NCERT Solutions Class 9 Maths Chapter 4 बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा9

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 4: बीजीय सवस मकाओं का
अन्वेषण

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत मंजरी

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

68 – 91 20 45 हन्द

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 9 · ग णत · ग णत मं ज री

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 4: बीजीय सवस मकाओं का
अन्वेषण
सवस मका वह समीकरण है जो उसम आए चर के प्रत्येक मान के लए सत्य होता है। यह अध्याय मानक सवस मकाओं को दो बार गढ़ता है — पहले
वग , आयत और घन को काटकर, जससे आप दे ख सक क प्रत्येक सवस मका सत्य क्य है, और फर वतरण गुणधम से। इसके बाद इन्ह
सवस मकाओं को उलटकर व्यंजक का गुणनखंडन, संख्याओं का शीघ्र वग और प रमेय व्यंजक का सरलीकरण कया जाता है।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत मंजरी (कक्षा 9) 68 – 91

खं ड प्रश्न

20 45

माध्यम

हन्द

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 69
4.1 भू मका

प्र.1 इस प्रकार के और अ धक प्र तरूप खोजने का प्रयास क जए। उदाहरण के लए, आप चार क्रमागत वग लेकर
दे ख सकते ह क क्या आप कोई प्र तरूप ढूँ ढ़ पाते ह।

चार क्रमागत वग संख्याएँ ली जए और बाहरी दो के योग म से भीतरी दो का योग घटाइए। उत्तर सदै व 4 आता है।

चार क्रमागत वग (बाहरी योग) − (भीतरी योग) प रणाम

1, 4, 9, 16 (1 + 16) − (4 + 9) = 17 − 13 4

4, 9, 16, 25 (4 + 25) − (9 + 16) = 29 − 25 4

25, 36, 49, 64 (25 + 64) − (36 + 49) = 89 − 85 4

अब इसे सद्ध क जए। चार क्रमागत संख्याएँ (n − 1), n, (n + 1), (n + 2) के रूप म ली जा सकती ह।

(n − 1)² + (n + 2)² − [ n² + (n + 1)² ]

= (n² − 2n + 1) + (n² + 4n + 4) − n² − (n² + 2n + 1)

= 2n² + 2n + 5 − 2n² − 2n − 1

= 4, चाहे n कोई भी हो

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n वाले सभी पद कट जाते ह, इस लए उत्तर इस बात पर नभर नह कर सकता क आपने कौन-से चार वग चुने।

ऐसा क्य होता है: क्रमागत वग के बीच का अंतर एक न त दर से बढ़ता है। चूँ क (k + 1)² − k² = 2k + 1 है,
इस लए क्रमागत अंतर 2n − 1, 2n + 1, 2n + 3 ह — प्रत्येक अपने पछले से 2 अ धक। अध्याय का तीन वग
वाला प्र तरूप यही र अंतर 2 है। चार वग म आप अं तम अंतर क तुलना पहले अंतर से करते ह, और उनम 2
के दो पग का फ़क है, अथात 4।

यह क जए: यही प्रयास घन के साथ क जए। चार क्रमागत घन लेकर (चौथा − तीसरा) − 2(तीसरा − दूसरा) +
(दूसरा − पहला) नका लए। उत्तर सदै व 6 आएगा — और 6 = 3! होना संयोग नह है।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 71
4.2 सवस मकाओं का दृश्यांकन

प्र.1 य द (a + b)² < a² + b² है तो a और b के वषय म आप क्या कह सकते ह?

सब कुछ एक ही पद तय करता है। घटाइए:

(a + b)² − (a² + b²) = (a² + 2ab + b²) − a² − b² = 2ab

अत: (a + b)² < a² + b² ठ क तभी होगा जब 2ab < 0 हो, अथात

ab < 0 — a और b के िच ह्न िवपरीत हों (एक धनात्मक, एक ऋणात्मक, कोई भी शून्य नही ं)

जाँच: a = 10, b = −2 लेने पर (a + b)² = 8² = 64 तथा a² + b² = 100 + 4 = 104, और वास्तव म 64 < 104 है।

ऐसा क्य होता है: दोन व्यंजक म केवल मध्य पद 2ab का ही अंतर है, और कुछ नह । a² तथा b² कभी
ऋणात्मक नह होते, इस लए वे तुलना का नणय नह कर सकते — नणय केवल गुणनफल ab के चह्न से होता है।
पुस्तक का संकेत यही है: नणायक पद ढूँ ढ़ने के लए वस्तार का उपयोग क जए।

प्र.2 य द (a + b)² > a² + b² है तो a और b के वषय म आप क्या कह सकते ह?

वही अंतर, वपरीत चह्न।

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(a + b)² − (a² + b²) = 2ab > 0 ⇒ ab > 0

⇒ a और b के िच ह्न समान हों — दोनों धनात्मक अथवा दोनों ऋणात्मक

दोन तयाँ जाँ चए: a = 10, b = 2 से 144 > 104। तथा a = −2, b = −3 से (−5)² = 25 जब क a² + b² = 4 + 9 = 13,
अथात 25 > 13।

संकेत: पुस्तक के उदाहरण म दोन संख्याएँ धनात्मक थ , इसी लए (a + b)² बड़ा नकला। दो ऋणात्मक संख्याओं
के साथ भी यही होता है, क्य क उनका गुणनफल तब भी धनात्मक रहता है।

प्र.3 कब (a + b)² = a² + b² होगा?

(a + b)² = a² + b² ⇔ 2ab = 0 ⇔ ab = 0

⇔ a = 0 अथ वा b = 0 (अथवा दोनों)

उदाहरण के लए a = 7, b = 0: (7 + 0)² = 49 तथा 7² + 0² = 49।

ऐसा क्य होता है: दो वास्त वक संख्याओं का गुणनफल शून्य तभी होता है जब उनम से कम-से-कम एक शून्य हो
— कोई तीसरी संभावना नह है। अत: (a + b)² = a² + b² एक सवस मका नह है; यह एक साधारण समीकरण है
जो केवल a = 0 तथा b = 0 पर सत्य होता है। यही अंतर यह अनुभाग स्पष्ट कर रहा है। (a + b)² = a² + 2ab +
b² जैसी सवस मका सवत्र सत्य है, जब क (a + b)² = a² + b² जैसा समीकरण केवल वशेष मान पर।

प्रश्नावली 4.1 — पृष्ठ 71–72
4.2 सवस मकाओं का दृश्यांकन

प्र.1 सवस मका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके नम्न ल खत का वस्तार क जए — (i) (7x + 4y)²
(ii) (7x/5 + 3y/2)² (iii) (2.5p + 1.5q)² (iv) (3s/4 + 8t)² (v) (x + 1/2y)² (vi) (1/x + 1/y)²

प्रत्येक भाग म पहले a और b पहचा नए, फर बना हाथ से गुणा कए सीधे a² + 2ab + b² लख द जए।
(i) (7x + 4y)² — यहाँ a = 7x, b = 4y।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
(7x)² + 2(7x)(4y) + (4y)²
m l as
.co
= 49x² + 56xy + 16y²
a g
a s em
l + 3y/2)² — a = 7x/5, b = 3y/2।
ag(7x/5
(ii)

co m
(7x/5)² + 2(7x/5)(3y/2) + (3y/2)²
e m . ag
g l as
a
= 49x²/25 + (42/10)xy + 9y²/4

= 49x²/25 + 21xy/5 + 9y²/4

co m
em.
m as
(iii) (2.5p + 1.5q)² — a = 2.5p, b = 1.5q।

.co a g l
a s em + 2(2.5p)(1.5q) + (1.5q)²
a gl (2.5p)²

s
= 6.25p² + 7.5pq + 2.25q²
m a
(िभन्न रूप में: 25p²/4 + 15pq/2 + 9q²/4)
m .co agl
l a se
(iv) (3s/4 + 8t)² — a = 3s/4, b = 8t। ag

co m
m .
e
(3s/4)² + 2(3s/4)(8t) + (8t)²
m l as
m .co
= 9s²/16 + 12st + 64t²
a g
l a se
ag (v) (x + 1/2y)² — a = x, b = 1/(2y)।

se m
com g l a
m . a
ase
x² + 2(x)(1/2y) + (1/2y)²

= x² + x/y + 1/(4y²)
agl

co m
.
(vi) (1/x + 1/y)² — a = 1/x, b = 1/y।

em
com + 2(1/x)(1/y) + (1/y)² g l as
m .(1/x)² a
l a se
ag = 1/x² + 2/(xy) + 1/y²
.c
s e m
m a
m . co
भन्न और 1/x पर भी सवस मका क्य लागू होती है: सवस मका अपने चर के सभी मान के लए सत्य होती
agl
l a se
है। अत: a और b का पूण संख्या होना आवश्यक नह , न ही उनका हर म चर से र हत होना — कोई भी प रभा षत
g (v) म इसका अथ है y ≠ 0, तथा भाग (vi) म x ≠ 0 और y ≠ 0।
व्यंजक रखा जा सकता है।aभाग

co m
m .
m ase
.co


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स्वयं जाँ चए: (vi) म x = 1, y = 1 र खए। बायाँ पक्ष (1 + 1)² = 4 तथा दायाँ पक्ष 1 + 2 + 1 = 4। एक
सु वचा रत प्र त ापन अ धकांश भूल पकड़ लेता है।

प्र.2 उपयुक्त सवस मका का उपयोग करते हुए नम्न ल खत का मान ात क जए — (i) (64)² (ii) (105)² (iii)
(205)²

प्रत्येक संख्या को इस प्रकार वभा जत क जए क एक भाग पूण दहाई/सैकड़ा हो और दूसरा छोटा।
(i) 64² = (60 + 4)²

= 60² + 2 × 60 × 4 + 4²

= 3600 + 480 + 16

= 4096

(ii) 105² = (100 + 5)²

= 100² + 2 × 100 × 5 + 5²

= 10000 + 1000 + 25

= 11025

(iii) 205² = (200 + 5)²

= 200² + 2 × 200 × 5 + 5²

= 40000 + 2000 + 25

= 42025

यह द घ गुणा से शीघ्र क्य है: a², 2ab तथा b² तीन भाग तब सरल होते ह जब a दस का गुणज हो — a² और
2ab शून्य पर समाप्त होते ह, इस लए वास्त वक गणना केवल छोटे वग b² क रह जाती है। आप एक क ठन गुणा
के बदले तीन सरल गुणा कर रहे ह।

संकेत: वह वभाजन चु नए जसम b छोटा रहे। 64 को (70 − 6)² भी लखा जा सकता है, परंतु 60 + 4 म b = 4
रहता है और यह सरल है।

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सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 73
4.3 सवस मकाओं का उपयोग करके बीजीय व्यंजक का गुणनखंड करना

प्र.1 य द हम (a + b)² = a² + 2ab + b² म b के ान पर − b रख तो क्या होगा?

बना कसी अ त रक्त प रश्रम के दूसरी मानक सवस मका प्राप्त हो जाती है।

(a + (−b))² = a² + 2a(−b) + (−b)²

↓ a + (−b) = a − b, 2a(−b) = −2ab, (−b)² = +b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

केवल मध्य पद का चह्न बदलता है, क्य क केवल उसी पद म b वषम बार आया है।

यह प्र त ापन मान्य क्य है: सवस मका शब्द का पूरा अथ यही है। (a + b)² = a² + 2ab + b², b के प्रत्येक
मान के लए सत्य है — अत: तब भी सत्य है जब b के ान पर आई संख्या −b हो। यहाँ कुछ भी मान नह लया
जा रहा; हम केवल सवस मका को एक भन्न मान पर पढ़ रहे ह।

पुस्तक इसका चत्र भी दे ती है। a भुजा वाला वग ली जए और भुजा को (a − b) तथा b म बाँ टए:

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a−b b

a−b (a − b)² b(a−b)

b ab

a भुजा वाला वग। नीचे क प ab तथा दाईं ओर का आयत b(a − b) हटाने पर शेष वग (a − b)² बचता है।

पूरे वग का क्षेत्रफल = a²

नीचे की प ी का क्षेत्रफल = ab

दाईं ओर के आयत का क्षेत्रफल = b(a − b)

अत: (a − b)² = a² − ab − b(a − b)

= a² − ab − ba + b²

= a² − 2ab + b²

क्या आप जानते ह? दोन प याँ b × b के कोने पर एक-दूसरे को ढकती ह। इसी लए ab और ab के ान पर
ab और b(a − b) घटाना ही +b² को वापस ले आता है। चत्र वही हसाब कर रहा है जो बीजग णत करता है।

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प्रश्नावली 4.2 — पृष्ठ 74–75
4.3 सवस मकाओं का उपयोग करके बीजीय व्यंजक का गुणनखंड करना

प्र.1 पूणत: गुणनखंडन क जए — (i) 9x² + 24xy + 16y² (ii) 4s² + 20st + 25t² (iii) 49x² + 28xy + 4y²
(iv) 64p² + (32/3)pq + (4/9)q² *(v) 3a² + 4ab + (4/3)b² *(vi) (9/5)s² + 6sv + 5v² (संकेत
— उदाहरण 7 म 2 को एक साव गुणनखंड के रूप म प्राप्त कया गया था। क्या इसी व ध का उपयोग ऊपर दए
गए प्रश्न (v) और (vi) म कया जा सकता है?)

प्रत्येक भाग म पू छए: क्या पहला पद एक वग है, क्या अं तम पद एक वग है, और क्या मध्य पद उन दोन वगमूल के गुणनफल का
दोगुना है? य द हाँ, तो व्यंजक पूण वग है।
(i) 9x² + 24xy + 16y²

9x² = (3x)², 16y² = (4y)², 2(3x)(4y) = 24xy ✓

= (3x + 4y)²

(ii) 4s² + 20st + 25t²

4s² = (2s)², 25t² = (5t)², 2(2s)(5t) = 20st ✓

= (2s + 5t)²

(iii) 49x² + 28xy + 4y²

49x² = (7x)², 4y² = (2y)², 2(7x)(2y) = 28xy ✓

= (7x + 2y)²

(iv) 64p² + (32/3)pq + (4/9)q²

64p² = (8p)², (4/9)q² = (2q/3)², 2(8p)(2q/3) = 32pq/3 ✓

= (8p + 2q/3)² — अथवा िभन्न हटाकर (4/9)(12p + q)²

*(v) 3a² + 4ab + (4/3)b² — यहाँ 3a² कसी सरल पद का वग नह है, अत: संकेत के अनुसार पहले साव गुणनखंड बाहर
नका लए। 1/3 बाहर ली जए:

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
3a² + 4ab + (4/3)b² = (1/3)(9a² + 12ab + 4b²)
m l as
.co
9a² = (3a)², 4b² = (2b)², 2(3a)(2b) = 12ab ✓
m a g
l a se
g
= (1/3)(3a + 2b)²
a

co m
*(vi) (9/5)s² + 6sv + 5v² — 1/5 बाहर ली जए:

e m . ag
g l as
a
(9/5)s² + 6sv + 5v² = (1/5)(9s² + 30sv + 25v²)

9s² = (3s)², 25v² = (5v)², 2(3s)(5v) = 30sv ✓

co m
m.
= (1/5)(3s + 5v)²

m ase
.co a g l
a s emगुणनखंड पहले क्य नकालना पड़ता है: उदाहरण 7 म पुस्तक के सामने 50p² था, जसका वगमूल √50
gl p है — एक करणी, जसे a² + 2ab + b² सुगमता से नह सँभाल पाती। 2 बाहर नकालने पर 50p² बदलकर
साव
a
s
25p² हो गया, जो सचमुच एक वग है। भाग (v) और (vi) उसी बात का उलटा रूप ह: 3a² तथा (9/5)s² प रमेय
m a
.co agl
व्यंजक के वग नह ह, परंतु भीतर क्रमश: 3 और 5 से गुणा करने पर वे वग बन जाते ह। बाहर नकाला जाने वाला

se m
a
गुणनखंड ठ क वही है जो हर हटाकर गुणांक को पूण वग बना दे ।

ag l

m
स्वयं जाँ चए: (v) म a = b = 1 र खए। मूल व्यंजक 3 + 4 + 4/3 = 25/3 दे ता है; उत्तर (1/3)(3 + 2)² =

. co
m
25/3 दे ता है। ✓

m as e
.co a g l
a s em
agl प्र.2 सवस मका (a − b)² = a² − 2ab + b² का उपयोग करके नम्न ल खत के मान ात क जए — (i) (79)² (ii)
(193)² (iii) (299)²
se m
com g l a
m . a
ase

agl
प्रत्येक संख्या कसी पूण सैकड़े/दहाई से थोड़ी कम है, अत: जोड़ने के ान पर घटाइए।
(i) 79² = (80 − 1)²

co m
m .
m as e
.co l
= 80² − 2 × 80 × 1 + 1²
a g
s e m = 6400 − 160 + 1 = 6241
agla
.c
(ii) 193² = (200 − 7)²
s e m
m a
e m . co agl
= 200² − 2 × 200 × 7 + 7²
g l as
= 40000 − 2800 + 49 = 37249 a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 9 of 57

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(iii) 299² = (300 − 1)²

= 300² − 2 × 300 × 1 + 1²

= 90000 − 600 + 1 = 89401

यहाँ घटाव क्य चुना गया: 79 = 80 − 1 म b = 1 रह जाता है, जब क 79 = 70 + 9 लेने पर b = 9 हो जाता
और b² बहुत बड़ा हो जाता। दोन सवस मकाओं के लए नयम एक ही है — नकटतम पूण संख्या तक जाइए, चह्न
स्वयं सँभल जाएगा।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 76

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4.4 कुछ अन्य सवस मकाएँ

प्र.1 चत्र 4.4 म दशाए गए वग और आयत को च ह्नत क जए, जससे यह सवस मका (a + b + c)² = a² + b² +
c² + 2ab + 2bc + 2ca को दशाए।

a b c

a

b

c

चत्र 4.4, पृष्ठ 76 — भुजा (a + b + c) वाला वग, नौ भाग म वभा जत; भाग पर चह्न नह लगे ह।

बड़े वग क भुजा क्षै तज और ऊध्वाधर दोन दशाओं म a, b तथा c म बँट है, अत: नौ भाग के क्षेत्रफल (पं क्त क ऊँचाई) ×
(स्तंभ क चौड़ाई) ह:

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a b c

a a² ab ac

b ab b² bc

c ac bc c²

a + b + c भुजा वाला वग, दोन दशाओं म वभा जत। वकण पर तीन वग a², b² तथा c² दे ते ह; छह आयत जोड़ म मलकर 2ab,
2bc तथा 2ca बनाते ह।

स्तंभ A स्तंभ B स्तंभ C

पंिक्त a a² ab ac

पंिक्त b ab b² bc

पंिक्त c ac bc c²

कु ल क्षेत्रफल = a² + b² + c² + (ab + ab) + (bc + bc) + (ac + ac)

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

और यही क्षेत्रफल (a + b + c)² भी है, क्योंिक वग की भुजा a + b + c है।

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आयत जोड़ म क्य आते ह: पं क्त a–स्तंभ b वाला टु कड़ा और पं क्त b–स्तंभ a वाला टु कड़ा चत्र म अलग-
अलग आयत ह, परंतु दोन का क्षेत्रफल ab ही है — एक लंबा ab है, दूसरा चौड़ा। जाली अपने मुख्य वकण के
सापेक्ष सम मत है, अत: वकण से बाहर का प्रत्येक क्षेत्रफल ठ क दो बार आता है। यही ज्या मतीय कारण है क
प्रत्येक म श्रत पद के साथ 2 लगा है, और इसी लए सवस मका म ab, bc, ca नह ब ल्क 2ab, 2bc, 2ca आते
ह।

संकेत: यही चत्र n प य म बनाने पर (a₁ + a₂ + … + aₙ)² = सभी aᵢ² का योग + i < j वाले सभी गुणनफल
aᵢaⱼ के योग का दोगुना दे ता है। तीन चर इसका पहला रोचक उदाहरण मात्र ह।

प्रश्नावली 4.3 — पृष्ठ 76–77
4.4 कुछ अन्य सवस मकाएँ

प्र.1 ऊपर द गई सवस मकाओं म से कसी एक सवस मका का उपयोग करते हुए नम्न ल खत वग ात क जए।
सु न त क जए क इनम से कौन-सी सवस मका का उपयोग गणना को सरल बनाता है — (i) 117² (ii) 78²
(iii) 198² (iv) 214² (v) 1104² (vi) 1120²

वही सवस मका चु नए जससे टु कड़े छोटे रह: संख्या पूण संख्या के नकट हो तो दो पद वाली, अन्यथा तीन पद वाली।
(i) 117² — (a + b + c)² से, 100 + 10 + 7।

= 100² + 10² + 7² + 2(100)(10) + 2(10)(7) + 2(7)(100)

= 10000 + 100 + 49 + 2000 + 140 + 1400

= 13689

(ii) 78² — (a − b)² से, 80 − 2।

= 80² − 2 × 80 × 2 + 2² = 6400 − 320 + 4 = 6084

(iii) 198² — (a − b)² से, 200 − 2।

= 40000 − 800 + 4 = 39204

(iv) 214² — (a + b + c)² से, 200 + 10 + 4।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
= 40000 + 100 + 16 + 2(200)(10) + 2(10)(4) + 2(4)(200)
m l as
.co
= 40000 + 100 + 16 + 4000 + 80 + 1600 = 45796
a g
a s em
l — (a + b)² से, 1100 + 4।
ag1104²
(v)

co m
= 1100² + 2 × 1100 × 4 + 4² = 1210000 + 8800 + 16 = 1218816
e m . ag
g l as
(vi) 1120² — (a + b)² से, 1100 + 20। a

co m
e m.
as
= 1210000 + 2 × 1100 × 20 + 400 = 1210000 + 44000 + 400 = 1254400
m l
.co a g
a s em सवस मका और क्य : जब संख्या कसी पूण संख्या के ठ क पास हो तो दो पद का वभाजन पयाप्त है
a gl कौन-सी
— 78, 198, 1104, 1120 सभी ऐसे ह। परंतु 117 और 214 कसी पूण संख्या से दो अंक दूर ह, अत: दो पद म

m a s
agl
बाँटने पर b = 17 या b = 14 रह जाता और b² नकालना मूल प्रश्न जतना ही क ठन होता। सैकड़ा + दहाई +

m .co
se
इकाई म बाँटने पर छह भाग एक-अंक य गुणा बन जाते ह। आवश्यक पद क संख्या शून्येतर अंक क संख्या के

g l a
बराबर होती है, इसी लए तीन-अंक य संख्या के लए तीन पद वाली सवस मका स्वाभा वक है।
a
o m
। .c
स्वयं जाँ चए: 1120² को (112 × 10)² = 112² × 100 = 12544 × 100 से भी कया जा सकता है। उत्तर वही
है, और यह याद दलाता है क दस क घात पहले बाहर नकाल लेने से बहुत श्रम बचता हैm
o m l a se
.c a g
m
ase
agl उपयुक्त सवस मकाओं का उपयोग करके गुणनखंड क जए — (i) 16y² − 24y + 9 (ii) (9/4)s² + 6st +
m
प्र.2

a se
com
4t² (iii) m²/9 + mk/3 + k²/4 + 3nk + 2mn + 9n² (iv) p²/16 − 2 + 16/p² (v) 9a² + 4b² + c²

. a g l
m
− 12ab + 6ac − 4bc

ase
उत्तर agl
m
(i) 16y² − 24y + 9 — मध्य म ऋण चह्न वाला वग।

. co
em
m l as
.co g
16y² = (4y)², 9 = 3², 2(4y)(3) = 24y ✓
m = (4y − 3)² a
l a se
ag
.c
s e m
m a
(ii) (9/4)s² + 6st + 4t²

e m . co agl
g l as
a

com
m .
m ase
.co


a g l Page 14 of 57

कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

(9/4)s² = ((3/2)s)², 4t² = (2t)², 2((3/2)s)(2t) = 6st ✓

= ((3/2)s + 2t)² — अथ त (1/4)(3s + 4t)²

(iii) m²/9 + mk/3 + k²/4 + 3nk + 2mn + 9n² — छह पद ह, जनम तीन वग ह, अत: (a + b + c)² आज़माइए।

m²/9 = (m/3)², k²/4 = (k/2)², 9n² = (3n)²

a = m/3, b = k/2, c = 3n लेक र तीनों िमि त पद जाँिचए:

2ab = 2(m/3)(k/2) = mk/3 ✓
2bc = 2(k/2)(3n) = 3kn ✓

2ca = 2(3n)(m/3) = 2mn ✓

= (m/3 + k/2 + 3n)² — अथ त (1/36)(2m + 3k + 18n)²

(iv) p²/16 − 2 + 16/p² — मध्य पद ही संकेत है: 2(p/4)(4/p) = 2।

p²/16 = (p/4)², 16/p² = (4/p)², 2(p/4)(4/p) = 2 ✓

= (p/4 − 4/p)² — अथ त (p² − 16)²/(16p²), अथ त (p − 4)²(p + 4)²/(16p²)

(v) 9a² + 4b² + c² − 12ab + 6ac − 4bc — तीन म से दो म श्रत पद ऋणात्मक ह, अत: कसी एक चर पर ऋण चह्न होना
चा हए।

a′ = 3a, b′ = −2b, c′ = c लेक र दे िखए:

2a′b′ = 2(3a)(−2b) = −12ab ✓

2b′c′ = 2(−2b)(c) = −4bc ✓

2c′a′ = 2(c)(3a) = 6ac ✓

= (3a − 2b + c)²

ऋण चह्न कहाँ लगाएँ: (a + b + c)² के तीन म श्रत पद 2ab, 2bc, 2ca ह। ठ क एक चर का चह्न बदलने पर
उनम से ठ क दो पद बदलते ह — वही दो जनम वह चर आता है। अत: दो ऋण और एक धन का प्र तरूप बताता है
क एक ही चर ऋणात्मक है; तीन ऋण असंभव ह; और सब धन का अथ है कोई चर ऋणात्मक नह (अथवा सभी)।
(v) म ऋणात्मक पद वही ह जनम b है, अत: b ही ऋणात्मक लया जाता है।

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 सवस मका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca का उपयोग करके नम्न ल खत का वस्तार
क जए — (i) (p + 3q + 7r)² (ii) (3x − 2y + 4z)²

(i) (p + 3q + 7r)² — a = p, b = 3q, c = 7r।

= p² + (3q)² + (7r)² + 2(p)(3q) + 2(3q)(7r) + 2(7r)(p)

= p² + 9q² + 49r² + 6pq + 42qr + 14pr

(ii) (3x − 2y + 4z)² — a = 3x, b = −2y, c = 4z ली जए और चह्न कोष्ठक के भीतर ही रहने द जए।

= (3x)² + (−2y)² + (4z)² + 2(3x)(−2y) + 2(−2y)(4z) + 2(4z)(3x)

= 9x² + 4y² + 16z² − 12xy − 16yz + 24zx

संकेत: ध्यान द जए क भीतर कतने भी ऋण चह्न ह , वग वाले पद कभी ऋणात्मक नह होते — (−2y)² =
+4y²। केवल म श्रत पद ही ऋणात्मक हो सकते ह।

प्र.4 क्या यह एक सवस मका है? (a + b − c)² + (a − b + c)² + (a − b − c)² = 2a² + 2b² + 2c²

नह , यह सवस मका नह है। एक ही प्र त ापन इसे तय कर दे ता है, और वस्तार बता दे ता है क कमी कहाँ है।

a = b = c = 1 लीिजए।

बायाँ पक्ष = (1 + 1 − 1)² + (1 − 1 + 1)² + (1 − 1 − 1)² = 1 + 1 + 1 = 3

दायाँ पक्ष = 2 + 2 + 2 = 6

3 ≠ 6, अत: यह समीकरण एक साधारण-से िबंद ु पर ही असत्य हो जाता है।

तीन वग का वस्तार बाएँ पक्ष का वास्त वक मान बता दे ता है:

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

(a + b − c)² = a² + b² + c² + 2ab − 2bc − 2ca

(a − b + c)² = a² + b² + c² − 2ab − 2bc + 2ca

(a − b − c)² = a² + b² + c² − 2ab + 2bc − 2ca

योग = 3a² + 3b² + 3c² − 2ab − 2bc − 2ca

यह 2a² + 2b² + 2c² नह है, अत: यह समीकरण केवल उन्ह a, b, c के लए सत्य है जनके लए a² + b² + c² = 2ab + 2bc
+ 2ca हो — अथात यह समीकरण है, सवस मका नह ।

चौथा पद जो छू ट गया है: जैसे ही (a + b + c)² को भी जोड़ दया जाए, कथन सत्य हो जाता है। उसे जोड़ने पर
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca और मलता है, और अब प्रत्येक म श्रत पद कट जाता है:

(a + b + c)² + (a + b − c)² + (a − b + c)² + (a − b − c)² = 4a² + 4b² + 4c²

चार चह्न-प्र तरूप ऐसे जोड़े बनाते ह जो हर म श्रत पद को काट दे ते ह, और यह वास्तव म एक सवस मका है — यही पृष्ठ 78 के
चत्र 4.6 म दशाई गई है।

संकेत: कसी क थत सवस मका को असत्य सद्ध करने के लए एक प्र त-उदाहरण पयाप्त है और वही सबसे पहले
आज़माना चा हए। सत्य सद्ध करने के लए वस्तार करना अ नवाय है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 77

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

4.4 कुछ अन्य सवस मकाएँ

प्र.1 नम्न ल खत चत्र ( चत्र 4.5) को दे खए। सवस मका a² = (a + b) (a − b) + b² को स्वयं के लए सद्ध
क जए।

a b

a

b

चत्र 4.5, पृष्ठ 77 — वक्र तीर दशाता है क एक टु कड़ा अपने ान से बदुदार ान पर ले जाया जा रहा है।

यह चत्र ‘काटो और खसकाओ’ वाली उपप त्त है। a भुजा वाले वग से आरंभ क जए और नीचे से b चौड़ाई क प काट ली जए।

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ase
कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
com as
a a+b
. a g l
m
ase
agl

b(a−b)
a(a − b) a−b a(a − b)
o m
. c ag
a

s em
कािटए और िखसकाइए
a
b(a−b) a
b²
gl
b²
m
a भुजा वाला वग
.co
(a + b)(a − b)e+mb²
c om g l as
a भुजm
. a
a s e ा वाला वग। नीचे क प को b पर काटा गया है: b(a − b) वाला टु कड़ा घूमकर दाईं ओर लग जाता है, जससे आकृ त (a + b) ×

agl
(a − b) का आयत बन जाती है और b × b का कोना शेष रह जाता है।

m a s
m.co agl
se
काटने से पहले: क्षेत्रफल = a²

g l a
a
नीचे की प ी a × b की है, और वह b(a − b) तथा b² में बँट जाती है।

co m
m .
e
b(a − b) वाले टु क ड़ े को घुमाकर दाईं भुजा पर लगाइए। वह ठीक बैठ जाता है, क्योंिक शेष भाग की ऊँ चाई (a
m l as
.co
− b) है।
m a g
l a se
ag
m
िखसकाने के बाद: (a + b) चौड़ ा और (a − b) ऊँ चा एक आयत, तथा अलग पड़ ा b² का वग

a se
क्षेत्रफल = (a + b)(a − b) + b²
.com a g l
m
ase
agl
न कु छ जोड़ ा गया, न हटाया गया, अत: a² = (a + b)(a − b) + b²

co m
m .
as e
इसे पुनव्यव त करने पर वही सवस मका मलती है जो आपने कक्षा 8 म पढ़ थी:
m l
.co
m a² − b² = (a + b)(a − b) a g
l a se
ag
.c
s e m
टु कड़े ठ क क्य बैठते ह: नीचे क प
ऊँची और (a − b) लंबी है, अत: उसे m
om पर वह (a − b) ऊँची और b चौड़ी हो जाती है — ठ क उतनी ही agla
.cकरने
हटाने के बाद बचा भाग a चौड़ा और (a − b) ऊँचा है। कट हुई प b

se जुड़ जाती ह: a + b। ऊँचाइयाँ मेल खाती ह: a − b। सवस मका यही
खड़ा

g l a
कहती है क ऐसी पुनव्यव aा संभव है, और चत्र स्वयं वह पुनव्यव ा है।
ऊँची जतना बचा हुआ भाग। चौड़ाइयाँ

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 19 of 57

कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

क्या आप जानते ह? 750 सामान्य संवत म श्रीधराचाय ने इसी को संख्याओं का वग मौ खक रूप से नकालने क
व ध के रूप म प्रस्तुत कया था। b ऐसा चु नए क a − b और a + b सरल हो जाएँ:
55² = (55 + 5)(55 − 5) + 5² = 60 × 50 + 25 = 3025।
अब 98² = 100 × 96 + 4 = 9604 तथा 43² = 46 × 40 + 9 = 1849 क जए।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 78
4.4 कुछ अन्य सवस मकाएँ

प्र.1 उपयुक्त सवस मका का उपयोग करके नम्न ल खत क गणना करने का प्रयास क जए — (i) 35² (ii) 65²
(iii) 85² (iv) 105². क्या आपने कसी रोचक प्र तरूप का अवलोकन कया?

यहाँ प्रत्येक संख्या 5 पर समाप्त होती है, अत: b = 5 के साथ श्रीधराचाय का रूप a² = (a + b)(a − b) + b² ही उपयुक्त
उपकरण है।

35² = (35 + 5)(35 − 5) + 5² = 40 × 30 + 25 = 1200 + 25 = 1225

65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225

85² = 90 × 80 + 25 = 7200 + 25 = 7225

105² = 110 × 100 + 25 = 11000 + 25 = 11025

प्र तरूप। प्रत्येक उत्तर 25 पर समाप्त होता है, और उससे पहले के अंक दहाई के अंक को अगली संख्या से गुणा करने पर मलते ह:

संख्या N N(N + 1) वग

35 3 3 × 4 = 12 1225

65 6 6 × 7 = 42 4225

85 8 8 × 9 = 72 7225

105 10 10 × 11 = 110 11025

यह नयम क्य काम करता है — उपप त्त, संयोग नह : 5 पर समाप्त होने वाली कोई भी संख्या 10n + 5 के
रूप क होती है। तब

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

(10n + 5)² = (10n)² + 2(10n)(5) + 5²

= 100n² + 100n + 25

= 100·n(n + 1) + 25

100·n(n + 1) का अथ है n(n + 1) को दो ान बाईं ओर लख दे ना, और +25 अं तम दो ान भर दे ता है। अत: “n को n + 1
से गुणा क जए, फर 25 लख द जए” वास्तव म यही सवस मका है।

यह क जए: 995²। यहाँ n = 99, अत: n(n + 1) = 99 × 100 = 9900, और 995² = 990025।

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

प्र.2 नीचे दए गए चत्र ( चत्र 4.6) क दो पं क्तय का अवलोकन क जए। ये एक बीजीय सवस मका को दशाती ह।
इस सवस मका क पहचान करने का प्रयास क जए।

a+b+c

2c
a+b−c

a−b+c

2b
a−b−c

2a 2b 2c

चत्र 4.6, पृष्ठ 78 — प्रश्न के साथ छपी चत्र क दो पं क्तयाँ।

दोन पं क्तय के चह्न प ढ़ए। ऊपरी पं क्त म चार वग ह, जनक भुजाएँ a + b + c, a + b − c, a − b + c तथा a − b − c ह।
नचली पं क्त म तीन वग ह, जनक भुजाएँ 2a, 2b तथा 2c ह — और टु कड़ के रंग दखाते ह क ऊपर के चार वग कटकर नीचे
के तीन वग बना दे ते ह।

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

a+b+c a+b−c a−b+c a−b−c
इन चार वग ं के क्षे त्र फलों का योग

2a 2b 2c
इन तीन वग ं के क्षे त्र फलों के योग के बराबर है

ऊपरी पं क्त के चार वग का कुल क्षेत्रफल नचली पं क्त के तीन वग के कुल क्षेत्रफल के ठ क बराबर है।

(a + b + c)² + (a + b − c)² + (a − b + c)² + (a − b − c)² = (2a)² + (2b)² + (2c)²

अथ त = 4a² + 4b² + 4c²

उपप त्त। चार वग का वस्तार करके जो ड़ए:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(a + b − c)² = a² + b² + c² + 2ab − 2bc − 2ca
(a − b + c)² = a² + b² + c² − 2ab − 2bc + 2ca

(a − b − c)² = a² + b² + c² − 2ab + 2bc − 2ca

योग = 4a² + 4b² + 4c² — पत्येक िमि त पद कट जाता है

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण
a g l AglaSem · NCERT Solutions

प्रत्येक म
. com
त पद क्य कट जाता है: 2ab वाले स्तंभ को दे खए: चह्न ह +, +, −, −। 2bc वाले स्तंभ म: +, −,
−, +। 2ca वाले म: +, −, +, −। प्रत्येक स्तंभ म दो धन चह्न दो ऋण चह्न से मलते ह, अत: हरem
m a s
gclके चह्न चुने जा सकते
म श्रत पद दोन
o बार आता है। चार चह्न-प्र तरूप ठ क वे चार तरीके ह जनसे b और
चह्न के साथ.cदो-दो
a
s m यह संतुलन उत्पन्न करता है।
eयही
a
agl
ह, और

co m
स्वयं जाँ चए: a = 3, b = 2, c = 1। बायाँ पक्ष: 6² + 4² + 2² + 0² = 36 + 16 + 4 + 0 = 56। दायाँ पक्ष: 36

e m . ag
as
+ 16 + 4 = 56। ✓

a g l

co m
m.
सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 79

m as e
.co l
4.5 बीजीय टाइल का उपयोग करके गुणनखंड करना

a g
a s emमान ली जए, 7x को 2x + 5x के रूप म वभा जत कया जाता है; क्या तब भी समान प्रकार क आयताकार
a gl प्र.1
व्यव ा बनाई जा सकती है? अन्य संभावनाओं पर वचार क जए और परीक्षण क जए।

m a s
m .co agl
se

g l a
a
नह — 2x + 5x वाला वभाजन काम नह करता। य द दो x-टाइल x²-टाइल के दाईं ओर और पाँच उसके नीचे रखी जाएँ, तो
इकाई टाइल को 2 × 5 का कोना भरना होगा, जसम केवल 10 इकाइयाँ आती ह। हमारे पास 12 ह, अत: दो टाइल बच जाती ह

m
और आकृ त आयत नह बनती।

. co
se m
7x को दो पूण-संख्या भाग म बाँटने के केवल तीन तरीके ह। तीन जाँ चए:

m
coवभाजन l a
m . ag इकाइयाँ
ase
7X का इकाइय को भरना है आवश्यक इकाइयाँ उपलब्ध आयत बनेगा?

agl 1x + 6x 1×6 6 12 नही ं

se m
2x + 5x 2×5
c o m
10 12 नही ं
g l a
m . a
ase
agl
3x + 4x 3×4 12 12 हाँ

m
केवल एक ही वभाजन क्य चलता है: एक ओर a और दूसरी ओर b x-टाइल रखने पर (x + a) और (x + b)
. co
m
भुजाओं वाला आयत बनता है। उसका क्षेत्रफल (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab होता है। इसक तुलना x²

o m l a se
.cक ठनाई गुणनफल को 12 बनाए रखने म है, और यह केवल 3 तथा 4 से हीagपूरा होता है।
+ 7x + 12 से करने पर एक साथ दो शत लगती ह: a + b = 7 तथा ab = 12। 7x को बाँटना तो सरल है —

se m
g l a
a c
m .
संकेत: ठ क इसी लए अनुभाग 4.6 क ‘मध्य पद के वभाजन’ वाली व ध पहले अचर पद के गुणनखंड-युग्म
m a s e
. co agl
लखती है और तब जाँचती है क कौन-सा युग्म मध्य गुणांक बनाता है। टाइल दोन शत को दखा दे ती ह: एक
e m
as
लंबाई है, दूसरी क्षेत्रफल।

a g l

com
m .
m ase
.co


a g l Page 24 of 57

कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 79
4.5 बीजीय टाइल का उपयोग करके गुणनखंड करना

प्र.1 बीजीय टाइल का उपयोग करते हुए x + 2 और x + 3 का गुणनफल ात क जए।

ऊपरी कनारे पर एक x-टाइल और दो इकाई टाइल तथा बाएँ कनारे पर एक x-टाइल और तीन इकाई टाइल र खए। अब आयत
भ रए:

x+2

x² x x

x+3 x 1 1

x 1 1

x 1 1

एक x²-टाइल, 2 + 3 = 5 x-टाइल तथा इकाई टाइल का 2 × 3 व्यूह मलकर x + 2 और x + 3 भुजाओं वाला आयत बनाते ह।

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

1 x²-टाइल → x²

उसके दाईं ओर 3 x-टाइले ं तथा नीचे 2 x-टाइले ं → 5x

इकाई टाइलों का 2 × 3 का व्यूह → 6
(x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6

टाइल उत्तर क्य दे दे ती ह: बड़े आयत को दो प्रकार से मापा जा रहा है। उसक वमाएँ x + 2 और x + 3 ह, अत:
क्षेत्रफल (x + 2)(x + 3) है। परंतु वही आयत टु कड़ के क्षेत्रफल का योग भी है, अथात x² + 5x + 6। एक ही क्षेत्र,
दो ववरण — और दोन बराबर होने ही चा हए। यही समानता सवस मका है।

प्र.2 x² + 11x + 30 के लए बीजीय टाइल को इस प्रकार व्यव त क जए क आप उसके गुणनखंड को दे ख
सक।

11x को इस प्रकार बाँ टए क इकाई टाइल 30 क्षेत्रफल का आयत बना ल। हम a + b = 11 तथा ab = 30 चा हए, अत: a = 5
और b = 6।

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

x+5

x² x x x x x

x 1 1 1 1 1

x 1 1 1 1 1
x+6
x 1 1 1 1 1

x 1 1 1 1 1

x 1 1 1 1 1

x 1 1 1 1 1

x²-टाइल के साथ 5 x-टाइल बगल म, 6 x-टाइल नीचे तथा इकाई टाइल का 5 × 6 व्यूह। पूरा आयत x + 5 और x + 6 का है।

x² + 11x + 30 = x² + (5 + 6)x + (5)(6)

= (x + 5)(x + 6)

अन्य वभाजन असफल रहते ह: 1 + 10 को 10 इकाइयाँ चा हए, 2 + 9 को 18, 3 + 8 को 24, 4 + 7 को 28 — केवल 5 + 6
को ठ क 30 चा हए।

स्वयं जाँ चए: वापस गुणा क जए। (x + 5)(x + 6) = x² + 6x + 5x + 30 = x² + 11x + 30। ✓

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 80

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

4.5 बीजीय टाइल का उपयोग करके गुणनखंड करना

प्र.1 हमने दे खा क (x + 3) (x + 4) = x² + 7x + 12 है। साथ ही, (x + 6) (x + 7) = x² + 13x + 42 है। इस
प्र तरूप का व्यापक करण करके (x + a) (x + b) का व्यंजक ात क जए।

दे खए क 7 और 12 कहाँ से आए, तथा 13 और 42 कहाँ से:

गुणनफल X का गुणांक अचर पद

(x + 3)(x + 4) 7=3+4 12 = 3 × 4

(x + 6)(x + 7) 13 = 6 + 7 42 = 6 × 7

(x + a)(x + b) a+b ab

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

वतरण गुणधम से उपप त्त:

(x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

= x² + bx + ax + ab

= x² + (a + b)x + ab

योग और गुणनफल दोन क्य आते ह: गुणा करने पर चार पद बनते ह। दोन ‘ म श्रत’ पद bx और ax ही ऐसे ह
जनम x क एक घात है, अत: वे मलकर (a + b)x बन जाते ह; जस पद म x है ही नह वह ab है। टाइल- चत्र म
ये ही x-टाइल क दो भुजाएँ तथा इकाई टाइल का कोना ह। सवस मका वही कह रही है जो “आयत का क्षेत्रफल
उसके भाग का योग है”।

संकेत: इसी सवस मका को दाएँ से बाएँ प ढ़ए तो यह गुणनखंडन का नयम बन जाती है: x² + px + q का
गुणनखंड करने के लए ऐसी दो संख्याएँ खो जए जनका योग p और गुणनफल q हो। अनुभाग 4.6 यही करता है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 80

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण
a g l AglaSem · NCERT Solutions

4.5 बीजीय टाइल का उपयोग करके गुणनखंड करना
co m
se m.
o mत पर वचार क जए, जहाँ हमारे पास चत्र 4.8 म दशाए अनुसार 2x + 3la
.c ag
अब उस तथा 3x + 1 भुजाओं
m
प्र.1

l a se
वाला एक आयत है। आप इसके क्षेत्रफल (2x + 3) (3x + 1) के वषय म क्या कहगे?

a g

. com 2x + 3 ag
e m
g l as
a
o m
x² x² x xem.cx
com g l as
m . a
ase
agl
x² x² x x x s
com a
agl
3x + 1 .
m
ase
agl
x² x² x x x
m
.co
m
m ase
e m . co x x ag1l 1 1
g l as
a
se m
com g l a
. a
चत्र 4.8, पृष्ठ 80 — 2x + 3 तथा 3x + 1 भुजाओं वाला आयत, बीजीय टाइल से बना।
m
ase
agl
m

. co
m
चत्र 4.8 क टाइल ग नए। चौड़ाई म दो x-स्तंभ और तीन इकाई-स्तंभ; ऊँचाई म तीन x-पं क्तयाँ और एक इकाई-पं क्त।

m ase
.co a g l
se m
g l a
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m .
m a s e
em . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 29 of 57

कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

2x + 3

x² x² x x x

x² x² x x x
3x + 1

x² x² x x x

x x 1 1 1

6 x²-टाइल , 11 x-टाइल तथा 3 इकाई टाइल से बना (2x + 3) × (3x + 1) का आयत।

टाइल कहाँ से कतनी कुल क्षेत्रफल

x² 2 x-स्तंभ × 3 x-पंिक्तयाँ 6 6x²

x 3 इकाई-स्तंभ × 3 x-पंिक्तयाँ = 9, तथा 2 x-स्तंभ × 1 इकाई-पंिक्त = 2 11 11x

1 3 इकाई-स्तंभ × 1 इकाई-पंिक्त 3 3

(2x + 3)(3x + 1) = 6x² + 11x + 3

वतरण गुणधम से जाँ चए:

(2x + 3)(3x + 1) = 2x(3x + 1) + 3(3x + 1)

= 6x² + 2x + 9x + 3 = 6x² + 11x + 3 ✓

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

मध्य गुणांक 11 क्य है, 3 + 1 क्य नह : आयत क भुजाओं पर अब केवल एक-एक x-टाइल नह है — एक
ओर 2 ह और दूसरी ओर 3। इस लए x-टाइल दो अलग-अलग ढं ग से बनती है: चौड़ी भुजा से 3 × 3 = 9 और लंबी
भुजा से 2 × 1 = 2। इसी कारण व्यापक नयम म (a + b) नह , ब ल्क (pb + aq) आता है।

प्र.2 समीकरण को सत्य सद्ध करने हेतु उ चत व्यंजक ारा रक्त ान क पू त क जए — (px + a) (qx + b) =
(_____) x² + (_____) x + _____ । साथ ही, वतरण गुणधम का उपयोग करते हुए अपने उत्तर क जाँच क जए।

(px + a)(qx + b) = (pq)x² + (pb + aq)x + ab

वतरण गुणधम से जाँच:

(px + a)(qx + b) = px(qx + b) + a(qx + b)
= pq·x² + pb·x + aq·x + ab

= pq·x² + (pb + aq)x + ab

चत्र 4.8 से मलान, जहाँ p = 2, a = 3, q = 3, b = 1:

pq = 2 × 3 = 6 ✓

pb + aq = 2 × 1 + 3 × 3 = 2 + 9 = 11 ✓

ab = 3 × 1 = 3 ✓

अथ त 6x² + 11x + 3, जो टाइलों की िगनती के ठीक बराबर है।

तीन रक्त ान वही क्य ह: दो कोष्ठक के गुणनफल म चार पद बनते ह। उनम केवल एक पद, px × qx, ऐसा
है जसम दो x ह — वही x² का गुणांक pq दे ता है। दो पद म एक-एक x है — वे मलकर pb + aq बनाते ह।
एक पद म x है ही नह — वह ab है। p = q = 1 रखने पर पहले वाला नयम (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x
+ ab लौट आता है, अत: यह उसी का व्यापक रूप है।

संकेत: आगे जब आप 6x² + 7x + 2 का गुणनखंड करगे, तब वास्तव म pq = 6, ab = 2 तथा pb + aq = 7
हल कर रहे ह गे। यह सवस मका ठ क-ठ क बता दे ती है क कौन-सी तीन शत पूरी करनी ह।

प्रश्नावली 4.4 — पृष्ठ 81–82

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कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

4.6 बीजीय टाइल के उपयोग के बना गुणनखंडन

प्र.1 नम्न सवस मकाओं को पूण करने हेतु रक्त ान क पू त क जए — (i) s² − 11s + 24 = (________)
(________) (ii) (________) (x + 1) = (3x² − 4x −7) (iii) 10x² − 11x − 6 = (2x − ___) (___ + 2) (iv)
6x² + 7x + 2 = (____________) (___________)

(i) s² − 11s + 24 — a + b = −11 तथा ab = +24 चा हए, अत: दोन ऋणात्मक ह गे। 24 के गुणनखंड-युग्म ह 1×24,
2×12, 3×8, 4×6; इनम केवल 3 + 8 = 11 है।

a = −3, b = −8

s² − 11s + 24 = s² − 3s − 8s + 24 = s(s − 3) − 8(s − 3)

= (s − 3)(s − 8)

(ii) (________)(x + 1) = 3x² − 4x − 7 — एक गुणनखंड दया है, अत: −4x को इस प्रकार बाँ टए क (x + 1) प्रकट हो
जाए:

3x² − 4x − 7 = 3x² + 3x − 7x − 7

= 3x(x + 1) − 7(x + 1)

= (3x − 7)(x + 1)

(iii) 10x² − 11x − 6 = (2x − ___)(___ + 2) — (px + a)(qx + b) के रूप म pq = 10, ab = −6 तथा pb + aq = −11
चा हए। p = 2 और b = 2 लेने पर q = 5 तथा a × 2 = −6, अथात a = −3।

10x² − 11x − 6 = 10x² − 15x + 4x − 6 (क्योंिक −15 × 4 = −60 = 10 × (−6) तथा −15 + 4 = −11)

= 5x(2x − 3) + 2(2x − 3)

= (2x − 3)(5x + 2)

अत: िरक्त स्थान है ं 3 तथा 5x।

(iv) 6x² + 7x + 2 — 7x को ऐसी दो संख्याओं से बाँ टए जनका गुणनफल 6 × 2 = 12 और योग 7 हो: वे ह 3 और 4।

6x² + 7x + 2 = 6x² + 3x + 4x + 2

= 3x(2x + 1) + 2(2x + 1)

= (2x + 1)(3x + 2)

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अग्र गुणांक 1 न हो तो गुणनफल ac क्य लेते ह, केवल c क्य नह : (px + a)(qx + b) म अचर पद ab है
और x का गुणांक pb + aq है। दोन वभा जत भाग को गुणा क जए: (pb)(aq) = (pq)(ab) = (अग्र गुणांक)
× (अचर पद)। अत: जन दो संख्याओं क खोज है उनका गुणनफल a·c होना चा हए, केवल c नह । (iv) म यह 6
× 2 = 12 है और (iii) म 10 × (−6) = −60।

स्वयं जाँ चए: प्रत्येक उत्तर का वस्तार क जए। (2x − 3)(5x + 2) = 10x² + 4x − 15x − 6 = 10x² − 11x −
6। ✓

प्र.2 ऐसी सवस मका का चयन क जए और उसका उपयोग क जए, जससे आप सीधे गुणा कए बना नम्न ल खत
गुणनफल ात कर सक — (i) (41)² (ii) (27)² (iii) (23 × 17) (iv) (135)² (v) (97)² (vi) (18 ×
29) (vii) (34 × 43) (viii) (205)²

गुणनफल चुनी गई सवस मका हल मान

(i) 41² (a + b)² (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 1681

(ii) 27² (a − b)² (30 − 3)² = 900 − 180 + 9 729

(iii) 23 × 17 (a + b)(a − b) (20 + 3)(20 − 3) = 400 − 9 391

(iv) 135² a² = (a + b)(a − b) + b² 140 × 130 + 25 = 18200 + 25 18225

(v) 97² (a − b)² (100 − 3)² = 10000 − 600 + 9 9409

(vi) 18 × 29 (x + a)(x + b) (20 − 2)(20 + 9) = 400 + 20(7) − 18 522

(vii) 34 × 43 (x + a)(x + b) (40 − 6)(40 + 3) = 1600 + 40(−3) − 18 1462

(viii) 205² (a + b)² (200 + 5)² = 40000 + 2000 + 25 42025

असमान दूरी वाले दोन गुणनफल वस्तार से लखने योग्य ह, क्य क उनम अनुभाग 4.5 वाली तीसरी सवस मका लगती है।

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
(vi) 18 × 29 में x = 20, a = −2, b = 9:
m l as
.co
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
m a g
l a se
g
= 400 + (−2 + 9)(20) + (−2)(9)
a= 400 + 140 − 18 = 522

co m
e m . ag
(vii) 34 × 43 में x = 40, a = −6, b = 3:
g l as
= 1600 + (−6 + 3)(40) + (−6)(3) a

co m
m.
= 1600 − 120 − 18 = 1462

m as e
.co a g l
a s em
सवस मका कैसे चुन: य द दोन संख्याएँ कसी पूण संख्या से बराबर दूरी पर ह तो वे a ± b ह और वग के अंतर

a gl सवस मका एक ही चरण म उत्तर दे दे ती है (जैसे (iii) म 23 और 17, 20 के दोन ओर)। य द दू रयाँ असमान
वाली
ह तो (x + a)(x + b) ली जए, जसम x वही पूण संख्या हो। और 5 पर समाप्त होने वाले वग के लए श्रीधराचाय

m a s
.co agl
का रूप सबसे तेज़ है — 135² अथात 13 × 14 = 182 के आगे 25।

se m
g l a
a
नम्न ल खत का गुणनखंड क जए — (i) 9a² + b² + 4c² − 6ab + 12ac − 4bc (ii) 16s² + 25t² − 40st
m
प्र.3

. co
(iii) r² − r − 42 (iv) 49g² + 14gh + h² (v) 64u² + 121v² + 4w² − 176uv − 32uw + 44vw

e m
m l as
.co a g
em

l a s 9a² + b² + 4c² − 6ab + 12ac − 4bc — तीन वग और तीन म श्रत पद, अत: (A + B + C)² क ओर ब ढ़ए। ऋणात्मक
g
(i)
a पद वही ह जनम b है, अत: b को ऋण चह्न द जए।

se m
com g l a
m . a
ase
A = 3a, B = −b, C = 2c

agl
2AB = 2(3a)(−b) = −6ab ✓ 2BC = 2(−b)(2c) = −4bc ✓ 2CA = 2(2c)(3a) = 12ac ✓

= (3a − b + 2c)²

co m
m .
m as e
.co l
(ii) 16s² + 25t² − 40st

a g
se m
g l a
a
= (4s)² − 2(4s)(5t) + (5t)²
.c
= (4s − 5t)²
s e m
. com a gla
a s em= −42 चा हए, अत: दोन संख्याओं के चह्न वपरीत ह और उनम 1 का अंतर है: वे
(iii) r² − r − 42 — a + b = −1 तथा ab
ह −7 और 6।
agl

co m
m .
m ase
.co


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r² − r − 42 = r² − 7r + 6r − 42

= r(r − 7) + 6(r − 7)

= (r − 7)(r + 6)

(iv) 49g² + 14gh + h²

= (7g)² + 2(7g)(h) + h²

= (7g + h)²

(v) 64u² + 121v² + 4w² − 176uv − 32uw + 44vw — ऋणात्मक म श्रत पद वही ह जनम u है, अत: u ही अलग
चह्न वाला होगा। A = 8u, B = −11v, C = −2w लेकर जाँ चए:

2AB = 2(8u)(−11v) = −176uv ✓

2BC = 2(−11v)(−2w) = +44vw ✓

2CA = 2(−2w)(8u) = −32uw ✓

= (8u − 11v − 2w)²

चह्न क खोज कैसे काम करती है: (A + B + C)² म कोई म श्रत पद ठ क तभी ऋणात्मक होता है जब उसके
दोन अक्षर के चह्न वपरीत ह । यहाँ uv और uw ऋणात्मक ह जब क vw धनात्मक, अत: v और w आपस म
सहमत ह और दोन u से असहमत — इस लए u धनात्मक, v और w ऋणात्मक (अथवा पूरा व्यंजक ऋणात्मक,
जससे वही वग बनता है)। पहले चह्न-प्र तरूप पढ़ लेने से बार-बार आज़माने क आवश्यकता नह पड़ती।

संकेत: वग का उत्तर कभी एकमात्र रूप म नह दखता: (8u − 11v − 2w)² और (−8u + 11v + 2w)² एक ही
व्यंजक ह। दोन म से कोई भी सही गुणनखंडन है।

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 82

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4.6 बीजीय टाइल के उपयोग के बना गुणनखंडन

प्र.1 जेम्स और रेशमा व ालय म सीखी गईं बीजीय सवस मकाओं के वषय म बात कर रहे थे — जेम्स— (a − b)²
(a + b) = (a² − 2ab + b²)(a + b). रेशमा— मेरा मत भन्न है। (a − b)² (a + b) = (a − b) [(a − b) (a +
b)] = (a − b)(a² − b²). उत्तर प्राप्त करने हेतु म यह गुणनफल ात करूँगी। आपके अनुसार कौन सही है और
क्य ?

दोन सही ह। ये एक ही व्यंजक तक पहुँचने के दो रास्ते ह और दोन वैध ह। रेशमा का रास्ता छोटा है।
जेम्स का रास्ता — पहले वग का वस्तार:

(a² − 2ab + b²)(a + b)

= a³ + a²b − 2a²b − 2ab² + ab² + b³

= a³ − a²b − ab² + b³

रेशमा का रास्ता — पहले पुनसमूहन, ता क a² − b² प्रकट हो जाए:

(a − b)[(a − b)(a + b)] = (a − b)(a² − b²)

= a³ − ab² − a²b + b³

= a³ − a²b − ab² + b³

दोन उत्तर समान ह, और दोन का गुणनखंडन भी वही है:

a³ − a²b − ab² + b³ = a²(a − b) − b²(a − b) = (a − b)(a² − b²) = (a − b)²(a + b)

रेशमा पुनसमूहन क्य कर सकती है: गुणन साहचय (associative) होता है, अत: (a − b)²(a + b) को [(a −
b)(a − b)](a + b) भी पढ़ा जा सकता है और (a − b)[(a − b)(a + b)] भी — कोष्ठक हमारे लगाए हुए ह,
व्यंजक के अपने नह । इसके बाद वह दे खती है क इनम से एक युग्म, (a − b)(a + b), एक ात सवस मका है,
अत: उसे a² − b² से बदल दे ती है और केवल एक सरल गुणा शेष रह जाता है। जेम्स को तीन पद वाले व्यंजक को
दो पद वाले से गुणा करना पड़ता है, जससे छह पद बनते ह और उनम से दो बाद म कट जाते ह।

यह क जए: इसी प्रकार सवस मकाओं को संयो जत करके नए प रणाम पाइए। जैसे (a + b)³(a − b)³ = [(a +
b)(a − b)]³ = (a² − b²)³ — तीन पं क्तय का काम एक पं क्त म।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 85

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4.7 नई सवस मकाएँ ात करना

प्र.1 वतरण गुणधम का उपयोग करते हुए (x + y)(x² − xy + y²) को गुणा करने का प्रयास क जए। अनुमान
लगाइए क (x + y) (x² − xy + y²) क्या होगा।

अनुमान: x³ + y³। अध्याय अभी दखा चुका है क (x − y)(x² + xy + y²) = x³ − y³ है; इसम y के ान पर −y रखने पर
बायाँ पक्ष (x + y)(x² − xy + y²) और दायाँ पक्ष x³ + y³ बन जाता है। अब गुणा करके इसक पु ष्ट क जए।

(x + y)(x² − xy + y²)
= x(x² − xy + y²) + y(x² − xy + y²)

= (x³ − x²y + xy²) + (x²y − xy² + y³)

= x³ − x²y + x²y + xy² − xy² + y³

= x³ + y³

मध्य के पद क्य कट जाते ह: दूसरा कोष्ठक इस प्रकार बना है क उसका प्रत्येक पद x से गुणा होने पर ठ क वही
बनाता है जो अगला पद y से गुणा होने पर बनाता है — परंतु वपरीत चह्न के साथ। इस लए छह पद दो कटने वाले
जोड़ म बँट जाते ह और केवल पहला और अं तम बचता है। यही कारण है क x + y का सही साथी x² − xy + y²
है, जब क x − y का सही साथी x² + xy + y²।

स्वयं जाँ चए: x = 2, y = 1। बायाँ पक्ष: (3)(4 − 2 + 1) = 3 × 3 = 9। दायाँ पक्ष: 8 + 1 = 9। ✓

सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 85
4.7 नई सवस मकाएँ ात करना

प्र.1 हम ात है क x² − y² = (x − y)(x + y)। इसके अ त रक्त हमने यह सत्या पत कया है क x³ − y³ = (x − y)
(x² + xy + y²)। अवलोकन क जए क x − y, x² − y² और x³ − y³ का साव गुणनखंड है। क्या आपके वचार
म x − y, x⁴ − y⁴ का भी गुणनखंड है? ध्यान द जए क x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²) (x² + y²) है।
क्या आप दे ख सकते ह क x − y, x⁴ − y⁴ का एक गुणनखंड कस प्रकार है?

हाँ। संकेत ही लगभग पूरा काम कर दे ता है — पहले कोष्ठक म x − y पहले से छपा है।

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x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)²

= (x² − y²)(x² + y²) — दो वग ं का अंत र

= (x − y)(x + y)(x² + y²) — िफर से दो वग ं का अंत र
अत: x⁴ − y⁴ = (x − y)(x + y)(x² + y²), और x − y इसका गुणनखंड है।

सीधे वभाजन से भी यही मलता है:

x⁴ − y⁴ = (x − y)(x³ + x²y + xy² + y³)

और दोन उत्तर एक ही ह, क्य क (x + y)(x² + y²) = x³ + x²y + xy² + y³।

बना बीजग णत के भी x − y गुणनखंड क्य है: व्यंजक x⁴ − y⁴ म x = y र खए। मान 0 आता है। जो भी
व्यंजक x = y पर शून्य हो जाता है, उसका एक गुणनखंड x − y होता है — यही तक x² − y² और x³ − y³ के लए
भी लागू था। कक्षा 10 म आप इसे गुणनखंड प्रमेय के रूप म पढ़गे।

प्र.2 x⁵ − y⁵ के वषय म आपका क्या वचार है? क्या इसम भी x − y एक गुणनखंड के रूप म है?

हाँ। यहाँ वग म तोड़ने क यु क्त काम नह आती (5 वषम है), अत: सीधे गुणा क जए और कटान दे खए।

(x − y)(x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴)

= (x⁵ + x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴)

− (x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴ + y⁵)

= x⁵ − y⁵ — मध्य का पत्येक पद दोनों िचह्नों के साथ एक-एक बार आता है

यही प्र तरूप प्रत्येक घात के लए चलता है:

xⁿ − yⁿ = (x − y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²y + xⁿ⁻³y² + … + xyⁿ⁻² + yⁿ⁻¹)

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
यह सदै व क्य समट जाता है: लंबे कोष्ठक को x से गुणा करने पर x क प्रत्येक घात एक बढ़ जाती है; −y से गुणा
करने पर y क प्रत्येक घात एक बढ़ जाती है। x से बनी पद क सूची और y से बनी सूची एक ही eहैm
m a s
glउसी के बराबर वपरीत
, बस एक ान
खसक हुई।.c o सबसे पहले (xⁿ) और सबसे अं तम (−yⁿ) को छोड़कर हर पद के सामने a
emपद खड़ा होता है। यही कारण है क प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लए x − y, xⁿ − yⁿ का गुणनखंड होता
अत:

a s
aहैg।l
चह्न वाला

co m
e m .
क्या आप जानते ह? इसी एक तथ्य से यह भी नकलता है क 2ⁿ − 1 अभाज्य तभी हो सकता है जब n अभाज्य ag
g l as
हो: य द n = ab हो तो 2ᵃ − 1, 2ⁿ − 1 को वभा जत कर दे ता है। ऐसे अभाज्य को मसन अभाज्य कहते ह।
a

co m
se m.
m a
सो चए और वचार क जए — पृष्ठ 87
o
c का सरलीकरण
4.8 प रमेय व्यंज.क a g l
se m
l a
ag प्र.1 नम्न ल खत प रमेय व्यंजक को सरल करने का प्रयास क जए — (36s² − 12st + t²)/(t² + 2ts − 48s²) =
m a s
agl
(6s − t)²/[(___ + ___)(___ + ___)] (संकेत — t² + 2ts − 48s² का गुणनखंड क जए और t² + 2ts − 48s²
≠ 0 मानते हुए प रमेय व्यंजक को सरल क जए।)
m .co
l a se
उत्तर ag

com
अंश। यह पहले से ही पूण वग है, इसी लए पुस्तक ने इसे लखकर दे दया है:

m .
m as e
.co
36s² − 12st + t² = (6s)² − 2(6s)(t) + t² = (6s − t)²
a g l
a s em
a gl हर। इसे t म घात मा नए: ऐसे दो पद खो जए जनका योग 2s और गुणनफल −48s² हो। वे ह 8s और −6s।
se m
t² + 2ts − 48s² = t² + 8ts − 6ts − 48s² .com g l a
em a
a s
agl
= t(t + 8s) − 6s(t + 8s)

= (t + 8s)(t − 6s)

co m
m .
as e
com l
अत: रक्त ान म (t + 8s)(t − 6s) आएगा, और अब भन्न कट जाती है:

. a g
e m
as (36s² − 12st + t²)/(t² + 2ts − 48s²) = (6s − t)²/[(t + 8s)(t − 6s)]
agl c
m .
e
ध्यान दीिजए (6s − t)² = (t − 6s)², क्योंिक वग करने पर िचह्न िमट जाता है
m a s
= (t − 6s)²/[(t + 8s)(t − 6s)]
e m . co agl
= (t − 6s)/(t + 8s)
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 39 of 57

कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

चह्न बदलना सुर क्षत क्य है: (6s − t) और (t − 6s) एक-दूसरे के ऋण ह, और वग इस अंतर को नह
पहचानता: (−u)² = u²। अंश को (t − 6s)² लख दे ने पर हर के साथ का साव गुणनखंड दखाई दे ने लगता है। उसे
काटना इस लए मान्य है क्य क प्रश्न म t² + 2ts − 48s² ≠ 0 दया है, अत: वशेष रूप से t − 6s ≠ 0 है।

संकेत: प रमेय व्यंजक म कुछ भी काटते समय सदै व यह बताइए क वह गुणनखंड शून्य क्य नह है। प्रश्न म द गई
शत इसी के लए है।

प्रश्नावली 4.5 — पृष्ठ 87
4.8 प रमेय व्यंजक का सरलीकरण

प्र.1 यह मानते हुए क हर म दए गए व्यंजक शून्य के समान नह ह, नम्न ल खत प रमेय व्यंजक को सरल क जए
— (i) (3p² − 3pq − 18q²)/(p² + 3pq − 10q²) (ii) (n³ − 3n²m + 3nm² − m³)/(5m² − 10mn +
5n²) (iii) (w³ − v³ + x³ + 3wvx)/(w² + v² + x² − 2wv − 2vx + 2wx) (iv) (4y² − 20yz +
25z²)/(25z² − 4y²) (v) [(x² + x − 6)(x² − 7x + 12)]/[(x² − 6x + 8)(x² − 9)] (vi) (p⁴ − 16)/(p²
− 4p + 4)

व ध सदै व एक ही है: अंश का गुणनखंड, हर का गुणनखंड, फर जो साव और शून्येतर हो उसे काट द जए।
(i) (3p² − 3pq − 18q²)/(p² + 3pq − 10q²)

अंश: 3p² − 3pq − 18q² = 3(p² − pq − 6q²) = 3(p − 3q)(p + 2q)

हर: p² + 3pq − 10q² = (p + 5q)(p − 2q)

= 3(p − 3q)(p + 2q) / [(p + 5q)(p − 2q)]

चार गुणनखंड भन्न ह, अत: कुछ भी नह कटता — यह व्यंजक पहले से ही नम्नतम रूप म है और ऊपर लखा पूण गुणनखं डत
रूप ही सबसे सरल उत्तर है। (शीघ्र जाँच: p = 1, q = 0 र खए। मूल व्यंजक 3/1 = 3 दे ता है और गुणनखं डत रूप भी।)
(ii) (n³ − 3n²m + 3nm² − m³)/(5m² − 10mn + 5n²) — अंश अंतर का घन है।

अंश = n³ − 3n²m + 3nm² − m³ = (n − m)³

हर = 5(m² − 2mn + n²) = 5(m − n)² = 5(n − m)²

= (n − m)³ / [5(n − m)²] = (n − m)/5

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(iii) (w³ − v³ + x³ + 3wvx)/(w² + v² + x² − 2wv − 2vx + 2wx) — अंश तीन घन वाली सवस मका है, जसम v
ऋणात्मक लया गया है।

अंश = w³ + (−v)³ + x³ − 3(w)(−v)(x)

= (w − v + x)(w² + v² + x² + wv + vx − wx)

हर = (w − v + x)²

= (w² + v² + x² + wv + vx − wx)/(w − v + x)

(iv) (4y² − 20yz + 25z²)/(25z² − 4y²)

अंश = (2y − 5z)²
हर = (5z)² − (2y)² = (5z + 2y)(5z − 2y)

= (2y − 5z)² / [(5z + 2y)(5z − 2y)]

और (2y − 5z) = −(5z − 2y), अत: एक गुणनखंड कटने पर ऋण िचह्न शेष रहता है:

= −(2y − 5z)/(2y + 5z) = (5z − 2y)/(2y + 5z)

(v) [(x² + x − 6)(x² − 7x + 12)] / [(x² − 6x + 8)(x² − 9)]

x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2)

x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)

x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4)
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

= [(x + 3)(x − 2)(x − 3)(x − 4)] / [(x − 2)(x − 4)(x − 3)(x + 3)]

ऊपर का पत्येक गुणनखंड नीचे भी है → = 1

(vi) (p⁴ − 16)/(p² − 4p + 4)

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अंश = (p²)² − 4² = (p² − 4)(p² + 4) = (p − 2)(p + 2)(p² + 4)

हर = (p − 2)²

= (p + 2)(p² + 4)/(p − 2)

काटने के लए शत क्य आवश्यक है: (n − m)³/[5(n − m)²] = (n − m)/5 लखने म अंश और हर दोन को
(n − m)² से भाग दया गया है, जो केवल तभी वैध है जब n ≠ m हो। प्रश्न यही अनुम त दे ता है, यह मानकर क
हर शून्य नह है। इस आ ासन के बना दोन व्यंजक सवत्र बराबर नह होते — बायाँ पक्ष n = m पर अप रभा षत
होता जब क दायाँ पक्ष वहाँ 0 है।

संकेत: भाग (iii) म सबसे पहले x³ + y³ + z³ − 3xyz का आकार पहचानना लाभदायक है। यहाँ y = −v है,
जससे −3xyz बदलकर +3wvx और −v³ वैसा ही दखता है जैसा व्यंजक म है। हर तो केवल (w − v + x)² है।

अं तम प्रश्नावली — पृष्ठ 88–90
अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण

प्र.1 उपयुक्त सवस मकाओं का उपयोग करके नम्न ल खत गुणनफल ात क जए — (i) (−3x + 4)² (ii) (2s +
7) (2s − 7) (iii) (p² + 1/2)(p² − 1/2) (iv) (2n + 7) (2n − 7) (v) (s − 2t) (s² + 2st + 4t²) (vi)
(1/2r − 4r)² (vii) (−3m + 4k − l)² (viii) (x − y/3)³ (ix) (7k/2 − 2m/3)³

(i) (−3x + 4)² — इसे (4 − 3x)² प ढ़ए और (a − b)² लगाइए।

= 4² − 2(4)(3x) + (3x)² = 9x² − 24x + 16

(ii) (2s + 7)(2s − 7) — दो वग का अंतर।

= (2s)² − 7² = 4s² − 49

(iii) (p² + 1/2)(p² − 1/2)

= (p²)² − (1/2)² = p⁴ − 1/4

(iv) (2n + 7)(2n − 7)

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= (2n)² − 7² = 4n² − 49

(v) (s − 2t)(s² + 2st + 4t²) — यह x = s, y = 2t के साथ (x − y)(x² + xy + y²) है।

साथी कोष्ठक जाँिचए: x² = s², xy = s(2t) = 2st, y² = 4t² ✓

= s³ − (2t)³ = s³ − 8t³

(vi) (1/2r − 4r)² — a = 1/(2r), b = 4r लेने पर 2ab = 2 × (1/2r) × 4r = 4।

= (1/2r)² − 2(1/2r)(4r) + (4r)²

= 1/(4r²) − 4 + 16r²

(vii) (−3m + 4k − l)² — तीन चर वाला वग, a = −3m, b = 4k, c = −l।

= 9m² + 16k² + l² + 2(−3m)(4k) + 2(4k)(−l) + 2(−l)(−3m)

= 9m² + 16k² + l² − 24km − 8kl + 6lm

(viii) (x − y/3)³ — अंतर का घन, a = x, b = y/3।

= x³ − 3x²(y/3) + 3x(y/3)² − (y/3)³

= x³ − x²y + xy²/3 − y³/27

(ix) (7k/2 − 2m/3)³ — a = 7k/2, b = 2m/3।

a³ = 343k³/8

3a²b = 3 × (49k²/4) × (2m/3) = 49k²m/2

3ab² = 3 × (7k/2) × (4m²/9) = 14km²/3

b³ = 8m³/27

= 343k³/8 − 49k²m/2 + 14km²/3 − 8m³/27

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
संकेत: भाग (ii) और (iv) एक ही व्यंजक ह, केवल चर का नाम भन्न है। यह पहचान लेने से दूसरी गणना बच जाती

m as e
l
है — सवस मकाओं को इससे कोई मतलब नह क अक्षर के नाम क्या ह।

m .co a g
l a se
a g
प्र.2 उपयुक्त सवस मकाओं का उपयोग करके मान ात क जए — (i) 17 × 21 (ii) 104 × 96 (iii) 24 × 16

com
ag
(iv) 147³ (v) 199³ (vi) 127³ (vii) (−107)³ (viii) (−299)³

m .
as e
a g l
(i) 17 × 21 — दोन 20 के पास ह पर असमान दूरी पर, अत: x = 20 के साथ (x + a)(x + b) ली जए।

co m
em.
om− 3 = 357 as
= (20 − 3)(20 + 1) = 400 + (−3 + 1)(20) + (−3)(1)
. c40 a g l
s em
= 400 −
l a
ag(ii) 104 × 96 — 100 के दोन ओर बराबर दूरी पर, अत: a² − b² ली जए।
om a s
m .
= (100 + 4)(100 − 4) = 10000 − 16 =e9984
c agl
a s
agl
(iii) 24 × 16 — 20 के दोन ओर बराबर दूरी पर।

co m
m .
m as e
.co l
= (20 + 4)(20 − 4) = 400 − 16 = 384
a g
a s em147³ = (150 − 3)³
agl (iv)

se m
com g l a
. a
= 150³ − 3(150)²(3) + 3(150)(3)² − 3³
m
ase
agl
= 3375000 − 202500 + 4050 − 27
= 3176523

co m
m .
as e
(v) 199³ = (200 − 1)³
m l
.co
m = 8000000 − 3(40000)(1) + 3(200)(1) − 1 a g
l a se
ag = 8000000 − 120000 + 600 − 1 = 7880599
.c
s e m
m a
(vi) 127³ = (130 − 3)³
em . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 44 of 57

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= 2197000 − 3(16900)(3) + 3(130)(9) − 27

= 2197000 − 152100 + 3510 − 27 = 2048383

(vii) (−107)³ = −107³ = −(100 + 7)³

107³ = 1000000 + 3(10000)(7) + 3(100)(49) + 343

= 1000000 + 210000 + 14700 + 343 = 1225043

अत: (−107)³ = −1225043

(viii) (−299)³ = −299³ = −(300 − 1)³

299³ = 27000000 − 3(90000)(1) + 3(300)(1) − 1

= 27000000 − 270000 + 900 − 1 = 26730899

अत: (−299)³ = −26730899

वषम घात चह्न क्य बनाए रखती है: (−a)³ = (−1)³a³ = −a³। ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक ही होता
है, अत: पहले धनात्मक संख्या का घन नका लए और अंत म ऋण चह्न लगा द जए। सम घात चह्न को सोख लेती
है, जैसा ऊपर (−3x + 4)² म हुआ।

प्र.3 नम्न ल खत बीजीय व्यंजक का गुणनखंड क जए — (i) 4y² + 1 + 1/(16y²) (ii) 9m² − 1/(25n²) (iii)
27b³ − 1/(64b³) (iv) x² + 5x/6 + 1/6 (v) 27u³ − 1/125 − 27u²/5 + 9u/25 (vi) 64y³ + z³/125
(vii) p³ + 27q³ + r³ − 9pqr (viii) 9m² − 12m + 4 (ix) 9x³ − (8/3)y³ + z³/3 + 6xyz (x) 4x² +
9y² + 36z² + 12xy + 36yz + 24zx (xi) 27u³ − 1/216 − 9u²/2 + u/4

(i) 4y² + 1 + 1/(16y²) — मध्य पद 1 ही संकेत है: 2 × 2y × 1/(4y) = 1।

= (2y)² + 2(2y)(1/4y) + (1/4y)² = (2y + 1/(4y))²

(ii) 9m² − 1/(25n²) — दो वग का अंतर।

= (3m)² − (1/5n)² = (3m + 1/(5n))(3m − 1/(5n))

(iii) 27b³ − 1/(64b³) — दो घन का अंतर, x = 3b, y = 1/(4b)।

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= (3b)³ − (1/4b)³

= (3b − 1/(4b))(9b² + 3/4 + 1/(16b²))

(मध्य पद xy = 3b × 1/4b = 3/4 है)

(iv) x² + 5x/6 + 1/6 — a + b = 5/6 तथा ab = 1/6 चा हए; ली जए a = 1/2, b = 1/3।

= (x + 1/2)(x + 1/3) — अथवा िभन्न हटाकर (2x + 1)(3x + 1)/6

(v) 27u³ − 27u²/5 + 9u/25 − 1/125 — एकांतर चह्न वाले चार पद: अंतर का घन।

a = 3u, b = 1/5:

a³ = 27u³, 3a²b = 3(9u²)(1/5) = 27u²/5, 3ab² = 3(3u)(1/25) = 9u/25, b³ = 1/125 ✓

= (3u − 1/5)³

(vi) 64y³ + z³/125 — दो घन का योग, x = 4y तथा दूसरा पद z/5।

= (4y)³ + (z/5)³
= (4y + z/5)(16y² − 4yz/5 + z²/25)

(vii) p³ + 27q³ + r³ − 9pqr — तीन घन वाली सवस मका, दूसरे चर के ान पर 3q।

= p³ + (3q)³ + r³ − 3(p)(3q)(r)

= (p + 3q + r)(p² + 9q² + r² − 3pq − 3qr − rp)

(viii) 9m² − 12m + 4

= (3m)² − 2(3m)(2) + 2² = (3m − 2)²

(ix) 9x³ − (8/3)y³ + z³/3 + 6xyz — गुणांक घन नह ह, अत: पहले 1/3 बाहर नका लए।

= (1/3)(27x³ − 8y³ + z³ + 18xyz)
= (1/3)[ (3x)³ + (−2y)³ + z³ − 3(3x)(−2y)(z) ]

= (1/3)(3x − 2y + z)(9x² + 4y² + z² + 6xy + 2yz − 3zx)

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(x) 4x² + 9y² + 36z² + 12xy + 36yz + 24zx — तीन वग 2x, 3y तथा 6z क ओर संकेत करते ह, और उनके म श्रत
पद 2(2x)(3y) = 12xy, 2(3y)(6z) = 36yz, 2(6z)(2x) = 24zx ह।

= (2x)² + (3y)² + (6z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(6z) + 2(6z)(2x)

= (2x + 3y + 6z)²

पाठ्यपुस्तक के दोन संस्करण पर टप्पणी: हद संस्करण म यह भाग “12xy + 36yz + 24zx” छपा है, जो
सही है और जसका गुणनखंडन ऊपर कया गया है। अंग्रेज़ी संस्करण म यही भाग “12xz + 36yz + 24xy” छपा
है — वहाँ 12 और 24 गलत युग्म के साथ जुड़ गए ह और उस रूप म व्यंजक पूण वग नह रहता, न ही उसका कोई
गुणनखंडन होता है।

(xi) 27u³ − 9u²/2 + u/4 − 1/216 — यह भी अंतर का घन है।

a = 3u, b = 1/6:

3a²b = 3(9u²)(1/6) = 9u²/2 ✓ 3ab² = 3(3u)(1/36) = u/4 ✓ b³ = 1/216 ✓

= (3u − 1/6)³

वग और घन म तुरंत भेद कैसे कर: पूण वग वाले त्रपद म तीन पद होते ह और बाहरी दो वग होते ह; पूण घन के
वस्तार म चार पद होते ह, बाहरी दो घन होते ह, और बीच के दो गुणांक का अनुपात 3a²b : 3ab² = a : b होता
है। (v) म 27u²/5 : 9u/25 = 15u : 1 है, और वास्तव म a : b = 3u : 1/5 = 15u : 1। ✓

प्र.4 नम्न ल खत को सरल क जए — (i) (4x² + 4x + 1)/(4x² − 1) (ii) 9(3a³ − 24b³)/(9a² − 36b²) (iii)
(s³ + 125t³)/(s² − 2st − 35t²). संकेत — मान ली जए क ‘हर’ शून्य के समान नह है।

(i)

अंश = (2x)² + 2(2x)(1) + 1² = (2x + 1)²

हर = (2x)² − 1² = (2x + 1)(2x − 1)

= (2x + 1)² / [(2x + 1)(2x − 1)] = (2x + 1)/(2x − 1)

(ii) — पहले संख्यात्मक गुणनखंड बाहर ली जए, फर घन के अंतर और वग के अंतर का उपयोग क जए।

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अंश = 9 × 3(a³ − 8b³) = 27(a − 2b)(a² + 2ab + 4b²)

हर = 9(a² − 4b²) = 9(a − 2b)(a + 2b)

= 27(a − 2b)(a² + 2ab + 4b²) / [9(a − 2b)(a + 2b)]

= 3(a² + 2ab + 4b²)/(a + 2b)

(iii)

अंश = s³ + (5t)³ = (s + 5t)(s² − 5st + 25t²)

हर = s² − 2st − 35t² = (s − 7t)(s + 5t)

= (s² − 5st + 25t²)/(s − 7t)

संकेत: (ii) म तुरंत 9 काटने का लोभ छो ड़ए। पहले पूरा गुणनखंडन क जए — उपयोगी कटान (a − 2b) क है,
जो 3(a³ − 8b³)/(a² − 4b²) पर रुक जाने से दखाई ही नह दे ती।

प्र.5 नम्न ल खत व्यंजक ारा आयत के क्षेत्रफल वग इकाई म दए गए ह। इन आयत क लंबाई और चौड़ाई के
संभा वत व्यंजक ात क जए — (i) 25a² − 30ab + 9b² (ii) 36s² − 49t²

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, अत: क्षेत्रफल के व्यंजक को दो गुणनखंड म तोड़ने पर वमाओं का एक संभा वत युग्म मल जाता है।
(i) 25a² − 30ab + 9b²

= (5a)² − 2(5a)(3b) + (3b)² = (5a − 3b)²

लंबाई = (5a − 3b) इकाई, चौड़ ाई = (5a − 3b) इकाई

दोन भुजाएँ बराबर ह, अत: यह आयत वास्तव म एक वग है।
(ii) 36s² − 49t²

= (6s)² − (7t)² = (6s + 7t)(6s − 7t)

लंबाई = (6s + 7t) इकाई, चौड़ ाई = (6s − 7t) इकाई

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as e
कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
उत्तर म ‘संभा वत’ क्य कहा गया है: दए गए क्षेत्रफल को अनेक प्रकार से तोड़ा जा सकता है — 2(3s + 3.5t)

m a s emे लए
gl है, क्य क t > 0
(6s − 7t) का गुणनफल भी वही है। प्रश्न साथक बीजीय व्यंजक म गुणनखंडन चाहता है, और उसक
co वक उत्तर दे ती ह। (ii) म बड़े गुणनखंड को लंबाई मानना सामान्य पaरपाट
सवस मकाएँ.स्वाभा

a s e6sm+ 7t > 6s − 7t होता है।
agl
होने पर

com
e m . ag
as
प्र.6 नम्न ल खत व्यंजक ारा घनाभ के आयतन घन इकाई म दए गए ह। इन घनाभ क लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई

a g l
के संभा वत व्यंजक ात क जए — (i) 6a² − 24b² (ii) 3ps² − 15ps + 12p

co m
em.
as
आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई, अत: प्रत्येक व्यंजक को तीन गुणनखंड म तो ड़ए।
m l
(i) 6a² − 24b²
m .co a g
l a se
a g = 6(a² − 4b²)

om a s
agl
= 6(a − 2b)(a + 2b)

, चौड़ ाई = (a + 2b) em . c
लंबाई = 6 इकाई
a s , ऊँ चाई = (a − 2b)

agl
इकाई इकाई

(ii) 3ps² − 15ps + 12p

co m
m .
m as e
.co l
= 3p(s² − 5s + 4)
a g
a s emऐसी दो संख्याएँ चािहए िजनका योग −5 और गुणनफल 4 हो: वे है ं −1 और −4

ag l = 3p(s − 1)(s − 4)

se m
com l a
लंबाई = 3p इकाई, चौड़ ाई = (s − 1) इकाई, ऊँ चाई = (s − 4) इकाई
. a g
m
ase
agl
संकेत: सदै व साव संख्यात्मक अथवा चर गुणनखंड पहले बाहर नका लए — (i) म वही एक पूरी वमा दे दे ता है
और (ii) म 3p। शेष बचा घात तो आप पहले ही बाँटना सीख चुके ह।

co m
m .
o m l a se
m .c गाँव के खेल का मैदान 40 मीटर भुजा वाले एक वग के आकार का हैa। gव्य क्तय के चलने हेतु खेल के मैदान के
ase
प्र.7

agl
चार ओर s मीटर चौड़ाई का एक माग न मत कया गया है। s के पद म माग के क्षेत्रफल का व्यंजक ात
क जए।
.c
s e m
m a
em . co agl
g l as
a
माग दो वग के बीच का क्षेत्र है: बाहरी वग (मैदान + दोन ओर का माग) और स्वयं मैदान।

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 49 of 57

कक्षा 9 ग णत अध्याय 4 बीजीय सवस मकाओं का अन्वेषण AglaSem · NCERT Solutions

40 + 2s

माग, चौड़ ाई s s

40 मैदान 40 × 40

40 मीटर भुजा वाला मैदान, जसके चार ओर s चौड़ाई का माग है। बाहरी वग क भुजा 40 + 2s है।

बाहरी वग की भुजा = 40 + s + s = (40 + 2s) मी

बाहरी वग का क्षेत्रफल = (40 + 2s)² = 40² + 2(40)(2s) + (2s)²

= 1600 + 160s + 4s²

मैद ान का क्षेत्रफल = 40² = 1600

माग का क्षेत्रफल = (1600 + 160s + 4s²) − 1600

= (4s² + 160s) मी² = 4s(s + 40) मी²

भुजा म 2s क्य जुड़ता है, केवल s क्य नह : माग चार ओर घूमता है, अत: वह बाईं ओर s मीटर और दाईं ओर
भी s मीटर जोड़ता है। ऊपर और नीचे भी यही होता है। दूसरा s भूल जाना ऐसे प्रश्न क सबसे सामान्य भूल है।

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स्वयं जाँ चए: s = 1 ली जए। माग 40 मीटर के वग के चार ओर 1 मीटर क प होगा: 40 × 1 क चार प याँ
और 1 × 1 के चार कोने, अथात 160 + 4 = 164 मी²। सूत्र से 4(1) + 160(1) = 164 मी²। ✓ 4s² ठ क वही
चार कोने ह।

प्र.8 य द कसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 10/3 हो तो वह संख्या ात क जए।

मान ली जए संख्या x है। तब उसका व्युत्क्रम 1/x है, और x ≠ 0।

x + 1/x = 10/3

पूरे समीकरण को 3x से गुणा कीिजए:

3x² + 3 = 10x

3x² − 10x + 3 = 0

मध्य पद बाँ टए: ऐसी दो संख्याएँ जनका गुणनफल 3 × 3 = 9 और योग −10 हो, वे ह −1 और −9।

3x² − 9x − x + 3 = 0

3x(x − 3) − 1(x − 3) = 0

(x − 3)(3x − 1) = 0

x = 3 अथवा x = 1/3

दोन उत्तर वास्त वक ह, और वे एक-दूसरे के व्युत्क्रम ह।

जाँच : 3 + 1/3 = 10/3 ✓ 1/3 + 3 = 10/3 ✓

दो उत्तर क्य आने ही थे: शत x + 1/x = 10/3, x और 1/x म कोई भेद नह करती — उन्ह आपस म बदल दे ने
पर बायाँ पक्ष वही रहता है। अत: हल व्युत्क्रम-युग्म म ही आने चा हए, और यहाँ वह युग्म 3 तथा 1/3 है। ध्यान
द जए क उनका गुणनफल 1 है, जो अचर पद 3 म अग्र गुणांक 3 का भाग दे ने पर मलता है।

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प्र.9 एक आयताकार ताल का क्षेत्रफल 2x² + 7x + 3 वग हस्त है। य द इसक चौड़ाई 2x + 1 हस्त है, तो इसक
लंबाई ात क जए। ‘हस्त’ लंबाई मापने क एक इकाई होती थी।

लंबाई = क्षेत्रफल ÷ चौड़ाई, अत: क्षेत्रफल का गुणनखंड क जए और दे खए क कौन-सा गुणनखंड द हुई चौड़ाई है।

2x² + 7x + 3

7x को ऐसी दो संख्याओं से बाँिटए िजनका गुणनफल 2 × 3 = 6 और योग 7 हो: वे है ं 1 और 6

= 2x² + x + 6x + 3

= x(2x + 1) + 3(2x + 1)

= (2x + 1)(x + 3)

चौड़ ाई = (2x + 1) हस्त ⇒ लंबाई = (x + 3) हस्त

क्या आप जानते ह? ‘हस्त’ (संस्कृत म ‘हाथ’) प्राचीन भारत क एक मानक लंबाई थी, जो कोहनी से मध्यमा
अंगुली के सरे तक नापी जाती थी — लगभग 45 सट मीटर। शुल्बसूत्र म वे दय के क्षेत्रफल वग हस्त म ही दए गए
ह।

प्र.10 *य द x − 2 और x − 1/2 दोन px² + 5x + r के गुणनखंड ह तो दशाइए क p = r है।

य द x − 2 गुणनखंड है तो व्यंजक का मान x = 2 पर शून्य होना चा हए; इसी प्रकार x = 1/2 पर भी।

x = 2 पर: p(2)² + 5(2) + r = 0 ⇒ 4p + r = −10 …(1)

x = 1/2 पर: p(1/2)² + 5(1/2) + r = 0 ⇒ p/4 + r = −5/2

4 से गुणा कीिजए: p + 4r = −10 …(2)

(1) म से (2) घटाइए:

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(4p + r) − (p + 4r) = −10 − (−10)

3p − 3r = 0

p=r ■

ये दोन समीकरण मान भी बता दे ते ह: (1) म r = p रखने पर 5p = −10, अथात p = r = −2 और व्यंजक −2x² + 5x − 2 =
−(2x − 1)(x − 2) हो जाता है। दोन दए गए गुणनखंड स्पष्ट दखाई दे ते ह।

‘गुणनखंड’ का अथ ‘मूल’ क्य है: य द x − k गुणनखंड है तो px² + 5x + r = (x − k) × (कोई व्यंजक)। x =
k रखने पर पहला कोष्ठक शून्य हो जाता है, अत: पूरा गुणनफल शून्य। यही गुणनखंड प्रमेय है, और यह गुणनखंड
क बात को दो साधारण समीकरण म बदल दे ता है।

संकेत: ध्यान द जए क सम म त ही सारा काम कर दे ती है। दोन मूल, 2 और 1/2, एक-दूसरे के व्युत्क्रम ह, और
कसी घात के मूल का गुणनफल (अचर पद)/(अग्र गुणांक) = r/p होता है। व्युत्क्रम मूल का गुणनफल 1 होता
है, अत: r/p = 1 — एक ही पं क्त म वही नष्कष।

प्र.11 *य द a + b + c = 5 और ab + bc + ca = 10 है तो सद्ध क जए क a³ + b³ + c³ − 3abc = − 25 होगा।

अनुभाग 4.7 वाली तीन घन क सवस मका ली जए:

a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)

पहला कोष्ठक दया हुआ है। दूसरे के लए पहले योग के वग से a² + b² + c² नका लए:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

5² = a² + b² + c² + 2(10)

25 = a² + b² + c² + 20

a² + b² + c² = 5

अब दोन मान र खए:

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
a³ + b³ + c³ − 3abc = (5)(5 − 10)
m l as
= 5 × (−5)
m .co a g
l a se
g
= −25 ■
a

. c om
a, b, c के अलग-अलग मान क्य नह चा हए: सवस मका उत्तर को पूरी तरह दो सम मत रा शय a + b + c
ag
m दोन द हुई ह। तीन चर वाले सम मत व्यंजक प्राय: इन्ह
तथा ab + bc + ca के पद म व्यक्त कर दे ती है,eऔर
s
a
आधारभूत रा शय से बनाए जा सकते ह —glयही सवस मकाओं को इतना सशक्त बनाता है।
a

co m
m.
क्या आप जानते ह? यहाँ क संख्याएँ असामान्य ह: a² + b² + c² = 5 के साथ ab + bc + ca = 10 होने पर a,

as e
coहै,mऔर हमने केवल दए गए दोन योग का ही उपयोग कया है। l
b, c वास्त वक संख्याएँ नह रह सकत । उपप त्त को इससे कोई अंतर नह पड़ता — सवस मका सभी मान के लए
. a g
em
सत्य होती
a s
a gl
m a s
.co agl
प्र.12 *व्यंजक के गुणनखंड ारा जाँच क जए क सभी प्राकृत संख्याओं n के लए n³ − n सदै व 6 से वभाज्य है।
अपने उत्तर के लए कारण भी बताइए।
se m
g l a
a

co m
.
पहले गुणनखंड क जए।

e m
m
n³ −.cno= n(n² − 1) g l as
a
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a = n(n − 1)(n + 1)
agl
= (n − 1) · n · (n + 1)
se m
com g l a
m . a
ase
अत: n³ − n तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं का गुणनफल है। अब वभाज्यता का तक द जए।

agl
2 से वभाज्य। कन्ह दो क्रमागत पूणाक म एक सम होता ही है, अत: तीन म भी अवश्य कोई सम होगा। इस लए 2 इस
गुणनफल को वभा जत करता है।

. com
em को वभा जत करता है।
3 से वभाज्य। कोई भी पूणाक 3 से भाग दे ने पर शेषफल 0, 1 अथवा 2 छोड़ता है। तीन क्रमागत पूणाक म तीन शेषफल

m a s
o 6 से वभाज्य। गुणनफल 2 से भी वभाज्य है और 3 से भी, तथा 2 औरa3gमl 1 के अ त रक्त कोई साव गुणनखंड नह
ठ क एक-एक बार आते ह, अत: उनम से एक 3 का गुणज होगा। इस लए 3 भी इस गुणनफल

. cअत:
asem
l
है, इस लए उनका गुणनफल 6 भी उसे वभा जत करता है।
a g
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m .
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N (N − 1)N(N + 1) N³ − N ÷6

2 1×2×3 6 1

5 4×5×6 120 20

10 9 × 10 × 11 990 165

‘2 से वभाज्य और 3 से वभाज्य’ से 6 क्य नकलता है: इस चरण के लए 2 और 3 का सह-अभाज्य होना
आवश्यक है। य द कोई संख्या 4 से भी वभाज्य हो और 6 से भी, तो यह नह कहा जा सकता क वह 24 से
वभाज्य है — 12 इसका प्र त-उदाहरण है। यहाँ म.स.(2, 3) = 1 है, अत: नष्कष सुर क्षत है।

यह क जए: यही तक दखाता है क n⁵ − n सदै व 30 से वभाज्य है, क्य क n⁵ − n = (n − 1)n(n + 1)(n² +
1) और यह दखाया जा सकता है क 5 भी इसे सदै व वभा जत करता है।

प्र.13 * नम्न के मान ात क जए — (i) x³ + y³ − 12xy + 64, जब x + y = − 4 (ii) x³ − 8y³ − 36xy − 216,
जब x = 2y + 6

दोन भाग वस्तुत: सवस मका x³ + y³ + z³ − 3xyz ही ह, जसम तीसरा चर इस प्रकार चुना गया है क पहला कोष्ठक शून्य हो
जाए।
(i) x³ + y³ − 12xy + 64, जब x + y = −4

ध्यान दीिजए 64 = 4³ तथा 12xy = 3(x)(y)(4)। z = 4 लीिजए:

x³ + y³ + 4³ − 3(x)(y)(4) = x³ + y³ + 64 − 12xy ✓

= (x + y + 4)(x² + y² + 16 − xy − 4y − 4x)

िदया है x + y = −4, अत: पहला कोष्ठक (−4) + 4 = 0

मान = 0

(ii) x³ − 8y³ − 36xy − 216, जब x = 2y + 6

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−8y³ = (−2y)³ तथा −216 = (−6)³ िलिखए। तब तीनों चर x, −2y, −6 लेने पर:

−3(x)(−2y)(−6) = −36xy ✓

x³ + (−2y)³ + (−6)³ − 3(x)(−2y)(−6)

= (x − 2y − 6)(x² + 4y² + 36 + 2xy − 12y + 6x)

िदया है x = 2y + 6, अत: पहला कोष्ठक (2y + 6) − 2y − 6 = 0

मान = 0

दोन उत्तर शून्य क्य ह: सवस मका कहती है क व्यंजक (तीन चर का योग) × (दूसरा कोष्ठक) के बराबर है।
प्रत्येक भाग म द गई शत ठ क यही कहती है क तीन चर का योग शून्य है। अत: पूरा गुणनफल समाप्त हो जाता
है, चाहे दूसरा कोष्ठक कुछ भी हो — उसका मान नकालने क आवश्यकता ही नह पड़ती। आकार पहचान लेना ही
पूरा प्रश्न है।

संकेत: इसके पीछे का व्यापक तथ्य स्मरण रखने योग्य है: य द x + y + z = 0 हो तो x³ + y³ + z³ = 3xyz
होता है। ऊपर के दोन भाग इसी कथन के उल्टे रूप ह।

अध्याय — एक नज़र म
x² − 1 = 24 जैसा समीकरण केवल x = 5 अथवा x = −5 के लए सत्य है, परंतु (x + y)² = x² + 2xy + y² जैसी
सवस मका x और y के प्रत्येक मान के लए सत्य है। समीकरण और सवस मका म यही अंतर है।
(a + b) भुजा वाला वग a², b² तथा दो ab आयत म वभा जत होता है, अत: (a + b)² = a² + 2ab + b²। इसम b के
ान पर −b रखने पर — जो मान्य है, क्य क सवस मका सभी मान के लए सत्य होती है — (a − b)² = a² − 2ab + b²
प्राप्त होता है। (a + b + c) भुजा वाला वग नौ भाग म बँटकर तीन चर वाली सवस मका दे ता है।
प्रत्येक सवस मका को उलटकर पढ़ने पर वह गुणनखंडन का नयम बन जाती है। 9x² + 24xy + 16y² के भीतर a² + 2ab
+ b² को पहचान लेना ही उसे (3x + 4y)² लखने क कुंजी है।
बीजीय टाइल x² + 7x + 12 के गुणनखंडन को एक पहेली बना दे ती ह: 7x का केवल वही वभाजन काम करता है जसम
इकाई टाइल पूरा आयत भर द, अथात 3x + 4x, क्य क 3 + 4 = 7 तथा 3 × 4 = 12। टाइल के बना यही ‘मध्य पद का
वभाजन’ है — a + b = x का गुणांक तथा ab = अचर पद।
घन इसी वचार का एक वमा आगे का रूप है: (a + b) भुजा वाला घन दो घन और छह घनाभ म बँटता है, जससे (a + b)³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ प्राप्त होता है।
सवस मकाएँ गणना को शीघ्र बनाती ह — 205² = (200 + 5)², 104 × 96 = 100² − 4², 199³ = (200 − 1)³ — तथा
अंश व हर का गुणनखंडन करके शून्येतर साव गुणनखंड को काटने पर प रमेय व्यंजक सरल हो जाते ह।

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त्व रत पुनरावृ त्त

सवस मका कथन कससे प्राप्त होती है उपयोग

योग का वग (a + b)² = a² + 2ab + b² चत्र 4.2 — a + b भुजा वाला वग, 64², (7x + 4y)² का वस्तार
a², b² तथा दो ab आयत म

अंतर का वग (a − b)² = a² − 2ab + b² चत्र 4.3, अथवा पहली सवस मका 79², 16y² − 24y + 9 का गुणनखंडन
म b के ान पर −b

तीन पद के योग (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab चत्र 4.4 — a + b + c भुजा वाले 117², 9a² + 4b² + c² − 12ab + 6ac
का वग + 2bc + 2ca वग पर 3 × 3 क जाली − 4bc का गुणनखंडन

दो वग का अंतर a² − b² = (a + b)(a − b) चत्र 4.5 — वग से एक प काटकर 104 × 96, 36s² − 49t² का गुणनखंडन
दूसरी ओर जोड़ना

श्रीधराचाय का a² = (a + b)(a − b) + b² वही चत्र, दूसरी ओर से पढ़ने पर 35², 55², 105² मौ खक रूप से
रूप

दो पद का (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + चत्र 4.7 — बीजीय टाइल से बना x² + 7x + 12, x² − 5x + 6 का
गुणनफल ab आयत गुणनखंडन

व्यापक पद (px + a)(qx + b) = pq·x² + (pb चत्र 4.8 — (2x + 3)(3x + 1) क 6x² + 7x + 2, 10x² − 11x − 6 का
गुणनफल + aq)x + ab टाइल गुणनखंडन

योग का घन (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ चत्र 4.10 — a + b भुजा वाला 147³, p³ + 6p²q + 12pq² + 8q³ का
घन, 2 घन + 6 घनाभ गुणनखंडन

अंतर का घन (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ योग के घन म b के ान पर −b 199³, 8n³ − 60n²m + 150nm² −
125m³ का गुणनखंडन

घन का योग और x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) वतरण गुणधम से गुणा; मध्य के पद 27b³ − 1/(64b³), 64y³ + z³/125
अंतर x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²) कट जाते ह का गुणनखंडन

तीन घन x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + गुणा करने पर नौ म श्रत पद तीन- p³ + 27q³ + r³ − 9pqr;
z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx) तीन के समूह म कट जाते ह a³+b³+c³−3abc = −25 सद्ध करना

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