NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 2 रैखिक बहुपदों का परिचय

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा9

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 2: रै खक बहुपद का प रचय

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत मंजरी

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

16 – 40 26 65 हन्द

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 9 · ग णत · ग णत मं ज री

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 2: रै खक बहुपद का प रचय
एक चर वाला बहुपद ऐसा बीजीय व्यंजक है जो केवल एक अक्षर और उसक पूण घात से बनता है; उसम उप त उच्चतम घात उसक घात
कहलाती है। यह अध्याय घात 1 वाले बहुपद — रै खक बहुपद — तक सी मत है और यह दखाता है क इन सभी म एक ही गुण समान है: आगत म
समान वृ द्ध करने पर नगत म भी समान वृ द्ध होती है, और यही कारण है क इनके आलेख सरल रेखाएँ होते ह।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत मंजरी (कक्षा 9) 16 – 40

खं ड प्रश्न

26 65

माध्यम

हन्द

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 17
2.1 भू मका (उदाहरण 2)

प्र.1 क्या आप ऊपर दए गए बीजीय व्यंजक म पद , चर और गुणांक क पहचान कर सकते ह?

यह व्यंजक उदाहरण 2 म उद्यान क कुल लागत है — 200l + 160w + 50lw।

भाग यहाँ क्या है

पद 200l, 160w, 50lw

चर l (लंबाई, मीटर में) और w (चौड़ ाई, मीटर में)

गण
ु ांक l का 200, w का 160, lw का 50

अचर पद कोई नही ं — पत्येक पद में कोई न कोई चर है

ऐसा क्य होता है: प्रत्येक गुणांक वास्तव म एक दर है और उसे पढ़ने से पता चल जाता है क वह कहाँ से आया।
तार क बाड़ दोन लंबाइय पर लगती है, अत: 2 × ₹100 = ₹200 प्र त मीटर लंबाई; लकड़ी क बाड़ दोन
चौड़ाइय पर लगती है, अत: 2 × ₹80 = ₹160 प्र त मीटर चौड़ाई। बीज का व्यय क्षेत्रफल पर आधा रत है और
क्षेत्रफल l × w है — इसी लए तीसरे पद म गुणनफल lw आता है, केवल l या w नह ।

संकेत: कसी पद का गुणांक अक्षर को छोड़कर शेष सब कुछ होता है। 50lw म गुणांक 50 है और उस एक ही पद
म दोन l व w चर ह।

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प्र.2 उदाहरण 1 म दए गए बीजीय व्यंजक से यह कस प्रकार भन्न ह?

उदाहरण 1 म 4x + 5y + 3 था और उदाहरण 2 म 200l + 160w + 50lw है। दो अंतर महत्त्वपूण ह।

उच्चतम घात। 4x + 5y + 3 म प्रत्येक चर क घात 1 है और कोई पद दोन अक्षर को नह मलाता। 200l + 160w + 50lw
म पद 50lw दोन चर का गुणनफल है, अत: उस पद क घात 1 + 1 = 2 है।
अचर पद। 4x + 5y + 3 म अचर पद 3 है ( न:शुल्क पेन)। उद्यान वाले व्यंजक म कोई अचर पद नह — उद्यान न हो तो व्यय
शून्य है।

यह अंतर क्य महत्त्वपूण है: यह केवल लखावट का अंतर नह , रा शय के व्यवहार का अंतर है। उद्यान क लंबाई
दोगुनी करने पर तार का व्यय दोगुना होता है, कतु लंबाई और चौड़ाई दोन दोगुनी करने पर बीज का व्यय चार गुना
हो जाता है, क्य क क्षेत्रफल गुणनफल के साथ बढ़ता है। जस व्यंजक म चर केवल अकेले, प्रथम घात म आते ह,
वह अपने आगत के अनुपात म बढ़ता है; गुणनफल वाला पद ऐसा नह करता।

क्या आप जानते ह? 50lw जैसे पद को तीय घात का पद कहते ह, क्य क उसम चर क घात का योग 2 है।
इसी कारण उद्यान वाला व्यंजक रै खक नह है, भले ही उसके पहले दो पद रै खक ह ।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 17
2.1 भू मका (उदाहरण 3)

प्र.1 20 सट मीटर लंबे तार को आयत बनाने के लए व भन्न प्रकार से मोड़ा गया है। उदाहरण के लए, हम 7 सट मीटर
लंबा और 3 सट मीटर चौड़ा आयत बना सकते ह। हम 5.5 सट मीटर लंबा और 4.5 सट मीटर चौड़ा आयत भी
बना सकते ह (इस प्रकार के आयत बनाने क कुछ अन्य व धय पर वचार क जए)।

तार ही प रमाप है, अत: ऐसे प्रत्येक आयत के लए

2(लंबाई + चौड़ ाई) = 20

लंबाई + चौड़ ाई = 10

अत: जन दो धनात्मक लंबाइय का योग 10 हो, वे सभी काम करती ह। कुछ और उदाहरण —

लंबाई (सट मीटर) 9 8 6.5 6 5

चौड़ाई (से ंटीमीटर) 1 2 3.5 4 5

क्षेत्र फल (वग से ंटीमीटर) 9 16 22.75 24 25

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ऐसा क्य होता है: तार प रमाप को न त करता है, आकार को नह । 2l + 2w = 20 से w = 10 − l प्राप्त होता
है, अत: लंबाई चुनते ही चौड़ाई भी न त हो जाती है। केवल एक संख्या स्वतंत्र है और वह 0 < l < 10 वाला कोई
भी मान ले सकती है — अथात ऐसे आयत गनती के नह , अनंत ह।

यह क जए: क्षेत्रफल l(10 − l) है। l = 4, 4.5, 5, 5.5, 6 लेने पर 24, 24.75, 25, 24.75, 24 मलता है।
क्षेत्रफल अ धकतम 25 वग सट मीटर तब है जब आयत 5 सट मीटर भुजा वाला वग हो, और उसके दोन ओर यह
समान रूप से घटता है।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 17
2.1 भू मका (उदाहरण 3)

प्र.1 क्या आप ऊपर दए गए बीजीय व्यंजक म पद , चर और गुणांक क पहचान कर सकते ह?

यह व्यंजक तार से बने आयत का क्षेत्रफल 10x − x² है।

भाग यहाँ क्या है

पद 10x और −x²

चर के वल x (लंबाई, से ंटीमीटर में)

गण
ु ांक x का 10, x² का −1

अचर पद कोई नही ं (अथ त 0)

घात 2 — x की उपिस्थत उ च्चतम घात

ऐसा क्य होता है: क्षेत्रफल x(10 − x) है। कोष्ठक खोलने पर 10x − x² मलता है और ऋण चह्न पद का ही भाग
है, अत: x² का गुणांक −1 है, 1 नह । अचर पद 0 है क्य क शून्य लंबाई के आयत का क्षेत्रफल शून्य होता है।

संकेत: गुणांक सदै व उसके चह्न स हत प ढ़ए। यहाँ “x² का गुणांक 1 है” लखने से व्यंजक ही बदल जाएगा।

प्र.2 क्या आप उदाहरण 1 और 3 के मध्य समानता या असमानता बता सकते ह?

समानता: दोन बीजीय व्यंजक ह — पद का योग, और प्रत्येक पद कसी संख्या और अक्षर का गुणनफल।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

असमानताएँ:
co m
e m.
m l as
.co g
उदाहरण 1: 4X + 5Y + 3 उदाहरण 3: 10X − X²

m a
l a se दो (x, y) एक (x)
g
चरों की संख्या

a
उच्चतम घात 1 2

com
अचर पद 3
e m . कोई नही ं ag
g l as
एकचरीय बहुपद?
a
नही ं — दो चर है ं हाँ, घात 2 का

co m
m.
यह अंतर क्य महत्त्वपूण है: अध्याय अब ठ क यही वभाजन करने जा रहा है। जन व्यंजक म केवल एक चर और

m उतरता है; 4x + 5y + 3 नह , क्य क उसम दो स्वतंत्र अक्षर चा हए।glas
उसक घात होती ह, उन्ह को एकचरीय बहुपद कहते ह और केवल उन्ह क घात प रभा षत होती है। 10x − x² इस e
. c o a
e m
कसौट पर खरा
s
a gla
स्वयं जाँ चए: उदाहरण 1 म आप x को दोगुना करके y को वैसा ही रख सकते ह। उदाहरण 3 म घुमाने के लए

m a s
.co agl
केवल एक ही घुंडी है — x न त करते ही पूरा आयत और उसका क्षेत्रफल न त हो जाता है।

se m
g l a
a
प्रश्नावली 2.1 — पृष्ठ 18–19
co m
2.1 भू मका
m .
o m l a se
m .cनीचे दए गए बहुपद क घात ात क जए — (i) 2x² – 5x + 3 (ii) y³ag+ 2y – 1 (iii) – 9 (iv) 4z – 3
e
las
प्र.1

ag
se m
com g l a
. a
घात वह उच्चतम घातांक है जो वास्तव म उप त हो।
m
ase
बहुपद
agl उप स्थत घात घात नाम

com
(i) 2x² − 5x + 3 2, 1, 0 2 घाती

m .
m ase
(ii) y³ + 2y − 1 3, 1, 0 3 त्रघाती

. c o
m (iii) −9 agl0
ase
केवल 0 अचर

agl c
.
(iv) 4z − 3 1, 0 1 रै खक

s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 4 of 81

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(iii) क घात 0 क्य है, “घात नह ” क्य नह : −9 को −9x⁰ लखा जा सकता है, क्य क प्रत्येक x ≠ 0 के लए
x⁰ = 1 है। अत: चर उप त है और उसक घात 0 है, इस लए उच्चतम घात 0 हुई। यह भी ध्यान द जए क (ii) म
y² पद अनुप त है; अनुप त पद का गुणांक 0 होता है और उससे घात पर कोई प्रभाव नह पड़ता — घात
अशून्य गुणांक वाली सबसे बड़ी घात से तय होती है।

संकेत: घात घातांक से पढ़ जाती है, गुणांक से कभी नह । 2x² − 5x + 3 क घात 2 ही है, यद्य प 5 और 3
संख्याएँ 2 से बड़ी ह।

प्र.2 घात 1, 2 और 3 के बहुपद ल खए।

एक चर वाला ऐसा कोई भी व्यंजक चलेगा जसक उच्चतम घात अभीष्ट संख्या हो। उदाहरण के लए —

घात 1 (रैिखक): 3x + 7

घात 2 (ि घाती): x² − 4x + 1

घात 3 (ित्रघाती): 2x³ + x − 5

केवल दो बात जाँचनी ह: पहली, ठ क एक ही चर आना चा हए — 3x + 7y एकचरीय बहुपद नह है। दूसरी,
सव च्च पद का गुणांक शून्य नह होना चा हए — 2x³ + x − 5 म x³ का गुणांक 2 है, जो अशून्य है, अत: घात
वास्तव म 3 है। नीचे के पद स्वतंत्र रूप से अनुप त रह सकते ह — अकेला x³ भी पूणत: उ चत त्रघाती बहुपद है।

यह क जए: प्रत्येक घात के तीन-तीन और बहुपद ल खए, भन्न- भन्न अक्षर (t, m, z) के साथ और कम-से-कम
एक ऋणात्मक गुणांक रखते हुए; फर कसी साथी से अदल-बदल कर घात जाँ चए।

प्र.3 बहुपद x⁴ – 3x³ + 6x² – 2x + 7 म x² और x³ के गुणांक क्या ह?

प्रत्येक घात के साथ लगी संख्या को उसके आगे लगे चह्न स हत प ढ़ए।

x⁴ − 3x³ + 6x² − 2x + 7

x² का गुणाक
ं =6
x³ का गुणांक = −3

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चह्न उत्तर का भाग क्य है: बहुपद पद का योग है, अत: “− 3x³” वास्तव म “+ (−3)x³” है। ऋण चह्न छोड़ दे ने
पर मान गलत आ जाएगा — x = 1 पर सही मान 1 − 3 + 6 − 2 + 7 = 9 है, जब क +3 लेने पर 15 मलेगा।

संकेत: यहाँ x⁴ का गुणांक 1 है (जो लखा नह गया) और अचर पद 7 वस्तुत: x⁰ का गुणांक है।

प्र.4 बहुपद 4z³ + 5z² – 11 म z का गुणांक क्या है?

z वाला कोई पद लखा ही नह है, अत: उसका गुणांक

4z³ + 5z² − 11 = 4z³ + 5z² + 0·z − 11

z का गुणांक = 0

0 क्य , “कोई नह ” क्य नह : घात 3 के बहुपद म चार घात z³, z², z, z⁰ के लए ान होता है। जो घात लखी
नह गई, वह गुणांक 0 के साथ उप त है — 0·z जोड़ने से कुछ नह बदलता, अत: दोन लेखन एक ही वस्तु ह।
गुणांक 0 कहने से गुणांक क सूची पूरी बनी रहती है — 4, 5, 0, −11।

स्वयं जाँ चए: z = 2 पर 4(8) + 5(4) − 11 = 32 + 20 − 11 = 41, और 0·2 जोड़ने पर भी 41 ही रहता है।

प्र.5 बहुपद 9x³ + 5x² – 8x – 10 म अचर पद क्या है?

अचर पद वही है जसम x नह है।

9x³ + 5x² − 8x − 10

अचर पद = −10

इसे अलग से नाम दे ना क्य उपयोगी है: अचर पद वही मान है जो चर के 0 होने पर बहुपद दे ता है। x = 0 रखने
पर शेष सभी पद समाप्त हो जाते ह — 9(0) + 5(0) − 8(0) − 10 = −10। अत: अचर पद आगत- नगत मशीन
का “आरं भक मान” है, और आगे इसी अध्याय म यही y = ax + b का b, अथात y-अंतःखंड बनता है।

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संकेत: ऋण चह्न 10 के साथ ही र खए। केवल “10” कसी दूसरे ही बहुपद का अचर पद होगा।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 19
2.2 रै खक बहुपद (उदाहरण 4)

प्र.1 1 सट मीटर, 1.5 सट मीटर, 2 सट मीटर, 2.5 सट मीटर और 3 सट मीटर भुजाओं वाले वग के प रमाप ात
क जए। य द भुजाओं क लंबाई 0.5 सट मीटर बढ़ा द जाए तो प रमाप पर इसका क्या प्रभाव होगा?

भुजा x वाले वग का प रमाप रै खक बहुपद 4x है।

भुजा X (सट मीटर) 1 1.5 2 2.5 3

पिरमाप 4x (से ंटीमीटर) 4 6 8 10 12

वृि — +2 +2 +2 +2

भुजा म प्रत्येक 0.5 सट मीटर क वृ द्ध पर प रमाप म हर बार 2 सट मीटर क वृ द्ध होती है।

ऐसा क्य होता है: केवल ता लका से पढ़ना पयाप्त नह — इसे सद्ध क जए। कसी भी भुजा x के लए,

4(x + 0.5) − 4x = 4x + 2 − 4x = 2

x कट जाता है, अत: वृ द्ध इस बात पर नभर नह करती क आपने कहाँ से आरंभ कया था। यह कटना केवल
इस लए संभव है क चर प्रथम घात म है — यही वह बीजीय कारण है जससे रै खक बहुपद समान अंतराल दे ता है।

स्वयं जाँ चए: यही घटाव वग के क्षेत्रफल x² पर क जए। (x + 0.5)² − x² = x + 0.25, जसम x अब भी शेष है
— अत: क्षेत्रफल व भन्न चरण पर भन्न- भन्न मात्रा म बढ़ता है। ठ क यही बात क्षेत्रफल को अरै खक बनाती है।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 19

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2.2 रै खक बहुपद (उदाहरण 5)

प्र.1 य द कसी खलाड़ी ने ₹750 दए ह तो उसने कतने मैच खेले ह गे?

m मैच के लए रा श रै खक बहुपद 200 + 50m है। इसे 750 के समीकृत क जए — इससे बहुपद एक रै खक समीकरण बन
जाता है।

200 + 50m = 750

50m = 750 − 200 = 550

m = 550 ÷ 50 = 11 मैच

जाँच: 200 + 50 × 11 = 200 + 550 = 750। ✓

उत्तर ठ क एक ही क्य है: ₹200 प्रवेश शुल्क केवल एक बार दे ना है, अत: ₹750 म से केवल ₹550 मैच पर व्यय
हुआ और प्रत्येक मैच का शुल्क समान ₹50 है। प्र त मैच शुल्क कभी नह बदलता, इस लए ₹550 केवल एक ही
प्रकार से बन सकता है — 11 मैच। रै खक बहुपद प्रत्येक नगत मान ठ क एक बार लेता है, इसी लए a ≠ 0 होने पर
ax + b = c का हल एकमात्र होता है।

संकेत: भाग दे ने से पहले एकबारगी भाग (200) को बार-बार आने वाले भाग (50m) से सदै व अलग क जए। सीधे
750 म 50 का भाग दे ने पर भ्रमवश 15 मैच नकल आते।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 20
2.2 रै खक बहुपद

प्र.1 हम सीख चुके ह क कसी बीजीय व्यंजक का मान ात करने के लए दए गए व्यंजक म चर का कोई मान
प्र तस्था पत करते ह। उदाहरण 3 पर वचार क जए, जसम तार को मोड़कर एक आयत बनाया गया है। यहाँ
आयत का क्षेत्रफल 10x – x², x का एक फलन है। क्या आप इसक व्याख्या एक आगत- नगत व ध के रूप म
कर सकते ह? य द x = 6 सट मीटर हो तो व्यंजक का मान क्या होगा?

हाँ। यह मशीन एक लंबाई x आगत के रूप म लेती है और 20 सट मीटर के तार से बनने वाले आयत का क्षेत्रफल नगत के रूप म
दे ती है।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
आगत x = 6 → 10 × 6 − 6²
m l as
= 60 − 36
m .co a g
l a se
g
= 24 वग सेट
ं ीमीटर
a

co m
आकृ त से जाँच: लंबाई 6 सट मीटर हो तो चौड़ाई 10 − 6 = 4 सट मीटर, और 6 × 4 = 24 वग सट मीटर। ✓

e m . ag
आगत X (सट मीटर)
g l as 2 4 6 8

िनगत 10x − x² (वग से ंटीमीटर)
a 16 24 24 16

co m −8
e m.
अंतर — +8 0

m l as
.co
m रै खक क्य नह है: अं तम पं क्त के अंतर समान नह ह — वे +8, 0, −8 ह। दो भन्न आगत 4 और 6
यहeमशीन a g
a s
a gl तो एक ही नगत 24 दे ते ह। कोई रै खक मशीन ऐसा कभी नह कर सकती। कारण x² पद है — क्रमागत मान को
घटाने पर x कटता नह , शेष रह जाता है, अत: अंतर का आकार स्वयं इस बात पर नभर करता है क आप कहाँ ह।
m a s
.co agl
इसी लए 10x − x² को घाती फलन कहते ह, जब क 2x + 3 रै खक है।

a s em
यह क जए: x = 5 डा लए। नगत a
25glवग सट मीटर मलेगा, जो सबसे बड़ा है — वह वग है। उसके आगे नगत
फर घटने लगते ह, इसी लए इस मशीन का आलेख सरल रेखा नह , एक वक्र होता है।

co m
m .
m as e
.co a g l
em 2.2 — पृष्ठ 21
asरै खक बहुपद
प्रश्नावली
a g l
2.2

se m
com g l a
. य द — (i) x = 0 (ii) x = –1 (iii) x = 2
a
em
प्र.1 रै खक बहुपद 5x – 3 का मान ात क जए,

a s
उत्तर agl
m
बारी-बारी से प्रत्येक मान प्र त ा पत क जए।

. co
em
m l as
.co a g
(i) 5(0) − 3 = 0 − 3 = −3

se m (ii) 5(−1) − 3 = −5 − 3 = −8
g l a
a c
(iii) 5(2) − 3 = 10 − 3 = 7
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 9 of 81

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उत्तर समान अंतराल से क्य बढ़ते ह: x = −1 से x = 0 तक मान −8 → −3 जाता है, अथात 5 क वृ द्ध; x = 0
से x = 1 तक −3 → 2, फर 5 क वृ द्ध। व्यापक रूप म 5(x + 1) − 3 − (5x − 3) = 5, अथात x का गुणांक।
आगत म एक इकाई का प्रत्येक अंतराल नगत को ठ क गुणांक के बराबर बदलता है — इसी संख्या को आगे ढलान
कहा जाएगा।

संकेत: प्र त ा पत मान को कोष्ठक म र खए, वशेषकर जब वह ऋणात्मक हो। 5(−1) के ान पर 5−1 लख
दे ना यहाँ क सबसे सामान्य भूल है।

प्र.2 घाती बहुपद 7s² – 4s + 6 का मान ात क जए, य द — (i) s = 0 (ii) s = –3 (iii) s = 4

(i) 7(0)² − 4(0) + 6 = 0 − 0 + 6 = 6

(ii) 7(−3)² − 4(−3) + 6

= 7(9) + 12 + 6

= 63 + 12 + 6 = 81

(iii) 7(4)² − 4(4) + 6
= 7(16) − 16 + 6

= 112 − 16 + 6 = 102

(ii) के दोन ऋण चह्न अलग-अलग काम क्य करते ह: (−3)² = +9 होता है, क्य क ऋणात्मक संख्या का वग
धनात्मक होता है — अत: पहला पद +63 है, −63 नह । कतु −4(−3) = +12 है, क्य क ऋण को ऋण से गुणा
करने पर धन मलता है। इन दोन को अलग-अलग सँभालना ही इस प्रश्न क पूरी क ठनाई है।

स्वयं जाँ चए: नगत 6, 81, 102 रै खक प्र तरूप म नह ह — प्र.1 के वपरीत, यहाँ s म समान अंतराल लेने पर
समान अंतर नह मलते। यही s² पद का प्रत्यक्ष चह्न है।

प्र.3 स लल क माँ क वतमान आयु स लल क वतमान आयु से तीन गुना है। 5 वष के प ात दोन क आयु का
योगफल 70 वष होगा। दोन क वतमान आयु ात क जए।

मान ली जए स लल क वतमान आयु x वष है। तब उसक माँ क वतमान आयु 3x वष है।

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5 वष पश्चात: सिलल = x + 5, माँ = 3x + 5

(x + 5) + (3x + 5) = 70

4x + 10 = 70
4x = 60

x = 15

स लल क आयु 15 वष और उसक माँ क आयु 45 वष है।
जाँच: 5 वष बाद आयु 20 और 50 होगी, तथा 20 + 50 = 70। ✓

एक ही अक्षर पयाप्त क्य है: पहला वाक्य दोन आयुओं को आपस म बाँध दे ता है, अत: माँ क आयु दूसरी अ ात
रा श नह , 3x है। इससे एक अ ात और एक शत बचती है, और 4x + 10 एक रै खक बहुपद है; उसे 70 के
समीकृत करने पर ठ क एक हल वाला रै खक समीकरण मलता है। यह भी ध्यान द जए क 5 दो बार जुड़ता है,
प्रत्येक व्य क्त के लए एक बार; यह भूलने पर 4x + 5 = 70 और गलत उत्तर मलेगा।

संकेत: आयु का अंतर 45 − 15 = 30 वष कभी नह बदलता। कसी भी आयु-प्रश्न म इसे दूसरी जाँच के रूप म
प्रयोग क जए।

प्र.4 दो धनात्मक पूणाक का अंतर 63 है। दोन पूणाक का अनुपात 2:5 है। दोन पूणाक ात क जए।

अनुपात 2 : 5 के कारण दोन संख्याएँ एक ही अक्षर से लखी जा सकती ह। मान ली जए वे 2k और 5k ह।

5k − 2k = 63

3k = 63

k = 21

2k = 42, 5k = 105

जाँच: 105 − 42 = 63 ✓ तथा 42 : 105 = 2 : 5 (दोन म 21 का भाग द जए)। ✓

“k” लेने क व ध उ चत क्य है: अनुपात 2 : 5 कहने का अथ है क दोन संख्याएँ समान आकार के क्रमश: 2
और 5 भाग ह। उस उभय नष्ठ भाग को k कहने से अनुपात ठ क-ठ क व्यक्त हो जाता है और दो अ ात रा शयाँ एक
म बदल जाती ह। 2 : 5 अनुपात वाला प्रत्येक युग्म — 4 और 10, 6 और 15, 42 और 105 — (2k, 5k) के रूप
का ही होता है; अंतर वाली शत उनम से अभीष्ट एक युग्म चुन लेती है।

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स्वयं जाँ चए: 2k और 5k का अंतर 3k है, अत: ऐसा कोई भी अंतर 3 का गुणज होना चा हए। 63 = 3 × 21 है,
इसी लए पूण संख्याएँ प्राप्त होती ह।

प्र.5 रूबी के पास दो रुपये के सक्क क संख्या, पाँच रुपये के सक्क क संख्या से तीन गुना है। य द उसके पास
कुल ₹88 ह तो दोन प्रकार के सक्क क संख्या ात क जए।

मान ली जए पाँच रुपये के सक्क क संख्या f है। तब दो रुपये के सक्क क संख्या 3f है।

दो रुपये के िसक्कों का मूल्य = 2 × 3f = 6f

पाँच रुपये के िसक्कों का मूल्य = 5f

6f + 5f = 88

11f = 88

f=8

रूबी के पास पाँच रुपये के 8 सक्के और दो रुपये के 24 सक्के ह (कुल 32 सक्के)।
जाँच: 24 × ₹2 = ₹48 और 8 × ₹5 = ₹40; ₹48 + ₹40 = ₹88। ✓

सक्क को सीधे क्य नह जोड़ सकते: ₹88 मूल्य का योग है, सक्क क संख्या का नह ; अत: जोड़ने से पहले
प्रत्येक संख्या को उस सक्के के मूल्य से गुणा करना आवश्यक है। इसका सुंदर प रणाम यह है क दो रुपये के 3
सक्क और पाँच रुपये के 1 सक्के का प्रत्येक “समूह” ₹11 का होता है, और 88 ÷ 11 = 8 बताता है क ऐसे 8
समूह ह।

संकेत: अक्षर सदै व कम संख्या वाले सक्के के लए चु नए (यहाँ पाँच रुपये वाले)। तब दूसरी संख्या 3f स्वत: पूण
संख्या बनी रहती है।

प्र.6 एक कसान 300 फुट लंबी बाड़ को भन्न- भन्न आकार के दो टु कड़ म काटता है। लंबा टु कड़ा छोटे टु कड़े से चार
गुना लंबा है। दोन टु कड़ क लंबाई क्या होगी?

मान ली जए छोटा टु कड़ा x फुट का है। तब लंबा टु कड़ा 4x फुट का है।

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x + 4x = 300

5x = 300

x = 60

दोन टु कड़े 60 फुट और 240 फुट के ह।
जाँच: 60 + 240 = 300 ✓ और 240 = 4 × 60। ✓

5 कहाँ से आया: पूरी बाड़ छोटे टु कड़े और उसी माप के चार और टु कड़ से बनी है — कुल 5 बराबर भाग। अत:
छोटा टु कड़ा 300 का पाँचवाँ भाग है और लंबा टु कड़ा चार-पाँचवाँ। अनुपात 1 : 4 को “5 बराबर भाग” पढ़ लेना
उसी रै खक समीकरण तक पहुँचने का तेज़ माग है।

संकेत: प्रश्न कहता है क टु कड़े भन्न- भन्न आकार के ह, और उत्तर इससे मेल खाता है: 60 ≠ 240। य द कभी ऐसे
प्रश्न म दोन उत्तर बराबर आ जाएँ तो प्रश्न फर से प ढ़ए।

प्र.7 य द एक आयत क लंबाई उसक चौड़ाई के दुगुने से तीन अ धक हो और उसका प रमाप 24 सट मीटर हो तो
आयत क वमाएँ (लंबाई और चौड़ाई) क्या ह गी?

मान ली जए चौड़ाई w सट मीटर है। तब लंबाई (2w + 3) सट मीटर है।

पिरमाप = 2(लंबाई + चौड़ ाई)
2[(2w + 3) + w] = 24

2(3w + 3) = 24

6w + 6 = 24

6w = 18

w=3

चौड़ाई = 3 सट मीटर, लंबाई = 2(3) + 3 = 9 सट मीटर।
जाँच: प रमाप = 2(9 + 3) = 24 सट मीटर ✓ और 9, 3 के दुगुने से तीन अ धक है। ✓

कोष्ठक क्य आवश्यक है: “चौड़ाई के दुगुने से तीन अ धक” का अथ 2w + 3 है, और प रमाप का सूत्र (लंबाई +
चौड़ाई) के पूरे योग को दोगुना करता है। 2(2w + 3 + w) के ान पर 2 × 2w + 3 + w लखने पर 3 दोगुना नह
होता और w = 21/5 जैसा अनुपयुक्त उत्तर मलता है। प रमाप 6w + 6 स्वयं w म एक रै खक बहुपद है, अत: उसे
24 के समीकृत करने पर ठ क एक हल मलता है।

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ase
कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
स्वयं जाँ चए: क्षेत्रफल 27 वग सट मीटर है। अब वही आकार- नयम प रमाप 36 सट मीटर के साथ ली जए — w

m as e
l
= 5 और लंबाई 13 सट मीटर मलनी चा हए।

m .co a g
l a se
a g
सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 22

co m
. ag
2.3 रै खक प्र तरूप का अन्वेषण

se m
प्र तरूप के अगले तीन चरण म वगag l a
क संख्या का पूवानुमान लगाइए और प्र तरूप के सातव चरण तक वग क
प्र.1
संख्या का अनुक्रम ल खए।

co m
em.
m l as
m .co a g
l a se
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m a s
m .co agl
l a se
a g
चरण 1 चरण 2 चरण 3 m
चरण 4
.co
a s em
.com चत्र 2.4, पृष्ठ 21 — वगाकार टाइल का बढ़ता हुआ प्र तरूप, lचरण 1 से 4 तक।
ag
m
ase
agl
se m
m l a

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चत्र 2.4 के चरण 1 से 4 म 1, 3, 5 और 7 टाइल ह।.cप्रत्येक नया चरण दो टाइल जोड़ता है — प्रत्येक स्तंभ म एक — अत: अगले ag
तीन चरण म 9, 11 और 13 टाइल ह गी। se
m
a
agl
चरण 1 2 3 4 5 6 7

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m .
ase
वग कार टाइलों की संख्या 1 3 5 7 9 11 13

m
e m . co agl
as
सातव चरण तक अनुक्रम: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13।

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e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

चरण 5 चरण 6 चरण 7

चरण 5, 6 और 7 — प्रत्येक दो टाइल चौड़ा स्तंभ है जसके ऊपर एक अ त रक्त टाइल है, अत: प्रत्येक चरण म ठ क 2 टाइल क वृ द्ध
होती है।

हर बार ठ क दो ही क्य : केवल संख्याएँ नह , आकृ त दे खए। चरण n दो टाइल चौड़ा और (n − 1) टाइल ऊँचा
एक खंड है, जसके दाएँ स्तंभ के ऊपर एक अकेली टाइल रखी है। अगले चरण म खंड एक पं क्त ऊपर बढ़ता है —
अथात 2 टाइल — और ऊपर क अकेली टाइल उसी के साथ ऊपर चली जाती है। अत: कुल संख्या 2(n − 1) + 1
= 2n − 1 है और अचर अंतर 2 वस्तुत: n का गुणांक है।

संकेत: चत्र से लगाया गया पूवानुमान और सूत्र से नकला मान मेल खाने चा हए। 2(7) − 1 = 13, जो चरण 7 क
आकृ त से मेल खाता है।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 22

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2.3 रै खक प्र तरूप का अन्वेषण

प्र.1 व्यंजक 2n – 1 का उपयोग करके क्या आप बता सकते ह क प्र तरूप के 15व चरण और 26व चरण म टाइल
क संख्या कतनी होगी? साथ ही यह भी बताइए क कस चरण म टाइल क संख्या 21 और 47 होगी?

चरण 1 चरण 2 चरण 3 चरण 4

चत्र 2.4, पृष्ठ 21 — वगाकार टाइल का बढ़ता हुआ प्र तरूप, चरण 1 से 4 तक।

आगे क दशा — चरण दया है, टाइल ात करनी ह। 2n − 1 म प्र त ा पत क जए।

n = 15: 2(15) − 1 = 30 − 1 = 29 टाइले ं

n = 26: 2(26) − 1 = 52 − 1 = 51 टाइले ं

पीछे क दशा — टाइल द ह, चरण ात करना है। अब 2n − 1 एक रै खक समीकरण बन जाता है।

2n − 1 = 21 → 2n = 22 → n = 11

2n − 1 = 47 → 2n = 48 → n = 24

अत: चरण 11 म 21 टाइल और चरण 24 म 47 टाइल ह गी।

यह नयम दोन दशाओं म क्य चलाया जा सकता है: 2n − 1 एक ऐसी मशीन है जो दोगुना करके 1 घटाती है।
उसे उलटने के लए वही क्रयाएँ वपरीत क्रम म करनी होती ह — पहले 1 जो ड़ए, फर आधा क जए। दोगुना
करना और आधा करना परस्पर पूण प्र तलोम ह, इस लए प्रत्येक टाइल-संख्या केवल एक ही चरण से आती है;
वकल्प कभी नह होता। यही एकमात्र-हल वाला गुण शतरंज क्लब के प्रश्न म भी था।

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

स्वयं जाँ चए: 2n − 1 सदै व वषम होता है, अत: कसी भी चरण म 20 या 50 टाइल नह हो सकत । 20 माँगने पर
समीकरण n = 10.5 दे ता है, जो चरण-संख्या नह है।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 23
2.3 रै खक प्र तरूप का अन्वेषण (उदाहरण 7)

प्र.1 बेला के पास 15व दन कतनी रा श शेष बचेगी? संपूण रा श खच होने म कतने दन लगगे?

बेला ₹100 से आरंभ करती है और प्र त दन ₹5 खच करती है, अत: n दन के प ात उसके पास ₹(100 − 5n) शेष रहते ह।

n = 15: 100 − 5(15) = 100 − 75 = ₹25

रा श तब समाप्त होगी जब शेष रा श शून्य हो जाए।

100 − 5n = 0

5n = 100

n = 20 िदन

यह ास क्य है और कहाँ रुकता है: n का गुणांक −5 है, अत: प्रत्येक अ त रक्त दन न त ₹5 घटाता है —
नीचे क ओर चलता रै खक प्र तरूप। यह प्र तरूप तभी तक अथपूण है जब तक शेष रा श ऋणात्मक न हो, अथात
100 − 5n ≥ 0, अथात n ≤ 20। 20व दन बटु आ ठ क खाली होता है; 21व दन सूत्र −₹5 बताएगा, जो प र त
म संभव नह । वास्त वक जीवन के प्र तरूप म ऐसी सीमाएँ होती ह, भले ही बीजग णत उन्ह न बताए।

संकेत: जस मान पर रै खक बहुपद 0 हो जाता है, वह वशेष रूप से उपयोगी है — यहाँ वही एक ही चरण म बता
दे ता है क रा श कब समाप्त होगी।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 23

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

2.3 रै खक प्र तरूप का अन्वेषण (उदाहरण 8)

प्र.1 कतने कलोमीटर यात्रा के लए ₹130 कराया होगा?

n कलोमीटर क यात्रा (जब n ≥ 2) का कराया ₹25 + 15(n − 2) = ₹(15n − 5) है।

15n − 5 = 130

15n = 135

n = 9 िकलोमीटर

दूसरी ओर से जाँच: 9 कलोमीटर के लए मीटर पहले 2 कलोमीटर का ₹25 और शेष 7 कलोमीटर का ₹15 प्र त कलोमीटर
लेता है — 25 + 15 × 7 = 25 + 105 = ₹130। ✓

सूत्र 15n − 5 क्य है, 15n + 25 क्य नह : ₹15 क दर 2 कलोमीटर के बाद ही आरंभ होती है, अत: वह (n −
2) कलोमीटर पर लगती है, जससे 25 + 15n − 30 = 15n − 5 मलता है। −5 वस्तुत: वह शेष है जो आरं भक
कराए म से बचता है जब पहले दो कलोमीटर को भी ऊँची दर पर गन लया जाता है। इसी से यह भी स्पष्ट होता है
क नयम केवल n ≥ 2 के लए दया गया है — 1 कलोमीटर क यात्रा का कराया ₹25 है, 15(1) − 5 = ₹10
नह ।

स्वयं जाँ चए: n = 2 पर नयम लगाइए: 15(2) − 5 = ₹25, जो ता लका से मेल खाता है। सूत्र ठ क उसी बदु पर
सही ढं ग से जुड़ता है जहाँ से वह लागू होता है।

प्रश्नावली 2.3 — पृष्ठ 23–24
2.3 रै खक प्र तरूप का अन्वेषण

प्र.1 एक व ाथ के बचत बक खाते म ₹500 ह। उसे ₹150 प्र तमाह जेब खच के रूप म मलते ह। दूसरे महीने से
लेकर प्रत्येक महीने के अंत म उसके खाते म कतनी धनरा श होगी? nव महीने म उसके खाते म जमा धनरा श
को दशाने के लए रै खक व्यंजक ात क जए।

वह ₹500 से आरंभ करती है और प्रत्येक महीने के अंत म ₹150 जोड़ती है।

Nव महीने के अंत म 1 2 3 4 5 …

धनरािश (₹) 650 800 950 1100 1250 …

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

दूसरे महीने से आगे शेष रा शयाँ ₹800, ₹950, ₹1100, ₹1250, … ह — प्रत्येक पछली से ₹150 अ धक।
co m
em.
m l as
.co
nवें महीने में धनरािश = ₹(500 + 150n)
m a g
l a se
a g
जाँच: n = 2 पर 500 + 300 = ₹800। ✓

com
.
व्यंजक इस प्रकार क्य बँटता है: ₹500 जेब खच आने से पहले ही खाते म है, अत: वह अचर पद है — n = 0 पर
m ag
l a se
का मान। ₹150 महीने म एक बार आता है, इस लए उसे n से गुणा कया जाता है। क्रमागत शेष रा शय का अंतर
रै g
न त ₹150 है, अत: यह घात 1 वाला a खक प्र तरूप है और 150 उसका ढलान है।

co m
यह क जए: उसके खाते म ₹3000 से अ धक पहली बार कब ह गे? 500 + 150n > 3000 हल करने पर n >
e m.
m l as
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16.67, अथात 17व महीने म।
m a
l a se
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एक रैली 120 सदस्य के साथ प्रारंभ होती है। प्रत्येक घंटे के प ात 9 सदस्य समूह से बाहर हो जाते ह। 1, 2, 3,
m a
agl
प्र.2

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… घंटे के प ात कतने सदस्य रैली म बने रहगे? nव घंटे के अंत म शेष सदस्य क संख्या ात करने के लए

se m
a
रै खक व्यंजक ात क जए।

a g l

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m .
ase
N घंटे प ात 1 2 3 4 …

m
e m . co a84gl …

as
शेष सदस्य 111 102 93 75

a g l
nवें घंटे के अंत में सदस्य = 120 − 9n
se m
com g l a
m . a
ase
agl
जाँच: n = 3 पर 120 − 27 = 93। ✓

गुणांक ऋणात्मक क्य है: सदस्य बाहर जाते ह, अत: प्रत्येक घंटा न त 9 घटाता है — यह रै खक ास है और

. c om
उसका ढलान −9 है। बेला के जेब खच क तरह यहाँ भी प्र तरूप क स्वाभा वक सीमा है: 120 − 9n ≥ 0 के लए
n ≤ 13⅓ चा हए। n = 13 पर 3 सदस्य शेष रहते ह और अगले घंटे के भीतर रैली e
s m हो जाती है। उसके आगे
m a
समाप्त

m .cव्यंoजक ऋणात्मक संख्या म व्य क्त बताएगा, जो नरथक है। agl
l a se
ag
.c
m
स्वयं जाँ चए: संख्या ठ क 0 तक कभी नह पहुँचती, क्य क 120, 9 का गुणज नह है। 120 − 9n = 0 हल करने

m a s e
co agl
पर n = 13⅓ मलता है — रैली कब खाली होगी इसका अनुमान तो यह दे ता है, कतु यह कोई घंटा-संख्या नह है।

m .
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co m
m .
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प्र.3 मान ली जए क एक आयत क लंबाई 13 सट मीटर है। आयत का क्षेत्रफल ात क जए, य द उसक चौड़ाई —
(i) 12 सट मीटर (ii) 10 सट मीटर (iii) 8 सट मीटर हो। आयत के क्षेत्रफल को दशाने वाले रै खक प्र तरूप को
भी ात क जए।

लंबाई 13 सट मीटर नयत है, अत: क्षेत्रफल = 13 × चौड़ाई।

(i) 13 × 12 = 156 वग सेट
ं ीमीटर
(ii) 13 × 10 = 130 वग सेट
ं ीमीटर
(iii) 13 × 8 = 104 वग सेट
ं ीमीटर

यिद चौड़ ाई b सेट
ं ीमीटर हो, तो क्षेत्रफल A = 13b वग सेट
ं ीमीटर

चौड़ाई B (सट मीटर) 8 10 12

क्षेत्र फल A = 13b 104 130 156

b में 2 की वृि पर अंतर — +26 +26

क्षेत्रफल सामान्यत: रै खक नह होता, फर भी यहाँ क्य है: क्षेत्रफल lb म दो चर होते ह और वह व्यापक रूप म
रै खक नह है — उदाहरण 2 के उद्यान म यही बात थी। कतु यहाँ लंबाई नयत 13 है, अत: केवल एक चर स्वतंत्र है
और 13b क b म घात 1 है। चौड़ाई के प्रत्येक अ त रक्त सट मीटर से 13 सट मीटर लंबी एक प जुड़ती है, अथात
13 वग सट मीटर — एक अचर, और यही प्र तरूप को रै खक बनाता है।

संकेत: अचर पद 0 है — चौड़ाई शून्य तो क्षेत्रफल शून्य। इसका आलेख मूल बदु से जाती रेखा A = 13b है।

प्र.4 मान ली जए क एक आयताकार बक्से क लंबाई 7 सट मीटर है और उसक चौड़ाई 11 सट मीटर है। बक्से का
आयतन ात क जए, य द उसक ऊँचाई — (i) 5 सट मीटर (ii) 9 सट मीटर (iii) 13 सट मीटर हो। आयताकार
बक्से के आयतन को दशाने वाले रै खक प्र तरूप को ात क जए।

लंबाई × चौड़ाई = 7 × 11 = 77 वग सट मीटर, और यह आधार नयत है। अत: आयतन = 77 × ऊँचाई।

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(i) 77 × 5 = 385 घन सेट
ं ीमीटर
(ii) 77 × 9 = 693 घन सेट
ं ीमीटर
(iii) 77 × 13 = 1001 घन सेट
ं ीमीटर

यिद ऊँ चाई h सेट
ं ीमीटर हो, तो आयतन V = 77h घन सेट
ं ीमीटर

ऊँचाई H (सट मीटर) 5 9 13

आयतन V = 77h 385 693 1001

h में 4 की वृि पर अंतर — +308 +308

आयतन रै खक व्यवहार कैसे कर सकता है: आयतन तीन लंबाइय का गुणनफल है, अत: वह व्यापक रूप म
घात 3 क रा श है। इनम से दो को नयत कर दे ने पर 7 × 11 केवल एक संख्या 77 बन जाता है, और बक्सा 77 घन
सट मीटर क एक-जैसी परत चढ़ाकर बढ़ता है — ऊँचाई के प्रत्येक सट मीटर पर एक परत। अत: h म समान
अंतराल V म समान अंतर दे ते ह, और प्रत्येक 4 सट मीटर पर वह अंतर 4 × 77 = 308 घन सट मीटर है।

स्वयं जाँ चए: 1001 − 693 = 308 और 693 − 385 = 308 — एक ही बार म तीन आयतन क अ
अंकग णतीय जाँच।

प्र.5 स रता 500 पृष्ठ वाली एक पुस्तक पढ़ रही है। वह प्र त दन 20 पृष्ठ पढ़ती है। 15 दन के प ात कतने पृष्ठ पढ़ने
शेष रह जाएँगे। इसे एक रै खक प्र तरूप के माध्यम से दशाइए।

15 िदनों में पढ़ े गए पृष्ठ = 20 × 15 = 300

शेष पृष्ठ = 500 − 300 = 200 पृष्ठ

n िदनों के पश्चात शेष पृष्ठ = 500 − 20n

दन N 0 5 10 15 20 25

शेष पष्ृ ठ 500 400 300 200 100 0

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

यह रै खक प्र तरूप क्य है: शेष पृष्ठ क संख्या प्र त दन उतने ही 20 पृष्ठ घटती है, अत: क्रमागत पद का अंतर
अचर −20 है। यही अचर अंतर रै खक प्र तरूप क प रभाषा है और वही 500 − 20n म n का गुणांक है। कमी न
तेज़ होती है न धीमी, इसी लए 20 को पंद्रह बार घटाने के ान पर हम सीधे 15व दन तक छलाँग लगा सकते ह।

संकेत: 500 − 20n = 0 हल क जए — वह पुस्तक 25व दन पूरी करेगी, और 500 ठ क 25 × 20 है, अत:
अं तम दन भी पूरे दन का पाठ होगा।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 24
2.4 रै खक वृ और रै खक ास (उदाहरण 9)

प्र.1 15 कलोमीटर दूरी क यात्रा का व्यय कतना होगा? कतने कलोमीटर दूरी क यात्रा का व्यय ₹700 होगा?

व्यय फलन C(d) = 100 + 60d है।

C(15) = 100 + 60(15)

= 100 + 900

= ₹1000

अब मशीन को उलट दशा म चलाइए।

100 + 60d = 700

60d = 600

d = 10 िकलोमीटर

₹100 को पहले अलग क्य करना चा हए: ₹100 एक नयत शुल्क है जो दूरी पर नभर नह करता — यह d = 0
पर C का मान है। केवल शेष ₹600 ही ₹60 प्र त कलोमीटर क दर से खरीदे गए। नयत भाग हटाए बना 700 म
60 का भाग दे ने पर 11.67 कलोमीटर मलता, जो गलत है। जस भाषा को हम गढ़ रहे ह उसम: 100 y-अंतःखंड
है और 60 ढलान।

स्वयं जाँ चए: C(10) = 100 + 600 = ₹700 ✓, और 10 कलोमीटर से 15 कलोमीटर तक जाने पर 5 × ₹60
= ₹300 जुड़ते ह, जससे ₹700 बढ़कर ₹1000 हो जाता है।

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 25
2.4 रै खक वृ और रै खक ास (उदाहरण 10)

प्र.1 5 माह के अंत म टं क म पानी क ऊँचाई क्या होगी?

t महीन के अंत म ऊँचाई h(t) = 3 − 0.5t है।

h(5) = 3 − 0.5 × 5

= 3 − 2.5
= 0.5 मीटर

यह ास क्य है और कहाँ तक वश्वसनीय है: t का गुणांक −0.5 है, अत: टं क कतनी भी भरी हो, जल-स्तर
प्रत्येक महीने न त आधा मीटर गरता है। यही अचर गरावट h को रै खक बनाती है और उसका ऋण चह्न उसे
वृ द्ध नह , ास बनाता है। प्र तरूप यह भी बता दे ता है क टं क कब खाली होगी — 3 − 0.5t = 0 से t = 6 महीने।
उसके आगे सूत्र ऋणात्मक गहराई बताएगा, अत: वहाँ प्र तरूप भौ तक रूप से लागू नह रहता।

स्वयं जाँ चए: पुस्तक क ता लका आगे बढ़ाइए — t = 0 से 6 तक 3, 2.5, 2, 1.5, 1, 0.5, 0। सभी अंतर −0.5
ह, जैसा रै खक प्र तरूप म होना चा हए।

प्रश्नावली 2.4 — पृष्ठ 25–26
2.4 रै खक वृ और रै खक ास

प्र.1 मान ली जए क एक पौधे क ऊँचाई 1.75 फुट है और इसम प्र तमाह 0.5 फुट क वृ होती है। (i) 7 महीन के
प ात पौधे क ऊँचाई ात क जए। (ii) t के 0 से 10 महीन तक के प रवत मान के लए एक ता लका बनाइए
और दशाइए क कैसे ऊँचाई h के मान म प्र तमाह वृ होती है। (iii) एक व्यंजक ात क जए जो h और t म
संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए क यह व्यंजक रै खक वृ को क्य व्यक्त करता है।

(i) 0.5 फुट प्र तमाह क दर से सात महीन म 3.5 फुट क वृ द्ध होती है।

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
h = 1.75 + 0.5 × 7
m l as
= 1.75 + 3.5
m .co a g
l a se
g
= 5.25 फु ट
a

co m
(ii)

em . ag
महीना T 0 1 2
g l
3
as 4 5 6 7 8 9 10

ऊँचाई h (फु ट) 1.75 2.25 2.75
a 3.25 3.75 4.25 4.75 5.25 5.75 6.25 6.75

co m
em.
as
(iii)
m l
.co a g
hs=em
g l a 1.75 + 0.5t
a
m a s
.co agl
यह रै खक वृ क्य है: दो क्रमागत ऊँचाइय को घटाइए और दे खए क क्या शेष बचता है।

se m
g l a
a
h(t + 1) − h(t) = [1.75 + 0.5(t + 1)] − [1.75 + 0.5t]

= 0.5
co m
m .
o m l a se
g है — पौधा ऊँचा होने पर तेज़ी
.cत: कट जाता है, अत: प्रत्येक चरण पर मा सक वृ द्ध वही न त 0.5 फुटaरहती
se m
t पूण

g l a से नह बढ़ता। समान अंतराल पर एक न त धनात्मक रा श का जुड़ना ही रै खक वृ द्ध क प रभाषा है। व्यंजक
a क घात 1 है, अचर 1.75 t = 0 पर क ऊँचाई है और 0.5 ढलान है।

se m
com g l a
m . a
ase
स्वयं जाँ चए: ता लका म प्रत्येक अंतर +0.50 फुट है और 7 महीने क प्र व ष्ट 5.25 भाग (i) से मेल खाती है।

agl

co m
एक मोबाइल फोन ₹10,000 म क्रय कया गया। इसके मूल्य म प्र तवष ₹800 का ास होता है। (i) 3 वष के
m .
eके लए एक ता लका बनाइए और
प्र.2

m a s
glएक व्यंजक ात क जए, जो v और t म
प ात फोन का मूल्य ात क जए। (ii) t के 0 से 8 वष तक के प रवत मान
. co दशाइए क कस प्रकार फोन का मूल्य समय के साथ कम होता है। (iii)
a
asem
l
संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए क यह रै खक ास को क्य व्यक्त करता है।
a g
.c
s e m
m a

(i)
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 24 of 81

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v = 10000 − 800 × 3

= 10000 − 2400

= ₹7600

(ii)

वष T 0 1 2 3 4 5 6 7 8

मूल्य v (₹) 10000 9200 8400 7600 6800 6000 5200 4400 3600

(iii)

v = 10000 − 800t

यह रै खक ास क्य है: प्रत्येक t के लए v(t + 1) − v(t) = −800 है — समान अंतराल पर एक न त रा श
घटाई जाती है और t का गुणांक ऋणात्मक है। ध्यान द जए क यह प्र तरूप क्या मान लेता है: फोन अपने आठव
वष म भी उतने ही ₹800 खोता है जतने पहले वष म। वास्त वक मूल्य ास प्राय: एक न त प्र तशत होता है, जो
रै खक नह होता। सरल रेखा वाली यही मान्यता यहाँ क गणना को इतना सरल बनाती है।

संकेत: प्र तरूप 10000 − 800t = 0, अथात t = 12.5 वष पर समाप्त हो जाता है। उसके आगे मूल्य ऋणात्मक
होगा, जो कसी पुराने फोन का नह होता।

प्र.3 एक गाँव क प्रारं भक जनसंख्या 750 है। प्र तवष 50 व्य क्त समीपस्थ शहर से गाँव म वस्था पत होते ह। (i) 6
वष के प ात गाँव क जनसंख्या ात क जए। (ii) t के 0 से 10 वष तक के प रवत मान के लए एक
ता लका बनाइए और दशाइए क कैसे जनसंख्या P के मान म प्र तवष वृ होती है। (iii) एक व्यंजक ात
क जए जो P और t म संबंध व्यक्त करता है और यह भी समझाइए क यह व्यंजक रै खक वृ को क्य व्यक्त
करता है।

(i)

P = 750 + 50 × 6

= 750 + 300

= 1050 व्यिक्त

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

(ii)

वष T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

जनसंख्या P 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250

(iii)

P = 750 + 50t

यह रै खक वृ क्य है: वा षक वृ द्ध P(t + 1) − P(t) = +50 है, प्रत्येक वष वही संख्या, अत: समान
समयांतराल जनसंख्या म समान वृ द्ध लाते ह। यह दे खना उपयोगी है क ऐसा क्य है: 50 व्य क्त शहर से आते ह,
गाँव के भीतर से नह , अत: आने वाल क संख्या इस पर नभर नह करती क गाँव कतना बड़ा हो चुका है। य द
गाँव प्र त नवासी एक न त जन्म-दर से बढ़ता, तो वा षक वृ द्ध स्वयं बढ़ती जाती और प्र तरूप रै खक न रहता।

यह क जए: गाँव क जनसंख्या पहली बार 2000 कब पार करेगी? 750 + 50t > 2000 से t > 25, अथात 26व
वष म।

प्र.4 एक दूरभाष कंपनी कसी वशेष रचाज योजना के लए ₹600 शुल्क लेती है। रचाज के प ात अ म जमा रा श
म से प्र त दन ₹15 कम होते ह। (i) एक समीकरण ल खए, जो x दन तक योजना का उपयोग करने के प ात
शेष धनरा श b(x) को दशाता है। (ii) कतने दन के प ात यह शेष धनरा श (बैलस) समाप्त हो जाएगी? (iii)
x के 1 से 10 दन के प रवत मान के लए एक ता लका बनाइए और दशाइए क कैसे शेष रा श b(x) समय के
साथ कम होती जाती है।

(i)

b(x) = 600 − 15x

यह रै खक ास है क्य क प्रत्येक x के लए b(x + 1) − b(x) = −15 है: समान अंतराल पर एक न त रा श घटती है और x का
गुणांक ऋणात्मक है। इसका आलेख (0, 600) से नीचे क ओर जाती सरल रेखा होगी।
(ii) शेष रा श तब समाप्त होगी जब b(x) = 0 हो।

600 − 15x = 0

15x = 600

x = 40 िदन

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(iii)

दन X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

शेष रािश b(x) (₹) 585 570 555 540 525 510 495 480 465 450

बहुपद का शून्य (ii) का उत्तर क्य दे ता है: “शेष रा श समाप्त हो जाना” का अथ है क मशीन का नगत 0 है,
अत: हम पूछते ह क कौन-सा आगत b को 0 बनाता है। a ≠ 0 वाले रै खक बहुपद ax + b के लए ऐसा आगत
ठ क एक ही होता है, x = −b/a — यहाँ −600/(−15) = 40। इसी लए रै खक प्र तरूप म “कब समाप्त होगा?”
प्रकार के प्रश्न का सदै व एक स्पष्ट उत्तर होता है।

स्वयं जाँ चए: ता लका म प्रत्येक स्तंभ ठ क ₹15 घटता है, और 10व दन ₹450 से यही गरावट 30 दन और
चलाने पर 40व दन ₹0 पर पहुँचती है।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 27
2.5 रै खक संबंध (उदाहरण 11)

प्र.1 क्या आप अनुमान लगा सकते ह क समीकरण y = 20x + 150 म संख्याएँ 20 और 150 क्या दशाती ह?

20 = पित जी.बी. डेट ा का शुल्क, रुपयों में

150 = िनिश्चत मािसक शुल्क, रुपयों में

इनका यही अथ क्य होना चा हए: समीकरण को दो वशेष आगत पर प ढ़ए।
• x = 0 र खए। तब y = 150 — उस महीने का बल जसम डेटा का उपयोग हुआ ही नह । ऐसे म केवल न त
शुल्क ही बच सकता है, अत: 150 वही शुल्क है।
• x को 1 से बढ़ाइए। तब y म वृ द्ध 20(x + 1) + 150 − (20x + 150) = 20 होती है, चाहे x कुछ भी रहा हो।
एक अ त रक्त जी.बी. सदै व ₹20 का पड़ता है, अत: 20 प्र त जी.बी. दर है।
ये ठ क ढलान और y-अंतःखंड क भू मकाएँ ह: 20 ढलान (प्र त इकाई प रवतन) है और 150 y-अंतःखंड
(आरं भक मान)।

स्वयं जाँ चए: 10 जी.बी. पर 20(10) + 150 = ₹350 और 20 जी.बी. पर 20(20) + 150 = ₹550 — ठ क
वही दो बल जो वद्याथ ने दे खे थे। ✓

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प्रश्नावली 2.5 — पृष्ठ 27
2.5 रै खक संबंध

प्र.1 एक अ धगम मंच (ल नग प्लेटफाम) एक न त मा सक शुल्क लेता है और साथ ही प्र त ड जटल अ धगम
मॉ ूल के लए अ त रक्त शुल्क लेता है। एक व ाथ ध्यान दे ती है क जब उसने 10 मॉ ूल्स प्राप्त कए तो
उसका बल ₹400 था और जब उसने 14 मॉ ूल प्राप्त कए तो उसका बल ₹500 था। य द मा सक बल y,
प्राप्त कए गए मॉ ूल क संख्या x पर नभर करता है तो संबंध y = ax + b के अनुसार a और b के मान ात
क जए।

दोन प्रेक्षण को y = ax + b म प्र त ा पत क जए।

400 = 10a + b …(1)

500 = 14a + b …(2)

(2) म से (1) घटाने पर b समाप्त हो जाता है —

100 = 4a
a = 25

(1) से: b = 400 − 10(25) = 400 − 250 = 150

a = 25, b = 150, अत : y = 25x + 150

जाँच: x = 10 पर 250 + 150 = ₹400 ✓ और x = 14 पर 350 + 150 = ₹500। ✓

ठ क दो प्रेक्षण क्य पयाप्त ह: y = ax + b म दो अ ात रा शयाँ छपी ह, अत: दो स्वतंत्र तथ्य चा हए। प्रत्येक
बल एक समीकरण दे ता है और उन्ह घटाने पर b एक ही चरण म समाप्त हो जाता है — बल का अंतर ₹100
केवल 4 अ त रक्त मॉ ूल के कारण है, अत: दर 100 ÷ 4 = ₹25 प्र त मॉ ूल होनी चा हए। शेष बचा ₹150
न त शुल्क है। ज्या मतीय रूप से, दो बदु एक ही सरल रेखा नधा रत करते ह।

संकेत: समीकरण को घटाना प्र त ापन से तेज़ है, और अथ भी वह छपा है: a = (y म प रवतन) ÷ (x म
प रवतन)।

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
eे mलए बैड मटन कोट
प्र.2 एक व्यायामशाला ( जम) एक न त मा सक शुल्क और प्र त घंटा बैड मटन कोट का उपयोग करने के लए

m a s
co कया तो उसका बल ₹800 था और जब उसने बैड मटन कोट का उपयोग gl15 घंटे के लए कया तो
अ त रक्त शुल्क लेती है। जम जाने वाली एक व ाथ ध्यान दे ती है क जब उसने 10 घंटे क

. a
em बल ₹1100 था। य द मा सक बल y, बैड मटन कोट उपयोग करने के घंट x पर नभर करता है तो संबंध
का उपयोग

a s
gl y = ax + b के अनुसार a और b के मान ात क जए।
उसका
a

co m
m . ag

as e
800 = 10a + b …(1) a g l
1100 = 15a + b …(2)
co m
em.
m l as
.co a g
(2) − (1):

se m
g l a
a 300 = 5a

om a s
agl
a = 60

(1) से: b = 800 − 10(60) = 800 − 600 =m . c
a s e 200

agl
a = 60, b = 200, अत : y = 60x + 200
co m
m .
m as e
.co
जाँच: 60(15) + 200 = 900 + 200 = ₹1100। ✓
a g l
a s em
agl उत्तर को प र स्थ त म लौटाकर प ढ़ए: कोट का शुल्क ₹60 प्र त घंटा है और जम प्र तमाह न त ₹200 लेती
है, चाहे कोट का उपयोग हो या न हो। यही पढ़ना बीजग णत को साथक बनाता है: दोन बल के बीच का अ त रक्त
se m
com g l a
. a
₹300 ठ क 5 अ त रक्त घंट का था, अत: एक घंटा ₹60 का; और 10 घंट के ₹800 म ₹600 कोट का समय है
m
ase
तथा ₹200 कोट से कभी संबं धत ही नह था।

agl
m
यह क जए: 20 घंट का बल कतना होगा? 60(20) + 200 = ₹1400। और कस बल पर उसे 25 घंटे मलगे?

. co
m
₹1700।

m as e
.co a g l
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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प्र.3 ड ी से ल्सयस (°C) और ड ी फॉरेनहाइट (°F) म मापे गए तापमान के मध्य संबंध पर °C = a°F + b के
अनुसार वचार क जए। दया गया है क बफ 0 ड ी से ल्सयस और 32 ड ी फॉरेनहाइट पर पघलती है और
पानी 100 ड ी से ल्सयस और 212 ड ी फॉरेनहाइट पर उबलता है तो a व b के मान ात क जए। (संकेत —
जब °C = 0 तो °F = 32 और जब °C = 100 तो °F = 212 है। इस जानकारी का उपयोग करके a व b के मान
तथा °C व °F के मध्य रै खक संबंध ात क जए।)

यहाँ °F आगत है और °C नगत। दोन नयत बदुओं से —

0 = 32a + b …(1) (बफ िपघलती है)

100 = 212a + b …(2) (पानी उबलता है)

(2) − (1):

100 = 180a

a = 100/180 = 5/9

(1) से: b = −32a = −32 × 5/9 = −160/9

a = 5/9, b = −160/9

°C = (5/9)°F − 160/9 = (5/9)(°F − 32)

जाँच: °F = 32 पर (5/9)(0) = 0 °C ✓; °F = 212 पर (5/9)(180) = 100 °C। ✓

ढलान 5/9 क्य है: पघलने और उबलने के बीच से ल्सयस 100 डग्री चलता है जब क फॉरेनहाइट 212 − 32 =
180 डग्री। एक ही भौ तक अंतराल को एक पैमाने पर 100 भाग म और दूसरे पर 180 भाग म बाँटा गया है, अत:
एक फॉरेनहाइट डग्री एक से ल्सयस डग्री का 100/180 = 5/9 है — और यही अनुपात ढलान है। अचर −160/9
केवल इस लए है क दोन पैमाने अपना शून्य भन्न ान पर रखते ह; उसे (5/9)(°F − 32) के रूप म बाहर
नकाल लेने पर यह व ापन स्पष्ट दखने लगता है।

यह क जए: दल्ली का सुहावना शीत दवस 68 °F वस्तुत: (5/9)(68 − 32) = (5/9)(36) = 20 °C है। दोन
पैमाने −40 पर मलते ह — जाँ चए क −40 °F ही −40 °C है।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 28

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2.6 रै खक संबंध का दृश्यांकन

प्र.1 नीचे द गई ता लका को पूण करते हुए रेखा पर अन्य बदुओं का पता लगाइए।

8
y-अक्ष
7 B (3, 7)

6

5

4

3

2

1 A (0, 1)
x-अक्ष
−2 −1 0 1 2 3 4 5
−1

चत्र 2.5, पृष्ठ 28 — सरल रेखा y = 2x + 1, जस पर A (0, 1) और B (3, 7) अं कत ह।

X 1 2 5 7 9 12 20

y 3 15

रेखा y = 2x + 1 है, अत: प्रत्येक x को दोगुना करके 1 जो ड़ए।

X 1 2 5 7 9 12 20

y = 2x + 1 3 5 11 15 19 25 41

अत: (1, 3), (2, 5), (5, 11), (7, 15), (9, 19), (12, 25) और (20, 41) सभी रेखा पर त ह।

प्र तस्थापन वास्त वक परीक्षण क्य है: कोई बदु कसी रेखा पर तभी त होता है जब उसके नदशांक उस रेखा
के समीकरण को संतुष्ट कर — समीकरण रेखा के बदुओं के समुच्चय का सदस्यता- नयम ही तो है। इसी लए (7,
15) रेखा पर है क्य क 2(7) + 1 = 15 ✓, जब क (7, 14) नह है, और कतनी भी सावधानी से ख चा गया
आलेख इसे बदल नह सकता। प्र त ापन से जाँच यथाथ होती है; आलेख से पढ़ना केवल स न्नकट।

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संकेत: द गई दो प्र व ष्टय से नयम भी नकाला जा सकता है: x = 1 से x = 7 तक मान 15 − 3 = 12 बढ़ता है, 6
चरण म, अथात प्र त चरण 2 — यही ढलान है — और फर 3 = 2(1) + 1 से अंतःखंड मल जाता है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 29
2.6 रै खक संबंध का दृश्यांकन (उदाहरण 13, 14)

प्र.1 आइए, चत्र 2.7 म दशाए अनुसार एक आलेख पत्रक पर नदशांक तल म बदुओं (–3, 6), (–2, 4), (0, 0), (1,
–2), (2, –4), (3, –6) को प्रद शत करते ह। मापक का उपयोग करके बदुओं (–3, 6) और (3, –6) को मलाइए।
ऐसा करते समय ध्यान द जए क सभी पाँच बदु एक सरल रेखा पर स्थत ह। प्रत्येक बदु के x और y- नदशांक
के मध्य संबंध को दे खकर क्या आप इस रेखा के समीकरण का अनुमान लगा सकते ह?

y-अक्ष
(−3, 6) 6

(−2, 4) 4

2
(0, 0) x-अक्ष
−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
−2 (1, −2)

−4 (2, −4)

−6 (3, −6)

चत्र 2.7, पृष्ठ 29 — आलेख पत्रक पर अं कत छह बदु।

दए गए प्रत्येक बदु म y- नदशांक, x- नदशांक का −2 गुना है।

X −3 −2 0 1 2 3

y 6 4 0 −2 −4 −6

y÷x −2 −2 — −2 −2 −2

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रेखा का समीकरण: y = −2x

यही रूप सही क्य है: प्रत्येक बदु के लए अनुपात y/x समान है, अत: y, x का एक अचर गुणज है — वह अचर
ही ढलान है, यहाँ −2। कोई अचर पद नह है, इस लए बदु (0, 0) समीकरण को संतुष्ट करता है और रेखा वास्तव म
मूल बदु से होकर जाती है। ऋणात्मक ढलान चत्र म भी दखता है: x दाईं ओर बढ़ने पर y नीचे आता है, अत: रेखा
ऊपर-बाएँ से नीचे-दाएँ गरती है।

स्वयं जाँ चए: जो बदु रेखा ख चने म प्रयोग नह हुआ, उसे प्र त ा पत क जए, जैसे (−2, 4): −2(−2) = 4। ✓
एक भी जाँच वफल होने का अथ होगा क अनुमा नत समीकरण गलत है।

प्र.2 रेखाओं पर उ चत बदुओं का चयन करते हुए y = ½x, y = x, y = 2x का आलेख बनाइए। (संकेत — y = ½x
का आलेख बनाने के लए हम बदु (0, 0) और (4, 2) ले सकते ह। क्या आप जाँच सकते ह क ये बदु आलेख
क रेखा पर स्थत ह?)

संकेत म दए दोन बदुओं क y = ½x पर जाँच:

(0, 0): ½ × 0 = 0 ✓

(4, 2): ½ × 4 = 2 ✓

दोन समीकरण को संतुष्ट करते ह, अत: दोन रेखा पर त ह — और सरल रेखा के लए दो बदु ही पयाप्त ह।
तीन रेखाओं के लए सु वधाजनक बदु —

रेखा बदु 1 बदु 2 ढलान

y = ½x (0, 0) (4, 2) ½

y=x (0, 0) (4, 4) 1

y = 2x (0, 0) (4, 8) 2

x = 0 और x = 4 ही क्य चुन: x = 0 से y-अंतःखंड बना प रश्रम मल जाता है, और हर के गुणज (यहाँ 4, जो 2
का गुणज है) से दूसरा नदशांक पूण संख्या रहता है और ग्रड पर ठ क-ठ क अं कत हो जाता है। y = ½x के लए x
= 3 लेने पर 1.5 को अनुमान से अं कत करना पड़ता। साथ ही दोन बदु दूर-दूर लेने से ख ची गई रेखा अ धक शुद्ध
बनती है — पास-पास के दो बदुओं म हुई छोट -सी चूक पूरी रेखा को झुका दे ती है।

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
संकेत: तीन रेखाएँ मूल बदु से होकर जाती ह, क्य क प्रत्येक का रूप y = ax है जसम कोई अचर पद नह । अंतर

m as e
l
केवल इतना है क वे कतनी तेज़ी से चढ़ती ह।

m .co a g
l a se
a g
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 31

com
. ag
2.6 रै खक संबंध का दृश्यांकन ( चत्र 2.9)

se m
l a
प्र.1 agपर दशाए गए ह। क्या इससे आपको रै खक समीकरण y = ax, जहाँ a का
चत्र 2.9 म तीन आलेख समान अक्ष
मान बदलने के साथ a > 0 है, के वषय म कोई नष्कष नकालने म सहायता मलती है? क्या होता है जब a > 1

co m
m.
और जब a < 1 होता है? (संकेत — आप समान अक्ष पर समीकरण y = 3x और y = ⅓x को प्रद शत कर
सकते ह।)
m as e
.co a g l
se m
g l a
a 3
y-अक्ष
½x
a s
.com 2 y=
agl
x
m
ase
=
y

agl 1

x-अक्ष
. com 5
em
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 6
m a s
. co agl
−1
e m
g l as
a
2x

−2
y=

se m
com
−3
g l a
m . a
gl ase
a
चत्र 2.9, पृष्ठ 31 — समान अक्ष पर y = 2x, y = x और y = ½x के आलेख।

co m
m .
m ase
.co a g l
emतीन नष्कष, और तीन एक साथ दखते ह जब रेखाएँ एक ही अक्ष-युग्म पर ह ।

a s
agl
.c
m
1. प्रत्येक रेखा y = ax, a चाहे कुछ भी हो, मूल बदु (0, 0) से होकर जाती है।

m a s e
co agl
2. a > 0 होने के कारण सभी बाएँ से दाएँ ऊपर चढ़ती ह।

m .
e
3. a जतना बड़ा, रेखा उतनी ही अ धक ढलान वाली। y = x को मानक मान तो a > 1 पर रेखा y = x से अ धक ढाल वाली
और a < 1 पर कम ढाल वाली होती है।
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

6
y y = 3x
5
y=x
4

3

2

1 y = x/3
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1

-2

-3

-4

-5

-6

एक ही अक्ष-युग्म पर y = 3x, y = x और y = x/3। तीन मूल बदु पर मलती ह; a के साथ केवल ढाल बदलती है।

प्रत्येक नष्कष क्य अ नवाय है:
• y = ax म x = 0 र खए तो प्रत्येक a के लए y = 0 मलता है। अत: (0, 0) सभी पर है — रेखा को मूल बदु से
ऊपर उठाने वाला कोई अचर पद है ही नह ।
• x को 1 बढ़ाइए तो y म a क वृ द्ध होती है। अत: a वस्तुत: प्र त इकाई क्षै तज चाल पर होने वाली ऊध्व वृ द्ध,
अथात ढलान है। समान चाल पर अ धक वृ द्ध का अथ है अ धक ढाल वाली रेखा।
• x = 4 पर y = 3x 12 तक पहुँच चुक होती है जब क y = ⅓x केवल 1⅓ तक। ढलान 1 वाली रेखा y = x दोन
अक्ष से समान कोण बनाती है, अत: वही दोन व्यवहार के बीच क स्वाभा वक वभाजक त है।

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यह क जए: संकेत के अनुसार y = 3x और y = ⅓x एक ही अक्ष पर बनाइए। ये दोन रेखा y = x म एक-दूसरे के
दपण प्र त बब ह — x और y क अदला-बदली एक समीकरण को दूसरे म बदल दे ती है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 33
2.6 रै खक संबंध का दृश्यांकन ( चत्र 2.11)

प्र.1 चत्र 2.11 म तीन आलेख को समान अक्ष पर दशाया गया है। क्या इससे आपको रै खक समीकरण y = –ax
(जहाँ a का मान बदलने के साथ a > 0 है), के वषय म कोई नष्कष नकालने म सहायता मलती है? क्या होता
है य द a > 1 है और य द a < 1 है?

4 y-अक्ष
y
=
−x
3
y=
−⅓x 2

1
x-अक्ष
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
−1

−2
y=

−3
−3x

−4

चत्र 2.11, पृष्ठ 33 — समान अक्ष पर y = −3x, y = −x और y = −⅓x के आलेख।

यह चत्र पछले चत्र का दपण है, केवल एक नणायक चह्न-प रवतन के साथ।

1. प्रत्येक रेखा y = −ax अब भी मूल बदु से होकर जाती है।
2. सभी बाएँ से दाएँ नीचे गरती ह, क्य क ढलान −a ऋणात्मक है — ये रै खक ास के चत्र ह।
3. ढाल a के आकार से तय होती है, चह्न से नह : a > 1 पर रेखा y = −x से अ धक तेज़ी से गरती है और a < 1 पर अ धक
धीरे।

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6
y = −3x y
5
y = −x
4

3

2

y = −x/3 1
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1

-2

-3

-4

-5

-6

y = −3x, y = −x और y = −x/3। पछले चत्र से तुलना क जए — प्रत्येक रेखा अपनी धनात्मक-ढलान वाली जोड़ीदार का x-अक्ष म
परावतन है।

यह पूरा कुल केवल एक परावतन क्य है: a के ान पर −a रखने से प्रत्येक नगत y बदलकर −y हो जाता है
जब क x अछू ता रहता है। ज्या म त म यह x-अक्ष म परावतन है, जो रेखा क ढाल नह बदल सकता — केवल यह
बदलता है क वह कस ओर झुक है। अत: युग्म y = 3x और y = −3x x-अक्ष के दोन ओर समान कोण बनाते ह।
x को 1 बढ़ाने पर अब y म a क कमी होती है, इस लए बड़ा a तेज़ गरावट दे ता है।

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संकेत: उपयोगी सार यह है — ढलान का चह्न बताता है क वृ द्ध है या ास; ढलान का आकार बताता है क
कतनी तेज़ी से।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 33
2.6 रै खक संबंध का दृश्यांकन

प्र.1 समीकरण y = 3x + 1 और y = –3x + 1 के आलेख के मध्य अंतर स्पष्ट क जए।

Y = 3X + 1 Y = −3X + 1

ढलान +3 −3

y-अंतःखंड 1, िबंद ु (0, 1) पर 1, िबंद ु (0, 1) पर

िदशा दाईं ओर चढ़ती है (वृ द्ध) दाईं ओर गरती है ( ास)

x-अक्ष को काटती है (−⅓, 0) पर (⅓, 0) पर

ढाल समान — दोन म x के 1 इकाई प रवतन पर y 3 बदलता है

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ase
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
m l as
.co a g
a s em 6
y
agl y = −3x + 1 y = 3x + 1
5
. com ag
a s em
agl 4
3 co m
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m l as
.co a g
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agl
(0, 1)
1 s
m a
em
.co x agl
a s
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 co m
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m as e
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a s em -2
agl
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co m g l a
m . a
ase
agl
-4

-5 co m
m .
m as e
.co a g l
a s em -6
agl
.c
s e m
m a
. co agl
दोन रेखाएँ y-अक्ष को (0, 1) पर काटती ह, कतु उनके ढलान वपरीत ह; वे y-अक्ष म एक-दूसरे के दपण प्र त बब ह।

e m
g l as
a
वे ठ क एक ही बार क्य मलती ह, और कहाँ: दोन को समीकृत क जए।

co m
m .
m as e
.co


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3x + 1 = −3x + 1

6x = 0

x = 0, अत: y = 1

इनका एकमात्र उभय नष्ठ बदु (0, 1) है — वही साझा y-अंतःखंड। x-अंतःखंड 3x + 1 = 0 और −3x + 1 = 0 से
मलते ह, अथात x = −⅓ और x = ⅓: मूल बदु से दोन ओर समान दूरी पर — यही y-अक्ष म परावतन संख्याओं म
दखाई दे ता है। x के ान पर −x रखने से एक समीकरण दूसरे म बदल जाता है, और वही प्र त ापन y-अक्ष म
परावतन है।

स्वयं जाँ चए: x = 2 पर दोन रेखाएँ 7 और −5 दे ती ह। इनके बीच 12 इकाई का अंतर है, और x क प्रत्येक
अ त रक्त इकाई पर यह अंतर 6 बढ़ता है — दोन ढलान का अंतर।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 35

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2.6 रै खक संबंध का दृश्यांकन ( चत्र 2.13)

प्र.1 क्या चत्र 2.13 म दए गए आलेख म आपको रै खक समीकरण y = ax + b के वषय म कोई नष्कष नकालने
म सहायता मलती है, जब a का मान न त है और b का मान प रव तत होता रहता है? (संकेत — उदाहरण 16
म दए गए समीकरण म a = 2 है और b का मान क्रमश: –1, 1 और 5 ह।)

5 y-अक्ष

4

3
5

1
+

+

1
2
2x

2x

−
2x
y=

y=
1

y=
x-अक्ष
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
−1

−2

चत्र 2.13, पृष्ठ 34 — समान अक्ष पर y = 2x + 5, y = 2x + 1 और y = 2x − 1 के आलेख।

हाँ। a = 2 नयत और b = −1, 1, 5 होने पर तीन रेखाएँ समानांतर ह — झुकाव समान, ऊँचाई भन्न।

रेखा ढलान A Y-अंतःखंड B Y-अक्ष को काटती है

y = 2x − 1 2 −1 (0, −1)

y = 2x + 1 2 1 (0, 1)

y = 2x + 5 2 5 (0, 5)

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8
y
7

6
y = 2x − 1
5

4
y = 2x + 5
3
y = 2x + 1
2

1
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1

-2

-3

-4

-5

-6

b बदलने पर रेखा सीधी ऊपर या नीचे खसकती है; झुकाव कभी नह बदलता, अत: तीन कभी नह मलत ।

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वे कभी मल क्य नह सकत : मान ली जए कसी x पर 2x + b₁ = 2x + b₂ हो। 2x कट जाता है और शेष
बचता है b₁ = b₂। अत: समान ढलान और भन्न अंतःखंड वाली दो रेखाओं का कोई उभय नष्ठ बदु होता ही नह —
वे समानांतर ह। इससे भी अ ा: कसी भी x पर y = 2x + 5 और y = 2x + 1 के बीच ऊध्व अंतर (2x + 5) −
(2x + 1) = 4 है, हर जगह वही। अचर अंतर का ही दूसरा नाम “समानांतर” है।

संकेत: रै खक व्यंजक म b जोड़ने से उसका आलेख b इकाई ऊध्व दशा म खसक जाता है — b धनात्मक हो तो
ऊपर, ऋणात्मक हो तो नीचे। ढलान प रवतन क दर है, अत: अचर जोड़ने से वह अछू ती रहती है।

प्रश्नावली 2.6 — पृष्ठ 36
2.6 रै खक संबंध का दृश्यांकन

प्र.1 (i) नीचे दए गए रेखा समूह के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थ त म ‘a’ और ‘b’ क भू मका को व्यक्त क जए —
(i) y = 4x, y = 2x, y = x

तीन म b = 0 है, अत: मूल बदु और एक अन्य बदु अं कत क जए।

रेखा प्रयुक्त बदु A (ढलान) B (Y-अंतःखंड)

y = 4x (0, 0), (1, 4) 4 0

y = 2x (0, 0), (2, 4) 2 0

y=x (0, 0), (4, 4) 1 0

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

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m l a
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y
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5
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agl 4
3 y = x .com
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com g l a
m . a
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2
agl
1 s
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a s
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 co m
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co m g l a
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-4

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m .
m as e
.co a g l
a s em -6
agl
.c
s e m
m a
. co agl
y = 4x, y = 2x और y = x: y-अंतःखंड समान (0), ढलान बढ़ते हुए, ढाल बढ़ती हुई।

e m
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


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यहाँ a और b क भू मका: तीन म b = 0 है, अत: तीन मूल बदु से बँधी ह — शून्य y-अंतःखंड का यही अथ है।
बदलने के लए केवल a शेष है और वही झुकाव तय करता है: 1 इकाई क्षै तज चाल पर y = 4x 4 उठती है, y = 2x
2 और y = x 1। सभी ढलान धनात्मक ह, अत: तीन रै खक वृ द्ध दशाती ह और मूल बदु से पंखे क तरह फैलती ह,
कभी समानांतर नह होत ।

स्वयं जाँ चए: x = 3 पर ऊँचाइयाँ 12, 6 और 3 ह। मूल बदु के दाईं ओर सबसे अ धक ढलान वाली रेखा सदै व
सबसे ऊपर रहती है — और बाईं ओर सबसे नीचे।

प्र.1 (ii) नीचे दए गए रेखा समूह के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थ त म ‘a’ और ‘b’ क भू मका को व्यक्त क जए —
(ii) y = – 6x, y = – 3x, y = – x

रेखा प्रयुक्त बदु A (ढलान) B

y = −6x (0, 0), (1, −6) −6 0

y = −3x (0, 0), (1, −3) −3 0

y = −x (0, 0), (3, −3) −1 0

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6
y = −3x y
5

4

y = −x 3

2

1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1

-2

-3

-4

-5

-6
y = −6x

तीन मूल बदु से होकर बाएँ से दाएँ गरती ह; ढलान जतना अ धक ऋणात्मक, गरावट उतनी तेज़।

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यहाँ a और b क भू मका: फर b = 0 है, अत: तीन मूल बदु से जाती ह। सभी ढलान ऋणात्मक ह, अत: तीन
रै खक ास के चत्र ह: x को 1 बढ़ाने पर y क्रमश: 6, 3 और 1 घटता है। ढाल इस बात से तय होती है क a शून्य
से कतनी दूर है, उसके चह्न से नह — y = −6x तीन म सबसे अ धक ढाल वाली है और ठ क उतनी ही ढाल वाली
है जतनी y = 6x होती, केवल झुकाव दूसरी ओर है।

संकेत: इस समूह क (i) से तुलना क जए — y = −x, y = x का x-अक्ष म दपण प्र त बब है, और यही अन्य युग्म
के लए भी सत्य है।

प्र.1 (iii) नीचे दए गए रेखा समूह के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थ त म ‘a’ और ‘b’ क भू मका को व्यक्त क जए
— (iii) y = 5x, y = –5x

रेखा प्रयुक्त बदु A B

y = 5x (0, 0), (1, 5) 5 0

y = −5x (0, 0), (1, −5) −5 0

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6
y
y = −5x 5 y = 5x

4

3

2

1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1

-2

-3

-4

-5

-6

समान प रमाण और वपरीत चह्न वाले ढलान: दोन रेखाएँ मूल बदु पर कटती ह और x-अक्ष से समान कोण बनाती ह।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

यहाँ a और b क भू मका: दोन ढलान का प रमाण समान 5 है और चह्न वपरीत, जब क दोन के लए b = 0
. com
है। अत: दोन रेखाएँ समान ढाल वाली ह और अपने उभय नष्ठ बदु, मूल बदु, पर कटती ह। एक वृeद्ध
s mदशाती है,
m
दूसरी ास। y.c=o5x म x के
a
glयह युग्म y-अक्ष के
a
emमत है; y के ान पर −y रखने पर भी वही युग्म मलता है, अत: यह x-अक्ष के सापेक्ष भी सम मत है।
ान पर −x रखने पर y = −5x मलता है, जसका अथ है क
सापेक्षsसम
a
agl

co m
स्वयं जाँ चए: x = 2 पर रेखाएँ y = 10 और y = −10 पर ह — x-अक्ष से समान दूरी पर, वपरीत दशाओं म।

em . ag
g l as
a
नीचे दए गए रेखा समूह के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थ त म ‘a’ और ‘b’ क भू मका को व्यक्त क जए
m
प्र.1 (iv)

co
m.
— (iv) y = 3x – 1, y = 3x, y = 3x + 1

m as e
.co a g l
se m

l
g ाa
a रे ख प्रयुक्त बदु A B

m a s
.co agl
y = 3x − 1 (0, −1), (1, 2) 3 −1

se m
l a
y = 3x (0, 0), (1, 3) 3 0

y = 3x + 1
g
a(0, 1), (1, 4) 3 1

co m
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
a
se m
com g l a
m . a
ase
agl

co m
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se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


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6
y
5
y = 3x − 1
4
y = 3x
3

y = 3x + 21

1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1

-2

-3

-4

-5

-6

ढलान समान 3, अंतःखंड −1, 0 और 1: तीन समानांतर रेखाएँ, प्रत्येक पछली से 1 इकाई ऊपर।

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यहाँ a और b क भू मका: यह (i) का ठ क उल्टा प्रयोग है। अब a नयत है और b बदल रहा है, अत: झुकाव
बदल ही नह सकता — रेखाएँ समानांतर ह। कसी भी चुने हुए x पर y = 3x + 1 और y = 3x के बीच ऊध्व अंतर
(3x + 1) − 3x = 1 है, हर जगह वही, इस लए तीन रेखाएँ कभी पास नह आत । b बदलने से पूरी रेखा ऊध्व
दशा म खसकती है; a बदलने से वह घूमती।

संकेत: दो रेखाएँ ठ क तभी समानांतर होती ह जब उनके ढलान बराबर ह और अंतःखंड बराबर न ह । ढलान और
अंतःखंड दोन बराबर होने पर वे एक ही रेखा हो जाएँगी।

प्र.1 (v) नीचे दए गए रेखा समूह के आलेख बनाइए। प्रत्येक स्थ त म ‘a’ और ‘b’ क भू मका को व्यक्त क जए —
(v) y = –2x – 3, y = –2x, y = 2x + 3

रेखा प्रयुक्त बदु A B

y = −2x − 3 (0, −3), (−2, 1) −2 −3

y = −2x (0, 0), (2, −4) −2 0

y = 2x + 3 (0, 3), (1, 5) 2 3

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7
y
y = −2x − 3 6

5

4

3

2

1
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1

-2

-3

-4
y = 2x + 3 -5

-6 y = −2x

पहली दो समानांतर ह (ढलान −2); तीसरी का ढलान +2 है, अत: वह दोन को काटती है।

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

यहाँ a और b क भू मका: पहली दो रेखाओं का ढलान समान −2 है और वे केवल b म भन्न ह, अत: वे समानांतर
ह और उनके बीच ऊध्व अंतर सवत्र 3 है। तीसरी रेखा का ढलान +2 है, जो भन्न संख्या है, इस लए वह उनके
समानांतर नह है — वह दोन को ठ क एक-एक बार काटती है। 2x + 3 = −2x हल करने पर 4x = −3, x = −¾,
अत: वह y = −2x से (−¾, 1½) पर मलती है; और 2x + 3 = −2x − 3 से x = −½, अथात बदु (−½, 2)।

क्या आप जानते ह? समूह (i) से (iv) तक हर बार एक ही बात बदली गई थी। समूह (v) उन्ह जान-बूझकर
मलाता है, ता क आप समानांतरता का नणय छपे हुए समीकरण क बनावट से नह , ढलान क तुलना से कर।
य द तीसरी रेखा y = −2x + 3 होती तो तीन समानांतर होत — उस त म उत्तर का स्वरूप कैसा होता, इसक
तुलना क जए।

अं तम प्रश्नावली — पृष्ठ 36–39
अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय

प्र.1 एक बहुपद ल खए जसम चर x हो, घात 3 हो और x² पद का गुणांक − 7 हो।

उदाहरण के िलए: x³ − 7x² + 2x + 5

अन्य सही उत्तर: 4x³ − 7x², −x³ − 7x² + 1, 2x³ − 7x² − 3x।

दो शत पूरी होनी चा हए:
• घात 3 का अथ है क x³ का गुणांक अशून्य हो। केवल −7x² + 2x + 5 लखने पर दूसरी शत तो पूरी होती है,
कतु घात 2 रह जाती है, 3 नह ।
• x² पद ठ क −7x² होना चा हए, चह्न स हत।
शेष सब स्वतंत्र है: x वाला पद और अचर पद कोई भी संख्याएँ हो सकती ह, यहाँ तक क 0 भी। इसी लए उत्तर
अ तीय नह है — शत चार म से दो गुणांक न त करती ह और दो चुनने के लए छोड़ दे ती ह।

स्वयं जाँ चए: x³ − 7x² + 2x + 5 म क्रमश: गुणांक 1, −7, 2, 5 ह। पहला शून्य नह है (घात 3 ✓) और दूसरा
−7 है ✓।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
चर के दए गए मान से नीचे दए गए बहुपद के मान ात क जए — (i) 5x² − 3x + 7 य द x = 1 हो। (ii)
e
प्र.2

m l as
4t³ – t² + 6 य द t = a हो।

m .co a g
l a se
a g

(i) x = 1 प्र त ा पत क जए।

co m
em . ag
as
5(1)² − 3(1) + 7

=5−3+7 a g l

m
=9
co
e m.
c
(ii) t = a प्र त
o mा पत क जए। आगत एक अक्षर है, अत: नगत भी एक व्यंजक होगा। glas
. a
s
a4a³ em
a g l − a² + 6

= 4a³ − a² + 6
m a s
em
.co agl
a s
(ii) कोई चाल नह है: बहुपद का मान
a gl ात करने का अथ है चर के ान पर जो दया गया हो वही रखना —
संख्या, कोई दूसरा अक्षर, या पूरा व्यंजक भी। कह यह नह कहा गया क आगत संख्यात्मक ही हो। यहाँ प्रत्येक t के

c o m
ान पर a आ जाता है और आगे कोई अंकग णत संभव नह , अत: उत्तर सांके तक ही रहता है। यह भी ध्यान
द जए क (i) म x = 1 पर मान गुणांक का योग ही है, 5 + (−3) + 7 = 9, क्य क 1 कm .
s e प्रत्येक घात 1 होती है —

. com
यह याद रखने योग्य त्व रत जाँच है।
a gla
m
ase
agl यह क जए: (ii) वाले बहुपद का मान t = 2a पर ात क जए। 4(2a)³ − (2a)² + 6 = 32a³ − 4a² + 6

se m
com a
मलना चा हए — कोष्ठक अ नवाय ह।

. a g l
m
gl ase
प्र.3
a
य द हम कसी संख्या को 5/2 से गुणा करते ह और उसके गुणनफल म 2/3 का योग करते ह तो हम –7/12 प्राप्त
होता है। वह संख्या ात क जए।
co m
m .
m as e
.co
a g l
se mमान ली जए वह संख्या x है। कथन सीधे एक रै खक समीकरण म बदल जाता है।
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

com
m .
m ase
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कक्षा 9 ग णत अध्याय 2 रै खक बहुपद का प रचय AglaSem · NCERT Solutions

(5/2)x + 2/3 = −7/12

(5/2)x = −7/12 − 2/3

= −7/12 − 8/12

= −15/12 = −5/4

x = (−5/4) × (2/5)

x = −10/20 = −1/2

जाँच: (5/2)(−1/2) = −5/4; और −5/4 + 2/3 = −15/12 + 8/12 = −7/12। ✓

ल.स. 12 ही सही हर क्य है: −7/12 म से 2/3 घटाने के लए दोन का हर समान होना चा हए, और 12, 12 व 3
का लघुत्तम समापवत्य है। इसके बाद 5/2 से भाग दे ना उसके व्युत्क्रम 2/5 से गुणा करने के समान है — भन्न के
लए “गुणा को उलटने” का यही अथ है। बहुपद (5/2)x + 2/3 रै खक है, अत: इस समीकरण का ठ क एक हल
है।

संकेत: दूसरा तरीका यह है क आरंभ म ही सभी भन्न हटा द जाएँ: पूरे समीकरण को 12 से गुणा क जए तो 30x
+ 8 = −7, अत: 30x = −15 और x = −½। उत्तर वही, बीच म भन्न का काम नह ।

प्र.4 कोई धनात्मक संख्या कसी अन्य संख्या क 5 गुना है। य द दोन संख्याओं म 21 जोड़ दया जाए तो प्राप्त दोन
संख्याओं म से एक संख्या दूसरी संख्या क दोगुनी है। दोन मूल संख्याएँ ात क जए।

मान ली जए छोट संख्या x है। तब दूसरी 5x है। 21 जोड़ने पर वे x + 21 और 5x + 21 हो जाती ह।
इनम 5x + 21 बड़ी है, अत: वही दूसरी क दोगुनी होगी।

5x + 21 = 2(x + 21)

5x + 21 = 2x + 42

3x = 21

x=7

दोन संख्याएँ 7 और 35 ह।
जाँच: 21 जोड़ने पर 28 और 56 मलते ह, तथा 56 = 2 × 28। ✓

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दूसरी स्थ त क्य अस्वीकृत है: “एक संख्या दूसरी क दोगुनी” म दो संभावनाएँ ह और दोन जाँचनी चा हए। x +
21 = 2(5x + 21) लेने पर x + 21 = 10x + 42, अत: 9x = −21 और x = −7/3। यह धनात्मक संख्या नह है,
जब क प्रश्न म संख्या धनात्मक कही गई है, अत: यह शाखा छोड़ द जाती है। दोन शाखाएँ जाँचकर एक को
अस्वीकार करना ही ईमानदार हल है — उत्तर अ तीय तो है, कतु धनात्मकता क शत लगाने के बाद ही।

स्वयं जाँ चए: दोन संख्याओं म वही 21 जोड़ने से अनुपात 5 : 1 से घटकर 2 : 1 हो जाता है, इसी लए x का एक
ही मान उसे ठ क 2 : 1 पर लाता है।

प्र.5 य द आपके पास ₹800 ह और आप प्र तमाह ₹250 क बचत करते ह तो वह धनरा श ात क जए, जो आपके
पास होगी — (i) 6 महीन के प ात (ii) 2 वष के प ात। इसे रै खक प्र तरूप के रूप म व्यक्त क जए।

मान ली जए n महीन क संख्या है। धनरा श A = 800 + 250n है।

(i) n = 6: 800 + 250(6) = 800 + 1500 = ₹2300

(ii) 2 वष = 24 महीने , अत: n = 24:

800 + 250(24) = 800 + 6000 = ₹6800

रैिखक पितरूप: A = ₹(800 + 250n)

महीना N 0 1 2 3 6 12 24

धनरािश (₹) 800 1050 1300 1550 2300 3800 6800

यह रै खक प्र तरूप क्य है: क्रमागत रा शय का अंतर अचर ₹250 है, अथात प्रत्येक n के लए A(n + 1) −
A(n) = 250। ₹800 वह मान है जो n = 0 पर है — अचर पद, अथात y-अंतःखंड — और 250 ढलान है। अंतर
कभी नह बदलता, इसी लए ₹250 चौबीस बार जोड़ने के ान पर हम सीधे n = 24 पर पहुँच सकते ह।

संकेत: सबसे सामान्य भूल “2 वष” के लए n = 2 लेना है। बचत मा सक है, अत: n क इकाई महीने ही होनी
चा हए: 2 वष = 24 महीने।

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प्र.6 एक दो-अंक य संख्या के अंक के मध्य का अंतर 3 है। य द संख्या के दोन अंक को परस्पर प रव तत कर दया
जाए और प्राप्त संख्या को मूल संख्या म जोड़ दया जाए तो हम योगफल 143 प्राप्त होता है। दोन संख्याएँ ात
क जए।

मान ली जए दहाई का अंक t और इकाई का अंक u है।

मूल संख्या = 10t + u

अंक बदलने पर संख्या = 10u + t

योगफल = 11t + 11u = 11(t + u) = 143

t + u = 143 ÷ 11 = 13

साथ ही अंक का अंतर 3 है, अत: दोन अंक का योग 13 और अंतर 3 है —

अंक = (13 + 3)/2 = 8 और (13 − 3)/2 = 5

दोन संख्याएँ 85 और 58 ह।
जाँच: 85 + 58 = 143 ✓ और 8 − 5 = 3। ✓

योगफल सदै व 11 का गुणज क्य होता है: कसी दो-अंक य संख्या म उसक उलट संख्या जोड़ने पर (10t + u)
+ (10u + t) = 11(t + u) मलता है। प्रत्येक अंक एक बार दहाई के रूप म और एक बार इकाई के रूप म गना
जाता है, अत: वह अपने मान का 11 गुना योगदान दे ता है। इसी लए 143 — जो 11 × 13 है — यहाँ संभव है; य द
योग 145 होता तो कोई भी दो-अंक य संख्या उसे नह दे सकती थी। ध्यान द जए क योगफल केवल t + u पर
नभर करता है, अत: वह अकेला 85 और 58 म भेद नह कर सकता; “अंतर 3” वाली शत अंक का युग्म न त
कर दे ती है और दोन क्रम उत्तर ह।

स्वयं जाँ चए: जनका योग 13 हो वे अंक-युग्म ह (4, 9), (5, 8), (6, 7)। इनम केवल (5, 8) का अंतर 3 है, अत:
85 / 58 ही एकमात्र उत्तर है।

प्र.7 नीचे दए गए समीकरण के आलेख बनाइए और उनके ढलान व y-अंतःखंड क पहचान क जए। साथ ही उन
बदुओं के नदशांक ात क जए, जहाँ ये रेखाएँ y-अक्ष को प्र त े द करती ह। (i) y = –3x + 4 (ii) 2y = 4x
+ 7 (iii) 5y = 6x – 10 (iv) 3y = 6x – 11. क्या इनम से कोई भी रेखा परस्पर समानांतर है?

पहले प्रत्येक समीकरण को y के गुणांक से भाग दे कर y = ax + b के रूप म लाइए। तब a ढलान है, b y-अंतःखंड, और रेखा y-
अक्ष को (0, b) पर काटती है।

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समीकरण Y = AX + B रूप म ढलान A Y-अंतःखंड B Y-अक्ष पर बदु

(i) y = −3x + 4 y = −3x + 4 −3 4 (0, 4)

(ii) 2y = 4x + 7 y = 2x + 7/2 2 7/2 = 3.5 (0, 3.5)

(iii) 5y = 6x − 10 y = (6/5)x − 2 6/5 = 1.2 −2 (0, −2)

(iv) 3y = 6x − 11 y = 2x − 11/3 2 −11/3 (0, −11/3)

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