Class 12 Sample Paper 2025 Maths (Mid Term)

2025
SAMPLE / MODEL
PAPERS
NCERT BASED
PRACTICE PAPERS
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STATE BOARDS

Mid Term Sample Paper 2025-26
-- AGLASEM --

Mid Term
(2025-26)
कक्षा – XII
Class – XII
गणित (कोड: 041)
Mathematics (Code: 041)
Practice Paper
समय: 3 घंटे अधिकतम अंक: 80
Time: 3 hours Maximum Marks: 80

सामान्य निर्देश:
निम्नलिखित निर्देशों को बहुत सावधानी से पढ़िये और उनका सख्ती से पालन कीजिए :

i. इस प्रश्न पत्र में 38 प्रश्न हैं। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
ii. यह प्रश्न पत्र पांच खंडों - क , ख , ग , घ एवं ड. में विभाजित है।

iii. खंड क में, प्रश्न संख्या 1 से 18 तक बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ'S) हैं और प्रश्न संख्या 19 और 20 प्रत्येक अभिकथन एवं

तर्क आधारित 1 अंक के प्रश्न हैं।

iv. खंड ख में, प्रश्न संख्या 21 से 25 अति लघु -उत्तरीय (VSA) प्रकार के 2 अंकों के प्रश्न हैं।

v. खंड ग में, प्रश्न संख्या 26 से 31 लघु -उत्तरीए(SA) प्रकार के 3 अंकों के प्रश्न हैं।।

vi. खंड घ में, प्रश्न संख्या 32 से 35 दीर्घ उत्तरीय(LA) प्रकार के 5 अंकों के प्रश्न हैं।
vii. खंड ड. में, प्रश्न संख्या 36 से 38 प्रकरण अध्ययन आधारित 4 अंकों के प्रश्न हैं।

viii. प्रश्न पत्र मे कोई समग्र विकल्प नहीं दिया गया है । यद्यपि , खंड ख के 2 प्रश्नों में , खंड ग के 3 प्रश्नों में, खंड

घ के 2 प्रश्नों में और खंड ड. के 2 प्रश्नों में से प्रत्येक में एक आंतरिक विकल्प प्रावधान दिया गया है।
ix. कै लकु लेटर का उपयोग वर्जित है।

General Instructions:

Read the following instructions very carefully and strictly follow them:
i. This Question paper contains 38 questions. All questions are compulsory.
ii. This Question paper is divided into five Sections - A, B, C, D and E.
iii. In Section A, Questions no. 1 to 18 are multiple choice questions (MCQs) and Questions no. 19 and 20
are Assertion-Reason based questions of 1 mark each.
iv. In Section B, Questions no. 21 to 25 are Very Short Answer (VSA)-type questions, carrying 2 marks
each.
v. In Section C, Questions no. 26 to 31 are Short Answer (SA)-type questions, carrying 3 marks each.
vi. In Section D, Questions no. 32 to 35 are Long Answer (LA)-type questions, carrying 5 marks each.
vii. In Section E, Questions no. 36 to 38 are Case study-based questions, carrying 4 marks each.
viii. There is no overall choice. However, an internal choice has been provided in 2 questions in Section B, 3
questions in Section C, 2 questions in Section D and one subpart each in 2 questions of Section E.

ix. Use of calculator is not allowed.

खंड - ए
SECTION-A

इस खंड में बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) हैं, प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।सही विकल्प का चुनाव कीजिए

(प्रश्न 1 - प्रश्न 18)

This section comprises of multiple choice questions (MCQs) of 1 mark each.
Select the correct option (Question 1 - Question 18)
Q1. यदि f ( x )=x tan −1 x हो तो f ' ( 1 )बराबर होगा : 1

If f ( x )=x tan−1 x , then f ' ( 1 )is equal to :

π 1 π 1
(a) − (b) +
4 2 4 2

π 1 π 1
(c) − − (d) − +
4 2 4 2

Q2
ch 2
f ( x)=sin−1 x +cosx का प्रांत है :
1
−1
Domain of f ( x)=sin x +cosx is

(a) ℝ (b ) (-1,1)

(c) [0,∞) (d) [-1,1]

Q3 आलेख में दिखाए गए फलन को पहचानिए ।
1
Identify the function shown in the graph.

(a) sin−1 x (b) sin−1 ( 2 x )

(c) sin
−1
()
x
2
(d) 2 sin−1 x

दृष्टिबाधितों के लिए:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, जिसका प्रांत [ −1 1
,
3 3 ] है ,वह है :

For Visually Impaired:

Inverse Trigonometric Function, whose domain is [ −1 1
]
, , is :
3 3

( 3x )
−1
(a) cos x −1
(b) cos

(c) cos−1 ( 3 x ) (d) 3 cos−1 x

Q4 फलन f ( x )=10 − x − 2 x जिस अंतराल पर वर्धमान है वह है : 1
2

A function f ( x )=10−x−2 x 2 is increasing on the interval is :

(a) (−∞ ,− 41 ] (b) (−∞ , 41 )
(c) [ −1
4
,∞ ) (d) [ −1 1
,
4 4 ]

Q5 यदि A कोटि 4 का वर्ग आव्यूह है तथा |adj A|=27, तो A (adj A) बराबर होगा : 1
If A is a square matrix of order 4 and |adj A|=27, then A (adj A) is equal to :

(a) 3 (b ) 9

(c) 3 I (d) 9 I

Q6 f ( x)=x 2−4 x+5 द्वारा परिभाषित फलन f : R  R 1

(a) एकै की है परंतु आच्छादक नहीं है (b) आच्छादक है परंतु एकै की नहीं है

(c) एकै की और आच्छादक दोनों है (d) न तो एकै की है और न ही आच्छादक

A function f : R  R defined as f ( x)=x 2−4 x+5 is :

(a) injective but not surjective (b) surjective but not injective

(c) both injective and surjective (d) neither injective nor surjective

[ ]
Q7 0 r −2 1
q+t
यदि आव्यूह A= 3 p t एक विषम सममित है ,तब का मान होगा :
p+r
q −4 0

[ ]
0 r −2
q+t
If the matrix A= 3 p t is skew-symmetric, then value of is ….
p+r
q −4 0

(a) −2 (b) 0

(c) 1 (d) 2

Q8 1

| |
o o
cos 67 sin 67
सारणिक का मान है :
sin 23o cos 23o

Value of the determinant |
cos 67 o sin 67 o
is : |

sin 23o cos 23o
(a) 0 1
(b)
2

(c)
√3 (d) 1
2

[ ]
2 1.5 1
Q9 यदि A=[−3 4 7 ] 1 0 , तो A की कोटि है :
ch 4 −1 8

[ ]
2 1.5
If A=[−3 4 7 ] 1 0 , then order of A is:
−1 8
(a) 3×2 (b ) 1×3

(c) 2×2 (d) 1×2

Q10 1

[ ]
3 0 0
आव्यूह 0 2 0 का व्युत्क्रम होगा :
0 0 5

[ ]
3 0 0
The inverse of the matrix 0 2 0 is…
0 0 5

[ ]
[ ]
0 0 3 1
(a) 0 2 0 0 0
3
5 0 0 1
(b ) 0 0
2
1
0 0
5

[ ] [ ]
−1 −3 0 0
0 0 (d) 0 −2 0
3
−1 0 0 −5
(c) 0 0
2
−1
0 0
5

Q 11 का मान होगा : 1

(
The value of 2 sec −1 2+sin −1
1
2
is : )
(a) π 5π
6 (b)
6

7π (d) 1
(c)
6

Q12 sin 3 x का cos3 x के सापेक्ष अवकलज है :
Derivative of sin 3 x with respect to cos3 x is : 1
(a) tanx (b ) -tan x

(c) cotx (d) -cot x

1
x
Q 13 e
∫ 1+e 2x
dx बराबर है ।

ex
∫ 1+e2 x dx is equal to :
−1 x −1 x
(a) tan (e )+C (b ) sin (e )+C

−1 x −1 x
(c) cot (e )+C (d) cos (e )+C

वक्र y =x , x अक्ष x =0 तथा x =4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों मे ) है : 1
Q14 The area( in square units ) of the region bounded by the curve y=x, x axis , x=0 and x=4 is :
(a) 16 (b ) 8

(c) 4 (d) 2

( ) ( )
Q15 d4 y
2
d4 y
2
अवकल समीकरण 5 x +9=0 की कोटि तथा घात का योगफल है:
3
+3 1
d 43 d x4

( ) ( )
2 2
d4 y d4 y
The sum of the degree and order of the Differential Equation 5 x3 +3 +9 =0 is:
d 43 d x4
(a) 3 (b ) 4

(c) 5 (d) 6

Q16 यदि ∫ x sin ( x ) cos ( x ) dx = a sin 5( x 4 ) + C, तो ‘a’ बराबर होगा : 1
3 4 4 4

If ∫ x sin ( x ) cos ( x ) dx = a sin 5( x 4) + C, then’ a ‘is equal to :
3 4 4 4

−1 1
(a) (b )
10 20

1 1
(c) (d)
4 5

Q 17 अवकल समीकरण xdx + ydy=0 का हल एक परिवार का प्रतिनिधित्व करता है वह है :

The solution of the differential equation xdx + ydy=0 represents a family of :

(a) सीधी रेखाएं straight lines (b ) परवलय parabolas

(c) वृत्त Circles (d) दीर्घवृत्त Ellipses

1

Q 18 1
dy Π
अवकल समीकरण = y cot x , , y=1 when x= का एक विशिष्ट हल है :
dx 2
dy Π
A Particular solution of the differential equation = y cot x , y=1 when x= is :
dx 2

(a) y=tan x (b ) y=sin x

2 (d) y=cosx+1
(c) y= x
π

अभिकथन-कारण आधारित प्रश्न

निम्नलिखित प्रश्नों मे अभिकथन (A) के बाद कारण ( R ) दिया गया है । निम्नलिखित विकल्पों में से सही
विकल्प का चुनाव कीजिए ।

(a) A तथा R दोनों सत्य हैं और R , A की सही व्याख्या है।
(b) A तथा R दोनों सत्य हैं परंतु R , A की सही व्याख्या नहीं है।

(c) A सत्य है परंतु R असत्य है।
(d)A असत्य है परंतु R सत्य है ।

ASSERTION-REASON BASED QUESTIONS

In the following questions, a statement of assertion (A) is followed by a statement of
Reason (R). Choose the correct answer out of the following choices.

(a) Both A and R are true and R is the correct explanation of A.

(b) Both A and R are true but R is not the correct explanation of A.

(c) A is true but R is false.

(d) A is false but R is true.

(sin 35π ) , 25π के बराबर है ।
Q 19
आभिकथन (A) : sin
−1
1

Assertion (A):sin ( sin )
3π −1 2π
is equal to
5 5
तर्क (R): फलन f ( x)=sin
−1
x का मुख्य मान शाखा मे परिसर [ −π −π
2
,
2 ]
है ।

Reason (R) :The range of principle value branch of the function f ( x)=sin
−1
x is [ −π −π
2
,
2 ]
आभिकथन (A) : माना Z पूर्णांकों का सममुच्य है एक फलन f: Z→ Z, जो f (x )=7 x+1 Ɐ 1
Q 20
x ∈z द्वारा परिभाषित है , एकै की -आच्छादक है ।
Assertion(A) :Let Z be the set of integers . A function f: Z→ Z defined as f (x )=7 x+1 Ɐ x ∈z
is a bijective.

तर्क (R): वह फलन जो एकै की तथा आच्छादक भी है ,एकै की -आच्छादक होता है
Reason (R): A function Is a Bijective if it is aboth surjective and injective
खंड बी ( Section B)
इस खंड में पाँच अति लघु उत्तर वाले प्रश्न हैं प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है।This
section contains 5 Very Short Answer (VSA)-type questions of
2 marks each.
( )
Q. 21 π
का मान ज्ञात कीजिए ।
−1
(a) tan tan (− 1)+ 2
3

−1
Evaluate tan tan (− 1)+ ( π
3 )
अथवा /OR

(b) फलन f (x)=cos (1−x ) का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए ।
−1 2

−1 2
Find the domain and range of the function f (x)=cos (1−x ) .
Q. 22 dy 2
(क) यदि tan−1 [ x 3 + y 3 ]=a2025 है, तो ज्ञात कीजिए।
dt
dy
(a) If , tan−1 [ x 3 + y 3 ]=a2025 find .
dt
अथवा OR
dy
(ख) यदि x = y , तो ज्ञात कीजिए ।
y x
dx

y x dy
(b) If x = y then find
dx
Q. 23
आव्यूह A=
[75 63] को एक सममित तथा एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप मे व्यक्त कीजिए ।

Express the matrix A=
[75 36 ] as the sum of a Symmetric matrix and Skew - Symmetric matrix

Q24
दर्शाइए कि f ( x)=tan (sin x +cos x) अंतराल 0 ,
−1
[ ]
π
मे वर्धमान फलन है ।
2

4
−1
Show that the function the function f ( x)=tan (sin x +cos x) is is an increasing function in

[ ]
0,
π
4

Q25

( x − 3) 2
∫ ( x − 1 )3 e x dx ज्ञात कीजिए ।
( x − 3) x
Find: ∫ e dx
( x − 1 )3
खंड सी / Section C
इस खंड में छह : लघु उत्तर वाले प्रश्न हैं प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है।
This section contains 6 Short Answer (SA)-type questions of 3
marks each.
Q 26 जाँच कीजिए कि R का Rपर R={(a ,b): a b} द्वारा पारिभाषित संबंध स्वतुल्य , संक्रामक है परंतु 3
सममित नहीं ।
Show that the relation R on R defined as R={(a ,b): a b} is reflexive ,and transitive but not
symmetric.

अथवा /OR
x
सिद्ध कीजिए कि फलन f : R R जो f (x)= 2 ∀ x ϵ R द्वारा परिभाषित है न तो एके की
x +1
और न ही आच्छादक है।
x
Show that the function f : R R defined by f (x)= 2 ∀ x ϵ R is neither one-one nor
x +1
onto.
Q 27 (a)अवकल समीकरण ydx−( x +2 y 2 )dy=0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

Find the general solution of the differential equation =0 given by ydx−( x +2 y 2 )dy=0 3
अथवा /OR

(b)निम्न अवकल समीकरण x dy + y (x + y)dx=0 को हल कीजिए ।
2

Solve the following differential equation
2
x dy + y (x + y)dx=0

Q28 d2 y dy 3
यदि y=e x , 1⩽x⩽1 , तो दर्शाईए कि (1−x 2 )
5 cos−1
2
−x −25 y=0
dx dx
2
5 cos
−1
2 d y dy
If y=e x , 1⩽x⩽1 , then, show that (1−x ) 2 −x −25 y=0
dx dx
अथवा /OR

dy log x
यदि x y =e x − y तो सिद्ध कीजिए कि =
dx ( log ( xe ) )2 अत : x=e पर इसका मान ज्ञात कीजिए ।
dy log x
If x y =e x − y prove that dx = 2 and hence find its value at x=e.
( log ( xe ))
Q 29 x + sinx 3
ज्ञात कीजिए: ∫ 1+cosx dx
x +sinx
Find: ∫ dx
1+cosx
π
Q 30 2
3
∫ 2025 sinx+2026
sinx+cos x
cos x
dx का मान ज्ञात कीजिए ।
0
π
2
2025 sinx +2026 cos x
Evaluate ∫ dx
0 sinx +cos x

[ ]
Q31 cosx −sinx 0 3
यदि F(x)= sinx cosx 0 है तो सिद्ध कीजिए कि F(x).F(y)=F(x+y)
0 0 1

[ ]

cosx −sinx 0
If F(x)= sinx cosx 0 then prove that F(x).F(y)=F(x+y)
0 0 1

खंड डी /(SECTION D )
इस खंड में चार दीर्ध उत्तर वाले प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंक का है।
This section contains four Long Answer (LA)-type questions of 5marks
each.
Q32 मान लीजिए A=R-{5) और B= R-{1}। द्वारा परिभाषित फलन पर विचार कीजिए। दर्शाइए कि f एकै की 5
और आच्छादक है।
x−3
Let A=R-{5) and B= R-{1}. Consider the function f : A → B , defined by f ( x)= . Show
x−5
that f is one -one and onto.

[ ]
Q33 2 −1 1 5
यदि A= −1 2 −1 , तो सत्यापित कीजिए कि A −6 A +9 A−4 I =0 है तथा इसकी सहायता
3 2

1 −1 2
से A ज्ञात कीजिए ।
−1

[ ]
2 −1 1
3 2 −1
If A= −1 2 −1 , Verify that A −6 A +9 A−4 I =0 and hence find A .
1 −1 2

समाकलन के प्रयोग से वक्र 25 x +16 y =400 द्वारा परिबद्द क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2 2
Q34
2 2
Using integration, find the area enclosed by the curve 25 x +16 y =400
अथवा OR 5
(3 cos x−2) sinx
Find ∫ 5−sin 2 x−4 cos x dx
(3 cos x−2) sinx
ज्ञात कीजिए ∫ 5−sin 2 x−4 cos x dx

Q34 d 5
अवकल समीकरण y + ( xy ) = x ( sin x + x ) को हल कीजिए ।
dx
d
Solve the differential equation: y + ( xy ) = x ( sin x + x )
dx
अथवा OR
y
y dy y
x=1, y=0 के लिए अवकल समीकरण x e x − y sin ( )+ x sin ( )=0 का विशिष्ट हल ज्ञात
x dx x
लीजिए ।
y ( 0 )=1 :
Find the particular solution of the differential equation
y
x y dy y
x e − y sin ( )+ x sin ( )=0 for x=1, y=0
x dx x

Q35 ∫ ( √ tanx + √ cotx)dx ज्ञात कीजिए ।
Evaluate

∫ ( √ tanx + √ cotx)dx 5

खंड ई (Section E)
स्रोत आधारित /गद्यांश /क्षमता प्रकरण अध्ययन / एसेसमेंट की एकीकृ त इकाई
प्रश्न
Source based/Case based/passage based/integrated units of assessment
Questions
Q36 एक कं पनी में एक कर्मचारी रिपोर्टिंग संरचना होती है जहाँ प्रत्येक कर्मचारी एक विशिष्ट प्रबंधक को रिपोर्ट
करता है। संबंध R कर्मचारियों के बीच रिपोर्टिंग संबंध को दर्शाता है, जहाँ (X, Y) ∈ R है यदि कर्मचारी X
प्रबंधक Y को रिपोर्ट करता है।
निम्नलिखित रिपोर्टिंग संबंध दिए गए हैं:

-कर्मचारी A प्रबंधक B को रिपोर्ट करता है।
- कर्मचारी C प्रबंधक B को रिपोर्ट करता है।
- कर्मचारी D प्रबंधक C को रिपोर्ट करता है।
- कर्मचारी E प्रबंधक D को रिपोर्ट करता है।

उपरोक्त आँकड़ों का उपयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
1. क्या यह संबंध स्वतुल्य है? 1
2. क्या यह संबंध सममित है? 1
3. (a)क्या यह संबंध सकर्मक है?
2
अथवा
(b) क्या यह संबंध एक फलन को दर्शाता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

company has an employee reporting structure where each employee reports to a specific manager.
The relation R represents the reporting relationship between employees, where (X, Y) ∈ R if
employee X reports to manager Y.
The following reporting relationships are given:

-

Employee A reports to manager B.
- Employee C reports to manager B.
- Employee D reports to manager C.
- Employee E reports to manager D
Use the above data to answer the following questions
1. Is this relation reflexive? 1
2. Is this relation symmetric? 1
3. (a) Is this relation transitive?
2
OR

(b) Does the relation represent a function? Justify your answer.

Q38 dP P
किसी शहर की जनसंख्या को निम्न अवकल समीकरण =rP(1− ) द्वारा निरूपित किया जाता है:
dt K
जहाँ P जनसंख्या है, t समय है, r वृद्धि दर है, और K वहन क्षमता है।

उपरोक्त आँकड़ों का उपयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
1. यह किस प्रकार का अवकल समीकरण है? इसकी कोटि और घात ज्ञात कीजिए। 1
2. समय के फलन के रूप में जनसंख्या ज्ञात करने के लिए अवकल समीकरण को हल कीजिए। 1
3.(a) यदि प्रारंभिक जनसंख्या 1000 है और वहन क्षमता 10000 है, तो 5 वर्ष बाद जनसंख्या ज्ञात कीजिए यदि
वृद्धि दर 0.2 प्रति वर्ष है। 2
अथवा
(b) इस हल का उपयोग करके जनसंख्या को 5000 तक पहुँचने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।

A city's population is modeled by the differential equation:

dP P
=rP(1− )
dt K

where P is the population, t is time, r is the growth rate, and K is the carrying capacity.

Use the above data to answer the following questions :
1. What type of differential equation is this? Find its order and degree. 1
2. Solve the differential equation to find the population as a function of time. 1
3. (a)If the initial population is 1000 and the carrying capacity is 10000, find the population after 5 2
years if the growth rate is 0.2 per year.

OR
(b) Use the solution to determine the time it takes for the population to reach 5000.

Q37 तीन स्कू लों, A, B और C ने बाढ़ पीड़ितों के लिए धन इकट्ठा करने हेतु एक मेला आयोजित करने का निर्णय लिया। उन्होंने तीन प्रकार की वस्तुएँ
बेचीं: खाने के पैके ट, पानी की बोतलें और कं बल। प्रत्येक स्कू ल द्वारा बेची गई वस्तुओं की सं ख्या मैट्रिक्स द्वारा दी गई है:

स्कू ल खाने के पैके ट पानी की बोतलें कं बल
A 100 200 50

B 150 250 75

C 200 300 100

प्रत्येक वस्तु की लागत मैट्रिक्स द्वारा दी गई है:

वस्तु लागत
खाने का पैके ट ₹20
पानी की बोतल ₹15
कं बल ₹50

उपरोक्त आँकड़ों का उपयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
1. प्रत्येक स्कू ल द्वारा एकत्र की गई कु ल राशि ज्ञात कीजिए। 2
2. तीनों स्कू लों द्वारा एकत्र की गई कु ल राशि ज्ञात कीजिए।
2

Three schools, A, B, and C, decided to organize a fair for collecting money for flood victims. They
sold three types of items: food packets, water bottles, and blankets. The number of items sold by
each school is given by the matrix:

School Food packets Water bottles Blankets
A 100 200 50

B 150 250 75

C 200 300 100

The cost of each item is given by the matrix:

Item cost

Food packet ₹20
Water bottle ₹15
Blanket ₹50

Use the above data to answer the following questions :
2
1. Find the total amount collected by each school.2
2. Find the total amount collected by all three schools. 2

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