HBSE Class 12 Sample Paper 2026 Maths

BOARD OF SCHOOL EDUCATION HARYANA
CLASS : 12th (Sr. Secondary)
Practice Paper 2025-26 SET – A

Roll No.

गणित
MATHEMATICS
[ Hindi and English Medium ]
(ACADEMIC / OPEN)
[Time allowed : 3 hours ] [Maximum Marks : 80 ]

• कृपया जााँ च कर लें कक इस प्रश्न-पत्र में मुकित पृष्ठ 21 तथा प्रश्न 38 हैं ।
• Please make sure that the printed pages in this question
paper are 21 in number and it contains 38 questions.
• प्रश्न-पत्र के दाई ओर कदए गए कोड नंबर को छात्र द्वारा उत्तर पुस्तिका के
पहले पृष्ठ पर कलखा जाना चाकहए ।
• The code No.on the right side of the question paper should be
written by the candidate on the front page of the answer-book.
• ककसी प्रश्न का उत्तर दे ना शुरू करने से पहले उसका क्रमां क कलखना होगा |
• Before beginning to answer a question, its Serial Number must
be written.
• अपनी उत्तर पुस्तिका में खाली पृष्ठ न छोड़ें |
• Don't leave blank page / pages in your answer-book.

• उत्तर-पुस्तिका के अकतररक्त कोई अन्य शीट नहीं दी जाएगी। अतः
आवश्यकतानुसार ही कलखे व कलखा उत्तर न काटें ।
• Except answer-book, no extra sheet will be given.Write to the
point and do not strikeoff the written answer.
• परीक्षाथी अपना रोल नंबर प्रश्न-पत्र पर अवश्य कलखे।
• Candidates must write their Roll Number on the question
paper.
• कृपया प्रश्नों का उत्तर दे ने से पहले यह सुकनकित कर लें कक प्रश्न-पत्र पूर्ण व
सही है , परीक्षा के उपराांत इस सांबांध में कोई भी दावा स्वीकार नही ां
णकया
जाएगा ।
• Before answering the questions,ensure that you have been
supplied the correct and complete question paper, no claim in
this regard, will be entertained after examination.

सामान्य णनदे श :

• इस प्रश्न - पत्र में कुल 38 प्रश्न हैं ,जो कक पां च खंडों : अ ,ब ,स ,द , ल में
बां टे गए हैं :

खांड अ : इस खंड में 1 से 20 तक कुल 20 प्रश्न हैं , कजनमें से 12
बहुकवकल्पी, 03 एक शब्दीय उत्तर वाले, 03 ररक्त स्थान भरो एवं 02
अकभकथन- कारर् वाले प्रश्न हैं , प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है |
खांड ब : इस खंड में 21 से 25 तक कुल 05 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 2
अंक का है |

खांड स : इस खंड में 26 से 31 तक कुल 06 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 3
अंक का है | इनमें से एक प्रश्न उच्च िरीय तकण क्षमता/दक्षता आधाररत प्रश्न
(HOTS/CBQ) है ।
खांड द : इस खंड में 32 से 35 तक कुल 04 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 5
अंक का है |
खांड ल : इस खंड में 36 से 38 तक कुल 03 केस आधाररत प्रश्न हैं
,प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है |
• सभी प्रश्न अणनवायय हैं |
• कुछ प्रश्नों में आां तररक चयन का कवकल्प कदया गया है , उनमें से एक ही
प्रश्न को चुनना है |
• कदए गए ग्राफ पेपर को अपनी उत्तर पुस्तिका के साथ अवश्य नत्थी करें ।
• ग्राफ पेपर पर अपनी उत्तर पुस्तिका का क्रमां क अवश्य कलखें।
• कैलकुलेटर के प्रयोग की अनुमकत नही ां है |

General Instructions :
• This question paper consists of 38 questions in total which are divided into
five sections : A,B,C,D,E .

Section A : This section consists of twenty questions from 1 to 20 out of
which 12 are MCQ ,03 one word answer , 03 fill in the blanks and 02
Assertion Reason questions. Each question carries 1 mark.
Section B : This section consists of five questions from 21 to 25.Each
question carries 2 marks.
Section C : This section consists of six questions from 26 to 31.Each
question carries 3 marks. Here one HOTS / Competency Based question is
also given.
Section D : This section consists of four questions from 32 to 35.Each
question carries 5 marks.
Section E : This section consists of three case based questions from 36 to
38.Each question carries 4 marks.

• All questions are compulsory.
• There are some questions where internal choice has been provided. Choose
only one of them.
• You must attach the given graph paper along with your answer book.
• You must write the answer book serial no. on the graph paper.
• Use of calculator is not permitted.

खांड – अ
SECTION – A (1 × 20=20)

1. cos−1 (− √2) का मुख्य मान ________________ है |
1

1
The principal value of 𝑐𝑜𝑠 −1 (− √2) is ___________.
0 −5 8
2. आव्यूह [ 5 0 12] है :
−8 −12 0

(A) कवकर्ण आव्यूह है |
(B) समकमत आव्यूह है |
(C) कवषम समकमत आव्यूह है |
(D) अकदश आव्यूह है |

0 −5 8
The matrix [ 5 0 12] is :
−8 −12 0
(A) A diagonal matrix
(B) Symmetric matrix
(C) Skew symmetric matrix
(D) Scalar matrix

2 𝜆 −3
3. यकद 𝐴 = |0 2 5 |, तो 𝐴−1 का अस्तित्व है यकद :
1 1 3

(A) 𝜆 = 2
(B) 𝜆 ≠ 2
(C) 𝜆 ≠ −2
(D) None of these
2 𝜆 −3
If 𝐴 = |0 2 5 | , then 𝐴−1 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑠 , 𝑖𝑓 :
1 1 3
(A) 𝜆 = 2
(B) 𝜆 ≠ 2
(C) 𝜆 ≠ −2
(D) None of these

1 −2 5
4. ′𝑎 के ऐसे दो मान हैं कजनके कलए Δ = |2 𝑎
′
−1| = 86 है तो इन दो
0 4 2𝑎
संख्याओं का योग है :
(A) 4
(B) 5
(C) −4
(D) 9

If there are two values of a which makes determinant ,
1 −2 5
Δ = |2 𝑎 −1| = 86, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑢𝑚 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒𝑠𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑠 𝑖𝑠 ∶
0 4 2𝑎
(A) 4
(B) 5
(C) −4
(D) 9

𝑑𝑦
5. यकद 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔7 (log 𝑥 ) है तो ज्ञात कीकजए |
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Find 𝑖𝑓 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔7 (log 𝑥 ).
𝑑𝑥

6. 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 −1 (2𝑥 2 − 1) का अवकलज 𝑔 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥 के सापेक्ष
ज्ञात कीकजए |

Find the derivative of 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 −1 (2𝑥 2 − 1) with respect to
𝑔 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥.
𝑥2
7. यकद 𝑓(𝑥) = 2𝑥 और 𝑔(𝑥) = + 1 , तो इनमें से कौन सा एक असतत
2
फलन हो सकता है

(A) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
(B) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(C) 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)
(D)
𝑓(𝑥)
𝑥2
If 𝑓(𝑥) = 2𝑥 and𝑔(𝑥) = + 1 , then which of the following
2
can be a discontinuous function?
(E) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
(F) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(G) 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)
(H)
𝑓(𝑥)

8. ककसी समबाहु कत्रभुज की भुजाएं 2 cm/s की दर से बढ़ रही हैं | जब भुजा

10cm है तो कत्रभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीकजए|
If the sides of an equilateral triangle are increasing at the rate of

2 cm/s then find the rate at which the area increases, when side is

10 cm.
𝑑𝑥
9. ∫ बराबर है :
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

(A) tan 𝑥 + cot 𝑥 + 𝑐
(B) tan 𝑥 − cot 𝑥 + 𝑐

(C) tan 𝑥 cot 𝑥 + 𝑐
(D) tan 𝑥 − cot 2𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 equals :

(A) tan 𝑥 + cot 𝑥 + 𝑐
(B) tan 𝑥 − cot 𝑥 + 𝑐
(C) tan 𝑥 cot 𝑥 + 𝑐
(D) tan 𝑥 − cot 2𝑥 + 𝑐

10. वह वक्र कजसके कलए ककसी कबंदु पर स्पशण रे खा की प्रवर्ता उस कबंदु के

x - अक्ष (भुज ) तथा y -अक्ष (कोकट) के अनुपात के बराबर है , वह है :
(A) दीर्णवृत
(B) परवलय

(C) वृत्त

(D) समकोर्ीय अकतपरवलय:
The curve for which the slope of the tangent at any point is equal to the
ratio of the abscissa to the ordinate of the point is :
(A) an ellipse
(B) parabola
(C) circle
(D) rectangular hyperbola
𝜋
11. ∫0 cos 𝑥𝑒 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ?
4

(A)e+1
(B) e-1
(C) e
(D) - e

𝑑𝑦 2 𝑑2𝑦
12. अवकल समीकरर् 1 + ( ) = 2 की र्ात ----- है |
𝑑𝑥 𝑑𝑥

The degree of the differential equation
𝑑𝑦 2 𝑑2𝑦
1 + ( ) = 2 is ------------- .
𝑑𝑥 𝑑𝑥

13. सकदशों 𝑎⃗ = 2𝑖̂ + 2𝑗̂ + 2𝑘̂ और 𝑏⃗⃗ = 𝑗̂ + 𝑘̂ और दोनों ही पर मात्रक
लंब सकदशों की संख्या है :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) अनंत
The number of vectors of unit length perpendicular to the vectors

𝑎⃗ = 2𝑖̂ + 2𝑗̂ + 2𝑘̂ 𝑎𝑛𝑑 𝑏⃗⃗ = 𝑗̂ + 𝑘̂ 𝑖𝑠 ∶
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) Infinite

14. 𝑋𝑌 − समतल में कबंदु का परावतणन ( 𝛼, 𝛽, 𝛾) है ∶
The reflection of the point (𝛼, 𝛽, 𝛾) in XY-plane is :-
(A) (𝛼, 𝛽, 0)
(B) (0,0, 𝛾)
(C) (−𝛼, −𝛽, 𝛾)
(D) (𝛼, 𝛽, −𝛾)

15. रे खा
𝑥−5 𝑦+4 𝑧−6
= =
3 7 2
का सकदश समीकरर् है :

̂
(A)𝑟⃗ = 5𝑖̂ − 4𝑗̂ + 6𝑘̂ + 𝜆(3𝑖̂ + 7𝑗̂ + 4𝑘)
̂ + 𝜆(5𝑖̂ − 4𝑗̂ + 6𝑘̂)
(B) 𝑟⃗ = 3𝑖̂ + 7𝑗̂ + 4𝑘
̂
(C) 𝑟⃗ = 5𝑖̂ − 4𝑗̂ + 6𝑘̂ − 𝜆(3𝑖̂ + 7𝑗̂ + 4𝑘)
̂
(D) 𝑟⃗ = −5𝑖̂ + 4𝑗̂ − 6𝑘̂ + 𝜆(3𝑖̂ + 7𝑗̂ + 4𝑘)

The vector equation of the line
𝑥−5 𝑦+4 𝑧−6
= =
3 7 2
̂
(A) 𝑟⃗ = 5𝑖̂ − 4𝑗̂ + 6𝑘̂ + 𝜆(3𝑖̂ + 7𝑗̂ + 4𝑘)
̂ + 𝜆(5𝑖̂ − 4𝑗̂ + 6𝑘̂)
(B) 𝑟⃗ = 3𝑖̂ + 7𝑗̂ + 4𝑘
̂
(C) 𝑟⃗ = 5𝑖̂ − 4𝑗̂ + 6𝑘̂ − 𝜆(3𝑖̂ + 7𝑗̂ + 4𝑘)
̂
(D) 𝑟⃗ = −5𝑖̂ + 4𝑗̂ − 6𝑘̂ + 𝜆(3𝑖̂ + 7𝑗̂ + 4𝑘)

16. तीन व्यस्तक्त A ,B तथा C , A से प्रारम्भ करके एक ही लक्ष्य पर बारी- बारी
से गोली चलाते हैं | उनके द्वारा लक्ष्य भेदन की प्राकयकताएाँ 0.4 ,0.3, तथा
0.2 है ाँ | दो बार लक्ष्य भेदन की प्राकयकता है :

(A) 0.024.

(B)0.188
(C)0.336

(D) 0.452
1
Three persons A, B and C fire at a target in turn, starting with

A. Their probability of hitting the target are 0.4,0.3,0.2
respectively.The probability of two hits is :

(A) 0.024.

(B)0.188

(C)0.336
(D) 0.452
𝑑2𝑦
17. यकद 𝑥 = 𝑡 2 और 𝑦 = 𝑡 3 , तो =?
𝑑𝑥 2
3
(A)
2
3
(B)
4𝑡
3
(C)
2𝑡
−3
(D)
2𝑡

𝑑2𝑦
If 𝑥 = 𝑡 2 𝑎𝑛𝑑 𝑦 = 𝑡 3 , then =?
𝑑𝑥 2
3
(A)
2
3
(B)
4𝑡
3
(C)
2𝑡
−3
(D)
2𝑡

18. यकद 𝑥 वािकवक है तो 𝑥 2 − 8𝑥 + 17का न्यूनतम मान = ___________.
If 𝑥 𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑜𝑓 𝑥 2 − 8𝑥 + 17 = ___________.

अणभकथन एवां कारि प्रश्न

कनम्नकलस्तखत प्रश्नों में कथन (A) अकभकथन के रूप में तथा कथन (R )कारर् के
रूप में कदया गया है | कनम्नकलस्तखत कवकल्पों में से सही कवकल्प का चयन कीकजए:

(a) A व R दोनों सही है तथा R , A की सही व्याख्या है |
(b) A व R दोनों सही है तथा R , A की सही व्याख्या नहीं है |
(c) A सही है ककन्तु R गलत है |
(d) A गलत है ककन्तु R सही है |

ASSERTION-REASON BASED QUESTIONS
In the following questions, a statement of assertion (A) is followed by a
statement of Reason (R). Choose the correct answer out of the following
choices :-
(a) Both A and R are true and R is the correct explanation of A.
(b) Both A and R are true but R is not the correct explanation of A.
(c) A is true but R is false.
(d) A is false but R is true.
19. अणभकथन (A) यकद दो र्टनाएं परस्पर स्वतंत्र हैं तो वे अवश्य परस्पर अपवकजणत

होंगी
कारि ( R ) : यकद दो र्टनाएं परस्पर स्वतंत्र हैं तो
𝑃(𝐴⋂𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) ; 𝑃(𝐴) ≠ 0, 𝑃(𝐵) ≠ 0.
ASSERTION (A) : If two events are independent , then they must be
mutually exclusive.
. REASON (R) : If two events A and B are independent , then
𝑃(𝐴⋂𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) ; 𝑃(𝐴) ≠ 0, 𝑃(𝐵) ≠ 0.

20. अणभकथन (A) : यकद सकदश 𝑎⃗ = 2𝑖̂ + 𝜆𝑗̂ + 𝑘̂ और 𝑏⃗⃗ = 𝑖̂ + 2𝑗̂ + 3𝑘̂
−5
लास्तिक हों तो 𝜆 = .
2

कारि ( R ) दो गैर शून्य सकदश 𝑎⃗ और 𝑏⃗⃗ लास्तिक होंगे यकद 𝑎⃗ . 𝑏⃗⃗ = 0.

ASSERTION (A): The vectors 𝑎⃗ = 2𝑖̂ + 𝜆𝑗̂ + 𝑘̂ 𝑎𝑛𝑑 𝑏⃗⃗ = 𝑖̂ + 2𝑗̂ + 3𝑘̂ are
−5
orthogonal for 𝜆 =
2

REASON (R): Two non - zero vectors 𝑎⃗ 𝑎𝑛𝑑 𝑏⃗⃗ are orthogonal if 𝑎⃗ . 𝑏⃗⃗ = 0.

खांड – ब
SECTION – B (2 × 5=10)

21. कनम्नकलस्तखत व्यवरोधों के अंतगणत 𝑍 = 3𝑥 + 2𝑦 का न्यूनतमीकरर् कीकजए:
𝑥+𝑦 ≥8
3𝑥 + 5𝑦 ≤ 15
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

Minimize: 𝑍 = 3𝑥 + 2𝑦 subject to the constraints:
𝑥+𝑦 ≥8
3𝑥 + 5𝑦 ≤ 15
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
𝑥
22(a). यकद [2𝑥 3] [ 1 2] [8] = 𝑂 तो 𝑥 का मान ज्ञात
−3 0
कीकजए |

1 2 𝑥
If [2𝑥 3] [ ] [ ] = 𝑂 then find 𝑡ℎ𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑜𝑓 𝑥.
−3 0 8
अथवा/𝑶𝑹
22(b). यकद 𝐴 = (1,0), 𝐵 = (6,0), 𝐶 = (4,3) तो कत्रभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात
कीकजए |
If 𝐴 = (1,0), 𝐵 = (6,0), 𝐶 = (4,3) then find the area of triangle
ABC.

23(a). 𝑘 का मान ज्ञात कीकजए कजसके कलए
1−𝑐𝑜𝑠4𝑥
; 𝑖𝑓 𝑥 ≠ 0
𝑓(𝑥) = { 8𝑥 2 } द्वारा पररभाकषत फलन 𝑥 = 0 पर संतत है |
𝑘 ; 𝑖𝑓 𝑥 = 0

Find the value of the constant k so that the function 𝑓 defined by
1−𝑐𝑜𝑠4𝑥
; 𝑖𝑓 𝑥 ≠ 0
𝑓(𝑥) = { 8𝑥 2 } is continuous at 𝑥 = 0.
𝑘 ; 𝑖𝑓 𝑥 = 0
अथवा/𝑶𝑹

23(b). एक पररवतणनशील र्न का 3 cm/s की दर से बढ रहा है | र्न का आयतन
ककस दर से बढ़ रहा है जबकक ककनारा 10 cm लिा है |
An edge of a variable cube is increasing at the rate of 3 cm/s. How
fast is the volume of cube increasing when the edge is 10 cm long.

24. ककसी महाकवद्यालय में प्रवेश चाहने वाले A तथा B दो अभ्यथी हैं | A के चुने जाने
की प्राकयकता 0.7 है तथा दोनों में से केवल एक के चुने जाने की प्राकयकता 0.6
है | B के चुने जाने की प्राकयकता ज्ञात कीकजए |
A and B are two candidates seeking admission in a college. The
probability that A is selected is 0.7 and the probability that exactly one of
them is selected is 0.6. Find the probability that B is selected.
25. समाककलत कीकजए: ∫ 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 𝑑𝑥
Integrate: ∫ 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 𝑑𝑥

खांड – स
SECTION – C (3 × 6=18)

26. कनम्न अवरोधों के अंतगणत 𝑍 = 5𝑥 + 3𝑦 का अकधकतमीकरर् कीकजए :
3𝑥 + 5𝑦 ≤ 15 ; 5𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 ; 𝑥 , 𝑦 ≥ 0

Maximize : 𝑍 = 5𝑥 + 3𝑦 subject to the constraints:
3𝑥 + 5𝑦 ≤ 15 ; 5𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 ; 𝑥 , 𝑦 ≥ 0
27(a). मान लीकजए कक XY -तल में स्तस्थत समि रे खाओं का समुच्चय L है और L में

𝑅 = {(𝐿1, 𝐿2 ): 𝐿1 समां तर है 𝐿2 के} द्वारा पररभाकषत संबध R है | कसद्ध कीकजए

कक R एक तुल्यता संबध है | रे खा 𝑦 = 2𝑥 + 4 से संबकधत समि रे खाओं

का समुच्चय ज्ञात कीकजए |
Let L be the set of all lines in XY plane and R be the relation in L
defined as R = {(L1 , L2 ) : L1 is parallel to L2 }. Show that R is an
equivalence relation. Find the set of all lines related to the line
𝑦 = 2𝑥 + 4.
अथवा / OR
√1+𝑥 2 −1
27(b). फलन tan−1 , 𝑥 ≠ 0 को सरलतम रूप में व्यक्त कीकजए |
𝑥

√1+𝑥 2 −1
Write the function tan−1 , 𝑥 ≠ 0 in simplest form.
𝑥

28. ककसी पुिकों की दु कान में 10 दजणन रसायन कवज्ञान ,8 दजणन भौकतक कवज्ञान ,
तथा 10 दजणन अथणशास्त्र की पुिकें हैं | इन पुिकों का कवक्रय मूल्य क्रमश:

Rs. 80, Rs. 60 और Rs.40 प्रकत पुिक है | आव्यूह बीजगकर्त के प्रयोग
द्वारा ज्ञात कीकजए कक सभी पुिकों को बेचने पर दु कानदार को कुल ककतनी
धनराकश प्राप्त होगी ?
A bookshop has 10 dozen chemistry books, 8 dozen physics books ,10
dozen economics books. Their selling price are Rs.80, Rs.60 and Rs.40
respectively. Find the total amount the bookshop will receive from
selling all the books using matrix algebra.
29(a). यकद 𝑦 = (tan−1 𝑥)2 तो दशाण इए कक:
(𝑥 2 + 1)2 𝑦2 + 2𝑥(𝑥 2 + 1)𝑦1 = 2
If 𝑦 = (tan−1 𝑥)2 , show that :

(𝑥 2 + 1)2 𝑦2 + 2𝑥(𝑥 2 + 1)𝑦1 = 2

अथवा / OR
1−𝑥 2 𝑑𝑦
29(b).यकद 𝑦 = log (
1+𝑥 2
) तो 𝑑𝑥 का मान ज्ञात कीकजए |
1−𝑥 2 𝑑𝑦
If 𝑦 = log ( ) 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑑𝑥 .
1+𝑥 2

30. कनम्नकलस्तखत समाकलन का मान ज्ञात कीकजए:
∫ 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑑𝑥
Integrate the following :

∫ 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑑𝑥

31. पररमार् 3√2 का एक सकदश 𝑟⃗⃗⃗⃗ ज्ञात कीकजए जो y और z अक्षों से क्रमशः
𝜋 𝜋
कोर् और बनाता है |
4 2

Find a vector 𝑟⃗⃗⃗⃗of magnitude 3√2 units which makes an angle of
𝜋 𝜋
and with y and z - axes, respectively.
4 2

खांड – द
SECTION – D ( 𝟓 × 4=20)

32. (a) कनम्नकलस्तखत कनकित समाकलन का मान ज्ञात कीकजए:
𝜋
2
∫ log sin 𝑥 𝑑𝑥
0

Evaluate the following definite integral :
𝜋
2
∫ log sin 𝑥 𝑑𝑥
0

अथवा / OR
𝑑𝑦
32. (b) अवकल समीकरर् − 𝑦 = cos 𝑥 का व्यापक हल ज्ञात कीकजए |
𝑑𝑥

Find the general solution of the differential equation
𝑑𝑦
− 𝑦 = cos 𝑥
𝑑𝑥
33(a). कुल 7000 रुपए की धनराकश को तीन अलग अलग बचत खातों में क्रमशः 5 % ,

8 %एवं 8. 5 % की वाकषणक ब्याज दर पर जमा करवाया गया है | तीनों बचत खातों
से कुल वाकषणक ब्याज 550 रुपये प्राप्त होता है | 5 % एवं 8 % ब्याज दर वाले खातों
में बराबर धनराकश जमा करवाई गई है | प्रत्येक बचत खाते में जमा धनराकश को

आव्यूह कवकध की सहायता से ज्ञात कीकजए |
A total amount of Rs. 7000 is deposited in three different saving bank
accounts with annual interest rates of 5% , 8% , and 8.5%
respectively. The total annual interest from these three accounts is Rs.
550.Equal amounts have been deposited in 5% and 8% saving
accounts. Find the amount deposited in each of the three accounts , with
the help of matrices.

अथवा / OR
33(b).आव्यूह कवकध का प्रयोग करके कनम्नकलस्तखत रै स्तखक समीकरर्ों को हल

कीकजए :
2 3 10
+ + =4
𝑥 𝑦 𝑧
4 6 5
− + =1
𝑥 𝑦 𝑧
6 9 20
+ − =2
𝑥 𝑦 𝑧

Solve the system of linear equations , using matrix method:
2 3 10
+ + =4
𝑥 𝑦 𝑧

4 6 5
− + =1
𝑥 𝑦 𝑧
6 9 20
+ − =2
𝑥 𝑦 𝑧

34(a) कनम्नकलस्तखत दो रे खाओं के बीच की न्यूनतम दू री ज्ञात कीकजए :
𝑟⃗ = 6𝑖̂ + 2𝑗̂ + 2𝑘̂ + 𝜆(𝑖̂ − 2𝑗̂ + 2𝑘̂) and
𝑟⃗ = −4𝑖̂ − 𝑘̂ + 𝜇(3𝑖̂ − 2𝑗̂ − 2𝑘̂).

Find the shortest distance between the lines:
𝑟⃗ = 6𝑖̂ + 2𝑗̂ + 2𝑘̂ + 𝜆(𝑖̂ − 2𝑗̂ + 2𝑘̂) and
𝑟⃗ = −4𝑖̂ − 𝑘̂ + 𝜇(3𝑖̂ − 2𝑗̂ − 2𝑘̂).

अथवा / OR

34(b). मान लीकजए कक दपणर् के पोकलश ककए हुए भाग , रे खा
𝑥 1−𝑦 2𝑧−4
= = .
1 −2 6

के अनुकदश हैं | दपणर् से कुछ दू री पर एक कबंदु P(1,6,3)का प्रकतकबि दपणर्
के पीछे बनता है | प्रकतकबि कबंदु के कनदे शां क तथा कबंदु P और उसके

प्रकतकबि के बीच की दू री ज्ञात कीकजए |
Let the polished side of the mirror be along the line
𝑥 1 − 𝑦 2𝑧 − 4
= = .
1 −2 6
A point P(1,6,3), some distance away from the mirror ,has its image
formed behind the mirror. Find the coordinates of the image point and
the distance between the point P and its image.
35(a). A और B बारी-बारी से एक पासे को उछालते हैं जब तक कक उनमें
से कोई एक पासे पर छह प्राप्त कर खेल को जीत नहीं लेता ।यकद A खेल को

शुरू करे तो उनके जीतने की क्रमश: प्राकयकता ज्ञात कीकजए |
A and B throw a die alternatively till one of them get a ‘6’ and

wins the game. Find their respective probabilities of winning, if

A starts first.

अथवा / OR

35(b). तीन कसक्के कदए गए हैं ।एक कसक्के के दोनों और कचत ही है ।दू सरा कसक्का

अकभनत है कजसमें कचत 75% बार प्रकट होता है और तीसरा कसक्का
अनकभतन कसक्का है । तीनों में से एक कसक्के को यादृचछ्या चुना गया और

उसे उछाला गया है ।यकद कसक्के पर कचत प्रकट हो तो क्या प्राकयकता है कक

वह दोनों कचत वाला कसक्का है |
There are three coins. One is a two headed coin (having head on both
faces), another is a biased coin that comes up heads 75% of the
time and third is an unbiased coin. One of the three coins is chosen
at random and tossed, it shows heads, what is the probability that it
was a two headed coin.

खांड – ल
SECTION – E (4 × 3=12)

36. एक कवद्यालय में एक हबणल पाकण तैयार ककया जाना है | यकद पाकण का क्षेत्र
वक्र{(𝑥, 0): 𝑦 = √4 − 𝑥 2 } एवं x- अक्ष के बीच का छायां ककत भाग है तो
कनम्नकलस्तखत प्रश्नों के उत्तर दीकजए :
(a) पाकण का आकार कैसा होगा?
(b) पाकण के दो प्रवेश द्वारों के कनदे शां क ज्ञात कीकजए जो दी गई वक्र एवं x - अक्ष के
प्रकतच्छे द कबंदुओं पर बने हैं |
(c) समाकलन का प्रयोग करते हुए प्रायोकजत हबणल पाकण का क्षेत्रफल ज्ञात कीकजए |

A herbal park is to be prepared in a school. If the region of the park is
same as the region shaded between the curve {(𝑥, 0): 𝑦 = √4 − 𝑥 2 } and x-
axis. Then answer the following questions:
(a) What will be the shape of park ? 1
(b) Find the coordinates of the two entry gates of the park which are to be
built at the intersecting points of the given curve with x-axis ?
(c) Find the area of the proposed herbal park using integration.

37. कदए गए पैराग्राफ को पढ़कर कनम्नकलस्तखत प्रश्नों के उत्तर दीकजए:

मान लीकजए कबंदुओं A व B पर क्रमशः AP व BQ दो ऊर्ध्ाण धर िंभ हैं | यकद

AP =16 m ,BQ= 22m और AB= 20m हों तथा कोई कबंदु R , AB पर इस

प्रकार स्तस्थत है कक दू री 𝑅𝑃2 + 𝑅𝑄2 न्यूनतम है |

(a). यकद AR= 𝑥 𝑚 तो BR को 𝑥के रूप में व्यक्त कीकजए | 1
(b). यकद 𝑆(𝑥) = 𝑅𝑃2 + 𝑅𝑄2 , एक कद्वर्ात समीकरर् हो तो इसमें 𝑥का

गुर्ां क ज्ञात कीकजए|
(c). दू री AR ज्ञात कीकजए तथा उस टै स्ट का नाम बताइए जो आपने यहााँ प्रयोग

ककया है | 2
Read the following passage and answer the questions given below:
Let AP and BQ be two vertical poles at points A and B, respectively. If

AP =16 m ,BQ= 22m and AB= 20m. R is any point on AB such that
𝑅𝑃2 + 𝑅𝑄2 minimum.

(a) If AR= 𝑥 𝑚 then express BR in terms of 𝑥. 1
2 2
(b) If 𝑆(𝑥) = 𝑅𝑃 + 𝑅𝑄 , is a quadratic equation then find the co-
efficient of 𝑥 in it. 1
(c) Calculate the distance AR and name the test you have applied here. 2
38. एक कवद्यालय में वाद - कववाद प्रकतयोकगता का आयोजन ककया जा रहा है , कजसमें

वक्ताओं के रूप में 𝑆 = {𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 } तथा इनका कनर्णय लेने के कलए जज
𝐽 = {𝐽1 , 𝐽2 , 𝐽3 } के रूप में भाग ले रहे हैं , जहां प्रत्येक वक्ता के कलए एक जज

कनधाण ररत ककया जा सकता है | माना R एक सम्मुचय S से J का संबंध इस प्रकार
पररभाकषत है

𝑅 = {(𝑥, 𝑦): वक्ता 𝑥 के कलए जज 𝑦 कनधाण ररत ककया गया है , 𝑥 ∈ 𝑆 , 𝑦 ∈ 𝐽}
उपरोक्त के आधार पर कनम्न प्रश्नों के उत्तर दीकजए :

(a) S से J तक ककतने सिध संभव है ? 1
(b) एक कवद्याथी ने S से J तक का एक फलन कनम्न प्रकार से पररभाकषत ककया:

𝑓 = {(𝑆1 , 𝐽1 ), (𝑆2 , 𝐽2 ), (𝑆3 , 𝐽2 ), (𝑆4 , 𝐽3 )}
जााँ च कीकजए कक क्या यह फलन एकैकी आच्छादक है ? 1

(c). समुच्चय S से समुच्चय J तक कुल ककतने एकैकी फलन पररभाकषत ककए जा
सकते हैं ?
OR 2

एक अन्य कवद्याथी ने समुच्चय S में एक संबध 𝑅′ = {(𝑆1 , 𝑆2 ), (𝑆2 , 𝑆4 ) द्वारा

पररभाकषत ककया | वह न्यूनतम क्रकमत युग्म कलस्तखए जो𝑅′ में जोड़ने पर स्वतुल्य हो

जाये परं तु समकमत न हो |

A school is organizing a debate competition with participants
as speakers 𝑆 = {𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑆4 } and these are judged by the
judges 𝐽 = {𝐽1 , 𝐽2 , 𝐽3 }. Each speaker can be assigned one
judge. Let R be the relation from set S to set J defined as
𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑠𝑝𝑒𝑎𝑘𝑒𝑟 𝑥 𝑖𝑠 𝑗𝑢𝑑𝑔𝑒𝑑 𝑏𝑦 𝑗𝑢𝑑𝑔𝑒 𝑦 , 𝑥 ∈ 𝑆 , 𝑦 ∈ 𝐽}.
Based on the above answer the following questions:
(a) How many relations can be there from S to J ? 1
(b) A student identifies a function from S to J as
𝑓 = {(𝑆1 , 𝐽1 ), (𝑆2 , 𝐽2 ), (𝑆3 , 𝐽2 ), (𝑆4 , 𝐽3 )} , Check if it is bijective. 1
(c) How many one - one functions can be there from set S to set J.2
OR
Another student consider a relation 𝑅′ = {(𝑆1 , 𝑆2 ), (𝑆2 , 𝑆4 ) in
the set S. Write minimum ordered pairs to be included in 𝑅’ so
that 𝑅′ is reflexive but not symmetric. 2

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