NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 7 भिन्न

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा6

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 7: भन्न

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

151 – 186 27 77 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 47 pages

क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 6 · ग णत · ग णत प्रकाश

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 7: भन्न
एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक ग णत प्रकाश (क ा 6) के अध्याय 7 — भन्न के सभी प्रश्न के वस्तृत, चरण-दर-चरण हल। पृष्ठ 152 से 182 तक के
प्रत्येक “आइए, पता लगाएँ” प्रश्न के साथ-साथ सभी पाठ्य प्रश्न भी हल कए गए ह — रोट और चक्क के समान भाग, भन्नात्मक इकाइयाँ, संख्या
रेखा पर भन्न, म त संख्याएँ, भन्न प क द वार, तुल्य भन्न, न्यूनतम पद, भन्न क तुलना तथा जोड़ने-घटाने क ब्रह्मगुप्त व ध।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत प्रकाश (कक्षा 6) 151 – 186

खं ड प्रश्न

27 77

माध्यम

हन्द

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 151 – 153
अनुभाग 7.1 भन्नात्मक इकाइयाँ और समान भाग

प्र.1 य द एक रोट 4 ब म बराबर-बराबर बाँट जाए, तो प्रत्येक ब े को कतनी रोट मलेगी? और कौन-सा भाग
अ धक है, 1⁄2 रोट या 1⁄4 रोट ?

एक रोट 4 ब म बराबर बाँटने पर प्रत्येक ब े को 1⁄4 रोट मलेगी।

1 रोटी ÷ 2 बच्चे = पत्येक को 1/2 रोटी

1 रोटी ÷ 4 बच्चे = पत्येक को 1/4 रोटी

अत: 1/2 > 1/4

उत्तर: 1⁄2 रोट , 1⁄4 रोट से अ धक है।

ऐसा क्य : रोट दोन बार एक ही है। दूसरे समूह म अ धक ब े उसी एक रोट को बाँटते ह, इस लए प्रत्येक का
हस्सा छोटा हो जाता है।

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प्र.2 कौन-सा भन्न बड़ा है? 1⁄5 या 1⁄9?

1⁄ 1⁄
5 बड़ी है। अर वन का अनुमान (“9, 5 से बड़ी है इस लए 9 बड़ी होगी”) एक सामान्य गलती है।

इन भन्न को भाग के रूप म सो चए—

1 रोट 5 ब म बाँट जाए → प्रत्येक को 1⁄5 रोट ।

1 रोट 9 ब म बाँट जाए → प्रत्येक को 1⁄9 रोट ।

अिधक लोगों में बाँट ने पर िहस्सा कम → 1/9 < 1/5

संकेत: भन्नात्मक इकाइय म हर जतना बड़ा, भन्न उतनी ही छोट । इसी लए 1⁄100, 1⁄200 से अ धक है।

प्र.3 आपके घर, नगर या राज्य म व भन्न भाषाओं म भन्न के लए उपयोग होने वाले शब्द को खो जए एवं उन पर
चचा क जए। अपने दादा-दाद , माता- पता, शक्षक और सहपा ठय से पू छए क वे व भन्न भन्न के लए
कौन-कौन से शब्द का उपयोग करते ह, जैसे— एक और आधा, तीन चौथाई, एक चौथाई, आधा, चौथाई तथा दो
और आधा, इन्ह यहाँ ल खए—

यह चचा और संग्रह क ग त व ध है। नीचे भारत म प्रच लत कुछ शब्द दए गए ह — अपने घर म बोले जाने वाले शब्द भी जो ड़ए।

भन्न संख्या म प्रच लत शब्द

चौथाई 1/4 पाव (िहंद ी), कालु (तिमल ), पाव (मराठी)

आधा 1/2 आधा (िहंद ी), अध (मराठी), অেধক (बांग्ला)

तीन चौथाई 3/4 तीन पाव / पौना (िहंद ी), मुक्काल (तिमल ), ि -पद (ऋग्वेद )

एक और चौथाई 1 1/4 सवा (िहंद ी/मराठी)

एक और आधा 1 1/2 डेढ़ (िहंद ी), दीड (मराठी), দড় (बाग्ं ला)

दो और आधा 2 1/2 ढाई (िहंद ी), अडीच (मराठी), আড় াই (बांग्ला)

क्या आप जानते ह? ऋग्वेद म 3⁄4 को त्र-पद कहा गया है — वही अथ जो आज हद के “तीन पाव” और त मल
के “मुक्काल” का है। भन्न के हमारे शब्द हज़ार वष पुराने ह।

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आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 152 और 153
अनुभाग 7.1 भन्नात्मक इकाइयाँ और समान भाग

ग णत चचा

प्र.1 तीन अमरूद का भार 1 क ा है। य द वे लगभग समान आकार के ह , तो प्रत्येक अमरूद का लगभग भार ____
क ा होगा।

एक कलोग्राम 3 अमरूद म बराबर बँटा है।

1 िकगा ÷ 3 = 1/3 िकगा

उत्तर: प्रत्येक अमरूद का भार लगभग 1⁄3 क ा है।

स्वयं जाँ चए: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1 कग्रा ✔

प्र.2 एक थोक व्यापारी ने 1 क ा चावल को समान भार के चार पैकेट म पैक कया। प्रत्येक पैकेट का भार ____ क ा
है।

1 िकगा ÷ 4 = 1/4 िकगा

उत्तर: प्रत्येक पैकेट का भार 1⁄4 क ा (250 ग्राम) है।

क्य 1⁄4: एक पूरा कलोग्राम 4 बराबर भाग म बँटा है, अत: प्रत्येक भाग 1⁄4 माप क भन्नात्मक इकाई है।

प्र.3 चार मत्र ने 3 गलास गन्ने का रस का आडर दया और इसे आपस म बराबर-बराबर बाँटा। प्रत्येक ने ____ गलास
गन्ने का रस पया।

3 गलास रस 4 मत्र म बराबर बाँटा गया।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
3 ÷ 4 = 3/4 िगलास
m l as
m .co 3 a g
a se
उत्तर: प्रत्येक मत्र ने ⁄4 गलास रस पया।
l
a g
यह कैसे: प्रत्येक गलास को 4 बराबर भाग म बाँ टए। कुल 3 × 4 = 12 चौथाई भाग बनते ह और 12 ÷ 4 = 3

co m
. ag
चौथाई प्रत्येक मत्र को, अथात् 3⁄4 गलास।
e m
g l as
a
एक बड़ी मछली का भार 1⁄2 क ा है। एक छोट मछली का भार 1⁄4 क ा है। दोन का स म्म लत वजन है ____
co m
m.
प्र.4

क ा।
m as e
.co a g l
se m
l a

g
a दोन को एक ही भन्नात्मक इकाई 1⁄4 कग्रा म मा पए।
m a s
m .co agl
se
1/2 = 2/4

2/4 + 1/4 = 1/4 का 3 गुन ा = 3/4 gla
a िकग ा

co m
उत्तर: दोन का स म्म लत भार 3⁄4 क ा (750 ग्राम) है।
m .
m as e
.co a g l
a s em दए गए भन्न शब्द को छोटे से बड़े के क्रम म व्यव
a gl प्र.5 त क जए और खाली बॉक्स म भ रए— एक और आधा,

m
तीन चौथाई, एक चौथाई, आधा, चौथाई, दो और आधा।

a se
com
. a g l
e m
asक्रम लगाइए।

a g l
पहले प्रत्येक शब्द को संख्या म ल खए, फर

o m
शब्द भन्न क्रम

. c
a s emछोटा
com gl
चौथाई 1/4 सबसे

m .आधा a
as e 1/2 दू स रा

agl c
.
तीन चौथाई 3/4 तीसरा

s e m
m a
.co agl
एक और चौथाई 1 1/4 चौथा

sem
एक और आधा
g l a 1 1/2 पाँचवाँ
a
दो और आधा 2 1/2 सबसे बड़ा

co m
m .
m ase
.co


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1/4 < 1/2 < 3/4 < 1 1/4 < 1 1/2 < 2 1/2

उत्तर: चौथाई, आधा, तीन चौथाई, एक और चौथाई, एक और आधा, दो और आधा।

संकेत: पहले तीन 1 से कम ह और अं तम तीन 1 से अ धक — इस बँटवारे से क्रम लगाना आसान हो जाता है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 154 और 155
अनुभाग 7.2 संपूण के हस्स के रूप म भन्नात्मक इकाइयाँ

ग णत चचा

प्र.1 नीचे 2 हस्स म तोड़ी गई चक्क का चत्र दखाया गया है। प्रत्येक टु कड़ा मूल चक्क का कतना हस्सा है?

1
4
एक संपूण िचक्की

एक संपूण चक्क , और 2 हस्स म तोड़ी गई वही चक्क ।

पूरी चक्क को 4 बराबर चौथाई भाग के रूप म दे खए। तोड़ने पर एक छोटा और एक बड़ा टु कड़ा मलता है।

छोटा टु क ड़ ा = 1 चौथाई = 1/4 िचक्की

बड़ ा टु क ड़ ा = 3 चौथाई = 1/4 का 3 गुन ा = 3/4 िचक्की

स्वयं जाँ चए: 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1 पूरी चक्क ✔

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प्र.2 एक संपूण चक्क को व भन्न तरीक से 6 बराबर भाग म बाँटने पर, हम अलग-अलग आकार के 1⁄6 चक्क के
टु कड़े मलते ह। क्या वे समान आकार के ह?

हाँ, वे बराबर ह — भले ही उनक आकृ त अलग-अलग है।
पहले चत्र म चक्क 6 आयत म और दूसरे चत्र म 6 त्रभुज म कट है। दोन बार पूरी चक्क 6 बराबर भाग म बँट है, अत:
एक टु कड़ा दोन तय म 1⁄6 चक्क ही है।

मुख्य वचार: भन्न कतना बताती है, कस आकृ त का नह । एक ही चक्क के 6 बराबर टु कड़े हर हाल म 1⁄6 ही
ह गे।

प्रयास कर: एक वगाकार कागज़ को दो अलग-अलग तरीक से 6 बराबर भाग म मो ड़ए और का टए। दोन प्रकार
का एक-एक टु कड़ा तराजू पर र खए — वे बराबर तुलगे।

प्र.3 नीचे दशाई गई चक्क क भन्नात्मक इकाई क्या है?

एक संप ूण िचक् की

एक संपूण चक्क , और पुस्तक म दशाया गया टु कड़ा।

पूरी चक्क को 3 बराबर भाग म तोड़ा गया है और उनम से एक टु कड़ा दखाया गया है।

1 संपूण ÷ 3 बराबर भाग → पत्येक भाग = 1/3 िचक्की

उत्तर: भन्नात्मक इकाई 1⁄3 है।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 155

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अनुभाग 7.2 संपूण के हस्स के रूप म भन्नात्मक इकाइयाँ

प्र.1 नीचे दए गए चत्र एक संपूण चक्क क व भन्न भन्नात्मक इकाइयाँ दशाते ह। प्रत्येक टु कड़ा पूरी चक्क का
कतना भाग है?

ू िचक्की
एक संपण
a. b. c. d. e.

f. g. h.

आठ टु कड़े a–h, तुलना के लए द गई एक संपूण चक्क के साथ।

पहले पूरी चक्क दे खए। यह 6 × 4 का ग्रड है, अथात् 24 बराबर छोटे वग से बनी है। अब ग नए क प्रत्येक टु कड़ा कतने छोटे

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वग घेरता है।

पूरी िचक्की = 6 × 4 = 24 छोटे वग
पूरी चक्क 24 बराबर छोटे वग के रूप म। एक छोटा वग चक्क का 1⁄24 भाग है।

टु कड़ा कतना घेरता है चक्क का भाग

a. 1 × 2 का आयत 2 छोटे वग 2/24 = 1/12

b. बड़ा त्रभुज, भुजाएँ 3 और 4 ½ × 3 × 4 = 6 वग 6/24 = 1/4

c. चपटा त्रभुज, भुजाएँ 3 और 2 ½ × 3 × 2 = 3 वग 3/24 = 1/8

d. 1 × 4 क प 4 छोटे वग 4/24 = 1/6

e. L आकृ त 3 छोटे वग 3/24 = 1/8

f. त्रभुज, आधार 2 और ऊँचाई 4 ½ × 2 × 4 = 4 वग 4/24 = 1/6

g. एक छोटा वग 1 छोटा वग 1/24

h. छोटा त्रभुज, भुजाएँ 1 और 2 ½ × 1 × 2 = 1 वग 1/24

उत्तर: a. 1⁄12 b. 1⁄4 c. 1⁄8 d. 1⁄6 e. 1⁄8 f. 1⁄6 g. 1⁄24 h. 1⁄24

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
वग गनने से क्य काम बनता है: हर टु कड़े क तुलना उसी एक संपूण से क जाती है। य द कोई टु कड़ा 24 म से k

m
छोटे वग घेरता है, तो वह चक्क का k⁄24 भाग है — इसे न्यूनतम पद म लख द जए।
as e
.co a g l
se m
g l a
a
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 156 और 157

com
. ag
अनुभाग 7.3 भन्नात्मक इकाइय ारा मापना

se m
l a
प्र.1 ag फर प को पुन: खोल। प क लंबाई को एक इकाई मानते हुए, मोड़ के
प को दो समान भाग म मो ड़ए और
नशान (क्र ज) ारा बनाई गई प के दो नए भाग क लंबाइयाँ क्या ह?

co m
em.
coलंmबी प को 2 बराबर भाग म बाँट देती है। l as

. a g
em
क्र ज एक इकाई

a s
a gl
पत्येक भाग = 1 ÷ 2 = 1/2 इकाई

m a s
.co agl
जाँच : 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1 इकाई ✔

se m
g l a
उत्तर: दोन भाग 1⁄2 इकाई लंबे ह। a

co m
m .
m ase
प्र.2
.co
पूव म मोड़ी गई प
g
को य द पुन: दो समान भाग म मोड़ तो आपको क्या प्राप्त होगा?
a l
a s em
agl उत्तर
म 4 बराबर भाग ह और प्रत्येक भाग 1⁄4 इकाई है।
se m
com a
प्रत्येक आधा भाग फर दो म मुड़ जाता है, अत: अब प

. a g l
m
ase
agl
1/4 का 2 गुन ा = 2/4

1/4 का 3 गुन ा = 3/4

co m
1/4 का 4 गुन ा = 4/4 = 1
m .
m as e
.co a g l
se m क्य : हर बार दो म मोड़ने पर भाग क संख्या दुगुनी हो जाती है — 1 → 2 → 4 → 8 — और भन्नात्मक इकाई
g l a
a आधी रह जाती है।
c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


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प्र.3 इसे पुन: दोहराएँ। रक्त बॉक्स को भ रए। (1⁄8 का 2 गुना = __, 1⁄8 का 4 गुना = __, 1⁄8 का 6 गुना = __, 1⁄8 का 8
गुना = __)

एक और मोड़ से 8 बराबर भाग बनते ह, अत: अब भन्नात्मक इकाई 1⁄8 है।

1/8 का 2 गुन ा = 2/8 = 1/4

1/8 का 4 गुन ा = 4/8 = 1/2
1/8 का 6 गुन ा = 6/8 = 3/4

1/8 का 8 गुन ा = 8/8 = 1

ध्यान द जए: मुड़ी हुई प स्वयं तुल्य भन्न दखा दे ती है — 2⁄8 = 1⁄4, 4⁄8 = 1⁄2, 6⁄8 = 3⁄4।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 158
अनुभाग 7.3 भन्नात्मक इकाइय ारा मापना

1⁄
प्र.1 2 क इस ता लका को 2 और चरण तक जारी रख।

1⁄ 1⁄ + 1⁄ 1⁄ + 1⁄ + 1⁄ 1⁄ + 1⁄ + 1⁄ + 1⁄ + 1⁄ + 1⁄ +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 1 गुना आधा = 2 गुना आधा = 3 गुना आधा 1⁄ 1⁄ + 1⁄
2 2 2
= 4 गुना आधा = 5 गुना आधा

पुस्तक म द गई आधे क ता लका।

पुस्तक क ता लका “आधा का 5 गुना” पर समाप्त होती है। आगे के दो चरण म एक-एक आधा और जो ड़ए।

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1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1/2 का 6 गुन ा = 6/2 = 3

1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1/2 का 7 गुन ा = 7/2 = 3 1/2

संकेत: दो आधे मलकर एक पूरा बनाते ह, इस लए “आधा का 6 गुना” ठ क 3 पूरी रो टयाँ और “आधा का 7
गुना” 3 रोट तथा एक आधा है।

प्र.2 क्या आप 1⁄4 के लए समान ता लका बना सकते ह?

हाँ। हर बार एक चौथाई जोड़ते जाइए।

चौथाइय क संख्या योग कथन भन्न

1/4 का 1 गुना 1/4 1/4

1/4 का 2 गुना 1/4 + 1/4 2/4 = 1/2

1/4 का 3 गुना 1/4 + 1/4 + 1/4 3/4

1/4 का 4 गुना 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 4/4 = 1

1/4 का 5 गुना 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 5/4 = 1 1/4

1/4 का 6 गुना छह चौथाई 6/4 = 1 1/2

प्र.3 कागज क प क सहायता से 1⁄3 बनाएँ। क्या आप 1⁄6 बनाने म इसका उपयोग कर सकते ह?

हाँ। पहले प को तीन बराबर भाग म मो ड़ए — प्रत्येक भाग प का 1⁄3 है।

अब उसी मुड़ी प को एक बार और दो म मो ड़ए। हर तहाई दो बराबर टु कड़ म कट जाएगी, अत: पूरी प म 3 × 2 = 6 बराबर
टु कड़े बन जाएँगे।

1/3 का आधा = 1/6

अत: 1/6 के 2 टु क ड़ े = 1/3 और 1/6 के 6 टु क ड़ े = 1

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क्य : भन्नात्मक इकाई को आधा करने पर संपूण म भाग क संख्या दुगुनी हो जाती है — तहाई से छठाई, चौथाई
से आठवाँ भाग, इत्या द।

प्र.4 एक चत्र बनाएँ और उपरोक्त के अनुसार योग कथन ल खए— a. 1⁄4 रोट का 5 गुना b. 1⁄4 रोट का 9 गुना

(a) 1⁄4 रोट का 5 गुना — चौथाइय म कट 1 पूरी रोट तथा दूसरी रोट का 1 चौथाई भाग छायां कत क जए।

1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 5/4 = 1 + 1/4 = 1 1/4 रोटी

(b) 1⁄4 रोट का 9 गुना — चौथाइय म कट 2 पूरी रो टयाँ तथा तीसरी रोट का 1 चौथाई भाग छायां कत क जए।

1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 9/4 = 2 + 1/4 = 2 1/4 रोटी

संकेत: चौथाइय को चार-चार के समूह म र खए — 4 चौथाई मलकर 1 पूरी रोट बनाते ह। 9 चौथाई = 4 + 4 +
1, अत: 2 पूरी रो टयाँ और एक चौथाई।

प्र.5 प्रत्येक भन्नात्मक इकाई का सही चत्र के साथ जोड़ा बनाइए— 1⁄3, 1⁄5, 1⁄8, 1⁄6

पुस्तक म दए गए चार चत्र।

प्रत्येक वृत्त म बराबर भाग क संख्या ग नए — एक छायां कत भाग 1 को उसी संख्या से भाग दे ने पर मलता है।

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8 भाग → 1/8 6 भाग → 1/6 3 भाग → 1/3 5 भाग → 1/5

पुस्तक के चार वृत्त उसी क्रम म। प्रत्येक वृत्त का छायां कत भाग उसक भन्नात्मक इकाई है।

भन्नात्मक इकाई चत्र वृत्त म बराबर भाग

1/3 तीसरा वृत्त 3

1/5 चौथा वृत्त 5

1/8 पहला वृत्त 8

1/6 दू स रा वृत्त 6

संकेत: केवल कट हुई रेखाएँ मत ग नए — टु कड़े ग नए। कद्र से गुजरती 3 रेखाएँ 6 टु कड़े बनाती ह, 3 नह ।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 159
अनुभाग 7.4 संख्या रेखा पर भन्न क माप अं कत करना

प्र.1 यहाँ भन्नात्मक इकाई, 1 इकाई क लंबाई को तीन बराबर भाग म वभा जत कर रही है। नीली रेखा क लंबाई
बताने वाले भन्न को संबं धत बॉक्स म अथवा अपनी कॉपी म ल खए।

0 से 1 तक क दूरी 3 बराबर भाग म बँट है, अत: एक कदम 1⁄3 इकाई का है। नीली रेखा दो ऐसे कदम तय करती है — वह 0 के
बाद दूसरे नशान पर समाप्त होती है।

1/3 का 2 गुन ा = 2/3 इकाई

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न
a g l AglaSem · NCERT Solutions

उत्तर: नीली रेखा 2⁄3 इकाई लंबी है।
co m
e m.
m l as
.co a g
a s emएक इकाई को 5 बराबर भाग म बाँटा गया है। नीली रेखाओं क लंबाई बताने वाली भन्न को संबं धत बॉक्स
gl
यहाँ
a
प्र.2
म अथवा अपनी नोटबुक (कॉपी) म ल खए।

co m

em . ag
g l as
अब प्रत्येक कदम 1⁄5 इकाई का है। प्रत्येक नीली रेखा के कदम ग नए।
a
छोटी नीली रेखा = 2 कदम = 2/5 इकाई
co m
e m.
m l as
बड़ ी नीली रेखा = 4 कदम = 4/5 इकाई

m .co a g
l a se
a gअत: दोन बॉक्स (1⁄5 के बाद तथा 3⁄5 के बाद) म क्रमश: 2⁄5 और 4⁄5 आएँगे।

om a s
अब एक इकाई को 8 बराबर भाग म बाँटाm
e
. c agl
a s
गया है। उ चत भन्न को अपनी नोटबुक (कॉपी) म ल खए।

agl
प्र.3

co m
अब प्रत्येक कदम 1⁄8 इकाई का है, अत: 0 और 1 के बीच के नशान ह गे—
m .
m as e
.co a g l
se m
a
1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 8/8 = 1

ag l
जो रेखा तीसरे नशान तक जाती है वह 3⁄8 इकाई लंबी है, जो छठे नशान तक जाती है वह 6⁄8 इकाई लंबी है। 1 के आगे नशान
se m
com g l a
m . a
9⁄ , 10⁄ , 11⁄ … चलते रहते ह।

ase
8 8 8

agl
ध्यान द जए: इनम से कुछ के छोटे नाम भी ह — 2⁄8 = 1⁄4, 4⁄8 = 1⁄2, 6⁄8 = 3⁄4।

co m
m .
m लगाएँ — पृष्ठ 160 as e
. coपता a g l
em
आइए,
l a s
ag c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 14 of 47

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अनुभाग 7.4 संख्या रेखा पर भन्न क माप अं कत करना

ग णत चचा

प्र.1 संख्या रेखा पर 1⁄10, 3⁄10 और 4⁄5 लंबाई क रेखाओं को दशाइए।

0 से 1 तक क लंबाई को 10 बराबर भाग म बाँ टए। तब 1⁄10 = 1 कदम, 3⁄10 = 3 कदम और 4⁄5 = 8⁄10 = 8 कदम।

4/5 = (4 × 2)/(5 × 2) = 8/10

1/10
3/10
4/5 = 8/10

0 1

0 से 1 तक क इकाई दस बराबर कदम म। तीन रंगीन रेखाएँ 1⁄10, 3⁄10 तथा 4⁄5 (= 8⁄10) लंबी ह।

प्र.2 अपनी पसंद क पाँच और भन्न को ल खए और उन्ह संख्या रेखा पर दशाइए।

कोई भी पाँच भन्न ली जा सकती ह। यहाँ एक अ ा समूह उसी दसव भाग वाले पैमाने पर दया गया है।

भन्न संख्या रेखा पर ान दसव भाग म

1/2 0 और 1 के ठीक बीच 5/10

2/5 पाँचवें भाग के 2 कदम 4/10

7/10 दसवें भाग के 7 कदम 7/10

6/5 1 से थोड़ा आगे 12/10

3/2 1 और 2 के ठीक बीच 15/10

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क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न AglaSem · NCERT Solutions

ग णत चचा: अपनी पाँच भन्न क तुलना मत्र क भन्न से क जए। सबको दसव (या बीसव) भाग म लखते ही
पता चल जाएगा क कसक भन्न बड़ी है।

प्र.3 0 और 1 के मध्य कतनी भन्न होती ह? सो चए, अपने सहपा ठय से चचा क जए और अपना उत्तर ल खए।

0 और 1 के बीच अन गनत (असंख्य) भन्न होती ह।
कोई भी हर चु नए, नई भन्न मल जाती ह—

आधे → 1/2

ितहाई → 1/3, 2/3

दसवें भाग → 1/10, 2/10, …, 9/10

सौवें भाग → 1/100, 2/100, …, 99/100

ये कभी समाप्त क्य नह होत : 0 और 1 के बीच कोई भी दो भन्न ली जए; उनके ठ क बीच क संख्या भी एक
भन्न ही होगी — जैसे 1⁄2 और 1⁄3 के बीच 5⁄12 है। यह क्रम कभी नह रुकता।

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प्र.4 नीचे दशाई गई नीली रेखा और काली रेखा क लंबाई क्या है? 0 और 1 के मध्य क दूरी 1 इकाई लंबी है और यह
दो बराबर भाग म वभा जत क गई है। अतः प्रत्येक भाग क लंबाई 1⁄2 है। इस लए नीली रेखा 1⁄2 इकाई लंबी है।
काली रेखा क लंबाई बताने वाली भन्न को बॉक्स म ल खए।

0 1 1 2
2

संख्या रेखा, जसके ऊपर नीली रेखा और काली रेखा ख ची गई ह।

इस रेखा पर प्रत्येक कदम 1⁄2 इकाई का है। काली रेखा 0 से चलकर 1 और 2 के बीच वाले नशान पर, अथात् तीसरे आधे-कदम
पर रुकती है।

नीली रेखा = 1 कदम = 1/2 इकाई

काली रेखा = 3 कदम = 1/2 का 3 गुन ा = 3/2 इकाई = 1 1/2 इकाई

उत्तर: काली रेखा 3⁄2 (डेढ़) इकाई लंबी है।

प्र.5 काली रेखाओं क लंबाई बताने वाली भन्न को संबं धत बॉक्स म ल खए।

यहाँ इकाई 5 बराबर भाग म बँट है, अत: प्रत्येक कदम 1⁄5 इकाई का है। चार काली रेखाएँ 0 से शुरू होकर 1 के बाद, खाली
बॉक्स पर समाप्त होती ह।

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9/5
8/5
7/5
6/5

0 1 2

पुस्तक क चार काली रेखाएँ: ये 0 से क्रमश: 6, 7, 8 और 9 पाँचव-कदम दूर समाप्त होती ह।

पहला बॉक्स = 6 कदम = 6/5

दू सरा बॉक्स = 7 कदम = 7/5

तीसरा बॉक्स = 8 कदम = 8/5
चौथा बॉक्स = 9 कदम = 9/5

उत्तर: 6⁄5, 7⁄5, 8⁄5, 9⁄5 (अथात् 11⁄5, 12⁄5, 13⁄5, 14⁄5)।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 161
अनुभाग 7.5 म त भन्न

प्र.1 उन सभी भन्न को ल खए जन्ह आपने पहले संख्या रेखा पर अं कत कया था। आइए, अब इन भन्न को दो
समूह म वग कृत कर— 1 इकाई से छोट लंबाई तथा 1 इकाई से बड़ी लंबाई।

1 इकाई से छोट लंबाई 1 इकाई से बड़ी लंबाई

पुस्तक म दए गए दो समूह।

पृष्ठ 159 और 160 क सभी भन्न को छाँ टए।

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क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
1 इकाई से छोट लंबाई 1 इकाई से बड़ी लंबाई

m as e
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1/2, 2/3, 2/5, 4/5, 1/10, 3/10, 3/8
a g
3/2, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5
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se m
g l a
a
पुस्तक क सभी नीली रेखाएँ पहले स्तंभ म और सभी काली रेखाएँ दूसरे स्तंभ म आती ह।

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s e m म कुछ बात समान ह?
क्या आपने ध्यान दया क 1 इकाई से बड़ी भन्न
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agl
प्र.2

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m.
हाँ — प्रत्येक भन्न क दोन संख्याओं को दे खए।

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1 इकाई से छोट → अंश, हर से छोटा (2⁄5, 3⁄8)।
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1 इकाई से बड़ी → अंश, हर से बड़ा (7⁄5, 3⁄2)।

a g l ठ क 1 → अंश और हर बराबर (5⁄5, 8⁄8)।

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क्य : एक पूरी इकाई बनाने म 5 पाँचव भाग लगते ह। अत: 7⁄5 का अथ है 5 पाँचव भाग (एक पूरा) और 2 पाँचव agl
l a se
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भाग अ धक — जो न त रूप से 1 से बड़ा है।
a

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आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 162
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. omसे बड़ी भन्न
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अनुभाग 7.5

गs
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णत चचा

se m
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7⁄

a
प्र.1 2 म कतनी पूण इकाइयाँ ह?
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दो आधे मलकर एक पूरा बनाते ह, अत: आध के जोड़े बनाइए।

co m
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7/2 = (1/2 + 1/2) + (1/2 + 1/2) + (1/2 + 1/2) + 1/2
a g l
se m = 1 + 1 + 1 + 1/2 = 3 + 1/2
g l a
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उत्तर: 7⁄2 म 3 पूण इकाइयाँ ह (और एक आधा शेष)।
m a s e
e m . co agl
g l as
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4⁄ 7⁄
प्र.2 3 और 3 म कतनी पूण इकाइयाँ ह?

तीन तहाई मलकर एक पूरा बनाते ह, अत: तहाइय के तीन-तीन के समूह बनाइए।

4/3 = (1/3 + 1/3 + 1/3) + 1/3 = 1 पूण इकाई + 1/3

7/3 = (3 ितहाई) + (3 ितहाई) + 1/3 = 2 पूण इकाइयाँ + 1/3

उत्तर: 4⁄3 म 1 पूण इकाई तथा 7⁄3 म 2 पूण इकाइयाँ ह।

संकेत: पूण इकाइय क संख्या वही है जतनी बार हर, अंश म पूरा-पूरा समाता है। 3, 4 म एक बार और 7 म दो
बार समाता है।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 162
एक से बड़ी भन्न को म त संख्याओं के रूप म लखना

प्र.1 नम्न ल खत भन्न म से प्रत्येक म पूण इकाइय क संख्या ात क जए— a. 8⁄3 b. 11⁄5 c. 9⁄4

a. 8/3 → 3 + 3 + 2 ितहाई → 2 पूण इकाइयाँ, शेष 2/3, अत: 8/3 = 2 2/3

b. 11/5 → 5 + 5 + 1 पाँच वें भाग → 2 पूण इकाइयाँ, शेष 1/5, अत: 11/5 = 2 1/5

c. 9/4 → 4 + 4 + 1 चौथाई → 2 पूण इकाइयाँ, शेष 1/4, अत: 9/4 = 2 1/4

उत्तर: तीन म 2-2 पूण इकाइयाँ ह।

प्र.2 क्या 1 से बड़े सभी भन्न को इस प्रकार से म त संख्या के रूप म लख सकते ह?

लगभग सभी को — कतु उन भन्न को नह जो स्वयं पूण संख्याएँ ह।
म त संख्या म दो भाग चा हए: एक पूण भाग और 1 से छोटा एक भन्नात्मक भाग। य द हर, अंश को पूरा-पूरा वभा जत कर दे तो
कुछ शेष बचता ही नह ।

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8/4 = 2 → के वल पूण भाग, अत: इसे सीधे 2 िलखा जाता है

9/4 = 2 + 1/4 → 2 1/4 ✔

अत: 1 से बड़ी वे सभी भन्न जनका अंश हर का गुणज नह है, म त संख्या के रूप म लखी जा सकती ह; शेष तो पहले से ही
पूण संख्याएँ ह।

प्र.3 नम्न ल खत भन्न को म त भन्न के रूप म ल खए (उदाहरणाथ, 9⁄2 = 41⁄2)— a. 9⁄2 b. 9⁄5 c. 21⁄19 d.
47⁄ 12⁄ 19⁄
9 e. 11 f. 6

अंश म हर का भाग द जए। भागफल पूण भाग बनता है और शेषफल नया अंश।

भन्न भाग म त संख्या

a. 9/2 9 ÷ 2 = 4, शेष 1 4 1/2

b. 9/5 9 ÷ 5 = 1, शेष 4 1 4/5

c. 21/19 21 ÷ 19 = 1, शेष 2 1 2/19

d. 47/9 47 ÷ 9 = 5, शेष 2 5 2/9

e. 12/11 12 ÷ 11 = 1, शेष 1 1 1/11

f. 19/6 19 ÷ 6 = 3, शेष 1 3 1/6

स्वयं जाँ चए: 52⁄9 = 5 × 9 + 2 = 47 नवाँ भाग = 47⁄9 ✔

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 163

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म त संख्या को सामान्य भन्न के रूप म लखना

ग णत चचा

प्र.1 नम्न ल खत म त संख्याओं को भन्न के रूप म ल खए— (a) 31⁄4 (b) 72⁄3 (c) 94⁄9 (d) 31⁄6 (e) 23⁄11 (f)
39⁄10

जया क व ध अपनाइए: प्रत्येक पूण को भन्नात्मक इकाइय म बद लए और फर सभी इकाइयाँ गन ली जए।

3 1/4 = (4 × 1/4) + (4 × 1/4) + (4 × 1/4) + (3 × 1/4)

= 4 + 4 + 4 + 3 चौथाई = 15/4

सं प्त नयम है (पूण भाग × हर) + अंश, और हर वही रहता है।

म त संख्या हल भन्न

a. 3 1/4 (3 × 4) + 1 = 13 13/4

b. 7 2/3 (7 × 3) + 2 = 23 23/3

c. 9 4/9 (9 × 9) + 4 = 85 85/9

d. 3 1/6 (3 × 6) + 1 = 19 19/6

e. 2 3/11 (2 × 11) + 3 = 25 25/11

f. 3 9/10 (3 × 10) + 9 = 39 39/10

हर से गुणा क्य : एक पूरी रोट म ठ क हर जतनी भन्नात्मक इकाइयाँ होती ह — 4 चौथाई, 3 तहाई, 10 दसव
भाग। अत: 3 पूरी रो टय म 3 × 10 = 30 दसव भाग और 9 दसव भाग मलाकर 39 दसव भाग।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 164

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अनुभाग 7.6 तुल्य भन्न · भन्न प क द वार

प्र.1 क्या 1⁄2 और 2⁄4 क लंबाई बराबर ह? क्या 2⁄4 और 4⁄8 क लंबाई बराबर ह?

दोन का उत्तर हाँ है। तीन छायां कत प य को एक के नीचे एक र खए — तीन का छायां कत भाग ठ क एक ही ान पर
समाप्त होता है।

1/2 = 2/4 = 4/8

क्य : जब हर भाग को दो म काटा जाता है तो भाग क संख्या दुगुनी हो जाती है, कतु प्रत्येक भाग आधा रह जाता
है। दोन प्रभाव एक-दूसरे को संतु लत कर दे ते ह, इस लए कुल लंबाई नह बदलती।

प्र.2 अब कागज क प य का उपयोग कर जाँ चए क क्या 1⁄3 और 2⁄6 समतुल्य भन्न ह अथवा नह ?

दो एक जैसी प याँ ली जए। एक को 3 बराबर भाग म मोड़कर 1 भाग छायां कत क जए; दूसरी को 6 बराबर भाग म मोड़कर 2
भाग छायां कत क जए। दोन को साथ र खए — छायां कत लंबाइयाँ बराबर मलगी।

1/3 = (1 × 2)/(3 × 2) = 2/6

हाँ, 1⁄3 और 2⁄6 तुल्य भन्न ह।

प्र.3 क्या 1⁄2 और 3⁄6 क लंबाई बराबर ह?

हाँ। भन्न प क द वार म आधे वाली प और छठाई वाली तीन प याँ एक ही रेखा पर समाप्त होती ह।

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क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न
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1

a
agl 1/2 1/2

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1/3 1/3 1/3

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1/4 1/4 1/4 1/4
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1/5 1/5 agl 1/5 1/5 1/5

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
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1/6 m
e m.
m l as
.co
1/2 = 2/4 = 3/6
a g
a s emछठाई तक क भन्न प क द वार। लाल बदुदार रेखा दखाती है क 1⁄2, 2⁄4 और 3⁄6 एक ही ान पर समाप्त होती ह।
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m .co agl
se
3/6 = (3 ÷ 3)/(6 ÷ 3) = 1/2

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a

co m
प्र.4 क्या 2⁄3 और 4⁄6 तुल्य भन्न ह? क्य ?
m .
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उत्तर .c
om a g l
a s e, m
agl ये तुल्य भन्न ह।
हाँ

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2/3 = (2 × 2)/(3 × 2) = 4/6
m
ase
agl
द वार म 1⁄3 क दो प याँ ठ क उतनी ही लंबाई घेरती ह जतनी 1⁄6 क चार प याँ, क्य क प्रत्येक तहाई दो छठाइय से बना है।

co m
m .
m⁄6 लंबाई के कतने टुकड़ से ⁄2 लंबाई प्राप्त होगी? as e
c o g l
1 1

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प्र.5

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agl उत्तर
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s e m
m a
. co agl
1/2 = 3/6 = 1/6 + 1/6 + 1/6
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उत्तर: 3 टु कड़ से। a

co m
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1⁄ 1⁄
प्र.6 6 लंबाई के कतने टु कड़ से 3 लंबाई प्राप्त होगी?

1/3 = 2/6 = 1/6 + 1/6

उत्तर: 2 टु कड़ से।

संकेत: छठाई, तहाई क आधी होती है, इस लए एक तहाई बनाने म सदै व दो छठाइयाँ लगती ह।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 165
अनुभाग 7.6 तुल्य भन्न

प्र.1 क्या 3⁄6, 4⁄8, 5⁄10 तुल्य भन्न ह? क्य ?

हाँ — तीन आधे के ही दूसरे नाम ह।

3/6 = (3 ÷ 3)/(6 ÷ 3) = 1/2

4/8 = (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2

5/10 = (5 ÷ 5)/(10 ÷ 5) = 1/2

भन्न प क द वार म इनक छायां कत लंबाइयाँ ठ क एक ही रेखा पर समाप्त होती ह, अथात् ये अलग-अलग भन्नात्मक इकाइय
म एक ही लंबाई दशाती ह।

पैटन: तीन म अंश, हर का ठ क आधा है, इस लए प का आधा भाग छायां कत होता है।

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2⁄
प्र.2 6 के लए दो तुल्य भन्न ल खए।

2/6 = (2 ÷ 2)/(6 ÷ 2) = 1/3 (2 से भाग)

2/6 = (2 × 3)/(6 × 3) = 6/18 (3 से गुणा)

इसी पकार 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15 …

उत्तर: 1⁄3 और 3⁄9 दो सरल उदाहरण ह (सूची म से कोई भी युग्म सही है)।

4⁄
प्र.3 6 = ___ = ___ = ___ = ............ ( जतनी संभव ह उतनी ल खए।)

पहले 2 से भाग द जए, फर सरलतम रूप को 2, 3, 4, … से गुणा करते जाइए।

4/6 = 2/3 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 12/18 = 14/21 = 20/30 = …

यह सूची कभी समाप्त नह होती, क्य क 2⁄3 के अंश और हर को कसी भी संख्या से गुणा कया जा सकता है।

संकेत: 2⁄3 इस पूरे प रवार का सरलतम रूप है — सबसे छोट संख्याओं वाला युग्म।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 166

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समान भाग का प्रयोग कर तुल्य भन्न समझना

प्र.1 तीन रो टय को चार ब म बराबर बाँटा गया है। चत्र म वभाजन दखाएँ और प्रत्येक ब े को कतना भाग
मला है, भन्न म ल खए। संगत वभाजन क्रया, योग क्रया और गुणन क्रया भी ल खए।

पुस्तक के अनुसार तीन रो टयाँ और चार ब े।

प्रत्येक रोट को 4 बराबर भाग म का टए। इससे 12 चौथाई बनते ह और 12 ÷ 4 = 3 चौथाई प्रत्येक ब े को मलते ह।

पत्येक बच्चे को िमला भाग = 3/4 रोटी

िवभाजन ि या: 3 ÷ 4 = 3/4

योग ि या: 3 = 3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4

गुणन ि या: 3 = 4 × 3/4

स्वयं जाँ चए: 3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4 = 12/4 = 3 रो टयाँ ✔

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प्र.2 एक चत्र बनाकर दशाइए क जब 2 रो टयाँ 4 ब म बराबर-बराबर बाँट जाती ह तो प्रत्येक ब े को कतना
भाग मलता है। इसके संगत भाग क्रया, योग क्रया और गुणन क्रया भी ल खए।

दोन रो टय को आधा-आधा का टए। इससे 4 आधे बनते ह — प्रत्येक ब े को एक आधा।

पत्येक बच्चे को 2/4 = 1/2 रोटी

भाग ि या: 2 ÷ 4 = 2/4 = 1/2

योग ि या: 2 = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2

गुणन ि या: 2 = 4 × 1/2

प्र.3 अ नल एक समूह म था, जहाँ 2 केक को 5 ब म बराबर बाँटा गया। अ नल को कतना केक मला होगा?

प्रत्येक केक को 5 बराबर भाग म का टए: 2 × 5 = 10 टु कड़े, प्रत्येक 1⁄5 केक, जो 5 ब म बँटते ह।

2 ÷ 5 = 2/5 के क

पत्येक बच्चा: 1/5 + 1/5 = 2/5

उत्तर: अ नल को 2⁄5 केक मला होगा।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 166 – 168
समान भाग और तुल्य भन्न

प्र.1 अब य द मेरे समूह म 10 ब े ह तो मुझे कतने केक क आवश्यकता होगी ता क समूह म प्रत्येक को अ नल के
बराबर केक मले?

अ नल का हस्सा 2⁄5 केक है। अब 10 ब म से प्रत्येक को 2⁄5 केक चा हए।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
2/5 = (2 × 2)/(5 × 2) = 4/10
m l as
.co
अत: 4 के क 10 बच्चों में = 4 ÷ 10 = 4/10 = पत्येक को 2/5 के क
a g
a s em
agl4 केक क आवश्यकता होगी। “2 केक 5 ब
उत्तर: म” वाले दो समूह मलकर ठ क “4 केक 10 ब म” बनाते ह, इसी लए
2⁄ 4⁄
5= 10।

co m
e m . ag
g l as
प्र.2 आइए, हम नम्न ल खत a
तय म प्रत्येक ब े के हस्से क जाँच करते ह— 1 रोट 2 ब म बराबर बाँट

m
जाती है; 2 रो टयाँ 4 ब म बराबर बाँट जाती ह; 3 रो टयाँ 6 ब म बराबर बाँट जाती ह। क्या आपने ध्यान

co
m.
दया क सभी तय म प्रत्येक ब े का भाग बराबर है?

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.co a g l
se
m
g l a
a
हाँ — तीन तय म प्रत्येक ब े को आधी रोट मलती है।

m a s
.co agl
1 ÷ 2 = 1/2

se m
2 ÷ 4 = 2/4
g l a
3 ÷ 6 = 3/6 a
और 1/2 = 2/4 = 3/6
co m
m .
o m l a se
क्य.:cहर g नी रो टयाँ, दुगुने ब े; तगुनी
क संख्या एक ही अनुपात म बढ़ती है —aदुगु
m
aseरो टयाँ, तगुने ब े। इस लए प्र त ब ा हस्सा नह बदलता।
त म रो टय और ब

agl
se m
com g l a
m . a
ase
1⁄

agl
प्र.3 2 के तुल्य कुछ और भन्न को ात क जए। इन्ह यहाँ बॉक्स म ल खए।

m

. co
m
1⁄

e
2 के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा क जए।

m l as
.co
m 1/2 = 4/8 = 5/10 = 6/12 = 10/20 = 25/50 = 50/100 … a g
l a se
ag
.c
इनम से प्रत्येक म हर, अंश का ठ क दुगुना है।
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

com
m .
m ase
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a g l Page 29 of 47

क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 नम्न ल खत तय म रोट को बराबर-बराबर बाँ टए और प्रत्येक ब े के हस्से को ल खए। क्या इन सभी
तय म प्रत्येक ब े का हस्सा समान है? क्य ? (2 रो टय को 3 ब म; 4 रो टय को 6 ब म; 6 रो टय
को 9 ब म बराबर हस्स म बाँटा गया।) क्या आपने इनम से प्रत्येक भन्न म अंश और हर के बीच संबंध के बारे
म कुछ ध्यान दया है?

2 रो टय को 3 ब म बराबर हस्स म बाँटा 4 रो टय को 6 ब म बराबर हस्स म बाँटा

2 2 2
3 3 3
6 रो टय को 9 ब म बराबर हस्स म बाँटा

पुस्तक म द गई तीन तयाँ।

2 रोिटयाँ ÷ 3 बच्चे = पत्येक को 2/3 रोटी

4 रोिटयाँ ÷ 6 बच्चे = पत्येक को 4/6 रोटी

6 रोिटयाँ ÷ 9 बच्चे = पत्येक को 6/9 रोटी

हाँ, तीन हस्से बराबर ह: 2⁄3 = 4⁄6 = 6⁄9।

अंश और हर का संबंध—

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4/6 = (2 × 2)/(3 × 2) 6/9 = (2 × 3)/(3 × 3)

उलटा: 4/6 = (4 ÷ 2)/(6 ÷ 2) = 2/3, 6/9 = (6 ÷ 3)/(9 ÷ 3) = 2/3

प्रत्येक भन्न म अंश और हर को उनके उभय नष्ठ गुणनखंड से भाग दे ने पर सदै व 2⁄3 ही मलता है — जो 4⁄6 और 6⁄9 का सरलतम
रूप है।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 168 और 169
अनुभाग 7.6 तुल्य भन्न

ग णत चचा

प्र.1 लुप्त संख्याएँ ात क जए— a. 4 मत्र के बीच बराबर-बराबर बाँटा गया 5 गलास जूस, 8 दोस्त के बीच
बराबर-बराबर बाँटे गए ____ गलास जूस के समान है। अतः 5⁄4 = ?⁄8। b. 4 क ा आलू को बराबर-बराबर 3 थैल
म भरा गया। ऐसे ही 12 क ा आलू को समान रूप से भरने के लए ___ थैल क आवश्यकता होगी? अत: 4⁄3 =
12⁄ । c. 5 ब के बीच बराबर बाँट गई 7 रो टयाँ और ____ ब के बीच बराबर बाँट गई ____ रो टयाँ समान
?

ह गी। अत: 7⁄5 = ___।

(a) मत्र क संख्या दुगुनी (4 → 8) हुई है, अत: जूस भी दुगुना चा हए।

5/4 = (5 × 2)/(4 × 2) = 10/8 → 10 िगलास

(b) आलू तगुना (4 कग्रा → 12 कग्रा) हुआ है, अत: थैले भी तगुने चा हए।

4/3 = (4 × 3)/(3 × 3) = 12/9 → 9 थै ले

(c) 7⁄5 क कोई भी तुल्य भन्न सही है। दोन संख्याएँ दुगुनी क जए—

7/5 = 14/10 → 14 रोिटयाँ 10 बच् च ों में

(इसी पकार 21 रोिटयाँ 15 बच्चों में, 28 रोिटयाँ 20 बच्चों में …)

हस्सा क्य नह बदलता: वस्तुओं क संख्या और लोग क संख्या को एक ही संख्या से गुणा करने पर प्रत्येक
व्य क्त को पहले जतना ही मलता है।

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क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न AglaSem · NCERT Solutions

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 169 और 170
तुल्य भन्न ारा हस्स क तुलना

ग णत चचा

प्र.1 कस समूह म प्रत्येक ब े को अ धक चक्क प्राप्त होती है? 1 चक्क को 2 ब म बराबर बाँटा जाए या 5
च क्कय को 8 ब म बराबर बाँटा जाए।

1⁄ 5⁄
2 और 8 क तुलना क जए। भन्नात्मक इकाइयाँ समान — आठवाँ भाग — बनाइए।

1/2 = (1 × 4)/(2 × 4) = 4/8

4/8 < 5/8, अत: 1/2 < 5/8

उत्तर: दूसरे समूह (8 ब म 5 च क्कयाँ) के प्रत्येक ब े को अ धक चक्क मलेगी।

प्र.2 नम्न ल खत समूह के वषय म क्या कहगे? कस समूह म प्रत्येक ब े को अ धक हस्सा मलेगा? 1 चक्क को
2ब म बराबर बाँटा जाए या 4 च क्कय को 7 ब म बराबर बाँटा जाए।

1⁄ 4⁄ 1⁄
2 और 7 क तुलना क जए। 2 को अंश 4 के साथ ल खए—

1/2 = (1 × 4)/(2 × 4) = 4/8

4 िचिक्कयाँ 7 बच्चों में → पत्येक को 4/7

4 िचिक्कयाँ 8 बच्चों में → पत्येक को 4/8

उन्ही ं 4 िचिक्कयों को कम बच्चे बाँट ते है,ं अत: 4/7 > 4/8 = 1/2

उत्तर: दूसरे समूह (7 ब म 4 च क्कयाँ) को अ धक मलेगा।

ध्यान द जए: पुस्तक म छपी पं क्त “हम 1⁄7 और 4⁄7 क तुलना करनी चा हए” मुद्रण-त्रु ट है — तुलना 1⁄2 और
4⁄
7 क करनी है, जैसा क नीचे दए गए हल म कया भी गया है।

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क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 मान ली जए क ब क संख्या समान रखी गई है, कतु बाँट जाने वाली इकाइय क संख्या बढ़ गई। अब आप
प्रत्येक ब े को मलने वाले हस्से के वषय म क्या कहगे? क्य ? चचा क जए क कैसे आपका तक यह स्पष्ट
करता है क 1⁄5 < 2⁄5, 3⁄7 < 4⁄7, और 1⁄2 < 5⁄8।

प्रत्येक ब े का हस्सा बढ़ जाएगा। उतने ही ब के पास बाँटने को अ धक वस्तुएँ ह, अत: सबको अ धक मलेगा।

1⁄ 2⁄ े पहले 1 रोट , फर 2 रो टयाँ बाँटते ह। ब े उतने ही, रो टयाँ अ धक → हस्सा अ धक।
5< 5—5ब
3⁄ 4⁄ े पहले 3, फर 4 रो टयाँ बाँटते ह। भन्नात्मक इकाई 1⁄7 वही, उनक संख्या अ धक।
7< 7—7ब
1⁄ 5⁄ 1⁄ 4⁄
2< 8 — पहले 2= 8 ल खए। अब दोन म आठवाँ भाग है और 4 आठव भाग < 5 आठव भाग।

एक पं क्त का नयम: हर समान होने पर जस भन्न का अंश बड़ा है वही बड़ी है — एक ही माप के अ धक टु कड़े
जो ह।

प्र.4 अब, नणय क जए क दोन समूह म कस समूह के ब को अ धक हस्सा मलेगा? 1. समूह 1— 3 गलास
गन्ने के रस को 4 ब म बराबर बाँटा गया। समूह 2— 7 गलास गन्ने के रस को 10 ब म बराबर बाँटा गया। 2.
समूह 1— 4 गलास गन्ने के रस को 7 ब म बराबर बाँटा गया। समूह 2— 5 गलास गन्ने के रस को 7 ब म
बराबर बाँटा गया। कौन से समूह क तुलना करना आसान है? क्य ?

पहला युग्म — 3⁄4 और 7⁄10। हर अलग-अलग ह, अत: उन्ह समान क जए। 4 और 10 का एक उभय नष्ठ गुणज 20 है (गुणनफल
40 से भी काम चलेगा)।

3/4 = (3 × 5)/(4 × 5) = 15/20

7/10 = (7 × 2)/(10 × 2) = 14/20

15/20 > 14/20, अत: 3/4 > 7/10

→ समूह 1 के ब को अ धक हस्सा मलेगा।

दूसरा युग्म — 4⁄7 और 5⁄7। यहाँ भन्नात्मक इकाई पहले से समान है।

5/7 > 4/7 → समूह 2 के बच् च ों को अिधक िहस्सा िमलेगा।

दूसरे युग्म क तुलना करना अ धक आसान था, क्य क दोन समूह म ब क संख्या समान है — भन्न के हर पहले से ही
समान ह और केवल अंश क तुलना करनी पड़ी।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 172
m ase
.co
समान भन्नात्मक इकाई वाली तुल्य भन्न
a g l
a s em
aप्र.1gl दए8 गए भन्न5 युग्म3 के लए3तुल्य 6भन्न को8 ात क9 जए,5 जसम1 भन्नात्मक
2
इकाइयाँ समान ह । a. 7⁄2 और 3⁄5
8 11 13 1
b. ⁄3 और ⁄6 c. ⁄4 और ⁄5 d. ⁄7 और ⁄5 e. ⁄4 और ⁄2 f. ⁄10 और ⁄9 g. ⁄3 और ⁄4 h. ⁄6 और ⁄9

com
m . ag
l a se
दोन हर का एक उभय नष्ठ गुणज (सबसे छोटाaलेg

ना सरल रहता है) ली जए और दोन भन्न को उसी हर के साथ ल खए।

co m
m.
युग्म उभय नष्ठ हर तुल्य भन्न

m as e
.co
a. 7/2, 3/5 10
a g l
35/10 और 6/10

se m
g l ab. 8/3, 5/6
a
6 16/6 और 5/6

s
c. 3/4, 3/5 20 15/20 और 12/20

m a
m.co agl
se
d. 6/7, 8/5 35 30/35 और 56/35

l a
e. 9/4, 5/2
a4g 9/4 और 10/4

f. 1/10, 2/9 90 9/90 और 20/90
co m
.
a s em
com agl
g. 8/3, 11/4 12 32/12 और 33/12

h.m
.
as e 13/6, 1/9

agl (d) का हल इस प्रकार है—
18 39/18 और 2/18

se m
com g l a
m . a
ase
6/7 = (6 × 5)/(7 × 5) = 30/35

8/5 = (8 × 7)/(5 × 7) = 56/35 agl

. c om
संकेत: जब एक हर दूसरे का गुणज हो — जैसे (b) म 3 और 6, या (e) म 2 और 4m
a s e — तब केवल एक ही भन्न
om पड़ती है।
.cबदलनी agl
se m
g l a
a c
m .
m a s e
co agl
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 173
m .
ase
a g l

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 34 of 47

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भन्न को न्यूनतम पद म व्यक्त करना

प्र.1 नम्न ल खत भन्न को न्यूनतम पद म व्यक्त क जए— a. 17⁄51 b. 64⁄144 c. 126⁄147 d. 525⁄112

अंश और हर को उनके महत्तम उभय नष्ठ गुणनखंड से भाग द जए।

a. 51 = 17 × 3, अत: म.स. 17 है

17/51 = (17 ÷ 17)/(51 ÷ 17) = 1/3

b. 64 = 16 × 4, 144 = 16 × 9, अत: म.स. 16 है
64/144 = (64 ÷ 16)/(144 ÷ 16) = 4/9

चरणों में: 64/144 = 32/72 = 16/36 = 8/18 = 4/9

c. 126 = 21 × 6, 147 = 21 × 7, अत: म.स. 21 है

126/147 = (126 ÷ 21)/(147 ÷ 21) = 6/7

d. 525 = 7 × 75, 112 = 7 × 16, अत: म.स. 7 है

525/112 = (525 ÷ 7)/(112 ÷ 7) = 75/16 (= 4 11/16)

न्यूनतम है या नह , कैसे जाँच: अं तम दोन संख्याओं म 1 के अ त रक्त कोई उभय नष्ठ गुणनखंड नह होना
चा हए — 4 और 9, 6 और 7, तथा 75 और 16 म कोई नह है।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 174
अनुभाग 7.7 भन्न क तुलना

प्र.1 नम्न ल खत भन्न क तुलना क जए और अपने उत्तर का कारण बताइए— a. 8⁄3, 5⁄2 b. 4⁄9, 3⁄7 c. 7⁄10, 9⁄14

d. 12⁄5, 8⁄5 e. 9⁄4, 5⁄2

पहले भन्नात्मक इकाइयाँ समान क जए, फर अंश क तुलना क जए।

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a. उभयिनष्ठ हर 6: 8/3 = 16/6, 5/2 = 15/6

16/6 > 15/6 → 8/3 > 5/2

b. उभयिनष्ठ हर 63: 4/9 = 28/63, 3/7 = 27/63

28/63 > 27/63 → 4/9 > 3/7

c. उभयिनष्ठ हर 70: 7/10 = 49/70, 9/14 = 45/70

49/70 > 45/70 → 7/10 > 9/14

d. िभन्नात्मक इकाई पहले से समान: 12 पाँच वें भाग > 8 पाँच वें भाग

→ 12/5 > 8/5

e. उभयिनष्ठ हर 4: 9/4 वही, 5/2 = 10/4

9/4 < 10/4 → 9/4 < 5/2

प्र.2 नम्न ल खत भन्न को आरोही क्रम म ल खए— a. 7⁄10, 11⁄15, 2⁄5 b. 19⁄24, 5⁄6, 7⁄12

(a) 10, 15 और 5 का लघुतम समापवत्य 30 है।

7/10 = 21/30 11/15 = 22/30 2/5 = 12/30

12/30 < 21/30 < 22/30

आरोही क्रम: 2⁄5 < 7⁄10 < 11⁄15

(b) 24, 6 और 12 का लघुतम समापवत्य 24 है।

19/24 वही 5/6 = 20/24 7/12 = 14/24

14/24 < 19/24 < 20/24

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आरोही क्रम: 7⁄12 < 19⁄24 < 5⁄6

प्र.3 नम्न ल खत भन्न को अवरोही क्रम म ल खए— a. 25⁄16, 7⁄8, 13⁄4, 17⁄32 b. 3⁄4, 12⁄5, 7⁄12, 5⁄4

(a) 16, 8, 4 और 32 का लघुतम समापवत्य 32 है।

25/16 = 50/32 7/8 = 28/32 13/4 = 104/32 17/32 वही

104/32 > 50/32 > 28/32 > 17/32

अवरोही क्रम: 13⁄4 > 25⁄16 > 7⁄8 > 17⁄32

(b) 4, 5 और 12 का लघुतम समापवत्य 60 है।

3/4 = 45/60 12/5 = 144/60 7/12 = 35/60 5/4 = 75/60

144/60 > 75/60 > 45/60 > 35/60

अवरोही क्रम: 12⁄5 > 5⁄4 > 3⁄4 > 7⁄12

त्व रत जाँच: 12⁄5 और 5⁄4 1 से बड़ी ह जब क 3⁄4 और 7⁄12 1 से छोट — अत: पहली दो ही आगे आएँगी।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 175 और 177
अनुभाग 7.8 भन्न को जोड़ना और घटाना

प्र.1 मीना ने चक्क का 1⁄2 भाग खाया और उसके छोटे भाई ने इसका 1⁄4 भाग खाया। मीना और उसके भाई ने
मलकर चक्क का कतना भाग खाया?

दोन हस्स को एक ही भन्नात्मक इकाई 1⁄4 म मा पए। मीना का आधा भाग 2 चौथाई है।

कु ल खाई गई िचक्की = 1/2 + 1/4

= 1/4 + 1/4 + 1/4

= 3 × 1/4 = िच क्की का 3/4 भाग

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उत्तर: दोन ने मलकर चक्क का 3⁄4 भाग खाया।

प्र.2 संपूण चक्क का कतना भाग शेष बचा?

पूरी चक्क 4 चौथाई है और 3 चौथाई खाई जा चुक है।

1 − 3/4 = 4/4 − 3/4 = 1/4

उत्तर: चक्क का 1⁄4 भाग शेष बचा।

प्र.3 संख्या रेखा का प्रयोग कर 4⁄7 + 6⁄7 को जो ड़ए। क्या आपको समान उत्तर मला?

हाँ — संख्या रेखा से भी वही उत्तर मलता है। इकाई को सातव भाग म बाँ टए, 0 से 4 सातव भाग क छलाँग लगाइए, फर 6
सातव भाग और।

10/7
4/7 6/7

0 1 2

सातव भाग म बँट संख्या रेखा पर दो छलाँग: पहले 4 सातव भाग, फर 6 सातव भाग — अंत म 10⁄7 पर, जो 1 से थोड़ा आगे है।

4/7 + 6/7 = 10/7

= 7/7 + 3/7 = 1 + 3/7 = 1 3/7

हर 7 ही क्य रहता है: दोन भन्न एक ही भन्नात्मक इकाई 1⁄7 म गनी गई ह। 4 सातव भाग और 6 सातव भाग
मलकर 10 सातव भाग बनते ह, ठ क वैसे ही जैसे 4 आम और 6 आम मलकर 10 आम।

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 179
m as e
.co
भन्न के योग के लए ब्रह्मगुप्त व ध
a g l
a s em
aप्र.1gl ब्रह्मगु
2
प्त व ध का प्रयोग कर नम्न ल खत भन्न का योग क जए— a. 2⁄7 + 5⁄7 + 6⁄7 b. 3⁄4 + 1⁄3 c. 2⁄3 + 5⁄6
2 3 1 1 2 4 4 2 3 5 9 5 8 2 3 1 1
d. ⁄3 + ⁄7 e. ⁄4 + ⁄3 + ⁄5 f. ⁄3 + ⁄5 g. ⁄5 + ⁄3 h. ⁄5 + ⁄8 i. ⁄2 + ⁄4 j. ⁄3 + ⁄7 k. ⁄4 + ⁄3 + ⁄5 l.

co m
. ag
2⁄ 4⁄ 3⁄ 9⁄ 5⁄ 7⁄
7 m.
m
3+ 5+ 2+ 4+
e
6

g l as
उत्तर a
m
हर बार ब्रह्मगुप्त के तीन चरण: (1) भन्नात्मक इकाइयाँ समान क जए, (2) अंश जो ड़ए, (3) उत्तर को न्यूनतम पद म ल खए।

co
em.
m l as
.co
प्रश्न समान भन्नात्मक इकाई के साथ उत्तर

a g
se m
l a
a. 2/7 + 5/7 + 6/7 (2 + 5 + 6)/7 13/7 = 1 6/7

g
a b. 3/4 + 1/3 9/12 + 4/12 13/12 = 1 1/12

m a s
.co agl
c. 2/3 + 5/6
m
4/6 + 5/6 = 9/6 3/2 = 1 1/2

l a se
d. 2/3 + 2/7
ag
14/21 + 6/21 20/21

e. 3/4 + 1/3 + 1/5
m
45/60 + 20/60 + 12/60 77/60 = 1 17/60

. co
f. 2/3 + 4/5 10/15 + 12/15
se m
22/15 = 1 7/15

m
c+o2/3 l a
. ag 22/15 = 1 7/15
sem
g. 4/5 12/15 + 10/15

a h. 3/5 + 5/8
agl 24/40 + 25/40 49/40 = 1 9/40

se m
i. 9/2 + 5/4 18/4 + 5/4
com
23/4 = 5 3/4
g l a
m . a
l ase
j. 8/3 + 2/7 56/21 + 6/21 62/21 = 2 20/21

k. 3/4 + 1/3 + 1/5 ag45/60 + 20/60 + 12/60 77/60 = 1 17/60

co m
l. 2/3 + 4/5 + 3/7 70/105 + 84/105 + 45/105
m .
199/105 = 1 94/105

m as e 83/12 = 6 11/12
.co
m. 9/2 + 5/4 + 7/6 54/12 + 15/12 + 14/12
a g l
a s em
agl (c) का हल इस प्रकार है—
.c
s e m
m a
. co agl
3 और 6 का लघुत म समापवत्य 6 है
e m
2/3 = (2 × 2)/(3 × 2) = 4/6, 5/6 वही रहेगी
g l as
a
4/6 + 5/6 = 9/6 = (9 ÷ 3)/(6 ÷ 3) = 3/2 = 1 1/2

com
m .
m ase
.co


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ध्यान द जए: (f) और (g) का उत्तर एक ही है, तथा (e) और (k) का भी — भन्न का क्रम बदलने से योग नह
बदलता।

प्र.2 रहीम ने हरा पट बनाने के लए 2⁄3 लीटर पीले पट को 3⁄4 लीटर नीले पट के साथ मलाया। उसने कुल कतने
लीटर हरा पट बनाया?

आयतन = 2/3 + 3/4

उभयिनष्ठ हर = 3 × 4 = 12

2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12

8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 5/12 लीटर

उत्तर: रहीम ने 17⁄12 लीटर अथात् 15⁄12 लीटर हरा पट बनाया।

स्वयं जाँ चए: 17⁄12 एक लीटर से थोड़ा अ धक है — ठ क भी है, क्य क 2⁄3 और 3⁄4 दोन एक लीटर से कुछ कम
ह।

प्र.3 एक मीटर प र ध के मेजपोश का संपूण बॉडर ( कनारा) बनाने के लए गीता ने 2⁄5 मीटर लेस खरीद और शमीम
ने 3⁄4 मीटर लेस खरीद । उन दोन के ारा खरीद गई लेस क कुल लंबाई ात क जए। क्या खरीद गई लेस
संपूण बॉडर ( कनारा) को ढकने के लए पयाप्त है?

कु ल लेस = 2/5 + 3/4

उभयिनष्ठ हर = 5 × 4 = 20

2/5 = 8/20, 3/4 = 15/20

8/20 + 15/20 = 23/20 मी. = 1 3/20 मी.

बॉडर के लए 1 मीटर चा हए और उनके पास 23⁄20 मीटर है, जो 1 मीटर से अ धक है (क्य क 20⁄20 = 1)।

उत्तर: कुल लेस = 13⁄20 मीटर। हाँ, यह पयाप्त है — 3⁄20 मीटर लेस बच भी जाएगी।

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पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 180
समान भन्नात्मक इकाई वाली भन्न को घटाना

प्र.1 अतः हमारे पास 2 छायां कत भाग बचे ह अथात् 6⁄7 – 4⁄7 = 2⁄7। यही अभ्यास संख्या रेखा के साथ करने का
प्रयास क जए।

6
7

न्न त्
िभ ा मक भाग िजसे हटाया जाना है।

आयताकार प मॉडल— 6/7 छायां कत, फर 4 छायां कत भाग हटाए गए।

इकाई को सातव भाग म अं कत क जए। पहले 6⁄7 तक जाइए, फर 4 सातव भाग पीछे लौ टए।

पारंभ 6/7 से

1/7 के 4 कदम पीछे : 6/7 → 5/7 → 4/7 → 3/7 → 2/7

अत: 6/7 − 4/7 = 2/7

संख्या रेखा से वही उत्तर मलता है जो प के चत्र से मला था।

हर क्य नह बदलता: घटाना अथात् “ नकाल लेना”। 1⁄7 माप के 6 टु कड़ म से उसी माप के 4 टु कड़े नकालने पर
1⁄
7 माप के 2 टु कड़े बचते ह।

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आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 181
समान हर वाली भन्न का घटाव

5⁄ 3⁄
प्र.1 8– 8

5/8 − 3/8 = (5 − 3)/8 = 2/8

2/8 = (2 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 1/4

उत्तर: 2⁄8, जो न्यूनतम पद म 1⁄4 है।

7⁄ 5⁄
प्र.2 9– 9

7/9 − 5/9 = (7 − 5)/9 = 2/9

2 और 9 म कोई उभय नष्ठ गुणनखंड नह है, अत: 2⁄9 पहले से ही न्यूनतम पद म है।

10⁄ 1⁄
प्र.3 27 – 27

10/27 − 1/27 = (10 − 1)/27 = 9/27

9/27 = (9 ÷ 9)/(27 ÷ 9) = 1/3

उत्तर: 9⁄27, जो न्यूनतम पद म 1⁄3 है।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 182

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भन्न को घटाने क ब्रह्मगुप्त व ध

प्र.1 ब्रह्मगुप्त व ध का प्रयोग कर नम्न ल खत को घटाइए— a. 8⁄15 – 3⁄15 b. 2⁄5 – 4⁄15 c. 5⁄6 – 4⁄9 d. 2⁄3 – 1⁄2

a. िभन्नात्मक इकाई पहले से समान:

8/15 − 3/15 = 5/15 = (5 ÷ 5)/(15 ÷ 5) = 1/3

b. 15, 5 का गुणज है, अत: के वल पहली िभन्न बदिलए:
2/5 = (2 × 3)/(5 × 3) = 6/15

6/15 − 4/15 = 2/15

c. 6 और 9 का लघुत म समापवत्य 18:

5/6 = 15/18, 4/9 = 8/18

15/18 − 8/18 = 7/18

d. उभयिनष्ठ हर 6:

2/3 = 4/6, 1/2 = 3/6

4/6 − 3/6 = 1/6

प्र.2 संकेतानुसार घटाइए— a. 13⁄4 से 10⁄3 b. 18⁄5 से 23⁄3 c. 29⁄7 से 45⁄7

यहाँ बड़ी भन्न म से छोट भन्न घटानी है, अथात् (a) म 10⁄3 − 13⁄4, (b) म 23⁄3 − 18⁄5 तथा (c) म 45⁄7 − 29⁄7।

a. 10/3 − 13/4, उभयिनष्ठ हर 12:

10/3 = 40/12, 13/4 = 39/12

40/12 − 39/12 = 1/12

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as e
क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
b. 23/3 − 18/5, उभयिनष्ठ हर 15:
m l as
.co
23/3 = 115/15, 18/5 = 54/15
m a g
l a se
g
115/15 − 54/15 = 61/15 = 4 1/15
a

co m
c. 45/7 − 29/7, िभन्नात्मक इकाई समान:
e m . ag
g l as
a
(45 − 29)/7 = 16/7 = 2 2/7

co m
se m.
प्र.3
o m l a
नम्न ल खत प्रश्न को हल क जए— a. जया का व ालय उसके घर से 7⁄10 कमी दूर है। वह प्र त दन व ालय
cने के लए 1⁄2 कमी ऑटो से जाती है और शेष दूरी पैदल चलकर तय करतीgहै। वह स्कूल पहुँचने के लए
पहुँ.च
m a
a se
agl प्र त दन कतना पैदल चलती है? b. जी वका पाक का एक पूरा चक्कर लगाने म 10⁄3 मनट लेती है और उसक
मत्र न मता उसी काय को करने म 13⁄4 मनट का समय लेती है। दोन म से कौन कम समय म पूरा चक्कर लगाती
m a s
.co agl
है और कतना कम समय लेती है?

se m
g l a
a
(a) पैदल दूरी = कुल दूरी − ऑटो क दूरी।

co m
m .
m as e
.co l
7/10 − 1/2
a g
s e m = 5/10
la
1/2

ag 7/10 − 5/10 = 2/10 = 1/5 िकमी

se m
जया प्र त दन 1⁄5 कमी (200 मीटर) पैदल चलती.c हैo
m g l a
em
। a
a s
agl
(b) 10⁄3 और 13⁄4 क तुलना उभय नष्ठ हर 12 से क जए।

co m
जीिवका: 10/3 = 40/12 िमनट
m .
m as e
.co
निमता: 13/4 = 39/12 िमनट
a g l
se m 39/12 < 40/12, अत: निमता ते ज़ है
g l a
a c
.
अंत र = 40/12 − 39/12 = 1/12 िमनट

s e m
m a
e m .
न मता कम समय लेती है — 1⁄12 मनट (5 सेकंड) कम।co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न AglaSem · NCERT Solutions

पहेली — पृष्ठ 184 और 185
अनुभाग 7.9 एक चुटक इ तहास · मस्र भन्न

प्रयास कर

प्र.1 क्या आप तीन व भन्न भन्नात्मक इकाइयाँ ढूँ ढ़ सकते ह, जनका योगफल 1 हो?

हाँ — और ऐसा केवल एक ही समूह है: 1⁄2 + 1⁄3 + 1⁄6 = 1।

उभयिनष्ठ हर 6:

1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6, 1/6 = 1/6

3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1 ✔

1/6

1/2
1/3

1/2 + 1/3 + 1/6 = 1
एक रोट तीन असमान कतु प र चत टु कड़ म — आधा, तहाई और छठाई।

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क ा 6 ग णत अध्याय 7 भन्न AglaSem · NCERT Solutions

और कोई हल क्य नह : 1⁄3 + 1⁄3 + 1⁄3 = 1 से आरंभ क जए। इकाइयाँ अलग-अलग करने के लए कसी एक
को बढ़ाना होगा — और 1⁄3 से बड़ी एकमात्र भन्नात्मक इकाई 1⁄2 है। अब 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄4 = 1 है, और 1⁄4 को

बढ़ाने का एकमात्र नया वकल्प 1⁄3 है। तीसरी संख्या स्वयं न त हो जाती है: 1 − 1⁄2 − 1⁄3 = 1⁄6।

प्र.2 क्या आप चार व भन्न भन्नात्मक इकाइयाँ ढूँ ढ़ सकते ह, जनका योगफल 1 हो?

हाँ। इस पहेली के ठ क छ: हल ह ( भन्न का क्रम बदलने से नया हल नह बनता)।

क्र. चार व भन्न भन्नात्मक इकाइयाँ उभय नष्ठ हर से जाँच

1 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 21/42 + 14/42 + 6/42 + 1/42 = 1

2 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 12/24 + 8/24 + 3/24 + 1/24 = 1

3 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 9/18 + 6/18 + 2/18 + 1/18 = 1

4 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 15/30 + 10/30 + 3/30 + 2/30 = 1

5 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 10/20 + 5/20 + 4/20 + 1/20 = 1

6 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 6/12 + 3/12 + 2/12 + 1/12 = 1

सबसे आसानी से मलने वाला हल है 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄6 + 1⁄12 = 1 — तीन इकाइय वाले हल क 1⁄3 को 1⁄4 + 1⁄12 म बाँट द जए।

क्या आप जानते ह? कसी संख्या को व भन्न भन्नात्मक इकाइय के योग के रूप म लखना मस्र भन्न कहलाता
है। अध्याय म एक और उदाहरण है: 19⁄24 = 1⁄2 + 1⁄6 + 1⁄8। जाँ चए: 12/24 + 4/24 + 3/24 = 19/24 ✔

हल कैसे खोज: सबसे बड़ी इकाई 1⁄2 ही होगी (चार इकाइयाँ 1⁄3 या उससे छोट और अलग-अलग ह तो योग 1
तक नह पहुँचता)। इसके बाद 1⁄2 बनाने वाली तीन व भन्न इकाइयाँ खो जए और वही तक दोहराइए।

अध्याय — एक नज़र म
जब एक इकाई को समान भाग म बाँटा जाता है, तो प्रत्येक भाग भन्नात्मक इकाई कहलाता है — 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, … बाँटने
वाले जतने अ धक, हस्सा उतना ही कम: 1⁄9 < 1⁄5।

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भन्न 3⁄4 को “1⁄4 का 3 गुना” पढ़ना सबसे उपयोगी है — इससे भन्नात्मक इकाई (1⁄4) और उनक संख्या (3) दोन स्पष्ट हो
जाती ह। ऊपर क संख्या अंश तथा नीचे क संख्या हर कहलाती है।
प्रत्येक भन्न के लए संख्या रेखा पर एक बदु होता है। अंश छोटा हो तो भन्न 1 से कम, और अंश बड़ा हो तो भन्न 1 से
अ धक होती है, जसे म त संख्या के रूप म लखा जाता है, जैसे 10⁄7 = 13⁄7।

तुल्य भन्न एक ही भाग को अलग-अलग भन्नात्मक इकाइय म दशाती ह: 1⁄2 = 2⁄4 = 3⁄6 = 4⁄8। अंश और हर को एक ही
संख्या से गुणा या भाग दे ने पर भन्न का मान नह बदलता।
जस भन्न के अंश और हर म 1 के अ त रक्त कोई उभय नष्ठ गुणनखंड न हो, वह न्यूनतम पद (सरलतम रूप) म होती है।
दोन को उनके महत्तम समापवतक से भाग द जए: 16⁄20 = 4⁄5।
भन्न क तुलना, जोड़ या घटाव के लए पहले भन्नात्मक इकाइयाँ (हर) समान क जए, फर अंश क तुलना/जोड़/घटाव
क जए। यही ब्रह्मगुप्त क व ध है, जो 628 ईस्वी म लखी गई और आज भी प्रयोग होती है।

त्व रत पुनरावृ त्त

अवधारणा सं क्षप्त नयम अध्याय का उदाहरण प रणाम

भन्नात्मक इकाई 1 इकाई n बच्चों में बराबर 1 रोट 4 ब म प्रत्येक को 1/4 रोट

भन्न पढ़ना 3/4 = 1/4 का 3 ग नु ा 5/6 म 5 अंश, 6 हर ‘5 बटा 6’

संख्या रेखा पर भन्न 0 से 1 तक n बराबर भाग इकाई के 5 भाग, 4 कदम 4/5

1 से बड़ी भन्न अंश > हर 4/7 + 6/7 = 10/7 1 3/7

म त संख्या → भन्न (पूण भाग × हर) + अंश 3 1/4 = (3 × 4 + 1)/4 13/4

तुल्य भन्न अंश-हर को एक ही संख्या से × या ÷ 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 समान लंबाई

सरलतम रूप महत्तम समापवतक से भाग 16/20 ÷ 4 4/5

भन्न क तुलना हर समान कीिजए 4/5 = 36/45, 7/9 = 35/45 4/5 > 7/9

समान हर वाली भन्न का योग अंश जोिड़ए, हर वही 2/5 + 1/5 3/5

ब्रह्मगुप्त व ध — योग उभयिनष्ठ हर, िफर जोड़ 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 7/12

ब्रह्मगुप्त व ध — घटाव उभयिनष्ठ हर, िफर घटाव 3/4 − 2/3 = 9/12 − 8/12 1/12

मस्र भन्न पहेली 1 = िविभन्न िभन्नात्मक इकाइयों का योग 1/2 + 1/3 + 1/6 =1

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