NCERT Solutions Class 5 Maths Chapter 7 आकार और प्रतिरूप

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा5

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 7: आकार और प्र तरूप

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत मेला

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

92 – 103 18 63 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 83 pages

कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप AglaSem · NCERT Solutions

क ा 5 · ग णत · ग णत मे ला

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 7: आकार और प्र तरूप
ग णत मेला का अध्याय 7 पढ़ने का नह , करने का अध्याय है। इसम आप कागज क चटाई बुनते ह, कट हुई आकृ तय को एक बदु के चार ओर
जमाते ह, एक समचतुभुज को चार त्रभुज म काटकर नई आकृ तयाँ बनाते ह, टै न ाम से खेलते ह, वृत्त पर धागे से बनावट बनाते ह, बड़े घन के अंदर
के छोटे घन गनते ह और जाल को मोड़कर वश तफलक व ादशफलक बनाते ह। इसी बीच आप टाइल्स का प्र तरूप, सम बाहु, समबाहु व
वषमबाहु त्रभुज, पतंग, समांतर चतुभुज और आयत से प र चत होते ह।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत मेला (क ा 5) 92 – 103

खं ड प्रश्न

18 63

माध्यम

हन्द

चटाइय को बुनना — पृष्ठ 92–93

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप AglaSem · NCERT Solutions

कागज क चटाई बनाना और हर पं क्त का नयम लखना

चटाइय को बु न ना

प्र.1 आइए कागज क चटाइयाँ बनाते ह। आपको एक रंगीन कागज (30 सट मीटर लंबा व 20 सट मीटर चौड़ा) एवं दो
भन्न रंग क आठ कागज क प य (3 सट मीटर चौड़ी व 20 सट मीटर से अ धक लंबी) क आवश्यकता होगी।
(क) 30 सट मीटर लंबा व 20 सट मीटर चौड़ा एक रंगीन कागज ली जए। (ख) रंगीन कागज को लंबाई क ओर से
आधा मो ड़ए। (ग) बंद सरे क ओर से समान दूरी पर लंबवत रेखाएँ ख चए और कागज के ऊपरी सरे पर 3
सट मीटर क दूरी छोड़ते हुए का टए। (घ) कागज को ध्यानपूवक खो लए। कागज के ऊपरी सरे व नचले सरे क
ओर से कटा हुआ नह होगा। (ङ) अब 2 रंग म 3 सट मीटर चौड़ी कागज क आठ प याँ का टए जनक लंबाई
20 सट मीटर से थोड़ी अ धक हो। (च) एक रंग क प ली जए और इसे स्लट म एक बार नीचे व एक बार ऊपर
और पुनः एक बार नीचे व एक बार ऊपर ले जाते हुए बु नए। इसे पहली पं क्त के लए दोहराइए। (छ) अन्य रंग क
एक और प ली जए, इसे स्लट म एक बार ऊपर व एक बार नीचे और पुनः एक बार ऊपर व एक बार नीचे ले
जाते हुए बु नए। इसे दूसरी पं क्त के लए दोहराइए। (ज) सभी प य को समान एकांतर प्र तरूप म बु नए। बची
हुई प य के सर को कागज क चटाई के पीछे सावधानी से मोड़ द जए। आपक कागज क चटाई तैयार है!

चरण (ख) चरण (ग) चरण (च)

चरण (ज)
कागज क चटाई बनाने के चरण (ख), (ग), (च) और (ज)।

आठ चरण को करने पर शतरंज क बसात जैसी चटाई बनती है — हर पं क्त म दोन रंग अपनी जगह बदल लेते ह।
यही ग त व ध छोटे -छोटे चरण म इस प्रकार है।

1. आधार कागज ली जए। 30 सट मीटर लंबा, 20 सट मीटर चौड़ा।
2. इसे लंबाई क ओर से आधा मो ड़ए। अब यह 15 सट मीटर × 20 सट मीटर का है और एक ओर बंद सरा (मोड़) है।
3. रेखाएँ ख चकर का टए। मुड़े हुए (बंद) सरे से समान दूरी पर सीधी रेखाएँ ख चए। उन पर का टए, पर खुले सरे से 3
सट मीटर पहले रुक जाइए। पूरा मत का टए।
4. कागज खो लए। बीच म लंबे स्लट (कटाव) बन गए ह और ऊपर व नीचे 3-3 सट मीटर बना कटा कागज बचा है। यही बना
कटा भाग चटाई को जोड़े रखता है।

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5. 8 प याँ का टए — 3 सट मीटर चौड़ी, 20 सट मीटर से थोड़ी लंबी — 4 एक रंग क और 4 दूसरे रंग क ।
6. पहली पं क्त बु नए। एक प ली जए। पहली कागज-प का के नीचे, अगली के ऊपर, फर नीचे, फर ऊपर … इसी तरह अंत
तक ले जाइए। फर इसे ऊपर क ओर सरका द जए।
7. दूसरी पं क्त दूसरे रंग से बु नए, पर शुरुआत उल्ट क जए: ऊपर, नीचे, ऊपर, नीचे …
8. यही क्रम चलाइए। पं क्त 3 पं क्त 1 जैसी, पं क्त 4 पं क्त 2 जैसी। बचे हुए सरे पीछे मोड़कर चटाई को दबा द जए।

पंिक्त 1 — 1 नीचे , 1 ऊपर, 1 नीचे , 1 ऊपर, … (दोहराइए)

पंिक्त 2 — 1 ऊपर, 1 नीचे , 1 ऊपर, 1 नीचे , … (दोहराइए)

पंिक्त 3 — पंिक्त 1 जै सी पंिक्त 4 — पंिक्त 2 जै सी

पंिक्त 1 नीचे से शुरू, पंिक्त 2 ऊपर से — िबसात बन गई

क्र म रंग के वग आधार कागज ह जो दख रहा है; रंगीन वग ऊपर पड़ी प याँ ह।

ऐसा क्य होता है: पं क्त 1 म प पहली प का को छपाती है, दूसरी को दखाती है, तीसरी को छपाती है …
पं क्त 2 म ठ क उल्टा होता है। इस लए एक ही तरह का रंगीन वग कभी दूसरे के ठ क नीचे नह आता, और चटाई
शतरंज क बसात जैसी दखती है।

सुझाव: हर नई प को पछली प से सटाकर दबाइए। जगह छू ट जाए तो प्र तरूप तो बनेगा, पर चटाई ढ ली
दखेगी। सर को पीछे मोड़कर थोड़ा ग द लगा द जए।

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप
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क्या आप पता लगा सकते ह क इस चटाई को कैसे बनाया जाए? आइए पहली दो पं क्तय म प्र तरूप को
दे खकर यह समझने का प्रयत्न कर क इस चटाई को कैसे बुना गया है। पं क्त 1 – 2 ऊपर, 1eनीचे
प्र.2

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नीचे, ....cपंoक्त 2 – 2 नीचे, 1 ऊपर, 2 नीचे, 1 ऊपर, ... प्रत्येक पं क्त के लए आप एक
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a s emआप समान रंग क प याँ या 2 भन्न रंग क प य का भी उपयोग कर सकते ह।
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पुस्तक के पृष्ठ 93 पर द गई चटाई।

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हाँ। पं क्त 1 म बार-बार 2 ऊपर, 1 नीचे बु नए और पं क्त 2 म बार-बार 2 नीचे, 1 ऊपर। फर पं क्त 3 पं क्त 1 जैसी और पं क्त

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4 पं क्त 2 जैसी होगी।

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बुनते समय शब्द को इस तरह प ढ़ए:
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c का अथ है — प को पहली प का के ऊपर और दूसरी के भी ऊपर सेaलेgजाइए।
1. “2.ऊपर”
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a 2. “1 नीचे” का अथ है — अब इसे अगली प का के नीचे से नका लए।
agl 3. दोहराइए — ऊपर, ऊपर, नीचे, ऊपर, ऊपर, नीचे … पं क्त के अंत तक।
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4. पं क्त 2 इसक उलट है। नीचे, नीचे, ऊपर, नीचे, नीचे, ऊपर …
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पंिक्त 1 — ऊ ऊ नी ऊ ऊ नी ऊ ऊ नी …
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पंिक्त 2 — नी नी ऊ नी नी ऊ नी नी ऊ …

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(ऊ = प ी ऊपर से, नी = प ी नीचे से)
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ऊपर पंिक्त 1, नीचे पंिक्त 2 — एक दूसरे की उलटी

ऊपर ऊपर नीचे ऊपर ऊपर नीचे

नीचे नीचे ऊपर नीचे नीचे ऊपर

नीला = प ी ऊपर क्रीम = आधार कागज िदख रहा है
हर पं क्त दो प काओं को छपाती है, फर एक को दखाती है। अगली पं क्त ठ क उल्टा करती है।

ऐसा क्य होता है: नयम म तीन चरण ह (ऊपर, ऊपर, नीचे), इस लए चत्र हर 3 प काओं के बाद दोहराता है।
पं क्त 2 हर “ऊपर” को “नीचे” बना दे ती है, इस लए पं क्त 1 के लंबे रंगीन खंड पं क्त 2 क खाली जगह के ऊपर
आ जाते ह। इसी से चटाई ईंट जैसी दखती है।

दो रंग या एक? दोन चलगे। एक रंग म प्र तरूप केवल छाया से दखेगा। दो रंग म खंड साफ़ उभरगे। वषम
पं क्तय म एक रंग और सम पं क्तय म दूसरा रंग ली जए।

प्र.3 नीचे दए गए नयम का उपयोग करते हुए एक प्र तरूप को बुनने का प्रयत्न क जए। पं क्त 1 – 2 ऊपर, 1 नीचे,
2 ऊपर, 1 नीचे, ... (दोहराइए)। पं क्त 2 – 1 नीचे (दोहराना नह है), 3 ऊपर, 3 नीचे, 3 ऊपर, 3 नीचे, ...
(दोहराइए)। पं क्त 3 – 2 नीचे, 1 ऊपर, 2 नीचे, ... (दोहराइए)। पं क्त 4 – 1 ऊपर (दोहराना नह है), 3 नीचे, 3
ऊपर, ... (दोहराइए)। इसी क्रम म बुनना जारी र खए।

12 प काओं वाली चटाई के लए पूरा प्र तरूप यहाँ प का-दर-प का लखा है। अपनी प याँ ठ क इसी तरह बु नए।

प का संख्या 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

पंिक्त 1 ऊ ऊ नी ऊ ऊ नी ऊ ऊ नी ऊ ऊ नी

पंिक्त 2 नी ऊ ऊ ऊ नी नी नी ऊ ऊ ऊ नी नी

पंिक्त 3 नी नी ऊ नी नी ऊ नी नी ऊ नी नी ऊ
पंिक्त 4 ऊ नी नी नी ऊ ऊ ऊ नी नी नी ऊ ऊ

(ऊ = प उस प का के ऊपर से जाती है · नी = नीचे से जाती है।)

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हर नयम को इस तरह प ढ़ए:

1. पं क्त 1: ऊपर, ऊपर, नीचे — फर वही तीन दोबारा।
2. पं क्त 2: सबसे पहली प का नीचे, और यह पहला चरण दोहराया नह जाता। उसके बाद 3 ऊपर, 3 नीचे, 3 ऊपर, 3 नीचे
…
3. पं क्त 3: नीचे, नीचे, ऊपर — फर दोबारा वही।
4. पं क्त 4: सबसे पहली प का ऊपर, दोहराई नह जाती। उसके बाद 3 नीचे, 3 ऊपर, 3 नीचे …
5. पं क्त 5 फर पं क्त 1 जैसी, पं क्त 6 पं क्त 2 जैसी। पूरी बनावट हर 4 पं क्तय के बाद दोहराती है।

रंगीन खंड प ी के वे भाग है ं जो िदखाई देते है ं

पं.1

पं.2

पं.3

पं.4

पंिक्त 4 के बाद चारों िनयम िफर से शुरू हो जाते है।
ं
चार पं क्तयाँ, चार अलग नयम। मलकर ये बनावट का एक दोहराने वाला भाग बनाते ह।

बुनते समय सुझाव: नयम को बोलकर दोहराइए — “ऊपर, ऊपर, नीचे” — और उसी के साथ उँ ग लयाँ चलाइए।
जगह भूल जाएँ तो पीछे के तीन के समूह तक गनकर वह से फर शुरू क जए।

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प्र.4 क्या आप इनम से कसी भी बनावट ( डज़ाइन) के लए चरण का अनुमान लगा सकते ह एवं प्र तरूप बुन सकते
ह? अपनी अभ्यास पु स्तका म प्रत्येक पं क्त के लए प्र तरूप के चरण को तब तक ल खए, जब तक क उन
चरण का दोहराव प्रारंभ न हो जाए।

पुस्तक के पृष्ठ 93 पर द गई दो बुनी हुई बनावट ( डज़ाइन)।

हाँ। पहले व ध, फर दखाई गई दो चटाइय म से पहली (बगनी व हल्क नीली) का हल।
व ध — कसी भी बुनी बनावट को कैसे पढ़

1. केवल सबसे ऊपर क पं क्त दे खए। उँ गली बाएँ सरे पर र खए।
2. पं क्त पर आगे ब ढ़ए। जहाँ आड़ी प ऊपर दखे वहाँ ऊ ल खए; जहाँ खड़ी प का ऊपर दखे वहाँ नी ल खए।
3. पं क्त को शब्द म ल खए: जैसे ऊ ऊ ऊ नी को “3 ऊपर, 1 नीचे” लखा जाएगा।
4. अगली पं क्त के लए भी यही क जए, फर उसके अगली के लए।
5. जब कोई पं क्त कसी पहले वाली पं क्त जैसी ही आ जाए, वह रुक जाइए। उनके बीच का भाग ही दोहराने वाला भाग
है।

नमूना उत्तर — बगनी चटाई

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पंिक्त 1 — 3 ऊपर, 1 नीचे , … (दोहराइए)

पंिक्त 2 — वही, पर एक पि का दाईं ओर िखसका कर

पंिक्त 3 — एक और पि का िखसकाकर
पंिक्त 4 — एक और पि का िखसकाकर

पंिक्त 5 — पंिक्त 1 जै सी, अथ त् बनावट 4 पंिक्तयों में दोहराती है

3 ऊपर, 1 नीचे — और हर पंिक्त एक कदम दाईं ओर

इसी िखसकाव से चटाई मे ं ितरछी रेखाएँ िदखाई देती है।
ं
बगनी = ऊपर पड़ी आड़ी प । हर पं क्त म नयम को एक प का खसकाने से सीधा प्र तरूप तरछा हो जाता है।

बनावट तरछ क्य दखती है: हर पं क्त ऊपर वाली पं क्त जैसा ही करती है, पर एक प का बाद म। इस लए लंबे
बगनी खंड एक-एक कदम बगल खसकते जाते ह और आँख उन्ह जोड़कर तरछ धारी दे ख लेती है।

स्वयं क जए: दूसरी चटाई क पं क्तयाँ भी इसी तरह ल खए। फर अपना नयम बनाइए — जैसे “2 ऊपर, 2
नीचे” और हर पं क्त म दो प काओं का खसकाव — और उसे बु नए। जो नयम आप लख सकते ह, वह बुन भी
सकते ह।

आइए प्रयत्न कर — पृष्ठ 93

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप
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बदु कत कागज पर बनावट पूरी करना
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आइए प्रयत्न कर

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a s emकत कागज पर दए गए प्र तरूप को बनाइए। आपको प्र तरूप का कुछ हस्सा बनाकर दखाया गया है। अब
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बदु
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प्र.1
पूरी बनावट ( डज़ाइन) प्राप्त करने के लए बदु कत कागज के बचे हुए भाग को पूण क जए।

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बाईं ओर — बनाई जाने वाली बनावट। दाईं ओर — बदु कत कागज, जसका कुछ हस्सा बनाकर दखाया गया है।

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बनी हुई आकृ त का दपण-प्र त बब नीचे बना द जए। जो भाग पहले से बना है वह एक बड़े हीरे (समचतुभुज) का ऊपरी आधा
भाग है। नीचे का आधा भाग जो ड़ए और बनावट पूरी हो जाएगी।
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पहले से जो बना है उसे ध्यान से दे खए:
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सबसे ऊपर क पं क्त म एक वग रंगा है, एक छोड़ा है — एक रं गए, एक छो ड़ए।
उसके नीचे रंगे वग क दो कतार बीच से नीचे क ओर ढलती ह, एक बाईं ओर और एक दाईं ओर। दोन मलकर घर क छत

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जैसा बड़ा Λ बनाती ह।

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पूरा करने के चरण

1. ऊपर क पं क्त पूरी क जए — एक छोड़कर एक वग रंगते हुए जाल के कनारे तक जाइए।
2. बाईं और दाईं ढलान का सबसे नीचे वाला रंगा वग खो जए।
3. Λ को उल्टा क जए। उन्ह दो वग से दो नई ढलान नीचे और भीतर क ओर बनाइए, जब तक वे बीच म मल न जाएँ। अब
दोन ढलान मलकर बड़ा हीरा बना दगी।
4. बीच म एक छोटा भरा हुआ हीरा रं गए, जैसा बुनी चटाई के चत्र म है।
5. जगह हो तो हीरे को जाल भर दोहराइए और रंग भ रए।

पीला = पुस्तक मे ं बना हुआ · हरा = जो आपको जोड़ ना है

दोनों आधे िमलकर एक बड़ ा हीरा बनाते है ।
ं
ऊपर के Λ म नीचे का “V” जो ड़ए और हीरा बन जाएगा, जसके बीच म एक छोटा भरा हीरा होगा।

यह क्य काम करता है: बनावट के ठ क बीच से एक दपण-रेखा गुज़रती है। रेखा के ऊपर जो है, वही नीचे उल्टा
दोहराया गया है। एक बार दपण-रेखा पहचान ल तो बाक बनाना केवल नकल करना है।

स्वयं जाँ चए: अपनी बनाई आकृ त को बीच क रेखा से मो ड़ए। दोन आधे ठ क एक-दूसरे पर बैठने चा हए। कोई
वग बाहर नकले तो एक वग अ धक रंगा गया है।

टाइल्स लगाना व उन्ह प्र तरूप म व्यव त करना — पृष्ठ 94

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एक बदु के चार ओर तीन सम पंचभुज

टाइल्स लगाना व उन्ह प्र तरूप म व्यव त करना

प्र.1 हमने एक बदु के चार ओर 3 पंचभुज रखे ह। क्या हम रक्त ान म एक और पंचभुज रख सकते ह?

नह , चौथा पंचभुज नह समाएगा। जो खाली जगह बची है वह उसके लए बहुत पतली है।

तीन पंचभुजों के कोने िमलते है।
ं एक पतली जगह बच
जाती है।

िरक्त स्थान

108 + 108 + 108 = 324। पूरा चक्कर 360 का
है। बची जगह केवल 36।
सम पंचभुज के तीन कोने बदु के चार ओर का चक्कर पूरा नह करते, और जो बचता है वह चौथे पंचभुज के लए बहुत छोटा है।

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सम पंच भुज का एक कोना = 108

तीन कोने = 108 + 108 + 108 = 324

िकसी िबंद ु के चारों ओर पूरा चक्कर = 360
बची हुई जगह = 360 − 324 = 36

पर एक पंच भुज के कोने को 108 चािहए, और 108, 36 से बहुत बड़ ा है।

इस लए केवल दो ही रास्ते बचते ह, और दोन ग़लत ह:

1. खाली जगह छोड़ द जए — तब फश म छे द रह जाएगा, जो टाइल्स लगाने म मान्य नह है।
2. चौथा पंचभुज ज़बरदस्ती घुसाइए — तब वह दूसर के ऊपर चढ़ जाएगा। यह आ ादन है, जो भी मान्य नह है।

ऐसा क्य होता है: बना रक्त ान के फश ढकने के लए एक बदु पर मलने वाले कोन का जोड़ ठ क एक पूरा
चक्कर होना चा हए। पंचभुज के कोने का माप 108 है और 360 इससे पूरा-पूरा नह कटता — 3 कोने कम पड़ते ह
और 4 अ धक। इस लए सम पंचभुज कसी प्र तरूप म व्यव त नह कए जा सकते।

स्वयं करके दे खए: पुस्तक के अंत क शीट से पाँच-छह पंचभुज का टए और मेज़ पर एक बदु के चार ओर र खए।
चाहे जैसे घुमाइए, वही पतली खाली जगह हर बार बचेगी।

आइए पता लगाएँ — पृष्ठ 94
कौन-सी सम आकृ तयाँ एक बदु के चार ओर जमती ह

आइए पता लगाएँ

प्र.1 क्या सम त्रभुज कसी बदु पर रक्त ान छोड़े बना व्यव त हो सकते ह? कतने त्रभुज एक साथ व्यव त
हो सकते ह? (पुस्तक के अंत म एक प्र तदश त्रभुज दया गया है।)

हाँ, ये पूरी तरह जम जाते ह। एक बदु के चार ओर छह त्रभुज आते ह।

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छह समान ि भुज ठीक बंद हो जाते है ं — और षट्भज
ु
बना देते है ं

60 + 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 360
60 माप के छह कोने मलकर एक पूरा चक्कर बनाते ह। न कोई जगह बचती है, न कोई त्रभुज दूसरे पर चढ़ता है।

समबाहु ि भुज का कोना = 60

पूरा चक्कर बनाने के िलए िकतने ? 360 ÷ 60 = 6

जाँच : 60 × 6 = 360 ✓

ऐसा क्य होता है: जस त्रभुज क तीन भुजाएँ समान ह उसके तीन कोण भी समान होते ह, और हर कोण 60
का होता है। ऐसे छह कोने मलकर ठ क एक पूरा चक्कर बना दे ते ह, इस लए त्रभुज बना कुछ बचे बंद हो जाते ह।
इसी लए समबाहु त्रभुज प्र तरूप म व्यव त कए जा सकते ह।

क्या आपने दे खा? छह त्रभुज मलकर एक सम षट् भुज बना दे ते ह। इसी लए षट् भुज और त्रभुज क टाइल्स
साथ-साथ इतनी सुंदर लगती ह।

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप
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व्यव त हो सकते ह? वग के कटआउट (पुस्तक के अंत म एक प्र तदश वग दया गया है) eकm
प्र.2 क्या वग (एक सम 4-भुजीय आकृ त) कसी बदु के चार ओर रक्त ान छोड़े बना या आ ादन के बना

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coजए। आपको कतने वग क आवश्यकता हुई? gl
े साथ इसे करने का

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प्रयत्न क

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हाँ, वग बना रक्त ान और बना आ ादन के जम जाते ह। इसके लए 4 वग चा हए।

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लाल िबंद ु पर चार समकोण िमलते है ं
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90 + 90 + 90 + 90 com= 360 — एक पूरा चक्कर g l a
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agl टाइल्स कमरे को इतनी सफ़ाई से
इसीिलए वग कार
ढकती है।
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वग के चार कोने एक बदु के चार ओर ठ क बैठते ह। न कुछ बचता

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वग का कोना = समकोण = 90
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360 ÷ 90 = 4 वग
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जाँच : 90 × 4 = 360 ✓
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ऐसा क्य होता है: वग का हर कोना समकोण होता है। चार समकोण मलकर पूरा चक्कर बनाते ह — सो चए,
चौथाई चक्कर चार बार घूमने पर आप फर सामने क ओर मुँह कर लेते ह। इस लए चार वग ठ क बंद हो जाते ह
और वग प्र तरूप म व्यव त हो सकते ह।

अपने आस-पास दे खए: कक्षा के फश क टाइल्स, शतरंज क बसात, ाफ़ कागज के खाने — सब म चार-चार
वग एक कोने पर मल रहे ह।

प्र.3 क्या पाँच वग कसी बदु के चार ओर बना कसी रक्त ान या आ ादन के व्यव त हो सकते ह? य द 'हाँ'
तो क्य और 'नह ' तो क्य नह ?

नह । पाँच वग एक बदु के चार ओर नह जम सकते। पाँचव को दूसर के ऊपर चढ़ना ही पड़ेगा।

चार वग ही चक्कर पूरा कर दे ते है:ं 90 × 4 = 360

पाँच वग ं को चािहए: 90 × 5 = 450

450, 360 से 90 अिधक है

अथ त् पूरा एक समकोण रखने की जगह ही नही ं बची।

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चारों नीले वग पहले ही पूरा चक्कर घेर लेते है ं

पाँचवाँ (लाल) वग केवल ऊपर चढ़ सकता है — यही
आच्छादन है।

पाँचव वग के लए जगह ही नह बचती, इस लए वह दूसर पर चढ़ जाता है।

ऐसा क्य होता है: कसी भी बदु के चार ओर बाँटने के लए ठ क एक पूरा चक्कर होता है, और वह 360 है। 90
माप के चार कोने उसे पूरा खच कर दे ते ह। पाँचव कोने को और 90 चा हए, जो बचा ही नह ।

यही नयम हर जगह लागू है: आकृ तयाँ कसी बदु के चार ओर तभी जमती ह जब उनके कोन का जोड़ ठ क
360 हो — न कम ( रक्त ान) और न अ धक (आ ादन)।

प्र.4 क्या सम षट् भुज (समान भुजाओं वाली 6-भुजीय आकृ त) कसी बदु के चार ओर बना कसी रक्त ान छोड़े
या आ ादन के बना व्यव त कए जा सकते ह? प्रयत्न क जए व दे खए (पुस्तक के अंत म एक प्र तदश
षट् भुज दया गया है)। कसी बदु पर कतने सम षट् भुज को व्यव त कया जा सकता है?

हाँ। एक बदु के चार ओर तीन सम षट् भुज जमते ह।

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षट्भ ुज के तीन कोने चक्कर को ठीक बंद कर देते है ं

120 + 120 + 120 = 360
हर बदु पर तीन सम षट् भुज मलते ह — ठ क वैसे ही जैसे मधुमक्खी के छत्ते म।

सम षट् भुज का कोना = 120

360 ÷ 120 = 3 षट् भुज

जाँच : 120 × 3 = 360 ✓

ऐसा क्य होता है: सम षट् भुज को उसके कद्र से 6 समान त्रभुज म काटा जा सकता है, और षट् भुज का हर कोना
ऐसे दो 60 के कोण से बनता है। इससे हर कोने पर 120 बनता है, और तीन कोने मलकर पूरा चक्कर। इस लए
सम षट् भुज प्र तरूप म व्यव त कए जा सकते ह।

क्या आप जानते ह? मधुम क्खयाँ अपना छत्ता षट् भुज से बनाती ह। षट् भुज म सबसे कम मोम म सबसे अ धक
शहद आता है और कोई जगह भी खाली नह बचती।

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टाइल्स लगाना व उन्ह प्र तरूप म व्यव त करना — पृष्ठ 95
एक से अ धक आकृ तय वाला प्र तरूप और सम अष्टभुज

टाइल्स लगाना व उन्ह प्र तरूप म व्यव त करना

प्र.1 यहाँ एक से अ धक आकृ तय को कसी प्र तरूप म व्यव त करने का एक उदाहरण दया गया है। इस प्र तरूप
म कौन-सी आकृ तय का उपयोग कया गया है? ____________, ____________।

पुस्तक के पृष्ठ 95 पर दया गया प्र तरूप।

सम षट् भुज और समबाहु त्रभुज।
पुस्तक का चत्र दे खए। बड़ी नारंगी आकृ तय क छह समान भुजाएँ ह — वे सम षट् भुज ह। उनके बीच क नीली आकृ तय क
तीन समान भुजाएँ ह — वे समबाहु त्रभुज ह।

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नारंगी षट् भुज और उनके बीच हर खाली जगह भरते नीले त्रभुज। न छे द, न आ ादन।

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हर िमलन-िबंद ु पर: षट् भुज के 2 कोने + ि भुज के 2 कोने
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= 120 + 120 + 60 + 60
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= 360 — ठीक एक पूरा चक्कर ✓

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दो आकृ तयाँ क्य : षट् भुज अकेले भी जमते ह और त्रभुज अकेले भी। यहाँ दोन मलाए गए ह, और फर भी काम
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चलता

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बस यह नयम बना रहे।

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ढूँ ढ़ए: यह प्र तरूप रंगोली, दुप े क छपाई और पुराने फश क टाइल्स म बहुत मलता है। दोन आकृ तयाँ पहचान
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लेने पर यह हर जगह दखने लगेगा।

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प्र.2 नीचे दए गए प्र तरूप को पूरा क जए एवं इसम उ चत रंग भ रए।

पुस्तक के पृष्ठ 95 पर छपा हुआ प्र तरूप का भाग।

बार-बार एक बगनी षट् भुज बनाइए और उसके चार ओर छह पीले त्रभुज। पुस्तक म बना छोटा टु कड़ा षट् भुज- त्रभुज
प्र तरूप क शुरुआत है।
चरण

1. जो बना है उसे दे खए। हर बगनी षट् भुज क भुजाओं पर पीले त्रभुज बैठे ह।
2. षट् भुज क कोई खाली भुजा चु नए। उस पर एक पीला त्रभुज र खए, उसक भुजा ठ क षट् भुज क भुजा पर।
3. जहाँ दो त्रभुज एक-दूसरे क ओर मुँह कर, वहाँ बीच क जगह म नया बगनी षट् भुज बनाइए।
4. दोहराते जाइए जब तक बदु कत बॉक्स भर न जाए।
5. रंग भ रए — सभी षट् भुज एक रंग म, सभी त्रभुज दूसरे रंग म। एक ही आकृ त, एक ही रंग।

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पूरी बनावट: बगनी षट् भुज, पीले त्रभुज, और कह भी खाली जगह नह ।

कोई जगह खाली क्य नह बचती: हर कोने पर दो षट् भुज और दो त्रभुज मलते ह। 120 + 120 + 60 + 60 =
360, अथात् एक पूरा चक्कर। नयम हर कोने पर एक जैसा है, इस लए यह प्र तरूप अनंत तक चल सकता है।

रंग भरने का सुझाव: ान के अनुसार नह , आकृ त के अनुसार रंग भ रए। सभी षट् भुज एक रंग, सभी त्रभुज
दूसरा रंग। तब प्र तरूप दूर से भी साफ़ दखता है।

प्र.3 एक सम अष्टभुज का अथ है एक ऐसी आकृ त जसम आठ समान भुजाएँ ह । क्या सम अष्टभुज बना कसी
रक्त ान या आ ादन के व्यव त कए जा सकते ह? इसे बनाने का प्रयत्न क जए एवं जाँ चए।

नह । सम अष्टभुज कसी प्र तरूप म व्यव त नह कए जा सकते। जहाँ भी दो अष्टभुज मलते ह, वहाँ वग जैसा छे द बच
जाता है।

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दो अष्टभुज िमलते है ं — और वग जैसा छे द बन जाता है

िरक्त स्थान

135 + 135 = 270। चक्कर 360 का है, अतः 90
खाली रह जाता है।
अष्टभुज के दो कोने चक्कर पूरा नह करते, और तीसरा अष्टभुज बची जगह के लए बहुत बड़ा है।

सम अष्टभुज का कोना = 135

दो कोने = 135 + 135 = 270, बची जगह = 360 − 270 = 90

तीन कोने = 135 × 3 = 405, जो 360 से अिधक है → आच्छादन हो जाएगा

अथ त् न 2 से काम बनता है, न 3 से।

ऐसा क्य होता है: 360 म 135 पूरा-पूरा नह कटता। दो अष्टभुज 90 क जगह छोड़ दे ते ह और तीसरा उसम नह
समा सकता क्य क उसे 135 चा हए। इस लए केवल अष्टभुज के फश म हमेशा छे द रह जाते ह।

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पर एक तरक ब है: बची हुई जगह ठ क 90 क है — यानी वग का कोना। इस लए अष्टभुज और छोटे वग साथ म
लगाएँ तो फश पूरी तरह ढक जाता है। पुराने बरामद क टाइल्स प्रायः ऐसी ही होती ह। इसे बनाकर दे खए।

टाइल्स लगाना व उन्ह प्र तरूप म व्यव त करना — पृष्ठ 96
अं कत बदु पर कौन-सी आकृ तयाँ मलती ह; वग व त्रभुज साथ-साथ

टाइल्स लगाना व उन्ह प्र तरूप म व्यव त करना

प्र.1 नीचे दए गए प्र तरूप को दे खए। अं कत बदुओं पर कौन-सी आकृ तयाँ एक साथ बनाई गई ह? क्या इन बदुओं
पर आकृ तय का समान समूह बनाया गया है? प्र तरूप को पूरा क जए एवं उ चत रूप से रंग भ रए।

पृष्ठ 96 पर दया गया बदु कत कागज और उस पर अं कत चार बदु। छपी हुई पुस्तक म इस कागज पर प्र तरूप नह
बना है — केवल अं कत बदु दए गए ह।

पहले पुस्तक के बारे म एक बात। छपे हुए पृष्ठ पर ऊपर वाला बदु कत बॉक्स खाली है — केवल चार लाल बदु दखते ह, टाइल्स
छपी ही नह ह। इस लए वहाँ पढ़ने को कुछ है ही नह । इस प्रश्न के लए उसी पृष्ठ का दूसरा प्र तरूप (वग व त्रभुज वाला) दे खए,
और नीचे द गई व ध कसी भी प्र तरूप पर लगाइए।
“ कसी बदु पर क्या मल रहा है” — इसका उत्तर कैसे द

1. प सल क नोक अं कत बदु पर र खए।
2. घड़ी क सुई क तरह एक बार उसके चार ओर घू मए। जो-जो टाइल आए उसका नाम बो लए।
3. क्रम से सूची ल खए — जैसे: वग, त्रभुज, वग, त्रभुज, त्रभुज।
4. अगले अं कत बदु पर भी यही क जए और दोन सू चयाँ मलाइए।
5. य द दोन सू चय म वही आकृ तयाँ उसी क्रम म ह , तो उत्तर है — “हाँ, हर बदु पर आकृ तय का समान समूह बनता है।”

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कोनों के माप से जाँिचए:
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वग का कोना = 90 · समबाहु ि भुज का कोना = 60
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3 ि भुज + 2 वग = 60 + 60 + 60 + 90 + 90 = 360 ✓
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नमूना उत्तर: प्रत्येक अं कत बदु पर तीन समबाहु त्रभुज और दो वग एक साथ मलते ह। हर अं कत बदु पर वही पाँच आकृ तयाँ

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मलती ह, अथात् प्र तरूप पूरे क्षेत्र म एक जैसा है। इसे आगे बढ़ाने के लए वग व त्रभुज इस तरह रखते जाइए क हर नए कोने पर
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वही पाँच आकृ तय वाला समूह बने, फर सभी वग एक रंग म और सभी त्रभुज दूसरे रंग म रंग द जए।
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य द आपक पुस्तक म उस बॉक्स म प्र तरूप छपा हो, तो उसी पर ये पाँच चरण लगाइए — हर लाल बदु के

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चार ओर घू मए, आकृ तयाँ ल खए, और सू चयाँ मलाइए।

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a glप्र.2 नीचे दए गए चत्र म दो भन्न आकृ तय — वग व त्रभुज का उपयोग करके टाइल्स लगाने का एक प्र तरूप दया
गया है। क्या त्रभुज समबाहु त्रभुज ह? य द 'हाँ' तो क्य और 'नह ' तो क्य नह ?

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पृष्ठ 96 पर दया गया प्र तरूप; अं कत बदु लाल रंग म ह।
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हाँ, ये त्रभुज समबाहु ह — इनक तीन भुजाएँ समान ह।

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कारण तीन छोटे चरण म:

1. प्र तरूप का कोई भी त्रभुज दे खए। उसक हर भुजा कसी न कसी छू ने वाले वग क भी भुजा है।
2. वग क चार भुजाएँ समान होती ह। इस लए त्रभुज क हर भुजा कसी वग क भुजा के बराबर है।
3. प्र तरूप के सभी वग एक ही माप के ह। अतः त्रभुज क तीन भुजाएँ समान ह — और “समबाहु” का अथ यही है।

बड़ े लाल िबंद ु पर: 2 वग + 3 ि भुज

िबंददु ार ि भुज वही है जो आिख़री जगह भरता है।
हर नारंगी त्रभुज क हर भुजा कसी बगनी वग क भी भुजा है, इस लए त्रभुज क सभी भुजाएँ समान ह।

प्र तरूप क्य चलता है: बड़े लाल बदु पर दो वग और तीन त्रभुज मलते ह। 90 + 90 + 60 + 60 + 60 = 360,
एक पूरा चक्कर। कोन का जोड़ ठ क बैठने के कारण टाइल्स बना खाली जगह और बना आ ादन के फश ढक
लेती ह।

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप AglaSem · NCERT Solutions

स्वयं जाँ चए: चत्र म कसी त्रभुज क भुजा और कसी वग क भुजा स्केल से मा पए। दोन बराबर नकलगी।
शब्द क जगह स्केल से कया गया यही प्रमाण है।

प्र.3 उपयुक्त चत्र म अं कत बदुओं पर कौन-सी आकृ तयाँ साथ म बनाई गई ह? क्या इन बदुओं पर आकृ तय का
समान समूह बनाया गया है? प्र तरूप को पूरा क जए एवं उ चत रूप से रंग भ रए।

पृष्ठ 96 पर दया गया प्र तरूप; अं कत बदु लाल रंग म ह।

प्रत्येक अं कत बदु पर तीन समबाहु त्रभुज और दो वग मलते ह। हाँ — हर अं कत बदु पर वही पाँच आकृ तयाँ मलती
ह।
ऊपर के चत्र म बड़े लाल बदु के चार ओर घू मए और ग नए:

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप AglaSem · NCERT Solutions

बदु के चार ओर आकृ त कोने का माप

पहली वग 90

दू स री ि भुज 60

तीसरी वग 90

चौथी ि भुज 60

पाँचवी ं ि भुज 60

जोड़ 2 वग + 3 ि भुज 360

प्र तरूप कैसे आगे बढ़ाएँ

1. ऐसा कोना खो जए जो अभी पूरा न भरा हो। उसके चार ओर पहले से बनी आकृ तयाँ ग नए।
2. पता क जए क्या कम है। हर कोने पर कुल 2 वग और 3 त्रभुज चा हए।
3. छू ट हुई टाइल बनाइए, उसक भुजा पहले से बनी कसी भुजा पर ठ क बैठाकर।
4. अगले अधूरे कोने पर जाइए और यही क जए।
5. रंग सबसे अंत म भ रए: सभी वग एक रंग, सभी त्रभुज दूसरा रंग।

हर जगह वही समूह क्य बनता है: यह प्र तरूप एक छोटे समूह को बार-बार दोहराकर बनाया गया है। समूह
दोहराने से हर बदु दूसरे हर बदु जैसा ही बन जाता है — यही कसी रचना को प्र तरूप बनाता है, वरना वह बस
बखराव होता।

सुझाव: बीच से बाहर क ओर, एक-एक घेरा पूरा करते हुए ब ढ़ए। इधर-उधर कूदगे तो ऐसे छे द बचगे जन्ह बाद म
भरना क ठन होगा।

प्र.4 आकृ तय के अन्य कटआउट लेकर समान प्र तरूप क रचना क जए।

पुस्तक के अंत क शीट के कटआउट ली जए — वग, समबाहु त्रभुज, सम षट् भुज और सम पंचभुज।
चरण

1. अपनी आकृ तयाँ चु नए। पहले दो प्रकार से शुरू क जए, जैसे षट् भुज और त्रभुज।
2. एक आकृ त कागज के बीच म र खए।
3. बगल-बगल आकृ तयाँ जो ड़ए, हमेशा पूरी भुजा को पूरी भुजा से मलाते हुए। कोई कटआउट दूसरे पर न चढ़े ।
4. हर कोने क जाँच क जए। वहाँ मलने वाले कोन का जोड़ 360 होना चा हए — न खाली जगह, न आ ादन।
5. कटआउट के चार ओर प सल फे रए, उन्ह हटाइए और अपने प्र तरूप म रंग भ रए।

नमूना उत्तर — चार प्र तरूप जो चलते ह

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प्र तरूप प्रयुक्त आकृ तयाँ हर बदु पर क्या मलता है जाँच

1 के वल वग 4 वग 90 × 4 = 360

2 के वल ि भुज 6 ि भुज 60 × 6 = 360

3 षट् भज
ु व ि भुज 2 षट् भज
ु + 2 ि भुज 120 + 120 + 60 + 60 = 360

4 वग व ि भुज 2 वग + 3 ि भुज 90 + 90 + 60 + 60 + 60 = 360

एक जो नह चलेगा: अकेले पंचभुज। इन्ह रखकर दे खए और हर बार बनती पतली खाली जगह दे खए। क्या नह
चलता, यह जानना भी उतना ही उपयोगी है।

समचतुभज
ु से बनी आकृ तयाँ — पृष्ठ 96–97
समचतुभुज को चार त्रभुज म काटकर नई आकृ तयाँ बनाना

प्र.1 आपको पुस्तक के अंत म इस समचतुभुज का एक प्र तदश मलेगा। नीचे द गई ग त व ध के लए त्रभुजाकार
भाग को काट ली जए। आप इन त्रभुज म से 2 त्रभुज को एक साथ व्यव त करके कौन-सी ज्या मतीय
आकृ त बना सकते ह? अपने ारा बनाई गई आकृ तय का अनुरेखण क जए।

पृष्ठ 96 पर दया गया समचतुभुज, चार त्रभुज म वभा जत।

2 टु कड़ से पाँच अलग आकृ तयाँ बनती ह: दो प्रकार के त्रभुज, एक पतंग, एक समांतर चतुभुज और एक आयत।
पहले एक टु कड़ा दे खए। समचतुभुज को उसक दोन लंबी रेखाओं ( वकण ) के अनु दश काटा गया है, इस लए चार टु कड़े एक
जैसे ह। हर टु कड़ा एक समकोण त्रभुज है: उसम एक समकोण, एक छोट भुजा, एक बड़ी भुजा और एक तरछ भुजा है।

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप
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ु दो कटाव, चार समान टुlक
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g l a दोन वकण समचतुभुज को 4 समान समकोण त्रभुज म काट दे ते ह।

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अब दो टु कड़े जो ड़ए, हमेशा भुजा से भुजा।

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aglदपण की तरह
कस भुजा पर जोड़ कैसे जो आकृ त बनेगी भुजाएँ

बड़ी भुजा पर लंबा समि बाहु ि भुज 3

चौड़ ा समि बाहु ि भुज com
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छोटी भुजा पर दपण की तरह 3

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ितरछी भुजा पर दपण की तरह पतंग
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आधा चक्कर घुम ाकर 4

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छोटी या बड़ी भुजा पर आधा चक्कर घुम ाकर समातं र चतुभजु 4
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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप AglaSem · NCERT Solutions

ि भुज ि भुज पतंग आयत समातं र चतुभज
ु

उन्ह दो टु कड़ से पाँच आकृ तयाँ। बदुदार रेखा जोड़ क जगह दखाती है।

अनुरेखण क जए: दोन टु कड़े र खए, बाहर क ओर प सल फे रए, फर टु कड़े हटा द जए। अपनी बनाई आकृ त
के अंदर उसका नाम लख द जए।

प्र.2 आप व भन्न प्रकार के कतने त्रभुज बना सकते ह? अब इन त्रभुज क भुजाओं का अवलोकन क जए और
मा पए। आपने क्या दे खा?

आप 2 प्रकार के त्रभुज बना सकते ह। दोन म ठ क 2 भुजाएँ समान ह — ये सम बाहु त्रभुज ह।
मापने पर क्या दखता है

1. त्रभुज 1 — लंबा वाला। दो टु कड़ को उनक बड़ी भुजाओं पर जो ड़ए। इसका आधार समचतुभुज क छोट रेखा है। बाक दो
भुजाएँ समचतुभुज क दो भुजाएँ ह, इस लए वे समान ह।
2. त्रभुज 2 — चौड़ा वाला। दो टु कड़ को उनक छोट भुजाओं पर जो ड़ए। इसका आधार समचतुभुज क बड़ी रेखा है। बाक
दो भुजाएँ फर समचतुभुज क भुजाएँ ह, अतः समान।
3. स्केल से मा पए। दोन त्रभुज म दोन तरछ भुजाएँ बराबर आती ह और आधार उनसे अलग होता है।

ि भुज 1: भुजा, भुजा, छोटा िवकण → दो भुजाएँ समान

ि भुज 2: भुजा, भुजा, बड़ ा िवकण → दो भुजाएँ समान

िजस ि भुज की ठीक दो भुजाएँ समान हों उसे समि बाहु ि भुज कहते है।
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दो भुजाएँ हमेशा समान क्य : समचतुभुज क चार भुजाएँ बराबर होती ह। जब आप उसे कसी वकण से आधा
काटते ह, तो हर आधे भाग क दोन बाहरी भुजाएँ समचतुभुज क ही दो भुजाएँ होती ह — इस लए वे बराबर ह गी
ही।

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मोड़कर जाँ चए: ऐसा एक त्रभुज का टए और उसे आधा मो ड़ए ता क दोन समान भुजाएँ एक-दूसरे पर आ जाएँ।
नीचे के दोन कोने ठ क एक-दूसरे पर बैठगे। इससे पता चलता है क इस त्रभुज म 2 कोण भी समान ह।

प्र.3 एक कागज पर सम बाहु त्रभुज का अनुरेखण क जए एवं उन्ह काट ली जए। उन्ह आधा मो ड़ए। आपने उनके
कोण के बारे म क्या दे खा?

नीचे के दोन कोण ठ क एक-दूसरे पर बैठ जाते ह। अथात् हर सम बाहु त्रभुज म 2 कोण समान होते ह।
चरण

1. अनुरेखण क जए — सादे कागज पर त्रभुज बनाकर काट ली जए।
2. दोन समान भुजाएँ स्केल से पहचा नए।
3. मो ड़ए ता क एक समान भुजा दूसरी समान भुजा पर ठ क बैठ जाए। मोड़ को दबा द जए।
4. नीचे के दोन कोने दे खए। वे पूरी तरह एक-दूसरे को ढक लेते ह — कह कुछ बाहर नह नकलता।
5. कागज खो लए। मोड़ क रेखा ऊपर के कोने से सीधी आधार के बीच बीच जाती है।

दोनों िचिह्नत कोण समान है ं

आधा मोड़ ने पर:
दोनों कोने एक-दूसरे
पर बैठ जाते है ं

लाल रेखा पर मोिड़ ए

मोड़ना भी मापने का एक तरीका है। य द दो कोण एक-दूसरे को ढक ल तो वे समान ह।

मोड़ने से प्रमाण कैसे मलता है: मोड़ने पर एक आधे का हर बदु दूसरे आधे के मलते-जुलते बदु पर बैठता है।
य द नीचे के दोन कोने एक-दूसरे पर बैठ जाएँ तो दोन कोण ठ क बराबर ह गे। यह बना एक भी ड ी मापे हो
जाता है।

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यह जोड़ी याद र खए: 2 समान भुजाएँ → 2 समान कोण। समान कोण हमेशा वही होते ह जो समान भुजाओं के
सामने ह — यानी आधार के दोन कोण।

प्र.4 क्या ऐसा त्रभुज बनाना संभव है जसक सभी भुजाएँ समान लंबाई क ह (समबाहु त्रभुज)?

नह — इस समचतुभुज के टु कड़ से नह । आप जो भी त्रभुज बनाएँगे उसम ठ क 2 भुजाएँ समान ह गी, 3 कभी नह ।
मापकर दे खए (छपे हुए समचतुभुज से; आपके कटआउट म भी यही मलेगा):

बनाया गया त्रभुज दोन तरछ भुजाएँ आधार क्या तीन समान?

लंबा (आधार = छोटा िवकण) समचतुभज
ु की भुजा छोटा िवकण — थोड़ा लंबा नही ं
चौड़ा (आधार = बड़ा िवकण) समचतुभज
ु की भुजा बड़ा िवकण — बहत
ु लंबा नही ं

ऐसा क्य होता है: दोन तरछ भुजाएँ हमेशा समचतुभुज क दो भुजाएँ होती ह, इस लए वे आपस म बराबर रहती
ह। आधार हमेशा कोई वकण होता है, और इस समचतुभुज म कोई भी वकण भुजा के बराबर नह है। इस लए दो
भुजाएँ बराबर और एक अलग मलती है — सम बाहु त्रभुज, समबाहु नह ।

इसी लए पुस्तक अलग से समबाहु त्रभुज दे ती है — अंत क कटआउट शीट पर। अगली ग त व ध के लए वह
चा हए, और समचतुभुज से वह नह बन सकता।

सो चए: य द कसी समचतुभुज का छोटा वकण ठ क उसक भुजा जतना लंबा हो, तो उसका आधा भाग समबाहु
त्रभुज होगा। अपने कटआउट को ध्यान से मा पए और दे खए वह इसके कतना पास है।

प्र.5 क्या ऐसा त्रभुज बनाना संभव है जसक सभी भुजाओं क लंबाई असमान हो?

नह । इन टु कड़ से बनने वाले हर त्रभुज म 2 भुजाएँ समान होती ह, इस लए तीन भुजाएँ अलग-अलग कभी नह मलगी।
दो टु कड़ को पूरी भुजा पर जोड़ने के सभी तरीके दे खए:

1. बड़ी भुजाओं पर जो ड़ए → लंबा त्रभुज मलता है। दो भुजाएँ समान।
2. छोट भुजाओं पर जो ड़ए → चौड़ा त्रभुज मलता है। दो भुजाएँ समान।
3. तरछ भुजाओं पर जो ड़ए → पतंग या आयत मलता है। ये चार भुजाओं वाली आकृ तयाँ ह, त्रभुज नह ।

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ि भुज बनाने के तरीके : 2

दोनों ही: समि बाहु (2 समान भुजाएँ)

िबना िकसी समान भुजा वाले ि भुज: 0

ऐसा क्य होता है: जब भी दो टु कड़े मलकर त्रभुज बनाते ह, एक टु कड़ा दूसरे का दपण-प्र त बब होता है। दपण
हमेशा जो ड़याँ बनाता है, और यही जो ड़याँ दो समान भुजाएँ दे दे ती ह। तीन अलग-अलग भुजाओं वाला त्रभुज पाने
के लए ऐसे टु कड़े चा हए जो एक-दूसरे के दपण-प्र त बब न ह ।

नया शब्द: जस त्रभुज क कोई दो भुजाएँ समान न ह उसे वषमबाहु त्रभुज कहते ह। अगली ग त व ध म
समबाहु त्रभुज को आधा काटकर आप एक वषमबाहु त्रभुज बनाएँगे।

प्रयत्न क जए — पृष्ठ 97
समबाहु त्रभुज के कोण और वषमबाहु त्रभुज

प्रयत्न क जए

प्र.1 पुस्तक के अंत म दए गए समबाहु त्रभुज को काट ली जए। जाँच क जए क क्या समबाहु त्रभुज के सभी कोण
समान ह — जैसा आपने सम बाहु त्रभुज के साथ कया था।

हाँ। समबाहु त्रभुज के तीन कोण समान होते ह।
मोड़कर कैसे जाँच

1. समबाहु त्रभुज काट ली जए। उसक तीन भुजाएँ बराबर ह — स्केल से मापकर पक्का कर ली जए।
2. पहली बार मो ड़ए। कोना क को कोना ख पर लाइए। क ठ क ख पर बैठ जाता है, अतः कोण क = कोण ख।
3. खोलकर दोबारा मो ड़ए, इस बार कोना ख को कोना ग पर लाइए। ये भी मल जाते ह, अतः कोण ख = कोण ग।
4. दोन बात जो ड़ए। य द क = ख और ख = ग, तो तीन बराबर ह।

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप
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दो मोड़ ही तीनों
क कोण जाँचने के िलए काफी है ं
co m g l
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ag l मोड़ 1 (लाल): क, ख पर बैठता है
m 2 (बैगं नी): ख, ग पर बैठता है
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a अतः कोण क = कोण ख = कोण ग

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ख ग
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a g हर मोड़ क रेखा एक कोने से सामने वाली भुजा के बीच बीच जाती है।

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कोण क = कोण ख (पहला मोड़ )
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कोण ख = कोण ग (दू सरा मोड़ ) a g
अतः कोण क = कोण ख = कोण ग
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हर कोण = 180 ÷ 3 = 60
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agl ऐसा होना ही था: समान भुजाएँ समान कोण दे ती ह। समबाहु त्रभुज क तीन भुजाएँ समान ह, इस लए तीन कोण
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भी समान ह। और कसी भी त्रभुज के तीन कोण का जोड़ 180 होता है, अतः यहाँ हर कोण 60 का है।

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अब समझ आया क एक बदु पर छह क्य जमते ह: 60 × 6 = 360। यही बात आपने ‘आइए पता लगाएँ’ म
दे खी थी।

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o m l se भुजाएँ समान ह?
अब समबाहु त्रभुज को आधा म काट ली जए। प्रत्येक नए बने त्रभुज क aकतनी
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प्र.2

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agl उत्तर
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एक भी नह । हर नए त्रभुज क तीन भुजाएँ अलग-अलग लंबाई क ह। ऐसे त्रभुज को वषमबाहु त्रभुज कहते ह।
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काटने पर क्या होता है
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1. समबाहु त्रभुज को आधा मो ड़ए और मोड़ पर काट द जए। दो छोटे त्रभुज मलते ह, और वे एक जैसे ह।
2. इनम से एक दे खए। इसक सबसे लंबी भुजा बड़े त्रभुज क पूरी एक भुजा है।

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3. इसक सबसे छोट भुजा बड़े त्रभुज क कसी भुजा का आधा है — इस लए वह आधी ही लंबी है।
4. तीसरी भुजा वही कटाव क रेखा है, जो इन दोन म से कसी के बराबर नह ।
5. तीन मा पए। तीन अलग-अलग संख्याएँ आएँगी। कोई दो भुजाएँ बराबर नह ।

एक समबाहु ि भुज → दो िवषमबाहु ि भुज

सबसे लंबी भुजा
(कटाव)

लाल रेखा पर कािटए भुजा का आधा

आधे त्रभुज म वहाँ एक समकोण भी बन जाता है जहाँ कटाव आधार से मलता है।

तीन भुजाएँ अलग क्य : कटाव एक कोने से सामने वाली भुजा के बीच बीच जाता है। इस लए एक नई भुजा बड़े
त्रभुज क पूरी भुजा है, दूसरी कसी भुजा क केवल आधी, और कटाव स्वयं पूरी भुजा से छोटा पर आधी भुजा से
बड़ा है। तीन अलग लंबाइयाँ।

नया शब्द: वषमबाहु का अथ है “असमान भुजाओं वाला”। वषमबाहु त्रभुज म कोई भी दो भुजाएँ बराबर नह
होत ।

प्र.3 वषमबाहु त्रभुज म जाँच क जए क क्या कोई दो या उससे अ धक कोण समान ह?

वषमबाहु त्रभुज के कोई दो कोण समान नह होते। तीन कोण अलग-अलग होते ह।
मोड़कर कैसे जाँच

1. अपना कोई आधा त्रभुज ली जए।
2. एक कोने को दूसरे कोने पर मोड़ने का प्रयास क जए। हर जोड़ी आज़माइए: पहला-दूसरा, दूसरा-तीसरा, पहला-तीसरा।
3. दे खए क्या होता है। हर बार दोन कोने एक-दूसरे को ढक नह पाते — एक हमेशा दूसरे से आगे नकल जाता है।
4. अतः कोई दो कोण समान नह ह।

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समबाहु ि भुज के आधे भाग में:

समकोण = 90

बड़ े ि भुज से बचा हुआ कोना = 60
तीसरा कोना = 180 − 90 − 60 = 30

90, 60 और 30 — तीनों अलग ✓

पीछे का नयम: समान भुजाओं के साथ समान कोण चलते ह और असमान भुजाओं के साथ असमान कोण।
वषमबाहु त्रभुज म कोई दो भुजाएँ समान नह , इस लए कोई दो कोण भी समान नह हो सकते।

तीन प रवार एक साथ: समबाहु — 3 समान भुजाएँ, 3 समान कोण। सम बाहु — 2 समान भुजाएँ, 2 समान
कोण। वषमबाहु — कोई समान भुजा नह , कोई समान कोण नह । भुजाएँ और कोण हमेशा एक ही बात कहते ह।

समचतुभज
ु से बनी आकृ तयाँ — पृष्ठ 98
पतंग, समांतर चतुभुज और आयत

प्र.1 आप कतनी भन्न- भन्न प्रकार क 4-भुजीय आकृ तयाँ (चतुभुज) बना सकते ह? यहाँ तीन संभा वत आकृ तयाँ
द गई ह।

आप 4 अलग-अलग चतुभुज बना सकते ह: एक पतंग, एक आयत और दो भन्न समांतर चतुभुज। पुस्तक म इनम से तीन
दखाए गए ह।
याद र खए, हर टु कड़ा एक ही जैसा समकोण त्रभुज है। इसक भुजाओं को छोट भुजा, बड़ी भुजा और तरछ भुजा क हए। दो
टु कड़े कसी भी मलती-जुलती भुजा पर जोड़े जा सकते ह, और दूसरा टु कड़ा दपण क तरह रखा जा सकता है या आधा चक्कर
घुमाकर।

कस भुजा पर जोड़ दूसरा टु कड़ा कैसे रख जो आकृ त बनेगी

ितरछी भुजा दपण की तरह पतंग
ितरछी भुजा आधा चक्कर घुम ाकर आयत
छोटी भुजा आधा चक्कर घुम ाकर समांतर चतुभजु (लंबा)
बड़ी भुजा आधा चक्कर घुम ाकर समांतर चतुभजु (चपटा)

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पतंग आयत समात
ं र चतुभज
ु समात
ं र चतुभज
ु

उन्ह दो टु कड़ से चार चतुभुज। बदुदार रेखा जोड़ है।

आकृ त क्य बदलती है: बदलने के लए केवल दो बात ह — कौन-सी भुजा जोड़ी जाए, और टु कड़ा पलटा जाए या
घुमाया जाए। पलटने से समान भुजाएँ पास-पास आ जाती ह और पतंग बनती है। आधा चक्कर घुमाने से हर भुजा
सामने वाली भुजा पर चली जाती है और समांतर चतुभुज या आयत बनता है।

स्वयं जाँ चए: आप जो भी बनाएँ, उसका क्षेत्रफल एक ही रहेगा — दो टु कड़े तो दो टु कड़े ही ह। केवल बाहरी
आकार बदलता है।

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प्र.2 क्या आपने दाईं ओर दशाई गई आकृ त के समान कोई आकृ त बनाई है? यह आकृ त पतंग कहलाती है। आपने
पतंग क भुजाओं के बारे म क्या दे खा? भुजा 1 = भुजा 2। इसी प्रकार, भुजा 3 = भुजा 4। ये भुजाएँ संलग्न
भुजाएँ कहलाती ह।

1 2

4 3

पृष्ठ 98 पर दाईं ओर दशाई गई आकृ त, जसक चार भुजाएँ अं कत ह।

पतंग म समान भुजाओं के दो युग्म होते ह, और समान भुजाएँ एक-दूसरे से लगी हुई होती ह। एक-दूसरे से लगी हुई भुजाओं
को संलग्न भुजाएँ कहते ह।

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भुजा m1 = भुजा 2 (दोनों छोटी, अगल-बगल)lase m.
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भुजा 3 = भुजा 4 (दोनों बड़ ी, अगल-बगल)em .
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m पतंग म समान भुजाएँ एक-दूसरे को छू ती ह। समांतर चतुभुज म समान भुजाएँgआमने
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भुजा 1 = भुजा 2 (संलग् न भुजाओं का एक युग् म)
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भुजा 3 = भुजा 4 (संलग् न भुजाओं का दू सरा युग् म)
पर भुजा 1, भुजा 3 के बराबर नही ं है।agl

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पतंग ऐसी क्य बनती है: आपने इसे एक टु कड़े को दूसरे पर दपण क तरह पलटकर बनाया था। दपण-रेखा बीच
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क बदुदार रेखा है। बाईं ओर जो है, दाईं ओर उसक नकल है — इस लए दोन छोट भुजाएँ मलती ह और दोन

a s em बड़ी भुजाएँ मलती ह।

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आपने कहाँ दे खा है: मकर संक्रां त पर उड़ाई जाने वाली असली पतंग ठ क यही आकृ त है। ऊपर दो छोट भुजाएँ,
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नीचे दो बड़ी भुजाएँ, और तीली दपण-रेखा पर।
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प्र.3 दए गए दोन चतुभुज , चतुभुज (क) व चतुभुज (ख) क भुजाओं को मा पए। आपने क्या दे खा? क्या भुजाओं
का कोई युग्म ऐसा है जो समान हो? कौन-से युग्म समान ह — संलग्न भुजाएँ अथवा वपरीत भुजाएँ?

(क) और (ख) दोन म जो भुजाएँ समान ह वे वपरीत भुजाएँ ह, संलग्न नह ।
स्केल से क्या दखेगा

1. (क) क चार भुजाएँ मा पए। ऊपर और नीचे क भुजाएँ बराबर आती ह। बाईं और दाईं भुजाएँ बराबर आती ह।
2. (ख) क चार भुजाएँ मा पए। वही बात — ऊपर = नीचे, बाएँ = दाएँ।
3. कसी भुजा क तुलना उसके बगल वाली भुजा से क जए। वे बराबर नह ह।
4. अतः समान युग्म वपरीत युग्म ही ह।

समान

समान
(क) — एक समांतर चतुभज
ु (ख) — एक आयत

दोन आकृ तय क वपरीत भुजाएँ समान ह। (ख) म समकोण भी ह।

(क) में: ऊपर = नीचे , बाएँ = दाएँ → िवपरीत भुजाएँ समान

(ख) में: ऊपर = नीचे , बाएँ = दाएँ → िवपरीत भुजाएँ समान

िजस चत भ ु की िवपरीत भुजाएँ समान हों उसे समांत र चत भ
ु ज ु ज
ु कहते है।
ं

ये पतंग क्य नह ह: आपने (क) और (ख) दूसरा टु कड़ा पलटकर नह , ब ल्क आधा चक्कर घुमाकर बनाए थे।
आधा चक्कर हर भुजा को सामने वाली ओर भेज दे ता है, इस लए मलती-जुलती भुजाएँ अगल-बगल नह , आमने-
सामने आ जाती ह।

पतंग या समांतर चतुभुज? एक ही प्रश्न पू छए: समान भुजाएँ छू रही ह (संलग्न) या आमने-सामने ह ( वपरीत)?
छू रही ह → पतंग। आमने-सामने → समांतर चतुभुज।

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प्र.4 चतुभुज (क) व (ख) म कस प्रकार के कोण ह? दोन समांतर चतुभुज म से प्रत्येक म कौन-से कोण समान ह?

(क) म वपरीत कोण समान ह। (ख) म चार कोण समान ह और हर कोण समकोण है — इस लए (ख) एक आयत है।

आकृ त कोण का प्रकार कौन-से कोण समान नाम

(क) दो नुक ीले (न्यून) और दो चौड़े (अिधक) दोनों नुकीले समान; दोनों चौड़ े समान — और हर युग्म आमने- समांतर
कोण सामने चतुभजु
(ख) चारों समकोण चारों समान आयत

चाँदे के बना कैसे जाँच

1. नए कागज का कोना ली जए। वह कोना समकोण है।
2. उसे (ख) के हर कोने म र खए। हर बार ठ क बैठता है — अतः (ख) के चार कोण समकोण ह।
3. अब (क) के कोन म र खए। दो कोने कागज के कोने से छोटे और दो बड़े नकलगे। अतः (क) म कोई समकोण नह ।
4. (क) का एक नुक ला कोना े सग पेपर पर उता रए और सामने वाले कोने पर सरकाइए। वह ठ क बैठता है — दोन कोण
समान ह।

आयत वशेष समांतर चतुभुज क्य है: आयत म वपरीत भुजाएँ पहले से समान ह, और यही कसी आकृ त को
समांतर चतुभुज बनाता है। उसके ऊपर उसे एक और उपहार मला है — चार कोण समकोण। इस लए हर आयत
समांतर चतुभुज है, पर हर समांतर चतुभुज आयत नह ।

अब तक का प रवार: चतुभुज → समांतर चतुभुज ( वपरीत भुजाएँ समान) → आयत (और चार कोण समकोण)
→ वग (और चार भुजाएँ भी समान)।

समचतुभज
ु से बनी आकृ तयाँ — पृष्ठ 99

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जाल पर आकृ तयाँ बनाना, और 3 व 4 टु कड़ से रचना

प्र.1 नीचे दए गए जाल ( ड) म दो भन्न पतंग व दो भन्न समांतर चतुभुज बनाइए।

पुस्तक के पृष्ठ 99 पर दया गया जाल ( ड)।

जाल के खान के कोन को अपने बदु मा नए। यहाँ दो पतंग और दो समांतर चतुभुज दए ह, जन्ह आप दे खकर बना सकते ह।
जाल पर पतंग कैसे बनाएँ

1. जाल म एक सीधी खड़ी रेखा ख चए। यही दपण-रेखा है।
2. रेखा पर ऊपर क ओर एक बदु और नीचे क ओर एक बदु लगाइए।
3. दो और बदु लगाइए, एक रेखा के बाईं ओर और एक दाईं ओर, दोन बराबर खान क दूरी पर और एक ही कतार म।
4. चार बदुओं को क्रम से मलाइए। दोन ऊपरी भुजाएँ बराबर और दोन नचली भुजाएँ बराबर — यही पतंग है।

जाल पर समांतर चतुभुज कैसे बनाएँ

1. नीचे क भुजा ख चए — मान ली जए 5 खाने लंबी।
2. एक सरे से बगल और ऊपर च लए, जैसे 2 खाने दाएँ और 3 खाने ऊपर। वहाँ बदु लगाइए।
3. दूसरे सरे से भी ठ क वही चाल च लए। वहाँ भी बदु लगाइए।
4. चार बदुओं को मलाइए। ऊपर और नीचे क भुजाएँ बराबर, दोन तरछ भुजाएँ बराबर — यही समांतर चतुभुज है।

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पतंग 2 (समचतुभज
ु )
पतंग 1

समात ु 2
ं र चतुभज समात ु 1
ं र चतुभज

दो पतंग (नीली व हरी) और दो समांतर चतुभुज (पीला व गुलाबी), सब जाल के कोन पर बने।

जाल से आसानी क्य : खाने गनना बना स्केल के मापने जैसा है। य द आप दपण-रेखा के दोन ओर बराबर खाने
गन, तो दोन भुजाएँ बराबर ह गी ही।

क्या आपने दे खा? पतंग 2 क चार भुजाएँ बराबर ह। जस पतंग क चार भुजाएँ बराबर ह उसे समचतुभुज
कहते ह। अथात् समचतुभुज एक वशेष प्रकार क पतंग है।

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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emबनाने का प्रयत्न
प्र.2 अब समचतुभुज के 4 म से 3 त्रभुज का उपयोग आकृ तयाँ बनाने के लए क जए। उनम से प्रत्येक म कतनी

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—o (क) 3-भुजीय आकृ त (ख) 4-भुजीय आकृ त (ग) 5-भुजीय आकृ त gl
भुजाएँ ह? समचतुभुज के 3 त्रभुजाकार टु कड़ का उपयोग करते हुए नम्न ल खत आकृ तयाँ
क जए.c
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समचतुभुज और उसके चार त्रभुजाकार टु कड़े।

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(ख) और (ग) आसानी से बन जाती ह। (क)l नह बनती — इन तीन टु कड़ से त्रभुज बंद नह होता। करके दे खने पर यही
मलता है।
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m टु कड़ े, दो अलग बाहरी आकार as e
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तीन
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यहाँ बना कदम
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m पाँचवी ं भुजा देता है
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o m(ख) 4-भुजीय आकृित ase
(ग) 5-भुजीय आकlृ ित
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agl दो टु कड़े आयत बनाते ह; तीसरा टु कड़ा कहाँ जोड़ा गया, यही तय करता है क आकृ त म कतनी भुजाएँ ह गी।
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(ख) 4-भुजीय आकृ त

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2. तीसरे टु कड़े क बड़ी भुजा ठaकgआयत क ऊपरी भुजा पर र खए।
1. दो टु कड़ को उनक तरछ भुजाओं पर जोड़कर एक आयत बनाइए।

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3. अब बाहरी आकार म 4 कोने ह — यह चार भुजाओं वाली आकृ त (समलंब) है।

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(ग) 5-भुजीय आकृ त

1. दो टु कड़ से वही आयत बनाइए।
2. तीसरा टु कड़ा ऊपरी भुजा पर र खए, पर इस बार उसक छोट भुजा ऊपरी भुजा पर, बाएँ कोने से शुरू करते हुए।
3. छोट भुजा आयत क ऊपरी भुजा से छोट है, इस लए एक कदम (कोना) बच जाता है। यह कदम एक अ त रक्त कोना जोड़
दे ता है, अतः आकृ त म 5 भुजाएँ हो जाती ह।

(क) 3-भुजीय आकृ त

1. दो टु कड़े अकेले ही त्रभुज बना दे ते ह — वह समचतुभुज का आधा भाग है।
2. अब तीसरा टु कड़ा उसक कसी भी भुजा पर जोड़कर दे खए।
3. हर बार एक नया कोना बन जाता है, इस लए 4 या 5 भुजाएँ मलती ह, 3 कभी नह ।
4. कारण: बाहरी आकार त्रभुज बना रहे, इसके लए नए टु कड़े क कोई भुजा उस कनारे जतनी ही लंबी होनी चा हए जसे वह
ढक रहा है — और इसक कोई भी भुजा उतनी लंबी नह है।

जानने योग्य: य द आपका समचतुभुज दो समबाहु त्रभुज से बना हो (यानी थोड़ा चौड़ा समचतुभुज), तो तीन टु कड़े
त्रभुज बना दगे। अपने शक्षक से ऐसा समचतुभुज माँगकर दे खए — आकृ त के प्रश्न का उत्तर इस बात पर भी
नभर करता है क आपने शुरुआत कस आकृ त से क ।

प्र.3 सभी 4 टु कड़ के साथ इनम से कौन-सी आकृ तयाँ बनाई जा सकती ह? प्रयत्न क जए एवं पता लगाइए। (क)
वग (ख) आयत (ग) त्रभुज (घ) पंचभुज (5-भुजीय) (ङ) षट् भुज (6-भुजीय) (च) अष्टभुज (8-भुजीय)

समचतुभुज और उसके चार त्रभुजाकार टु कड़े।

(ख) आयत, (ग) त्रभुज, (घ) पंचभुज और (ङ) षट् भुज बन सकते ह। (क) वग और (च) अष्टभुज नह बन सकते।

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आकृ त बन कारण
सकती है?

(क) वग नही ं दो टु कड़ से जो आयत बनता है उसक भुजाएँ समचतुभुज क दोन आधी रेखाएँ ह, जो अलग-अलग लंबी
ह। ऐसे दो आयत साथ रखने पर भी आयत ही बनेगा, वग नह ।

(ख) हाँ दो टु कड़ से एक आयत बनाइए; वैसा ही दूसरा आयत उसक बड़ी भुजा से सटा द जए।
आयत

(ग) ि भुज हाँ चार टु कड़े मलकर एक बड़ा त्रभुज बनाते ह जसक हर भुजा टु कड़े क भुजा से ठ क दुगुनी है।

(घ) हाँ तीन टु कड़ से आयत बनाइए और चौथा ऐसे जो ड़ए क एक कदम बचे।
पंचभुज

(ङ) हाँ टु कड़े ऐसे जो ड़ए क बाहरी आकार म दो कदम बच।
षट् भज
ु

(च) नही ं चार त्रभुज क कुल 4 × 3 = 12 भुजाएँ ह। उन्ह जोड़ने म कम से कम 3 युग्म, यानी 6 भुजाएँ खप जाती
अष्टभुज ह। अतः बाहर अ धक से अ धक 6 भुजाएँ बचती ह — छह भुजाएँ ही सबसे अ धक हो सकती ह।

दो आकृितयाँ जो िनिश्चत रूप से बन सकती है ं

(ख) 4 टुकड़ों से आयत (ग) 4 टुकड़ों से ि भुज

त्रभुज के लए बड़े त्रभुज क भुजाओं के मध्य- बदु मलाइए — वह 4 समान छोटे त्रभुज म बँट जाता है।

बड़ा त्रभुज हमेशा क्य बनता है: कसी भी त्रभुज क तीन भुजाओं के मध्य- बदु च ह्नत क जए और उन तीन
को मलाइए। त्रभुज 4 समान त्रभुज म बँट जाता है, और हर छोटा त्रभुज हर लंबाई म बड़े का ठ क आधा होता है।
इस लए हमारे चार टु कड़ को जोड़कर हमेशा एक ऐसा त्रभुज बनाया जा सकता है जसक हर भुजा दुगुनी हो।

क्या आप जानते ह? य द कसी समचतुभुज क एक रेखा दूसरी से ठ क दुगुनी हो, तो उसके चार टु कड़ से वग बन
जाएगा। अपने समचतुभुज को मा पए और दे खए वह इससे कतना दूर है।

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टै न ाम (आकृ त पहेली) — पृष्ठ 99
सात टु कड़ के नाम और उनसे आकृ तयाँ बनाना

टै न ाम

प्र.1 आपक पुस्तक के अंत म दए गए टै न ाम सेट को दे खए। सभी आकृ तय को काट ली जए। उन्ह नाम द जए।

पुस्तक के अंत म दया गया टै न ाम सेट।

टै न ाम एक वग है जसे 7 टु कड़ म काटा गया है। उनके नाम ये ह।

कतने टु कड़े का नाम भुजाएँ

2 बड़ ा ि भुज 3

1 मध्यम ि भुज 3

2 छोटा ि भुज 3

1 वग 4

1 समांतर चतुभजु 4

7 कु ल 5 ि भुज + 2 चतुभज
ु

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टै न गाम के सात टु कड़ े (माप ठीक-ठीक नही ं है )

2 बड़े ि भुज 1 मध्यम ि भुज 2 छोटे ि भुज

1 वग 1 समात
ं र चतुभज
ु

सात म से पाँच टु कड़े त्रभुज ह। बाक दो ह एक वग और एक समांतर चतुभुज।

सँभालकर: छपी रेखाओं पर धीरे-धीरे का टए और सात टु कड़े एक लफ़ाफ़े म र खए। एक भी टु कड़ा खो गया तो
अ धकांश पहे लयाँ नह बनगी।

प्र.2 वे एक-दूसरे से कस प्रकार समान अथवा भन्न ह?

समान: सात म से पाँच टु कड़े त्रभुज ह, और पाँच का आकार एक ही है — समकोण त्रभुज जसक दो भुजाएँ समान ह। भन्न: वे
तीन माप म आते ह, और दो टु कड़े त्रभुज ह ही नह ।

क्या समान है क्या भन्न है

पाँचों ि भुजों में एक समकोण है वे 3 मापों में है ं — बड़ े, मध्यम, छोटे
पाँचों ि भुजों की 2 भुजाएँ समान है ं वग व समांतर चतुभजु की 4 भुजाएँ है,ं 3 नही ं
पूरे से ट का हर कोना 45, 90 या 135 का है वग की चारों भुजाएँ बराबर है;ं समांतर चतुभजु की नही ं
दोनों बड़े टुक ड़े आपस में बराबर; दोनों छोटे भी मध्यम ि भुज, वग व समातं र चतुभजु बराबर जगह घे रते है ं पर िदखते अलग है ं

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कक्षा 5 ग णत अध्याय 7 आकार और प्र तरूप
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दोनों बड़ े ि भुज आपस में बराबर
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दोनों छोटे ि भुज आपस में बराबर
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1 मध्यम ि भुज = 1 वग = 1 समांत र चत भ
ु ज
ु = 2 छोटे ि भुज (बराबर जगह)
a1 बड़ ा ि भुज = 4 छोटे ि भुज

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g लए एक ही चत्र एक से अ धक तरीक से बन जाता है।
पहे लय के लए यह क्य ज़रूरी है: चूँ क मध्यम त्रभुज, वग और समांतर चतुभुज बराबर जगह घेरते ह, आप
प्रायः एक क जगह दूसरा रख सकते ह। a
इसी

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स्वयं जाँ चए: दोन छोटे त्रभुज वग वाले टु कड़े पर र खए, फर मध्यम त्रभुज पर। हर बार वे उसे ठ क ढक लगे।
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a प्र.3 आपने प्रत्येक आकृ त के कोण के बारे म क्या दे खा?

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पुस्तक के अंत म दया गया टै न ाम सेट।

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पूरे टै न ाम सेट म केवल तीन माप के कोने ह: 45, 90 और 135।

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उसके कोण जोड़

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हर ि भुज (पाँचों) 90, 45, 45 180

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वग 90, 90, 90, 90 360

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समांतर चतुभज
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a 45, 135, 45, 135 360

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चाँदे के बना कैसे दे ख

1. कागज क शीट का कोना ली जए — वह समकोण है, 90।
2. उसे कसी त्रभुज के सबसे बड़े कोने म र खए। ठ क बैठ जाता है।
3. अब उस कागज़ी कोने को आधा मो ड़ए। नया कोना 45 का है।
4. उसे दोन नुक ले कोन म र खए। दोन म बैठ जाता है, अतः दोन 45 के ह।
5. समांतर चतुभुज के चौड़े कोने के लए समकोण और 45 का मुड़ा कोना साथ र खए — 90 + 45 = 135। यह भी बैठ जाता
है।

केवल ये तीन माप क्य : पूरा टै न ाम एक ही वग से काटा गया है। हर कटाव या तो भुजा के साथ है या वकण के
साथ, और वकण समकोण को ठ क आधा काट दे ता है। इस लए सेट का हर कोण 90 है, या उसका आधा (45), या
उसका डेढ़ गुना (135)।

काम का तथ्य: 45 + 45 = 90 और 45 + 135 = 180। इसी लए टै न ाम के टु कड़े सीधे कनार पर इतनी सफ़ाई
से जुड़ जाते ह।

प्र.4 आपने प्रत्येक आकृ त क भुजाओं के बारे म क्या दे खा?

पुस्तक के अंत म दया गया टै न ाम सेट।

हर त्रभुज क 2 भुजाएँ समान ह। वग क चार भुजाएँ समान ह। समांतर चतुभुज क वपरीत भुजाएँ समान ह।

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टु कड़ा उसक भुजाएँ कैसी ह नाम

पाँचों ि भुज दो छोटी भुजाएँ बराबर, एक लंबी ितरछी भुजा समकोण समि बाहु ि भुज
वग चारों भुजाएँ बराबर वग
समांतर चतुभज
ु िवपरीत भुजाएँ बराबर, संल ग्न नही ं समांतर चतुभजु

एक बात और ध्यान दे ने योग्य है, और यही पूरी पहेली का रहस्य है:

छोटे त्रभुज क तरछ भुजा ठ क उतनी लंबी है जतनी मध्यम त्रभुज क छोट भुजा।
मध्यम त्रभुज क तरछ भुजा ठ क उतनी लंबी है जतनी बड़े त्रभुज क छोट भुजा।
वग क भुजा छोटे त्रभुज क छोट भुजा के बराबर है।

टु कड़े हमेशा क्य बैठ जाते ह: क्य क इतनी सारी भुजाएँ ठ क बराबर लंबाई क ह, कोई भी टु कड़ा दूसरे से
सटाकर बना खाली जगह के रखा जा सकता है। य द लंबाइयाँ न मलत तो टै न ाम चलता ही नह ।

स्वयं जाँ चए: छोटे त्रभुज क तरछ भुजा को मध्यम त्रभुज क छोट भुजा से सटाकर र खए। दोन एक ही जगह
जाकर खत्म होती ह।

प्र.5 अब अपने टै न ाम सेट के कुछ या सभी टु कड़ का प्रयोग करके नीचे द गई आकृ तयाँ बनाइए। इसे बनाने के लए
एक से अ धक व ध हो सकती ह।

पृष्ठ 99 पर द गई, बनाई जाने वाली चार आकृ तयाँ।

पुस्तक म द गई चार आकृ तयाँ ह — समांतर चतुभुज, आयत, त्रभुज और समलंब। हर एक को बनाने का एक तरीका यहाँ है।

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आयत — वग + 2 छोटे ि भुज
ि भुज — दोनों बड़े ि भुज, छोटी भुजा पर जोड़कर

ु — दोनों बड़े ि भुज, एक आधा चक्कर
समांतर चतुभज समलंबघु— वग + 2 छोटे ि भुज
माकर

मोटी रेखा वह आकृित है जो आपको बनानी है।
पतली रेखाएँ बताती है ं िक अंदर टुकड़े कहाँ िमलते है।
ं

चार लक्ष्य-आकृ तयाँ, चार सरल हल। और भी हल संभव ह — उन्ह ढूँ ढ़ए।

हर एक के चरण

1. त्रभुज: दोन बड़े त्रभुज ली जए। एक क छोट भुजा दूसरे क छोट भुजा पर दपण क तरह र खए। बड़ा त्रभुज बन जाएगा।
2. समांतर चतुभुज: वही दोन बड़े त्रभुज ली जए, पर जोड़ने से पहले एक को आधा चक्कर घुमा द जए। अब समांतर चतुभुज
बनेगा।
3. आयत: दोन छोटे त्रभुज को उनक लंबी तरछ भुजाओं पर जो ड़ए — एक छोटा वग बनेगा। उसे वग वाले टु कड़े के बगल म
रख द जए।
4. समलंब: वग वाला टु कड़ा बीच म र खए। एक छोटा त्रभुज उसक बाईं भुजा से और एक दाईं भुजा से सटाइए, दोन बाहर क
ओर ढलते हुए।

और क जए: इनम से हर आकृ त सात टु कड़ से भी बनाई जा सकती है। वह बहुत क ठन है — बरसात क कसी
दोपहर के लए ब ढ़या चुनौती।

म कौन-सी आकृ त ?
ँ — पृष्ठ 100

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कथन का वग, आयत, समचतुभुज व समांतर चतुभुज से मलान

म कौन-सी आकृ त ँ ?

प्र.1 नीचे दए गए कथन का उ चत आकृ त से मलान क जए: 1. मेरे सभी कोण समकोण ह कतु सभी भुजाएँ
समान नह ह।

(वग) (आयत) (समचतुभज
ु )

(सामात ु )
ं र चतुभज
पृष्ठ 100 पर द गई आकृ तयाँ, जनम से चुनना है।

आयत।

िजन चार आकृितयों से िमलान करना है

वग आयत समचतुभज
ु समात
ं र चतुभज
ु

सात कथन का उत्तर दे ते समय यह पं क्त सामने र खए।

सभी कोण समकोण → वग या आयत

पर सभी भुजाएँ समान नही ं → इससे वग बाहर हो गया

अतः उत्तर है आयत

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वग क्य नह : वग के भी चार कोण समकोण होते ह, पर वग क चार भुजाएँ बराबर होती ह। कथन साफ़ कहता है

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क सभी भुजाएँ बराबर नह ह, इस लए वग हट जाता है।

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प्र.2 2. मेरी सभी भुजाएँ समान ह कतु सभी कोण समान नह ह।

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समचतुभुज। a g

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सभी भुजाएँ समान → वग या समचत भ
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पर सभी कोण समान नही ं → इससे वग बाहर हो गया
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अतः उत्तर है समचत भ
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यह समचतुभुज पर क्य बैठता है: समचतुभुज एक “ तरछा कया हुआ वग” है। उसक चार भुजाएँ बराबर बनी

s e mह। इस लए भुजाएँ मलती ह और कोण नह ।
रहती ह, पर दो कोने नुक ले और दो चौड़े हो जाते
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ऐसे दे खए: चार ती लय को कोन पर ढ ला जोड़कर वग बनाइए, फर एक कोना बगल क ओर दबाइए। भुजाओं

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क लंबाई नह बदलती, पर कोन का माप बदल जाता है। अब आपके पास समचतुभुज है।
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agl प्र.3 3. मेरे सम्मुख कोण समान ह कतु मेरी भुजाएँ समकोण नह बनाती ह।
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दो आकृ तयाँ बैठती ह: समचतुभुज और समांतर चतुभुज।

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सम्मुख कोण समान → वग, आयत, समचत भ
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ु या समांत र चत भ
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कोई समकोण नही ं → इससे वग और आयत बाहर
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बचे : समचत भ
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ु और समात
ं र चत भ
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दोन क्य : हर समांतर चतुभुज के सम्मुख कोण समान होते ह, और समचतुभुज वह समांतर चतुभुज है जसक
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सभी भुजाएँ समान ह। इनम कोई समकोण नह होता (जब तक वे आयत या वग न बन जाएँ)। इस लए कथन दोन

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पर बैठता है।

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यह उन कथन म से है जो एक से अ धक आकृ त बताते ह। अं तम प्रश्न के लए इसे नोट कर ली जए।

प्र.4 4. भुजाओं के दो युग्म समान ह कतु वे समकोण नह बनाते।

दो आकृ तयाँ बैठती ह: समचतुभुज और समांतर चतुभुज।

समात
ं र चत भ ु : ऊपर = नीचे और बाएँ = दाएँ → समान भुजाओं के दो युग् म ✓
ु ज

समचत भ
ु ज
ु : चारों भुजाएँ समान, अतः यह भी दो युग् म ✓

कोई समकोण नही ं → वग और आयत बाहर

उत्तर: समचत भ
ु ज
ु और समांत र चत भ
ु ज
ु

एक सावधानी: पतंग म भी समान भुजाओं के दो युग्म होते ह, पर वहाँ समान भुजाएँ एक-दूसरे से लगी हुई होती ह।
समांतर चतुभुज व समचतुभुज म समान भुजाएँ आमने-सामने होती ह। यहाँ द गई चार आकृ तय म पतंग है ही
नह , इस लए उत्तर वही रहता है।

कथन 3 जैसा ही उत्तर। ऐसा इस लए क जस आकृ त म समान भुजाओं के दो युग्म ह और कोई समकोण न हो,
वह ठ क-ठ क समांतर चतुभुज ही है — और समचतुभुज उसका वशेष रूप है।

प्र.5 5. मेरी सभी भुजाएँ एक-दूसरे के साथ समकोण बनाती ह एवं समान ह।

वग।

सभी कोण समकोण → वग या आयत
सभी भुजाएँ समान → वग या समचत भ
ु ज
ु

दोनों सूिचयों में के वल एक ही आकृ ित है: वग

केवल वग क्य : कथन एक साथ दो बात माँगता है — समान भुजाएँ और समकोण। आयत म समकोण तो ह पर
भुजाएँ समान नह । समचतुभुज म भुजाएँ समान ह पर समकोण नह । दोन बात केवल वग म ह।

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याद र खए: वग एक साथ आयत भी है और समचतुभुज भी। यही वह आकृ त है जो दोन प रवार क सदस्य है।

प्र.6 6. मेरे सम्मुख कोण समान ह एवं मेरी भुजाएँ भी समान ह।

चार आकृ तयाँ बैठती ह: वग, आयत, समचतुभुज और समांतर चतुभुज।

आकृ त सम्मुख कोण समान? सम्मुख भुजाएँ समान? बैठती है?

वग हाँ (सभी 90) हाँ (सभी समान) हाँ
आयत हाँ (सभी 90) हाँ हाँ
समचतुभज
ु हाँ हाँ (सभी समान) हाँ
समात
ं र चतुभज
ु हाँ हाँ हाँ

चार क्य : यह कथन असल म समांतर चतुभुज क ही प रभाषा है — सम्मुख भुजाएँ समान और सम्मुख कोण
समान। वग, आयत और समचतुभुज तीन समांतर चतुभुज के ही वशेष प्रकार ह, इस लए तीन इस नयम को मानते
ह।

सात म सबसे चौड़ा कथन। यह कसी एक आकृ त को नह चुनता; यह पूरे प रवार का नाम लेता है।

प्र.7 7. मेरे सम्मुख कोण समान ह एवं मेरी भुजाएँ समकोण बनाती ह।

दो आकृ तयाँ बैठती ह: आयत और वग।

भुजाएँ समकोण बनाती है ं → वग या आयत

सम्मुख कोण समान → दोनों में सही

उत्तर: आयत और वग

वग भी क्य शा मल है: कथन कह नह कहता क भुजाएँ असमान ह। वग म समकोण भी ह और सम्मुख कोण भी
समान ह, इस लए वह भी बैठता है। आकृ त क पहे लय म यह दे खना ज़रूरी है क क्या कहा गया है — और क्या
नह कहा गया।

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कथन 1 से तुलना क जए: वहाँ “ कतु सभी भुजाएँ समान नह ह” ने वग को बाहर कर दया था। यहाँ ऐसा कोई
वाक्यांश नह है, इस लए वग अंदर बना रहता है।

प्र.8 क्या उनम से कसी कथन म एक से अ धक आकृ त का उल्लेख मलता है?

हाँ। कथन 3, 4, 6 और 7 — हर एक म एक से अ धक आकृ त का उल्लेख है।

कथन आकृ त या आकृ तयाँ कतनी

1. सभी कोण समकोण, सभी भुजाएँ समान नही ं आयत 1

2. सभी भुजाएँ समान, सभी कोण समान नही ं समचतुभजु 1

3. सम्मुख कोण समान, कोई समकोण नही ं समचतुभजु , समांतर चतुभजु 2

4. समान भुजाओं के दो युग्म, कोई समकोण नही ं समचतुभजु , समांतर चतुभजु 2

5. सभी भुजाएँ समान व सभी कोण समकोण वग 1

6. सम्मुख कोण समान व सम्मुख भुजाएँ समान वग, आयत, समचतुभजु , समांतर चतुभजु 4

7. सम्मुख कोण समान व भुजाएँ समकोण बनाती है ं आयत, वग 2

ऐसा क्य होता है: ये चार आकृ तयाँ एक ही प रवार क सदस्य ह। वग वशेष आयत भी है और वशेष समचतुभुज
भी, और चार ही समांतर चतुभुज ह। इस लए जो कथन प रवार का वणन करता है, वह हर सदस्य पर लागू हो जाता
है। केवल वही कथन एक आकृ त तक सी मत रहता है जसम “ कतु” हो — कतु भुजाएँ समान नह , कतु कोण
समान नह ।

यह क जए: ऐसा कथन स्वयं ल खए जो केवल समांतर चतुभुज पर बैठे, यहाँ क कसी और आकृ त पर नह ।
(संकेत: उसम दो “ कतु” चा हए — कोई समकोण नह , और सभी भुजाएँ समान नह ।)

पतंग — पृष्ठ 100

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वगाकार कागज को मोड़कर पतंग बनाना

पतं ग

प्र.1 अपनी स्वयं क पतंग क आकृ त बनाइए। (क) कागज के एक वगाकार टु कड़े से प्रारंभ क जए। (ख) कागज का
कोना ली जए और इसे वकण के अनु दश एक तीखे मोड़ का नशान बनाते हुए वपरीत कोने क ओर मो ड़ए।
(ग) मोड़ को खो लए एवं कोना 'क' को अंदर क ओर इस प्रकार मो ड़ए क कनारा अभी-अभी बनाए गए मोड़
के नशान के साथ संरे खत हो। (घ) दूसरे कनारे के लए इसे दोहराइए अथात् कोना 'ख' को मध्य म मोड़ के
नशान के साथ संरे खत करते हुए अंदर क ओर मो ड़ए। आपके पास एक पतंग क आकृ त है!

(ख) (ख)

(क) (क)

चरण (ख) चरण (ग) चरण (घ)

पतंग
कागज के वगाकार टु कड़े को मोड़कर पतंग बनाना।

चार चरण ठ क-ठ क क जए और पतंग बन जाएगी। यही बात धीरे-धीरे इस प्रकार है।

1. वगाकार कागज ली जए। य द कागज आयताकार हो तो एक कोना तरछा मोड़कर बची प फाड़ द जए — वग बन जाएगा।
2. बीच का मोड़ बनाइए। कागज को इस तरह मो ड़ए क एक कोना ठ क सामने वाले कोने पर आ जाए। मोड़ पर ज़ोर से दबाइए,
फर कागज खोल द जए। अब कोने से कोने तक एक साफ़ रेखा बन गई है। इसी रेखा को वकण कहते ह।
3. कोना क अंदर मो ड़ए। कोना क के पास वाले कनारे को ऐसे लाइए क वह ठ क मोड़ क रेखा पर बैठ जाए। दबाकर चपटा
क जए।
4. कोना ख भी इसी तरह मोड़ क रेखा के दूसरी ओर से मो ड़ए। उसका कनारा भी उसी रेखा पर बैठेगा।
5. बाहरी आकार दे खए। ऊपर दो छोट भुजाएँ, नीचे दो बड़ी भुजाएँ, और बीच म एक दपण-रेखा। यही पतंग है।

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1. िवकण पर मोड़ बनाइए 2. कोना क मोड़ पर लाइए
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एक वगाकार कागज, दो मोड़, और बीच म दपण-रेखा वाली पतंग।

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दोन ओर क भुजाएँ बराबर क्य नकलती ह: दोन मोड़ एक ही रेखा के सहारे बनाए गए ह और दोन ओर
उतना ही मोड़ा गया है। वह रेखा दपण-रेखा हैe
s m लए बाईं ओर जो होता है वही दाईं ओर दोहराया जाता है। यही
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दोन ऊपरी भुजाओं को और दोन नचली
agl भुजाओं को बराबर बनाता है।

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उड़ाइए: मोड़ क रेखा पर एक पतली तीली चपकाइए, ऊपर क ओर धागा बाँ धए, नीचे कागज़ क पूँछ लगाइए —
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आपक पतंग तैयार है।
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प्र.2 आपको पतंग म कौन-सी आकृ तयाँ दखाई दे ती ह?
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आपको पतंग, उसके भीतर त्रभुज, और मुड़े हुए फ्लैप म एक छोट पतंग दखाई दे ती है।

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कहाँ दे ख कौन-सी आकृ त कस प्रकार क

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पूर ा बाहरी आकार पतंग 4
ag laसंsलग्न भुजाओं के दो युग्म
भुजाएँ, समान

a sem बीच की मोड़-रे खा के दोनों ओर
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ि भुज दो बराबर ि भुज, एक-दू सरे के दपण-पितिबंब
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हर मुड़ा हुआ फ्लै प ि भुज एक लंबा पतला ि भुज
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दोनों फ्लै प साथ में
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o पतंग
एक.cछोटी बड़ ी पतंग के ऊपर बैठी हुई agl
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वग का बचा हुआ भाग
agl ि भुज मूल वग का िनचला आधा भाग

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