NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 8 रचनाओं के साथ खेलना

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

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एनसीईआरट समाधान

अध्याय 8: रचनाओं के साथ खेलना

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

187 – 216 17 66 हन्द

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 8 रचनाओं के साथ खेलना AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 6 · ग णत · ग णत प्रकाश

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 8: रचनाओं के साथ खेलना
एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक ग णत प्रकाश (कक्षा 6) के अध्याय 8 — रचनाओं के साथ खेलना के सभी प्रश्न के वस्तृत, चरण-दर-चरण हल। पृष्ठ
188 से 216 तक के प्रत्येक “आइए, पता लगाएँ” तथा “रचना क जए” काय को क्रमबद्ध रचना-चरण के रूप म हल कया गया है — कलाकृ त
(एक व्य क्त, तरं गत लहर, आँख), रूलर-परकार से वग और आयत क रचना, आयत को समरूप वग म तोड़ना, आयत के वकण तथा दो चाप से
बना ‘घर’।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत प्रकाश (कक्षा 6) 187 – 216

खं ड प्रश्न

17 66

माध्यम

हन्द

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 188 और 189
अनुभाग 8.1 कलाकृ त

प्र.1 परकार कस प्रकार बना है, अवलोकन क जए। परकार क सहायता से हम क्या-क्या बना सकते ह? पता
लगाइए।

परकार म दो भुजाएँ एक कब्जे ( हज) से जुड़ी होती ह — एक भुजा के सरे पर नुक ली धातु क न क होती है और दूसरी म
प सल लगी होती है। पच कसने पर न क और प सल के बीच क दूरी घुमाते समय बदलती नह ।

न क को कागज पर दबाकर प सल को पूरा घुमाइए — वृत्त बन जाता है।
केवल थोड़ा-सा घुमाइए — चाप (वृत्त का एक भाग) बनता है।
खुलाव र रहने के कारण परकार बना रूलर के कसी लंबाई क नकल एक ान से दूसरे ान पर भी उतार सकता है।

ऐसा क्य होता है: न क एक ही बदु पर टक रहती है और प सल उससे सदै व उतनी ही दूर रहती है। अत: प सल
जो भी बदु बनाती है, वे सभी न क से समान दूरी पर होते ह — और वृत्त क प रभाषा ठ क यही है।

प्र.2 कागज पर एक बदु ‘P’ अं कत क जए। फर बदु P से 4 सेमी दूरी पर व भन्न दशाओं म जतने संभव हो उतने
बदुओं को अं कत क जए। सो चए— बदु P से 4 सेमी दूरी पर अं कत सभी बदुओं क कल्पना क जए। वे कैसे
दखाई दे ते ह?

इस प्रकार क जए—

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1. एक बदु अं कत क जए और उसे P नाम द जए।
2. रूलर का 0 चह्न P पर र खए, उसे दाईं ओर घुमाइए और 4 सेमी के चह्न पर एक बदु लगाइए।
3. रूलर को थोड़ा घुमाइए — ऊपर, बगल म, तरछा, नीचे — और हर बार 4 सेमी पर बदु लगाइए।
4. इसी प्रकार करते जाइए। ये बदु धीरे-धीरे P के चार ओर एक छल्ला बना दे ते ह।

य द ऐसे सभी बदु अं कत कर दए जाएँ, तो वे P कद्र और 4 सेमी त्रज्या वाला एक वृत्त बना दे ते ह।

4 सेमी
P

हर बदु P से 4 सेमी दूर है। पयाप्त बदु अं कत क जए और वे मलकर 4 सेमी त्रज्या का वृत्त बना दे ते ह।

ऐसा क्य होता है: “P से 4 सेमी” कहने से दशा तय नह होती, केवल दूरी तय होती है। दशा कोई भी हो सकती
है, इस लए बदु P के चार ओर समान रूप से फैल जाते ह — और जस वक्र का हर बदु कसी न श्चत बदु से
समान दूरी पर हो, वह वृत्त ही होता है।

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प्र.3 इसके लए परकार क सहायता से बदु P से 4 सेमी दूरी पर कुछ बदु अं कत क जए। यह कस प्रकार कया जा
सकता है?

1. रूलर मेज पर र खए। परकार क धातु-न क 0 पर रखकर परकार को तब तक खो लए जब तक प सल क नोक 4 सेमी के
चह्न तक न पहुँच जाए।
2. पच कस द जए ता क खुलाव बदले नह ।
3. अब धातु-न क को कॉपी म बदु P पर दबाइए।
4. प सल को कागज़ से छु आकर एक छोटा चह्न लगाइए। उठाइए, परकार को थोड़ा घुमाइए और फर चह्न लगाइए — जतने
चाह उतने।
5. अब न क P पर र रखते हुए प सल को बना उठाए पूरा घुमा द जए। पूरा वृत्त बन जाएगा।

संकेत: परकार को केवल ऊपर क घुंडी से पक ड़ए और जस ओर घुमा रहे ह, उसी ओर हल्का-सा झुकाइए। प सल
को ज़ोर से मत दबाइए, वरना न क खसक जाएगी और वृत्त टे ढ़ा बनेगा।

प्र.4 इस वृत्त पर एक बदु ली जए। P से इस बदु क दूरी क्या होगी— 4 सेमी के बराबर, या 4 सेमी से कम या 4 सेमी
से अ धक? इसी प्रकार P तथा वृत्त पर एक अन्य बदु के बीच क दूरी क्या होगी?

उसक P से दूरी ठ क 4 सेमी होगी — न कम, न अ धक। वृत्त पर लए गए कसी भी अन्य बदु के लए भी यही सत्य है: वृत्त का
हर बदु P से 4 सेमी दूर है।

P से वृत्त के िकसी भी िबंद ु की दू री = ि ज्या = 4 सेमी

ऐसा क्य होता है: वृत्त बनाते समय धातु-न क P से हट नह और परकार का खुलाव भी नह बदला। अत: प सल
हर क्षण P से 4 सेमी दूर रही — और उसने जो वक्र बनाया, वह केवल ऐसे ही बदुओं से बना है। P को कद्र तथा इस
न श्चत दूरी को त्रज्या कहते ह।

स्वयं जाँ चए: अपने वृत्त पर कोई तीन बदु अं कत क जए और रूलर से P तक क दूरी ना पए। तीन बार 4 सेमी
ही मलेगा।

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m को और
परकार के प्रयोग का पता लगाने के बाद आगे बढ़ और चत्र 8.1 म दए गए चत्र को पुन: बनाएँ। क्या आप इन
आकृ तय को वहाँ दखाई गई आकृ तय के समान बना सकते ह? क्या उपकरण का प्रयोगeरचना
प्र.5

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आसान.c o है? a gl
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बनाता

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आकृ त 8.1, पृष्ठ 187 — ‘कलाकृ त’ खंड क पाँच आकृ तयाँ, जो केवल वृत्त से बनी ह।

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हाँ — परकार से चत्र 8.1 क आकृ तयाँ सरल हो जाती ह, क्य क उनम से हर एक केवल वृत्त m
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से बनी है।

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चत्र 8.1 क रचना कैसे कर
आकृ त

एक-दूसरे को स्पश 2 से म ी ि ज्या लीिजए। कें द A से पहला वृत्त बनाइए। A से 4 से म ी दू र उसी रे खा पर B अंिकत करके दू स रा वृत्त
करते दो वृत्त बनाइए। दोनों ठीक एक िबंद ु पर स्पश करे ंगे।

वृत्त के अंदर वृत्त नोंक एक ही कें द पर रिखए। पहले 1 से मी ि ज्या का, िफर 2 से मी ि ज्या का वृत्त बनाइए।

तीन अ तव्यापी वृत्त एक सरल रे खा पर 2.5 से मी की दू री पर तीन कें द अंिकत कीिजए और पत्येक पर 2 से मी ि ज्या का वृत्त बनाइए।

चूहे का मुख मुख के िलए 3 से मी ि ज्या का बड़ ा वृत्त; कानों के िलए 1.5 से मी ि ज्या के दो वृत्त, िजनके कें द बड़ े वृत्त पर हों;
आँख-नाक के िलए छोटे वृत्त तथा मुँह के िलए एक सरल रे खा।

तरछ छ ड़याँ एक -दू स रे को काटते हुए दो ितरछे रे खाखंड खी ंिचए , िफर पत्येक के िनचले िसरे पर 1 से मी ि ज्या का छोटा वृत्त
बनाइए।

हाँ, उपकरण से रचना बहुत आसान हो जाती है। मुक्तहस्त बनाए वृत्त टे ढ़े और अलग-अलग नाप के बनते ह; परकार से वक्र
चकना बनता है और एक ही खुलाव से बल्कुल समान नाप के वृत्त मलते ह — इस लए चत्र सुंदर बनता है और उसे दोहराया जा
सकता है।

प्रयास कर: परकार का एक ही खुलाव (मान ली जए 2 सेमी) र खए और उसी त्रज्या के वृत्त पर कद्र लेते हुए छह
वृत्त बनाइए। छह पंखु ड़य वाला सुंदर रंगोली-पुष्प बन जाएगा।

रचना क जए — पृष्ठ 190 और 191

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अनुभाग 8.1 कलाकृ त — एक व्य क्त, तरं गत लहर

प्र.1 1. एक व्य क्त — आप इसे कैसे बनाएँगे? (इस आकृ त के दो घटक ह।)

‘एक व्य क्त’ — एक वृत्त, एक छोटा रेखाखंड और एक धड़ जसका ऊपरी कनारा एक वक्र है।

इस आकृ त के दो घटक ह — एक वृत्त और छोटा रेखाखंड ( सर और गदन), तथा एक वगाकार धड़ जसक ऊपरी भुजा के ान

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पर अंदर क ओर धँसा हुआ वक्र है।
रचना के चरण

1. पहले धड़ बनाइए। आधार के लए रेखाखंड DE = 4 सेमी ख चए।
2. D तथा E पर 4 सेमी लंबे लंब ख चकर ऊपरी कोने B और C अं कत क जए। (B और C को सरल रेखा से मत जो ड़ए।)
3. अब वक्र बनाइए। परकार म लगभग 2.5 सेमी त्रज्या ली जए, न क को BC के मध्य के ऊपर र खए और तब तक ान
बदलकर दे खए जब तक प सल B और C दोन से न गुजरे। वही चाप ख चए — वह धड़ के अंदर धँस जाएगा।
4. चाप के सबसे नीचे वाले बदु से ऊपर क ओर लगभग 1 सेमी का छोटा-सा खड़ा रेखाखंड (गदन) ख चए।
5. गदन के ऊपरी सरे को स्पश करता हुआ 1.5 सेमी त्रज्या का वृत्त ( सर) बनाइए।

परकार की नोंक

B C

D E
एक व्य क्त। लाल बदु वह ान है जहाँ परकार क न क रखी जाती है; बदुदार रेखाएँ दखाती ह क वह B और C दोन से समान दूरी पर
है। B से C तक का लाल वक्र ही वास्तव म ख चा जाता है।

न क धड़ के ऊपर क्य : चाप सदै व परकार क न क से दूर क ओर मुड़ता है। धड़ का ऊपरी भाग नीचे क ओर
धँसाना है, इस लए कद्र ऊपर रखना होगा। न क जतनी ऊपर, वक्र उतना चपटा; जतनी नीचे, वक्र उतना गहरा।

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प्र.2 2. तरं गत तरंग (लहर) — यह बनाइए। चूँ क कद्र य रेखाखंड क लंबाई न दष्ट नह है, इस लए हम इसे कसी भी
लंबाई का ले सकते ह। हम AB को एक कद्र य रेखाखंड के रूप म लेते ह, जहाँ AB = 8 सेमी है। यहाँ, पहली लहर
को अधवृत्त के रूप म ख चा गया है।

रचना के चरण

1. रेखाखंड AB = 8 सेमी ख चए। यही कद्र य रेखा है।
2. इसका मध्य- बदु X अं कत क जए, जससे AX = XB = 4 सेमी हो।
3. AX का मध्य- बदु (A से 2 सेमी) अं कत क जए। वहाँ परकार क न क रखकर 2 सेमी त्रज्या से A से X तक AB के ऊपर
अधवृत्त बनाइए।
4. खुलाव बदले बना न क XB के मध्य- बदु (X से 2 सेमी) पर र खए और X से B तक AB के नीचे अधवृत्त बनाइए।
5. कुछ मटाना नह है — दोन अधवृत्त मलकर एक चकनी लहर बना दे ते ह।

ि ज्या 2 सेमी

A X B

ि ज्या 2 सेमी
AB = 8 सेमी
AB = 8 सेमी पर बनी तरं गत लहर। लाल बदु परकार क न क के ान ह; दोन अधवृत्त क त्रज्या 2 सेमी है।

त्रज्या 2 सेमी क्य : प्रत्येक अधवृत्त AB के आधे भाग पर खड़ा है, अथात् उसका व्यास 4 सेमी है। त्रज्या व्यास क
आधी होती है, अत: त्रज्या = 4 ÷ 2 = 2 सेमी।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 191

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अनुभाग 8.1 कलाकृ त — तरं गत लहर
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प्रयास कर

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यह अधवृत बनाने के लए परकार म कतनी लंबाई क त्रज्या रखनी होगी? AX क लंबाई क्या होनी चा हए?
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प्र.1

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दोन लहर समान होनी चा हए, इस लए कद्र य रेखा AB = 8m .
a s e सेमी दोन म बराबर-बराबर बँटती है।

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AX = XB = 8 ÷ 2 = 4 सेमी

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AX ही पहले अधवृत्त का व्यास है

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ि ज्या = 4 ÷ 2 = 2 सेमी
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a l त्रज्या = 2 सेमी तथा AX = 4 सेमी। परकार क न क AX के मध्य- बदु पर, अथात् A से 2 सेमी दूर रखी जाती है।
gउत्तर:

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क्य : अधवृत्त सदै व अपने व्यास पर खड़ा होता है। यहाँ अधवृत्त A से आरंभ होकर X पर समाप्त होता है, अत: AX
ही व्यास है और त्रज्या व्यास क आधी होती है।m
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भन्न लंबाई क एक कद्र य रेखा (खंड) ली जए तथा इस पर लहर बनाने का प्रयास क जए।
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प्र.2

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उत्तर . a
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sवeध बल्कुल वही रहती है, केवल संख्याएँ बदलती ह। उदाहरण के लए AB = 10 सेमी ली जए।
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1. AB = 10 सेमी ख चकर मध्य- बदु X अं कत क जए, अत: AX = XB = 5 सेमी।
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2. आवश्यक त्रज्या = 5 ÷ 2 = 2.5 सेमी।
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3. न क A से 2.5 सेमी दूर रखकर A से X तक AB के ऊपर अधवृत्त बनाइए।

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4. न क X से 2.5 सेमी दूर रखकर X से B तक AB के नीचे अधवृत्त बनाइए।

कद्र य रेखा AB AX = XB
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प्रत्येक अधवृत्त क त्रज्या

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2 से म ी
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8 सेमी 4 से म ी

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5 से म ी 2.5 से म ी

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3 से म ी 1.5 से म ी
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संकेत: त्रज्या सदै व कद्र य रेखा क एक-चौथाई होती है — AB ÷ 4। जाँ चए: 8 ÷ 4 = 2, 10 ÷ 4 = 2.5, 12 ÷
4 = 3। ✔

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प्र.3 उन आकृ तय को पुन: बनाएँ जहाँ लहर अधवृत से छोट ह (जैसा क ‘एक व्य क्त’ के गले क आकृ त म दखाई
दे ता है।) यहाँ चुनौती यह है क दोन लहर समान ह । यह क ठन हो सकता है।

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‘एक व्य क्त’, पृष्ठ 190 — गले पर बनी वही लहर जसक बात इस प्रश्न म है।

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अधवृत्त से छोट लहर का अथ है अ धक चपटा चाप। इसके लए परकार क न क रेखा AB पर नह , ब ल्क उससे हटकर रखी
जाती है और बड़ी त्रज्या ली जाती है।
रचना के चरण

1. AB = 8 सेमी ख चकर मध्य- बदु X अं कत क जए (AX = XB = 4 सेमी)।
2. परकार म 2 सेमी से बड़ी त्रज्या — मान ली जए 2.5 सेमी — ली जए।
3. न क को AX के मध्य- बदु से जाते लंब पर रेखा के नीचे र खए और तब तक समायो जत क जए जब तक प सल A और X
दोन से न गुजरे। AB के ऊपर चाप बनाइए।
4. परकार का खुलाव मत बद लए। अब न क XB के मध्य- बदु से जाते लंब पर रेखा के ऊपर र खए, जससे प सल X और B से
गुजरे, और AB के नीचे चाप बनाइए।

नोंक ऊपर

A X B

नोंक नीचे

चपट लहर। दोन चाप के लए परकार का खुलाव एक ही है और दोन न क AB के दोन ओर समान दूरी पर ह — इसी से लहर समान
बनती ह।

दोन लहर समान क्य बनती ह: दो चाप तभी समान होते ह जब उनक त्रज्या समान हो और जीवा समान हो।
यहाँ दोन जीवाएँ 4 सेमी क ह (AX और XB) तथा परकार का खुलाव कभी बदला ही नह , इस लए दोन चाप
बल्कुल एक जैसे बनगे। बस दूसरी बार न क रेखा के दूसरी ओर रखना याद र खए।

रचना क जए — पृष्ठ 192

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अनुभाग 8.1 कलाकृ त — आँख
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3. आँख — आप परकार क सहायता से ये आँख कैसे बनाएँगे? (संकेत के लए, इस अध्याय के अंत म दए गए
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प्र.1

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ह।)

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प्रत्येक आँख समान त्रज्या के दो चाप से बनी है — एक ऊपर क ओर उभरा और दूसरा नीचे क ओर, जो आँख के दोन कोन

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पर मलते ह। बीच म भरा हुआ छोटा वृत्त पुतली है।
रचना के चरण (एक आँख के लए)
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1. एक हल्क क्षै तज सहायक रेखा ख चए। उस पर 4 सेमी क दूरी पर दो बदु अं कत क जए — ये आँख के दोन कोने ह।

.
2. परकार म लगभग 2.5 सेमी त्रज्या ली जए। न क को सहायक रेखा के नीचे बदु B पर (मध्य से जाते लंब पर) इस प्रकार

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ावoरखते हुए न क को रेखा के ऊपर बदु A पर र खए — ठ क उतनी ही दूरी पर g l B नीचे थी। चाप ख चए —
र खए क प सल दोन कोन से गुजरे। चाप ख चए — यह ऊपर क ओर उभरेगा और ऊपरी पलक बनेगा।
3. वही खुल.c
m क ओर झुकेगा और नचली पलक बनेगा।
eनीचे a जतनी

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agl4. आँख का मध्य- बदु अं कत करके वहाँ 0.7 सेमी त्रज्या का छोटा वृत्त बनाइए और उसे भर द जए — यही पुतली है।
यह

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5. दूसरी आँख के लए यही सब दोहराइए, उसी सहायक रेखा और उन्ह खुलाव के साथ, जससे दोन आँख एक जैसी दख।

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mदूरी पर ह, इस लए आँख सम मत बनती है।
एक आँख। B (नीचे) पर रखी न क से ऊपरी वक्र बनता है और A (ऊपर) पर रखी न क से नचला वक्र। A और B सहायक रेखा से समान

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A ऊपर और B नीचे क्य : चाप परकार क न क से दूर क ओर मुड़ता है। ऊपर उभरा वक्र चा हए तो न क नीचे
रखनी होगी; नीचे झुका वक्र चा हए तो न क ऊपर। A और B को सहायक रेखा से समान दूरी पर रखने से ऊपरी
और नचला वक्र एक-दूसरे के दपण-प्र त बब बनते ह — और आँख सम मत हो जाती है।

संकेत: इसम कुछ प्रयास लग सकते ह। सहायक रेखाएँ कठोर प सल से बहुत हल्क ख चए ता क अंत म मटाई जा
सक।

प्र.2 रूलर (स्केल) और परकार क सहायता से अपनी पसंद क कोई अन्य कलाकृ त बनाइए।

केवल रूलर और परकार से बनने वाली कुछ आकृ तयाँ नीचे द ह। इन्ह अपनी कॉपी म बनाइए और रंग भ रए।

छह पंखु ड़य का फूल (रंगोली): एक वृत्त बनाइए। खुलाव बदले बना न क वृत्त पर कह भी रखकर चाप का टए; फर न क
उसी कटान- बदु पर रखकर दोहराइए। छह चाप पूरा चक्कर लगाकर फूल बना दे ते ह।
वृत्त क ंखला: एक सरल रेखा पर समान दूरी पर बदु अं कत क जए और प्रत्येक पर समान त्रज्या का वृत्त बनाइए।
अ तव्यापी वृत्त सुंदर ंखला बनाते ह।
चंद्रकला: एक वृत्त बनाइए, फर उसी त्रज्या का दूसरा वृत्त थोड़ा हटाकर बनाइए। दोन वक्र के बीच का भाग चंद्रकला जैसा
दखता है।
पत्ती: समान त्रज्या के दो वृत्त इस प्रकार बनाइए क हर वृत्त दूसरे के कद्र से गुजरे। उभय नष्ठ भाग पत्ती के आकार का बनता
है।
नशाने के छल्ले: न क एक ही बदु पर रखकर 1, 2, 3 और 4 सेमी त्रज्या के वृत्त बनाइए। एक-एक छोड़कर छल्ल म रंग
भ रए।

प्रयास कर: छह पंखु ड़य वाला फूल इस लए बनता है क्य क वृत्त क त्रज्या उसक प र ध पर ठ क छह बार बैठती
है। चाप ग नए — सदै व 6 ही मलगे, न 5, न 7।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 193
अनुभाग 8.2 वग और आयत

प्र.1 तो, क्या एक आयत का नाम उसके कोन के लेबल के कसी भी संयोजन का उपयोग करके रखा जा सकता है?
नह ! उदाहरण के लए, इसे ABDC या ACBD से ना मत नह कया जा सकता। क्या आप दे ख सकते ह क कौन
से नाम मान्य ह और कौन से मान्य नह ह?

नह , कोई भी संयोजन मान्य नह होता। नाम तभी मान्य है जब अक्षर सीमा पर चलने के क्रम म आएँ — कसी भी कोने से
आरंभ करके, द क्षणावत या वामावत कसी भी दशा म।
आकृ त 8.4 के आयत के लए (A ऊपर-बाएँ, B ऊपर-दाएँ, C नीचे-दाएँ, D नीचे-बाएँ):

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मान्य नाम (कुल 8) मान्य नह

ABCD, BCDA, CDAB, DABC ABDC

ADCB, DCBA, CBAD, BADC ACBD, ACDB, BDAC …

क्य : नाम से यह पता चलना चा हए क कौन-से कोने जुड़े ह। ABCD म भुजाएँ AB, BC, CD और DA ह — चार
वास्त वक भुजाएँ। ABDC म B को D से जोड़ना पड़ेगा, जो भुजा नह ब ल्क वकण है। अत: वह नाम कसी दूसरी
ही आकृ त का वणन करता है।

त्व रत जाँच: अक्षर को गोलाई म प ढ़ए। य द हर पड़ोसी युग्म (अं तम और पहले स हत) आकृ त क भुजा है, तो
नाम मान्य है।

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प्र.2 इनम से कौन-सा नाम चत्र म दखाए गए वग के लए मान्य नह है? 1. PQSR 2. SPQR 3. RSPQ 4. QRSP

S P

R Q

पृष्ठ 193 का वग, जसके कोन पर S, P, Q और R अं कत ह।

दए गए वग क सीमा पर चलने पर कोने इस क्रम म आते ह — S → P → Q → R → S (S ऊपर-बाएँ, P ऊपर-दाएँ, Q नीचे-
दाएँ, R नीचे-बाएँ)।

नाम इसके अनुसार भुजाएँ मान्य?

1. PQSR PQ, QS, SR, RP नही ं — QS और RP िवकण है ं

2. SPQR SP, PQ, QR, RS हाँ

3. RSPQ RS, SP, PQ, QR हाँ

4. QRSP QR, RS, SP, PQ हाँ

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उत्तर: वकल्प 1 — PQSR इस वग का नाम नह है।

ऐसा क्य : वकल्प 2, 3 और 4 एक ही चक्कर ह, बस आरंभ अलग-अलग कोने से है। PQSR म Q से सीधे S पर
छलाँग लगती है, और Q तथा S सम्मुख कोने ह — यह वकण है, इस लए अक्षर सीमा पर नह चलते।

प्र.3 यहाँ चत्र म एक वगाकार कागज का टु कड़ा दया गया है, जसक सभी भुजाएँ बराबर लंबाई क ह और सभी
कोण 90° के बराबर ह। इसे चत्र म दखाए अनुसार घुमाया जाता है। क्या यह अब भी एक वग है?

एक वगाकार कागज़ का टु कड़ा, और उसी टु कड़े को घुमाने पर बनी आकृ त।

हाँ, यह अब भी वग है। घुमाए हुए कागज पर वग के दोन गुण जाँ चए—

S1 — क्या अब भी सभी भुजाएँ बराबर ह? हाँ। घुमाने से कोई भुजा न बढ़ती है, न घटती है।
S2 — क्या अब भी सभी कोण 90° के ह? हाँ। घुमाने से कोई कोना न खुलता है, न बंद होता है।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 8 रचनाओं के साथ खेलना
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c o m एक वग g l as
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a s em अब भी वग
ag l वही कागज, घुमाकर रखा गया। भुजाएँ और कोण अछू ते रहते ह, इस लए S1 और S2 दोन गुण बने रहते ह।

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ऐसा क्य होता है: कोई आकृ त अपनी लंबाइयmऔर कोण के कारण वग होती है, इस कारण नह क वह कस
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दशा म रखी है। घुमाने से आकृ त का lान
sबदलता
a g है, कोई माप नह । इसी तक से घुमाया गया आयत भी आयत
ही रहता है।

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आइए, पता
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अनुभाग 8.2 वग और आयत

प्र.1 डॉट पेपर पर एक आयत और चार वग का प्रारूप ख चए (जैसा आकृ त 8.3 म दखाया गया है)। आकृ त को
पुन: इस प्रकार बनाने के लए क चार वग सम मत रूप से आयत के चार ओर रखे जाएँ, आप क्या करगे? अपने
सहपा ठय के साथ चचा क जए।

आकृ त 8.3, पृष्ठ 192 — एक आयत और उसके चार ओर रखे चार बराबर वग।

डॉट पेपर पर चरण

1. पहले बीच म आयत बनाइए — मान ली जए 6 डॉट लंबा और 4 डॉट ऊँचा, जसके कोने डॉट् स पर ह ।
2. अब आयत के हर कोने से वकण दशा म उतने ही डॉट बाहर जाइए (दोन दशाओं म एक डॉट का अंतराल छो ड़ए)।
3. वहाँ से 3 डॉट भुजा का छोटा वग बनाइए, जसका भीतरी कोना आयत के कोने क ओर हो।
4. चार कोन पर यही दोहराइए — हर बार वही अंतराल और वही नाप।

सम म त कससे आती है: चार कोन के साथ एक जैसा व्यवहार — समान अंतराल, समान नाप, समान वकण दशा। डॉट गनने
से यह अपने-आप हो जाता है, नापने क आवश्यकता ही नह पड़ती।

स्वयं जाँ चए: आकृ त को पहले खड़ी मध्य-रेखा पर और फर पड़ी मध्य-रेखा पर मो ड़ए। सही आकृ त म चार वग
एक-दूसरे पर ठ क बैठ जाएँगे।

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प्र.2 पहचा नए क क्या इस संग्रह म कोई वग है। य द आवश्यकता हो तो मापन का प्रयोग क जए।

केवल A एक वग है। डॉट ड पर कोन क त पढ़ लेना नापने से अ धक शीघ्र और वश्वसनीय है।

आकृ त वकण के आधे भाग (डॉट पद म) भुजाएँ कोण यह क्या है

A 4 दाएँ, 4 नीचे चार बराबर सभी 90° वग (घुमाया हुआ)

B 3 दाएँ, 4 नीचे चार बराबर 90° नह समचतुभजु , वग नही ं

C 5 दाएँ, 4 नीचे चार बराबर 90° नह समचतुभजु , वग नही ं

D भुजाएँ: 1 दाएँ 2 नीचे तथा 2 दाएँ 1 ऊपर दो लंबी, दो छोट सभी 90° आयत, वग नही ं

D✘
A✔ B✘ C✘
वग समचतुभज
ु समचतुभज
ु आयत
केवल A म भुजाएँ भी बराबर ह और कोण भी समकोण, इस लए केवल A वग है। B और C क भुजाएँ बराबर ह पर कोने तरछे ह; D के
कोण समकोण ह पर भुजाएँ असमान।

B और C क्य नह : A म दोन वकण बराबर लंबाई के ह (4 + 4 दाएँ तथा 4 + 4 नीचे), इस लए चार भुजाएँ
90° पर मलती ह। B म वकण 6 और 8 डॉट-पद के ह, C म 10 और 8 — कोने दब जाते ह और कोण समकोण
नह रहते, यद्य प चार भुजाएँ अब भी बराबर ह।

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सो चए सो चए— उपरोक्त आकृ त म बना मापन उपकरण को प्रयोग कए, क्या यह बताना संभव है क भुजाएँ
बराबर ह या नह , कोण समकोण ह या नह ? क्या हम यह केवल डॉट पेपर म शीष क स्थ त दे खकर ात कर
सकते ह?

A B C D

पृष्ठ 194 का संग्रह — डॉट पेपर पर बनी चार चतुभुज आकृ तयाँ A, B, C और D; हर शीष कसी बदु (डॉट) पर है।

हाँ — केवल डॉट् स ही पयाप्त ह। न रूलर चा हए, न चाँदा।

भुजाएँ बराबर ह या नह : हर भुजा को ड पर एक ‘चाल’ के रूप म ल खए, जैसे “4 दाएँ और 4 नीचे”। दो भुजाएँ तभी
बराबर ह जब उनक चाल के दोन अंक वही ह (क्रम चाहे बदल जाए)। A म हर भुजा “4 और 4” क चाल है, अत: चार
भुजाएँ बराबर।
कोण समकोण है या नह : “4 दाएँ, 4 नीचे” वाली भुजा जहाँ “4 दाएँ, 4 ऊपर” वाली भुजा से मलती है, वहाँ एक चाल को
चौथाई घुमाने पर दूसरी चाल मल जाती है — ऐसी त म कोना समकोण होता है।
D म चाल “2 दाएँ, 1 ऊपर” और “1 दाएँ, 2 नीचे” ह — एक दूसरे क चौथाई घुमाई हुई रूप है, अत: D के कोण समकोण ह,
परंतु चाल क नाप अलग है, इस लए भुजाएँ असमान ह।

यह क्य काम करता है: डॉट दोन दशाओं म समान दूरी पर ह, इस लए पद गनना ही मापना है — जसम डॉट-
अंतराल इकाई का काम करता है। समान चाल-युग्म का अथ है समान लंबाई, और चाल-युग्म का चौथाई घुमाव ही
रेखा का चौथाई घुमाव अथात् 90° है।

प्र.3 डॉट पेपर पर कम से कम 3 घुमाए गए वग और 3 घुमाए गए आयत ख चए। उन्ह इस प्रकार ख चए क उनके
कोने डॉट पेपर के डॉट् स ( बदु) पर ह । जाँच क जए क आपने जो वग और आयत बनाए ह, वे उनके संगत गुण
को संतुष्ट करते ह या नह ।

‘चाल’ वाली यु क्त का प्रयोग क जए: एक चाल चु नए, फर अगली भुजा के लए उसे चौथाई घुमा द जए।

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आकृ त भुजाओं क चाल (क्रम से दोहराइए) जाँच

घुमाया वग 1 3 दाएँ 1 नीचे, िफर 1 बाएँ 3 नीचे, िफर 3 बाएँ 1 ऊपर, िफर 1 दाएँ 3 ऊपर सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔

घुमाया वग 2 2 दाएँ 2 नीचे, 2 बाएँ 2 नीचे, 2 बाएँ 2 ऊपर, 2 दाएँ 2 ऊपर सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔

घुमाया वग 3 4 दाएँ 1 नीचे, 1 बाएँ 4 नीचे, 4 बाएँ 1 ऊपर, 1 दाएँ 4 ऊपर सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔

घुमाया आयत 1 लंबी भुजा 4 दाएँ 2 नीचे, छोटी भुजा 1 बाएँ 2 नीचे स म्मुख भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔

घुमाया आयत 2 लंबी भुजा 3 दाएँ 1 नीचे, छोटी भुजा 1 बाएँ 3 नीचे स म्मुख भुजाएँ बराबर, सभी कोण 90° ✔

जाँच कैसे कर: चार भुजाएँ रूलर से ना पए (वग म चार बराबर; आयत म युग्म म बराबर) और हर कोने पर सेट-स्क्वायर का
कोना या मुड़े हुए कागज़ का कोना र खए — हर कोने पर वह ठ क बैठना चा हए।

संकेत: कसी चाल को चौथाई घुमाने के लए दोन संख्याएँ आपस म बदल द जए और एक दशा उलट द जए: “3
दाएँ 1 नीचे” बन जाएगी “1 बाएँ 3 नीचे”। ऐसा चार बार करने पर आप आरंभ पर लौट आते ह — आकृ त स्वयं
बंद हो जाती है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 195 और 196
अनुभाग 8.3 वग और आयत क रचना

प्र.1 अब, हम वग और आयत क रचना करना शुरू करगे। आप 6 सेमी भुजा वाले एक वग क रचना कैसे करगे?

पुस्तक के छह चरण के अनुसार 6 सेमी भुजा वाले वग PQRS क पूरी रचना इस प्रकार है—

1. चरण 1. रूलर से रेखाखंड PQ = 6 सेमी ख चए।
2. चरण 2. P पर PQ के लंब क रचना क जए। (चाँदे का कद्र P पर रखकर 90° का बदु अं कत करके मलाइए, या सेट-
स्क्वायर के समकोण वाले कोने का प्रयोग क जए।)
3. चरण 3. इस लंब पर S इस प्रकार अं कत क जए क PS = 6 सेमी हो। व ध 1: रूलर से 6 सेमी ना पए। व ध 2: परकार म
6 सेमी लेकर न क P पर र खए और लंब को का टए — यही कटान- बदु S है।
4. चरण 4. इसी प्रकार Q पर PQ का लंब ख चए।
5. चरण 5. परकार का 6 सेमी खुलाव वैसा ही रखते हुए न क Q पर र खए और दूसरे लंब को का टए। कटान- बदु को R क हए।
6. चरण 6. RS को मलाइए। PQRS ही अभीष्ट वग है।

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6 सेमी भुजा का वग PQRS। दोन धूसर चाप परकार के ह, जो 6 सेमी खुलाव पर लंब lको sS eऔर R पर काट रहे ह।
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a g संकेत: रूलर से दो बार नापने क अपेक्षा परकार वाली व ध 2 अ धक शुद्ध है, क्य क दोन भुजाओं के लए एक

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ही खुलाव प्रयोग होता है — अत: PS और QR न श्चत रूप से बराबर बनते ह।
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क्या आप समझ सकते ह क PS क लंबाई 6 सेमी क्य होनी चा हए?
प्र.2

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coयहmवग क प रभाषा से ही आता है। l

हाँ .— a g
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गुण S1: वग की सभी भुजाएँ बराबर होती है ं
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PQ = 6 सेमी (पहले ही खी ंचा गया)
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अत: PS = QR = RS = 6 सेमी
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ऐसा क्य : PQ और PS एक ही वग क दो भुजाएँ ह जो कोने P पर मलती ह। य द PS, PQ से छोट या बड़ी
होती, तो आकृ त के चार कोण तो समकोण रहते पर भुजाएँ असमान हो जात — वह आयत बनता, वग नह । PS
= 6 सेमी लेना ही आकृ त को वग के रूप म बंद करता है।

प्र.3 भुजा RS क लंबाई कतनी है तथा ∠R एवं ∠S क माप क्या है?

RS = 6 सेमी

∠R = 90° ∠S = 90°

अपनी आकृ त म नापकर दे खए — रूलर 6 सेमी और चाँदा दोन कोन पर 90° दखाएगा।

बना कहे ही ऐसा क्य बनता है: हमने PQ = 6 सेमी लया, दोन खड़ी रेखाएँ PQ पर लंब बनाईं और प्रत्येक पर
6 सेमी काटा। इस प्रकार S और R दोन आधार से 6 सेमी ऊपर ह और दोन लंब आपस म 6 सेमी दूर ह — अत:
उन्ह मलाने वाला RS, PQ के समांतर, उतनी ही लंबाई का और दोन खड़ी भुजाओं पर लंब बन जाता है। अं तम दो
गुण मुफ़्त म मल जाते ह: वग बनाने के लए चार सही चरण ही काफ ह।

रचना क जए — पृष्ठ 197
अनुभाग 8.3 वग और आयत क रचना

प्रयास कर

प्र.1 6 सेमी और 4 सेमी लंबी भुजाओं वाले एक आयत क रचना क जए? रचना के बाद जाँच क जए क क्या ये
आयत के दोन गुण को संतुष्ट करता है?

रचना के चरण

1. AB = 6 सेमी ख चए।
2. A पर तथा B पर AB के लंब ख चए।
3. परकार म 4 सेमी ली जए। न क A पर रखकर पहले लंब को D पर का टए; न क B पर रखकर दूसरे लंब को C पर का टए।
4. DC को मलाइए। ABCD ही अभीष्ट आयत है।

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D C

4 सेमी

A 6 सेमी B
आयत ABCD, जसम AB = 6 सेमी और AD = 4 सेमी है। चार कोने समकोण ह।

दोन गुण क जाँच

R1 AB = DC = 6 सेमी, AD = BC = 4 सेमी → सम्मुख भुजाएँ बराबर ✔

R2 ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ✔

अत: बनाई गई आकृ त वास्तव म एक आयत है।

प्र.2 2 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाले एक आयत क रचना क जए? रचना के बाद जाँच क जए क क्या ये आयत
के दोन गुण को संतुष्ट करता है?

चरण बल्कुल वही ह, केवल संख्याएँ बदलती ह।

1. PQ = 10 सेमी ख चए।
2. P और Q पर PQ के लंब ख चए।
3. परकार म 2 सेमी लेकर दोन लंब को का टए — P से S और Q से R।
4. SR को मलाइए। PQRS ही आयत है।

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S R

2 सेमी

P 10 सेमी Q
एक लंबा-पतला आयत: 10 सेमी × 2 सेमी। दखने म अनोखा है, पर है आयत ही — दोन गुण पूरे होते ह।

R1 PQ = SR = 10 सेमी, PS = QR = 2 सेमी ✔

R2 ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90° ✔

संकेत: इतने लंबे आयत के लए 10 सेमी का आधार कॉपी क लंबाई क ओर ख चए और सेट-स्क्वायर को
मजबूती से दबाइए, अन्यथा दोन छोट भुजाएँ तरछ बन जाएँगी।

प्र.3 क्या 4 भुजाओं वाली ऐसी आकृ त क रचना करना संभव है, जसम— • सभी कोण 90° के बराबर ह , परंतु •
सम्मुख भुजाएँ बराबर नह ह ?

नह , ऐसा संभव नह है। य द चार कोण समकोण ह, तो सम्मुख भुजाओं का बराबर होना अ नवाय हो जाता है — इससे बचा नह
जा सकता।
प्रयास करके दे खए क क्या होता है—

1. AB ख चए और A तथा B पर AB के लंब ख चए। दोन रेखाएँ AB से 90° बनाती ह, अत: एक ही दशा म जाती ह — वे
समांतर ह और सदै व समान दूरी पर रहती ह।
2. पहली रेखा पर D और दूसरी पर C अं कत क जए। ∠D और ∠C भी 90° चा हए, तो DC को दोन रेखाओं पर लंब होना
पड़ेगा।
3. परंतु दो समांतर रेखाओं के बीच क दूरी हर जगह समान होती है, अत: DC = AB, और D तथा C समान ऊँचाई पर ह गे,
अथात् AD = BC।

चारों कोण 90° → सम्मुख भुजाएँ समांत र → सम्मुख भुजाएँ बराबर

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ऐसा क्य होता है: चार भुजाओं वाली आकृ त म केवल चार कोने होते ह। चार कोण 90° तय कर दे ने पर केवल दो
लंबाइयाँ चुनने क छू ट बचती है — और वे ही लंबाइयाँ सम्मुख भुजाओं पर दोहरा जाती ह। अत: चार समकोण
वाली हर चतुभुज आकृ त आयत होती है (और दोन लंबाइयाँ बराबर ह तो वग)।

प्रयास कर: AB = 5 सेमी ख चए, A और B पर लंब बनाइए, फर AD = 3 सेमी और BC = 4 सेमी लेकर DC
मलाइए। ∠D और ∠C ना पए — वे 90° नह ह गे, एक अ धक और दूसरा कम मलेगा।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 197 – 199
अनुभाग 8.4 आयत म एक खोज

ग णत चचा

प्र.1 एक आयत ABCD क रचना क जए, जसम AB = 7 सेमी और BC = 4 सेमी हो। एक ऐसे बदु X क कल्पना
क जए, जसे भुजा AD पर कह भी च त कया जा सकता है। इसी प्रकार, एक ऐसे बदु Y क कल्पना
क जए, जसे भुजा BC पर कह भी ले जाया जा सकता है।

रचना के चरण

1. ऊपरी भुजा के रूप म AB = 7 सेमी ख चए।
2. A और B पर AB के लंब नीचे क ओर ख चए।
3. परकार म 4 सेमी ली जए; A से पहला लंब D पर और B से दूसरा लंब C पर का टए।
4. DC मलाइए — ABCD ही आयत है। (AD = BC = 4 सेमी, DC = AB = 7 सेमी।)
5. AD पर कोई बदु X और BC पर कोई बदु Y अं कत करके XY को बदुदार रेखा से मलाइए।

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आयत ABCD (7 सेमी × 4 सेमी)। X भुजा AD पर और Y भुजा BC पर सरकता है, और हम XY क लंबाई दे खते रहते ह।
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संकेत: एक ही पृष्ठ पर यह आयत चार-पाँच बार बना ली जए, जससे X और Y क अलग-अलग
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मटाए आज़माई जा सक।

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कन स्थान पर बदु X और Y परस्पर नकटतम ह गे? आपके अनुसार वे कब परस्पर अ धकतम दूरी पर ह गे?
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आपका सहज- ान क्या कहता है? अपने सहपा ठय के साथ चचा क जए।
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नकटतम: जब X, A से और Y, B से समान दूरी पर ह — अथात् जब XY, AB के समांतर हो। तब

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XY = AB = 7 सेमी (सबसे कम संभ व मान)
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a s emअ धकतम दूर: जब X और Y अपनी-अपनी भुजाओं के वपरीत सर पर ह — X, A पर और Y, C पर; अथवा X, D पर और Y,
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B पर। तब XY आयत का वकण बन जाता है।

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XY = AC = BD = लगभग 8.1 सेमी (सबसे अिधक संभ व मान)
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X क स्थ त Y क स्थ त XY क लंबाई

X, A पर Y, B पर 7 से म ी (न्यूनतम )

A से 1 सेमी B से 1 सेमी 7 से म ी (न्यूनतम )

X, D पर Y, C पर 7 से म ी (न्यूनतम )

X, A पर Y, C पर 8.1 से म ी (अिधकतम )

X, D पर Y, B पर 8.1 से म ी (अिधकतम )

ऐसा क्य होता है: X से Y तक जाने म आयत क पूरी चौड़ाई 7 सेमी पार करनी ही पड़ती है। य द दोन एक ही
ऊँचाई पर ह तो सीधे पार हो जाते ह और केवल 7 सेमी चलना पड़ता है। य द एक ऊँचा और दूसरा नीचा हो तो
चढ़ाई भी करनी पड़ती है, और तरछा रास्ता सीधे रास्ते से सदै व लंबा होता है। सबसे बड़ी चढ़ाई पूरे 4 सेमी क हो
सकती है — वही वकण दे ती है।

प्र.3 बदु X और Y के बीच क न्यूनतम दूरी क तुलना AB क लंबाई से कस प्रकार क जा सकती है?

दोन बल्कुल बराबर ह।

न्यून तम XY = AB = 7 सेमी

XY कभी भी आयत क चौड़ाई से कम नह हो सकती, और वह चौड़ाई स्वयं AB ही है।

क्य : AD और BC आयत क सम्मुख भुजाएँ ह, अत: वे समांतर ह और सदै व 7 सेमी क दूरी पर रहती ह। XY एक
भुजा के बदु को दूसरी भुजा के बदु से मलाता है, इस लए वह 7 सेमी से छोटा हो ही नह सकता — और जब XY
सीधे आर-पार, AB के समांतर ख चा जाए, तब वह ठ क 7 सेमी हो जाता है।

प्र.4 X और Y क व भन्न स्थ तय के लए XY क लंबाइय का हसाब आप कैसे रखगे? क्या इसे लखने क कोई
सं क्षप्त व ध है? (• जब A से X क दूरी 5 ममी है तथा B से Y क दूरी 3 सेमी है, तब XY = ___ सेमी ___ ममी
है। • जब A से X क दूरी 1 सेमी है तथा B से Y क दूरी 1 सेमी है, तब XY = ___ सेमी ___ ममी है। • जब A से X
क दूरी 2 सेमी है तथा B से Y क दूरी 4 सेमी है, तब XY = ___ सेमी ___ ममी है।)

हाँ — हर बार पूरा वाक्य लखने के बजाय एक सारणी बनाइए, जसम बदलने वाली प्रत्येक बात का अलग स्तंभ हो।

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A से X क दूरी B से Y क दूरी XY क लंबाई

5 िममी 3 से म ी 7 से म ी 4 िममी

1 से म ी 1 से म ी 7 से म ी 0 िममी

2 से म ी 4 से म ी 7 से म ी 3 िममी

अपनी आकृ त म XY ना पए — नकटतम मलीमीटर तक यही मान मलगे।

बीच वाली पं क्त ठ क 7 सेमी क्य : X और Y दोन ऊपर से 1-1 सेमी नीचे ह, इस लए XY सीधे आर-पार, AB के
समांतर जाता है और AB = 7 सेमी के बराबर होता है। शेष दो पं क्तय म ऊँचाई का अंतर है (पहली म 2.5 सेमी,
तीसरी म 2 सेमी), इस लए रेखा तरछ हो जाती है और कुछ मलीमीटर लंबी नकलती है।

संकेत: ऐसी सारणी ग णत क सं क्षप्त ल प है। केवल तीन बात बदलती ह, इस लए तीन स्तंभ पयाप्त ह — शेष
वाक्य शीषक म एक ही बार लख दया जाता है।

प्र.5 क्या आपने यह जाँचा, क जब X और Y को क्रमश: A और B से समान दूरी पर रखते ह, तब XY क लंबाई क्या
होती है? (5 ममी और 5 ममी; 1 सेमी और 1 सेमी; 1 सेमी 5 ममी और 1 सेमी 5 ममी।) इनम से प्रत्येक स्थ त
का अवलोकन क जए — 1. AB क लंबाई क तुलना म XY क लंबाई कैसे है? तथा 2. चतुभुजीय आकृ त
ABYX का आकार।

A से X क दूरी B से Y क दूरी XY क लंबाई ABYX का आकार

5 िममी 5 िममी 7 से म ी आयत

1 से म ी 1 से म ी 7 से म ी आयत

1 से म ी 5 िममी 1 से म ी 5 िममी 7 से म ी आयत

1. ऐसी हर त म XY = AB = 7 सेमी होता है।
2. चार भुजाओं वाली आकृ त ABYX सदै व एक आयत बनती है — बड़े आयत के ऊपरी भाग म बना एक छोटा आयत।

ऐसा क्य होता है: AX और BY दो बराबर, समांतर भुजाओं के बराबर-बराबर भाग ह, इस लए X और Y एक ही
ऊँचाई पर रहते ह। ∠A और ∠B बड़े आयत के कोने होने के कारण समकोण ह, और XY भी दोन खड़ी भुजाओं
को समकोण पर काटता है। चार समकोण तथा बराबर सम्मुख भुजाएँ — यही आयत है, और उसक भुजा XY
अपनी सम्मुख भुजा AB के बराबर होनी ही चा हए।

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स्वयं जाँ चए: जैसे-जैसे X, A से D क ओर सरकता है और Y उसके साथ बराबरी म चलता है, छोटा आयत
ABYX ऊँचा होता जाता है, पर उसक चौड़ाई कभी नह बदलती। जब X, D पर और Y, C पर पहुँचता है, तब
ABYX पूरा आयत ABCD बन जाता है।

प्र.6 X और Y के बीच अ धकतम दूरी को AC या BD क लंबाई से कैसे तुलना करगे?

अ धकतम दूरी ठ क AC के बराबर, और BD के भी बराबर होती है — अथात् आयत के वकण के बराबर।

अिधकतम XY = AC = BD ≈ 8.1 सेमी

(जाँच : 7 सेमी आर-पार और 4 सेमी नीचे िमलकर लगभग 8.1 सेमी दे ते है)ं

ऐसा क्य होता है: X अपनी भुजा के सर A और D से आगे नह जा सकता तथा Y अपनी भुजा के सर B और C
से आगे नह । सबसे लंबा जोड़ एक सरे से वपरीत सरे तक बनता है — X, A पर और Y, C पर होने से रेखा AC
मलती है, तथा X, D पर और Y, B पर होने से DB। ये वकण ह, और आयत के दोन वकण सदै व बराबर होते ह।

स्वयं जाँ चए: अपने आयत के दोन वकण ख चकर ना पए। दोन लगभग 8.1 सेमी आते ह और एक-दूसरे को
ठ क आधा-आधा काटते ह।

रचना क जए: आयत को तोड़ना — पृष्ठ 199 – 201

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 8 रचनाओं के साथ खेलना AglaSem · NCERT Solutions

अनुभाग 8.4 आयत म एक खोज

प्र.1 आयत को तोड़ना — एक ऐसे आयत क रचना क जए जसे 3 समरूप वग म वभा जत कया जा सके।

तीन समरूप वग म वभा जत एक आयत।

पहले क ी (रफ) आकृ त से योजना बनाइए। य द छोटे वग क भुजा भ हो, तो आयत क ऊँचाई भ और लंबाई 3भ होगी।
अथात् बड़ी भुजा छोट भुजा क तीन गुनी होनी चा हए।
छोट भुजा 3 सेमी ली जए, तो बड़ी भुजा 9 सेमी होगी।

1. AF = 3 सेमी ख चए (छोट भुजा, खड़ी दशा म)।
2. A पर AF का लंब इतना लंबा ख चए क उसम 9 सेमी आ जाए।
3. परकार को AF (3 सेमी) के बराबर खो लए और A से आरंभ करके लंब पर तीन बार का टए — पहले B, फर अगला बदु,
फर C। अब AC = 9 सेमी।
4. C पर AC का लंब ख चकर उस पर 3 सेमी का टए और D पाइए। FD मलाइए।
5. AC के बीच वाले चह्न को FD के संगत चह्न से मलाइए। अब आयत ACDF तीन समरूप वग (भुजा 3 सेमी) म बँट गया
है।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 8 रचनाओं के साथ खेलना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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9 सेमी = 3 × 3 सेमी em.
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9 सेमी × 3 सेमी का आयत तीन समरूप 3 सेमी वग म बँट जाता

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बड़ी भुजा छोट क 3 गुनी क्य : तीन वग अगल-बगल रखे ह और हर वग आयत जतना ऊँचा है। अत: प्रत्येक
a s
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वग क भुजा = आयत क छोट भुजा, और एक पं क्त म तीन वग मलकर उसक तीन गुनी लंबाई बनाते ह।
agl
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खो जए — क्या आप ऐसे आयत क रचना कर सकते ह, जसे दो समरूप वग म वभा जत कया जा सकता है?
co m
.
प्र.2

e m
क्या आप यह प्रयास कर सकते ह? यह बु मानी होगी क पहले योजना बनाई जाएँ और फर रचना क जाएँ।

m l as
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परंतु हम योजना कैसे बनाएँ?

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agl उत्तर

se m
योजना बनाने का तरीका यह है क पहले बनने वाली आकृ त का क ा चत्र बनाइए और उस पर बराबर होने वाली सभी भुजाएँ
अं कत क जए।
com g l a
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क ी आकृ त: आयत ACDF, जसे रेखाखंड BE दो वग ABEF और BCDE म बाँटता है।

agl
दोनों वग समरूप है:ं AB = BC तथा FE = ED

co m
ABEF वग है: AF = AB = BE = FE
m .
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BCDE वग है: BE = BC = CD = ED
a g l
se m अत:
g l a सभी छोटे रेखाखंड बराबर है ं — और AC = 2 × AF
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रचना के चरण (छोट भुजा 3 सेमी लेकर)—
m a s e
1. AF = 3 सेमी ख चए।
e m . co agl
2. A पर AF का लंब ख चए।
g l as
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3. परकार को AF के बराबर खोलकर उस लंब पर दो बार का टए: पहला कटान B, दूसरा C। अत: AC = 6 सेमी।

co m
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4. C पर लंब ख चकर 3 सेमी का टए, D पाइए और FD मलाइए।
5. B को E (FD पर संगत बदु) से मलाइए। ABEF और BCDE ही दो समरूप वग ह।

संकेत: बराबर भुजाओं पर छोटा-सा चह्न ‘।’ लगाने क आदत डा लए। यही आदत एक क े चत्र को रचना-
योजना बना दे ती है।

प्र.3 आयत ACDF बनाने म AF को कोई भी लंबाई न दष्ट कर सकते ह। उदाहरण के लए, हम य द AF = 4 सेमी
न दष्ट करते ह, तो AC क लंबाई क्या होनी चा हए? खो जए: क्या अब आयत को पूरा कया जा सकता है?

AF = 4 सेमी

AB = BC = AF = 4 सेमी (सभी छोटे रेखाखंड बराबर है)ं

AC = AB + BC = 4 + 4 = 8 सेमी

हाँ, अब आयत पूरा कया जा सकता है, क्य क उसक दोन भुजाएँ ात ह: 8 सेमी और 4 सेमी।

1. AF = 4 सेमी ख चए; A पर AF का लंब ख चए।
2. उस पर 4 सेमी पर B और 8 सेमी पर C अं कत क जए।
3. C पर AC का लंब ख चकर CD = 4 सेमी लेकर D अं कत क जए।
4. FD मलाइए तथा BE मलाइए। 8 सेमी × 4 सेमी का आयत 4 सेमी के दो वग म बँट जाता है।

क्या आप जानते ह? तीन समरूप वग के लए यही नयम AC = 3 × 4 = 12 सेमी दे गा; चार वग के लए 16
सेमी। 8 × 4 वाला आयत ठ क वही है जो अगले काय “एक आयत के अंदर वग” म प्रयोग होता है।

प्र.4 क्य क AB = AF है, इस लए हम उपरोक्त लंब पर AF के बराबर क लंबाई काटनी है, जससे हम बदु B प्राप्त
होगा। बना रूलर के हम यह काय कैसे करते ह? क्या यह काय परकार का उपयोग करते हुए कया जा सकता है?

हाँ — परकार इसी काम म सबसे कुशल है। परकार कसी लंबाई को एक ान से दूसरे ान पर उठा ले जाता है, बना यह
बताए क वह लंबाई कतनी है।

1. AF को कसी भी लंबाई का ख चए और A पर उसका लंब ख चए।
2. धातु-न क A पर र खए और परकार को तब तक खो लए जब तक प सल F तक न पहुँचे। अब खुलाव ही AF क लंबाई है।
3. खुलाव बदले बना, न क A पर ही रखते हुए लंब को का टए। कटान- बदु B है, और AB = AF।
4. अब न क B पर ले जाकर फर का टए — C मल जाएगा, जसम BC = AB। (एक बार और करने पर तीसरा वग बन जाएगा।)
5. C पर लंब तथा FD ख चकर आयत पूरा क जए।

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यह क्य काम करता है: परकार का खुलाव हटाने-रखने से बदलता नह , इस लए हर चाप क त्रज्या समान रहती
है। कसी रेखा पर उसे बार-बार काटने से बराबर लंबाइयाँ एक के बाद एक बन जाती ह — मानो रूलर के ान पर
डवाइडर से नाप रहे ह ।

स्वयं जाँ चए: अंत म AF, AB और BC को रूलर से ना पए। तीन बराबर नकलगे, जब क रचना करते समय
आपने एक बार भी नापा नह था।

प्र.5 उस आयत क भुजाओं क लंबाई बताइए, जसे नम्न ल खत म वभा जत नह कया जा सकता है— • दो
समरूप वग • तीन समरूप वग

कोई आयत n समरूप वग म तभी बँटता है जब उसक बड़ी भुजा छोट भुजा क n गुनी हो। अत: ऐसी लंबाइयाँ चु नए जो इस
नयम को तोड़ द।

आयत क्या बड़ी = 2 × छोट ? क्या बड़ी = 3 × छोट ? नष्कष

4 सेमी × 2.5 सेमी नही ं (2 × 2.5 = 5) नही ं (3 × 2.5 = 7.5) 2 या 3 समरूप वग म नह बँटता

7 सेमी × 2 सेमी नही ं (2 × 2 = 4) नही ं (3 × 2 = 6) 2 या 3 समरूप वग म नह बँटता

5 सेमी × 3 सेमी नही ं (2 × 3 = 6) नही ं (3 × 3 = 9) 2 या 3 समरूप वग म नह बँटता

6 सेमी × 3 सेमी हाँ नही ं 2 वग म बँटता है, 3 म नह

9 सेमी × 3 सेमी नही ं हाँ 3 वग म बँटता है, 2 म नह

उत्तर: 4 सेमी × 2.5 सेमी (या 5 सेमी × 3 सेमी) का आयत दो समरूप वग म नह बँटता; 7 सेमी × 2 सेमी (या 5 सेमी × 3
सेमी) का आयत तीन समरूप वग म नह बँटता। ऐसे और भी अनेक उदाहरण संभव ह — स्वयं बनाइए।

क्य : य द n समरूप वग एक पं क्त म आयत को भरते ह, तो हर वग आयत जतना ऊँचा होगा, अथात् उसक भुजा
= छोट भुजा; और कुल लंबाई छोट भुजा क n गुनी होगी। य द बड़ी भुजा ठ क यही गुणज नह है, तो ऐसा
वभाजन संभव ही नह ।

रचना क जए — पृष्ठ 201 – 203

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अनुभाग 8.4 — वग और आयत के भीतर वग

प्रयास कर

प्र.1 1. एक आयत के अंदर वग — 8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाले एक आयत क रचना क जए। इस आयत के
अंदर आप आकृ त म दशाए अनुसार एक वग क रचना कस प्रकार करगे, जससे क यह वग आयत के ठ क
बीच -बीच रहे? संकेत— एक क ी (रफ) आकृ त ख चए। इस वग क भुजा क्या होगी? बाहरी आयत और वग
के कोन के बीच म कतनी दूरी होगी?

8 सेमी
4 ीमेस

8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाला आयत, जसके अंदर एक वग बना है।

पहले योजना। आकृ त म वग आयत क ऊपरी और नचली भुजाओं को स्पश करता है। अत: उसक भुजा आयत क ऊँचाई के
बराबर होनी चा हए।

वग की भुजा = आयत की ऊँ चाई = 4 सेमी

लंबाई में बची जगह = 8 − 4 = 4 सेमी

यह दोनों ओर बराबर बँट ती है: 4 ÷ 2 = 2 सेमी बाईं ओर और 2 सेमी दाईं ओर

रचना के चरण

1. AB = 8 सेमी और BC = 4 सेमी लेकर आयत ABCD क रचना क जए (आधार, दो लंब, फर ऊपरी भुजा)।
2. आधार AB पर A से 2 सेमी और B से 2 सेमी क दूरी पर एक-एक बदु अं कत क जए।
3. इन दोन बदुओं पर AB के लंब ख चए, जो ऊपरी भुजा तक जाएँ।

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4. इन दोन लंब के बीच क प ही अभीष्ट वग है — 4 सेमी × 4 सेमी।

8 सेमी

4 सेमी

2 सेमी वग 4 सेमी 2 सेमी

4 सेमी का वग 8 सेमी × 4 सेमी के आयत के ठ क बीच म बैठता है और दोन ओर 2-2 सेमी जगह छोड़ता है। हरा बदु दोन का उभय नष्ठ
कद्र है।

दोन ओर 2-2 सेमी क्य : “एक ही कद्र” का अथ है क आकृ त बाईं और दाईं ओर से एक जैसी दखे। इस लए
बची हुई लंबाई 8 − 4 = 4 सेमी को दो बराबर भाग (2-2 सेमी) म बाँटना ही पड़ेगा।

प्र.2 2. गरते हुए वग — प्रत्येक 4 सेमी भुजा का एक वग है। सु न श्चत कर क वग उसी तरह संरे खत ह जस तरह वे
दखाए गए ह। अब, यह प्रयास क जए — 3 सेमी भुजा का वग, 5 सेमी भुजा का वग तथा 7 सेमी भुजा का वग।

ध्यान से दे खए क वग कस प्रकार जुड़े ह: एक वग का नचला-बायाँ कोना ही अगले वग का ऊपरी-दायाँ कोना है। वे केवल
कोने पर स्पश करते ह और नीचे-बाईं ओर बढ़ते जाते ह।
रचना के चरण (4 सेमी भुजा के तीन वग)

1. ऊपर दाईं ओर 4 सेमी भुजा का पहला वग ABCD बनाइए (आधार, लंब, ऊपरी भुजा)।
2. उसका नचला-बायाँ कोना ली जए। वह से नीचे-बाईं ओर 4 सेमी भुजा का दूसरा वग इस प्रकार बनाइए क वही कोना दूसरे
वग का ऊपरी-दायाँ कोना बने।
3. दूसरे वग के नचले-बाएँ कोने से यही दोहराकर तीसरा वग बनाइए।
4. हर भुजा या तो क्षै तज र खए या खड़ी, जससे वग सी ढ़य क तरह संरे खत रह।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

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4 सेमी
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साझा कोना
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गरते हुए वग। हर लाल बदु दो वग का साझा कोना है — नीचे वाला वग ऊपर वाले के नचले-बाएँ कोने से लटका हुआ है।

com g l a
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मीsका वग बनाइए (वही कोना 5 सेमी वाले वग का ऊपरी-दायाँ कोना होगा); फर 5
दूसरी आकृ त म यही नयम है, पर वग गरते- गरते बड़े होते जाते ह: ऊपर 3 सेमी, फर 5 सेमी, फर 7 सेमी। पहले 3 सेमी का
वग बनाइए; उसके नचले-बाएँ कोने से 5 l
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सेमी वाले वग के नचले-बाएँ कोने से 7 सेमी का वग बनाइए।

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संकेत: वग क प्रत्येक पं क्त के लए एक लंबी क्षै तज सहायक रेखा ख च ली जए। कोई वग थोड़ा भी खसक जाए
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तो “ गरने” का प्रभाव समाप्त हो जाता है।
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प्र.3 3. छायांकन — द गई आकृ त को बनाइए। अपनी इ ा से मापन चु नए। ध्यान द जए क बड़ी चतुभुजीय
आकृ त एक वग है तथा इसी प्रकार छोट आकृ तयाँ भी वग ह।

छायांकन, पृष्ठ 202 — एक बड़ा वग छोटे वग म बँटा है और कई छोटे वग का आधा भाग छायां कत है।

रचना के चरण (8 सेमी भुजा का बड़ा वग लेकर)

1. 8 सेमी भुजा के वग क रचना क जए।
2. चार भुजाओं पर 2-2 सेमी पर बदु अं कत करके सम्मुख बदुओं को मलाइए। अब वग 16 छोटे वग का ड बन गया,
प्रत्येक 2 सेमी × 2 सेमी।
3. जन छोटे वग म छाया करनी है, उनम ऊपरी-बाएँ कोने से नचले-दाएँ कोने तक वकण ख चए और उसके ऊपर वाले त्रभुज
म तरछ रेखाओं से छाया क जए।
4. नीचे-बाईं ओर 4 सेमी का एक वग (चार छोटे वग मलाकर) तथा उसके पास एक और 2 सेमी का वग बना छाया के छोड़
द जए, ठ क जैसा चत्र म है।

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िबना छाया

छायांकन का प्रारूप: हर छायां कत खाने म वकण ख चकर ऊपर वाला त्रभुज भरा गया है। नीचे-बाईं ओर 4 सेमी का वग और एक 2 सेमी
का वग खाली छोड़ा गया है।

संकेत: सभी वकण एक ही ओर झुके ह, इस लए छायां कत त्रभुज एक पं क्त म दखते ह और पूरा प्रारूप गरती
वषा जैसा लगता है। छाया वकण के समांतर हल्क रेखाओं से क जए।

प्र.4 4. वग जसके अंदर छे द है — ध्यान द क वृत्ताकार छे द, वग के ठ क बीच -बीच है। संकेत— सो चए क वृत्त का
कद्र कहाँ होना चा हए।

वृत्त का कद्र वग का कद्र होना चा हए, और वग का कद्र वह बदु है जहाँ उसके दोन वकण काटते ह।
रचना के चरण (6 सेमी भुजा का वग, 1.5 सेमी त्रज्या का छे द)

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1. 6 सेमी भुजा के वग ABCD क रचना क जए।
2. हल्क प सल से वकण AC और BD ख चए। इनका कटान- बदु O कहलाएगा।
3. परकार क न क O पर रखकर 1.5 सेमी त्रज्या का वृत्त बनाइए।
4. दोन वकण मटा द जए — वे केवल सहायक रेखाएँ थ ।

O

वग के वकण O पर मलते ह, यही उसका कद्र है। छे द वही वृत्त है जो O को कद्र मानकर बनाया गया है।

वकण से कद्र क्य मलता है: प्रत्येक वकण वग को दो बराबर भाग म बाँटता है, इस लए वकण का मध्य- बदु
चार भुजाओं से समान दूरी पर होता है। दोन वकण उसी एक बदु से गुजरते ह, अत: उनका कटान- बदु ही कद्र है
— नापने क आवश्यकता नह ।

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प्र.5 5. अ धक छे द वाले वग — इस आकृ त क रचना क जए।

यह पछली आकृ त को चार बार दोहराना है। बड़े वग को चार बराबर वग म बाँटकर हर एक म एक छे द बनाइए।
रचना के चरण (8 सेमी भुजा का बड़ा वग)

1. 8 सेमी भुजा के वग क रचना क जए।
2. चार भुजाओं के मध्य- बदु अं कत क जए। ऊपरी भुजा के मध्य- बदु को नचली भुजा के मध्य- बदु से तथा बाईं भुजा के मध्य-
बदु को दाईं भुजा के मध्य- बदु से मलाइए। अब बड़ा वग 4 सेमी भुजा के चार छोटे वग म बँट गया।
3. प्रत्येक छोटे वग म हल्के वकण ख चकर उसका कद्र ात क जए।
4. प्रत्येक कद्र पर न क रखकर 1.5 सेमी त्रज्या का वृत्त बनाइए। चार के लए एक ही खुलाव र खए, जससे छे द समान बन।
5. हल्के वकण मटा द जए।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

चार समान छे द — प्रत्येक छोटे वग के कद्र पर एक।
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o m छेg
संकेत: चार .वृcत्त के बीच परकार का खुलाव कभी मत बद लए। हर बार नया नापगे तो a
l a
औरaआक e m
s ृ त क सम म त बगड़ जाएगी।
द थोड़े-थोड़े अलग बनगे

a g l

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6. वक्र वाला वग — यह 8 सेमी क भुजा का m
s e एक वग है। संकेत— सो चए क परकार के नुक ले सरे को कहाँ
aभुजा से समान रूप से उभर। प्रयत्न क जए!
agl
प्र.6
रखा जाए ता क चार चाप (arc) प्रत्येक

c o m
.

वग क प्रत्येक भुजा के ान पर अंदर क ओर उभरा हुआ चाप है। चाप परकार क न क से दूर क ओर
s e mमुड़ता है, इस लए हर
भुजा के लए नoकm
. c वग के बाहर, उस भुजा के लंब-सम भाजक पर रखनी होगी। a gla
एक सुंदeरm
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चुनाव है — त्रज्या 5 सेमी और न क भुजा के मध्य से 3 सेमी बाहर, क्य क 3, 4 और 5 आपस म ठ क बैठते ह—

भुजा का आधा = 8 ÷ 2 = 4 सेमी
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नोंक भुजा के मध्य से 3 सेमी बाहर
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नोंक से पत्येक कोने की दू री = 5 सेमgी l(3–4–5 समकोण ि भुज)
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अत: 5 सेमी ि ज्या का चाप दोनों कोनों से ठीक-ठीक गुजरता है
com
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रचना के चरण

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la 2. प्रत्येक भुजा का मध्य- बदु अं कत करके वहाँ बाहर क ओर छोटा लंब ख चए।
8 सेमी भुजा के वग क रचना क जए।

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3. इन लंब पर वग से 3 सेमी बाहर एक-एक बदु अं कत क जए।

com g l a
.
4. परकार म 5 सेमी ली जए। न क इन चार म से एक बदु पर रखकर उस भुजा के दोन कोन को जोड़ता चाप ख चए।

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5. खुलाव बदले बना शेष तीन भुजाओं पर यही दोहराइए। तब चार चाप समान रूप से (2-2 सेमी) अंदर उभरगे।

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4 सेमी 4 सेमी
3 सेमी
5 सेमी

परकार की नोंक (िनचला चाप)
वक्र वाला वग। नचली भुजा के लए न क उसके मध्य से 3 सेमी नीचे है; 5 सेमी त्रज्या से चाप दोन कोन से गुजरता है और 2 सेमी अंदर
उभरता है। शेष तीन भुजाओं पर भी यही कया जाता है।

चार चाप एक जैसे क्य बनते ह: वग क चार भुजाएँ बराबर ह, इस लए य द न क हर भुजा से समान दूरी बाहर
रखी जाए और त्रज्या भी हर बार वही हो, तो चार चाप समान ही बनगे। बड़ी त्रज्या लेने पर वक्र चपटे बनते ह और
छोट (परंतु सदै व 4 सेमी से अ धक) त्रज्या लेने पर गहरे।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 203 और 204

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अनुभाग 8.5 आयत और वग के वकण क खोज करना

ग णत चचा

प्र.1 एक आयत PQRS पर वचार क जए। PR और QS को मलाइए। ये दोन रेखाखंड इस आयत के वकण
कहलाते ह। वकण क लंबाइय क तुलना क जए। पहले पूवानुमान लगाइए, फर आकृ त म दखाए अनुसार
बदुओं को अं कत करते हुए आयत बनाकर वकण को मा पए।

P Q

S R

आयत PQRS, जसम दोन वकण PR और QS ख चे गए ह।

पूवानुमान और प रणाम दोन एक ही ह: आयत के दोन वकण लंबाई म बराबर होते ह।
मान ली जए PQ = 7 सेमी और QR = 4 सेमी वाला आयत PQRS बनाइए, PR तथा QS मलाइए और ना पए—

PR = QS ≈ 8.1 सेमी

आयत वकण 1 वकण 2 बराबर?

7 सेमी × 4 सेमी 8.1 से म ी 8.1 से म ी हाँ

6 सेमी × 4 सेमी 7.2 से म ी 7.2 से म ी हाँ

5 सेमी × 5 सेमी (वग) 7.1 से म ी 7.1 से म ी हाँ

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ऐसा क्य होता है: प्रत्येक वकण दो सम्मुख कोन को मलाता है, और दोन वकण आयत क उतनी ही चौड़ाई
तथा उतनी ही ऊँचाई पार करते ह — एक “7 दाएँ और 4 नीचे” जाता है, दूसरा “7 दाएँ और 4 ऊपर”। यात्रा वही
है, केवल दपण-रूप म, अत: दोन लंबाइयाँ समान होनी ही चा हए।

स्वयं जाँ चए: वकण एक-दूसरे को ठ क आधा-आधा भी काटते ह। चार आधे भाग ना पए — चार बराबर मलगे।

प्र.2 द गई आकृ त म वकण PR, ∠R को दो छोटे कोण म वभा जत करता है, जन्ह g और h कहा गया है। यही
वकण कोण P को कोण c और d म भी वभा जत करता है। क्या g और h बराबर ह? क्या c और d बराबर ह?
पहले पूवानुमान लगाइए, फर कोण को मा पए। आप क्या दे खते ह? उन कोण-युग्म क पहचान क जए जो
बराबर ह।

P Q
d e
c f

b g
a h
S R

आयत PQRS, पृष्ठ 203 — वकण प्रत्येक कोने के कोण को दो भाग म बाँटते ह, जन्ह a, b, c, d, e, f, g और h
कहा गया है।

7 सेमी लंबा और 4 सेमी ऊँचा आयत लेकर चाँदे से आठ कोण ना पए—

c ≈ 60°, d ≈ 30°, e ≈ 30°, f ≈ 60°, g ≈ 60°, h ≈ 30°, a ≈ 30°, b ≈ 60°

पत्येक कोना: 60° + 30° = 90° ✔

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अत: g और h बराबर नह ह, तथा c और d भी बराबर नह ह — वकण समकोण को आधा-आधा नह बाँटता (जब तक
आयत वग न हो)।
बराबर कोण-युग्म ये ह—

a = d = e = h (चारों “चपटे ” कोण, ≈ 30°)

b = c = f = g (चारों “खड़ े” कोण, ≈ 60°)

P Q
d e
c f

b g
a h

S R

आयत PQRS के दोन वकण आठ कोण बनाते ह। चार चपटे कोण (a, d, e, h) आपस म बराबर ह और चार खड़े कोण (b, c, f, g)
भी आपस म बराबर।

क्य : वकण PR एक तरछ रेखा है जो अपने दोन सर पर एक-सी ढलान रखती है, इस लए वह P पर लंबी भुजा
से जो कोण बनाती है, वही R पर भी बनाती है — अथात् d = h। चूँ क लंबी भुजा 7 सेमी और छोट केवल 4 सेमी
है, वकण लंबी भुजा क ओर अ धक झुका रहता है, इस लए “चपटा” कोण छोटा और “खड़ा” कोण बड़ा बनता है।
दोन तभी बराबर हो सकते ह जब दोन भुजाएँ बराबर ह ।

प्र.3 खो जए — एक आयत क रचना कस प्रकार कर क वकण सम्मुख कोण को बराबर भाग म वभा जत करे?

आयत क रचना ऐसी करनी होगी क उसक दोन आसन्न भुजाएँ बराबर ह — अथात् वह वग बन जाए।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 8 रचनाओं के साथ खेलना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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e m.
वग में: पत्येक कोना = 90°
m l as
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िवकण उसे 45° + 45° = द ो बराबर भागों में बाँट ता है
m a g
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g
aकेवल वग म ही ऐसा क्य : वकण सदै व लंबी भुजा क ओर झुकता है। य द लंबाई चौड़ाई से अ धक है, तो वकण

co m
लंबाई से छोटा और चौड़ाई से बड़ा कोण बनाएगा। दोन भाग तभी बराबर ह गे जब कोई भुजा “लंबी” रह ही न
जाए, अथात् लंबाई = चौड़ाई।
e m . ag
g l as
a
स्वयं जाँ चए: 6 सेमी भुजा का वग बनाइए, एक वकण ख चए और कसी कोने के दोन भाग ना पए। दोन 45°

co m
m.
मलगे।

m as e
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a s emअपने प्रयोग म क्या आपने उस स्थ त पर वचार कया था, जसम आयत क चार भुजाएँ बराबर ह? अथात् क्या
a gl प्र.4
आपने एक वग क स्थ त पर वचार कया था? दे खए क इस व शष्ट स्थ त म क्या होता है।

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se

g l a
a
वग म आठ कोण के साथ एक वशेष बात हो जाती है—

आठ छोटे कोण म से हर एक 45° का हो जाता है।

co m
.
दोन वकण बराबर तो होते ही ह, साथ ही एक-दूसरे को 90° पर काटते ह — अथात् परस्पर लंब होते ह।

e m
as
प्रत्येक वकण वग को दो समरूप भाग म बाँटता है जो मोड़ने पर एक-दूसरे पर ठ क बैठ जाते ह।
m l
.co a g
a s eam= b = c = d = e = f = g = h = 45°
a gl
m
िवकण ं के बीच का कोण = 90°

a se
. com a g l
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ase
agl
क्य : वग म लंबाई और चौड़ाई समान ह, इस लए वकण दोन भुजाओं क ओर बराबर झुकता है और हर 90° के
कोने को 45°-45° म बाँट दे ता है। जो आयत वग नह है, उसम वकण एक-दूसरे को आधा-आधा तो काटते ह, पर
तरछे कोण पर, 90° पर नह ।

co m
m .
o m l a se
m .c कोण और भुजाओं के संदभ म आपने कौन-कौन से व्यापक नयम प्रेagक्षत कए? उन्ह बनाने का प्रयास क जए
a s e
agl
प्र.5
तथा अपने सहपा ठय से उनक चचा क जए। कोई यह कस प्रकार सु न श्चत कर सकता है क जो भी नयम

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आपने दे खे ह, वे सदै व सत्य ह गे?

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प्रयोग से बनने वाले नयम
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1. आयत के दोन वकण लंबाई म बराबर होते ह।

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2. वकण एक-दूसरे को ठ क आधा-आधा काटते ह।
3. वकण सम्मुख समकोण म से प्रत्येक को दो भाग म बाँटता है; चार “चपटे ” भाग आपस म बराबर होते ह और चार “खड़े”
भाग भी आपस म बराबर।
4. कसी कोने के दोन भाग (45°-45°) केवल तभी बराबर होते ह जब आयत वग हो।
5. वग म वकण समकोण पर भी मलते ह।

नश्चय कैसे कर? मापन कभी कसी नयम को सद्ध नह कर सकता — रूलर और चाँदा केवल इतना बताते ह क हमने जो थोड़ी-
सी आकृ तयाँ बनाईं उनम नयम ठ क बैठा, और वह भी थोड़ी-बहुत त्रु ट के साथ। नश्चय के लए ऐसा तक दे ना होगा जो कसी
वशेष आकृ त पर नभर न हो। जैसे—

नयम 1 का तक: आयत को उस बदु के प रत: आधा घुमाइए जहाँ वकण मलते ह। आयत ठ क अपने ऊपर आ
जाता है और वकण PR, QS पर बैठ जाता है। जो दो रेखाएँ एक-दूसरे पर बैठ जाएँ, वे बराबर लंबाई क ही ह गी।
यह तक केवल R1 और R2 का उपयोग करता है, इस लए हर आयत पर लागू होता है, छोटा हो या बड़ा — इसी से
यह नयम बनता है।

ग णत चचा: कक्षा म चचा क जए — “दस आयत नापना” और “एक तक दे ना” दो बहुत अलग बात ह। ग णत म
केवल दूसरी बात से ही नणय होता है।

रचना क जए — पृष्ठ 205 – 210
अनुभाग 8.5 — कोण अथवा वकण से आयत क रचना

प्र.1 1. एक आयत क रचना क जए, जसम एक वकण सम्मुख कोण को 60° और 30° के कोण म वभा जत
करता हो।

पहले आयत ABCD क क ी (रफ) आकृ त बनाइए, जसम वकण AC, AB से 60° और AD से 30° का कोण बनाता है। फर
चरण का क्रम तय क जए: AB क लंबाई द नह है, इस लए उसे अपनी सु वधा से ले सकते ह।
रचना के चरण

1. चरण 1. सु वधाजनक लंबाई का AB ख चए, मान ली जए 4 सेमी। B पर AB का लंब ख चए।
2. चरण 2. A पर AB से 60° का कोण बनाती करण ख चए। जहाँ वह B वाले लंब को काटे , वहाँ C अं कत क जए।
3. चरण 3. A पर AB का लंब ख चए। बदु D इसी रेखा पर होगा।
4. चरण 4, व ध 1. C पर BC का लंब ख चए; वह A वाली रेखा को D पर काटे गा।
व ध 2. अथवा परकार को BC के बराबर खोलकर न क A पर र खए और A वाले लंब को का टए — वही D है, क्य क AD =
BC।
5. CD मलाइए। ABCD ही अभीष्ट आयत है।

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D C

30°

60°
A B

वकण AC, A के समकोण को 60° और 30° म बाँटता है। AB = 4 सेमी लेने पर BC लगभग 6.9 सेमी बनता है।

बना कोई लंबाई दए भी आकार तय क्य : दोन कोण यह तय कर दे ते ह क वकण कतना झुका है, और इसी
से भुजाओं का अनुपात तय हो जाता है। AB = 4 सेमी चुनने से केवल नाप तय होती है — ऐसे सभी आयत का
आकार एक जैसा ही रहता है, बस कोई बड़ा और कोई छोटा।

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प्र.2 अब ∠A दो कोण म वभा जत कया गया है। एक कोण 60° का है। जाँ चए क दूसरा कोण क्या है।

∠A = 90° (आयत के सभी कोण समकोण होते है)ं

एक भाग = 60°

दू सरा भाग = 90 − 60 = 30° ✔

यह प्रश्न म माँगे गए 60° और 30° से मेल खाता है।

30° ही क्य : वकण कोने के अंदर से गुजरता है, इस लए दोन भाग मलकर पूरा कोना बनाते ह। पूरा कोना 90°
का है, अत: एक भाग 60° तय कर दे ने पर दूसरा अपने-आप 30° हो जाता है। इसी लए प्रश्न म ऐसी दो संख्याएँ द
जाती ह जनका योग 90 हो — अन्यथा ऐसा आयत बन ही नह सकता।

स्वयं जाँ चए: सम्मुख कोने C के दोन भाग भी ना पए। वे भी 30° और 60° के ही ह, बस क्रम उलटा है।

प्र.3 2. एक आयत क रचना क जए, जसक एक भुजा 5 सेमी है तथा वकण क लंबाई 7 सेमी है।

पहले क ी आकृ त: आयत ABCD, जसम DC = 5 सेमी और वकण DB = 7 सेमी। आधार तो तुरंत ख चा जा सकता है;
क ठनाई केवल B ात करने म है।
रचना के चरण

1. चरण 1. आधार DC = 5 सेमी ख चए।
2. चरण 2. C पर DC का लंब ख चए और उसे रेखा l क हए। बदु B इसी रेखा पर कह होगा।
3. चरण 3. परकार म 7 सेमी लेकर न क D पर र खए और रेखा l को काटता हुआ चाप ख चए। कटान- बदु ही B है (वह D से 7
सेमी दूर भी है और l पर भी — दोन शत एक साथ)।
4. चरण 4. D पर DC का लंब तथा B पर BC का लंब ख चए। वे A पर मलते ह। (अथवा परकार म CB लेकर D से काट
ली जए।)
5. ABCD ही अभीष्ट आयत है। इसे R1 और R2 से जाँ चए।

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l
A B

7 सेमी
≈ 4.9 सेमी

D 5 सेमी C
भुजा 5 सेमी और वकण 7 सेमी। D से ख चा गया 7 सेमी त्रज्या का नारंगी चाप लंब रेखा l को ठ क B पर काटता है। दूसरी भुजा लगभग
4.9 सेमी नकलती है।

चाप से B बना प्रयास-त्रु ट के क्य मल जाता है: चाप पर वे सभी बदु ह जो D से 7 सेमी दूर ह, और रेखा l पर
वे सभी बदु ह जो C पर समकोण बनाते ह। B को दोन शत पूरी करनी ह, इस लए वह वह होगा जहाँ दोन मलते
ह।

प्र.4 उस बदु पर वचार क जए, जहाँ यह वृत्त तथा रेखा प्र त े द करते ह। इसक बदु D से दूरी क्या है? य द
आवश्यकता हो, तो अपनी आकृ त क जाँच क जए। आप क्या दे खते ह?

उसक D से दूरी ठ क 7 सेमी है — वृत्त क त्रज्या के बराबर।

B वृत्त पर है → DB = ि ज्या = 7 सेमी

B रेखा l पर है → ∠BCD = 90°

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हम यह दे खते ह क यह प्र त
co m
े द बदु दोन शत एक साथ पूरी करता है, अत: यही वह कोना B है जसक हम खोज थी। तीसरी
भुजा नापने पर CB ≈ 4.9 सेमी मलती है।
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s em
यह वचार इतना उपयोगी क्य है: अकेले “D से 7 सेमी” कहने पर अन गनत बदु संभव ह (पूरा वृत्त); अकेले
a
“रेlखा l पर” कहने पर भी अन गनत। दोन को मला दे ने पर केवल एक बदु बचता है। इस अध्याय क लगभग हर
g
aरचना इसी तरह काम करती है — दोन समूह ख चए और उनका मलन- बदु ले ली जए।

co m
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l a se
प्र.5 agके लए क्या संपूण वृत्त का ख चना आवश्यक था?
व ध 2 — बदु B को नधा रत करने

co m
em.

m l as
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नह । वृत्त का केवल वही छोटा भाग काम का है जो रेखा l को काटता है, अत: वहाँ एक छोटा-सा चाप ख च दे ना पयाप्त है।
a g
a s em
1. परकार म 7 सेमी लेकर न क D पर र खए।

a gl2. प सल को केवल रेखा l के पास घुमाइए — उसे काटता हुआ हल्का चाप ख चए।
3. कटान- बदु को B अं कत क जए।

om a s
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mभी कम लगता है। पूरा वृत्त ख चने पर DC के दूसरी ओर एक और agl
s
संकेत: चाप से आकृ त साफ़ रहती है और समय
a पैदा कर सकता है।
agl
अनावश्यक कटान- बदु बन जाता है, जो भ्रम

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m as e
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जाँच क जए क क्या ABCD वास्तव म एक आयत है जो गुण R1 तथा R2 को संतुष्ट करता है।
.co g
प्र.6

em a
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agl उत्तर

se m
बनी हुई आकृ त को ना पए—

com g l a
m. a
ase
R1 DC = AB = 5 सेमी, CB = DA ≈ 4.9 सेमी → सम्मुख भुजाएँ बराबर ✔

R2 ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ✔ agl
अितिरक्त जाँच : दू सरा िवकण AC भी 7 सेमी िनकलता है ✔
co m
m .
m as e
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दोन गुण पूरे होते ह, अत: ABCD वही आयत है जसक एक भुजा 5 सेमी और वकण 7 सेमी है।
a g l
se m
g l a
a स्वयं जाँ चए: 5 सेमी आर-पार और 4.9 सेमी ऊपर मलकर तरछाई म 7 सेमी दे ने चा हए। वकण DB एक बार
c
m .
e
फर ना पए — य द 7 सेमी न आए, तो संभवतः C पर लंब ठ क नह बना है।
m a s
e m . co agl
g l as
रचना क जए — पृष्ठ 211 a

co m
m .
m ase
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अनुभाग 8.5 आयत और वग के वकण क खोज करना

प्र.1 एक आयत क रचना क जए जसम एक वकण सम्मुख कोण को 50° और 40° म वभा जत करता हो।

पहले दे ख ली जए क 50 + 40 = 90 है, अत: ऐसा आयत संभव है।
रचना के चरण

1. AB = 5 सेमी ख चए (कोई भी सु वधाजनक लंबाई)।
2. B पर AB का लंब ख चए।
3. A पर AB से 50° का कोण बनाती करण ख चए। जहाँ वह लंब से मले, वहाँ C अं कत क जए।
4. A पर AB का लंब तथा C पर BC का लंब ख चए। वे D पर मलते ह।
5. CD मलाइए। ABCD ही अभीष्ट आयत है; वकण AC, ∠A को 50° और 40° म बाँटता है और ∠C को भी इसी प्रकार।

जाँच : 50° + 40° = 90° = ∠A ✔

AB = 5 सेमी लेने पर BC ≈ 6 सेमी बनता है

संकेत: 50° बहुत सावधानी से अं कत क जए। करण 2° भी इधर-उधर हुई तो दूसरा भाग 40° नह आएगा और
आयत ठ क से बंद नह होगा।

प्र.2 एक आयत क रचना क जए जसम एक वकण सम्मुख कोण को 45° और 45° म वभा जत करता हो। आप
इसक भुजाओं के बारे म क्या दे खते ह?

रचना के चरण

1. AB = 5 सेमी ख चए। B पर AB का लंब ख चए।
2. A पर AB से 45° का कोण बनाती करण ख चए; वह लंब को C पर काटती है।
3. पहले क तरह आयत पूरा करके D प्राप्त क जए।

प्रेक्षण: चार भुजाएँ बराबर नकलती ह — यह आयत वास्तव म एक वग है।

AB = 5 सेमी तथा BC = 5 सेमी

अत: AB = BC = CD = DA → यह वग है
िवकण AC ≈ 7.1 सेमी

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ऐसा क्य होता है: जो वकण AB से 45° का कोण बनाता है, वह दोन भुजाओं क ओर बराबर झुका होता है,
इस लए वह जतना आगे बढ़ता है उतना ही ऊपर चढ़ता है: BC = AB। जैसे ही दो आसन्न भुजाएँ बराबर होती ह,
चार बराबर हो जाती ह और आयत वग बन जाता है। पृष्ठ 204 के “खो जए” प्रश्न का उत्तर भी यही है।

प्र.3 एक आयत क रचना क जए जसक एक भुजा 4 सेमी है और वकण क लंबाई 8 सेमी है।

रचना के चरण

1. आधार DC = 4 सेमी ख चए।
2. C पर DC का लंब ख चए — इसे l क हए।
3. परकार म 8 सेमी लेकर न क D पर र खए और l को B पर काटता चाप ख चए।
4. D पर DC का लंब तथा B पर CB का लंब ख चए; वे A पर मलते ह। आकृ त पूरी क जए।

दू सरी भुजा CB इस पकार िनकलती है: 4 सेमी आर-पार, 8 सेमी ितरछाई

CB ≈ 6.9 सेमी

जाँच: DC = AB = 4 सेमी, CB = DA ≈ 6.9 सेमी, सभी कोण 90°, तथा दूसरा वकण AC भी 8 सेमी।

संकेत: वकण सदै व कसी भी भुजा से लंबा होता है। 4 सेमी भुजा के साथ 4 सेमी से छोटा वकण असंभव है —
चाप रेखा l तक पहुँचेगा ही नह ।

प्र.4 एक आयत क रचना क जए जसक एक भुजा 3 सेमी है और वकण क लंबाई 7 सेमी है।

रचना के चरण

1. DC = 3 सेमी ख चए।
2. C पर DC का लंब l ख चए।
3. न क D पर रखकर 7 सेमी त्रज्या का चाप ख चए, जो l को B पर काटे ।
4. D और B पर लंब ख चकर A प्राप्त क जए और आयत पूरा क जए।

दू सरी भुजा CB ≈ 6.3 सेमी

जाँच : DC = AB = 3 सेमी, CB = DA ≈ 6.3 सेमी, सभी कोण = 90°

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दूसरी भुजा क्य नह द गई: एक भुजा और एक वकण मलकर आयत को पूरी तरह न श्चत कर दे ते ह। DC और
वकण DB तय हो जाने पर C का समकोण B के लए केवल एक ही ान छोड़ता है — इस लए CB को चुना नह
जा सकता, वह स्वयं तय हो जाती है।

रचना क जए: घर — पृष्ठ 211 – 214

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अनुभाग 8.6 दो दए हुए बदुओं से समदूरस्थ बदु

प्र.1 घर — इस आकृ त को पुनः बनाइए। ध्यान द जए क घर क सीमा (border) को बनाने वाले सभी रेखाखंड
क लंबाई 5 सेमी है।

A

5 सेमी 5 सेमी

B C

5 सेमी 1 सेमी 5 सेमी
2 ीमेस

D E
5 सेमी

‘घर’, पृष्ठ 211 — कोने B, C, D, E, ऊपर का बदु A, B से C तक का चाप और दरवाज़ा।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 8 रचनाओं के साथ खेलना
a g l AglaSem · NCERT Solutions

पहले क्रम तय क जए: पहले वगाकार द वार, फर शीष A, फर दोन तरछ रेखाएँ और अंत म चाप।
co m
रचना के चरण
se m.
o m
1. चरण 1. फश.cके लए DE = 5 सेमी ख चए। D और E पर लंब ख चकर उन पर 5-5 सेमी काg l a
m a टए और B तथा C प्राप्त

l a
क जए।se BC को हल्का-सा मला द जए। दरवाज़ा भी बनाइए — DE पर खड़ा 1 सेमी चौड़ा और 2 सेमी ऊँचा आयत।
agचरण 2. परकार म 5 सेमी लेकर न क B पर र खए और द वार के ऊपर एक चाप ख चए।
2.
3. चरण 3. वही खुलाव रखते हुए न क C पर रखकर दूसरा चाप ख चए। दोन चाप जस बदु पर मलते ह वही A है, क्य क वह

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B से भी 5 सेमी है और C से भी 5 सेमी।

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4. AB और AC को सरल रेखाओं से मलाइए।

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5. चरण 4. खुलाव 5 सेमी ही रखते हुए न क A पर र खए और B से C तक चाप ख चए। यही छत का वक्र आधार है। घर तैयार!

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5 सेमglी ase 5 सेमी
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D
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