NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) समान्तर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल [Old Book]

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SOLUTIONS
CLASS - 9th

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 9 Maths

Class: 9th
Subject: Mathematics
Chapter: 9
Chapter Name: समांतर चतुभजों
ु और ित्रभुजों के ेतर् फल

प्र नवाली 9.2

Q1 िन निलिखत आकृितयों म से कौन -सी आकृितयाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच ि तथ है? ऐसी ि थित म ,
उभयिन ट आधार और दोनों समांतर रेखाएँ िलिखए।

Answer. आकृित (i),(ii),(iii),(iv) तथा (v) ।
आकृित (i), अभयिन ट आधार =DC , समा तर रेखाएं= DC || AB
आकृित (iii), अभयिन ट आधार =QR, समा तर रेखाएं= QR || SP
आकृित (iv), अभयिन ट आधार =PQ, समा तर रेखाएं= PQ || AD
आकृित (v), अभयिन ट आधार =AD, समा तर रेखाएं= AD || CP
Page : 192 , Block Name: प्र नवाली 9.2

Q1 आकृित 9.15 म, ABCD एक समांतर चतुभज
ु है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यिद AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF
= 10 cm है, तो AD ात कीिजए।

Answer. चूिं क समांतर चतुभज
ु का ेतर् फल = 1/2 आधार × शीषल ब
यिद आधार DC है तो ABCD का ेतर् फल
= 1/2 BC ×AE ....... (i)
यिद आधार AD ह तो ABCD का ेतर् फल

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= 1/2×F C ……….(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) से
1/2 BC × AE = ½ × F C
DC × AE = AD × F C

AB × AE = AD × F C

16 × 8 = AD × 10

AD = 16×3

10
=12.8
AD=12.8cm
Page : 192 , Block name : प्र नवाली 9.2

Q2 यिद E,F,G और H क्रमशः समांतर चतुभजु ABCD की भुजाओं के म य -िबंद ु ह ,तो दशाइए िक ar (EFGH) =1/2 ar
(ABCD) है।
Answer. AB=CD
½ AB=1/2 CD
E और G क्रमशः भुजाओं AB और CD की समांतर िबंद ु है
BE=CG……(i)
BE||CG….(ii)
समीकरण (i) और (ii) से , BEGC से एक समा तर चतुभजु ह।
ar(GEF)=1/2 ar(BEGC)
इसीप्रकार
AB=CD
½ AB=1/2 CD
E और G क्रमशः भुजाओं AB और CD की समांतर िबंद ु है
AE=DG……(iv)
AE||DG….(v)
समीकरण (iv) और (v) से , BEGC से एक समा तर चतुभज ु ह।
ar(GEH)=1/2 ar(ABGC)….(vi)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर
ar(GEH)+ar(GEF)=1/2 ar (BEGC)+1/2 ar(ADGE)
ar(EFGH)=1/2 ar(ABCD)
Page : 192 , Block name : प्र नवाली 9.2

Q3 P और Q क्रमशः समांतर चतुभज
ु ABCD की भुजाओं DC और AD पर ि तथ िबंद ु ह। दशाइए िक ar (APB) = ar (BQC)
है।
Answer. ित्रभुज ABP और समांतर चतुभज
ु ABCD एक ही एक ही समांतर रेखाओं AB || CD और आधार AB के बीच ि तथ है।

ar (APB)=1/2 ar (ABCD)
ित्रभुज BQC और समांतर चतुभज
ु ABCD एक ही आधार BC और एक ही समांतर रेखाओं AD || BC के बीच ि तथ है।
ar (BQC )=1/2 (ABC)
समीकरण (i) और (ii) से ,
ar (APB)=ar (BQC)
Page : 192 , Block name : प्र नवाली 9.2

Q4 आकृित 9.16 म, P समांतर चतुभज
ु ABCD के अ यंतर म ि तथ कोई िबंद ु है। दशाइए

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(i) ar (APB) + ar (PCD) =1/2 ar (ABCD)
Answer.

½ ar(ABCD)
P से होकर AB के समांतर एक रेखा खी ंिचए TPS
AB || TS .... (i)
तथा AT || BS ... (ii) (AD || BC )
समीकरण (i) और (ii) से ABTS एक समांतर चतुभज ु है।
ar (APB) =1 /2 ar (ABNM).... (iii)
इसीप्रकार
DC || TS ... (iv)
तथा DT || CS....(v) (AD || BC )
समीकरण (iv) और (v) से ,
TDCS एक समांतर चतुभज ु है।
अतः ar (PCD)=1 /2 ar (TDCS ).... (vi)
समीकरण (iii) +(vi)
Ar(APB)+ar(PCD)=1/2 ar(ABNM)+1/2 ar(MDCN)
= ar(APM)+ar(PCD)=1/2 ar (ABCD)
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
[संकेत: P से होकर AB के समांतर एक रेखा खी ंिचए।]
Answer. रचना: P से होकर AD के समांतर एक रेखा खी ंिचए QPR

AD || TS .... (Viii)
तथा AT || DS ... (ix) (AB|| DC )
समीकरण (viii) और (ix) से ATSD एक समांतर चतुभज
ु है।
अतः ar (APD) =1 /2 ar (ATSD).... (x)
इसीप्रकार,
BC || TS ... (xi)
तथा TB ||SC …..(xii) (AB || DC )
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समीकरण (xi) और (xii) से ,
BCST एक समांतर चतुभजु है।
अतः ar (PBC)=1 /2 ar (BCST ).... (xiii)
समीकरण (x) और (xiii) को जोड़ने पर
ar(APD)+ar(PBC)=1/2 ar(ATSD)+1/2 ar(BCST)
= ar(APD)+ar(PBC)=1/2 ar (ABCD)……(xiv)
समीकरण (vii) और (xiv) से ,
ar(APD)+ar(PBC)= ar(APB)+ar(PCD)
Page : 192 , Block name : प्र नवाली 9.2

Q5 आकृित 9.17 म, PQRS और ABRS समांतर चतुभज
ु ह तथा X भुजा BR पर ि तथ कोई िबंद ु है। दशाइए िक

(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)

Answer. समांतर चतुभज ु PQRS और ABRS एक ही आधार और समांतर रेखाओं के बीच ि तथ है।
ar(PQRS)=ar(ABRS)
ु के ेतर् फल बराबर होते है]
एक ही समांतर रेखाओं और एक ही आधार के बीच ि तथ समांतर चतुभज
(ii) ar (AXS) =1/2 ar (PQRS)
Answer. ित्रभुज AXS और चतुभज ु ABRS एक ही आधार और समांतर रेखाओं के बीच ि तथ है।
अतः ar(AXS)= ½ ar (ABRS)
समीकरण (i) और (ii) से,
ar(AXS)=1/2 ar (PQRS)
Page : 192 , Block name : प्र नवाली 9.2

प्र नवाली 9.3

Q6 एक िकसान के पास समांतर चतुभज ु PQRS के प का एक खेत था। उसने RS पर ि तथ कोई िबंद ु A िलया और उसे P और Q
से िमला िदया। खेत िकतने भागों म िवभािजत हो गया है? इन भागों के आकार या है ?वह िकसान खेत म गेहूँ और दाल बराबर -बराबर
भागों म अलग -अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसा करे ?
Answer.

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खेत को 3 भागो म िवभािजत िकया गया है
ΔAPS, Δ APQ और ΔARQ
ित्रभुज APQ और समांतर चतुभज ु PQRS एक ही आधार और समांतर रेखाओं के बीच ि तथ है
अतः ar(APQ)=1/2 ar(PQRS)
िकसान एक फसल को ΔAPQ म बो सकता है तथा दूसरी को ΔASP और ΔARQ म बो सकता है।
Page : 195 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q1 आकृित 9.23 म, ABC की एक माि यका AD पर ि तथ E कोई िबंद ु है। दशाइए िक ar (ABE) =ar (ACE) है।

Answer. ΔABC म AD माि यका है।
ar (ABD)= ar(ACD)……(i)
ΔEBC म ED माि यका है।
ar(EBD)=ar(ECD)….(ii)
समी (i) से समी (ii) घटाने पर
ar (ABD)- ar(EBD)= ar(ACD)-ar(ECD)
ar(ABE)=ar(ACE)
Page : 195 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q2 Δ ABC म, E मि यका AD का म य -िबंद ु है। दशाइए िक ar (BED) =1/4 ar(ABC) है।
Answer. ΔABC म AD माि यका है।
अतः ar (ABD)= ar(ACD)……(i)
ΔABD म , BE माि यका है।
ar(BED)=ar(ABE)
ar (BED)- ar(EBD)= ½ ar(ABD)
ar(BED)=1/2 [1/2ar(ABC)]
ar(BED)=1/4 ar(ABC)
Page : 195 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q3 दशाइए िक समांतर चतुभज
ु के दोनों िवकण उसे बराबर ेतर् फलों वाले चार ित्रभुजों म बाँटते ह।

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Answer.

ु के िवकण पर पर समि भािजत करते है।
समांतर चतुभज
अतः , AO =OC और DO =OB
ABD म, AO माि यका है।
अतः ar(ADO)=ar(ABO)…..(i)
ABS म, BO माि यका है।
अतः ar(ABO)=ar(BCO)…..(ii)
तथा BCD म , CO माि यका है।
अतः ar(BCO)=ar(CDO)…..(iii)
समीकरण (i),(ii) और(iii) से
ar(ADO)=ar(ABO)=ar(BCO)=ar(CDO)
अतः समांतर चतुभजु के दोनों िवकण उसे समान ेतर् फल वाले चार ित्रभुजों म िवभािजत करते है।
Page : 196 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q4 आकृित 9.24 म, ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो ित्रभुज ह। यिद रेखाखंड CD रेखाखंड AB से िबंद ु O पर
समि भािजत होता है, तो दशाइए िक ar (ABC) = ar (ABD) है।

Answer. ADC म AO माि यका है।
ar(ACO)=ar(ADO)…..(i)
BDC म BO माि यका है।
ar(BCO)=ar(BDO)…..(ii)
समीकरण (i),(ii) और(iii) से
ar(ACO)+ar(BCD)=ar(ADO)+ar(BDO)
ar(ABC)=ar(ABD)
Page : 196 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q5 D, E और F क्रमशः ित्रभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के म य-िबंद ु ह। दशाइए िक
(i) BDEF, एक समांतर चतुभज
ु है।
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Answer. प्र नानुसार, ित्रभुज ABC म E और D भुजाओं CA और BC के म य -िबंद ु ह।
ED || AB और ED =1/2 AB
ED || AB और ED = FB
BDEF एक समांतर चतुभज ु है।

(ii) ar (DEF) =1/4 ar (ABC)
Answer. BDEF एक समांतर चतुभज ु है। (िस िकया गया)
ar (DEF )= ar (BDF)...... (i)
AEDF एक समांतर चतुभज ु है
ar(DEF)= ar(AEF)
तथा ar(DEF)=ar(CDE)
समीकर (i),(ii) और (iii) से
ar (DEF)=ar(BDF)=ar(AEF)=ar(CDF)
माना, ar (DEF)=ar(BDF)=ar(AEF)=ar(CDF)=a
ar(ABC) =ar (DEF)+ar(BDF)+ar(AEF)+ar(CDF)
ar(ABC)=a+a+a+a=4a
ar(ABC)=4ar(DEF)
ar(DEF)=1/4 ar(ABC)

(iii) ar (BDEF) =1/2 ar (ABC)
Answer. ar (BDEF)= ar(DEF)+ar(BDF)
ar(BDEF)=a+a=2a
ar(BDEF ) = ½ × 4x
ar(BDEF)=1/2 ar(ABC) (ar(ABC)=4a)
Page : 196 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q6 आकृित 9.25 म, चतुभज
ु ABCD के िवकण AC तथा BD पर पर िबंद ु O पर इस प्रकार प्रित छे द करते ह िक OB = OD है।
यिद है, तो दशाइये िक

(i) ar (DOC) = ar (AOB)
Answer.

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D तथा B से AC पर DS तथा BT ल ब खी ंचे।
ित्रभुज DSO और BTO म ,
DSO = BTO (प्र येक 90 कोण के ह )
DOS =BOT (शीषिभमुख कोण है)
DO=BO
DSO=BTO (AAS सवागमता ित्रभुज प्रमेय )
DS=BT….(i) (सवागसम ित्रभुज के सभी संगत भाग समान है। )
[ar(DSO)=ar(BTO) ….(ii) (सवागसमता ित्रभुज के ेतर् फल के भाग समान होते है )
DSC और BTA म,
DSC=BTA (प्र येक 90 कोण के ह )
DS=BT (समीकरण (i) से)
CD=AB
अतः
ar(DSC)=ar(BTA) (RHS सवागमता प्रमेय )
तथा
ar(DSC)=ar(BTA)….(iii) (सवागसम ित्रभुज का ेतर् फल समान है )
समीकरण (ii) तथा (iii) का योग करने पर
ar(DSO)+ar(DSC)=ar(BTO)+ar(BTA)
ar (DOC)=ar(AOB)

(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
Answer. ar(DOC)=ar(AOB)
दोनों ओर ar (BOC) जोड़ने पर
ar(DOC)+ar(BOC)=ar(AOB)+ar(BOC)
ar(DCB)=ar(ACB)

(iii) DA || CB या ABCD || एक समांतर चतुभजु है।
Answer. Δ DMC= Δ BNA
सवागसम ित्रभुज के संगत भाग समान होते है।
Δ DCS= Δ BAT
यहाँ ,
एका तर कोण बराबर होते है ,
∠DCS=∠BAT
CD || AB
CD =AB
ABCD एक समांतर चतुभज ु है।
Page : 196 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q7 िबंद ु D और E क्रमशः Δ ABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार ि तथ है िक ar (DBC) = ar (EBC) है। दशाइए
DE || BC है।
Answer. ित्रभुज़ DBC और EBC एक ही आधार पर ि तथ है
ar (DBC)=ar (EBC)
DE || BC
एक ही आधार वाले ित्रभुज एक ही समांतर रेखाओं के बीच ि तथ होते है, िजनका ेतर् फल समान हो।
Page : 196 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q8 XY ित्रभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। यिद BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमशः E और F पर

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िमलती है, तो दशाइए िक ar(ABE)=ar(ACF)
Answer. चतुभज ु ारा , BE || CY
BC || EY , BCYE एक समांतर चतुभज ु है।
ित्रभुज ABE और समांतर चतुभज ु BCYE एक ही एक ही समांतर रेखाओं BE || AC और आधार BE के बीच ि तथ है
ar (ABE)=1/2 ar(BCYE)….(i)
ित्रभुज का ेतर् फल समांतर चतुभज ु के ेतर् फल का आधा होता है जब एक ित्रभुज और एक समांतर चतुभज
ु एक ही एक ही समांतर
रेखायो और आधार के बीच ि तथ हो
इसी तरह से , ित्रभुज ACF और समा तर चतुभज ु BCFX एक ही और एक ही समांतर रेखाओं CF || AB और आधार CF के बीच
ि तथ है
ar(ACF)=1/2 ar(BCFX)…….(ii)
ar(BCYE)=ar(BCFX)…..(iii)
उस समांतर चतुभज ु ेतर् फल समान होते है जो एक ही आधार (BC) वाले और एक ही समांतर रेखाओ (BC || EF) के बीच ि तथ होते
ह।
समीकरण (i),(ii) और (iii) से
ar(ABE)=ar(ACF)
Page : 197 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q9 समांतर चतुभजु ABCD की भुजा AB को एक िबंद ु P बढ़ाया गया है। A से होकर CP समांतर खी ंची गई रेखा बढ़ाई गई CB को
Q पर िमलती है और िफर समांतर चतुभज
ु PBQR को पूरा िकया गया है (देिखए आकृित 9.26) दशाइए िक ar (ABCD) = ar
(PBQR) है। [संकेत: AC और PQ को िमलाइये। अब ar (ACQ) और ar (APQ) की तुलना कीिजए।]

Answer.

AC तथा PQ के म य रेखा खी ंचते ह, ित्रभुज ACQ और APQ एक ही एक ही समांतर रेखाओं AQ || CP और आधार AQ के बीच
ि तथ है
इसिलये
ar (ACQ )=ar (APQ)
दोनों तरफ़ से ar (ABQ ) घटाने पर
ar (ACQ)- ar(ABQ)=ar(APQ)-ar(ABQ)
ar(ABC)=ar(PBQ)=1/2ar(ABCD)
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 9 Maths
=1/2ar(PBQR)
ar(ABCD)= ar(PBQR)
Page : 197 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q10 एक समलंब ABCD, िजसम AB || DC है , के िवकण AC और BD पर पर O पर प्रित छे द करते है। दशाइए िक ar
(AOD) = ar (BOC) है।
Answer. ित्रभुज ABD और ABC एक ही एक ही समांतर रेखाओ AB || CD और आधार AB के बीच ि तथ है।
इसिलये, ar(ABD)=ar(ABC)
दोनों ओर से ar (ABO ) घटाने पर
ar(ABD)- ar(ABO)= ar(ABC)-ar(ABO)
ar(AOO)=ar(BOC)
Page : 197 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q11 आकृती 9.27 म, ABCDE एक पंचभुज है।B से होकर AC के समांतर खी ंची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर िमलती है।
दशाइए िक

(i) ar (ACB) = ar (ACF)
Answer. दोनों ित्रभुज ACB और ACF एक ही एक ही समांतर रेखाओं AC || FB और आधार AC के बीच ि तथ है। इसिलये,
ित्रभुज ेतर् फल म बराबर होंगे
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
Answer. ar(ACB)=ar(ACF)
दोनों ओर ar(AEDC) जोड़ने पर ,
ar(ACB)+ar(AEDC)=ar(ACF)+ar(AEDC)
ar(ABCDE)=ar(AEDF)
Page : 197 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q12 गाँव के एक िनवासी इतवारी के पास एक चतुभजाकार
ु ं था। उस गॉंव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखड
भूखड ं के एक कोने से
उसका कु छ भाग लेने का िनणय िलया तािक वह एक वा य कद्र का िनमाण कराया जा सके। इतवारी इस प्र ताव को इस
ं के संल न एक भाग ऐसा दे िदया जाए िक उसका भूखड
प्रितब ध के साथ वीकार कर लेता है िक उसे इस भाग के बदले उसी भूखड ं
ित्रभुजाकार हो जाए। प ट कीिजए िक इस प्र ताव को िकस प्रकार कायाि वत िकया जा सकता है।
Answer. माना PQRS इतवारी का भूभाग है। QS को िमलाया और R से QS के समांतर रेखा RF खी ंची जो PQ को िबंद ु F पर
काटती है। S और F को िमलाया।
ित्रभुज RQS और FQS एक ही एक ही समांतर रेखाओं QS || RF और आधार QS के बीच ि तथ है।
अतः
ar(RQS)=ar(FQS)
दोनों ओर से ar(QSM) घटाने पर ,
ar(RQS)-ar(QSM)=ar(FQS)-ar(QSM)
ar(RMS)=ar(QFM)
इसिलये , RMS के थान पर उसी भूभाग को QFM दे िदया जाए तो उसका भूभाग PSF ित्रभुजाकार हो जाएगा।
Page : 197 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q13 ABCD एक समलंब है , िजसम AB || DC है। AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रित छे द करती
है। िस कीिजए िक ar (ADX) = ar (ACY) है।
Answer.
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 9 Maths
सवप्रथम CX को िमलाया।
ित्रभुज ADX और ACX एक ही एक समांतर रेखाओं AB || DC और आधार AX के बीच ि तथ है।
इसिलये,
ar(ADX)=ar(ACX)
ित्रभुज ACY और ACX एक ही आधार AC और एक ही समांतर रेखाओ AC || XY के बीच ि तथ ह अतः ित्रभुज ेतर् फल म
बराबर होंगे।
अतः ar(ACY)=ar(ACX)
समीकर (i) और (ii) से
ar(ADX)=ar(ACY)
Page : 197 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q14 आकृित 9.28 म, AP || BQ || CR है।िस कीिजए िक ar (AQC) = ar (PBR) है।

Answer. ित्रभुज ABQ और PBQ एक ही एक समांतर रेखाओं BQ || AP और आधार BQ के बीच है।
ar(ABQ)=ar(PBQ)…….(i)
ित्रभुज BQC और BQR एक ही आधार BQ और एक ही समांतर रेखाओ QR || CR के बीच बने ित्रभुज के ेतर् फल समान होते
है।
ar(BQC)=ar(BQR)…….(ii)
समीकर (i) और (ii) से
ar(ABQ)+ar(BQC)=ar(PBQ)+ar(BQR)
ar(AQC)=ar(PBR)
Page : 197 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q15 चतुभज ु ABCD के िवकण AC और BD पर पर िबंद ु O पर इस प्रकार प्रितछे द करते है िक (AOD) = ar (BOC) है। िस
कीिजए िक ABCD एक समलंब है।
Answer. ar(AOD)=ar(BOC)
दोनों ओर ar(AOB) जोड़ने पर
ar(AOD)+ar(AOB)=ar(BOC)+ar(AOB)
ar(ABD)=ar(ABC)
ABD और ABC एक ही आधार AB पर बने है और ar(ABD) =ar(ABC), AB|| DC
अतः, ABCD एक समलंब है।
Page : 198 , Block name : प्र नवाली 9.3

Q16 आकृित 9.29 म ,ar (DRC) = ar (DPC) है और ar (BDP) = ar (ARC) है।दशाइए िक दोनों चतुभज
ु ABCD और
DCPR समल ब है।

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 9 Maths

Answer. ar(DRC)=ar(DPC)……(i)
DRC और DPC एक आधार पर बने है तथा ar(DRC)=ar(DPC), DC|| RC
अतः DCPR एक समलंब है।
ar(ARC)=ar(BDP) ….(ii)
समीकरण (ii) से समीकरण(i) घटाने पर
ar(ARC)-ar(DRC)=ar(BDP)-ar(DPC)
ar(ADC)=ar(BDC)
Δ ADC और Δ BDC एक ही आधार DC पर बने है तथा ar(ADC)=ar(BDC)
अतः ABCD एक समलंब है।
Page : 197 , Block name : प्र नवाली 9.3

प्र नवाली 9.4

Q1 समांतर चतुभज ु ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर ि तथ ह और उनके ेतर् फल बराबर है। दशाइए िक समांतर
चतुभज ु का पिरमाप आयत के पिरमाप से अिधक है।
Answer. AFD म
आयत का कोण ∠F=90
समकोण ित्रभुज म कण सबसे बडी़ भुजा है, AD >AF
दोनों ओर AB जोड़ने पर
AD+AB>AF+AB
2(AD+AB)>2(AF+AB)
समांतर चतुभजु का पिरमाप >आयत का पिरमाप
Page : 198 , Block name : प्र नवाली 9.4

Q2 आकृित 9.30 म, भुजा BC पर दो िबंद ु D और E इस प्रकार ि तथ है िक BD = DE = E है। दशाइए ar (ABD) = ar (ADE)
= ar (AEC) है।

या आप अब उस प्र न का उ र दे सकते है , जो आपने इस अ याय की 'भूिमका' म छोड़ िदया था िक " या बुिधया का खेत वा तव म
बराबर ेतर् फलों वाले तीन भागो म िवभािजत हो गया है" ?
[िट पणी: यान दीिजए BD = DE = EC लेने से ABC तीन ित्रभुजों ABD, ADE और AEC म िवभािजत हो जाता है िजनके
ेतर् फल बराबर ह। इसी प्रकार, BC को n बराबर भागों म िवभािजत करके और इस भुजा को िवभािजत करने वाले िबंदओ
ु ं को
स मुख शीष A से िमलाकर कर आप इस ित्रभुज को बराबर ेतर् फलों वाले n ित्रभुजों म िवभािजत कर सकते ह।]

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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 9 Maths
Answer. BD=DE, Δ ABE म AD एक माि यका है
अतः, ar(ABD)=ar(AED) …………(i)
इसीप्रकार, Δ ADC म AE माि यका है
अतः ar(ADE)=ar(AEC)…………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) से
ar(ABD)=ar(ADE)=ar(AEC)
Page : 198 , Block name : प्र नवाली 9.4

Q3 आकृित 9.31 म, ABCD, DCFE और ABFE समा तर चतुभज
ु है। दशाइए िक (ADE) =ar (BCF) है।

Answer. Δ ADE और Δ BCF म ,
ु ABCD की स मुख भुजाएँ, AD=BC
समांतर चतुभज
समांतर चतुभजु DCFE की स मुख भुजाएँ, DE=CF
समांतर चतुभज ु ABFE की स मुख भुजाएँ, AE=BF
अतः SSS सवागसमता िनयम
Δ ADE≅ Δ BCF
अतः सवागसमता ित्रभुजों के ेतर् फल बराबर होते है
ar(ADE)=ar(BCF)
Page : 198 , Block name : प्र नवाली 9.4

Q4 आकृित 9.32 म ABCD एक समांतर चतुभज ु है और BC को एक िबंद ु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है िक AD = CQ है। यिद
AQ भुजा DC को P पर है, तो दशाइए िक ar (BPC) = ar (DPQ) है। [संकेत: AC को िमलाइए।]

Answer.

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ित्रभुज ADP और QCP म
शीषिभमुख कोण, ∠APD=∠QPC
एकांतर कोण, ∠ADP=∠QCP
AD=CQ
अतः AAS सवागमता िनयम, ABD=ACD
सवागम ित्रभुज के सगत भाग बराबर होते है, DP=CP
Δ CDQ म QP माि यका है
अतः
ar(DPQ)= ar(QPC)…….(i)
इसीप्रकार, Δ PBQ म PC माि यका है , AD=CQ और AD=BC , BC=QC
अतः ar(QPC) =ar(BPC)……………(ii)
समीकरण(i) और (ii) से
ar(BPC) =ar(DPQ)
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Q5 आकृित 9.33 म, ABC और BDE दो समबाहु ित्रभुज इस प्रकार है िक D भुजा BC का म य -िबंद ु है। यिद AE भुजा BC को
F पर प्रित छे द करती है , तो दशाइए िक

(i) ar (BDE) =1/4ar (ABC)
Answer.

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EC और AD को िमलाया
माना, BC =x
√3
समबाहु ित्रभुज का ेतर् फल 4
भुजा 2

इसिलए ar(ABC)=
√3
2
x
4

√3
तथा ar(BDE)= 4
(
x

2
)
2

1 √3 1
2
[ x ] = [ar(ABC)]
4 4 4

(ii) ar (BDE) =1/2ar (BAE)
Answer. Δ BEC म, ED माि यका ह।
अतः ar(BDE)=1/2 ar(BEC)…………(i)
ित्रभुज की माि यका ित्रभुज को समान ेतर् फल वाले दो ित्रभुजों म बांटती है
समबाहु ित्रभुज के कोण
∠EBC =60 और ∠BCA=60
∠EBC = ∠BCA
एका तर कोण बराबर है ,
∠EBC = ∠BCA
अतः BE || AC
ित्रभुज BEC और BAE एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं BE || AC के बीच ि तथ ह।
ar(BEC)=ar(BAE)
समीकरण (i) और(ii) से
ar(BDE)=1/2ar(BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
Answer. Δ BEC म, ED माि यका ह।
ar(BDE)=1/2 ar(BEC)…………(iii)
ar(BDE)=1/4ar(ABC)………….(iv)
समीकरण (iii) और (iv) से ,
ar(ABC)=2ar(BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
Answer. ∠ABD=60 और ∠BDE=60
∠ABD=∠BDE
यहाँ एका तर कोण (∠ABD=∠BDE)
अतः BA|| ED
ित्रभुज BDE और AED एक ही आधार ED और एक ही समांतर रेखाओं BA|| EDके बीच ि तथ है।
अतः ar(BDE)=ar(AED)
दोनों ओर से ar(FED) घटाने पर
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ar(BDE)-ar(FED)=ar(AED)-ar(FED)
ar(BDE)=ar(AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
Answer. Δ BEC म ,AD = AB − BD 2 2 2

=a
2
2 a
−
4
2

= 3a

4

AD=
√3a

2

LED म , (EL ) = (DE) 2 2
− (DL)
2

=( a

2
)
2
− (
a

4
)
2

2 2

= a

4
−
a

16
2

= 3a

16

EL=
√3
a
4

इसिलए, ar(AFD)=1/2 ×F D × AD
तथा
ar(EFD)=½×F D × EL
√3
= ½ ×F D × 4
a

समीकरण (v) और (vi) से
ar(AFD)=2ar(FED))………….(vii)
ar(BFE)=2ar(FED) [(vi) से तुलना करने पर]
(vi) ar (FED) =1/8 ar (AFC)
Answer. ar(BDE)= 1/4ar(ABC)
ar(BEF)+ar(FED)=1/2 ar(ABC)
ar(BEF)+ar(FED)=1/4 [2 ar(ADC)]
2 ar(FED) +ar(FED) =1/2 (arADC)
3ar(FED)=1/2[ar (AFC)-ar(AFD)]
3ar(FED)=1/2[ar (AFC)-ar(FED)]
3ar(FED)=1/2 ar (AFC)-1/2 ar(FED)
3ar(FED)=1/2 ar (AFC)-ar(FED)
4ar(FED)=1/2ar (AFC)
ar(FED)=1/8 ar (AFC)
Page : 199 , Block name : प्र नवाली 9.4

Q6 चतुभज ु ABCD के िवकण AC और BD पर पर िबंद ु P पर प्रित छे द करते है। दशाइए िक ar (APB) × ar (CPD) = ar
(APD) × ar (BPC) है।
[संकेत: A और C से BD पर ल ब खी ंिचए।]
Answer. A और C से BD पर ल ब खी ंिचए AM और CN
ar(AP B) × ar(CP D) = ½ × BP × AM × ½ × P D × CN … … … . (i)
ar(AP D) × ar(BP S) = 1/2 × ×P D × Am × 1/2 × BP × CN … . . (ii)

समीकरण(i) और (ii) से
ar(AP B) × ar(CP D) = ar(AP D) × ar(BP C)

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Q7 P और Q क्रमशः ित्रभुज ABC की भुजाओं AB और BC के म य -िबंद ु ह तथा R रेखाखंड AP का म य-िबंद ु है। दशाइए िक:
(i) ar (PRQ) =1/2ar (ARC)
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Answer. AQ, PC, RC तथा RQ को िमलाया।
Δ APQ म QR माि यका है।
ar(PQR)=1/2 ar(APQ)………….(i)
इसीप्रकार ,
Δ AQB म, QP माि यका है।
ar(APQ)=1/2 ar(ABQ)….(ii)
Δ ABC म, AQ माि यका है।
ar(ABQ)=1/2 ar(ABC)……………..(iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) से
ar(PQR)=1/8 ar(ABC)…………….(iv)
Δ ARC म, CR माि यका है।
ar(ARC)=1/2 ar(APC)………..(v)
Δ ABC म, CP माि यका है।
ar(APC)=1/2 ar(ABC)………...(vi)
समीकरण (v) और (vi) से
ar(ARC)=1/4 ar(ABC)…………….(vii)
समीकरण (v) और (vii) से
ar(PQR)=1/8 ar(ABC) = ½ [1/4 ar(ABC)]
=1/2 ar(ARC)
ar(PQR)= ½ ar (ABC)
(ii) ar (RQC) =3/8ar (ABC)
Answer. ar(RQC)= ar(RQA) + ar(AQC)-ar(ARC)……….(viii)
Δ PQA म QR माि यका है
ar(RQA)=1/2 ar(PQA)…………(ix)
Δ AQB म, PQ माि यका है
ar(PQA)= ½ ar(AQB)……….(x)
Δ ABC म AQ माि यका है।
ar(AQB)=1/2 ar(ABC)………(xi)
समीकरण (ix), (x) और (xi) से
ar(RQA)= 1/8 ar(ABC)……….(xii)
Δ ABC म, AQ माि यका है।
ar(AQC)=1/2 ar (ABC)………..(xiii)
Δ APC म CR माि यका है।
ar(ARC)= ½ ar(APC)…………….(xiv)
Δ ABC म CP माि यका है।
ar(APC)=1/2 ar(ABC)…………(xv)
समीकरण (xiv) और (xv) से
ar(ARC)=1/4 ar(ABC)…………(xvi)
समीकरण (viii), (xii), (xiii) और (xvi) से
ar(RQC)=1/8 ar(ABC)+1/2 ar(ABC)-1/4 ar(ABC)
ar(RQC)=3/8 ar(ABC)
(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)
Answer. Δ ABQ म , PQ माि यका है।
ar(PBQ)=1/2 ar(ABQ)……..(xvii)
Δ ABC म, AQ माि यका है।
ar(ABQ)= ½ ar (ABC)…………(xviii)
समीकरण (xvi), (xvii) और (xviii) से

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ar(PQB)=ar(ARC)
Page : 200 , Block name : प्र नवाली 9.4

Q8 आकृित 9.34 म , ABC एक समकोण ित्रभुज है िजसका कोण A समान है। BCED, ACFG और ABMN क्रमश भुजाओं
BC, CA और AB पर बने वग ह। रेखाखंड AX⊥ DE भुजा BC को िबंद ु Y पर िमलता है। दशाइए िक :

(i) Δ MBC = Δ ABD
Answer. Δ MBC और Δ ABD म।
वग की भुजा, AB= AC
प्र येक 90 +ABC, ∠MBC= ∠ ABD
वग की भुजा, MB= AB
SAS सवागसमता प्रमेय, Δ MBC ≅ Δ ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
Answer. ित्रभुज ABD तथा चतुभज
ु BYXD एक ही एक ही समांतर रेखाओं AX || BD और आधार BD के बीच ि तथ है ,
अतः
ar(ABD)=1/2 ar(BYXD)…………..(1)
MBC= ABD
इसिलए
ar(MBC)= ar(ABD)………..(2)
समीकरण (1) और (2) से,
ar(MBC)=1/2 ar(BYXD)……………………(3)
2 ar(MBC)=ar(BYXD)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
Answer. ित्रभुज MBC तथा वग ABMN एक ही एक ही समांतर रेखाओं MB|| NC और आधार MB के बीच ि तथ है ,
अतः ar(MBC)= ½ ar(ABMN)………….(4)
समीकरण (3) और (4) से
ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) Δ FCB = Δ ACE
Answer. वग की भुजा, CE = BC
प्र येक 90° +ABC, ∠ACE= ∠ BCF
वग की भुजा, AC = CF
SAS सवागसमता प्रमेय, ACE ≅ BCF
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
Answer. ित्रभुज ACE और वग CYXE एक ही एक ही समांतर रेखाओं CE|| AX और आधार CE के बीच ि तथ है ,
अतः ar(ACE)= ½ ar(CYXE)
ar(FCB)=1/2 ar(CYXE)………………(5)
[ar(FCB)= ar (ACE)]
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2 ar(FCB)= ar(CYXE)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
Answer. ित्रभुज BCF तथा वग ACFG एक ही एक ही समांतर रेखाओं CF || FG और आधार CF और के बीच ि तथ है ,
अतः
ar(BCF)= ½ ar(ACFG)…………..(6)
समीकरण (5) और (6) से
ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
Answer. भाग (3) और (6) से
ar(BYXD)= ar(ABMN)
तथा
ar(CYXE)= ar(ACFG)
दोनों को जोड़ने पर
ar(BYXD)+ar (CYXE) = ar(ABMN)+ar (ACFG)
ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
Page : 200 , Block name : प्र नवाली 9.4

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