CBSE Class 12 Sample Paper 2026 Solution for Applied Maths

CBSE BOARD

SAMPLE
PAPER
2026
SOLUTIONS

DOWNLOAD

APPLIED MATHEMATICS – Code No.241
MARKING SCHEME
CLASS – XII (2025 - 26)

SECTION – A (Solutions of MCQs of 1 Mark each)

Q. HINTS/SOLUTIONS Marks
No.

1. Answer: (A) 1

S. P of 1 kg of the mixture = ₹ 68.20, Gain = 10%
100
C. P of 1 kg of the mixture = ₹ (110 × 68.20) = ₹ 62

By the rule of alligation, we have

Cost of 1 kg tea of 1st kind Cost of 1 kg tea of 2nd kind

₹ 60 ₹ 65

Mean Price

₹ 62

3 2

∴ Required ratio = 3: 2

2. Answer: (B) 1

Ratio of distances covered by three of them can be expressed as
A : B: C :: 100 : 90 : 72
When B covers 90m, C covers 72m
72
When B covers 100m, C covers 90 × 100 = 80 m.
∴ B can give C a start of (100 − 80) m = 20 m

3. Answer: (A) 1
𝑑𝑦⁄
𝑑𝑦 2𝑎 1 𝑑2 𝑦 𝑑 1 1 𝑑𝑡 1 1 1
= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 2𝑎𝑡 = 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 2 = 𝑑𝑥 ( 𝑡 ) = − 𝑡 2 𝑑𝑥 = − 𝑡 2 (2𝑎𝑡 ) = − 2𝑎𝑡 3
𝑑𝑥 ⁄𝑑𝑡

𝑑2 𝑦 1 1
𝐴𝑡 𝑡 = 2, 𝑑𝑥 2 = − 2𝑎(2)3 = − 16𝑎

4. Answer: (B) 1

I – b – iii; II – c – i; III – a – ii

5. Answer: (C) 1

The present value of the perpetuity will increase as interest rate and present
value of perpetuity are in inverse variation.

6. Answer: (B) 1
𝑘−𝑝
will be largest when k is largest, p is smallest and m is smallest
𝑚

𝑘−𝑝 21−9 12
So 𝑚 ≤ = 3 =4
3

7. Answer: (A) 1

𝐴2 = 𝐼

8. Answer: (C) 1
1 1 1
𝑥 + 2 = 4 (4𝑥 + 6) + 2 so, 𝑃 = 4

9. Answer: (A) 1

increases then sampling distribution must approach normal distribution

10. Answer: (A) 1

Degree of freedom = 12 + 10 − 2 = 20

11. Answer: (C) 1

|𝑃| = 1(12 − 12) − 𝛼(4 − 6) + 3(4 − 6) = 2(𝛼 − 3)

Given 𝑃 = 𝑎𝑑𝑗 𝐴 ⇒ |𝑃| = |𝑎𝑑𝑗 𝐴| = |𝐴|2

⇒ 2(𝛼 − 3) = 42 = 16 ⇒ 2 𝛼 = 16 + 6 = 22

⇒ 𝛼 = 11

12. Answer: (A) 1

𝑑 𝑑𝑦 3 𝑑𝑦 2 𝑑2 𝑦
[( ) ] = 0 ⇒ 3 (𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 2 = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥

Order of the differential equation = 2

13. Answer: (C) 1

𝑅
𝑃=
𝑖

500
⟹ 40000 = 𝑖

⟹ 𝑖 = 0.0125
𝑟
⟹ 4 = 0.0125

∴ 𝑟 = 0.0125 × 4 = 0.05 = 5 % p.a.

14. Answer: (B) 1

Given B = −A−1 BA ⇒ 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴

∴ (A + B)2 = (A + B)(A + B)
= A2 + AB + BA + B2 = A2 − BA + BA + B2 = A2 + B2

15. Answer: (D) 1

Redundant constraints are the constraints that can be removed without changing
or affecting the feasible region of a problem
2𝑥 + 𝑦 ≥ 10, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 are the constraints that can be removed.

16. Answer: (C) 1

𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑃(𝑋 = 𝑘 + 2)
1 6−𝑘 1 𝑘 1 6−𝑘−2 1 𝑘+2
⟹ 6𝐶𝑘 (2) (2) = 6𝐶𝑘+2 (2) (2)
⟹ 6𝐶𝑘 = 6𝐶𝑘+2 ⟹ 2𝑘 + 2 = 6 (∵ 𝑘 ≠ 𝑘 + 2)
⟹𝑘=2

17. Answer: (D) 1

|4𝐴2 𝐵| = 43 |𝐴|2 |𝐵| = 43 × 52 × 4 = 6400

18. Answer: (B) 1
1
𝑛 = 2 2 years = 30 months
8 5
𝐼 = ₹ 20000 × 100 × 2 = ₹ 4000
𝑃+𝐼
EMI = 𝑛
20000+4000
=₹ ( ) = ₹ 800
30

19. Answer: (B) 1
𝑎 𝑏 𝑑 −𝑏 𝑎 𝑏
𝑎𝑑𝑗 (𝑎𝑑𝑗 𝐴) = 𝑎𝑑𝑗 [adj ( )] = 𝑎𝑑𝑗 ( )=( )=𝐴
𝑐 𝑑 −𝑐 𝑎 𝑐 𝑑
So, assertion is true.
|𝑎𝑑𝑗 𝐴| = 𝑑𝑎— 𝑏(−𝑐) = 𝑎𝑑 – 𝑏𝑐 = |𝐴|
Reason statement is true
However, Reason statement is not the correct explanation of Assertion.
∴ Both Assertion (A) and Reason (R) are true and (R) is not the correct
explanation of Assertion (A).

20. Answer: (D) 1

Since 0 ≤ 𝑝 ≤ 1, we have 0 ≤ (1 − 𝑝) ≤ 1
𝑛𝑝(1 − 𝑝) ≤ 𝑛𝑝 ⟹ Variance ≤ Mean
∴ Assertion (A) is false and Reason (R) is true.

Section –B

[This section comprises of solution of very short answer type questions (VSA) of 2 marks each]

21 Last digit can be obtained by division with 10.
(A) required answer = (2100 + 100! )𝑚𝑜𝑑 10
25 𝑚𝑜𝑑10 = 32𝑚𝑜𝑑10 ≡ 2𝑚𝑜𝑑10 ⇒ 25 ≡ 2mod10 ⇒ (25 )5 ≡ 25 mod10 1
≡ 2 mod10
25 4 4
⇒ (2 ) ≡ 2 mod10 ≡ 16 mod10 ≡ 6 mod10 = 6
Also 100! = 100 x 99! which is divisible by 10
So, 100! 𝑚𝑜𝑑 10 = 0 ⇒ (2100 + 100! )𝑚𝑜𝑑 10 ≡ (6 + 0)𝑚𝑜𝑑10 = 6 1

OR

21 Obviously √6 + √5 > √3 + √2 ⇒
(√6 + √5)(√6− √5)
>
(√3 + √2)(√3− √2) ½
(√6− √5) (√3− √2)
(B)
6−5 3−2 1 1
⇒ (√6− > (√3− ⇒ (√6− > (√3− 1
√5) √2) √5) √2)
⇒ √6 − √5 < √3 − √2 ⇒ √5 + √3 > √6 + √2 ½

22. 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) = 1
⟹ 1×𝑎+2×𝑎+3×𝑎+𝑏 = 1 ½
⟹ 6 𝑎 + 𝑏 = 1 … (i)
½
𝐸(𝑋) = 1 × 𝑎 + 2 × 2𝑎 + 3 × 3𝑎 + 4 × 𝑏 = 2.8
⟹ 14 𝑎 + 4 𝑏 = 2.8 … (ii)
½+½
Solving (i) and (ii), we get
𝑎 = 0.12 and 𝑏 = 0.28
1
23. 𝐸𝑉 𝑛
CAGR = [( 𝑆𝑉 ) − 1] × 100
1
1
125000 𝑛
⟹ 5 = [( 75000 ) − 1] × 100
1
5 𝑛
⟹ 1.05 = (3)
1 ½
⟹ log(1.05) = 𝑛 log(1.67)
0.223
⟹ 𝑛 = 0.021 = 10.6 ≈ 11 ½
∴ required number of years = 11 years

24 Here, 𝜆 = 2 ½
(A) 𝑃(𝑋=3∩𝑋≥1) 𝑃(𝑋=3)
Required probability = 𝑃(𝑋 = 3/𝑋 ≥ 1) = = 𝑃(𝑋≥1)
𝑃(𝑋≥1)
23 𝑒 −2
½
𝑃(𝑋 = 3) = = 0.19
3!
20 𝑒 −2 ½
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − = 1 − 0.14 = 0.86
0!
0.19
∴ 𝑃(𝑋 = 3/𝑋 ≥ 1) = 0.86 = 0.22 ½

OR

2
24 𝜆 = 1000 × 5000 = 10 ½
(B)
𝑃(more than 1 failure) = 𝑃(𝑋 > 1) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)]
100 𝑒 −10 101 𝑒 −10
½
= 1−[ + ]
0! 1!
−10 (1
= 1−𝑒 + 10) ½
= 1 − 4.54 × 10−5 × 11
= 1 − 0.0004994 = 0.9995 approx. ½
25. 𝐶−𝑆
𝐷= 𝑛
25000−12500
⟹ 2500 = 1
𝑛
12500
⟹ 𝑛 = 2500 = 5
½
So, after 5 years the value of the machine will be half of its initial value.
½
Value of machine after 6 years = 25000 − 2500 × 6 = ₹ 10,000

Section –C
[This section comprises of solution short answer type questions (SA) of 3 marks each]
26. Let speed upstream be 𝑥 km/hr and speed downstream be 𝑦 km/hr
Since distance upstream and downstream is same
4 44 𝑦 11
∴ 8 5 𝑥 = 4𝑦 ⇒ 5 𝑥 = 4𝑦 ⇒𝑥 = 5 (i)
1
𝑥+𝑦 𝑦−𝑥
Now, speed of boat : speed of stream = ∶
2 2
𝑦+𝑥 1
𝑦+𝑥 11+5 2 8
(i) ⇒ = 11−5 ⇒ 𝑦−𝑥 =3
𝑦−𝑥
2
∴ speed of boat : speed of stream = 8: 3 1

27 𝑑𝑦
Given 𝑦 = 𝑝𝑥 3 + 𝑞𝑥 2 ⇒ 𝑑𝑥 = 3𝑝𝑥 2 + 2𝑞𝑥 (i)
(A)
Since 𝑥 = 1 is a critical point ∴ 3𝑝(1)2 + 2𝑞(1) = 0 ⇒ 3𝑝 + 2𝑞 = 0 (ii)
1
Also, curve passes through (1, −1) so −1 = 𝑝 + 𝑞 (iii)
Solving (ii) and (iii) we get, 𝑝 = 2 and 𝑞 = −3 ½
𝑑𝑦 1
Using this in (i) we get 𝑑𝑥 = 6𝑥 2 − 6𝑥
𝑑𝑦
Now for other critical point, 𝑑𝑥 = 0 ⇒ 6𝑥 2 − 6𝑥 = 0 ⇒ 6𝑥(𝑥 − 1) = 0
⇒ 𝑥 = 0 𝑜𝑟 1
Thus, the other critical point is (0,0) ½
OR
27 𝑅(𝑥) 𝑥 𝑥3 𝑑 1 3𝑥2 ½
𝐴𝑅(𝑥) = = 15 + 3 − 36 , Now 𝑑𝑥 𝐴𝑅(𝑥) = 0 ⇒ 0 + − =0
(B) 𝑥 3 36
2
⇒ 𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 2 (as 𝑥 is non negative) ½
⇒ 𝑥 = 2 is the critical point of 𝐴𝑅(𝑥). ½
𝑑2 [𝐴𝑅(𝑥)] 6(2) ½
Now = 0 − 36 < 0 hence 𝐴𝑅(𝑥) is maximum at 𝑥 = 2
𝑑𝑥 2
2 8 4 ½
𝐴𝑅(2) = 15 + − = 15 +
3 36 9
2𝑥 4𝑥 3 4 8 4 ½
Now, 𝑀𝑅(𝑥) = 15 + 3 − 36 ⇒ 𝑀𝑅(2) = 15 + − = 15 +
3 9 9
∴ 𝐴𝑅(2) = 𝑀𝑅(2)

28 𝐶 = Face value or maturity value = ₹ 56,000, ½
(A) 𝑛 = number of periodic interest payments = 4 × 6 = 24
9
Yield rate (𝑖) = 400 = 0.0225
𝑅 = Coupon Payment =
7×56000
= ₹ 980 ½
400
1−(1+𝑖)−𝑛
Purchase price of the bond (𝑉) = 𝑅 [ ] + 𝐶 (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖 1
1−(1+0.0225)−24 −24
= 980 [ ] + 56000(1 + 0.0225)
0.0225
1−0.58 ½
= 980 [0.0225 ] + 56000 × 0.58
= ₹ (18293.33 + 32480) = ₹ 50773.33 ½
OR

28 Cost of new machine = ₹ (50,000 + 30% × 50,000) = ₹ 65,000 ½
(B) 𝐴 = Amount required in sinking fund = ₹ (65,0000 − 6,000) = ₹ 59,000 ½
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑅[ ]=𝐴
𝑖
(1.06)8 −1
𝑅[ ] = 59000 1
0.06
1.6−1
𝑅 [ 0.06 ] = 59000
59000×0.06
⟹𝑅= = ₹ 5900
0.6
So, the required amount to be retained = ₹ 5900 1

29. Let t minutes be the total time taken to fill the tank
So according to the question,
pipe A is open for (t – 10) minutes, pipe C is open for (t – 10) minutes, pipe B is
open for 10 minutes.
1
Using work done per minute, we get
t−10 10 t−10 5𝑡−30
+ + =1 ⇒ =1
30 60 120 120
1+½
⇒ 5𝑡 = 150 ⇒ 𝑡 = 30 minutes. ½

∴ It will take 30 minutes to fill the tank.
30. 𝐻0 : 𝜇 = 1.84 cm (machine is working properly)
𝐻1 : 𝜇 ≠ 1.84 cm (machine is not working properly) ½

For sample: 𝑥̅ = 1.85 cm and 𝑠 = √0.0064 = 0.08 cm
At 𝛼 = 0.05 and df = 15 ½
𝑥̅ −𝜇 1.85 − 1.84 0.01
𝑡 = 𝑠 = 0.08 = × 4 = 0.5
0.08 1
√𝑛 √16

|𝑡𝑐𝑎𝑙 | = 0.5 < 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 = 2.131 at 𝛼 = 0.05 and df = 15 ½

∴ null hypothesis is accepted, there is no significant difference between the ½
sample mean and the population mean, hence machine is working properly.

31. Let 𝑥 be the number of units of Product A produced per day
and 𝑦 be the number of units of Product B produced per day ½
The objective is to maximize the profit, which is given by:
𝑍 = 30 𝑥 + 40 𝑦
subject to the following constraints: 1
4 𝑥 + 6 𝑦 ≤ 500
𝑥 ≤ 80 1½
𝑦 ≤ 60
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

Section –D
[This section comprises of solution of long answer type questions (LA) of 5 marks each]

32 Let the production manager produces 𝑥 number of strips (of 10 tablets) of
(A) Paingo, 𝑦 number of strips (of 10 tables) X -prene and 𝑧 number of strips (of 10 ½
tablets) Relaxo.
We have the following information from the question

From the table we have
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 16000 (1)
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 10000 (2)
𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 16000 (3)
The matrices representation of
above system of equations is

1

½

1

−3 −9 7 ½
1 1
𝐴−1 = |𝐴| (𝑎𝑑𝑗 𝐴) = −26 [−7 5 −1 ]
8 −2 −10
−3 −9 7 16000 1000
1
Now, 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 = −26 [−7 5 −1 ] [10000] = [3000]
8 −2 −10 16000 2000
Hence, number of strips of Paingo, X -prene and Relaxo are 1000, 3000 and 1½
2000 respectively
OR

32 Under equilibrium condition,
(B) For market A
82 − 3𝑝𝐴 + 𝑝𝐵 = −5 + 15𝑝𝐴 ⟹ 18𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 87 1½
For market B
92 + 2𝑝𝐴 − 4 𝑝𝐵 = −6 + 32𝑝𝐵 ⟹ 2𝑝𝐴 − 36𝑝𝐵 = −98 1

Now,
|𝐷| = −646 , |𝐷𝐴 | = −3230, |𝐷𝐵 | = −1938 1½

|𝐷 | −3230 ½
𝑝𝐴 = |𝐷|𝐴 = −646 = 5
|𝐷 | −1938
𝑝𝐵 = |𝐷|𝐵 = −646 = 3 ½

33. 𝑑𝑃 𝑑𝑅 𝑑𝐶 1
Profit = Revenue – Cost ⟹ = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑃 𝑑𝑃
⟹ 𝑑𝑥 = MR – MC ⟹ 𝑑𝑥 = −81 + 36𝑥 – 3𝑥 2 1
𝑑𝑃 2
For maximum profit =0 ⟹ −81 + 36𝑥 – 3𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 3 𝑜𝑟 9
𝑑𝑥
𝑑2𝑃 ½
Now 2
= 36 – 6𝑥 = 36 – 54 < 0, at 𝑥 = 9, so 𝑃 is maximum at 𝑥 = 9.
𝑑𝑥
𝑑𝑃
Since 𝑑𝑥 = −81 + 36𝑥 – 3𝑥 2 ⟹ 𝑃 = ∫(−81 + 36x – 3𝑥 2 )dx + c
1
⟹ 𝑃 = −81𝑥 + 18𝑥 2 – 𝑥 3 + 𝑐
When 𝑥 = 0, 𝑃 = 0 ⟹ 𝑐 = 0
½
⟹ 𝑃 = −81𝑥 + 18𝑥 2 – 𝑥 3 and at 𝑥 = 9, 𝑃 = – 729 + 2(729) – 729 = 0
1
∴ Total profit at profit maximizing output is 0.

34 Take 2019 as the middle year, i.e., 𝐴 = 2019
(A)
Year Rice 𝑿 = 𝒙𝒊 − 𝑨 𝑿𝟐 𝑿𝒀 Trend
(𝒙𝒊 ) Production Values
(million 𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿 3
tonnes) (𝒀) marks
2017 9.5 −2 4 −19.0 9.40 for
2018 10.0 −1 1 −10.0 10.02 correc
2019 10.5 0 0 0.0 10.64 t table
2020 11.2 1 1 11.2 11.26
2021 12.0 2 4 24.0 11.88
Total 53.2 0 10 6.2

∑𝑌 53.2 ½
𝑎= 𝑛 = = 10.64
5
∑ 𝑋𝑌 6.2
𝑏 = ∑ 𝑋 2 = 10 = 0.62 ½

∴The trend equation is 𝑦 = 10.64 + 0.62 𝑥 ½
For the year 2025; 𝑦 = 10.64 + 0.62(6) = 14.36 million tonnes
½
OR

34
(B) Month Number of vehicles 3-Month 3-Month Moving
(Thousands) Moving Total Average
March 30 - -
April 35 103 34.33 3
May 38 109 36.33 marks
June 36 114 38.00 for
July 40 118 39.33 correc
August 42 121 40.33 t table
September 39 126 42.00
October 45 132 44.00
November 48 140 46.67
December 47 - -

Correct graph
2

35. Loan amount = 𝑃 = ₹ (10,00,000 − 2,00,000) = ₹ 8,00,000 ½
10 ½
𝑖 = 12×100 = 0.0083
½
𝑛 = 5 × 12 = 60
𝑃×𝑖×(1+𝑖)𝑛
EMI =
(1+𝑖)𝑛 −1
1
800000×0.0083×(1+0.0083)60
=
(1+0.0083)60 −1

800000×0.0083×1.64 1½
= = ₹ 17,015
1.64−1

Total interest paid = 𝑛 × 𝐸𝑀𝐼 − 𝑃
= ₹ (17,015 × 60 − 8,00,000)
= ₹ (10,20,900 − 8,00,000) = ₹ 2,20,900 1

Section –E
[This section comprises solution of 3 case- study/passage-based questions of 4 marks
each. Solutions of the first two case study questions have three sub parts (i),(ii),(iii) of 1,1 and
2 marks respectively. Solution of the third case study question has two sub parts of 2 marks
each.]

36. Here, 𝜇 = 75, 𝜎 = 8, 𝑛 = 500
𝑋−𝜇 75−75 ½
(i) For 𝑋 = 75, 𝑍 = = =0
𝜎 8
𝑃(𝑋 < 75) = 𝑃(𝑍 < 0) = 0.5
50 % of students scored below 75 marks. ½

82−75
(ii) For 𝑋 = 82, 𝑍 = = 0.875
8
½
𝑃((𝑋 > 82) = 𝑃(𝑍 > 0.875) = 1 − 𝑃(𝑍 < 0.875) = 1 − 0.8092 = 0.1908
½
∴ Required number of students = 0.1908 × 500 = 95.4 ≈ 95

67−75 ½
(iii) (A) For 𝑋 = 67, 𝑍 = = −1
8
83−75
For 𝑋 = 83, 𝑍 = =1
8
𝑃(67 < 𝑋 < 83) = 𝑃(−1 < 𝑍 < 1)
= 𝑃(𝑍 < 1) − 𝑃(𝑍 < −1) 1
= 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 ½
∴ Required number of students = 0.6826 × 500 = 341.3 ≈ 341

OR
(B) Top 10% corresponds to the 90th percentile.
𝑋−𝜇
⟹𝑍= = 1.28
𝜎
⟹
𝑋−75
= 1.28 1
8
⟹ 𝑋 = 85.24 ≈ 85
1
∴ The minimum score required to qualify for the scholarship is 85 marks.

37. (i) 𝑝𝑑 = 𝑎 + 𝑏𝑥
⟹ 20 = 𝑎 + 400 𝑏 … (i) ½
and 25 = 𝑎 + 200 𝑏 … (ii)
1
Solving (i) and (ii), we get 𝑎 = 30, 𝑏 = − 40
1 ½
∴ 𝑝𝑑 = 30 − 40 𝑥

(ii) For equilibrium, 𝑝𝑑 = 𝑝𝑠
1 𝑥
⟹ 30 − 40 𝑥 = −15 + 20 ½
∴ 𝑥 = 600 ½
1
Equilibrium price = 30 − 40 × 600 = ₹ 15
600 1
1
(iii) (A) Consumer surplus = ∫0 (30 − 40 𝑥) 𝑑𝑥 − 600 × 15
1 600
= [30 𝑥 − 80 𝑥 2 ] − 9000
0
= 13500 − 90000 = 4500 1
∴ Consumer surplus = ₹ 4500
OR

600 𝑥
(B) Producer surplus = 600 × 15 − ∫0 (−15 + 20) 𝑑𝑥 1
1 600
= 9000 − [−15 𝑥 + 40 𝑥 2 ]
0
= 9000 − (−9000 + 9000) = 9000 1
∴ Producer surplus = ₹ 9000

38. (i) Let the distance the man travels at 25 km/hr be denoted by 𝑥 and the
distance he travels at 40 km/hr be denoted by 𝑦 ½
Linear programming problem is
Objective function is to Maximize 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 ½
Subject to the constraints:
𝑥 𝑦
+ ≤ 1 i.e., 8𝑥 + 5𝑦 ≤ 200
25 40
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 100 1
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

(ii)

1½

Corner Points Value of 𝑍
𝑂(0,0) 0
𝐴(0,20) 20
50 40 30
𝐵( , )
3 3
𝐶(25,0) 25

Thus, the maximum distance the man can travel within one hour is 30 km. ½

व्यावहारिक गणित (241)
अंक योजना
बािहव ं कक्षा : (2025-26)

खंड-क (MCQs) प्रत्येक 1 अंक का

क्रम सं. उत्तर उत्तर संकेत /मूल्य बिन्दु अंक
बिभाजन
1. Answer:(A) 1

बमश्रण के 1 ककग्रा का S. P ₹68.20, लाभ 10%
बमश्रण के 1 ककग्रा का C. P ₹ (110 × 68.20) = ₹62
100

बमश्रण के बनयम से, हमारे पास है
पहली ककस्म की 1 ककग्रा चाय की कीमत दूसरी ककस्म की 1 ककग्रा चाय की कीमत

₹ 60 ₹ 65

औसत मूल्य

₹ 62

3 2

⸫ आिश्यक अनुपात 3: 2

2. Answer:(B) 1

तीनों द्वारा तय की गई दूररयों का अनुपात इस प्रकार व्यक्त ककया जा सकता है
A : B : C :: 100 : 90 : 72

जि B 90 मीटर की दूरी तय करता है, तो C 72 मीटर की दूरी तय करता है
जि B 100 मीटर की दूरी तय करता है, तो C × 100 = 80 मीटर की दूरी
72
90
तय करता है

∴ B, C को (100 − 80)मीटर = 20 मीटर की शुरुआत दे सकता है।

3. Answer: (A) 1
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝑎 1 𝑑2 𝑦 𝑑 1 −1 𝑑𝑡 −1 1 −1
𝑑𝑥
= 𝑑𝑥 = 2𝑎𝑡 = 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥2 = 𝑑𝑥 ( 𝑡 ) = 𝑡 2 𝑑𝑥
= 𝑡 2 (2𝑎𝑡)= 2𝑎𝑡 3
𝑑𝑡

𝑑2 𝑦 −1 −1
𝑡 = 2पर, 𝑑𝑥2 = 2𝑎(2)3 = 16𝑎

4. Answer: (B) 1

I – b – iii; II – c – i; III – a – ii

5. Answer: (C) 1

शाश्वतता का िततमान मूल्य िढ़ जाएगा क्योंकक ब्याज दर और शाश्वतता का िततमान मूल्य
बिपरीत अनुपात में हैं।

6. Answer: (B) 1
𝑘−𝑝
सिसे िडा ति होगा जि k सिसे िडा, p सिसे छोटा और m सिसे छोटा होगा
𝑚
𝑘−𝑝 21−9 12
अतः 𝑚
≤ 3 = 3 =4

7. Answer: (A) 1

𝐴2 = 𝐼

8. Answer: (C) 1

अतः , 𝑃 =4
1 1 1
𝑥 + 2 = (4𝑥 + 6) +
4 2

9. Answer:(A) 1

िढ़ता है तो नमूना बितरण को सामान्य बितरण के करीि पहंचना चाबहए

10. Answer:(A) 1

स्ितंत्रता की बडग्री =12 + 10 − 2 = 20

11. Answer: (C) 1

|𝑃| = 1(12 − 12) − 𝛼(4 − 6) + 3(4 − 6) = 2(𝛼 − 3)
कदया है 𝑃 = 𝑎𝑑𝑗𝐴 ⇒|𝑃| = |𝑎𝑑𝑗𝐴| = |𝐴|2
⇒ 2(𝛼 − 3) = 42 = 16 ⇒ 2 𝛼 = 16 + 6 = 22
⇒ 𝛼 = 11

12. Answer: (A) 1
𝑑 𝑑𝑦 3 𝑑𝑦 2 𝑑2 𝑦
[( ) ] = 0 ⇒ 3 (𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 2 = 0
𝑑𝑥 𝑑𝑥

अिकल समीकरण की कोरट 2 है

13. Answer: (C) 1
𝑅
𝑃=𝑖
500
⇒ 40000 =
𝑖
⇒ 𝑖 = 0.0125
𝑟
⇒ = 0.0125
4
∴ 𝑟 = 0.0125 × 4 = 0.05 = 5% प्रबतिर्त

14. Answer: (B) कदया है 𝐵 = −𝐴−1 𝐵𝐴 ⇒ 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴 1
2
∴ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵)
𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐵2 = 𝐴2 − 𝐵𝐴 + 𝐵𝐴 + 𝐵2 = 𝐴2 + 𝐵2
2

15. Answer:(D) 1
अनािश्यक िाधाएँ िे िाधाएँ हैं बजन्हें ककसी समस्या के सुसंगत क्षेत्र को िदले या प्रभाबित
ककए बिना हटाया जा सकता है। अनािश्यक िाधाएँ 2𝑥 + 𝑦 ≥ 10, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 िे िाधाएँ
हैं बजन्हें हटाया जा सकता है।

16. Answer: (C) 1
𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑃(𝑋 = 𝑘 + 2)
1 6−𝑘 1 𝑘 1 6−𝑘−2 1 𝑘+2
⟹ 6𝐶 𝑘 ( ) ( ) = 6𝐶𝑘+2 ( ) ( )
2 2 2 2
⟹ 6𝐶𝑘 = 6𝐶𝑘+2 ⟹ 2𝑘 + 2 = 6(∵ 𝑘 ≠ 𝑘 + 2)
⟹𝑘=2

17. Answer: (D) 1
|4𝐴2 𝐵| = 43 |𝐴|2 |𝐵| = 43 × 52 × 4 = 6400

18. Answer: (B) 1
30 महीने
1
𝑛 = 2 2िर्त
8 5
𝐼 = ₹20000 × × = ₹4000
100 2
𝑃+𝐼
EMI 𝑛
20000 + 4000
₹( ) = ₹800
30

19. Answer: (B) 1
𝑎𝑑𝑗(𝑎𝑑𝑗𝐴) = 𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 )]= 𝑎𝑑𝑗(𝑑 − 𝑏 − 𝑐 𝑎 ) = (𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ) 𝐴
अतः,अबभकथन सत्य है। |𝑎𝑑𝑗𝐴| = 𝑑𝑎 − (−𝑏)(−𝑐) = 𝑎𝑑– 𝑏𝑐 = |𝐴|
तकत कथन सत्य है
हालाँकक, तकत (R) कथन अबभकथन(A) का सही स्पष्टीकरण नहीं है।
अबभकथन(A)और तकत (R)दोनों सत्य हैं और(R),अबभकथन(A)का सही स्पष्टीकरण नहीं है।

20. Answer:(D) 1

चूकँ क 0 ≤ 𝑝 ≤ 1, हमारे पास 0 ≤ (1 − 𝑝) ≤ 1 ⇒ 𝑛𝑝(1 − 𝑝) ≤ 𝑛𝑝 है
⇒ प्रसरण ≤माध्य
अबभकथन(A)असत्य है और तकत (R)सत्य है।

खंड-ख
[इस खंड में 2 अंकों िाले अबत लघु उत्तरीय प्रश्नों (VSA) का हल शाबमल है]
21(A). अंबतम अंक 10 से भाग देकर प्राप्त ककया जा सकता है।
आिश्यक उत्तर =(2100 + 100!)𝑚𝑜𝑑10
5
25 𝑚𝑜𝑑10 = 32𝑚𝑜𝑑10 ≡ 2𝑚𝑜𝑑10 ⇒ 25 ≡ 2mod10 ⇒ (25 ) ≡ 25 mod10
≡2mod10 1
25 4 4
⇒ (2 ) ≡ 2 mod10≡ 16 mod10≡ 6 mod10 = 6
साथ ही 100!= 100 x 99! जो 10 से बिभाज्य है
तो,100! 𝑚𝑜𝑑10 = 0 ⇒ (2100 + 100!)𝑚𝑜𝑑10 ≡ (6 + 0)𝑚𝑜𝑑10 = 6 1

अथिा

21(B). जाबहर तौर से √6 + √5 > √3 + √2 ⇒
(√6+√5)(√6−√5)
>
(√3+√2)(√3−√2) ½
(√6−√5) (√3−√2)
⇒
6−5 3−2
> (√3−√2) ⇒
1 1
> (√3−√2) 1
(√6−√5) (√6−√5)
⇒ √6 − √5 < √3 − √2 ⇒ √5 + √3 > √6 + √2 ½

22. 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) = 1
⟹1×𝑎+2×𝑎+3×𝑎+𝑏 = 1
⟹ 6𝑎 + 𝑏 = 1 … (i) ½
𝐸(𝑋) = 1 × 𝑎 + 2 × 2𝑎 + 3 × 3𝑎 + 4 × 𝑏 = 2.8
⟹ 14𝑎 + 4𝑏 = 2.8 … (ii)
½
(i) और (ii) को हल करने पर, हम पाते हैं
𝑎 = 0.12 and 𝑏 = 0.28 ½+½

1
23. 𝐸𝑉 𝑛
CAGR =[(𝑆𝑉 ) − 1] × 100
1
125000 𝑛
⇒ 5 = [( ) − 1] × 100 1
75000
1
5 𝑛
⇒ 1.05 = ( )
3
1
⇒ 𝑙𝑜𝑔(1.05) = 𝑙𝑜𝑔(1.67) ½
𝑛
0.223
⇒ 𝑛 = 0.021 = 10.6 ≈ 11 आिश्यक िर्ों की संख्या
½
∴ 11 िर्त

24 यहाँ 𝜆=2
3 𝑃(𝑋=3∩𝑋≥1) 𝑃(𝑋=3)
(A). आिश्यक प्राबयकता = 𝑃 (𝑋 = 𝑋 ≥ 1) = = 𝑃(𝑋≥1) ½
𝑃(𝑋≥1)
23 𝑒 −2
𝑃(𝑋 = 3) = = 0.19 ½
3!
20 𝑒 −2
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − = 1 − 0.14 = 0.86 ½
0!
3 0.19
∴ 𝑃 (𝑋 = ≥ 1) = = 0.22 ½
𝑋 0.86

अथिा

24 2
𝜆=
× 5000 = 10
(B). 1000 ½
𝑃(1 से अबधक बिफलता) 𝑃(𝑋 > 1) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] ½
100 𝑒 −10 101 𝑒 −10
= 1−[ + ]
0! 1!
−10 (1
½
= 1−𝑒 + 10)
= 1 − 4.54 × 10−5 × 11
= 1 − 0.0004994 = 0.9995 लगभग ½

25. 𝐶−𝑆
𝐷=
𝑛 1
25000 − 12500
⇒ 2500 =
𝑛 ½
12500
⇒𝑛= =5
2500
इसबलए, 5 साल िाद मशीन का मूल्य उसके प्रारं बभक मूल्य का आधा हो जाएगा।
6 साल िाद मशीन का मूल्य 25000 − 2500 × 6 = ₹10,000 ½

खंड ग
[इस खंड में लघु उत्तरीय प्रश्न (SA) के हल शाबमल हैं, बजनमें से प्रत्येक 3 अंक का है

26. मान लीबजए धारा के प्रबतकू ल गबत 𝑥 ककमी/घंटा है और धारा के अनुकूल गबत
𝑦 ककमी /घंटा है
चूँकक धारा के प्रबतकू ल और धारा के अनुकूल दूरी समान है
4 44 𝑦 11 1
∴ 8 5 𝑥 = 4𝑦 => 5 𝑥 = 4𝑦 ⇒ 𝑥 = 5 --- (i)
𝑥+𝑦 𝑦−𝑥
अि, नाि की गबत : धारा की गबत : 2
2
𝑦+𝑥 1
𝑦+𝑥 11+5 8
=>(i) 𝑦−𝑥 = 11−5 ⇒ 2
𝑦−𝑥 =3
2
1
∴ नाि की गबत : धारा की गबत 8: 3

𝑑𝑦
27 कदया गया है 𝑦 = 𝑝𝑥 3 + 𝑞𝑥 2 (i)⇒ 𝑑𝑥 = 3𝑝𝑥 2 + 2𝑞𝑥-----(i)
(A).
चूँकक 𝑥 = 1यह एक क्रांबतक बिंद ु है ⸫ 3𝑝(1)2 + 2𝑞(1) = 0 ⇒ 3𝑝 + 2𝑞 = 0--- 1
( ii)
साथ ही, िक्र (1,-1) से होकर गुजरता है इसबलए −1 = 𝑝 + 𝑞....... (iii) ½

(ii) और (iii) को हल करने पर हमें बमलता है, 𝑝 = 2और 𝑞 = −3 1
𝑑𝑦
इसका (i) में उपयोग करने पर हमें बमलता है 𝑑𝑥 = 6𝑥 − 6𝑥 2

𝑑𝑦
अि दूसरे क्रांबतक बिंद ु के बलए,𝑑𝑥 = 0 ⇒ 6𝑥 2 − 6𝑥 = 0 ⇒ 6𝑥(𝑥 − 1) = 0
𝑑𝑦
इस प्रकार, दूसरा क्रांबतक बिंद ु है 𝑑𝑥 = 0 ⇒ 6𝑥 2 − 6𝑥 = 0 ⇒ 6𝑥(𝑥 − 1) = 0
⇒ 𝑥 = 0या 𝑥 = 1 ½

इस प्रकार, दूसरा महत्िपूणत बिंद ु (0.0) है

अथिा

27(B). 𝐴𝑅(𝑥)= 𝑅(𝑥) = 15 + 𝑥 − 𝑥 3 , अि
𝑑
𝐴𝑅(𝑥) = 0 ⇒
1 3𝑥 2
0 + 3 − 36 = 0 ½
𝑥 3 36 𝑑𝑥
⇒ 𝑥2 = 4 ⇒ 𝑥 = 2 ((क्योंकक x ऋणात्मक नहीं है) ½
⇒ 𝑥 = 2, 𝐴𝑅(𝑥)का क्रांबतक बिंद ु है ½
𝑑 2 [𝐴𝑅(𝑥)]
अि =0 − 36 <0 इसबलए 𝐴𝑅(𝑥) , x=2 पर अबधकतम है
6(2)
𝑑𝑥 2
½
2 8 4
𝐴𝑅(2)=15 + 3 − 36 = 15 + 9
½
2𝑥 4𝑥 3 4 8 4
Now, 𝑀𝑅(𝑥)= 15 + 3 − 36 ⇒ 𝑀𝑅(2) =15 + 3
−9 = 15 + 9
½
∴ 𝐴𝑅(2) = 𝑀𝑅(2)

28(A). 𝐶=अंककत मूल्य या पररपक्वता मूल्य, ½
=₹56,000,
n=आिबधक ब्याज भुगतान की संख्या= 4 × 6 = 24
9
उपज दर (𝑖) = = 0.0225
400
7×56000
R=कू पन भुगतान = 400 = ₹980
½
1−(1+𝑖)−𝑛
िांड का क्रय मूल्य (𝑉) = 𝑅 [ 𝑖
] + 𝐶(1 + 𝑖)−𝑛
1−(1+0.0225)−24
=980 [ 0.0225
] + 56000(1 + 0.0225)−24 1
1−0.58
=980 [ 0.0225 ] + 56000 × 0.58 ½
=₹(18293.33 + 32480) = ₹50773.33 ½

अथिा

28(B). नई मशीन की लागत ₹(50,000 + 30% × 50,000) = ₹65,000
½
𝐴=बसंककं ग फं ड में आिश्यक राबश ₹(65,0000 − 6,000) = ₹59,000
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑅[ ]=𝐴 ½
𝑖
(1.06)8 − 1
𝑅[ ] = 59000
0.06
1.6 − 1 1
𝑅[ ] = 59000
0.06
59000 × 0.06
⟹𝑅= = ₹5900
0.6
अतः, िार्र्तक भुगतान की आिश्यक राबश =₹5900 1

29. मान लीबजए कक टैंक को भरने का कु ल समय t बमनट है। इसबलए प्रश्न के अनुसार,
पाइप A (t - 10) बमनट के बलए खुला है, पाइप C (t - 10) बमनट के बलए
खुला है, पाइप B 10 बमनट के बलए खुला है। प्रबत बमनट ककए गए कायत का उपयोग 1

करते हए, हमें प्राप्त होता है
𝑡−10 10 𝑡−10 5𝑡−30
+ 60 + 120 = 1 ⇒ 120 = 1
30 1+½

⇒ 5𝑡 = 150 ⇒ 𝑡 = 30बमनट
∴टैंक को भरने में 30 बमनट लगेंगे। ½

30. 𝐻0 : 𝜇 = 1.84 सेमी (मशीन ठीक से काम कर रही है)
½
𝐻1 : 𝜇 ≠ 1.84 सेमी (मशीन ठीक से काम कर रही है)

नमूने के बलए: : 𝑥 = 1.85सेमी तथा 𝑠 = √0.0064 = 0.08सेमी ½
𝛼 = 0.05 तथा 𝑑𝑓 = 15 पर
𝑥−𝜇 1.85 − 1.84 0.01 1
𝑡= 𝑠 = = × 4 = 0.5
0.08 0.08
√𝑛 √16
½
𝛼 = 0.05 और 𝑑𝑓 = 15पर
𝑡𝑐𝑎𝑙 = 0.5 < 𝑡कक्ररटकल = 2.131

शून्य पररकल्पना स्िीकार की जाती है, नमूना माध्य और जनसंख्या माध्य के िीच कोई
महत्िपूणत अंतर नहीं है, इसबलए मशीन ठीक से काम कर रही है। ½

31. मान लीबजए कक प्रबतकदन उत्पाकदत उत्पाद A की इकाइयों की संख्या 𝑥 है
½
और प्रबतकदन उत्पाकदत उत्पाद B की इकाइयों की संख्या 𝑦 है

बनम्न व्यिरोधों के अंतगतत:
4𝑥 + 6𝑦 ≤ 500
1½
𝑥 ≤ 80
𝑦 ≤ 60,
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
1
उद्देश्य लाभ को अबधकतम करना है, जो इस प्रकार है:
𝑍 = 30𝑥 + 40𝑦

खंड -घ
[इस खंड में 5 अंकों के दीघत उत्तरीय प्रश्नों (LA) का समाधान शाबमल है]
32(A). मान लीबजए कक उत्पादन प्रिंधक पेनगो की बस्िप्स (10 टेिलेट की) की 𝑥 संख्या, एक्स-प्रीन ½
की बस्िप्स (10 टेिलेट की) की 𝑦 संख्या और ररलैक्सो की बस्िप्स (10 टेिलेट की) की 𝑧
संख्या िनाता है। हमें प्रश्न से बनम्नबलबखत जानकारी बमलती है

पेनगो एक्स-प्रीन ररलैक्सो उपलब्धता
A 2x 4y z 16000
C 3x y 2z 10000
D x 3y 3z 16000
ताबलका से हमें बमलता है
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 16000 -----.(1)
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1000 ------ (2)
𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 16000 ------ (3)
1
उपरोक्त समीकरण प्रणाली का मैरिक्स प्रबतबनबधत्ि है

या 𝐴𝑋 = 𝐵
क्योंकक |𝐴| = 2(3 − 6) − 4(9 − 2) + 1(9 − 1) = −6 − 28 + 8 = −26 ≠ 0 ½

इस प्रकार एक 𝐴−1 का अबस्तत्ि है ,ताकक AX=B का अबद्वतीय हल 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 है
1
यहाँ

1 1 −3 −9 7
𝐴−1 =
(𝑎𝑑𝑗 𝐴) = [−7 5 −1 ] ½
|𝐴| −26
8 −2 −10
1 −3 −9 7 16000 1000
−1
𝑋=𝐴 𝐵= [−7 5 −1 ] [10000] = [3000]
−26 1½
8 −2 −10 16000 2000

इसबलए, पेनगो, एक्स-प्रीन और ररलैक्सो की बस्िप्स की संख्या क्रमशः 1000, 3000 और
2000 है

अथिा

32(B). संतुलन की बस्थबत के तहत,
िाजार A के बलए 1½
82 − 3𝑝𝐴 + 𝑝𝐵 = −5 + 15𝑝𝐴 ⇒ 18𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 87

िाजार B के बलए
92 + 2𝑝𝐴 − 4𝑝𝐵 = −6 + 32𝑝𝐵 ⇒ 2𝑝𝐴 − 36𝑝𝐵 = −98 1

अि, |𝐷| = −646, |𝐷𝐴 | = −3230, |𝐷𝐵 | = −1938 1½
|𝐷 | −3230
𝑃𝐴 = |𝐷|𝐴 = −646 = 5
½
|𝐷𝐵 | −1938
𝑝𝐵 = = =3
|𝐷| −646 ½

33. 𝑑𝑃 𝑑𝑅 𝑑𝐶
लाभ = राजस्ि – लागत ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥
𝑑𝑃 1
⇒ 𝑑𝑥 = 𝑀𝑅 − 𝑀𝐶 ⇒ −81 + 36𝑥– 3𝑥 2 = 0
𝑑𝑃
अबधकतम लाभ के बलए = 0 ⇒ −81 + 36𝑥– 3𝑥 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 अथिा 9 1
𝑑𝑥
𝑑2 𝑃
अि x=9 पर , = 36– 6𝑥 = 36– 54 < 0 ,
𝑑𝑥 2
½
इसबलए P , x=9 पर अबधकतम है
𝑑𝑃 2 2 )dx
चूँकक 𝑑𝑋 = −81 + 36𝑥– 3𝑥 => 𝑃 = ∫(−81 + 36x – 3𝑥 +c
=> P=−81𝑥 + 18𝑥 2 – 𝑥 3 + 𝑐 1
जि x=0, P=0=>c=0
2 3
=>P= −81𝑥 + 18𝑥 – 𝑥 और x=9 पर , P=-729+2(729)-729=0 ½

लाभ अबधकतम करने िाले आउटपुट बनगतम पर कु ल लाभ 0 है। 1

34(A) 2019 को मध्य िर्त मान लीबजए,i.e., 𝐴 = 2019 3 सही
िर्त चािल उत्पादन (बमबलयन टन) रुझान मूल्य ताबलका
के बलए
िर्त (𝑥𝑖 ) चािल 𝑋 𝑋2 𝑋𝑌 रुझान मूल्य
= 𝑥𝑖 − 𝐴 अंक
उत्पादन(बमबल 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋
यन टन)(𝑌)
2017 9.5 −2 4 −19.0 9.40
2018 10.0 −1 1 −10.0 10.02
2019 10.5 0 0 0.0 10.64
2020 11.2 1 1 11.2 11.26
2021 12.0 2 4 24.0 11.88
Total 53.2 0 10 6.2

∑𝑌 53.2
𝑎= 𝑛 = = 10.64 ½
5
∑ 𝑋𝑌 6.2
𝑏= = = 0.62 ½
∑ 𝑋2 10
∴ प्रिृबत्त समीकरण है 𝑦 = 10.64 + 0.62𝑥 ½
िर्त 2025 के बलए; 𝑦 = 10.64 + 0.62(6) = 14.36बमबलयन टन ½

अथिा

34(B) महीना िाहनों की संख्या 3 महीने का मूबिंग 3-माह का मूबिंग 3 अंक
(हजारों में) टोटल औसत सही
माचत 30 - - ताबलका
अप्रैल 35 103 34.33 के बलए
मई 38 109 36.33
जून 36 114 38.00
जुलाई 40 118 39.33
अगस्त 42 121 40.33
बसतम्िर 39 126 42.00
अक्टू िर 45 132 44.00
निंिर 48 140 46.67
कदसम्िर 47 - -
सही ताबलका के बलए 2

35. ऋण राबश 𝑃 = ₹(10,00,000 − 2,00,000) = ₹8,00,000 ½
10 ½
𝑖= = 0.0083
12 × 100
½
𝑛 = 5 × 12 = 60
𝑃×𝑖×(1+𝑖)𝑛
ईएमआई =
(1+𝑖)𝑛 −1

800000×0.0083×(1+0.0083)60 1
= (1+0.0083)60 −1

800000×0.0083×1.64
= = ₹17,015 1½
1.64−1

भुगतान ककया गया ब्याज = 𝑛 × 𝐸𝑀𝐼 − 𝑃

=₹(17,015 × 60 − 8,00,000)
1
=₹(10,20,900 − 8,00,000) = ₹2,20,900

खंड ड

[इस खंड में 3 के स-स्टडी/पैसज े -आधाररत प्रश्नों के हल शाबमल हैं, बजनमें से प्रत्येक के बलए 4 अंक हैं।
पहले दो के स स्टडी प्रश्नों के हल में तीन उप-भाग (i), (ii), (iii) हैं, बजनके बलए क्रमशः 1,1
और 2 अंक हैं। तीसरे के स स्टडी प्रश्न के हल में दो उप-भाग हैं, बजनमें से प्रत्येक के बलए 2 अंक हैं।]

36. यहाँ,𝜇 = 75, 𝜎 = 8, 𝑛 = 500
𝑋−𝜇 75−75
½
(i) 𝑋 = 75, 𝑍 =
𝜎
=
8
=0

𝑃(𝑋 < 75) = 𝑃(𝑍 < 0) = 0.5
½
75 से कम अंक पाने िाले छात्र = 50%

82−75
(ii) 𝑋 = 82, 𝑍 = = 0.875 के बलए
8

𝑃((𝑋 > 82) = 𝑃(𝑍 > 0.875) = 1 − 𝑃(𝑍 < 0.875) = 1 − 0.8092 = 0.1908 ½
∴ आिश्यक छात्रों की संख्या=0.1908 × 500 = 95.4 ≈ 95 ½

67−75
(iii) (A) 𝑋 = 67के बलए, 𝑍 = 8
= −1
½
67 − 75
𝑋 = 67के बलए, 𝑍 = = −1
8
83−75
𝑋 = 83के बलए, 𝑍 = =1
8

𝑃(67 < 𝑋 < 83) = 𝑃(−1 < 𝑍 < 1)
𝑃(𝑍 < 1) − 𝑃(𝑍 < −1)
= 0.8413– 0.1587 = 0.6826
1
छात्रों की आिश्यक संख्या = 0.6826 × 500 = 341.3 ≈ 341 ½
अथिा

(B) शीर्त 10% ,90िें प्रबतशतक के अनुरूप है।
𝑋−𝜇
⇒𝑍= = 1.28 1
𝜎
𝑋 − 75
⇒ = 1.28
8
1
⇒ 𝑋 = 85.24 ≈ 85
∴ छात्रिृबत्त के बलए अहतता प्राप्त करने के बलए आिश्यक न्यूनतम अंक 85 अंक हैं।

37. (i) 𝑝𝑑 = 𝑎 + 𝑏𝑥 ½
⟹ 20 = 𝑎 + 400𝑏 … (i)
तथा 25 = 𝑎 + 200𝑏 … (ii)
(i) और (ii) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है 𝑎 = 30, 𝑏 = 40
−1 ½
1
∴ 𝑝𝑑 = 30 − 𝑥
40

(ii) संतुलन के बलए, 𝑝𝑑 = 𝑝𝑠 ½
1 𝑥
=>⟹ 30 − 40 𝑥 = −15 + 20
∴ 𝑥 = 600
½
संतुलन मूल्य = 30 − 40 × 600 = ₹15
1

(iii)
600 1
(A) उपभोक्ता अबधशेर्= = ∫0 (30 − 40 𝑥) 𝑑𝑥 − 600 × 15 1
1 600
= [30 𝑥 − 80 𝑥 2 ] − 9000
0
= 13500 − 90000 = 4500 1
∴ उपभोक्ता अबधशेर्= ₹4500

अथिा

600 𝑥
(B) उत्पादक अबधशेर्= = 600 × 15 − ∫0 (−15 + 20) 𝑑𝑥
1 600 1
= 9000 − [−15𝑥 + 40 𝑥 2 ]
0
= 9000 − (−9000 + 9000) = 9000
∴ उत्पादक अबधशेर्= ₹9000 1

38. (i) माना कक 25 ककमी/घंटा की गबत से व्यबक्त द्वारा तय की गई दूरी को x से
दशातया गया है तथा 40 ककमी/घंटा की गबत से व्यबक्त द्वारा तय की गई दूरी को y से ½
दशातया गया है ।
रै बखक प्रोग्राबमंग समस्या है।
½
𝑥 𝑦
व्यिरोधों 25
+ 40 ≤ 1 i.e., 8𝑥 + 5𝑦 ≤ 200 1
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 100
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
के अंतगतत उद्देश्य फलन 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 को अबधकतम कीबजए ।

(i)

1½

(ii)
कोने के बिन्द z का मान
𝑂(0,0) 0
𝐴(0,20) 20
50 40 30
𝐵( , )
3 3
𝐶(25,0) 25 ½

इस प्रकार, एक व्यबक्त एक घंटे के भीतर अबधकतम 30 ककमी की दूरी तय
कर सकता है।

Study Materials
Notes

Model Papers Class 6 Notes

Sample Papers Class 7 Notes
Half Yearly Sample Papers Class 8 Notes

Class 9 Notes
Important Resources
Class 10 Notes
Periodic Table
Class 11 Notes
Writing Skills / Formats

Maps of India / World Class 12 Notes

Books and Solutions

NCERT Books
NCERT Book Solutions
HC Verma Chapter Wise Solutions
RD Sharma Solutions
CGBSE Solutions