NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 9 वृत्त
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Frequently Asked Questions
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NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 9 वृत्त – Text
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Page 1
NCERT
SOLUTIONS
CLASS - 9th
aglase .co
SOLUTIONS
CLASS - 9th
aglase .co
Page 2
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
Class : 9th
Subject : Mathematics
Chapter : 10
Chapter Name : वृ
प्र नावली 10.1
Q1 खाली थान भिरए:
(i) वृ का कद्र वृ के _______ म ि थित है (बिहभाग/अ यंतर)।
(ii) एक िबंद ु , िजसकी वृ के कद्र से दूरी ित्र या से अिधक हो , वृ के ________ म ि थत है (बिहभाग/अ यंतर)।
(iii) वृ की सबसे बड़ी जीवा वृ का _______ होता है।
(iv) एक चाप _______ होता है , जब इसके िसरे एक यास के िसर हो।
(v) वृ खंड एक चाप तथा ________ के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृ , िजस तल पर ि थत है , उसे _____ भागों म िवभािजत करता है।
(i) अ यंतर
(ii) बिहभाग
(iii) यास
(iv) अधवृ
(v) जीवा
(vi) तीन
Page : 205 , Block Name : प्र नावली 10.1
Q2 िलिखए , स य या अस य । अपने उ र के कारण दीिजए।
(i) कद्र को वृ पर िकसी िबंद ु से िमलाने वाला रेखाखंड वृ की ित्र या होती है।
(ii) एक वृ म समान लंबाई की पिरिमत जीवाएँ होती है।
(iii) यिद एक वृ को तीन बराबर चापों म बाँट िदया जाए , तो प्र येक भाग दीघ चाप होता है।
(iv) वृ की एक जीवा , िजसकी ल बाई ित्र या से दो गुनी हो , वृ का यास है।
(v) ित्र यखंड , जीवा एवं संगत चाप के बीच का ेतर् होता है।
(vi) वृ एक समतल आकृित है ।
(i) स य, कद्र को वृ पर िकसी िबंद ु से िमलाने वाला रेखाखंड वृ की ित्र या होती है।
(ii) अस य, वृ की जीवाएँ अलग-अलग लंबाई की हो सकती है।
(iii) अस य, वृ को तीन बराबर चापों म बाँट िदया जाए , तो प्र येक भाग 120 का कोण बनाएगा। अतः लघु चाप बनाएगा।
o
(iv) स य, वृ की एक जीवा िजसकी ल बाई ित्र या से दो गुनी हो वृ का यास है।
(v) अस य, ित्र यखंड , जीवा एवं संगत चाप के बीच का ेतर् होता है।
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Class : 9th
Subject : Mathematics
Chapter : 10
Chapter Name : वृ
प्र नावली 10.1
Q1 खाली थान भिरए:
(i) वृ का कद्र वृ के _______ म ि थित है (बिहभाग/अ यंतर)।
(ii) एक िबंद ु , िजसकी वृ के कद्र से दूरी ित्र या से अिधक हो , वृ के ________ म ि थत है (बिहभाग/अ यंतर)।
(iii) वृ की सबसे बड़ी जीवा वृ का _______ होता है।
(iv) एक चाप _______ होता है , जब इसके िसरे एक यास के िसर हो।
(v) वृ खंड एक चाप तथा ________ के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृ , िजस तल पर ि थत है , उसे _____ भागों म िवभािजत करता है।
(i) अ यंतर
(ii) बिहभाग
(iii) यास
(iv) अधवृ
(v) जीवा
(vi) तीन
Page : 205 , Block Name : प्र नावली 10.1
Q2 िलिखए , स य या अस य । अपने उ र के कारण दीिजए।
(i) कद्र को वृ पर िकसी िबंद ु से िमलाने वाला रेखाखंड वृ की ित्र या होती है।
(ii) एक वृ म समान लंबाई की पिरिमत जीवाएँ होती है।
(iii) यिद एक वृ को तीन बराबर चापों म बाँट िदया जाए , तो प्र येक भाग दीघ चाप होता है।
(iv) वृ की एक जीवा , िजसकी ल बाई ित्र या से दो गुनी हो , वृ का यास है।
(v) ित्र यखंड , जीवा एवं संगत चाप के बीच का ेतर् होता है।
(vi) वृ एक समतल आकृित है ।
(i) स य, कद्र को वृ पर िकसी िबंद ु से िमलाने वाला रेखाखंड वृ की ित्र या होती है।
(ii) अस य, वृ की जीवाएँ अलग-अलग लंबाई की हो सकती है।
(iii) अस य, वृ को तीन बराबर चापों म बाँट िदया जाए , तो प्र येक भाग 120 का कोण बनाएगा। अतः लघु चाप बनाएगा।
o
(iv) स य, वृ की एक जीवा िजसकी ल बाई ित्र या से दो गुनी हो वृ का यास है।
(v) अस य, ित्र यखंड , जीवा एवं संगत चाप के बीच का ेतर् होता है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
(vi) स य, वृ एक समतल आकृित है ।
Page:205 , Block Name : प्र नावली 10.1
Q1 याद कीिजए िक दो वृ सवागसम होत है , यिद उनकी ित्र याएँ बराबर हों। िस कीिजए िक सवागसम वृ ों की बराबर जीवाएँ
उनके कद्रों पर बराबर कोण अंतिरत करती है।
सवागसम वत ृ का कद्र तथा ित्र या (D,r) और (M,r) है तथा EF=NO है।
दशाइये िक ∠EDF = ∠N M O
△DEF और △M N O म
EF=NO
DE=MN (ित्र याएँ)
DF=MO (ित्र याएँ)
अतः
△DEF ≅ △M N O (SSS िनयम)
सवागसम ित्रभुज के संगत कोण समान होते है अतः ∠EDF = ∠N M O
Page:208 , Block Name : प्र नावली 10.2
Q2 िस कीिजए िक सवागसम वृ ों की जीवाएँ उनके कद्रों पर बराबर कोण अंतिरत कर , तो जीवाएँ बराबर होती है।
सवागसम वत ृ का कद्र तथा ित्र या (D,r) और (M,r) है तथा EF=NO है।
दशाइये िक EF=NO
△DEF और △M N O म
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(vi) स य, वृ एक समतल आकृित है ।
Page:205 , Block Name : प्र नावली 10.1
Q1 याद कीिजए िक दो वृ सवागसम होत है , यिद उनकी ित्र याएँ बराबर हों। िस कीिजए िक सवागसम वृ ों की बराबर जीवाएँ
उनके कद्रों पर बराबर कोण अंतिरत करती है।
सवागसम वत ृ का कद्र तथा ित्र या (D,r) और (M,r) है तथा EF=NO है।
दशाइये िक ∠EDF = ∠N M O
△DEF और △M N O म
EF=NO
DE=MN (ित्र याएँ)
DF=MO (ित्र याएँ)
अतः
△DEF ≅ △M N O (SSS िनयम)
सवागसम ित्रभुज के संगत कोण समान होते है अतः ∠EDF = ∠N M O
Page:208 , Block Name : प्र नावली 10.2
Q2 िस कीिजए िक सवागसम वृ ों की जीवाएँ उनके कद्रों पर बराबर कोण अंतिरत कर , तो जीवाएँ बराबर होती है।
सवागसम वत ृ का कद्र तथा ित्र या (D,r) और (M,r) है तथा EF=NO है।
दशाइये िक EF=NO
△DEF और △M N O म
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
DE=MN (ित्र याएँ)
∠EDF = ∠N M O
DF=MO (ित्र याएँ)
△DEF ≅ △M N O (SSS िनयम)
∴ EF=NO
Page:208 , Block Name : प्र नावली 10.2
Q1 वृ ों के कई जोड़ो (यु म) खी ंिचए । प्र येक जोड़े म िकतने िबंद ु उभयिन ठ है ? उभयिन ठ िब दुओ ं की अिधकतम सं या या है?
िचत्रानुसार प्र येक जोड़े म 0,1 या 2 िबंद ु उभयिन ठ है । उभयिन ठ िब दुओ ं की अिधकतम सं या 2 है ।
Page:211 , Block Name : प्र नावली 10.3
Q2 मान लीिजए आपको एक वृ िदया है। एक रचना इसके कद्र को ात करने के िलए दीिजए।
िचत्रानुसार िबंद ु A, B और C कद्र O तथा ित्र या r वाले वृ पर है।
AC और BC को िमलाकर इनके लंबसमि भाजक डाले जो एक-दूसरे को िबंद ु O पर प्रित छे द करते है।
अब िबंद ु O को कद्र मानकर OA ित्र या लेकर एक वृ बनाया।
Page 3 of 18
DE=MN (ित्र याएँ)
∠EDF = ∠N M O
DF=MO (ित्र याएँ)
△DEF ≅ △M N O (SSS िनयम)
∴ EF=NO
Page:208 , Block Name : प्र नावली 10.2
Q1 वृ ों के कई जोड़ो (यु म) खी ंिचए । प्र येक जोड़े म िकतने िबंद ु उभयिन ठ है ? उभयिन ठ िब दुओ ं की अिधकतम सं या या है?
िचत्रानुसार प्र येक जोड़े म 0,1 या 2 िबंद ु उभयिन ठ है । उभयिन ठ िब दुओ ं की अिधकतम सं या 2 है ।
Page:211 , Block Name : प्र नावली 10.3
Q2 मान लीिजए आपको एक वृ िदया है। एक रचना इसके कद्र को ात करने के िलए दीिजए।
िचत्रानुसार िबंद ु A, B और C कद्र O तथा ित्र या r वाले वृ पर है।
AC और BC को िमलाकर इनके लंबसमि भाजक डाले जो एक-दूसरे को िबंद ु O पर प्रित छे द करते है।
अब िबंद ु O को कद्र मानकर OA ित्र या लेकर एक वृ बनाया।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
Page:211 , Block Name : प्र नावली 10.3
Q3 यिद दो वृ पर पर दो िबंदओ
ु ं पर प्रित छे द कर , तो िस कीिजए िक उनके कद्र उभयिन ठ जीवा के लंब समि भाजक पर
ि थत है।
िचत्रानुसार दो वतृ कद्र M व N और ित्र या r के बनाये जो दो िबंदओ
ु ं Y और Z पर प्रित छे द करते है।
दशाइये िक M और N उभयिन ठ जीवा YZ के लंब समि भाजक पर ि थत है।
YZ म म य िबंद ु L से M और N को िमलाया।
वृ की जीवा YZ है और ML, YZ का समि भाजक है।
इसिलए
M L⊥Y Z
o
अतः ∠M LY = 90
इसी प्रकार ,
YZ वृ की जीवा है और NL जीवा का समि भाजक है।
इसिलए
M L⊥Y Z
अतः
o
∠N LY = 90
अब ,
o o o
∠M LY + ∠N LY = 90 + 90 = 180
इसी प्रकार ,
∠M LY और ∠N LY रेखा यु म बनाते है अतः MLN एक सरल रेखा है।
अतः कद्र M और N उभयिन ठ जीवा YZ के लंब समि भाजक पर है।
Page:211 , Block Name : प्र नावली 10.3
Q1 5cm तथा 3cm ित्र या वाले दो वृ दो िबंदओ
ु ं पर प्रित छे द करते है तथा उनके कद्रों के बीच की दूरी 4cm है। उभयिन ठ
जीवा की लंबाई ात कीिजए।
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Page:211 , Block Name : प्र नावली 10.3
Q3 यिद दो वृ पर पर दो िबंदओ
ु ं पर प्रित छे द कर , तो िस कीिजए िक उनके कद्र उभयिन ठ जीवा के लंब समि भाजक पर
ि थत है।
िचत्रानुसार दो वतृ कद्र M व N और ित्र या r के बनाये जो दो िबंदओ
ु ं Y और Z पर प्रित छे द करते है।
दशाइये िक M और N उभयिन ठ जीवा YZ के लंब समि भाजक पर ि थत है।
YZ म म य िबंद ु L से M और N को िमलाया।
वृ की जीवा YZ है और ML, YZ का समि भाजक है।
इसिलए
M L⊥Y Z
o
अतः ∠M LY = 90
इसी प्रकार ,
YZ वृ की जीवा है और NL जीवा का समि भाजक है।
इसिलए
M L⊥Y Z
अतः
o
∠N LY = 90
अब ,
o o o
∠M LY + ∠N LY = 90 + 90 = 180
इसी प्रकार ,
∠M LY और ∠N LY रेखा यु म बनाते है अतः MLN एक सरल रेखा है।
अतः कद्र M और N उभयिन ठ जीवा YZ के लंब समि भाजक पर है।
Page:211 , Block Name : प्र नावली 10.3
Q1 5cm तथा 3cm ित्र या वाले दो वृ दो िबंदओ
ु ं पर प्रित छे द करते है तथा उनके कद्रों के बीच की दूरी 4cm है। उभयिन ठ
जीवा की लंबाई ात कीिजए।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
िचत्रानुसार कद्र , ित्र या (R,3) और C(S,5) के दो वृ आपस म C और D पर काटते है। अब RC और SC को िमलाया और RL
जीवा CD का समि भाजक बनाया।
RL⊥CD
o
∠RLC = 90
माना , RL=a
SL=4-a
△CRL म पाइथागोरस प्रमेय से ,
CL = CR − RL -(1)\)
2 2 2
△CRL म पाइथागोरस प्रमेय से ,
CL = CS − SL -(2)\)
2 2 2
समीकरण (1) और (2) से,
2 2 2 2
CR − RL = CS − SL
2 2 2 2
3 − a = 5 − (4 − a)
2 2
9 − a = 25 − (16 + a − 8a)
9-9=8a
0
a = = 0
8
समीकरण (1) से ,
,
2 2 2
CD = 3 − 0 = 9
CL=3
CD=2CL
CD=2 × 3=6
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q2 यिद एक वृ की दो समान जीवाएँ वृ के अंदर प्रित छे द करे , तो िस कीिजए िक एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडो
के बराबर है।
Answer. वृ की समान जीवाएँ PQ और RS िबंद ु N पर काटती है।
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िचत्रानुसार कद्र , ित्र या (R,3) और C(S,5) के दो वृ आपस म C और D पर काटते है। अब RC और SC को िमलाया और RL
जीवा CD का समि भाजक बनाया।
RL⊥CD
o
∠RLC = 90
माना , RL=a
SL=4-a
△CRL म पाइथागोरस प्रमेय से ,
CL = CR − RL -(1)\)
2 2 2
△CRL म पाइथागोरस प्रमेय से ,
CL = CS − SL -(2)\)
2 2 2
समीकरण (1) और (2) से,
2 2 2 2
CR − RL = CS − SL
2 2 2 2
3 − a = 5 − (4 − a)
2 2
9 − a = 25 − (16 + a − 8a)
9-9=8a
0
a = = 0
8
समीकरण (1) से ,
,
2 2 2
CD = 3 − 0 = 9
CL=3
CD=2CL
CD=2 × 3=6
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q2 यिद एक वृ की दो समान जीवाएँ वृ के अंदर प्रित छे द करे , तो िस कीिजए िक एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडो
के बराबर है।
Answer. वृ की समान जीवाएँ PQ और RS िबंद ु N पर काटती है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
दशाइये िक PN=RN और QN=SN
ON को िमलाया
OM ⊥P Q और OM ⊥RS बनाए।
△OLN और △OM N म ,
∠OLN = ∠OM N
PN=PN
OL=OM
△OLN ∼ △OM N (RHS िनयम)
NL=NM -(i)
तथा PQ=RS -(ii)
1 1
PQ = RS
2 2
PL=RM -(iii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर ,
PL+NM=RM+NM
PN=RN -(iv)
समीकरण (iii) और (iv) से ,
PQ-PN=RS-RN
NQ=NS
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q3 यिद एक वृ की दो समान जीवाएँ वृ के अंदर प्रित छे द करे , तो िस कीिजए िक प्रित छे द िबंद ु को कद्र से िमलाने वाली रेखा
जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
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दशाइये िक PN=RN और QN=SN
ON को िमलाया
OM ⊥P Q और OM ⊥RS बनाए।
△OLN और △OM N म ,
∠OLN = ∠OM N
PN=PN
OL=OM
△OLN ∼ △OM N (RHS िनयम)
NL=NM -(i)
तथा PQ=RS -(ii)
1 1
PQ = RS
2 2
PL=RM -(iii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर ,
PL+NM=RM+NM
PN=RN -(iv)
समीकरण (iii) और (iv) से ,
PQ-PN=RS-RN
NQ=NS
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q3 यिद एक वृ की दो समान जीवाएँ वृ के अंदर प्रित छे द करे , तो िस कीिजए िक प्रित छे द िबंद ु को कद्र से िमलाने वाली रेखा
जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
वृ की समान जीवाएँ PQ और RS िबंद ु N पर काटती है।
दशाइये िक ∠ON L = ∠ON M है।
ON को िमलाया
OM ⊥P Q और OM ⊥RS
△OLN और △OM N म ,
∠OLN = ∠OM N
PN=PN
OL=OM
△OLN ∼ △OM N (RHS िनयम)
∠ON L = ∠ON M
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q4 यिद एक रेखा दो सकद्री वृ ों ( एक ही कद्र वाले वृ ) को , िजनका कद्र O है , A,B,C और D पर प्रित छे द करे , तो िस
कीिजए AB=CD है।
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वृ की समान जीवाएँ PQ और RS िबंद ु N पर काटती है।
दशाइये िक ∠ON L = ∠ON M है।
ON को िमलाया
OM ⊥P Q और OM ⊥RS
△OLN और △OM N म ,
∠OLN = ∠OM N
PN=PN
OL=OM
△OLN ∼ △OM N (RHS िनयम)
∠ON L = ∠ON M
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q4 यिद एक रेखा दो सकद्री वृ ों ( एक ही कद्र वाले वृ ) को , िजनका कद्र O है , A,B,C और D पर प्रित छे द करे , तो िस
कीिजए AB=CD है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
कद्र O वाले दो सकद्री वृ है , A,B,C और D पर प्रित छे द करते है।
दशाइये िक AB=CD
OM ⊥AD
BC अ तः वृ की जीवा है
OM ⊥BC
BM=CM -(i)
AD बा वृ की जीवा है
OM ⊥AD
AM=DM -(ii)
समीकरण (ii) को (i) घटाने पर ,
AM-BN=DM-CM
AB=CD
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q5 एक पाक म बने 5cm ित्र या वाले वृ पर खड़ी तीन लड़िकयाँ रेशमा , सलमा एवं मनदीप खेल रही है । रेशमा एक गद को सलमा
के पास , सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फकती है। यिद रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के
बीच की प्र येक दूरी 6m हो , तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी या है?
िचत्रानुसार R , S और M क्रमशः रेशमा , सलमा और मनदीप को दशाते है।
अतः RS=SM=6cm है।
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कद्र O वाले दो सकद्री वृ है , A,B,C और D पर प्रित छे द करते है।
दशाइये िक AB=CD
OM ⊥AD
BC अ तः वृ की जीवा है
OM ⊥BC
BM=CM -(i)
AD बा वृ की जीवा है
OM ⊥AD
AM=DM -(ii)
समीकरण (ii) को (i) घटाने पर ,
AM-BN=DM-CM
AB=CD
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q5 एक पाक म बने 5cm ित्र या वाले वृ पर खड़ी तीन लड़िकयाँ रेशमा , सलमा एवं मनदीप खेल रही है । रेशमा एक गद को सलमा
के पास , सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फकती है। यिद रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के
बीच की प्र येक दूरी 6m हो , तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी या है?
िचत्रानुसार R , S और M क्रमशः रेशमा , सलमा और मनदीप को दशाते है।
अतः RS=SM=6cm है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
OR , OS , RS , RM और OM को िमलाया
OL⊥RS
△ORS म,
OS=OR और OL⊥RS
RL=LS=3cm
△OLS म पाइथागोरस प्रमेय से ,
2 2 2
OL = OS − SL
2 2 2
OL = 5 − 3 = 25 − 9
2
OL = 16
OL=4
△ORK और △OM K म ,
वृ की ित्र याँए, OR=OM
∠ROK = ∠M OK
OK=OK
△ORK ∼ △OM K ( SAS िनयम)
सवागसमता ित्रभुज के संगत भाग बराबर है, RK=MK
OK⊥RM
जीवा के समि भाजक करने वाली और कद्र से होकर जाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।
1
अब , △ORS का ेतर् फल = × RS × OL -(i)
2
1
तथा , △ORS का ेतर् फल = × OS × KR -(ii)
2
समीकरण (i) और (ii) से ,
1 1
× RS × OL = × OS × KR
2 2
RS × OL = OS × KR
6 × 4 = 5 × KR
KR=4.8
RM=2×KR
= 2 × 4.8
RM=9.6cm
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q6 20m ित्र या का एक गोल पाक (वृ ाकार) एक कालोनी म ि थत है । तीन लड़के अंकुर , सै यद तथा डेिवड इसकी पिरसीमा पर
बराबर दूरी पर बैठे है और प्र येक के हाथ म एक िखलौना टे लीफोन आपस म बात करने के िलए है। प्र येक फोन की डोरी की ल बाई
ात कीिजए।
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OR , OS , RS , RM और OM को िमलाया
OL⊥RS
△ORS म,
OS=OR और OL⊥RS
RL=LS=3cm
△OLS म पाइथागोरस प्रमेय से ,
2 2 2
OL = OS − SL
2 2 2
OL = 5 − 3 = 25 − 9
2
OL = 16
OL=4
△ORK और △OM K म ,
वृ की ित्र याँए, OR=OM
∠ROK = ∠M OK
OK=OK
△ORK ∼ △OM K ( SAS िनयम)
सवागसमता ित्रभुज के संगत भाग बराबर है, RK=MK
OK⊥RM
जीवा के समि भाजक करने वाली और कद्र से होकर जाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।
1
अब , △ORS का ेतर् फल = × RS × OL -(i)
2
1
तथा , △ORS का ेतर् फल = × OS × KR -(ii)
2
समीकरण (i) और (ii) से ,
1 1
× RS × OL = × OS × KR
2 2
RS × OL = OS × KR
6 × 4 = 5 × KR
KR=4.8
RM=2×KR
= 2 × 4.8
RM=9.6cm
Page:214 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q6 20m ित्र या का एक गोल पाक (वृ ाकार) एक कालोनी म ि थत है । तीन लड़के अंकुर , सै यद तथा डेिवड इसकी पिरसीमा पर
बराबर दूरी पर बैठे है और प्र येक के हाथ म एक िखलौना टे लीफोन आपस म बात करने के िलए है। प्र येक फोन की डोरी की ल बाई
ात कीिजए।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
िचत्रानुसार A , S और D क्रमशः अंकुर , सै यद तथा डेिवड को दशाते है।
AS=AD=SD है। पाक की ित्र या 20m है , AO=SO=DO=20m , AP ⊥SD बनाया ।
माना AS=AD=SD=2x cm है।
△ASD म ,
AS=AD और AP ⊥SD
SP=PD=x cm
△OP D म , पाइथागोरस प्रमेय से ,
2 2 2
OP = OD − PD
2 2 2 2
OP = 20 − x = 400 − x
2
OP = √400 − x
अब △AP D म , पाइथागोरस प्रमेय से ,
2 2 2
AP + PD = AD
2 2 2
AO + OP + x = 2x
2
2 2 2
20 + √400 + x + x = 4x
2 2 2
+ 2 × 20 × √400 − x
2
400 + 400 − x + x = x
2 2
800 + 40√400 − x = 4x
2 2
200 + 10√400 − x = x
2 2
10√400 − x = x − 200
2
2 2
100(400 − x ) = (x − 400)
2 2 2
40000 − 100x = x + 40000 − 400x
4 2
x − 300x = 0
2 2
x (x − 300) = 0
2
x = 300 ⇒ x = 10√3
इसिलए फोन की डोरी की ल बाई =2x=2 × 10√3 = 20√3m
Page:215 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q1 कद्र O वाले एक वृ पर तीन िबंद ु A , B और C इस प्रकार है िक ∠BOC = 30 तथा ∠AOB = 60 है । यिद चाप
o o
ABC के अितिर त वृ पर D एक िबंद ु है , तो ∠ADC ात कीिजए।
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िचत्रानुसार A , S और D क्रमशः अंकुर , सै यद तथा डेिवड को दशाते है।
AS=AD=SD है। पाक की ित्र या 20m है , AO=SO=DO=20m , AP ⊥SD बनाया ।
माना AS=AD=SD=2x cm है।
△ASD म ,
AS=AD और AP ⊥SD
SP=PD=x cm
△OP D म , पाइथागोरस प्रमेय से ,
2 2 2
OP = OD − PD
2 2 2 2
OP = 20 − x = 400 − x
2
OP = √400 − x
अब △AP D म , पाइथागोरस प्रमेय से ,
2 2 2
AP + PD = AD
2 2 2
AO + OP + x = 2x
2
2 2 2
20 + √400 + x + x = 4x
2 2 2
+ 2 × 20 × √400 − x
2
400 + 400 − x + x = x
2 2
800 + 40√400 − x = 4x
2 2
200 + 10√400 − x = x
2 2
10√400 − x = x − 200
2
2 2
100(400 − x ) = (x − 400)
2 2 2
40000 − 100x = x + 40000 − 400x
4 2
x − 300x = 0
2 2
x (x − 300) = 0
2
x = 300 ⇒ x = 10√3
इसिलए फोन की डोरी की ल बाई =2x=2 × 10√3 = 20√3m
Page:215 , Block Name : प्र नावली 10.4
Q1 कद्र O वाले एक वृ पर तीन िबंद ु A , B और C इस प्रकार है िक ∠BOC = 30 तथा ∠AOB = 60 है । यिद चाप
o o
ABC के अितिर त वृ पर D एक िबंद ु है , तो ∠ADC ात कीिजए।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
Answer. ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60 + 30 o o
= 90
o
∠AOC = 2∠ADC
1
∠ADC = ∠AOC
2
1 o
∠ADC = × 90
2
o
∠ADC = 45
Page:221 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q2 िकसी वृ की एक जीवा वृ की ित्र या के बराबर है। जीवा ारा लघु चाप के िकसी िबंद ु पर अंतिरत कोण ात कीिजए तथा दीघ
चाप के िकसी िबंद ु पर अंतिरत कोण ात कीिजए।
वृ म, OP=PQ, ∠P SQ और ∠P RQ है।
△P SQ म ,
OP=PQ
ित्र याएँ, OP=OQ
OP=OQ=PQ
PRQ एक समबाहु ित्रभुज है।
o
P OQ = 60
∠P OQ = 2∠P SQ
1
∠P SQ = ∠P OB
2
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Answer. ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60 + 30 o o
= 90
o
∠AOC = 2∠ADC
1
∠ADC = ∠AOC
2
1 o
∠ADC = × 90
2
o
∠ADC = 45
Page:221 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q2 िकसी वृ की एक जीवा वृ की ित्र या के बराबर है। जीवा ारा लघु चाप के िकसी िबंद ु पर अंतिरत कोण ात कीिजए तथा दीघ
चाप के िकसी िबंद ु पर अंतिरत कोण ात कीिजए।
वृ म, OP=PQ, ∠P SQ और ∠P RQ है।
△P SQ म ,
OP=PQ
ित्र याएँ, OP=OQ
OP=OQ=PQ
PRQ एक समबाहु ित्रभुज है।
o
P OQ = 60
∠P OQ = 2∠P SQ
1
∠P SQ = ∠P OB
2
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
=60/2
=30
PQRS एक चक्रीय चतुभज
ु है।
इसिलए , ∠P RQ + ∠P SQ = 180
o
o o
∠P RQ + 30 = 180
o o o
∠P RQ = 180 − 30 = 150
Page:221 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q3 ∠P QR = 100 है , जहाँ P , Q तथा R , कद्र O वाले एक वृ पर ि थत िबंद ु है। ∠OP R ात कीिजए।
o
PQRS एक चक्रीय चतुभज
ु है।
o
∠P SR + ∠P QR = 180
o o o
∠P SR + 100 = 180 (∠P QR = 100 )
o o o
∠P SR = 180 − 100 = 80
∠P QR = 2∠P SR
o o
∠P QR = 2 × 80 = 160
△OP R म,
ित्र याएँ, OP=OR
∠OP R = ∠OP R
△OP R म,
o
∠ORP + ∠OP R + ∠P QR = 180
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=60/2
=30
PQRS एक चक्रीय चतुभज
ु है।
इसिलए , ∠P RQ + ∠P SQ = 180
o
o o
∠P RQ + 30 = 180
o o o
∠P RQ = 180 − 30 = 150
Page:221 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q3 ∠P QR = 100 है , जहाँ P , Q तथा R , कद्र O वाले एक वृ पर ि थत िबंद ु है। ∠OP R ात कीिजए।
o
PQRS एक चक्रीय चतुभज
ु है।
o
∠P SR + ∠P QR = 180
o o o
∠P SR + 100 = 180 (∠P QR = 100 )
o o o
∠P SR = 180 − 100 = 80
∠P QR = 2∠P SR
o o
∠P QR = 2 × 80 = 160
△OP R म,
ित्र याएँ, OP=OR
∠OP R = ∠OP R
△OP R म,
o
∠ORP + ∠OP R + ∠P QR = 180
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
o o
∠OP R + ∠OP R + 160 = 180
o o
2∠OP R + 160 = 180
o o o
2∠OP R = 180 − 160 = 20
o
20 o
∠OP R = = 10
2
Page:221 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q4 ∠ABC = 69 और ∠ACB = 31 हो , तो ∠BDC ात कीिजए।
o o
Answer.△ABC म ,
o
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180
o o o
∠A + 69 + 31 = 180
o o
∠A + 100 = 180
o o
∠A = 180 − 100
∠BDC = ∠A
o
∠BDC = 80
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q5 एक वृ पर A , B , C और D चार िबंद ु है । AC और BD एक िबंद ु E पर इस प्रकार प्रित छे द करते है िक
∠BEC = 130
o
तथा ∠ECD = 20 है । ∠BAC ात कीिजए। o
Answer. ∠DEC + ∠BEC = 180 o
o o
∠DEC + 130 = 180
o o o
∠DEC = 180 − 130 = 50
△DEC म , ∠D + ∠DEC + ∠DCE = 180 o
o o o
∠D + 50 + 20 = 180
o o
∠D + 70 = 180
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o o
∠OP R + ∠OP R + 160 = 180
o o
2∠OP R + 160 = 180
o o o
2∠OP R = 180 − 160 = 20
o
20 o
∠OP R = = 10
2
Page:221 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q4 ∠ABC = 69 और ∠ACB = 31 हो , तो ∠BDC ात कीिजए।
o o
Answer.△ABC म ,
o
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180
o o o
∠A + 69 + 31 = 180
o o
∠A + 100 = 180
o o
∠A = 180 − 100
∠BDC = ∠A
o
∠BDC = 80
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q5 एक वृ पर A , B , C और D चार िबंद ु है । AC और BD एक िबंद ु E पर इस प्रकार प्रित छे द करते है िक
∠BEC = 130
o
तथा ∠ECD = 20 है । ∠BAC ात कीिजए। o
Answer. ∠DEC + ∠BEC = 180 o
o o
∠DEC + 130 = 180
o o o
∠DEC = 180 − 130 = 50
△DEC म , ∠D + ∠DEC + ∠DCE = 180 o
o o o
∠D + 50 + 20 = 180
o o
∠D + 70 = 180
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
o o o
∠D = 180 − 70 = 110
∠BAC = ∠D
o
∠BAC = 110
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q6 ABCD एक चक्रीय चतुभज
o
ु है िजसके िवकण एक िबंद ु पर प्रित छे द करते है। यिद ∠DBC = 70 और
∠BAC = 30 हो , तो ात कीिजए। पुनः यिद AB=BC हो , तो ∠ECD ात कीिजए।
o
∠BDC = ∠BAC
o
∠BDC = 30
△BDC म , ∠BCD + ∠BDC + ∠DBC = 180 o
o o o
∠BCD + 30 + 70 = 180
o o
∠BCD + 100 = 180
o o o
∠BCD = 180 − 100 = 80
यिद AB=BC
∠BCA = ∠BAC
o
BCA = 30
यहाँ, ∠ECD + ∠BCE = ∠BCD
o o
∠ECD + 30 = 80
o o o
∠ECD = 80 − 30 = 50
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q7 यिद एक चक्रीय चतुभज
ु के िवकण उसके शीष से जाने वाले वृ के यास हों , तो िस कीिजए िक वह एक आयत है।
Page 14 of 18
o o o
∠D = 180 − 70 = 110
∠BAC = ∠D
o
∠BAC = 110
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q6 ABCD एक चक्रीय चतुभज
o
ु है िजसके िवकण एक िबंद ु पर प्रित छे द करते है। यिद ∠DBC = 70 और
∠BAC = 30 हो , तो ात कीिजए। पुनः यिद AB=BC हो , तो ∠ECD ात कीिजए।
o
∠BDC = ∠BAC
o
∠BDC = 30
△BDC म , ∠BCD + ∠BDC + ∠DBC = 180 o
o o o
∠BCD + 30 + 70 = 180
o o
∠BCD + 100 = 180
o o o
∠BCD = 180 − 100 = 80
यिद AB=BC
∠BCA = ∠BAC
o
BCA = 30
यहाँ, ∠ECD + ∠BCE = ∠BCD
o o
∠ECD + 30 = 80
o o o
∠ECD = 80 − 30 = 50
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q7 यिद एक चक्रीय चतुभज
ु के िवकण उसके शीष से जाने वाले वृ के यास हों , तो िस कीिजए िक वह एक आयत है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
PS वृ का यास है तथा अधवृ म बना कोण समकोण होता है
∠P RS = 90 और∠P QS = 90 -(i)
o o
QR वृ का यास है तथा अधवृ म बना कोण समकोण होता है
∠QP R = 90 और∠QSR = 90 -(ii)
o o
समीकरण (i) और (ii) से,
o
∠P RS = ∠P QR = ∠QP S = ∠QRS = 90
अतः PQRS एक आयत है।
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q8 यिद एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों , तो िस कीिजए िक वह चक्रीय है।
समलंब PQRS म PQ||SR तथा PS=QR है अतः PS||RT खी ंचा।
ु PQTS म
चतुभज
PQ||ST
PS||QT
PQTS एक समांतर चतुभज
ु है।
PS=QT
PS=QR
QT=QR
Page 15 of 18
PS वृ का यास है तथा अधवृ म बना कोण समकोण होता है
∠P RS = 90 और∠P QS = 90 -(i)
o o
QR वृ का यास है तथा अधवृ म बना कोण समकोण होता है
∠QP R = 90 और∠QSR = 90 -(ii)
o o
समीकरण (i) और (ii) से,
o
∠P RS = ∠P QR = ∠QP S = ∠QRS = 90
अतः PQRS एक आयत है।
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q8 यिद एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर हों , तो िस कीिजए िक वह चक्रीय है।
समलंब PQRS म PQ||SR तथा PS=QR है अतः PS||RT खी ंचा।
ु PQTS म
चतुभज
PQ||ST
PS||QT
PQTS एक समांतर चतुभज
ु है।
PS=QT
PS=QR
QT=QR
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
△T QR म , QT=QR
∠R = ∠2 -(i)
∠P = ∠1 -(ii)
o
∠1 + ∠2 = 180
समीकरण (i) और (ii) से
o
∠P + ∠R = 180
PQTS एक चक्रीय चतुभज
ु है।
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q9 दो वृ दो िबंदओु ं B और C पर प्रित छे द करते है। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृ ों को A, D और P, Q पर
क्रमशः प्रित छे द करते हुए खी ंचे गए है। िस कीिजए िक ∠ACP = ∠QCD है।
Answer.∠ACP = ∠ABP -(i)
∠ABP = ∠QBD -(ii)
∠QBD = ∠QCD -(iii)
समीकरण (i) , (ii) और (iii) से
∠ACP = ∠QCD
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q10 यिद िकसी ित्रभुज की दो भुजाओं को यास मानकर वृ खी ंचे जाएँ , तो िस कीिजए िक इन वृ ों का प्रित छे द िबंद ु तीसरी
भुजा पर ि थत है।
ित्रभुज की भुजाओं PQ और PR को यास मानकर बनाये गए वृ एक दूसरे को िबंद ु S पर काटते है। PQ वृ का यास तथा
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△T QR म , QT=QR
∠R = ∠2 -(i)
∠P = ∠1 -(ii)
o
∠1 + ∠2 = 180
समीकरण (i) और (ii) से
o
∠P + ∠R = 180
PQTS एक चक्रीय चतुभज
ु है।
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q9 दो वृ दो िबंदओु ं B और C पर प्रित छे द करते है। B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृ ों को A, D और P, Q पर
क्रमशः प्रित छे द करते हुए खी ंचे गए है। िस कीिजए िक ∠ACP = ∠QCD है।
Answer.∠ACP = ∠ABP -(i)
∠ABP = ∠QBD -(ii)
∠QBD = ∠QCD -(iii)
समीकरण (i) , (ii) और (iii) से
∠ACP = ∠QCD
Page:222 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q10 यिद िकसी ित्रभुज की दो भुजाओं को यास मानकर वृ खी ंचे जाएँ , तो िस कीिजए िक इन वृ ों का प्रित छे द िबंद ु तीसरी
भुजा पर ि थत है।
ित्रभुज की भुजाओं PQ और PR को यास मानकर बनाये गए वृ एक दूसरे को िबंद ु S पर काटते है। PQ वृ का यास तथा
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
∠P SQ अधवृ म बना कोण है।
∠P SQ = 90 -(i)
o
∠P SR = 90 -(ii)
o
o o o
∠P SQ + ∠P SR = 90 + 90 = 180
∠P SQ और ∠P SR रेखा यु म बनाते है , अतः QSR एक सरल रेखा है।
Page:223 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q11 उभयिन ठ कण AC वाले दो समकोण ित्रभुज ABC और ADC है। िस कीिजए िक ∠CAD = ∠CBD है।
ABC और ADC उभयिन ठ कण AC पर दो समकोण ित्रभुज है।
दशाइए ∠CAD = ∠CBD
ित्रभुज ABC और ADC एक ही आधार BC पर ि थत है तथा ∠BAC = ∠BDC है।
अतः , िबंद ु A,B,C और D एक ही वृ पर ि थत है। एक वृ खंड म बने कोण बराबर होते है
∠CAD = ∠BAD
Page:223 , Block Name : प्र नावली 10.5
Q12 िस कीिजए िक चक्रीय समांतर चतुभज
ु आयत होता है।
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∠P SQ अधवृ म बना कोण है।
∠P SQ = 90 -(i)
o
∠P SR = 90 -(ii)
o
o o o
∠P SQ + ∠P SR = 90 + 90 = 180
∠P SQ और ∠P SR रेखा यु म बनाते है , अतः QSR एक सरल रेखा है।
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Q11 उभयिन ठ कण AC वाले दो समकोण ित्रभुज ABC और ADC है। िस कीिजए िक ∠CAD = ∠CBD है।
ABC और ADC उभयिन ठ कण AC पर दो समकोण ित्रभुज है।
दशाइए ∠CAD = ∠CBD
ित्रभुज ABC और ADC एक ही आधार BC पर ि थत है तथा ∠BAC = ∠BDC है।
अतः , िबंद ु A,B,C और D एक ही वृ पर ि थत है। एक वृ खंड म बने कोण बराबर होते है
∠CAD = ∠BAD
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Q12 िस कीिजए िक चक्रीय समांतर चतुभज
ु आयत होता है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 10 Maths
PQRS एक चक्रीय समांतर चतुभजु है।
दशाइए PQRS एक आयत है।
ु PQRS म
चक्रीय चतुभज
∠P + ∠R = 180 -(i)
o
(\angle P=\angle R\) -(ii)
समीकरण (i) और (ii) से ,
o
∠P + ∠P = 180
o
2∠P = 180
o
180 o
∠P = = 90
2
ु िजसका कोण समकोण हो आयत कहलाता है। अतः PQRS एक आयत है।
समांतर चतुभज
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PQRS एक चक्रीय समांतर चतुभजु है।
दशाइए PQRS एक आयत है।
ु PQRS म
चक्रीय चतुभज
∠P + ∠R = 180 -(i)
o
(\angle P=\angle R\) -(ii)
समीकरण (i) और (ii) से ,
o
∠P + ∠P = 180
o
2∠P = 180
o
180 o
∠P = = 90
2
ु िजसका कोण समकोण हो आयत कहलाता है। अतः PQRS एक आयत है।
समांतर चतुभज
Page:223 , Block Name : प्र नावली 10.5
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Document Details
| Board / Org | NCERT |
| Exam | Class 9 |
| Type | Solution |
| Pages | 19 |
| Language | hindi |
| Updated | 22 Jul 2026 |