ली
क्रकमका ही अिंकगकणती श्रेढी आहे .
a=5 आकण असून समजा 301 ही सिंख्या या अिंकगकणती श्रे ढीचे n वे पि
आहे .
tn = a+(n-1)
301 = 5+(n-1)×6
301 = 6n-1
n= 6 =
302
परिं तु n हा धन पू णाां क येत नाही त्यामुळे 301 ही सिंख्या 5,11,17,23,......या
क्रकमकेचे पि .
B) खालील उपप्रश्न सोडवा.
1. जर a=6 आकण d=3 तर S10 काढा.
2. 12,16,20,24......या अिंकगकणती श्रेढीचे 25 वे पि काढा.
3. एका क्रकमकेचे nवे पि tn=2n-5 असेल तर कतची पकहली पाच पिे काढा.
4. 4 ने भाग जाणाऱ्या तीन अिंकी नैसकगशक सिंख्यािं ची ेरीज काढा.
5. मेरीला िरमहा 15000 रु. पगाराची नोकरी कमळाली,जर कतला िरमहा 100 रु.
पगारवाढ कमळत असेल तर 20 मकहन्यािं निंतर मेरीचा पगार कककत होईल?
6. 5,8,11,14...... या क्रकमकेचे n वे पि 68 आहे तर n ची ककिंमत काढा.
7. 1 ते 50 मधील सवश कवषम सिंख्यािं ची ेरीज करा.
8. एका अिंकगकणती श्रेढीसाठी t4=12 आकण d= -10 तर tn काढा.
9. 5,2,-1,-4.......या क्रकमकेचे 27 वे पि आकण n वे पि काढा.
10. t8=3, t12=52 या अिंकगकणती श्रेढीचे प्रथम पि व साधारण फरक काढा.
Page 20
4 गु िांचे प्रश्न
खालील उपप्रश्न सोडवा.
1. एका अिंकगकणती श्रेढीच्या पकहल् या 55 पिािं ची ेरीज 3300 आहे तर कतचे 28 वे
पि काढा.
2. 1 ते 140 मधील 4 ने भाग जाणाऱ्या सवश सिंख्यािं ची ेरीज करा.
3. र्वशरीने एका मकहला चत गटात मकहन्याच्या पकहल् या किवर्ी 2 रु., िु सऱ्या
किवर्ी 4 रु., व कतसऱ्या किवर्ी 6 रु. अश्या तऱ्हे ने पैसे गुिंतकवल् यास कतची
फेब्रुवारी 2010 या मकहन्याची एकूण चत ककती?
4. 1+3+5+-------+101 या 1 ते 101 पयांत कवषम नैसकगशक सिंख्यािं ची ेरीज
करा.
5. र्ुभिंकरने राष्टरीय चत प्रमाणपिामध्ये काही रक्कम गुिंतकवली.पकहल् या वषी 500रु.,
िु सऱ्या वषी 700रु., कतसऱ्या वषी 900रु. याप्रमाणे रक्कम गुिंतकवल् यास 12 वषाश त
गुिंतकवले ली एकूण रक्कम काढा.
6. एका व्यापाऱ्याने 1000रु. कजाश ऊ घेतले व त्यावरील 140रु. व्याज व मुद्दल 12
हप्त्यात परत करण्याचे क ुल केले .प्रत्येक हप्त्याची रक्कम अगोिरच्या हप्त्यापेक्षा
10रु. कमी आहे तर त्याने पकहल् या हप्त्यात ककती रक्कम परतफेड केली?
7. एका अिंकगकणती श्रेढीमध्ये S41=4510 असेल तर t21 ची ककिंमत काढा.
8. एका अिंकगकणती श्रेढीमध्ये t10=57 व t15=87 असल् यास t21 काढा.
9. 3900 रुपये 12 हप्त्याने असे परत केले की प्रत्येक हप्ता हा आधीच्या हप्त्यापेक्षा
10 रुपये जास्त होता तर पकहला व र्ेवटचा हप्ता ककती रुपयािं चा होता?
1 1 1
10. , , या क्रकमकेची पुढील 4 पिे र्ोधा आकण Sn काढा.
6 4 3
प्रकरण : संभाव्यता
प्र.1 (A) पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी ४ पयाायी उत्तरे दिली आहेत. त्यापैकी अचूक उत्तराचा
पयााय निवडू ि त्याचे वणााक्षर नलहा.
(1 गुणांचे प्रश्न)
खालील उपप्रश्न सोडवा.
1. एका अिंकगकणती श्रेढीच्या पकहल् या 55 पिािं ची ेरीज 3300 आहे तर कतचे 28 वे
पि काढा.
2. 1 ते 140 मधील 4 ने भाग जाणाऱ्या सवश सिंख्यािं ची ेरीज करा.
3. र्वशरीने एका मकहला चत गटात मकहन्याच्या पकहल् या किवर्ी 2 रु., िु सऱ्या
किवर्ी 4 रु., व कतसऱ्या किवर्ी 6 रु. अश्या तऱ्हे ने पैसे गुिंतकवल् यास कतची
फेब्रुवारी 2010 या मकहन्याची एकूण चत ककती?
4. 1+3+5+-------+101 या 1 ते 101 पयांत कवषम नैसकगशक सिंख्यािं ची ेरीज
करा.
5. र्ुभिंकरने राष्टरीय चत प्रमाणपिामध्ये काही रक्कम गुिंतकवली.पकहल् या वषी 500रु.,
िु सऱ्या वषी 700रु., कतसऱ्या वषी 900रु. याप्रमाणे रक्कम गुिंतकवल् यास 12 वषाश त
गुिंतकवले ली एकूण रक्कम काढा.
6. एका व्यापाऱ्याने 1000रु. कजाश ऊ घेतले व त्यावरील 140रु. व्याज व मुद्दल 12
हप्त्यात परत करण्याचे क ुल केले .प्रत्येक हप्त्याची रक्कम अगोिरच्या हप्त्यापेक्षा
10रु. कमी आहे तर त्याने पकहल् या हप्त्यात ककती रक्कम परतफेड केली?
7. एका अिंकगकणती श्रेढीमध्ये S41=4510 असेल तर t21 ची ककिंमत काढा.
8. एका अिंकगकणती श्रेढीमध्ये t10=57 व t15=87 असल् यास t21 काढा.
9. 3900 रुपये 12 हप्त्याने असे परत केले की प्रत्येक हप्ता हा आधीच्या हप्त्यापेक्षा
10 रुपये जास्त होता तर पकहला व र्ेवटचा हप्ता ककती रुपयािं चा होता?
1 1 1
10. , , या क्रकमकेची पुढील 4 पिे र्ोधा आकण Sn काढा.
6 4 3
प्रकरण : संभाव्यता
प्र.1 (A) पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी ४ पयाायी उत्तरे दिली आहेत. त्यापैकी अचूक उत्तराचा
पयााय निवडू ि त्याचे वणााक्षर नलहा.
(1 गुणांचे प्रश्न)
Page 21
1) खालील पयाायांपैकी कोणती संभाव्यता असू शकणार िाही?.
A) 0.66 B) 1.5 C) 0.15 D) 0.7
1
2) जर n(A) = 5 , P(A)=2 तर n(s) = ?
3 4 1
A) 10 B) C) D) 3
5 5
3) एक फासा फे कला असता िमुिा अवकाशातील िमुिा घटकांची संख्या ......... आहे.
A) 4 B) 6 C) 2 D) 52
4) पत्यांच्या कॅ टमधूि एक पत्ता यािृनच्िक पद्धतीिे निवडायचा आहे. या प्रयोगात दकती शक्यता
आहेत?
A) 4 B) 1 C) 26 D) 52
5) 1 ते 50 यांमधूि निवडलेली संख्या मूळ संख्या असण्याची संभाव्यता ...... असेल?
3 1 1 3
A) B) 2 C) D)
10 4 25
6) खालील पयाायांपैकी कोणता पयााय सवाात जास्त संभाव्यता िशावतो .
4 1
A) B) 0.83 C) 58% D)
5 2
7) िोि फासे फे कले असता िमुिा घटकांची संख्या ........ आहे.
A) 6 B) 26 C) 36 D) 52
प्र.1 (B) खालील उपप्रश्न सोडवा. ( 1 गुणांचे प्रश्न )
1) िोि िाणी एकाच वेळी फे कली असता िमुिा अवकाश नलहा.
2) एक फासा फे कला असता िमुिा अवकाश नलहा.
3) 1 ते 25 संख्या नलनहलेल्या काडाांच्या संचातूि एक काडा काढणे या यािृनच्िक प्रयोगासाठी
िमुिा अवकाश नलहा.
4) अंकांची पुिरावृत्ती ि करता 2,3,5 या अंकापासूि िोि अंकी संख्या तयार के ली तर िमुिा
अवकाश नलहा.
5) खालील प्रयोगासाठी घटिा संच स्वरूपात नलहा.
एक फासा टाकला असता वरच्या पृष्ठभागावर समसंख्या नमळणे.
A) 0.66 B) 1.5 C) 0.15 D) 0.7
1
2) जर n(A) = 5 , P(A)=2 तर n(s) = ?
3 4 1
A) 10 B) C) D) 3
5 5
3) एक फासा फे कला असता िमुिा अवकाशातील िमुिा घटकांची संख्या ......... आहे.
A) 4 B) 6 C) 2 D) 52
4) पत्यांच्या कॅ टमधूि एक पत्ता यािृनच्िक पद्धतीिे निवडायचा आहे. या प्रयोगात दकती शक्यता
आहेत?
A) 4 B) 1 C) 26 D) 52
5) 1 ते 50 यांमधूि निवडलेली संख्या मूळ संख्या असण्याची संभाव्यता ...... असेल?
3 1 1 3
A) B) 2 C) D)
10 4 25
6) खालील पयाायांपैकी कोणता पयााय सवाात जास्त संभाव्यता िशावतो .
4 1
A) B) 0.83 C) 58% D)
5 2
7) िोि फासे फे कले असता िमुिा घटकांची संख्या ........ आहे.
A) 6 B) 26 C) 36 D) 52
प्र.1 (B) खालील उपप्रश्न सोडवा. ( 1 गुणांचे प्रश्न )
1) िोि िाणी एकाच वेळी फे कली असता िमुिा अवकाश नलहा.
2) एक फासा फे कला असता िमुिा अवकाश नलहा.
3) 1 ते 25 संख्या नलनहलेल्या काडाांच्या संचातूि एक काडा काढणे या यािृनच्िक प्रयोगासाठी
िमुिा अवकाश नलहा.
4) अंकांची पुिरावृत्ती ि करता 2,3,5 या अंकापासूि िोि अंकी संख्या तयार के ली तर िमुिा
अवकाश नलहा.
5) खालील प्रयोगासाठी घटिा संच स्वरूपात नलहा.
एक फासा टाकला असता वरच्या पृष्ठभागावर समसंख्या नमळणे.
Page 22
प्र.2 (A) खालील कृ ती पूणा करा. ( 2 गुणांचे प्रश्न )
1) एक फासा टाकला असता पुढील घटिेची संभाव्यता काढणेसाठी खालील कृ ती पूणा करा.
घटिा A : वरच्या पृष्ठभागावर मुळ संख्या नमळणे.
कृ ती : समजा ‘S’ िमुिा अवकाश आहे.
S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6
घटिा A : वरच्या पृष्ठभागावर मुळ संख्या नमळणे.
A={ } n(A) = 3
P(A) = ………… सूत्र
𝑛(𝑆)
=
6
1
∴ P(A) =
2) ‘िोि िाणी एकाच वेळी फे कणे’ या प्रयोगासाठी िमुिा अवकाश (S) व दिलेल्या घटिातील
अपेनक्षत निष्पती नलहूि कृ ती
पूणा करा.
i) घटिा A : ही कमीतकमी एक िापा नमळण्याची आहे.
ii) घटिा B : ही एकही िापा ि नमळण्याची आहे.
कृ ती : िोि िाणी एकाच वेळी फे कली.
∴ S = { , HT, TH, }
i) घटिा A : ही कमीतकमी एक िापा नमळण्याची आहे.
∴ A = { HH, , TH }
ii) घटिा B : ही एकही िापा ि नमळण्याची आहे.
∴ B={ }
3) योग्य ररतीिे नपसलेल्या 52 पत्तयांचा कॅ ट मधूि एक पत्ता काढला, तर पुढील घटिेची संभाव्यता
काढा.
i) घटिा A : तो पत्ता लाल असणे.
कृ ती : समजा िमुिा अवकाश ‘S’ आहे.
घटिा A : काढलेला पत्ता लाल असणे.
∴ एकू ण लाल पत्ते = चौकट पत्ते + 13 बिाम पत्ते
∴ n(A) =
∴ P(A) = 𝑛(𝑆) ………… सूत्र
26
P(A) =
52
P(A) =
1) एक फासा टाकला असता पुढील घटिेची संभाव्यता काढणेसाठी खालील कृ ती पूणा करा.
घटिा A : वरच्या पृष्ठभागावर मुळ संख्या नमळणे.
कृ ती : समजा ‘S’ िमुिा अवकाश आहे.
S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6
घटिा A : वरच्या पृष्ठभागावर मुळ संख्या नमळणे.
A={ } n(A) = 3
P(A) = ………… सूत्र
𝑛(𝑆)
=
6
1
∴ P(A) =
2) ‘िोि िाणी एकाच वेळी फे कणे’ या प्रयोगासाठी िमुिा अवकाश (S) व दिलेल्या घटिातील
अपेनक्षत निष्पती नलहूि कृ ती
पूणा करा.
i) घटिा A : ही कमीतकमी एक िापा नमळण्याची आहे.
ii) घटिा B : ही एकही िापा ि नमळण्याची आहे.
कृ ती : िोि िाणी एकाच वेळी फे कली.
∴ S = { , HT, TH, }
i) घटिा A : ही कमीतकमी एक िापा नमळण्याची आहे.
∴ A = { HH, , TH }
ii) घटिा B : ही एकही िापा ि नमळण्याची आहे.
∴ B={ }
3) योग्य ररतीिे नपसलेल्या 52 पत्तयांचा कॅ ट मधूि एक पत्ता काढला, तर पुढील घटिेची संभाव्यता
काढा.
i) घटिा A : तो पत्ता लाल असणे.
कृ ती : समजा िमुिा अवकाश ‘S’ आहे.
घटिा A : काढलेला पत्ता लाल असणे.
∴ एकू ण लाल पत्ते = चौकट पत्ते + 13 बिाम पत्ते
∴ n(A) =
∴ P(A) = 𝑛(𝑆) ………… सूत्र
26
P(A) =
52
P(A) =
Page 23
4) आिशा हायस्कू ल मधील एका वगाातील 30 नवद्यार्थयाापैकी 3 नवद्यार्थी चष्मा
वापरतात. वगाातील एक नवद्यार्थी यािृनच्िक पद्धतीिे निवडला, तर तो चष्मा
वापरणारा असल्याची संभाव्यता काढण्यासाठी पुढील कृ ती पूणा करा.
कृ ती : वगाात एकू ण 30 नवद्यार्थी आहेत.
∴ n(S) =
घटिा A : निवडलेला नवद्यार्थी चष्मा वापरतो.
∴ n(A) =
P(A) = ………… सूत्र
𝑛(𝑆)
P(A) =
प्र.2 (B) खालील उपप्रश्न सोडवा. ( 2 गुणांचे प्रश्न )
1) योग्य ररतीिे नपसलेल्या 52 पत्तयांचा कॅ ट मधूि एक पत्ता यािृनच्िक पद्धतीिे काढला, तर तो
इनस्पकचा असणे या घटिेची संभाव्यता काढा.
2) िोि िाणी एकाच वेळी फे कली असता, िोन्ही िाण्यांवर िाप नमळणे या घटिेची संभाव्यता
काढा.
3) एक फासा टाकला असता, वरच्या पृष्ठभागावरील अंक 6 पेक्षा मोठा असण्याची संभाव्यता
काढा.
4) तीि िाणी फे कली असता, िाप ि नमळण्याची संभाव्यता काढा.
5) एका खोक्यात 1 ते 30 संख्या नलनहलेली 30 काडे आहेत. त्यातूि कोणतेही एक काडा
यािृनच्िक पद्धतीिे काढले असता, ‘काडाावरील संख्या 5 च्या पटीत असण्याची’ संभाव्यता
काढा.
प्र.3 (A) खालील कृ ती पूणा करा. ( 3 गुणांचे प्रश्न )
1) एका खोक्यात 5 स्रॉबेरीची, 6 कॉफीची व 2 पेपरममंटची चॉकलेट्स आहेत. त्या खोक्यातील
एक चॉकलेट काढले तर खालील घटिांची संभाव्यता काढण्यासाठी कृ ती पूणा करा.
घटिा A : काढलेले चॉकलेट कॉफीचे असणे.
घटिा B : काढलेले चॉकलेट पेपरममंटचे असणे.
कृ ती : समजा िमुिा अवकाश ‘S’ आहे.
∴ n(S) = 5+6+2 = 13
वापरतात. वगाातील एक नवद्यार्थी यािृनच्िक पद्धतीिे निवडला, तर तो चष्मा
वापरणारा असल्याची संभाव्यता काढण्यासाठी पुढील कृ ती पूणा करा.
कृ ती : वगाात एकू ण 30 नवद्यार्थी आहेत.
∴ n(S) =
घटिा A : निवडलेला नवद्यार्थी चष्मा वापरतो.
∴ n(A) =
P(A) = ………… सूत्र
𝑛(𝑆)
P(A) =
प्र.2 (B) खालील उपप्रश्न सोडवा. ( 2 गुणांचे प्रश्न )
1) योग्य ररतीिे नपसलेल्या 52 पत्तयांचा कॅ ट मधूि एक पत्ता यािृनच्िक पद्धतीिे काढला, तर तो
इनस्पकचा असणे या घटिेची संभाव्यता काढा.
2) िोि िाणी एकाच वेळी फे कली असता, िोन्ही िाण्यांवर िाप नमळणे या घटिेची संभाव्यता
काढा.
3) एक फासा टाकला असता, वरच्या पृष्ठभागावरील अंक 6 पेक्षा मोठा असण्याची संभाव्यता
काढा.
4) तीि िाणी फे कली असता, िाप ि नमळण्याची संभाव्यता काढा.
5) एका खोक्यात 1 ते 30 संख्या नलनहलेली 30 काडे आहेत. त्यातूि कोणतेही एक काडा
यािृनच्िक पद्धतीिे काढले असता, ‘काडाावरील संख्या 5 च्या पटीत असण्याची’ संभाव्यता
काढा.
प्र.3 (A) खालील कृ ती पूणा करा. ( 3 गुणांचे प्रश्न )
1) एका खोक्यात 5 स्रॉबेरीची, 6 कॉफीची व 2 पेपरममंटची चॉकलेट्स आहेत. त्या खोक्यातील
एक चॉकलेट काढले तर खालील घटिांची संभाव्यता काढण्यासाठी कृ ती पूणा करा.
घटिा A : काढलेले चॉकलेट कॉफीचे असणे.
घटिा B : काढलेले चॉकलेट पेपरममंटचे असणे.
कृ ती : समजा िमुिा अवकाश ‘S’ आहे.
∴ n(S) = 5+6+2 = 13
Page 24
घटिा A : काढलेले चॉकलेट कॉफीचे असणे.
∴ n(A) =
∴ P(A) = ………… सूत्र
𝑛(𝑆)
P(A) = 13
घटिा B : काढलेले चॉकलेट पेपरममंटचे असणे.
∴ n(B) =
∴ P(B) = ………… सूत्र
𝑛(𝑆)
P(B) = 13
प्र.3 (B) खालील उपप्रश्न सोडवा. ( 3 गुणांचे प्रश्न )
1) िोि फासे एकाचवेळी टाकले असता खालील घटिांची संभाव्यता काढा.
i)घटिा A : पृष्ठभागावरील अंकांची बेरीज कमीतकमी 10 असणे.
ii)घटिा B : पृष्ठभागावरील अंकांची बेरीज 33 असणे.
2) तीि िाणी एकाचवेळी फे कली असता, पुढील घटिांची संभाव्यता काढा.
i) घटिा A : एकही िापा ि नमळणे.
ii) घटिा B : कमीत कमी िोि िाप नमळणे.
3) एक िाणे व एक फासा एकाचवेळी फे कले असता, पुढील घटिांची संभाव्यता काढा.
i) घटिा A : काटा व सम संख्या नमळणे.
ii) घटिा B : िापा व नवषम संख्या नमळणे.
4) फु गेवाला 2 लाल, 3 निळे आनण 4 नहरवे अशा रं गीत फु ग्यातील एक फु गा प्रणालीला
यािृनच्िक पद्धतीिे िेणार आहे, तर पुढील घटिांची संभाव्यता काढा.
i) नमळालेला फु गा लाल असणे.
ii) नमळालेला फु गा निळा असणे.
प्र.4 खालील उपप्रश्न सोडवा. (4 गुणांचे प्रश्न )
1) एका साधारण वषाात 53 रनववार येण्याची संभाव्यता काढा.
∴ n(A) =
∴ P(A) = ………… सूत्र
𝑛(𝑆)
P(A) = 13
घटिा B : काढलेले चॉकलेट पेपरममंटचे असणे.
∴ n(B) =
∴ P(B) = ………… सूत्र
𝑛(𝑆)
P(B) = 13
प्र.3 (B) खालील उपप्रश्न सोडवा. ( 3 गुणांचे प्रश्न )
1) िोि फासे एकाचवेळी टाकले असता खालील घटिांची संभाव्यता काढा.
i)घटिा A : पृष्ठभागावरील अंकांची बेरीज कमीतकमी 10 असणे.
ii)घटिा B : पृष्ठभागावरील अंकांची बेरीज 33 असणे.
2) तीि िाणी एकाचवेळी फे कली असता, पुढील घटिांची संभाव्यता काढा.
i) घटिा A : एकही िापा ि नमळणे.
ii) घटिा B : कमीत कमी िोि िाप नमळणे.
3) एक िाणे व एक फासा एकाचवेळी फे कले असता, पुढील घटिांची संभाव्यता काढा.
i) घटिा A : काटा व सम संख्या नमळणे.
ii) घटिा B : िापा व नवषम संख्या नमळणे.
4) फु गेवाला 2 लाल, 3 निळे आनण 4 नहरवे अशा रं गीत फु ग्यातील एक फु गा प्रणालीला
यािृनच्िक पद्धतीिे िेणार आहे, तर पुढील घटिांची संभाव्यता काढा.
i) नमळालेला फु गा लाल असणे.
ii) नमळालेला फु गा निळा असणे.
प्र.4 खालील उपप्रश्न सोडवा. (4 गुणांचे प्रश्न )
1) एका साधारण वषाात 53 रनववार येण्याची संभाव्यता काढा.
Page 25
2) एका नलपवषाात वषाात 53 रनववार येण्याची संभाव्यता काढा.
3) प्रत्येक काडाावर एक याप्रमाणे 1 ते 36 या संख्या नलहूि तयार के लेली 36 काडा खोक्यात ठे वली आहेत,
तर पुढील प्रत्येक घटिेची संभाव्यता काढा.
i) काढलेल्या काडाावरील संख्या पूणा वगा असणे.
ii) काढलेल्या काडाावरील संख्या मूळ संख्या असणे.
iii) काढलेल्या काडाावरील संख्या 3 ची नवभाज्य संख्या असणे.
प्र.5 3 गुणांचे सृजिात्मक प्रश्न
1) एका नपशवीत 5 पांढरे चेंडू आनण काही निळे चेंडू आहेत, जर निळा चेंडू काढण्याची संभाव्यता पांढरा
चेंडू काढण्याच्या संभाव्यतेपेक्षा िुप्पट असेल, तर नपशवीतील निळ्या चेंडूची संभाव्यता काढा.
2) एका फाश्याच्या वरच्या पृष्ठभागावर 0,1,2,3,4,5 हे अंक असतील आनण तो फासा िोििा फे कला
असेल, तर वरच्या पृष्ठभागावर येणा-या अंकांचा गुणाकार शून्य असण्याची संभाव्यता काढा.
3) एक भरकटलेले हेनलकॉप्टर आकृ तीत िाखवलेल्या प्रमाणे आयताकृ ती जागेत पडले आनण असे समजते ते
हेनलकॉप्टर आकृ तीत िाखवलेल्या तळ्यात पडण्याची संभाव्यता दकती?
4) A,B,C, हे तीि घोडे एका शयातीत आहेत. A घोडा मजंकण्याची संभाव्यता B पेक्षा िुप्पट आहे. आनण B
घोडा मजंकण्याची संभाव्यता C घोड्याच्या संभाव्यतेपक्ष
े ा िुप्पट आहे, तर प्रत्येकाची मजंकण्याची
संभाव्यता काढा.
5) एका नपशवीत आठ लाल व काही निळे चेंडू आहेत. एक चेंडू यािृनच्िक पद्धतीिे काढला, तर लाल चेंडू
आनण निळा चेंडू यांच्या संभाव्यतेचे गुणोत्तर 2 : 5 आहे, तर निळ्या चेंडूची संभाव्यता काढा.
3) प्रत्येक काडाावर एक याप्रमाणे 1 ते 36 या संख्या नलहूि तयार के लेली 36 काडा खोक्यात ठे वली आहेत,
तर पुढील प्रत्येक घटिेची संभाव्यता काढा.
i) काढलेल्या काडाावरील संख्या पूणा वगा असणे.
ii) काढलेल्या काडाावरील संख्या मूळ संख्या असणे.
iii) काढलेल्या काडाावरील संख्या 3 ची नवभाज्य संख्या असणे.
प्र.5 3 गुणांचे सृजिात्मक प्रश्न
1) एका नपशवीत 5 पांढरे चेंडू आनण काही निळे चेंडू आहेत, जर निळा चेंडू काढण्याची संभाव्यता पांढरा
चेंडू काढण्याच्या संभाव्यतेपेक्षा िुप्पट असेल, तर नपशवीतील निळ्या चेंडूची संभाव्यता काढा.
2) एका फाश्याच्या वरच्या पृष्ठभागावर 0,1,2,3,4,5 हे अंक असतील आनण तो फासा िोििा फे कला
असेल, तर वरच्या पृष्ठभागावर येणा-या अंकांचा गुणाकार शून्य असण्याची संभाव्यता काढा.
3) एक भरकटलेले हेनलकॉप्टर आकृ तीत िाखवलेल्या प्रमाणे आयताकृ ती जागेत पडले आनण असे समजते ते
हेनलकॉप्टर आकृ तीत िाखवलेल्या तळ्यात पडण्याची संभाव्यता दकती?
4) A,B,C, हे तीि घोडे एका शयातीत आहेत. A घोडा मजंकण्याची संभाव्यता B पेक्षा िुप्पट आहे. आनण B
घोडा मजंकण्याची संभाव्यता C घोड्याच्या संभाव्यतेपक्ष
े ा िुप्पट आहे, तर प्रत्येकाची मजंकण्याची
संभाव्यता काढा.
5) एका नपशवीत आठ लाल व काही निळे चेंडू आहेत. एक चेंडू यािृनच्िक पद्धतीिे काढला, तर लाल चेंडू
आनण निळा चेंडू यांच्या संभाव्यतेचे गुणोत्तर 2 : 5 आहे, तर निळ्या चेंडूची संभाव्यता काढा.
Page 26
महाराष्ट्र शासन
शालेय शशक्षण व क्रीडा शवभाग
राज्य शैक्षशणक सश
ं ोधन व प्रशशक्षण पररषद, महाराष्ट्र
७०८ सदाशिव पेठ, कुमठे कर मार्ग, पुणे ४११०३०
संपकग क्रमांक (020) 2447 6938 E mail: [email protected]
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Question Bank
Standard :- 10th
Subject :- र्शणत भार् 2
सूचना
१. फक्त शवद्यार्थ्यांना प्रश्नप्रकारांचा सराव करून देण्यासाठीच
२. सदर प्रश्नसंचातील प्रश्न बोर्डाच्या प्रश्नपशिकेत येतीलच असे नाही
याची नोंद घ्यावी.
शालेय शशक्षण व क्रीडा शवभाग
राज्य शैक्षशणक सश
ं ोधन व प्रशशक्षण पररषद, महाराष्ट्र
७०८ सदाशिव पेठ, कुमठे कर मार्ग, पुणे ४११०३०
संपकग क्रमांक (020) 2447 6938 E mail: [email protected]
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Question Bank
Standard :- 10th
Subject :- र्शणत भार् 2
सूचना
१. फक्त शवद्यार्थ्यांना प्रश्नप्रकारांचा सराव करून देण्यासाठीच
२. सदर प्रश्नसंचातील प्रश्न बोर्डाच्या प्रश्नपशिकेत येतीलच असे नाही
याची नोंद घ्यावी.
Page 27
प्रकरण : समरुपता
Q.1 A) बहुपर्यार्ी प्रश्न ( 1 गुण )
1.जर ∆ABC~ ∆PQR आणण AB: PQ = 3: 4 तर A(∆ABC): A(∆PQR) = किती
(A)9:25 (B) 9:16 (C) 16:9 (D)25:9
2.खयलीलपैिी िोणती िसोटी समरूपतेची नयही
(A)िोिोिो (B)बयिोबय (C) बयिोिो (D)बयबयबय
3.जर ∆XYZ ~ ∆PQR आणण A(∆XYZ ) = 25 चौसेमी , A(∆PQR) =
4 चौसेमी तर XY: PQ =?
(A) 4:25 (B)2:5 (C) 5:2 (D)25:4
4.दोन समरूप णििोणयच्र्य क्षेिफळयांचे गुणोत्तर 9 :25 असेल तर तर्यांच्र्य सांगत बयजांचे गुणोत्तर
किती ?
(A)3:4 (B)3 :5 (C) 5:3 (D)25:81
5. जर ∆ABC~ ∆DEF आणण ⦟A = 45° , ⦟E = 35° असल्र्यस ⦟B चे मयप किती
(A) 45° (B)35° (C)25° (D) 40°
6. आिृ तीमध्र्े रे ख DE ⃦ रे ख BCतर पुढील पैिी सतर् णिधयन िोणते?
AD AE AD AB
(A)DB =AC (B)DB =AC
AD EC AD AE
(C) DB =AC (D) DB =EC
Q.1 A) बहुपर्यार्ी प्रश्न ( 1 गुण )
1.जर ∆ABC~ ∆PQR आणण AB: PQ = 3: 4 तर A(∆ABC): A(∆PQR) = किती
(A)9:25 (B) 9:16 (C) 16:9 (D)25:9
2.खयलीलपैिी िोणती िसोटी समरूपतेची नयही
(A)िोिोिो (B)बयिोबय (C) बयिोिो (D)बयबयबय
3.जर ∆XYZ ~ ∆PQR आणण A(∆XYZ ) = 25 चौसेमी , A(∆PQR) =
4 चौसेमी तर XY: PQ =?
(A) 4:25 (B)2:5 (C) 5:2 (D)25:4
4.दोन समरूप णििोणयच्र्य क्षेिफळयांचे गुणोत्तर 9 :25 असेल तर तर्यांच्र्य सांगत बयजांचे गुणोत्तर
किती ?
(A)3:4 (B)3 :5 (C) 5:3 (D)25:81
5. जर ∆ABC~ ∆DEF आणण ⦟A = 45° , ⦟E = 35° असल्र्यस ⦟B चे मयप किती
(A) 45° (B)35° (C)25° (D) 40°
6. आिृ तीमध्र्े रे ख DE ⃦ रे ख BCतर पुढील पैिी सतर् णिधयन िोणते?
AD AE AD AB
(A)DB =AC (B)DB =AC
AD EC AD AE
(C) DB =AC (D) DB =EC
Page 28
XY YZ
7.जर∆XYZ~ ∆PQR तर PQ=QR =?
XZ XZ XZ YZ
(A) PR (B)PQ (C) QR (D) PQ
8. जर ∆ABC~ ∆LMN आणण⦟A = 60° असल्र्यस ⦟L =?
(A) 45° (B)60° (C)25° (D) 40°
DE FE
9. ∆DEF ि ∆XYZ मध्र्े =YZ आणण ⦟E ≅ ⦟Y तर ∆DEF ि ∆XYZ हे िोणतर्य
XY
िसोटी नुसयर समरूप होतील?
(A)िोिोिो (B)बयिोबय
(C) बयिोिो (D)बयबयबय
A(∆ABC)
10. आिृ ती मध्र्े BD=8, BC=12 B-D-C तर =?
A(∆ABD)
(A)2:3 (B)3:2
(C) 5:3 (D)3:4
Q.1 B) 1 गुण
आिृ तीमधील णििोण समरूप आहे िय ? असतील तर िोणतर्य िसोटीनुसयर?
7.जर∆XYZ~ ∆PQR तर PQ=QR =?
XZ XZ XZ YZ
(A) PR (B)PQ (C) QR (D) PQ
8. जर ∆ABC~ ∆LMN आणण⦟A = 60° असल्र्यस ⦟L =?
(A) 45° (B)60° (C)25° (D) 40°
DE FE
9. ∆DEF ि ∆XYZ मध्र्े =YZ आणण ⦟E ≅ ⦟Y तर ∆DEF ि ∆XYZ हे िोणतर्य
XY
िसोटी नुसयर समरूप होतील?
(A)िोिोिो (B)बयिोबय
(C) बयिोिो (D)बयबयबय
A(∆ABC)
10. आिृ ती मध्र्े BD=8, BC=12 B-D-C तर =?
A(∆ABD)
(A)2:3 (B)3:2
(C) 5:3 (D)3:4
Q.1 B) 1 गुण
आिृ तीमधील णििोण समरूप आहे िय ? असतील तर िोणतर्य िसोटीनुसयर?
Page 29
2. आिृ तीमध्र्े रे षय BC ⃦ रेषय DE, AB=2 ,BD=3 ,AC=4 ि CX= x तर x ची किां मत ियढय .
3.आिृ तीचे णनरीक्षण िरून णििोण समरूप आहेत िय ?ते ठरिय . असल्र्यस समरूप िसोटी णलहय
P x ⦟P = 35° , ⦟x = 35° ि ⦟Q = 60°, ⦟Y =
Y Z
Q 60° R
4. ∆ABC~ ∆LMN आणण ⦟B = 40° तर ⦟M चे मयप किती ? ि ियरण णलहय.
5.दोन समरूप णििोणयच्र्य क्षेिफळयांचे गुणोत्तर 144:49 असेल तर तर् णििोणयच्र्य सांगत बयजांचे गुणोत्तर
किती ?
6. ∆PQR~ ∆SUV तर तर्य णििोणयच्र्य एिरूप िोनयच्र्य जोड्यय णलहय
7. ∆ABC~ ∆DEF तर प्रमयणयत असणयऱ्र्य सांगत बयजु णलहय
8. R आिृ ती मध्र्े TP =10 सेमी PS=6 सेमी
A∆(RTP)
=?
A(∆RPS)
T P S
9. दोन समरूप णििोणयच्र्य सांगत बयजांचे गुणोत्तर 4:7 आहे तर तर्यांच्र्य क्षेिफळयचे गुणोत्तर किती ?
10. आिृ तीचे णनरीक्षण िरय ∆ABCि ∆PQR िोणतर्य िसोटीनुसयर समरूप आहेत ,िसोटी चे नयि णलहय
3.आिृ तीचे णनरीक्षण िरून णििोण समरूप आहेत िय ?ते ठरिय . असल्र्यस समरूप िसोटी णलहय
P x ⦟P = 35° , ⦟x = 35° ि ⦟Q = 60°, ⦟Y =
Y Z
Q 60° R
4. ∆ABC~ ∆LMN आणण ⦟B = 40° तर ⦟M चे मयप किती ? ि ियरण णलहय.
5.दोन समरूप णििोणयच्र्य क्षेिफळयांचे गुणोत्तर 144:49 असेल तर तर् णििोणयच्र्य सांगत बयजांचे गुणोत्तर
किती ?
6. ∆PQR~ ∆SUV तर तर्य णििोणयच्र्य एिरूप िोनयच्र्य जोड्यय णलहय
7. ∆ABC~ ∆DEF तर प्रमयणयत असणयऱ्र्य सांगत बयजु णलहय
8. R आिृ ती मध्र्े TP =10 सेमी PS=6 सेमी
A∆(RTP)
=?
A(∆RPS)
T P S
9. दोन समरूप णििोणयच्र्य सांगत बयजांचे गुणोत्तर 4:7 आहे तर तर्यांच्र्य क्षेिफळयचे गुणोत्तर किती ?
10. आिृ तीचे णनरीक्षण िरय ∆ABCि ∆PQR िोणतर्य िसोटीनुसयर समरूप आहेत ,िसोटी चे नयि णलहय
Page 30
Q.2 A.पुढील िृ ती पणा िरय 2 गुण
1. A शेजयरील आिृ ती मध्र्े BP लांब AC,CQ लांब AB A-P-C
P
Q आणण A-Q-B तर
∆APB ि ∆AQC समरूप दयखिय
B C ∆APB ि ∆AQCमध्र्े ⦟APB = [ ]0 … (𝐼)
⦟AQC = [ ]0 … (𝐼𝐼)
⦟APB ≅ ⦟AQC (I) ि (II) िरून
⦟PAB ≅ ⦟QAC [...........]
∆APB~ ∆AQC [..........]
2.आिृ तीचे णनरीक्षण िरून िृ ती पणा िरय
आिृ ती मध्र्े ⦟B = 750 , ⦟D = 750
⦟B ≅ [… . ] प्रतर्ेिी 750
⦟C ≅ ⦟C [....]
∆ABC~ ∆[........]
....[.....] समरूपतय िसोटी नुसयर
3. ∆ABC~ ∆PQR , A( ∆ABC)= 80चौएिि A(∆PQR) = 125 चौ एिि तर खयलील
िृ ती पणा िरय
A(∆ABC) 80 [….] AB […..]
= 125 = [….] म्हणन PQ=[…..]
A( ∆PQR)
1. A शेजयरील आिृ ती मध्र्े BP लांब AC,CQ लांब AB A-P-C
P
Q आणण A-Q-B तर
∆APB ि ∆AQC समरूप दयखिय
B C ∆APB ि ∆AQCमध्र्े ⦟APB = [ ]0 … (𝐼)
⦟AQC = [ ]0 … (𝐼𝐼)
⦟APB ≅ ⦟AQC (I) ि (II) िरून
⦟PAB ≅ ⦟QAC [...........]
∆APB~ ∆AQC [..........]
2.आिृ तीचे णनरीक्षण िरून िृ ती पणा िरय
आिृ ती मध्र्े ⦟B = 750 , ⦟D = 750
⦟B ≅ [… . ] प्रतर्ेिी 750
⦟C ≅ ⦟C [....]
∆ABC~ ∆[........]
....[.....] समरूपतय िसोटी नुसयर
3. ∆ABC~ ∆PQR , A( ∆ABC)= 80चौएिि A(∆PQR) = 125 चौ एिि तर खयलील
िृ ती पणा िरय
A(∆ABC) 80 [….] AB […..]
= 125 = [….] म्हणन PQ=[…..]
A( ∆PQR)
Page 31
4.आिृ ती मध्र्े PM=10 सेंमी A( ∆PQS)= 100 चौसेमी A( ∆QRS) =
110 चौसेमी तर NRची लयांबी ियढय
∆PQS ि ∆QRS र्यांचय रे ख QS हय सयमयणर्ि पयर्य आहे
सयमयणर्ि पयर्य असणयऱ्र्य णििोनयांची क्षेिफळे णह सांगत [.......] प्रमयणयत असतयत
A(∆PQS) [….] 100 [….]
= , = , NR = [.....] सेमी
A( ∆QRS) NR 110 NR
Q.2 B A 1. आिृ ती मध्र्े AB लांब BCआणण DC लांब BC AB=6, DC=4 तर
A(∆ABC)
=?
A(∆BCD)
B C
D
2. आिृ तीत रे ख AC ि रेख BD परस्परयांनय P बबांदत छेदतयत आणण
AP BP
A B = तर णसद्ध िरय ∆ABP~ ∆𝐶DP
PC PD
P
D C
110 चौसेमी तर NRची लयांबी ियढय
∆PQS ि ∆QRS र्यांचय रे ख QS हय सयमयणर्ि पयर्य आहे
सयमयणर्ि पयर्य असणयऱ्र्य णििोनयांची क्षेिफळे णह सांगत [.......] प्रमयणयत असतयत
A(∆PQS) [….] 100 [….]
= , = , NR = [.....] सेमी
A( ∆QRS) NR 110 NR
Q.2 B A 1. आिृ ती मध्र्े AB लांब BCआणण DC लांब BC AB=6, DC=4 तर
A(∆ABC)
=?
A(∆BCD)
B C
D
2. आिृ तीत रे ख AC ि रेख BD परस्परयांनय P बबांदत छेदतयत आणण
AP BP
A B = तर णसद्ध िरय ∆ABP~ ∆𝐶DP
PC PD
P
D C
Page 32
3. ∆ABP~ ∆DEF आणण A( ∆ABP): A(∆DEF) = 144: 81 तर AB: DE =?
4. कदलेल्र्य मयणहतीिरून रेषय PQ ⃦बयजु BC आहे िय ते ठरिय
A AP=2, PB=4 AQ=3,QC=6
P Q
B C
5. दोन समरूप णििोणयची क्षेिफळे 225 चौसेमी ,81 चौसेमी आहेत जर लहयन णििोणयची एि
बयजु 12 सेंमी असेल तर मोठ्यय णििोणयची सांगत बयजु ियढय
6. D आिृ ती मध्र्े कदलेल्र्य मयणहती िरून
A ⦟ABC = 90° ⦟DCB = 90° AB = 6,
A(∆ABC)
6 8 DC=8 तर =किती ?
A(∆BCD)
B C
Q.3A) िृ ती पणा िरय 3 गुण
1. ∆ABC मध्र्े APलांब BC ि BQ लांब AC B-P-C,A-Q-C तर
∆CPA~ ∆CQB दयखिय जर AP=7,BQ=8 BC=12 असल्र्यस
ACची किां मत ियढय (िृ ती पणा िरय)
∆CPAि ∆CQB मध्र्े ⦟CPA ≅ [⦟ … ].(प्रतर्ेिी900 )
. ⦟ACP ≅ [⦟ … ].(सयमयणर्ि िोन)
∆CPA~ ∆CQB (..........समरूपतय िसोटी )
AP [….]
= BC (समरूप णििोणयच्र्य सयांगत बयजु प्रमयणयत)
BQ
7 [….]
=
8 12
ACx[.....]=7x12 AC=10.5
4. कदलेल्र्य मयणहतीिरून रेषय PQ ⃦बयजु BC आहे िय ते ठरिय
A AP=2, PB=4 AQ=3,QC=6
P Q
B C
5. दोन समरूप णििोणयची क्षेिफळे 225 चौसेमी ,81 चौसेमी आहेत जर लहयन णििोणयची एि
बयजु 12 सेंमी असेल तर मोठ्यय णििोणयची सांगत बयजु ियढय
6. D आिृ ती मध्र्े कदलेल्र्य मयणहती िरून
A ⦟ABC = 90° ⦟DCB = 90° AB = 6,
A(∆ABC)
6 8 DC=8 तर =किती ?
A(∆BCD)
B C
Q.3A) िृ ती पणा िरय 3 गुण
1. ∆ABC मध्र्े APलांब BC ि BQ लांब AC B-P-C,A-Q-C तर
∆CPA~ ∆CQB दयखिय जर AP=7,BQ=8 BC=12 असल्र्यस
ACची किां मत ियढय (िृ ती पणा िरय)
∆CPAि ∆CQB मध्र्े ⦟CPA ≅ [⦟ … ].(प्रतर्ेिी900 )
. ⦟ACP ≅ [⦟ … ].(सयमयणर्ि िोन)
∆CPA~ ∆CQB (..........समरूपतय िसोटी )
AP [….]
= BC (समरूप णििोणयच्र्य सयांगत बयजु प्रमयणयत)
BQ
7 [….]
=
8 12
ACx[.....]=7x12 AC=10.5
Page 33
2. णििोणयच्र्य एिय बयजलय समयांतर असणयरी रे षय तर्यच्र्य उरलेल्र्य बयजन
ां य णिन्न बबांदत छेदत असेल तर ती
रे षय तर्य बयजन
ां य एियच प्रमयणयत णिियगते णसद्धतय पणा िरय
A पक्ष: ∆ABC मध्र्े रे षय l II बयजु BC आणण रे षय l णह बयजु AB लय P मध्र्े ि
बयजAC लय Q मध्र्े छेदते
AP AQ
P Q Q सयध्र्: PB = QC रचनय :रे ख BC ि रे ख BQ ियढय
णसद्धतय: ∆APQि ∆PQB
हे समयन उां चीचे णििोण आहेत
A(∆APQ)
B C
[….]
A( ∆PQB)
= PB (क्षेिफळे पयर्यांच्र्य प्रमयणयत)I
A(∆APQ) [….]
A( ∆PQC)
= QC (क्षेिफळे पयर्यांच्र्य प्रमयणयत)II
∆PQCि ∆PQB र्यांचय रे ख [.....] हय समयन
पयर्य आहे रे ख PQ II रे ख BC म्हणन : ∆APQि
∆PQB र्यची उां ची समयन आहे
𝐴(∆PQC)=A( ∆......)...........(III)
A(∆APQ) A(∆ …….)
A( ∆PQB)
= A( ∆ ……… ) ..............[(I),(II),ि (III)]
िरून
AP AQ
PB
= QC ............[(I) ि (II) िरून
आिृ ,तीत रे ख PQ II बयजु BC
3. A
AP= x +3 ,PB=x -3,AQ= x +5 ,QC=x-2
x+3 x+5
तर x ची किां मत ियढण्र्यसयठी पुढील िृ ती पणा
िरय ∆PQB मध्र्े रे ख PQ II बयजु BC
P Q
AP AQ
= [… ] ..........([...........])
PB
x-3 x-2
x+3 x+5
=
x−3 [… ]
B C
(x+3)[......]=(x+5)(x-3)
𝑥 2 +x-[....]=𝑥 2 +2x-15
x=[....]
ां य णिन्न बबांदत छेदत असेल तर ती
रे षय तर्य बयजन
ां य एियच प्रमयणयत णिियगते णसद्धतय पणा िरय
A पक्ष: ∆ABC मध्र्े रे षय l II बयजु BC आणण रे षय l णह बयजु AB लय P मध्र्े ि
बयजAC लय Q मध्र्े छेदते
AP AQ
P Q Q सयध्र्: PB = QC रचनय :रे ख BC ि रे ख BQ ियढय
णसद्धतय: ∆APQि ∆PQB
हे समयन उां चीचे णििोण आहेत
A(∆APQ)
B C
[….]
A( ∆PQB)
= PB (क्षेिफळे पयर्यांच्र्य प्रमयणयत)I
A(∆APQ) [….]
A( ∆PQC)
= QC (क्षेिफळे पयर्यांच्र्य प्रमयणयत)II
∆PQCि ∆PQB र्यांचय रे ख [.....] हय समयन
पयर्य आहे रे ख PQ II रे ख BC म्हणन : ∆APQि
∆PQB र्यची उां ची समयन आहे
𝐴(∆PQC)=A( ∆......)...........(III)
A(∆APQ) A(∆ …….)
A( ∆PQB)
= A( ∆ ……… ) ..............[(I),(II),ि (III)]
िरून
AP AQ
PB
= QC ............[(I) ि (II) िरून
आिृ ,तीत रे ख PQ II बयजु BC
3. A
AP= x +3 ,PB=x -3,AQ= x +5 ,QC=x-2
x+3 x+5
तर x ची किां मत ियढण्र्यसयठी पुढील िृ ती पणा
िरय ∆PQB मध्र्े रे ख PQ II बयजु BC
P Q
AP AQ
= [… ] ..........([...........])
PB
x-3 x-2
x+3 x+5
=
x−3 [… ]
B C
(x+3)[......]=(x+5)(x-3)
𝑥 2 +x-[....]=𝑥 2 +2x-15
x=[....]
Page 34
Q.3 B 3 गुण
1. आिृ तीमध्र्े दयखणिल्र्य प्रमयणे 8मी ि 4मी उां चीचे दोन खयांब
सपयट जणमनीिर उिे आहेत सर्ाप्रियशयने लहयन खयांबयची सयिली 6
मी पडते तर तर्यच िेळी मोठ्यय खयांबयची सयिली किती लयांबीची
असेल
2. ∆ABC मध्र्े B-D-C आणण BD=7, BC=20 तर खयलील गुणोत्तरे ियढय
A(∆ABD)
1) A( ∆ADC)
A(∆ABD)
2)
A( ∆ABC)
A(∆ADC)
3)
A( ∆ABC)
3. आिृ तीत समलांब चौिोन PQRS मध्र्े बयजु PQ II ⃦बयजु SR ,AR=5 AP,
तर णसद्ध िरय , SR=5PQ
4.
आिृ तीत णििोण ABC मध्र्े बयजुBC िर D हय बबांद असय आहे कि
⦟BAC = ⦟ADC तर णसद्ध िरय CA2 = CBxCD
5. A D चौिोन ABCD मध्र्े ⃦ बयजु AD II BC िणा AC आणण
िणा BD परस्परयांनय P बबांदत छेदतयत तर णसद्ध िरय कि
P AP PC
= BP
PD
B C
1. आिृ तीमध्र्े दयखणिल्र्य प्रमयणे 8मी ि 4मी उां चीचे दोन खयांब
सपयट जणमनीिर उिे आहेत सर्ाप्रियशयने लहयन खयांबयची सयिली 6
मी पडते तर तर्यच िेळी मोठ्यय खयांबयची सयिली किती लयांबीची
असेल
2. ∆ABC मध्र्े B-D-C आणण BD=7, BC=20 तर खयलील गुणोत्तरे ियढय
A(∆ABD)
1) A( ∆ADC)
A(∆ABD)
2)
A( ∆ABC)
A(∆ADC)
3)
A( ∆ABC)
3. आिृ तीत समलांब चौिोन PQRS मध्र्े बयजु PQ II ⃦बयजु SR ,AR=5 AP,
तर णसद्ध िरय , SR=5PQ
4.
आिृ तीत णििोण ABC मध्र्े बयजुBC िर D हय बबांद असय आहे कि
⦟BAC = ⦟ADC तर णसद्ध िरय CA2 = CBxCD
5. A D चौिोन ABCD मध्र्े ⃦ बयजु AD II BC िणा AC आणण
िणा BD परस्परयांनय P बबांदत छेदतयत तर णसद्ध िरय कि
P AP PC
= BP
PD
B C
Page 35
Q.4 4 गुण
1. समिज णििोण PQR ची बयजु 8 सेमी आहे तर तर्य णििोणयच्र्य बयजु पेक्षय णनम्म्र्य बयजु असणयऱ्र्य
समिज णििोणयचे क्षेिफळ ियढय .
2.दोन समरूप णििोणयांची क्षेिफळे समयन असल्र्यस ते णििोण एिरूप असतयत णसद्ध िरय
3.दोन समरूप णििोणयपैिी लहयन णििोणयच्र्य बयजु 4 सेमी ,5 सेमी,6 सेमी लयांबीच्र्य आहेत आणण मोठ्यय
णििोणयची पररणमती 90 सेमी आहे तर मोठ्यय णििोणयच्र्य बयजु ियढय
Q.5 3 गुण
1. आिृ तीत, PS = 2, SQ=6 QR = 5, PT = x आणण TR = y. तर x ि y च्र्य र्ोग्र् किमतीच्र्य अशय
जोड्यय शोधय कि ज्र्यमुळे रेषय ST ll बयजु QR असेल.
P
S T
Q 5 R
2 .ियस्त णिशयरदय िडे इमयरतीची प्रणतिृ ती आहे प्रतर्क्ष इमयरतीची लयांबी 1 मी. असल्र्यस प्रणतिृ तीची लयांबी
0.75 सेमी असेल तर 22.5 मी.लयांबी आणण 10मी. उां ची असलेल्र्य इमयरतीच्र्य प्रणतिृ तीची लयांबी ि उां ची
ियढय.
1. समिज णििोण PQR ची बयजु 8 सेमी आहे तर तर्य णििोणयच्र्य बयजु पेक्षय णनम्म्र्य बयजु असणयऱ्र्य
समिज णििोणयचे क्षेिफळ ियढय .
2.दोन समरूप णििोणयांची क्षेिफळे समयन असल्र्यस ते णििोण एिरूप असतयत णसद्ध िरय
3.दोन समरूप णििोणयपैिी लहयन णििोणयच्र्य बयजु 4 सेमी ,5 सेमी,6 सेमी लयांबीच्र्य आहेत आणण मोठ्यय
णििोणयची पररणमती 90 सेमी आहे तर मोठ्यय णििोणयच्र्य बयजु ियढय
Q.5 3 गुण
1. आिृ तीत, PS = 2, SQ=6 QR = 5, PT = x आणण TR = y. तर x ि y च्र्य र्ोग्र् किमतीच्र्य अशय
जोड्यय शोधय कि ज्र्यमुळे रेषय ST ll बयजु QR असेल.
P
S T
Q 5 R
2 .ियस्त णिशयरदय िडे इमयरतीची प्रणतिृ ती आहे प्रतर्क्ष इमयरतीची लयांबी 1 मी. असल्र्यस प्रणतिृ तीची लयांबी
0.75 सेमी असेल तर 22.5 मी.लयांबी आणण 10मी. उां ची असलेल्र्य इमयरतीच्र्य प्रणतिृ तीची लयांबी ि उां ची
ियढय.
Page 36
उत्तर सची
Q.1 A 1)B 2)C 3)C 4)B 5)B 6)D 7)A 8)B 9)B 10)B
B) 1)समरूप आहेत बय-बय-बय िसोटी 2)x=6 3)समरूप आहेत िो-िो समरूपतय 4)M=40 5)12:7
6)P=S.Q=U,R=V
7)AB/DE,BC/EF,AC/DF 8)5/3 9)16/49 10)िो-िो
Q2 A) 1)90,90,सयमयणर्ि िोन ,िो-िो 2)D, सयमयणर्ि िोन,EDC 3)16, 25,4,5 4)उां ची ,PM,10
11
B) 1)3/2 ,3)12/9 कििय 4/3 4)आहे 5)20 ,6)3/4
Q3 A)1) BDC,BCD िो-िो ,AC,AC,8 2)AP,AQ,PQ,PQB APQ/PQC 3)QC, प्रमयणयचे मुलित
प्रमेर्,x-2,x-2 ,6 9
B)1)12 ,2)7/13,7/20,13/20 3)णसद्धतय 4) णसद्धतय 5)णसद्धतय
Q.4.1) 4 िगामळ 3,2)णसद्धतय 3)24,30,36,
Q.5 1) 3,9 4,12 2)16.875,7.5
Q.1 A 1)B 2)C 3)C 4)B 5)B 6)D 7)A 8)B 9)B 10)B
B) 1)समरूप आहेत बय-बय-बय िसोटी 2)x=6 3)समरूप आहेत िो-िो समरूपतय 4)M=40 5)12:7
6)P=S.Q=U,R=V
7)AB/DE,BC/EF,AC/DF 8)5/3 9)16/49 10)िो-िो
Q2 A) 1)90,90,सयमयणर्ि िोन ,िो-िो 2)D, सयमयणर्ि िोन,EDC 3)16, 25,4,5 4)उां ची ,PM,10
11
B) 1)3/2 ,3)12/9 कििय 4/3 4)आहे 5)20 ,6)3/4
Q3 A)1) BDC,BCD िो-िो ,AC,AC,8 2)AP,AQ,PQ,PQB APQ/PQC 3)QC, प्रमयणयचे मुलित
प्रमेर्,x-2,x-2 ,6 9
B)1)12 ,2)7/13,7/20,13/20 3)णसद्धतय 4) णसद्धतय 5)णसद्धतय
Q.4.1) 4 िगामळ 3,2)णसद्धतय 3)24,30,36,
Q.5 1) 3,9 4,12 2)16.875,7.5
Page 37
प्रिरण : पयर्थयगोरसचे प्रमेर्
प्रश्न 1 (A) . पुढील प्रतर्ेि उप प्रश्नयसयठी 4 पर्यार्ी उत्तरे कदली आहेत. तर्यपैिी अचि उत्तरयचय र्ोग्र्
पर्यार् णनिडन तर्यचे िणयाक्षर णलहय. [ प्रतर्ेि उपप्रश्नयलय 1 गुण ]
1) खयलील पैिी िोणते पयर्थयगोरसचे णििु ट आहे ?
(A) (1,5,10) (B) (3,4,5) (C) (2,2,2) (D) (5,5,2)
2) खयलील पैिी िोणते पयर्थयगोरसचे णििु ट नयही ?
(A) (5,12,13) (B) (8,15,17) (C) (7,8,15) (D) (24,25,7)
3) खयलील पैिी िोणते पयर्थयगोरसचे णििु ट नयही ?
(A) (9,40,41) (B) (11,60,61) (C) (6,14,15) (D) (6,8,10)
4) ियटिोन णििोणयत ियटिोन िरणयर्र्य बयजच्ां र्य िगयीची बेरीज 169 असेल, तर तर्यच्र्य िणयाची
लयांबी किती ?
(A) 15 (B) 13 (C) 5 (D) 12
5) एिय आर्तयची एि बयज 12 आणण िणयाची लयांबी 20 असेल तर तर्य आर्तयच्र्य दुसर्र्य बयजची
लयांबी किती ?
(A) 2 (B) 13 (C) 5 (D) 16
6) एिय चौरसयच्र्य िणयाची लयांबी √2 सेमी असेल तर तर्य चौरसयच्र्य प्रतर्ेि बयजची लयांबी किती ?
(A) 2 (B) √3 (C) 1 (D) 4
प्रश्न 1 (A) . पुढील प्रतर्ेि उप प्रश्नयसयठी 4 पर्यार्ी उत्तरे कदली आहेत. तर्यपैिी अचि उत्तरयचय र्ोग्र्
पर्यार् णनिडन तर्यचे िणयाक्षर णलहय. [ प्रतर्ेि उपप्रश्नयलय 1 गुण ]
1) खयलील पैिी िोणते पयर्थयगोरसचे णििु ट आहे ?
(A) (1,5,10) (B) (3,4,5) (C) (2,2,2) (D) (5,5,2)
2) खयलील पैिी िोणते पयर्थयगोरसचे णििु ट नयही ?
(A) (5,12,13) (B) (8,15,17) (C) (7,8,15) (D) (24,25,7)
3) खयलील पैिी िोणते पयर्थयगोरसचे णििु ट नयही ?
(A) (9,40,41) (B) (11,60,61) (C) (6,14,15) (D) (6,8,10)
4) ियटिोन णििोणयत ियटिोन िरणयर्र्य बयजच्ां र्य िगयीची बेरीज 169 असेल, तर तर्यच्र्य िणयाची
लयांबी किती ?
(A) 15 (B) 13 (C) 5 (D) 12
5) एिय आर्तयची एि बयज 12 आणण िणयाची लयांबी 20 असेल तर तर्य आर्तयच्र्य दुसर्र्य बयजची
लयांबी किती ?
(A) 2 (B) 13 (C) 5 (D) 16
6) एिय चौरसयच्र्य िणयाची लयांबी √2 सेमी असेल तर तर्य चौरसयच्र्य प्रतर्ेि बयजची लयांबी किती ?
(A) 2 (B) √3 (C) 1 (D) 4
Page 38
7) एिय समिुज चौिोनयच्र्य िणयाची लयांबी अनुक्रमे 60 ि 80 असेल तर तर्य समिुज चौिोनयच्र्य
बयजची लयांबी किती ?
(A) 100 (B) 50 (C) 200 (D) 400
8) बयजांची लयांबी a, b, c, असलेल्र्य णििोणयमध्र्े जर a2 + b2 = c2 असेल तर तो िोणतर्य
प्रियरचय णििोण आहे ?
(A)णिशयलिोन णििोण (B)लघुिोन णििोण
(C)समिुज णििोण (D)ियटिोन णििोण
9) ∆ ABC मध्र्े , AB = 6√3 सेमी, AC = 12 सेमी, आणण BC = 6 सेमी
तर < A चे मयप किती ?
(A) 300 (B) 600 (C) 900 (D) 450
10) एिय चौरसयचय िणा 10 √2 सेमी असल्र्यस तर्यची पररणमती .... असेल.
(A)10 सेमी (B) 40√2 सेमी (C) 20 सेमी (D) 40 सेमी
11) खयलील पैिी िोणतर्य तयरखेतील सिा सांख्र्य णिचयरयत घेतल्र्यस पयर्थयगोरसचे णििु ट णमळते
?
(A)15/8/17 (B)16/8/16 (C) 3/5/17 (D) 4/9/15
प्रश्न 1 (B) खयलील उपप्रश्न सोडिय. [ प्रतर्ेि उपप्रश्नयलय 1 गुण ]
1) एिय ियटिोन णििोणयमध्र्े ियटिोन िरणयर्र्य बयज 24 सेमी ि 18 सेमी असतील तर तर्यच्र्य
िणयाची लयांबी ियढय.
2) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , AB ⊥ BC, A
बयजची लयांबी किती ?
(A) 100 (B) 50 (C) 200 (D) 400
8) बयजांची लयांबी a, b, c, असलेल्र्य णििोणयमध्र्े जर a2 + b2 = c2 असेल तर तो िोणतर्य
प्रियरचय णििोण आहे ?
(A)णिशयलिोन णििोण (B)लघुिोन णििोण
(C)समिुज णििोण (D)ियटिोन णििोण
9) ∆ ABC मध्र्े , AB = 6√3 सेमी, AC = 12 सेमी, आणण BC = 6 सेमी
तर < A चे मयप किती ?
(A) 300 (B) 600 (C) 900 (D) 450
10) एिय चौरसयचय िणा 10 √2 सेमी असल्र्यस तर्यची पररणमती .... असेल.
(A)10 सेमी (B) 40√2 सेमी (C) 20 सेमी (D) 40 सेमी
11) खयलील पैिी िोणतर्य तयरखेतील सिा सांख्र्य णिचयरयत घेतल्र्यस पयर्थयगोरसचे णििु ट णमळते
?
(A)15/8/17 (B)16/8/16 (C) 3/5/17 (D) 4/9/15
प्रश्न 1 (B) खयलील उपप्रश्न सोडिय. [ प्रतर्ेि उपप्रश्नयलय 1 गुण ]
1) एिय ियटिोन णििोणयमध्र्े ियटिोन िरणयर्र्य बयज 24 सेमी ि 18 सेमी असतील तर तर्यच्र्य
िणयाची लयांबी ियढय.
2) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , AB ⊥ BC, A
Page 39
AB = BC तर < A चे मयप किती ? B C
3) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , AB = BC, A
AC =2√2 तर <ABC =900 तर AB लयांबी किती ? B C
4) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , AB = BC, A
AC = 5√2, AB⊥BC तर ABC ची ऊांची किती ? B C
5) 4 सेमी बयज असलेल्र्य समिुज णििोणयची ऊांची किती ?
6) बयजच्र्य आिृ तीिरून जर AQ = 8 सेमी, A 8 300
तर AB ची लयांबी ियढय. B Q
7) एिय ियटिोन णििोणयमध्र्े िणयाची लयांबी 25 सेमी ि ऊांची 7 सेमी असेल तर तर्यच्र्य पयर्यची
लयांबी ियढय.
8) एिय णििोणयच्र्य बयज 50 सेमी, 14 सेमी, आणण 48 सेमी आहेत. तर तो णििोण ियटिोन
णििोण आहे किां िय नयही सयांगय.
9) एिय णििोणयच्र्य बयज 8 सेमी, 15 सेमी, आणण 17 सेमी आहेत. तर तो णििोण ियटिोन णििोण
आहे किां िय नयही सयांगय.
10) एिय आर्तयच्र्य बयज अनुक्रमे 35 मी आणण 12 मी असल्र्यस तर्यचय िणा किती ?
3) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , AB = BC, A
AC =2√2 तर <ABC =900 तर AB लयांबी किती ? B C
4) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , AB = BC, A
AC = 5√2, AB⊥BC तर ABC ची ऊांची किती ? B C
5) 4 सेमी बयज असलेल्र्य समिुज णििोणयची ऊांची किती ?
6) बयजच्र्य आिृ तीिरून जर AQ = 8 सेमी, A 8 300
तर AB ची लयांबी ियढय. B Q
7) एिय ियटिोन णििोणयमध्र्े िणयाची लयांबी 25 सेमी ि ऊांची 7 सेमी असेल तर तर्यच्र्य पयर्यची
लयांबी ियढय.
8) एिय णििोणयच्र्य बयज 50 सेमी, 14 सेमी, आणण 48 सेमी आहेत. तर तो णििोण ियटिोन
णििोण आहे किां िय नयही सयांगय.
9) एिय णििोणयच्र्य बयज 8 सेमी, 15 सेमी, आणण 17 सेमी आहेत. तर तो णििोण ियटिोन णििोण
आहे किां िय नयही सयांगय.
10) एिय आर्तयच्र्य बयज अनुक्रमे 35 मी आणण 12 मी असल्र्यस तर्यचय िणा किती ?
Page 40
प्रश्न 2 (A) / 3 (A) खयलील िृ ती पणा िरून उत्तरपणििे त णलहय. [ उत्तरपणििे त िे िळ चौिटीतील
उत्तरे णलहू नर्ेत.] [ प्रतर्ेि उपप्रश्नयलय 2 गुण ]
(1) सोबतच्र्य आिृ तीिरून, जर AC = 12सेमी, A 12
तर ABची लयांबी ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय.B 300 C
िृ ती : सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , <ABC = 900 , <ACB = 300 र्यिरून
<BAC = 0 . म्हणजेच ∆ ABC हय 300 – 600 – 900 णििोण आहे.
∆ ABC मध्र्े 300 – 600 – 900 णििोणयच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
1
AB = 2 AC ि = AC.
√3
2
1
= 2 × 12 ि BC = × 12
√3
∴ 2
∴ = 6 ि BC = 6 √3 . C
(2) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , AD ⊥ BC, D
तर AB2+ CD2 = BD2 + AC2 A
हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय . B
िृ ती : पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर, ियटिोन णििोण ∆ ADC मध्र्े,
AC2 = AD2 + 2
∴ AD2 = AC2 – CD2 ….. (I)
उत्तरे णलहू नर्ेत.] [ प्रतर्ेि उपप्रश्नयलय 2 गुण ]
(1) सोबतच्र्य आिृ तीिरून, जर AC = 12सेमी, A 12
तर ABची लयांबी ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय.B 300 C
िृ ती : सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , <ABC = 900 , <ACB = 300 र्यिरून
<BAC = 0 . म्हणजेच ∆ ABC हय 300 – 600 – 900 णििोण आहे.
∆ ABC मध्र्े 300 – 600 – 900 णििोणयच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
1
AB = 2 AC ि = AC.
√3
2
1
= 2 × 12 ि BC = × 12
√3
∴ 2
∴ = 6 ि BC = 6 √3 . C
(2) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े , AD ⊥ BC, D
तर AB2+ CD2 = BD2 + AC2 A
हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय . B
िृ ती : पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर, ियटिोन णििोण ∆ ADC मध्र्े,
AC2 = AD2 + 2
∴ AD2 = AC2 – CD2 ….. (I)
Page 41
तसेच, पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर, ियटिोन णििोण ∆ ABD मध्र्े,
AB2 = 2
+ BD2
∴ AD2 = AB2 – BD2 ….. ….. (II)
2
∴ - BD2 = AC2 – 2
(I) ि (II) िरून
∴ AB2 + CD2 = AC2 + BD2
(𝟑) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े, <ABC = 900, <CAB = 300
𝐀𝐂 = 𝟏𝟒 तर AB ि BC ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय .
िृ ती : ∆ ABC मध्र्े ,<ABC = 900 ,<CAB =300
PAGE 4
र्यिरून, <BCA = 0
A
300 – 600 – 900 णििोणयच्र्य प्रमेर्यनुसयर, 30°
1
= 2 AC ि = AC.
√3
2
1
∴ BC = 2 × ि AB = × 14
√3
2
60°
BC = 7 ि AB = 7 √3 . B C
(4) M
सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ MNKमध्र्े ,
AB2 = 2
+ BD2
∴ AD2 = AB2 – BD2 ….. ….. (II)
2
∴ - BD2 = AC2 – 2
(I) ि (II) िरून
∴ AB2 + CD2 = AC2 + BD2
(𝟑) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े, <ABC = 900, <CAB = 300
𝐀𝐂 = 𝟏𝟒 तर AB ि BC ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय .
िृ ती : ∆ ABC मध्र्े ,<ABC = 900 ,<CAB =300
PAGE 4
र्यिरून, <BCA = 0
A
300 – 600 – 900 णििोणयच्र्य प्रमेर्यनुसयर, 30°
1
= 2 AC ि = AC.
√3
2
1
∴ BC = 2 × ि AB = × 14
√3
2
60°
BC = 7 ि AB = 7 √3 . B C
(4) M
सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ MNKमध्र्े ,
Page 42
N K <MNK = 900 , <M = 450
𝐌𝐊 = 𝟔 तर MK ि KN ियढण्र्यसयठी खयलील
िृ ती पणा िरय .
िृ ती : - ∆ MNK मध्र्े,
<MNK = 900 , <M = 450 ..........( पक्ष )
∴ < K = .......( ∆ MNK च्र्य उरलेल्र्य िोनयचे मयप ),
∆ MNK हय 450 – 450 – 900 णििोण आहे ,
450 – 450 – 900 णििोणयच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
1
= MK = MK .
1
ि
√2 √2
MN = ि KN = × 6
1 1
∴ ×
√2 √2
∴ MN = 3 √2 ि KN = 3 √2
(5) 10 मीटर लयांबीची एि णशडी जणमनीपयसन 8 मीटर उां चीच्र्य एिय णखडिीपयशी पोहोचते तर तर्य
बिांतीचय पयर्य ि णशडीचे खयलचे टोि र्यमधील अांतर ियढण्र्यसयठी
खयलील िृ ती पणा िरय . P
िृ ती : समजय सोबतच्र्य आिृ तीत,
PQ ही बिांतीची ऊांची आहे.
PR ही णशडी आहे. आणण
QR ही तर्य बिांतीचय पयर्य ि
तर्य बिांतीचय पयर्य ि णशडीचे Q R
𝐌𝐊 = 𝟔 तर MK ि KN ियढण्र्यसयठी खयलील
िृ ती पणा िरय .
िृ ती : - ∆ MNK मध्र्े,
<MNK = 900 , <M = 450 ..........( पक्ष )
∴ < K = .......( ∆ MNK च्र्य उरलेल्र्य िोनयचे मयप ),
∆ MNK हय 450 – 450 – 900 णििोण आहे ,
450 – 450 – 900 णििोणयच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
1
= MK = MK .
1
ि
√2 √2
MN = ि KN = × 6
1 1
∴ ×
√2 √2
∴ MN = 3 √2 ि KN = 3 √2
(5) 10 मीटर लयांबीची एि णशडी जणमनीपयसन 8 मीटर उां चीच्र्य एिय णखडिीपयशी पोहोचते तर तर्य
बिांतीचय पयर्य ि णशडीचे खयलचे टोि र्यमधील अांतर ियढण्र्यसयठी
खयलील िृ ती पणा िरय . P
िृ ती : समजय सोबतच्र्य आिृ तीत,
PQ ही बिांतीची ऊांची आहे.
PR ही णशडी आहे. आणण
QR ही तर्य बिांतीचय पयर्य ि
तर्य बिांतीचय पयर्य ि णशडीचे Q R
Page 43
खयलचे टोि र्यमधील अांतर आहे.
∆ PQR मध्र्े, < PQR = 900 ,
पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर, PQ2 + = PR2 …… (I)
PR = 10 , PQ =
र्य किमती (I) मध्र्े ठे ि ,
QR2 + 82 = 102 …… (I)
QR2 = 102 - 82
QR2 = – 64
QR2 =
QR = 6
र्यिरून, तर्य बिांतीचय पयर्य ि णशडीचे खयलचे टोि र्यमधील अांतर 6 आहे.
6)सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े, AD ⊥ BC, , < C = 450
𝐀𝐂 = 𝟖√𝟐 𝐁𝐃 = 𝟓 तर AD ि BC ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय .
A
िृ ती : - ∆ ADC मध्र्े,
<ADC = 900 , < C = 450 ...(पक्ष) B D C
∴ < DAC = ....(∆ADC च्र्य उरलेल्र्य िोनयचे मयप),
∆ PQR मध्र्े, < PQR = 900 ,
पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर, PQ2 + = PR2 …… (I)
PR = 10 , PQ =
र्य किमती (I) मध्र्े ठे ि ,
QR2 + 82 = 102 …… (I)
QR2 = 102 - 82
QR2 = – 64
QR2 =
QR = 6
र्यिरून, तर्य बिांतीचय पयर्य ि णशडीचे खयलचे टोि र्यमधील अांतर 6 आहे.
6)सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ ABC मध्र्े, AD ⊥ BC, , < C = 450
𝐀𝐂 = 𝟖√𝟐 𝐁𝐃 = 𝟓 तर AD ि BC ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय .
A
िृ ती : - ∆ ADC मध्र्े,
<ADC = 900 , < C = 450 ...(पक्ष) B D C
∴ < DAC = ....(∆ADC च्र्य उरलेल्र्य िोनयचे मयप),
Page 44
∆ ADC हय 450 – 450 – 900 णििोण आहे ,
450 – 450 – 900 णििोणयच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
1
= AC = AC .
1
ि
√2 √2
AD = ि DC =
1 1
∴ × × 𝟖√2
√2 √2
AD = ि DC =
1 1
∴ × 𝟖√2 × 𝟖√2
√2 √2
∴ AD = 𝟖 ि DC = 𝟖
BC = BD + DC = 5 + 8 = 13
7)ियटिोन णििोणयत ियटिोन िरणयर्र्य बयज 9 सेमी ि 12 सेमी आहेत तर तर्य णििोणयच्र्य िणयाची
लयांबी मयहीत िरण्र्यसयठी िृ ती पणा िरय .
िृ ती : - P ∆ PQR मध्र्े, < PQR = 900
पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
Q R PQ2 + = PR2 …… (I)
= 92 + 12 2
= + 144
∴ PR2 =
∴ PR = 15
णििोणयचय िणा =
450 – 450 – 900 णििोणयच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
1
= AC = AC .
1
ि
√2 √2
AD = ि DC =
1 1
∴ × × 𝟖√2
√2 √2
AD = ि DC =
1 1
∴ × 𝟖√2 × 𝟖√2
√2 √2
∴ AD = 𝟖 ि DC = 𝟖
BC = BD + DC = 5 + 8 = 13
7)ियटिोन णििोणयत ियटिोन िरणयर्र्य बयज 9 सेमी ि 12 सेमी आहेत तर तर्य णििोणयच्र्य िणयाची
लयांबी मयहीत िरण्र्यसयठी िृ ती पणा िरय .
िृ ती : - P ∆ PQR मध्र्े, < PQR = 900
पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
Q R PQ2 + = PR2 …… (I)
= 92 + 12 2
= + 144
∴ PR2 =
∴ PR = 15
णििोणयचय िणा =
Page 45
8) सोबतच्र्य आिृ तीत, ∆ QPR मध्र्े, < QPR = 900 ,PM ⊥ QR , < C = 450
𝐏𝐌 = 𝟏𝟎 , 𝐐𝐌 = 𝟖 र्यिरून QR ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय .
P
िृ ती : - ∆ PQR मध्र्े, PM ⊥ QR
< PMQ = 900 , 10
Q 8 M R
∆ PMQ मध्र्े, पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
PM2 + = PQ2 …… (I)
= 102 +82
= + 64
PQ = √164
< PMR = 900
र्यिरून, ∆QPR ~ ∆QMP ~ ∆PMR
∴ ∆QMP ~ ∆PMR
= PM
PM QM
∴ RM
∴ PM2 = RM X QM
∴ 102 = RM X 8
RM = =
100
8
आणण,
QR = QM + MR
𝐏𝐌 = 𝟏𝟎 , 𝐐𝐌 = 𝟖 र्यिरून QR ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय .
P
िृ ती : - ∆ PQR मध्र्े, PM ⊥ QR
< PMQ = 900 , 10
Q 8 M R
∆ PMQ मध्र्े, पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
PM2 + = PQ2 …… (I)
= 102 +82
= + 64
PQ = √164
< PMR = 900
र्यिरून, ∆QPR ~ ∆QMP ~ ∆PMR
∴ ∆QMP ~ ∆PMR
= PM
PM QM
∴ RM
∴ PM2 = RM X QM
∴ 102 = RM X 8
RM = =
100
8
आणण,
QR = QM + MR
Page 46
QR = + 2 = .
25 41
2
9) एिय आर्तयचे क्षेिफळ 192 चौ. सेमी असन तर्यची लयांबी 16 सेमी आहे, तर तर्य आर्तयच्र्य िणयाची
लयांबी मयहीत िरण्र्यसयठी िृ ती पणा िरय .
िृ ती : - T N
सोबतच्र्य आिृ तीत LMNT हय आर्त आहे.
आर्तयचे क्षेिफळ = लयांबी × रां दी L M
∴ आर्तयचे क्षेिफळ = × रां दी
रां दी = 12 सेमी
< TLM = 900 ( आर्तयचय प्रतर्ेि िोन ियटिोन असतो )
∆ TLM मध्र्े, पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
TL2 + = TM2
= + 122
= + 144
TL = 20
10) ∆ LMN मध्र्े, l = 5 , m = 13 , n = 12 तर ∆ LMN हय ियटिोन णििोण आहे किां िय
नयही ते ठरणिण्र्यसयठी िृ ती िरय. [ l, m, n र्य <L, <M, ि < N र्यांच्र्य समोरील बयज आहेत .
]
िृ ती : ∆ LMN मध्र्े, l = 5 , m = 13 , n =
l2 = ; m2 = 169 ; n2 = 144.
l2 + n2 = 25 + 144 =
2
+ l2 = n2
25 41
2
9) एिय आर्तयचे क्षेिफळ 192 चौ. सेमी असन तर्यची लयांबी 16 सेमी आहे, तर तर्य आर्तयच्र्य िणयाची
लयांबी मयहीत िरण्र्यसयठी िृ ती पणा िरय .
िृ ती : - T N
सोबतच्र्य आिृ तीत LMNT हय आर्त आहे.
आर्तयचे क्षेिफळ = लयांबी × रां दी L M
∴ आर्तयचे क्षेिफळ = × रां दी
रां दी = 12 सेमी
< TLM = 900 ( आर्तयचय प्रतर्ेि िोन ियटिोन असतो )
∆ TLM मध्र्े, पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर,
TL2 + = TM2
= + 122
= + 144
TL = 20
10) ∆ LMN मध्र्े, l = 5 , m = 13 , n = 12 तर ∆ LMN हय ियटिोन णििोण आहे किां िय
नयही ते ठरणिण्र्यसयठी िृ ती िरय. [ l, m, n र्य <L, <M, ि < N र्यांच्र्य समोरील बयज आहेत .
]
िृ ती : ∆ LMN मध्र्े, l = 5 , m = 13 , n =
l2 = ; m2 = 169 ; n2 = 144.
l2 + n2 = 25 + 144 =
2
+ l2 = n2
Page 47
∴ पयर्थयगोरसच्र्य प्रमेर्यनुसयर, : ∆ LMN हय ियटिोन णििोण आहे
प्रश्न 3B : खयलील उपप्रश्न सोडिय : 3 गुण D
1) सोबतच्र्य आिृ तीत, G
< DFE = 900 , FG ⊥ ED , जर E F
जर GD = 8, FG = 12, तर (1) EG, (2) FD, आणण (3) EF ियढय .
2) समणििुज ियटिोन णििोणयची एिरूप बयजांची लयांबी 7 सेमी आहे. तर्यची पररणमती ियढय.
प्रश्न 4 : खयलील उपप्रश्न सोडिय : 4गुण
1)
M
450 सोबतच्र्य आिृ तीत, 𝐋𝐊 = 𝟔 √𝟐 तर MK, ML,
M MN ियढय .
L 300 K
प्रिरण :ितुळ
ा
1. प्रतर्ेि उपप्रश्नयसयठी चयर पर्यार् उत्तरे कदली आहेत तर्यपैिी अचि पर्यार् णनिडय.
(1) परस्परयांनय छेदणयऱ्र्य दोन ितुाळयपैिी प्रतर्ेि ितुाळ दुसऱ्र्य ितुाळयच्र्य िें द्रयतन जयते .जर तर्यांच्र्य
िें द्रयतील अांतर 12 सेमी असेल तर प्रतर्ेि ितुाळयची णिज्र्य किती सेमी आहे?
(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) सयांगतय र्ेणयर नयही.
प्रश्न 3B : खयलील उपप्रश्न सोडिय : 3 गुण D
1) सोबतच्र्य आिृ तीत, G
< DFE = 900 , FG ⊥ ED , जर E F
जर GD = 8, FG = 12, तर (1) EG, (2) FD, आणण (3) EF ियढय .
2) समणििुज ियटिोन णििोणयची एिरूप बयजांची लयांबी 7 सेमी आहे. तर्यची पररणमती ियढय.
प्रश्न 4 : खयलील उपप्रश्न सोडिय : 4गुण
1)
M
450 सोबतच्र्य आिृ तीत, 𝐋𝐊 = 𝟔 √𝟐 तर MK, ML,
M MN ियढय .
L 300 K
प्रिरण :ितुळ
ा
1. प्रतर्ेि उपप्रश्नयसयठी चयर पर्यार् उत्तरे कदली आहेत तर्यपैिी अचि पर्यार् णनिडय.
(1) परस्परयांनय छेदणयऱ्र्य दोन ितुाळयपैिी प्रतर्ेि ितुाळ दुसऱ्र्य ितुाळयच्र्य िें द्रयतन जयते .जर तर्यांच्र्य
िें द्रयतील अांतर 12 सेमी असेल तर प्रतर्ेि ितुाळयची णिज्र्य किती सेमी आहे?
(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) सयांगतय र्ेणयर नयही.
Page 48
(2) ां य स्पशा िरते , तर तो समयांतरिुज चौिोन
एि ितुाळ एिय समयांतरिुज चौिोनयच्र्य सिा बयजन
____असलय पयणहजे, र्य णिधयनयतील ररियम्र्य जयगी र्ोग्र् शब्द णलहय
(A) आर्त (B) समिुज चौिोन (C)चौरस (D)समलांब चौिोन
(3) िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयच्र्य िां स ACB मध्र्े∠ACB अांतर्लाणखत िे लय आहे .
जर ∠ACB = 65° तर m(िां स ACB ) = किती ?
(A) 65° (B) 130° (C) 295° (D) 230°
(4) चक्रीर् �� ⃞ ABCD मध्र्े ∠Aच्र्य मयपयची दुप्पट ही ∠C च्र्य मयपयच्र्य णतप्पटी
एिढी आहे. तर ∠C चे मयप किती ?
(A) 36° (B) 72° C) 90° (D) 108°
(5) तीन नैिरे षीर् बबांदतन जयणयरी किती ितुाळे ियढतय र्ेतील ?
(A) 0 (B) असांख्र् (C) 2 (D) एि आणण एिच .
(6) बयह्यस्पशी असलेल्र्य दोन ितुाळयांच्र्य णिज्र्य अनुक्रमे 5.5 सेमी ि 4.2 सेमी
असतील तर तर्यांच्र्य िें द्रयतील अांतर किती सेमी. असेल ?
(A) 9.7 (B) 1.3 (C) 2.6 (D) 4.6
(7) अधाितुाळयत अांतर्लाणखत िे लेल्र्य िोणयचे मयप किती असते ?
(A) 90° (B) 120° (C) 100° (D) 60°
(8) 8 सेमी आणण 6 सेमी व्ययस असणयरी दोन ितुाळे परस्परयांनय अांतस्पशा िरतयत तर
तर्यांच्र्य िें द्रयतील अांतर किती सेमी असेल ?
(A) 2 (B) 14 (C) 7 (D) 1
एि ितुाळ एिय समयांतरिुज चौिोनयच्र्य सिा बयजन
____असलय पयणहजे, र्य णिधयनयतील ररियम्र्य जयगी र्ोग्र् शब्द णलहय
(A) आर्त (B) समिुज चौिोन (C)चौरस (D)समलांब चौिोन
(3) िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयच्र्य िां स ACB मध्र्े∠ACB अांतर्लाणखत िे लय आहे .
जर ∠ACB = 65° तर m(िां स ACB ) = किती ?
(A) 65° (B) 130° (C) 295° (D) 230°
(4) चक्रीर् �� ⃞ ABCD मध्र्े ∠Aच्र्य मयपयची दुप्पट ही ∠C च्र्य मयपयच्र्य णतप्पटी
एिढी आहे. तर ∠C चे मयप किती ?
(A) 36° (B) 72° C) 90° (D) 108°
(5) तीन नैिरे षीर् बबांदतन जयणयरी किती ितुाळे ियढतय र्ेतील ?
(A) 0 (B) असांख्र् (C) 2 (D) एि आणण एिच .
(6) बयह्यस्पशी असलेल्र्य दोन ितुाळयांच्र्य णिज्र्य अनुक्रमे 5.5 सेमी ि 4.2 सेमी
असतील तर तर्यांच्र्य िें द्रयतील अांतर किती सेमी. असेल ?
(A) 9.7 (B) 1.3 (C) 2.6 (D) 4.6
(7) अधाितुाळयत अांतर्लाणखत िे लेल्र्य िोणयचे मयप किती असते ?
(A) 90° (B) 120° (C) 100° (D) 60°
(8) 8 सेमी आणण 6 सेमी व्ययस असणयरी दोन ितुाळे परस्परयांनय अांतस्पशा िरतयत तर
तर्यांच्र्य िें द्रयतील अांतर किती सेमी असेल ?
(A) 2 (B) 14 (C) 7 (D) 1
Page 49
(9) एियच ितुाळयिर बबांद A,B,C असे आहेत िी m(िां स AB ) = m(िां स BC ) = 120°
दोन्ही िां सयतB णशियर् एिही बबांद सयमयईि नयही. तर∆ABCिोणतर्य प्रियरचय आहे ?
(A)समिुज णििोण (B)णिषमिुज णििोण
(C)ियटिोन णििोण (D)समणििुज णििोण
(10) आिृ तीत �� ⃞ ABCD मध्र्े ∠RSP = 80° तर
∠RQT = किती ?
(A) 100° (B) 80°
(C) 70° (D) 110°
2. खयलील उपप्रश्न सोडिय. (1 गुणयांचे प्रश्न )
1) एिय बबांदतन जयणयरी किती ितुाळे ियढतय र्ेतील ?
2) A िें द्र असलेल्र्य ितुाळयलय रे ख DPआणण रे ख DQ हे स्पर्शािय
खांड आहेत,जर DP= 7 सेमी,
तर रे ख DQ ची लयांबी ियढय ?
3) दोन अांतस्पशी ितुाळयांच्र्य णिज्र्य अनुक्रमे 3.5 सेमी ि 4.8 सेमी आहेत, तर
तर्यांच्र्य िें द्रयांतील अांतर किती आहे ?
4) अधा ितुाळिां सयचे मयप किती असते ?
5) िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयचे A,B,C हे तीन बबांद आहेत. िां स BC आणण िां स AB र्यांची मयपे अनुक्रमे
110° आणण 125° असतील तर िां स AC चे मयप ियढय?
दोन्ही िां सयतB णशियर् एिही बबांद सयमयईि नयही. तर∆ABCिोणतर्य प्रियरचय आहे ?
(A)समिुज णििोण (B)णिषमिुज णििोण
(C)ियटिोन णििोण (D)समणििुज णििोण
(10) आिृ तीत �� ⃞ ABCD मध्र्े ∠RSP = 80° तर
∠RQT = किती ?
(A) 100° (B) 80°
(C) 70° (D) 110°
2. खयलील उपप्रश्न सोडिय. (1 गुणयांचे प्रश्न )
1) एिय बबांदतन जयणयरी किती ितुाळे ियढतय र्ेतील ?
2) A िें द्र असलेल्र्य ितुाळयलय रे ख DPआणण रे ख DQ हे स्पर्शािय
खांड आहेत,जर DP= 7 सेमी,
तर रे ख DQ ची लयांबी ियढय ?
3) दोन अांतस्पशी ितुाळयांच्र्य णिज्र्य अनुक्रमे 3.5 सेमी ि 4.8 सेमी आहेत, तर
तर्यांच्र्य िें द्रयांतील अांतर किती आहे ?
4) अधा ितुाळिां सयचे मयप किती असते ?
5) िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयचे A,B,C हे तीन बबांद आहेत. िां स BC आणण िां स AB र्यांची मयपे अनुक्रमे
110° आणण 125° असतील तर िां स AC चे मयप ियढय?
Page 50
6) खयलील आिृ तीत ∠PQR = 50° तर ∠PSR चे मयप ियढय ?
7) सोबतच्र्य आिृ तीत िें द्र C असलेल्र्य ितुाळयत रे षय AB र्य ितुाळयलय बबांद A
मध्र्े स्पशा िरते तर ∠CAB चे मयप किती अांश आहे ? िय?
8) आिृ तीमध्र्े चौिोन ABCD हय चक्रीर् चौिोन आहे, जर ∠DAB = 75° तर
∠DCB चे मयप ियढय ?
9) सोबतच्र्य आिृ तीत िें द्र C असलेल्र्य ितुाळयची रे ख DE ही जीिय आहे रे ख CF ⊥ जीिय DE
आणण DE= 16 सेमी तर DF ची लयांबी ियढय ?
(10) आिृ तीमध्र्े ∠ABC = 35° तर m(िां स AXC )ियढय ?
3. खयलील िृ ती पणा िरय.(प्रतर्ेिी 2 गुण )
7) सोबतच्र्य आिृ तीत िें द्र C असलेल्र्य ितुाळयत रे षय AB र्य ितुाळयलय बबांद A
मध्र्े स्पशा िरते तर ∠CAB चे मयप किती अांश आहे ? िय?
8) आिृ तीमध्र्े चौिोन ABCD हय चक्रीर् चौिोन आहे, जर ∠DAB = 75° तर
∠DCB चे मयप ियढय ?
9) सोबतच्र्य आिृ तीत िें द्र C असलेल्र्य ितुाळयची रे ख DE ही जीिय आहे रे ख CF ⊥ जीिय DE
आणण DE= 16 सेमी तर DF ची लयांबी ियढय ?
(10) आिृ तीमध्र्े ∠ABC = 35° तर m(िां स AXC )ियढय ?
3. खयलील िृ ती पणा िरय.(प्रतर्ेिी 2 गुण )
Page 51
(1) एियच ितुाळयच्र्य एिरूप िां सयांच्र्य सांगत जीिय एिरूप असतयत हे प्रमेर् ररियम्र्य जयगय िरून पणा
िरय .
पक्ष : िें द्र B असलेल्र्य ितुाळयत िां सAPC ≅ िां स DQE
सयध्र् : जीिय AC ≅ जीिय DE
णसद्धतय: ∆𝐀𝐁𝐂 आणण ∆𝐃𝐁𝐄 र्यांमध्र्े ,
बयज AB ≅ बयज DB .... ( )
बयज BC ≅ बयज .... ( )
∠𝐀𝐁𝐂 ≅ ∠𝐀𝐁𝐂 ....(एिरूप िां सयांची व्ययख्र्य )
∆𝐀𝐁𝐂 ≅ ∆𝐃𝐁𝐄 .... ( )
जीिय AC ≅ जीिय DE .... (एिरूप णििोणयांच्र्य सांगत बयज )
(2) खयलील आिृ तीमध्र्े िें द्र C असलेल्र्य ितुाळयिर G,D,E आणण F हे बबांद आहेत. ∠ECF चे मयप
70° आणण िां स DGF चे मयप 200° असेल, तर िां स DE आणण िां स DEF र्यांची मयपे
ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय.
m(िां स EF) = ∠ECF ..... (लघुिांसयच्र्य मयपयच्र्य व्ययख्र्ेनुसयर )
∴ m(िां स EF) =
िरय .
पक्ष : िें द्र B असलेल्र्य ितुाळयत िां सAPC ≅ िां स DQE
सयध्र् : जीिय AC ≅ जीिय DE
णसद्धतय: ∆𝐀𝐁𝐂 आणण ∆𝐃𝐁𝐄 र्यांमध्र्े ,
बयज AB ≅ बयज DB .... ( )
बयज BC ≅ बयज .... ( )
∠𝐀𝐁𝐂 ≅ ∠𝐀𝐁𝐂 ....(एिरूप िां सयांची व्ययख्र्य )
∆𝐀𝐁𝐂 ≅ ∆𝐃𝐁𝐄 .... ( )
जीिय AC ≅ जीिय DE .... (एिरूप णििोणयांच्र्य सांगत बयज )
(2) खयलील आिृ तीमध्र्े िें द्र C असलेल्र्य ितुाळयिर G,D,E आणण F हे बबांद आहेत. ∠ECF चे मयप
70° आणण िां स DGF चे मयप 200° असेल, तर िां स DE आणण िां स DEF र्यांची मयपे
ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय.
m(िां स EF) = ∠ECF ..... (लघुिांसयच्र्य मयपयच्र्य व्ययख्र्ेनुसयर )
∴ m(िां स EF) =
Page 52
परां तु ; m(िां स DE)+ m(िां स EF)+ m(िां स DGF)= (पणा ितुाळयचे मयप)
∴ m(िां स DE) =
∴ m(िां स DEF) = m(िां स DE) + m(िां स EF)
∴ m(िां सDEF) =
(3) आिृ तीमध्र्े जीिय PQ आणण जीिय RS एिमेिींनय बबांद T मध्र्े छेदतयत तर
𝟏
𝐦∠𝐒𝐓𝐐 = 𝟐 [m(िां स PR) + m(िां स SQ)]
हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयलील चौिटी िरून िृ ती पणा िरय.
णसद्धतय:
𝐦∠𝐒𝐓𝐐 = 𝐦∠𝐒𝐏𝐐 + ..........( णििोणयच्र्य बयह्य िोणयचे प्रमेर्)
= 𝟐 m(िां स SQ) +
𝟏
........( अांतर्लाणखत िोनयचे प्रमेर्)
𝟏
= [ ⃞ + ⃞ ]
𝟐
(4) कदलेल्र्य आिृ तीतील , जीिय EF ∥ जीिय GH तर णसद्ध िरय, जीिय EG ≅ जीिय FH पुढे कदलेल्र्य णसद्धतेतील
ररियम्र्य जयगय िरय आणण णसद्धतय णलहय .
णसद्धतय : रे खय GF ियढलय.
∠𝐄𝐅𝐆 = ∠𝐅𝐆𝐇 ...... (I)
∴ m(िां स DE) =
∴ m(िां स DEF) = m(िां स DE) + m(िां स EF)
∴ m(िां सDEF) =
(3) आिृ तीमध्र्े जीिय PQ आणण जीिय RS एिमेिींनय बबांद T मध्र्े छेदतयत तर
𝟏
𝐦∠𝐒𝐓𝐐 = 𝟐 [m(िां स PR) + m(िां स SQ)]
हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयलील चौिटी िरून िृ ती पणा िरय.
णसद्धतय:
𝐦∠𝐒𝐓𝐐 = 𝐦∠𝐒𝐏𝐐 + ..........( णििोणयच्र्य बयह्य िोणयचे प्रमेर्)
= 𝟐 m(िां स SQ) +
𝟏
........( अांतर्लाणखत िोनयचे प्रमेर्)
𝟏
= [ ⃞ + ⃞ ]
𝟐
(4) कदलेल्र्य आिृ तीतील , जीिय EF ∥ जीिय GH तर णसद्ध िरय, जीिय EG ≅ जीिय FH पुढे कदलेल्र्य णसद्धतेतील
ररियम्र्य जयगय िरय आणण णसद्धतय णलहय .
णसद्धतय : रे खय GF ियढलय.
∠𝐄𝐅𝐆 = ∠𝐅𝐆𝐇 ...... (I)
Page 53
∠𝐄𝐅𝐆 = .....( अांतर्लाणखत िोनयचे प्रमेर्) (II)
∠𝐅𝐆𝐇 = .....( अांतर्लाणखत िोनयचे प्रमेर्) (III)
∴ m(िां स EG) = .....[(I), (II) ि (III) िरून ]
जीिय EG ≅ जीिय FH .......(एिरूप िां सयांच्र्य सांगत जीिय )
(5)अधाितुाळयत अांतर्लाणखत झयलेलय िोन ियटिोन असतो हे पुढील िृ तीियरे णसद्ध िरय .
पक्ष :िें द्र Mअसलेल्र्य ∠ABC अधाितुाळयत अांतर्लाणखत िोन आहे.
सयध्र् : ∠ABC हय ियटिोन आहे.
णसद्धतय: अांतर्लाणखत ∠ABC ने िां सAXC अांतखीडीत िे लय आहे.
रे ख AC हय ितुाळयचय व्ययस आहे.
∴ m(िां स AXC) =
तसेच ∠ABC = .....( अांतर्लाणखत
िोनयचे प्रमेर्)
𝟏
= ×
𝟐
∴ ∠ABC =
∴ ∠ABC हय ियटिोन आहे.
(6)णसद्ध िरय एियच िां सयत अांतर्लाणखत झयलेले िोन हे एिरूप असतयत.
∠𝐅𝐆𝐇 = .....( अांतर्लाणखत िोनयचे प्रमेर्) (III)
∴ m(िां स EG) = .....[(I), (II) ि (III) िरून ]
जीिय EG ≅ जीिय FH .......(एिरूप िां सयांच्र्य सांगत जीिय )
(5)अधाितुाळयत अांतर्लाणखत झयलेलय िोन ियटिोन असतो हे पुढील िृ तीियरे णसद्ध िरय .
पक्ष :िें द्र Mअसलेल्र्य ∠ABC अधाितुाळयत अांतर्लाणखत िोन आहे.
सयध्र् : ∠ABC हय ियटिोन आहे.
णसद्धतय: अांतर्लाणखत ∠ABC ने िां सAXC अांतखीडीत िे लय आहे.
रे ख AC हय ितुाळयचय व्ययस आहे.
∴ m(िां स AXC) =
तसेच ∠ABC = .....( अांतर्लाणखत
िोनयचे प्रमेर्)
𝟏
= ×
𝟐
∴ ∠ABC =
∴ ∠ABC हय ियटिोन आहे.
(6)णसद्ध िरय एियच िां सयत अांतर्लाणखत झयलेले िोन हे एिरूप असतयत.
Page 54
पक्ष : ∠PQR ि ∠PSR एियच िां सयत अांतर्लाणखत झयलेले िोन
आहेत, िां स PTR हय तर्य िोनयांनी अांतर खांणडत िे लेलय िां स आहे
सयध्र् : ∠PQR ≅ ∠PSR
णसद्धतय : m∠PQR = 𝟐 × [m(िां स PTR)] ........ (i)
𝟏
𝟏
m∠ = × [m(िां स PTR)] ....... (ii)
𝟐
m∠ = m∠PSR ........(i) ि (ii) िरून
∴ ∠PQR ≅ ∠PSR
(7)सोबतच्र्य आिृ तीत O ितुाळिें द्र आहे, तर कदलेल्र्य मयणहतीिरून सयरणी पणा िरय .
ितुाळिां सयचय प्रियर ितुाळिां सयचे नयि ितुाळिां सयचे मयप
लघुिांस
णिशयलिां स
4.खयलील उपप्रश्न सोडिय. (2 गुणयांचे प्रश्न )
(1) कदलेल्र्य आिृ तीत, िें द्र D असलेले ितुाळ
∠ACB च्र्य बयजांनय बबांद A आणण B मध्र्े स्पशा
िरते . जर ∠ACB = 52° तर∠ADB चे मयप ियढय.
(2) सोबतच्र्य आिृ तीत ,िें द्र A असलेल्र्य ितुाळयलय रे षय MN बबांद M मध्र्े स्पशा िरते . जर AN=
13 तसेच MN = 5 असेल तर ितुाळयची णिज्र्य ियढय ?
आहेत, िां स PTR हय तर्य िोनयांनी अांतर खांणडत िे लेलय िां स आहे
सयध्र् : ∠PQR ≅ ∠PSR
णसद्धतय : m∠PQR = 𝟐 × [m(िां स PTR)] ........ (i)
𝟏
𝟏
m∠ = × [m(िां स PTR)] ....... (ii)
𝟐
m∠ = m∠PSR ........(i) ि (ii) िरून
∴ ∠PQR ≅ ∠PSR
(7)सोबतच्र्य आिृ तीत O ितुाळिें द्र आहे, तर कदलेल्र्य मयणहतीिरून सयरणी पणा िरय .
ितुाळिां सयचय प्रियर ितुाळिां सयचे नयि ितुाळिां सयचे मयप
लघुिांस
णिशयलिां स
4.खयलील उपप्रश्न सोडिय. (2 गुणयांचे प्रश्न )
(1) कदलेल्र्य आिृ तीत, िें द्र D असलेले ितुाळ
∠ACB च्र्य बयजांनय बबांद A आणण B मध्र्े स्पशा
िरते . जर ∠ACB = 52° तर∠ADB चे मयप ियढय.
(2) सोबतच्र्य आिृ तीत ,िें द्र A असलेल्र्य ितुाळयलय रे षय MN बबांद M मध्र्े स्पशा िरते . जर AN=
13 तसेच MN = 5 असेल तर ितुाळयची णिज्र्य ियढय ?
Page 55
(3) णिज्र्य 4.5 सेमी असलेल्र्य ितुाळयच्र्य दोन स्पर्शािय परस्परयांनय समयांतर आहेत. तर तर्य
स्पर्शाियांतील अांतर किती हे सियरण णलहय.
(4) आिृ तीमध्र्े m(िां स NS) = 125° ,
m(िां स EF) = 37° तर ∠NMS चे मयप ियढय .
(5) एिय ितुाळयच्र्य िें द्रयपयसन 15 सेमी अांतरयिरील एिय बबांदतन
तर्य ितुाळयलय ियढलेल्र्य स्पर्शािय खांडयची लयांबी 12 सेमी असेल
तर तर्य ितुाळयचय व्ययस ियढय ?
(6) आिृ तीमध्र्े िें द्र C असलेल्र्य ितुाळयत
m(िां स AXB) = 100° तर िें द्रीर् ∠ACB आणण
m(िां सAYB ) र्यांची मयपे ियढय .
(7) सोबतच्र्य आिृ तीत, बबांद M ितुाळ िें द्र आणण रे ख KL हय
स्पर्शाियखांड आहे. जर MK= 12, KL = 6√3 तर
(i) ितुाळयची णिज्र्य ियढय (ii) ∠K आणण∠M र्यांची मयपे
ठरिय.
स्पर्शाियांतील अांतर किती हे सियरण णलहय.
(4) आिृ तीमध्र्े m(िां स NS) = 125° ,
m(िां स EF) = 37° तर ∠NMS चे मयप ियढय .
(5) एिय ितुाळयच्र्य िें द्रयपयसन 15 सेमी अांतरयिरील एिय बबांदतन
तर्य ितुाळयलय ियढलेल्र्य स्पर्शािय खांडयची लयांबी 12 सेमी असेल
तर तर्य ितुाळयचय व्ययस ियढय ?
(6) आिृ तीमध्र्े िें द्र C असलेल्र्य ितुाळयत
m(िां स AXB) = 100° तर िें द्रीर् ∠ACB आणण
m(िां सAYB ) र्यांची मयपे ियढय .
(7) सोबतच्र्य आिृ तीत, बबांद M ितुाळ िें द्र आणण रे ख KL हय
स्पर्शाियखांड आहे. जर MK= 12, KL = 6√3 तर
(i) ितुाळयची णिज्र्य ियढय (ii) ∠K आणण∠M र्यांची मयपे
ठरिय.
Page 56
(8) आिृ तीमध्र्े जीिय AB आणण जीिय DE बबांद B मध्र्े
छेदतयत.जर ∠ABE = 100° आणण m (िां स AE) = 95°
तर m(िां स DC) ियढय.
5.खयलील िृ ती पणा िरय.(प्रतर्ेिी 3 गुण )
(1) ितुाळयच्र्य बयह्यियगयतील बबांदपयसन तर्य ितुाळयलय ियढलेले स्पर्शाियखांड एिरूप असतयत
हे प्रमेर् णसद्ध िरण्र्यसयठी आिृ तीच्र्य आधयर खयलील िृ ती पणा िरय
पक्ष :
सयध्र् :
णसद्धतय : णिज्र्य AP आणण AQ ियढन प्रमेर्यची
खयली कदलेली णसद्धतय ररियम्र्य जयगय िरून
पणा िरय.
∆𝐏𝐀𝐃 आणण ∆𝐐𝐀𝐃 र्यांमध्र्े ,
बयज PA ≅ बयज .... ( एियच ितुाळयच्र्य णिज्र्य )
बयज AD ≅ बयज AD .... ( )
∠𝐀𝐏𝐃 ≅ ∠𝐀𝐐𝐃 = 𝟗𝟎° ....( स्पर्शािेचे प्रमेर् )
∴ ∆𝐏𝐀𝐃 ≅ ∆𝐐𝐀𝐃 .... ( )
∴बयज DP ≅ बयज DQ .... ( )
छेदतयत.जर ∠ABE = 100° आणण m (िां स AE) = 95°
तर m(िां स DC) ियढय.
5.खयलील िृ ती पणा िरय.(प्रतर्ेिी 3 गुण )
(1) ितुाळयच्र्य बयह्यियगयतील बबांदपयसन तर्य ितुाळयलय ियढलेले स्पर्शाियखांड एिरूप असतयत
हे प्रमेर् णसद्ध िरण्र्यसयठी आिृ तीच्र्य आधयर खयलील िृ ती पणा िरय
पक्ष :
सयध्र् :
णसद्धतय : णिज्र्य AP आणण AQ ियढन प्रमेर्यची
खयली कदलेली णसद्धतय ररियम्र्य जयगय िरून
पणा िरय.
∆𝐏𝐀𝐃 आणण ∆𝐐𝐀𝐃 र्यांमध्र्े ,
बयज PA ≅ बयज .... ( एियच ितुाळयच्र्य णिज्र्य )
बयज AD ≅ बयज AD .... ( )
∠𝐀𝐏𝐃 ≅ ∠𝐀𝐐𝐃 = 𝟗𝟎° ....( स्पर्शािेचे प्रमेर् )
∴ ∆𝐏𝐀𝐃 ≅ ∆𝐐𝐀𝐃 .... ( )
∴बयज DP ≅ बयज DQ .... ( )
Page 57
(2) चक्रीर् �� ⃞ MRPN मध्र्े , ∠R =(5x-13)° आणण ∠N=(4x+4)°, तर ∠R आणण∠N
र्यांची मयपे ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय .
उिल : ⃞ MRPN हय चक्रीर् चौिोन आहे.
चक्रीर् चौिोनयचे सांमुख िोन परस्परयांचे असतयत.
∠R + ∠N =
∴(5x-13)° + (4x+4°) =
∴ 9x = 189
∴ x =
∴ ∠R = (5x-13)° =
∴ ∠N = (4x+4)° =
(3) आिृ तीमध्र्े, रे ख AB हय िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयचय व्ययस आहे.अांतर्लाणखत िोन ACB चय
दुियजि ितुाळयलय बबांद D मध्र्े छेदतो, तर रे खAD ≅ रे ख BD हे णसद्ध िरय.
पुढे कदलेल्र्य णसद्धतेतील ररियम्र्य जयगय
िरून ती पणा िरय आणण णलहय.
णसद्धतय : रे ख OD ियढलय.
∠𝐀𝐂𝐁 = ...... (अधाितुाळयत अांतर्लाणखत िोन)
∠𝐃𝐂𝐁 = .....( रे ख CD हय ∠C चय दुियजि)
m(िां स DB) = .....( अांतर्लाणखत िोनयचे प्रमेर्)
र्यांची मयपे ियढण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय .
उिल : ⃞ MRPN हय चक्रीर् चौिोन आहे.
चक्रीर् चौिोनयचे सांमुख िोन परस्परयांचे असतयत.
∠R + ∠N =
∴(5x-13)° + (4x+4°) =
∴ 9x = 189
∴ x =
∴ ∠R = (5x-13)° =
∴ ∠N = (4x+4)° =
(3) आिृ तीमध्र्े, रे ख AB हय िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयचय व्ययस आहे.अांतर्लाणखत िोन ACB चय
दुियजि ितुाळयलय बबांद D मध्र्े छेदतो, तर रे खAD ≅ रे ख BD हे णसद्ध िरय.
पुढे कदलेल्र्य णसद्धतेतील ररियम्र्य जयगय
िरून ती पणा िरय आणण णलहय.
णसद्धतय : रे ख OD ियढलय.
∠𝐀𝐂𝐁 = ...... (अधाितुाळयत अांतर्लाणखत िोन)
∠𝐃𝐂𝐁 = .....( रे ख CD हय ∠C चय दुियजि)
m(िां स DB) = .....( अांतर्लाणखत िोनयचे प्रमेर्)
Page 58
∠𝐃𝐎𝐁 = ....( िां सयच्र्य
मयपयची व्ययख्र्य) (I)
रे ख OA ≅ रे ख OB ........(
) (II)
∴ रे ख OD ही रे ख AB ची रे षय आहे.....[(I) ि(II) िरून]
रे ख AD ≅ रे ख BD
(4) सोबतच्र्य आिृ तीत, िें द्र X आणण Y असलेली ितुाळे परस्परयांनय बबांद Z मध्र्े स्पशा िरतयत. बबांद
Z मधन जयणयरी िृत्तछेकदिय तर्य ितुाळयांनय अनुक्रमे बबांद A ि बबांद B मध्र्े छेदते. तर णसद्ध िरय,
णिज्र्य XA ∥ णिज्र्य YB.
खयली कदलेल्र्य णसद्धतेतील ररियम्र्य जयगय िरून पणा णसद्धतय णलहून ियढय.
रचनय : रे ख XZ आणण YZ ियढले.
णसद्धतय : स्पशाितुाळयच्र्य प्रमेर्यनुसयर बबांद X , Y , Z हे आहेत.
∴ ∠𝐗𝐙𝐀 ≅ ...... (णिरद्ध िोन)
∠𝐗𝐙𝐀 = ∠𝐁𝐙𝐘 = 𝐩 मयन .......(I)
आतय , रे ख XA ≅ रे ख XZ ......( एियच ितुाळयच्र्य णिज्र्य)
∴ ∠𝐗𝐀𝐙 = =𝐩 .......(II) (समणििुज णििोणयचे प्रमेर्)
तसेच रे ख YB ≅ रे ख YZ ......(एियच ितुाळयच्र्य णिज्र्य )
मयपयची व्ययख्र्य) (I)
रे ख OA ≅ रे ख OB ........(
) (II)
∴ रे ख OD ही रे ख AB ची रे षय आहे.....[(I) ि(II) िरून]
रे ख AD ≅ रे ख BD
(4) सोबतच्र्य आिृ तीत, िें द्र X आणण Y असलेली ितुाळे परस्परयांनय बबांद Z मध्र्े स्पशा िरतयत. बबांद
Z मधन जयणयरी िृत्तछेकदिय तर्य ितुाळयांनय अनुक्रमे बबांद A ि बबांद B मध्र्े छेदते. तर णसद्ध िरय,
णिज्र्य XA ∥ णिज्र्य YB.
खयली कदलेल्र्य णसद्धतेतील ररियम्र्य जयगय िरून पणा णसद्धतय णलहून ियढय.
रचनय : रे ख XZ आणण YZ ियढले.
णसद्धतय : स्पशाितुाळयच्र्य प्रमेर्यनुसयर बबांद X , Y , Z हे आहेत.
∴ ∠𝐗𝐙𝐀 ≅ ...... (णिरद्ध िोन)
∠𝐗𝐙𝐀 = ∠𝐁𝐙𝐘 = 𝐩 मयन .......(I)
आतय , रे ख XA ≅ रे ख XZ ......( एियच ितुाळयच्र्य णिज्र्य)
∴ ∠𝐗𝐀𝐙 = =𝐩 .......(II) (समणििुज णििोणयचे प्रमेर्)
तसेच रे ख YB ≅ रे ख YZ ......(एियच ितुाळयच्र्य णिज्र्य )
Page 59
∴ ∠𝐁𝐙𝐘 = =𝐩 .......(III) (समणििुज णििोणयचे प्रमेर्)
∴ (I) (II) ि (III) िरून
∠𝐗𝐀𝐙 =
∴ णिज्र्य XA ∥ णिज्र्य YB .....( )
(5) चक्रीर् चौिोनयचय बयह्यिोन तर्यच्र्य सांलग्न िोणयच्र्य सांमुख िोनयशी एिरूप असतो हे प्रमेर्
णसद्ध िरण्र्यसयठी पुढील िृ ती पणा िरय.
पक्ष: : ⃞ ABCD चक्रीर् चौिोन आहे
हय ⃞ ABCD चय बयह्यिोन आहे.
सयध्र्: ∠DCE ≅ ∠BAD
णसद्धतय : + ∠BCD = .....( रेषीर् जोडीतील िोण) (I)
⃞ ABCD चक्रीर् चौिोन आहे
+ ∠BAD = .....(चक्रीर् चौिोनयचे प्रमेर्) (II)
(I)ि (II) िरून
∠DCE + ∠BCD = + ∠BAD
∠DCE ≅ ∠BAD
(6) आिृ तीत रे ख RM आणण रेख RN हे िें द्र O असलेल्र्य
∴ (I) (II) ि (III) िरून
∠𝐗𝐀𝐙 =
∴ णिज्र्य XA ∥ णिज्र्य YB .....( )
(5) चक्रीर् चौिोनयचय बयह्यिोन तर्यच्र्य सांलग्न िोणयच्र्य सांमुख िोनयशी एिरूप असतो हे प्रमेर्
णसद्ध िरण्र्यसयठी पुढील िृ ती पणा िरय.
पक्ष: : ⃞ ABCD चक्रीर् चौिोन आहे
हय ⃞ ABCD चय बयह्यिोन आहे.
सयध्र्: ∠DCE ≅ ∠BAD
णसद्धतय : + ∠BCD = .....( रेषीर् जोडीतील िोण) (I)
⃞ ABCD चक्रीर् चौिोन आहे
+ ∠BAD = .....(चक्रीर् चौिोनयचे प्रमेर्) (II)
(I)ि (II) िरून
∠DCE + ∠BCD = + ∠BAD
∠DCE ≅ ∠BAD
(6) आिृ तीत रे ख RM आणण रेख RN हे िें द्र O असलेल्र्य
Page 60
ितुाळयचे स्पर्शािय खांड आहेत, तर रे ख OR हय
∠ MRN आणण ∠MON र्य दोन्ही िोनयांचय दुियजि
आहे हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय
णसद्धतय : ∆RMO आणण ∆RNO र्यांमध्र्े ,
∠RMO ≅ ∠RNO = 90° ....( )
िणा OR ≅ िणा OR .... ( )
बयज OM ≅ बयज .... ( एियच ितुाळयच्र्य णिज्र्य )
∴ ∆RMO ≅ ∆RNO .... ( )
∠MOR ≅ ∠NOR
तसेच ∠MRO ≅ .... ( )
∴ रे ख OR हय ∠ MRN आणण ∠MON र्य दोन्ही िोनयांचय दुियजि आहे.
(7) आिृ तीमध्र्े बबांद O ितुाळ िें द्र आणण
रे ख AB ि रे ख AC हे स्पर्शाियखांड आहेत.
जर ितुाळयची णिज्र्य r असेल आणण
𝓵(𝐀𝐁) = 𝐫 असेल तर ⃞ ABOC
हय चौरस होतो हे दयखिण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय.
णसद्धतय : रे ख OB आणण OC ियढले.
𝓵(AB) = r ..... (पक्ष) (I)
∠ MRN आणण ∠MON र्य दोन्ही िोनयांचय दुियजि
आहे हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय
णसद्धतय : ∆RMO आणण ∆RNO र्यांमध्र्े ,
∠RMO ≅ ∠RNO = 90° ....( )
िणा OR ≅ िणा OR .... ( )
बयज OM ≅ बयज .... ( एियच ितुाळयच्र्य णिज्र्य )
∴ ∆RMO ≅ ∆RNO .... ( )
∠MOR ≅ ∠NOR
तसेच ∠MRO ≅ .... ( )
∴ रे ख OR हय ∠ MRN आणण ∠MON र्य दोन्ही िोनयांचय दुियजि आहे.
(7) आिृ तीमध्र्े बबांद O ितुाळ िें द्र आणण
रे ख AB ि रे ख AC हे स्पर्शाियखांड आहेत.
जर ितुाळयची णिज्र्य r असेल आणण
𝓵(𝐀𝐁) = 𝐫 असेल तर ⃞ ABOC
हय चौरस होतो हे दयखिण्र्यसयठी खयलील िृ ती पणा िरय.
णसद्धतय : रे ख OB आणण OC ियढले.
𝓵(AB) = r ..... (पक्ष) (I)
Page 61
AB=AC .....( ) (I परां तु OB =
OC = r ..... ( ) (III)
(I),(II) ि(III) िरून
AB= = OB = OC = r
∴ ⃞ ABOC हय चौिोन आहे.
तसेच ∠OBA = ....( स्पर्शािेचे प्रमेर् )
एि िोन ियटिोन असणयरय चौिोन चौरस होतो .
∴ ⃞ ABOC हय चौरस होतो.
6 .खयलील उपप्रश्न सोडिय. ( 3 गुणयांचे प्रश्न )
1) खयलील प्रमेर्े णसद्ध िरय:
i) चक्रीर् चौिोनयचे सांमुख िोन परस्परयांचे परििोन असतयत.
ii) ितुाळयच्र्य बयह्यियगयतील बबांदपयसन तर्य ितुाळयलय ियढलेले स्पर्शाियखांड एिरूप असतयत.
iii) एियच िां सयत अांतर्लाणखत झयलेले सिा िोन एिरूप असतयत.
2) बबांद ु O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयलय रे षय ℓबबांद P मध्र्े स्पशा िरते. जर ितुाळयची णिज्र्य 9 सेमी असेल तर
खयलील प्रश्नयांची उत्तरे णलहय.
i) d(O,P )= किती? िय ?
ii) जर d( O,Q)= 8 सेमी असेल, तर बबांद Q चे स्थयन िोठे असेल ?
iii) d(O,R ) = 15 सेमी असेल तर बबांद R ची किती स्थयने रे षय 𝓵 िर
असतील? ते बबांद P पयसन किती अांतरयिर असतील?
OC = r ..... ( ) (III)
(I),(II) ि(III) िरून
AB= = OB = OC = r
∴ ⃞ ABOC हय चौिोन आहे.
तसेच ∠OBA = ....( स्पर्शािेचे प्रमेर् )
एि िोन ियटिोन असणयरय चौिोन चौरस होतो .
∴ ⃞ ABOC हय चौरस होतो.
6 .खयलील उपप्रश्न सोडिय. ( 3 गुणयांचे प्रश्न )
1) खयलील प्रमेर्े णसद्ध िरय:
i) चक्रीर् चौिोनयचे सांमुख िोन परस्परयांचे परििोन असतयत.
ii) ितुाळयच्र्य बयह्यियगयतील बबांदपयसन तर्य ितुाळयलय ियढलेले स्पर्शाियखांड एिरूप असतयत.
iii) एियच िां सयत अांतर्लाणखत झयलेले सिा िोन एिरूप असतयत.
2) बबांद ु O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयलय रे षय ℓबबांद P मध्र्े स्पशा िरते. जर ितुाळयची णिज्र्य 9 सेमी असेल तर
खयलील प्रश्नयांची उत्तरे णलहय.
i) d(O,P )= किती? िय ?
ii) जर d( O,Q)= 8 सेमी असेल, तर बबांद Q चे स्थयन िोठे असेल ?
iii) d(O,R ) = 15 सेमी असेल तर बबांद R ची किती स्थयने रे षय 𝓵 िर
असतील? ते बबांद P पयसन किती अांतरयिर असतील?
Page 62
3) शेजयरील आिृ तीत, O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयच्र्य
बयह्यियगयतील R र्य बबांदपयसन ियढलेले
RM आणण RN हे स्पर्शािय खांड ितुाळयलय
बबांद M आणण N मध्र्े स्पशा िरतयत
जर OR = 10 सेमी ि ितुाळयची णिज्र्य
5 सेमी असेल तर
i)प्रतर्ेि स्पर्शािय खांडयची लयांबी किती?
ii) ∠MRO चे मयप किती? iii) ∠MRN चे मयप ?
4) आिृ तीमध्र्े जीिय AB ≅ जीिय CD तर णसद्ध िरय-
िां स AC ≅ िां स BD
5) आिृ तीमध्र्े , िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयच्र्य जीिय AB ची लयांबी ितुाळयच्र्य णिज्र्ेएिढी आहे. तर (i)
∠AOB (ii) ∠ACB
(iii)िां स (AB) र्यांची मयपे ियढय.
6) आिृ तीमध्र्े जीिय LM ≅ जीिय LN आणण
∠𝐋 = 35° तर (i) m (िां स MN) = किती ?
बयह्यियगयतील R र्य बबांदपयसन ियढलेले
RM आणण RN हे स्पर्शािय खांड ितुाळयलय
बबांद M आणण N मध्र्े स्पशा िरतयत
जर OR = 10 सेमी ि ितुाळयची णिज्र्य
5 सेमी असेल तर
i)प्रतर्ेि स्पर्शािय खांडयची लयांबी किती?
ii) ∠MRO चे मयप किती? iii) ∠MRN चे मयप ?
4) आिृ तीमध्र्े जीिय AB ≅ जीिय CD तर णसद्ध िरय-
िां स AC ≅ िां स BD
5) आिृ तीमध्र्े , िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयच्र्य जीिय AB ची लयांबी ितुाळयच्र्य णिज्र्ेएिढी आहे. तर (i)
∠AOB (ii) ∠ACB
(iii)िां स (AB) र्यांची मयपे ियढय.
6) आिृ तीमध्र्े जीिय LM ≅ जीिय LN आणण
∠𝐋 = 35° तर (i) m (िां स MN) = किती ?
Page 63
(ii) m( िां सLN )= किती ?
7) िोणतयही आर्त हय चक्रीर् चौिोन असतो हे णसद्ध िरय .
8) आिृ तीमध्र्े ⃞ PQRS चक्रीर् चौिोन आहे.
बयज PQ ≅ बयज RQ , ∠PSR = 110° तर
(i) ∠PQR = किती?
(ii) m (िां स PQR) = किती ?
(iii) m( िां स QR )= किती ?
9) शेजयरील आिृ तीत, रे षय ℓ ही िें द्र O असलेल्र्य
ितुाळयलय बबांद P मध्र्े स्पशा िरते. बबांद Q हय
णिज्र्य OP चय मध्र्बबांद आहे. बबांद Q लय
सयमयिणयरी जीिय RS ∥ रे षय ℓ. जर RS=12 सेमी
असेल , तर ितुाळयची णिज्र्य ियढय.
10)सोबतच्र्य आिृ तीत, िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयच्र्य
रे ख PQ आणण रे ख RS र्य एिरूप जीिय आहेत.
जर ∠PQR =70° आणण m(िां सRS) = 80°
(i) m (िां स PR) = किती ?
(ii) m(िां स QS)= किती ?
7) िोणतयही आर्त हय चक्रीर् चौिोन असतो हे णसद्ध िरय .
8) आिृ तीमध्र्े ⃞ PQRS चक्रीर् चौिोन आहे.
बयज PQ ≅ बयज RQ , ∠PSR = 110° तर
(i) ∠PQR = किती?
(ii) m (िां स PQR) = किती ?
(iii) m( िां स QR )= किती ?
9) शेजयरील आिृ तीत, रे षय ℓ ही िें द्र O असलेल्र्य
ितुाळयलय बबांद P मध्र्े स्पशा िरते. बबांद Q हय
णिज्र्य OP चय मध्र्बबांद आहे. बबांद Q लय
सयमयिणयरी जीिय RS ∥ रे षय ℓ. जर RS=12 सेमी
असेल , तर ितुाळयची णिज्र्य ियढय.
10)सोबतच्र्य आिृ तीत, िें द्र O असलेल्र्य ितुाळयच्र्य
रे ख PQ आणण रे ख RS र्य एिरूप जीिय आहेत.
जर ∠PQR =70° आणण m(िां सRS) = 80°
(i) m (िां स PR) = किती ?
(ii) m(िां स QS)= किती ?
Page 64
(iii) m( िां स QSR )= किती ?
11) कदलेल्र्य आिृ तीत, Q िें द्र असलेल्र्य ितुाळयच्र्य
PM आणण PN स्पर्शािय आहेत .
जर ∠MPN = 40° तर∠MQN चे मयप ियढय.
(12)आिृ तीमध्र्े ितुाळयच्र्य दोन जीिय EF आणण GH परस्परयांनय आहेत .O ितुाळिें द्र असेल तर ∠𝐄𝐎𝐆 ≅
∠𝐅𝐎𝐇 दयखिय
7.खयलील उपप्रश्न सोडिय. ( 4 गुणयांचे प्रश्न )
(1) O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयचय रे ख PQ हय व्ययस आहे.
बबांद C मधन ियढलेली स्पर्शािय ितुाळयस बबांद
P आणण Q बबांदत
ांु न ियढलेल्र्य स्पर्शाियांनय अनुक्रमे
A आणण B णबदत छेदतयत तर णसद्ध िरय िी ,
11) कदलेल्र्य आिृ तीत, Q िें द्र असलेल्र्य ितुाळयच्र्य
PM आणण PN स्पर्शािय आहेत .
जर ∠MPN = 40° तर∠MQN चे मयप ियढय.
(12)आिृ तीमध्र्े ितुाळयच्र्य दोन जीिय EF आणण GH परस्परयांनय आहेत .O ितुाळिें द्र असेल तर ∠𝐄𝐎𝐆 ≅
∠𝐅𝐎𝐇 दयखिय
7.खयलील उपप्रश्न सोडिय. ( 4 गुणयांचे प्रश्न )
(1) O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयचय रे ख PQ हय व्ययस आहे.
बबांद C मधन ियढलेली स्पर्शािय ितुाळयस बबांद
P आणण Q बबांदत
ांु न ियढलेल्र्य स्पर्शाियांनय अनुक्रमे
A आणण B णबदत छेदतयत तर णसद्ध िरय िी ,
Page 65
∠AOC = 90°
(2) ितुाळयच्र्य जीिय AB आणण CD परस्परयांनय तर्यच ितुाळयच्र्य
अांतियागयतील बबांद
M मध्र्े छेदतयत. तर CM × BD =
BM × AC हे णसद्ध िरय .
(3) खयलील आिृ तीत P िें द्र असलेले
ितुाळ ∆ABC मध्र्े अांतर्लाणखत
असन बयज AB ,
बयज BC ि बयज AC लय अनुक्रमे L,M ि N बबांदत स्पशा िरते.र्य
ितुाळयची णिज्र्य
r आहे .णसद्ध िरय िी : A(∆ABC) = 2 (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 +
1
𝐴𝐶) × r
(4) ⃞ ABCD चक्रीर् चौिोन आहे. m(िां स ABC) = 230°. तर
∠𝐀𝐁𝐂 , ∠𝐂𝐃𝐀 , ∠𝐂𝐁𝐄 र्यांची मयपे ियढय .
(5) आिृ तीमध्र्े ∆ABC हय समणििुज णििोण असन तर्यची पररणमती 44 सेमी आहे. बयज AB आणण
BC एिरूप असन पयर्य AC ची लयांबी 12 सेमी आहे. आिृ तीत दयखणिल्र्यप्रमयणे एि ितुाळ
णतन्ही बयजांनय स्पशा िरते तर हे B बबांदपयसन ितुाळयस ियढलेल्र्य स्पर्शािय खांडयची लयांबी ियढय
(2) ितुाळयच्र्य जीिय AB आणण CD परस्परयांनय तर्यच ितुाळयच्र्य
अांतियागयतील बबांद
M मध्र्े छेदतयत. तर CM × BD =
BM × AC हे णसद्ध िरय .
(3) खयलील आिृ तीत P िें द्र असलेले
ितुाळ ∆ABC मध्र्े अांतर्लाणखत
असन बयज AB ,
बयज BC ि बयज AC लय अनुक्रमे L,M ि N बबांदत स्पशा िरते.र्य
ितुाळयची णिज्र्य
r आहे .णसद्ध िरय िी : A(∆ABC) = 2 (𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 +
1
𝐴𝐶) × r
(4) ⃞ ABCD चक्रीर् चौिोन आहे. m(िां स ABC) = 230°. तर
∠𝐀𝐁𝐂 , ∠𝐂𝐃𝐀 , ∠𝐂𝐁𝐄 र्यांची मयपे ियढय .
(5) आिृ तीमध्र्े ∆ABC हय समणििुज णििोण असन तर्यची पररणमती 44 सेमी आहे. बयज AB आणण
BC एिरूप असन पयर्य AC ची लयांबी 12 सेमी आहे. आिृ तीत दयखणिल्र्यप्रमयणे एि ितुाळ
णतन्ही बयजांनय स्पशा िरते तर हे B बबांदपयसन ितुाळयस ियढलेल्र्य स्पर्शािय खांडयची लयांबी ियढय
Page 66
(6) आिृ तीमध्र्े ∆ABC हय समिज णििोण आहे .
∠𝐁 चय िोनदुियजि ∆ABC च्र्य
पररितुाळयलय बबांद P मध्र्े छेदत असेल
तर णसद्ध िरय : CQ = CA
(7) सोबतच्र्य आिृ तीत ⃞ ABCD चक्रीर् चौिोन आहे.
m(िां स BC) = 90° आणण ∠𝐃𝐁𝐂 = 55°. तर
∠𝐁𝐂𝐃 चे मयप ियढय
(8) पक्ष : ियटिोन ∆ABC मध्र्े एि ितुाळ अांतरणलणखत
िे लेले आहे,∠𝐀𝐂𝐁 = 90°
ितुाळयची णिज्र्य r आहे.
सयध्र् : 2 r = 𝒶 + b – c
(9) P हय िें द्रबबांद असलेल्र्य ितुळ
ा यत जीिय AB ही एिय
स्पर्शािेलय समयांतर आहे आणण स्पशाबबांदतन ियढलेल्र्य
णिज्र्ेलय णतच्र्य मध्र्बबांदत छेदते. जर AB = 16√3 तर
ितुाळयची णिज्र्य ियढय.
(10) आिृ तीमध्र्े O हय ितुाळयचय िें द्रबबांद आहे.
रे षय AQ ही स्पर्शािय आहे. जर OP = 3
आणण m(िां स PM) = 120°असेल
तर AP ची लयांबी ियढय ?
∠𝐁 चय िोनदुियजि ∆ABC च्र्य
पररितुाळयलय बबांद P मध्र्े छेदत असेल
तर णसद्ध िरय : CQ = CA
(7) सोबतच्र्य आिृ तीत ⃞ ABCD चक्रीर् चौिोन आहे.
m(िां स BC) = 90° आणण ∠𝐃𝐁𝐂 = 55°. तर
∠𝐁𝐂𝐃 चे मयप ियढय
(8) पक्ष : ियटिोन ∆ABC मध्र्े एि ितुाळ अांतरणलणखत
िे लेले आहे,∠𝐀𝐂𝐁 = 90°
ितुाळयची णिज्र्य r आहे.
सयध्र् : 2 r = 𝒶 + b – c
(9) P हय िें द्रबबांद असलेल्र्य ितुळ
ा यत जीिय AB ही एिय
स्पर्शािेलय समयांतर आहे आणण स्पशाबबांदतन ियढलेल्र्य
णिज्र्ेलय णतच्र्य मध्र्बबांदत छेदते. जर AB = 16√3 तर
ितुाळयची णिज्र्य ियढय.
(10) आिृ तीमध्र्े O हय ितुाळयचय िें द्रबबांद आहे.
रे षय AQ ही स्पर्शािय आहे. जर OP = 3
आणण m(िां स PM) = 120°असेल
तर AP ची लयांबी ियढय ?
Page 67
8. खयलील उपप्रश्न सोडिय ( प्रतर्ेिी 3 गुण )
(1) आिृ तीत O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयत
∠𝐀𝐎𝐁 = 𝟗𝟎° , ∠𝐀𝐁𝐂 = 𝟑𝟎°
तर ∠𝐂𝐀𝐁 किती ?
(2) आिृ तीत P िें द्र असलेले ितुाळ O िें द्र असलेल्र्य
अधाितुाळयलय Q ि C बबांदत स्पशा िरते . जर
व्ययस AB = 10 , AC = 6 असेल तर लहयन
ितुाळयची णिज्र्य 𝓍 किती ?
(3) आिृ तीत ⃞ ABCD च्र्य बयजांनय आतन स्पशा िरणयऱ्र्य
ितुाळयचय िें द्र O आहे . जर AD ⊥ DC तसेच BC = 38
QB = 27 , DC = 25 असेल तर ितुाळयची णिज्र्य ियढय?
(4) दोन असमयन ( णिन्न ) िीज्र्ेंच्र्य ितुाळयांमध्र्े जर
AB आणण CD तर्यांच्र्य सयमयइि स्पर्शािय असतील
तर रे ख AB रे ख CD दयखिय.
(1) आिृ तीत O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयत
∠𝐀𝐎𝐁 = 𝟗𝟎° , ∠𝐀𝐁𝐂 = 𝟑𝟎°
तर ∠𝐂𝐀𝐁 किती ?
(2) आिृ तीत P िें द्र असलेले ितुाळ O िें द्र असलेल्र्य
अधाितुाळयलय Q ि C बबांदत स्पशा िरते . जर
व्ययस AB = 10 , AC = 6 असेल तर लहयन
ितुाळयची णिज्र्य 𝓍 किती ?
(3) आिृ तीत ⃞ ABCD च्र्य बयजांनय आतन स्पशा िरणयऱ्र्य
ितुाळयचय िें द्र O आहे . जर AD ⊥ DC तसेच BC = 38
QB = 27 , DC = 25 असेल तर ितुाळयची णिज्र्य ियढय?
(4) दोन असमयन ( णिन्न ) िीज्र्ेंच्र्य ितुाळयांमध्र्े जर
AB आणण CD तर्यांच्र्य सयमयइि स्पर्शािय असतील
तर रे ख AB रे ख CD दयखिय.
Page 68
(5) बबांद A ,B आणण C िे न्द्र असलेली तीन ितुाळे परस्परयांनय बयहेरून स्पशा िरतयत. जर AB= 36 , BC=
32 आणण CA = 30 असेल तर प्रतर्ेि ितुाळयची णिज्र्य ियढय.
प्रकरण : िौणमणति रचनय
प्रश्न 1) (A) पुढील प्रतर्ेि उपप्रश्नयसयठी चयर पर्यार् उत्तरे कदली आहेत. तर्यपैिी अचि
पर्यार् णनिडन तर्यांचे िणयाक्षर णलहय.
32 आणण CA = 30 असेल तर प्रतर्ेि ितुाळयची णिज्र्य ियढय.
प्रकरण : िौणमणति रचनय
प्रश्न 1) (A) पुढील प्रतर्ेि उपप्रश्नयसयठी चयर पर्यार् उत्तरे कदली आहेत. तर्यपैिी अचि
पर्यार् णनिडन तर्यांचे िणयाक्षर णलहय.
Page 69
1 )ितुाळयिरील बबांदत ा यलय ------------- स्पर्शािय ियढतय र्ेतील.
ु न ितुळ
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0
2) व्ययसयांच्र्य अांतर्बबांदत
ु न ितुाळयलय ियढलेल्र्य स्पर्शािय परस्परयांनय ---------- असतयत
A) लांब B) समयांतर C) एिरूप D) सयांगतय र्ेत नयही
𝐿𝑀 2
3) ∆LMN ~ ∆HIJ ि = तर
𝐻𝐼 3
A) ∆ LMN हय लहयन णििोण आहे
B) ∆ HIJ हय लहयन णििोण आहे
C) दोन्ही णििोण एिरूप आहेत
D) सयांगतय र्ेत नयही
4) ितुाळयच्र्य बयह्यबबांदत
ु न ितुाळयलय जयस्तीत जयस्त ---------- स्पर्शािय ियढतय र्ेतील
A) 2 B) 1 C) एि आणी एिच D) 0
5)
ु न ितुळ
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0
2) व्ययसयांच्र्य अांतर्बबांदत
ु न ितुाळयलय ियढलेल्र्य स्पर्शािय परस्परयांनय ---------- असतयत
A) लांब B) समयांतर C) एिरूप D) सयांगतय र्ेत नयही
𝐿𝑀 2
3) ∆LMN ~ ∆HIJ ि = तर
𝐻𝐼 3
A) ∆ LMN हय लहयन णििोण आहे
B) ∆ HIJ हय लहयन णििोण आहे
C) दोन्ही णििोण एिरूप आहेत
D) सयांगतय र्ेत नयही
4) ितुाळयच्र्य बयह्यबबांदत
ु न ितुाळयलय जयस्तीत जयस्त ---------- स्पर्शािय ियढतय र्ेतील
A) 2 B) 1 C) एि आणी एिच D) 0
5)
Page 70
आकृर्ी मध्ये ∆ ABC ~ ∆ ADE आहे र्र त्यािंच्या सिंगर् ाजूचे गण
त ोत्तर --------आहे
3 1
A) B)
1 3
3 4
C) D)
4 3
6) वर्ळ
तु केंद्राचा वापर करून वर्ळ
तु ाला वर्ळ
तु ावरील ब द
िं र्
ू ून स्पर्शुका काढण्यासाठी
खालील पैकी कोणत्या प्रमेयाचा उपयोग होर्ो.
A) स्पर्शुका – बिज्या प्रमेय.
B) स्पर्शुका - बिज्या प्रमेयाचा व्यत्यास.
C) पायथागोरसचे प्रमेय
D) पायथागोरस प्रमेयाचा व्यत्यास.
र्र
𝑃𝑅 5
7) ∆ PQR ~ ∆ ABC, 𝐴𝐶 = 7
A) ∆ABC मोठा आहे
B) ∆ PQR मोठा आहे .
C) दोन्ही बिकोण समान आहे र्.
D) ननश्चचर् सािंगर्ा येर् नाही.
त ोत्तर --------आहे
3 1
A) B)
1 3
3 4
C) D)
4 3
6) वर्ळ
तु केंद्राचा वापर करून वर्ळ
तु ाला वर्ळ
तु ावरील ब द
िं र्
ू ून स्पर्शुका काढण्यासाठी
खालील पैकी कोणत्या प्रमेयाचा उपयोग होर्ो.
A) स्पर्शुका – बिज्या प्रमेय.
B) स्पर्शुका - बिज्या प्रमेयाचा व्यत्यास.
C) पायथागोरसचे प्रमेय
D) पायथागोरस प्रमेयाचा व्यत्यास.
र्र
𝑃𝑅 5
7) ∆ PQR ~ ∆ ABC, 𝐴𝐶 = 7
A) ∆ABC मोठा आहे
B) ∆ PQR मोठा आहे .
C) दोन्ही बिकोण समान आहे र्.
D) ननश्चचर् सािंगर्ा येर् नाही.
Page 71
असल्यास खालील पैकी कोणर्ा पयाुय सत्य
𝐴𝐵 7
8) ∆ABC ~ ∆AQR. = 5
𝐴𝑄
आहे
A) A-Q-B B) A-B-Q C) A-C-B D) A-R-B
प्रचन 1 (B) खालील उपप्रचन सोडवा (प्रत्येकी 1 गतण)
1) ∠ ABC हा 60 0 काढा व र्ो दभ
त ागा.
2) ∠ PQR हा 1150 काढा. त्याचे दोन एकरूप कोनार् ववभाजन करा.
3) रे ख AB = 9.7 सेमी लािं ीचा काढा. त्यावर ब द
िं ू P असा घ्या की
AP = 3.5 सेमी, A-P-B. ब द
िं ू P मधन
ू रे ख AB ला लिं काढा.
4) 4.5 सेमी लािं ीचा रे ख AB काढा. रे ख AB चा लिं दभ
त ाजक काढा.
5) 9 सेमी लािं ीचा रे ख AB काढा. त्याचे 3:2 प्रमाणार् ववभाजन करा
6) बिज्या 3 सेमी असलेल्या वर्ळ
तु ास त्यावरील P या ब द
िं र्
ू ून स्पर्शुका काढा.
प्रचन 2) (A) खालील प्रत्येक उदाहरणािंमध्ये ददलेल्या सूचनािंनतसार कृर्ी करा.
(प्रत्येकी 2 गतण)
वर्ळ
तु ावर P हा कोणर्ाही एक ब द
िं ू घ्या ककरण OP काढा.
𝐴𝐵 7
8) ∆ABC ~ ∆AQR. = 5
𝐴𝑄
आहे
A) A-Q-B B) A-B-Q C) A-C-B D) A-R-B
प्रचन 1 (B) खालील उपप्रचन सोडवा (प्रत्येकी 1 गतण)
1) ∠ ABC हा 60 0 काढा व र्ो दभ
त ागा.
2) ∠ PQR हा 1150 काढा. त्याचे दोन एकरूप कोनार् ववभाजन करा.
3) रे ख AB = 9.7 सेमी लािं ीचा काढा. त्यावर ब द
िं ू P असा घ्या की
AP = 3.5 सेमी, A-P-B. ब द
िं ू P मधन
ू रे ख AB ला लिं काढा.
4) 4.5 सेमी लािं ीचा रे ख AB काढा. रे ख AB चा लिं दभ
त ाजक काढा.
5) 9 सेमी लािं ीचा रे ख AB काढा. त्याचे 3:2 प्रमाणार् ववभाजन करा
6) बिज्या 3 सेमी असलेल्या वर्ळ
तु ास त्यावरील P या ब द
िं र्
ू ून स्पर्शुका काढा.
प्रचन 2) (A) खालील प्रत्येक उदाहरणािंमध्ये ददलेल्या सूचनािंनतसार कृर्ी करा.
(प्रत्येकी 2 गतण)
वर्ळ
तु ावर P हा कोणर्ाही एक ब द
िं ू घ्या ककरण OP काढा.
Page 72
ककरण OP ला P मधन
ू लिं रे षा काढा .
1) O केंद्र व बिज्या 3 सेमी असलेले वर्ळ
तु काढा
वर्ळ
तु ावर कोणर्ाही एक ब द
िं ू P घ्या
ककरण OP काढा.
ककरण OP ला P मधन
ू लिं रे षा काढा.
2) व्ययसयच्र्य अांतर्बबांदतन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढण्र्यसयठी खयली कदलेल्र्य सचनयांनुसयर
िृ ती िरय.
O िें द्र ि णिज्र्य 3 सेमी असलेले ितुाळ ियढय. ितुाळयिर बबांद A ि
B घेऊन व्ययस AB ियढय.
किरणOA ियढय.किरण OB ियढय
किरण OA लय बबांदु A मधन लांब रे षय ियढय
.
ू लिं रे षा काढा .
1) O केंद्र व बिज्या 3 सेमी असलेले वर्ळ
तु काढा
वर्ळ
तु ावर कोणर्ाही एक ब द
िं ू P घ्या
ककरण OP काढा.
ककरण OP ला P मधन
ू लिं रे षा काढा.
2) व्ययसयच्र्य अांतर्बबांदतन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढण्र्यसयठी खयली कदलेल्र्य सचनयांनुसयर
िृ ती िरय.
O िें द्र ि णिज्र्य 3 सेमी असलेले ितुाळ ियढय. ितुाळयिर बबांद A ि
B घेऊन व्ययस AB ियढय.
किरणOA ियढय.किरण OB ियढय
किरण OA लय बबांदु A मधन लांब रे षय ियढय
.
Page 73
किरण OB लय बबांदु B मधन लांब रे षय ियढय.
प्रश्न 2) (B) खयलील उपप्रश्न सोडिय ( प्रतर्ेिी 2 गुण)
1) िें द्र M ि णिज्र्य 3.4 सेमी असलेल्र्य ितुाळयस तर्यिरील बबांद P
बबांदतन स्पर्शािय ियढय.
2) O िें द्र ि णिजय 3.5 सेमी असलेल्र्य ितुाळयलय तर्यिरील P बबांदतन
स्पर्शािय ियढय.
3) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळयिरील िोणतर्यही एिय बबांदतन
जयणयरी स्पर्शािय ियढय.
4) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळयिर िोणतयही एि बबांदु k घ्र्य. K
मधन ितुाळिें द्रयचय ियपर न िरतय स्पर्शािय ियढय.
5) 3.4 सेमी णिज्र्ेचे ितुळ
ा ियढय. ितुाळयमध्र्े 5.7 सेमी लयांबीची जीिय
MN ियढय. बबांद M ि बबांद N मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
6) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळिें द्रयचय ियपर न िरतय ितुाळयलय
तर्यिरील P बबांदतन स्पर्शािय ियढय.
7) रे ख AB 6 सेमी व्ययस असलेले ितुाळ ियढय. व्ययसयच्र्य अांतर्बबांदतन
ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
प्रश्न 2) (B) खयलील उपप्रश्न सोडिय ( प्रतर्ेिी 2 गुण)
1) िें द्र M ि णिज्र्य 3.4 सेमी असलेल्र्य ितुाळयस तर्यिरील बबांद P
बबांदतन स्पर्शािय ियढय.
2) O िें द्र ि णिजय 3.5 सेमी असलेल्र्य ितुाळयलय तर्यिरील P बबांदतन
स्पर्शािय ियढय.
3) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळयिरील िोणतर्यही एिय बबांदतन
जयणयरी स्पर्शािय ियढय.
4) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळयिर िोणतयही एि बबांदु k घ्र्य. K
मधन ितुाळिें द्रयचय ियपर न िरतय स्पर्शािय ियढय.
5) 3.4 सेमी णिज्र्ेचे ितुळ
ा ियढय. ितुाळयमध्र्े 5.7 सेमी लयांबीची जीिय
MN ियढय. बबांद M ि बबांद N मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
6) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळिें द्रयचय ियपर न िरतय ितुाळयलय
तर्यिरील P बबांदतन स्पर्शािय ियढय.
7) रे ख AB 6 सेमी व्ययस असलेले ितुाळ ियढय. व्ययसयच्र्य अांतर्बबांदतन
ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
Page 74
8) रे ख AB = 6.8 सेमी ियढय. रे ख AB व्ययस असलेले ितुाळ ियढय.
ितुाळयिर A ि B व्यणतररक्त बबांद C घ्र्य.रे ख AC ि रे ख CB
ियढय.. ∠CAB चे मयप णलहय.
प्रश्न 3) ( A) खयलील सचनेनुसयर िृ ती िरय.( प्रतर्ेिी 3 गुण)
1) 3.3सेमी णिज्र्यचे ि O िें द्र असलेले ितुाळ ियढन तर्यमध्र्े 6.6सेमी लयांबीची जीिय
PQ ियढय.
किरण OP ि किरण OQ ियढय.
P मधन किरण OP लय लांब रे षय ियढय.
Q मधन किरण OQ लय लांब रे षय ियढय.
2)P िें द्र असलेले ितुाळ ियढय. िां स AB हय 100 0 ियढय.
ितुाळयिर A ि B व्यणतररक्त बबांद C घ्र्य.रे ख AC ि रे ख CB
ियढय.. ∠CAB चे मयप णलहय.
प्रश्न 3) ( A) खयलील सचनेनुसयर िृ ती िरय.( प्रतर्ेिी 3 गुण)
1) 3.3सेमी णिज्र्यचे ि O िें द्र असलेले ितुाळ ियढन तर्यमध्र्े 6.6सेमी लयांबीची जीिय
PQ ियढय.
किरण OP ि किरण OQ ियढय.
P मधन किरण OP लय लांब रे षय ियढय.
Q मधन किरण OQ लय लांब रे षय ियढय.
2)P िें द्र असलेले ितुाळ ियढय. िां स AB हय 100 0 ियढय.
Page 75
A ि B मधन ितुाळयलय स्पर्शािय िरण्र्यसयठी खयलील िृ ती िरय.
िोणतीही णिज्र्य ि P िें द्र घेऊन ितुाळ ियढय.
ितुाळयिर िोणतयही एि बबांद A घ्र्य.
किरण PB असय ियढय िी ∠APB=100 0
किरण PA लय A मधन लांब रे षय ियढय
किरण PB लय B मधुन लांब रे षय ियढय
.
3)ितुाळ िें द्रयचय ियपर न िरतय ितुाळयलय स्पर्शािय ियढण्र्यसयठी खयलील कदलेल्र्य
सचनयांनुसयर िृ ती िरय.
एि ितुाळ ियढय ि ितुाळयिर िोणतयही एि बबांद C घ्र्य.
िोणतीही णिज्र्य ि P िें द्र घेऊन ितुाळ ियढय.
ितुाळयिर िोणतयही एि बबांद A घ्र्य.
किरण PB असय ियढय िी ∠APB=100 0
किरण PA लय A मधन लांब रे षय ियढय
किरण PB लय B मधुन लांब रे षय ियढय
.
3)ितुाळ िें द्रयचय ियपर न िरतय ितुाळयलय स्पर्शािय ियढण्र्यसयठी खयलील कदलेल्र्य
सचनयांनुसयर िृ ती िरय.
एि ितुाळ ियढय ि ितुाळयिर िोणतयही एि बबांद C घ्र्य.
Page 76
बबांद C मधन जयणयरी जीिय CB ियढय.
ितुाळयिर B ि C सोडन A हय बबांद घ्र्य ∠BAC ियढय.
िां पयस मध्र्े सोर्ीस्िर णिज्र्य घेऊन बबांद A िें द्र घेिन ∠BAC
च्र्य िुजयनय बबांद M ि बबांद N मध्र्े छेदणयरय िां स ियढय.
तीच णिज्र्य ि C िें द्र घेऊन जीिय BC लय छेदणयरय िां स ियढय.
ु R नयि द्यय.
छेदनबबांदस
िां पयस मध्र्े MN एिढी णिज्र्य घ्र्य. िें द्र R घेऊन आधी ियढलेल्र्य िां सयलय
ु D नयि द्यय.
छेदणयरय आणखी एि िां स ियढय. छेदनबबांदस
D मधन जयणयरी रे षय CD ियढय. रे षय CD ही ितुाळयची स्पर्शािय आहे.
ितुाळयिर B ि C सोडन A हय बबांद घ्र्य ∠BAC ियढय.
िां पयस मध्र्े सोर्ीस्िर णिज्र्य घेऊन बबांद A िें द्र घेिन ∠BAC
च्र्य िुजयनय बबांद M ि बबांद N मध्र्े छेदणयरय िां स ियढय.
तीच णिज्र्य ि C िें द्र घेऊन जीिय BC लय छेदणयरय िां स ियढय.
ु R नयि द्यय.
छेदनबबांदस
िां पयस मध्र्े MN एिढी णिज्र्य घ्र्य. िें द्र R घेऊन आधी ियढलेल्र्य िां सयलय
ु D नयि द्यय.
छेदणयरय आणखी एि िां स ियढय. छेदनबबांदस
D मधन जयणयरी रे षय CD ियढय. रे षय CD ही ितुाळयची स्पर्शािय आहे.
Page 77
3) C िें द्र ि णिज्र्य 3.6 सेमी घेऊन ितुाळ ियढय. ितुाळ िें द्रयपयसन 7.2 सेमी अांतरयिर
बबांद B घ्र्य. बबांद B मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढण्र्यसयठी खयलील प्रमयणे िृ ती
िरय.
C िें द्र ि णिज्र्य 3.6 सेमी घेऊन ितुाळ ियढय.
आरां िबबांद C असणयऱ्र्य किरणयिर 7.2 सेमी अांतरयिर बबांद B घ्र्य.
रे ख BC चय लांबदुियजि ियढन मध्र्बबांद P णमळिय.
P िें द्र ि णिज्र्य OP घेिुन ितुाळ ियढय. दोन्ही ितुाळयांच्र्य छेदन बबांदस A ि D
नयि द्यय.
रे षय BA ि रे षय BD ियढय
स्पर्शाियखांड BA= -----सेमी
स्पर्शाियखांड BD =-----सेमी.
बबांद B घ्र्य. बबांद B मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढण्र्यसयठी खयलील प्रमयणे िृ ती
िरय.
C िें द्र ि णिज्र्य 3.6 सेमी घेऊन ितुाळ ियढय.
आरां िबबांद C असणयऱ्र्य किरणयिर 7.2 सेमी अांतरयिर बबांद B घ्र्य.
रे ख BC चय लांबदुियजि ियढन मध्र्बबांद P णमळिय.
P िें द्र ि णिज्र्य OP घेिुन ितुाळ ियढय. दोन्ही ितुाळयांच्र्य छेदन बबांदस A ि D
नयि द्यय.
रे षय BA ि रे षय BD ियढय
स्पर्शाियखांड BA= -----सेमी
स्पर्शाियखांड BD =-----सेमी.
Page 78
प्रश्न 3-(B) खयलील उपप्रश्न सोडिय (प्रतर्ेिी 3 गुण )
1) ∆ABC ~ ∆PBQ, ∆ABC मघ्र्े
AB=3 सेमी, ∠B=90 0 BC=4 सेमी ि णििोणयच्र्य सांगत बयजचे
गुणोत्तर 7:4 असल्र्यस ∆PBQ ियढय.
2)∆RHP ~ ∆NED, ∆NED मध्र्े, NE=7 सेमी, ∠D=30 0 ,
𝐻𝑃 4
∠N=20 0 तसेच = तर ∆RHP ि ∆NED ियढय.
𝐸𝐷 5
3) ∆PQR. ~ ∆ABC, ∆PQR मध्र्े PQ=3.6 सेमी,
QR=4 सेमी, PR = 4.2 सेमी आहे. णििोणयच्र्य सांगत बयजचे
गुणोत्तर 3:2 असल्र्यस ∆ABC ियढय.
4) ∆PQR ~ ∆LTR ∆PQR मध्र्े PQ=4.2 सेमी, QR=5.4 सेमी,
𝑃𝑄 3
PR = 4.8 सेमी = तर ∆PQR ि ∆LTR ियढय.
𝐿𝑇 4
5) ∆ABC ~ ∆PBQ, ∆ABC मध्र्े AB=4 सेमी, BC=5 सेमी AC=6
सेमी णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 2:3 असल्र्यस ∆PBQ ियढय.
6) 5 सेमी बयज असलेलय समिुज ∆ABC ियढय. ∆ABC. ~ ∆LMN
णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 6:7 असल्र्यस ∆LMN ियढय.
1) ∆ABC ~ ∆PBQ, ∆ABC मघ्र्े
AB=3 सेमी, ∠B=90 0 BC=4 सेमी ि णििोणयच्र्य सांगत बयजचे
गुणोत्तर 7:4 असल्र्यस ∆PBQ ियढय.
2)∆RHP ~ ∆NED, ∆NED मध्र्े, NE=7 सेमी, ∠D=30 0 ,
𝐻𝑃 4
∠N=20 0 तसेच = तर ∆RHP ि ∆NED ियढय.
𝐸𝐷 5
3) ∆PQR. ~ ∆ABC, ∆PQR मध्र्े PQ=3.6 सेमी,
QR=4 सेमी, PR = 4.2 सेमी आहे. णििोणयच्र्य सांगत बयजचे
गुणोत्तर 3:2 असल्र्यस ∆ABC ियढय.
4) ∆PQR ~ ∆LTR ∆PQR मध्र्े PQ=4.2 सेमी, QR=5.4 सेमी,
𝑃𝑄 3
PR = 4.8 सेमी = तर ∆PQR ि ∆LTR ियढय.
𝐿𝑇 4
5) ∆ABC ~ ∆PBQ, ∆ABC मध्र्े AB=4 सेमी, BC=5 सेमी AC=6
सेमी णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 2:3 असल्र्यस ∆PBQ ियढय.
6) 5 सेमी बयज असलेलय समिुज ∆ABC ियढय. ∆ABC. ~ ∆LMN
णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 6:7 असल्र्यस ∆LMN ियढय.
Page 79
7) O िें द्र ि 3.4 णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळयमध्र्े 5.7 सेमी लयांबीची जीिय MN
ियढय. ितुाळयलय बबांद M ि बबांद N मधन स्पर्शािय ियढय.
8) O िें द्र ि णिज्र्य 3.6 सेमी असलेले ितुाळ ियढय. ितुाळ िें द्रयपयसन 7.2 सेमी
अांतरयिरील B र्य बबांदतन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
9) C िें द्र ि णिज्र्य 3.2 सेमी असलेले ितुाळ ियढय. ितुाळ िें द्रयपयसन 7.5 सेमी
अांतरयिरील P बबांदतन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
10) 3.5 सेमी णिज्र्य असलेल्र्य ितुाळ ियढय. ितुाळयिर िोठे ही बबांद K घ्र्य. K
मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय (ितुाळ िें द्रयचय ियपर न िरतय).
ा ियढय. 120 0 मयपयचय एि िां स PQ ियढय
11) 4.2 सेमी णिज्र्ेचे ितुळ
बबांद P ि बबांद Q मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
12) 4.2 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळ िें द्रयपयसन 7 सेमी अांतरयिरील बबांदतन
ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय
13) ∆ABC. ~ ∆LMN, ∆ABC मध्र्े, AB=5.5 सेमी BC=6 सेमी
CA=5.5 सेमी, MN=4.8 सेमी, तर ∆ABC ि ∆LMN ियढय.
14) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढन तर्यची रे ख XY ही जीिय 5 सेमी लयांबीची
ियढय. बबांद X ि बबांद Y मधन जयणयर्र्य ितुाळयच्र्य स्पर्शािय ियढय ( ितुाळ
िें द्रयचय ियपर न िरतय)
ियढय. ितुाळयलय बबांद M ि बबांद N मधन स्पर्शािय ियढय.
8) O िें द्र ि णिज्र्य 3.6 सेमी असलेले ितुाळ ियढय. ितुाळ िें द्रयपयसन 7.2 सेमी
अांतरयिरील B र्य बबांदतन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
9) C िें द्र ि णिज्र्य 3.2 सेमी असलेले ितुाळ ियढय. ितुाळ िें द्रयपयसन 7.5 सेमी
अांतरयिरील P बबांदतन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
10) 3.5 सेमी णिज्र्य असलेल्र्य ितुाळ ियढय. ितुाळयिर िोठे ही बबांद K घ्र्य. K
मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय (ितुाळ िें द्रयचय ियपर न िरतय).
ा ियढय. 120 0 मयपयचय एि िां स PQ ियढय
11) 4.2 सेमी णिज्र्ेचे ितुळ
बबांद P ि बबांद Q मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
12) 4.2 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. ितुाळ िें द्रयपयसन 7 सेमी अांतरयिरील बबांदतन
ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय
13) ∆ABC. ~ ∆LMN, ∆ABC मध्र्े, AB=5.5 सेमी BC=6 सेमी
CA=5.5 सेमी, MN=4.8 सेमी, तर ∆ABC ि ∆LMN ियढय.
14) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढन तर्यची रे ख XY ही जीिय 5 सेमी लयांबीची
ियढय. बबांद X ि बबांद Y मधन जयणयर्र्य ितुाळयच्र्य स्पर्शािय ियढय ( ितुाळ
िें द्रयचय ियपर न िरतय)
Page 80
प्रश्न:4) खयलील उपप्रश्न सोडिय ( प्रतर्ेिी 4 गुण)
1) ∆AMT ~ ∆AHE, ∆AMT मध्र्े AM =6.3 सेमी
=
AM 7
∠MAT= 120 0 , AT = 4.9 सेमी, तर ∆AHE ियढय.
HA 5
2) ∆RHP~ ∆NED, ∆NED मध्र्े NE=7 सेमी.
𝐻𝑃 4
∠D=30 0 , ∠N=20 0 , = तर ∆RHP ियढय.
𝐸𝐷 5
3) ∆ABC. ~ ∆ PBR, BC=8 सेमी, AC=10 सेमी, ∠B=90 0 ,
𝐵𝐶 5
= तर ∆PBR ियढय.
𝐵𝑅 4
4) ∆AMT. ~ ∆AHE, ∆AMT मध्र्े AM=6.3 सेमी,
𝐴𝑀 7
∠TAM=50 0 ,AT=5.6सेमी, = , तर ∆ AHE ियढय.
𝐴𝐻 5
5) 3.3 णिज्र्ेच्र्य ितुाळयमध्र्े 6.6 लयांबीची जीिय PQ ियढय. बबांद P ि
Q मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय. ियढलेल्र्य स्पर्शािय बद्दल आपले मत
नोंदिय.
1) ∆AMT ~ ∆AHE, ∆AMT मध्र्े AM =6.3 सेमी
=
AM 7
∠MAT= 120 0 , AT = 4.9 सेमी, तर ∆AHE ियढय.
HA 5
2) ∆RHP~ ∆NED, ∆NED मध्र्े NE=7 सेमी.
𝐻𝑃 4
∠D=30 0 , ∠N=20 0 , = तर ∆RHP ियढय.
𝐸𝐷 5
3) ∆ABC. ~ ∆ PBR, BC=8 सेमी, AC=10 सेमी, ∠B=90 0 ,
𝐵𝐶 5
= तर ∆PBR ियढय.
𝐵𝑅 4
4) ∆AMT. ~ ∆AHE, ∆AMT मध्र्े AM=6.3 सेमी,
𝐴𝑀 7
∠TAM=50 0 ,AT=5.6सेमी, = , तर ∆ AHE ियढय.
𝐴𝐻 5
5) 3.3 णिज्र्ेच्र्य ितुाळयमध्र्े 6.6 लयांबीची जीिय PQ ियढय. बबांद P ि
Q मधन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय. ियढलेल्र्य स्पर्शािय बद्दल आपले मत
नोंदिय.
Page 81
6) ∆RST ~ ∆UAY ∆RST मध्र्े RS= 6 सेमी, ∠S=50 0 ,
ST=7.5 सेमी. णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 5:4
असल्र्यस ∆UAYियढय.
7) ∆PQR ~∆ STU. ∆PQR मध्र्े PQ=3.2 सेमी, QR=3.6 सेमी,
𝑃𝑄 4
PR=7.2 सेमी, = तर ∆PQR ि ∆STU ियढय
𝑆𝑇 5
8) ∆SHR ~ ∆SVU,∆SHR मध्र्े SH=4.5 सेमी,
𝐻𝑆 3
HR = 5.2 सेमी, SR =5.8 सेमी = , तर ∆SVU ियढय.
𝑆𝑉 5
9) ∆ABC मध्र्े, BC=6 सेमी, ∠B=45 0 , ∠A=100 0 .
∆ABC~∆ PBQ णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 7:4 असल्र्यस
∆ABC ि ∆PBQ ियढय.
10) ∆PQR ~ ∆ AQB, ∆PQR मध्र्े,PQ=3 सेमी ∠Q=90 0 ,
QR = 4 सेमी. णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 7:5 असल्र्यस ∆
AQB ियढय.
11) ∆XYZ ~∆PYR,. ∆XYZ मध्र्े XY=4.5 सेमी
𝑋𝑌 4
∠Y=60 0 ,YZ=5.1 सेमी ि = तर ∆XYZ ि ∆PYR
𝑃𝑌 7
ियढय.
ST=7.5 सेमी. णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 5:4
असल्र्यस ∆UAYियढय.
7) ∆PQR ~∆ STU. ∆PQR मध्र्े PQ=3.2 सेमी, QR=3.6 सेमी,
𝑃𝑄 4
PR=7.2 सेमी, = तर ∆PQR ि ∆STU ियढय
𝑆𝑇 5
8) ∆SHR ~ ∆SVU,∆SHR मध्र्े SH=4.5 सेमी,
𝐻𝑆 3
HR = 5.2 सेमी, SR =5.8 सेमी = , तर ∆SVU ियढय.
𝑆𝑉 5
9) ∆ABC मध्र्े, BC=6 सेमी, ∠B=45 0 , ∠A=100 0 .
∆ABC~∆ PBQ णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 7:4 असल्र्यस
∆ABC ि ∆PBQ ियढय.
10) ∆PQR ~ ∆ AQB, ∆PQR मध्र्े,PQ=3 सेमी ∠Q=90 0 ,
QR = 4 सेमी. णििोणयच्र्य सांगत बयजचे गुणोत्तर 7:5 असल्र्यस ∆
AQB ियढय.
11) ∆XYZ ~∆PYR,. ∆XYZ मध्र्े XY=4.5 सेमी
𝑋𝑌 4
∠Y=60 0 ,YZ=5.1 सेमी ि = तर ∆XYZ ि ∆PYR
𝑃𝑌 7
ियढय.
Page 82
12) O िें द्र ि 3 सेमी णिज्र्य असलेले ितुाळ ियढय. ितुाळ िें द्रयतन जयणयऱ्र्य
छेकदिे िर ितुाळ िें द्रयच्र्य णिरद्ध बयजस ितुाळ िें द्रयपयसन 7 सेमी अांतरयिर
बबांद P ि बबांद Q घ्र्य बबांद P ि बबांद Q मधन ितुाळयलय स्पर्शािय
ियढय.
प्रश्न 5) खयलील उपप्रश्न सोडिय (प्रतर्ेिी 3 गुण)
1) एि समणििुज णििोण असय ियढय िी तर्यचय पयर्य 5 सेमी ि उां ची
4 सेमी आहे. तर्य णििोणयलय समरूप णििोण असय ियढय िी
2
,तर्यच्र्य बयज मळ णििोणयच्र्य सांगत बयजच्र्य पट आहेत.
3
2) ∆ABC असय ियढय िी AB =8 सेमी, BC=6 सेमी,
∠ B= 90 0 रे ख BD हय िणा AC लय लांब ियढय. बबांद B,D
ि A मधन जयणयरे ितुाळ ियढय. तसेच रे षय BC ही ितुाळयची
स्पर्शािय आहे र्यचे स्पष्टीिरण द्यय.
छेकदिे िर ितुाळ िें द्रयच्र्य णिरद्ध बयजस ितुाळ िें द्रयपयसन 7 सेमी अांतरयिर
बबांद P ि बबांद Q घ्र्य बबांद P ि बबांद Q मधन ितुाळयलय स्पर्शािय
ियढय.
प्रश्न 5) खयलील उपप्रश्न सोडिय (प्रतर्ेिी 3 गुण)
1) एि समणििुज णििोण असय ियढय िी तर्यचय पयर्य 5 सेमी ि उां ची
4 सेमी आहे. तर्य णििोणयलय समरूप णििोण असय ियढय िी
2
,तर्यच्र्य बयज मळ णििोणयच्र्य सांगत बयजच्र्य पट आहेत.
3
2) ∆ABC असय ियढय िी AB =8 सेमी, BC=6 सेमी,
∠ B= 90 0 रे ख BD हय िणा AC लय लांब ियढय. बबांद B,D
ि A मधन जयणयरे ितुाळ ियढय. तसेच रे षय BC ही ितुाळयची
स्पर्शािय आहे र्यचे स्पष्टीिरण द्यय.
Page 83
3) 4 सेमी, ि 6 सेमी णिज्र्य असलेले ि O िें द्र असलेले समिें द्री
ितुाळे ियढय. मोठ्यय ितुळ
ा यिरील िोणतर्यही एिय बबांदतन लहयन
ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय. स्पर्शाियखांडयांची लयांबी णलहय.
4) 4 सेमी णिज्र्य असलेल्र्य ितुाळयलय ितुाळयच्र्य बयहेरील बबांदतन
दोन स्पर्शािय अशय ियढय िी तर्य स्पर्शाियांमधील िोन 60 0 असेल.
5) AB=6 सेमी, ∠BAQ=50 0 A ि B मधन जयणयरे ितुाळ असे
िरय िी AQ ही ितुाळयची स्पर्शािय असेल.
6) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. चौरसयची प्रतर्ेि बयज ितुाळयलय स्पशा
िरे ल असय चौरस ियढय.
7) रे षय AB च्र्य एियच बयजस बबांद P ि Q घ्र्य बबांद P ि बबांद
Q मधन जयणयरे असे ितुाळ ियढय िी ते रे षय AB लय स्पशा िरे ल.
8) 1.8 सेमी पेक्षय जयस्त ि 3 सेमी पेक्षय िमी णिज्र्य घेऊन िोणतेही
एि ितुाळ ियढय. र्य ितुाळयत 3.6 सेमी लयांबीची जीिय AB ियढय.
ितुाळिें द्रयचय ियपर न िरतय A ि B मधन जयणयऱ्र्य ितुाळयच्र्य
स्पर्शािय ियढय
9) O िें द्र ि णिज्र्य 3 सेमी णिज्र्ेच्र्य ितुाळयत ितुाळय बयहेरील P
बबांदतन 4 सेमी लयांबीचय रे ख PA हय स्पर्शािय खांड ियढय.
ितुाळे ियढय. मोठ्यय ितुळ
ा यिरील िोणतर्यही एिय बबांदतन लहयन
ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय. स्पर्शाियखांडयांची लयांबी णलहय.
4) 4 सेमी णिज्र्य असलेल्र्य ितुाळयलय ितुाळयच्र्य बयहेरील बबांदतन
दोन स्पर्शािय अशय ियढय िी तर्य स्पर्शाियांमधील िोन 60 0 असेल.
5) AB=6 सेमी, ∠BAQ=50 0 A ि B मधन जयणयरे ितुाळ असे
िरय िी AQ ही ितुाळयची स्पर्शािय असेल.
6) 3 सेमी णिज्र्ेचे ितुाळ ियढय. चौरसयची प्रतर्ेि बयज ितुाळयलय स्पशा
िरे ल असय चौरस ियढय.
7) रे षय AB च्र्य एियच बयजस बबांद P ि Q घ्र्य बबांद P ि बबांद
Q मधन जयणयरे असे ितुाळ ियढय िी ते रे षय AB लय स्पशा िरे ल.
8) 1.8 सेमी पेक्षय जयस्त ि 3 सेमी पेक्षय िमी णिज्र्य घेऊन िोणतेही
एि ितुाळ ियढय. र्य ितुाळयत 3.6 सेमी लयांबीची जीिय AB ियढय.
ितुाळिें द्रयचय ियपर न िरतय A ि B मधन जयणयऱ्र्य ितुाळयच्र्य
स्पर्शािय ियढय
9) O िें द्र ि णिज्र्य 3 सेमी णिज्र्ेच्र्य ितुाळयत ितुाळय बयहेरील P
बबांदतन 4 सेमी लयांबीचय रे ख PA हय स्पर्शािय खांड ियढय.
Page 84
10) O िें द्र ि णिज्र्य 2.8 सेमी बसलेल्र्य ितुाळयलय P र्य बयह्य
बबांदतन ितुाळयलय PA ि PB र्य स्पर्शािय अशय ियढय िी
∠APB=70 0
11) बबांद P हय रे षय AB पयसन 6 सेमी अांतरयिर आहे. बबांद P
मधन जयणयरे 4 सेमी णिज्र्ेचे असे ितुाळ ियढय िी रे षय AB ही
ितुाळयची स्पर्शािय असेल
12) ∠ABC=60 0 . ∠ ABC चय दुियजि ियढय
िोनदुियजियिर बबांद Q असय घ्र्य िी d (B, C) =8सेमी Q
िें द्र असलेले असे ितुाळ ियढय िी किरण BA ि किरण BC लय
स्पशा िरे ल. ितुाळयची णिज्र्य ि स्पर्शाियखांडयची लयांबी णलहय.
13) 2.5 सेमी णिज्र्ेच्र्य ितुाळयत 5 सेमी लयांबीची जीिय AB
ियढय. ितुाळयिर बबांद C असय घ्र्य िी BC = 3 सेमी ∆ABC
ियढय बबांद A,B ि C बबांदतन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
स्पशीियांच्र्य छेदनबबांद मुळे िोणतर्य प्रियरचय चौिोन तर्यर होतो.
14) ∠ABC=50 0 बबांद S हय ∠ ABC च्र्य अांतियागयतील
िोणतयही एि बबांद घ्र्य. बबांद S मधन जयणयरे असे एि ितुाळ ियढय
िी ∠ABC च्र्य िुजयांनय स्पशा िरे ल.
बबांदतन ितुाळयलय PA ि PB र्य स्पर्शािय अशय ियढय िी
∠APB=70 0
11) बबांद P हय रे षय AB पयसन 6 सेमी अांतरयिर आहे. बबांद P
मधन जयणयरे 4 सेमी णिज्र्ेचे असे ितुाळ ियढय िी रे षय AB ही
ितुाळयची स्पर्शािय असेल
12) ∠ABC=60 0 . ∠ ABC चय दुियजि ियढय
िोनदुियजियिर बबांद Q असय घ्र्य िी d (B, C) =8सेमी Q
िें द्र असलेले असे ितुाळ ियढय िी किरण BA ि किरण BC लय
स्पशा िरे ल. ितुाळयची णिज्र्य ि स्पर्शाियखांडयची लयांबी णलहय.
13) 2.5 सेमी णिज्र्ेच्र्य ितुाळयत 5 सेमी लयांबीची जीिय AB
ियढय. ितुाळयिर बबांद C असय घ्र्य िी BC = 3 सेमी ∆ABC
ियढय बबांद A,B ि C बबांदतन ितुाळयलय स्पर्शािय ियढय.
स्पशीियांच्र्य छेदनबबांद मुळे िोणतर्य प्रियरचय चौिोन तर्यर होतो.
14) ∠ABC=50 0 बबांद S हय ∠ ABC च्र्य अांतियागयतील
िोणतयही एि बबांद घ्र्य. बबांद S मधन जयणयरे असे एि ितुाळ ियढय
िी ∠ABC च्र्य िुजयांनय स्पशा िरे ल.
Page 85
15) चौरसयचय िणा √40 सेमी असन असे ितुाळ ियढय िी जे
चौरसयच्र्य सिा बयजांनय स्पशा िरे ल. ितुाळयची णिज्र्य मोजन णलहय.
16) ∆PQR मध्र्े ∠P= 40 0 , PQ ≅ PR, QR =
7 सेमी ∆XYZ ~ ∆PQR, XY: PQ = 3:2 असल्र्यस
∆XYZ ियढय
17) रे ख AB 7.5 सेमी लयांबीचय ियढय. िें द्र A असलेले ितुाळ असे
ियढय िी ितुाळयलय बबांद B मधन ियढलेल्र्य स्पशाियखांडयची लयांबी 6
सेमी असेल.
18) 3.5 सेमी णिज्र्ेचे ितुळ
ा ियढय. ितुाळयलय दोन स्पर्शािय अशय
ियढय िी तर्य एिमेिींनय लांब असतील.
प्रश्न 1लय (A ) बहुपर्यार्ी प्रश्न गुण-1
1) बबांद A ( -4 , 2 ) आणण बबांद B ( 6, 2 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांड AB चय मध्र्बबांद p असेल
तर बबांद p चे णनदेशि शोधय.
चौरसयच्र्य सिा बयजांनय स्पशा िरे ल. ितुाळयची णिज्र्य मोजन णलहय.
16) ∆PQR मध्र्े ∠P= 40 0 , PQ ≅ PR, QR =
7 सेमी ∆XYZ ~ ∆PQR, XY: PQ = 3:2 असल्र्यस
∆XYZ ियढय
17) रे ख AB 7.5 सेमी लयांबीचय ियढय. िें द्र A असलेले ितुाळ असे
ियढय िी ितुाळयलय बबांद B मधन ियढलेल्र्य स्पशाियखांडयची लयांबी 6
सेमी असेल.
18) 3.5 सेमी णिज्र्ेचे ितुळ
ा ियढय. ितुाळयलय दोन स्पर्शािय अशय
ियढय िी तर्य एिमेिींनय लांब असतील.
प्रश्न 1लय (A ) बहुपर्यार्ी प्रश्न गुण-1
1) बबांद A ( -4 , 2 ) आणण बबांद B ( 6, 2 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांड AB चय मध्र्बबांद p असेल
तर बबांद p चे णनदेशि शोधय.
Page 86
( A ) ( -1 , 2 ) (B) ( 1, 2 ) ( C) ( 1, -2 ) ( D) ( -1 , - 2 )
2) बबांद P ( 2 , 2 ) आणण Q ( 5, x ) र्य दोन बबांदमधील अांतर 5 सेमी असेल तर x ची किां मत -
--
(A) 2 (B) 6 ( C) 3 ( D) 1
3) बबांद P ( -1 , 1 ) आणण बबांद Q ( 5, -7 ) आहेत तर बबांद P आणण Q मधील अांतर -------..
( A ) 11 सेमी (B) 10 सेमी ( C ) 5 सेमी ( D) 7 सेमी
4) जर बबांद L ( x , 7 ) आणण बबांद M ( 1, 15 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांड LM ची लयांबी 10 सेमी
असेल तर बबांद x ची किां मत शोधय.
(A) 7 (B) 7 किां िय -5 ( C ) -1 ( D) 1
5) बबांद A ( -3 , 4 ) आणण आरां ि बबांद o र्य मधील अांतर ियढय.
(A) 7 (B) 1 ( C) 5 ( D) -5
6) जर बबांद P ( 1 , 1 ) हय बबांद A अणण B ( -1 , -1 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयस 5 : 2 र्य
गुणोत्तरयांत छेदत असेलतर A र्य बबांदचे णनदेशि ियढय .
( A ) ( 3 ,3 ) (B) ( 6, 6 ) ( C) (2, 2 ) ( D) ( 1, 1 )
7) जर रे ख AB हय Y - अक्षयलय. सांमयतर असेल आणण A र्य बबांदचे णनदेशि ( 1, 3 ) असेल तर B
बबांदचे णनदेशि -------------
( A ) ( 3 ,1 ) (B) ( 5 , 3 ) ( C) (3 , 0 ) ( D) ( 1, -3 )
8) जर A ( -4 , 2 ) आणण B ( 6, 2 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयचय मध्र्बबांद P
असेल तर P चे णनदेशि ------------------
( A ) ( -1, 2 ) (B) ( 1 , 2 ) ( C) (1 , -2 ) ( D) ( -1, - 2 )
2) बबांद P ( 2 , 2 ) आणण Q ( 5, x ) र्य दोन बबांदमधील अांतर 5 सेमी असेल तर x ची किां मत -
--
(A) 2 (B) 6 ( C) 3 ( D) 1
3) बबांद P ( -1 , 1 ) आणण बबांद Q ( 5, -7 ) आहेत तर बबांद P आणण Q मधील अांतर -------..
( A ) 11 सेमी (B) 10 सेमी ( C ) 5 सेमी ( D) 7 सेमी
4) जर बबांद L ( x , 7 ) आणण बबांद M ( 1, 15 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांड LM ची लयांबी 10 सेमी
असेल तर बबांद x ची किां मत शोधय.
(A) 7 (B) 7 किां िय -5 ( C ) -1 ( D) 1
5) बबांद A ( -3 , 4 ) आणण आरां ि बबांद o र्य मधील अांतर ियढय.
(A) 7 (B) 1 ( C) 5 ( D) -5
6) जर बबांद P ( 1 , 1 ) हय बबांद A अणण B ( -1 , -1 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयस 5 : 2 र्य
गुणोत्तरयांत छेदत असेलतर A र्य बबांदचे णनदेशि ियढय .
( A ) ( 3 ,3 ) (B) ( 6, 6 ) ( C) (2, 2 ) ( D) ( 1, 1 )
7) जर रे ख AB हय Y - अक्षयलय. सांमयतर असेल आणण A र्य बबांदचे णनदेशि ( 1, 3 ) असेल तर B
बबांदचे णनदेशि -------------
( A ) ( 3 ,1 ) (B) ( 5 , 3 ) ( C) (3 , 0 ) ( D) ( 1, -3 )
8) जर A ( -4 , 2 ) आणण B ( 6, 2 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयचय मध्र्बबांद P
असेल तर P चे णनदेशि ------------------
( A ) ( -1, 2 ) (B) ( 1 , 2 ) ( C) (1 , -2 ) ( D) ( -1, - 2 )
Page 87
9) जर ( -5 , 3 ) आणण B ( 3 , -5 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयलय बबांद P हय 1 :
3 र्य गुणोत्तरयत णिियगत असेल तर P चे णनदेशि ------------------
( A ) ( -2, -2 ) ( B ) ( -1 , -1 ) ( C) (-3 , 1 ) ( D ) ( 1, - 3 )
10) जर एिय णििोणयत णशरोबबांदच्र्य x -णनदेशियांची बेरीज 12 ि Y – णनदेशियांची बेरीज 9
आहे तर मध्र्गय सांपयतबबांदचे णनदेशि ---------- आहेत.
( A ) ( 12 , 9) (B) ( 9 , 12 ) ( C) (4 , 3 ) ( D) ( 3 ,4 )
प्रश्न 1 ( B ) खयलील उपप्रश्न सोडिय - ( प्रतर्ेिी गुण 1 )
1) X = 2 आणण y = -3 र्य समीिरणयांच्र्य आलेखयांच्र्य छेदनबबांदचे णनदेशि णलहय.
2) A ( 7, 5 ) आणण B ( ( 2, 5 ) तर र्य दोन बबांद मधील अांतर किती ?
3) एिय ितुाळयचय व्ययस AB आहे आणण A ( 2, 7 ) आणण B ( 4 , 5 ) असेल तर ितुाळयच्र्य
िें द्र बबांदचे णनदेशि णलहय .
4) बबांद P ( - 5 , 4 ) र्य बबांदचे x - णनदेशि ि Y – णनदेशि णलहय .
5) आरां ि बबांदचे णनदेशि णलहय.
6) ( 6, 8 ) र्य बबांदचे आरांिबबांद पयसनचे अांतर किती ?
7) ( -2 ,6 ) ि ( 8 ,2 ) र्य बबांदनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयच्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि ियढय
8) ( 4, 7) , ( 8, 4) ि ( 7 ,11 ) हे णशरोबबांद असलेल्र्य णििोणयच्र्य मध्र्यगय सांपयत बबांदचे
णनदेशि ियढय.
9) A ( 0, 0 ) , B ( -5 , 12 ) र्य दोन बबांद मधील अांतर किती ?
10) ( 0, 2 ) आणण ( 12 , 14 ) र्य बबांदनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयच्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि
ियढय .
3 र्य गुणोत्तरयत णिियगत असेल तर P चे णनदेशि ------------------
( A ) ( -2, -2 ) ( B ) ( -1 , -1 ) ( C) (-3 , 1 ) ( D ) ( 1, - 3 )
10) जर एिय णििोणयत णशरोबबांदच्र्य x -णनदेशियांची बेरीज 12 ि Y – णनदेशियांची बेरीज 9
आहे तर मध्र्गय सांपयतबबांदचे णनदेशि ---------- आहेत.
( A ) ( 12 , 9) (B) ( 9 , 12 ) ( C) (4 , 3 ) ( D) ( 3 ,4 )
प्रश्न 1 ( B ) खयलील उपप्रश्न सोडिय - ( प्रतर्ेिी गुण 1 )
1) X = 2 आणण y = -3 र्य समीिरणयांच्र्य आलेखयांच्र्य छेदनबबांदचे णनदेशि णलहय.
2) A ( 7, 5 ) आणण B ( ( 2, 5 ) तर र्य दोन बबांद मधील अांतर किती ?
3) एिय ितुाळयचय व्ययस AB आहे आणण A ( 2, 7 ) आणण B ( 4 , 5 ) असेल तर ितुाळयच्र्य
िें द्र बबांदचे णनदेशि णलहय .
4) बबांद P ( - 5 , 4 ) र्य बबांदचे x - णनदेशि ि Y – णनदेशि णलहय .
5) आरां ि बबांदचे णनदेशि णलहय.
6) ( 6, 8 ) र्य बबांदचे आरांिबबांद पयसनचे अांतर किती ?
7) ( -2 ,6 ) ि ( 8 ,2 ) र्य बबांदनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयच्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि ियढय
8) ( 4, 7) , ( 8, 4) ि ( 7 ,11 ) हे णशरोबबांद असलेल्र्य णििोणयच्र्य मध्र्यगय सांपयत बबांदचे
णनदेशि ियढय.
9) A ( 0, 0 ) , B ( -5 , 12 ) र्य दोन बबांद मधील अांतर किती ?
10) ( 0, 2 ) आणण ( 12 , 14 ) र्य बबांदनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयच्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि
ियढय .
Page 88
प्रश्न 2 रय (A ) खयलील िृ ती पणा िरय ि णलहय ( प्रतर्ेिी गुण 2 )
1) बबांद Q ( 3 , - 7 ) आणण बबांद R ( 3 , 3 ) आहेत तर बबांद Q आणण R मधील अांतर किती
?
उिल - समजय Q ( x1 , y1 ) आणण बबांद R ( x2 , y2 )
X1 = 3 , y1 = -7 आणण x2 = 3 , y2 = 3
अांतरयच्र्य सिय नुसयर d ( Q, R ) = √
∴ d( Q,R ) = √ + + 100
∴ d( Q,R ) = √
∴ d ( Q,R )=
2) बबांद A ( -1 , 1 ) आणण बबांद B ( 5 , -7 ) आहेत तर र्य दोन बबांद मधील अांतर ियढय ?
उिल - समजय A ( x1 , y1 ) आणण बबांद B ( x2 , y2 )
X1 = -1, y1 = 1 आणण x2 = 5 , y2 = -7
अांतरयच्र्य सिय नुसयर d ( A, B ) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
∴ d ( A,B ) = √ + ((−7)− )2
∴ d ( A,B ) = √
∴ d( A,B )=
3) बबांद A ( -1 , 1 ) आणण बबांद B ( 5 , -7 ) आहेत तर र्य दोन बबांद नय जोडणयऱ्र्य
रे षयखांड AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि णलहय.
1) बबांद Q ( 3 , - 7 ) आणण बबांद R ( 3 , 3 ) आहेत तर बबांद Q आणण R मधील अांतर किती
?
उिल - समजय Q ( x1 , y1 ) आणण बबांद R ( x2 , y2 )
X1 = 3 , y1 = -7 आणण x2 = 3 , y2 = 3
अांतरयच्र्य सिय नुसयर d ( Q, R ) = √
∴ d( Q,R ) = √ + + 100
∴ d( Q,R ) = √
∴ d ( Q,R )=
2) बबांद A ( -1 , 1 ) आणण बबांद B ( 5 , -7 ) आहेत तर र्य दोन बबांद मधील अांतर ियढय ?
उिल - समजय A ( x1 , y1 ) आणण बबांद B ( x2 , y2 )
X1 = -1, y1 = 1 आणण x2 = 5 , y2 = -7
अांतरयच्र्य सिय नुसयर d ( A, B ) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
∴ d ( A,B ) = √ + ((−7)− )2
∴ d ( A,B ) = √
∴ d( A,B )=
3) बबांद A ( -1 , 1 ) आणण बबांद B ( 5 , -7 ) आहेत तर र्य दोन बबांद नय जोडणयऱ्र्य
रे षयखांड AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि णलहय.
Page 89
उिल - समजय A ( x1 , y1 ) आणण बबांद B ( x2 , y2 )
X1 = -1, y1 = 1 आणण x2 = 5 , y2 = -7
मध्र्बबांदच्ु र्य सुियनुसयर
AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि = (
𝒙𝟏+𝒙𝟐 𝒚𝟏+𝒚𝟐
∴ रे षयखांड , )
𝟐 𝟐
∴ रे षयखांड AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि = ( , )
𝟐 𝟐
AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि = (
𝟒
∴ रे षयखांड , )
𝟐 𝟐
∴ रे षयखांड AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि = ( )
4) णििोण ABC चे णशरोबबांद A ( -7 , 6 ) , B ( 2 , -2 ) आणण C ( 8 , 5 )
आहेत तर णििोण ABC च्र्य मध््गय सांपयतबबांदचे णनदेशि णलहय.
उिल - समजय A ( x1 , y1 ) आणण बबांद B ( x2 , y2 ) , C ( x3, y3 )
X1 = -7, y1 = 6 आणण x2 = 2 , y2 = -2 , x3 = 8 , y3 = 5
मध््गयसांपयत बबांदच्ु र्य सुियनुसयर
𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑 𝒚𝟏+𝒚𝟐+𝒚𝟑
∴ णििोण ABC च्र्य मध्र्गय सांपयतबबांदचे णनदेशि= ( , )
𝟑 𝟑
X1 = -1, y1 = 1 आणण x2 = 5 , y2 = -7
मध्र्बबांदच्ु र्य सुियनुसयर
AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि = (
𝒙𝟏+𝒙𝟐 𝒚𝟏+𝒚𝟐
∴ रे षयखांड , )
𝟐 𝟐
∴ रे षयखांड AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि = ( , )
𝟐 𝟐
AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि = (
𝟒
∴ रे षयखांड , )
𝟐 𝟐
∴ रे षयखांड AB च्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि = ( )
4) णििोण ABC चे णशरोबबांद A ( -7 , 6 ) , B ( 2 , -2 ) आणण C ( 8 , 5 )
आहेत तर णििोण ABC च्र्य मध््गय सांपयतबबांदचे णनदेशि णलहय.
उिल - समजय A ( x1 , y1 ) आणण बबांद B ( x2 , y2 ) , C ( x3, y3 )
X1 = -7, y1 = 6 आणण x2 = 2 , y2 = -2 , x3 = 8 , y3 = 5
मध््गयसांपयत बबांदच्ु र्य सुियनुसयर
𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑 𝒚𝟏+𝒚𝟐+𝒚𝟑
∴ णििोण ABC च्र्य मध्र्गय सांपयतबबांदचे णनदेशि= ( , )
𝟑 𝟑
Page 90
∴ णििोण ABC च्र्य मध्र्गय सांपयतबबांदचे णनदेशि= = ( , )
3 3
3
∴ णििोण ABC च्र्य मध्र्गय सांपयतबबांदचे णनदेशि= ( , )
3 3
∴ णििोण ABC च्र्य मध््गय सांपयतबबांदचे णनदेशि = ( )
प्रश्न 2 रय B ) खयलील पैिी िोणतेही चयर उपप्रश्न सोडिय.(प्रतर्ेिी 2 गुण )
1) बबांद A ( 3, 5 ) आणण B ( 7, 9 ) असन बबांद Q हय रेख AB चे 2 : 3 र्य
गुणोत्तरयत णिियजन िरत असेल तर Q र्य बबांद चे x णनदेशि ियढय.
2) जर बबांद L ( x , 7 ) आणण M ( 1, 15 ) र्य दोन बबांद मधील अांतर 10 असेल तर X ची
किां मत ियढय
3) ( 22, 20 ) आणण ( 0 ,16 ) र्ांनय जोडणयऱ्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि ियढय .
4) C ( -3a , a ) , D ( ( a, -2a ) र्य दोन बबांद मधील अांतर ियढय .
5) दयखिय िी , बबांद ( 11, -2 ) हय ( 4, -3 ) आणण ( 6, 3) र्य बबांद पयसन समदर आहे .
प्रश्न3रय( A ) खयलीलपैिी िोणतेही एि िृ ती पणा िरय(प्रतर्ेिी 3 गुण )
1) जर A ( 8, 9) आणण B ( 1, 2 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे ख AB लय बबांद P ( 6 , 7 ) ज्र्य
गुणोत्तरयत णिियगतो ते गुणोत्तर शोधय .?
उिल -: बबांद P हय रे ख AB लय m : n र्य गुणोत्तरयत णिियगते
A ( 8, 9 ) = ( x1 , y1 ) , B ( 1, 2 ) = ( x2 , y2 ) P ( ( 6, 7 ) = ( x, y )
णिियजन सियनुसयर ----
3 3
3
∴ णििोण ABC च्र्य मध्र्गय सांपयतबबांदचे णनदेशि= ( , )
3 3
∴ णििोण ABC च्र्य मध््गय सांपयतबबांदचे णनदेशि = ( )
प्रश्न 2 रय B ) खयलील पैिी िोणतेही चयर उपप्रश्न सोडिय.(प्रतर्ेिी 2 गुण )
1) बबांद A ( 3, 5 ) आणण B ( 7, 9 ) असन बबांद Q हय रेख AB चे 2 : 3 र्य
गुणोत्तरयत णिियजन िरत असेल तर Q र्य बबांद चे x णनदेशि ियढय.
2) जर बबांद L ( x , 7 ) आणण M ( 1, 15 ) र्य दोन बबांद मधील अांतर 10 असेल तर X ची
किां मत ियढय
3) ( 22, 20 ) आणण ( 0 ,16 ) र्ांनय जोडणयऱ्र्य मध्र्बबांदचे णनदेशि ियढय .
4) C ( -3a , a ) , D ( ( a, -2a ) र्य दोन बबांद मधील अांतर ियढय .
5) दयखिय िी , बबांद ( 11, -2 ) हय ( 4, -3 ) आणण ( 6, 3) र्य बबांद पयसन समदर आहे .
प्रश्न3रय( A ) खयलीलपैिी िोणतेही एि िृ ती पणा िरय(प्रतर्ेिी 3 गुण )
1) जर A ( 8, 9) आणण B ( 1, 2 ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे ख AB लय बबांद P ( 6 , 7 ) ज्र्य
गुणोत्तरयत णिियगतो ते गुणोत्तर शोधय .?
उिल -: बबांद P हय रे ख AB लय m : n र्य गुणोत्तरयत णिियगते
A ( 8, 9 ) = ( x1 , y1 ) , B ( 1, 2 ) = ( x2 , y2 ) P ( ( 6, 7 ) = ( x, y )
णिियजन सियनुसयर ----
Page 91
𝑚( ) + 𝑛( 9)
∴ 7 =
𝑚+𝑛
∴7m +7n = + 9n
∴7m - = 9n -
∴ = 2n
𝑚 A ( -1 , 1 )
∴ =
𝑛
2) सोबतच्र्य आिृ तीत कदलेल्र्य मयणहती िरून
णििोणयच्र्य मध्र्ेगेची लयांबी ियढ्णण्र्य सयठी
खयलील िृ ती पणा िरय .
C(3 ,5 )
B ( 5 , -3 )
D
िृ ती A ( -1 , 1 ) , B ( 5, -3 ) , C ( 3, 5 ) समजय D ( x , y )
मध्र्बबांद ु सियनुसयर
5+3 −3+5
X= 2 y= 2
∴ 𝑥 = ∴ 𝑦 =
अांतरयच्र्य सिय नुसयर
∴ 𝐴𝐷 = √(4 − )2 + ( 1 − 1 )2
∴ 7 =
𝑚+𝑛
∴7m +7n = + 9n
∴7m - = 9n -
∴ = 2n
𝑚 A ( -1 , 1 )
∴ =
𝑛
2) सोबतच्र्य आिृ तीत कदलेल्र्य मयणहती िरून
णििोणयच्र्य मध्र्ेगेची लयांबी ियढ्णण्र्य सयठी
खयलील िृ ती पणा िरय .
C(3 ,5 )
B ( 5 , -3 )
D
िृ ती A ( -1 , 1 ) , B ( 5, -3 ) , C ( 3, 5 ) समजय D ( x , y )
मध्र्बबांद ु सियनुसयर
5+3 −3+5
X= 2 y= 2
∴ 𝑥 = ∴ 𝑦 =
अांतरयच्र्य सिय नुसयर
∴ 𝐴𝐷 = √(4 − )2 + ( 1 − 1 )2
Page 92
∴ 𝐴𝐷 = √( ) 2 + ( 0 )2
∴ 𝐴𝐷 = √
∴ 𝐴𝐷 =
प्रश्न 3 रय B ) खयलील पैिी िोणतेही दोन उप प्रश्न सोडिय. ( प्रतर्ेिी 3 गुण )
1) P ( -2 , 2 ) , Q ( 2, 2) आणण R ( 2, 7 ) हे ियटिोन णििोणयचे णशरोबबांद आहेत हे दयखिय
?
2) ( 0 , 9 ) हय बबांद ( -4 , 1 ) ि ( 4 , 1 ) र्य बबांदपयसन समदर आहे हे दयखिय
3) बबांद p( -4 , 6 ) हे A ( -6 , 10 ) आणण B ( m , n ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयलय
2: 1 र्य गुणोत्तरयत णिियगतो. तर बबांद B चे णनदेशि ियढय
प्रश्न 4 खयलील पैिी िोणतेही दोन उप प्रश्न सोडिय. ( प्रतर्ेिी 4 गुण )
1) A ( -4 , -7 ) , B ( -1 ,2 ) , C ( 8, 5 ) आणण D ( 5 , -4 ) हे चौिोनयचे णशरोबबांद असतील तर
चौिोन ABCD हय समिुज चौिोन आहे हे दयखिय .
2) ( 0 , -1 ) , ( 8, 3 ) , ( 6 , 7 ) ि ( -2 , 3 ) हे बबांद आर्तयचे णशरोबबांद आहेत हे दयखिय
3) ( 2, 0 ) , ( -2 , 0 ) आणण ( 0, 2 ) हे णििोणयचे णशरोबबांद आहेत हे दयखिय तसेच तर्य
णििोणयचय प्रियर सियरण ठरिय .
4) A ( 5,4 ) , B ( -3 , -2 ) आणण C ( 1 -8 ) हे ∆ 𝑨𝑩𝑪 चे णशरोबबांद असन रे ख AD मध्र्गय असेल तर
रे ख AD ची लयांबी किती ?
∴ 𝐴𝐷 = √
∴ 𝐴𝐷 =
प्रश्न 3 रय B ) खयलील पैिी िोणतेही दोन उप प्रश्न सोडिय. ( प्रतर्ेिी 3 गुण )
1) P ( -2 , 2 ) , Q ( 2, 2) आणण R ( 2, 7 ) हे ियटिोन णििोणयचे णशरोबबांद आहेत हे दयखिय
?
2) ( 0 , 9 ) हय बबांद ( -4 , 1 ) ि ( 4 , 1 ) र्य बबांदपयसन समदर आहे हे दयखिय
3) बबांद p( -4 , 6 ) हे A ( -6 , 10 ) आणण B ( m , n ) र्यांनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयलय
2: 1 र्य गुणोत्तरयत णिियगतो. तर बबांद B चे णनदेशि ियढय
प्रश्न 4 खयलील पैिी िोणतेही दोन उप प्रश्न सोडिय. ( प्रतर्ेिी 4 गुण )
1) A ( -4 , -7 ) , B ( -1 ,2 ) , C ( 8, 5 ) आणण D ( 5 , -4 ) हे चौिोनयचे णशरोबबांद असतील तर
चौिोन ABCD हय समिुज चौिोन आहे हे दयखिय .
2) ( 0 , -1 ) , ( 8, 3 ) , ( 6 , 7 ) ि ( -2 , 3 ) हे बबांद आर्तयचे णशरोबबांद आहेत हे दयखिय
3) ( 2, 0 ) , ( -2 , 0 ) आणण ( 0, 2 ) हे णििोणयचे णशरोबबांद आहेत हे दयखिय तसेच तर्य
णििोणयचय प्रियर सियरण ठरिय .
4) A ( 5,4 ) , B ( -3 , -2 ) आणण C ( 1 -8 ) हे ∆ 𝑨𝑩𝑪 चे णशरोबबांद असन रे ख AD मध्र्गय असेल तर
रे ख AD ची लयांबी किती ?
Page 93
5) A ( 1, 2 ) , ( 1, 6 ) , C ( 1 + 2√𝟑 , 4 ) हे समिुज णििोणयचे णशरोबबांद आहेत हे दयखि
प्रश्न 5 खयलील पैिी िोणतयही एि उप प्रश्न सोडिय.( प्रतर्ेिी 3 गुण)
1) A (0,2)
O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयची OA ही णिज्र्य आहे
o
जर A चे णनदेशि ( 0 , 2 ) असतील
तर बबांद ( 1, 2 ) हय ितुाळयिर आहे किां िय नयही
पडतयळय घ्र्य .
2) A ( 3, 5 ) आणण B ( -6 , 7 ) र्य बबांदनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयलय Y – अक्ष िोणतर्य गुणोत्तरयत
णिियगतो ? तसेच तर्य बबांदचे णनदेशि ियढय .
3) ( 7, -6 ) , ( 2, K ) आणण ( h, 18 ) हे णििोणयचे णशरोबबांद आहेत . जर ( 1, 5 ) हय बबांद
मध्र्गय सांपयत बबांद असेल तर h आणण k च्र्य किां मती ियढय .
4) अांतरयच्र्य सुियने , बबांद ( 4, 3 ) ( 5, 1 ) आणण ( 1, 9 ) एिरे षीर् आहेत किां िय नयहीत
ते ठरिय ?.
प्रश्न 5 खयलील पैिी िोणतयही एि उप प्रश्न सोडिय.( प्रतर्ेिी 3 गुण)
1) A (0,2)
O िें द्र असलेल्र्य ितुाळयची OA ही णिज्र्य आहे
o
जर A चे णनदेशि ( 0 , 2 ) असतील
तर बबांद ( 1, 2 ) हय ितुाळयिर आहे किां िय नयही
पडतयळय घ्र्य .
2) A ( 3, 5 ) आणण B ( -6 , 7 ) र्य बबांदनय जोडणयऱ्र्य रे षयखांडयलय Y – अक्ष िोणतर्य गुणोत्तरयत
णिियगतो ? तसेच तर्य बबांदचे णनदेशि ियढय .
3) ( 7, -6 ) , ( 2, K ) आणण ( h, 18 ) हे णििोणयचे णशरोबबांद आहेत . जर ( 1, 5 ) हय बबांद
मध्र्गय सांपयत बबांद असेल तर h आणण k च्र्य किां मती ियढय .
4) अांतरयच्र्य सुियने , बबांद ( 4, 3 ) ( 5, 1 ) आणण ( 1, 9 ) एिरे षीर् आहेत किां िय नयहीत
ते ठरिय ?.
Page 94
प्रकरण : त्रिकोणत्रिती
प्रश्न १ अ) खयलील प्रतर्ेि प्रश्नयसयठी उत्तरयचय र्ोग्र् पर्यार् णनिडय. (१ गुणयांचे बहुपर्यार्ी प्रश्न)
1. cos θ . sec θ = ?
1
A) 1 B) 0 C) D) √2
2
2. sec 600 = ?
1 2
A) B) 2 C) D) √2
2 √3
3. 1+ cot 2 𝜃 = ?
A) tan2 𝜃 B) sec 2 𝜃 C) cosec 2 𝜃 D) cos2 𝜃
4. cot θ . tan θ = ?
A) 1 B) 0 C) 2 D) √2
5. sec 2 θ - tan2 θ = ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) √2
6. sin2 𝜃 - sin2 (90 − θ) = ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) √2
1+ cot2 A
7. =?
1+ tan2 A
A) tan2 𝜃 B) sec 2 𝜃 C) cosec 2 𝜃 D) cot 2 𝜃
1
8. sin θ = तर θ = ?
2
प्रश्न १ अ) खयलील प्रतर्ेि प्रश्नयसयठी उत्तरयचय र्ोग्र् पर्यार् णनिडय. (१ गुणयांचे बहुपर्यार्ी प्रश्न)
1. cos θ . sec θ = ?
1
A) 1 B) 0 C) D) √2
2
2. sec 600 = ?
1 2
A) B) 2 C) D) √2
2 √3
3. 1+ cot 2 𝜃 = ?
A) tan2 𝜃 B) sec 2 𝜃 C) cosec 2 𝜃 D) cos2 𝜃
4. cot θ . tan θ = ?
A) 1 B) 0 C) 2 D) √2
5. sec 2 θ - tan2 θ = ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) √2
6. sin2 𝜃 - sin2 (90 − θ) = ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) √2
1+ cot2 A
7. =?
1+ tan2 A
A) tan2 𝜃 B) sec 2 𝜃 C) cosec 2 𝜃 D) cot 2 𝜃
1
8. sin θ = तर θ = ?
2
Page 95
A) 300 B) 450 C) 600 D) 900
9. tan (90-θ) = ?
A) sin θ B) cos θ C) cot θ D) tan θ
10. cos 450 = ?
A) sin 450 B) sec 450 C) cot 450 D) tan 450
3
11. जर sin θ = तर cos θ = ?
5
5 3 4 5
A) B) C) D)
3 5 5 4
12. खयलील पैिी चुिीचे सि िोणते ?
A) 1 + tan2 θ = sec 2 θ
B) 1 + sec 2 θ = tan2 θ
C) cosec 2 θ − cot 2 θ = 1
D) sin2 θ + cos2 θ = 1
13. जर A = 300 तर tan 2A = ?
1
A) 1 B) 0 C) D) √3
√3
प्रश्न १ ब) खयलील उपप्रश्न सोडिय (१ गुणयांचे प्रश्न)
1− tan2 450
1. =?
1+ tan2 450
13
2. जर tan θ = तर cot θ = ?
12
9. tan (90-θ) = ?
A) sin θ B) cos θ C) cot θ D) tan θ
10. cos 450 = ?
A) sin 450 B) sec 450 C) cot 450 D) tan 450
3
11. जर sin θ = तर cos θ = ?
5
5 3 4 5
A) B) C) D)
3 5 5 4
12. खयलील पैिी चुिीचे सि िोणते ?
A) 1 + tan2 θ = sec 2 θ
B) 1 + sec 2 θ = tan2 θ
C) cosec 2 θ − cot 2 θ = 1
D) sin2 θ + cos2 θ = 1
13. जर A = 300 तर tan 2A = ?
1
A) 1 B) 0 C) D) √3
√3
प्रश्न १ ब) खयलील उपप्रश्न सोडिय (१ गुणयांचे प्रश्न)
1− tan2 450
1. =?
1+ tan2 450
13
2. जर tan θ = तर cot θ = ?
12
Page 96
3. cosec θ . √1 − cos2 𝜃 = 1 हे णसद्ध िरय.
4. जर tan θ = 1 तर sin θ . cos θ = ?
5. जर 2 sin θ = 3 cos θ तर tan θ = ?
6. जर cot ( 90 – A ) = 1 तर A = ?
1
7. जर 1 − cos2 θ = तर θ = ?
4
cos ( 90 – A ) sin ( 90 – A )
8. = हे णसद्ध िरय.
sin A cos A
9. tan θ X = sin θ तर =?
10. (sec θ + tan θ) . (sec θ - tan θ) = ?
sin 750
11. =?
cos 150
प्रश्न २ अ) खयलील प्रतर्ेि प्रश्नयसयठी र्ोग्र् ती िृ ती पणा िरय. (२ गुणयांचे िृ णतर्ुक्त प्रश्न)
1. cos2 θ . (1 + tan2 θ ) = 1 हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
उत्तर डयिी बयज =
= cos2 θ X .... (1 + tan2 θ = )
= (cos θ X )2
= 12
=1
= उजिी बयज
4. जर tan θ = 1 तर sin θ . cos θ = ?
5. जर 2 sin θ = 3 cos θ तर tan θ = ?
6. जर cot ( 90 – A ) = 1 तर A = ?
1
7. जर 1 − cos2 θ = तर θ = ?
4
cos ( 90 – A ) sin ( 90 – A )
8. = हे णसद्ध िरय.
sin A cos A
9. tan θ X = sin θ तर =?
10. (sec θ + tan θ) . (sec θ - tan θ) = ?
sin 750
11. =?
cos 150
प्रश्न २ अ) खयलील प्रतर्ेि प्रश्नयसयठी र्ोग्र् ती िृ ती पणा िरय. (२ गुणयांचे िृ णतर्ुक्त प्रश्न)
1. cos2 θ . (1 + tan2 θ ) = 1 हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
उत्तर डयिी बयज =
= cos2 θ X .... (1 + tan2 θ = )
= (cos θ X )2
= 12
=1
= उजिी बयज
Page 97
5
2. − 5 cot 2 θ ची किां मत ियढण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
sin2 θ
5
उत्तर − 5 cot 2 θ
sin2 θ
1
= ( − cot 2 θ)
sin2 θ
1
=5( - cot 2 θ ) ......... ( = )
sin2 θ
= 5(1)
=
3. जर sec θ + tan θ = √3 तर sec θ − tan θ ची किां मत ियढण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा
िरय.
उत्तर = 1+ tan2 θ ........... (णि. णनतर् समीिरण)
- tan2 θ = 1
(sec θ + tan θ) . (sec θ - tan θ) =
√3 . (sec θ - tan θ) = 1
(sec θ - tan θ) =
9
4. जर tan θ = तर sec θ ची किां मत ियढण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
40
उत्तर sec 2 θ = 1+ ........... (णि. णनतर् समीिरण)
sec 2 θ = 1+ 2
sec 2 θ = 1+
sec θ =
2. − 5 cot 2 θ ची किां मत ियढण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
sin2 θ
5
उत्तर − 5 cot 2 θ
sin2 θ
1
= ( − cot 2 θ)
sin2 θ
1
=5( - cot 2 θ ) ......... ( = )
sin2 θ
= 5(1)
=
3. जर sec θ + tan θ = √3 तर sec θ − tan θ ची किां मत ियढण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा
िरय.
उत्तर = 1+ tan2 θ ........... (णि. णनतर् समीिरण)
- tan2 θ = 1
(sec θ + tan θ) . (sec θ - tan θ) =
√3 . (sec θ - tan θ) = 1
(sec θ - tan θ) =
9
4. जर tan θ = तर sec θ ची किां मत ियढण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
40
उत्तर sec 2 θ = 1+ ........... (णि. णनतर् समीिरण)
sec 2 θ = 1+ 2
sec 2 θ = 1+
sec θ =
Page 98
प्रश्न २ ब) खयलील उपप्रश्न सोडिय (२ गुणयांचे प्रश्न)
24
1. जर cos θ = तर sin θ = ?
24
sin2 θ
2. + cos θ = sec θ हे णसद्ध िरय.
cos θ
1
3. = cosec θ + cot θ हे णसद्ध िरय.
cosec θ−cot θ
4. जर cos (450 + 𝑥 ) = sin 300 तर 𝑥 = ?
5. जर tan θ + cot θ = 2 तर tan2 θ + cot 2 θ = ?
6. sec 2 θ + cosec 2 θ = sec 2 θ X cosec 2 θ हे णसद्ध िरय.
7. cot 2 θ X sec 2 θ = cot 2 θ + 1 हे णसद्ध िरय.
8. जर 3 sin θ = 4 cos θ तर sec θ = ?
9. जर sin 3A = cos 6 A तर A = ?
10. sec 2 θ − cos 2 θ = tan2 θ + sin2 θ हे णसद्ध िरय.
tan A sec2 A
11. = हे णसद्ध िरय.
cot A cosec2 A
sin θ+ tan θ
12. = tan θ ( 1 + sec θ) हे णसद्ध िरय.
cos θ
cos2 θ
13. + sin θ = cosec θ हे णसद्ध िरय.
sin θ
cos θ 1−sin θ
14. = हे णसद्ध िरय.
1+sin θ cos θ
प्रश्न ३ अ) खयलील प्रतर्ेि प्रश्नयसयठी र्ोग्र् ती िृ ती पणा िरय. (३ गुणयांचे िृ णतर्ुक्त प्रश्न)
24
1. जर cos θ = तर sin θ = ?
24
sin2 θ
2. + cos θ = sec θ हे णसद्ध िरय.
cos θ
1
3. = cosec θ + cot θ हे णसद्ध िरय.
cosec θ−cot θ
4. जर cos (450 + 𝑥 ) = sin 300 तर 𝑥 = ?
5. जर tan θ + cot θ = 2 तर tan2 θ + cot 2 θ = ?
6. sec 2 θ + cosec 2 θ = sec 2 θ X cosec 2 θ हे णसद्ध िरय.
7. cot 2 θ X sec 2 θ = cot 2 θ + 1 हे णसद्ध िरय.
8. जर 3 sin θ = 4 cos θ तर sec θ = ?
9. जर sin 3A = cos 6 A तर A = ?
10. sec 2 θ − cos 2 θ = tan2 θ + sin2 θ हे णसद्ध िरय.
tan A sec2 A
11. = हे णसद्ध िरय.
cot A cosec2 A
sin θ+ tan θ
12. = tan θ ( 1 + sec θ) हे णसद्ध िरय.
cos θ
cos2 θ
13. + sin θ = cosec θ हे णसद्ध िरय.
sin θ
cos θ 1−sin θ
14. = हे णसद्ध िरय.
1+sin θ cos θ
प्रश्न ३ अ) खयलील प्रतर्ेि प्रश्नयसयठी र्ोग्र् ती िृ ती पणा िरय. (३ गुणयांचे िृ णतर्ुक्त प्रश्न)
Page 99
1. sin4 A − cos4 A = 1 − 2cos2 A हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
उत्तर डयिी बयज =
= ( sin2 A + cos 2 A ) ( )
= 1 ( ) ................ ( sin2 A + =1)
= - cos2 A ................ ( sin2 A = 1 − cos2 A )
=
= उजिी बयज
2. tan2 θ − sin2 θ = tan2 θ X sin2 θ हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
उत्तर डयिी बयज =
sin2 θ
= (1− )
tan2 θ
= tan2 θ ( 1 − sin2 θ
)
cos2 θ
2 sin2 θ cos2 θ
= tan θ ( 1− X )
1
= tan2 θ ( 1 − )
= tan2 θ X ............... ( 1 − cos 2 θ = sin2 θ )
= उजिी बयज
7
3. जर tan θ = तर cos θ ची किां मत ियढण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
24
उत्तर डयिी बयज =
= ( sin2 A + cos 2 A ) ( )
= 1 ( ) ................ ( sin2 A + =1)
= - cos2 A ................ ( sin2 A = 1 − cos2 A )
=
= उजिी बयज
2. tan2 θ − sin2 θ = tan2 θ X sin2 θ हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
उत्तर डयिी बयज =
sin2 θ
= (1− )
tan2 θ
= tan2 θ ( 1 − sin2 θ
)
cos2 θ
2 sin2 θ cos2 θ
= tan θ ( 1− X )
1
= tan2 θ ( 1 − )
= tan2 θ X ............... ( 1 − cos 2 θ = sin2 θ )
= उजिी बयज
7
3. जर tan θ = तर cos θ ची किां मत ियढण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
24
Page 100
उत्तर sec 2 θ = 1+ ........... (णि. णनतर् समीिरण)
sec 2 θ = 1+ 2
sec 2 θ = 1+
576
sec 2 θ =
576
sec θ =
1
cos θ = ....................( cos θ = )
sec θ
4. cot θ + tan θ = cosec θ X sec θ हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
उत्तर डयिी बयज =
sin θ
= =
sin θ cos θ
cos2 θ+ sin2 θ
=
1
= ............( cos2 θ + sin2 θ = )
sin θ . cos θ
1 1
= X
sin θ
=
= उजिी बयज
प्रश्न ३ ब) खयलील उपप्रश्न सोडिय (३ गुणयांचे प्रश्न)
41
1. जर sec θ = तर sin θ, cot θ, cosec θ च्र्य किां मती ियढय.
40
2. जर 5 sec θ − 12 cosec θ = 0 तर sin θ, sec θ च्र्य किां मती ियढय.
sec 2 θ = 1+ 2
sec 2 θ = 1+
576
sec 2 θ =
576
sec θ =
1
cos θ = ....................( cos θ = )
sec θ
4. cot θ + tan θ = cosec θ X sec θ हे णसद्ध िरण्र्यसयठी खयणलल िृ ती पणा िरय.
उत्तर डयिी बयज =
sin θ
= =
sin θ cos θ
cos2 θ+ sin2 θ
=
1
= ............( cos2 θ + sin2 θ = )
sin θ . cos θ
1 1
= X
sin θ
=
= उजिी बयज
प्रश्न ३ ब) खयलील उपप्रश्न सोडिय (३ गुणयांचे प्रश्न)
41
1. जर sec θ = तर sin θ, cot θ, cosec θ च्र्य किां मती ियढय.
40
2. जर 5 sec θ − 12 cosec θ = 0 तर sin θ, sec θ च्र्य किां मती ियढय.
Page 101
tan (90− θ ) + cot (90− θ )
3. = sec A हे णसद्ध िरय.
cosec θ
4. cot 2 θ − tan2 θ = cosec 2 θ − sec 2 θ हे णसद्ध िरय.
1+ sin θ
5. = (sec θ + tan θ )2 हे णसद्ध िरय.
1− sin θ
sin θ sin θ
6. + = 2 cot θ हे णसद्ध िरय.
sec θ+ 1 sec θ− 1
sec A
7. = sin A हे णसद्ध िरय.
tan A +cot A
sin θ+cosec θ
8. = 2 + cot 2 θ हे णसद्ध िरय.
sin θ
cot A tan A
9. + =−1 हे णसद्ध िरय.
1−cot A 1−tan A
1+cos A
10. √ = cosec A + cot A हे णसद्ध िरय.
1−cos A
11. sin4 A − cos 4 A = 1 − 2cos2 A हे णसद्ध िरय.
12. sec 2 θ − cos 2 θ = tan2 θ + sin2 θ हे णसद्ध िरय.
sin θ
13. cosec θ – cot θ = हे णसद्ध िरय.
1+ cos θ
12
14. ∆ ABC मध्र्े cos C = असन BC = 24 तर AC = ?
13
1+ sec A sin2 A
15. = हे णसद्ध िरय.
sec A 1−cos A
3
16. जर sin A = तर 4 tan A + 3 tan A = 6 cos A दयखिय.
5
1+sin B cos B
17. + = 2 sec B हे णसद्ध िरय.
cos B 1 +sin B
3. = sec A हे णसद्ध िरय.
cosec θ
4. cot 2 θ − tan2 θ = cosec 2 θ − sec 2 θ हे णसद्ध िरय.
1+ sin θ
5. = (sec θ + tan θ )2 हे णसद्ध िरय.
1− sin θ
sin θ sin θ
6. + = 2 cot θ हे णसद्ध िरय.
sec θ+ 1 sec θ− 1
sec A
7. = sin A हे णसद्ध िरय.
tan A +cot A
sin θ+cosec θ
8. = 2 + cot 2 θ हे णसद्ध िरय.
sin θ
cot A tan A
9. + =−1 हे णसद्ध िरय.
1−cot A 1−tan A
1+cos A
10. √ = cosec A + cot A हे णसद्ध िरय.
1−cos A
11. sin4 A − cos 4 A = 1 − 2cos2 A हे णसद्ध िरय.
12. sec 2 θ − cos 2 θ = tan2 θ + sin2 θ हे णसद्ध िरय.
sin θ
13. cosec θ – cot θ = हे णसद्ध िरय.
1+ cos θ
12
14. ∆ ABC मध्र्े cos C = असन BC = 24 तर AC = ?
13
1+ sec A sin2 A
15. = हे णसद्ध िरय.
sec A 1−cos A
3
16. जर sin A = तर 4 tan A + 3 tan A = 6 cos A दयखिय.
5
1+sin B cos B
17. + = 2 sec B हे णसद्ध िरय.
cos B 1 +sin B
Page 102
प्रश्न ४ ) खयलील उपप्रश्न सोडिय ( ४ गुणयांचे आव्हयनयतमि प्रश्न)
Page 103
1. sin2 A . tan A + cos2 A . cot A + 2 sin A . cos A = tan A + cot A हे णसद्ध
िरय.
2 2 2sin2 A−1
2. sec A − cosec A = हे णसद्ध िरय.
sin2 A . cos2 A
cot A + cosec A − 1 1+cos A
3. = हे णसद्ध िरय.
cot A− cosec A + 1 sin A
4. sin θ ( 1 – tan θ ) − cos θ ( 1 − cot θ ) = cosec θ − sec θ हे णसद्ध िरय.
.
2 √𝑚 𝑚+1
5. जर cos A = असेल तर णसद्ध िरय cosec A =
𝑚+1 𝑚−1
1
6. जर sec A = 𝑥 + sec A + tan A = 2𝑥 किां व्हय 2𝑥1 हे दयखिय.
4𝑥
7. ∆ ABC मध्र्े √2 AC = BC, sin A = 1, sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 तर
A = ? B = ? C= ?
8. sin8 A + cos8 A = 1 – 3 sin2 A . cos 2 A हे णसद्ध िरय.
9. sin8 A + cos8 A = 1 – 3 sin2 A . cos 2 A हे णसद्ध िरय.
10. 2 (sin6 A + cos 6 A) – 3 (sin4 A + cos4 A ) + 1 = 0 हे णसद्ध िरय.
cot A tan A
11. + = 1 + tan A + cot A = sec A . cosec A + 1 हे
1−tan A 1−co t A
णसद्ध िरय.
िरय.
2 2 2sin2 A−1
2. sec A − cosec A = हे णसद्ध िरय.
sin2 A . cos2 A
cot A + cosec A − 1 1+cos A
3. = हे णसद्ध िरय.
cot A− cosec A + 1 sin A
4. sin θ ( 1 – tan θ ) − cos θ ( 1 − cot θ ) = cosec θ − sec θ हे णसद्ध िरय.
.
2 √𝑚 𝑚+1
5. जर cos A = असेल तर णसद्ध िरय cosec A =
𝑚+1 𝑚−1
1
6. जर sec A = 𝑥 + sec A + tan A = 2𝑥 किां व्हय 2𝑥1 हे दयखिय.
4𝑥
7. ∆ ABC मध्र्े √2 AC = BC, sin A = 1, sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 तर
A = ? B = ? C= ?
8. sin8 A + cos8 A = 1 – 3 sin2 A . cos 2 A हे णसद्ध िरय.
9. sin8 A + cos8 A = 1 – 3 sin2 A . cos 2 A हे णसद्ध िरय.
10. 2 (sin6 A + cos 6 A) – 3 (sin4 A + cos4 A ) + 1 = 0 हे णसद्ध िरय.
cot A tan A
11. + = 1 + tan A + cot A = sec A . cosec A + 1 हे
1−tan A 1−co t A
णसद्ध िरय.
Page 104
प्रश्न ५ ) खयलील उपप्रश्न सोडिय ( ३ गुणयांचे सृजनयतमि प्रश्न)
1. जर 3 sin A + 5 cos A = 5 असेल तर णसद्ध िरय 5 sin A – 3 cos A = ±3.
2. जर cos A + cos 2 A = 1 तर sin2 A + sin4 A = ?
3. जर cosec A – sin A = p आणण sec A – cos A = q तर णसद्ध िरय
2 2
(𝑝2 𝑞)3 + (𝑝𝑞 2 )3 = 1
4. tan 70 . tan 230 . tan 600 . tan 670 . tan 830 = √3 हे दयखिय.
5. जर sin θ + cos θ = √3 तर tan θ + cot θ = 1 हे दयखिय.
1
6. जर tan θ - sin2 θ = cos 2 θ तर sin2 θ = हे दयखिय.
2
7. ( 1 − cos2 A ) . sec 2 B + tan2 B ( 1− sin2 A ) = sin2 A + tan2 B णसद्ध िरय
8. (sin A + cos A) (cosec A – sec A) = cosec A . sec A – 2 tan A हे णसद्ध िरय
1. जर 3 sin A + 5 cos A = 5 असेल तर णसद्ध िरय 5 sin A – 3 cos A = ±3.
2. जर cos A + cos 2 A = 1 तर sin2 A + sin4 A = ?
3. जर cosec A – sin A = p आणण sec A – cos A = q तर णसद्ध िरय
2 2
(𝑝2 𝑞)3 + (𝑝𝑞 2 )3 = 1
4. tan 70 . tan 230 . tan 600 . tan 670 . tan 830 = √3 हे दयखिय.
5. जर sin θ + cos θ = √3 तर tan θ + cot θ = 1 हे दयखिय.
1
6. जर tan θ - sin2 θ = cos 2 θ तर sin2 θ = हे दयखिय.
2
7. ( 1 − cos2 A ) . sec 2 B + tan2 B ( 1− sin2 A ) = sin2 A + tan2 B णसद्ध िरय
8. (sin A + cos A) (cosec A – sec A) = cosec A . sec A – 2 tan A हे णसद्ध िरय
Document Details
| Board / Org | Maharashtra Board |
| Exam | Class 10 |
| Type | Question Bank |
| Pages | 104 |
| Language | marathi |
| Updated | 22 Jul 2026 |