NCERT Solutions Class 5 Maths Chapter 11 दादी माँ की रजाई

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा5

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 11: दाद माँ क रजाई

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत मेला

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

142 – 154 13 59 हन्द

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 5 · ग णत · ग णत मे ला

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 11: दाद माँ क रजाई
ग णत मेला का अध्याय 11 प र म त और क्षेत्रफल के बारे म है — ये दोन माप तब काम आते ह जब हम कसी चीज़ को ढकना हो या उसके चार
ओर घूमना हो। प्रीथा और आ त क दाद माँ रजाई का खोल, चौकोर टु कड़ क चटाई और दो द रयाँ सलती ह, और उन्ह क सलाई से दोन वचार
नकलते ह: कनारे पर लगने वाला फ ता प र म त है और बीच को भरने वाला कपड़ा ेत्रफल। अध्याय टाइल गनने से शुरू होकर उन दो नयम
तक पहुँचता है जो क ा 5 के व ाथ को याद रह जाने चा हए — आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई और आयत क प र म त = 2 × लंबाई +
2 × चौड़ाई — और बार-बार दखाता है क दो आकृ तय का एक माप बराबर होते हुए भी दूसरा अलग हो सकता है।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत मेला (कक्षा 5) 142 – 154

खं ड प्रश्न

13 59

माध्यम

हन्द

रजाई का कनारा — पृष्ठ 142
दाद माँ क रजाई का खोल और फ त के तीन वकल्प

प्र.1 प्रीथा एवं आ त क दाद माँ ने पुराने कपड़ का उपयोग करके एक रजाई का खोल बनाया। अब वे उसे फ ते से
सुस त करना चाहती ह। फ ते के उस वकल्प पर सही का चह्न लगाइए जससे रजाई क संपूण कनारे क
लंबाई पूरी हो जाए। (क) लाल फ ता 40 इकाइयाँ (ख) हरा फ ता 50 इकाइयाँ (ग) नीला फ ता 25 इकाइयाँ

(ख) हरे फ ते पर सही का चह्न लगाइए — 50 इकाइयाँ।
फ ता रजाई के कनारे पर, चार ओर घूमकर लगाया जाता है। पूरे कनारे क यही लंबाई प र म त कहलाती है।
इस अध्याय के दो बड़े शब्द ऐसे याद र खए।

प र म त — आकृ त के चार ओर घूमने के लए जतना फ ता चा हए।
क्षेत्रफल — आकृ त को ढकने के लए जतना कपड़ा चा हए।

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लाल रेखा ही िकनारा है
40

50
रजाई
25
केवल हरा फीता 50 तक पहच
ु ँ ता है।

पूरे िकनारे की लंबाई = पिरिमित = 50 इकाइयाँ
लाल 10 इकाई कम पड़ ता है। नीला केवल आधा ढकता है।

फ ता कनारे- कनारे लगता है, बीच म नह । यही कनारे क लंबाई प र म त है।

1. दे खए फ ता कहाँ लगता है। वह रजाई क चार भुजाओं पर लगता है।
2. यह चक्कर कतना लंबा है? चत्र म रजाई के चार ओर एक चक्कर 50 इकाइयाँ है।
3. हर फ ते को जाँ चए। लाल = 40 इकाइयाँ, यानी 10 इकाई कम। नीला = 25 इकाइयाँ, यानी आधा रास्ता ही। हरा = 50
इकाइयाँ, ठ क पूरा।
4. जो पूरा पड़े उसी पर चह्न लगाइए — हरा फ ता।

आवश्यक फीता = रजाई की पिरिमित = 50 इकाइयाँ

लाल = 40 इकाइयाँ → 50 − 40 = 10 इकाई कम ✗

नीला = 25 इकाइयाँ → 50 − 25 = 25 इकाई कम ✗

हरा = 50 इकाइयाँ → ठीक पूरा ✓

ऐसा क्य होता है: छोटा फ ता चाहे जैसे भी लगाइए, पूरा चक्कर कभी पूरा नह करेगा। फ ते क लंबाई क तुलना
कनारे क लंबाई से करनी होती है। कनारा 50 इकाई लंबा है, इस लए फ ता कम से कम 50 इकाई का चा हए।

ध्यान द जए: रजाई को आर-पार मत ना पए। प र म त का अथ है बाहर-बाहर का पूरा चक्कर — ऊपर से, एक
बगल से नीचे, नीचे से, और दूसरी बगल से ऊपर।

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प्र.2 दाद माँ दो भन्न रंग के फ ते उपयोग करने का नणय लेती ह। संपूण कनारे को पूरा सजाने के लए प्रत्येक रंग के
कतने फ ते क आवश्यकता होगी?

दोन फ त क लंबाई मलाकर 50 इकाइयाँ होनी चा हए। सबसे आसान उत्तर है — 25 इकाई नीला फ ता और 25 इकाई
लाल फ ता।

1. जरूरत ल खए। पूरा कनारा 50 इकाई लंबा है।
2. 50 को दो रंग म बाँ टए। ऐसी कोई भी दो लंबाइयाँ चलगी जनका जोड़ 50 हो।
3. आसान जोड़ी चु नए। नीला फ ता ठ क 25 इकाई का है। पूरा नीला लगाइए और लाल म से 25 इकाई काट ली जए।
4. जाँ चए। 25 + 25 = 50 ✓

नीला + लाल = 25 + 25 = 50 इकाइयाँ ✓

और भी सही उत्तर बन सकते ह। तीन उदाहरण दे खए।

पहला फ ता दूसरा फ ता कुल

लाल 40 इकाइयाँ नीला 10 इकाइयाँ 50 इकाइयाँ

हरा 30 इकाइयाँ नीला 20 इकाइयाँ 50 इकाइयाँ

लाल 35 इकाइयाँ हरा 15 इकाइयाँ 50 इकाइयाँ

ऐसा क्य होता है: कनारे को रंग से कोई मतलब नह , केवल लंबाई से है। इस लए दोन टु कड़े मलकर 50 इकाई
का पूरा चक्कर बना द, बस इतना काफ है।

स्वयं जाँ चए: दोन टु कड़ को सरे से सरा मलाकर फश पर र खए। य द वे मलकर रजाई के एक चक्कर जतने
लंबे ह, तो उत्तर सही है।

आइए करके दे ख — पृष्ठ 142

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समान भुजाओं वाली आकृ तय क प र म त; द गई प र म त के आयत बनाना
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आइए करके दे ख

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नीचे
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प्र.1

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पाँच बराबर भुजाओं वाली एक आकृ त। एक भुजा अं कत है।

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प र म त = 20 से.मी.
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4 से.मी. 4 से.मी.

4 से.मी. 4 से.मी.

4 से.मी.
पाँच बराबर भुजाएँ। चार ओर च लए: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 से.मी.

1. भुजाएँ ग नए। इस आकृ त म 5 भुजाएँ ह।
2. एक भुजा प ढ़ए। एक भुजा 4 से.मी. है और प्रश्न कहता है क सभी भुजाएँ समान ह। अत: हर भुजा 4 से.मी. है।
3. सभी भुजाएँ जो ड़ए। 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20।
4. मात्रक ल खए। उत्तर एक लंबाई है, इस लए से.मी. म।

पिरिमित = 4 + 4 + 4 + 4 + 4

पिरिमित = 5 × 4 से.मी.

पिरिमित = 20 से.मी.

ऐसा क्य होता है: प र म त बाहर-बाहर का पूरा चक्कर है। इस आकृ त का चक्कर लगाने म 5 भुजाओं पर एक-
एक करके चलना पड़ता है। हर बार 4 से.मी. चलते ह, इस लए पाँच बार म 5 × 4 = 20 से.मी.।

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छोटा रास्ता: जब आकृ त क सभी भुजाएँ समान ह तो जोड़ने क जरूरत नह । सीधे गुणा क जए — भुजाओं
क संख्या × एक भुजा क लंबाई।

प्र.2 नीचे द गई आकृ तय क प र म त ात क जए। इन आकृ तय क सभी भुजाएँ समान ह। (दूसरी आकृ त।)

5 से.मी.

एक बदु पर जुड़े दो त्रभुज। सभी भुजाएँ बराबर ह।

प र म त = 30 से.मी.

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5 से.मी.

5 से.मी. 5 से.मी.

5 से.मी. 5 से.मी.

5 से.मी.
एक बदु पर जुड़े दो त्रभुज। बाहर क ओर 6 बराबर भुजाएँ ह।

1. उँगली से बाहरी कनारा घू मए। ऊपर बाएँ कोने से शुरू क जए। ऊपर क भुजा (1), बीच के बदु तक ढाल (2), नीचे बाएँ
कोने तक ढाल (3), नीचे क भुजा (4), बीच के बदु तक ऊपर (5), और वापस ऊपर बाएँ कोने तक (6)।
2. ग नए कतनी भुजाओं पर चले। कुल 6 भुजाएँ।
3. द गई लंबाई लगाइए। सभी भुजाएँ समान ह और एक 5 से.मी. है, इस लए छह भुजाएँ 5-5 से.मी. क ह।
4. गुणा क जए। 6 × 5 = 30।

बाहर की भुजाओं की संख्या = 6

पिरिमित = 6 × 5 से.मी.

पिरिमित = 30 से.मी.

ऐसा क्य होता है: यह आकृ त दो त्रभुज से बनी है जो एक ही बदु पर छू ते ह। हर त्रभुज बाहर क ओर 3 भुजाएँ
दे ता है — उसक ऊपर (या नीचे) क भुजा और दो ढालू भुजाएँ। 3 + 3 = 6 भुजाएँ। जस बदु पर वे छू ते ह वह
भुजा नह है, इस लए वहाँ कुछ नह जुड़ता।

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सावधानी: 8 भुजाएँ मत ग नए। बीच म कटती दो रेखाएँ बाहरी कनारे क चार अलग भुजाएँ नह ह — हर रेखा
छू ने वाले बदु पर बँटकर उन्ह छह भुजाओं म गनी जा चुक है।

प्र.3 दो आयत बनाइए जनम से प्रत्येक क प र म त नीचे दए गए अनुसार हो। (क) 26 से.मी.

26 से.मी. प र म त वाले दो आयत: एक 8 से.मी. × 5 से.मी. और दूसरा 10 से.मी. × 3 से.मी.।

1. आयत क प र म त का अथ याद क जए। आयत म 2 लंबी और 2 छोट भुजाएँ होती ह। अत: प र म त = लंबाई + लंबाई +
चौड़ाई + चौड़ाई।
2. प र म त को आधा क जए। एक लंबाई और एक चौड़ाई मलकर आधी प र म त बनाती ह। 26 ÷ 2 = 13 से.मी.
3. 13 को दो पूण संख्याओं म बाँ टए। 8 + 5 = 13 और 10 + 3 = 13।
4. आयत बनाइए। एक आयत 8 से.मी. लंबा और 5 से.मी. चौड़ा। दूसरा 10 से.मी. लंबा और 3 से.मी. चौड़ा।

8 से.मी. 10 से.मी.

3 से.मी.
5 से.मी.

दो अलग-अलग आयत, दोन क प र म त 26 से.मी.।

पहले की जाँच : 8 + 5 + 8 + 5 = 26 से.मी. ✓

दू सरे की जाँच : 10 + 3 + 10 + 3 = 26 से.मी. ✓

आधा करने से काम क्य बनता है: आयत का चक्कर लगाने म लंबाई दो बार और चौड़ाई दो बार चलनी पड़ती है।
यानी पूरा चक्कर (लंबाई + चौड़ाई) का दुगना है। इस लए आधा चक्कर ठ क एक लंबाई और एक चौड़ाई के बराबर
है।

और सही उत्तर: 9 से.मी. × 4 से.मी., 7 से.मी. × 6 से.मी., 11 से.मी. × 2 से.मी., 12 से.मी. × 1 से.मी. — कोई
भी जोड़ी जसका योग 13 से.मी. हो।

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दो आयत बनाइए जनम से प्रत्येक क प र म त नीचे दए गए अनुसार हो। (ख) 18 से.मी.
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प्र.4

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aसेl.मी. प र म त वाले दो आयत: एक 6 से.मी. × 3 से.मी. और दूसरा 7 से.मी. × 2 से.मी.।
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1. प र म त को आधा क जए। 18 ÷ 2 = 9 से.मी.। यही एक लंबाई और एक चौड़ाई है।

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2. 9 को दो पूण संख्याओं म बाँ टए। 6 + 3 = 9 और 7 + 2 = 9।
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3. आयत बनाइए। एक आयत 6 से.मी. × 3 से.मी. औरem
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दूसरा 7 से.मी. × 2 से.मी.।

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6 से.मी. 7 से.मी.
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दोन आयत के चार ओर घूमने के लए ठ क 18 से.मी. फ ता चा हए।

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पहले की जाँच : 6 + 3 + 6 + 3 = 18 से.मी. ✓
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दू सरे की जाँच : 7 + 2 + 7 + 2 = 18 से.मी. ✓
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a ध्यान दया? 6 से.मी. × 3 से.मी. वाला आयत 18 वग से.मी. ढकता है, पर 7 से.मी. × 2 से.मी. वाला केवल 14
वग से.मी.। कनारा बराबर, पर कपड़ा अलग। यही वचार पृष्ठ 148 पर फर मलेगा।
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s 8 से.मी. × 1 से.मी. — कोई भी जोड़ी जसका योग 9 से.मी. हो।
और सही उत्तर: 5 से.मी. × 4 से.मी.aऔर
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चटाई और चार मेज़ — पृष्ठ 143
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चौकोर टु कड़े गनना; कौन-सी आकृ तयाँ मेज को पूरा ढकती ह; क्षेत्रफल शब्द से प रचय

प्र.1 प्रीथा एवं आ त क दाद माँ कपड़े के चौकोर टु कड़ के साथ एक चटाई बना रही ह। नीचे दए गए चत्र म चटाई
दशाई गई है। इसे बनाने म उन्ह ने कतने चौकोर कपड़े के टु कड़ का उपयोग कया है?

दाद माँ क चटाई। हर टु कड़ा कपड़े का एक चौकोर टु कड़ा है।

90 चौकोर टु कड़े।

चौड़ ाई मे ं 15 टु कड़ े , लंबाई मे ं 6 पंिक्तयाँ

पूरे 90 गनने क जरूरत नह । एक पं क्त और एक स्तंभ गनकर गुणा कर ली जए।

1. ऊपर क पं क्त ग नए। एक पं क्त म 15 टु कड़े ह।
2. एक बगल म नीचे ग नए। कुल 6 पं क्तयाँ ह।
3. गुणा क जए। हर पं क्त म वही 15 टु कड़े ह और ऐसी 6 पं क्तयाँ ह।

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टु क ड़ े = 15 × 6

टु क ड़ े = 90 टु क ड़े

ऐसा क्य होता है: टु कड़े सीधी पं क्तय और स्तंभ म लगे ह। इस तरह रखी चीज़ को एक-एक करके गनने क
जरूरत नह पड़ती। एक पं क्त और एक स्तंभ गनना काफ है, क्य क 15 क 6 पं क्तयाँ यानी 15 को 6 बार लेना।

स्वयं जाँ चए: गुणा क जगह जो ड़ए। 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 90। वही उत्तर।

प्र.2 उन्ह ात हुआ क __________, __________ व __________ क आकृ तयाँ बना कोई रक्त ान छोड़े मेज क
ऊपरी सतह को ढक लेती ह। __________ क आकृ त से मेज को ढकने पर रक्त ान बचता है।

मेज 1 मेज 2

मेज 3 मेज 4
चार मेज। प्रीथा ने त्रभुज व वृत्त लगाए; आ त ने वग व आयत लगाए।

त्रभुज, वग व आयत क आकृ तयाँ बना कोई रक्त ान छोड़े मेज क ऊपरी सतह को ढक लेती ह। वृत्त क आकृ त से ढकने
पर रक्त ान बचता है।

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मेज प्रयुक्त आकृ त रक्त ान?

मेज 1 ित्रभुज नही ं बचता

मेज 2 वृत्त बचता है

मेज 3 वग नही ं बचता

मेज 4 आयत नही ं बचता

वृत्तों के बीच के सफेद िहस्से ही िरक्त स्थान है।
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गोल टाइल हमेशा छोटे -छोटे खाली कोने छोड़ दे ती ह। वे बना रक्त ान छोड़े नह बैठत ।

ऐसा क्य होता है: त्रभुज, वग और आयत क भुजाएँ सीधी होती ह। सीधी भुजा दूसरी सीधी भुजा से सटकर बैठ
जाती है और बीच म कुछ नह बचता। वृत्त का कनारा गोल होता है। दो गोल कनारे केवल एक बदु पर छू ते ह,
इस लए छोटे -छोटे खाली कोने हमेशा बच जाते ह।

याद रखने वाली बात: जब आकृ तयाँ बना रक्त ान और बना एक-दूसरे पर चढ़े जम जाती ह, तो कहते ह क
वे उस ेत्र को ढक लेती ह। अपने व ालय के फश क टाइल दे खए — वे वग या आयत होती ह, वृत्त कभी नह ।

प्र.3 __________ त्रभुज मेज 1 को ढकते ह।

20 त्रभुज मेज 1 को ढकते ह।

मेज 1: चौड़ ाई मे ं 5 वग, लंबाई मे ं 2, हर वग 2 ित्रभुजों मे ं कटा

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हर छोटे वग म 2 त्रभुज ह। 10 वग × 2 = 20 त्रभुज।

1. पैटन दे खए। मेज क सतह पहले छोटे वग म बँट है — चौड़ाई म 5, लंबाई म 2।
2. वग ग नए। 5 × 2 = 10 वग।
3. एक वग के अंदर दे खए। कोने से कोने तक एक रेखा है जो उसे 2 त्रभुज म काटती है।
4. गुणा क जए। 10 वग × 2 त्रभुज = 20।

मेज की सतह पर वग = 5 × 2 = 10

हर वग में ित्रभुज = 2

कु ल ित्रभुज = 10 × 2 = 20 ित्रभ ज
ु

ऐसा क्य होता है: वग को कोने से कोने तक काटने पर बल्कुल बराबर आकार के दो त्रभुज बनते ह। कुछ भी
बेकार नह जाता, इस लए हर वग दो त्रभुज म बदल जाता है।

प्र.4 __________ वग मेज 3 को ढकते ह।

8 वग मेज 3 को ढकते ह।

मेज 3: चौड़ ाई मे ं 4 वग, लंबाई मे ं 2 वग

मोट काली रेखाएँ वगाकार टाइल दखाती ह: 4 × 2 = 8।

1. ऊपर क ओर ग नए। 4 वग।
2. बगल म नीचे ग नए। 2 पं क्तयाँ।
3. गुणा क जए। 4 × 2 = 8।

वग = 4 × 2 = 8 वग

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ध्यान से दे खए: हरे कपड़े पर छोटे -छोटे चौखाने छपे ह। उन छपे हुए चौखान को मत ग नए। केवल मोट रेखाओं

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से बनी टाइल ग नए।

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प्र.5 __________ आयत मेज 4 को ढकते ह।

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12 आयत मेज 4 को ढकते ह। a g

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मेज 4: चौड़ ाई मे ं 3 आयत, लंबाई मे ं 4 पंिक्तयाँ
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3 × 4 = 12 आयताकार टाइल।

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1. ऊपर क ओर ग नए। 3 आयत।
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2. बगल म नीचे ग नए। 4 पं क्तयाँ।

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3. गुणा क जए। 3 × 4 = 12।

आयत = 3 × 4 = 12 आयत
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g नह । मेज 3 म बड़े वग ह, इस लए
.cतीन मेज़ क संख्या अलग क्य है: मेज़ क सतह बराबर ह, पर टाइलaबराबर
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केवल 8 चा हए। मेज 4 म छोटे आयत ह, इस लए 12 चा हए। मेज 1 म उससे भी छोटे त्रभुज ह, इस लए 20

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चा हए। टाइल जतनी छोट , संख्या उतनी बड़ी।

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प्र.6 क्या वृत्त कसी क्षेत्र पर बना रक्त ान छोड़े व्यव त कए जा सकते ह?

नह , वृत्त बना रक्त ान छोड़े व्यव त नह कए जा सकते। उनसे कसी ेत्र को पूरा नह ढका जा सकता।

वृत्तों के बीच के सफेद िहस्से ही िरक्त स्थान है।
ं

गोल टाइल हमेशा छोटे -छोटे खाली कोने छोड़ दे ती ह। वे बना रक्त ान छोड़े नह बैठत ।

1. दो वृत्त को सटाकर र खए। वे केवल एक बदु पर छू ते ह।
2. उस बदु के आस-पास दे खए। हर ओर एक छोटा-सा गोल कोना खाली रह जाता है।
3. उस कोने को भरने क को शश क जए। दूसरा वृत्त उसम नह बैठेगा, क्य क वह कोना गोल नह है।

ऐसा क्य होता है: बना रक्त ान ढकने के लए एक टाइल का कनारा दूसरी टाइल के कनारे से पूरी तरह सटना
चा हए। यह केवल सीधी भुजाएँ कर सकती ह। वृत्त हर जगह गोल है, इस लए वह अपने पड़ोसी से सटकर कभी नह
बैठ सकता।

यह करके दे खए: मेज पर पाँच एक-रुपये के सक्के रखकर उन्ह जतना हो सके पास-पास सरकाइए। बीच म
सफेद रक्त ान फर भी दखगे। अब पाँच चौकोर रबड़ के साथ यही क जए — एक भी रक्त ान नह बचेगा।

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प्र.7 मेज 1 का क्षेत्रफल __________ त्रभुज इकाइयाँ ह।

मेज 1
मेज 1, त्रभुज से ढक हुई।

मेज 1 का क्षेत्रफल 20 त्रभुज इकाइयाँ है।
क्षेत्रफल का अथ है — कोई आकृ त कतनी सतह घेरती है, यानी उसे ढकने के लए कतना कपड़ा चा हए। हम ेत्रफल इस तरह
नापते ह क उस पर कतनी टाइल बैठती ह। यहाँ टाइल एक त्रभुज है, इस लए हम त्रभुज इकाइय म गनते ह।

मेज की सतह पर छोटे वग = 5 × 2 = 10

हर वग में ित्रभुज = 2
ेत्रफल = 10 × 2 = 20 ित्रभ ज
ु इकाइयाँ

‘ त्रभुज इकाइयाँ’ क्य कहते ह: केवल संख्या से ेत्रफल नह पता चलता। ‘20’ तब तक अधूरा है जब तक न
बताएँ क 20 कसक । यहाँ हमने त्रभुज को टाइल चुना, इस लए उत्तर 20 त्रभुज इकाइयाँ है।

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प्र.8 मेज 3 का क्षेत्रफल __________ वग इकाइयाँ ह।

मेज 3
मेज 3, वग से ढक हुई।

मेज 3 का क्षेत्रफल 8 वग इकाइयाँ है।

चौड़ ाई में वग = 4

वग ं की पंिक्तयाँ = 2

ेत्रफल = 4 × 2 = 8 वग इकाइयाँ

ऐसा क्य होता है: पूरी मेज क सतह ठ क 8 बराबर वग से भर जाती है — न कुछ बचता है, न कोई वग दूसरे पर
चढ़ता है। अत: इन 8 वग जतनी ही सतह मेज क है।

ध्यान द जए: इस अध्याय म आगे हम वग को ही टाइल मानगे, क्य क उसक चार भुजाएँ बराबर होती ह। इससे
बनाना और गनना दोन आसान हो जाते ह।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

प्र.9 मेज 4 का क्षेत्रफल __________ आयत इकाइयाँ ह।

मेज 4
मेज 4, आयत से ढक हुई।

मेज 4 का क्षेत्रफल 12 आयत इकाइयाँ है।

चौड़ ाई में आयत = 3

आयतों की पंिक्तयाँ = 4

ेत्रफल = 3 × 4 = 12 आयत इकाइयाँ

अब तीन उत्तर एक साथ दे खए।

मेज चुनी गई टाइल उसी सतह का क्षेत्रफल

मेज 1 ित्रभुज 20 ित्र भुज इकाइयाँ

मेज 3 वग 8 वग इकाइयाँ

मेज 4 आयत 12 आयत इकाइयाँ

संख्याएँ अलग क्य ह: मेज़ क सतह बराबर ह, पर हर ब े ने अलग टाइल चुनी। छोट टाइल ज्यादा बार बैठती
है, बड़ी टाइल कम बार। इसी लए हम हमेशा बताना पड़ता है क इकाई कौन-सी थी। आगे अध्याय म सब एक ही
इकाई — 1 से.मी. का वग — प्रयोग करगे, तब संख्याओं क तुलना ठ क से हो सकेगी।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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emक पाठ्यपुस्तक।
प्र.10 अब अपनी मेज क ऊपरी सतह को नीचे द गई समान आकार क वस्तुओं से बना रक्त ान छोड़े ढकने का

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coवस्तुओं म से कन वस्तुओं ने मेज को पूणत: ढक दया? gl
प्रयत्न क जए। (क) अभ्यास पु स्तकाएँ (ख) खाने के डब्बे (ग) प सल के डब्बे (घ) ग णत

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उपयुक्त

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अभ्यास पु स्तकाओं और ग णत क पाठ्यपुस्तक ने मेज को पूणत: ढक दया। खाने के डब्बे और प सल के डब्बे रक्त
ान छोड़ दे ते ह।
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तली कgआकृ त
वस्तु
a क्या पूरा ढकती है?

(क) अभ्यास पुिस्तकाएँ चपटा आयत
co
हाँ — िर क्त स्थान नही ं
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(ख) खाने के िडब्बे पाय: गोल या अंडाकार, कोने मुड़े हुए नही ं — कोनों पर िर क्त स्थान

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नही ं — िसरों पर िर क्त स्थान
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(ग) पेंिसल के िडब्बे लंबे और पतले , िसरे गोल

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a (घ) गिणत की पाठ पुस्तकें चपटा आयत हाँ — िर क्त स्थान नही ं

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1. वस्तुओं को पं क्तय म र खए। मेज के एक कोने से शुरू क जए और कनारे सटाकर र खए।
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2. ऊपर से मेज को दे खए। क्या मेज क सतह कह दख रही है?
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3. नणय क जए। य द सतह कह नह दखती, तो वस्तु ने मेज को पूरा ढक दया।

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ऐसा क्य होता है: केवल वे वस्तुएँ कनारे से कनारा सटाकर बैठ सकती ह जनक भुजाएँ सीधी और कोने
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समकोण ह । अभ्यास पु स्तकाएँ और पाठ्यपुस्तक चपटे आयत ह, इस लए वे काम करती ह। खाने के डब्बे और
g ह — ठ क मेज 2 के वृत्त क
.c के डब्बे गोलाई लए होते ह, इस लए छोटे-छोटे खाली हस्से हमेशा बचaजाते
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seतरह।
प सल

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नमूना उत्तर: “हमने अपनी मेज को ग णत क पाठ्यपुस्तक से ढका। चौड़ाई म 3 पुस्तक और लंबाई म 4 पुस्तक
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m . ान के ढक द । जब हमने खाने के डब्बे रखे तो हर कोने पर छोटे a
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s पूरी नह ढक ।”
लग , यानी 12 पुस्तक ने पूरी मेज बना रक्त
ान बच गए, इस लए उन्ह नेla
रक्त
a g मेज

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आइए करके दे ख — पृष्ठ 144
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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

प्रीथा क मेज: हर टाइल से मेज ढकने म कतनी लगगी

आइए करके दे ख

प्र.1 उसक मेज पर व भन्न टाइल को दे खए और उत्तर द जए क नीचे द गई आकृ तय म से कतनी आकृ तयाँ
मेज को ढक लगी। (क) हरे त्रभुज __________

प्रीथा क मेज और उस पर रखी टाइल — एक नीला वग, एक लाल त्रभुज और एक हरा त्रभुज।

108 हरे त्रभुज।

पीथा की मेज: चौड़ाई मे ं 9 वग, लंबाई मे ं 6 वग = 54 वग

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

नीली टाइल एक वग है। हरी टाइल आधा वग है। लाल टाइल साढ़े चार वग ढकती है।

1. मेज के वग ग नए। चौड़ाई म 9, लंबाई म 6, अत: 9 × 6 = 54 वग।
2. हरी टाइल दे खए। वह एक वग के अंदर है और ठ क उसका आधा भाग ढकती है।
3. एक वग म कतनी हरी टाइल? दो आधे मलकर एक पूरा बनते ह, अत: 1 वग म 2 हरे त्रभुज।
4. गुणा क जए। 54 वग × 2 = 108।

मेज पर वग = 9 × 6 = 54

1 वग में हरे ित्रभुज = 2

पूरी मेज के िलए = 54 × 2 = 108 हरे ित्रभ ज
ु

ऐसा क्य होता है: हरी टाइल वग से छोट है, इस लए वह ज्यादा लगती है। ठ क दुगुनी, क्य क वह ठ क आधे
आकार क है।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

प्र.2 उसक मेज पर व भन्न टाइल को दे खए और उत्तर द जए क नीचे द गई आकृ तय म से कतनी आकृ तयाँ
मेज को ढक लगी। (ख) लाल त्रभुज __________

प्रीथा क मेज और उस पर रखी टाइल — एक नीला वग, एक लाल त्रभुज और एक हरा त्रभुज।

12 लाल त्रभुज।

1. जाल पर लाल टाइल ना पए। उसक सीधी ऊपरी भुजा 3 वग लंबी है और सीधी बगल क भुजा भी 3 वग लंबी है।
2. सो चए वह कस वग से बना है। 3 × 3 वाले वग म 3 × 3 = 9 छोटे वग होते ह। लाल त्रभुज उसका ठ क आधा है।
3. क्षेत्रफल नका लए। 9 का आधा = साढ़े चार। अत: एक लाल त्रभुज 4½ वग ढकता है।
4. मेज को बाँ टए। 54 ÷ 4½ = 12।

लाल ित्रभुज = 3 × 3 वग का आधा

लाल ित्रभुज का ेत्रफल = (3 × 3) ÷ 2 = 9 ÷ 2 = 4½ वग

आवश्यक लाल ित्रभुज = 54 ÷ 4½

दो लाल ित्रभुज = 9 वग, अत: 54 ÷ 9 = 6 जोड़ े

लाल ित्रभुज = 6 × 2 = 12 लाल ित्रभ ज
ु

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

भाग करने का आसान तरीका: आधे से भाग दे ना क ठन लगता है। इस लए दो लाल त्रभुज जोड़ द जए — वे 9
छोटे वग वाला 3 × 3 का वग बना दे ते ह। मेज म ऐसे 54 ÷ 9 = 6 बड़े वग आते ह और हर एक के लए 2 लाल
त्रभुज चा हए। 6 × 2 = 12।

स्वयं जाँ चए: 12 लाल त्रभुज × 4½ वग = 12 × 4 + 12 × ½ = 48 + 6 = 54 वग। यही पूरी मेज है। ✓

प्र.3 उसक मेज पर व भन्न टाइल को दे खए और उत्तर द जए क नीचे द गई आकृ तय म से कतनी आकृ तयाँ
मेज को ढक लगी। (ग) नीले वग __________

प्रीथा क मेज और उस पर रखी टाइल — एक नीला वग, एक लाल त्रभुज और एक हरा त्रभुज।

54 नीले वग।

1. नीली टाइल दे खए। वह जाल के ठ क एक वग पर बैठती है।
2. मेज के वग ग नए। चौड़ाई म 9, लंबाई म 6।
3. गुणा क जए। 9 × 6 = 54।

नीले वग = 9 × 6 = 54 नीले वग

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई
a g l AglaSem · NCERT Solutions

अब तीन टाइल क तुलना क जए।
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टाइल कतना ढकती है कतनी चा हए

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हरा ित्रभुज ½ वग 108

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नीला वग 1 वग 54

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लाल ित्रभुज 4½ वग
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यह क्रम ऐसा क्य है: मेज कभी नह बदलती, केवल टाइल बदलती है। बड़ी टाइल कम बार बैठती है, छोट टाइल
ज्यादा बार। हरी टाइल नीली क आधी है, इस लए दुगुनी चा हए। लाल टाइल नीली से 4½ गुनी है, इस लए लगभग
co m
नौवाँ भाग ही चा हए।
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a ृ तय क तुलना — पृष्ठ 144–145
आक

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आयत क, ख और ग — कसका क्षेत्रफल सबसे अ धक है?

आकृ तय क तु ल ना
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प्र.1 ऊपर दए गए आयत म से कसका क्षेत्रफल सबसे अ धक है? सबसे अ धक क्षेत्रफल क आकृ त का पता लगाने

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के लए एक कागज पर इन आकृ तय क रूपरेखा (बाहरी रेखा) बनाइए एवं उन्ह का टए।

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क lasem. ख a
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रंगीन कागज से काटे गए तीन आयत।
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आयत ‘क’ का क्षेत्रफल सबसे अ धक है।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

पुस्तक के अनुसार कागज और कची से इस तरह पता क जए।

1. तीन आयत क रूपरेखा कागज पर बनाइए और साफ-साफ काट ली जए।
2. ‘क’ को ‘ख’ पर र खए। ‘ख’ पूरी तरह ‘क’ के नीचे छप जाता है और ‘क’ का कुछ भाग बाहर दखता है। अत: ‘क’ बड़ा है।
3. ‘क’ को ‘ग’ पर र खए। ‘ग’ पतला पर लंबा है, इस लए नीचे से बाहर नकलता है और ‘क’ बगल से। कोई कसी को नह
छपाता, अत: अभी नणय नह हुआ।
4. काटकर जमाइए। ‘ग’ का जो भाग बाहर नकल रहा है उसे काटकर बाक के बगल म सरका द जए। अब ‘ग’ ‘क’ के भीतर
आ जाता है और ‘क’ का थोड़ा भाग फर भी बचता है। अत: ‘क’ सबसे बड़ा है।

काटने क जरूरत क्य पड़ी: एक आकृ त को दूसरी पर रखने से तभी नणय होता है जब एक दूसरी को पूरी तरह
ढक ले। जब दोन कह -न-कह बाहर नकलती ह तो आँख नणय नह कर पाती। काटकर जमाने से दोन एक जैसी
आकृ त बन जाती ह और तुलना हो जाती है।

आगे: पृष्ठ 145 पर पुस्तक एक बहुत आसान औज़ार दे ती है — वग जाल। फर बस वग ग नए, काटने क जरूरत
ही नह ।

प्र.2 क्या आपको दे ख कर लगता है क आयत ‘क’ का क्षेत्रफल आयत ‘ख’ के क्षेत्रफल से अ धक है? आयत ‘ख’ व
आयत ‘ग’ के बारे म आप क्या कहगे?

हाँ, ‘क’ का क्षेत्रफल ‘ख’ से अ धक है। और ‘ग’ का क्षेत्रफल भी ‘ख’ से अ धक है। अत: अभी तक ‘क’ और ‘ग’ दोन ‘ख’
से ऊपर ह।

वग जाल पर तीनों आयत

क ख ग

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

वग ग नए: क = 12, ख = 8, ग = 10।

‘क’ का ेत्रफल = 3 × 4 = 12 वग इकाई

‘ख’ का ेत्रफल = 2 × 4 = 8 वग इकाई

‘ग’ का ेत्रफल = 2 × 5 = 10 वग इकाई

1. क और ख। दोन 4 वग ऊँचे ह, पर ‘क’ 3 वग चौड़ा है और ‘ख’ केवल 2 वग। ऊँचाई बराबर, चौड़ाई अ धक, अत: क > ख।
2. ख और ग। दोन 2 वग चौड़े ह, पर ‘ग’ 5 वग ऊँचा है और ‘ख’ केवल 4। चौड़ाई बराबर, ऊँचाई अ धक, अत: ग > ख।

इन दो जो ड़य क तुलना आँख से क्य हो जाती है: हर जोड़ी म एक माप बराबर है। जब केवल एक माप
बदलता है तो बड़ा कौन है, यह आसानी से दख जाता है। क ठनाई तभी आती है जब दोन माप बदल जाएँ — जैसे
‘क’ और ‘ग’ म।

प्र.3 आयत ‘क’ और आयत ‘ग’ म से कसका क्षेत्रफल अ धक है? आप इसका पता कैसे लगाएँगे?

‘क’ का क्षेत्रफल अ धक है। ‘क’ 12 वग इकाई ढकता है और ‘ग’ 10 वग इकाई।
पता लगाने के दो तरीके ह।

1. पहला तरीका — काटकर जमाना। दोन क रूपरेखा बनाकर का टए, फर ‘ग’ के टु कड़े करके उन्ह ‘क’ के भीतर र खए।
सब टु कड़े आ जाते ह और ‘क’ के 2 वग फर भी खाली रहते ह। अत: ‘क’ बड़ा है।
2. दूसरा तरीका — वग जाल। दोन आयत को एक ही वग जाल पर र खए और ग नए क हर एक कतने वग ढकता है। ‘क’
12 और ‘ग’ 10।

‘क’ 3 वग चौड़ ा और 4 वग ऊँ चा → 3 × 4 = 12

‘ग’ 2 वग चौड़ ा और 5 वग ऊँ चा → 2 × 5 = 10

12 > 10, अत: ‘क ’ बड़ा है

‘ग’ के ऊँचा होने पर भी ‘क’ क्य जीतता है: ‘ग’ 1 वग ऊँचा जरूर है, पर 1 वग पतला भी है। 4 वग का पूरा
स्तंभ खोना, 2 वग क छोट पं क्त पाने से ज्यादा भारी पड़ता है। ेत्रफल दोन माप पर मलकर नभर करता है,
केवल ऊँचाई पर नह ।

क्रम: क (12) > ग (10) > ख (8)।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 आइए इन आयत को एक वग जाल ( ड) पर रखते ह। अब क्या आप उस आयत को पहचान सकते ह जसका
क्षेत्रफल सबसे अ धक हो?

हाँ — आयत ‘क’, जसका क्षेत्रफल 12 वग इकाई है।

वग जाल पर तीनों आयत

क ख ग

क = 12, ख = 8, ग = 10 वग इकाई। ‘क’ सबसे बड़ा है।

1. ‘क’ दे खए। चौड़ाई म 3 वग, लंबाई म 4 पं क्तयाँ। 3 × 4 = 12 वग इकाई।
2. ‘ख’ दे खए। चौड़ाई म 2 वग, लंबाई म 4 पं क्तयाँ। 2 × 4 = 8 वग इकाई।
3. ‘ग’ दे खए। चौड़ाई म 2 वग, लंबाई म 5 पं क्तयाँ। 2 × 5 = 10 वग इकाई।
4. तुलना क जए। 12 सबसे बड़ा है, अत: ‘क’ का ेत्रफल सबसे अ धक है।

क = 12 वग इकाई · ख = 8 वग इकाई · ग = 10 वग इकाई

‘क ’ का ेत्रफल सबसे अिधक है।

वग जाल से यह इतना आसान क्य हो जाता है: जाल के सभी वग बल्कुल बराबर ह। इस लए जो आकृ त ज्यादा
वग ढके, वह ज्यादा सतह ढकती है। न आँख से अंदाज़ा लगाना पड़ता है, न कुछ काटना। इसी लए पुस्तक कहती है
क ेत्रफल ात करने के लए वग जाल सबसे सु वधाजनक व ध है। 1 इकाई भुजा वाले वग का ेत्रफल 1 वग
इकाई होता है।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

नया शब्द: वग इकाई — जाल का एक छोटा वग, जससे हम सतह गनते ह। जब जाल के वग 1 से.मी. के ह तो
एक वग इकाई 1 वग से.मी. होती है।

आइए करके दे ख — पृष्ठ 145–147
जाल पर दो उ ान, अपनी हथेली, प त्तयाँ और दो चटाइयाँ

आइए करके दे ख

प्र.1 नीचे दए गए दो उ ान के क्षेत्रफल क तुलना वग जाल पर क जए। अपने अवलोकन को साझा क जए।
उ ान ‘क’ का क्षेत्रफल = _____ वग से.मी. उ ान ‘ख’ का क्षेत्रफल = _____ वग से.मी.

1 से.मी.

उ ान ख

उ ान क

वग जाल पर दोन उ ान, बीच म एक रास्ता। हर छोटा वग 1 से.मी. × 1 से.मी. का है।

उ ान ‘क’ का क्षेत्रफल = 10 वग से.मी.। उ ान ‘ख’ का क्षेत्रफल = 12 वग से.मी.। उ ान ‘ख’ बड़ा है — 2 वग से.मी.
अ धक।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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वग 1 से.मी. × 1 से.मी. का है
हर छोटा m
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उ ान क agl

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उ ान ‘क’ 2 चौड़ा और 5 ऊँचा। उ ान ‘ख’ 4 चौड़ा और 3 ऊँचा। बीच क मप रास्ता है।

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1. उ ान ‘क’ दे खए। वह 2 वग चौड़ा और 5 वग ऊm
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laहर वग 1 वग से.मी. का है, अत: ेत्रफल 10 वग से.मी.।
ँ चा है।
2. ग नए या गुणा क जए। 2 × 5 = 10g
a वग।
3. उ ान ‘ख’ दे खए। वह 4 वग चौड़ा और 3 वग ऊँचा है।
4. ग नए या गुणा क जए। 4 × 3 = 12 वग, यानी 12 वग से.मी.।
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5. तुलना क जए। 12 − 10 = 2, अत: उ ान ‘ख’ म 2 वग से.मी. अ धक है।
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a s eउm ान ‘क’ का ेत्रफल = 2 × 5 = 10 वग से.मी.
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उ ान ‘ख’ का ेत्रफल = 4 × 3 = 12 वग से.मी.

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अंत र = 12 − 10 = 2 वग से.मी.
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साझा करने योग्य अवलोकन: उ ान ‘क’ ऊँचा दखता है और ऊँची आकृ त आँख को बड़ी लग सकती है। पर

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उ ान ‘ख’ कम ऊँचा होते हुए भी दुगुना चौड़ा है। जाल पर आँख धोखा नह दे पाती — हम बस वग गनते ह और
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‘ख’ म दो वग ज्यादा नकलते ह।

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se m ध्यान द जए: ेत्रफल का मात्रक वग से.मी. है। इसका अथ है — भीतर 1 से.मी. × 1 से.मी. के कतने वग बैठते
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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

प्र.2 नीचे दए गए वग-जाल पर अपनी हथेली क आकृ त का अनुरेखण क जए और अनुमा नत क्षेत्रफल ात
क जए। अपनी हथेली के क्षेत्रफल क तुलना अपने मत्र क हथेली के क्षेत्रफल से क जए। कसक हथेली
अ धक बड़ी है?

1 से.मी.

हथेली का अनुरख
े ण करने के लए वग जाल। हर छोटा वग 1 से.मी. × 1 से.मी. का है।

व ध: पहले अनुरेखण क जए, फर पहले पूरे वग ग नए और उसके बाद आधे वग। क ा 5 के ब े क हथेली प्राय: लगभग 50

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

से 70 वग से.मी. होती है।

1. अनुरेखण क जए। खुली हथेली को उँ ग लयाँ मलाकर जाल पर सीधा र खए और प सल से उसके चार ओर रेखा ख चए।
2. पूरे वग ग नए। जो वग पूरी तरह रेखा के भीतर ह उन पर बदु लगाइए। मान ली जए 46 नकले।
3. अधूरे वग ग नए। अब वे वग दे खए जन्ह रेखा काटती है। जस वग का आधे से अ धक भाग भीतर हो उसे गन ली जए;
आधे से कम हो तो छोड़ द जए। मान ली जए 12 और मले।
4. जो ड़ए। 46 + 12 = 58 वग, अत: ेत्रफल लगभग 58 वग से.मी.।
5. मत्र से तुलना क जए। जसक संख्या बड़ी, उसक हथेली बड़ी।

पूरे वग = 46

िगने गए अधूरे वग = 12

हथे ली का अनुमािनत ेत्रफल = 46 + 12 = लगभग 58 वग से.मी.

‘अनुमा नत’ क्य कहते ह: हथेली के कनारे गोल होते ह, इस लए वह जाल क रेखाओं पर ठ क-ठ क नह बैठती।
आधे से अ धक वाले वग गनने और आधे से कम वाले छोड़ने से संतुलन बन जाता है — कुछ म थोड़ा ज्यादा गना
जाता है, कुछ म थोड़ा कम, और गल तयाँ आपस म कट जाती ह।

नमूना उत्तर: “मेरी हथेली ने लगभग 58 वग से.मी. ढका। मीरा क हथेली ने लगभग 54 वग से.मी.। अत: मेरी
हथेली लगभग 4 वग से.मी. बड़ी है।”

प्र.3 व भन्न प्रकार क प त्तयाँ एक त्रत क जए। उन्ह वग जाल पर रखकर उनका क्षेत्रफल ात क जए। (क) सबसे
अ धक क्षेत्रफल वाली पत्ती का नाम ल खए।

सबसे बड़ी पत्ती प्राय: बरगद या पीपल क होती है। इन्ह उसी तरह ना पए जैसे आपने हथेली नापी थी।

1. गरी हुई प त्तयाँ एक त्रत क जए — नीम, पीपल, बरगद, आम, तुलसी। पेड़ से मत तो ड़ए।
2. एक पत्ती जाल पर सीधी र खए और उसके चार ओर रेखा ख चए।
3. पहले पूरे वग, फर आधे से अ धक वाले वग ग नए और जोड़ ली जए।
4. हर पत्ती का क्षेत्रफल ता लका म ल खए और सबसे बड़ी संख्या चु नए।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

पत्ती पूरे वग गने गए अधूरे वग क्षेत्रफल

बरगद 34 10 लगभग 44 वग से .मी.

पीपल 26 9 लगभग 35 वग से .मी.

आम 14 6 लगभग 20 वग से .मी.

नीम 3 2 लगभग 5 वग से .मी.

तुल सी 1 2 लगभग 3 वग से .मी.

सबसे अिधक ेत्रफल = 44 वग से.मी. → बरगद की पत्ती

नमूना उत्तर: “सबसे अ धक ेत्रफल वाली पत्ती बरगद क है। जाल पर उसने लगभग 44 वग से.मी. ढका।”
आपका अपना उत्तर आपक एक त्रत प त्तय पर नभर करेगा — जो आपने वास्तव म नापा वही ल खए।

प्र.4 व भन्न प्रकार क प त्तयाँ एक त्रत क जए। उन्ह वग जाल पर रखकर उनका क्षेत्रफल ात क जए। (ख) सबसे
कम क्षेत्रफल वाली पत्ती का नाम ल खए।

सबसे छोट पत्ती प्राय: तुलसी क होती है — ऊपर क ता लका म उसने केवल लगभग 3 वग से.मी. ढका।

1. वही ता लका दे खए जो आपने भाग (क) म बनाई थी।
2. क्षेत्रफल वाले स्तंभ म सबसे छोट संख्या खो जए। यहाँ वह 3 वग से.मी. है।
3. उस पत्ती का नाम ल खए। तुलसी।

ु सी की पत्ती
सबसे कम ेत्रफल = 3 वग से.मी. → त ल

बरगद (44) त ल
ु सी (3) से लगभग 14 गुन ा बड़ ी है

जाल से नणय क्य ठ क होता है: कोई पत्ती नीम क तरह लंबी-पतली हो सकती है और कोई पीपल क तरह
छोट -चौड़ी। केवल लंबाई दे खने से उत्तर गलत हो जाएगा। वग गनने से पूरी सतह नपती है, इस लए तुलना ठ क
होती है।

नमूना उत्तर: “सबसे कम ेत्रफल वाली पत्ती तुलसी क है। उसने लगभग 3 वग से.मी. ढका।”

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

प्र.5 नीचे द गई चटाइयाँ समान आकार के चौकोर टु कड़ से बनी ह। प्रत्येक चटाई को ढकने के लए कतने चौकोर
टु कड़ क आवश्यकता होगी? नीचे दए गए छोटे आकार के वग का अनुरेखण कर उसे का टए और चटाइय का
क्षेत्रफल ात क जए। चटाई (क): क्षेत्रफल = ______ प र म त = ______

चटाई (क) के लए 10 चौकोर टु कड़े चा हए। क्षेत्रफल = 10 वग इकाई। प र म त = 14 इकाई।

चटाई (क): चौड़ ाई मे ं 5 टुकड़ े, लंबाई मे ं 2

दस टु कड़े चटाई को ठ क भर दे ते ह। उसका कनारा 5 + 2 + 5 + 2 = 14 इकाई लंबा है।

1. छोटे वग को चटाई के ऊपरी कनारे पर र खए। वह 5 बार बैठता है।
2. बगल म नीचे र खए। वह 2 बार बैठता है।
3. क्षेत्रफल के लए गुणा क जए। 5 × 2 = 10 टु कड़े, अत: ेत्रफल 10 वग इकाई।
4. प र म त के लए चार भुजाएँ जो ड़ए। 5 + 2 + 5 + 2 = 14 इकाई।

चटाई (क) का ेत्रफल = 5 × 2 = 10 वग इकाई

चटाई (क) की पिरिमित = 5 + 2 + 5 + 2 = 14 इकाई

क्षेत्रफल और प र म त क गनती अलग क्य है: ेत्रफल म अंदर के टु कड़े गनते ह — यानी कपड़ा। प र म त म
बाहर का कनारा नापते ह — यानी फ ता। एक भरने क बात है, दूसरी चार ओर घूमने क ।

प्र.6 नीचे द गई चटाइयाँ समान आकार के चौकोर टु कड़ से बनी ह। प्रत्येक चटाई को ढकने के लए कतने चौकोर
टु कड़ क आवश्यकता होगी? चटाई (ख): क्षेत्रफल = ______ प र म त = ______

चटाई (ख) के लए 12 चौकोर टु कड़े चा हए। क्षेत्रफल = 12 वग इकाई। प र म त = 14 इकाई।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

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चटाई (ख): चौड़ ाई मे ं 4 टुकड़ े, लंबाई मे ं 3
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बारह टु कड़े इस चटाई को भर दे ते ह। उसका कनारा 4 + 3 + 4 + 3 = 14 इकाई लंबा है — चटाई (क) जतना ही।

co
em.
c o m
1. छोटे वग को ऊपरी कनारे पर र खए। वह 4 बार बैठता है।
g l as
2. बगल म. नीचे र खए। वह 3 बार बैठता है। a
s e m
gl3.aक्षेत्रफल के लए गुणा क जए। 4 × 3 = 12 टुकड़े, अत: ेत्रफल 12 वग इकाई।
a 4. प र म त के लए चार भुजाएँ जो ड़ए। 4 + 3 + 4 + 3 = 14 इकाई।
m a s
em
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s
चटाई (ख) का ेत्रफल = 4 × 3 = 12 वग इकाई
a
चटाई (ख) की पिरिमित = 4 + 3 +a4gl+ 3 = 14 इकाई

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m .
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च काने वाली बात: चटाई (क) और (ख) क प र म त बराबर है — 14 इकाई, पर ेत्रफल अलग — 10 और
m l
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12। एक ही लंबाई का फ ता ऐसी दो चटाइय के चार ओर लग सकता है जनम कपड़ा अलग-अलग लगता है।

a s em आकृ त जतनी वग जैसी होगी, उतना ही ज्यादा समा सकेगी।

agl
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coयाmभन्न संख्या म चौकोर टुकड़ क आवश्यकता है? g l a
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प्र.7 क्या दोन चटाइय के लए समान संख्या म

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उत्तर agl

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भन्न संख्या म। चटाई (क) के लए 10 टु कड़े और चटाई (ख) के लए 12 टु कड़े चा हए, अत: चटाई (ख) म 2 टु कड़े अ धक लगते

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ह।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

चटाई (क): 10 टुकड़ े
चटाई (ख): 12 टुकड़ े

कनारा दोन का 14 इकाई, पर चटाई (ख) म दो टु कड़े ज्यादा समाते ह।

चटाई (क) = 5 × 2 = 10 टु क ड़ े

चटाई (ख) = 4 × 3 = 12 टु क ड़ े

अंत र = 12 − 10 = 2 टु क ड़े

वग जैसी चटाई म ज्यादा क्य समाता है: दोन चटाइय का कनारा 14 इकाई है। चटाई (क) उस कनारे का
ज्यादा भाग लंबा-पतला होने म लगा दे ती है, इस लए वह दुबली रह जाती है। चटाई (ख) कनारे को अ धक बराबरी
से बाँटती है — 5 और 2 क जगह 4 और 3 — इस लए वह मोट हो जाती है और ज्यादा टु कड़े समाती है। समान
प र म त वाली सभी आकृ तय म जो वग के सबसे पास होती है, उसम सबसे ज्यादा समाता है।

यह करके दे खए: 14 इकाई कनारे के साथ 6 + 1 ली जए: उस चटाई म केवल 6 टु कड़े आएँगे। अब 4 + 3
ली जए: 12 आ जाएँगे। दोन संख्याएँ जतनी पास, उतना ज्यादा समाएगा।

त्रशा के दो आयत — पृष्ठ 147
क्या क्षेत्रफल बढ़ने पर प र म त हमेशा बढ़ती है?

प्र.1 त्रशा नीचे दए गए दो आयत बनाती है। वह कहती है, “मने अपने आयत का क्षेत्रफल बढ़ाया और प र म त बढ़
गई”। क्या आप सोचते ह क यह सदै व सत्य होगा?

नह , यह सदै व सत्य नह है। त्रशा के अपने दोन आयत म ऐसा हुआ, पर ऐसी जोड़ी आसानी से मल जाती है जसम ेत्रफल
बढ़ता है और प र म त घट जाती है।
पहले त्रशा के अपने आयत जाँ चए।

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2 × 3: ेत्रफल 6, पिरिमित 10
3 × 4: ेत्रफल 12, पिरिमित 14

अपने दोन आयत के बारे म त्रशा ठ क कह रही है — दोन संख्याएँ बढ़ ।

पहला आयत: ेत्रफल = 2 × 3 = 6 वग इकाई, पिरिमित = 2 + 3 + 2 + 3 = 10 इकाई

दू सरा आयत: ेत्रफल = 3 × 4 = 12 वग इकाई, पिरिमित = 3 + 4 + 3 + 4 = 14 इकाई

ेत्रफल 6 → 12 (बढ़ ा) और पिरिमित 10 → 14 (बढ़ ी)

अब वह जोड़ी दे खए जहाँ उसका नयम टू ट जाता है।

8 × 1: ेत्रफल 8, पिरिमित 18

3 × 3: ेत्रफल 9, पिरिमित 12

दूसरे का ेत्रफल अ धक है पर प र म त कम। त्रशा का नयम सदै व सत्य नह ।

लंबा पतला आयत 8 × 1: ेत्रफल = 8 वग इकाई, पिरिमित = 8 + 1 + 8 + 1 = 18 इकाई

वग 3 × 3: ेत्रफल = 9 वग इकाई, पिरिमित = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 इकाई

ेत्रफल 8 से 9 बढ़ ा, पर पिरिमित 18 से घटकर 12 हो गई

क्षेत्रफल और प र म त साथ-साथ क्य नह चलते: प र म त कनारे क बात है, ेत्रफल अंदर क । लंबी पतली
प का कनारा बहुत बड़ा होता है पर अंदर बहुत कम। मोट , वग जैसी आकृ त का कनारा छोटा होता है पर अंदर
बहुत ज्यादा। इस लए आकृ त बदलने पर दोन संख्याएँ उलट दशाओं म जा सकती ह।

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यह सच है: य द आप आयत क चौड़ाई बदले बना उसम वग जोड़ते जाएँ — जैसा त्रशा ने कया — तो ेत्रफल
भी बढ़े गा और प र म त भी। त्रशा क भूल केवल सदै व शब्द म है।

आइए करके दे ख (अन्वेषण) — पृष्ठ 147–148
समान क्षेत्रफल पर अलग प र म त; समान प र म त पर अलग क्षेत्रफल

आइए करके दे ख

प्र.1 समान क्षेत्रफल वाली आकृ तय पर सही का चह्न लगाइए।

1 से.मी . (ख )

(क)

(ग) (घ )

(ङ )

(च)

1 से.मी. वग जाल पर बनी छह आकृ तयाँ।

(क), (ख), (ग), (घ) और (च) पर चह्न लगाइए। इनम से हर एक 12 वग से.मी. ढकती है। केवल आकृ त (ङ) अलग है — वह
8 वग से.मी. ढकती है।

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(क) 6 × 2
(घ) 4 × 3
(ग) 3 × 4

(ख) सीढ़ ीनुमा

(ङ) 8 × 1 (च) 12 × 1

1. हर आकृ त के छायां कत वग ग नए। जाल का हर वग 1 से.मी. × 1 से.मी. का है, अत: हर वग 1 वग से.मी.।
2. जहाँ बन सके वहाँ पं क्त-स्तंभ से काम ली जए। आयत म एक-एक गनने क जगह गुणा क जए।
3. सीढ़ नुमा आकृ त (ख) ध्यान से ग नए। ऊपर क पं क्त म 2 वग और नीचे क पाँच पं क्तय म 2-2 वग: 2 + 10 = 12।
4. छह संख्याओं क तुलना क जए और जो मेल खाएँ उन पर चह्न लगाइए।

आकृ त कैसे बनी है क्षेत्रफल चह्न?

(क) 6 चौड़ी, 2 ऊँची 12 वग से .मी. ✓

(ख) 2 + (5 × 2) सीढ़ ीनुम ा 12 वग से .मी. ✓

(ग) 3 चौड़ी, 4 ऊँची 12 वग से .मी. ✓

(घ) 4 चौड़ी, 3 ऊँची 12 वग से .मी. ✓

(ङ) 8 चौड़ी, 1 ऊँची 8 वग से .मी. ✗

(च) 12 चौड़ी, 1 ऊँची 12 वग से .मी. ✓

इतनी अलग दखने वाली आकृ तय का क्षेत्रफल एक कैसे: ेत्रफल केवल यह पूछता है क कतने वग ह, यह
नह क कहाँ ह। बारह वग लंबी पं क्त म ह , मोटे खंड म ह या सीढ़ म — रहते बारह ही ह।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

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इन आकृ तय क प र म त ात क जए।
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प्र.2

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1 से.मी .

a (क)

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(ग) (घ )

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(च)

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1 से.मी. वग जाल पर बनी छह आकृ तयाँ।

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m ase
l

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प र म तयाँ नीचे द ह। क्षेत्रफल बराबर होने पर भी ये बराबर नह ह।

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agl आकृ त क्षेत्रफल प र म त क गणना परमत

se m
(क) 6 × 2 12 वग से .मी.
c o m 6+2+6+2 16 से .मी.
g l a
m . a
(ख) सीढ़ ीनुम ा
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12 वग से .मी.
ase िकनारे की सीिढ़ याँ िगिनए 18 से .मी.

(ग) 3 × 4
a
12 वग से .मी. 3+4+3+4 14 से .मी.

co m 14 से .मी.
(घ) 4 × 3 12 वग से .मी. 4+3+4+3
m .
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em (च) 12 × 1
(ङ) 8 × 1 8 वग से .मी. 8+1+8+1 18 से .मी.

a s
agl 12 वग से .मी. 12 + 1 + 12 + 1 26 से .मी.

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s e m
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agl
जाल पर बनी आकृ त क प र म त कैसे नाप:

. co
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1. प सल आकृ त के कसी एक कोने पर र खए।

a g l
2. बाहरी रेखा पर च लए और हर 1 से.मी. क भुजा पार करते समय ‘एक’ बो लए।
3. बीच से आर-पार मत जाइए। हर सीढ़ के अंदर-बाहर घू मए।

co m
m .
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4. जब वापस उसी कोने पर पहुँच जाएँ तो रु कए और अपनी गनती पढ़ ली जए।

आकृ ित (ख), सीढ़ ीनुमा: िकनारे पर चलते हुए 1-1 से.मी. की 18 भुजाएँ पार होती है ं

(ख) की पिरिमित = 18 से.मी.

आयत के लए सुझाव: चक्कर लगाने क जरूरत ही नह । प र म त = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)। (च) के लए 2 ×
(12 + 1) = 2 × 13 = 26 से.मी.।

प्र.3 आपने क्या ध्यान दया? चचा क जए।

हमने यह ध्यान दया: आकृ तय का क्षेत्रफल समान होने पर भी उनक प र म त बहुत अलग हो सकती है।

(क), (ख), (ग), (घ) और (च) — सबका ेत्रफल = 12 वग से.मी.

पर पिरिमित 16 से.मी., 18 से.मी., 14 से.मी., 14 से.मी. और 26 से.मी.

सबसे कम प र म त उन आकृ तय क है जो वग के सबसे पास ह — (ग) 3 × 4 और (घ) 4 × 3, दोन 14 से.मी.।
सबसे अ धक प र म त सबसे लंबी-पतली आकृ त क है — (च) 12 × 1, पूरे 26 से.मी.।
सीढ़ नुमा (ख) क बाहरी रेखा म अ त रक्त सी ढ़याँ ह, इस लए उसे उसी 12 वग वाले सीधे आयत (क) से ज्यादा कनारा
चा हए।

ऐसा क्य होता है: कपड़े के 12 टु कड़े सो चए। य द आप उन्ह मोटे खंड म सल द तो ज्यादातर जोड़ अंदर छप
जाते ह और बाहर थोड़ा ही कनारा बचता है। य द उन्ह एक लंबी प म सल द तो लगभग हर टु कड़े क दो भुजाएँ
बाहर आ जाती ह और कनारा बहुत लंबा हो जाता है। कपड़ा वही, पर फ ता बहुत अलग।

चचा के लए नमूना उत्तर: “पाँच आकृ तय म कपड़ा बराबर लगेगा, क्य क हर एक 1-1 से.मी. के 12 वग से
बनी है। पर फ ता बराबर नह लगेगा। 3 × 4 वाली आकृ त म केवल 14 से.मी. फ ता लगेगा, जब क 12 × 1 क
प म 26 से.मी.। अत: ेत्रफल जानने से प र म त का पता नह चलता।”

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प्र.4 समान प र म त वाली आकृ तय पर सही का चह्न लगाइए।

1 से.मी .

(क )

(ख) (ग )

(घ) (ङ)

1 से.मी. वग जाल पर बनी पाँच आकृ तयाँ।

(ग), (घ) और (ङ) पर चह्न लगाइए। इन तीन क प र म त 16 से.मी. है। (क) और (ख) क भी आपस म जोड़ी बनती है —
दोन 12 से.मी.।

(क) (ख)
(ग)
(घ)

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(ङ)

सीढ़ दार आकृ त क प र म त कैसे गन:

1. बाहरी रेखा के कसी कोने से शुरू क जए और एक दशा चुन ली जए।
2. पूरी बाहरी रेखा पर च लए और हर 1 से.मी. क भुजा गनते जाइए।
3. हर सीढ़ के अंदर-बाहर घू मए। कोने से छोटा रास्ता मत ली जए।
4. जहाँ से चले थे वह रु कए और कुल गनती पढ़ ली जए।

आकृ त परमत चह्न?

(क) 12 से .मी. — ((ख) से मेल)

(ख) 12 से .मी. — ((क) से मेल)

(ग) 16 से .मी. ✓

(घ) 16 से .मी. ✓

(ङ) 16 से .मी. ✓

(क) और (ख) क प र म त कम क्य : दोन लगभग भरे हुए 3 × 3 खंड जैसी ह — मोट , सुडौल आकृ त
जसका कनारा छोटा होता है। (ग), (घ) और (ङ) फैली हुई ह — जोड़ जैसी आकृ त, एक ‘L’ और एक लंबी प
— इस लए उनक बाहरी रेखा म ज्यादा भुजाएँ नकली रहती ह।

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प्र.5 इन आकृ तय के क्षेत्रफल ात क जए।

1 से.मी .

(क )

(ख) (ग )

(घ) (ङ)

1 से.मी. वग जाल पर बनी पाँच आकृ तयाँ।

पाँच आकृ तय का क्षेत्रफल समान है — प्रत्येक 7 वग से.मी.।

आकृ त गनने का तरीका क्षेत्रफल परमत

(क) 3+3+1 7 वग से .मी. 12 से.मी.

(ख) 3+2+2 7 वग से .मी. 12 से.मी.

(ग) 2+1+3+1 7 वग से .मी. 16 से.मी.

(घ) 4+3 7 वग से .मी. 16 से.मी.

(ङ) एक पंिक्त में 7 7 वग से .मी. 16 से.मी.

1. एक बार म एक आकृ त ली जए।
2. पं क्त-दर-पं क्त छायां कत वग ग नए और हर पं क्त क गनती लख ली जए।
3. पं क्तय क गनती जो ड़ए। आकृ त (ग) के लए: 2 + 1 + 3 + 1 = 7।
4. मात्रक ल खए। जाल का हर वग 1 वग से.मी. है, अत: ेत्रफल 7 वग से.मी.।

पं क्त-दर-पं क्त गनना ज्यादा सुर क्षत क्य है: सीढ़ दार आकृ तय म कोई वग छू ट जाना या दो बार गना जाना
बहुत आसान है। एक-एक पं क्त लेने से जगह याद रहती है, और चार छोट संख्याएँ जोड़ना कोने-कोने घूमकर सात
तक गनने से आसान है।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
आपने क्या ध्यान दया? चचा क जए।
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प्र.6

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.co a g
a s em
a glयह ध्यान दया: आकृ तय क प र म त समान होने पर भी वे बल्कुल अलग दख सकती ह — और क्षेत्रफल समान
हमने
होने का यह अथ भी नह क प र म त समान होगी।

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m . ag
पाँच ों आकृ ितयों का ेत्रफल = 7 वग से.मी.
l a se
ag(ग) 16 से.मी., (घ) 16 से.मी., (ङ) 16 से.मी.
पिरिमित: (क) 12 से.मी., (ख) 12 से.मी.,

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(ग), (घ) और (ङ) बल्कुल अलग दखती ह — एक जोड़ जैसी, एक ‘L’ और एक सीधी प — फर भी हर एक को ठ क 16

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.c(ख) म वही 7 वग ह पर फ ता केवल 12 से.मी. चा हए, क्य क वे सुडौल खंड aमgसमट ह।
से.मी. फ ता चा हए।

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se प र म त इस पर नभर करती है क वग कतने फैले हुए ह, इस पर नह क कतने ह।
(क) और

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अत:

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दोन अन्वेषण साथ र खए: पृष्ठ 147 पर हमने समान ेत्रफल और अलग प र म त वाली आकृ तयाँ दे ख । यहाँ

se m
समान प र म त वाली ऐसी आकृ तयाँ ह जो एक-दूसरे से मलती ही नह । ेत्रफल और प र म त आकृ त के दो

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अलग-अलग माप ह। एक जानने से दूसरा कभी पता नह चलता।
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चचा के लए नमूना उत्तर: “(ग), (घ) और (ङ) — तीन को 16 से.मी. फ ता चा हए, जब क एक जोड़ जैसी है,
m
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एक ‘L’ और एक सीधी प । पाँच को 7 वग से.मी. कपड़ा चा हए। अत: दो आकृ तय म फ ता और कपड़ा दोन
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बराबर लग सकते ह, फर भी वे एक जैसी नह होत ।”

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आइए करके दे ख — पृष्ठ 149–150
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समान क्षेत्रफल क नई आकृ तयाँ बनाना; वग और त्रभुज क तुलना

आइए करके दे ख

प्र.1 नीचे द गई आकृ त के समान क्षेत्रफल वाली व भन्न आकृ तयाँ बनाइए। प्रत्येक आकृ त क प र म त ल खए।
आपने क्या ध्यान दया? चचा क जए।

1 से.मी.

(क)

1 से.मी. वग जाल पर द गई आकृ त। जाल का खाली भाग आपक बनाई आकृ तय के लए है।

द गई आकृ त 9 वग चौड़ी और 2 वग ऊँची है, अत: उसका क्षेत्रफल 18 वग से.मी. और प र म त 22 से.मी. है। आपक
बनाई हर नई आकृ त भी 18 वग ढकनी चा हए।

1. द गई आकृ त का क्षेत्रफल नका लए। 9 × 2 = 18 वग से.मी.।
2. ऐसी संख्याओं क जो ड़याँ खो जए जनका गुणनफल 18 हो। 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6। हर जोड़ी से 18 ेत्रफल वाला
आयत बनता है।
3. वे आयत बनाइए — 18 × 1, 9 × 2 और 6 × 3।
4. आयत के अलावा एक आकृ त भी बनाइए — जैसे 3 पं क्तय म 4 वग वाला चौड़ा खंड और उसके नीचे 3 पं क्तय म 2 वग
वाला छोटा खंड। ग नए: 12 + 6 = 18 वग।
5. हर आकृ त के पास उसक प र म त ल खए। बाहरी रेखा पर चलकर 1-1 से.मी. क भुजाएँ ग नए।

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9 × 2 : पिरिमित 22 से.मी.
6 × 3 : पिरिमित 18 से.मी.

L आकृित : पिरिमित 22 से.मी.

आकृ त (सबका क्षेत्रफल 18 वग से.मी.) परमत

18 × 1 आयत 2 × (18 + 1) = 38 से .मी.

9 × 2 आयत (दी गई आकृ ित) 2 × (9 + 2) = 22 से .मी.

6 × 3 आयत 2 × (6 + 3) = 18 से .मी.

L आकृ ित (ऊपर 4 चौड़ी, नीचे 2 चौड़ी) 22 से .मी.

हमने क्या ध्यान दया: इन सब आकृ तय म कपड़ा ठ क बराबर लगेगा — 18 वग से.मी.। पर फ ता बल्कुल
अलग-अलग लगेगा, 18 से.मी. से लेकर 38 से.मी. तक। आकृ त जतनी मोट , फ ता उतना कम। 6 × 3 वाला
आयत वग के सबसे पास है, इस लए चार म उसक प र म त सबसे कम है।

चचा के लए नमूना उत्तर: “हमने चार आकृ तयाँ बनाईं, सबका ेत्रफल 18 वग से.मी. था। उनक प र म त 38
से.मी., 22 से.मी., 18 से.मी. और 22 से.मी. नकली। अत: समान ेत्रफल वाली आकृ तय क प र म त अलग हो
सकती है, और जो आकृ त वग के सबसे पास होती है उसक प र म त सबसे कम होती है।”

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प्र.2 क्या नीचे द गई आकृ तय म आकृ त (क) का क्षेत्रफल आकृ त (ख) के क्षेत्रफल से कम है? चचा क जए।

(क)

(ख)

आकृ त (क) जाल पर बना एक वग है। आकृ त (ख) उसी जाल पर बना एक त्रभुज है।

नह । दोन के क्षेत्रफल बराबर ह — प्रत्येक आकृ त 9 वग से.मी. ढकती है।

आकृित (क) 3 × 3 का वग है। आकृित (ख) 6 चौड़ ा और 3 ऊँचा ित्रभुज है।

(क) वग (ख) ित्रभुज

एक वग है और दूसरा त्रभुज, फर भी दोन 9 वग से.मी. ढकते ह।

1. आकृ त (क)। यह वग है — जाल के 3 वग चौड़ा और 3 ऊँचा। ेत्रफल = 3 × 3 = 9 वग से.मी.
2. आकृ त (ख)। इसक सीधी ऊपरी भुजा 6 वग लंबी है और यह 3 वग नीचे जाकर एक बदु पर मलती है।
3. सो चए यह कस आयत के भीतर बैठता है। 6 × 3 के आयत म 6 × 3 = 18 वग होते ह।
4. आधा ली जए। त्रभुज उस आयत का ठ क आधा है। ेत्रफल = 18 ÷ 2 = 9 वग से.मी.
5. तुलना क जए। 9 = 9, अत: कोई आकृ त दूसरी से कम नह है।

(क) का ेत्रफल = 3 × 3 = 9 वग से.मी.

(ख) का ेत्रफल = (6 × 3) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 वग से.मी.

दोनों ेत्रफल बराबर है ं

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त्रभुज आयत का आधा क्य है: त्रभुज के चार ओर 6 × 3 का आयत बनाइए। बचे हुए दो खाली कोन को
सरकाकर मला द जए — वे ठ क उतने ही बड़े एक और त्रभुज को भर दे ते ह। अत: आयत ऐसे दो त्रभुज से बना
है और त्रभुज उसका आधा है।

गनकर स्वयं जाँ चए: जाल पर त्रभुज 6 पूरे वग और 6 आधे वग ढकता है। 6 + (6 × ½) = 6 + 3 = 9 वग
से.मी.। वही उत्तर।

आयत का क्षेत्रफल — पृष्ठ 150
दाद माँ क चौकोर दरी: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

प्र.1 क्षेत्रफल ात करने के अन्य तरीके क्या ह?

तीन तरीके ह, और सूची म नीचे जाते-जाते वे तेज़ होते जाते ह।

1. टाइल से ढककर ग नए। आकृ त पर वग र खए और एक-एक करके ग नए। धीमा है, पर हमेशा काम करता है और ेत्रफल
का असली अथ दखा दे ता है।
2. आकृ त को वग जाल पर रखकर वग ग नए। टाइल क जरूरत नह । पहले पूरे वग ग नए, फर अधूरे।
3. आयत के लए गुणा क जए। लंबाई म कतने वग बैठते ह ग नए, कतनी पं क्तयाँ ह ग नए, और दोन संख्याओं का गुणा
कर द जए।

आयत का ेत्रफल = लंबाई × चौड़ ाई

गुणा से काम क्य बनता है: जाल पर बना आयत बराबर पं क्तय से बना होता है। य द एक पं क्त म 6 वग ह और
ऐसी 4 पं क्तयाँ ह, तो कुल 6 को 4 बार लेना हुआ। 6 × 4 का यही अथ है। अत: गुणा कोई नया नयम नह , वही
गनती करने का तेज़ तरीका है।

सावधानी: गुणा तभी चलता है जब आकृ त आयत हो, यानी सभी पं क्तयाँ बराबर भरी ह । सीढ़ दार या गोल
आकृ त के लए फर से वग गनने पड़गे।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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emकतने चौकोर
प्र.2 प्रीथा और आ त क दाद माँ कपड़े के चौकोर टु कड़ के साथ एक अन्य दरी बना रही ह। वे चौकोर टु कड़ को

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coआवश्यकता होगी? आपने इसे कैसे ात कया? gl
नीचे द गई आकृ त के अनुसार व्यव त करती ह। क्या आप अनुमान लगा सकते ह क उन्ह

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दाद माँ क दरी। जो चौकोर टु कड़े वे पहले ही लगा चुक ह, वे गुलाबी रंग म दखाए गए ह।

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omचौकोर टुकड़ क आवश्यकता होगी। l

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई AglaSem · NCERT Solutions

लंबाई 6 टु कड़ े, चौड़ ाई 4 टु कड़ े

दाद माँ ने ऊपर क पं क्त और बाईं ओर का स्तंभ लगा दया है। पूरे आयत के लए 6 × 4 = 24 टु कड़े चा हए।

1. दे खए उन्ह ने क्या लगा दया है। ऊपर क पं क्त म 4 टु कड़े ह, अत: हर पं क्त म 4 टु कड़े आएँगे।
2. बाईं ओर का स्तंभ दे खए। उसम 6 टु कड़े ह, अत: कुल 6 पं क्तयाँ ह गी।
3. पूरा गनने क जरूरत नह । 4-4 टु कड़ क 6 पं क्तयाँ यानी 6 × 4।
4. गुणा क जए। 6 × 4 = 24 टु कड़े।

एक पंिक्त में टु क ड़ े = 4

पंिक्तयों की संख्या = 6

कु ल टु क ड़ े = 6 × 4 = 24 टु क ड़े

दरी का ेत्रफल = 6 से.मी. × 4 से.मी. = 24 वग से.मी.

दो भुजाएँ ही काफ क्य ह: दाद माँ ने एक पूरी पं क्त और एक पूरा स्तंभ लगा दया है। पं क्त बताती है क
आयत कतना चौड़ा है; स्तंभ बताता है क कतना ऊँचा। बाक हर पं क्त पहली क नकल होगी, इस लए और कुछ
गनने क जरूरत नह ।

स्वयं जाँ चए: जोड़कर दे खए। 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24। वही उत्तर, पर गुणा बहुत तेज़ था।

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प्र.3 क्या आपने ध्यान दया क आयत क एक भुजा क लंबाई 6 है और अन्य भुजा क लंबाई (आयत क चौड़ाई) 4
है?

हाँ। जस 6 से हमने गुणा कया वह दरी क लंबाई है और 4 उसक चौड़ाई।

1. एक पं क्त म टु कड़ क संख्या उतनी ही है जतने सट मीटर लंबी भुजा म ह। यहाँ 6।
2. पं क्तय क संख्या उतनी ही है जतने सट मीटर छोट भुजा म ह। यहाँ 4।
3. अत: ‘पं क्तयाँ × एक पं क्त के टु कड़े’ वास्तव म ‘लंबाई × चौड़ाई’ ही है।

पंिक्तयाँ × एक पंिक्त के टु क ड़ े = 6 × 4 = 24 टु क ड़ े
लंबाई × चौड़ ाई = 6 से.मी. × 4 से.मी. = 24 वग से.मी.

वही संख्याएँ, वही उत्तर

दोन तरीके मेल क्य खाते ह: हर टु कड़ा 1 से.मी. चौड़ा है। अत: एक पं क्त म 6 टु कड़े रखने से पं क्त 6 से.मी.
लंबी हो जाती है, और 4 पं क्तयाँ जमाने से दरी 4 से.मी. ऊँची। इस लए टु कड़े गनने और स्केल से नापने — दोन से
एक ही संख्या आनी ही चा हए।

नए शब्द: आयत क बड़ी भुजा लंबाई कहलाती है और छोट भुजा चौड़ाई।

प्र.4 पूव म दए गए उदाहरण को दे खए एवं जाँ चए क क्या आयत क लंबाई व चौड़ाई का गुणनफल उसी क्षेत्रफल
के समान है जसक गणना आपने वग जाल के खान को गनकर क थी।

हाँ — इस अध्याय के हर आयत म लंबाई × चौड़ाई से ठ क वही क्षेत्रफल आता है जो हमने गनकर नकाला था।

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आयत गनकर नकाला क्षेत्रफल लंबाई × चौड़ाई मेल?

मेज 3 (पष्ृ ठ 143) 8 वग इकाई 4×2=8 ✓
आयत क (पष्ृ ठ 145) 12 वग इकाई 3 × 4 = 12 ✓
आयत ख (पष्ृ ठ 145) 8 वग इकाई 2×4=8 ✓
आयत ग (पष्ृ ठ 145) 10 वग इकाई 2 × 5 = 10 ✓
उ ान क (पष्ृ ठ 145) 10 वग से .मी. 2 × 5 = 10 ✓
उ ान ख (पष्ृ ठ 145) 12 वग से .मी. 4 × 3 = 12 ✓
चटाई (क) (पष्ृ ठ 147) 10 टुक ड़े 5 × 2 = 10 ✓
चटाई (ख) (पष्ृ ठ 147) 12 टुक ड़े 4 × 3 = 12 ✓
आकृ ित (क) (पष्ृ ठ 149) 18 वग से .मी. 9 × 2 = 18 ✓

हमेशा मेल क्य खाता है: गुणा बराबर पं क्तयाँ गनने का छोटा रास्ता ही है। चूँ क जाल पर बना हर आयत बराबर
पं क्तय से बना होता है, इस लए छोटा रास्ता धीमी गनती से अलग उत्तर दे ही नह सकता।

याद र खए: आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। जब पक्का करना हो तो वग ग नए; जब जल्द करनी हो तो
गुणा क जए।

आयत से वग तक — पृष्ठ 151
प र म त = 2 × लंबाई + 2 × चौड़ाई, और जब सभी भुजाएँ बराबर ह तो क्या होता है

प्र.1 क्या होगा य द आयत क सभी भुजाएँ समान ह अथात वग बनने क त म क्या होगा?

आयत वग बन जाएगा और दोन सूत्र छोटे हो जाएँगे।

1. आयत से शुरू क जए। ेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, और प र म त = 2 × लंबाई + 2 × चौड़ाई।
2. चार भुजाएँ बराबर कर द जए। अब चौड़ाई भी लंबाई के बराबर है।
3. ‘चौड़ाई’ क जगह ‘लंबाई’ रख द जए। ेत्रफल हो गया लंबाई × लंबाई। प र म त हो गई लंबाई + लंबाई + लंबाई + लंबाई,
यानी 4 × लंबाई।

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आयत

ेत्रफल = लंबाई × चौड़ ाई

पिरिमित = 2 × लंबाई + 2 × चौड़ ाई

वग

ेत्रफल = लंबाई × लंबाई

पिरिमित = 4 × लंबाई

छोटे नयम क्य चल जाते ह: वग कोई अलग तरह क आकृ त नह है — वह ऐसा आयत है जसक चार भुजाएँ
संयोग से बराबर ह। इस लए आयत का हर नयम वहाँ भी चलता है। बस उसे और सरल लखा जा सकता है, क्य क
दो के बजाय एक ही माप याद रखना पड़ता है।

इसी पृष्ठ के 6 से.मी. × 4 से.मी. आयत के लए भी: ेत्रफल = 6 × 4 = 24 वग से.मी., और प र म त = 2 × 6
+ 2 × 4 = 12 + 8 = 20 से.मी.।

प्र.2 आइए एक वग के वषय म सोचते ह जसक भुजाएँ 5 इकाई लंबी ह। (उसका क्षेत्रफल और प र म त ात
क जए।)

क्षेत्रफल = 25 वग से.मी.। प र म त = 20 से.मी.।

5 भुजा वाला वग

ेत्रफल = 5 × 5 = 25 वग से.मी.
पिरिमित = 4 × 5 = 20 से.मी.

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई
a g l AglaSem · NCERT Solutions

1. जाल पर वग बनाइए। चौड़ाई म 5 वग और लंबाई म 5 वग।
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2. क्षेत्रफल ात क जए। हर पं क्त म 5 वग इकाई और 5 पं क्तयाँ, अत: 5 × 5 = 25 वग इकाई।
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3. प र म त ात क जए। चार भुजाओं पर च लए: 5 + 5 + 5 + 5, यानी 4 × 5 = 20।

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4. मात्रक ल खए। ेत्रफल वग से.मी. म नापा जाता है; प र म त से.मी. म।

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वग का ेत्रफल = लंबाई × लंबाई

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ेत्रफल = 5 × 5
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ेत्रफल = 25 वग से.मी.

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वग की पिरिमित = लंबाई + लंबाई + लंबाई + लंबाई

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पिरिमित = 4 × लंबाई = 4 × 5
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पिरिमित
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क्षेत्रफल और प र म त के मात्रक अलग क्य ह: प र म त एक लंबाई है — ऐसा धागा जसे सीधा ख चा जा सके,

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इस लए वह से.मी. म नपती है। ेत्रफल ढकने क
e mमात्रा है — 1-1 से.मी. के कतने छोटे वग, इस लए वह वग से.मी.
म नपता है। ेत्रफल के लए ‘25 से.मी.’la
a g कभी मत ल खए और प र म त के लए ‘20 वग से.मी.’ कभी मत
ल खए।

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m a s em कनारे क छोट
स्वयं जाँ चए: चत्र के वग ग नए — पाँच पं क्तयाँ, हर एक म पाँच। 25 आएँगे। अब बाहरी
coग नए — हर भुजा पर पाँच, कुल 20।
भुज.ाएँ
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आइए करके दे ख — पृष्ठ 151–153
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अपनी कक्षा का फश, जाल पर पाँच आकृ तयाँ, रोज़मरा क वस्तुए ँ और तीन शा ब्दक प्रश्न

आइए करके दे ख
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अपनी कक्षा के फश का क्षेत्रफल वग मीटर म ात क जए। फश क लंबाई व चौड़ाई मापने के लए अपने शक्षक
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प्र.1

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क सहायता ली जए। कक्षा के फश क प र म त कतनी है?
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मापक फ ते से दोन भुजाएँ ना पए, फर क्षेत्रफल के लए गुणा और प र म त के लए चार भुजाओं का जोड़ क जए।

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प्राय: एक क ा लगभग 8 मी. × 6 मी. क होती है, जससे ेत्रफल 48 वग मी. और प र म त 28 मी. आती है।
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s e m के साथ फश पर र खए। मान ली जए 8 मी. आया।
1. लंबाई ना पए। मापक फ ते को लंबी द वार
a पए। मान ली जए 6 मी. आया।
2. चौड़ाई ना पए। अब छोट द वारlना
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3. क्षेत्रफल नका लए। ेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 8 × 6 = 48 वग मी.।

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4. प र म त नका लए। प र म त = 8 + 6 + 8 + 6 = 28 मी., या 2 × (8 + 6) = 2 × 14 = 28 मी.।

फश की लंबाई = 8 मी.

फश की चौड़ ाई = 6 मी.
ेत्रफल = 8 मी. × 6 मी. = 48 वग मी.

पिरिमित = 2 × (8 + 6) = 2 × 14 = 28 मी.

मात्रक वग मीटर क्य , वग सट मीटर क्य नह : क ा के फश म 1 से.मी. के हजार वग लगगे — इतने क
सोचना ही क ठन हो जाए। इस लए हम बड़ी टाइल लेते ह: 1 मी. × 1 मी. का वग। वग मीटर म गनने से संख्या
छोट और समझ म आने लायक रहती है।

नमूना उत्तर: “हमारी क ा का फश 8 मी. लंबा और 6 मी. चौड़ा है। उसका ेत्रफल 48 वग मी. और प र म त 28
मी. है।” अपनी क ा नापकर अपनी संख्याएँ ल खए।

प्र.2 नीचे द गई आकृ तय का क्षेत्रफल और प र म त ात क जए। (क)

(क)

____ से.मी.

____ से.मी.

1 से.मी. वग जाल पर आकृ त (क)। इसक दोन भुजाएँ मा पए।

आकृ त (क) 6 से.मी. भुजा वाला वग है। क्षेत्रफल = 36 वग से.मी.। प र म त = 24 से.मी.।

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आकृित (क): 6 से.मी. × 6 से.मी.

छह-छह वग क छह पं क्तयाँ। चार भुजाएँ बराबर ह, अत: यह वग है।

1. नीचे क ओर ग नए। 6 वग, अत: लंबाई 6 से.मी.।
2. बगल म ऊपर ग नए। 6 वग, अत: चौड़ाई भी 6 से.मी.।
3. क्षेत्रफल। 6 × 6 = 36 वग से.मी.।
4. प र म त। चार भुजाएँ 6-6 से.मी., अत: 4 × 6 = 24 से.मी.।

ेत्रफल = 6 से.मी. × 6 से.मी. = 36 वग से.मी.

पिरिमित = 4 × 6 से.मी. = 24 से.मी.

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प्र.3 नीचे द गई आकृ तय का क्षेत्रफल और प र म त ात क जए। (ख)

(ख)

____ से.मी.

____ से.मी.

1 से.मी. वग जाल पर आकृ त (ख)। इसक दोन भुजाएँ मा पए।

आकृ त (ख) 4 से.मी. चौड़ा और 7 से.मी. ऊँचा आयत है। क्षेत्रफल = 28 वग से.मी.। प र म त = 22 से.मी.।

आकृित (ख): चौड़ ाई 4 से.मी., ऊँचाई 7 से.मी.

चार-चार वग क सात पं क्तयाँ।

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1. चौड़ाई म ग नए। 4 वग → 4 से.मी.।
2. ऊँचाई म ग नए। 7 वग → 7 से.मी.।
3. क्षेत्रफल। 4 × 7 = 28 वग से.मी.।
4. प र म त। 2 × (4 + 7) = 2 × 11 = 22 से.मी.।

ेत्रफल = 4 से.मी. × 7 से.मी. = 28 वग से.मी.

पिरिमित = 2 × (4 + 7) = 22 से.मी.

स्वयं जाँ चए: बाहरी रेखा पर च लए: 4 + 7 + 4 + 7 = 22। छोटे रास्ते से भी वही उत्तर।

प्र.4 नीचे द गई आकृ तय का क्षेत्रफल और प र म त ात क जए। (ग)

(ग)

____ से.मी.

____ से.मी.

1 से.मी. वग जाल पर आकृ त (ग)। इसक दोन भुजाएँ मा पए।

आकृ त (ग) 12 से.मी. लंबा और 4 से.मी. चौड़ा आयत है। क्षेत्रफल = 48 वग से.मी.। प र म त = 32 से.मी.।

आकृित (ग): चौड़ ाई 12 से.मी., ऊँचाई 4 से.मी.

बारह-बारह वग क चार पं क्तयाँ।

1. चौड़ाई म ग नए। 12 वग → 12 से.मी.।

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क ा 5 ग णत अध्याय 11 दाद माँ क रजाई
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2. ऊँचाई म ग नए। 4 वग → 4 से.मी.।
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3. क्षेत्रफल। 12 × 4 = 48 वग से.मी.।
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4. प र म त। 2 × (12 + 4) = 2 × 16 = 32 से.मी.।

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a gेत्रlफल = 12 से.मी. × 4 से.मी. = 48 वग से.मी.
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पिरिमित = 2 × (12 + 4) = 32 से.मी.
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आकृ त (क) से तुलना: आकृ त (क) क gप र म त 24 से.मी. और ेत्रफल 36 वग से.मी. है। आकृ त (ग) क
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प र म त भी अ धक है, 32 से.मी., और ेत्रफल भी। पर पृष्ठ 148 वाली बात याद र खए — ऐसा हमेशा नह होता।

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नीचे द गई आकृ तय का क्षेत्रफल और प र म त ात क जए। (घ)

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____ से.मी.

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____ से.मी.
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1 से.मी. वग जाल पर आकृ त (घ)। इसक दोन भुजाएँ मा पए।

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आकृ त (घ) 3 से.मी. भुजा वाला वग है। क्षेत्रफल = 9 वग से.मी.। प र म त = 12 से.मी.।

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