NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 10 शून्य के दूसरी ओर
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NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 10 शून्य के दूसरी ओर – Text
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F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T
क ा6
एनसीईआरट समाधान
अध्याय 10: शून्य के दूसरी ओर
एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश
पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम
242 – 271 27 76 हन्द
Solutions, notes, sample papers & more at 58 pages
क ा6
एनसीईआरट समाधान
अध्याय 10: शून्य के दूसरी ओर
एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश
पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम
242 – 271 27 76 हन्द
Solutions, notes, sample papers & more at 58 pages
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
कक्षा 6 · ग णत · ग णत प्रकाश
एनसीईआरट समाधान — अध्याय 10: शून्य के दूसरी ओर
एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक ग णत प्रकाश (कक्षा 6) के अध्याय 10 — शून्य के दूसरी ओर के सभी प्रश्न के वस्तृत, चरण-दर-चरण हल। पृष्ठ 243
से 268 तक के प्रत्येक “आइए, पता लगाएँ” प्रश्न तथा पाठ के भीतर पूछे गए प्रश्न को चत्र स हत हल कया गया है — बेला क मजेदार इमारत
और उसक लफ्ट, धनात्मक एवं ऋणात्मक संख्याएँ, संख्या रेखा पर पूणाक, टोकन मॉडल, जमा और नकासी, समुद्र तल, तापमान, सीमा योग ड
तथा ब्रह्मगुप्त के नयम।
पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ
ग णत प्रकाश (कक्षा 6) 242 – 271
खं ड प्रश्न
27 76
माध्यम
हन्द
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 243
अध्याय 10.1 बेला क मजेदार इमारत
प्र.1 क्या कोई ऐसी संख्या है जो शून्य से छोट हो? क्या आप ऐसी कसी वस्तु के 0 से कम होने का कोई तरीका सोच
सकते हो?
हाँ। जैसे ही हम कसी आरं भक चह्न से दो वपरीत दशाओं म गनना शुरू करते ह, शून्य से छोट संख्या का अथ स्पष्ट हो जाता है।
इमारत के तल — भूतल 0 है और उसके नीचे के तल – 1, – 2, – 3, … ह।
तापमान — लेह या द्रास म तापमापी प्राय: – 4 °C दखाता है, अथात् पानी के जमाव बदु से 4 ड ी नीचे।
धन — आपके पास ₹100 ह और दुकानदार को ₹150 दे ने ह, तो आप ₹50 कम ह। आपका शेष – ₹50 है।
समुद्र तल — मृत सागर का कनारा समुद्र तल से लगभग 430 मी नीचे है, अत: उसक ऊँचाई – 430 मी है।
खदान क लफ्ट — भूतल से 90 मी नीचे का स्तर – 90 मी लखा जाता है।
यह क्य काम करता है: यहाँ शून्य का अथ ‘कुछ भी नह ’ नह है। यह एक संदभ बदु है — भूतल, जमाव बदु या
समुद्र तल। एक बार शून्य न त कर लेने पर हम उससे ऊपर (धनात्मक) और नीचे (ऋणात्मक) दोन ओर जा
सकते ह।
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कक्षा 6 · ग णत · ग णत प्रकाश
एनसीईआरट समाधान — अध्याय 10: शून्य के दूसरी ओर
एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक ग णत प्रकाश (कक्षा 6) के अध्याय 10 — शून्य के दूसरी ओर के सभी प्रश्न के वस्तृत, चरण-दर-चरण हल। पृष्ठ 243
से 268 तक के प्रत्येक “आइए, पता लगाएँ” प्रश्न तथा पाठ के भीतर पूछे गए प्रश्न को चत्र स हत हल कया गया है — बेला क मजेदार इमारत
और उसक लफ्ट, धनात्मक एवं ऋणात्मक संख्याएँ, संख्या रेखा पर पूणाक, टोकन मॉडल, जमा और नकासी, समुद्र तल, तापमान, सीमा योग ड
तथा ब्रह्मगुप्त के नयम।
पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ
ग णत प्रकाश (कक्षा 6) 242 – 271
खं ड प्रश्न
27 76
माध्यम
हन्द
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 243
अध्याय 10.1 बेला क मजेदार इमारत
प्र.1 क्या कोई ऐसी संख्या है जो शून्य से छोट हो? क्या आप ऐसी कसी वस्तु के 0 से कम होने का कोई तरीका सोच
सकते हो?
हाँ। जैसे ही हम कसी आरं भक चह्न से दो वपरीत दशाओं म गनना शुरू करते ह, शून्य से छोट संख्या का अथ स्पष्ट हो जाता है।
इमारत के तल — भूतल 0 है और उसके नीचे के तल – 1, – 2, – 3, … ह।
तापमान — लेह या द्रास म तापमापी प्राय: – 4 °C दखाता है, अथात् पानी के जमाव बदु से 4 ड ी नीचे।
धन — आपके पास ₹100 ह और दुकानदार को ₹150 दे ने ह, तो आप ₹50 कम ह। आपका शेष – ₹50 है।
समुद्र तल — मृत सागर का कनारा समुद्र तल से लगभग 430 मी नीचे है, अत: उसक ऊँचाई – 430 मी है।
खदान क लफ्ट — भूतल से 90 मी नीचे का स्तर – 90 मी लखा जाता है।
यह क्य काम करता है: यहाँ शून्य का अथ ‘कुछ भी नह ’ नह है। यह एक संदभ बदु है — भूतल, जमाव बदु या
समुद्र तल। एक बार शून्य न त कर लेने पर हम उससे ऊपर (धनात्मक) और नीचे (ऋणात्मक) दोन ओर जा
सकते ह।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.2 अवलोकन क जए क ‘मजेदार इमारत’ के कुछ तल भूतल से नीचे ह। इन तल पर आपको कौन-सी दुकान
दे खने को मलती ह? वहाँ भूतल पर क्या है?
बेला क मजेदार इमारत के चत्र को दे खए। भूतल से नीचे पाँच तल ह—
खलौना स्टोर — भूतल से पहला तल नीचे
वी डयो गेम — दूसरा तल नीचे
सनेमा — तीसरा तल नीचे
भूत घर — चौथा तल नीचे
डायनासोर — पाँचवाँ (सबसे नीचे का) तल
भूतल पर स्वागत कक्ष है — वही प्रवेश ान जहाँ से हर व्य क्त इमारत म आता है।
संकेत: भूतल से ऊपर छह तल ह — भोजन कक्ष, कला कद्र, पुस्तक भंडार, आइसक्र म, खेल कद्र और अंत रक्ष।
अथात् इमारत म 6 तल ऊपर और 5 तल नीचे ह।
प्र.3 तल म ऊपर और नीचे जाने के लए एक लफ्ट का उपयोग कया जाता है। इसम दो बटन ह— ऊपर जाने के
लए ‘+’ तथा नीचे जाने के लए ‘–’ बटन। क्या आपने लफ्ट दे खी है?
हाँ — लफ्ट इमारत के दाईं ओर बनी लंबी पतली नली है। यह सबसे ऊपर के तल (अंत रक्ष) से लेकर सबसे नीचे के तल
(डायनासोर) तक जाती है और बीच म भूतल से भी होकर गुजरती है।
इसके पैनल पर केवल दो बटन ह—
‘+’ → पत्येक बार दबाने पर एक तल ऊपर
‘–’ → पत्येक बार दबाने पर एक तल नीचे
अत: + + + (अथात् + 3) दबाने पर आप तीन तल ऊपर जाएँगे और – – – – (अथात् – 4) दबाने पर चार तल नीचे।
प्र.4 चार तल ऊपर जाने के लए आप क्या दबाते ह? तीन तल नीचे जाने के लए आप क्या दबाते ह?
चार तल ऊपर → ‘+’ को चार बार दबाइए → + + + + , िजसे + 4 िलखते है ं
तीन तल नीचे → ‘–’ को तीन बार दबाइए → – – – , िजसे – 3 िलखते है ं
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प्र.2 अवलोकन क जए क ‘मजेदार इमारत’ के कुछ तल भूतल से नीचे ह। इन तल पर आपको कौन-सी दुकान
दे खने को मलती ह? वहाँ भूतल पर क्या है?
बेला क मजेदार इमारत के चत्र को दे खए। भूतल से नीचे पाँच तल ह—
खलौना स्टोर — भूतल से पहला तल नीचे
वी डयो गेम — दूसरा तल नीचे
सनेमा — तीसरा तल नीचे
भूत घर — चौथा तल नीचे
डायनासोर — पाँचवाँ (सबसे नीचे का) तल
भूतल पर स्वागत कक्ष है — वही प्रवेश ान जहाँ से हर व्य क्त इमारत म आता है।
संकेत: भूतल से ऊपर छह तल ह — भोजन कक्ष, कला कद्र, पुस्तक भंडार, आइसक्र म, खेल कद्र और अंत रक्ष।
अथात् इमारत म 6 तल ऊपर और 5 तल नीचे ह।
प्र.3 तल म ऊपर और नीचे जाने के लए एक लफ्ट का उपयोग कया जाता है। इसम दो बटन ह— ऊपर जाने के
लए ‘+’ तथा नीचे जाने के लए ‘–’ बटन। क्या आपने लफ्ट दे खी है?
हाँ — लफ्ट इमारत के दाईं ओर बनी लंबी पतली नली है। यह सबसे ऊपर के तल (अंत रक्ष) से लेकर सबसे नीचे के तल
(डायनासोर) तक जाती है और बीच म भूतल से भी होकर गुजरती है।
इसके पैनल पर केवल दो बटन ह—
‘+’ → पत्येक बार दबाने पर एक तल ऊपर
‘–’ → पत्येक बार दबाने पर एक तल नीचे
अत: + + + (अथात् + 3) दबाने पर आप तीन तल ऊपर जाएँगे और – – – – (अथात् – 4) दबाने पर चार तल नीचे।
प्र.4 चार तल ऊपर जाने के लए आप क्या दबाते ह? तीन तल नीचे जाने के लए आप क्या दबाते ह?
चार तल ऊपर → ‘+’ को चार बार दबाइए → + + + + , िजसे + 4 िलखते है ं
तीन तल नीचे → ‘–’ को तीन बार दबाइए → – – – , िजसे – 3 िलखते है ं
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
उदाहरण के लए, स्वागत कक्ष (तल 0) से + 4 दबाने पर आप आइसक्र म तल पर और – 3 दबाने पर सनेमा पर पहुँचगे।
संकेत: चह्न के बाद लखी संख्या केवल यह बताती है क बटन कतनी बार दबाया गया; दशा चह्न से पता चलती
है।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 244
‘मजेदार इमारत’ के तल को क्रमां कत करना
प्र.1 भूतल को 0 तल कहा जाता है। क्या आप बता सकते ह क्य ?
क्य क वह बने रहने के लए लफ्ट का बटन शून्य बार दबाना पड़ता है।
पारंिभक तल + गित = लिक्षत तल
भूत ल + 0 = भूत ल
भूतल ही वह प्रारं भक बदु है जससे बाक सभी तल गने जाते ह। ऊपर के तल के लए ‘+’ कुछ बार दबाना पड़ता है, नीचे के
तल के लए ‘–’, और भूतल के लए कुछ भी नह ।
यह महत्वपूण क्य है: भूतल संदभ तल है। संख्याओं म शून्य का काम भी यही है — यह धनात्मक और ऋणात्मक
संख्याओं को अलग करता है और स्वयं कसी वग म नह आता।
प्र.2 ‘मजेदार इमारत’ के सभी तल के क्रमांक ल खए।
स्वागत कक्ष को तल 0 मानकर आरंभ क जए। ऊपर क ओर + से और नीचे क ओर – से ग नए।
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उदाहरण के लए, स्वागत कक्ष (तल 0) से + 4 दबाने पर आप आइसक्र म तल पर और – 3 दबाने पर सनेमा पर पहुँचगे।
संकेत: चह्न के बाद लखी संख्या केवल यह बताती है क बटन कतनी बार दबाया गया; दशा चह्न से पता चलती
है।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 244
‘मजेदार इमारत’ के तल को क्रमां कत करना
प्र.1 भूतल को 0 तल कहा जाता है। क्या आप बता सकते ह क्य ?
क्य क वह बने रहने के लए लफ्ट का बटन शून्य बार दबाना पड़ता है।
पारंिभक तल + गित = लिक्षत तल
भूत ल + 0 = भूत ल
भूतल ही वह प्रारं भक बदु है जससे बाक सभी तल गने जाते ह। ऊपर के तल के लए ‘+’ कुछ बार दबाना पड़ता है, नीचे के
तल के लए ‘–’, और भूतल के लए कुछ भी नह ।
यह महत्वपूण क्य है: भूतल संदभ तल है। संख्याओं म शून्य का काम भी यही है — यह धनात्मक और ऋणात्मक
संख्याओं को अलग करता है और स्वयं कसी वग म नह आता।
प्र.2 ‘मजेदार इमारत’ के सभी तल के क्रमांक ल खए।
स्वागत कक्ष को तल 0 मानकर आरंभ क जए। ऊपर क ओर + से और नीचे क ओर – से ग नए।
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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
co m
e m.
m l as
.co + 6 अंतिरक्ष a g
a sem
agl +5 खेल केंद
m
+4 .co
आइसक्रीम ag
a sem
+3 agl पुस्तक भंडार ऊपर
co m
m.
+2 कला केंद
as e
. com + 1 a g l
m भोजन कक्ष
ase
agl 0 स्वागत कक्ष (भूतल)
a s
. com स्टोर agl
sem
–1 िखलौना
a
–2 agl वीिडयो गेम
co m
–3 िसनेमा m .
m as e नीचे
.co a g l
a s em –4 भूत घर
agl
–5 डायनासोर
se m
com g l a
m . a
ase
agl
बेला क मजेदार इमारत के सभी तल और उनके क्रमांक। भूरी रेखा भूतल है; उसके ऊपर संख्याएँ धनात्मक ह और नीचे ऋणात्मक।
co m
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
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–1 िखलौना
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–5 डायनासोर
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बेला क मजेदार इमारत के सभी तल और उनके क्रमांक। भूरी रेखा भूतल है; उसके ऊपर संख्याएँ धनात्मक ह और नीचे ऋणात्मक।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
तल क्रमांक वहाँ क्या है भूतल से बटन दबाना
+6 अंत रक्ष ++++++
+5 खेल कद्र +++++
+4 आइसक्र म ++++
+3 पुस्तक भंडार +++
+2 कला कद्र ++
+1 भोजन कक्ष +
0 स्वागत कक्ष (भूतल) कोई बटन नही ं
–1 खलौना स्टोर –
–2 वी डयो गेम ––
–3 सनेमा –––
–4 भूत घर ––––
–5 डायनासोर –––––
ध्यान दे ने योग्य बात: तल का क्रमांक और बटन दबाने क संख्या एक ही संख्या है। + 3 पुस्तक भंडार भी है और
तीन तल ऊपर क ग त भी; – 3 सनेमा भी है और तीन तल नीचे क ग त भी।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 245
ग त दशाने के लए जोड़
प्र.1 भोजन कक्ष से प्रारंभ क जए और लफ्ट म + 2 दबाइए। आप कहाँ पहुँचगे?
भोजन कक्ष तल + 1 पर है। + 2 दबाने पर आप दो तल और ऊपर चले जाएँगे।
पारंिभक तल + गित = लिक्षत तल
(+ 1) + (+ 2) = + 3
उत्तर: तल + 3 — पुस्तक भंडार।
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तल क्रमांक वहाँ क्या है भूतल से बटन दबाना
+6 अंत रक्ष ++++++
+5 खेल कद्र +++++
+4 आइसक्र म ++++
+3 पुस्तक भंडार +++
+2 कला कद्र ++
+1 भोजन कक्ष +
0 स्वागत कक्ष (भूतल) कोई बटन नही ं
–1 खलौना स्टोर –
–2 वी डयो गेम ––
–3 सनेमा –––
–4 भूत घर ––––
–5 डायनासोर –––––
ध्यान दे ने योग्य बात: तल का क्रमांक और बटन दबाने क संख्या एक ही संख्या है। + 3 पुस्तक भंडार भी है और
तीन तल ऊपर क ग त भी; – 3 सनेमा भी है और तीन तल नीचे क ग त भी।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 245
ग त दशाने के लए जोड़
प्र.1 भोजन कक्ष से प्रारंभ क जए और लफ्ट म + 2 दबाइए। आप कहाँ पहुँचगे?
भोजन कक्ष तल + 1 पर है। + 2 दबाने पर आप दो तल और ऊपर चले जाएँगे।
पारंिभक तल + गित = लिक्षत तल
(+ 1) + (+ 2) = + 3
उत्तर: तल + 3 — पुस्तक भंडार।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
स्वयं जाँ चए: भोजन कक्ष → कला कद्र (पहला बटन) → पुस्तक भंडार (दूसरा बटन)। दो बार दबाना, दो तल
ऊपर।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 245
ग त दशाने के लए जोड़
प्र.1 + 2 तल से प्रारंभ क जए और लफ्ट म – 3 दबाइए। आप कहाँ पहुँचगे? इसे पद के रूप म दशाइए।
तल + 2 कला कद्र है। – 3 दबाने पर आप तीन तल नीचे जाएँगे: + 2 → + 1 → 0 → – 1।
पारंिभक तल + गित = लिक्षत तल
(+ 2) + (– 3) = – 1
उत्तर: तल – 1 — खलौना स्टोर।
उत्तर ऋणात्मक क्य है: आप 3 तल नीचे जाते ह जब क आप भूतल से केवल 2 तल ऊपर थे, अत: अंत म आप
भूतल से 1 तल नीचे पहुँच जाते ह।
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स्वयं जाँ चए: भोजन कक्ष → कला कद्र (पहला बटन) → पुस्तक भंडार (दूसरा बटन)। दो बार दबाना, दो तल
ऊपर।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 245
ग त दशाने के लए जोड़
प्र.1 + 2 तल से प्रारंभ क जए और लफ्ट म – 3 दबाइए। आप कहाँ पहुँचगे? इसे पद के रूप म दशाइए।
तल + 2 कला कद्र है। – 3 दबाने पर आप तीन तल नीचे जाएँगे: + 2 → + 1 → 0 → – 1।
पारंिभक तल + गित = लिक्षत तल
(+ 2) + (– 3) = – 1
उत्तर: तल – 1 — खलौना स्टोर।
उत्तर ऋणात्मक क्य है: आप 3 तल नीचे जाते ह जब क आप भूतल से केवल 2 तल ऊपर थे, अत: अंत म आप
भूतल से 1 तल नीचे पहुँच जाते ह।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.2 दए गए पद को पूण क जए। (आप प्रारंभ तल + मजेदार इमारत म ग त के संदभ को ध्यान रखते हुए इन्ह पूण
क जए।) a. (+ 1) + (+ 4) b. (+ 4) + (+ 1) c. (+ 4) + (– 3) d. (– 1) + (+ 2) e. (– 1) + (+ 1) f. (0) +
(+ 2) g. (0) + (– 2)
पद लफ्ट म यात्रा उत्तर
a. (+ 1) + (+ 4) भोजन कक्ष से 4 तल ऊपर +5
b. (+ 4) + (+ 1) आइसक्र म तल से 1 तल ऊपर +5
c. (+ 4) + (– 3) आइसक्र म तल से 3 तल नीचे +1
d. (– 1) + (+ 2) खलौना स्टोर से 2 तल ऊपर +1
e. (– 1) + (+ 1) खलौना स्टोर से 1 तल ऊपर 0
f. (0) + (+ 2) स्वागत कक्ष से 2 तल ऊपर +2
g. (0) + (– 2) स्वागत कक्ष से 2 तल नीचे –2
दो बात ध्यान द जए: भाग (a) और (b) का उत्तर एक ही है — जोड़ने का क्रम बदलने से उत्तर नह बदलता। भाग
(e) म दोन संख्याएँ एक-दूसरे क प्र तलोम ह, इस लए आप वापस भूतल 0 पर आ जाते ह।
प्र.3 व भन्न तल से शुरुआत करते हुए, तल (– 5) पर पहुँचने के लए आवश्यक ग तय को ात क जए। उदाहरण के
लए, य द म तल + 2 से प्रारंभ करता ँ, मुझे – 5 पर पहुँचने के लए – 7 ही दबाना होगा। अतः अ भव्य क्त (+
2) + (– 7) = – 5 है। इसी प्रकार – 5 पर पहुँचने के लए अन्य प्रारं भक तयाँ और आवश्यक ग तय को ात
क जए और पद को ल खए।
हर बार ग त = ल क्षत तल – प्रारं भक तल का प्रयोग क जए, जहाँ ल क्षत तल – 5 है।
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प्र.2 दए गए पद को पूण क जए। (आप प्रारंभ तल + मजेदार इमारत म ग त के संदभ को ध्यान रखते हुए इन्ह पूण
क जए।) a. (+ 1) + (+ 4) b. (+ 4) + (+ 1) c. (+ 4) + (– 3) d. (– 1) + (+ 2) e. (– 1) + (+ 1) f. (0) +
(+ 2) g. (0) + (– 2)
पद लफ्ट म यात्रा उत्तर
a. (+ 1) + (+ 4) भोजन कक्ष से 4 तल ऊपर +5
b. (+ 4) + (+ 1) आइसक्र म तल से 1 तल ऊपर +5
c. (+ 4) + (– 3) आइसक्र म तल से 3 तल नीचे +1
d. (– 1) + (+ 2) खलौना स्टोर से 2 तल ऊपर +1
e. (– 1) + (+ 1) खलौना स्टोर से 1 तल ऊपर 0
f. (0) + (+ 2) स्वागत कक्ष से 2 तल ऊपर +2
g. (0) + (– 2) स्वागत कक्ष से 2 तल नीचे –2
दो बात ध्यान द जए: भाग (a) और (b) का उत्तर एक ही है — जोड़ने का क्रम बदलने से उत्तर नह बदलता। भाग
(e) म दोन संख्याएँ एक-दूसरे क प्र तलोम ह, इस लए आप वापस भूतल 0 पर आ जाते ह।
प्र.3 व भन्न तल से शुरुआत करते हुए, तल (– 5) पर पहुँचने के लए आवश्यक ग तय को ात क जए। उदाहरण के
लए, य द म तल + 2 से प्रारंभ करता ँ, मुझे – 5 पर पहुँचने के लए – 7 ही दबाना होगा। अतः अ भव्य क्त (+
2) + (– 7) = – 5 है। इसी प्रकार – 5 पर पहुँचने के लए अन्य प्रारं भक तयाँ और आवश्यक ग तय को ात
क जए और पद को ल खए।
हर बार ग त = ल क्षत तल – प्रारं भक तल का प्रयोग क जए, जहाँ ल क्षत तल – 5 है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्रारं भक तल आवश्यक बटन पद
+ 6 (अंत रक्ष) – 11 (+ 6) + (– 11) = – 5
+ 5 (खेल कद्र) – 10 (+ 5) + (– 10) = – 5
+ 3 (पुस्तक भंडार) –8 (+ 3) + (– 8) = – 5
+ 1 (भोजन कक्ष) –6 (+ 1) + (– 6) = – 5
0 (स्वागत कक्ष) –5 0 + (– 5) = – 5
– 2 (वी डयो गेम) –3 (– 2) + (– 3) = – 5
– 4 (भूत घर) –1 (– 4) + (– 1) = – 5
– 5 (डायनासोर) 0 (– 5) + 0 = – 5
हर ग त ऋणात्मक (या 0) क्य है: तल – 5 इमारत का सबसे नीचे का तल है, अत: कसी भी अन्य तल से वहाँ
केवल नीचे ही आया जा सकता है। य द आप पहले से वह ह तो कोई बटन नह दबाना — ग त 0।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 246
बटन दबाने का संयोजन भी जोड़ है
प्र.1 संयो जत बटन दबाने से ग त के प रणाम को ध्यान म रखते हुए दए गए पद का मूल्यांकन क जए। a. (+ 1) +
(+ 4) b. (+ 4) + (+ 1) c. (+ 4) + (– 3) + (– 2) d. (– 1) + (+ 2) + (– 3)
यहाँ संख्याएँ तल नह , ग तयाँ ह। इन्ह एक के बाद एक जोड़कर कुल ग त नका लए।
a. (+ 1) + (+ 4) = + 5 → 1 तल ऊपर, िफर 4 तल और ऊपर = 5 तल ऊपर
b. (+ 4) + (+ 1) = + 5 → 4 तल ऊपर, िफर 1 तल और ऊपर = 5 तल ऊपर
c. (+ 4) + (– 3) + (– 2) = (+ 1) + (– 2) = – 1 → 4 ऊपर, 3 नीचे , 2 नीचे = 1 तल नीचे
d. (– 1) + (+ 2) + (– 3) = (+ 1) + (– 3) = – 2 → 1 नीचे , 2 ऊपर, 3 नीचे = 2 तल नीचे
यह पहले जैसा ही क्य है: पहली संख्या चाहे तल हो या ग त, जोड़ने का नयम वही रहता है। + 4, – 3 और – 2
अलग-अलग तीन बार दबाने का प्रभाव एक ही बार – 1 दबाने के बराबर है।
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प्रारं भक तल आवश्यक बटन पद
+ 6 (अंत रक्ष) – 11 (+ 6) + (– 11) = – 5
+ 5 (खेल कद्र) – 10 (+ 5) + (– 10) = – 5
+ 3 (पुस्तक भंडार) –8 (+ 3) + (– 8) = – 5
+ 1 (भोजन कक्ष) –6 (+ 1) + (– 6) = – 5
0 (स्वागत कक्ष) –5 0 + (– 5) = – 5
– 2 (वी डयो गेम) –3 (– 2) + (– 3) = – 5
– 4 (भूत घर) –1 (– 4) + (– 1) = – 5
– 5 (डायनासोर) 0 (– 5) + 0 = – 5
हर ग त ऋणात्मक (या 0) क्य है: तल – 5 इमारत का सबसे नीचे का तल है, अत: कसी भी अन्य तल से वहाँ
केवल नीचे ही आया जा सकता है। य द आप पहले से वह ह तो कोई बटन नह दबाना — ग त 0।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 246
बटन दबाने का संयोजन भी जोड़ है
प्र.1 संयो जत बटन दबाने से ग त के प रणाम को ध्यान म रखते हुए दए गए पद का मूल्यांकन क जए। a. (+ 1) +
(+ 4) b. (+ 4) + (+ 1) c. (+ 4) + (– 3) + (– 2) d. (– 1) + (+ 2) + (– 3)
यहाँ संख्याएँ तल नह , ग तयाँ ह। इन्ह एक के बाद एक जोड़कर कुल ग त नका लए।
a. (+ 1) + (+ 4) = + 5 → 1 तल ऊपर, िफर 4 तल और ऊपर = 5 तल ऊपर
b. (+ 4) + (+ 1) = + 5 → 4 तल ऊपर, िफर 1 तल और ऊपर = 5 तल ऊपर
c. (+ 4) + (– 3) + (– 2) = (+ 1) + (– 2) = – 1 → 4 ऊपर, 3 नीचे , 2 नीचे = 1 तल नीचे
d. (– 1) + (+ 2) + (– 3) = (+ 1) + (– 3) = – 2 → 1 नीचे , 2 ऊपर, 3 नीचे = 2 तल नीचे
यह पहले जैसा ही क्य है: पहली संख्या चाहे तल हो या ग त, जोड़ने का नयम वही रहता है। + 4, – 3 और – 2
अलग-अलग तीन बार दबाने का प्रभाव एक ही बार – 1 दबाने के बराबर है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
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m.
संकेत: लंबी ंखला जोड़ने के लए सभी ‘+’ संख्याओं और सभी ‘–’ संख्याओं का अलग-अलग योग क जए। (c)
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म + 4 के सामने – 3 – 2 = – 5 है, और 4 – 5 = – 1।
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पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 246 और 247
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शून्य पर वापसी! · तल का उपयोग करके संख्याओं क तुलना
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प्र.1 ag फर – 4 दबाता है तो वह कहाँ पहुँचेगा?
य द बसंत लफ्ट म + 4 दबाता है और
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वह वह पहुँचेगा जहाँ से चला था — भूतल, तल 0 (स्वागत कक्ष)।
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a gl 0 + (+ 4) = + 4 (आइसक्रीम तल)
(+ 4) + (– 4) = 0 (वापस स्वागत कक्ष)
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‘+’ चार बार दबाने से वह चार तल ऊपर जाता है और ‘–’ चार बार दबाने से चार तल नीचे लौट आता है। दोन ग तयाँ पूरी तरह एक-
दूसरे को रद्द कर दे ती ह। a
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कारण: – 4, + 4 का योज्य प्र तलोम है। कसी संख्या और उसके प्र तलोम का योग सदै व 0 होता है।
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a gl प्र.2 द गई संख्याओं के योज्य प्र तलोम बताइए। + 4, – 4, – 3, 0, + 2, – 1
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कसी संख्या का प्र तलोम वह संख्या है जो आपको वापस तल 0 पर ले आए। अंक वही र खए, चह्न बदल द जए।
संख्या +4 –4 –3 0 +2 –1
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प्र तलोम –4 +4 +3 0 –2 +1
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e m . coच
जाँ 4 + (– 4) = 0 –4+4=0 –3+3=0
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0+0=0 2 + (– 2) = 0 –1+1=0
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क्या आप जानते ह? 0 ही एकमात्र ऐसी संख्या है जसका प्र तलोम वह स्वयं है। बटन शून्य बार दबाइए और फर
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शून्य बार — आप भूतल पर ही रहगे।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
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संकेत: लंबी ंखला जोड़ने के लए सभी ‘+’ संख्याओं और सभी ‘–’ संख्याओं का अलग-अलग योग क जए। (c)
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पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 246 और 247
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शून्य पर वापसी! · तल का उपयोग करके संख्याओं क तुलना
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प्र.1 ag फर – 4 दबाता है तो वह कहाँ पहुँचेगा?
य द बसंत लफ्ट म + 4 दबाता है और
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वह वह पहुँचेगा जहाँ से चला था — भूतल, तल 0 (स्वागत कक्ष)।
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(+ 4) + (– 4) = 0 (वापस स्वागत कक्ष)
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‘+’ चार बार दबाने से वह चार तल ऊपर जाता है और ‘–’ चार बार दबाने से चार तल नीचे लौट आता है। दोन ग तयाँ पूरी तरह एक-
दूसरे को रद्द कर दे ती ह। a
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कारण: – 4, + 4 का योज्य प्र तलोम है। कसी संख्या और उसके प्र तलोम का योग सदै व 0 होता है।
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कसी संख्या का प्र तलोम वह संख्या है जो आपको वापस तल 0 पर ले आए। अंक वही र खए, चह्न बदल द जए।
संख्या +4 –4 –3 0 +2 –1
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प्र तलोम –4 +4 +3 0 –2 +1
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क्या आप जानते ह? 0 ही एकमात्र ऐसी संख्या है जसका प्र तलोम वह स्वयं है। बटन शून्य बार दबाइए और फर
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.3 रेखा ख चकर योज्य प्र तलोम से जो ड़ए। + 5, – 7, – 8, + 9 / – 9, + 8, – 5, + 7
+5 –7 –8 +9
–9 +8 –5 +7
पृष्ठ 246 पर छपी आठ संख्याएँ। एक जोड़ी — – 7 और + 7 — पुस्तक म पहले से जुड़ी हुई है।
ऊपर क पं क्त क प्रत्येक संख्या को नीचे क उस संख्या से जो ड़ए जसके अंक वही ह पर चह्न वपरीत हो।
+5 –7 –8 +9
–9 +8 –5 +7
रेखा से जुड़ा प्रत्येक युग्म जोड़ने पर 0 दे ता है: (+ 5) और (– 5), (– 7) और (+ 7), (– 8) और (+ 8), (+ 9) और (– 9)।
(+ 5) + (– 5) = 0 (– 7) + (+ 7) = 0 (– 8) + (+ 8) = 0 (+ 9) + (– 9) = 0
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प्र.3 रेखा ख चकर योज्य प्र तलोम से जो ड़ए। + 5, – 7, – 8, + 9 / – 9, + 8, – 5, + 7
+5 –7 –8 +9
–9 +8 –5 +7
पृष्ठ 246 पर छपी आठ संख्याएँ। एक जोड़ी — – 7 और + 7 — पुस्तक म पहले से जुड़ी हुई है।
ऊपर क पं क्त क प्रत्येक संख्या को नीचे क उस संख्या से जो ड़ए जसके अंक वही ह पर चह्न वपरीत हो।
+5 –7 –8 +9
–9 +8 –5 +7
रेखा से जुड़ा प्रत्येक युग्म जोड़ने पर 0 दे ता है: (+ 5) और (– 5), (– 7) और (+ 7), (– 8) और (+ 8), (+ 9) और (– 9)।
(+ 5) + (– 5) = 0 (– 7) + (+ 7) = 0 (– 8) + (+ 8) = 0 (+ 9) + (– 9) = 0
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.4 सबसे नीचे के तल पर कौन है? 1. जय कला कद्र म है, अतः वह + 2 तल पर है। 2. आ सन खेल कद्र म है, अतः
वह ___ तल पर है। 3. बनु सनेमा कद्र म है, अतः वह ___ तल पर है। 4. अमन खलौन क दुकान म है, अतः वह
___ तल पर है।
बच्चा कहाँ तल
जय कला कद्र +2
आ सन खेल कद्र +5
बनु सनेमा –3
अमन खलौना स्टोर –1
अब चार तल को इमारत के क्रम म र खए—
+ 5 (आिसन) > + 2 (जय) > – 1 (अमन) > – 3 (िबन )ु
उत्तर: सबसे नीचे के तल पर बनु है — सनेमा, तल – 3। सबसे ऊपर आ सन है।
प्र.5 क्या हम – 3 < – 4 या – 4 < – 3 लख सकते ह?
हम – 4 < – 3 लखना चा हए (इसी बात को – 3 > – 4 भी लखा जा सकता है)।
इमारत दे खए: भूत घर (तल – 4) सनेमा (तल – 3) से नीचे है। जो जतना नीचे है, वह संख्या उतनी ही छोट है।
तल – 4, तल – 3 से नीचे है → – 4 < – 3
सावधान — यहाँ प्राय: भूल होती है: ऋणात्मक संख्याओं म जसके अंक बड़े ह वह संख्या छोट होती है। 4 > 3
है, परंतु – 4 < – 3, क्य क 4 तल नीचे जाना 3 तल नीचे जाने से अ धक नीचे ले जाता है।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 247
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प्र.4 सबसे नीचे के तल पर कौन है? 1. जय कला कद्र म है, अतः वह + 2 तल पर है। 2. आ सन खेल कद्र म है, अतः
वह ___ तल पर है। 3. बनु सनेमा कद्र म है, अतः वह ___ तल पर है। 4. अमन खलौन क दुकान म है, अतः वह
___ तल पर है।
बच्चा कहाँ तल
जय कला कद्र +2
आ सन खेल कद्र +5
बनु सनेमा –3
अमन खलौना स्टोर –1
अब चार तल को इमारत के क्रम म र खए—
+ 5 (आिसन) > + 2 (जय) > – 1 (अमन) > – 3 (िबन )ु
उत्तर: सबसे नीचे के तल पर बनु है — सनेमा, तल – 3। सबसे ऊपर आ सन है।
प्र.5 क्या हम – 3 < – 4 या – 4 < – 3 लख सकते ह?
हम – 4 < – 3 लखना चा हए (इसी बात को – 3 > – 4 भी लखा जा सकता है)।
इमारत दे खए: भूत घर (तल – 4) सनेमा (तल – 3) से नीचे है। जो जतना नीचे है, वह संख्या उतनी ही छोट है।
तल – 4, तल – 3 से नीचे है → – 4 < – 3
सावधान — यहाँ प्राय: भूल होती है: ऋणात्मक संख्याओं म जसके अंक बड़े ह वह संख्या छोट होती है। 4 > 3
है, परंतु – 4 < – 3, क्य क 4 तल नीचे जाना 3 तल नीचे जाने से अ धक नीचे ले जाता है।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 247
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
तल का उपयोग करके संख्याओं क तुलना
प्र.1 मजेदार इमारत का प्रयोग करते हुए द गई संख्याओं क तुलना क जए और बॉक्स म < या > चह्न भ रए। a. – 2
☐ + 5 b. – 5 ☐ + 4 c. – 5 ☐ – 3 d. + 6 ☐ – 6 e. 0 ☐ – 4 f. 0 ☐ + 4
तुलना इमारत से कारण
a. –2<+5 वी डयो गेम, खेल कद्र से नीचे है
b. –5<+4 डायनासोर तल, आइसक्र म तल से नीचे है
c. –5<–3 तल – 5, तल – 3 से नीचे है
d. +6>–6 छह तल ऊपर, छह तल नीचे से ऊपर है
e. 0>–4 भूतल हर तहखाने के तल से ऊपर है
f. 0<+4 भूतल अपने ऊपर के हर तल से नीचे है
अब आप दो नयम कह सकते ह: प्रत्येक ऋणात्मक संख्या 0 से छोट है और प्रत्येक धनात्मक संख्या 0 से
बड़ी है। अत: कोई भी ऋणात्मक संख्या कसी भी धनात्मक संख्या से छोट होती है, चाहे उसके अंक कतने ही बड़े
क्य न दख।
प्र.2 मजेदार इमारत म अ धक तल क कल्पना क जए तथा संख्याओं क तुलना क जए। बॉक्स म < या > भ रए—
a. – 10 ☐ – 12 b. + 17 ☐ – 10 c. 0 ☐ – 20 d. + 9 ☐ – 9 e. – 25 ☐ – 7 f. + 15 ☐ – 17
a. – 10 > – 12 b. + 17 > – 10 c. 0 > – 20
d. + 9 > – 9 e. – 25 < – 7 f. + 15 > – 17
a. तल – 10 केवल 10 तल नीचे है जब क तल – 12, 12 तल नीचे — अत: – 12 अ धक नीचे है और – 10 बड़ी संख्या है।
b, d, f. धनात्मक तल सदै व ऋणात्मक तल से ऊपर होता है।
c. भूतल, 20व तहखाने से ऊपर है।
e. तल – 25, तल – 7 से बहुत गहरा है, इस लए – 25 छोट संख्या है।
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तल का उपयोग करके संख्याओं क तुलना
प्र.1 मजेदार इमारत का प्रयोग करते हुए द गई संख्याओं क तुलना क जए और बॉक्स म < या > चह्न भ रए। a. – 2
☐ + 5 b. – 5 ☐ + 4 c. – 5 ☐ – 3 d. + 6 ☐ – 6 e. 0 ☐ – 4 f. 0 ☐ + 4
तुलना इमारत से कारण
a. –2<+5 वी डयो गेम, खेल कद्र से नीचे है
b. –5<+4 डायनासोर तल, आइसक्र म तल से नीचे है
c. –5<–3 तल – 5, तल – 3 से नीचे है
d. +6>–6 छह तल ऊपर, छह तल नीचे से ऊपर है
e. 0>–4 भूतल हर तहखाने के तल से ऊपर है
f. 0<+4 भूतल अपने ऊपर के हर तल से नीचे है
अब आप दो नयम कह सकते ह: प्रत्येक ऋणात्मक संख्या 0 से छोट है और प्रत्येक धनात्मक संख्या 0 से
बड़ी है। अत: कोई भी ऋणात्मक संख्या कसी भी धनात्मक संख्या से छोट होती है, चाहे उसके अंक कतने ही बड़े
क्य न दख।
प्र.2 मजेदार इमारत म अ धक तल क कल्पना क जए तथा संख्याओं क तुलना क जए। बॉक्स म < या > भ रए—
a. – 10 ☐ – 12 b. + 17 ☐ – 10 c. 0 ☐ – 20 d. + 9 ☐ – 9 e. – 25 ☐ – 7 f. + 15 ☐ – 17
a. – 10 > – 12 b. + 17 > – 10 c. 0 > – 20
d. + 9 > – 9 e. – 25 < – 7 f. + 15 > – 17
a. तल – 10 केवल 10 तल नीचे है जब क तल – 12, 12 तल नीचे — अत: – 12 अ धक नीचे है और – 10 बड़ी संख्या है।
b, d, f. धनात्मक तल सदै व ऋणात्मक तल से ऊपर होता है।
c. भूतल, 20व तहखाने से ऊपर है।
e. तल – 25, तल – 7 से बहुत गहरा है, इस लए – 25 छोट संख्या है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
संकेत: दो ऋणात्मक संख्याओं म जसके अंक बड़े ह वह छोट होती है। पहले अंक दे खए, फर उत्तर उलट
द जए।
प्र.3 यहाँ दाईं ओर एक रेखा के रूप म दखाई गई इमारत म य द तल A = – 12, तल D = – 1 और तल E = + 1 है, तो
तल B, C, F, G और H के क्रमांक बताइए।
रेखा पर बने चह्न एक-एक तल क दूरी पर ह, अत: केवल गनना है। D (– 1) और E (+ 1) के बीच एक बना नाम का चह्न है —
वही तल 0 है, जससे पैमाना न त हो जाता है।
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संकेत: दो ऋणात्मक संख्याओं म जसके अंक बड़े ह वह छोट होती है। पहले अंक दे खए, फर उत्तर उलट
द जए।
प्र.3 यहाँ दाईं ओर एक रेखा के रूप म दखाई गई इमारत म य द तल A = – 12, तल D = – 1 और तल E = + 1 है, तो
तल B, C, F, G और H के क्रमांक बताइए।
रेखा पर बने चह्न एक-एक तल क दूरी पर ह, अत: केवल गनना है। D (– 1) और E (+ 1) के बीच एक बना नाम का चह्न है —
वही तल 0 है, जससे पैमाना न त हो जाता है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
H + 11
G +6
F +2
E +1
0
D –1
C –6
B –9
A – 12
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H + 11
G +6
F +2
E +1
0
D –1
C –6
B –9
A – 12
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
रेखा के रूप म दखाई गई इमारत। दए गए तीन तल A = – 12, D = – 1 तथा E = + 1 पैमाना तय करते ह; ात कए गए तल लाल रंग
म ह।
B, A से 3 िचह्न ऊपर है: – 12 + 3 = – 9
C, B से 3 िचह्न ऊपर है: – 9 + 3 = – 6
F, E से 1 िचह्न ऊपर है: + 1 + 1 = + 2
G, F से 4 िचह्न ऊपर है: + 2 + 4 = + 6
H, G से 5 िचह्न ऊपर है: + 6 + 5 = + 11
उत्तर: B = – 9, C = – 6, F = + 2, G = + 6, H = + 11।
स्वयं जाँ चए: D (– 1) से सीधे H तक 12 चह्न ह, और – 1 + 12 = + 11। ✔
प्र.4 यहाँ दाईं ओर दखाई गई इमारत म नम्न ल खत तल को अं कत क जए। a. – 7 b. – 4 c. + 3 d. – 10
कसी ात तल से चह्न ग नए। प्रत्येक चह्न एक तल है।
– 7 — B (– 9) से दो चह्न ऊपर, अथात् C (– 6) से एक चह्न नीचे।
– 4 — C (– 6) से दो चह्न ऊपर, या D (– 1) से तीन चह्न नीचे।
+ 3 — F (+ 2) से एक चह्न ऊपर।
– 10 — A (– 12) से दो चह्न ऊपर, या B (– 9) से एक चह्न नीचे।
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रेखा के रूप म दखाई गई इमारत। दए गए तीन तल A = – 12, D = – 1 तथा E = + 1 पैमाना तय करते ह; ात कए गए तल लाल रंग
म ह।
B, A से 3 िचह्न ऊपर है: – 12 + 3 = – 9
C, B से 3 िचह्न ऊपर है: – 9 + 3 = – 6
F, E से 1 िचह्न ऊपर है: + 1 + 1 = + 2
G, F से 4 िचह्न ऊपर है: + 2 + 4 = + 6
H, G से 5 िचह्न ऊपर है: + 6 + 5 = + 11
उत्तर: B = – 9, C = – 6, F = + 2, G = + 6, H = + 11।
स्वयं जाँ चए: D (– 1) से सीधे H तक 12 चह्न ह, और – 1 + 12 = + 11। ✔
प्र.4 यहाँ दाईं ओर दखाई गई इमारत म नम्न ल खत तल को अं कत क जए। a. – 7 b. – 4 c. + 3 d. – 10
कसी ात तल से चह्न ग नए। प्रत्येक चह्न एक तल है।
– 7 — B (– 9) से दो चह्न ऊपर, अथात् C (– 6) से एक चह्न नीचे।
– 4 — C (– 6) से दो चह्न ऊपर, या D (– 1) से तीन चह्न नीचे।
+ 3 — F (+ 2) से एक चह्न ऊपर।
– 10 — A (– 12) से दो चह्न ऊपर, या B (– 9) से एक चह्न नीचे।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
c. + 3
0
D=–1
b. – 4
a. – 7
d. – 10
A = – 12
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c. + 3
0
D=–1
b. – 4
a. – 7
d. – 10
A = – 12
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
इमारत क रेखा पर अं कत चार तल: भूतल से ऊपर + 3 तथा नीचे – 4, – 7 और – 10।
सबसे नीचे से ऊपर का क्रम: – 10 < – 7 < – 4 < + 3
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 248
कौन-सा बटन दबाना है, पता लगाने के लए घटा
प्र.1 इस संदभ म 15 – 5, 100 – 10, 74 – 34 ात क जए।
‘इस संदभ’ का अथ है घटाव को जोड़ी जाने वाली लुप्त संख्या ात करना मानना — छोट संख्या को बड़ी बनने के लए कतना
बढ़ना पड़ेगा?
15 – 5 → 5 + ? = 15 → ? = 10
100 – 10 → 10 + ? = 100 → ? = 90
74 – 34 → 34 + ? = 74 → ? = 40
यह दृ ष्टकोण क्य उपयोगी है: ‘ नकाल लेना’ वाला अथ (– 1) – (+ 3) म काम नह आता — – 1 म से 3
धनात्मक नकालना क ठन लगता है। परंतु ‘+ 3 म क्या जोड़ क – 1 मले?’ का उत्तर सदा मलता है — ग त – 4।
पूरे अध्याय म घटाव का यही अथ प्रयोग हुआ है।
संकेत: लफ्ट क भाषा म 74 – 34 = 40 का अथ है — तल 34 से तल 74 तक जाने के लए + 40 दबाना होगा।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 249
कौन-सा बटन दबाना है, पता लगाने के लए घटा
प्र.1 दए गए पद को पूरा क जए। आप इन्ह प्रारं भक तल से ल क्षत तल तक पहुँचने के लए आवश्यक ग त प्राप्त
करने के रूप म सोच सकते ह। a. (+ 1) – (+ 4) b. (0) – (+ 2) c. (+ 4) – (+ 1) d. (0) – (– 2) e. (+ 4) – (–
3) f. (– 4) – (– 3) g. (– 1) – (+ 2) h. (– 2) – (– 2) i. (– 1) – (+ 1) j. (+ 3) – (– 3)
याद र खए: ल क्षत तल – प्रारं भक तल = आवश्यक ग त। पहली संख्या वह है जहाँ पहुँचना है और दूसरी वह जहाँ आप ह।
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इमारत क रेखा पर अं कत चार तल: भूतल से ऊपर + 3 तथा नीचे – 4, – 7 और – 10।
सबसे नीचे से ऊपर का क्रम: – 10 < – 7 < – 4 < + 3
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 248
कौन-सा बटन दबाना है, पता लगाने के लए घटा
प्र.1 इस संदभ म 15 – 5, 100 – 10, 74 – 34 ात क जए।
‘इस संदभ’ का अथ है घटाव को जोड़ी जाने वाली लुप्त संख्या ात करना मानना — छोट संख्या को बड़ी बनने के लए कतना
बढ़ना पड़ेगा?
15 – 5 → 5 + ? = 15 → ? = 10
100 – 10 → 10 + ? = 100 → ? = 90
74 – 34 → 34 + ? = 74 → ? = 40
यह दृ ष्टकोण क्य उपयोगी है: ‘ नकाल लेना’ वाला अथ (– 1) – (+ 3) म काम नह आता — – 1 म से 3
धनात्मक नकालना क ठन लगता है। परंतु ‘+ 3 म क्या जोड़ क – 1 मले?’ का उत्तर सदा मलता है — ग त – 4।
पूरे अध्याय म घटाव का यही अथ प्रयोग हुआ है।
संकेत: लफ्ट क भाषा म 74 – 34 = 40 का अथ है — तल 34 से तल 74 तक जाने के लए + 40 दबाना होगा।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 249
कौन-सा बटन दबाना है, पता लगाने के लए घटा
प्र.1 दए गए पद को पूरा क जए। आप इन्ह प्रारं भक तल से ल क्षत तल तक पहुँचने के लए आवश्यक ग त प्राप्त
करने के रूप म सोच सकते ह। a. (+ 1) – (+ 4) b. (0) – (+ 2) c. (+ 4) – (+ 1) d. (0) – (– 2) e. (+ 4) – (–
3) f. (– 4) – (– 3) g. (– 1) – (+ 2) h. (– 2) – (– 2) i. (– 1) – (+ 1) j. (+ 3) – (– 3)
याद र खए: ल क्षत तल – प्रारं भक तल = आवश्यक ग त। पहली संख्या वह है जहाँ पहुँचना है और दूसरी वह जहाँ आप ह।
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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
co mग त
m.
पद … से … तक
m as e
a.
.co
(+ 1) – (+ 4) तल + 4 से तल + 1 → 3 तल नीचे
a g l –3
a s em(0) – (+ 2)
gl
b. + 2 से 0 → 2 तल नीचे
a
–2
c. (+ 4) – (+ 1) + 1 से + 4 → 3 तल ऊपर +3
co m
d. (0) – (– 2)
e m .
– 2 से 0 → 2 तल ऊपर +2 ag
g l as
e. (+ 4) – (– 3)
a
– 3 से + 4 → 3 तल ऊपर 0 तक, फर 4 और +7
co m
f. (– 4) – (– 3) – 3 से – 4 → 1 तल नीचे –1
m .
com ase
agl
g. (– 1) – (+ 2) + 2 से – 1 → 2 तल नीचे 0 तक, फर 1 और –3
e m. (– 2) – (– 2)
las
h. – 2 से – 2 → आप पहले से वह ह 0
ag i. (– 1) – (+ 1) + 1 से – 1 → 2 तल नीचे –2
m a s
.co agl
j. (+ 3) – (– 3) – 3 से + 3 → 3 तल ऊपर 0 तक, फर 3 और +6
se m
g l a
a
e, d और j को दे खए: जब भी कोई ऋणात्मक संख्या घटाई जाती है, उत्तर बढ़ जाता है। (+ 4) – (– 3) = + 7
ठ क (+ 4) + (+ 3) के बराबर है। ऋणात्मक संख्या को घटाना संगत धनात्मक संख्या को जोड़ने के समान है —
co m
यही नयम पृष्ठ 252 पर फर मलेगा।
m .
m as e
.co a g l
a s em
a l
gआइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 251
बड़ी संख्याओं को जोड़ना और घटाना (खदान)
se m
com g l a
m . a
ase
agl
प्र.1 दए गए पद को पूरा क जए— a. (+ 40) + ______ = + 200 b. (+ 40) + ______ = – 200 c. (– 50) + ______
= + 200 d. (– 50) + ______ = – 200 e. (– 200) – (– 40) = ______ f. (+ 200) – (+ 40) = ______ g. (–
200) – (+ 40) = ______ खदान कूपक (Shaft) म ग त के वषय म सोचकर अपने उत्तर क जाँच क जए।
co m
m .
m as e
.co a g l
m
खदान म भी प्रारं भक स्तर + ग त = ल क्षत स्तर लागू होता है, अत: लुप्त ग त सदै व ल क्षत स्तर – प्रारं भक स्तर होगी।
l a se
ag
.c
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a
co m
m .
m ase
.co
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
co mग त
m.
पद … से … तक
m as e
a.
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(+ 1) – (+ 4) तल + 4 से तल + 1 → 3 तल नीचे
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b. + 2 से 0 → 2 तल नीचे
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f. (– 4) – (– 3) – 3 से – 4 → 1 तल नीचे –1
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j. (+ 3) – (– 3) – 3 से + 3 → 3 तल ऊपर 0 तक, फर 3 और +6
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g l a
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e, d और j को दे खए: जब भी कोई ऋणात्मक संख्या घटाई जाती है, उत्तर बढ़ जाता है। (+ 4) – (– 3) = + 7
ठ क (+ 4) + (+ 3) के बराबर है। ऋणात्मक संख्या को घटाना संगत धनात्मक संख्या को जोड़ने के समान है —
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यही नयम पृष्ठ 252 पर फर मलेगा।
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gआइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 251
बड़ी संख्याओं को जोड़ना और घटाना (खदान)
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प्र.1 दए गए पद को पूरा क जए— a. (+ 40) + ______ = + 200 b. (+ 40) + ______ = – 200 c. (– 50) + ______
= + 200 d. (– 50) + ______ = – 200 e. (– 200) – (– 40) = ______ f. (+ 200) – (+ 40) = ______ g. (–
200) – (+ 40) = ______ खदान कूपक (Shaft) म ग त के वषय म सोचकर अपने उत्तर क जाँच क जए।
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खदान म भी प्रारं भक स्तर + ग त = ल क्षत स्तर लागू होता है, अत: लुप्त ग त सदै व ल क्षत स्तर – प्रारं भक स्तर होगी।
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ag
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m a
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g l as
a
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m .
m ase
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्रश्न खदान कूपक म यात्रा उत्तर
a. (+ 40) + ___ = + 200 + 40 मी से + 200 मी तक ऊपर + 160
b. (+ 40) + ___ = – 200 40 मी नीचे 0 तक, फर 200 मी और नीचे – 240
c. (– 50) + ___ = + 200 50 मी ऊपर 0 तक, फर 200 मी और ऊपर + 250
d. (– 50) + ___ = – 200 – 50 मी से – 200 मी तक नीचे – 150
e. (– 200) – (– 40) – 40 मी से – 200 मी तक नीचे – 160
f. (+ 200) – (+ 40) + 40 मी से + 200 मी तक ऊपर + 160
g. (– 200) – (+ 40) 40 मी नीचे 0 तक, फर 200 मी और नीचे – 240
जाँच (b): (+ 40) + (– 240) = – 200 ✔ जाँच (c): (– 50) + (+ 250) = + 200 ✔
युग्म को दे खए: (a) और (f) का उत्तर एक ही है, तथा (b) और (g) का भी। कारण यह है क ‘लुप्त ग त ात
क जए’ और ‘ल क्षत – प्रारं भक’ एक ही प्रश्न पूछने के दो तरीके ह।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 251
कन्ह भी संख्याओं का योग, घटाना और तुलना
प्र.1 इसी प्रकार क लफ्ट बनाकर या कल्पना करके नम्न ल खत पद को ात करने का प्रयास क जए— a. – 125
+ (– 30) b. + 105 – (– 55) c. + 105 + (+ 55) d. + 80 – (– 150) e. + 80 + (+ 150) f. – 99 – (– 200)
g. – 99 + (+ 200) h. + 1500 – (– 1500)
ऐसी ‘अनंत लफ्ट’ क कल्पना क जए जसका स्तर 0 बीच म हो। प्रत्येक पद को एक यात्रा क तरह प ढ़ए।
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प्रश्न खदान कूपक म यात्रा उत्तर
a. (+ 40) + ___ = + 200 + 40 मी से + 200 मी तक ऊपर + 160
b. (+ 40) + ___ = – 200 40 मी नीचे 0 तक, फर 200 मी और नीचे – 240
c. (– 50) + ___ = + 200 50 मी ऊपर 0 तक, फर 200 मी और ऊपर + 250
d. (– 50) + ___ = – 200 – 50 मी से – 200 मी तक नीचे – 150
e. (– 200) – (– 40) – 40 मी से – 200 मी तक नीचे – 160
f. (+ 200) – (+ 40) + 40 मी से + 200 मी तक ऊपर + 160
g. (– 200) – (+ 40) 40 मी नीचे 0 तक, फर 200 मी और नीचे – 240
जाँच (b): (+ 40) + (– 240) = – 200 ✔ जाँच (c): (– 50) + (+ 250) = + 200 ✔
युग्म को दे खए: (a) और (f) का उत्तर एक ही है, तथा (b) और (g) का भी। कारण यह है क ‘लुप्त ग त ात
क जए’ और ‘ल क्षत – प्रारं भक’ एक ही प्रश्न पूछने के दो तरीके ह।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 251
कन्ह भी संख्याओं का योग, घटाना और तुलना
प्र.1 इसी प्रकार क लफ्ट बनाकर या कल्पना करके नम्न ल खत पद को ात करने का प्रयास क जए— a. – 125
+ (– 30) b. + 105 – (– 55) c. + 105 + (+ 55) d. + 80 – (– 150) e. + 80 + (+ 150) f. – 99 – (– 200)
g. – 99 + (+ 200) h. + 1500 – (– 1500)
ऐसी ‘अनंत लफ्ट’ क कल्पना क जए जसका स्तर 0 बीच म हो। प्रत्येक पद को एक यात्रा क तरह प ढ़ए।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
पद काल्प नक लफ्ट म यात्रा उत्तर
a. – 125 + (– 30) – 125 से 30 स्तर और नीचे – 155
b. + 105 – (– 55) – 55 से + 105 तक: 55 ऊपर 0 तक, फर 105 और + 160
c. + 105 + (+ 55) + 105 से 55 स्तर ऊपर + 160
d. + 80 – (– 150) – 150 से + 80 तक: 150 ऊपर 0 तक, फर 80 और + 230
e. + 80 + (+ 150) + 80 से 150 स्तर ऊपर + 230
f. – 99 – (– 200) – 200 से – 99 तक: 101 स्तर ऊपर + 101
g. – 99 + (+ 200) – 99 से 200 ऊपर: 99 से 0 तक, 101 उससे ऊपर + 101
h. + 1500 – (– 1500) – 1500 से + 1500 तक: 1500 ऊपर 0 तक, फर 1500 और + 3000
पहचानने योग्य पैटन: b और c का उत्तर एक, d और e का एक, तथा f और g का एक ही है। प्रत्येक युग्म म पहले
पद म ऋणात्मक घटाया गया है और दूसरे म संगत धनात्मक जोड़ा गया है। अथात् – (– n) = + n।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 252 और 253
संख्या रेखा पर वापसी
MATH TALK
प्र.1 पछले अभ्यास म आपने जो उपरोक्त काय कया है, क्या आपने ध्यान दया क एक ऋणात्मक संख्या को
घटाना, उसी संगत धनात्मक संख्या के जोड़ने के समान है?
हाँ — यह हर युग्म म हुआ।
+ 105 – (– 55) = + 160 तथा + 105 + (+ 55) = + 160
+ 80 – (– 150) = + 230 तथा + 80 + (+ 150) = + 230
– 99 – (– 200) = + 101 तथा – 99 + (+ 200) = + 101
ऐसा क्य होता है: ‘– (– 55)’ यह पूछता है क – 55 से + 105 कतना ऊपर है। भूतल से 55 स्तर नीचे से बाहर
आने के लए पहले वे 55 स्तर चढ़ने ही पड़गे — इस लए 55 यात्रा म जुड़ जाता है, घटता नह । संक्षेप म, a – (–
b) = a + b।
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पद काल्प नक लफ्ट म यात्रा उत्तर
a. – 125 + (– 30) – 125 से 30 स्तर और नीचे – 155
b. + 105 – (– 55) – 55 से + 105 तक: 55 ऊपर 0 तक, फर 105 और + 160
c. + 105 + (+ 55) + 105 से 55 स्तर ऊपर + 160
d. + 80 – (– 150) – 150 से + 80 तक: 150 ऊपर 0 तक, फर 80 और + 230
e. + 80 + (+ 150) + 80 से 150 स्तर ऊपर + 230
f. – 99 – (– 200) – 200 से – 99 तक: 101 स्तर ऊपर + 101
g. – 99 + (+ 200) – 99 से 200 ऊपर: 99 से 0 तक, 101 उससे ऊपर + 101
h. + 1500 – (– 1500) – 1500 से + 1500 तक: 1500 ऊपर 0 तक, फर 1500 और + 3000
पहचानने योग्य पैटन: b और c का उत्तर एक, d और e का एक, तथा f और g का एक ही है। प्रत्येक युग्म म पहले
पद म ऋणात्मक घटाया गया है और दूसरे म संगत धनात्मक जोड़ा गया है। अथात् – (– n) = + n।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 252 और 253
संख्या रेखा पर वापसी
MATH TALK
प्र.1 पछले अभ्यास म आपने जो उपरोक्त काय कया है, क्या आपने ध्यान दया क एक ऋणात्मक संख्या को
घटाना, उसी संगत धनात्मक संख्या के जोड़ने के समान है?
हाँ — यह हर युग्म म हुआ।
+ 105 – (– 55) = + 160 तथा + 105 + (+ 55) = + 160
+ 80 – (– 150) = + 230 तथा + 80 + (+ 150) = + 230
– 99 – (– 200) = + 101 तथा – 99 + (+ 200) = + 101
ऐसा क्य होता है: ‘– (– 55)’ यह पूछता है क – 55 से + 105 कतना ऊपर है। भूतल से 55 स्तर नीचे से बाहर
आने के लए पहले वे 55 स्तर चढ़ने ही पड़गे — इस लए 55 यात्रा म जुड़ जाता है, घटता नह । संक्षेप म, a – (–
b) = a + b।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.2 संदभ के रूप म ली गई ‘अनंत लफ्ट’ पर ध्यान द जए। क्या यह आपको संख्या रेखा क याद दलाती है? कस
प्रकार से?
हाँ — अनंत लफ्ट वास्तव म एक संख्या रेखा ही है, बस खड़ी हुई।
लफ्ट का स्तर 0 ही संख्या रेखा का 0 है।
0 से ऊपर के स्तर धनात्मक संख्याएँ ह; 0 से नीचे के स्तर ऋणात्मक संख्याएँ।
स्तर बराबर दूरी पर ह, ठ क जैसे संख्या रेखा के चह्न।
‘+’ दबाना आगे बढ़ना है; ‘–’ दबाना पीछे जाना।
ऊँचा स्तर बड़ी संख्या है, जैसे दाईं ओर का चह्न बड़ी संख्या दशाता है।
अनंत िलफ्ट को 90° घुमाइए और वह बन जाती है
… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 … — एक पूरी ख् सं या रेखा।
ग णत चचा: यही उस प्रश्न का उत्तर है जो अध्याय के आरंभ म पूछा गया था — 0 से आरंभ होने वाली संख्या
करण, 0 के बाईं ओर ऋणात्मक संख्याएँ रखते ही पूरी संख्या रेखा बन जाती है।
प्र.3 य द आप संख्या रेखा पर च ह्नत 5 पर खड़े ह और वहाँ से आप 9 पर पहुँचना चाहते ह, इसके लए आपको
संख्या रेखा पर कतने कदम चलना है?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
पृष्ठ 252 पर द गई 0 से 10 तक क संख्या रेखा।
आपको 4 कदम आगे (दाईं ओर) चलना है।
+4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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प्र.2 संदभ के रूप म ली गई ‘अनंत लफ्ट’ पर ध्यान द जए। क्या यह आपको संख्या रेखा क याद दलाती है? कस
प्रकार से?
हाँ — अनंत लफ्ट वास्तव म एक संख्या रेखा ही है, बस खड़ी हुई।
लफ्ट का स्तर 0 ही संख्या रेखा का 0 है।
0 से ऊपर के स्तर धनात्मक संख्याएँ ह; 0 से नीचे के स्तर ऋणात्मक संख्याएँ।
स्तर बराबर दूरी पर ह, ठ क जैसे संख्या रेखा के चह्न।
‘+’ दबाना आगे बढ़ना है; ‘–’ दबाना पीछे जाना।
ऊँचा स्तर बड़ी संख्या है, जैसे दाईं ओर का चह्न बड़ी संख्या दशाता है।
अनंत िलफ्ट को 90° घुमाइए और वह बन जाती है
… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 … — एक पूरी ख् सं या रेखा।
ग णत चचा: यही उस प्रश्न का उत्तर है जो अध्याय के आरंभ म पूछा गया था — 0 से आरंभ होने वाली संख्या
करण, 0 के बाईं ओर ऋणात्मक संख्याएँ रखते ही पूरी संख्या रेखा बन जाती है।
प्र.3 य द आप संख्या रेखा पर च ह्नत 5 पर खड़े ह और वहाँ से आप 9 पर पहुँचना चाहते ह, इसके लए आपको
संख्या रेखा पर कतने कदम चलना है?
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पृष्ठ 252 पर द गई 0 से 10 तक क संख्या रेखा।
आपको 4 कदम आगे (दाईं ओर) चलना है।
+4
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
चार कदम आगे चलकर आप 5 से 9 पर पहुँच जाते ह।
पारंिभक संख्या + गित = लिक्षत संख्या → 5 + 4 = 9
लिक्षत संख्या – पारंिभक संख्या = आवश्यक गित → 9 – 5 = 4
प्र.4 अब, य द आप 9 से 3 पर जाना चाहते ह, तो आपको संख्या रेखा पर कतने कदम चलना है?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
पृष्ठ 253 पर द गई 0 से 10 तक क संख्या रेखा।
आपको 6 कदम पीछे चलना है, अथात् ग त – 6 है।
–6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
छह कदम पीछे चलकर आप 9 से 3 पर आ जाते ह, अत: ग त – 6 है।
पारंिभक संख्या + गित = लिक्षत संख्या → 9 + (– 6) = 3
लिक्षत संख्या – पारंिभक संख्या = आवश्यक गित → 3 – 9 = – 6
उत्तर ऋणात्मक क्य है: चह्न दशा बताता है। आगे (दाएँ) + और पीछे (बाएँ) –। 6 बताता है कतना चलना है और
ऋण चह्न बताता है कस ओर।
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चार कदम आगे चलकर आप 5 से 9 पर पहुँच जाते ह।
पारंिभक संख्या + गित = लिक्षत संख्या → 5 + 4 = 9
लिक्षत संख्या – पारंिभक संख्या = आवश्यक गित → 9 – 5 = 4
प्र.4 अब, य द आप 9 से 3 पर जाना चाहते ह, तो आपको संख्या रेखा पर कतने कदम चलना है?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
पृष्ठ 253 पर द गई 0 से 10 तक क संख्या रेखा।
आपको 6 कदम पीछे चलना है, अथात् ग त – 6 है।
–6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
छह कदम पीछे चलकर आप 9 से 3 पर आ जाते ह, अत: ग त – 6 है।
पारंिभक संख्या + गित = लिक्षत संख्या → 9 + (– 6) = 3
लिक्षत संख्या – पारंिभक संख्या = आवश्यक गित → 3 – 9 = – 6
उत्तर ऋणात्मक क्य है: चह्न दशा बताता है। आगे (दाएँ) + और पीछे (बाएँ) –। 6 बताता है कतना चलना है और
ऋण चह्न बताता है कस ओर।
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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
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m.
अब आप 3 से य द – 2 पर जाना चाहते ह तो आपको कतने कदम चलना है?
e
प्र.5
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agl – 5 चलना है, अथात् 5 कदम पीछे । तीन कदम म आप 0 पर आते ह और दो कदम और चलकर – 2 पर।
आपको
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em
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– 10 –8 –6 –4
a –2 0 2 4 6 8 10
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3 से – 2 तक पाँच कदम पीछे — तीन कदम म 0 और दो कदम उससे आगे।
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agl 3 + (– 5) = – 2
इसके संगत घटाने का कथन: – 2 – 3 = – 5
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आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 253 और 254
co m
संख्या रेखा पर वापसी
m .
o m l a se
g क जए।
.cउपरोक्त संख्या रेखा पर 3 धनात्मक तथा 3 ऋणात्मक संख्याओं को च ह्नत
a
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las
प्र.1
ag
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com g l a
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– 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a
agl
इस प्रश्न के ऊपर पृष्ठ 253 पर द गई संख्या रेखा।
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m7।
दोन ओर क कोई भी तीन-तीन संख्याएँ ली जा सकती ह। यहाँ एक उदाहरण है — धनात्मक 2, 5, 8 तथा ऋणात्मक – 1, – 3, –
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m P a
R
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Q co A B C
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– 10 –7 a –3 –1 0 2 5 8 10
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
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अब आप 3 से य द – 2 पर जाना चाहते ह तो आपको कतने कदम चलना है?
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प्र.5
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agl – 5 चलना है, अथात् 5 कदम पीछे । तीन कदम म आप 0 पर आते ह और दो कदम और चलकर – 2 पर।
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3 से – 2 तक पाँच कदम पीछे — तीन कदम म 0 और दो कदम उससे आगे।
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agl 3 + (– 5) = – 2
इसके संगत घटाने का कथन: – 2 – 3 = – 5
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आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 253 और 254
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संख्या रेखा पर वापसी
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इस प्रश्न के ऊपर पृष्ठ 253 पर द गई संख्या रेखा।
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m7।
दोन ओर क कोई भी तीन-तीन संख्याएँ ली जा सकती ह। यहाँ एक उदाहरण है — धनात्मक 2, 5, 8 तथा ऋणात्मक – 1, – 3, –
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
तीन धनात्मक संख्याएँ A = 2, B = 5, C = 8 (0 के दाईं ओर, हरे रंग म) तथा तीन ऋणात्मक संख्याएँ P = – 1, Q = – 3, R = – 7 (0
के बाईं ओर, लाल रंग म)।
संकेत: प्रत्येक धनात्मक संख्या 0 के दाईं ओर और प्रत्येक ऋणात्मक संख्या 0 के बाईं ओर ही अं कत होगी। आपके
मत्र क संख्याएँ भन्न हो सकती ह — यह बल्कुल ठ क है।
प्र.2 उपरोक्त 3 ऋणात्मक च ह्नत संख्याओं को दए गए बॉक्स म ल खए—
इन्ह उसी क्रम म ल खए जस क्रम म वे संख्या रेखा पर आती ह, अथात् बाएँ से दाएँ (छोट से बड़ी)—
–7 < –3 < –1
यही बढ़ता क्रम क्य है: – 7 सबसे बाईं ओर है, इस लए सबसे छोट है; – 1 शून्य के सबसे पास है, इस लए तीन
म सबसे बड़ी। फर भी तीन 0 से छोट ही ह।
प्र.3 क्या 2 > – 3? क्य ? – 2 < 3? क्य ?
दोन का उत्तर हाँ है।
2 > – 3 — संख्या रेखा पर 2, – 3 के दाईं ओर है और जो दाईं ओर हो वह बड़ी होती है। इमारत म तल 2, तल – 3 से ऊपर
है।
– 2 < 3 — यहाँ – 2, 3 के बाईं ओर है और जो बाईं ओर हो वह छोट होती है। तल – 2, तल 3 से नीचे है।
–3<0<2 → 2>–3
–2<0<3 → –2<3
संकेत: धनात्मक संख्या ऋणात्मक संख्या से सदै व बड़ी होती है — अंक दे खने क आवश्यकता ही नह पड़ती।
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तीन धनात्मक संख्याएँ A = 2, B = 5, C = 8 (0 के दाईं ओर, हरे रंग म) तथा तीन ऋणात्मक संख्याएँ P = – 1, Q = – 3, R = – 7 (0
के बाईं ओर, लाल रंग म)।
संकेत: प्रत्येक धनात्मक संख्या 0 के दाईं ओर और प्रत्येक ऋणात्मक संख्या 0 के बाईं ओर ही अं कत होगी। आपके
मत्र क संख्याएँ भन्न हो सकती ह — यह बल्कुल ठ क है।
प्र.2 उपरोक्त 3 ऋणात्मक च ह्नत संख्याओं को दए गए बॉक्स म ल खए—
इन्ह उसी क्रम म ल खए जस क्रम म वे संख्या रेखा पर आती ह, अथात् बाएँ से दाएँ (छोट से बड़ी)—
–7 < –3 < –1
यही बढ़ता क्रम क्य है: – 7 सबसे बाईं ओर है, इस लए सबसे छोट है; – 1 शून्य के सबसे पास है, इस लए तीन
म सबसे बड़ी। फर भी तीन 0 से छोट ही ह।
प्र.3 क्या 2 > – 3? क्य ? – 2 < 3? क्य ?
दोन का उत्तर हाँ है।
2 > – 3 — संख्या रेखा पर 2, – 3 के दाईं ओर है और जो दाईं ओर हो वह बड़ी होती है। इमारत म तल 2, तल – 3 से ऊपर
है।
– 2 < 3 — यहाँ – 2, 3 के बाईं ओर है और जो बाईं ओर हो वह छोट होती है। तल – 2, तल 3 से नीचे है।
–3<0<2 → 2>–3
–2<0<3 → –2<3
संकेत: धनात्मक संख्या ऋणात्मक संख्या से सदै व बड़ी होती है — अंक दे खने क आवश्यकता ही नह पड़ती।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.4 हल क जए— a. – 5 + 0 b. 7 + (– 7) c. – 10 + 20 d. 10 – 20 e. 7 – (– 7) f. – 8 – (– 10)
पद हल उत्तर
a. –5+0 0 जोड़ने से कुछ नह बदलता –5
b. 7 + (– 7) संख्या और उसका प्र तलोम 0
c. – 10 + 20 – 10 से 20 आगे: 10 म 0 तक, 10 उससे आगे + 10
d. 10 – 20 10 + (– 20): 10 से 20 कदम पीछे – 10
e. 7 – (– 7) = 7 + 7; – 7 से 7 तक 14 कदम + 14
f. – 8 – (– 10) = – 8 + 10; – 10 से – 8 तक 2 कदम ऊपर +2
(b) और (e) क तुलना क जए: 7 + (– 7) = 0 है, परंतु 7 – (– 7) = 14। प्र तलोम जोड़ने पर कट जाता है,
प्र तलोम घटाने पर दुगुना हो जाता है। कोष्ठक के आगे लगा चह्न ही सारा अंतर पैदा करता है।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 255
जोड़ और घटा के लए अ च ह्नत संख्या रेखा
प्र.1 अ च ह्नत संख्या रेखा का उपयोग कर नम्न ल खत पद को पूण क जए— a. – 125 + (– 30) b. + 105 – (–
55) c. + 80 – (– 150) d. – 99 – (– 200)
अ च ह्नत संख्या रेखा (UNL) पर केवल 0 अं कत होता है। प्रारं भक संख्या को अनुमान से सही ओर र खए, छलाँग बनाइए और
उत्तर पढ़ ली जए।
– 30 a. – 125 + (– 30) = – 155
– 155 – 125 0
– 125 से आरंभ कर 30 और पीछे छलाँग लगाइए — आप – 155 पर पहुँचते ह।
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प्र.4 हल क जए— a. – 5 + 0 b. 7 + (– 7) c. – 10 + 20 d. 10 – 20 e. 7 – (– 7) f. – 8 – (– 10)
पद हल उत्तर
a. –5+0 0 जोड़ने से कुछ नह बदलता –5
b. 7 + (– 7) संख्या और उसका प्र तलोम 0
c. – 10 + 20 – 10 से 20 आगे: 10 म 0 तक, 10 उससे आगे + 10
d. 10 – 20 10 + (– 20): 10 से 20 कदम पीछे – 10
e. 7 – (– 7) = 7 + 7; – 7 से 7 तक 14 कदम + 14
f. – 8 – (– 10) = – 8 + 10; – 10 से – 8 तक 2 कदम ऊपर +2
(b) और (e) क तुलना क जए: 7 + (– 7) = 0 है, परंतु 7 – (– 7) = 14। प्र तलोम जोड़ने पर कट जाता है,
प्र तलोम घटाने पर दुगुना हो जाता है। कोष्ठक के आगे लगा चह्न ही सारा अंतर पैदा करता है।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 255
जोड़ और घटा के लए अ च ह्नत संख्या रेखा
प्र.1 अ च ह्नत संख्या रेखा का उपयोग कर नम्न ल खत पद को पूण क जए— a. – 125 + (– 30) b. + 105 – (–
55) c. + 80 – (– 150) d. – 99 – (– 200)
अ च ह्नत संख्या रेखा (UNL) पर केवल 0 अं कत होता है। प्रारं भक संख्या को अनुमान से सही ओर र खए, छलाँग बनाइए और
उत्तर पढ़ ली जए।
– 30 a. – 125 + (– 30) = – 155
– 155 – 125 0
– 125 से आरंभ कर 30 और पीछे छलाँग लगाइए — आप – 155 पर पहुँचते ह।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
+ 160
b. + 105 – (– 55)
= + 160
– 55 0 + 105
घटाव यह पूछता है क – 55 से + 105 तक कतनी ग त चा हए: 55 कदम 0 तक और 105 कदम उसके आगे, कुल + 160।
a. – 125 + (– 30) = – 155
b. + 105 – (– 55) = 105 + 55 = + 160
c. + 80 – (– 150) = 80 + 150 = + 230 (– 150 से 0 तक 150, िफर 80 और)
d. – 99 – (– 200) = – 99 + 200 = + 101 (– 200 से – 99 तक 101 कदम)
संकेत: अ च ह्नत संख्या रेखा म पैमाने क आवश्यकता नह । इसम केवल यह दखना चा हए क कौन-सी संख्या 0
के कस ओर है और कौन 0 से अ धक दूर है।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 257
अध्याय 10.2 टोकन मॉडल — जोड़ने के लए टोकन
प्र.1 टोकन का उपयोग करते हुए जोड़ को पूरा क जए। a. (+ 6) + (+ 4) b. (– 3) + (– 2) c. (+ 5) + (– 7) d. (–
2) + (+ 6)
टोकन र खए, प्रत्येक शून्य जोड़ा (एक हरा और एक लाल) हटा द जए और जो शेष बचे उसे पढ़ ली जए।
रखे गए टोकन हटाए गए शून्य जोड़े शेष उत्तर
a. 6 हरे और 4 हरे कोई नह — सभी हरे ह 10 हरे + 10
b. 3 लाल और 2 लाल कोई नह — सभी लाल ह 5 लाल –5
c. 5 हरे और 7 लाल 5 जोड़े 2 लाल –2
d. 2 लाल और 6 हरे 2 जोड़े 4 हरे +4
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+ 160
b. + 105 – (– 55)
= + 160
– 55 0 + 105
घटाव यह पूछता है क – 55 से + 105 तक कतनी ग त चा हए: 55 कदम 0 तक और 105 कदम उसके आगे, कुल + 160।
a. – 125 + (– 30) = – 155
b. + 105 – (– 55) = 105 + 55 = + 160
c. + 80 – (– 150) = 80 + 150 = + 230 (– 150 से 0 तक 150, िफर 80 और)
d. – 99 – (– 200) = – 99 + 200 = + 101 (– 200 से – 99 तक 101 कदम)
संकेत: अ च ह्नत संख्या रेखा म पैमाने क आवश्यकता नह । इसम केवल यह दखना चा हए क कौन-सी संख्या 0
के कस ओर है और कौन 0 से अ धक दूर है।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 257
अध्याय 10.2 टोकन मॉडल — जोड़ने के लए टोकन
प्र.1 टोकन का उपयोग करते हुए जोड़ को पूरा क जए। a. (+ 6) + (+ 4) b. (– 3) + (– 2) c. (+ 5) + (– 7) d. (–
2) + (+ 6)
टोकन र खए, प्रत्येक शून्य जोड़ा (एक हरा और एक लाल) हटा द जए और जो शेष बचे उसे पढ़ ली जए।
रखे गए टोकन हटाए गए शून्य जोड़े शेष उत्तर
a. 6 हरे और 4 हरे कोई नह — सभी हरे ह 10 हरे + 10
b. 3 लाल और 2 लाल कोई नह — सभी लाल ह 5 लाल –5
c. 5 हरे और 7 लाल 5 जोड़े 2 लाल –2
d. 2 लाल और 6 हरे 2 जोड़े 4 हरे +4
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
+ + + + +
शेष: 2 लाल = – 2
– – – – – – –
भाग (c): 5 हरे और 7 लाल टोकन। पाँच शून्य जोड़े काट दए गए और 2 लाल टोकन शेष रहे — अत: (+ 5) + (– 7) = – 2।
शून्य जोड़े क्य हटाए जा सकते ह: एक बार ‘+’ और एक बार ‘–’ दबाने पर लफ्ट चालक वह लौट आता है जहाँ
था। इस जोड़े का मान 0 है, इस लए इसे हटाने से जेब का मान नह बदलता।
प्र.2 नीचे दए गए टोकन युग्म म से शून्य युग्म को नरस्त (रद्द) क जए। प्रत्येक त म लफ्ट चालक कौन-से तल
पर है? प्रत्येक त म संगत धनात्मक कथन क्या होगा?
समुच्चय (a): 3 हरे और 5 लाल टोकन।
3 शून्य जोड़ े रद्द → 2 लाल टोकन शेष
(+ 3) + (– 5) = – 2 → चालक तल – 2 (वीिडयो गेम) पर है
समुच्चय (b): 6 हरे और 3 लाल टोकन।
3 शून्य जोड़ े रद्द → 3 हरे टोकन शेष
(+ 6) + (– 3) = + 3 → चालक तल + 3 (पुस्तक भंडार) पर है
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+ + + + +
शेष: 2 लाल = – 2
– – – – – – –
भाग (c): 5 हरे और 7 लाल टोकन। पाँच शून्य जोड़े काट दए गए और 2 लाल टोकन शेष रहे — अत: (+ 5) + (– 7) = – 2।
शून्य जोड़े क्य हटाए जा सकते ह: एक बार ‘+’ और एक बार ‘–’ दबाने पर लफ्ट चालक वह लौट आता है जहाँ
था। इस जोड़े का मान 0 है, इस लए इसे हटाने से जेब का मान नह बदलता।
प्र.2 नीचे दए गए टोकन युग्म म से शून्य युग्म को नरस्त (रद्द) क जए। प्रत्येक त म लफ्ट चालक कौन-से तल
पर है? प्रत्येक त म संगत धनात्मक कथन क्या होगा?
समुच्चय (a): 3 हरे और 5 लाल टोकन।
3 शून्य जोड़ े रद्द → 2 लाल टोकन शेष
(+ 3) + (– 5) = – 2 → चालक तल – 2 (वीिडयो गेम) पर है
समुच्चय (b): 6 हरे और 3 लाल टोकन।
3 शून्य जोड़ े रद्द → 3 हरे टोकन शेष
(+ 6) + (– 3) = + 3 → चालक तल + 3 (पुस्तक भंडार) पर है
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
co m
em.
(b) m l as
.co a g
a s em + + + + + +
ag l शेष: 3 हरे
=+3
– – –
co m
e m . ag
g l as
a
m
समुच्चय (b): तीन शून्य जोड़े काटे गए और तीन हरे टोकन शेष रहे, अत: चालक तल + 3 पर है।
co
em.
m l as
.co a g
स्वयं जाँ चए: समुच्चय (a) म उसने ‘+’ 3 बार और ‘–’ 5 बार दबाया — नीचे जाना दो बार अ धक, अत: वह
m
l a se
भूतल से 2 तल नीचे ही होगा। ✔
a g
m a s
m .co agl
se
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 257
g l a
a
टोकन के उपयोग ारा घटाना
co m
.
प्र.1 क्या (– 7) – (– 5) और (– 7) + (+ 5) समान ह?
e m
m l as
.co a g
e—mदोन का उत्तर – 2 है।
a s
gl
हाँ
a
se m
com
टोकन से: 7 लाल रिखए। 5 लाल िनकाल लीिजए → 2 लाल शेष → – 2
g l a
m . a
ase
टोकन से: 7 लाल रिखए और 5 हरे जोड़ द ीिजए → 5 शून्य जोड़ े रद्द → 2 लाल शेष → – 2
agl
दोन समान क्य ह: 5 ऋणात्मक टोकन हटाने और 5 धनात्मक टोकन जोड़ने का जेब पर एक ही प्रभाव पड़ता है
co m
— दोन मान को 5 से ऊपर उठाते ह। यही a – (– b) = a + b का टोकन प्रमाण है: कसी संख्या को घटाना
m .
m as e
.co
उसके प्र तलोम को जोड़ने के समान है।
a g l
se m
g l a
a c
m .
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 258
m a s e
e m . co agl
g l as
a
co m
m .
m as e
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
co m
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(b) m l as
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a s em + + + + + +
ag l शेष: 3 हरे
=+3
– – –
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m
समुच्चय (b): तीन शून्य जोड़े काटे गए और तीन हरे टोकन शेष रहे, अत: चालक तल + 3 पर है।
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स्वयं जाँ चए: समुच्चय (a) म उसने ‘+’ 3 बार और ‘–’ 5 बार दबाया — नीचे जाना दो बार अ धक, अत: वह
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भूतल से 2 तल नीचे ही होगा। ✔
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पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 257
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टोकन के उपयोग ारा घटाना
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.
प्र.1 क्या (– 7) – (– 5) और (– 7) + (+ 5) समान ह?
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e—mदोन का उत्तर – 2 है।
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हाँ
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टोकन से: 7 लाल रिखए। 5 लाल िनकाल लीिजए → 2 लाल शेष → – 2
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टोकन से: 7 लाल रिखए और 5 हरे जोड़ द ीिजए → 5 शून्य जोड़ े रद्द → 2 लाल शेष → – 2
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दोन समान क्य ह: 5 ऋणात्मक टोकन हटाने और 5 धनात्मक टोकन जोड़ने का जेब पर एक ही प्रभाव पड़ता है
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— दोन मान को 5 से ऊपर उठाते ह। यही a – (– b) = a + b का टोकन प्रमाण है: कसी संख्या को घटाना
m .
m as e
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उसके प्र तलोम को जोड़ने के समान है।
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m .
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 258
m a s e
e m . co agl
g l as
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co m
m .
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.co
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Page 31
कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
टोकन के उपयोग ारा घटाना
प्र.1 टोकन का उपयोग करके नम्न ल खत अंतर का मूल्यांकन क जए। यह भी जाँ चए क आपको वही प रणाम
मलता है जो अब आप अन्य तरीक से जानते ह। a. (+ 10) – (+ 7) b. (– 8) – (– 4) c. (– 9) – (– 4) d. (+
9) – (+ 12) e. (– 5) – (– 7) f. (– 2) – (– 6)
पद टोकन के साथ क्या क जए उत्तर
a. (+ 10) – (+ 7) 10 हरे र खए, 7 हरे नका लए → 3 हरे शेष +3
b. (– 8) – (– 4) 8 लाल र खए, 4 लाल नका लए → 4 लाल शेष –4
c. (– 9) – (– 4) 9 लाल र खए, 4 लाल नका लए → 5 लाल शेष –5
d. (+ 9) – (+ 12) 9 हरे; 3 शून्य जोड़े रखकर 12 हरे बनाइए और नका लए → 3 लाल शेष –3
e. (– 5) – (– 7) 5 लाल; 2 शून्य जोड़े रखकर 7 लाल बनाइए और नका लए → 2 हरे शेष +2
f. (– 2) – (– 6) 2 लाल; 4 शून्य जोड़े रखकर 6 लाल बनाइए और नका लए → 4 हरे शेष +4
‘प्र तलोम जो ड़ए’ नयम से जाँच:
(– 8) – (– 4) = – 8 + 4 = – 4 ✔ (+ 9) – (+ 12) = 9 + (– 12) = – 3 ✔
(– 5) – (– 7) = – 5 + 7 = + 2 ✔ (– 2) – (– 6) = – 2 + 6 = + 4 ✔
d, e और f म शून्य जोड़ क आवश्यकता क्य : वहाँ जतने टोकन नकालने ह उतने रखे ही नह ह। शून्य जोड़े
रखने से मान नह बदलता (प्रत्येक जोड़ा 0 के बराबर है) पर नकालने के लए टोकन मल जाते ह।
प्र.2 घटाव को पूरा क जए— a. (– 5) – (– 7) b. (+ 10) – (+ 13) c. (– 7) – (– 9) d. (+ 3) – (+ 8) e. (– 2) –
(– 7) f. (+ 3) – (+ 15)
प्रत्येक घटाव को ‘प्र तलोम जो ड़ए’ म बद लए और एक ही पं क्त म पूरा क जए।
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टोकन के उपयोग ारा घटाना
प्र.1 टोकन का उपयोग करके नम्न ल खत अंतर का मूल्यांकन क जए। यह भी जाँ चए क आपको वही प रणाम
मलता है जो अब आप अन्य तरीक से जानते ह। a. (+ 10) – (+ 7) b. (– 8) – (– 4) c. (– 9) – (– 4) d. (+
9) – (+ 12) e. (– 5) – (– 7) f. (– 2) – (– 6)
पद टोकन के साथ क्या क जए उत्तर
a. (+ 10) – (+ 7) 10 हरे र खए, 7 हरे नका लए → 3 हरे शेष +3
b. (– 8) – (– 4) 8 लाल र खए, 4 लाल नका लए → 4 लाल शेष –4
c. (– 9) – (– 4) 9 लाल र खए, 4 लाल नका लए → 5 लाल शेष –5
d. (+ 9) – (+ 12) 9 हरे; 3 शून्य जोड़े रखकर 12 हरे बनाइए और नका लए → 3 लाल शेष –3
e. (– 5) – (– 7) 5 लाल; 2 शून्य जोड़े रखकर 7 लाल बनाइए और नका लए → 2 हरे शेष +2
f. (– 2) – (– 6) 2 लाल; 4 शून्य जोड़े रखकर 6 लाल बनाइए और नका लए → 4 हरे शेष +4
‘प्र तलोम जो ड़ए’ नयम से जाँच:
(– 8) – (– 4) = – 8 + 4 = – 4 ✔ (+ 9) – (+ 12) = 9 + (– 12) = – 3 ✔
(– 5) – (– 7) = – 5 + 7 = + 2 ✔ (– 2) – (– 6) = – 2 + 6 = + 4 ✔
d, e और f म शून्य जोड़ क आवश्यकता क्य : वहाँ जतने टोकन नकालने ह उतने रखे ही नह ह। शून्य जोड़े
रखने से मान नह बदलता (प्रत्येक जोड़ा 0 के बराबर है) पर नकालने के लए टोकन मल जाते ह।
प्र.2 घटाव को पूरा क जए— a. (– 5) – (– 7) b. (+ 10) – (+ 13) c. (– 7) – (– 9) d. (+ 3) – (+ 8) e. (– 2) –
(– 7) f. (+ 3) – (+ 15)
प्रत्येक घटाव को ‘प्र तलोम जो ड़ए’ म बद लए और एक ही पं क्त म पूरा क जए।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
a. (– 5) – (– 7) = – 5 + 7 = + 2
b. (+ 10) – (+ 13) = 10 + (– 13) = – 3
c. (– 7) – (– 9) = – 7 + 9 = + 2
d. (+ 3) – (+ 8) = 3 + (– 8) = – 5
e. (– 2) – (– 7) = – 2 + 7 = + 5
f. (+ 3) – (+ 15) = 3 + (– 15) = – 12
संकेत: ध्यान द जए क (a), (c) और (e) म छोट ऋणात्मक संख्या म से बड़ी ऋणात्मक संख्या घटाई गई है और
उत्तर हर बार धनात्मक आया। (b), (d) और (f) म छोट धनात्मक म से बड़ी धनात्मक घट है, इस लए उत्तर
ऋणात्मक है।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 259
टोकन के उपयोग ारा घटाना
प्र.1 घटाने का प्रयास क जए— – 3 – (+ 5)। आपको कतने शून्य के जोड़े रखने ह गे? इसका प रणाम क्या होगा?
3 लाल टोकन से आरंभ क जए। आपको 5 हरे टोकन नकालने ह — पर वहाँ एक भी हरा टोकन नह है!
5 शून्य जोड़े रिखए (5 हरे और 5 लाल)। मान अब भी – 3 ही है।
अब समुच् चय में 5 हरे + 8 लाल है।
ं
5 हरे िनकाल लीिजए → 8 लाल शेष रहते है।ं
उत्तर: 5 शून्य जोड़े रखने ह गे और – 3 – (+ 5) = – 8।
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a. (– 5) – (– 7) = – 5 + 7 = + 2
b. (+ 10) – (+ 13) = 10 + (– 13) = – 3
c. (– 7) – (– 9) = – 7 + 9 = + 2
d. (+ 3) – (+ 8) = 3 + (– 8) = – 5
e. (– 2) – (– 7) = – 2 + 7 = + 5
f. (+ 3) – (+ 15) = 3 + (– 15) = – 12
संकेत: ध्यान द जए क (a), (c) और (e) म छोट ऋणात्मक संख्या म से बड़ी ऋणात्मक संख्या घटाई गई है और
उत्तर हर बार धनात्मक आया। (b), (d) और (f) म छोट धनात्मक म से बड़ी धनात्मक घट है, इस लए उत्तर
ऋणात्मक है।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 259
टोकन के उपयोग ारा घटाना
प्र.1 घटाने का प्रयास क जए— – 3 – (+ 5)। आपको कतने शून्य के जोड़े रखने ह गे? इसका प रणाम क्या होगा?
3 लाल टोकन से आरंभ क जए। आपको 5 हरे टोकन नकालने ह — पर वहाँ एक भी हरा टोकन नह है!
5 शून्य जोड़े रिखए (5 हरे और 5 लाल)। मान अब भी – 3 ही है।
अब समुच् चय में 5 हरे + 8 लाल है।
ं
5 हरे िनकाल लीिजए → 8 लाल शेष रहते है।ं
उत्तर: 5 शून्य जोड़े रखने ह गे और – 3 – (+ 5) = – 8।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
5 शून्य जोड़ े रखे गए, िफर हरे टोकन िनकाल िलए गए
+ + + + +
– – – – – – – – =–8
आरंभ के तीन लाल टोकन और शून्य जोड़ से आए पाँच लाल टोकन मलकर 8 लाल टोकन बनाते ह — उत्तर – 8।
छोटा रास्ता: – 3 – (+ 5) = – 3 + (– 5) = – 8। धनात्मक संख्या घटाना ऋणात्मक संख्या जोड़ने के समान है,
अत: आप 5 कदम और नीचे चले जाते ह।
प्र.2 टोकन का उपयोग करते हुए नम्न का मूल्यांकन क जए। a. (– 3) – (+ 10) b. (+ 8) – (– 7) c. (– 5) – (+ 9)
d. (– 9) – (+ 10) e. (+ 6) – (– 4) f. (– 2) – (+ 7)
पद आवश्यक शून्य जोड़े इसके समान उत्तर
a. (– 3) – (+ 10) 10 – 3 + (– 10) – 13
b. (+ 8) – (– 7) 7 8+7 + 15
c. (– 5) – (+ 9) 9 – 5 + (– 9) – 14
d. (– 9) – (+ 10) 10 – 9 + (– 10) – 19
e. (+ 6) – (– 4) 4 6+4 + 10
f. (– 2) – (+ 7) 7 – 2 + (– 7) –9
पैटन: जतने टोकन नकालने ह और वे उपलब्ध न ह , उतने ही शून्य जोड़े रख द जए। हर बार यह काम ‘प्र तलोम
जो ड़ए’ के बराबर ही नकलता है — इसी लए पूणाक के सभी घटाव के लए यही एक नयम पयाप्त है।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 259 और 260
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5 शून्य जोड़ े रखे गए, िफर हरे टोकन िनकाल िलए गए
+ + + + +
– – – – – – – – =–8
आरंभ के तीन लाल टोकन और शून्य जोड़ से आए पाँच लाल टोकन मलकर 8 लाल टोकन बनाते ह — उत्तर – 8।
छोटा रास्ता: – 3 – (+ 5) = – 3 + (– 5) = – 8। धनात्मक संख्या घटाना ऋणात्मक संख्या जोड़ने के समान है,
अत: आप 5 कदम और नीचे चले जाते ह।
प्र.2 टोकन का उपयोग करते हुए नम्न का मूल्यांकन क जए। a. (– 3) – (+ 10) b. (+ 8) – (– 7) c. (– 5) – (+ 9)
d. (– 9) – (+ 10) e. (+ 6) – (– 4) f. (– 2) – (+ 7)
पद आवश्यक शून्य जोड़े इसके समान उत्तर
a. (– 3) – (+ 10) 10 – 3 + (– 10) – 13
b. (+ 8) – (– 7) 7 8+7 + 15
c. (– 5) – (+ 9) 9 – 5 + (– 9) – 14
d. (– 9) – (+ 10) 10 – 9 + (– 10) – 19
e. (+ 6) – (– 4) 4 6+4 + 10
f. (– 2) – (+ 7) 7 – 2 + (– 7) –9
पैटन: जतने टोकन नकालने ह और वे उपलब्ध न ह , उतने ही शून्य जोड़े रख द जए। हर बार यह काम ‘प्र तलोम
जो ड़ए’ के बराबर ही नकलता है — इसी लए पूणाक के सभी घटाव के लए यही एक नयम पयाप्त है।
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 259 और 260
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
अध्याय 10.3 अन्य ान पर पूणाक — लेन-दे न (जमा- नकासी)
प्र.1 माना आप अपनी पछले महीने क ₹100 क बचत से बक म खाता खोलते ह। अगले दन आप ₹60 कमाकर
बक म जमा करा दे ते ह (यह रा श पासबुक म ‘जमा’ के रूप म दशाई गई है)। आपक बक म नई शेष जमा रा श
______ है।
जमा का अथ है आने वाला धन, इस लए यह धनात्मक संख्या है।
₹100 + ₹60 = ₹160
उत्तर: नई शेष जमा रा श ₹160 है।
प्र.2 अगले दन आप अपने बक खाते से ₹30 का बजली बल का भुगतान करते ह। यह रा श पासबुक म ‘ नकासी’
के रूप म दशाई गई है। अब आपक बक म शेष जमा रा श ______ है।
नकासी का अथ है जाने वाला धन, इस लए यह ऋणात्मक संख्या है।
₹160 + (– ₹30) = ₹160 – ₹30 = ₹130
उत्तर: अब शेष जमा रा श ₹130 है।
प्र.3 अगले दन आपको व्यवसाय के लए ₹150 क एक बड़ी खरीदारी करनी पड़ी। पुनः खाते म यह रा श नकासी म
दशाई गई है। अब आपक बक म शेष जमा रा श क्या है? ______ क्या यह संभव है?
₹130 + (– ₹150) = – ₹20
अब शेष रा श – ₹20 है, अथात् आप ₹20 कम पड़ गए।
हाँ, यह संभव है। कुछ बक थोड़े समय के लए शेष रा श को ऋणात्मक होने क अनुम त दे ते ह। ऐसी त म बक प्राय: ब्याज या
शुल्क के रूप म कुछ अ त रक्त रा श लेते ह।
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अध्याय 10.3 अन्य ान पर पूणाक — लेन-दे न (जमा- नकासी)
प्र.1 माना आप अपनी पछले महीने क ₹100 क बचत से बक म खाता खोलते ह। अगले दन आप ₹60 कमाकर
बक म जमा करा दे ते ह (यह रा श पासबुक म ‘जमा’ के रूप म दशाई गई है)। आपक बक म नई शेष जमा रा श
______ है।
जमा का अथ है आने वाला धन, इस लए यह धनात्मक संख्या है।
₹100 + ₹60 = ₹160
उत्तर: नई शेष जमा रा श ₹160 है।
प्र.2 अगले दन आप अपने बक खाते से ₹30 का बजली बल का भुगतान करते ह। यह रा श पासबुक म ‘ नकासी’
के रूप म दशाई गई है। अब आपक बक म शेष जमा रा श ______ है।
नकासी का अथ है जाने वाला धन, इस लए यह ऋणात्मक संख्या है।
₹160 + (– ₹30) = ₹160 – ₹30 = ₹130
उत्तर: अब शेष जमा रा श ₹130 है।
प्र.3 अगले दन आपको व्यवसाय के लए ₹150 क एक बड़ी खरीदारी करनी पड़ी। पुनः खाते म यह रा श नकासी म
दशाई गई है। अब आपक बक म शेष जमा रा श क्या है? ______ क्या यह संभव है?
₹130 + (– ₹150) = – ₹20
अब शेष रा श – ₹20 है, अथात् आप ₹20 कम पड़ गए।
हाँ, यह संभव है। कुछ बक थोड़े समय के लए शेष रा श को ऋणात्मक होने क अनुम त दे ते ह। ऐसी त म बक प्राय: ब्याज या
शुल्क के रूप म कुछ अ त रक्त रा श लेते ह।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
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ऋणात्मक शेष का अथ: शेष रा श सभी जमा (+) और नकासी (–) का कुल योग है। य द नकासी अ धक हो जाए
तो योग शून्य के दूसरी ओर चला जाता है — ठ क वैसे ही जैसे लफ्ट भूतल से नीचे चली जाती है।em
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प्र.4 पछले दन क आपक बड़ी खरीदारी क रणनी त से आपके व्यवसाय म अगले दन क आय ₹200 थी। अब
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आपक शेष जमा रा श क्या है? ______
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– ₹20 + ₹200 = ₹180
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उत्तर: ₹180। कमाई के पहले ₹20 ऋणात्मक शेष को समाप्त करके खाते को 0 पर लाते ह; शेष ₹180 वास्तव म खाते म जमा
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धन है।
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संकेत: पूरे महीने को एक ही जोड़ म ल खए — 100 + 60 – 30 – 150 + 200 = 180। जमा के आगे +,
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नकासी के आगे –, और फर जोड़ द जए।
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आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 260
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लेन-दे न (जमा- नकासी)
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a s em माना आप ₹0 के साथ अपना बक खाता खोलते ह, इसके प ात् आप उसम ₹30, ₹40 और ₹50 जमा करवाते
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प्र.1
a ह और ₹40, ₹50 और ₹60 क नकासी करते ह। अब आपके बक खाते म कतनी जमा रा श शेष है?
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जमा धनात्मक और नकासी ऋणात्मक होती है। सबको जोड़ ली जए।
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जमा: 30 + 40 + 50 = + 120
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िनकासी: 40 + 50 + 60 = – 150
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शेष = (+ 120) + (– 150) = – ₹30
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उत्तर: शेष रा श – ₹30 है — खाते पर ₹30 का ऋण है।
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ऋणात्मक क्य : आने वाले धन से अ धक धन बाहर गया। 150 – 120 = 30, और नकासी अ धक होने के कारण
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उत्तर पर नकासी का ऋण चह्न लगता है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
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ऋणात्मक शेष का अथ: शेष रा श सभी जमा (+) और नकासी (–) का कुल योग है। य द नकासी अ धक हो जाए
तो योग शून्य के दूसरी ओर चला जाता है — ठ क वैसे ही जैसे लफ्ट भूतल से नीचे चली जाती है।em
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.2 माना आप ₹0 के साथ अपना बक खाता खोलते ह और अपने उसी खाते म से ₹1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 और
128 नकाल लेते ह, इसके प ात् आप एक बार म ₹256 जमा कर दे ते ह। अब आपके बक खाते म कतनी जमा
रा श शेष है?
िनकासी का कु ल योग: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
= 3 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
= 7 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 15 + 16 + 32 + 64 + 128
= 31 + 32 + 64 + 128 = 63 + 64 + 128 = 127 + 128 = 255
शेष = (– 255) + (+ 256) = + ₹1
उत्तर: शेष जमा रा श ₹1 है।
क्या आप जानते ह? नकासी क रा शयाँ 2 क घात ह और उनका चलता हुआ योग हमेशा अगली घात से एक कम
होता है: 1 + 2 + 4 + … + 128 = 256 – 1 = 255। इसी लए ₹256 क एक ही जमा के बाद ठ क ₹1 शेष
बचता है।
प्र.3 आपके बक खाते म प्राय: धनात्मक जमा रा श अ धक अ क्य मानी जाती है? ऐसी कौन-सी प र तयाँ हो
सकती ह, जनके तहत अ ायी रूप से ऋणात्मक ( नकासी) शेष जमा रा श साथक हो सकती है?
धनात्मक शेष क्य बेहतर है:
ऋणात्मक शेष का अथ है क आपको बक को धन दे ना है, और बक उस पर ब्याज या शुल्क लेता है — अथात् अ त रक्त
खच।
खाते म जमा धन पर उलटे ब्याज मल भी सकता है।
धनात्मक शेष आपात त म सहारा बनता है — अस्पताल का खच, टू ट साइ कल या व ालय क फ स।
जो ाहक धनात्मक शेष रखते ह बक उन पर अ धक भरोसा करता है, अत: आगे ऋण मलना सरल हो जाता है।
अ ायी ऋणात्मक शेष कब साथक हो सकता है:
व्यवसाय के लए ऐसा सामान या मशीन खरीदने म जो लागत से अ धक कमाकर दे — ठ क वैसे ही जैसे पृष्ठ 259 पर ₹150
क खरीदारी ने अगले दन ₹200 दलाए।
आपात त म — दवा, ऑपरेशन या अत्यावश्यक यात्रा, जहाँ प्रतीक्षा संभव नह ।
ऐसे खच म जो आगे धन बचाए, जैसे समय पर फ स भरकर वलंब शुल्क से बचना।
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प्र.2 माना आप ₹0 के साथ अपना बक खाता खोलते ह और अपने उसी खाते म से ₹1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 और
128 नकाल लेते ह, इसके प ात् आप एक बार म ₹256 जमा कर दे ते ह। अब आपके बक खाते म कतनी जमा
रा श शेष है?
िनकासी का कु ल योग: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
= 3 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
= 7 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 15 + 16 + 32 + 64 + 128
= 31 + 32 + 64 + 128 = 63 + 64 + 128 = 127 + 128 = 255
शेष = (– 255) + (+ 256) = + ₹1
उत्तर: शेष जमा रा श ₹1 है।
क्या आप जानते ह? नकासी क रा शयाँ 2 क घात ह और उनका चलता हुआ योग हमेशा अगली घात से एक कम
होता है: 1 + 2 + 4 + … + 128 = 256 – 1 = 255। इसी लए ₹256 क एक ही जमा के बाद ठ क ₹1 शेष
बचता है।
प्र.3 आपके बक खाते म प्राय: धनात्मक जमा रा श अ धक अ क्य मानी जाती है? ऐसी कौन-सी प र तयाँ हो
सकती ह, जनके तहत अ ायी रूप से ऋणात्मक ( नकासी) शेष जमा रा श साथक हो सकती है?
धनात्मक शेष क्य बेहतर है:
ऋणात्मक शेष का अथ है क आपको बक को धन दे ना है, और बक उस पर ब्याज या शुल्क लेता है — अथात् अ त रक्त
खच।
खाते म जमा धन पर उलटे ब्याज मल भी सकता है।
धनात्मक शेष आपात त म सहारा बनता है — अस्पताल का खच, टू ट साइ कल या व ालय क फ स।
जो ाहक धनात्मक शेष रखते ह बक उन पर अ धक भरोसा करता है, अत: आगे ऋण मलना सरल हो जाता है।
अ ायी ऋणात्मक शेष कब साथक हो सकता है:
व्यवसाय के लए ऐसा सामान या मशीन खरीदने म जो लागत से अ धक कमाकर दे — ठ क वैसे ही जैसे पृष्ठ 259 पर ₹150
क खरीदारी ने अगले दन ₹200 दलाए।
आपात त म — दवा, ऑपरेशन या अत्यावश्यक यात्रा, जहाँ प्रतीक्षा संभव नह ।
ऐसे खच म जो आगे धन बचाए, जैसे समय पर फ स भरकर वलंब शुल्क से बचना।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
मूल बात: शून्य से नीचे जाना तभी समझदारी है जब लया गया धन ब्याज और शुल्क से अ धक लौटाए, और वह भी
थोड़े समय के लए।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 261
भौगो लक प्र त ेद
प्र.1 भौगो लक प्र त े द को दे खते हुए उनक संबं धत ऊँचाइयाँ ल खए— a. b. c. d. e. f. g.
प्रत्येक अं कत बदु को बाईं ओर दए ऊँचाई-पैमाने पर प ढ़ए। समुद्र तल 0 मी है; उससे ऊपर क ऊँचाइयाँ धनात्मक और नीचे क
ऋणात्मक होती ह।
ऊँचाई (मी.)
A + 1500
1500
E + 1200
1000
500 C + 300
G + 100
समुद तल
0
F – 200
– 500
B – 500
– 1000
D – 1200
– 1500
भौगो लक प्र त े द के सात बदु ऊँचाई-पैमाने पर पढ़े गए। चो टयाँ धनात्मक ह तथा घा टयाँ व समुद्र तल से नीचे के भाग ऋणात्मक।
बदु A. A B. B C. C D. D E. E F. F G. G
ऊँचाई + 1500 मी – 500 मी + 300 मी – 1200 मी + 1200 मी – 200 मी + 100 मी
संकेत: ये चत्र से पढ़े गए मान ह, अत: थोड़े भन्न उत्तर (जैसे A के लए + 1450 मी) भी स्वीकाय ह — महत्वपूण
यह है क चह्न और लगभग मान सही ह ।
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मूल बात: शून्य से नीचे जाना तभी समझदारी है जब लया गया धन ब्याज और शुल्क से अ धक लौटाए, और वह भी
थोड़े समय के लए।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 261
भौगो लक प्र त ेद
प्र.1 भौगो लक प्र त े द को दे खते हुए उनक संबं धत ऊँचाइयाँ ल खए— a. b. c. d. e. f. g.
प्रत्येक अं कत बदु को बाईं ओर दए ऊँचाई-पैमाने पर प ढ़ए। समुद्र तल 0 मी है; उससे ऊपर क ऊँचाइयाँ धनात्मक और नीचे क
ऋणात्मक होती ह।
ऊँचाई (मी.)
A + 1500
1500
E + 1200
1000
500 C + 300
G + 100
समुद तल
0
F – 200
– 500
B – 500
– 1000
D – 1200
– 1500
भौगो लक प्र त े द के सात बदु ऊँचाई-पैमाने पर पढ़े गए। चो टयाँ धनात्मक ह तथा घा टयाँ व समुद्र तल से नीचे के भाग ऋणात्मक।
बदु A. A B. B C. C D. D E. E F. F G. G
ऊँचाई + 1500 मी – 500 मी + 300 मी – 1200 मी + 1200 मी – 200 मी + 100 मी
संकेत: ये चत्र से पढ़े गए मान ह, अत: थोड़े भन्न उत्तर (जैसे A के लए + 1450 मी) भी स्वीकाय ह — महत्वपूण
यह है क चह्न और लगभग मान सही ह ।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.2 इस भौगो लक प्र त े द म सबसे उच्चतम बदु एवं सबसे नम्नतम बदु कौन-सा है?
उच्चतम: A, समुद तल से + 1500 मी ऊपर
िनम्नतम: D, समुद तल से – 1200 मी नीचे
इस टु कड़े म A सबसे ऊँची चोट है और D सबसे गहरी खाई।
D ही क्य , B क्य नह : दोन समुद्र तल से नीचे ह, परंतु – 1200 < – 500। ऋणात्मक संख्याओं म जो 0 से
अ धक दूर हो वही छोट होती है — और यहाँ वही अ धक गहरी भी है।
प्र.3 क्या आप बदुओं A, B, ..., G को ऊँचाइय के अवरोही (घटते) क्रम म लख सकते ह? क्या आप बदुओं को
ऊँचाइय के आरोही (बढ़ते) क्रम म लख सकते ह?
सात ऊँचाइयाँ ह: + 1500, – 500, + 300, – 1200, + 1200, – 200, + 100।
अवरोही (घटता) क्र म: A (+ 1500) > E (+ 1200) > C (+ 300) > G (+ 100) > F (– 200) > B (– 500)
> D (– 1200)
आरोही (बढ़ ता) क्र म: D (– 1200) < B (– 500) < F (– 200) < G (+ 100) < C (+ 300) < E (+ 1200)
< A (+ 1500)
संकेत: धनात्मक ऊँचाइय को सामान्य ढं ग से क्रम द जए, ऋणात्मक ऊँचाइय को उलटे ढं ग से, और याद र खए
क हर धनात्मक ऊँचाई हर ऋणात्मक ऊँचाई से बड़ी है।
प्र.4 पृथ्वी पर समुद्र तल से सबसे ऊँचा ान कौन-सा है? इसक ऊँचाई कतनी है?
पृथ्वी का सबसे ऊँचा ान माउंट एवरेस्ट (सगरमाथा / चोमोलुंगमा) है, जो हमालय म नेपाल–चीन सीमा पर त है।
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प्र.2 इस भौगो लक प्र त े द म सबसे उच्चतम बदु एवं सबसे नम्नतम बदु कौन-सा है?
उच्चतम: A, समुद तल से + 1500 मी ऊपर
िनम्नतम: D, समुद तल से – 1200 मी नीचे
इस टु कड़े म A सबसे ऊँची चोट है और D सबसे गहरी खाई।
D ही क्य , B क्य नह : दोन समुद्र तल से नीचे ह, परंतु – 1200 < – 500। ऋणात्मक संख्याओं म जो 0 से
अ धक दूर हो वही छोट होती है — और यहाँ वही अ धक गहरी भी है।
प्र.3 क्या आप बदुओं A, B, ..., G को ऊँचाइय के अवरोही (घटते) क्रम म लख सकते ह? क्या आप बदुओं को
ऊँचाइय के आरोही (बढ़ते) क्रम म लख सकते ह?
सात ऊँचाइयाँ ह: + 1500, – 500, + 300, – 1200, + 1200, – 200, + 100।
अवरोही (घटता) क्र म: A (+ 1500) > E (+ 1200) > C (+ 300) > G (+ 100) > F (– 200) > B (– 500)
> D (– 1200)
आरोही (बढ़ ता) क्र म: D (– 1200) < B (– 500) < F (– 200) < G (+ 100) < C (+ 300) < E (+ 1200)
< A (+ 1500)
संकेत: धनात्मक ऊँचाइय को सामान्य ढं ग से क्रम द जए, ऋणात्मक ऊँचाइय को उलटे ढं ग से, और याद र खए
क हर धनात्मक ऊँचाई हर ऋणात्मक ऊँचाई से बड़ी है।
प्र.4 पृथ्वी पर समुद्र तल से सबसे ऊँचा ान कौन-सा है? इसक ऊँचाई कतनी है?
पृथ्वी का सबसे ऊँचा ान माउंट एवरेस्ट (सगरमाथा / चोमोलुंगमा) है, जो हमालय म नेपाल–चीन सीमा पर त है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
माउं ट एवरेस्ट की ऊँ चाई = समुद तल से + 8848 मी
(वष 2020 के संयक्ु त सवक्षण के अनुसार 8848.86 मी)
क्या आप जानते ह? भारत क सबसे ऊँची चोट स क्कम क कंचनजंघा है, जसक ऊँचाई + 8586 मी है — यह
वश्व क तीसरी सबसे ऊँची चोट है।
प्र.5 भू म या महासागर तल पर समुद्र तल के सापेक्ष सबसे नम्नतम बदु क्या है? इसक ऊँचाई कतनी है? (यह
ऊँचाई ऋणात्मक होनी चा हए।)
पृथ्वी का सबसे नचला बदु प्रशांत महासागर क म रयाना च के द क्षणी छोर पर त चैलजर डीप है।
चै लज
े ं र डीप की गहराई ≈ – 11000 मी (लगभग – 10935 मी)
भू म पर सबसे नचला खुला ान मृत सागर का कनारा है, लगभग – 430 मी।
ऊँचाई ऋणात्मक क्य लखी जाती है: ऊँचाइयाँ समुद्र तल से नापी जाती ह, जो 0 मी है। उससे नीचे क हर वस्तु
पर ऋण चह्न लगता है, ठ क जैसे बेला क इमारत के तहखाने के तल पर।
तुलना: एवरेस्ट + 8848 मी और चैलजर डीप लगभग – 11000 मी। दोन का अंतर 8848 + 11000 = 19848
मी है — लगभग 20 कमी!
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 262
तापमान
प्र.1 गम के दन म आपने समाचार म गम लहर (heatwave) के बारे म सुना होगा, जसके फलस्वरूप आपको
बहुत अ धक गम लगती है। क्या आप बता सकते ह क उस समय तापमान क्या होता होगा?
गम लहर वाले दन तापमान प्राय: 45 °C से ऊपर चला जाता है।
भारत के अ धकांश भाग म सामान्य गम दन: लगभग 38 °C से 42 °C।
गम लहर तब घो षत होती है जब अ धकतम तापमान सामान्य से बहुत ऊपर चला जाए — प्राय: 45 °C या उससे अ धक।
चूरू (राज ान), नागपुर और दल्ली जैसे ान पर लगभग 48 °C से 50 °C तक दज हो चुका है।
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माउं ट एवरेस्ट की ऊँ चाई = समुद तल से + 8848 मी
(वष 2020 के संयक्ु त सवक्षण के अनुसार 8848.86 मी)
क्या आप जानते ह? भारत क सबसे ऊँची चोट स क्कम क कंचनजंघा है, जसक ऊँचाई + 8586 मी है — यह
वश्व क तीसरी सबसे ऊँची चोट है।
प्र.5 भू म या महासागर तल पर समुद्र तल के सापेक्ष सबसे नम्नतम बदु क्या है? इसक ऊँचाई कतनी है? (यह
ऊँचाई ऋणात्मक होनी चा हए।)
पृथ्वी का सबसे नचला बदु प्रशांत महासागर क म रयाना च के द क्षणी छोर पर त चैलजर डीप है।
चै लज
े ं र डीप की गहराई ≈ – 11000 मी (लगभग – 10935 मी)
भू म पर सबसे नचला खुला ान मृत सागर का कनारा है, लगभग – 430 मी।
ऊँचाई ऋणात्मक क्य लखी जाती है: ऊँचाइयाँ समुद्र तल से नापी जाती ह, जो 0 मी है। उससे नीचे क हर वस्तु
पर ऋण चह्न लगता है, ठ क जैसे बेला क इमारत के तहखाने के तल पर।
तुलना: एवरेस्ट + 8848 मी और चैलजर डीप लगभग – 11000 मी। दोन का अंतर 8848 + 11000 = 19848
मी है — लगभग 20 कमी!
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 262
तापमान
प्र.1 गम के दन म आपने समाचार म गम लहर (heatwave) के बारे म सुना होगा, जसके फलस्वरूप आपको
बहुत अ धक गम लगती है। क्या आप बता सकते ह क उस समय तापमान क्या होता होगा?
गम लहर वाले दन तापमान प्राय: 45 °C से ऊपर चला जाता है।
भारत के अ धकांश भाग म सामान्य गम दन: लगभग 38 °C से 42 °C।
गम लहर तब घो षत होती है जब अ धकतम तापमान सामान्य से बहुत ऊपर चला जाए — प्राय: 45 °C या उससे अ धक।
चूरू (राज ान), नागपुर और दल्ली जैसे ान पर लगभग 48 °C से 50 °C तक दज हो चुका है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
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m.
संकेत: ये सभी धनात्मक तापमान ह — पानी के जमाव बदु 0 °C से बहुत ऊपर। ऋणात्मक तापमान केवल बहुत
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l
ठं डे ान पर मलते ह।
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प्र.2 वगत वष आपके क्षेत्र म ग मय का अ धकतम तापमान तथा स दय का न्यूनतम तापमान क्या अं कत कया गया
com
ag
था? पता लगाइए।
m .
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यह आपको अपने ही नगर के लए पता करना है — समाचार पत्र, ट वी के मौसम समाचार, भारत मौसम व ान वभाग (IMD) क
वेबसाइट से या व ालय म पूछकर।
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e m.
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ान (उदाहरण) गम का अ धकतम सद का न्यूनतम अंतर
m a
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g
दल्ली लगभग 45 °C लगभग 4 °C 41 °C
a चेन्नई
लगभग 40 °C लगभग 20 °C
s
20 °C
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m.co agl
se
शमला लगभग 28 °C लगभग – 2 °C 30 °C
l a
लेह
ag
लगभग 25 °C लगभग – 15 °C 40 °C
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अंतर कैसे नकाल: घटाव को ‘ग त’ क तरह ली जए। लेह के लए 25 – (– 15) = 25 + 15 = 40 °C। तापमापी
m .
m as e
l
को 0 तक पहुँचने के लए ही 15 ड ी चढ़ना पड़ता है और उसके बाद 25 ड ी और।
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आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 262
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com g l a
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तापमान
m
ase
agl
MATH TALK
m
ान भी ह जहाँ कभी-कभी तापमान 0 °C से नीचे चला जाता है?
co
प्र.1 क्या आप जानते ह क भारत म कुछ ऐसे
m .
ान का पता लगाइए जहाँ तापमान सामान्यत: 0 °C से भी नीचे पहुँच जाता है। इन
e
भारत म ऐसे ान म क्या
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समानता है? अन्य ान क तुलना म यहाँ अ धक ठं ड क्य होती है?
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a s emउत्तर
agl
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m
भारत के वे ान जहाँ तापमान 0 °C से नीचे जाता है:
a s e
. c om
लद्दाख — लेह, कार गल, द्रास (द्रास पृथ्वी के सबसे ठं डे बसे ान म है, जहाँ लगभग – 45 °C तक दज हुआ है)।
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जम्मू-कश्मीर — ीनगर, गुलमग, पहलगाम।
em
a gl स्पी त, कल्पा।
हमाचल प्रदे श — केलंग, मनाली,
उत्तराखंड — औली, मुनस्यारी, बद्र नाथ।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
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संकेत: ये सभी धनात्मक तापमान ह — पानी के जमाव बदु 0 °C से बहुत ऊपर। ऋणात्मक तापमान केवल बहुत
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प्र.1 क्या आप जानते ह क भारत म कुछ ऐसे
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समानता है? अन्य ान क तुलना म यहाँ अ धक ठं ड क्य होती है?
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भारत के वे ान जहाँ तापमान 0 °C से नीचे जाता है:
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जम्मू-कश्मीर — ीनगर, गुलमग, पहलगाम।
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हमाचल प्रदे श — केलंग, मनाली,
उत्तराखंड — औली, मुनस्यारी, बद्र नाथ।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
स क्कम और अरुणाचल प्रदे श — लाचुंग, तवांग, सेला दरा।
इनम समानता: ये सभी ान हमालय म ह — बहुत अ धक ऊँचाई पर और दे श के सुदूर उत्तर म।
वहाँ अ धक ठं ड क्य होती है:
ऊँचाई। ऊपर जाने पर हवा पतली और ठं डी होती जाती है — लगभग हर 1000 मी पर 6 °C क कमी। लेह
लगभग 3500 मी ऊँचाई पर है, अत: वहाँ मैदान से लगभग 20 °C कम तापमान रहता है।
बफ। सफेद बफ अ धकांश सूय-प्रकाश को पराव तत कर दे ती है, इस लए धरती गम ही नह हो पाती।
सूखी, पतली हवा। दन म मली थोड़ी-सी ऊष्मा रात म शीघ्र ही नकल जाती है।
अक्षांश। ये ान भारत के सबसे उत्तर म ह, अत: स दय म सूय नीचा और कमजोर रहता है।
ग णत चचा: कक्षा म चचा क जए — क्या 0 °C का अथ ‘कोई तापमान नह ’ है? नह ! यह केवल वह चह्न है जहाँ
पानी जमता है। तापमान उससे नीचे भी चलता रहता है, ठ क जैसे तल भूतल से नीचे भी होते ह।
प्र.2 लद्दाख के लेह क्षेत्र म सद के समय अत्य धक ठं ड हो जाती है। नीचे द गई सारणी लेह के नवंबर माह के एक दन
के व भन्न समय के तापमान को दशाती है। दन और रात के सही समय के साथ संबं धत तापमान का मलान
क जए। (14 °C, 8 °C, – 2 °C, – 4 °C तथा 02:00 a.m., 11:00 p.m., 02:00 p.m., 11:00 a.m.)
पृष्ठ 262 पर द गई दोन सार णयाँ—
तापमान समय
14 °C 02:00 a.m.
8 °C 11:00 p.m.
– 2 °C 02:00 p.m.
– 4 °C 11:00 a.m.
सो चए क दन कैसे गम होता है और रात कैसे ठं डी — सबसे अ धक ठं ड सूय दय से ठ क पहले और सबसे अ धक गम दोपहर
बाद।
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स क्कम और अरुणाचल प्रदे श — लाचुंग, तवांग, सेला दरा।
इनम समानता: ये सभी ान हमालय म ह — बहुत अ धक ऊँचाई पर और दे श के सुदूर उत्तर म।
वहाँ अ धक ठं ड क्य होती है:
ऊँचाई। ऊपर जाने पर हवा पतली और ठं डी होती जाती है — लगभग हर 1000 मी पर 6 °C क कमी। लेह
लगभग 3500 मी ऊँचाई पर है, अत: वहाँ मैदान से लगभग 20 °C कम तापमान रहता है।
बफ। सफेद बफ अ धकांश सूय-प्रकाश को पराव तत कर दे ती है, इस लए धरती गम ही नह हो पाती।
सूखी, पतली हवा। दन म मली थोड़ी-सी ऊष्मा रात म शीघ्र ही नकल जाती है।
अक्षांश। ये ान भारत के सबसे उत्तर म ह, अत: स दय म सूय नीचा और कमजोर रहता है।
ग णत चचा: कक्षा म चचा क जए — क्या 0 °C का अथ ‘कोई तापमान नह ’ है? नह ! यह केवल वह चह्न है जहाँ
पानी जमता है। तापमान उससे नीचे भी चलता रहता है, ठ क जैसे तल भूतल से नीचे भी होते ह।
प्र.2 लद्दाख के लेह क्षेत्र म सद के समय अत्य धक ठं ड हो जाती है। नीचे द गई सारणी लेह के नवंबर माह के एक दन
के व भन्न समय के तापमान को दशाती है। दन और रात के सही समय के साथ संबं धत तापमान का मलान
क जए। (14 °C, 8 °C, – 2 °C, – 4 °C तथा 02:00 a.m., 11:00 p.m., 02:00 p.m., 11:00 a.m.)
पृष्ठ 262 पर द गई दोन सार णयाँ—
तापमान समय
14 °C 02:00 a.m.
8 °C 11:00 p.m.
– 2 °C 02:00 p.m.
– 4 °C 11:00 a.m.
सो चए क दन कैसे गम होता है और रात कैसे ठं डी — सबसे अ धक ठं ड सूय दय से ठ क पहले और सबसे अ धक गम दोपहर
बाद।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
तापमान समय कारण
14 °C 02:00 p.m. सबसे अ धक — दोपहर बाद सूय सबसे प्रबल होता है
8 °C 11:00 a.m. दन चढ़ रहा है, तापमान बढ़ रहा है
– 2 °C 11:00 p.m. रात म जमाव बदु से नीचे, पर धरती अभी ऊष्मा छोड़ रही है
– 4 °C 02:00 a.m. सबसे कम — आधी रात के बाद, सूयास्त के कई घंटे बाद
चारों पाठ ांक ों का क्रम: – 4 °C < – 2 °C < 8 °C < 14 °C
2 p.m. से 2 a.m. तक िगरावट: – 4 – 14 = – 18 °C — तापमापी 18 िडगी नीचे िगरता है
दोन ऋणात्मक पाठ्यांक रात के ही क्य ह: सूयास्त के बाद धरती को गम करने वाला प्रकाश नह रहता, इस लए
लेह जैसे ऊँचे और सूखे ान पर तापमान सूय दय तक गरता ही रहता है। – 4 °C का अथ है पानी के जमाव बदु
से 4 ड ी नीचे।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 263 और 264
अध्याय 10.4 पूणाक के साथ अन्वेषण — एक रक्त पूणाक ड
प्र.1 उपरोक्त दूसरे ड के लए गणना क जए और सीमा योग ात क जए।
4 –1 –3 5 –3 –5
–3 1 0 –5
–1 –1 2 –8 –2 7
पथम िग ड दू सरा िग ड
पृष्ठ 263 पर दए गए दोन रक्त पूणाक ड।
दूसरा ड इस प्रकार है—
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तापमान समय कारण
14 °C 02:00 p.m. सबसे अ धक — दोपहर बाद सूय सबसे प्रबल होता है
8 °C 11:00 a.m. दन चढ़ रहा है, तापमान बढ़ रहा है
– 2 °C 11:00 p.m. रात म जमाव बदु से नीचे, पर धरती अभी ऊष्मा छोड़ रही है
– 4 °C 02:00 a.m. सबसे कम — आधी रात के बाद, सूयास्त के कई घंटे बाद
चारों पाठ ांक ों का क्रम: – 4 °C < – 2 °C < 8 °C < 14 °C
2 p.m. से 2 a.m. तक िगरावट: – 4 – 14 = – 18 °C — तापमापी 18 िडगी नीचे िगरता है
दोन ऋणात्मक पाठ्यांक रात के ही क्य ह: सूयास्त के बाद धरती को गम करने वाला प्रकाश नह रहता, इस लए
लेह जैसे ऊँचे और सूखे ान पर तापमान सूय दय तक गरता ही रहता है। – 4 °C का अथ है पानी के जमाव बदु
से 4 ड ी नीचे।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 263 और 264
अध्याय 10.4 पूणाक के साथ अन्वेषण — एक रक्त पूणाक ड
प्र.1 उपरोक्त दूसरे ड के लए गणना क जए और सीमा योग ात क जए।
4 –1 –3 5 –3 –5
–3 1 0 –5
–1 –1 2 –8 –2 7
पथम िग ड दू सरा िग ड
पृष्ठ 263 पर दए गए दोन रक्त पूणाक ड।
दूसरा ड इस प्रकार है—
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
5 –3 –5
0 –5
–8 –2 7
ऊपर की पंिक्त: 5 + (– 3) + (– 5) = – 3
अंितम पंिक्त: (– 8) + (– 2) + 7 = – 3
बायाँ स्तं भ : 5 + 0 + (– 8) = – 3
दायाँ स्तं भ : (– 5) + (– 5) + 7 = – 3
उत्तर: दूसरे ड का सीमा योग – 3 है।
इसे ‘ रक्त’ ड क्य कहते ह: इसम केवल सीमा पर क आठ संख्याएँ काम आती ह — बीच वाला खाना कसी
भी योग म नह आता।
प्र.2 आवश्यक सीमा योग बनाने के लए ड को पूण क जए— (i) – 10, ___, ___ / ___, ___, – 5 / 9, ___, ___
सीमा योग + 4 (ii) 6, 8, ___ / ___, ___, – 5 / ___, – 2, ___ सीमा योग – 2 (iii) 7, ___, ___ / ___, ___, – 5 /
___, ___, ___ सीमा योग – 4
पहले उस पं क्त या स्तंभ को ली जए जसम केवल एक संख्या लुप्त हो, फर आगे ब ढ़ए।
(i) सीमा योग + 4 — बाएँ स्तंभ से शुरू क जए: – 10 + ? + 9 = 4, अत: बीच का बायाँ खाना 5 है।
– 10 10 4
5 –5
9 – 10 5
ऊपर: – 10 + 10 + 4 = 4 ✔ दायाँ: 4 + (– 5) + 5 = 4 ✔ नीचे : 9 + (– 10) + 5 = 4 ✔ बायाँ: – 10 +
5+9=4✔
(ii) सीमा योग – 2 — ऊपर क पं क्त म केवल एक ान रक्त है: 6 + 8 + ? = – 2, अत: वह – 16 है। इसके बाद बाक सब
न त हो जाता है — इस ड का केवल एक उत्तर है।
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5 –3 –5
0 –5
–8 –2 7
ऊपर की पंिक्त: 5 + (– 3) + (– 5) = – 3
अंितम पंिक्त: (– 8) + (– 2) + 7 = – 3
बायाँ स्तं भ : 5 + 0 + (– 8) = – 3
दायाँ स्तं भ : (– 5) + (– 5) + 7 = – 3
उत्तर: दूसरे ड का सीमा योग – 3 है।
इसे ‘ रक्त’ ड क्य कहते ह: इसम केवल सीमा पर क आठ संख्याएँ काम आती ह — बीच वाला खाना कसी
भी योग म नह आता।
प्र.2 आवश्यक सीमा योग बनाने के लए ड को पूण क जए— (i) – 10, ___, ___ / ___, ___, – 5 / 9, ___, ___
सीमा योग + 4 (ii) 6, 8, ___ / ___, ___, – 5 / ___, – 2, ___ सीमा योग – 2 (iii) 7, ___, ___ / ___, ___, – 5 /
___, ___, ___ सीमा योग – 4
पहले उस पं क्त या स्तंभ को ली जए जसम केवल एक संख्या लुप्त हो, फर आगे ब ढ़ए।
(i) सीमा योग + 4 — बाएँ स्तंभ से शुरू क जए: – 10 + ? + 9 = 4, अत: बीच का बायाँ खाना 5 है।
– 10 10 4
5 –5
9 – 10 5
ऊपर: – 10 + 10 + 4 = 4 ✔ दायाँ: 4 + (– 5) + 5 = 4 ✔ नीचे : 9 + (– 10) + 5 = 4 ✔ बायाँ: – 10 +
5+9=4✔
(ii) सीमा योग – 2 — ऊपर क पं क्त म केवल एक ान रक्त है: 6 + 8 + ? = – 2, अत: वह – 16 है। इसके बाद बाक सब
न त हो जाता है — इस ड का केवल एक उत्तर है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
6 8 – 16
11 –5
– 19 –2 19
दायाँ: – 16 + (– 5) + 19 = – 2 ✔ नीचे : – 19 + (– 2) + 19 = – 2 ✔ बायाँ: 6 + 11 + (– 19) = – 2
✔
(iii) सीमा योग – 4 — यहाँ आप स्वतंत्र रूप से संख्याएँ चुन सकते ह। एक हल इस प्रकार है—
7 –2 –9
–3 –5
–8 –6 10
ऊपर: 7 + (– 2) + (– 9) = – 4 ✔ दायाँ: – 9 + (– 5) + 10 = – 4 ✔ नीचे : – 8 + (– 6) + 10 = – 4 ✔
बायाँ: 7 + (– 3) + (– 8) = – 4 ✔
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6 8 – 16
11 –5
– 19 –2 19
दायाँ: – 16 + (– 5) + 19 = – 2 ✔ नीचे : – 19 + (– 2) + 19 = – 2 ✔ बायाँ: 6 + 11 + (– 19) = – 2
✔
(iii) सीमा योग – 4 — यहाँ आप स्वतंत्र रूप से संख्याएँ चुन सकते ह। एक हल इस प्रकार है—
7 –2 –9
–3 –5
–8 –6 10
ऊपर: 7 + (– 2) + (– 9) = – 4 ✔ दायाँ: – 9 + (– 5) + 10 = – 4 ✔ नीचे : – 8 + (– 6) + 10 = – 4 ✔
बायाँ: 7 + (– 3) + (– 8) = – 4 ✔
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
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m.
उपरोक्त अं तम ड म – 4 सीमा योग प्राप्त करने के लए एक से अ धक तरीके बताइए।
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प्र.3
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–5 m
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eपृmष्ठ 264 — इसम केवल दो संख्याएँ द गई ह। agl
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प्रश्न 2 के तीन ड म से अं तम ड,
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तरीके दे.cखए—
अं तम ड म केवल दो संख्याएँ न त ह — ऊपर बाएँ कोने म 7 और दाएँ स्तंभ के बीच म – 5। इस लए बहुत छू ट है। दो और
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7 – 11
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– 11 –5
0 –5 1
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ऊपर: 7 – 11 + 0 = – 4 ✔ दायाँ: 0 – 5 + 1 = – 4 ✔ नीचे : 0 – 5 + 1 = – 4 ✔ बायाँ: 7 – 11 + 0 =
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तरीका 3
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
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उपरोक्त अं तम ड म – 4 सीमा योग प्राप्त करने के लए एक से अ धक तरीके बताइए।
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प्रश्न 2 के तीन ड म से अं तम ड,
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अं तम ड म केवल दो संख्याएँ न त ह — ऊपर बाएँ कोने म 7 और दाएँ स्तंभ के बीच म – 5। इस लए बहुत छू ट है। दो और
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
7 –6 –5
–9 –5
–2 –8 6
ऊपर: 7 – 6 – 5 = – 4 ✔ दायाँ: – 5 – 5 + 6 = – 4 ✔ नीचे : – 2 – 8 + 6 = – 4 ✔ बायाँ: 7 – 9 – 2
=–4✔
स्वयं बनाइए: ऊपर-दाएँ और नीचे-बाएँ कोन म कोई भी दो संख्याएँ रख द जए। इसके बाद बाक ड अपने आप
तय हो जाता है, क्य क हर शेष खाना ऐसी पं क्त या स्तंभ म होता है जसम केवल एक ान रक्त बचता है।
प्र.4 कौन-सी अन्य ड व भन्न व धय से भरी जा सकती है? इसके क्या कारण हो सकते ह?
पहला ड (सीमा योग + 4) और तीसरा ड (सीमा योग – 4) अनेक तरीक से भरे जा सकते ह। दूसरे ड (सीमा योग – 2)
का केवल एक ही उत्तर है।
ड पहले से द गई संख्याएँ स्वतंत्र चुनाव कतने हल
पहला (+ 4) 3 संख्याएँ 1 अनेक
दूसरा (– 2) 4 संख्याएँ 0 के वल एक
तीसरा (– 4) 2 संख्याएँ 2 अनेक
कारण: कुल चार शत ह (ऊपर क पं क्त, अं तम पं क्त, बायाँ स्तंभ, दायाँ स्तंभ)। प्रत्येक शत एक अ ात संख्या
नकाल सकती है, अत: चार शत चार अ ात तय कर सकती ह। दूसरे ड म सीमा पर ठ क चार संख्याएँ लुप्त ह,
इस लए सब कुछ न त हो जाता है। अन्य दोन ड म शत से अ धक संख्याएँ लुप्त ह, इस लए अ त रक्त
संख्याएँ अपनी इ ा से चुनी जा सकती ह और शेष स्वयं तय हो जाती ह।
दूसरे शब्द म: पहले ड म ऊपर-दायाँ कोना स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है; तीसरे ड म दो कोने।
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7 –6 –5
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ऊपर: 7 – 6 – 5 = – 4 ✔ दायाँ: – 5 – 5 + 6 = – 4 ✔ नीचे : – 2 – 8 + 6 = – 4 ✔ बायाँ: 7 – 9 – 2
=–4✔
स्वयं बनाइए: ऊपर-दाएँ और नीचे-बाएँ कोन म कोई भी दो संख्याएँ रख द जए। इसके बाद बाक ड अपने आप
तय हो जाता है, क्य क हर शेष खाना ऐसी पं क्त या स्तंभ म होता है जसम केवल एक ान रक्त बचता है।
प्र.4 कौन-सी अन्य ड व भन्न व धय से भरी जा सकती है? इसके क्या कारण हो सकते ह?
पहला ड (सीमा योग + 4) और तीसरा ड (सीमा योग – 4) अनेक तरीक से भरे जा सकते ह। दूसरे ड (सीमा योग – 2)
का केवल एक ही उत्तर है।
ड पहले से द गई संख्याएँ स्वतंत्र चुनाव कतने हल
पहला (+ 4) 3 संख्याएँ 1 अनेक
दूसरा (– 2) 4 संख्याएँ 0 के वल एक
तीसरा (– 4) 2 संख्याएँ 2 अनेक
कारण: कुल चार शत ह (ऊपर क पं क्त, अं तम पं क्त, बायाँ स्तंभ, दायाँ स्तंभ)। प्रत्येक शत एक अ ात संख्या
नकाल सकती है, अत: चार शत चार अ ात तय कर सकती ह। दूसरे ड म सीमा पर ठ क चार संख्याएँ लुप्त ह,
इस लए सब कुछ न त हो जाता है। अन्य दोन ड म शत से अ धक संख्याएँ लुप्त ह, इस लए अ त रक्त
संख्याएँ अपनी इ ा से चुनी जा सकती ह और शेष स्वयं तय हो जाती ह।
दूसरे शब्द म: पहले ड म ऊपर-दायाँ कोना स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है; तीसरे ड म दो कोने।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.5 एक सीमा पूणाक वग पहेली बनाइए और इसे पूण करने के लए सहपा ठय को चुनौती द जए।
ऐसी पहेली बनाने का सरल तरीका यह है—
1. एक सीमा योग चु नए, मान ली जए – 6।
2. पहले चार कोन क संख्याएँ चु नए, जैसे ऊपर 2 और – 4 तथा नीचे – 3 और 1।
3. अब प्रत्येक रेखा के बीच वाले खाने को इस प्रकार भ रए क योग – 6 आए—
ऊपर: 2 + ? + (– 4) = – 6 → ? = – 4
नीचे : – 3 + ? + 1 = – 6 → ? = – 4
बायाँ: 2 + ? + (– 3) = – 6 → ? = – 5
दायाँ: – 4 + ? + 1 = – 6 → ? = – 3
4. पूरा ड इस प्रकार बनेगा—
2 –4 –4
–5 –3
–3 –4 1
अब इनम से तीन-चार संख्याएँ मटा द जए, नीचे ‘सीमा योग – 6 है’ लख द जए और अपने मत्र को दे द जए।
प्रयास कर: ठ क चार संख्याएँ मटाइए तो पहेली का एक ही हल होगा। पाँच या अ धक मटाइए तो आपके मत्र को
कई हल मलगे — दोन ही रोचक ह।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 265
संख्याओं का अ त ड!
TRY THIS
प्र.1 पुनः प्रयास क जए, इस बार अलग संख्याएँ चु नए। आपको इन संख्याओं का क्या योग प्राप्त हुआ? क्या यह
पहले से भन्न है? कुछ और बार प्रयास क जए।
आप कोई भी संख्याएँ चुन, योग सदै व – 1 ही आता है। पृष्ठ 264 वाले ड (3, 4, 0, 9 / – 2, – 1, – 5, 4 / 1, 2, – 2, 7 / – 7,
– 6, – 10, – 1) पर तीन नए खेल दे खए—
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प्र.5 एक सीमा पूणाक वग पहेली बनाइए और इसे पूण करने के लए सहपा ठय को चुनौती द जए।
ऐसी पहेली बनाने का सरल तरीका यह है—
1. एक सीमा योग चु नए, मान ली जए – 6।
2. पहले चार कोन क संख्याएँ चु नए, जैसे ऊपर 2 और – 4 तथा नीचे – 3 और 1।
3. अब प्रत्येक रेखा के बीच वाले खाने को इस प्रकार भ रए क योग – 6 आए—
ऊपर: 2 + ? + (– 4) = – 6 → ? = – 4
नीचे : – 3 + ? + 1 = – 6 → ? = – 4
बायाँ: 2 + ? + (– 3) = – 6 → ? = – 5
दायाँ: – 4 + ? + 1 = – 6 → ? = – 3
4. पूरा ड इस प्रकार बनेगा—
2 –4 –4
–5 –3
–3 –4 1
अब इनम से तीन-चार संख्याएँ मटा द जए, नीचे ‘सीमा योग – 6 है’ लख द जए और अपने मत्र को दे द जए।
प्रयास कर: ठ क चार संख्याएँ मटाइए तो पहेली का एक ही हल होगा। पाँच या अ धक मटाइए तो आपके मत्र को
कई हल मलगे — दोन ही रोचक ह।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 265
संख्याओं का अ त ड!
TRY THIS
प्र.1 पुनः प्रयास क जए, इस बार अलग संख्याएँ चु नए। आपको इन संख्याओं का क्या योग प्राप्त हुआ? क्या यह
पहले से भन्न है? कुछ और बार प्रयास क जए।
आप कोई भी संख्याएँ चुन, योग सदै व – 1 ही आता है। पृष्ठ 264 वाले ड (3, 4, 0, 9 / – 2, – 1, – 5, 4 / 1, 2, – 2, 7 / – 7,
– 6, – 10, – 1) पर तीन नए खेल दे खए—
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
खेल गोला लगी संख्याएँ (हर पं क्त और हर स्तंभ से एक) योग
पुस्तक वाला खेल (– 1) + 9 + (– 7) + (– 2) –1
खेल 2 3 + 4 + 2 + (– 10) –1
खेल 3 0 + (– 2) + 7 + (– 6) –1
खेल 4 9 + (– 5) + 1 + (– 6) –1
उदाहरण के लए खेल 2 म 3 पहली पं क्त–पहले स्तंभ से, 4 दूसरी पं क्त–चौथे स्तंभ से, 2 तीसरी पं क्त–दूसरे स्तंभ से और – 10
चौथी पं क्त–तीसरे स्तंभ से है। काटने के नयम के कारण हर पं क्त और हर स्तंभ एक-एक बार ही आता है।
3 + 4 + 2 + (– 10) = – 1 0 + (– 2) + 7 + (– 6) = – 1 9 + (– 5) + 1 + (– 6) = – 1
उत्तर: योग हर बार – 1 ही आता है, चाहे आप कैसे भी खेल।
प्र.2 नीचे द गई ड के साथ भी इसी तरह का खेल खे लए। आप क्या उत्तर प्राप्त करते ह?
पहला ड (7, 10, 13, 16 / – 2, 1, 4, 7 / – 11, – 8, – 5, – 2 / – 20, – 7, – 14, – 11): उत्तर हर बार – 8 आता है।
16 + 4 + (– 8) + (– 20) = – 8
10 + 7 + (– 11) + (– 14) = – 8
16 + 1 + (– 11) + (– 14) = – 8
दूसरा ड (– 11, – 10, – 9, – 8 / – 7, – 6, – 5, – 4 / – 3, – 2, – 1, 0 / 1, 2, 3, 4):
(– 11) + (– 6) + (– 1) + 4 = – 14 (– 8) + (– 5) + (– 2) + 1 = – 14 (– 9) + (– 4) + (– 3) + 2 =
– 14
उत्तर: पहला ड सदै व – 8 दे ता है और दूसरा ड सदै व – 14।
छपाई क एक त्रु ट: पहले ड क अं तम पं क्त – 20, – 7, – 14, – 11 छपी है। ड के पैटन (हर पं क्त 3-3
बढ़ती है) के अनुसार दूसरी संख्या – 17 होनी चा हए। य द आप छपी हुई – 7 पर गोला लगा द तो योग – 8 के ान
पर + 2 आ जाएगा। उस खाने म – 17 रखने पर हर खेल का उत्तर – 8 ही आता है।
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खेल गोला लगी संख्याएँ (हर पं क्त और हर स्तंभ से एक) योग
पुस्तक वाला खेल (– 1) + 9 + (– 7) + (– 2) –1
खेल 2 3 + 4 + 2 + (– 10) –1
खेल 3 0 + (– 2) + 7 + (– 6) –1
खेल 4 9 + (– 5) + 1 + (– 6) –1
उदाहरण के लए खेल 2 म 3 पहली पं क्त–पहले स्तंभ से, 4 दूसरी पं क्त–चौथे स्तंभ से, 2 तीसरी पं क्त–दूसरे स्तंभ से और – 10
चौथी पं क्त–तीसरे स्तंभ से है। काटने के नयम के कारण हर पं क्त और हर स्तंभ एक-एक बार ही आता है।
3 + 4 + 2 + (– 10) = – 1 0 + (– 2) + 7 + (– 6) = – 1 9 + (– 5) + 1 + (– 6) = – 1
उत्तर: योग हर बार – 1 ही आता है, चाहे आप कैसे भी खेल।
प्र.2 नीचे द गई ड के साथ भी इसी तरह का खेल खे लए। आप क्या उत्तर प्राप्त करते ह?
पहला ड (7, 10, 13, 16 / – 2, 1, 4, 7 / – 11, – 8, – 5, – 2 / – 20, – 7, – 14, – 11): उत्तर हर बार – 8 आता है।
16 + 4 + (– 8) + (– 20) = – 8
10 + 7 + (– 11) + (– 14) = – 8
16 + 1 + (– 11) + (– 14) = – 8
दूसरा ड (– 11, – 10, – 9, – 8 / – 7, – 6, – 5, – 4 / – 3, – 2, – 1, 0 / 1, 2, 3, 4):
(– 11) + (– 6) + (– 1) + 4 = – 14 (– 8) + (– 5) + (– 2) + 1 = – 14 (– 9) + (– 4) + (– 3) + 2 =
– 14
उत्तर: पहला ड सदै व – 8 दे ता है और दूसरा ड सदै व – 14।
छपाई क एक त्रु ट: पहले ड क अं तम पं क्त – 20, – 7, – 14, – 11 छपी है। ड के पैटन (हर पं क्त 3-3
बढ़ती है) के अनुसार दूसरी संख्या – 17 होनी चा हए। य द आप छपी हुई – 7 पर गोला लगा द तो योग – 8 के ान
पर + 2 आ जाएगा। उस खाने म – 17 रखने पर हर खेल का उत्तर – 8 ही आता है।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.3 इन ड म क्या वशेष हो सकता है? क्या संख्याओं म जादू है या इन्ह व्यव त करने के तरीके म जादू है या
दोन म ह? क्या आप ऐसे और ड बना सकते ह?
जादू व्यव ा म है — संख्याएँ एक पं क्त-सूची और एक स्तंभ-सूची से बनाई गई ह।
दूसरे ड को दे खए। स्तंभ के ऊपर 0, 1, 2, 3 और पं क्तय के आगे – 11, – 7, – 3, 1 ल खए। हर खाना केवल पं क्त संख्या
+ स्तंभ संख्या है — जैसे दूसरी पं क्त, तीसरे स्तंभ का खाना – 7 + 2 = – 5। ✔
+ 0 1 2 3
– 11 – 11 – 10 –9 –8
–7 –7 –6 –5 –4
–3 –3 –2 –1 0
1 1 2 3 4
योग क्य नह बदल सकता: काटने का नयम आपको हर पं क्त से ठ क एक और हर स्तंभ से ठ क एक संख्या
लेने पर ववश करता है। अत: गोला लगी चार संख्याओं म हर पं क्त संख्या एक बार और हर स्तंभ संख्या एक बार
आती है—
योग = (– 11 – 7 – 3 + 1) + (0 + 1 + 2 + 3) = (– 20) + 6 = – 14
आपने कौन-से खाने चुने, इससे कोई अंतर नह पड़ता — वही आठ संख्याएँ हर बार जुड़ती ह।
अपना ड बनाइए: कोई भी चार पं क्त संख्याएँ और चार स्तंभ संख्याएँ चुनकर ड म उनका योग भर द जए। आपके खेल का
उत्तर हमेशा (पं क्त संख्याओं का योग) + (स्तंभ संख्याओं का योग) होगा। जैसे पं क्तयाँ 5, 0, – 2, 10 और स्तंभ 1, – 1, 4, 0
लेने पर उत्तर सदै व 13 + 4 = 17 आएगा।
प्रयास कर: ऐसा 4 × 4 ड बनाइए जसका उत्तर सदै व 0 आए। बस ऐसी पं क्त और स्तंभ संख्याएँ चु नए जनका
कुल योग 0 हो — जैसे पं क्तयाँ 3, – 1, 2, – 4 और स्तंभ 5, – 5, 1, – 1।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 265 और 266
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प्र.3 इन ड म क्या वशेष हो सकता है? क्या संख्याओं म जादू है या इन्ह व्यव त करने के तरीके म जादू है या
दोन म ह? क्या आप ऐसे और ड बना सकते ह?
जादू व्यव ा म है — संख्याएँ एक पं क्त-सूची और एक स्तंभ-सूची से बनाई गई ह।
दूसरे ड को दे खए। स्तंभ के ऊपर 0, 1, 2, 3 और पं क्तय के आगे – 11, – 7, – 3, 1 ल खए। हर खाना केवल पं क्त संख्या
+ स्तंभ संख्या है — जैसे दूसरी पं क्त, तीसरे स्तंभ का खाना – 7 + 2 = – 5। ✔
+ 0 1 2 3
– 11 – 11 – 10 –9 –8
–7 –7 –6 –5 –4
–3 –3 –2 –1 0
1 1 2 3 4
योग क्य नह बदल सकता: काटने का नयम आपको हर पं क्त से ठ क एक और हर स्तंभ से ठ क एक संख्या
लेने पर ववश करता है। अत: गोला लगी चार संख्याओं म हर पं क्त संख्या एक बार और हर स्तंभ संख्या एक बार
आती है—
योग = (– 11 – 7 – 3 + 1) + (0 + 1 + 2 + 3) = (– 20) + 6 = – 14
आपने कौन-से खाने चुने, इससे कोई अंतर नह पड़ता — वही आठ संख्याएँ हर बार जुड़ती ह।
अपना ड बनाइए: कोई भी चार पं क्त संख्याएँ और चार स्तंभ संख्याएँ चुनकर ड म उनका योग भर द जए। आपके खेल का
उत्तर हमेशा (पं क्त संख्याओं का योग) + (स्तंभ संख्याओं का योग) होगा। जैसे पं क्तयाँ 5, 0, – 2, 10 और स्तंभ 1, – 1, 4, 0
लेने पर उत्तर सदै व 13 + 4 = 17 आएगा।
प्रयास कर: ऐसा 4 × 4 ड बनाइए जसका उत्तर सदै व 0 आए। बस ऐसी पं क्त और स्तंभ संख्याएँ चु नए जनका
कुल योग 0 हो — जैसे पं क्तयाँ 3, – 1, 2, – 4 और स्तंभ 5, – 5, 1, – 1।
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 265 और 266
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
पूणाक का अभ्यास
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e m.
m l as
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दए गए युग्म के बीच सभी पूणाक को बढ़ते क्रम म ल खए। a. 0 और – 7 b. – 4 और 4 c. – 8 और – 15 d.
m
प्र.1
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– 30 और – 23
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‘बीच’ का अथ है क द गई दोन संख्याएँ स्वयं नह लखी जाएँगी। बढ़ता क्रम = संख्या रेखा पर बाएँ से दाएँ।
se m
l a
–g
a. 0 और – 7 के बीच: – 6, – 5, – 4, a 3, – 2, – 1
b. – 4 और 4 के बीच: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3
co m
em.
as
c. – 8 और – 15 के बीच: – 14, – 13, – 12, – 11, – 10, – 9
om– 23 के बीच: – 29, – 28, – 27, – 26, – 25, – 24
d. – 30.cऔर a g l
a s em
a gl
s
(c) और (d) म सावधानी: प्रश्न म छोट संख्या बाद म लखी है। – 15, – 8 से छोट है, अत: सूची – 14 से आरंभ
m a
.co agl
होकर – 9 तक चढ़े गी। भाग (b) म 0 को सूची म लखना न भू लए।
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g l a
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ऐसी तीन संख्याएँ बताइए जनका योग – 8 है।
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प्र.2
m .
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.co a g l
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अनेक उत्तर संभव ह। कुछ उदाहरण, जाँच स हत—
ag
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com a
(– 3) + (– 4) + (– 1) = – 8
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5 + (– 6) + (– 7) = – 8
10 + (– 12) + (– 6) = – 8
agl
0 + (– 8) + 0 = – 8
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100 + (– 50) + (– 58) = – 8
m l as
.co a g
m अपना उत्तर कैसे बनाएँ: कोई भी दो संख्याएँ लखकर उनका योग नका लए, फर तीसरी संख्या ऐसी चु नए क
l a se
ag कुल योग – 8 हो जाए। 5 और – 6 का योग – 1 है, और – 1 को – 8 तक पहुँचने के लए – 7 चा हए।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
पूणाक का अभ्यास
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m l as
.co a g
दए गए युग्म के बीच सभी पूणाक को बढ़ते क्रम म ल खए। a. 0 और – 7 b. – 4 और 4 c. – 8 और – 15 d.
m
प्र.1
l a se
– 30 और – 23
a g
com
. ag
‘बीच’ का अथ है क द गई दोन संख्याएँ स्वयं नह लखी जाएँगी। बढ़ता क्रम = संख्या रेखा पर बाएँ से दाएँ।
se m
l a
–g
a. 0 और – 7 के बीच: – 6, – 5, – 4, a 3, – 2, – 1
b. – 4 और 4 के बीच: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3
co m
em.
as
c. – 8 और – 15 के बीच: – 14, – 13, – 12, – 11, – 10, – 9
om– 23 के बीच: – 29, – 28, – 27, – 26, – 25, – 24
d. – 30.cऔर a g l
a s em
a gl
s
(c) और (d) म सावधानी: प्रश्न म छोट संख्या बाद म लखी है। – 15, – 8 से छोट है, अत: सूची – 14 से आरंभ
m a
.co agl
होकर – 9 तक चढ़े गी। भाग (b) म 0 को सूची म लखना न भू लए।
se m
g l a
a
m
ऐसी तीन संख्याएँ बताइए जनका योग – 8 है।
co
प्र.2
m .
m as e
.co a g l
se m
l a
अनेक उत्तर संभव ह। कुछ उदाहरण, जाँच स हत—
ag
se m
com a
(– 3) + (– 4) + (– 1) = – 8
. a g l
m
ase
5 + (– 6) + (– 7) = – 8
10 + (– 12) + (– 6) = – 8
agl
0 + (– 8) + 0 = – 8
co m
m .
e
100 + (– 50) + (– 58) = – 8
m l as
.co a g
m अपना उत्तर कैसे बनाएँ: कोई भी दो संख्याएँ लखकर उनका योग नका लए, फर तीसरी संख्या ऐसी चु नए क
l a se
ag कुल योग – 8 हो जाए। 5 और – 6 का योग – 1 है, और – 1 को – 8 तक पहुँचने के लए – 7 चा हए।
.c
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a
co m
m .
m ase
.co
a g l Page 49 of 58
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
प्र.3 यहाँ दो पासे ह जनके फलक पर संख्याएँ दशाई गई ह— – 1, 2, – 3, 4, – 5, 6। इन पास को उछालने पर
सबसे छोटा संभा वत योग – 10 = (– 5) + (– 5) है और सबसे बड़ा संभा वत योग 12 = (6) + (6) है। इन दो
पास पर संख्याओं को जोड़ने से (– 10) और (+ 12) के बीच क कुछ संख्याएँ प्राप्त करना संभव नह है। ऐसी
संख्याओं का पता लगाइए।
सभी संभा वत उछाल क योग-सारणी बनाइए। फलक ह – 5, – 3, – 1, 2, 4, 6।
+ –5 –3 –1 2 4 6
–5 – 10 –8 –6 –3 –1 1
–3 –8 –6 –4 –1 1 3
–1 –6 –4 –2 1 3 5
2 –3 –1 1 4 6 8
4 –1 1 3 6 8 10
6 1 3 5 8 10 12
जो योग प्राप्त हो सकते ह वे ह — – 10, – 8, – 6, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12।
अत: – 10 और + 12 के बीच जो संख्याएँ प् पा त नहीं हो सकतीं वे है ं
– 9, – 7, – 5, 0, 2, 7, 9, 11
0 क्य नह मल सकता: 0 पाने के लए दोन फलक एक-दूसरे के प्र तलोम होने चा हए — जैसे + 5 और – 5, या
+ 1 और – 1। इन पास पर धनात्मक फलक 2, 4, 6 ह और ऋणात्मक फलक – 1, – 3, – 5, अत: कोई युग्म
एक-दूसरे को रद्द नह करता।
स्वयं जाँ चए: – 9 से + 11 तक क 21 संख्याओं म से 8 संख्याएँ असंभव ह।
प्र.4 इन्ह हल क जए— 8 – 13, (– 8) – (13), (– 13) – (– 8), (– 13) + (– 8), 8 + (– 13), (– 8) – (– 13), (13)
– 8, 13 – (– 8)
पहले हर घटाव को ‘प्र तलोम जो ड़ए’ के रूप म बदल द जए।
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प्र.3 यहाँ दो पासे ह जनके फलक पर संख्याएँ दशाई गई ह— – 1, 2, – 3, 4, – 5, 6। इन पास को उछालने पर
सबसे छोटा संभा वत योग – 10 = (– 5) + (– 5) है और सबसे बड़ा संभा वत योग 12 = (6) + (6) है। इन दो
पास पर संख्याओं को जोड़ने से (– 10) और (+ 12) के बीच क कुछ संख्याएँ प्राप्त करना संभव नह है। ऐसी
संख्याओं का पता लगाइए।
सभी संभा वत उछाल क योग-सारणी बनाइए। फलक ह – 5, – 3, – 1, 2, 4, 6।
+ –5 –3 –1 2 4 6
–5 – 10 –8 –6 –3 –1 1
–3 –8 –6 –4 –1 1 3
–1 –6 –4 –2 1 3 5
2 –3 –1 1 4 6 8
4 –1 1 3 6 8 10
6 1 3 5 8 10 12
जो योग प्राप्त हो सकते ह वे ह — – 10, – 8, – 6, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12।
अत: – 10 और + 12 के बीच जो संख्याएँ प् पा त नहीं हो सकतीं वे है ं
– 9, – 7, – 5, 0, 2, 7, 9, 11
0 क्य नह मल सकता: 0 पाने के लए दोन फलक एक-दूसरे के प्र तलोम होने चा हए — जैसे + 5 और – 5, या
+ 1 और – 1। इन पास पर धनात्मक फलक 2, 4, 6 ह और ऋणात्मक फलक – 1, – 3, – 5, अत: कोई युग्म
एक-दूसरे को रद्द नह करता।
स्वयं जाँ चए: – 9 से + 11 तक क 21 संख्याओं म से 8 संख्याएँ असंभव ह।
प्र.4 इन्ह हल क जए— 8 – 13, (– 8) – (13), (– 13) – (– 8), (– 13) + (– 8), 8 + (– 13), (– 8) – (– 13), (13)
– 8, 13 – (– 8)
पहले हर घटाव को ‘प्र तलोम जो ड़ए’ के रूप म बदल द जए।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
पद जोड़ के रूप म उत्तर
8 – 13 8 + (– 13) –5
(– 8) – (13) – 8 + (– 13) – 21
(– 13) – (– 8) – 13 + 8 –5
(– 13) + (– 8) पहले से ही जोड़ है – 21
8 + (– 13) पहले से ही जोड़ है –5
(– 8) – (– 13) – 8 + 13 +5
(13) – 8 13 + (– 8) +5
13 – (– 8) 13 + 8 + 21
पैटन दे खए: केवल चार भन्न उत्तर आते ह — – 5, – 21, + 5 और + 21। अंक सदै व 5 या 21 ह, बदलते केवल
चह्न ह। 13 और 8 का अंतर 5 है और योग 21, और चह्न इस बात पर नभर करता है क इनम कौन ‘भारी’ पड़ता
है।
प्र.5 नम्न ल खत के वष ात क जए— a. वतमान वष से 150 वष पूव कौन-सा वष था? b. वतमान वष से 2200
वष पूव कौन-सा वष था? संकेत— याद र खए क कोई 0 वष नह था। c. 680 ईसा पूव से 320 वष बाद कौन-सा
वष होगा?
वतमान वष 2026 ईस्वी मानकर हल क जए (आप जस वष यह प्रश्न हल कर रहे ह , उसी से यही व ध अपनाइए)।
a. 150 वष पीछे जाने पर भी हम ईस्वी वष म ही रहते ह, अत: सीधा घटाव पयाप्त है।
2026 – 150 = 1876 स् ई वी
b. 2200 वष पीछे जाने पर हम 1 ईस्वी को पार करके ईसा पूव वष म पहुँच जाते ह। इसे दो चरण म क जए।
2026 ईस्वी से 1 ईस्वी तक: 2026 – 1 = 2025 वष
अभी और पीछे जाना है: 2200 – 2025 = 175 वष
चूँिक कोई वष 0 नही ं थ ा, 1 ईस्वी से ठीक पहले का वष 1 ईसा पूव है, उससे पहले 2 ईसा पूव …
अत: हम पहुँच ते है ं 175 ईसा पूव
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पद जोड़ के रूप म उत्तर
8 – 13 8 + (– 13) –5
(– 8) – (13) – 8 + (– 13) – 21
(– 13) – (– 8) – 13 + 8 –5
(– 13) + (– 8) पहले से ही जोड़ है – 21
8 + (– 13) पहले से ही जोड़ है –5
(– 8) – (– 13) – 8 + 13 +5
(13) – 8 13 + (– 8) +5
13 – (– 8) 13 + 8 + 21
पैटन दे खए: केवल चार भन्न उत्तर आते ह — – 5, – 21, + 5 और + 21। अंक सदै व 5 या 21 ह, बदलते केवल
चह्न ह। 13 और 8 का अंतर 5 है और योग 21, और चह्न इस बात पर नभर करता है क इनम कौन ‘भारी’ पड़ता
है।
प्र.5 नम्न ल खत के वष ात क जए— a. वतमान वष से 150 वष पूव कौन-सा वष था? b. वतमान वष से 2200
वष पूव कौन-सा वष था? संकेत— याद र खए क कोई 0 वष नह था। c. 680 ईसा पूव से 320 वष बाद कौन-सा
वष होगा?
वतमान वष 2026 ईस्वी मानकर हल क जए (आप जस वष यह प्रश्न हल कर रहे ह , उसी से यही व ध अपनाइए)।
a. 150 वष पीछे जाने पर भी हम ईस्वी वष म ही रहते ह, अत: सीधा घटाव पयाप्त है।
2026 – 150 = 1876 स् ई वी
b. 2200 वष पीछे जाने पर हम 1 ईस्वी को पार करके ईसा पूव वष म पहुँच जाते ह। इसे दो चरण म क जए।
2026 ईस्वी से 1 ईस्वी तक: 2026 – 1 = 2025 वष
अभी और पीछे जाना है: 2200 – 2025 = 175 वष
चूँिक कोई वष 0 नही ं थ ा, 1 ईस्वी से ठीक पहले का वष 1 ईसा पूव है, उससे पहले 2 ईसा पूव …
अत: हम पहुँच ते है ं 175 ईसा पूव
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
c. 680 ईसा पूव म 320 वष जोड़ने पर हम वष 1 क ओर बढ़ते ह, इस लए ईसा पूव क संख्या घट जाती है।
680 – 320 = 360 ईसा पूव
ईसा पूव वष उलटे क्य गने जाते ह: समय-रेखा पर ईसा पूव वष को ऋणात्मक और ईस्वी वष को धनात्मक
मा नए, जनके बीच 0 है ही नह । वष जोड़ने का अथ सदै व दाईं ओर बढ़ना है — 680 ईसा पूव + 320 वष = 360
ईसा पूव, जो इ तहास म बाद का समय है।
ध्यान द जए: पुस्तक क उत्तर-सूची म भाग (c) का उत्तर ‘– 360 ईसा पूव’ लखा है। ऋण चह्न क आवश्यकता
नह है — ‘ईसा पूव’ शब्द स्वयं बता दे ता है क वष ईसा से पहले का है। सही उत्तर 360 ईसा पूव है।
प्र.6 नम्न ल खत अनुक्रम को पूरा क जए— a. (– 40), (– 34), (– 28), (– 22), ___, ___, ___ b. 3, 4, 2, 5, 1, 6,
0, 7, ___, ___, ___ c. ___, ___, 12, 6, 1, (– 3), (– 6), ___, ___, ___
a. एक पद से अगले पद का अंतर दे खए।
– 40 + 6→ – 34 + 6→ – 28 + 6→ – 22 → – 16, – 10, – 4
b. इस अनुक्रम म दो धाराएँ साथ-साथ चल रही ह — एक घटती हुई और एक बढ़ती हुई।
िवषम स्थानों पर: 3, 2, 1, 0 … हर बार एक कम → अगला – 1, िफर – 2
सम स्थानों पर: 4, 5, 6, 7 … हर बार एक अिधक → अगला 8
अत: अनुक्र म आगे बढ़ ता है – 1, 8, – 2
c. अंतर को दे खए — वे हर बार 1 से बढ़ते जाते ह।
12 – 6→ 6 – 5→ 1 – 4→ – 3 – 3→ – 6
पीछे की ओर अंत र – 7 और – 8 थे , अत: आरंभ की दो लुप्त संख्याएँ 27, 19 है ं
आगे अंत र – 2, – 1, 0 होंगे, अत: अनुक्र म बढ़ ता है – 8, – 9, – 9 (और उसके बाद िफर – 8)
पूरा अनुक्र म: 27, 19, 12, 6, 1, – 3, – 6, – 8, – 9, – 9, – 8, – 6 …
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c. 680 ईसा पूव म 320 वष जोड़ने पर हम वष 1 क ओर बढ़ते ह, इस लए ईसा पूव क संख्या घट जाती है।
680 – 320 = 360 ईसा पूव
ईसा पूव वष उलटे क्य गने जाते ह: समय-रेखा पर ईसा पूव वष को ऋणात्मक और ईस्वी वष को धनात्मक
मा नए, जनके बीच 0 है ही नह । वष जोड़ने का अथ सदै व दाईं ओर बढ़ना है — 680 ईसा पूव + 320 वष = 360
ईसा पूव, जो इ तहास म बाद का समय है।
ध्यान द जए: पुस्तक क उत्तर-सूची म भाग (c) का उत्तर ‘– 360 ईसा पूव’ लखा है। ऋण चह्न क आवश्यकता
नह है — ‘ईसा पूव’ शब्द स्वयं बता दे ता है क वष ईसा से पहले का है। सही उत्तर 360 ईसा पूव है।
प्र.6 नम्न ल खत अनुक्रम को पूरा क जए— a. (– 40), (– 34), (– 28), (– 22), ___, ___, ___ b. 3, 4, 2, 5, 1, 6,
0, 7, ___, ___, ___ c. ___, ___, 12, 6, 1, (– 3), (– 6), ___, ___, ___
a. एक पद से अगले पद का अंतर दे खए।
– 40 + 6→ – 34 + 6→ – 28 + 6→ – 22 → – 16, – 10, – 4
b. इस अनुक्रम म दो धाराएँ साथ-साथ चल रही ह — एक घटती हुई और एक बढ़ती हुई।
िवषम स्थानों पर: 3, 2, 1, 0 … हर बार एक कम → अगला – 1, िफर – 2
सम स्थानों पर: 4, 5, 6, 7 … हर बार एक अिधक → अगला 8
अत: अनुक्र म आगे बढ़ ता है – 1, 8, – 2
c. अंतर को दे खए — वे हर बार 1 से बढ़ते जाते ह।
12 – 6→ 6 – 5→ 1 – 4→ – 3 – 3→ – 6
पीछे की ओर अंत र – 7 और – 8 थे , अत: आरंभ की दो लुप्त संख्याएँ 27, 19 है ं
आगे अंत र – 2, – 1, 0 होंगे, अत: अनुक्र म बढ़ ता है – 8, – 9, – 9 (और उसके बाद िफर – 8)
पूरा अनुक्र म: 27, 19, 12, 6, 1, – 3, – 6, – 8, – 9, – 9, – 8, – 6 …
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
(c) पलटता क्य है: घटाई जाने वाली संख्या छोट होती जाती है (6, 5, 4, 3, 2, 1), फर 0 हो जाती है और
उसके बाद अंतर धनात्मक हो जाते ह। इस लए अनुक्रम पहले गरता है, – 9 पर समतल होता है और फर चढ़ने
लगता है।
प्र.7 यहाँ छह पूणाक काड ह (+ 1), (+ 7), (+ 18), (– 5), (– 2), (– 9)। आप इनम से कसी भी काड का चयन कर
सकते ह तथा जोड़ और घटा के उपयोग ारा एक पद बनाइए। यहाँ एक पद है— (+ 18) + (+ 1) – (+ 7) – (–
2) जसका मान (+ 14) है। दए गए काड् स से एक से अ धक काड का चयन क जए और एक पद बनाइए
जसका मान (– 30) के आस-पास हो।
हम ठ क – 30 बना सकते ह। दो सरल तरीके—
तरीका 1: (– 5) – (+ 7) – (+ 18)
= – 5 – 7 – 18 = – 30 ✔
तरीका 2: (– 2) + (– 9) – (+ 18) – (+ 1)
= – 2 – 9 – 18 – 1 = – 30 ✔
खोजने का तरीका: बहुत ऋणात्मक मान बनाने के लए ऋणात्मक काड को जो ड़ए और धनात्मक काड को
घटाइए — धनात्मक संख्या घटाने से मान नीचे जाता है। सबसे बड़ा काड (+ 18) सबसे उपयोगी है, बशत उसे
घटाया जाए।
प्रयास कर: इन्ह छह काड से क्या आप + 30 बना सकते ह? (+ 18) + (+ 7) + (+ 1) – (– 5) … से आरंभ
क जए और दे खए आप कतने पास पहुँचते ह।
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(c) पलटता क्य है: घटाई जाने वाली संख्या छोट होती जाती है (6, 5, 4, 3, 2, 1), फर 0 हो जाती है और
उसके बाद अंतर धनात्मक हो जाते ह। इस लए अनुक्रम पहले गरता है, – 9 पर समतल होता है और फर चढ़ने
लगता है।
प्र.7 यहाँ छह पूणाक काड ह (+ 1), (+ 7), (+ 18), (– 5), (– 2), (– 9)। आप इनम से कसी भी काड का चयन कर
सकते ह तथा जोड़ और घटा के उपयोग ारा एक पद बनाइए। यहाँ एक पद है— (+ 18) + (+ 1) – (+ 7) – (–
2) जसका मान (+ 14) है। दए गए काड् स से एक से अ धक काड का चयन क जए और एक पद बनाइए
जसका मान (– 30) के आस-पास हो।
हम ठ क – 30 बना सकते ह। दो सरल तरीके—
तरीका 1: (– 5) – (+ 7) – (+ 18)
= – 5 – 7 – 18 = – 30 ✔
तरीका 2: (– 2) + (– 9) – (+ 18) – (+ 1)
= – 2 – 9 – 18 – 1 = – 30 ✔
खोजने का तरीका: बहुत ऋणात्मक मान बनाने के लए ऋणात्मक काड को जो ड़ए और धनात्मक काड को
घटाइए — धनात्मक संख्या घटाने से मान नीचे जाता है। सबसे बड़ा काड (+ 18) सबसे उपयोगी है, बशत उसे
घटाया जाए।
प्रयास कर: इन्ह छह काड से क्या आप + 30 बना सकते ह? (+ 18) + (+ 7) + (+ 1) – (– 5) … से आरंभ
क जए और दे खए आप कतने पास पहुँचते ह।
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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
. com
em – (ऋणात्मक)
प्र.8 दो धनात्मक पूणाक का योग सदै व धनात्मक होता है ले कन एक (धनात्मक पूणाक) – (धनात्मक पूणाक)
m a s
gl e. (ऋणात्मक) –
धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। आप नम्न के वषय म क्या कह सकते ह— a. (धनात्मक)
. co + (ऋणात्मक) c. (ऋणात्मक) + (ऋणात्मक) d. (ऋणात्मक) – (ऋणात्मक)
a
sem f. (ऋणात्मक) + (धनात्मक)
b. (धनात्मक)
a(धनात्मक)
agl
m
. co ag
em
as
प्रकार प रणाम उदाहरण
a g l
a. (धनात्मक) – (ऋणात्मक) सदै व धनात्मक 7 – (– 2) = 9, 1 – (– 100) = 101
co m
m.
b. (धनात्मक) + (ऋणात्मक) धनात्मक , ऋणात्मक या शून्य 7 + (– 2) = 5, 2 + (– 7) = – 5, 7 + (– 7) = 0
m as e
c.
.co
(ऋणात्मक) + (ऋणात्मक) सदै व ऋणात्मक – 3 + (– 4) = – 7
a g l
a s em(ऋणात्मक) – (ऋणात्मक)
gl
d. धनात्मक , ऋणात्मक या शून्य – 3 – (– 8) = 5, – 8 – (– 3) = – 5, – 3 – (– 3) = 0
a
e.
s
(ऋणात्मक) – (धनात्मक) सदै व ऋणात्मक –3–4=–7
m a
m .co agl
se
f. (ऋणात्मक) + (धनात्मक) धनात्मक , ऋणात्मक या शून्य – 3 + 8 = 5, – 8 + 3 = – 5, – 3 + 3 = 0
g l a
कुछ न
a
त क्य और कुछ नह : (a), (c) और (e) म दोन ग तयाँ एक ही ओर धकेलती ह — (a) म आप शून्य
से ऊपर ह और और ऊपर जाते ह; (c) तथा (e) म आप शून्य से नीचे ह और और नीचे जाते ह। (b), (d) और (f)
co m
m .
as e
म दोन संख्याएँ वपरीत दशाओं म ख चती ह, इस लए प रणाम इस पर नभर करता है क कसके अंक बड़े ह।
m l
.co
m द जए: (b), (d) और (f) वास्तव म एक ही a g
a s eध्यान
gl
त ह, क्य क d और f को ‘प्र तलोम जो ड़ए’ नयम से b के
a रूप म लखा जा सकता है।
se m
com g l a
m . a
e
as वशेष पैटन म व्यव
इस लड़ी म 100 टोकन ह, जोlएक
प्र.9
a g त कए गए ह, इस लड़ी का मान क्या है?
m
.co
लड़ी का पैटन दे खए: 3 हरे टोकन फर 2 लाल टोकन, और यही बार-बार दोहराया गया है। m
o m l a se
.c a g
s e m
a
agl
5 टोकन का एक खंड = + 1
.c
… s e m
+ + + – –
m + + + – –
a
m.co agl
l a se
ag
लड़ी म 5 टोकन का एक खंड दोहराया गया है — तीन हरे और दो लाल। प्रत्येक खंड का मान (+ 3) + (– 2) = + 1 है।
co m
m .
m as e
.co
a g l Page 54 of 58
कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर
a g l AglaSem · NCERT Solutions
. com
em – (ऋणात्मक)
प्र.8 दो धनात्मक पूणाक का योग सदै व धनात्मक होता है ले कन एक (धनात्मक पूणाक) – (धनात्मक पूणाक)
m a s
gl e. (ऋणात्मक) –
धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। आप नम्न के वषय म क्या कह सकते ह— a. (धनात्मक)
. co + (ऋणात्मक) c. (ऋणात्मक) + (ऋणात्मक) d. (ऋणात्मक) – (ऋणात्मक)
a
sem f. (ऋणात्मक) + (धनात्मक)
b. (धनात्मक)
a(धनात्मक)
agl
m
. co ag
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प्रकार प रणाम उदाहरण
a g l
a. (धनात्मक) – (ऋणात्मक) सदै व धनात्मक 7 – (– 2) = 9, 1 – (– 100) = 101
co m
m.
b. (धनात्मक) + (ऋणात्मक) धनात्मक , ऋणात्मक या शून्य 7 + (– 2) = 5, 2 + (– 7) = – 5, 7 + (– 7) = 0
m as e
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(ऋणात्मक) + (ऋणात्मक) सदै व ऋणात्मक – 3 + (– 4) = – 7
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a s em(ऋणात्मक) – (ऋणात्मक)
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d. धनात्मक , ऋणात्मक या शून्य – 3 – (– 8) = 5, – 8 – (– 3) = – 5, – 3 – (– 3) = 0
a
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(ऋणात्मक) – (धनात्मक) सदै व ऋणात्मक –3–4=–7
m a
m .co agl
se
f. (ऋणात्मक) + (धनात्मक) धनात्मक , ऋणात्मक या शून्य – 3 + 8 = 5, – 8 + 3 = – 5, – 3 + 3 = 0
g l a
कुछ न
a
त क्य और कुछ नह : (a), (c) और (e) म दोन ग तयाँ एक ही ओर धकेलती ह — (a) म आप शून्य
से ऊपर ह और और ऊपर जाते ह; (c) तथा (e) म आप शून्य से नीचे ह और और नीचे जाते ह। (b), (d) और (f)
co m
m .
as e
म दोन संख्याएँ वपरीत दशाओं म ख चती ह, इस लए प रणाम इस पर नभर करता है क कसके अंक बड़े ह।
m l
.co
m द जए: (b), (d) और (f) वास्तव म एक ही a g
a s eध्यान
gl
त ह, क्य क d और f को ‘प्र तलोम जो ड़ए’ नयम से b के
a रूप म लखा जा सकता है।
se m
com g l a
m . a
e
as वशेष पैटन म व्यव
इस लड़ी म 100 टोकन ह, जोlएक
प्र.9
a g त कए गए ह, इस लड़ी का मान क्या है?
m
.co
लड़ी का पैटन दे खए: 3 हरे टोकन फर 2 लाल टोकन, और यही बार-बार दोहराया गया है। m
o m l a se
.c a g
s e m
a
agl
5 टोकन का एक खंड = + 1
.c
… s e m
+ + + – –
m + + + – –
a
m.co agl
l a se
ag
लड़ी म 5 टोकन का एक खंड दोहराया गया है — तीन हरे और दो लाल। प्रत्येक खंड का मान (+ 3) + (– 2) = + 1 है।
co m
m .
m as e
.co
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
एक खंड का मान = (+ 3) + (– 2) = + 1
लड़ ी में खंडों की संख्या = 100 ÷ 5 = 20
लड़ ी का मान = 20 × (+ 1) = + 20
उत्तर: लड़ी का मान + 20 है।
दूसरा तरीका: 20 खंड म 20 × 3 = 60 हरे और 20 × 2 = 40 लाल टोकन ह। 40 शून्य जोड़े रद्द क जए तो 20
हरे टोकन शेष रहते ह, अत: मान + 20। ✔
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 268
अध्याय 10.5 एक चुटक इ तहास — ब्रह्मगुप्त के नयम
प्र.1 क्या आप ब्रह्मगुप्त के नयम को बेला क मजेदार इमारत या संख्या रेखा के अनुसार स्पष्ट कर सकते हो?
हाँ — हर नयम केवल लफ्ट क एक यात्रा या संख्या रेखा पर चलना ही है।
जोड़ के नयम
ब्रह्मगुप्त का नयम मजेदार इमारत / संख्या रेखा पर
1. दो धनात्मकों का योग धनात्मक (2 + 3 = 5) 2 तल ऊपर जाइए, फर 3 तल और ऊपर — आप भूतल से 5 तल ऊपर ह।
2. दो ऋणात्मकों का योग ऋणात्मक (– 2 + (– 3) = – 5) 2 तल नीचे जाइए, फर 3 तल और नीचे — आप भूतल से 5 तल नीचे ह।
3. धनात्मक + ऋणात्मक: बड़ी में से छोटी घटाइए और 5 तल नीचे जाइए, फर 3 तल ऊपर। 3 ऊपर वाले 3 नीचे वाल को काट दे ते ह
बड़ी का िचह्न लगाइए (– 5 + 3 = – 2) और 2 नीचे शेष रहते ह, अत: आप तल – 2 पर ह।
4. संख्या + उसका पितलोम = 0 (2 + (– 2) = 0) + 2 दबाइए फर – 2 — आप वापस स्वागत कक्ष, तल 0 पर ह।
5. संख्या + 0 = वही संख्या (– 2 + 0 = – 2) बटन शून्य बार दबाइए — आप जहाँ थे वह रहते ह।
घटाने के नयम (याद र खए: ल क्षत – प्रारं भक = आवश्यक ग त)
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एक खंड का मान = (+ 3) + (– 2) = + 1
लड़ ी में खंडों की संख्या = 100 ÷ 5 = 20
लड़ ी का मान = 20 × (+ 1) = + 20
उत्तर: लड़ी का मान + 20 है।
दूसरा तरीका: 20 खंड म 20 × 3 = 60 हरे और 20 × 2 = 40 लाल टोकन ह। 40 शून्य जोड़े रद्द क जए तो 20
हरे टोकन शेष रहते ह, अत: मान + 20। ✔
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 268
अध्याय 10.5 एक चुटक इ तहास — ब्रह्मगुप्त के नयम
प्र.1 क्या आप ब्रह्मगुप्त के नयम को बेला क मजेदार इमारत या संख्या रेखा के अनुसार स्पष्ट कर सकते हो?
हाँ — हर नयम केवल लफ्ट क एक यात्रा या संख्या रेखा पर चलना ही है।
जोड़ के नयम
ब्रह्मगुप्त का नयम मजेदार इमारत / संख्या रेखा पर
1. दो धनात्मकों का योग धनात्मक (2 + 3 = 5) 2 तल ऊपर जाइए, फर 3 तल और ऊपर — आप भूतल से 5 तल ऊपर ह।
2. दो ऋणात्मकों का योग ऋणात्मक (– 2 + (– 3) = – 5) 2 तल नीचे जाइए, फर 3 तल और नीचे — आप भूतल से 5 तल नीचे ह।
3. धनात्मक + ऋणात्मक: बड़ी में से छोटी घटाइए और 5 तल नीचे जाइए, फर 3 तल ऊपर। 3 ऊपर वाले 3 नीचे वाल को काट दे ते ह
बड़ी का िचह्न लगाइए (– 5 + 3 = – 2) और 2 नीचे शेष रहते ह, अत: आप तल – 2 पर ह।
4. संख्या + उसका पितलोम = 0 (2 + (– 2) = 0) + 2 दबाइए फर – 2 — आप वापस स्वागत कक्ष, तल 0 पर ह।
5. संख्या + 0 = वही संख्या (– 2 + 0 = – 2) बटन शून्य बार दबाइए — आप जहाँ थे वह रहते ह।
घटाने के नयम (याद र खए: ल क्षत – प्रारं भक = आवश्यक ग त)
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
ब्रह्मगुप्त का नयम मजेदार इमारत / संख्या रेखा पर
1. बड़े धनात्मक में से छोटा धनात्मक घटाने पर धनात्मक तल 2 से तल 3 तक ऊपर जाना है: + 1 दबाइए।
(3 – 2 = 1)
2. छोटे धनात्मक में से बड़ा धनात्मक घटाने पर तल 3 से तल 2 तक नीचे आना है: – 1 दबाइए।
ऋणात्मक (2 – 3 = – 1)
3. ऋणात्मक घटाना = संग त धनात्मक जोड़ना (2 – (– तल – 3 से तल 2 तक जाने के लए पहले 3 तल चढ़कर भूतल तक और फर 2
3) = 2 + 3) तल और — कुल 5 तल ऊपर।
4. संख्या में से वही संख्या घटाने पर 0 (– 2 – (– 2) = आप तल – 2 पर ह और तल – 2 पर ही जाना है — कोई बटन नह दबाना।
0)
5. संख्या – 0 = वही संख्या; 0 – संख्या = उसका तल – 2 से भूतल तक जाने के लए + 2 दबाना होगा, जो – 2 का प्र तलोम है।
पितलोम (0 – (– 2) = 2)
यह क्य महत्वपूण है: ब्रह्मगुप्त ने ये नयम ब्रह्म ु ट स ांत म 628 ईस्वी म लखे — वश्व म पहली बार धनात्मक
संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य को समान रूप से वास्त वक संख्या माना गया। इस अध्याय का लफ्ट
मॉडल उन्ह नयम का चत्र है, 1300 वष से भी अ धक बाद।
प्र.2 प्रत्येक नयम के लए स्वयं के उदाहरण द जए।
जोड़
1. दो धनात्मक: 14 + 25 = 39 (₹14 की जमा और ₹25 की जमा)
2. दो ऋणात्मक: (– 12) + (– 8) = – 20 (₹12 की िनकासी और ₹8 की िनकासी)
3. एक-एक: (– 20) + 7 = – 13 तथा 20 + (– 7) = + 13
4. संख्या और उसका पितलोम: 45 + (– 45) = 0
5. शून्य के साथ: (– 31) + 0 = – 31
घटाव
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ब्रह्मगुप्त का नयम मजेदार इमारत / संख्या रेखा पर
1. बड़े धनात्मक में से छोटा धनात्मक घटाने पर धनात्मक तल 2 से तल 3 तक ऊपर जाना है: + 1 दबाइए।
(3 – 2 = 1)
2. छोटे धनात्मक में से बड़ा धनात्मक घटाने पर तल 3 से तल 2 तक नीचे आना है: – 1 दबाइए।
ऋणात्मक (2 – 3 = – 1)
3. ऋणात्मक घटाना = संग त धनात्मक जोड़ना (2 – (– तल – 3 से तल 2 तक जाने के लए पहले 3 तल चढ़कर भूतल तक और फर 2
3) = 2 + 3) तल और — कुल 5 तल ऊपर।
4. संख्या में से वही संख्या घटाने पर 0 (– 2 – (– 2) = आप तल – 2 पर ह और तल – 2 पर ही जाना है — कोई बटन नह दबाना।
0)
5. संख्या – 0 = वही संख्या; 0 – संख्या = उसका तल – 2 से भूतल तक जाने के लए + 2 दबाना होगा, जो – 2 का प्र तलोम है।
पितलोम (0 – (– 2) = 2)
यह क्य महत्वपूण है: ब्रह्मगुप्त ने ये नयम ब्रह्म ु ट स ांत म 628 ईस्वी म लखे — वश्व म पहली बार धनात्मक
संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य को समान रूप से वास्त वक संख्या माना गया। इस अध्याय का लफ्ट
मॉडल उन्ह नयम का चत्र है, 1300 वष से भी अ धक बाद।
प्र.2 प्रत्येक नयम के लए स्वयं के उदाहरण द जए।
जोड़
1. दो धनात्मक: 14 + 25 = 39 (₹14 की जमा और ₹25 की जमा)
2. दो ऋणात्मक: (– 12) + (– 8) = – 20 (₹12 की िनकासी और ₹8 की िनकासी)
3. एक-एक: (– 20) + 7 = – 13 तथा 20 + (– 7) = + 13
4. संख्या और उसका पितलोम: 45 + (– 45) = 0
5. शून्य के साथ: (– 31) + 0 = – 31
घटाव
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
1. 19 – 6 = 13 (दोनों धनात्मक, छोटी घटाई गई)
2. 6 – 19 = – 13 (छोटी में से बड़ ी घटाई गई)
3. 15 – (– 9) = 15 + 9 = 24 (तापमान – 9 °C से 15 °C तक चढ़ ना)
4. (– 17) – (– 17) = 0
5. (– 6) – 0 = – 6 तथा 0 – (– 6) = + 6
प्रयास कर: अपने प्रत्येक उदाहरण के लए एक कहानी बनाइए — बक क पासबुक, लेह का तापमापी, कसी मॉल
क लफ्ट या खदान का कूपक। जस नयम क कहानी बना ली जए, वह नयम कभी नह भूलेगा।
अध्याय — एक नज़र म
शून्य से छोट संख्याएँ होती ह। इनके आगे ‘–’ चह्न लगाया जाता है, इन्ह ऋणात्मक संख्याएँ कहते ह और ये संख्या रेखा पर
0 के बाईं ओर त होती ह। बेला क मजेदार इमारत म ये भूतल से नीचे के तल ह।
संख्याएँ … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 … पूणाक कहलाती ह। 1, 2, 3, … धनात्मक पूणाक ह; –1, –2, –3, … ऋणात्मक
पूणाक ह; और 0 न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक — यह संदभ बदु है।
प्रत्येक संख्या का एक योज्य प्र तलोम होता है — वह संख्या जसे जोड़ने पर योग 0 आता है। +4 का प्र तलोम –4 है, –543
का प्र तलोम 543 है और 0 का प्र तलोम 0 ही है।
जोड़ का अथ है प्रारं भक त + ग त = ल क्षत त। घटाव का अथ है ल क्षत त – प्रारं भक त = आवश्यक
ग त। दोन बात सीधे लफ्ट से नकलती ह।
कसी संख्या को घटाना उसके प्र तलोम को जोड़ने के समान है: 7 – (– 7) = 7 + 7 = 14। इसी एक वचार से पूणाक
का हर घटाव एक जोड़ म बदल जाता है।
पूणाक कक्षा के बाहर हर जगह ह — बक पासबुक म जमा और नकासी, समुद्र तल से ऊपर और नीचे क ऊँचाई, तथा 0
°C से ऊपर और नीचे का तापमान।
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1. 19 – 6 = 13 (दोनों धनात्मक, छोटी घटाई गई)
2. 6 – 19 = – 13 (छोटी में से बड़ ी घटाई गई)
3. 15 – (– 9) = 15 + 9 = 24 (तापमान – 9 °C से 15 °C तक चढ़ ना)
4. (– 17) – (– 17) = 0
5. (– 6) – 0 = – 6 तथा 0 – (– 6) = + 6
प्रयास कर: अपने प्रत्येक उदाहरण के लए एक कहानी बनाइए — बक क पासबुक, लेह का तापमापी, कसी मॉल
क लफ्ट या खदान का कूपक। जस नयम क कहानी बना ली जए, वह नयम कभी नह भूलेगा।
अध्याय — एक नज़र म
शून्य से छोट संख्याएँ होती ह। इनके आगे ‘–’ चह्न लगाया जाता है, इन्ह ऋणात्मक संख्याएँ कहते ह और ये संख्या रेखा पर
0 के बाईं ओर त होती ह। बेला क मजेदार इमारत म ये भूतल से नीचे के तल ह।
संख्याएँ … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 … पूणाक कहलाती ह। 1, 2, 3, … धनात्मक पूणाक ह; –1, –2, –3, … ऋणात्मक
पूणाक ह; और 0 न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक — यह संदभ बदु है।
प्रत्येक संख्या का एक योज्य प्र तलोम होता है — वह संख्या जसे जोड़ने पर योग 0 आता है। +4 का प्र तलोम –4 है, –543
का प्र तलोम 543 है और 0 का प्र तलोम 0 ही है।
जोड़ का अथ है प्रारं भक त + ग त = ल क्षत त। घटाव का अथ है ल क्षत त – प्रारं भक त = आवश्यक
ग त। दोन बात सीधे लफ्ट से नकलती ह।
कसी संख्या को घटाना उसके प्र तलोम को जोड़ने के समान है: 7 – (– 7) = 7 + 7 = 14। इसी एक वचार से पूणाक
का हर घटाव एक जोड़ म बदल जाता है।
पूणाक कक्षा के बाहर हर जगह ह — बक पासबुक म जमा और नकासी, समुद्र तल से ऊपर और नीचे क ऊँचाई, तथा 0
°C से ऊपर और नीचे का तापमान।
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कक्षा 6 ग णत अध्याय 10 शून्य के दूसरी ओर AglaSem · NCERT Solutions
त्व रत पुनरावृ त्त
वचार अथ अध्याय से उदाहरण सरल नयम
धनात्मक संख्या िजसके आगे ‘+’ िचह्न हो; भूतल से ऊपर का + 5 — खेल कद्र संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर
तल
ऋणात्मक संख्या िजसके आगे ‘–’ िचह्न हो; भूतल से नीचे का – 3 — सनेमा संख्या रेखा पर 0 के बाईं ओर
तल
शून्य न धनात्मक, न ऋणात्मक; संद भ िबंद ु तल 0 — स्वागत कक्ष 0 के आगे कोई चह्न नह लगता
पूणाक धनात्मक, ऋणात्मक संख्याएँ तथा शून्य … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 दोन दशाओं म अनंत तक चलते ह
िमलाकर …
योज्य प्र तलोम वह संख्या िजसे जोड़ने पर 0 पाप्त हो + 4 का प्र तलोम – 4 अंक वही, चह्न बदल द जए
जोड़ पारंिभक तल + गित = लिक्षत तल (+ 1) + (+ 2) = + 3 बटन एक के बाद एक दबाइए
घटाव लिक्षत तल – पारंिभक तल = आवश्यक गित (+ 5) – (+ 2) = + 3 a – b = a + (b का प्र तलोम)
ऋणात्मक को संग त धनात्मक संख्या को जोड़ने के समान 7 – (– 7) = 7 + 7 = 14 दो ऋण चह्न मलकर धन बनाते ह
घटाना
शून्य जोड़ा एक धनात्मक और एक ऋणात्मक टोकन (+ 1) + (– 1) = 0 जोड़े हटाइए, शेष टोकन प ढ़ए
तुलना संख्या रे खा पर छोटी संख्या बाईं ओर –4<–3<0<+3 हर ऋणात्मक < 0 < हर धनात्मक
जमा और नकासी आने वाला धन (+) और जाने वाला धन (–) + ₹200 जमा, – ₹150 शेष = सभी जमा और नकासी का योग
नकासी
ऊँचाई और समुद तल/0 °C से ऊपर +, नीचे – लेह म रात का – 2 °C 0 केवल आरंभ का चह्न है, ‘कुछ नह ’
तापमान नह
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त्व रत पुनरावृ त्त
वचार अथ अध्याय से उदाहरण सरल नयम
धनात्मक संख्या िजसके आगे ‘+’ िचह्न हो; भूतल से ऊपर का + 5 — खेल कद्र संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर
तल
ऋणात्मक संख्या िजसके आगे ‘–’ िचह्न हो; भूतल से नीचे का – 3 — सनेमा संख्या रेखा पर 0 के बाईं ओर
तल
शून्य न धनात्मक, न ऋणात्मक; संद भ िबंद ु तल 0 — स्वागत कक्ष 0 के आगे कोई चह्न नह लगता
पूणाक धनात्मक, ऋणात्मक संख्याएँ तथा शून्य … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 दोन दशाओं म अनंत तक चलते ह
िमलाकर …
योज्य प्र तलोम वह संख्या िजसे जोड़ने पर 0 पाप्त हो + 4 का प्र तलोम – 4 अंक वही, चह्न बदल द जए
जोड़ पारंिभक तल + गित = लिक्षत तल (+ 1) + (+ 2) = + 3 बटन एक के बाद एक दबाइए
घटाव लिक्षत तल – पारंिभक तल = आवश्यक गित (+ 5) – (+ 2) = + 3 a – b = a + (b का प्र तलोम)
ऋणात्मक को संग त धनात्मक संख्या को जोड़ने के समान 7 – (– 7) = 7 + 7 = 14 दो ऋण चह्न मलकर धन बनाते ह
घटाना
शून्य जोड़ा एक धनात्मक और एक ऋणात्मक टोकन (+ 1) + (– 1) = 0 जोड़े हटाइए, शेष टोकन प ढ़ए
तुलना संख्या रे खा पर छोटी संख्या बाईं ओर –4<–3<0<+3 हर ऋणात्मक < 0 < हर धनात्मक
जमा और नकासी आने वाला धन (+) और जाने वाला धन (–) + ₹200 जमा, – ₹150 शेष = सभी जमा और नकासी का योग
नकासी
ऊँचाई और समुद तल/0 °C से ऊपर +, नीचे – लेह म रात का – 2 °C 0 केवल आरंभ का चह्न है, ‘कुछ नह ’
तापमान नह
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Document Details
| Board / Org | NCERT |
| Exam | Class 6 |
| Type | Solution |
| Pages | 59 |
| Language | hindi |
| Updated | 19 Sep 2026 |