NCERT Solutions Class 5 Maths Chapter 13 जानवरों की छलाँग

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा5

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 13: जानवर क छलाँग

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत मेला

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

164 – 170 13 72 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 56 pages

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

क ा 5 · ग णत · ग णत मे ला

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 13: जानवर क छलाँग
ग णत मेला का अध्याय 13 छलाँग के खेल से गनती सखाता है। खरगोश हर बार 4 क छलाँग लगाता है, मढक 3 क , मकड़ी 3 क और टड्डा 6 क
— और मोगली जंगल क पगडंडी पर कूदता हुआ अपने मत्र से मलने जाता है। इन्ह छलाँग से अध्याय चार बड़े वचार बनाता है: गुणनखंड,
गुणज, उभय नष्ठ गुणनखंड और उभय नष्ठ गुणज।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत मेला (क ा 5) 164 – 170

खं ड प्रश्न

13 72

माध्यम

हन्द

छु पी हुई संख्याओं को ढूँ ढ़ — पृष्ठ 164
गुणा करने वाला बक्सा; गुणनखंड, गुणज और व्यूह

छु पी हुई सं ख्याओं को ढूँ ढ़

प्र.1 (क) य द आप बक्से से बाहर आती हुई 4 संख्याओं को दे खते ह तो क्या आप गुणक का अनुमान लगा सकते ह?

गुणक 1, 2 या 4 हो सकता है।
बक्सा हर संख्या के साथ एक ही काम करता है — उसे गुणा कर दे ता है। इस लए गुणक ऐसा होना चा हए जो बाहर आई चार
संख्याओं — 28, 36, 48 और 72 — म पूरा-पूरा समा जाए।

1. 28 को पूरा-पूरा वभा जत करने वाली सभी संख्याएँ ल खए। 1, 2, 4, 7, 14, 28।
2. 36 के लए भी वही क जए। 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36।
3. 48 के लए। 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48।
4. 72 के लए। 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72।
5. जो संख्याएँ चार सू चय म ह उन पर नशान लगाइए। केवल 1, 2 और 4 चार म ह।

Page 1 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

28 = 4 × 7

36 = 4 × 9

48 = 4 × 12
72 = 4 × 18

अतः गुणक 4 हो सकता है (और 2 या 1 भी)

ऐसा क्य होता है: जो संख्या कसी दूसरी संख्या को पूरा-पूरा वभा जत कर दे और शेष कुछ न बचे, उसे गुणनखंड
कहते ह। गुणक को बाहर आई हर संख्या का गुणनखंड होना ही था, क्य क बक्से ने गुणा करके ही वे संख्याएँ बनाई
थ।

ध्यान द जए: तीन म 4 सबसे बड़ा है, इस लए वही सबसे रोचक उत्तर है। गुणक 1 होने का अथ होगा क बक्से ने
कुछ कया ही नह ।

प्र.2 (ख) क्या यहाँ एक से अ धक गुणक संभव हो सकते ह?

हाँ। तीन गुणक संभव ह — 1, 2 और 4।

गुणक क्या यह 28, 36, 48 व 72 को पूरा-पूरा वभा जत करता है?

1 हाँ — 1 हर संख्या को िवभािजत करता है

2 हाँ — चारों संख्याएँ सम है ं

4 हाँ — 28 = 4 × 7, 36 = 4 × 9, 48 = 4 × 12, 72 = 4 × 18

3 नह — 28 ÷ 3 म 1 शेष बचता है

6 नह — 28 ÷ 6 म 4 शेष बचता है

ऐसा क्य होता है: 1, 2 और 4, संख्याओं 28, 36, 48 व 72 के उभय नष्ठ गुणनखंड ह — यानी वे गुणनखंड जो
चार म साझा ह। इनम से कोई भी गुणक हो सकता था।

Page 2 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

स्वयं जाँ चए: 8 को आज़माइए। 48 ÷ 8 = 6 और 72 ÷ 8 = 9 सही ह, पर 28 ÷ 8 म 4 शेष बचता है। इस लए 8
उभय नष्ठ गुणनखंड नह है।

प्र.3 (ग) कौन-सी संख्याएँ बक्से के अंदर रखी गई ह गी?

यह इस पर नभर है क बक्सा कस गुणक से गुणा कर रहा था। तीन संभावनाएँ नीचे द गई ह।

य द गुणक है… तो अंदर रखी संख्याएँ थ … हल

4 7, 9, 12, 18 28 ÷ 4 = 7, 36 ÷ 4 = 9, 48 ÷ 4 = 12, 72 ÷ 4 = 18

2 14, 18, 24, 36 28 ÷ 2 = 14, 36 ÷ 2 = 18, 48 ÷ 2 = 24, 72 ÷ 2 = 36

1 28, 36, 48, 72 1 से गुणा करने पर कुछ नह बदलता

पीछे लौटने के िलए भाग दीिजए।

बाहर आई संख्या ÷ गुणक = अंद र रखी गई संख्या

28 ÷ 4 = 7

ऐसा क्य होता है: गुणा और भाग एक-दूसरे का उल्टा काम करते ह। बक्से ने गुणा कया था, इस लए अंदर क
संख्या पाने के लए भाग दे ना होगा।

चत्र फर दे खए: बक्से के पास हल्के रंग म कुछ संख्याएँ लखी ह — 12, 7 और 18 उनम से ह। गुणक 4 मानने
पर तीन उत्तर म आती ह।

प्र.4 अपने वचार को क ा म साझा क जए। यह खेल आप अपने मत्र के साथ भी खेल सकते ह।

नमूना उत्तर: बक्सा 4 से गुणा कर रहा होगा। बाहर आई चार संख्याओं — 28, 36, 48 और 72 — को 4-4 के बराबर समूह म
बाँटा जा सकता है और कुछ भी शेष नह बचता। इस लए अंदर 7, 9, 12 और 18 रखी गई थ । गुणक 2 भी चल सकता है, और 1
भी, पर 1 का अथ होगा क बक्से ने कुछ बदला ही नह ।
मत्र के साथ खेल कैसे खेल — चरण दर चरण:

1. एक साथी 'बक्सा' बनेगा। वह चुपचाप एक गुणक चुन लेगा, मान ली जए 6।
2. बाक साथी संख्याएँ बोलगे। मान ली जए 3, 5 और 8।

Page 3 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

3. बक्सा उत्तर दे गा। वह बोलेगा 18, 30 और 48 — हर संख्या को 6 से गुणा करके।
co m
e m.
as
4. अब गुणक पहचा नए। वह सबसे बड़ी संख्या खो जए जो 18, 30 व 48 को पूरा-पूरा वभा जत करे। वह है 6।
m l
.co a g
5. बारी बद लए और फर से खे लए।

a s em
gl भी क जए: गुणक 7 या 9 चुनकर खेल को क ठन बनाइए। तब बाहर आने वाली संख्याएँ बड़ी ह गी और
aयह
सा थय को अनुमान क जगह गुणनखंड खोजने पड़गे।

co m
m . ag
l a se
प्र.5 जब कसी संख्या को व्यूह म व्यव ag
त कया जाए तो यह संख्या के गुणनखंड को दशाता है। क्या कोई अन्य
संख्याएँ ह जो 15 क गुणनखंड ह ? संख्या 15 के लए अन्य व्यूह बनाने का प्रयत्न क जए।

co m
se m.
o m l a

m .cके अलावा 1 तथा 15 भी 15 के गुणनखंड ह। इस प्रकार 15 के कुल चार गुaणgनखंड ह — 1, 3, 5 और 15।
sकाeअथ है गो टय को बराबर पं क्तय म आयत क तरह सजाना। हर आयत गुणनखंड का एक जोड़ा देता है।
हाँ। 3 और 5

l a
ag
ूह

m a s
m.co agl
l a se
a g

com
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
a
3 × 5 = 15 m se m
co g l a
m . a
ase
agl
5 × 3 =om15
.c
s e m
m a
m . co agl
15 के दो आयत। दोन म 15 गो टयाँ ह — एक दूसरे को घुमाने पर बनता है।

ase
a g l
.c
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a 1 × 15 = 15
co m
m .
m as e
.co


a g l Page 4 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

तीसरा आयत: 15 गो टय क एक ही पं क्त। इससे गुणनखंड 1 और 15 मलते ह।

3 × 5 = 15 → गुणनखंड 3 व 5

5 × 3 = 15 → वही दो गुणनखंड

1 × 15 = 15 → गुणनखंड 1 व 15

15 के गुणनखंड = 1, 3, 5, 15

ऐसा क्य होता है: य द गो टयाँ बना खाली जगह छोड़े आयत म बैठ जाएँ, तो पं क्तय क संख्या कुल गो टय को
पूरा-पूरा वभा जत करती है। गुणनखंड का यही अथ है। जो आयत बन ही न सके — जैसे 4 पं क्तय वाला —
उसका अथ है क 4, 15 का गुणनखंड नह है।

स्वयं जाँ चए: 2 पं क्तयाँ बनाकर दे खए। 15 गो टयाँ दो बराबर पं क्तय म नह बँटत — एक म 7 और दूसरी म 8
आएँगी। इस लए 2, 15 का गुणनखंड नह है।

प्र.6 आइए संख्या 12 के लए व्यूह बनाते ह। (पुस्तक म 3 × 4 = 12, 2 × 6 = 12 और 1 × 12 = 12 दखाए गए ह।)
12 के गुणनखंड कौन-कौन से ह?

12 के गुणनखंड ह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 — कुल छह।

2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
पुस्तक म दए गए 12 के दो आयत।

Page 5 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

1 × 12 = 12
तीसरा आयत: 12 गो टय क एक लंबी पं क्त।

हर आयत गुणनखंड का एक जोड़ा दे ता है। सारे जोड़े इक े क जए:

1 × 12 = 12 → 1 और 12

2 × 6 = 12 → 2 और 6

3 × 4 = 12 → 3 और 4

12 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12

ऐसा क्य होता है: आयत को घुमा दे ने से गुणनखंड का वही जोड़ा मलता है। 4-4 क 3 पं क्तयाँ और 3-3 क 4
पं क्तयाँ — दोन म 12 गो टयाँ ह। इसी लए छह गुणनखंड पाने के लए तीन ही आयत काफ ह।

ध्यान र खए: गुणनखंड खोजने के लए 1, फर 2, फर 3, फर 4 … आज़माते जाइए और जब जोड़े दोहराने लग
तब रुक जाइए। 12 म 3 × 4 के बाद अगली बारी 4 × 3 क है, जो पहले ही आ चुका है।

12 गुणज क्य है — पृष्ठ 165
1, 2, 3, 4, 6 और 12 — सभी 12 के गुणनखंड ह

प्र.1 12 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 ह। इनम से प्रत्येक संख्या 12 को पूणत: वभा जत कर सकती है।
12 इन संख्याओं का एक गुणज है। क्या आपने दे खा क क्य 12 संख्याओं 1, 2, 3, 4, 6 व 12 का गुणज है?

हाँ। 12 इन सबका गुणज है क्य क इनम से हर एक 12 को पूरा-पूरा वभा जत कर दे ता है, शेष कुछ नह बचता।
इसे छलाँग क तरह सो चए। 0 से शुरू करके बराबर छलाँग लगाइए। य द आप ठ क 12 पर पहुँचते ह, तो आपक छलाँग 12 का
गुणनखंड है और 12 आपक छलाँग का गुणज है।

Page 6 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

छलाँग 12 तक पहुँचने म छलाँग गुणा भाग

1 12 छलाँग 1 × 12 = 12 12 ÷ 1 = 12

2 6 छलाँग 2 × 6 = 12 12 ÷ 2 = 6

3 4 छलाँग 3 × 4 = 12 12 ÷ 3 = 4

4 3 छलाँग 4 × 3 = 12 12 ÷ 4 = 3

6 2 छलाँग 6 × 2 = 12 12 ÷ 6 = 2

12 1 छलाँग 12 × 1 = 12 12 ÷ 12 = 1

3 की छलाँगे ं 12 पर पहचु ँ ती है ं
4 की छलाँगे ं भी 12 पर पहच ु ँ ती है ं

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

दोन छलाँग ठ क 12 पर पहुँचती ह। इस लए 3 और 4, 12 के गुणनखंड ह और 12 दोन का गुणज है।

ऐसा क्य होता है: गुणनखंड और गुणज एक ही बात कहने के दो तरीके ह। 3 × 4 = 12 म 3 और 4 गुणनखंड ह
तथा 12 गुणज है। गुणनखंड छलाँग है; गुणज पड़ाव है।

याद रखने का तरीका: गुणनखंड संख्या से बड़े कभी नह होते। गुणज संख्या से छोटे कभी नह होते।

प्र.2 रक्त ान भ रए: 2 × ____ = 12, 3 × ____ = 12, 12 × ____ = 12, 1 × ____ = 12

चार उत्तर ये ह।

Page 7 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

2 × 6 = 12

3 × 4 = 12

12 × 1 = 12
1 × 12 = 12

हर रक्त ान कैसे भर:

1. 12 म द गई संख्या का भाग द जए। पहले वाले म 12 ÷ 2 = 6।
2. उत्तर रक्त ान म ल खए। 2 × 6 = 12।
3. गुणा करके जाँ चए। 2 × 6 = 12 ✓
4. बाक के लए भी यही क जए। 12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 12 = 1, 12 ÷ 1 = 12।

पुस्तक क लाल टप्पणी कहती है: कोई भी संख्या सदै व स्वयं क गुणज होती है। 12 × 1 = 12 यही दखाता है।
12 कदम क एक छलाँग लगाइए और आप 12 पर पहुँच जाएँगे। इसी तरह 7, 7 का गुणज है और 100, 100 का।

आइए करके दे ख — पृष्ठ 165
नीचे द गई संख्याओं के लए व भन्न व्यूह बनाइए। प्रत्येक त म गुणनखंड क भी पहचान क जए।

आइए करके दे ख

प्र.1 (क) 10

10 के गुणनखंड: 1, 2, 5, 10। कुल 4 गुणनखंड।

1 × 10 = 10
2 × 5 = 10
10 के ूह। हर आयत गुणनखंड का एक जोड़ा दे ता है।

Page 8 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
em.
1 × 10 = 10 → गुणनखंड 1 व 10
m l as
.co
2 × 5 = 10 → गुणनखंड 2 व 5
m a g
l a se
g
a10 के सभी गुणनखंड = 1, 2, 5, 10

com
m . ag
l a se
ag4, 10 के गुणनखंड नह ह।
ऐसा क्य होता है: 10 गो टय को 10 क एक पं क्त म या 5-5 क 2 पं क्तय म सजाया जा सकता है। 3 या 4
बराबर पं क्तयाँ नह बनत , इस लए 3 और

co m
स्वयं जाँ चए: 2 × 5 = 10 और 1 × 10 = 10 — दोन जोड़े 10 दे ते ह ✓
e m.
m l as
m .co a g
l a se
g
a प्र.2 (ख) 14

m a s
m.co agl
se

g l a
a
14 के गुणनखंड: 1, 2, 7, 14। कुल 4 गुणनखंड।

co m
m .
m la se
m .co 1 × 14 = g
a
14

ase
agl
2 × 7 = 14

se m
14 के ूह। हर आयत गुणनखंड का एक जोड़ा दे ता है।

com g l a
. a
a s em
a gl
1 × 14 = 14 → गुणनखंड 1 व 14

2 × 7 = 14 → गुणनखंड 2 व 7

co m
m .
m as e
.co
14 के सभी गुणनखंड = 1, 2, 7, 14
a g l
se m
g l a
a c
.
ऐसा क्य होता है: 14 सम संख्या है, इस लए 7-7 क 2 पं क्तयाँ बन जाती ह। इसके बाद 3, 4, 5 और 6 — हर

s e m
m a
बार कुछ गो टयाँ बच जाती ह।

e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 9 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 (ग) 13

13 के गुणनखंड: 1, 13। कुल 2 गुणनखंड।

1 × 13 = 13
13 के लए केवल एक ही आयत बनता है — एक पं क्त।

1 × 13 = 13 → गुणनखंड 1 व 13

13 के सभी गुणनखंड = 1, 13

ऐसा क्य होता है: 13 गो टयाँ केवल एक ही पं क्त म सज सकती ह। 2 पं क्तयाँ बनाइए तो 6 और 7 मलती ह,
जो बराबर नह ह। 3, 4, 5, 6 — हर बार कुछ गो टयाँ बच जाती ह। इस लए 13 के केवल दो गुणनखंड ह।

क्या आप जानते ह? जस संख्या के ठ क दो गुणनखंड ह — 1 और वह स्वयं — उसे अभाज्य संख्या कहते ह।
13 अभाज्य है।

प्र.4 (घ) 20

20 के गुणनखंड: 1, 2, 4, 5, 10, 20। कुल 6 गुणनखंड।

Page 10 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

2 × 10 = 20

4 × 5 = 20
20 के ूह। हर आयत गुणनखंड का एक जोड़ा दे ता है।

1 × 20 = 20 → गुणनखंड 1 व 20

2 × 10 = 20 → गुणनखंड 2 व 10

4 × 5 = 20 → गुणनखंड 4 व 5

20 के सभी गुणनखंड = 1, 2, 4, 5, 10, 20

ऐसा क्य होता है: एक-एक करके जाँ चए। 20 ÷ 1 = 20 ✓, 20 ÷ 2 = 10 ✓, 20 ÷ 3 म 2 शेष ✗, 20 ÷ 4 =
5 ✓, 20 ÷ 5 = 4 ✓। 4 × 5 के बाद जोड़े दोहराने लगते ह, इस लए वह रुक जाइए।

प्र.5 (ङ) 25

25 के गुणनखंड: 1, 5, 25। कुल 3 गुणनखंड।

Page 11 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

5 × 5 = 25
25 गो टय से पूरा वग बनता है: 5-5 क 5 पं क्तयाँ।

1 × 25 = 25 → गुणनखंड 1 व 25

5 × 5 = 25 → गुणनखंड 5 व 5

25 के सभी गुणनखंड = 1, 5, 25

दूसरा आयत 25 गो टय क एक पं क्त है, जससे गुणनखंड 1 और 25 मलते ह।

Page 12 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: 25 से पूरा वग बनता है — 5-5 क 5 पं क्तयाँ। जब कसी संख्या से वग बनता है तो उस जोड़े
के दोन गुणनखंड एक ही होते ह, इस लए उसे एक ही बार गना जाता है। यही कारण है क 25 के गुणनखंड वषम
संख्या म, यानी तीन ह।

यह भी क जए: और कौन-सी संख्याओं से पूरा वग बनता है? 4 (2 × 2), 9 (3 × 3), 16 (4 × 4), 36 (6 × 6)।

प्र.6 (च) 32

32 के गुणनखंड: 1, 2, 4, 8, 16, 32। कुल 6 गुणनखंड।

2 × 16 = 32

4 × 8 = 32

32 के ूह। हर आयत गुणनखंड का एक जोड़ा दे ता है।

1 × 32 = 32 → गुणनखंड 1 व 32

2 × 16 = 32 → गुणनखंड 2 व 16

4 × 8 = 32 → गुणनखंड 4 व 8

32 के सभी गुणनखंड = 1, 2, 4, 8, 16, 32

ऐसा क्य होता है: 32 बार-बार आधा होता जाता है — 32, 16, 8, 4, 2, 1। ये सभी गुणनखंड ह। 1 के अलावा
कोई वषम संख्या 32 को नह बाँटती, क्य क 32 केवल 2 से बना है: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32।

प्र.7 (छ) 37

37 के गुणनखंड: 1, 37। कुल 2 गुणनखंड।

Page 13 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
m l as
m .co 1 × 37 = 37 a g
ase
agl 37 गो टय से केवल एक ही आयत बनता है — एक लंबी पं क्त।

co m
e m . ag
as
1 × 37 = 37 → गुणनखंड 1 व 37

a g l
37 के सभी गुणनखंड = 1, 37
co m
se m.
o m l a
g जाती ह। केवल एक लंबी
ऐसा क्य.cहोता है: 2, 3, 4, 5, 6 पं क्तयाँ बनाकर दे खए — हर बार कुछ गो टयाँaबच
m
e ही बनती है।
पंsक्त
g l a
a
m a s
.co agl
क्या आप जानते ह? 37 भी 13 क तरह अभाज्य संख्या है।

se m
g l a
a
(ज) 46
m
प्र.8

. co
e m
m l as
.cणoनखंड: 1, 2, 23, 46। कुल 4 गुणनखंड। g

46 m a
se
के गु

g l a
a
se m
com g l a
m . a
ase
agl 2 × 23 = 46

co m
.
46 गो टयाँ — 23-23 क 2 पं क्तयाँ। दूसरा आयत 46 क एक पं क्त है।

e m
m l as
.co
m 1 × 46 = 46 → गुणनखंड 1 व 46 a g
l a se
ag
.c
m
2 × 23 = 46 → गुणनखंड 2 व 23

m a s e
e m . co agl
46 के सभी गुणनखंड = 1, 2, 23, 46
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 14 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: 46 सम है, इस लए 23-23 क 2 पं क्तयाँ बनती ह। इसके बाद 3 से लेकर 22 तक कुछ भी
नह चलता, क्य क 23 स्वयं अभाज्य संख्या है।

प्र.9 (झ) 54

54 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54। कुल 8 गुणनखंड।

3 × 18 = 54

6 × 9 = 54

54 के ूह। हर आयत गुणनखंड का एक जोड़ा दे ता है।

1 × 54 = 54 → गुणनखंड 1 व 54

2 × 27 = 54 → गुणनखंड 2 व 27
3 × 18 = 54 → गुणनखंड 3 व 18

6 × 9 = 54 → गुणनखंड 6 व 9

54 के सभी गुणनखंड = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54

ऐसा क्य होता है: 54 सम है, इस लए 2 गुणनखंड है। 5 + 4 = 9 और 9, 3 के पहाड़े म आता है, इस लए 3 भी
गुणनखंड है। जोड़े बनाने पर 1 × 54, 2 × 27, 3 × 18 और 6 × 9 मलते ह — कुल आठ गुणनखंड।

स्वयं जाँ चए: 6 × 9 = 54 ✓ और 3 × 18 = 54 ✓

Page 15 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

प्र.10 संख्याएँ जैसे 13 व 37, अभाज्य संख्याएँ कहलाती ह। क्य ?

क्य क 13 और 37 के ठ क दो-दो ही गुणनखंड ह — 1 और वह संख्या स्वयं। इनके अलावा कोई संख्या इन्ह नह बाँटती।
यह ूह म साफ दखता है। ज्यादातर संख्याओं के एक से अ धक आयत बनते ह। 13 और 37 का केवल एक ही आयत बनता है
— एक लंबी पं क्त।

संख्या कौन-कौन से आयत बनते ह गुणनखंड अभाज्य?

10 1 × 10, 2 × 5 1, 2, 5, 10 नह — चार गुणनखंड

13 केवल 1 × 13 1, 13 हाँ

14 1 × 14, 2 × 7 1, 2, 7, 14 नह

37 केवल 1 × 37 1, 37 हाँ

ऐसा क्य होता है: 13 अभाज्य है या नह , यह जाँचने के लए 13 गो टय को बराबर समूह म बाँ टए। 2-2 के
समूह बनाने पर 1 बच जाती है। 3-3 के समूह बनाने पर भी 1 बचती है। 4, 5, 6 — सबम कुछ न कुछ बचता है। 2
से 12 तक कोई भी संख्या 13 को नह बाँटती, इस लए केवल 1 और 13 ही गुणनखंड बचते ह।

ध्यान द जए: 40 तक क अभाज्य संख्याएँ ह — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 और 37। 1
अभाज्य नह है, क्य क उसका केवल एक गुणनखंड है, दो नह ।

जानवर क छलाँग — पृष्ठ 165

Page 16 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

खरगोश 4 क छलाँग लगाता है, मढक 3 क — दोन कहाँ मलते ह?

जानवर क छलाँ ग क ा म चचा

प्र.1 एक खरगोश प्रत्येक बार 4 क छलाँग लगाता है। एक मढक प्रत्येक बार 3 क छलाँग लगाता है। संख्या-रेखा का
उपयोग करके उन संख्याओं का पता लगाइए जन पर दोन पहुँचगे। य द खरगोश और मढक 0 से प्रारंभ करते ह
तो जन संख्याओं पर वे दोन पहुँचगे उन्ह 3 व 4 के उभय नष्ठ गुणज कहते ह।

मेढं क — 3 की छलाँग खरगोश — 4 की छलाँग

0 3 4 6 8 9 12

पृष्ठ 165 — संख्या-रेखा। दोन 0 से चलना शुरू करते ह। मढक क पहली छलाँग नीले रंग म और खरगोश क पहली
छलाँग लाल रंग म दखाई गई है।

0 से 12 के बीच दोन केवल एक ही संख्या पर पहुँचते ह — 12 पर।

मेढं क: 3 की छलाँग
खरगोश: 4 की छलाँग

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

मढक 3, 6, 9, 12 पर उतरता है। खरगोश 4, 8, 12 पर। घेरा लगी 12 ही साझा पड़ाव है।

1. मढक क छलाँग बनाइए। 0 से 3-3 क छलाँग: 3, 6, 9, 12।
2. खरगोश क छलाँग बनाइए। 0 से 4-4 क छलाँग: 4, 8, 12।
3. दोन सू चय म समान संख्या खो जए। केवल 12 दोन म है।

Page 17 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

मेंढक (3): 3, 6, 9, 12

खरगोश (4): 4, 8, 12

पहला साझा पड़ ाव = 12

ऐसा क्य होता है: 12, 3 के पहाड़े म भी है (3 × 4 = 12) और 4 के पहाड़े म भी (4 × 3 = 12)। जो संख्या दोन
का गुणज हो उसे उभय नष्ठ गुणज कहते ह। 'उभय नष्ठ' का अथ है — दोन म साझा।

ध्यान द जए: मढक 4 छलाँग म 12 पर पहुँचता है, खरगोश 3 छलाँग म। दोन पहुँचते तो ह, पर खरगोश पहले
पहुँचता है क्य क उसक छलाँग लंबी है।

प्र.2 संख्याओं 3 व 4 का पहला उभय नष्ठ गुणज 12 है। 3 व 4 के कुछ अन्य उभय नष्ठ गुणज कौन-से ह? इसके लए
आप संख्या-रेखा को आगे बढ़ा सकते ह या 3 व 4 के पहाड़ क सहायता ले सकते ह।

मेढं क — 3 की छलाँग खरगोश — 4 की छलाँग

0 3 4 6 8 9 12

पृष्ठ 165 — संख्या-रेखा। दोन 0 से चलना शुरू करते ह। मढक क पहली छलाँग नीले रंग म और खरगोश क पहली
छलाँग लाल रंग म दखाई गई है।

अगले उभय नष्ठ गुणज ह 24, 36, 48, 60 और 72 — और यह सल सला कभी खत्म नह होता।

3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48 …

4 के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48 …

उभय नष्ठ गुणज 12, 24, 36, 48, 60, 72 …

1. 3 का पहाड़ा ल खए। 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 …

Page 18 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

2. उसके नीचे 4 का पहाड़ा ल खए। 4, 8, 12, 16, 20, 24 …
co m
e m.
as
3. जो संख्याएँ दोन पं क्तय म ह उन पर घेरा लगाइए। 12, 24, 36, 48 …
m l
m .co a g
l a se
12 × 1 = 12
g
a12 × 2 = 24

co m
. ag
12 × 3 = 36

e m
l as
12 × 4 = 48

12 × 5 = 60 a g

. c om
ऐसा क्य होता है: मढक और खरगोश एक बार 12 पर मल जाते ह, तो वह से पूरा प्र तरूपem
m a s दोबारा शुरू हो जाता

. coवे 12 कदम बाद 24 पर, फर 36 पर मलते ह — हर 12 कदम पर। agl
em
है। इस लए

a s
a gl
m a s
.co agl
प्र.3 3 व 4 के उभय नष्ठ गुणज के बारे म आपने क्या ध्यान दया? क ा म चचा क जए।

se m
g l a
a
नमूना उत्तर: 3 व 4 का हर उभय नष्ठ गुणज 12 का गुणज है। सूची असल म 12 का पहाड़ा ही है — 12, 24, 36, 48, 60 …

co m
.
सबसे छोटा 12 है और बाक सब उसम बार-बार 12 जोड़कर बनते ह। सबसे बड़ा कोई नह होता; सूची कभी खत्म नह होती।

se m
m a
क ा को तीन बात ध्यान म रखनी चा हए:
o l
.c उभय नष्ठ गुणज 12 है, और 12 = 3 × 4। जब दो संख्याओं म 1 के अलावाagकुछ साझा न हो, तो पहला उभय नष्ठ
m
se गुणज उनका गुणनफल ही होता है।
1. पहला

a
agl 2. बाक सब पहले वाले के गुणज ह। 24 = 12 × 2, 36 = 12 × 3, 48 = 12 × 4।
se m
com a
3. सूची कभी खत्म नह होती। दो संख्याओं के उभय नष्ठ गुणज सदा अन गनत होते ह — उभय नष्ठ गुणनखंड क तरह गने-

. a g l
m
चुने नह ।

ase
agl
ऐसा क्य होता है: एक ही पड़ाव पर पहुँचने के लए संख्या तक 3 क छलाँग से भी पहुँचा जा सके और 4 क
छलाँग से भी। यह केवल 12 के पहाड़े क संख्याएँ ही कर सकती ह, क्य क 12 सबसे छोट संख्या है जसे 3 और

co m
.
4 दोन पूरा-पूरा वभा जत करते ह।
em
m l as
.co a g
a s em
agl मकड़ी और ट ा — पृष्ठ 166
.c
s e m
m a
e m . co agl
g l as
a

com
m .
m ase
.co


a g l Page 19 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

मकड़ी 3 क छलाँग लगाती है, ट ा 6 क ; फर 4 व 6 के गुणज

क ा म चचा

प्र.1 एक मकड़ी प्रत्येक बार 3 क छलाँग लगाती है। एक ट ा प्रत्येक बार 6 क छलाँग लगाता है। 3 व 6 के उभय नष्ठ
गुणज ात करने के लए संख्या-रेखा का उपयोग क जए।

मकड़ ी — 3 की छलाँग िट ा — 6 की छलाँग

0 3 6 9 12

पृष्ठ 166 — संख्या-रेखा। दोन 0 से चलना शुरू करते ह। मकड़ी क पहली छलाँग हरे रंग म और ट े क पहली छलाँग
बगनी रंग म दखाई गई है।

दोन 6, 12, 18, 24 … पर साथ उतरते ह — यानी 6 के हर गुणज पर।

मकड़ी: 3 की छलाँग
िट ा: 6 की छलाँग

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

मकड़ी 3, 6, 9, 12, 15, 18 पर उतरती है। टड्डा 6, 12, 18 पर। टड्डे का हर पड़ाव मकड़ी का भी पड़ाव है।

मकड़ ी (3): 3, 6, 9, 12, 15, 18

िट ा (6): 6, 12, 18

3 व 6 के उभयिनष्ठ गुणज = 6, 12, 18, 24, 30 …

Page 20 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: टड्डे क 6 क छलाँग असल म मकड़ी क दो छलाँग ह। इस लए टड्डा जहाँ भी उतरता है, मकड़ी
वहाँ पहले ही उतर चुक होती है। यही कारण है क टड्डे का हर पड़ाव साझा है।

ध्यान द जए: यहाँ पहला उभय नष्ठ गुणज 6 है — दोन म क बड़ी संख्या। जब एक संख्या दूसरी क गुणज हो,
तब हमेशा ऐसा ही होता है।

प्र.2 3 व 6 संख्याओं के दो उभय नष्ठ गुणज 6 व 12 ह। आप अन्य उभय नष्ठ गुणज प्राप्त करने के लए इस प्र तरूप
को जारी रख सकते ह। 3 व 6 के उभय नष्ठ गुणज के बारे म आपने क्या ध्यान दया? चचा क जए।

मकड़ ी — 3 की छलाँग िट ा — 6 की छलाँग

0 3 6 9 12

पृष्ठ 166 — संख्या-रेखा। दोन 0 से चलना शुरू करते ह। मकड़ी क पहली छलाँग हरे रंग म और ट े क पहली छलाँग
बगनी रंग म दखाई गई है।

नमूना उत्तर: 3 व 6 के उभय नष्ठ गुणज ह 6, 12, 18, 24, 30, 36 … ये ठ क-ठ क 6 के गुणज ह — यानी टड्डे क अपनी सूची।
कुछ नया नकालना ही नह पड़ता, क्य क 6 पहले से ही 3 का गुणज है।
क ा को क्या ध्यान दे ना चा हए:

1. पहला उभय नष्ठ गुणज 6 है, जो दोन म बड़ी संख्या है।
2. ट े क पूरी सूची मकड़ी क सूची के भीतर है। 6 का हर गुणज 3 का भी गुणज है।
3. प्र तरूप आगे चलता रहता है — 36, 42, 48, 54, 60 …

ऐसा क्य होता है: 6 = 3 × 2। इस लए 6 क एक छलाँग 3 क दो छलाँग को जोड़कर बनी है। टड्डा ऐसी कसी
जगह नह उतर सकता जहाँ मकड़ी न गई हो।

पछले पृष्ठ से तुलना क जए: 3 व 4 का पहला उभय नष्ठ गुणज 12 = 3 × 4 था। पर 3 व 6 का पहला उभय नष्ठ
गुणज केवल 6 है, 18 नह । अंतर इतना है क 6, 3 का गुणज है जब क 4 नह ।

Page 21 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 आइए दो संख्याओं 4 व 6 के गुणज लखते ह। 4 के गुणज— 4, 8, 12, 16, ... 6 के गुणज— 6, 12, 18, ... 12
व 24 संख्याएँ 4 व 6 के दो उभय नष्ठ गुणज ह। कुछ अन्य उभय नष्ठ गुणज क सूची बनाइए।

4 व 6 के कुछ और उभय नष्ठ गुणज ह 36, 48, 60, 72 और 84।

4 के गुणज 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60 …

6 के गुणज 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 …

उभय नष्ठ गुणज 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 …

1. दोन पहाड़े साथ-साथ ल खए।
2. जो संख्याएँ दोन म आती ह उन पर घेरा लगाइए। 12, 24, 36, 48, 60 …
3. प्र तरूप दे खए। हर अगली संख्या पछली से 12 अ धक है, इस लए 12 जोड़ते जाइए।

12 + 12 = 24

24 + 12 = 36

36 + 12 = 48

48 + 12 = 60

60 + 12 = 72

ऐसा क्य होता है: 4 और 6 दोन 12 को पूरा-पूरा वभा जत करते ह, और 12 सबसे छोट ऐसी संख्या है। इस लए
हर उभय नष्ठ गुणज संख्या-रेखा पर 12 का एक कदम है।

आइए करके दे ख (प्रश्न 1) — पृष्ठ 166
नीचे दए गए संख्या-युग्म के 5 उभय नष्ठ गुणज ात क जए।

आइए करके दे ख क ा म चचा

प्र.1 (क) 2 और 3

2 और 3 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 6, 12, 18, 24, 30.

Page 22 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

2 के गुणज 2, 4, 6, 8, 10, 12 …

3 के गुणज 3, 6, 9, 12 …

उभय नष्ठ गुणज 6, 12, 18, 24, 30 …

1. 2 का पहाड़ा ल खए।
2. उसके नीचे 3 का पहाड़ा ल खए।
3. जो संख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 6।
4. अब हर बार 6 जोड़ते जाइए। 6 → 12 → 18 → 24 → 30

ऐसा क्य होता है: 2 और 3 म 1 के अलावा कोई गुणनखंड साझा नह है। ऐसी त म पहला उभय नष्ठ गुणज
दोन का गुणनफल ही होता है: 2 × 3 = 6।

ध्यान र खए: यहाँ 5 उभय नष्ठ गुणज माँगे गए ह, पर उभय नष्ठ गुणज कभी खत्म नह होते। आप 36, 42, 48 …
भी लख सकते ह। जतने चा हए उतने पाने के लए बस 6 जोड़ते जाइए।

प्र.2 (ख) 5 और 8

5 और 8 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 40, 80, 120, 160, 200.

5 के गुणज 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 …

8 के गुणज 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 …

उभय नष्ठ गुणज 40, 80, 120, 160, 200 …

1. 5 का पहाड़ा ल खए।
2. उसके नीचे 8 का पहाड़ा ल खए।
3. जो संख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 40।
4. अब हर बार 40 जोड़ते जाइए। 40 → 80 → 120 → 160 → 200

ऐसा क्य होता है: 5 और 8 म 1 के अलावा कोई गुणनखंड साझा नह है। ऐसी त म पहला उभय नष्ठ गुणज
दोन का गुणनफल ही होता है: 5 × 8 = 40।

Page 23 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
(ग) 2 और 4
e
प्र.3

m l as
.co a g
a s em
agl4 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 4, 8, 12, 16, 20.
2 और

m
.co ag
2 के गुणज 2, 4, 6, 8 …

a sem
agl
4 के गुणज 4, 8 …

उभय नष्ठ गुणज 4, 8, 12, 16, 20 …

co m
em.
as
1. 2 का पहाड़ा ल खए।
m l
.co a g
2. उसके नीचे 4 का पहाड़ा ल खए।

a s em
3. जो संख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 4।

a gl4. अब हर बार 4 जोड़ते जाइए। 4 → 8 → 12 → 16 → 20
m a s
c o agl
ऐसा क्य होता है: 4 पहले से ही 2 का गुणज है, इस लए 4 का हर गुणज 2 का भी गुणज है। यही कारण है क
.
m संख्या।
s e
पहला उभय नष्ठ गुणज 4 ही है — दोन म क बड़ी
a
agl

co m
.
(घ) 3 और 9
m
प्र.4

ase
उत्तर .c
om a g l
a s em
a gl और 9 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 9, 18, 27, 36, 45.
3

se m
3 के गुणज
com
3, 6, 9, 12, 15, 18 …
g l a
m. a
ase
agl
9 के गुणज 9, 18 …

उभय नष्ठ गुणज 9, 18, 27, 36, 45 …

co m
m .
e
1. 3 का पहाड़ा ल खए।

cजोomसंख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 9। g l as
.
2. उसके नीचे 9 का पहाड़ा ल खए।
a
sem
3.
a
agl
4. अब हर बार 9 जोड़ते जाइए। 9 → 18 → 27 → 36 → 45

.c
s e m
m a
co agl
ऐसा क्य होता है: 9 पहले से ही 3 का गुणज है, इस लए 9 का हर गुणज 3 का भी गुणज है। यही कारण है क

m .
e
पहला उभय नष्ठ गुणज 9 ही है — दोन म क बड़ी संख्या।

g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 24 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

प्र.5 (ङ) 5 और 10

5 और 10 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 10, 20, 30, 40, 50.

5 के गुणज 5, 10, 15, 20 …

10 के गुणज 10, 20 …

उभय नष्ठ गुणज 10, 20, 30, 40, 50 …

1. 5 का पहाड़ा ल खए।
2. उसके नीचे 10 का पहाड़ा ल खए।
3. जो संख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 10।
4. अब हर बार 10 जोड़ते जाइए। 10 → 20 → 30 → 40 → 50

ऐसा क्य होता है: 10 पहले से ही 5 का गुणज है, इस लए 10 का हर गुणज 5 का भी गुणज है। यही कारण है क
पहला उभय नष्ठ गुणज 10 ही है — दोन म क बड़ी संख्या।

प्र.6 (च) 9 और 12

9 और 12 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 36, 72, 108, 144, 180.

9 के गुणज 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 …

12 के गुणज 12, 24, 36, 48, 60, 72 …

उभय नष्ठ गुणज 36, 72, 108, 144, 180 …

1. 9 का पहाड़ा ल खए।
2. उसके नीचे 12 का पहाड़ा ल खए।
3. जो संख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 36।
4. अब हर बार 36 जोड़ते जाइए। 36 → 72 → 108 → 144 → 180

ऐसा क्य होता है: 9 और 12 म गुणनखंड 3 साझा है। इस लए पहला उभय नष्ठ गुणज 9 × 12 = 108 नह ,
ब ल्क उससे छोटा 36 है। उसके बाद हर बार 36 जोड़ते जाइए।

Page 25 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

प्र.7 (छ) 8 और 12

8 और 12 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 24, 48, 72, 96, 120.

8 के गुणज 8, 16, 24, 32, 40, 48 …

12 के गुणज 12, 24, 36, 48 …

उभय नष्ठ गुणज 24, 48, 72, 96, 120 …

1. 8 का पहाड़ा ल खए।
2. उसके नीचे 12 का पहाड़ा ल खए।
3. जो संख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 24।
4. अब हर बार 24 जोड़ते जाइए। 24 → 48 → 72 → 96 → 120

ऐसा क्य होता है: 8 और 12 म गुणनखंड 4 साझा है। इस लए पहला उभय नष्ठ गुणज 8 × 12 = 96 नह , ब ल्क
उससे छोटा 24 है। उसके बाद हर बार 24 जोड़ते जाइए।

प्र.8 (ज) 6 और 8

6 और 8 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 24, 48, 72, 96, 120.

6 के गुणज 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 …

8 के गुणज 8, 16, 24, 32, 40, 48 …

उभय नष्ठ गुणज 24, 48, 72, 96, 120 …

1. 6 का पहाड़ा ल खए।
2. उसके नीचे 8 का पहाड़ा ल खए।
3. जो संख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 24।
4. अब हर बार 24 जोड़ते जाइए। 24 → 48 → 72 → 96 → 120

ऐसा क्य होता है: 6 और 8 म गुणनखंड 2 साझा है। इस लए पहला उभय नष्ठ गुणज 6 × 8 = 48 नह , ब ल्क
उससे छोटा 24 है। उसके बाद हर बार 24 जोड़ते जाइए।

Page 26 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

प्र.9 (झ) 6 और 9

6 और 9 के पाँच उभय नष्ठ गुणज: 18, 36, 54, 72, 90.

6 के गुणज 6, 12, 18, 24, 30, 36 …

9 के गुणज 9, 18, 27, 36 …

उभय नष्ठ गुणज 18, 36, 54, 72, 90 …

1. 6 का पहाड़ा ल खए।
2. उसके नीचे 9 का पहाड़ा ल खए।
3. जो संख्याएँ दोन म आती ह, उन पर घेरा लगाइए। सबसे छोट है 18।
4. अब हर बार 18 जोड़ते जाइए। 18 → 36 → 54 → 72 → 90

ऐसा क्य होता है: 6 और 9 म गुणनखंड 3 साझा है। इस लए पहला उभय नष्ठ गुणज 6 × 9 = 54 नह , ब ल्क
उससे छोटा 18 है। उसके बाद हर बार 18 जोड़ते जाइए।

प्र.10 व भन्न संख्या-युग्म के उभय नष्ठ गुणज के बारे म आपने क्या ध्यान दया? क ा म चचा क जए।

नमूना उत्तर: हर संख्या-युग्म के उभय नष्ठ गुणज अन गनत होते ह। सबसे छोटा वाला सबसे काम का है — वह मल जाए तो बाक
सब उसे बार-बार जोड़कर बन जाते ह। और सबसे छोटा कौन होगा, यह इस पर नभर करता है क दोन संख्याओं का आपस म क्या
रश्ता है।

युग्म का प्रकार इस अभ्यास से उदाहरण पहला उभय नष्ठ गुणज

एक संख्या दूसरी क गुणज है 2 व 4, 3 व 9, 5 व 10 बड़ी संख्या स्वयं — 4, 9, 10

दोन म 1 के अलावा कुछ साझा नह 2 व 3, 5 व 8 दोनों का ग ण
ु नफल — 6, 40

दोन म 1 से बड़ा गुणनखंड साझा है 8 व 12, 6 व 8, 6 व 9, 9 व 12 गण
ु नफल से छोटा — 24, 24, 18, 36

तीन बात ध्यान दे ने योग्य:

1. सबसे छोटा उभय नष्ठ गुणज सदा होता है, पर सबसे बड़ा कभी नह । सूची कभी खत्म नह होती।
2. हर उभय नष्ठ गुणज सबसे छोटे वाले का गुणज होता है। 6 व 8 क सूची 24, 48, 72, 96 है — यानी 24 का पहाड़ा।
3. उभय नष्ठ गुणज दोन म क बड़ी संख्या से छोटा कभी नह होता।

Page 27 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: उभय नष्ठ गुणज वह पड़ाव है जहाँ दोन जानवर उतर सक। एक बार वे मल जाएँ तो वह से
दोन के प्र तरूप फर से शुरू हो जाते ह, इस लए उतने ही अंतर के बाद वे बार-बार मलते रहते ह।

आइए करके दे ख (प्रश्न 2–3) — पृष्ठ 167
भोजन तक जाने वाली पक्क सड़क, और मोगली क पगडंडी

आइए करके दे ख

प्र.1 2. एक पक्क सड़क के अंत म भोजन उपलब्ध है। रॉबी खरगोश प्रत्येक बार 4 क छलाँग लगाता है। डीकू हरणी
प्रत्येक बार 6 क छलाँग लगाती है। वे दोन 0 से प्रारंभ करते ह। क्या रॉबी व डीकू दोन भोजन तक पहुँचगे?
भोजन तक दोन म से पहले कौन पहुँचेगा? आप यह कैसे पता करगे? अपने उत्तर क व्याख्या क जए।

नह — केवल रॉबी भोजन तक पहुँचेगा। डीकू उस पर कभी उतर ही नह पाएगी। पुस्तक क पक्क सड़क 0 से 64 तक जाती
है और भोजन आ खरी पत्थर 64 पर है।

भोजन 64 पर

रॉबी खरगोश: 4 की छलाँग
0 16 32 48

0 12 24 36 48 60 66
डीकू िहरणी: 6 की छलाँग

लाल बदु रॉबी के पड़ाव ह, नीले बदु डीकू के। एक लाल बदु ठ क 64 पर है। नीले बदु 60 से सीधे 66 पर कूद जाते ह।

चरण दर चरण:

1. रॉबी को जाँ चए। 64 म उसक छलाँग का भाग द जए। 64 ÷ 4 = 16, शेष कुछ नह । इस लए रॉबी अपनी 16व छलाँग म
ठ क 64 पर उतरता है।
2. डीकू को जाँ चए। 64 ÷ 6 = 10 और 4 शेष। इस लए डीकू 60 पर उतरती है और अगली छलाँग उसे 66 पर ले जाती है —
भोजन के ऊपर से।
3. दोन बात का उत्तर द जए। रॉबी भोजन तक पहुँचता है, डीकू नह । इस लए पहले रॉबी पहुँचेगा — असल म केवल वही
पहुँचेगा।

रॉबी: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64 ✓

डीकू : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 ✗ (60 के बाद सीधे 66)

Page 28 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
ऐसा क्य होता है: कोई जानवर केवल उसी संख्या पर उतर सकता है जसे उसक छलाँग पूरा-पूरा वभा जत करे।
m ग उसके ऊपर
64, 4 का गुणज है इस लए 4 क छलाँग वहाँ पहुँचती ह। 64, 6 का गुणज नह है इस लए 6 क eछलाँ
s
m
coह। gl a
. a
em
से नकल जाती

a s
agl
स्वयं जाँ चए: 4 × 16 = 64 ✓। अब 6 × 10 = 60 और 6 × 11 = 66 दे खए। ऐसी कोई पूण संख्या नह है जसे

co m
ag
6 से गुणा करने पर 64 मले।

m .
as e
a g l
3. मोगली के मत्र नीचे द गई पगडंडी पर च त ान पर रहते ह। य द वह 0 से प्रारंभ करके 2 क छलाँग
m
प्र.2

co
m.
लगाता है, तो वह अपने कन- कन मत्र से मल पाएगा?

m as e
.co a g l
se m

g l a
वह उन मत्र से मल पाएगा जो सम संख्याओं पर ह — 4 पर च ट , 12 पर मढक, 14 पर प ी, 26 पर बाघ, 30 पर बालु
a भालू और 50 पर खरगोश।
m a s
m .co agl
se
हरा = मोगली यहाँ उतरता है (2 की छलाँग) · धूसर = ऊपर से िनकल जाता है

g l a
a
मोगली मकड़ ी प ी बाघ अकेला खरगोश
0 9 14 26 35
co
50
m
m .
m ase
.co ची4टं ी 12 21 30 39
a g l 57

a s em मेढं क का बालु िहरण बंदर

agl 0 से 2-2 क छलाँग लगाते हुए मोगली केवल सम संख्याओं पर उतरता है। धूसर मत्र वषम संख्याओं पर ह, इस लए वह उन्ह छोड़ देता है।
se m
com g l a
m . a
ase
agl

co m
m .
m as e
.co a g l
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 29 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

मत्र ान सम या वषम? क्या मोगली मलेगा?

चट 4 सम हाँ

मकड़ी 9 वषम नह

मढक 12 सम हाँ

पक्षी 14 सम हाँ

का (सप) 21 वषम नह

शेरखान (बाघ) 26 सम हाँ

बालु (भालू) 30 सम हाँ

अकेला (भे ड़या) 35 वषम नह

हरण 39 वषम नह

खरगोश 50 सम हाँ

बंदर 57 वषम नह

मोगली के पड़ ाव: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 … 56, 58, 60

ये सब 2 के गुणज है ं — यानी सारी सम संख्याएँ

ऐसा क्य होता है: 0 से शुरू करके बार-बार 2 जोड़ने पर हमेशा सम संख्या ही मलती है। वषम संख्या सम से एक
अ धक होती है, इस लए 2 क छलाँग कभी उस पर नह रुक सकती।

पुस्तक क्या कहती है: अगले पृष्ठ पर पुस्तक इनम से चार मत्र के नाम लेती है — च ट , मढक, पक्षी और खरगोश,
जो 4, 12, 14 व 50 पर ह — और कहती है क 2 इन संख्याओं का उभय नष्ठ गुणनखंड है। 26 पर बाघ और 30
पर बालु भी सम संख्याओं पर ह, इस लए मोगली उनके पास से भी गुजरता है।

मोगली क छलाँग और उभय नष्ठ गुणनखंड — पृष्ठ 168

Page 30 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

2, 3, 5 और 10 कदम क छलाँग

दो या दो से अ धक सं ख्याओं का उभय नष्ठ गु ण नखं ड , उनम से प्रत्ये क सं ख्या को पू ण तया वभा जत करता है

प्र.1 क्या मोगली च ट , मढक, प ी व खरगोश से मल पाया? ध्यान द जए क उनक तयाँ 4, 12, 14 व 50 पर
ह। 2 इन सभी संख्याओं का एक उभय नष्ठ गुणनखंड है।

हाँ, वह चार से मल पाया। उनके घर 4, 12, 14 और 50 पर ह, और ये सभी सम संख्याएँ ह।

4 ÷ 2 = 2, शेष कु छ नही ं

12 ÷ 2 = 6, शेष कु छ नही ं

14 ÷ 2 = 7, शेष कु छ नही ं

50 ÷ 2 = 25, शेष कु छ नही ं

अतः 2, संख्याओं 4, 12, 14 व 50 का उभयिन ष्ठ गुणनखंड है

ऐसा क्य होता है: कुछ संख्याओं का उभय नष्ठ गुणनखंड वह संख्या है जो उनम से हर एक को पूरा-पूरा वभा जत
कर दे । यहाँ छलाँग 2 क है, और 2, संख्याओं 4, 12, 14 व 50 म पूरा-पूरा समा जाता है — इसी लए मोगली क
2-2 क छलाँग चार घर पर उतरती ह।

उल्ट तरफ से क हए: 4, 12, 14 और 50 सभी 2 के गुणज ह। गुणनखंड और गुणज एक ही बात के दो सरे ह
— 2 छलाँग है और 4, 12, 14, 50 पड़ाव ह।

प्र.2 य द मोगली 3 कदम क छलाँग लगाए तो वह अपने कन- कन मत्र से मल पाएगा? (संख्याओं 9, 21, 39 व
57 का एक उभय नष्ठ गुणनखंड 3 है।)

3-3 क छलाँग से वह 9 पर मकड़ी, 12 पर मढक, 21 पर का, 30 पर बालु, 39 पर हरण और 57 पर बंदर से मलेगा।

Page 31 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

हरा = मोगली यहाँ उतरता है (3 की छलाँग) · धूसर = ऊपर से िनकल जाता है

मोगली मकड़ ी प ी बाघ अकेला खरगोश
0 9 14 26 35 50

4 12 21 30 39 57
चीटं ी मेढं क का बालु िहरण बंदर

3-3 क छलाँग लगाते हुए मोगली 3, 6, 9, 12 … 57, 60 पर उतरता है — यानी 3 के गुणज पर।

1. 3 क छलाँग के पड़ाव ल खए। 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60।
2. हर मत्र क संख्या इस सूची म खो जए।
3. जो मल जाएँ उन्ह रख ली जए। 9, 12, 21, 30, 39 और 57 सूची म ह।

9=3×3✓

12 = 3 × 4 ✓

21 = 3 × 7 ✓

30 = 3 × 10 ✓

39 = 3 × 13 ✓

57 = 3 × 19 ✓

ऐसा क्य होता है: 3 क छलाँग केवल 3 के गुणज पर ही रुक सकती है। झटपट जाँचने के लए संख्या के अंक को
जो ड़ए: य द जोड़ 3 के पहाड़े म आता है तो संख्या भी 3 क गुणज है। 57 के लए 5 + 7 = 12, और 12, 3 का
गुणज है — इस लए 57 भी।

पुस्तक क्या छापती है: पुस्तक इनम से चार संख्याएँ दे ती है — 9, 21, 39 और 57 — और कहती है क 3 इनका
उभय नष्ठ गुणनखंड है। यह सही है। पर 12 और 30 भी 3 के गुणज ह, इस लए मढक और बालु से भी भट होगी।

प्र.3 य द मोगली 5 कदम क छलाँग लगाता है तो वह कन संख्याओं पर पहुँचेगा? 5, संख्याओं ____________ का एक
उभय नष्ठ गुणनखंड है।

वह 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 और 60 पर पहुँचेगा। मत्र म उसे 30 पर बालु, 35 पर अकेला और 50
पर खरगोश मलगे।
इस प्रकार रक्त ान ऐसे भरा जाएगा:

Page 32 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

5, संख्याओं 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 व 60 का एक उभयिन ष्ठ गुणनखंड है।

हरा = मोगली यहाँ उतरता है (5 की छलाँग) · धूसर = ऊपर से िनकल जाता है

मोगली मकड़ ी प ी बाघ अकेला खरगोश
0 9 14 26 35 50

4 12 21 30 39 57
चीटं ी मेढं क का बालु िहरण बंदर

5 क छलाँग केवल उन्ह संख्याओं पर उतरती ह जनके अंत म 5 या 0 हो।

ऐसा क्य होता है: बार-बार 5 जोड़ने पर 5, 10, 15, 20 … मलते ह। इन सबके अंत म 5 या 0 होता है। इस लए
5 क छलाँग उसी संख्या पर पहुँच सकती है जसका अं तम अंक 5 या 0 हो। बालु का 30 शून्य पर खत्म होता है ✓,
अकेला का 35, पाँच पर ✓, खरगोश का 50, शून्य पर ✓।

स्वयं जाँ चए: 5 × 6 = 30, 5 × 7 = 35, 5 × 10 = 50। तीन मत्र तक पहुँच हो जाती है ✓

प्र.4 य द मोगली 10 कदम क छलाँग लगाता है तो वह कन- कन संख्याओं पर पहुँचेगा? 10, संख्याओं ____________
का एक उभय नष्ठ गुणनखंड है।

वह 10, 20, 30, 40, 50 और 60 पर पहुँचेगा। मत्र म उसे केवल 30 पर बालु और 50 पर खरगोश मलगे।

10, संख्याओं 10, 20, 30, 40, 50 व 60 का एक उभयिन ष्ठ गुणनखंड है।

हरा = मोगली यहाँ उतरता है (10 की छलाँग) · धूसर = ऊपर से िनकल जाता है

मोगली मकड़ ी प ी बाघ अकेला खरगोश
0 9 14 26 35 50

4 12 21 30 39 57
चीटं ी मेढं क का बालु िहरण बंदर

10 क छलाँग केवल उन्ह संख्याओं पर उतरती ह जनके अंत म 0 हो।

Page 33 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
ऐसा क्य होता है: हर बार 10 जोड़ने पर केवल दहाई का अंक बदलता है, इकाई का अंक 0 ही रहता है। इस लए
m 60।
10 क छलाँग केवल शून्य पर खत्म होने वाली संख्या पर ही उतर सकती है — 10, 20, 30, 40,e50,
s
co m gl a
. a
a s em
glतरूप दे खए: 10 क छलाँग से मलने वाली हर संख्या 5 क छलाँग और 2 क छलाँग से भी मलती है। कारण
aयह
प्र
है क 10 = 2 × 5, इस लए 2 और 5 दोन 10 के गुणनखंड ह।

co m
e m . ag
g l as
आइए करके दे ख (प्रश्न 4–5) — पृष्ठ a
168

m
24 व 36 के उभय नष्ठ गुणनखंड; 12 व 13 के उभय नष्ठ गुणनखंड

co
e m.
as
आइए करके दे ख

m l
.co a g
a s em4. (क) क्या हम एक बार म 2 कदम क छलाँग लगाते हुए 24 व 36 दोन पर पहुँच सकते ह? हाँ/नह । 2,
gl संख्याओं 24 व 36 का एक उभय नष्ठ गुणनखंड है/नह है।
प्र.1

a
m a s
.co agl

se m
l a
हाँ। 2, संख्याओं 24 व 36 का एक उभय नष्ठ गुणनखंड है।

a g
0 से 2 की छलाँगे ं
co m
m .
m as e
.co a g l
se m 0
g l a 6 12 18 24 30 36
a
se m
0 से 2-2 क छलाँग लगाने पर आप 24 और 36 दोन पर उतरते ह।

com g l a
m . a
ase
agl
24 ÷ 2 = 12, शेष कु छ नही ं ✓

36 ÷ 2 = 18, शेष कु छ नही ं ✓

co m
m .
m as e
.co
अतः 2, संख्याओं 24 व 36 का उभयिन ष्ठ गुणनखंड है
a g l
se m
g l a
a c
.
ऐसा क्य होता है: 24 और 36 दोन सम संख्याएँ ह, इस लए दोन को बराबर जोड़ म बाँटा जा सकता है। यही

s e m
m a
कहने का दूसरा तरीका है क 2 दोन को पूरा-पूरा वभा जत करता है।

e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 34 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

प्र.2 4. (ख) क्या हम एक बार म 3 कदम क छलाँग लगाते हुए 24 व 36 दोन पर पहुँच सकते ह? हाँ/नह । 3,
संख्याओं 24 व 36 का एक उभय नष्ठ गुणनखंड है/नह है।

हाँ। 3, संख्याओं 24 व 36 का एक उभय नष्ठ गुणनखंड है।

0 से 3 की छलाँगे ं

0 6 12 18 24 30 36

3-3 क छलाँग लगाने पर आप 3, 6, 9 … 24 … 36 पर उतरते ह। दोन लक्ष्य मल जाते ह।

24 ÷ 3 = 8, शेष कु छ नही ं ✓

36 ÷ 3 = 12, शेष कु छ नही ं ✓

ऐसा क्य होता है: अंक को जोड़कर जाँ चए। 24 के लए 2 + 4 = 6, और 6, 3 के पहाड़े म है। 36 के लए 3 +
6 = 9, वह भी 3 के पहाड़े म है। इस लए 3 दोन को वभा जत करता है।

प्र.3 4. (ग) क्या हम एक बार म 4 कदम क छलाँग लगाते हुए 24 व 36 दोन पर पहुँच सकते ह? हाँ/नह । 4,
संख्याओं 24 व 36 का एक उभय नष्ठ गुणनखंड है/नह है।

हाँ। 4, संख्याओं 24 व 36 का एक उभय नष्ठ गुणनखंड है।

0 से 4 की छलाँगे ं

0 6 12 18 24 30 36

4-4 क छलाँग: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36। 24 और 36 दोन पड़ाव ह।

Page 35 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

24 ÷ 4 = 6, शेष कु छ नही ं ✓

36 ÷ 4 = 9, शेष कु छ नही ं ✓

ऐसा क्य होता है: 4 × 6 = 24 और 4 × 9 = 36। दोन संख्याएँ 4-4 के बराबर समूह से बनी ह, इस लए 4 क
छलाँग ठ क उन पर उतरती है।

प्र.4 4. (घ) संख्याओं 24 व 36 दोन पर पहुँचने के लए हम कौन-सी अन्य छलाँग लगा सकते ह?

1, 6 और 12 कदम क छलाँग भी दोन संख्याओं तक पहुँचाती ह।

1 की छलाँगे ं
6 की छलाँगे ं
12 की छलाँगे ं

0 6 12 18 24 30 36

तीन और छलाँग जो 24 और 36 दोन पर उतरती ह।

1 की छलाँग: 24 ÷ 1 = 24 ✓ और 36 ÷ 1 = 36 ✓

6 की छलाँग: 24 ÷ 6 = 4 ✓ और 36 ÷ 6 = 6 ✓

12 की छलाँग: 24 ÷ 12 = 2 ✓ और 36 ÷ 12 = 3 ✓

कुछ छलाँग काम नह करत :

5 की छलाँग: 24 ÷ 5 में 4 शेष ✗

8 की छलाँग: 36 ÷ 8 में 4 शेष ✗

9 की छलाँग: 24 ÷ 9 में 6 शेष ✗

Page 36 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: छलाँग तभी काम करती है जब वह दोन संख्याओं को पूरा-पूरा वभा जत करे। 8, 24 को तो
वभा जत करता है पर 36 को नह , इस लए वह केवल 24 का गुणनखंड है — उभय नष्ठ गुणनखंड नह ।

प्र.5 4. (ङ) 24 व 36 के लए आप कतने उभय नष्ठ गुणनखंड ात कर सकते ह? सूची बनाइए।

छह उभय नष्ठ गुणनखंड ह: 1, 2, 3, 4, 6 और 12।

1. 24 के सभी गुणनखंड ल खए। 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24।
2. 36 के सभी गुणनखंड ल खए। 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36।
3. जो दोन सू चय म ह उन पर नशान लगाइए। 1, 2, 3, 4, 6, 12।
4. ग नए। छह उभय नष्ठ गुणनखंड।

24 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

36 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 12

ऐसा क्य होता है: उभय नष्ठ गुणज के वपरीत उभय नष्ठ गुणनखंड हमेशा खत्म हो जाते ह। कोई भी उभय नष्ठ
गुणनखंड छोट संख्या से बड़ा नह हो सकता, इस लए 24 व 36 के लए खोज 24 पर रुक जाती है। यहाँ सबसे
बड़ा उभय नष्ठ गुणनखंड 12 है।

ध्यान द जए: उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 ठ क वही ह जो 12 के गुणनखंड ह — यानी सबसे बड़े
उभय नष्ठ गुणनखंड के। यह हर संख्या-युग्म के साथ होता है।

प्र.6 4. (च) 24 व 36 दोन पर पहुँचने के लए 1 कदम क छलाँग के बारे म आप क्या कह सकते ह?

हाँ, 1 कदम क छलाँग काम करती है — और वह हर संख्या के लए काम करती है।

1-1 कदम की छलाँग: 1, 2, 3, 4, 5 … 24 … 36

24 ÷ 1 = 24 ✓ और 36 ÷ 1 = 36 ✓

Page 37 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: 1 कदम क छलाँग लगाने का अथ है संख्या-रेखा क हर संख्या को छू ना। इस लए 24 और 36
से गुजरना ही पड़ेगा। यही कारण है क 1 हर संख्या-युग्म का उभय नष्ठ गुणनखंड होता है।

पुस्तक क टप्पणी कहती है: कसी भी संख्या के लए 1 और वह संख्या स्वयं, सदै व गुणनखंड होते ह। इस लए
कन्ह दो संख्याओं के उभय नष्ठ गुणनखंड क सबसे छोट सूची केवल 1 हो सकती है।

प्र.7 5. 12 व 13 के उभय नष्ठ गुणनखंड कौन-कौन से ह?

12 व 13 का एकमात्र उभय नष्ठ गुणनखंड 1 है।

1. 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12।
2. 13 के गुणनखंड: 1, 13 — क्य क 13 अभाज्य संख्या है।
3. दोन सू चय क तुलना क जए। केवल 1 दोन म है।

12 के गुणनखंड → 1, 2, 3, 4, 6, 12

13 के गुणनखंड → 1, 13

उभयिनष्ठ गुणनखंड = 1

ऐसा क्य होता है: 13 के केवल दो गुणनखंड ह, 1 और 13। और 13, 12 को वभा जत नह करता (12 ÷ 13
पूण संख्या नह है)। इस लए साझा केवल 1 बचता है।

क्या आप जानते ह? 12 और 13 संख्या-रेखा पर एक के बाद एक आती ह। ऐसी दो क्रमागत संख्याओं का
उभय नष्ठ गुणनखंड सदा केवल 1 ही होता है।

आइए करके दे ख (प्रश्न 6–7) — पृष्ठ 169

Page 38 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

4 कदम क छलाँग कन संख्याओं तक पहुँचती है; संख्या-युग्म के उभय नष्ठ गुणनखंड
co m
e m.
m as
आइए करके दे ख क ा म चचा

.co a g l
s m लगाइए क 4 कदम क छलाँग ारा नीचे द गई संख्याओं म से कन संख्याओं पर पहुँचा जा सकता है?
eपता
gl a6.
a
प्र.1

com
e m . ag
g l as
a
0 10 16 27 36
co m
48

m .
m ase
पृष्ठ 169, प्रश्न 6 — संख्या-रेखा जस पर 0, 10, 16, 27, 36 और 48 अं कत ह।

m . co
e 4, संख्याओं ____________ का उभय नष्ठ गुणनखंड है। agl
g l as
a
m 27 तक नह पहुँचती। a s
coऔर agl

.
em
4 कदम क छलाँग 16, 36 और 48 तक पहुँचती है। 10

a s
agl
4, संख्याओं 16, 36 व 48 का उभयिन ष्ठ गुणनखंड है।

co m
m .
m 0 से 4 की छलाँगें as e
.co a g l
se m
g l a
a
se m
0 10 16
com
27 36 48
g l a
m . a
ase
agl
लाल बदु 4 क छलाँग के पड़ाव ह। वे 16, 36 और 48 पर पड़ते ह, पर 10 और 27 के ऊपर से नकल जाते ह।

संख्या 4 का भाग पहुँचा जा सकता है?
com
m .
m as e
.co g l
10 10 ÷ 4 = 2, शेष 2 नह

m 16 a
l a se 16 ÷ 4 = 4, शेष 0 हाँ

ag
.c
m
27 27 ÷ 4 = 6, शेष 3 नह

m a s e
m . co agl
36 36 ÷ 4 = 9, शेष 0 हाँ

as e
48
a g l
48 ÷ 4 = 12, शेष 0 हाँ

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 39 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: 4 क छलाँग 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48 पर उतरती है — यानी 4 के
पहाड़े पर। 10, 8 और 12 के बीच है तथा 27, 24 और 28 के बीच, इस लए छलाँग उनके ऊपर से नकल जाती ह।
साथ ही 27 वषम संख्या है, और 4 क छलाँग कभी वषम संख्या पर नह उतरती।

प्र.2 7. (क) 12 और 16

12 व 16 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1, 2, 4.

12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 12

16 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8, 16

उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 2, 4

1. 12 के सभी गुणनखंड ल खए।
2. 16 के सभी गुणनखंड ल खए।
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1, 2, 4।

ऐसा क्य होता है: दोन संख्याएँ 4-4 से बनी ह: 12 = 4 × 3 और 16 = 4 × 4। इस लए 4 दोन को वभा जत
करता है, और 4 के अपने गुणनखंड 1 व 2 भी। पर 3 केवल 12 को बाँटता है और 8 केवल 16 को।

प्र.3 7. (ख) 8 और 12

8 व 12 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1, 2, 4.

8 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8

12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 12

उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 2, 4

1. 8 के सभी गुणनखंड ल खए।
2. 12 के सभी गुणनखंड ल खए।
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1, 2, 4।

Page 40 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: 8 = 4 × 2 और 12 = 4 × 3। इस लए सबसे बड़ा उभय नष्ठ गुणनखंड 4 है, और उभय नष्ठ
गुणनखंड ठ क 4 के गुणनखंड ही ह — 1, 2 और 4।

प्र.4 7. (ग) 4 और 16

4 व 16 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1, 2, 4.

4 के गुणनखंड 1, 2, 4

16 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8, 16

उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 2, 4

1. 4 के सभी गुणनखंड ल खए।
2. 16 के सभी गुणनखंड ल खए।
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1, 2, 4।

ऐसा क्य होता है: 4 स्वयं 16 का गुणनखंड है, क्य क 16 = 4 × 4। जब छोट संख्या बड़ी संख्या को वभा जत
कर दे , तब उभय नष्ठ गुणनखंड छोट संख्या के सारे गुणनखंड ही होते ह।

प्र.5 7. (घ) 2 और 9

2 व 9 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1.

2 के गुणनखंड 1, 2

9 के गुणनखंड 1, 3, 9

उभय नष्ठ गुणनखंड 1

1. 2 के सभी गुणनखंड ल खए।
2. 9 के सभी गुणनखंड ल खए।
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1।

ऐसा क्य होता है: 2 सम है और 9 वषम, इस लए 2, 9 को नह बाँट सकता। और 9 के बाक गुणनखंड 3 व 9, 2
को बाँटने के लए बहुत बड़े ह। इस लए केवल 1 बचता है।

Page 41 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ध्यान द जए: जब 1 ही एकमात्र उभय नष्ठ गुणनखंड हो, तो दोन संख्याओं म और कुछ भी साझा नह होता।

प्र.6 7. (ङ) 5 और 5

5 व 5 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1, 5.

5 के गुणनखंड 1, 5

5 के गुणनखंड 1, 5

उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 5

1. 5 के सभी गुणनखंड ल खए।
2. 5 के सभी गुणनखंड ल खए।
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1, 5।

ऐसा क्य होता है: यहाँ दोन संख्याएँ एक ही ह। कसी संख्या के अपने साथ उभय नष्ठ गुणनखंड उसके सारे
गुणनखंड ही होते ह। 5 अभाज्य संख्या है, इस लए उसके केवल दो गुणनखंड ह — 1 और 5।

पुस्तक म अंतर: ग णत मेला (अं ेज़ी संस्करण) म यही मद “3 and 5” छपा है, जब क ग णत मेला ( हद ) म यह
“5 और 5” है। य द आपके शक्षक 3 व 5 पूछ तो उत्तर होगा — केवल 1, क्य क 3 और 5 दोन अभाज्य संख्याएँ
ह।

प्र.7 7. (च) 12 और 15

12 व 15 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1, 3.

12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 12

15 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15

उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 3

1. 12 के सभी गुणनखंड ल खए।
2. 15 के सभी गुणनखंड ल खए।
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1, 3।

Page 42 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: दोन संख्याएँ 3 के पहाड़े म ह: 12 = 3 × 4 और 15 = 3 × 5। इस लए 3 उभय नष्ठ गुणनखंड
है। पर 12 सम है और 15 वषम, इस लए 2 उभय नष्ठ नह है।

प्र.8 7. (छ) 20 और 5

20 व 5 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1, 5.

20 के गुणनखंड 1, 2, 4, 5, 10, 20

5 के गुणनखंड 1, 5

उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 5

1. 20 के सभी गुणनखंड ल खए।
2. 5 के सभी गुणनखंड ल खए।
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1, 5।

ऐसा क्य होता है: 5, 20 को पूरा-पूरा वभा जत करता है क्य क 20 = 5 × 4। इस लए उभय नष्ठ गुणनखंड 5 के
सारे गुणनखंड ह, यानी 1 और 5।

प्र.9 7. (ज) 9 और 21

9 व 21 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1, 3.

9 के गुणनखंड 1, 3, 9

21 के गुणनखंड 1, 3, 7, 21

उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 3

1. 9 के सभी गुणनखंड ल खए।
2. 21 के सभी गुणनखंड ल खए।
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1, 3।

Page 43 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
ऐसा क्य होता है: 9 = 3 × 3 और 21 = 3 × 7। दोन म केवल 3 साझा है, इस लए उभय नष्ठ गुणनखंड 1 और 3

m as e
l
ह।

m .co a g
l a se
a g
प्र.10 7. (झ) 6 और 27

com
e m . ag
l as

6 व 27 के उभय नष्ठ गुणनखंड: 1, 3. a g

co m
m.
6 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6

m as e
.co
27 के गुणनखंड
a g
1, 3, 9, 27
l
se m
g l a
उभय नष्ठ गुणनखंड 1, 3
a
m a s
1. 6 के सभी गुणनखंड ल खए।

m.co agl
2. 27 के सभी गुणनखंड ल खए।

l a se
3. दोन सू चय म जो संख्याएँ समान ह, उन्ह छाँ टए। ये ह 1, 3।

a g
ऐसा क्य होता है: 6 = 3 × 2 और 27 = 3 × 9। दोन म 3 साझा है। पर 6 सम है और 27 वषम, इस लए 2

co m
.
साझा नह है।
em
m l as
.co a g
a s em
a gl प्र.11 व भन्न संख्या-युग्म के उभय नष्ठ गुणनखंड के बारे म आपने क्या ध्यान दया? क ा म चचा क जए।

se m
com g l a
. a

m
ase
नमूना उत्तर: हर संख्या-युग्म का कम-से-कम एक उभय नष्ठ गुणनखंड होता है — संख्या 1। कुछ युग्म म इसके अलावा कुछ नह

agl
होता। उभय नष्ठ गुणनखंड क सूची सदा छोट होती है और सदा खत्म हो जाती है; वह दोन म क छोट संख्या से आगे कभी नह
जाती।

co m
m .
se
युग्म का प्रकार इस अभ्यास से उदाहरण उभय नष्ठ गुणनखंड

com l a
.छोट aछोटीg संख्या के सारे गणु नखंड
sem
संख्या बड़ी को वभा जत करती है 4 व 16; 20 व 5

a
agl 1 से बड़ा गुणनखंड साझा है 12 व 16; 12 व 15; 9 व 21; 6 व 27 1 और वह साझा ग ण
ु नखंड (तथा उसके ग ण
ु नखंड)
c
m .
m a s e
.co agl
1 के अलावा कुछ साझा नह 2व9 के वल 1

se m
चार बात ध्यान दे ने योग्य:
g l a
a
1. 1 हर युग्म का उभय नष्ठ गुणनखंड है। 1 कदम क छलाँग हर संख्या पर उतरती है।

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 44 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

2. उभय नष्ठ गुणनखंड क सूची सदा खत्म होती है — उभय नष्ठ गुणज क तरह अनंत नह ।
3. कोई उभय नष्ठ गुणनखंड छोट संख्या से बड़ा नह होता। 9 व 21 म 9 से बड़ी कोई संख्या उभय नष्ठ गुणनखंड नह हो
सकती।
4. पूरी सूची, सबसे बड़े उभय नष्ठ गुणनखंड के गुणनखंड से बनी होती है। 12 व 16 म सबसे बड़ा 4 है, और सूची 1, 2, 4
ठ क 4 के गुणनखंड ह।

ऐसा क्य होता है: उभय नष्ठ गुणनखंड को दोन संख्याओं म समाना पड़ता है। छोट संख्या ही सीमा तय कर दे ती
है, क्य क कसी संख्या से बड़ी कोई संख्या उसे वभा जत नह कर सकती।

आइए करके दे ख (प्रश्न 8: सत्य या असत्य) — पृष्ठ 169
बताइए क क्या नीचे दए गए कथन सत्य ह या असत्य ह।

आइए करके दे ख

प्र.1 8. (क) सम संख्याओं के गुणनखंड सदै व ही सम संख्या ह गे।

असत्य।
सम संख्या के वषम गुणनखंड आसानी से हो सकते ह।

6 के गुणनखंड → 1, 2, 3, 6 — 1 और 3 िवषम है ं

10 के गुणनखंड → 1, 2, 5, 10

12 के गुणनखंड → 1, 2, 3, 4, 6, 12

ऐसा क्य होता है: 6 गो टय को 2-2 क 3 पं क्तय म सजाया जा सकता है। 3 पं क्तयाँ बनने से 3 गुणनखंड बन
जाता है, और 3 वषम है। असल म 1 हर संख्या का गुणनखंड है, और 1 वषम है — इस लए कसी भी संख्या के
सारे गुणनखंड सम नह हो सकते।

प्र.2 8. (ख) वषम संख्याओं के गुणज सम संख्या नह हो सकते ह।

असत्य।
3-3 क छलाँग लगाइए और आप 3, 6, 9, 12, 15, 18 … पर उतरगे। हर दूसरा पड़ाव सम है।

Page 45 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

3 × 2 = 6 (सम)

3 × 4 = 12 (सम)

5 × 2 = 10 (सम)
7 × 6 = 42 (सम)

ऐसा क्य होता है: वषम संख्या को सम संख्या से गुणा करने पर उत्तर सदा सम आता है। इस लए वषम संख्या के
गुणज बारी-बारी से वषम, सम, वषम, सम … चलते ह।

संख्या-रेखा पर जाँ चए: 3 क छलाँग लगाने वाला मढक 3, 6, 9, 12 पर उतरता है। इन चार म से दो सम ह।

प्र.3 8. (ग) वषम संख्याओं के गुणनखंड सम संख्या नह हो सकते ह।

सत्य।

9 के गुणनखंड → 1, 3, 9 — सभी िवषम

15 के गुणनखंड → 1, 3, 5, 15 — सभी िवषम

21 के गुणनखंड → 1, 3, 7, 21 — सभी िवषम

ऐसा क्य होता है: य द कोई सम संख्या कसी संख्या का गुणनखंड होती, तो उस संख्या को 2-2 के बराबर समूह
म बाँटा जा सकता — और तब वह सम होती। वषम संख्या को बराबर जोड़ म नह बाँटा जा सकता; एक हमेशा
बच जाता है। इस लए कोई भी सम संख्या वषम संख्या को पूरा-पूरा वभा जत नह कर सकती।

करके दे खए: 15 गो टयाँ लेकर जोड़े बनाइए। 7 जोड़े बनते ह और 1 गोट बच जाती है। इस लए 2, 15 का
गुणनखंड नह है — और न ही 4, 6, 8 या कोई अन्य सम संख्या।

प्र.4 8. (घ) दो क्रमागत संख्याओं का एक उभय नष्ठ गुणज उन संख्याओं का गुणनफल होता है।

सत्य।
क्रमागत संख्याएँ वे ह जो एक के बाद एक आती ह, जैसे 4 और 5, या 9 और 10।

Page 46 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

4 और 5 → 4 × 5 = 20। और 20 ÷ 4 = 5 ✓, 20 ÷ 5 = 4 ✓

9 और 10 → 9 × 10 = 90। और 90 ÷ 9 = 10 ✓, 90 ÷ 10 = 9 ✓

7 और 8 → 7 × 8 = 56 ✓

ऐसा क्य होता है: दो संख्याओं को गुणा करने पर मली संख्या को पहली संख्या के बराबर समूह म भी बाँटा जा
सकता है और दूसरी के बराबर समूह म भी। इस लए गुणनफल सदा उभय नष्ठ गुणज होता है — केवल क्रमागत
संख्याओं का नह , कन्ह भी दो संख्याओं का।

सावधानी: गुणनफल एक उभय नष्ठ गुणज है, सदा सबसे छोटा नह । 4 व 6 का गुणनफल 24 है, पर सबसे छोटा
उभय नष्ठ गुणज 12 है। क्रमागत संख्याओं के लए, हालाँ क, गुणनफल ही सबसे छोटा होता है।

प्र.5 8. (ङ) कन्ह भी दो क्रमागत संख्याओं का एकमात्र उभय नष्ठ गुणनखंड 1 है।

सत्य।

युग्म पहली के गुणनखंड दूसरी के गुणनखंड उभय नष्ठ

8 और 9 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1

12 और 13 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13 1

14 और 15 1, 2, 7, 14 1, 3, 5, 15 1

ऐसा क्य होता है: फर से छलाँग क तरह सो चए। मान ली जए 3 क छलाँग 14 पर उतरती है। अगला पड़ाव 17
होगा, 15 नह — क्य क उतरने के बाद जानवर को पूरे 3 कदम चलने ही ह गे। जो दो संख्याएँ केवल 1 कदम क
दूरी पर ह , वे 1 से बड़ी कसी छलाँग के दो पड़ाव नह बन सकत । इस लए दोन तक पहुँचाने वाली एकमात्र छलाँग
1 क है।

प्र.6 8. (च) 0 कसी भी संख्या का गुणनखंड नह हो सकता है।

सत्य।

Page 47 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

0×1=0

0×5=0

0 × 100 = 0

0 को िकसी से भी गुणा कीिजए, उत्तर सदा 0 ही आता है

ऐसा क्य होता है: गुणनखंड वह संख्या है जसे कसी से गुणा करके हम अपनी संख्या मल जाए। पर 0 को कसी
से भी गुणा करने पर 0 ही मलता है — कभी 12 नह , कभी 25 नह । 0 कदम क छलाँग लगाने का अथ है क
आप 0 से हलगे ही नह । इस लए 0 कसी भी संख्या का गुणनखंड नह है।

इससे जुड़ी बात: ग णत म 0 से भाग दे ना नह होता। 12 मठाइयाँ 0 ब म नह बाँट जा सकत ।

आइए करके दे ख (प्रश्न 9–10) — पृष्ठ 169
शकार के दन; मत्र से मलने या बचने के लए छलाँग चुनना

आइए करके दे ख

प्र.1 9. ‘शेरखान’ नाम का बाघ प्रत्येक तीसरे दन शकार के लए जाता है। ‘बघीरा’ नाम का तदुआ प्रत्येक पाँचव दन
शकार के लए जाता है। य द दोन एक ही दन से शकार के लए जाना प्रारंभ कर तो वे दोन कस दन साथ म
शकार के लए जाएँगे?

वे 15व, 30व, 45व, 60व दन साथ शकार पर जाएँगे — यानी हर 15व दन।

शेरखान हर तीसरे िदन
बघीरा हर पाँचवें िदन

0 15 30 45 60

बदुओं क दोन पं क्तयाँ केवल 15, 30, 45 और 60 पर मलती ह — 3 व 5 के उभय नष्ठ गुणज।

1. शेरखान के दन ल खए। 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 …
2. बघीरा के दन ल खए। 5, 10, 15, 20, 25, 30 …

Page 48 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

3. जो दन दोन सू चय म ह वे छाँ टए। 15, 30, 45, 60 …
co m
em.
m l as
m .co
3 व 5 के उभयिनष्ठ गुणज = 3 × 5 = 15, िफर 30, 45, 60, 75 …
a g
l a se
g
aऐसा क्य होता है: 3 और 5 म 1 के अलावा कोई गुणनखंड साझा नह है। ऐसी त म पहला साझा दन 3 × 5

co m
ag
= 15 ही होता है। उसके बाद पूरा प्र तरूप दोहराता है, इस लए वे हर 15 दन बाद मलते ह।

m .
l a se
g शकार) और 15 ÷ 5 = 3 (बघीरा का तीसरा शकार)। दोन पूण
स्वयं जाँ चए: 15 ÷ 3 = 5 (शेरखान काa5वाँ
संख्याएँ ह ✓

co m
se m.
o m l a
g’ नामक भालू का घर संख्या 30
प्र.2 m 10..c(क) पूव म दशाई गई पगडंडी म ‘शेरखान’ का घर संख्या 25 पर है एवं ‘बालु
a
l a se पर है। मोगली अपने मत्र बालु से मलना चाहता है कतु वह ‘शेरखान’ के घर को टालते हुए जाना चाहता है।
ag उसक प्रत्येक छलाँग कतनी लंबी (कदम क संख्या म) होगी?

m a s
m .co agl
se

g l a
a
उसक छलाँग 2, 3, 6, 10, 15 या 30 कदम क हो सकती है।
छलाँग को दो काम एक साथ करने ह: 30 तक पहुँचना और 25 से बचना।

co m
.
1. वे छलाँग खो जए जो 30 तक पहुँचती ह। ये 30 के गुणनखंड ह: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30।

em
m as
2. वे छलाँग खो जए जो 25 पर उतार दगी। ये 25 के गुणनखंड ह: 1, 5, 25।

.co a g l
em
3. जो दोन सू चय म ह उन्ह काट द जए। 1 और 5 काट द जए।

l a s4. जो बचा वही उत्तर है। 2, 3, 6, 10, 15, 30।

a g
छलाँग 30 तक पहुँचती है? 25 पर उतरती है? मोगली के लए सुर त?
se m
हाँ .co
m g l a
a
sem
1 हाँ नह — वह शेरखान के घर से होकर गुजरेगा

a
2 हाँ (2 × 15)
agl नह (25 वषम है) हाँ

3 हाँ (3 × 10) नह हाँ
co m
m .
ase
com l
5 हाँ (5 × 6) हाँ (5 × 5) नह

.6 a g
e m
as
हाँ (6 × 5) नह

agl
हाँ

.c
m
10 हाँ (10 × 3) नह हाँ

m a s e
. co agl
15 हाँ (15 × 2) नह हाँ

e m
g l as
a
30 हाँ (30 × 1) नह हाँ

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 49 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: छलाँग कसी संख्या पर तभी उतरती है जब वह उस संख्या का गुणनखंड हो। इस लए मोगली
को 30 का ऐसा गुणनखंड चा हए जो 25 का गुणनखंड न हो। 25 और 30 म साझा गुणनखंड केवल 1 और 5 ह —
और उन्ह दोन से बचना है।

सबसे छोट सुर त छलाँग: 2 कदम। मोगली 2, 4, 6 … 24, 26, 28, 30 पर उतरता है। वह 25 के ऊपर से
कूद जाता है और बालु के घर पहुँच जाता है।

प्र.3 10. (ख) मोगली कतनी संख्या क छलाँग (कदम क संख्या म) चुन सकता था जससे क वह संख्या 21 पर
वद्यमान ‘का’ नामक सप से और संख्या 35 पर वद्यमान ‘अकेला’ नामक भे ड़ये से अथात दोन से मल सके?

उसे 7 कदम क छलाँग चुननी चा हए। (1 कदम क छलाँग भी चलेगी, पर वह बहुत धीमा रास्ता है।)

1. छलाँग को 21 तक पहुँचना है, इस लए वह 21 का गुणनखंड होनी चा हए: 1, 3, 7, 21।
2. छलाँग को 35 तक भी पहुँचना है, इस लए वह 35 का भी गुणनखंड होनी चा हए: 1, 5, 7, 35।
3. जो दोन सू चय म ह उन्ह ली जए। 1 और 7।
4. काम क छलाँग चु नए। 7 कदम।

21 के गुणनखंड → 1, 3, 7, 21

35 के गुणनखंड → 1, 5, 7, 35

उभयिनष्ठ गुणनखंड = 1 और 7

7-7 कदम की छलाँग से वह इन पर उतरेगा:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56

का से तीसरी छलाँग में और अके ला से पाँच वी ं छलाँग में भे ंट होगी

ऐसा क्य होता है: बराबर छलाँग से दो घर तक पहुँचने के लए छलाँग को दोन घर-संख्याओं को पूरा-पूरा
वभा जत करना होगा। उभय नष्ठ गुणनखंड का यही अथ है। यहाँ 21 = 7 × 3 और 35 = 7 × 5, इस लए 7 दोन
म समा जाता है।

स्वयं जाँ चए: 3 कदम आज़माइए। आप 21 तक तो पहुँचगे, पर फर 24, 27, 30, 33, 36 — 35 छू ट जाएगा। 5
कदम आज़माइए। 35 तक पहुँचगे, पर 20 और 25 पर उतरगे और 21 छू ट जाएगा।

Page 50 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

आइए करके दे ख (प्रश्न 11: छाँटना) — पृष्ठ 170
90, 45, 84, 22, 66, 56, 38, 78, 25, 30, 62, 95, 75, 40 और 55 को छाँ टए

आइए करके दे ख

प्र.1 11. नीचे द गई संख्याओं म से छाँ टए जो — (क) केवल 2 से वभाज्य ह

22, 38, 66, 78, 62, 84 और 56 केवल 2 से वभाज्य ह।
जस संख्या का अं तम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो वह 2 से वभाज्य होती है, यानी वह सम है। “केवल 2 से वभाज्य” का अथ है क
वह सम तो हो पर 5 से वभाज्य न हो — इस लए उसका अंत 0 पर नह होना चा हए।

संख्या अं तम अंक 2 से वभाज्य? 5 से वभाज्य?

22 2 हाँ नह

38 8 हाँ नह

66 6 हाँ नह

78 8 हाँ नह

62 2 हाँ नह

84 4 हाँ नह

56 6 हाँ नह

ऐसा क्य होता है: 0 से 2-2 क छलाँग लगाने पर हर सम संख्या पर पैर पड़ता है। इन सात म से कसी का अंत 0
या 5 पर नह है, इस लए 5 क छलाँग इन सब को छोड़ दे ती ह।

प्र.2 11. (ख) केवल 5 से वभाज्य ह

75, 45, 25, 95 और 55 केवल 5 से वभाज्य ह।
जस संख्या का अं तम अंक 5 या 0 हो वह 5 से वभाज्य होती है। “केवल 5 से वभाज्य” का अथ है क वह सम न हो — इस लए
उसका अंत 5 पर होना चा हए।

Page 51 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

75 ÷ 5 = 15 ✓ पर 75 िवषम है, इसिलए 2 उसे नही ं बाँट ता

45 ÷ 5 = 9 ✓

25 ÷ 5 = 5 ✓
95 ÷ 5 = 19 ✓

55 ÷ 5 = 11 ✓

ऐसा क्य होता है: पाँच संख्याओं का अंत 5 पर है। 5 पर खत्म होने वाली संख्याएँ सदा वषम होती ह, इस लए वे
2 या 10 से कभी वभाज्य नह हो सकत ।

प्र.3 11. (ग) केवल 10 से वभाज्य ह

एक भी नह । यह खाना खाली रहेगा।
पंद्रह म से कोई भी संख्या यहाँ नह आएगी — और असल म कोई भी संख्या कभी नह आ सकती।

10 = 2 × 5

इसिलए 10 का हर गुणज 2 और 5 दोनों का भी गुणज है

90 ÷ 10 = 9, और साथ ही 90 ÷ 2 = 45, 90 ÷ 5 = 18

ऐसा क्य होता है: 10 क एक छलाँग 2 क पाँच छलाँग या 5 क दो छलाँग के बराबर है। इस लए 10 क छलाँग
जहाँ भी उतरती है, वहाँ 2 क और 5 क छलाँग पहले ही जा चुक होती ह। कोई संख्या केवल 10 से वभाज्य हो ही
नह सकती।

यही इस प्रश्न का मम है। खाली खाना भी एक स ा उत्तर है। यह दखाता है क 2 और 5, 10 के भीतर छपे ह,
इस लए चत्र के तीन घेरे अलग-अलग हो ही नह सकते।

प्र.4 11. (घ) 2, 5 और 10 से वभाज्य ह

90, 30 और 40, संख्या 2, 5 तथा 10 तीन से वभाज्य ह।

Page 52 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

संख्या ÷2 ÷5 ÷ 10

90 45 18 9

30 15 6 3

40 20 8 4

ऐसा क्य होता है: तीन संख्याओं का अंत 0 पर है। 0 पर खत्म होने वाली संख्या सम होती है, इस लए 2 उसे
बाँटता है; उसका अंत 0 या 5 पर है, इस लए 5 भी बाँटता है; और 0 पर खत्म होना ही 10 से वभाज्य होने क
पहचान है। एक ही अंक 0 तीन जाँच एक साथ पूरी कर दे ता है।

याद र खए: केवल अं तम अंक दे खए। अंत म 0 → 2, 5 और 10 तीन से वभाज्य। अंत म 5 → केवल 5 से।
अंत म 2, 4, 6 या 8 → केवल 2 से। अंत म 1, 3, 7 या 9 → तीन म से कसी से नह ।

प्र.5 पृष्ठ 170 के चत्र को पूरा क जए और प्रत्येक संख्या को सही ान पर ल खए।

90 22 38 30 75

45 66 78 62 40

84 56 25 95 55

संख्याएँ जो के वल 2 संख्याएँ जो के वल 5
से िवभाज् य हैं। से िवभाज् य हैं।

संख्याएँ जो 2, 5 और 10
से िवभाज् य हैं।

संख्याएँ जो के वल 10
से िवभाज् य हैं।

पृष्ठ 170 — पंद्रह संख्या-काड और भरने के लए खाली चत्र।

पूरा कया हुआ चत्र नीचे दया गया है, जसम पंद्रह संख्याएँ अपनी जगह पर ह।

Page 53 of 56

as e
कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. c om
केवलm5 से िवभाज्य
e
las
केवल 2 से िवभाज्य
co m
e m . ag
g l as
a
22, 38, 66
. c om 75, 45, 25
ag
78, 62, 84
a s em 95, 55
56
agl 90
30
om
c से िवभाज्य
2, 5 और.10
m
40
a se
.com a g l
m
ase
agl कोई नहीं
m a s
m .co agl
l a se
a g
केवल 10 से िवभाज्य

co m
.
पंद्रह संख्याएँ छाँट हुई। नीचे का भाग, जो केवल 10 से वभाज्य संख्याओं के लए है, खाली ही रहता है।

em
m
coभाग g l as
चत्र .का a
m
ase
संख्याएँ कतनी

agl केवल 2 से वभाज्य 22, 38, 66, 78, 62, 84, 56 7

se m
com g l a
.
केवल 5 से वभाज्य 5
a
75, 45, 25, 95, 55

e m
as 90, 30, 40
agl
2, 5 और 10 से वभाज्य 3

केवल 10 से वभाज्य कोई नही ं 0

co m
m .
m as e
.co
िगनती जाँिचए: 7 + 5 + 3 + 0 = 15
a g l
se m छाँटने के िलए 15 संख्याएँ दी गई थी ं ✓
g l a
a c
m .
m a s e
co agl
ऐसा क्य होता है: यह छाँटना असल म अं तम अंक से छाँटना है। अंत म 0 → बीच का साझा भाग। अंत म 5 →

m .
e
“केवल 5” वाला भाग। अंत म 2, 4, 6 या 8 → “केवल 2” वाला भाग।

g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 54 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

स्वयं जाँ चए: पृष्ठ पर द गई संख्याओं को एक-एक करके प ढ़ए — 90, 22, 38, 30, 75, 45, 66, 78, 62,
40, 84, 56, 25, 95, 55 — और हर एक को रखते जाइए। हर संख्या ठ क एक बार काम आनी चा हए।

अध्याय — एक नज़र म
छलाँग क लंबाई गुणनखंड है। जहाँ पैर पड़ता है वह गुणज है। 0 से शुरू करके हर बार 4 कदम क छलाँग लगाइए। आप
4, 8, 12, 16, 20 … पर पहुँचगे। हर वह संख्या 4 का गुणज है। और 4 उन सभी संख्याओं का गुणनखंड है, क्य क 4 उन्ह
पूरा-पूरा वभा जत कर दे ता है, कुछ भी शेष नह बचता। यही एक चत्र पूरे अध्याय क जान है — छलाँग = गुणनखंड, पड़ाव
= गुणज।
गुणनखंड कम होते ह, गुणज अन गनत। कसी संख्या के गुणनखंड गने-चुने होते ह और वे संख्या से बड़े कभी नह होते।
12 के छह गुणनखंड ह — 1, 2, 3, 4, 6 और 12। पर 12 के गुणज कभी खत्म नह होते — 12, 24, 36, 48, 60 … दोन
शब्द गड्डमड्ड हो जाएँ तो खुद से पू छए — म छलाँग लगा रहा ँ या पड़ाव पर ँ?
व्यूह गुणनखंड दखाता है। 12 गो टय को साफ-सुथरे आयत म सजाइए। 4-4 क 3 पं क्तयाँ बनगी, या 6-6 क 2
पं क्तयाँ, या 12 क 1 पं क्त। हर आयत गुणनखंड का एक जोड़ा दे ता है — 3 और 4, 2 और 6, 1 और 12। तीन मलकर
12 के सभी छह गुणनखंड दे दे ते ह।
अभाज्य संख्याओं का केवल एक ही आयत बनता है। 13 गो टय को आयत म सजाकर दे खए। केवल एक ही तरीका है
— 13 क एक लंबी पं क्त। इस लए 13 के केवल दो गुणनखंड ह, 1 और 13। ऐसी संख्याओं को अभाज्य संख्या कहते ह।
उभय नष्ठ गुणज — जहाँ दोन जानवर साथ पहुँचते ह। मढक 3 क छलाँग लगाता है (3, 6, 9, 12 …) और खरगोश 4
क (4, 8, 12 …)। दोन 12 पर मलते ह, फर 24 पर, फर 36 पर। ये साझा पड़ाव 3 व 4 के उभय नष्ठ गुणज ह।
उभय नष्ठ गुणज सदा अन गनत होते ह, और हर एक सबसे छोटे वाले का गुणज होता है।
उभय नष्ठ गुणनखंड — वे छलाँग जो दोन संख्याओं तक ले जाएँ। कौन-सी छलाँग 24 और 36 दोन पर ठ क-ठ क
पहुँचाती ह? 1, 2, 3, 4, 6 और 12 क छलाँग। ये 24 व 36 के उभय नष्ठ गुणनखंड ह। ये गने-चुने ही होते ह, और 1 हर
जोड़े का उभय नष्ठ गुणनखंड होता है।
दो काम क बात। य द एक संख्या दूसरी क गुणज हो (जैसे 3 और 6), तो पहला उभय नष्ठ गुणज बड़ी संख्या ही होती है।
और य द दो संख्याओं म 1 के अलावा कुछ भी साझा न हो (जैसे 3 और 4), तो पहला उभय नष्ठ गुणज उनका गुणनफल होता
है — 3 × 4 = 12।
वभाज्यता को झटपट पहचा नए। जस संख्या के अंत म 0, 2, 4, 6 या 8 हो, वह 2 से वभाज्य है। जसके अंत म 0 या 5
हो, वह 5 से वभाज्य है। और 10 से वभाज्य वही है जसके अंत म 0 हो। इस लए 10 से वभाज्य हर संख्या अपने-आप 2
और 5 दोन से भी वभाज्य होती है — यही कारण है क 'केवल 10 से वभाज्य' वाला खाना खाली ही रहेगा।

Page 55 of 56

कक्षा 5 ग णत अध्याय 13 जानवर क छलाँग AglaSem · NCERT Solutions

त्व रत पुनरावृ त्त

शब्द अथ पु स्तक म कहाँ उदाहरण

गुणनखंड वह संख्या जो दू स री संख्या को पूर ा-पूर ा िवभािजत कर पृष्ठ 164, बक्से का 4, 28 का गुणनखंड है क्य क 28 = 4 ×
दे , शेष कु छ न बचे खेल 7

गुणज गण
ु ा करने पर िमलने वाली संख्या — वह पड़ाव जहाँ पैर पृष्ठ 164 28, 36, 48 और 72, 4 के गुणज ह
पड़ता है

ूह वस्तुओ ं को बराबर पंि तयों और स्तंभों में आयत की तरह पृष्ठ 164, 15 व 12 4-4 गो टय क 3 पं क्तयाँ यानी 3 × 4 =
सजाना के ूह 12

अभाज्य संख्या वह संख्या िजसके ठीक दो ही ग ण
ु नखंड हों — 1 और पृष्ठ 165, लाल 13 और 37 अभाज्य संख्याएँ ह
वह स्वयं टप्पणी

संख्या-रेखा सीधी रे खा िजस पर संख्याएँ क्रम से अंिकत हों; छलाँग ें पृष्ठ 165–166 0, 1, 2, 3 … और उनके ऊपर बने चाप
िदखाने के काम आती है

उभय नष्ठ गुणज वह संख्या जो दो (या अिधक) संख्याओं की ग ण
ु ज हो पृष्ठ 165, खरगोश व 12, संख्याओं 3 व 4 का उभय नष्ठ गुणज
मढक है

उभय नष्ठ वह संख्या जो दो (या अिधक) संख्याओं को पूर ा-पूर ा पृष्ठ 168, गुलाबी 2, संख्याओं 4, 12, 14 व 50 का
गुणनखंड िवभािजत करे प उभय नष्ठ गुणनखंड है

वभाज्य पूर ा-पूर ा िवभािजत हो जाना, शेष 0 बचना पृष्ठ 170, प्रश्न 11 90, संख्या 2, 5 और 10 से वभाज्य है

क्रमागत एक के बाद एक आने वाली संख्याएँ पृष्ठ 169, प्रश्न 8 7 और 8; 24 और 25
संख्याएँ

सम संख्या िजसके अंत में 0, 2, 4, 6 या 8 हो पृष्ठ 169, प्रश्न 8 26, 30, 50

वषम संख्या िजसके अंत में 1, 3, 5, 7 या 9 हो पृष्ठ 169, प्रश्न 8 9, 21, 57

Page 56 of 56