JEE Advanced 2021 Question Paper 2 (in Hindi)

JEE (Advanced) 2021 Paper 2

प्रश्‍न‍संग्रह: खंड‍1
 इस खं ड में छह‍(06) प्रश्न हैं |
 प्रत्येक प्रश्न के भलए चार भवकल्प (A), (B), (C) और (D) भदए गए हैं | इन चार भवकल्पों में से एक‍या‍एक‍से‍अधिक‍भवकल्प
सही उत्तर है (हैं )‍|
 प्रत्येक प्रश्न के भलए भदए हुए भवकल्पों में से सही उत्तर(उत्तरों) से संबंभित भवकल्प (भवकल्पों) को चुभनए |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्ां कन भनम्न योजना के अनु सार होगा:
पूर्ण अंक : +4 यभद केवल (सारे ) सही भवकल्प (भवकल्पों) को चुना गया है |
आं भिक अंक : +3 यभद चारों भवकल्प सही हैं परन्तु केवल तीन भवकल्पों को चुना गया हैं |
आं भिक अंक : +2 यभद तीन या तीन से अभिक भवकल्प सही हैं परन्तु केवल दो भवकल्पों को चुना गया हैं और दोनों चुने
हुए भवकल्प सही भवकल्प हैं |
आं भिक अंक : +1 यभद दो या दो से अभिक भवकल्प सही हैं परन्तु केवल एक भवकल्प को चुना गया है और चुना हुआ
भवकल्प एक सही भवकल्प है |
िू न्य अंक : 0 यभद भकसी िी भवकल्प को नहीं चुना गया है (अर्ाण त् प्रश्न अनुत्तररत है )|
ऋर् अंक : −1 अन्य सिी पररस्थर्भतयों में |
 उदाहरर्: यभद भकसी प्रश्न के भलए केवल भवकल्प (A), (B) और (D) सही भवकल्प हैं , तब
केवल भवकल्प (A), (B) और (D) चुनने पर +4 अंक भमलें गे;
केवल भवकल्प (A) और (B) चुनने पर +2 अंक भमलें गे;
केवल भवकल्प (A) और (D) चुनने पर +2 अंक भमलें गे;
केवल भवकल्प (B) और (D) चुनने पर +2 अंक भमलें गे;
केवल भवकल्प (A) चुनने पर +1 अंक भमलें गे;
केवल भवकल्प (B) चुनने पर +1 अंक भमलें गे;
केवल भवकल्प (D) चुनने पर +1 अंक भमलें गे;
कोई िी भवकल्प ना चुनने पर (अर्ाण त् प्रश्न अनुत्तररत रहने पर) 0 अंक भमलें गे; और
अन्य भकसी भवकल्पों के संयोजन को चुनने पर −2 अंक भमलें गे |

Q.1 अभिभिया अनुिम जो मुख्य उत्पाद o-जाईलीन (o-xylene) दे गा(दें गे) वह(वें) है (हैं )

(A) (B)
1. NaNO2/HCl 1. Mg, CO2, H3O+
Me 273 K Me 2. SOCl2
NH2 2. CuCN

3. DIBAL-H Br 3. H2, Pd-BaSO4
then H3O+ 4. Zn-Hg, HCl
4. N2H4, KOH
heat

(C) (D)
1. i. BH3 1. O3, Zn/H2O
Me ii. H2O2, NaOH
2. N2H4, KOH, heat
2. PBr3
3. Zn, dil. HCl

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Q.2 भनम्न भलस्खत अभिभियाओं के अनु िम के भलए सही भवकल्प है (हैं )

V

Br2 1. Q CHCl3 S
PhCH3 P R
2. H2, Pd/C KOH foul smelling
i. KMnO4 light
KOH, heat
ii. H3O+
1. NH3 W
T U
2. heat
(foul smelling = दु गंियु क्त)

(A) Q = KNO2, W = LiAlH4 (B) R = बेंजीनऐभमन (benzenamine), V = KCN

(C) Q = AgNO2, R = फ़ेभनलमेर्ेनेमीन (D) W = LiAlH4, V = AgCN
(phenylmethanamine)

Q.3 नीचे भदए अभिभिया के भलए
𝑘
2𝐗 + 𝐘 → 𝐏
𝑑[𝐏]
अभिभिया वेग 𝑑𝑡 = 𝑘[𝐗] है | X के दो मोलों को Y के एक मोल के सार् भमला कर 1.0 L भवलयन
बनाया गया | 50 s पर, अभिभिया भमश्रर् में Y का 0.5 मोल बचा | अभिभिया के भलए सही कर्न
है (हैं )

(उपयोग करें : ln 2 = 0.693)

(A) अभिभिया का वेग स्थर्रां क, k, 13.86 × 10−4 s–1 है |
(B) X की अिाण यु (half-life) 50 s है |
𝑑[𝐗]
(C) 50 s पर, − 𝑑𝑡 = 13.86 × 10−3 mol L–1 s–1
𝑑[𝐘]
(D) 100 s पर, − 𝑑𝑡 = 3.46 × 10−3 mol L–1 s–1

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Q.4 नीचे 298 K पर कुछ मानक इलैक्ट्रोड भविव (standard electrode potentials) भदये गये हैं :

Pb2+/Pb 0.13 V
Ni2+/Ni 0.24 V
2+
Cd /Cd 0.40 V
Fe2+/Fe 0.44 V

0.001 M X2+ और 0.1 M Y2+ वाले एक भवलयन में िातु रॉड X और Y को डु बाया गया (298 K
पर) और चालक तार द्वारा जोड़ा गया | इस कारर् X घुलने लगा | X और Y का सही संयोजन,
िमिः, है (हैं )

(भदया गया: गैस स्थर्रां क, R = 8.314 J K–1 mol–1,
फैराडे (Faraday) स्थर्रां क, F = 96500 C mol–1)

(A) Cd और Ni

(B) Cd और Fe
(C) Ni और Pb

(D) Ni और Fe

Q.5 यौभगकों के युग्म भजसमें से दोनों चतुष्फलकीय (tetrahedral) ज्याभमभत को दिाण ते हैं , वो(वें ) है (हैं )

(ध्यान दे : py = भपररडीन,
Fe, Co, Ni और Cu के परमार्ु िमां क यर्ािम 26, 27, 28 एबं 29 हैं )

(A) [FeCl4]– और [Fe(CO)4]2– (B) [Co(CO)4]– और [CoCl4]2–

(C) [Ni(CO)4] और [Ni(CN)4]2– (D) [Cu(py)4]+ और [Cu(CN)4]3–

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Q.6 फोस्फोरस (Phosphorus) के ऑक्सीअम्ों (oxoacids) के बारे में सही कर्न है (हैं )

(A) गमण करने पर, H3PO3 असमानुपातन (disproportionation) अभिभिया कर के H3PO4 और
PH3 बनाता है |

(B) जबभक H3PO3 अपचायक कारक (reducing agent) जैसा व्यवहार कर सकता है , H3PO4
नहीं कर सकता |

(C) H3PO3 एक एकक्षारीय (monobasic) अम् है |

(D) H3PO3 में P–H आबंि का H परमार्ु , पानी में आयनीभित (ionizable) नहीं होता है |

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खंड‍2
 इस खं ड में तीन (03) प्रश्न स्तम्भ (QUESTION STEM) हैं |
 प्रत्येक प्रश्न स्तम्भ से सम्बं भित दो‍(02)‍प्रश्न हैं |
 प्रत्येक प्रश्न का उत्तर एक संख्यात्मक‍मान (NUMERICAL VALUE) है |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर से संबंभित सही संख्यात्मक मान को माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON-SCREEN) वचुणअल
नु मेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) के प्रयोग से उत्तर के भलए भचस्ित थर्ान पर दजण करें |
 यभद संख्यात्मक मान में दो से अभिक दिमलव थर्ान हैं , तो संख्यात्मक मान को दिमलव के दो (02)‍थर्ानों तक
समेंटे/शून्ांत‍करें (truncate/round-off) |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्ां कन भनम्न योजना के अनु सार होगा :
पूर्ण अंक : +2 यभद केवल सही संख्यात्मक मान (numerical value) को ही संबंभित थर्ान में दज़ण भकया गया है |
िू न्य अंक : 0 अन्य सिी पररस्थर्भतयों में |

प्रश्न‍7 और‍8‍के‍धिए‍प्रश्न‍स्तम्भ‍

एक दु बणल एकक्षारीय अम् (monobasic acid) की सीमान्त मोलर चालकता (limiting molar conductivity)
298 K पर 4 × 102 S cm2 mol1 है | 298 K पर, इस अम् के जलीय भवलयन के भवयोजन की मात्रा  है तर्ा मोलर
चालकता (molar conductivity) 𝐲 × 102 S cm2 mol1 है | 298 K पर, पानी से 20 गुना तनु करर् पर भवलयन
की मोलर चालकता (molar conductivity) 3𝐲 × 102 S cm2 mol1 होती है |

Q.7  का मान ____ है |

Q.8 𝐲 का मान ____ है |

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प्रश्न‍9 और‍10‍के‍धिए‍प्रश्न‍स्तम्भ‍

x g Sn की HCl के सार् अभिभिया, मात्रात्मक्तः (quantitatively) एक लवर् बनाती है | HCl के जरूरी मात्रा के
उपस्थर्भत में इस लवर् की पूरी मात्रा, y g नाईट्र ोबेंजीन (nitrobenzene) के सार् अभिभिया होने पर 1.29 g
काबणभनक लवर् बनता है (मात्रात्मक्तः) |

(उपयोग करें : H, C, N, O, Cl और Sn के मोलर द्रव्यमानों का मान (g mol–1 में) यर्ािम 1, 12, 14, 16, 35 और
119).

Q.9 x का मान ____ है |

Q.10 y का मान ____ है |

प्रश्न‍11 और‍12‍के‍धिए‍प्रश्न‍स्तम्भ‍

एक प्रभतदिण (5.6 g), भजसमे लोहा है , ठन्डे तनु HCl में पूर्णतः घोलकर 250 mL का एक भवलयन बनता है | इस
भवलयन के 25.0 mL के अनुमापन में अन्त्यभबंदु को पहुचने के भलए 0.03 M KMnO4 भवलयन का 12.5 mL लगता
है | 250 mL भवलयन में Fe2+ के मोलों की संख्या x × 10−2 है (FeCl2 का पूर्ण घोलना माभनये) | प्रभतदिण में मौजूद
लोहे की मात्रा वजन के अनु सार (by weight) y% है |

(मान लें: भवलयन में KMnO4 केवल Fe2+ के सार् ही अभिभिया करता है |
उपयोग करें : लोहा का मोलर द्रव्यमान 56 g mol−1)

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Q.11 x का मान ____ है |

Q.12 y का मान ____ है |

प्रश्‍न‍संग्रह:‍खंड‍3

 इस खं ड में दो‍(02)‍अनुच्छेद हैं | प्रत्येक अनु च्छेद पर आिाररत दो (02)‍प्रश्न हैं |
 प्रत्येक प्रश्न के भलए चार भवकल्प (A), (B), (C) और (D) भदए गए हैं | इन चार भवकल्पों में से केवि‍एक
भवकल्प ही सही उत्तर है |
 प्रत्येक प्रश्न के भलए भदए हुए भवकल्पों में से सही उत्तर से संबंभित भवकल्प को चुभनए |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्ां कन भनम्न योजना के अनु सार होगा :
पूर्ण अंक : +3 यभद भसफण सही भवकल्प ही चुना गया है |
िू न्य अंक : 0 यभद कोई िी भवकल्प नहीं चुना गया है (अर्ाण त् प्रश्न अनुत्तररत है )|
ऋर् अंक : −1 अन्य सिी पररस्थर्भतयों में |

अनुच्छेद‍1

एक आबंि तोड़ने के भलए भजतने ऊजाण की मात्रा लगती है वह उसी आबंि बनाते समय उत्सभजणत ऊजाण के
मात्रा के बराबर होती है | गैसीय अवथर्ा में, एक आबंि के समां ि भवदलन (homolytic cleavage) के भलए
भजतनी ऊजाण लगती है उसे आबंि भवयोजन ऊजाण (Bond Dissociation Energy, BDE) या आबंि प्रबलता
(Bond Strength) कहते है | आबंि के s-चररत्र (s-character) और बने मूलक (radicals) के स्थर्रता से BDE
प्रिाभवत होती है | सामान्यतः छोट्ा आबंि (shorter bond) ज्यादा मज़बूत आबंि होता है | कुछ आबंिों की
BDEs नीचे दी गयी है :


H (g) H = 105 kcal mol
-1
H3C H (g) H3C (g) +

Cl Cl (g) Cl (g) + Cl (g) H= 58 kcal mol-1


Cl (g) H = 85 kcal mol
H3C Cl (g) H3C (g) + -1


Cl (g) H = 103 kcal mol
H Cl (g) + -1
H (g)

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Q.13 स्तम्भ (Column) J में C–H‍आबंिों (shown in bold) का स्तम्भ (Column) K में भदए उनके BDE
के सार् सही मेल है

स्तम्भ J स्तम्भ K
अर्ु BDE (kcal mol–1)
(P) H–CH(CH3)2 (i) 132
(Q) H–CH2Ph (ii) 110
(R) H–CH=CH2 (iii) 95
(S) H–C≡CH (iv) 88

(A) P – iii, Q – iv, R – ii, S – i (B) P – i, Q – ii, R – iii, S – iv

(C) P – iii, Q – ii, R – i, S – iv (D) P – ii, Q – i, R – iv, S – iii

Q.14 भनम्न भलस्खत अभिभिया,

light
CH4 (g) + Cl2 (g) CH3Cl (g) + HCl (g) , (light मतलब प्रकाि है )

के भलए सही कर्न है

(A) प्रारं िन पद (initiation step) ऊष्माक्षेपी (exothermic) है , H = –58 kcal mol–1 के सार् |

(B) संचरर् पद (propagation step) में िाभमल ∙CH3 का गठन ऊष्माक्षेपी (exothermic)
है ,H = –2 kcal mol–1 के सार् |

(C) संचरर् पद (propagation step) में िाभमल CH3Cl का गठन ऊष्मािोषी (endothermic)
है ,H = +27 kcal mol–1 के सार् |

(D) अभिभिया ऊष्माक्षेपी (exothermic) है , H = –25 kcal mol–1 के सार् |

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अनुच्छेद‍2

K3[Fe(CN)6] की ताजे बनाये गए FeSO4 के भवलयन के सार् अभिभिया करने पर एक घना नीला अवक्षेप
उत्पाभदत होता है , भजसे ‘ट्नण बुल ब्लू’ (Turnbull’s blue) कहते है | K4[Fe(CN)6] की FeSO4 भवलयन के सार्
हवा की पूरी तरह से अनुपस्थर्भत में अभिभिया होने से एक सफेद अवक्षेप (precipitate) X उत्पाभदत होता
है , जो हवा में नीले में बदल जाता है | FeSO4 के भवलयन में NaNO3 को भमलाने के पश्चात् , परख नली के
बाजू ओं से सान्द्र H2SO4 को िीरे िीरे डालने पर एक िू रा वलय (brown ring) दे ता है |

Q.15 अवक्षेप X है

(A) Fe4[Fe(CN)6]3 (B) Fe[Fe(CN)6]

(C) K2Fe[Fe(CN)6] (D) KFe[Fe(CN)6]

Q.16 भनम्नभलस्खत में से , भजसके बनने से िूरा वलय (brown ring) भमलता है , वह है

(A) [Fe(NO)2(SO4)2]2– (B) [Fe(NO)2(H2O)4]3+

(C) [Fe(NO)4(SO4)2] (D) [Fe(NO)(H2O)5]2+

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खंड‍4

 इस खं ड में तीन (03) प्रश्न हैं |
 प्रत्येक प्रश्न का उत्तर एक गैर-ऋणात्मक‍पू णाांक‍(NON-NEGATIVE INTEGER)‍‍है ‍|
 प्रत्येक प्रश्न के भलए उत्तर को दिाण ने वाले सही पूर्ां क को माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON-SCREEN) वचुणअल
नु मेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) के प्रयोग से उत्तर के भलए भचस्ित थर्ान पर दजण करें |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्ां कन भनम्न योजना के अनु सार होगा :
पूर्ण अंक : +4 यभद केवल सही पूर्ां क (integer) ही दज़ण भकया गया है |
िू न्य अंक : 0 अन्य सिी पररस्थर्भतयों में |

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Q.17 जैसा की नीचे दिाण या गया है , आदिण गैस का एक मोल, 900 K से, दो उत्क्रमभर्य प्रिमों (reversible
processes), I के बाद II, से हो कर गुजरता है | यभद गैस के द्वारा दोनों प्रिमों में भकया गया कायण
𝑉
बराबर है , तो ln 𝑉3 का मान ____ है |
2

( U : आं तररक ऊजाण (internal energy), S : एं ट्र ॉपी (entropy), p : दाब (pressure), V : आयतन
(volume), R : गैस भनयतां क (gas constant) )

( भदया गया: स्थर्र आयतन पर गैस के मोलीय ऊष्मािाररता (molar heat capacity at constant
5
volume), 𝐶𝑉,𝑚 का मान 2 𝑅 है )

Q.18 मान लें की एक हीभलयम (He) परमार्ु 330 nm तरं गदै र्घ्ण (wavelength) वाले एक फ़ोट्ॉन को
अविोभषत करता है | उस फ़ोट्ॉन के अविोषर् के बाद He परमार्ु के वेग में बदलाव ____ cm s–1
है |

(मान लें की जब फ़ोट्ॉन (photon) अविोभषत होता है , तब संवेग (momentum) संरभक्षत रहता है |
उपयोग करे : प्ां क भनयतां क (Planck constant) = 6.6 ×10–34 J s, अवोगाद्रो संख्या (Avogadro
number) = 6 ×1023 mol–1, He का मोलर द्रव्यमान = 4 g mol–1)

Q.19 ClO2 का ओज़ोनी अपघट्न (ozonolysis), क्लोरीन का एक ऑक्साइड उत्पादीत करता है | इस
ऑक्साइड में क्लोरीन की औसत ऑक्सीकरर् अवथर्ा (average oxidation state) ____ है |

END OF THE QUESTION PAPER

JEE (Advanced) 2021 Paper 2

खंड 1
 इस खों ड में छह (06) प्रश्न हैं |
 प्रत्येि प्रश्न िे जलए चार जविल्प (A), (B), (C) और (D) जिए गए हैं | इन चार जविल्प ों में से एक या एक से अधिक जविल्प
सही उत्तर है (हैं ) |
 प्रत्येि प्रश्न िे जलए जिए हुए जविल्प ों में से सही उत्तर(उत्तर )ों से सोंबोंजित जविल्प (जविल्प )ों ि चुजनए |
 प्रत्येि प्रश्न िे उत्तर िा मूल्ाों िन जनम्न य िना िे अनु सार ह गा:
पूर्ण अोंि : +4 यजि िेवल (सारे ) सही जविल्प (जविल्प )ों ि चुना गया है |
आों जिि अोंि : +3 यजि चार ों जविल्प सही हैं परन्तु िेवल तीन जविल्प ों ि चुना गया हैं |
आों जिि अोंि : +2 यजि तीन या तीन से अजिि जविल्प सही हैं परन्तु िेवल ि जविल्प ों ि चुना गया हैं और ि न ों चुने
हुए जविल्प सही जविल्प हैं |
आों जिि अोंि : +1 यजि ि या ि से अजिि जविल्प सही हैं परन्तु िेवल एि जविल्प ि चुना गया है और चुना हुआ
जविल्प एि सही जविल्प है |
िू न्य अोंि : 0 यजि जिसी िी जविल्प ि नहीों चुना गया है (अथाण त् प्रश्न अनुत्तररत है )|
ऋर् अोंि : −2 अन्य सिी पररस्थथजतय ों में |
 उिाहरर्: यजि जिसी प्रश्न िे जलए िेवल जविल्प (A), (B) और (D) सही जविल्प हैं , तब
िेवल जविल्प (A), (B) और (D) चुनने पर +4 अोंि जमलें गे;
िेवल जविल्प (A) और (B) चुनने पर +2 अोंि जमलें गे;
िेवल जविल्प (A) और (D) चुनने पर +2 अोंि जमलें गे;
िेवल जविल्प (B) और (D) चुनने पर +2 अोंि जमलें गे;
िेवल जविल्प (A) चुनने पर +1 अोंि जमलें गे;
िेवल जविल्प (B) चुनने पर +1 अोंि जमलें गे;
िेवल जविल्प (D) चुनने पर +1 अोंि जमलें गे;
ि ई िी जविल्प ना चुनने पर (अथाण त् प्रश्न अनुत्तररत रहने पर) 0 अोंि जमलें गे; और
अन्य जिसी जविल्प ों िे सोंय िन ि चुनने पर −2 अोंि जमलें गे |

Q.1 मान लीजिए जि

𝑆1 = {(𝑖, 𝑗, 𝑘): 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ {1,2, … ,10}},

𝑆2 = {(𝑖, 𝑗): 1 ≤ 𝑖 < 𝑗 + 2 ≤ 10, 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, … , 10}},

𝑆3 = {(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙): 1 ≤ 𝑖 < 𝑗 < 𝑘 < 𝑙, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 ∈ {1,2, … ,10}}

और

𝑆4 = {(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙): 𝑖, 𝑗, 𝑘 और 𝑙, {1,2, … ,10} में जिन्न (distinct)अवयव ों (element𝑠) हैं }

यजि 𝑟 = 1,2,3,4 िे जलए समुच्चय 𝑆𝑟 में िुल अवयव ों िी सोंख्या 𝑛𝑟 है , तब जनम्न िथन ों में से िौन
सा (से) सत्य है (हैं ) ?

𝑛
(A) 𝑛1 = 1000 (B) 𝑛2 = 44 (C) 𝑛3 = 220 (D) 124 = 420

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Q.2 एि जििुि 𝑃𝑄𝑅 पर जवचार िीजिए जिसमें ि र् ों 𝑃, 𝑄 और 𝑅 िे सम्मुख (opposite) िुिाओों िी
लम्बाइयााँ क्रमिः 𝑝, 𝑞 और 𝑟 हैं | तब जनम्न िथन ों में से िौन सा (से) सत्य है (हैं ) ?
𝑝2
(A) cos 𝑃 ≥ 1 − 2𝑞𝑟
𝑞−𝑟 𝑝−𝑟
(B) cos 𝑅 ≥ (𝑝+𝑞) cos 𝑃 + (𝑝+𝑞) cos 𝑄
𝑞+𝑟 √sin 𝑄 sin 𝑅
(C) <2
𝑝 sin 𝑃
𝑝 𝑝
(D) यजि 𝑝 < 𝑞 और 𝑝 < 𝑟 हैं , तब cos 𝑄 > 𝑟 और cos 𝑅 > 𝑞 हैं

Q.3 𝜋 𝜋
मान लीजिए जि 𝑓: [− , ] → ℝ एि ऐसा सोंतत फलन (continuous function) है जि
2 2

𝜋
𝑓(0) = 1 और ∫03 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0

तब जनम्न िथन ों में से िौन सा (से) सत्य है (हैं ) ?

𝜋
(A) समीिरर् 𝑓(𝑥) − 3 cos 3𝑥 = 0 िा िम से िम एि हल (0, 3 ) में है
6 𝜋
(B) समीिरर् 𝑓(𝑥) − 3 sin 3𝑥 = − 𝜋 िा िम से िम एि हल (0, 3 ) में है
𝑥
𝑥 ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
(C) lim 2 = −1
𝑥→0 1−𝑒 𝑥
𝑥
sin 𝑥 ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
(D) lim = −1
𝑥→0 𝑥2

Q.4 जिसी िी वास्तजवि सों ख्याओों 𝛼 और 𝛽 िे जलए, मान लीजिए जि 𝑦𝛼,𝛽 (𝑥), 𝑥 ∈ ℝ, अविल
समीिरर् (differential equation)

𝑑𝑦
+ 𝛼𝑦 = 𝑥𝑒 𝛽𝑥 , 𝑦(1) = 1
𝑑𝑥

िा हल है | मान लीजिए जि 𝑆 = {𝑦𝛼,𝛽 (𝑥) ∶ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ} है | तब जनम्न फलन ों (functions) में से
िौन से (सा) समुच्चय (set) 𝑆 में हैं (है ) ?

𝑥2 1
(A) 𝑓(𝑥) = 2 𝑒 −𝑥 + (𝑒 − 2) 𝑒 −𝑥

𝑥2 1
(B) 𝑓(𝑥) = − 2 𝑒 −𝑥 + (𝑒 + 2) 𝑒 −𝑥

𝑒𝑥 1 𝑒2
(C) 𝑓(𝑥) = 2 (𝑥 − 2) + (𝑒 − 4 ) 𝑒 −𝑥

𝑒𝑥 1 𝑒2
(D) 𝑓(𝑥) = 2 (2 − 𝑥) + (𝑒 + 4 ) 𝑒 −𝑥

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Q.5 मान लीजिए जि 𝑂 मूल जबोंिु (origin) है तथा 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑖̂ + 2𝑗̂ + 𝑘̂, 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖̂ − 2𝑗̂ + 2𝑘̂ और,
1
जिसी एि 𝜆 > 0 िे जलए 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) हैं | यजि |𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ −𝜆 𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 9 है , तब जनम्न िथन ों में
⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑂𝐶
2 2
से िौन सा (से ) सत्य है (हैं ) ?

3
(A) 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ िा ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 पर प्रक्षेप (projection) − 2 है

9
(B) जििुि 𝑂𝐴𝐵 िा क्षेिफल 2 है

9
(C) जििुि 𝐴𝐵𝐶 िा क्षेिफल 2 है

(D) सोंलग्न िुिाओों (adjacent sides) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 और 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ वाले समाों तर चतुिुणि (parallelogram) िे

𝜋
जविर्ों (diagonals) िे बीच िा न्यून ि र् (acute angle) 3 है

Q.6 मान लीजिए जि परवलय (parabola) 𝑦 2 = 8𝑥 ि 𝐸 द्वारा जनरुजपत जिया िाता है | मान लीजिए
जि 𝑃 = (−2, 4), और मान लीजिए जि 𝐸 पर 𝑄 और 𝑄′ ि ऐसी जिन्न (distinct) जबोंिु हैं जि
रे खाएाँ 𝑃𝑄 और 𝑃𝑄′, 𝐸 पर स्पिण रे खाएाँ (tangents) हैं | मान लीजिए जि 𝐸 िी नाजि (focus) 𝐹
है | तब जनम्न िथन ों में से िौन सा (से) सत्य है (हैं ) ?

(A) जििुि 𝑃𝐹𝑄 एि समि र् जििुि (right-angled triangle) है

(B) जििुि 𝑄𝑃𝑄′ एि समि र् जििुि है

(C) 𝑃 और 𝐹 िे बीच िी िू री 5√2 है

(D) 𝑄 और 𝑄′ ि जमलाने वाली रे खा पर 𝐹 स्थथत है

JEE (Advanced) 2021 Paper 2

खंड 2
 इस खों ड में तीन (03) प्रश्न स्तम्भ (QUESTION STEM) हैं |
 प्रत्येि प्रश्न स्तम्भ से सम्बों जित दो (02) प्रश्न हैं |
 प्रत्येि प्रश्न िा उत्तर एि संख्यात्मक मान (NUMERICAL VALUE) है |
 प्रत्येि प्रश्न िे उत्तर से सोंबोंजित सही सोंख्यात्मि मान ि माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON-SCREEN) वचुणअल
नु मेररि िीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) िे प्रय ग से उत्तर िे जलए जचस्ित थथान पर ििण िरें |
 यजि सोंख्यात्मि मान में ि से अजिि ििमलव थथान हैं , त सोंख्यात्मि मान ि ििमलव िे दो (02) थथान ों ति
समेंटे/शून्ांत करें (truncate/round-off) |
 प्रत्येि प्रश्न िे उत्तर िा मूल्ाों िन जनम्न य िना िे अनु सार ह गा :
पूर्ण अोंि : +2 यजि िेवल सही सोंख्यात्मि मान (numerical value) ि ही सोंबोंजित थथान में िज़ण जिया गया है |
िू न्य अोंि : 0 अन्य सिी पररस्थथजतय ों में |

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प्रश्न 7 और 8 के धिए प्रश्न स्तम्भ

क्षेि 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ ∶ 𝑥 ≥ 0 और 𝑦 2 ≤ 4 − 𝑥} पर जवचार िीजिए | मान लीजिए जि ℱ उन सिी वृत्त ों
िा िुल (family of circles) है ि 𝑅 में अोंतजवणष्ट हैं और जिनिे िेंद्र (centers) 𝑥-अक्ष पर स्थथत हैं | मान लीजिए
जि ℱ में जवद्यमान वृत्त ों में सबसे अजिि जिज्या वाले वृत्त ि 𝐶 से जनरुजपत जिया िाता है | मान लीजिए जि (𝛼, 𝛽)
एि ऐसा जबोंिु है िहाों वृत्त 𝐶, वक्र 𝑦 2 = 4 − 𝑥 ि जमलता है |

Q.7 वृत्त 𝐶 िी जिज्या िा मान ___ है |

Q.8 𝛼 िा मान ___ है |

प्रश्न 9 और 10 के धिए प्रश्न स्तम्भ

मान लीजिए जि 𝑓1 : (0, ∞) → ℝ और 𝑓2 : (0, ∞) → ℝ,
𝑥 21

𝑓1 (𝑥) = ∫ ∏(𝑡 − 𝑗)𝑗 𝑑𝑡, 𝑥>0
0 𝑗=1

और

𝑓2 (𝑥) = 98(𝑥 − 1)50 − 600(𝑥 − 1)49 + 2450, 𝑥 > 0

द्वारा पररिाजित है , िहाों जिसी िी िन पूर्ाां ि (positive integer) 𝑛 और वास्तजवि सोंख्याओों 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 िे
जलए, ∏𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 िे गुर्नफल ि जनरुजपत िरता है | मान लीजिए जि 𝑚𝑖 और 𝑛𝑖 , क्रमिः,
अोंतराल (0, ∞) में फलन 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1, 2, िे थथानीय न्यूनतम (local minima) जबोंिुओों िी सोंख्या और थथानीय
अजिितम (local maxima) जबोंिुओों िी सोंख्या ि जनरुजपत िरते हैं |

Q.9 2𝑚1 + 3𝑛1 + 𝑚1 𝑛1 िा मान ___ है |

Q.10 6𝑚2 + 4𝑛2 + 8𝑚2 𝑛2 िा मान ___ है |

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प्रश्न 11 और 12 के धिए प्रश्न स्तम्भ
𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋
मान लीजिए जि 𝑔𝑖 : [ 8 , 8 ] → ℝ, 𝑖 = 1, 2, और 𝑓: [ 8 , 8 ] → ℝ ऐसे फलन हैं जि, सिी 𝑥 ∈ [ 8 , 8 ] िे जलए,

𝑔1 (𝑥) = 1, 𝑔2 (𝑥) = |4𝑥 − 𝜋| और 𝑓(𝑥) = sin2 𝑥

अब
3𝜋
8

𝑆𝑖 = ∫ 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔𝑖 (𝑥) 𝑑𝑥, 𝑖 = 1, 2
𝜋
8

ि पररिाजित िीजिए |

16𝑆1
Q.11 िा मान ___ है |
𝜋

48𝑆2
Q.12 िा मान ___ है |
𝜋2

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खंड 3

 इस खों ड में दो (02) अनुच्छेद हैं | प्रत्येि अनु च्छेि पर आिाररत दो (02) प्रश्न हैं |
 प्रत्येि प्रश्न िे जलए चार जविल्प (A), (B), (C) और (D) जिए गए हैं | इन चार जविल्प ों में से केवि एक जविल्प ही
सही उत्तर है |
 प्रत्येि प्रश्न िे जलए जिए हुए जविल्प ों में से सही उत्तर से सोंबोंजित जविल्प ि चुजनए |
 प्रत्येि प्रश्न िे उत्तर िा मूल्ाों िन जनम्न य िना िे अनु सार ह गा :
पूर्ण अोंि : +3 यजि जसफण सही जविल्प ही चुना गया है |
िू न्य अोंि : 0 यजि ि ई िी जविल्प नहीों चुना गया है (अथाण त् प्रश्न अनुत्तररत है )|
ऋर् अोंि : −1 अन्य सिी पररस्थथजतय ों में |

अनुच्छेद 1

मान लीजिए जि

𝑀 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ ∶ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑟 2 },
1
िहाों 𝑟 > 0 है | गुर् त्तर श्रेढ़ी (geometric progression) 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 , 𝑛 = 1,2,3, … पर जवचार िीजिए | मान
लीजिए जि 𝑆0 = 0 और, 𝑛 ≥ 1 िे जलए, मान लीजिए जि 𝑆𝑛 इस श्रेढ़ी िे प्रथम 𝑛 पि ों िे य गफल ि जनरुजपत
िरता है | मान लीजिए जि, 𝑛 ≥ 1 िे जलए, 𝐶𝑛 उस वृत्त ि जनरुजपत िरता है जिसिा िेंद्र (𝑆𝑛−1 , 0) पर स्थथत
है और जिज्या (radius) 𝑎𝑛 है , और 𝐷𝑛 उस वृत्त ि जनरुजपत िरता है जिसिा िेंद्र (𝑆𝑛−1 , 𝑆𝑛−1 ) पर स्थथत है और
जिज्या 𝑎𝑛 है |

Q.13 उस 𝑀 पर जवचार िीजिए जिसिे जलए 𝑟 = 1025 है | मान लीजिए जि 𝑘 उन सिी वृ त्त ों 𝐶 िी सों ख्या
513 𝑛

है ि 𝑀 िे अन्दर जवद्यमान हैं | मान लीजिए जि 𝑙, इन 𝑘 वृत्त ों में से उन वृत्त ों िी अजिितम सोंिाजवत
सोंख्या (maximum possible number) है , जिनमें से ि ई िी ि वृत्त एि-िू सरे ि प्रजतच्छे ि नहीों
िरते हैं | तब

(A) 𝑘 + 2𝑙 = 22 (B) 2𝑘 + 𝑙 = 26 (C) 2𝑘 + 3𝑙 = 34 (D) 3𝑘 + 2𝑙 = 40

Q.14 (2199 −1)√2
उस 𝑀 पर जवचार िीजिए जिसिे जलए 𝑟 = है | उन सिी वृत्त ों 𝐷𝑛 िी सोंख्या, ि 𝑀 िे
2198
अन्दर जवद्यमान हैं , है

(A) 198 (B) 199 (C) 200 (D) 201

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अनुच्छेद 2

मान लीजिए जि 𝜓1 : [0, ∞) → ℝ, 𝜓2 : [0, ∞) → ℝ, 𝑓: [0, ∞) → ℝ और 𝑔: [0, ∞) → ℝ ऐसे फलन हैं जि

𝑓(0) = 𝑔(0) = 0,

𝜓1 (𝑥) = 𝑒 −𝑥 + 𝑥, 𝑥 ≥ 0,

𝜓2 (𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑒 −𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 0,
𝑥 2
𝑓(𝑥) = ∫−𝑥(|𝑡| − 𝑡 2 )𝑒 −𝑡 𝑑𝑡, 𝑥>0

और

𝑥2
𝑔(𝑥) = ∫0 √𝑡 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡, 𝑥 > 0

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Q.15 जनम्न िथन ों में से िौन सा सत्य है ?

1
(A) 𝑓(√ln 3) + 𝑔(√ln 3) = 3

(B) प्रत्येि 𝑥 > 1 िे जलए, एि ऐसा 𝛼 ∈ (1, 𝑥) जवद्यमान है जिसिे जलए 𝜓1 (𝑥) = 1 + 𝛼𝑥 है

(C) प्रत्येि 𝑥 > 0 िे जलए, एि ऐसा 𝛽 ∈ (0, 𝑥) जवद्यमान है जिसिे जलए 𝜓2 (𝑥) = 2𝑥(𝜓1 (𝛽) − 1) है

3
(D) अोंतराल [0, 2] में 𝑓 एि विणमान फलन (increasing function) है

Q.16 जनम्न िथन ों में से िौन सा सत्य है ?

(A) सिी 𝑥 > 0 िे जलए, 𝜓1 (𝑥) ≤ 1

(B) सिी 𝑥 > 0 िे जलए, 𝜓2 (𝑥) ≤ 0

1 2 2 2
(C) सिी 𝑥 ∈ (0, 2) िे जलए, 𝑓(𝑥) ≥ 1 − 𝑒 −𝑥 − 3 𝑥 3 + 5 𝑥 5

1 2 2 1
(D) सिी 𝑥 ∈ (0, 2) िे जलए, 𝑔(𝑥) ≤ 3 𝑥 3 − 5 𝑥 5 + 7 𝑥 7

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खंड 4

 इस खों ड में तीन (03) प्रश्न हैं |
 प्रत्येि प्रश्न िा उत्तर एि गैर-ऋणात्मक पू णाांक (NON-NEGATIVE INTEGER) है |
 प्रत्येि प्रश्न िे जलए उत्तर ि ििाण ने वाले सही पूर्ाां ि ि माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON-SCREEN) वचुणअल
नु मेररि िीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) िे प्रय ग से उत्तर िे जलए जचस्ित थथान पर ििण िरें |
 प्रत्येि प्रश्न िे उत्तर िा मूल्ाों िन जनम्न य िना िे अनु सार ह गा :
पूर्ण अोंि : +4 यजि केवल सही पूर्ाां ि (integer) ही िज़ण जिया गया है |
िू न्य अोंि : 0 अन्य सिी पररस्थथजतय ों में |

Q.17 एि सोंख्या ि समुच्चय (set) {1, 2, 3, … , 2000} से यादृच्छया (randomly) चुना िाता है | मान
लीजिए जि 𝑝 चुनी गयी सों ख्या िे 3 िा गुर्ि (multiple) अथवा 7 िा गुर्ि ह ने िी प्राजयिता
(probability) है | तब 500𝑝 िा मान ___ है |

Q.18 𝑥2 𝑦2
मान लीजिए जि 𝐸 िीर्णवृत (ellipse) 16 + 9 = 1 ि ििाण ता है | 𝐸 पर जिसी िी तीन जिन्न जबोंिुओों
𝑃, 𝑄 और 𝑄′ िे जलए, मान लीजिए जि 𝑀(𝑃, 𝑄), 𝑃 और 𝑄 ि जमलाने वाले रे खाखोंड (line segment)
िा मध्यजबोंिु है , तथा 𝑀(𝑃, 𝑄′), 𝑃 और 𝑄′ ि जमलाने वाले रे खाखोंड िा मध्यजबोंिु है | िब 𝑃, 𝑄 और
𝑄 ′ , 𝐸 पर पररवजतणत ह ते रहते हैं तब 𝑀(𝑃, 𝑄) और 𝑀(𝑃, 𝑄′) िे बीच िी अजिितम सोंिाजवत िू री
___ है |

Q.19 जिसी िी वास्तजवि सोंख्या 𝑥 िे जलए, मान लीजिए जि [𝑥], 𝑥 से िम या 𝑥 िे बराबर महत्तम पूर्ाां ि
(largest integer) ि जनरुजपत िरता है | यजि
10
10𝑥
𝐼 = ∫ [√ ] 𝑑𝑥 ,
𝑥+1
0

तब 9𝐼 िा मान ___ है |

END OF THE QUESTION PAPER

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प्रश्‍न‍संग्रह: खंड‍1
 इस खं ड में छह‍(06) प्रश्न हैं |
 प्रत्येक प्रश्न के लिए चार लिकल्प (A), (B), (C) और (D) लिए गए हैं | इन चार लिकल्पपं में से एक‍या‍एक‍से‍अधिक‍लिकल्प
सही उत्तर है (हैं )‍|
 प्रत्येक प्रश्न के लिए लिए हुए लिकल्पपं में से सही उत्तर(उत्तरपं) से संबंलित लिकल्प (लिकल्पपं) कप चुलनए |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्ां कन लनम्न यपजना के अनु सार हपगा:
पूर्ण अंक : +4 यलि केिि (सारे ) सही लिकल्प (लिकल्पपं) कप चुना गया है |
आं लिक अंक : +3 यलि चारपं लिकल्प सही हैं परन्तु केिि तीन लिकल्पपं कप चुना गया हैं |
आं लिक अंक : +2 यलि तीन या तीन से अलिक लिकल्प सही हैं परन्तु केिि िप लिकल्पपं कप चुना गया हैं और िपनपं चुने
हुए लिकल्प सही लिकल्प हैं |
आं लिक अंक : +1 यलि िप या िप से अलिक लिकल्प सही हैं परन्तु केिि एक लिकल्प कप चुना गया है और चुना हुआ
लिकल्प एक सही लिकल्प है |
िू न्य अंक : 0 यलि लकसी भी लिकल्प कप नहीं चुना गया है (अर्ाण त् प्रश्न अनुत्तररत है )|
ऋर् अंक : −2 अन्य सभी पररस्थर्लतयपं में |
 उिाहरर्: यलि लकसी प्रश्न के लिए केिि लिकल्प (A), (B) और (D) सही लिकल्प हैं , तब
केिि लिकल्प (A), (B) और (D) चुनने पर +4 अंक लमिें गे;
केिि लिकल्प (A) और (B) चुनने पर +2 अंक लमिें गे;
केिि लिकल्प (A) और (D) चुनने पर +2 अंक लमिें गे;
केिि लिकल्प (B) और (D) चुनने पर +2 अंक लमिें गे;
केिि लिकल्प (A) चुनने पर +1 अंक लमिें गे;
केिि लिकल्प (B) चुनने पर +1 अंक लमिें गे;
केिि लिकल्प (D) चुनने पर +1 अंक लमिें गे;
कपई भी लिकल्प ना चुनने पर (अर्ाण त् प्रश्न अनुत्तररत रहने पर) 0 अंक लमिें गे; और
अन्य लकसी लिकल्पपं के संयपजन कप चुनने पर −2 अंक लमिें गे |

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Q.1 भार 𝑊 तर्ा िम्बाई 𝐿 की एक क्षैलतज (horizontal) एकसमान बीम (uniform beam) के एक
लसरे कप उर्ध्ाण िर िीिार के एक लबन्िु 𝑂 पर कीिलकत (hinged) लकया गया है | बीम का िू सरा
लसरा P एक भारहीन अतान्य (inextensible) डपरी से बंिा है | डपरी का िू सरा लसरा Q, लबन्िु 𝑂
से 𝐿 ऊंचाई पर बंिा है | बीम के लसरे 𝑃 से 𝛼𝑊 भार का एक गुटका जुड़ा है , जैसा लचत्र में ििाण या
गया है | लचत्र पै माने (scale) के अनुसार नहीं है | डपरी अलिकतम तनाि (2√2)𝑊 िहन कर सकती
है | लनम्न में से कौन सा(से ) कर्न सही है (हैं )?

(A) लबन्िु O पर िगे प्रलतलिया बि का ऊर्ध्ाण िर घटक, α पर लनभणर नह ं करता है

(B) लबन्िु O पर िगे प्रलतलिया बि का क्षैलतज घटक, 𝛼 = 0.5 के लिए, 𝑊 के बराबर है

(C) 𝛼 = 0.5 के लिए डपरी में तनाि 2𝑊 है

(D) यलि 𝛼 > 1.5 हप, तप डपरी टू ट जाएगी

Q.2 एक र्ध्लन स्रपत (source) गलत 𝑢 से िम्बाई 𝐿 के एक स्थर्र पाइप (pipe) के खुिे छपर की ओर
गलतमान है , और आिृलत्त (frequency) 𝑓𝑠 का र्ध्लन उत्सलजणत कर रहा है | पाइप का िू सरा छपर बंि
है | िायु में र्ध्लन की गलत 𝑣 है तर्ा पाइप की मूि आिृलत्त (fundamental frequency) 𝑓0 है | लनम्न
में से 𝑢 तर्ा 𝑓𝑠 के लकन संयपजन(नपं) (combination(s)) के लिये , पाइप पर पहुुँ चने िािी र्ध्लन
अनुनाि (resonance) करे गी?

(A) 𝑢 = 0.8𝑣 और 𝑓𝑠 = 𝑓0

(B) 𝑢 = 0.8𝑣 और 𝑓𝑠 = 2𝑓0

(C) 𝑢 = 0.8𝑣 और 𝑓𝑠 = 0.5𝑓0

(D) 𝑢 = 0.5𝑣 और 𝑓𝑠 = 1.5𝑓0

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Q.3 नीचे लिये गए लचत्र में, लप्रज्म का लप्रज्म कपर् 𝜃 = 60° है | लप्रज्म के बाएुँ ओर के आिे लहस्से का
अपितणनां क (refractive index) 𝑛1 है और िाएुँ ओर के आिे लहस्से का अपितणनां क 𝑛2
(𝑛2 ≥ 𝑛1 ) है | जब 𝑛1 = 𝑛2 = 𝑛 = 1.5 है तब आपतन कपर् (angle of incidence) 𝑖 कप इस
तरह से लिया जाता है लक आपलतत प्रकाि की लकरर्पं का लिचिन (deviation) न्यूनतम है | लभन्न
अपितणनां क, 𝑛1 = 𝑛 और 𝑛2 = 𝑛 + ∆𝑛 (जहाुँ ∆𝑛 ≪ 𝑛) की स्थर्लत में लनगणत कपर् (angle of
emergence) 𝑒 = 𝑖 + Δ𝑒 हप जाता है | लनम्न कर्नपं में से कौन सा(से ) सही है (हैं )?

(A) रे लडयंस (radians) में Δ𝑒 का मान ∆𝑛 से अलिक है

(B) Δ𝑒, Δ𝑛 के समानुपाती है

(C) यलि ∆𝑛 = 2.8 × 10−3 है , तप Δ𝑒 का मान 2 और 3 लमिीरे लडयंस (milliradians) के

मध्य है

(D) यलि ∆𝑛 = 2.8 × 10−3 है , तप Δ𝑒 का मान 1 और 1.6 लमिीरे लडयंस के मध्य है

Q.4 एक भौलतक रालि 𝑆⃗ कप 𝑆⃗ = (𝐸⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗ )/𝜇0 से पररभालित लकया जाता है , जहाुँ 𝐸⃗⃗ लिि् युत क्षेत्र
⃗⃗ चुम्बकीय क्षेत्र (magnetic field) और 𝜇0 लनिाण त की चुंबकिीिता
(electric field), 𝐵
(permeability of free space) हैं | लनम्न में से लकसकी (लकनकी) लिमाएं 𝑆⃗ की लिमाओं के समान
हैं ?

ऊजाण 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 बि 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒
(A) (𝐶ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒 × 𝐶𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡) (B) (𝐿𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ × 𝑇𝑖𝑚𝑒)
आिेि × िारा समय × िम्बाई

ऊजाण 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦 िस्ि 𝑃𝑜𝑤𝑒𝑟
(C) आयतन (𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒) (D) ( 𝐴𝑟𝑒𝑎 )
क्षेत्रफि

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Q.5 एक स्थर्र भारी नालभक (nucleus) 𝑁 का लिखंडन (fission) 𝑁 → 𝑃 + 𝑄 समीकरर् के अनुसार हपता
है , जहाुँ 𝑃 और 𝑄 िप हल्के नालभक हैं | मान िीलजए लक 𝛿 = 𝑀𝑁 − 𝑀𝑃 − 𝑀𝑄 है , जहाुँ 𝑀𝑃 ,
𝑀𝑄 और 𝑀𝑁 िमिः 𝑃, 𝑄 और 𝑁 के द्रव्यमान हैं | 𝐸𝑃 और 𝐸𝑄 िमिः 𝑃 और 𝑄 की गलतज
ऊजाण एं हैं | 𝑣𝑃 और 𝑣𝑄 िमिः 𝑃 और 𝑄 की गलत हैं | यलि लनिाण त में प्रकाि की गलत 𝑐 है , तप
लनम्न में से कौन सा(से) कर्न सही है (हैं )?

(A) 𝐸𝑃 + 𝐸𝑄 = 𝑐 2 𝛿
𝑀
𝑃
(B) 𝐸𝑃 = (𝑀 +𝑀 ) 𝑐2𝛿
𝑃 𝑄

𝑣 𝑀
(C) 𝑣𝑃 = 𝑀𝑄
𝑄 𝑃

(D) 𝑃 के और 𝑄 के संिेग (momentum) का पररमार् (magnitude) 𝑐√2𝜇𝛿 है , जहाुँ 𝜇 =
𝑀𝑃 𝑀𝑄
(𝑀𝑃 +𝑀𝑄 )

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Q.6 xy-समति पर िप सकेस्ित िृत्ताकार िूप (loop) लचत्रानुसार रखे हैं लजनके कॉमन केंद्र मूि लबंिु
(origin) पर हैं | इसमें एक की लत्रज्या 𝑅 और िू सरे की लत्रज्या 2𝑅 है | छपटे िूप में िारा 𝐼1 िामाितण
(anti-clockwise) लििा में है एिं बड़े िूप में िारा 𝐼2 िलक्षर्ाितण (clockwise) लििा में है , जहाुँ
𝐼2 > 2𝐼1 है | xy-समति के लबन्िु (𝑥, 𝑦) पर चुम्बकीय क्षेत्र (magnetic field) 𝐵
⃗⃗ (𝑥, 𝑦) से पररभालित
है | लनम्न में से कौन सा(से ) कर्न सही है (हैं )?

(A) xy-समति के प्रत्येक लबन्िु पर 𝐵
⃗⃗ (𝑥, 𝑦), समति के िम्बित है

⃗⃗ (𝑥, 𝑦)| की 𝑥 तर्ा 𝑦 पर लनभणरता केिि लत्रज्यक िू री 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 पर लनभणर करती है
(B) |𝐵

(C) 𝑟 < 𝑅 िािे सभी लबन्िु ओं पर |𝐵
⃗⃗ (𝑥, 𝑦)| िून्येतर (non-zero) है

(D) िपनपं िूपपं के मध्य के सभी लबन्िु ओं पर 𝐵
⃗⃗ (𝑥, 𝑦) की लििा, xy-समति के िम्बित तर्ा

बाहर की ओर (outward) है

खंड‍2
 इस खं ड में त न (03) प्रश्न स्तम्भ (QUESTION STEM) हैं |
 प्रत्येक प्रश्न स्तम्भ से सम्बं लित दो‍(02)‍प्रश्न हैं |
 प्रत्येक प्रश्न का उत्तर एक संख्यात्मक‍मान (NUMERICAL VALUE) है |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर से संबंलित सही संख्यात्मक मान कप माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON-SCREEN) िचुणअि
नु मेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) के प्रयपग से उत्तर के लिए लचस्ित थर्ान पर िजण करें |
 यलि संख्यात्मक मान में िप से अलिक ििमिि थर्ान हैं , तप संख्यात्मक मान कप ििमिि के दो (02)‍थर्ानपं तक
समेंटे/शून्ांत‍करें (truncate/round-off) |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्ां कन लनम्न यपजना के अनु सार हपगा :
पूर्ण अंक : +2 यलि केिि सही संख्यात्मक मान (numerical value) कप ही संबंलित थर्ान में िज़ण लकया गया है |
िू न्य अंक : 0 अन्य सभी पररस्थर्लतयपं में |

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प्रश्न‍7 और‍8‍के‍धिए‍प्रश्न‍स्तम्भ‍

1 gm/cc घनत्व िािे पानी से भरी एक नरम प्लास्िक बपति में काुँ च की एक परखनिी (test tube) उल्टी रखी हुई है
(लचत्र िे खें) | परखनिी के अन्दर कुछ िायु (आििण गैस) फंसी हुई है | मपटे काुँ च से बनी परखनिी का द्रव्यमान 5 gm
है और काुँ च का घनत्व 𝜌 = 2.5 gm/cc है | आरं भ में बपति कप िायु मंडिीय िाब 𝑝0 = 105 Pa पर बंि लकया जाता
है लजससे परखनिी में फंसी िायु का आयतन 𝑣0 = 3.3 cc है | जब लनयत (constant) तापमान पर बपति कप बाहर से
िबाया जाता है तप उसके अन्दर का िाब बढ़ जाता है और परखनिी में प्रग्रलहत (trapped) िायु का आयतन कम हप
जाता है | यह पाया जाता है लक िाब 𝑝0 + Δ𝑝 पर परखनिी लबना अलभलिन्यास पररितण न के (without changing
orientation) डूबने िगती है और इसमें प्रग्रलहत िायु का आयतन 𝑣0 − Δ𝑣 हप जाता है | मान िीलजए Δ𝑣 = 𝑋 cc और
Δ𝑝 = 𝑌 × 103 Pa है |

Q.7 𝑋 का मान ____ है |

Q.8 𝑌 का मान ____ है |

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प्रश्न‍9 और‍10‍के‍धिए‍प्रश्न‍स्तम्भ‍

एक िपिक (pendulum), द्रव्यमान 𝑚 = 0.1 kg के एक गपिक (bob) और िम्बाई 𝐿 = 1.0 m के एक द्रव्यमानरलहत
(massless) तर्ा न खींचने िािे (inextensible) िागे से बना है | यह एक घिणर्हीन क्षै लतज फिण (floor) से 𝐻 = 0.9 𝑚
की ऊुँचाई पर एक स्थर्र लबंिु से िटका हुआ है | आरं भ में गपिक, फिण पर लनिंबन लबन्िु (point of suspension) के
ठीक उर्ध्ाण िर नीचे स्थर्रािथर्ा मैं है | लकसी क्षर्, गपिक कप 𝑃 = 0.2 kg-m/s का एक क्षैलतज आिेग (impulse) प्रिान
लकया जाता है | इस कारर् कुछ िू री तक लफसिने के बाि, गपिक सतह से ऊपर उठ जाता है और िागा तन जाता
है (becomes taut)| गपिक के सतह से उठने के तुरंत पहिे, लनिंबन लबन्िु के सापेक्ष, िपिक का कपर्ीय संिेग
(angular momentum) 𝐽 kg-m2/s है | सतह से उठने के तुरंत बाि िपिक की गलतज ऊजाण 𝐾 Joules है |

Q.9 𝐽 का मान ____ है |

Q.10 𝐾 का मान ____ है |

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प्रश्न‍11 और‍12‍के‍धिए‍प्रश्न‍स्तम्भ‍

एक पररपर् (circuit) में C µF िाररता (capacitance) के एक संिाररत्र (capacitor) और िातु से बने एक तंतु िैंप
(filament lamp) कप श्रेर्ीिम में (in series) एक 200 V, 50 Hz के एक आपूलतण स्रपत से जपड़ा गया है | तंतु िैंप में
500 W लबजिी की खपत हपती है , जब िैंप में लिभिपात (voltage drop) 100 V है | मान िें लक इस पररपर् में कपई
प्रेरकीय भार (inductive load) नहीं है | लिए गए लिभिपं के मान िगण माध्य मूि (rms) में िें | िारा और आपू लतण िपल्टता
(supply voltage) के बीच किा-कपर् (phase-angle) का पररमार् 𝜑 अंि (degree) है | मान िीलजए 𝜋√3 ≈ 5 |

Q.11 𝐶 का मान ____ है |

Q.12 𝜑 का मान ____ है |

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प्रश्‍न‍संग्रह:‍खंड‍3

 इस खं ड में दो‍(02)‍अनुच्छेद हैं | प्रत्येक अनु च्छेि पर आिाररत दो (02)‍प्रश्न हैं |
 प्रत्येक प्रश्न के लिए चार लिकल्प (A), (B), (C) और (D) लिए गए हैं | इन चार लिकल्पपं में से केवि‍एक
लिकल्प ही सही उत्तर है |
 प्रत्येक प्रश्न के लिए लिए हुए लिकल्पपं में से सही उत्तर से संबंलित लिकल्प कप चुलनए |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्ां कन लनम्न यपजना के अनु सार हपगा :
पूर्ण अंक : +3 यलि लसफण सही लिकल्प ही चुना गया है |
िू न्य अंक : 0 यलि कपई भी लिकल्प नहीं चुना गया है (अर्ाण त् प्रश्न अनुत्तररत है )|
ऋर् अंक : −1 अन्य सभी पररस्थर्लतयपं में |

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अनुच्छेद‍1

एक लिलिष्ट िातु S लबना लकसी प्रलतरपि के लिि् युत् िारा का चािन करती है | िातु S से बने तार का एक बंि िूप
(loop) अपने अन्दर के चुम्बकीय फ्लक्स (magnetic flux) में पररितणन नहीं हपने िे ता है | ऐसा िूप में एक उलचत
िारा प्रेररत हपने से उत्पन्न प्रलतकारी (compensating) फ्लक्स द्वारा हपता है | यह प्रेररत िारा िून्य प्रलतरपि के कारर्
क्षीर् नहीं हपती है | इस िारा के कारर् एक चुम्बकीय आघूर्ण उत्पन्न हपता है जप चुम्बकीय क्षेत्र या फ्लक्स के स्रपत
कप प्रलतकलिणत (repel) करता है | मान िीलजये, 𝑎 लत्रज्या िािे एक ऐसे िूप का केि मूि लबंिु पर स्थर्त है | आघूर्ण
𝑚 के एक चुम्बकीय लद्वध्रुि कप अनंत से िूप के अक्ष पर रखते हुये , िूप के केंद्र लबंिु से 𝑟 (≫ 𝑎) िू री पर स्थर्त
एक लबन्िु पर िाया जाता है | िाते समय चुम्बकीय लद्वध्रुि का उत्तरी ध्रुि सिै ि िूप के केंद्र की लििा में रहता है ,
जैसा लक नीचे लिये लचत्र में ििाण या गया है |
𝜇 𝑚
एक लद्वध्रुि 𝑚 से 𝑟 िू री पर उसकी अक्ष पर उपस्थर्त लबन्िु पर चुम्बकीय क्षेत्र का पररमार् 2𝜋0 𝑟 3 हपता है , जहाुँ 𝜇0
मुि आकाि की चुम्बकिीिता (magnetic permeability) है | उभयलनष्ठ अक्ष (common axis) पर पारस्पररक
𝑘 𝑚1 𝑚2
िू री 𝑟 पर स्थर्त िप लद्वध्रुिपं, लजनके उत्तरी ध्रुि एक िू सरे की ओर हैं , के बीच चु म्बकीय बि का पररमार् 𝑟4
हपता है , जहाुँ 𝑘 उलचत लिमाओं िािा एक लनयतां क है | इस बि की लििा, िपनपं लद्वध्रुिपं से गुजरने िािी रे खा की लििा
में है |

Q.13 जब चुम्बकीय आघूर्ण 𝑚 कप िूप के केंद्र से 𝑟 िू री पर रखा जाता है (जैसा लक ऊपर के लचत्र में
ििाण या गया है ), तब िूप में प्रेररत िारा का मान लनम्न में लकसके समानुपाती हपगा?

(A) 𝑚/𝑟 3 (B) 𝑚2 /𝑟 2 (C) 𝑚/𝑟 2 (D) 𝑚2 /𝑟

Q.14 ऊपर लिए गये प्रिम द्वारा चुम्बकीय आघूर्ण 𝑚 कप अनंत से िूप के केंद्र से 𝑟 िू री पर िाने में
लकए गए कायण का मान लनम्न में लकसके समानुपाती हपगा?

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(A) 𝑚/𝑟 5 (B) 𝑚2 /𝑟 5 (C) 𝑚2 /𝑟 6 (D) 𝑚2 /𝑟 7

अनुच्छेद‍2

एक ऊष्मारपिी (thermally insulating) बेिन के मध्य में एक घिणर्हीन चिायमान (frictionless movable)
तर्ा ऊष्मारपिी लद्वभाजक (partition), लचत्रानुसार, िगा है | इसके िपनपं भागपं में एक-एक मपि (mole)
आििण गैस हैं , लजसकी स्थर्र आयतन पर लिलिष्ट ऊष्मा 𝐶𝑉 = 2𝑅 है | यहाुँ , 𝑅 गैस लनयतां क है | आरम्भ
में, िपनपं भागपं का आयतन 𝑉0 तर्ा तापमान 𝑇0 है | बाएं भाग में एक लिि् युत् हीटर िगा है , लजसकप बहुत
कम िस्ि (very low power) पर चिाकर बायीं तरफ की गैस कप 𝑄 ऊष्मा िी जाती है | इससे लद्वभाजक,
िीमी गलत से िायीं तरफ जाता है लजससे िायीं तरफ का आयतन घटकर 𝑉0 /2 हप जाता है | इसके फिस्वरूप
बायीं एिं िायीं भागपं में गैस का तापमान, िमिः, 𝑇𝐿 तर्ा 𝑇𝑅 हप जाता है | हीटर, बेिन तर्ा लद्वभाजक के
तापमानपं में पररितण न उपेक्षर्ीय हैं |

𝑇𝑅
Q.15 का मान है
𝑇0

(A) √2 (B) √3 (C) 2 (D) 3

𝑄
Q.16 का मान है
𝑅 𝑇0

(A) 4(2√2 + 1) (B) 4(2√2 − 1) (C) (5√2 + 1) (D) (5√2 − 1)

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खंड‍4

 इस खं ड में त न (03) प्रश्न हैं |
 प्रत्येक प्रश्न का उत्तर एक गैर-ऋणात्मक‍पू णाांक‍(NON-NEGATIVE INTEGER)‍‍है ‍|
 प्रत्येक प्रश्न के लिए उत्तर कप ििाण ने िािे सही पूर्ाक कप माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON-SCREEN) िचुणअि
नु मेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) के प्रयपग से उत्तर के लिए लचस्ित थर्ान पर िजण करें |
 प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का मूल्ां कन लनम्न यपजना के अनु सार हपगा :
पूर्ण अंक : +4 यलि केिि सही पूर्ाक (integer) ही िज़ण लकया गया है |
िू न्य अंक : 0 अन्य सभी पररस्थर्लतयपं में |

Q.17 लि० िा० ब৹ (emf) 𝐸 के एक से ि के आतंररक प्रलतरपि 𝑟1 कप मापने के लिए 𝑅0 = 50 Ω प्रलतरपि
के तार िािे एक मीटर लिज, एक 𝑅0 /2 प्रलतरपि, लि० िा० ब৹ 𝐸/2 (आतंररक प्रलतरपि 𝑟)
के एक अन्य से ि तर्ा एक िारामापी (Galvanometer) G कप लचत्रानुसार प्रयपग करते हैं | यलि
िारामापी में िून्य लबन्िु कप मीटर लिज पर 𝑙 = 72 cm पर पाया जाता है , तब 𝑟1 का मान ___
Ω हपगा|

Q.18 द्रव्यमान 3𝑀𝑆 तर्ा 6𝑀𝑆 के िप तारपं (stars) के मध्य की िू री 9𝑅 है | यहाुँ 𝑅 पृथ्वी ि सूयण के केिपं
के मध्य की िू री है एिं 𝑀𝑆 सूयण का द्रव्यमान है | िपनपं तारे अपने कॉमन द्रव्यमान केि (common
center of mass) के पररतः 𝑛𝑇 आितणकाि (time period) की िृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं ,
जहाुँ 𝑇 पृथ्वी द्वारा सूयण के पररिमा में िगने िािा समय है | 𝑛 का मान ___ हपगा|

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Q.19 प्रकाि लिि् युत् प्रभाि (photoelectric effect) के एक प्रयपग में िातु P, Q एिं R से उत्सलजणत फपटप-
इिेक्ट्रानपं की अलिकतम गलतज ऊजाण ओं (kinetic energies) के बीच का सम्बन्ध 𝐸𝑃 = 2𝐸𝑄 =
2𝐸𝑅 है | इस प्रयपग में P एिं Q के लिए एकिर्ी (monochromatic) प्रकाि स्रपत तर्ा R के लिए
एक अन्य एकिर्ी प्रकाि स्रपत का उपयपग लकया जाता है | P, Q एिं R के कायण फिनपं (work
functions) के मान िमिः 4.0 eV, 4.5 eV तर्ा 5.5 eV हैं | िातु R पर आपलतत (incident)
प्रकाि के फपटान की ऊजाण (eV में) ___ हपगी|

END OF THE QUESTION PAPER