NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 5 अभाज्य समय

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा6

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 5: अभाज्य समय

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

107 – 128 14 79 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 67 pages

क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 6 · ग णत · ग णत प्रकाश

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 5: अभाज्य समय
एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक ग णत प्रकाश (क ा 6) के अध्याय 5 — अभाज्य समय के सभी प्रश्न के वस्तृत, चरण-दर-चरण हल। पृष्ठ 108 से 126
तक के प्रत्येक “आइए, पता लगाएँ” प्रश्न के साथ-साथ सभी पाठ्य प्रश्न भी हल कए गए ह — इडली-वड़ा खेल, जैकपॉट के लए छलाँग, अभाज्य
एवं भाज्य संख्याएँ, इराटो ेनीज़ क छलनी, सह-अभाज्य संख्याएँ, अभाज्य गुणनखंडन तथा वभाज्यता क जाँच।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत प्रकाश (कक्षा 6) 107 – 128

खं ड प्रश्न

14 79

माध्यम

हन्द

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 107
अनुभाग 5.1 साव गुणज और साव गुणनखंड — इडली-वड़ा खेल

प्र.1 वह कौन-सी पहली संख्या होगी जसके लए खलाड़ी ‘इडली-वड़ा’ बोलेगा? यह संख्या 15 है, जो 3 और 5 दोन
का गुणज है। ऐसी और संख्याएँ ात क जए जो 3 और 5 क गुणज ह। ये संख्याएँ _________ कहलाती ह।

खलाड़ी ठ क उन्ह संख्याओं पर ‘इडली-वड़ा’ कहगे जो 3 के पहाड़े म और 5 के पहाड़े म, दोन म आती ह।

3 के गुणज → 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …

5 के गुणज → 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …

दोन सू चय म आने वाली संख्याएँ ह—

15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …

ये ठ क 15 के पहाड़े क संख्याएँ ह। अतः रक्त ान इस प्रकार भरा जाएगा—
ये संख्याएँ 3 और 5 के साव गुणज कहलाती ह।

ये 15 के गुणज ही क्य होते ह: जो संख्या 3 का गुणज है और 5 का भी, उसम 3 तथा 5 दोन गुणनखंड के रूप म
होने चा हए। अतः वह 3 × 5 = 15 का गुणज होगी। इसी लए खेल म हर 15व संख्या पर ‘इडली-वड़ा’ आता है।

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संकेत: कन्ह दो संख्याओं के साव गुणज शीघ्रता से ज्ञात करने के लए बड़ी संख्या का पहाड़ा ल खए और उनम से
उन संख्याओं पर नशान लगाइए जो छोट संख्या से भी वभा जत हो जाती ह।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 108
अनुभाग 5.1 साव गुणज और साव गुणनखंड

प्र.1 कस संख्या पर दसव बार ‘इडली-वड़ा’ कहा जाएगा?

‘इडली-वड़ा’ 3 और 5 के साव गुणज पर कहा जाता है, अथात् 15 के गुणज पर।

पहली बार → 15 दू सरी → 30 तीसरी → 45 चौथी → 60 पाँच वी ं → 75
छठी → 90 सातवी ं → 105 आठवी ं → 120 नौवी ं → 135 दसवी ं → 150

एक-एक करके गनने क आवश्यकता नह है—

दसवाँ ‘इडली-वड़ ा’ = 15 × 10 = 150

उत्तर: संख्या 150 पर।

प्र.2 य द खेल 1 से 90 तक क संख्याओं के लए खेला जा रहा हो तो ात क जए— a. ब ा कतनी बार ‘इडली’
कहेगा (इसम ‘इडली-वड़ा’ कही जाने वाली बारी भी स म्म लत होगी)? b. ब ा कतनी बार ‘वड़ा’ कहेगा (इसम
‘इडली-वड़ा’ कही जाने वाली बारी भी स म्म लत होगी)? c. ब ा कतनी बार ‘इडली-वड़ा’ कहेगा?

केवल यह ग नए क 90 तक 3 के, 5 के तथा 15 के कतने गुणज ह।

a. ‘इडली’ → 90 तक 3 के गुणज = 90 ÷ 3 = 30 बार

b. ‘वड़ ा’ → 90 तक 5 के गुणज = 90 ÷ 5 = 18 बार

c. ‘इडली-वड़ ा’ → 90 तक 15 के गुणज = 90 ÷ 15 = 6 बार

‘इडली-वड़ा’ वाली 6 संख्याएँ ह — 15, 30, 45, 60, 75 तथा 90।

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भाग दे ने से उत्तर क्य मल जाता है: 90 तक 3 के गुणज ह 3 × 1, 3 × 2, …, 3 × 30 — अथात् इनक संख्या
उतनी ही है जतनी 30 तक क गणन संख्याएँ। इसी लए गनती सीधे 90 ÷ 3 से मल जाती है।

ध्यान द जए: प्रश्न म ‘इडली-वड़ा’ वाली बारी भी स म लत है। य द केवल ‘इडली’ कही जाने वाली बा रयाँ गननी
ह तो वे 30 − 6 = 24 ह गी और केवल ‘वड़ा’ वाली 18 − 6 = 12।

प्र.3 क्या होगा य द खेल 900 तक खेला जाएगा? इसके आधार पर आपके उत्तर म क्या प रवतन ह गे?

900, संख्या 90 का ठ क 10 गुना है, अतः प्रत्येक गनती 10 गुनी हो जाएगी।

क्या कहा जाएगा संख्याएँ 90 तक 900 तक

‘इडली’ 3 के ग ण
ु ज 30 900 ÷ 3 = 300

‘वड़ा’ 5 के ग ण
ु ज 18 900 ÷ 5 = 180

‘इडली-वड़ा’ 15 के ग ण
ु ज 6 900 ÷ 15 = 60

दसवाँ ‘इडली-वड़ा’ अब भी 150 पर ही आएगा, परंतु खेल 900 पर आने वाले 60व ‘इडली-वड़ा’ तक चलेगा।

स्वयं जाँ चए: केवल ‘इडली’ वाली बा रयाँ = 300 − 60 = 240 तथा केवल ‘वड़ा’ वाली = 180 − 60 = 120।

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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m.
क्या यह आकृ त ‘इडली-वड़ा’ खेल से कसी रूप म संबं धत है? संकेत— कल्पना क जए क आप यह खेल 30
e
प्र.4

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तक खेलते ह। अगर आप 60 तक खेल खेलते ह, तो ऐसी ही आकृ त बनाइए।

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3 के गुणज 5 के गुणज
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21 10 5
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30

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3 24
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9 20
15
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m .co agl
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a g 3 और 5 के साव ग ुणनखंड

co m
m .
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आकृ त 5.1 (पृष्ठ 108) — 30 तक क संख्याएँ “3 के गुणज”, “5 के गुणज” और दोन के उभय नष्ठ भाग म।

m l as
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a s em
agl उत्तर
हाँ — आकृ त 5.1, 30 तक खेले गए खेल का ही चत्र है।
se m
om ‘इडली’ कहते ह (3, 9, 12, 18, 21, 24, 27)।
बाएँ वृत्त म 3 के गुणज ह — वे संख्याएँ जन परcखलाड़ी g l a
. a
emपर ‘वड़ा’ कहा जाता है (5, 10, 20, 25)।
दाएँ वृत्त म 5 के गुणज ह — वे संख्याएँ sजन
a
बीच के उभय नष्ठ भाग म 15 और ag30l ह — ये साव गुणज ह, जहाँ ‘इडली-वड़ा’ कहना पड़ता है।
m
60 तक खेलने पर वही चत्र बनता है, बस उसम संख्याएँ अ धक हो जाती ह—

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3 के गुण ज (इडली) 5 के गुण ज (वड़ ा)

3 6 9 12 5 10 20
15 30
18 21 24 27
25 35 40
33 36 39 42
45 60
50 55
48 51 54 57

साव गुणज

‘इडली-वड़ा’ खेल 60 तक। केवल बाएँ भाग म → ‘इडली’, केवल दाएँ भाग म → ‘वड़ा’, उभय नष्ठ भाग म → ‘इडली-वड़ा’।

के वल ‘इडली’ (16 संख्याएँ): 3, 6, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 33, 36, 39, 42, 48, 51, 54, 57

के वल ‘वड़ ा’ (8 संख्याएँ): 5, 10, 20, 25, 35, 40, 50, 55

‘इडली-वड़ ा’ (4 संख्याएँ): 15, 30, 45, 60

गनती क जाँच: 60 तक 3 के गुणज = 20, 5 के गुणज = 12 तथा साव गुणज = 4। अतः 20 − 4 = 16
संख्याओं पर केवल ‘इडली’ और 12 − 4 = 8 पर केवल ‘वड़ा’ कहा जाएगा। ✔

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 108 और 109

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अन्य संख्या युग्म के साथ खेल

ग णत चचा

प्र.1 आइए, अब ‘इडली-वड़ा’ खेल कुछ अलग संख्या युग्म के साथ खेल— a. 2 और 5 b. 3 और 7 c. 4 और 6। हम
‘इडली’ छोट संख्या के गुणज के लए, ‘वड़ा’ बड़ी संख्या के गुणज के लए और ‘इडली-वड़ा’ साव गुणज के
लए कहगे। य द खेल संख्या 60 तक खेला जा रहा हो तो आकृ त 5.1 के समान आकृ त बनाइए।

3 के गुणज 5 के गुणज

18
21 10 5
30
3 24

9 25
15 20
12
27

3 और 5 के साव ग ुणनखंड

आकृ त 5.1 (पृष्ठ 108) — 30 तक क संख्याएँ “3 के गुणज”, “5 के गुणज” और दोन के उभय नष्ठ भाग म।

प्रत्येक युग्म के लए पहले प्रथम साव गुणज ज्ञात क जए। इसके बाद हर अगला साव गुणज उसी संख्या को बार-बार जोड़ने से मल
जाता है।

युग्म ‘इडली’ (छोट संख्या) ‘वड़ा’ (बड़ी संख्या) 60 तक ‘इडली-वड़ा’

a. 2 और 5 2 के ग ण
ु ज 5 के ग ण
ु ज 10, 20, 30, 40, 50, 60

b. 3 और 7 3 के ग ण
ु ज 7 के ग ण
ु ज 21, 42

c. 4 और 6 4 के ग ण
ु ज 6 के ग ण
ु ज 12, 24, 36, 48, 60

अब तीन आकृ तयाँ बनाइए। प्रत्येक म केवल ‘इडली’ वाली संख्याएँ बाएँ वृत्त म, केवल ‘वड़ा’ वाली दाएँ वृत्त म तथा साव गुणज
बीच के भाग म ल खए।

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a. 2 और 5 — पथम साव गुणज 10

के वल ‘इडली’: 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48, 52, 54,

56, 58 (24 संख्याएँ)
के वल ‘वड़ ा’: 5, 15, 25, 35, 45, 55 (6 संख्याएँ)

‘इडली-वड़ ा’: 10, 20, 30, 40, 50, 60 (6 संख्याएँ)

b. 3 और 7 — पथम साव गुणज 21

के वल ‘इडली’: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 45, 48, 51, 54, 57, 60 (18 संख्याएँ)

के वल ‘वड़ ा’: 7, 14, 28, 35, 49, 56 (6 संख्याएँ)

‘इडली-वड़ ा’: 21, 42 (2 संख्याएँ)

c. 4 और 6 — पथम साव गुणज 12

के वल ‘इडली’: 4, 8, 16, 20, 28, 32, 40, 44, 52, 56 (10 संख्याएँ)

के वल ‘वड़ ा’: 6, 18, 30, 42, 54 (5 संख्याएँ)
‘इडली-वड़ ा’: 12, 24, 36, 48, 60 (5 संख्याएँ)

ध्यान दे ने योग्य बात: 2 और 5 के लए पहला ‘इडली-वड़ा’ 10 = 2 × 5 पर आया तथा 3 और 7 के लए 21 = 3
× 7 पर — अथात् ठ क गुणनफल पर। परंतु 4 और 6 के लए यह केवल 12 पर आ गया, जो 4 × 6 = 24 से छोटा
है। कारण यह है क 4 और 6 का एक साव गुणनखंड 2 है। यही बात आप पृष्ठ 116 पर फर पढ़गे।

प्र.2 कल हमने इस खेल को 2 संख्याओं के साथ खेला। हमने यह खेल ‘इडली’ या ‘इडली-वड़ा’ कहकर समाप्त कया।
कसी ने भी केवल ‘वड़ा’ नह कहा। एक संख्या 4 थी। नम्न ल खत संख्या म से कौन-सी अन्य संख्या हो सकती
है— 2, 3, 5, 8, 10?

उत्तर: 8।
कसी ने केवल ‘वड़ा’ नह कहा, अथात् दूसरी संख्या का प्रत्येक गुणज 4 का भी गुणज था — इस लए वह हर बार ‘इडली-वड़ा’ बन
गया। ऐसा तभी होता है जब दूसरी संख्या स्वयं 4 क गुणज हो।

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दूसरी संख्या ऐसा ‘वड़ा’ जो 4 का गुणज नह काम करेगी?

2 2, 6, 10, … — 2 के ग ण
ु ज है ं पर 4 के नही ं नही ं

3 3, 6, 9, … — 4 के ग ण
ु ज नही ं नही ं

5 5, 10, 15, … — 4 के ग ण
ु ज नही ं नही ं

8 8, 16, 24, 32, … पत्येक संख्या 4 की ग ण
ु ज है हाँ ✔

10 10, 30, 50, … — 4 के ग ण
ु ज नही ं नही ं

4 और 8 के साथ: 4 → इडली, 8 → इडली-वड़ ा, 12 → इडली, 16 → इडली-वड़ ा, 20 → इडली, 24 →

इडली-वड़ ा, …

कारण: ‘वड़ा’ 8 के गुणज पर कहा जाता है और 8 का प्रत्येक गुणज (8, 16, 24, …) 4 का भी गुणज है। अतः
केवल ‘वड़ा’ कहने का अवसर आता ही नह — वह हर बार ‘इडली-वड़ा’ बन जाता है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 110
जैकपॉट के लए छलाँग — साव गुणनखंड

ग णत चचा

प्र.1 कौन-सा छलाँग का आकार 15 और 30 दोन तक पहुँच सकता है? यहाँ बहुत सारे छलाँग के आकार संभव ह।
उन सभी को ढूँ ढ़ने का प्रयास क जए।

ज ी 0 से आरंभ करता है और केवल अपने छलाँग-आकार के गुणज पर ही उतरता है। अतः कोई छलाँग-आकार कसी संख्या तक
तभी पहुँचाएगा जब वह उस संख्या का गुणनखंड हो। दोन खजान तक पहुँचने के लए छलाँग-आकार 15 और 30 का साव
गुणनखंड होना चा हए।

15 के गुणनखंड → 1, 3, 5, 15

30 के गुणनखंड → 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

दोन सू चय म आने वाली संख्याएँ ह—

1, 3, 5 और 15

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

उत्तर: छलाँग के आकार 1, 3, 5 और 15 — कुल चार।
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em.
m l as
m .co
छलाँग 3 → 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ✔
a g
l a se
g
छलाँग 5 → 5, 10, 15, 20, 25, 30 ✔
aछलाँग 15 → 15, 30 ✔

co m
m . ag
l a se
g करेगी। यही कारण है क 15 के चार गुणनखंड सफल रहते ह।
यहाँ 15 का प्रत्येक गुणनखंड क्य काम करता है: 15 स्वयं 30 का गुणनखंड है, इस लए जो संख्या 15 को
वभा जत करती है वह 30 को भी वभा a
जत

co m
e m.
m l as
.co a g
नीचे द गई ता लका का अवलोकन क जए। इस ता लका से आपने क्या समझा? ता लका म— 1. क्या
mछायां कत बॉक्स संख्याओं के मध्य कुछ समानता है?
प्र.2

l a se
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com
31 33 34 35 37 38 39

agl
32 36 40

m .
ase
41 42 43 45 46 47 49 50

agl 54
44 48

51 52 53 55 56 57 58 59 60

m
.co
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

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पृष्ठ 110 क ता लका — कुछ संख्याएँ छायां कत (हरी) ह और कुछ वृत्त म अं कत ह।

m
ase
agl
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com g l a
ता लका (31 से 70) क छायां कत संख्याएँ ह—
m . a
ase
agl
33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69

co m
m .
e
हाँ — इनम से हर संख्या 3 के पहाड़े म आती है।

m l as
.co
m 33 = 3 × 11 36 = 3 × 12 39 = 3 × 13 42 = 3 × 14 45 = 3 × 15 a g
l a se
ag 48 = 3 × 16 51 = 3 × 17 54 = 3 × 18 57 = 3 × 19 60 = 3 × 20
.c
s e m
m a
co agl
63 = 3 × 21 66 = 3 × 22 69 = 3 × 23

m .
as e
a g l
सभी छायां कत संख्याएँ 3 क गुणज ह। ये हर बार 3 बढ़ती जाती ह — 33, 36, 39, … — इसी लए ता लका म तरछे क्रम म
दखाई दे ती ह।

com
m .
m ase
.co


a g l Page 9 of 67

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संकेत: कोई संख्या 3 क गुणज तभी होती है जब उसके अंक का योग 3 का गुणज हो। जाँ चए — 57 → 5 + 7
= 12, और 12, 3 के पहाड़े म है। ✔

प्र.3 2. क्या वृत्त म अं कत संख्याओं के बीच कुछ समानता है?

वृत्त म अं कत संख्याएँ ह—

32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68

हर संख्या अपनी पछली संख्या से 4 अ धक है और प्रत्येक 4 के पहाड़े म आती है।

32 = 4 × 8 36 = 4 × 9 40 = 4 × 10 44 = 4 × 11 48 = 4 × 12
52 = 4 × 13 56 = 4 × 14 60 = 4 × 15 64 = 4 × 16 68 = 4 × 17

वृत्त म अं कत सभी संख्याएँ 4 क गुणज ह।

संकेत: कोई संख्या 4 क गुणज तभी होती है जब उसके अं तम दो अंक से बनी संख्या 4 क गुणज हो। यह बात
आप स्वयं पृष्ठ 124 पर सद्ध करगे।

प्र.4 3. ऐसी कौन-सी संख्याएँ ह, जो छायां कत बॉक्स और वृत्त, दोन म ह। इन संख्याओं को क्या कहते ह?

केवल तीन संख्याओं पर दोन नशान ह—

36, 48 और 60

ये 3 और 4 के साव गुणज कहलाती ह।

36 = 3 × 12 = 4 × 9 48 = 3 × 16 = 4 × 12 60 = 3 × 20 = 4 × 15

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ये 12 के गुणज ही क्य ह: जो संख्या 3 क गुणज है और 4 क भी, वह 3 × 4 = 12 क गुणज होगी (क्य क 3
और 4 का 1 के अ त रक्त कोई साव गुणनखंड नह है)। 31 और 70 के बीच 12 के गुणज ह 36, 48 तथा 60 —
ठ क वही तीन संख्याएँ। ✔

प्रयास कर: य द ता लका 100 तक होती, तो दोन नशान वाली अगली संख्याएँ 72, फर 84 और फर 96 होत ।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 110 और 111
अनुभाग 5.1 साव गुणज और साव गुणनखंड

ग णत चचा प्रयास कर

प्र.1 310 और 410 के बीच आने वाले 40 के सभी गुणज ात क जए।

40 का पहाड़ा ल खए और बीच म आने वाली संख्याएँ छाँट ली जए।

40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400, 440, …

310 और 410 के बीच प्राप्त होते ह—

320, 360 और 400

शीघ्र व ध: 310 ÷ 40 = 7, शेषफल 30। अतः 310 के बाद पहला गुणज 40 × 8 = 320 है। इसके बाद 40
जोड़ते जाइए — 320, 360, 400। अगला गुणज 440 है, जो 410 से आगे नकल जाता है।

प्र.2 म कौन ँ? a. म 40 से कम एक संख्या ँ, मेरा एक गुणनखंड 7 है। मेरे अंक का जोड़ 8 है। b. म 100 से छोट
एक संख्या ँ। मेरे दो गुणनखंड 3 और 5 ह। मेरा एक अंक, दूसरे से 1 अ धक है।

a. वह संख्या 35 है।
“मेरा एक गुणनखंड 7 है” का अथ है क संख्या 7 क गुणज है। 40 से छोटे 7 के गुणज ह—

7 का गुणज 7 14 21 28 35

अंक का योग 7 1+4=5 2+1=3 2 + 8 = 10 3+5=8 ✔

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b. वह संख्या 45 है।
3 और 5 दोन गुणनखंड होने का अथ है क संख्या 15 क गुणज है। 100 से छोट ऐसी संख्याएँ ह—

15 का गुणज 15 30 45 60 75 90

अंक 1, 5 3, 0 4, 5 ✔ 6, 0 7, 5 9, 0

अंतर 1? नह नह हाँ नह नह नह

4 और 5 → 5 = 4 + 1 ✔ तथा 45 = 3 × 15 = 5 × 9 ✔

प्र.3 एक संख्या जसके सभी गुणनखंड का योग उस संख्या से दुगना हो, संपूण संख्या (Perfect Number)
कहलाती है। संख्या 28 एक संपूण संख्या है। इसके गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 है, इनका योग 56 है जो क
28 का दुगना है। 1 से 10 तक के बीच एक संपूण संख्या ात क जए।

संपूण संख्या 6 है।

6 के गुणनखंड → 1, 2, 3, 6

1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 × 6 ✔

अब जाँ चए क 1 से 10 तक कोई अन्य संख्या ऐसी नह है—

संख्या गुणनखंड गुणनखंड का योग संख्या का दुगना संपूण?

4 1, 2, 4 7 8 नही ं

5 1, 5 6 10 नही ं

6 1, 2, 3, 6 12 12 हाँ ✔

8 1, 2, 4, 8 15 16 नही ं

9 1, 3, 9 13 18 नही ं

10 1, 2, 5, 10 18 20 नही ं

क्या आप जानते ह? संपूण संख्याएँ बहुत कम ह। पहली चार संपूण संख्याएँ ह — 6, 28, 496 तथा 8128।
आज तक कोई वषम संपूण संख्या नह मली है, और यह भी सद्ध नह हो पाया क ऐसी कोई संख्या नह होती!

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 उभय नष्ठ गुणनखंड ात क जए— a. 20 और 28 b. 35 और 50 c. 4, 8 और 12 d. 5, 15 और 25

प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंड ल खए और वे चुन ली जए जो सबम आते ह ।

भाग गुणनखंड उभय नष्ठ गुणनखंड

a. 20 और 28 20 → 1, 2, 4, 5, 10, 20 1, 2, 4
28 → 1, 2, 4, 7, 14, 28

b. 35 और 50 35 → 1, 5, 7, 35 1, 5
50 → 1, 2, 5, 10, 25, 50

c. 4, 8 और 12 4 → 1, 2, 4 1, 2, 4
8 → 1, 2, 4, 8
12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12

d. 5, 15 और 25 5 → 1, 5 1, 5
15 → 1, 3, 5, 15
25 → 1, 5, 25

सदै व याद र खए: 1 प्रत्येक संख्या को वभा जत करता है, अतः 1 कन्ह भी संख्याओं का उभय नष्ठ गुणनखंड
होता है। इसी लए चार उत्तर म 1 आया है।

प्र.5 तीन ऐसी संख्याएँ ात क जए, जो 25 क गुणज ह ले कन 50 क नह ।

25 का पहाड़ा ल खए और उनम से वे संख्याएँ काट द जए जो 50 के पहाड़े म भी आती ह।

25 का पहाड़ ा → 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, …

ऐसी तीन संख्याएँ: 25, 75 और 125। (175, 225, 275 … भी सही ह।)

एक छोड़कर एक संख्या ही क्य बचती है: 50 = 25 × 2, अतः 25 का कोई गुणज 50 का गुणज तभी होगा जब
उसम 25 क सम संख्या म आवृ त्त हो। इस लए 25 के वषम गुणज — 25 × 1, 25 × 3, 25 × 5, … — कभी
50 के गुणज नह होते।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
य द कोई ‘इडली-वड़ा’ कहता है, तो वह संख्या 50 के पश्चात् आती है। वे दोन संख्याएँ क्याeहm
प्र.6 अंशु और उसके मत्र दो संख्याएँ लेकर ‘इडली-वड़ा’ खेल, खेल रहे ह। दोन संख्याएँ 10 से छोट ह। पहली बार

m a s
coकहा गया है। gl
गी, जन्ह ‘इडली’

. a
em
और ‘वड़ा’

a s
a
उत्तर gl

com
पहला ‘इडली-वड़ा’ दोन संख्याओं के प्रथम साव गुणज पर आता है। अतः हम 10 से छोट ऐसी दो संख्याएँ चा हए जनका प्रथम
साव गुणज 50 से बड़ा हो।
e m . ag
l
प्रथम साव गुणgज
as
युग्म
a 50 से बड़ा?

6 और 7 42 नही ं
co m
e m.
m l as
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5 और 9 नही ं
g
45

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6 और 9 18 नही ं
g
a 7 और 8 56 हाँ ✔

m a s
.co agl
7 और 9 हाँ ✔
m
63

l a se
a g हाँ ✔
8 और 9 72

m
उत्तर: दोन संख्याएँ 7 और 8, अथवा 7 और 9, अथवा 8 और 9 हो सकती ह।

. co
se m
o m l a
.c है। प्रथम साव गुणज को 50 के पार ले जाने के लए संख्याएँ बड़ी होनीaचाgहए और उनका कोई साव
केवल यही तीन युग्म क्य : दोन संख्याएँ 10 से छोट ह, अतः उनका गुणनफल अ धक से अ धक 9 × 8 = 72 हो

m
aseगुणनखंड नह होना चा हए, वरना प्रथम साव गुणज गुणनफल से बहुत नीचे आ जाता है। 7, 8 और 9 आपस म
सकता

agl सह-अभाज्य ह, इस लए उनके प्रथम साव गुणज उनके गुणनफल 56, 63 तथा 72 ही ह।

se m
com g l a
m . a
ase
ध्यान द जए: पुस्तक के अंत म दए उत्तर म केवल 7, 8 और 8, 9 दए गए ह — युग्म 7 और 9 भी उतना ही

agl
सही है (63 > 50)।

com
m .
as e
comका आकार क्या होना चा हए। l
खजाने क खोज खेल म ग्र ी ने खजाने को 28 और 70 पर रखा है। दोन संख्याओं पर पहुँचने के लए छलाँग
g
प्र.7

m . a
ase
agl c
.

s e m
m a
co agl
ज ी को 28 और 70 का उभय नष्ठ गुणनखंड चा हए।

m .
ase
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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

28 के गुणनखंड → 1, 2, 4, 7, 14, 28

70 के गुणनखंड → 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

दोन सू चय म आने वाली संख्याएँ ह—

1, 2, 7 और 14

छलाँग 7 → 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 ✔

छलाँग 14 → 14, 28, 42, 56, 70 ✔

उत्तर: छलाँग के आकार 1, 2, 7 और 14।

शीघ्र व ध: 28 = 2 × 2 × 7 तथा 70 = 2 × 5 × 7। दोन म उभय नष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 7 ह, अतः
उभय नष्ठ गुणनखंड हुए 1, 2, 7 तथा 2 × 7 = 14।

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प्र.8 नीचे दए गए चत्र से गुणा ने उभय नष्ठ गुणज को छोड़कर सभी संख्याओं को मटा दया है। पता लगाइए क वे
संख्याएँ कौन-सी हो सकती ह? और उन लुप्त संख्याओं को खाली ान म ल खए।

____ के गुणज ____ के गुणज

72

48

24

साव गुणज

पृष्ठ 111 का चत्र — केवल साव गुणज बचे ह; शेष सभी भाग खाली ह।

बीच के भाग म 24, 48 और 72 दख रही ह। ये हर बार 24 बढ़ रही ह, अतः दोन संख्याओं का प्रथम साव गुणज 24 है।
इस लए हम ऐसा युग्म चा हए जसका प्रथम साव गुणज 24 हो। एक अ ा चयन है 8 और 12—

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

8 के गुण ज 12 के गुण ज

8 16 32 40 12 36 60
24 48

72 96
84
56 64 80 88

साव गुणज

बाएँ 8 के गुणज, दाएँ 12 के गुणज; बीच म साव गुणज 24, 48, 72, 96।

के वल 8 के गुणज → 8, 16, 32, 40, 56, 64, 80, 88 …

के वल 12 के गुणज → 12, 36, 60, 84 …

साव गुणज → 24, 48, 72, 96 …

अन्य युग्म भी सही ह, क्य क उनका प्रथम साव गुणज भी 24 ही है—

3 और 8 — बाएँ: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 27 …; दाएँ: 8, 16, 32, 40 …
6 और 8 — बाएँ: 6, 12, 18, 30, 36, 42 …; दाएँ: 8, 16, 32, 40 …
4 और 24, 2 और 24, 12 और 24 — इनम 24 का प्रत्येक गुणज बीच के भाग म आ जाता है।

न श्चत कैसे ह : बीच म बची संख्याएँ 24, 48, 72 ह — अथात् 24 के गुणज। अतः गुणा ने जो भी युग्म चुना हो,
उसका प्रथम साव गुणज ठ क 24 ही होना चा हए — न इससे छोटा, न बड़ा।

प्र.9 एक सबसे छोट संख्या ात क जए जो 7 को छोड़कर 1 से 10 तक क सभी संख्याओं का गुणज हो।

हम ऐसी छोट से छोट संख्या चा हए जो 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 तथा 10 से वभा जत हो। प्रत्येक अभाज्य क सबसे बड़ी
आवश्यक घात ली जए।

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

8 के िलए चािहए 2 × 2 × 2

9 के िलए चािहए 3 × 3

5 (तथा 10) के िलए चािहए 5

सबसे छोटी संख्या = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360

प्रत्येक संख्या से जाँ चए—

360 म भाग 1 2 3 4 5 6 8 9 10

भागफल 360 180 120 90 72 60 45 40 36

प्रत्येक भाग पूरा-पूरा है, अतः उत्तर 360 है।

प्र.10 एक सबसे छोट संख्या ात क जए जो 1 से 10 तक क सभी संख्याओं का गुणज हो।

यह पछला उत्तर ही है, जसम छू टा हुआ 7 वापस जोड़ दया जाए।

सबसे छोटी संख्या = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 360 × 7 = 2520

जाँच—

2520 म भाग 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

भागफल 2520 1260 840 630 504 420 360 315 280 252

केवल 7 से गुणा क्य : 360 म 2 तीन बार, 3 दो बार तथा 5 एक बार पहले से है — जो 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9
और 10 के लए पयाप्त है। केवल अभाज्य 7 छू ट रहा था, अतः एक बार 7 से गुणा करना ही पयाप्त है। इससे छोट
कोई संख्या काम नह कर सकती, क्य क उत्तर म 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 5 तथा 7 अवश्य होने चा हए।

क्या आप जानते ह? 2520 वह सबसे छोट संख्या है जो 1 से 10 तक क हर संख्या से वभा जत होती है। 1 से
20 तक क हर संख्या से वभा जत होने वाली सबसे छोट संख्या 232792560 है!

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 112 से 114
m as e
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अनुभाग 5.2 अभाज्य संख्याएँ
a g l
a s em
aप्र.1gl कतनी व्यव ाएँ संभव ह? ऐसे व भन्न तरीके सो चए और ात क जए, जनम— 1. गुणा 12 अंजीर
गुणा प्रत्येक बॉक्स म 12 अंजीर रखना चाहता है और अंशु प्रत्येक बॉक्स म 7 अंजीर रखना चाहता है। ऐसी

m
.co
आयताकार रूप म व्यव त कर सकता है। 2. अंशु 7 अंजीर को आयताकार रूप म व्यव त कर सकता है।
ag
sem
a gla

पं क्त × स्तंभ के रूप म आयताकार व्यव ा तभी बनेगी जब पं क्तय और स्तंभ का गुणनफल अंजीर क संख्या के बराबर हो।
अतः हम केवल गुणनखंड के युग्म चा हए।
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e m.
as
1. गुणा के 12 अंजीर — 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4, और प्रत्येक को घुमाया भी जा सकता है—
m l
m .co a g
l a se 12 अंजीर — छह आयताकार व्यवस्थाएँ

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m .co agl
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12 × 1 6×2 4×3 3×4 2×6 1 × 12

. a g
m
ase
12 अंजीर क छह आयताकार व्यव ाएँ। य द कसी आयत और उसे घुमाकर बनी आकृ त को एक ही मान, तो तीन भन्न आकार बनते

agl
ह।

se m
12 × 1, 6 × 2, 4 × 3, 3 × 4, 2 × 6,.co1m g l a
m
× 12 → 6 यव थाएँ
a
se
व् स्

g l a
2. अंशु के 7 अंजीर — 7 को केवलa1 × 7 के रूप म ही तोड़ा जा सकता है—

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

7 अंजीर — के वल एक आयत (दो तरह से घुमाकर)

7×1 1×7

7 अंजीर को केवल एक ही तरह से रखा जा सकता है — एक ही पं क्त म, खड़ी या पड़ी हुई।

7 × 1 या 1 × 7 → के वल एक आकार

अंतर क्य : 12 के छह गुणनखंड ह (1, 2, 3, 4, 6, 12), इस लए छह व्यव ाएँ बनती ह; परंतु 7 के केवल दो
गुणनखंड ह (1 और 7), इस लए केवल एक पं क्त बनती है। यही एक तथ्य 7 को अभाज्य तथा 12 को भाज्य
संख्या बनाता है।

प्र.2 प्रत्येक व्यव ा म पं क्तय और स्तंभ (कॉलम) क संख्याओं को दे खए। ये 12 से कस प्रकार से संबं धत ह?

प्रत्येक व्यव ा म पं क्तयाँ × स्तंभ = 12 होता है। अतः पं क्तय तथा स्तंभ क संख्याएँ सदै व 12 के गुणनखंड होती ह।

पं क्तयाँ 12 6 4 3 2 1

स्तंभ 1 2 3 4 6 12

पं क्तयाँ × स्तंभ 12 12 12 12 12 12

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ऊपर क पं क्त प ढ़ए — 12, 6, 4, 3, 2, 1 — यह ठ क 12 के गुणनखंड क सूची है।

संकेत: इससे गुणनखंड ज्ञात करने का एक सुंदर तरीका मलता है — उतनी ही गो टयाँ या इमली के बीज लेकर
दे खए क उनसे कतने भन्न आयत बनाए जा सकते ह।

प्र.3 21 से 30 के बीच कतनी अभाज्य संख्याएँ ह? 21 से 30 के बीच कतनी भाज्य संख्याएँ ह?

21 से 30 तक क दस संख्याओं क जाँच क जए।

संख्या 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 और स्वयं के 3 2 — 2 5 2 3 2 — 2
अ त रक्त गुणनखंड

अभाज्य / भाज्य भाज्य भाज्य अभाज्य भाज्य भाज्य भाज्य भाज्य भाज्य अभाज्य भाज्य

21 से 30 तक अभाज्य संख्याएँ → 23 और 29 — अथ त् 2 संख्याएँ

21 से 30 तक भाज्य संख्याएँ → 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 → 8 संख्याएँ

2 + 8 = 10, और 21 से 30 तक ठ क 10 संख्याएँ ह। ✔

प्र.4 क्या हम 1 से 100 के बीच क सभी अभाज्य संख्याओं क सूची बना सकते ह? अभाज्य संख्याएँ ात करने के
लए एक रोचक तरीका दया गया है। नीचे दए गए चरण का प्रयोग करते हुए दे खए क क्या प रणाम नकलता
है?

हाँ। 1 से 100 तक क संख्याएँ एक जाल ( ड) म ल खए और पाँच चरण अपनाइए — 1 को काट द जए, फर 2 पर घेरा
लगाकर उसके आगे के गुणज का टए, फर 3, फर 5, फर 7। इसके बाद जो बचता है, उस पर घेरा लग ही चुका होता है।

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इराटोस्थेनीज़ की छलनी — 100 तक की 25 अभाज्य संख्याएँ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

घेरा = अभाज्य · काटी गई = भाज्य (1 न अभाज्य, न भाज्य)

इराटो ेनीज़ क छलनी। केवल घेरे वाली संख्याएँ बचती ह — वही अभाज्य संख्याएँ ह।

100 तक क 25 अभाज्य संख्याएँ ये ह—

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,

31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,

73, 79, 83, 89, 97

संकेत: 7 के बाद काटने क आवश्यकता नह रहती। 100 से छोट कसी भी भाज्य संख्या का कोई न कोई
गुणनखंड 10 या उससे छोटा होगा (क्य क 11 × 11 = 121 पहले ही 100 से बड़ा है), अतः वह 2, 3, 5 या 7 से
कट ही जाएगी।

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प्र.5 गुणा और अंशु आश्चयच कत ह क इस सरल व ध ारा अभाज्य संख्याएँ ात क जा सकती ह। सो चए क यह
व ध कस प्रकार काय करती है। दए गए चरण को पुन: प ढ़ए और दे खए क प्रत्येक चरण के पश्चात् क्या-क्या
होता है?

यह छलनी एक सरल वचार पर टक है — प्रत्येक भाज्य संख्या का कोई न कोई छोटा अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है, अतः वह
कसी न कसी चरण म कट ही जाती है।
दे खए, संख्या 91 के साथ क्या होता है—

91 िवषम है → चरण 2 (2 के गुणज) में बच जाती है

9 + 1 = 10, जो 3 का गुणज नही ं → चरण 3 में भी बच जाती है

अंत में 0 या 5 नही ं → चरण 4 में भी बच जाती है

परंत ु 91 = 7 × 13 → 7 के गुणज काटते समय यह कट जाती है

और कसी अभाज्य संख्या, जैसे 37, के साथ—

37, 2, 3 या 5 का गुणज नही ं है, तथा 6 × 6 = 36 < 37 < 49 = 7 × 7

अतः 2 से 6 तक की कोई संख्या इसे िवभािजत नही ं करती → 37 कभी नही ं कटती → घेरे में बनी रहती है

एक पं क्त म कारण: प्रत्येक चरण उन संख्याओं को हटा दे ता है जनका वह वशेष अभाज्य गुणनखंड है। चूँ क हर
भाज्य संख्या का कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है, इस लए हर भाज्य संख्या हट जाती है। जो संख्याएँ
बची रहती ह उनका स्वयं से छोटा कोई अभाज्य गुणनखंड नह होता — और अभाज्य होने का यही अथ है।

क्या आप जानते ह? इराटो ेनीज़ लगभग 2200 वष पहले ीस म हुए थे। उन्ह ने छायाओं क सहायता से पृथ्वी
का आकार भी नापा था — और उनका उत्तर सही मान के आश्चयजनक रूप से नकट था।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 114 और 115
अनुभाग 5.2 अभाज्य संख्याएँ

प्र.1 हम दे खते ह क 2 एक अभाज्य संख्या है और यह सम संख्या भी है। क्या कोई अन्य सम अभाज्य संख्या है?

नह । 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
2 से बड़ ी कोई भी सम संख्या लीिजए, जै से 34।
m l as
.co
34 = 2 × 17 → इसके गुणनखंड है ं 1, 2, 17, 34 — अथ त् चार गुणनखंड
m a g
l a se
g
aऐसा क्य होना ही है: प्रत्येक सम संख्या का एक गुणनखंड 2 होता है। य द संख्या 2 से बड़ी है तो उसके कम से

co m
कम तीन गुणनखंड हो जाएँगे — 1, 2 तथा वह संख्या स्वयं। अभाज्य संख्या के केवल दो गुणनखंड होते ह, अतः 2

e m .
से बड़ी कोई सम संख्या अभाज्य नह हो सकती। 2 इस लए बच जाती है क्य क उसके लए “अ त रक्त” गुणनखंड ag
2 स्वयं वही संख्या है।
g l as
a

co m
m.
रोचक बात: ग णतज्ञ 2 को मज़ाक म “सबसे व चत्र अभाज्य” कहते ह — क्य क यही एकमात्र सम अभाज्य है!

m as e
.co a g l
a s em100 तक क अभाज्य संख्याओं क सूची दे खए। दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं म न्यूनतम एवं अ धकतम अंतर
a glप्र.2
क्या है?

m a s
m .co agl
se

g l a
a
अभाज्य संख्याएँ और उनके बीच के अंतर ल खए—

2 1 3 2 5 2 7 4 11 2 13 4 17 2 19 4 23 6 29 2 31 6 37 4 41 2 43 4 47 6 53
co m
m .
m as e
l
53 6 59 2 61 6 67 4 71 2 73 6 79 4 83 6 89 8 97
.co a g
a s eनm
agl
न्यू तम अंतर = 1, जो 2 और 3 के बीच है।

m
अ धकतम अंतर = 8, जो 89 और 97 के बीच है।

a se
. com a g l
m
ase
3−2=1 97 − 89 = 8

agl
m
अंतर 1 केवल एक ही बार क्य : जन दो संख्याओं का अंतर 1 हो, उनम एक सम और एक वषम होगी। एकमात्र

. co
m
सम अभाज्य 2 है, अतः ऐसा युग्म केवल 2 और 3 ही हो सकता है। इसके बाद सभी अभाज्य वषम ह, इस लए हर

m as e
.co l
अंतर सम संख्या ही होगा — 2, 4, 6 या 8।
a g
se m
g l a
a स्वयं जाँ चए: 89 और 97 के बीच क संख्याएँ 90 से 96 तक सभी भाज्य ह — यही लंबी ंखला सबसे बड़ा अंतर
c
m .
e
बनाती है।
m a s
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
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a g l Page 24 of 67

क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 क्या प्रत्येक पं क्त म एक समान संख्या म अभाज्य संख्याएँ थ ? कन दहाइय म न्यूनतम अभाज्य संख्याएँ ह?
यह भी बताइए क पछले पृष्ठ पर द गई सारणी म कनम अ धकतम अभाज्य संख्याएँ ह?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

पृष्ठ 113 क 1 से 100 तक क ता लका — अभाज्य संख्याएँ वृत्त म ह, शेष सभी काट द गई ह।

नह , अभाज्य संख्याएँ समान रूप से नह बँट ह। पं क्त दर पं क्त ग नए—

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दहाई उसम अभाज्य संख्याएँ कतनी

1 – 10 2, 3, 5, 7 4

11 – 20 11, 13, 17, 19 4

21 – 30 23, 29 2

31 – 40 31, 37 2

41 – 50 41, 43, 47 3

51 – 60 53, 59 2

61 – 70 61, 67 2

71 – 80 71, 73, 79 3

81 – 90 83, 89 2

91 – 100 97 1

4 + 4 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 + 1 = 25 अभाज्य संख्याएँ ✔

न्यूनतम: दहाई 91 – 100 म, जहाँ केवल एक अभाज्य संख्या (97) है।
अ धकतम: दहाइयाँ 1 – 10 तथा 11 – 20, जनम चार-चार अभाज्य संख्याएँ ह।

अभाज्य संख्याएँ वरल क्य होती जाती ह: संख्याएँ जैसे-जैसे बड़ी होती ह, उन्ह वभा जत कर सकने वाली छोट
अभाज्य संख्याएँ अ धक होती जाती ह, इस लए कसी संख्या का भाज्य होने से बचना क ठन हो जाता है। अभाज्य
संख्याएँ कभी समाप्त नह होत , पर वे दूर-दूर होती जाती ह।

प्र.4 इनम से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य ह— 23, 51, 37, 26?

प्रत्येक संख्या म 1 और स्वयं के अ त रक्त कोई गुणनखंड खो जए।

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

संख्या जाँच अभाज्य या भाज्य?

23 सम नही ं; 2 + 3 = 5 (3 का ग ण
ु ज नही ं); अंत में 0 या 5 नही ं; 4 × 4 = 16 < 23 < 25 अभाज्य ✔

51 5 + 1 = 6, जो 3 का ग ण
ु ज है → 51 = 3 × 17 भाज्य

37 सम नही ं; 3 + 7 = 10 (3 का ग ण
ु ज नही ं); अंत में 0 या 5 नही ं; 7 का ग ण
ु ज भी नही ं अभाज्य ✔

26 सम है → 26 = 2 × 13 भाज्य

उत्तर: 23 और 37 अभाज्य ह। 51 तथा 26 भाज्य ह।

सावधान: 51 पहली नज़र म अभाज्य लगती है, पर अंक के योग वाली जाँच उसे तुरंत पकड़ लेती है — 5 + 1 =
6, अतः 51, 3 के पहाड़े म है।

प्र.5 अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म ल खए, जो 20 से कम ह और उनका योग 5 का गुणज हो।

20 से छोट अभाज्य संख्याएँ ह 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19। ऐसे युग्म चु नए जनका योग 0 या 5 पर समाप्त हो।

2+3=5=5×1✔

3 + 7 = 10 = 5 × 2 ✔

2 + 13 = 15 = 5 × 3 ✔

ऐसे तीन युग्म: (2, 3), (3, 7) तथा (2, 13)।
और भी युग्म ह — इन्ह भी दे खए—

3 + 17 = 20 ✔ 7 + 13 = 20 ✔ 11 + 19 = 30 ✔ 13 + 17 = 30 ✔

प्रयास कर: ध्यान द जए क (2, 3) तथा (2, 13) को छोड़कर ऊपर के सभी युग्म म दोन अभाज्य वषम ह और
उनका योग सदै व सम आता है। अतः 5 या 15 जैसा वषम योग तभी मलेगा जब युग्म म सम अभाज्य 2 स म लत
हो।

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

प्र.6 संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ ह। इन दोन संख्याओं म अंक 1 और 3 समान ह। 100 तक क संख्याओं म
से ऐसे अन्य सभी अभाज्य संख्याओं के युग्म ात क जए।

प्रत्येक दो अंक वाली अभाज्य संख्या ली जए, उसके अंक उल टए और दे खए क उलट हुई संख्या भी अभाज्य है या नह ।

अभाज्य अंक उलटने पर क्या वह भी अभाज्य है?

13 31 हाँ ✔

17 71 हाँ ✔

37 73 हाँ ✔

79 97 हाँ ✔

19 91 = 7 × 13 नही ं

23 32 (सम) नही ं

29 92 (सम) नही ं

59 95 = 5 × 19 नही ं

83 38 (सम) नही ं

उत्तर: युग्म ह (13, 31), (17, 71), (37, 73) तथा (79, 97)।

क्या आप जानते ह? ऐसी अभाज्य संख्याओं को अं ेज़ी म emirp कहते ह — यह “prime” को उलटा लखने
से बना शब्द है! संख्या 11 दोन ओर से एक जैसी पढ़ जाती है, अतः वह पै ल ोम अभाज्य है।

प्र.7 1 से 100 के बीच 7 क्रमागत भाज्य संख्याएँ ल खए।

100 तक दो अभाज्य संख्याओं के बीच सबसे बड़ा अंतर खो जए। यह 89 और 97 के बीच है, और बीच क सात संख्याएँ भाज्य
ह।

संख्या 90 91 92 93 94 95 96

एक गुणनखंड 2 × 45 7 × 13 2 × 46 3 × 31 2 × 47 5 × 19 2 × 48

उत्तर: 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
91 ही असली चुनौती है: 90, 92, 94, 96 सम ह तथा 93 और 95 स्पष्ट रूप से 3 और 5 के पहाड़ म ह। केवल
91 अपने गुणनखंड छपाए रखती है — पर 91 = 7 × 13, अतः वह भी भाज्य है। इसी से 100 e
s mक सबसे
m gl a
तक
. co भाज्य संख्याओं क ंखला बनती है। a
em
लंबी, सात क्रमागत

a s
agl

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ag
अभाज्य संख्याओं के युग्म जनका अंतर 2 हो जुड़वाँ अभाज्य युग्म (Twin Primes) कहलाती ह। उदाहरण के
.
प्र.8

e m
as
लए, 3 और 5 जुड़वाँ अभाज्य युग्म ह, इसी प्रकार 17 और 19 ह। 1 से 100 के बीच अन्य जुड़वाँ अभाज्य युग्म
ात क जए?
a g l

co m

em.
as
अभाज्य संख्याओं क सूची पर च लए और वे सभी युग्म छाँ टए जनका अंतर 2 है।
m l
.co a g
a s e5)m (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73)
gl
(3,
a
m a s
पुस्तक म (3, 5) तथा (17, 19) पहले ही दए ह, अतः अन्य जुड़वाँ अभाज्य युग्म ह—

m .co agl
l a se
g
(5, 7), (11, 13), (29, 31), (41, 43), (59, 61) तथा (71, 73)
a
100 तक कुल 8 जुड़वाँ अभाज्य युग्म ह।
co m
m .
o m l a se
g प रकल्पना कहते ह।
.गc णत क सबसे प्र सद्ध अनसुलझी समस्याओं म से एक है, जसे जुड़वाँ अभाज्य
क्या आप जानते ह? यह आज तक कोई नह जानता क जुड़वाँ अभाज्य युग्म अनंत तक चलते रहते ह या नह ।
m a
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यह

agl
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com g l a
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a g l Page 29 of 67

क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

प्र.9 प्रत्येक कथन को सही या गलत के रूप म पहचा नए एवं स्पष्ट क जए— a. ऐसी कोई अभाज्य संख्या नह है
जसका इकाई का अंक 4 हो। b. अभाज्य संख्याओं का गुणनफल भी अभाज्य हो सकता है। c. अभाज्य
संख्याओं के कोई गुणनखंड नह होते ह। d. सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती ह। e. संख्याएँ 2 तथा 3
अभाज्य ह। अन्य प्रत्येक अभाज्य संख्या के लए अगली संख्या भाज्य है।

कथन सही / कारण
गलत

a. ऐसी कोई अभाज्य संख्या नह है सही जस संख्या के अंत म 4 हो वह सम होती है, अतः उसका एक गुणनखंड 2 है। वह 2
जसका इकाई का अंक 4 हो। से बड़ी भी है, इस लए उसके कम से कम तीन गुणनखंड ह गे — 1, 2 तथा स्वयं।
उदाहरण: 14 = 2 × 7, 24 = 2 × 12।

b. अभाज्य संख्याओं का गुणनफल गलत दो या अ धक अभाज्य संख्याओं का गुणा करने पर वे संख्याएँ ही अ त रक्त गुणनखंड
भी अभाज्य हो सकता है। बन जाती ह। 3 × 5 = 15, जसके गुणनखंड 1, 3, 5, 15 ह — चार गुणनखंड, अतः
15 भाज्य है।

c. अभाज्य संख्याओं के कोई गलत प्रत्येक अभाज्य संख्या के ठ क दो गुणनखंड होते ह — 1 तथा वह संख्या स्वयं। 13
गुणनखंड नह होते ह। के गुणनखंड 1 और 13 ह।

d. सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ गलत 2 सम है, फर भी अभाज्य है। हाँ, 2 के अ त रक्त प्रत्येक सम संख्या भाज्य ही होती
होती ह। है।

e. 2 के अ त रक्त प्रत्येक अभाज्य सही 2 को छोड़कर प्रत्येक अभाज्य वषम है, अतः उसके ठ क बाद वाली संख्या सम और
संख्या के लए अगली संख्या भाज्य 2 से बड़ी होगी — इस लए भाज्य। 3 → 4, 5 → 6, 7 → 8, 11 → 12, 97 →
होती है। 98।

तीन क जड़ एक ही है: कथन (a), (d) तथा (e) — तीन इसी एक तथ्य पर टके ह क 2 ही एकमात्र सम
अभाज्य संख्या है। इसे याद रखते ही तीन उत्तर सरल हो जाते ह।

प्र.10 नम्न ल खत म से कौन-सी संख्या को तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप म व्यक्त कर
सकते ह? 45, 60, 91, 105, 330.

प्रत्येक का अभाज्य गुणनखंडन क जए और उसम आने वाली भन्न अभाज्य संख्याएँ ग नए।

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

संख्या अभाज्य गुणनखंडन कतनी अभाज्य संख्याएँ गुणा हुईं ठ क तीन भन्न अभाज्य?

45 3×3×5 3 अभाज्य, पर भन्न केवल 2 नही ं

60 2×2×3×5 4 अभाज्य, भन्न 3 नही ं

91 7 × 13 2 अभाज्य नही ं

105 3×5×7 3 अभाज्य, तीन भन्न हाँ ✔

330 2 × 3 × 5 × 11 4 अभाज्य, चार भन्न नही ं

3 × 5 × 7 = 15 × 7 = 105 ✔

उत्तर: 105।

प्रश्न ध्यान से प ढ़ए: 45 भी तीन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है, पर उनम दो एक ही ह; और 330 म तीन भन्न
अभाज्य के साथ एक और अभाज्य भी है। केवल 105 ही ठ क तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं का गुणनफल
है।

प्र.11 अंक 2, 4 और 5 का एक बार प्रयोग करके आप तीन अंक क कतनी अभाज्य संख्याएँ बना सकते ह?

उत्तर: एक भी नह — शून्य।
अंक 2, 4 और 5 को छह प्रकार से जमाया जा सकता है—

संख्या 245 254 425 452 524 542

अं तम अंक 5 4 5 2 4 2

कससे वभाज्य 5 2 5 2 2 2

245 = 5 × 49 254 = 2 × 127 425 = 5 × 85

452 = 2 × 226 524 = 2 × 262 542 = 2 × 271

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

एक भी क्य नह : आप जैसे भी जमाएँ, संख्या का अं तम अंक 2, 4 या 5 ही होगा। अंत म 2 या 4 होने पर संख्या
सम हो जाती है (गुणनखंड 2), और अंत म 5 होने पर वह 5 क गुणज हो जाती है। हर त म 1 और स्वयं के
अ त रक्त एक गुणनखंड मल जाता है, अतः संख्या भाज्य है।

प्र.12 ध्यान द जए क 3 एक अभाज्य संख्या है और 2 × 3 + 1 = 7 भी एक अभाज्य संख्या है। क्या और भी ऐसी
अभाज्य संख्याएँ ह, जन्ह 2 से गुणन करके एक जोड़ने पर अन्य अभाज्य संख्या प्राप्त होती है? ऐसे कम से कम
पाँच उदाहरण ात क जए।

हाँ, ऐसी बहुत-सी संख्याएँ ह। अभाज्य संख्या को दुगना क जए, 1 जो ड़ए और फर उत्तर क जाँच क जए।

अभाज्य प 2×प+1 क्या यह अभाज्य है?

2 2×2+1=5 हाँ ✔

3 2×3+1=7 हाँ ✔

5 2 × 5 + 1 = 11 हाँ ✔

11 2 × 11 + 1 = 23 हाँ ✔

23 2 × 23 + 1 = 47 हाँ ✔

29 2 × 29 + 1 = 59 हाँ ✔

41 2 × 41 + 1 = 83 हाँ ✔

7 2 × 7 + 1 = 15 = 3 × 5 नही ं

13 2 × 13 + 1 = 27 = 3 × 9 नही ं

17 2 × 17 + 1 = 35 = 5 × 7 नही ं

पाँच उदाहरण: 2 → 5, 5 → 11, 11 → 23, 23 → 47 तथा 29 → 59। (41 → 83 छठा उदाहरण है।)

क्या आप जानते ह? 2, 3, 5, 11, 23, 29 और 41 जैसी अभाज्य संख्याएँ — जन्ह दुगना करके 1 जोड़ने पर
फर अभाज्य मलती है — सोफ जमन अभाज्य कहलाती ह। यह नाम ांसीसी ग णतज्ञ सोफ जमन के नाम पर
है, जन्ह ने फमा क अं तम प्रमेय पर काम करते हुए इनका उपयोग कया था।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 115 से 117

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अनुभाग 5.3 खजान को सुर क्षत रखने के लए सह-अभाज्य संख्याएँ

ग णत चचा

प्र.1 ग्र ी खजाने को कहाँ रखे क ज ी दोन संख्याओं तक न पहुँच सके। जाँ चए क्या ये युग्म सुर क्षत ह— a. 15
और 39 b. 4 और 15 c. 18 और 29 d. 20 और 55

नया नयम याद र खए — छलाँग का आकार 1 लेने क अनुम त नह है। अतः कोई युग्म सुर क्षत तभी है जब दोन संख्याओं का 1
के अ त रक्त कोई साव गुणनखंड न हो।

युग्म गुणनखंड साव सुर क्षत?
गुणनखंड

a. 15 और 15 → 1, 3, 5, 15 1, 3 सुर ि त नही ं — छलाँग 3 से 15 और 39 दोनों तक पहच
ु ँ ा जा सकता
39 39 → 1, 3, 13, 39 है

b. 4 और 15 4 → 1, 2, 4 के वल 1 सुर ि त ✔
15 → 1, 3, 5, 15

c. 18 और 29 18 → 1, 2, 3, 6, 9, 18 के वल 1 सुर ि त ✔
29 → 1, 29

d. 20 और 20 → 1, 2, 4, 5, 10, 1, 5 सुर ि त नही ं — छलाँग 5 से 20 और 55 दोनों तक पहच
ु ँ ा जा सकता
55 20 है
55 → 1, 5, 11, 55

सुर क्षत युग्म: (4, 15) तथा (18, 29)।

29 युग्म को इतनी सरलता से सुर क्षत क्य बना दे ती है: 29 अभाज्य है, अतः उसके गुणनखंड केवल 1 और 29
ह। 29, संख्या 18 को वभा जत नह करती, इस लए साव गुणनखंड के रूप म केवल 1 ही बचता है।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
नम्न ल खत म से कौन-सा संख्या युग्म सह-अभाज्य है? a. 18 और 35 b. 15 और 37 c. 30 और 415 d. 17
e
प्र.2

m l as
और 69 e. 81 और 18.

m .co a g
l a se
a g

cकोईom
युग्म अभाज्य गुणनखंड साव अभाज्य गुणनखंड? सह-अभाज्य?

e
.
m नही ं हाँ ✔ ag
as
a. 18 और 35 18 = 2 × 3 × 3
35 = 5 × 7
a g l
b. 15 और 37 15 = 3 × 5 कोई नही ं हाँ ✔

co m
m.
37 अभाज्य है

m as e नही ं
.co g l
c. 30 और 415 30 = 2 × 3 × 5 5

a
sem
415 = 5 × 83

a
agld. 17 और 69 17 अभाज्य है
69 = 3 × 23
कोई नही ं हाँ ✔

m a s
e. 81 और 18 81 = 3 × 3 × 3 × 3
m .co 3 नही ं
agl
18 = 2 × 3 × 3
l a se
ag
सह-अभाज्य युग्म: a (18 और 35), b (15 और 37) तथा d (17 और 69)।

c o m
.
संकेत: सह-अभाज्य युग्म क दोन संख्याओं का अभाज्य होना आवश्यक नह है। 18 औरm35 दोन भाज्य ह, फर
m ह, क्य क वे बल्कुल अलग-अलग अभाज्य संख्याओं से बनी ह। las
e
.c o
भी सह-अभाज्य
a g
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agl

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m .
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a g l Page 34 of 67

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प्र.3 भन्न संख्या युग्म लेकर ‘इडली-वड़ा’ खेल खेलते हुए, अंशु ने एक रोचक बात दे खी! 1. कभी-कभी, प्रथम साव
गुणज, दोन संख्याओं के गुणनफल के समान था। 2. अन्य तय म प्रथम साव गुणज, दोन संख्याओं के
गुणनफल से छोटा था। उपरोक्त प्रत्येक कथन के लए उदाहरण खो जए। यह संख्या युग्म के सह-अभाज्य होने से
कस प्रकार संबं धत है?

संख्या युग्म प्रथम साव गुणज गुणनफल समान या छोटा? सह-अभाज्य?

3 और 5 15 15 समान हाँ

3 और 7 21 21 समान हाँ

4 और 9 36 36 समान हाँ

4 और 6 12 24 छोटा नही ं (2 उभयिनष्ठ)

3 और 6 6 18 छोटा नही ं (3 उभयिनष्ठ)

6 और 15 30 90 छोटा नही ं (3 उभयिनष्ठ)

अंशु ने जो नयम पकड़ा—

य द दोन संख्याएँ सह-अभाज्य ह, तो प्रथम साव गुणज ठ क उनका गुणनफल होता है।
य द उनका कोई साव गुणनखंड है, तो प्रथम साव गुणज गुणनफल से छोटा होता है — वास्तव म वह गुणनफल म सबसे बड़े
साव गुणनखंड का भाग दे ने पर मलता है।

4 और 6 में 2 उभयिनष्ठ → पथम साव गुणज = 24 ÷ 2 = 12

6 और 15 में 3 उभयिनष्ठ → पथम साव गुणज = 90 ÷ 3 = 30

3 और 6 में 3 उभयिनष्ठ → पथम साव गुणज = 18 ÷ 3 = 6

कारण: गुणनफल तो सदै व एक साव गुणज होता ही है। परंतु जब दोन संख्याओं म कोई गुणनखंड उभय नष्ठ हो, तो
वह गुणनफल म दो बार गना जाता है, इस लए उससे छोटा साव गुणज पहले ही मल जाता है। सह-अभाज्य
संख्याओं म साझा करने को कुछ होता ही नह , इस लए गुणनफल से छोटा कोई साव गुणज संभव नह ।

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प्र.4 सह-अभाज्य कला — नीचे दशाई गई धागे क कला को दे खए। पहली आकृ त म 12 खूँ टयाँ ह। धागा हर चौथी
खूँट से बंधा है (हम कह सकते ह क धागे का अंतर 4 है)। दूसरी आकृ त म 13 खूँ टयाँ ह और धागे का अंतर 3
है। अन्य आकृ तय के वषय म आप क्या सोचते ह? इन आकृ तय को दे खए, अपनी जानकारी को कक्षा म
साझा क जए और चचा क जए।

12 13 16
11 1 12 1 15 1
14 2
11 2
10 2
13 3

10 3
9 3 12 4

9 4 11 5
8 4
8 5 10 6
7 5 9 7
6 7 6 8

23 24 1
22 2
21 3
20 4
19 5

18 6

17 7
16 8
15 9
14 10
13 12 11

पृष्ठ 116 क चार धागा-कला आकृ तयाँ। प्रत्येक म खूँ टयाँ वृत्त पर क्रम से अं कत ह और धागा एक न श्चत अंतर से
एक खूँट से दूसरी तक जाता है।

प्रत्येक चत्र म वृत्त पर बनी खूँ टयाँ ग नए और दे खए क धागा वास्तव म कतनी खूँ टय को छू ता है।

पुस् तक की चार धागा -आकृ ितयाँ
12 13 16 23 24 1
11 1 12 1 15 1 22 2
14 2 21 3
10 2 11 2 20 4
13 3
19 5
10 3
9 3 12 4 18 6
17 7
9 4 11 5
8 4 16 8
8 5 10 6 15 9
7 5 9 7 14 10
6 7 6 8 13 12 11

12 खूँटी, धागे का अंत र 4 13 खूँटी, धागे का अंत र 3 16 खूँटी, धागे का अंत र 6 24 खूँटी, धागे का अंत र 6
धागा 3 खूिटयों
ँ को छू ता है धागा 13 खूिटयों
ँ को छू ता है धागा 8 खूिटयों
ँ को छू ता है धागा 4 खूिटयों
ँ को छू ता है

पुस्तक क चार धागा-आकृ तयाँ पुन: बनाकर दखाई गई ह। ध्यान द जए क प्रत्येक म धागा कतनी खूँ टय तक पहुँचता है।

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

आकृ त खूँ टयाँ धागे का सबसे बड़ा साव धागा कतनी खूँ टयाँ बनने वाली
अंतर गुणनखंड छू ता है आकृ त

पहली 12 4 4 12 ÷ 4 = 3 ित्रभुज

दूसरी 13 3 1 13 ÷ 1 = 13 (सभी) 13 कोनों वाला तारा

तीसरी 16 6 2 16 ÷ 2 = 8 8 कोनों वाला तारा

चौथी 24 6 6 24 ÷ 6 = 4 वग

पहली: 12 → 4 → 8 → वापस 12। के वल खूँिटयाँ 4, 8, 12 पयोग होती है।
ं

चौथी: 24 → 6 → 12 → 18 → वापस 24। के वल खूँिटयाँ 6, 12, 18, 24 पयोग होती है।
ं

नयम: छु ई गई खूँ टय क संख्या = (कुल खूँ टयाँ) ÷ (दोन संख्याओं का सबसे बड़ा साव गुणनखंड)। जब यह साव
गुणनखंड 1 हो — अथात् दोन संख्याएँ सह-अभाज्य ह — तब धागा हर एक खूँट को छू ता है।

प्र.5 कुछ आकृ तय म धागा प्रत्येक खूँट से बँधा है एवं कुछ म नह बँधा है। क्या यह दो संख्याओं (खूँ टय क संख्या
और धागे के अंतर) के सह-अभाज्य होने से संबं धत है?

हाँ, बल्कुल। धागा प्रत्येक खूँट तक तभी पहुँचता है जब खूँ टय क संख्या और धागे का अंतर सह-अभाज्य ह ।

खूँ टयाँ और अंतर सह-अभाज्य? क्या धागा हर खूँट तक पहुँचता है?

12 और 4 नही ं (4 उभयिनष्ठ) नही ं — 12 में से के वल 3 खूँिटयाँ

13 और 3 हाँ हाँ — तेर हों खूँिटयाँ

16 और 6 नही ं (2 उभयिनष्ठ) नही ं — 16 में से के वल 8 खूँिटयाँ

24 और 6 नही ं (6 उभयिनष्ठ) नही ं — 24 में से के वल 4 खूँिटयाँ

ऐसा क्य होता है: धागा उन्ह खूँ टय पर पड़ता है जो अंतर के गुणज ह, वृत्त पर घूमते-घूमते गने जाने पर। वह
पहली बार अपनी आरं भक खूँट पर तब लौटता है जब दोन संख्याओं का प्रथम साव गुणज आ जाता है। य द
दोन सह-अभाज्य ह, तो यह प्रथम साव गुणज पूरा गुणनफल होता है — अतः धागे को वृत्त के चार ओर (अंतर)
बार घूमना पड़ता है और वह हर खूँट को छू लेता है। य द उनका कोई साव गुणनखंड है, तो वह पहले ही लौट आता
है और शेष खूँ टयाँ छू ट जाती ह।

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प्रयास कर: 13 खूँ टयाँ और अंतर 5, अथवा 11 खूँ टयाँ और अंतर 4 ली जए — दोन युग्म सह-अभाज्य ह, अतः
दोन म ऐसा तारा बनेगा जो हर खूँट को छू एगा।

प्र.6 नम्न ल खत के लए ऐसी ही आकृ तयाँ बनाइए— a. 15 खूँट , धागे का अंतर 10 b. 10 खूँट , धागे का अंतर 7
c. 14 खूँट , धागे का अंतर 6 d. 8 खूँट , धागे का अंतर 7

प्रत्येक युग्म के लए पहले तय क जए क धागा कतनी खूँ टय को छु एगा, फर आकृ त बनाइए।

15 10 14 8
14 1 13 1
9 1
13 2 7 1
12 2

12 3 8 2
11 3
6 2
11 4
10 4
7 3
10 5
9 5
5 3
9 6 6 4
8 6
8 7 5 7 4

15 खूँटी, धागे का अंत र 10 10 खूँटी, धागे का अंत र 7 14 खूँटी, धागे का अंत र 6 8 खूँटी, धागे का अंत र 7
धागा 3 खूिटयों
ँ को छू ता है धागा 10 खूिटयों
ँ को छू ता है धागा 7 खूिटयों
ँ को छू ता है धागा 8 खूिटयों
ँ को छू ता है

पूछ गई चार आकृ तयाँ। केवल (a) और (c) म कुछ खूँ टयाँ छू ट जाती ह — (b) और (d) म संख्याएँ सह-अभाज्य ह, इस लए हर खूँट
प्रयोग होती है।

भाग खूँ टयाँ अंतर सह-अभाज्य? छु ई गई खूँ टयाँ आकृ त

a. 15 10 नही ं (5 उभयिनष्ठ) 15 ÷ 5 = 3 खूँटी 10, 5, 15 पर ित्रभुज

b. 10 7 हाँ सभी 10 10 कोनों वाला तारा

c. 14 6 नही ं (2 उभयिनष्ठ) 14 ÷ 2 = 7 सम खूँिटयों पर 7 कोनों वाला तारा

d. 8 7 हाँ सभी 8 अष्टभुज (हर बार एक खूँटी पीछे )

a. 15 → 10 → 5 → वापस 15 (के वल तीन खूँिटयाँ)

b. 10 → 7 → 4 → 1 → 8 → 5 → 2 → 9 → 6 → 3 → वापस 10 (दसों खूँिटयाँ)

c. 14 → 6 → 12 → 4 → 10 → 2 → 8 → वापस 14 (सात खूँिटयाँ, सभी सम)

d. 8 → 7 → 6 → 5 → 4 → 3 → 2 → 1 → वापस 8 (आठों खूँिटयाँ)

बनाने का संकेत: परकार से वृत्त पर बराबर दूरी पर खूँ टयाँ अं कत क जए, उन्ह क्रम से संख्याएँ द जए, फर हर
बार उतना ही अंतर गनते हुए खूँट से खूँट मलाइए। जहाँ से आरंभ कया था, वहाँ लौटते ही रुक जाइए।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
ध्यान द जए: इसी प्रश्न के भाग (d) म अं ेज़ी संस्करण म 8 खूँट , धागे का अंतर 3 दया है। 8 और 3 भी सह-

m a s emवाला तारा
agl
अभाज्य ह, अतः वहाँ भी धागा आठ खूँ टय को छू ता है, पर आकृ त अष्टभुज के ान पर 8 कोन
. co
em
बनती है — 8 → 3 → 6 → 1 → 4 → 7 → 2 → 5 → वापस 8।

g l as
a

com
ag
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 117 से 120
m .
अनुभाग 5.4 अभाज्य गुणनखंडन
as e
a g l
शक्षक— क्या 56 और 63 सह-अभाज्य ह? अंशु— म लख सकता ँ क 56 = 14 × 4 और 63 = 21 × 3। …

om
प्र.1

. c
अतः इनके कोई उभय नष्ठ गुणनखंड नह ह, और ये संख्याएँ सह-अभाज्य ह। गुणा— रुको, म 56 = 7 × 8 और
63 = 9 × 7 भी लख सकता ँ। … अतः ये दोन संख्याएँ सह-अभाज्य नह ह। स्पष्ट रूपm
s e
gla
से गुणा सही है क्य क

. c m गुणनखंड है। ले कन अंशु ने गलती कहाँ क ?
7 एकoसाव
a
la sem
agउत्तर
s
अंशु क गलती यह मान लेना थी क संख्या को तोड़ने का एक तरीका उसके सारे गुणनखंड दखा दे ता है। ऐसा नह होता।
m a
m .co agl
l a se
g
56 = 14 × 4 → इससे पता चलता है िक 14 और 4, संख्या 56 के गुणनखंड है ं
a
परंत ु पूरी सूच ी है: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

com
m .
m as e
.co l
63 = 21 × 3 → इससे पता चलता है िक 21 और 3, संख्या 63 के गुणनखंड है ं
a g
s e mत ु पूरी सूची है: 1, 3, 7, 9, 21, 63
la
परं

ag
संख्या 7 दोन का गुणनखंड है, पर अंशु के तोड़ने के तरीक म वह दखा ही नह । गुणा के तरीक (56 = 7 × 8 तथा 63 = 9 × 7)
se m
com g l a
. a
म वह सामने आ गया।
m
ase
agl
सीख: साव गुणनखंड के वषय म न श्चत होने के लए दोन संख्याओं को अभाज्य संख्याओं तक तोड़ना आवश्यक
है—

co m
m .
m
56 = 2 × 2 × 2 × 7 तथा 63 = 3 × 3 × 7
as e
.co a g l
se m अब 7 कह छप नह सकता। अतः 56 और 63 सह-अभाज्य नह ह।
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 39 of 67

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प्र.2 एक अन्य उदाहरण 80 और 63 का लेते ह। य द हम 80 = 16 × 5 और 63 = 9 × 7 ल तो इनम कोई साव
गुणनखंड नह ह। क्या हम यहाँ यह नष्कष नकाल सकते ह क 80 और 63 सह-अभाज्य ह?

केवल इतने से नह । अंशु क गलती हम सावधान करती है — गुणनखंडन का एक संयोगवश मला तरीका कुछ सद्ध नह करता,
क्य क तोड़ने के अन्य तरीक म कोई साझा गुणनखंड सामने आ सकता है।

80 = 40 × 2 = 20 × 4 = 10 × 8 = 16 × 5 = ???

63 = 9 × 7 = 3 × 21 = ???

सुर त तरीका है — अभाज्य संख्याओं तक जाना—

80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5

63 = 3 × 3 × 7

80 के अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 ह; 63 के 3 और 7। कुछ भी साझा नह है, और अब छपने के लए कोई ान बचा ही नह ।
अतः हाँ — 80 और 63 वास्तव म सह-अभाज्य ह, परंतु इसे सद्ध अभाज्य गुणनखंडन ही करता है।

य द उनका कोई भाज्य साव गुणनखंड होता तो? मान ली जए कोई भाज्य संख्या क दोन को वभा जत करती
है। तब क के भीतर के प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड भी दोन को वभा जत करते, अथात् वह अभाज्य दोन के अभाज्य
गुणनखंडन म दखाई दे ता। चूँ क कोई अभाज्य साझा नह है, अतः 1 से बड़ा कोई साव गुणनखंड हो ही नह सकता।

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प्र.3 क्या क्रम महत्वपूण है? इस चत्र क मदद से क्या आप समझा सकते ह क 30 = 2 × 3 × 5 क्य होता है, चाहे
आप 2, 3 और 5 को कसी भी तरह से गुणन कर?

पृष्ठ 119 पर दखाया गया इकाई घन का ठोस — सामने 3 घन, ऊँचाई म 2 घन और गहराई म 5 घन।

चत्र म छोटे घन से बना एक डब्बा है — 2 घन ऊँचा, 3 घन चौड़ा तथा 5 घन गहरा। घन को कसी भी क्रम म ग नए, कुल
संख्या कभी नह बदलती।

30 = 2 × 3 × 5 — 2 पंि क् त × 3 स् तंभ की पाँच परतें

+ + + +

6 6 6 6 6

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30

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वही 30 घन, 2 पं क्त × 3 स्तंभ क पाँच परत के रूप म।

परतों से → (2 × 3) × 5 = 6 × 5 = 30

स्तं भ ों से → 2 × (3 × 5) = 2 × 15 = 30

एक और तरीका → (2 × 5) × 3 = 10 × 3 = 30

और एक → (3 × 5) × 2 = 15 × 2 = 30

डब्बे को घुमाने से डब्बा नह बदलता, अतः घन क गनती भी नह बदल सकती।

यहाँ दो वचार छपे ह: गुणा क जाने वाली संख्याओं को आपस म बदला जा सकता है (2 × 3 = 3 × 2) तथा
उन्ह कसी भी प्रकार समू हत कया जा सकता है — (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5)। आगे क क ा म आप इन्ह
गुणन क क्रम व नमेयता तथा साहचयता के नाम से पढ़गे। इन्ह के कारण अभाज्य गुणनखंड का क्रम महत्व नह
रखता — इसी लए हम उन्ह प्राय: बढ़ते क्रम म लखते ह: 30 = 2 × 3 × 5, 225 = 3 × 3 × 5 × 5।

प्र.4 जब हम कसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन ात करते ह, तो सबसे पहले हम इसे दो गुणनखंड के गुणन के
रूप म लखते ह। उदाहरण के लए, 72 = 12 × 6, इसके पश्चात् हम दोन प्राप्त गुणनखंड वाली प्रत्येक संख्या
का अभाज्य गुणनखंडन ात करते ह। उपरोक्त उदाहरण म 12 = 2 × 2 × 3 और 6 = 2 × 3। क्या अब, आप 72
का अभाज्य गुणनखंडन बता सकते ह?

दोन छोटे गुणनखंडन को एक साथ लख द जए।

72 = 12 × 6
72 = (2 × 2 × 3) × (2 × 3)

72 = 2 × 2 × 3 × 2 × 3

अभाज्य संख्याओं को बढ़ते क्रम म लखने पर—

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

गुणा करके जाँ चए—

2×2×2=8 3×3=9 8 × 9 = 72 ✔

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संकेत: आरंभ म आप कोई भी वभाजन चुन, उत्तर वही रहेगा। 72 = 8 × 9 से आरंभ क जए: 8 = 2 × 2 × 2
तथा 9 = 3 × 3, अथात् 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 — ठ क वही उत्तर।

प्र.5 अवलोकन क जए क 72 के गुणनखंडन म प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड कतनी बार आया। इसक तुलना इस तथ्य
से क जए क जब 12 और 6 के गुणनखंड को एक साथ लखते ह तो ये संख्याएँ कतनी बार आती ह।

अभाज्य 12 = 2 × 2 × 3 म कतनी 6 = 2 × 3 म कतनी कुल 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 म
बार बार कतनी बार

2 2 1 2+1= 3 ✔
3

3 1 1 1+1= 2 ✔
2

गनती बल्कुल मल जाती है। अथात् जब दो संख्याओं का गुणा कया जाता है, तो गुणनफल के अभाज्य गुणनखंड दोन संख्याओं
के अभाज्य गुणनखंड को साथ रख दे ने से ही बन जाते ह।

यह इतना उपयोगी क्य है: इससे कसी बड़े गुणनफल का अभाज्य गुणनखंडन बना गुणा कए ही मल जाता है।
जैसे—

56 × 25 = (2 × 2 × 2 × 7) × (5 × 5) = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7

ठ क यही तरीका आप अगले अभ्यास के प्रश्न 4 म प्रयोग करगे।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 120
अनुभाग 5.4 अभाज्य गुणनखंडन

प्र.1 नम्न ल खत संख्याओं का अभाज्य-गुणनखंडन ात क जए— 64, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024,
1331, 1000

सबसे छोट उपयुक्त अभाज्य संख्या से बार-बार भाग दे ते जाइए, जब तक केवल अभाज्य संख्याएँ न बच।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
संख्या कैसे टू टती है अभाज्य गुणनखंडन

m ase
64
.co
64 = 2 × 32 = 2 × 2 × 16 = … 2×2×2×2×2×2
a g l
a s em105 = 5 × 21 = 5 × 3 × 7
gl
105
a
3×5×7

243 243 = 3 × 81 = 3 × 3 × 27 = … 3×3×3×3×3

co m
m . ag
se
320 320 = 64 × 5 2×2×2×2×2×2×5

l a
141
ag है: 141 = 3 × 47
1 + 4 + 1 = 6, अतः 3 से िवभािजत होती 3 × 47

m
.co
1728 1728 = 64 × 27 2×2×2×2×2×2×3×3×3

3 × 3 × 3 × 3 × 3 ×e3m
om l as
729 729 = 27 × 27

1024 m
. c a g
a s e 1024 = 2 × 512 = 2 × 2 × 256 = … 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2

agl 1331 1331 = 11 × 121 = 11 × 11 × 11 11 × 11 × 11

m a s
.co agl
1000 1000 = 10 × 10 × 10 = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) 2×2×2×5×5×5

se m
g l a
a
जाँच : 26 = 64 ✔ 3 × 5 × 7 = 105 ✔ 35 = 243 ✔ 64 × 5 = 320 ✔

co m
.
3 × 47 = 141 ✔ 64 × 27 = 1728 ✔ 36 = 729 ✔ 210 = 1024 ✔
em
m l as
.co g
11 × 11 × 11 = 1331 ✔ 8 × 125 = 1000 ✔

m a
l a se
a g 141 के लए संकेत: कोई संख्या 3 से वभाज्य तभी होती है जब उसके अंक का योग 3 का गुणज हो। यहाँ 1 + 4
+ 1 = 6, अतः 141 = 3 × 47, और 47 अभाज्य है।
se m
com g l a
m . a
e
s म एक संख्या 104 और द गई है। उसका अभाज्य गुणनखंडन है 104
aस्करण
g l
= 8 × 13 = 2 × 2 × 2 × 13।a
ध्यान द जए: इसी प्रश्न म अं ेज़ी सं

co m
m .
o m l a seहो, तो वह संख्या क्या होगी?
.c a g
m
कसी सं ख्या के अभाज्य गु णनखं डन म एक बार 2, दो बार 3 और एक बार 11

se
प्र.2

a
agl c
m .

m a s e
co agl
अभाज्य संख्याओं को उतनी ही बार गुणा कर द जए जतनी बार वे आती ह।

m .
ase
a g l

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 44 of 67

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संख्या = 2 × 3 × 3 × 11

= 2 × 9 × 11

= 18 × 11

= 198

उत्तर: 198।

जाँच: 198 = 2 × 99 = 2 × 9 × 11 = 2 × 3 × 3 × 11 ✔ — एक बार 2, दो बार 3 तथा एक बार 11, ठ क
जैसा पूछा गया था।

प्र.3 30 से छोट ऐसी तीन अभाज्य संख्याएँ बताइए, जनका गुणनफल 1955 हो?

1955 को चरण दर चरण तो ड़ए। यह 5 पर समाप्त होती है, अतः 5 से आरंभ क जए।

1955 ÷ 5 = 391

अब 391 को तोिड़ ए। यह िवषम है, 3 + 9 + 1 = 13 (3 का गुणज नही ं), और 0 या 5 पर समाप्त नही ं होती।

7 से → नही ं। 11 से → नही ं। 13 से → नही ं। 17 से → 391 ÷ 17 = 23 ✔

और 23 अभाज्य है।

1955 = 5 × 17 × 23

तीन — 5, 17 तथा 23 — अभाज्य ह और तीन 30 से छोट ह। ✔

जाँच : 17 × 23 = 391, तथा 391 × 5 = 1955 ✔

प्र.4 बना गुणा कए नम्न संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ात क जए— a. 56 × 25 b. 108 × 75 c. 1000 ×
81

प्रत्येक भाग का अलग-अलग गुणनखंडन क जए और फर दोन सू चयाँ साथ-साथ लख द जए — बड़ी गुणा करने क
आवश्यकता ही नह ।

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a. 56 × 25

56 = 2 × 2 × 2 × 7 25 = 5 × 5

56 × 25 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7

b. 108 × 75

108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 75 = 3 × 5 × 5

108 × 75 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5

c. 1000 × 81

1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 81 = 3 × 3 × 3 × 3

1000 × 81 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5

चाह तो जाँच ली जए: 56 × 25 = 1400 तथा 8 × 25 × 7 = 1400 ✔; 108 × 75 = 8100 तथा 4 × 81 ×
25 = 8100 ✔; 1000 × 81 = 81000 तथा 8 × 81 × 125 = 81000 ✔

प्र.5 वह छोट से छोट संख्या क्या होगी जसके अभाज्य गुणनखण्डन म a. तीन अलग अभाज्य संख्याएँ ह । b. चार
अलग अभाज्य संख्याएँ ह ।

उत्तर को छोटे से छोटा रखने के लए सबसे छोट अभाज्य संख्याएँ ली जए और प्रत्येक को केवल एक बार प्रयोग क जए।

a. सबसे छोटी तीन अभाज्य → 2, 3, 5

2 × 3 × 5 = 30

b. सबसे छोटी चार अभाज्य → 2, 3, 5, 7

2 × 3 × 5 × 7 = 30 × 7 = 210

इससे छोट संख्या क्य नह हो सकती: संख्या म तीन (या चार) अलग-अलग अभाज्य होने ही चा हए। 2, 3, 5,
7 म से कसी के ान पर बड़ी अभाज्य लेने से गुणनफल बढ़ ही जाएगा, और कसी अभाज्य को दोहराने से भी
संख्या बड़ी होगी पर नई अभाज्य नह जुड़ेगी। अतः 30 और 210 ही सबसे छोट ह।

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प्रयास कर: पैटन आगे बढ़ाइए — पाँच अलग अभाज्य वाली सबसे छोट संख्या है 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 122
अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग

प्र.1 क्या नम्न ल खत संख्या युग्म सह-अभाज्य संख्याएँ ह? पहले अनुमान लगाइए फर अभाज्य गुणनखंडन ात
करके अपने उत्तर क जाँच क जए। a. 30 और 45 b. 57 और 85 c. 121 और 1331 d. 343 और 216

युग्म अभाज्य गुणनखंडन साव अभाज्य गुणनखंड सह-अभाज्य?

a. 30 और 45 30 = 2 × 3 × 5 3 तथा 5 नही ं
45 = 3 × 3 × 5

b. 57 और 85 57 = 3 × 19 कोई नही ं हाँ ✔
85 = 5 × 17

c. 121 और 1331 121 = 11 × 11 11 नही ं
1331 = 11 × 11 × 11

d. 343 और 216 343 = 7 × 7 × 7 कोई नही ं हाँ ✔
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

जाँच : 3 × 19 = 57 ✔ 5 × 17 = 85 ✔ 7 × 7 × 7 = 343 ✔ 6 × 6 × 6 = 216 ✔

पहले अनुमान इस प्रकार लगाइए: 30 और 45 दोन 5 के पहाड़े म ह, अतः वे सह-अभाज्य हो ही नह सकत ।
121 और 1331 दोन 11 क घात ह। और 343 = 73 वषम है जब क 216 = 63 सम — यह संकेत है क इनम
कुछ साझा नह है।

प्र.2 क्या पहली संख्या दूसरी संख्या से वभा जत होती है? अभाज्य गुणनखंडन का प्रयोग क जए। a. 225 और 27
b. 96 और 24 c. 343 और 17 d. 999 और 99

पहली संख्या दूसरी से तभी वभा जत होगी जब दूसरी का पूरा अभाज्य गुणनखंडन पहली के गुणनखंडन म समाया हुआ हो।

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भाग अभाज्य गुणनखंडन क्या दूसरी संख्या स म्म लत है? वभा जत होती है?

a. 225 ÷ 27 225 = 3 × 3 × 5 × 5 27 को तीन 3 चािहए , 225 में के वल दो है ं नही ं
27 = 3 × 3 × 3

b. 96 ÷ 24 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 हाँ — 96 = (2 × 2 × 2 × 3) × 2 × 2 हाँ ✔ (96 ÷ 24 = 4)
24 = 2 × 2 × 2 × 3

c. 343 ÷ 17 343 = 7 × 7 × 7 343 में 17 है ही नही ं नही ं
17 = 17

d. 999 ÷ 99 999 = 3 × 3 × 3 × 37 999 में 11 नही ं है नही ं
99 = 3 × 3 × 11

भाग दे क र जाँच : 225 ÷ 27 = 8, शेष 9 ✘ 96 ÷ 24 = 4, शेष 0 ✔

343 ÷ 17 = 20, शेष 3 ✘ 999 ÷ 99 = 10, शेष 9 ✘

भाग (a) को ध्यान से दे खए: 225 और 27, दोन केवल 3 और 5 से बनी ह, इस लए पहली दृ ष्ट म लगता है क
भाग चल जाएगा। परंतु यह भी दे खना पड़ता है क कोई अभाज्य कतनी बार आया है। 27 को तीन बार 3 चा हए
और 225 केवल दो बार दे सकती है — अतः भाग पूरा नह होता।

प्र.3 पहली संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 2×3×7 है और दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 3×7×11 है। क्या ये
दोन सह-अभाज्य संख्याएँ ह? क्या इनम से एक संख्या दूसरी संख्या को वभा जत करती है?

पहली संख्या = 2 × 3 × 7 = 42

दू सरी संख्या = 3 × 7 × 11 = 231

क्या ये सह-अभाज्य ह? नह । इनम अभाज्य 3 तथा 7 साझा ह, अतः 3, 7 और 21 — तीन उभय नष्ठ गुणनखंड ह।
क्या एक दूसरी को वभा जत करती है? नह , कोई भी दूसरी को वभा जत नह करती।

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
क्या 42, संख्या 231 को िवभािजत करती है? 42 को एक 2 चािहए, पर 231 = 3 × 7 × 11 में 2 है ही नही ं →
m l as
नही ं
m .co a g
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g
क्या 231, संख्या 42 को िवभािजत करती है? 231 को एक 11 चािहए, पर 42 = 2 × 3 × 7 में 11 नही ं है →
aनही ं

co m
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(वैसे भी 231, संख्या 42 से बड़ ी है, अतः वह उसे िवभािजत कर ही नही ं सकती।)
e m
g l as
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जाँच : 231 ÷ 42 = 5, शेष 21 ✘

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se m.
o m l a
.c के लए — “क्या पूरा गुणनखंडन समाया हुआ है?” दो संख्याओं म कुछagअभाज्य साझा होते हुए भी वे
दोन जाँच का अंतर याद र खए: सह-अभाज्यता के लए हम पूछते ह — “क्या कोई अभाज्य साझा है?”; और
m
se को वभा जत नह करत — ठ क जैसा यहाँ हुआ।
वभाज्यता

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एक-दूसरे

m a s
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प्र.4
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गुणा कहता है, “कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती ह।” क्या वह सही है?

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m

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हाँ, गुणा सही है — बशत दोन अभाज्य संख्याएँ अलग-अलग ह ।

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m अभाज्य प के गुणनखंड → केवल 1 और प a g
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िकसी

ag िकसी अन्य अभाज्य क के गुणनखंड → के वल 1 और क

se m
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चूँिक प ≠ क, अतः दोनों में साझा गुणनखंड के वल 1 है → सह-अभाज्य ✔
g l a
m . a
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agl
उदाहरण—

co m
.
2 और 3 → उभयिनष्ठ गुणनखंड के वल 1 ✔

e m
com l as
3 और 11 → उभयिनष्ठ गुणनखंड के वल 1 ✔
.17 a g
se m और 89 → उभयिनष्ठ गुणनखंड के वल 1 ✔
g l a
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m .
m
एक अपवाद ध्यान म र खए: य द दोन अभाज्य संख्याएँ एक ही ह , जैसे 5 और 5, तो 5 उनका उभय नष्ठ
a s e
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गुणनखंड बन जाता है और वे सह-अभाज्य नह होत । अतः सही कथन है — कोई भी दो भन्न अभाज्य संख्याएँ
e agl
सह-अभाज्य होती ह।
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m .
m ase
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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय AglaSem · NCERT Solutions

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 123 से 125
अनुभाग 5.5 संख्याओं क वभाज्यता क जाँच

ग णत चचा

प्र.1 10 के कुछ प्रारं भक गुणज इस प्रकार ह— 10, 20, 30, 40... क्या संख्या 125 संख्या 10 का गुणज है? क्या
पछले अनुक्रम म यह संख्या दखाई दे ती है? क्य या क्य नह ? क्या अब आप बता सकते ह क 8560 संख्या 10
से वभा जत है?

125, संख्या 10 का गुणज नह है और वह उस अनुक्रम म कभी दखाई नह दे गी।

10, 20, 30, …, 110, 120, 130, 140, … — सूच ी 120 से सीधे 130 पर चली जाती है

125 ÷ 10 = 12, शेषफल 5

कारण: 10 का प्रत्येक गुणज 0 पर समाप्त होता है, क्य क 10 से गुणा करने पर इकाई के ान पर शून्य आ जाता है। परंतु 125,
अंक 5 पर समाप्त होती है, अतः वह इस सूची म आ ही नह सकती।
क्या 8560, संख्या 10 से वभा जत है? हाँ।

8560 का अंितम अंक 0 है → 8560 = 856 × 10 → 8560 ÷ 10 = 856, शेषफल 0 ✔

प्र.2 इस कथन पर वचार क जए— जो संख्याएँ 10 से वभा जत होती ह वे ‘0’ पर समाप्त होती ह। क्या आप इससे
सहमत ह?

हाँ, हम पूरी तरह सहमत ह। यह बात दोन ओर से सही है।

10 का प्रत्येक गुणज 0 पर समाप्त होता है — क्य क 10 से गुणा करने पर हर अंक एक ान बाईं ओर खसक जाता है
और इकाई के ान पर 0 आ जाता है। 7 × 10 = 70, 43 × 10 = 430।
0 पर समाप्त होने वाली प्रत्येक संख्या 10 क गुणज है — अं तम 0 हटा द जए, शेष संख्या ही भागफल है। 2560 = 256
× 10।

0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ → 10, 40, 90, 250, 8560 → सभी 10 से िवभाज्य ✔

0 पर समाप्त न होने वाली → 125, 682, 8536 → कोई भी 10 से िवभाज्य नही ं ✘

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इसके पीछे का कारण: कसी भी संख्या को (अं तम अंक को छोड़कर शेष अंक) × 10 + (इकाई का अंक) के रूप
म लखा जा सकता है। पहला भाग तो पहले से ही 10 का गुणज है, अतः पूरी संख्या 10 क गुणज तभी होगी जब
इकाई का अंक 0 हो।

प्र.3 5 के गुणज , जैसे— 5, 10, 15, 20, 25, ... क सूची बनाकर इसक खोज क जए। इन संख्याओं म आप क्या
दे खते ह? क्या आप इनके अं तम अंक म कोई पैटन दे खते ह? 399 से छोट सबसे बड़ी संख्या क्या है जो 5 से
वभा जत होती है? क्या 8560 संख्या 10 से वभा जत होती है?

5 के गुणज ल खए और उनका अं तम अंक दे खए—

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …

अं तम अंक सदै व 0 या 5 रहता है, बारी-बारी से।
399 से छोट , 5 से वभा जत होने वाली सबसे बड़ी संख्या = 395।

399 ÷ 5 = 79, शेषफल 4 → 5 × 79 = 395

(400 भी 5 का गुणज है, पर वह 399 से बड़ ा है।)

क्या 8560, संख्या 10 से वभा जत होती है? हाँ — क्य क यह 0 पर समाप्त होती है।

8560 ÷ 10 = 856, शेषफल 0 ✔

ध्यान द जए: अं ेज़ी संस्करण म यहाँ पूछा गया है — “क्या 8560, संख्या 5 से वभा जत है?” उसका उत्तर भी
हाँ है: 8560 का अं तम अंक 0 है, अतः 8560 ÷ 5 = 1712, शेषफल 0 ✔

प्र.4 कथन पर वचार क जए— जो संख्याएँ 5 से वभा जत होती ह वे या तो ‘0’ पर समाप्त होती ह या ‘5’ पर
समाप्त होती ह। क्या आप सहमत ह?

हाँ, हम सहमत ह।

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0 या 5 पर समाप्त → 25, 60, 195, 395, 8560 → सभी 5 से िवभाज्य ✔

िकसी अन्य अंक पर समाप्त → 78, 99, 173, 572, 8536 → कोई भी 5 से िवभाज्य नही ं ✘

यह सही क्य है: संख्या को (अं तम अंक को छोड़कर शेष अंक) × 10 + (इकाई का अंक) के रूप म ल खए। 10
स्वयं 5 का गुणज है, अतः पहला भाग सदै व 5 का गुणज रहता है। इस लए पूरी संख्या 5 क गुणज तभी होगी जब
इकाई का अंक 5 का गुणज हो — और अंक 0 से 9 म केवल 0 तथा 5 ही 5 के गुणज ह।

संकेत: ध्यान द जए क यही तक 10 और 5, दोन क जाँच समझा दे ता है। दोन के लए केवल अं तम अंक महत्व
रखता है, क्य क 10 स्वयं 10 और 5 दोन से वभा जत होता है।

प्र.5 2 के कुछ प्रारं भक गुणज 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … ह। आप यहाँ क्या दे खते ह? क्या इनके
अं तम अंक म आपको कोई पैटन दखता है? क्या संख्या 682, 2 से वभा जत होती है? क्या हम इसका उत्तर
बना लंबी वभाजन प्र क्रया के दे सकते ह? क्या संख्या 8560, 2 से वभा जत होती है? क्य या क्य नह ?

2 के गुणज के अं तम अंक दे खए—

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …

अं तम अंक सदै व 0, 2, 4, 6, 8 म से ही कोई एक होता है और यह चक्र पाँच-पाँच पर दोहराता है।
क्या 682, संख्या 2 से वभा जत होती है? हाँ — और इसके लए लंबी भाग- व ध क आवश्यकता नह ।

682 का अंितम अंक 2 है, जो सम है → 682 ÷ 2 = 341, शेषफल 0 ✔

क्या 8560, संख्या 2 से वभा जत होती है? हाँ, क्य क यह 0 पर समाप्त होती है।

8560 ÷ 2 = 4280, शेषफल 0 ✔

प्र.6 इस कथन पर वचार क जए— जो संख्याएँ 2 से वभा जत होती ह वे ‘0’, ‘2’, ‘4’, ‘6’ या ‘8’ पर समाप्त होती
ह। क्या आप इससे सहमत ह? 399 और 411 के बीच 2 के सभी गुणज क्या ह?

हाँ, हम सहमत ह — ये ठ क-ठ क सम संख्याएँ ही ह।

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कारण: संख्या को फर से (अं तम अंक को छोड़कर शेष अंक) × 10 + (इकाई का अंक) के रूप म ल खए। 10
सम है, अतः पहला भाग सदै व सम रहता है। इस लए संख्या सम तभी होगी जब उसका इकाई अंक सम हो —
अथात् 0, 2, 4, 6 या 8।

399 और 411 के बीच 2 के गुणज:

400, 402, 404, 406, 408 तथा 410

अथात् छह संख्याएँ — इस अंतराल म एक छोड़कर एक।

जाँच: 400 ÷ 2 = 200, 402 ÷ 2 = 201, 404 ÷ 2 = 202, 406 ÷ 2 = 203, 408 ÷ 2 = 204, 410 ÷ 2 =
205। ✔

प्र.7 330 और 340 के बीच ऐसी संख्याएँ ात क जए जो 4 से वभाज्य ह । साथ ही, 1730 और 1740, तथा 2030
और 2040 के बीच ऐसी संख्याएँ ात क जए जो 4 से वभाज्य ह । आप क्या दे खते ह? क्या 8536 संख्या 4 से
वभाज्य है?

संख्याओं का अंतराल 4 से वभाज्य अं तम दो अंक

330 और 340 के बीच 332, 336 32, 36

1730 और 1740 के बीच 1732, 1736 32, 36

2030 और 2040 के बीच 2032, 2036 32, 36

हम क्या दे खते ह: तीन अंतराल म वही दो अंत आते ह — 32 और 36। आगे के अंक से कोई अंतर नह पड़ता। अतः 4 से
वभाज्यता केवल अं तम दो अंक से तय होती है।
क्या 8536, संख्या 4 से वभाज्य है? हाँ।

अंितम दो अंक = 36, और 36 ÷ 4 = 9 ✔

अतः 8536 ÷ 4 = 2134, शेषफल 0 ✔

सावधान: 4 के लए केवल एक अं तम अंक दे खना व्यथ है। 12 और 22, दोन 2 पर समाप्त होती ह, पर 12, 4 का
गुणज है और 22 नह ।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
mसे वभा जत हो
इन कथन पर वचार क जए— 1. कसी संख्या क 4 से वभाज्यता का नधारण करते समय उस संख्या के
केवल अं तम दो अंक महत्व रखते ह। 2. य द कसी संख्या के अं तम दो अंक से बनी संख्याe4
प्र.8

m a s
जाती है.cतोoवह मूल संख्या भी 4 से वभा जत होती है। 3. य द कोई संख्या 4 से वभा
a glजत होती है तो उसके
s m दो अंक से बनी संख्या भी 4 से वभा जत होती है। क्या आप इससे सहमत ह? क्य या क्य नह ?
eतम
gl aअं
a
m

. co ag
m
हाँ — तीन कथन सत्य ह।

l a se
कारण: कसी भी संख्या को इस प्रकार a g जा सकता है—
लखा

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em.
संख्या = (आगे वाला भाग) × 100 + (अंितम दो अंक )
m l as
औरem
.co a g
a s 100 = 4 × 25, अतः पहला भाग सदै व 4 का गुणज होता है, चाहे आगे के अंक कुछ भी ह । इस लए पूरी

a gl संख्या 4 क गुणज तभी होगी जब अं तम दो अंक से बनी संख्या 4 क गुणज हो — तीन कथन यही कहते ह।
a s
. co×m9) = 4 × (2125 + 9) = 4 × 2134 ✔ agl
em
8536 = 85 × 100 + 36 = 85 × (4 × 25) + (4
a s
a4 l= 7 ✔ 364 = 3 × 100 + 64 → 64 ÷ 4 = 16 ✔
4028 = 40 × 100 + 28 → 28 ÷ g

परंत ु 8542 → अंितम दो अंक 42, और 42 ÷ 4 में शेषफल 2 → 8542, संख्या 4 से िवभाज्य नही ं ✘
co m
m .
m as e
.co a g l
प्रयास कर: कोई भी चार अंक क संख्या ली जए, अं तम दो अंक वही र खए और पहले दो अंक अपनी इ ा से

se m
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बद लए — 1132, 5532, 9932। सभी 4 से वभाज्य ही रहगी, क्य क 32 वभाज्य है।

ag
se m
o m
120 और 140 के बीच ऐसी संख्याएँ ात.cक जए जो 8 से वभाज्य ह । साथ ही 1120 और 1140 तथा 3120 g l a
m a
और 3140 के बीच ऐसी संख्याएँ se
प्र.9

l a
g प रणामी संख्या 8 का गुणज हो।
अंक इस प्रकार बद लए ताaक
ात क जए जो 8 से वभाज्य ह । आप क्या दे खते ह? 8560 के अं तम दो

co m
m .
m l a sअंe तम तीन अंक
.co ag
em
संख्याओं का अंतराल 8 से वभाज्य

a s
agl 120 और 140 के बीच 128, 136 128, 136

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s e m
com3128, 3136 a
1120 और 1140 के बीच

agl
1128, 1136 128, 136

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3120 और 3140 के बीच 128, 136

ag

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m .
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हम क्या दे खते ह: हर बार वही दो अंत आते ह — 128 और 136। हज़ार के अंक से कोई अंतर नह पड़ता। अतः 8 से वभाज्यता
केवल अं तम तीन अंक से तय होती है।
8560 के अं तम दो अंक बदलना:

8560 → अंितम तीन अंक 560, और 560 ÷ 8 = 70

अथ त् 8560 पहले से ही 8 का गुणज है (8560 = 8 × 1070)।

य द अं तम दो अंक बदलने ही ह , तो अनेक वकल्प ह — बस अं तम तीन अंक से बनी संख्या 8 क गुणज रहनी चा हए—

8504, 8512, 8520, 8528, 8536, 8544, 8552, 8568, 8576, 8584, 8592

उदाहरण के िलए 8552 = 8 × 1069 ✔ तथा 8536 = 8 × 1067 ✔

ध्यान द जए: पुस्तक के अंत म दया उत्तर 8552 सही है — पर यह जानना भी रोचक है क 8560 स्वयं भी 8 से
वभाज्य थी।

प्र.10 इन कथन पर वचार कर— 1. द गई संख्या 8 से वभाज्य है, यह पता करने के लए केवल अं तम 3 अंक ही
महत्व रखते ह। 2. य द अं तम 3 अंक से बनी संख्या 8 से वभाज्य है तो वह मूल संख्या भी 8 से वभाज्य होगी।
3. य द मूल संख्या 8 से वभाज्य है, तो उसके अं तम 3 अंक से बनी संख्या 8 से वभाज्य होगी। क्या आप
इससे सहमत ह? क्य या क्य नह ?

हाँ — तीन कथन सत्य ह।

कारण: संख्या को इस प्रकार ल खए—

संख्या = (आगे वाला भाग) × 1000 + (अंितम तीन अंक )

और 1000 = 8 × 125, अतः पहला भाग सदै व 8 का गुणज होता है। आगे के अंक उत्तर को बदल ही नह सकते
— केवल अं तम तीन अंक ही नणय करते ह।

8576 = 8 × 1000 + 576 → 576 ÷ 8 = 72 ✔

7648 = 7 × 1000 + 648 → 648 ÷ 8 = 81 ✔

5024 = 5 × 1000 + 024 → 24 ÷ 8 = 3 ✔

परंत ु 8570 → 570 ÷ 8 में शेषफल 2 → 8570, संख्या 8 से िवभाज्य नही ं ✘

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पैटन दे खए: 10 = 10 × 1 → 10 और 5 के लए एक अंक; 100 = 4 × 25 → 4 के लए दो अंक; 1000 = 8
× 125 → 8 के लए तीन अंक। भाजक जतनी बार दुगना होता है, उतने ही अ धक अंक दे खने पड़ते ह।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 125 और 126
अनुभाग 5.5 संख्याओं क वभाज्यता क जाँच

प्र.1 2024 एक अ धवष है (अथात फरवरी म 29 दन होते ह)। अ धवष हर उस वष म होता है जो 4 के गुणज होते ह,
सवाय उन वष के जो 100 से तो वभा जत ह ले कन 400 से नह । a. आपके जन्म के वष से लेकर अब तक
कौन-से वष अ धवष थे? b. वष 2024 से 2099 तक कतने अ धवष ह गे?

a. अपना जन्म वष ल खए और आगे बढ़ते हुए 4 का पहला गुणज ढूँ ढ़ए; उसके बाद हर चौथा वष अ धवष होगा (2001 से 2099
के बीच “शताब्द वाला” अपवाद कह नह आता)।

उदाहरण: यिद आपका जन्म 2013 में हुआ है, तो उसके बाद के अिधवष है—
ं

2016, 2020, 2024 — और आगे 2028, 2032, 2036, …

जन्म 2014 में → 2016, 2020, 2024

जन्म 2012 में → 2012, 2016, 2020, 2024

कसी भी वष क जाँच 4 वाले नयम से शीघ्र क जए — अं तम दो अंक दे खए: 16 ÷ 4 = 4 ✔, 20 ÷ 4 = 5 ✔, 24 ÷ 4 = 6
✔, परंतु 22 ÷ 4 म शेषफल 2 ✘।
b. वष 2024 से 2099 तक 19 अ धवष ह गे।

ये है ं 2024, 2028, 2032, …, 2096

िगनती = (2096 − 2024) ÷ 4 + 1 = 72 ÷ 4 + 1 = 18 + 1 = 19

“100 से वभाज्य पर 400 से नह ” वाला नयम यहाँ क्य लागू नह होता: इस परास के आसपास 100 का
गुणज केवल 2100 है, जो हमारी सीमा से बाहर है। (वैसे जान ली जए — 2100 अ धवष नह होगा, क्य क वह
100 से वभा जत है पर 400 से नह ; जब क 2000 अ धवष था, क्य क 2000 ÷ 400 = 5।)

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प्र.2 सबसे बड़ी और सबसे छोट 4 अंक क संख्याओं का पता लगाइए, जो 4 से वभाज्य ह और पै ल ोम भी ह ?

4 अंक का पै ल ोम अबबअ जैसा दखता है — पहला और अं तम अंक समान, तथा बीच के दोन अंक समान। 4 से वभाज्य होने
के लए अं तम दो अंक से बनी संख्या 4 से वभाज्य होनी चा हए। 4 का गुणज सदै व सम होता है, अतः पहला अंक सम होना
चा हए (2, 4, 6 या 8 — 0 नह , क्य क 4 अंक क संख्या 0 से आरंभ नह होती)।
सबसे बड़ी: पहला अंक 8 ली जए और बीच का अंक अ धक से अ धक बड़ा—

अंितम दो अंक ों की जाँच कीिजए (बीच का अंक 9, 8, 7, … लेक र)

98 ÷ 4 → शेषफल 2 ✘ 88 ÷ 4 = 22 ✔

अतः संख्या है 8888, और 8888 ÷ 4 = 2222 ✔

सबसे छोट : पहला अंक 2 ली जए और बीच का अंक जतना छोटा हो सके—

02 ÷ 4 → शेषफल 2 ✘ 12 ÷ 4 = 3 ✔

अतः संख्या है 2112, और 2112 ÷ 4 = 528 ✔

उत्तर: सबसे बड़ी = 8888, सबसे छोट = 2112।

ध्यान द जए — पुस्तक के अंत म दया उत्तर यहाँ ठ क नह है। वहाँ 9999 और 1001 दए गए ह, परंतु ये
दोन वषम संख्याएँ ह, अतः इनम से कोई भी 4 से वभाज्य नह हो सकती (9999 ÷ 4 = 2499, शेष 3; 1001 ÷
4 = 250, शेष 1)। सही उत्तर 8888 तथा 2112 ह।

प्र.3 खो जए और ात क जए क क्या प्रत्येक कथन सदै व सत्य है, कभी-कभी सत्य है या कभी भी सत्य नह ह।
आप अपने तक के समथन म उदाहरण दे सकते ह। a. दो सम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है। b. दो
वषम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।

a. कभी-कभी सत्य।

2+6=8=4×2✔ 10 + 14 = 24 = 4 × 6 ✔

परंत ु 2 + 4 = 6 ✘ 8 + 10 = 18 ✘

b. कभी-कभी सत्य।

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1+3=4=4×1✔ 7 + 9 = 16 = 4 × 4 ✔

परंत ु 1 + 5 = 6 ✘ 5 + 9 = 14 ✘

यह कब सत्य होता है? दो सम संख्याओं का योग सदै व सम होता है और दो वषम संख्याओं का योग भी सदै व सम
— अथात् दोन तय म 2 का गुणज तो मलता है, पर 4 का सदै व नह ।

दो सम संख्याओं का योग 4 का गुणज तब होता है जब दोन को 4 से भाग दे ने पर समान शेषफल मले (दोन
2, 6, 10, 14 … जैसी ह , या दोन 4, 8, 12, 16 … जैसी)।
दो वषम संख्याओं का योग 4 का गुणज तब होता है जब एक संख्या 4क + 1 के रूप क हो (1, 5, 9, 13 …)
और दूसरी 4क + 3 के रूप क (3, 7, 11, 15 …)।

अतः न तो कोई कथन सदै व सत्य है और न ही कभी भी असत्य — दोन कभी-कभी सत्य ह।

प्र.4 नम्न ल खत संख्याओं म से प्रत्येक को (a) 10, (b) 5, (c) 2 से वभा जत करने पर प्राप्त शेषफल ात क जए।
78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345

लंबी भाग- व ध क आवश्यकता ही नह — केवल अं तम अंक दे खए।

10 से: शेषफल स्वयं इकाई का अंक ही होता है।
5 से: इकाई का अंक ली जए और य द वह 5 या उससे बड़ा हो तो 5 घटा द जए।
2 से: इकाई का अंक सम हो तो शेषफल 0, वषम हो तो 1।

संख्या इकाई का अंक 10 से शेषफल 5 से शेषफल 2 से शेषफल

78 8 8 3 0

99 9 9 4 1

173 3 3 3 1

572 2 2 2 0

980 0 0 0 0

1111 1 1 1 1

2345 5 5 0 1

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क ा 6 ग णत अध्याय 5 अभाज्य समय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
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कु छ जाँचे ं: 78 = 7 × 10 + 8 78 = 15 × 5 + 3 78 = 39 × 2 + 0
m l as
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2345 = 234 × 10 + 5
m
2345 = 469 × 5 + 0 2345 = 1172 × 2 + 1
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co m
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शक्षक ने पूछा क क्या 14560, संख्याओं 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से वभाज्य है। गुणा ने इनम से केवल दो
.
प्र.5

e m
संख्याओं से 14560 क वभाज्यता क जाँच क और कहा क 14560 उन सभी संख्याओं से भी वभाज्य है। वे
दो संख्याएँ क्या हो सकती ह?
g l as
a

co m

वे दो संख्याएँ 8 और 5 ह।
em.
m l as
m .co a g
l a se
14560 के अंितम तीन अंक = 560, और 560 ÷ 8 = 70 → 8 से िवभाज्य ✔
a g इकाई का अंक 0 है → 5 से िवभाज्य ✔

m a s
m .co agl
se
इन दो जाँच से शेष तीन उत्तर अपने आप मल जाते ह—

g l a
a
8 से वभाज्य → 4 और 2 से भी वभाज्य, क्य क 8 = 4 × 2 (14560 ÷ 8 = 1820, अतः 14560 = 4 × 3640 = 2 ×
7280)।
2 और 5 दोन से वभाज्य → 10 से भी वभाज्य, क्य क 10 = 2 × 5 (14560 ÷ 10 = 1456)।
co m
m .
m ase
.co a
14560 ÷ 2 = 7280 14560 ÷ 4 = 3640 14560 ÷ 5 = 2912 14560 ÷ 8 = 1820 14560 ÷ 10 =g l
s m ✔
e1456
gl a
a
se m
com g l a
. a
8 और 5 ही चतुर चयन क्य ह: सूची म 2 क घात म सबसे बड़ी 8 है, अतः वही अपने नीचे क 4 और 2 को
m
ase
समेट लेती है। और 5, उस 2 के साथ मलकर (जो 8 से मुफ़्त मल गई) 10 को भी सद्ध कर दे ती है। अभाज्य भाषा

a gl
म 14560 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7 × 13 — 8 और 5 क जाँच यही बताती है क इसम 2 × 2 × 2 तथा 5
उप त ह, और शेष तीन जाँच को इतना ही चा हए।

co m
m .
o m l a se
g ह? 572, 2352, 5600, 6000,
.c नम्न ल खत म से कौन-सी संख्याएँ 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से वभाज्य
a
se mप्र.6
a
agl
77622160

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s e m
m a
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m .
e
2, 4, 5, 8 तथा 10 — इन सबसे एक साथ वभाज्य होने का अथ है 40 (= 8 × 5) से वभाज्य होना। अतः दो बात जाँ चए —

g l as
अं तम तीन अंक 8 से वभाज्य ह , तथा इकाई का अंक 0 हो (संख्या को सम भी होना है, इस लए 5 नह चलेगा)।
a

co m
m .
m as e
.co


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