NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 3 संख्याओं का खेल

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा6

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 3: संख्याओं का खेल

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत प्रकाश

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

55 – 73 20 78 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 60 pages

कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

कक्षा 6 · ग णत · ग णत प्रकाश

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 3: संख्याओं का खेल
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल (NCERT पाठ्यपुस्तक ग णत प्रकाश) के सभी प्रश्न के वस्तृत हल। पृष्ठ 57 से 73 तक के प्रत्येक
आइए, पता लगाएँ प्रश्न तथा सभी पाठ्य प्रश्न — महाकोष्ठ, संख्या रेखा, अंक का योग, पै ल ोम, कापरेकर रांक 6174, कोलाट् ज़ अनुमान,
आकलन एवं जीतने क यु क्तयाँ — चरण-दर-चरण हल कए गए ह।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत प्रकाश (कक्षा 6) 55 – 73

खं ड प्रश्न

20 78

माध्यम

हन्द

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 55 एवं 56
अनुभाग 3.1 संख्याएँ हम कुछ बता सकती ह

ग णत चचा

प्र.1 व भन्न प र तय के वषय म सो चए, जहाँ हम संख्याओं का उपयोग करते ह। पाँच व भन्न प र तय क
सूची बनाइए, जहाँ हम संख्याओं का उपयोग करते ह। अपने सहपा ठय ारा बनाई गई सूची को दे खए, उसे
साझा क जए तथा उस पर चचा क जए।

संख्याएँ हमारे चार ओर ह। पाँच प र तयाँ जनम हम प्र त दन संख्याओं का उपयोग करते ह:

1. समय बताने म — व ालय क घंट 8:30 बजे, 40 मनट का कालांश, 6:15 पर छू टने वाली रेलगाड़ी।
2. पैस म — एक प्लेट समोसे के ₹20, बाक पैसे गनना, जेब-खच क बचत।
3. मापने म — अपनी लंबाई सट मीटर म, 2 कलो ाम प्याज, 1 लीटर दूध।
4. गनती और अंक म — कक्षा म 42 ब े, 100 म से 87 अंक, एक गद पर 6 रन।
5. पते और कोड म — मकान संख्या 14, पन कोड 110016, 10 अंक का मोबाइल नंबर, बस माग 236।

ग णत चचा: ध्यान द जए क ये संख्याएँ अलग-अलग काम करती ह। ₹20 और 2 क ा मात्रा बताते ह, 42 ब े
गनती बताते ह, परंतु पन कोड या बस माग केवल पहचान बताते ह — दो पन कोड को कभी जोड़ा नह जाता!

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प्र.2 आपके वचार से इन संख्याओं का क्या अथ होगा? (उ ान म कुछ ब े एक पं क्त म खड़े ह और बोलते ह — 0,
2, 1, 1, 0, 2, 1, 0)

प्रत्येक ब ा यह बता रहा है क उसके बगल म खड़े ब म कतने उससे लंबे ह।

बच्चा 0 कहता है → कोई भी पड़ ोसी उससे लंबा नही ं

बच्चा 1 कहता है → ठीक एक पड़ ोसी उससे लंबा है

बच्चा 2 कहता है → दोनों पड़ ोसी उससे लंबे है ं

पृष्ठ 55 के चत्र को दे खकर स्वयं जाँ चए। पहली ब ी ‘0’ कहती है क्य क उसका केवल एक पड़ोसी है और वह उससे छोटा है।
दूसरी सबसे छोट ब ी ‘2’ कहती है क्य क उसके दोन ओर खड़े ब े उससे लंबे ह। बीच म खड़ा लंबा लड़का ‘0’ कहता है
क्य क उसके दोन पड़ोसी उससे छोटे ह।

ऐसा क्य होता है: पं क्त के सरे पर खड़े ब े का केवल एक ही पड़ोसी होता है, अत: सरे वाला ब ा केवल 0 या
1 ही कह सकता है — 2 कभी नह ।

प्र.3 क्या आप समझ पाए क ये संख्याएँ क्या दशाती ह? संकेत— क्या उनक ऊँचाइय का यहाँ कोई योगदान है?
(अब ब े पुन: व्यव त होकर बोलते ह — 1, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 0)

हाँ — संख्याएँ फर से यही बताती ह क प्रत्येक ब े के कतने पड़ोसी उससे लंबे ह। ब ने केवल अपना ान बदला है, नयम
वही है।

ब ा (बाएँ से दाएँ) 1 2 3 4 5 6 7 8

बोली गई संख्या 1 0 2 0 1 2 1 0

दूसरा ब ा समूह म सबसे लंबा है, इस लए वह 0 कहता है। उसके बगल वाला ब ा अपने दोन पड़ो सय से छोटा है, इस लए वह
2 कहता है।

स्वयं जाँ चए: बोली गई सभी संख्याओं को जो ड़ए। यहाँ 1 + 0 + 2 + 0 + 1 + 2 + 1 + 0 = 7 है, जो 8 ब से
एक कम है। जब सभी ब क ऊँचाइयाँ भन्न ह , तो यह सदै व होता है — आजमाइए!

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 56

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अनुभाग 3.1 संख्याएँ हम कुछ बता सकती ह

ग णत चचा

प्र.1 क्या ब े अपने आपको इस प्रकार पुन: व्यव त कर सकते ह क अंत म खड़े ब े ‘2’ कह सक?

नह , यह संभव नह है।

ऐसा क्य : पं क्त के सरे पर खड़े ब े का केवल एक ही पड़ोसी होता है — बाहर क ओर कोई नह होता। ‘2’
कहने का अथ है “मेरे दोन पड़ोसी मुझसे लंबे ह”, परंतु सरे वाले ब े के दो पड़ोसी होते ही नह । अत: सरे पर
खड़ा ब ा केवल 0 या 1 ही कह सकता है।

प्र.2 क्या हम ब को एक पं क्त म इस प्रकार खड़ा कर सकते ह क सभी ‘0’ कह सक?

हाँ — परंतु केवल तभी जब सभी ब क ऊँचाई समान हो।
य द सभी बराबर लंबे ह तो कसी का भी कोई पड़ोसी उससे लंबा नह होगा, अत: प्रत्येक ब ा 0 कहेगा।

और कोई व्यव ा क्य नह चलेगी: मान ली जए ऊँचाइयाँ समान नह ह। पं क्त के सबसे छोटे ब े को दे खए।
उसके बगल म खड़ा ब ा उससे लंबा होगा ही, अत: वह 1 या 2 कहेगा — 0 नह ।

प्र.3 क्या दो साथ खड़े ब े समान संख्या कह सकते ह?

हाँ। साथ खड़े दो ब े सरलता से एक ही संख्या कह सकते ह।
पृष्ठ 55 के पहले चत्र को दे खए — ब े 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 0 कहते ह, जसम तीसरा और चौथा ब ा दोन ‘1’ कहते ह।
य द ब े बढ़ती ऊँचाई के क्रम म खड़े ह तो ऐसा होता है:

सबसे छोटा → उससे लंबा → उससे लंबा → उससे लंबा → सबसे लंबा

बोली गई संख्याएँ: 1, 1, 1, 1, 0

यहाँ पहले चार ब म से प्रत्येक का दाईं ओर वाला पड़ोसी उससे लंबा है।

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a g l AglaSem · NCERT Solutions

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m.
एक समूह म भन्न ऊँचाइय वाले 5 ब े ह। क्या वे इस प्रकार खड़े हो सकते ह क उनम से चार ‘1’ कह तथा
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प्र.4

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आ खरी ‘0’ कह? क्य या क्य नह ?

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हाँ, ऐसा हो सकता है। ब को ऊँचाई के बढ़ते क्रम म खड़ा क जए — सबसे छोटे से सबसे लंबे तक।

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बच्चे छोटे.cसे
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l s म से प्रत्येक का ठ क एक पड़ोसी लंबा है, अत: वे 1 कहते ह; सबसे लंबा ब ा 0
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भन्न ऊँचाइय वाले पाँच ब े बढ़ते क्रम म। पहले
कहता है।

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m बाईं ओर वाला (य द
म से प्रत्येक का दाईं ओर वाला पड़ोसी लंबा हैeऔर
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यह क्य काम करता है: पहले चार ब
छोटा है — अथात् ठ क एक लंबा पड़ोसी। सबसे लंबा ब ा सरे पर खड़ाgहैlऔर उससे लंबा कोई नह , अत:
है तो)co
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वह 0 कहता है ।

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प्र.5 क्या 5 ब के इस समूह म 1, 1, 1, 1, 1 का अनुक्रम संभव है?

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co m
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नह , यह संभव नह है।

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ऐसा क्य : समूह के सबसे लंबे ब े के वषय म सो चए। उससे लंबा कोई नह है, अत: वह पं क्त म कह भी खड़ा
m हो, उसे 0 ही कहना पड़ेगा। इस लए अनुक्रम म कह न कह ‘0’ आएगा ही, और पाँच ब े कभी 1 नह कह
l a se
ag
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सकते।

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m . co agl
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संकेत: यही तक बताता है क भन्न ऊँचाइय वाले कतने भी ब का अनुक्रम कभी पूरा 1 या पूरा 2 नह हो

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सकता — सबसे लंबे ब े के पर 0 सदै व आएगा।

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m .
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प्र.6 क्या अनुक्रम 0, 1, 2, 1, 0 संभव है? क्य या क्य नह ?

हाँ, यह संभव है। ब को इस प्रकार खड़ा क जए क दो सबसे लंबे ब े दोन सर पर ह और सबसे छोटा बीच म हो।

0
0
1
1
2

सबसे लंबे बच्चे िसरों पर, सबसे छोटा बीच में
ऊँचाइयाँ बीच क ओर घटती ह और फर बढ़ती ह। बीच वाला ब ा अपने दोन पड़ो सय से छोटा है, अत: वह 2 कहता है।

मान ली जए बाएँ से दाएँ ऊँचाइयाँ (सेमी म) 150, 140, 120, 130, 145 ह:

150 → दाईं ओर 140 छोटा है → 0

140 → 150 लंबा, 120 छोटा → 1

120 → 140 और 130 दोनों लंबे → 2

130 → 120 छोटा, 145 लंबा → 1

145 → 130 छोटा → 0

प्र.7 आप 5 ब को कस प्रकार व्यव त करगे क अ धक से अ धक ब े ‘2’ कह सक?

पाँच म से अ धक से अ धक दो ब े ‘2’ कह सकते ह। दो सबसे छोटे ब को दूसरे और चौथे ान पर खड़ा क जए, जससे
उनके दोन ओर लंबे ब े ह :

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0
0
0

2
2

छोटे बच्चे दू सरे और चौथे स्थान पर
ऊँचाइयाँ 145, 120, 150, 125, 140। दूसरा और चौथा ब ा अपने दोन पड़ो सय से छोटे ह, अत: दोन 2 कहते ह — अनुक्रम 0, 2,
0, 2, 0 बनता है।

केवल दो ही क्य : सर पर खड़े ब े कभी 2 नह कह सकते, अत: केवल दूसरा, तीसरा और चौथा ब ा ही संभव
ह। परंतु ‘2’ कहने वाले दो ब े कभी साथ-साथ खड़े नह हो सकते — य द तीसरा ब ा 2 कहता तो दूसरा और
चौथा दोन उससे लंबे होते और स्वयं 2 नह कह पाते। इस लए सव त्तम त दूसरे और चौथे ब े क है: 2 ब े।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 57 एवं 58
अनुभाग 3.2 महाकोष्ठ (Supercells)

ग णत चचा प्रयास कर

प्र.1 नीचे द गई सारणी म महाकोष्ठ को रंगीन या च त क जए।

6828 670 9435 3780 3708 7308 8000 5583 52

पृष्ठ 57 पर छपी नौ कोष्ठ वाली सारणी।

कोई कोष्ठ महाकोष्ठ तब होता है जब उसक संख्या उसके साथ लगे कोष्ठ क संख्याओं से बड़ी हो। प्रत्येक संख्या क तुलना उसके
बाएँ और दाएँ पड़ोसी से क जए:

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कोष्ठ 6828 670 9435 3780 3708 7308 8000 5583 52

पड़ोसी 670 6828, 670, 9435, 3780, 3708, 7308, 8000, 5583
9435 3780 3708 7308 8000 5583 52

महाकोष्ठ? हाँ नह हाँ नह नह नह हाँ नह नह

उत्तर: 6828, 9435 तथा 8000 महाकोष्ठ ह।

52 महाकोष्ठ क्य नह : इसका केवल एक पड़ोसी 5583 है, परंतु 52 उससे छोट है। दूसरे सरे पर 6828 का भी
केवल एक पड़ोसी (670) है, पर 6828 उससे बड़ी है — इस लए 6828 महाकोष्ठ है।

प्र.2 नीचे द गई सारणी को चार अंक वाली संख्याओं से इस प्रकार भ रए क प्रत्येक रंगीन कोष्ठ ही महाकोष्ठ हो।

5346 1258 9635

पृष्ठ 57 पर छपी पं क्त — दूसरा, चौथा और नौवाँ कोष्ठ रंगीन ह तथा तीन संख्याएँ पहले से भरी ह।

रंगीन कोष्ठ दूसरा, चौथा और नौवाँ ह। अत: ठ क इन्ह तीन कोष्ठ क संख्याएँ अपने पड़ो सय से बड़ी होनी चा हए, अन्य कसी
क नह ।

कोष्ठ 1 2 ✓ 3 4 ✓ 5 6 7 8 9 ✓
संख्या 5346 5678 1000 1258 1100 1200 1300 9635 9800

तीन रंगीन कोष्ठ क जाँच:

5678 > 5346 तथा 5678 > 1000 ✓

1258 > 1000 तथा 1258 > 1100 ✓

9800 > 9635 (इसका एकमात्र पड़ ोसी) ✓

कोई अन्य कोष्ठ महाकोष्ठ नह बनता: 1300 < 9635, 9635 < 9800, 1200 < 1300, इत्या द।

संकेत: अं तम कोष्ठ रंगीन है और उसका एकमात्र पड़ोसी 9635 है, अत: वहाँ 9636 से 9999 तक क कोई भी
संख्या लखी जा सकती है।

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प्र.3 नीचे द गई सारणी को इस प्रकार भ रए क हम अ धक से अ धक महाकोष्ठ प्राप्त ह । बना दोहराए 100 से
1000 के बीच क संख्याओं का उपयोग क जए।

पृष्ठ 57 पर छपी नौ रक्त कोष्ठ वाली सारणी।

सारणी म 9 कोष्ठ ह, अत: बड़ी संख्याएँ पहले, तीसरे, पाँचव, सातव और नौव कोष्ठ म तथा छोट संख्याएँ बीच म ल खए:

कोष्ठ 1 ✓ 2 3 ✓ 4 5 ✓ 6 7 ✓ 8 9 ✓
संख्या 500 100 600 200 700 300 800 400 900

500 > 100 ✓ 600 > 100, 200 ✓ 700 > 200, 300 ✓ 800 > 300, 400 ✓ 900 > 400 ✓

सभी नौ संख्याएँ भन्न ह और 100 से 1000 के बीच ह। इस प्रकार 5 महाकोष्ठ प्राप्त होते ह, जो 9 कोष्ठ म अ धकतम संभव है।

प्र.4 उपरोक्त सारणी म 9 संख्याओं म से कतने महाकोष्ठ ह?

प्रश्न 3 वाली नौ कोष्ठ क सारणी — वही, जसे आपने 100 से 1000 के बीच क संख्याओं से भरा था।

5 महाकोष्ठ — पहले, तीसरे, पाँचव, सातव और नौव कोष्ठ क संख्याएँ।

अ धकतम 5 ही क्य : दो महाकोष्ठ कभी साथ-साथ नह हो सकते (दो पड़ो सय म केवल बड़ी संख्या ही जीतती
है)। अत: दो महाकोष्ठ के बीच कम से कम एक साधारण कोष्ठ होना ही चा हए। 9 कोष्ठ क पं क्त म एक-एक कोष्ठ
छोड़कर अ धक से अ धक 1, 3, 5, 7, 9 — अथात् 5 कोष्ठ ही चुने जा सकते ह।

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mऔर अपनी
भन्न संख्याओं के कोष्ठ म कतने महाकोष्ठ संभव ह? क्या आपको इनम कोई पैटन दखाई दे ता है? द गई सारणी
को भरने का वह कौन-सा तरीका होगा जससे हम अ धक से अ धक महाकोष्ठ प्राप्त ह ? ढूँ eढ़ए
प्र.5

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coसाझा क जए।
योजना.को
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उत्तरgl

co m
बड़ी संख्याएँ पहले, तीसरे, पाँचव … कोष्ठ म (एक-एक छोड़कर) और छोट संख्याएँ बीच म भ रए। तब:

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कोष्ठ क संख्या 2 3
g l as 5 6 7 8 9 10

अ धकतम महाकोष्ठ 1
a 2 2 3 3 4 4 5 5

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पैटन:
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यिद कोष्ठों की संख्या n सम है → अिधकतम महाकोष्ठ = n ÷ 2
a g यिद कोष्ठों की संख्या n िवषम है → अिधकतम महाकोष्ठ = (n + 1) ÷ 2

m a s
em
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यही सव त्तम क्य है: दो साथ लगे कोष्ठ एक साथ महाकोष्ठ नह हो सकते। अत: दो महाकोष्ठ के बीच कम से कम
एक कोष्ठ चा हए। 1, 3, 5, 7 … चुननेgसेl वे जतना पास-पास हो सकते ह, उतने पास-पास आ जाते ह।
a

co m
ग णत चचा: 6 कोष्ठ पर आजमाइए — 600, 100, 700, 200, 800, 300 म पहले, तीसरे और पाँचव कोष्ठ
m .
m as e
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महाकोष्ठ ह, अथात् 6 ÷ 2 = 3 महाकोष्ठ।
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प्र.6 क्या आप संख्याओं को बना दोहराए एक रक्त महाकोष्ठ सारणी को इस प्रकार भर सकते ह क उसम कोई
se m
com g l a
.
महाकोष्ठ न हो? क्य या क्य नह ?

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नह — यह असंभव है। कम से कम एक महाकोष्ठ सदै व बनेगा।

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ऐसा क्य : सारणी म लखी गई सबसे बड़ी संख्या को दे खए। कोई संख्या दोहराई नहmगई है, अत: उस कोष्ठ के
omपड़ो सय म उससे छोट संख्याएँ ही ह गी। इस लए वह कोष्ठ अपने सभी
cसभी a सय से बड़ा है — वह कह भी
glपड़ो
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a s em हो, महाकोष्ठ ही होगा।
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m .
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प्रयास कर: एक पं क्त म कोई 5 भन्न संख्याएँ ल खए और सबसे बड़ी संख्या ढूँ ढ़ए। वह हर बार महाकोष्ठ मलेगी।
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a

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प्र.7 क्या एक सारणी म सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, हमेशा महाकोष्ठ होगा? क्या एक सारणी म सबसे छोट संख्या
वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ हो सकता है? क्य या क्य नह ?

सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ सदै व महाकोष्ठ होगा। सबसे छोट संख्या वाला कोष्ठ कभी महाकोष्ठ नह हो सकता (य द
सारणी म एक से अ धक कोष्ठ ह )।

सबसे बड़ी संख्या: सारणी क हर दूसरी संख्या उससे छोट है, अत: उसके सभी पड़ोसी भी छोटे ह। सभी पड़ो सय से बड़ा
होना ही महाकोष्ठ क प रभाषा है।
सबसे छोट संख्या: उसके प्रत्येक पड़ोसी म बड़ी संख्या है, अत: वह तुलना म तुरंत हार जाती है।

संकेत: इसी कारण प्रश्न 6 का उत्तर “नह ” है — प्रत्येक सारणी म उसक सबसे बड़ी संख्या होती ही है और वह
कोष्ठ सदै व महाकोष्ठ होता है।

प्र.8 एक सारणी को इस प्रकार से भ रए क दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, महाकोष्ठ न हो।

बस दूसरी सबसे बड़ी संख्या को सबसे बड़ी संख्या के ठ क बगल म लख द जए।

कोष्ठ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

संख्या 110 120 130 140 150 160 170 190 180

सबसे बड़ ी = 190 (कोष्ठ 8) → महाकोष्ठ

दू सरी सबसे बड़ ी = 180 (कोष्ठ 9), इसका एकमात्र पड़ ोसी 190 है

180 < 190, अत: 180 महाकोष्ठ नही ं है ✓

प्र.9 एक सारणी को इस प्रकार से भ रए क दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला कोष्ठ, महाकोष्ठ न हो, ले कन दूसरी सबसे
छोट संख्या वाला कोष्ठ एक महाकोष्ठ हो? क्या यह संभव है?

हाँ, यह संभव है। दूसरी सबसे बड़ी संख्या को सबसे बड़ी के बगल म र खए तथा दूसरी सबसे छोट संख्या को दूसरे सरे पर सबसे
छोट संख्या के बगल म र खए।

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कोष्ठ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

संख्या 120 110 130 140 150 160 170 190 180

दू सरी सबसे छोटी = 120 (कोष्ठ 1)। इसका एकमात्र पड़ ोसी 110 है और 120 > 110 → महाकोष्ठ ✓

दू सरी सबसे बड़ ी = 180 (कोष्ठ 9)। इसका एकमात्र पड़ ोसी 190 है और 180 < 190 → महाकोष्ठ नही ं ✓

यु क्त: पं क्त के सरे वाले कोष्ठ का केवल एक पड़ोसी होता है, अत: उसे नयं त्रत करना सबसे सरल है। सबसे छोट
संख्या एक सरे पर और सबसे बड़ी संख्या दूसरे सरे के पास र खए।

प्र.10 इस पहेली के अन्य रूप बनाइए और अपने सहपा ठय को चुनौती द जए।

अपने मत्र के लए ऐसी पहे लयाँ बनाइए — इन सभी म 9 कोष्ठ क एक पं क्त है:

सारणी को 3 अंक क संख्याओं से इस प्रकार भ रए क ठ क 2 महाकोष्ठ बन।
सारणी को इस प्रकार भ रए क केवल बीच वाला कोष्ठ (पाँचवाँ) ही महाकोष्ठ हो।
सारणी को इस प्रकार भ रए क दोन सर के कोष्ठ महाकोष्ठ ह , बीच का कोई नह ।
क्या 9 कोष्ठ म 6 महाकोष्ठ बनाए जा सकते ह? (उत्तर: नह — असली पहेली यह है क मत्र से कारण पू छए।)
केवल सम संख्याएँ (100 से 1000 के बीच) प्रयोग करके अ धकतम महाकोष्ठ बनाइए।

प्रयास कर: यही पहे लयाँ 2 पं क्त और 4 स्तंभ वाली सारणी के लए बनाइए। वहाँ समीपवत कोष्ठ बाएँ, दाएँ, ऊपर
और नीचे वाले होते ह।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 58 एवं 59

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अनुभाग 3.2 महाकोष्ठ — सारणी 2

प्रयास कर

प्र.1 1, 0, 6, 3 और 9 अंक का कसी भी क्रम म प्रयोग करके पाँच अंक क संख्याएँ बनाइए और सारणी 2 को पूरा
क जए। केवल रंगीन कोष्ठ म समीपवत कोष्ठ क संख्याओं से बड़ी होनी चा हए। द गई सारणी को पूरा भरकर,
हजार के अंक के बाद उपयुक्त ान पर अल्प- वराम (,) लगाइए।

96,301 36,109

13,609 60,319 19,306

60,193

10,963

पृष्ठ 58 क सारणी 2 — इसम सात संख्याएँ पहले से भरी ह और पाँच कोष्ठ रंगीन ह।

प्रत्येक संख्या म 1, 0, 6, 3, 9 अंक एक-एक बार आने चा हए। पाँच रंगीन कोष्ठ ह — पहली पं क्त का पहला व चौथा, दूसरी पं क्त
का तीसरा, तथा चौथी पं क्त का दूसरा व चौथा। एक सही हल इस प्रकार है (पुस्तक म पहले से छपी संख्याएँ धूसर रंग म ह):

96,310 96,301 36,109 39,160

96,103 13,609 60,319 19,306

13,906 10,396 60,193 60,931

10,369 10,963 10,936 69,031

पाँच रंगीन कोष्ठ (नारंगी) क जाँच:

96,310 > 96,301 तथा 96,103 ✓ (इन अंक ों से बनने वाली सबसे बड़ ी संख्या)

39,160 > 36,109 तथा 19,306 ✓

60,319 > 36,109, 13,609, 19,306 तथा 60,193 ✓

10,963 > 10,396, 10,369 तथा 10,936 ✓

69,031 > 60,931 तथा 10,936 ✓

कोई अन्य कोष्ठ अपने सभी पड़ो सय से बड़ा नह है — जैसे 96,103 अपने ऊपर वाली 96,310 से छोट है और 60,193 अपने
ऊपर वाली 60,319 से छोट है।

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संकेत: भारतीय पद्ध त म अल्प- वराम हजार के अंक के बाद लगता है, अत: 96310 को 96,310 लखते ह और
“ छयानबे हजार तीन सौ दस” पढ़ते ह।

प्र.2 सारणी म सबसे बड़ी संख्या ____________ है।

96,301 36,109

13,609 60,319 19,306

60,193

10,963

पृष्ठ 58 क सारणी 2 — इसम सात संख्याएँ पहले से भरी ह और पाँच कोष्ठ रंगीन ह।

1, 0, 6, 3, 9 अंक से बनने वाली सबसे बड़ी संख्या इन्ह घटते क्रम म लखने पर मलती है:

9 > 6 > 3 > 1 > 0 → 96,310

उत्तर: 96,310। यह सारणी 2 के ऊपर-बाएँ रंगीन कोष्ठ म है।

प्र.3 सारणी म सबसे छोट सम संख्या ________ है।

96,301 36,109

13,609 60,319 19,306

60,193

10,963

पृष्ठ 58 क सारणी 2 — इसम सात संख्याएँ पहले से भरी ह और पाँच कोष्ठ रंगीन ह।

कोई संख्या सम तभी होती है जब उसका इकाई का अंक 0 या 6 हो (2, 4, 8 यहाँ उपलब्ध नह ह)।

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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

पूरी क गई सारणी क सम संख्याएँ: 96,310 39,160 19,306 13,906 10,396 10,936।
co m
e m.
m l as
m .co
इनमें सबसे छोटी = 10,396
a g
l a se
a g
उत्तर: 10,396।

co m
m .
10,369 क्य नह : क्य क 10,369 के अंत म 9 है, जो वषम अंक है। 1, 0, 6, 3, 9 के सभी क्रम म सबसे छोट
e ag
सम संख्या 10,396 ही है।
g l as
a

co m
सारणी म 50,000 से बड़ी, सबसे छोट संख्या ____________ है।
e m.
as
प्र.4

m l
m .co a g
l a se
a g 96,301 36,109

s
13,609 60,319 19,306

om a
m .c60,193 agl
l a se
ag
10,963

पृष्ठ 58 क सारणी 2 — इसम सात संख्याएँ पहले से भरी ह और पाँच कोष्ठ रंगीन ह।
co m
m .
m as e
.co a g l
a s em
gl

a कोई संख्या 50,000 से बड़ी तभी होगी जब उसका पहला अंक 6 या 9 हो (5, 7, 8 हमारे अंक म नह ह)।

se m
com l a
सारणी क ऐसी संख्याएँ: 96,310 96,301 96,103 69,031 60,931 60,319 60,193।

. a g
m
ase
agl
इनमें सबसे छोटी = 60,193

उत्तर: 60,193।
com
m .
m as e
.co a g l
a s em प्रश्न — पृष्ठ 59
gl
पाठ्य
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 14 of 60

कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

अनुभाग 3.3 संख्या रेखा पर संख्याओं के पैटन

प्र.1 अब हम संख्या रेखा से भली-भाँ त प र चत ह। आइए, दे खते ह क क्या हम कुछ संख्याओं को संख्या रेखा पर
उनके उपयुक्त ान पर रख सकते ह। यहाँ संख्याएँ 2180, 2754, 1500, 3600, 9950, 9590, 1050, 3050,
5030, 5300 और 8400 ह।

2180

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10,000

2754

पृष्ठ 59 पर छपी संख्या रेखा, जस पर 2180 और 2754 पहले से अं कत ह।

पहले दे खए क प्रत्येक संख्या कन दो हजार के बीच आती है, फर उसे बाएँ या दाएँ चह्न के पास र खए:

संख्या कनके बीच ठ क कहाँ

1050 1000 और 2000 1000 के ठीक बाद

1500 1000 और 2000 ठीक बीचोंबीच

2180 2000 और 3000 2000 के थोड़ा बाद

2754 2000 और 3000 3000 के अिधक पास

3050 3000 और 4000 3000 के ठीक बाद

3600 3000 और 4000 बीच से थोड़ा आगे

5030 5000 और 6000 5000 के ठीक बाद

5300 5000 और 6000 5000 के पास

8400 8000 और 9000 बीच से थोड़ा पहले

9590 9000 और 10,000 बीच से थोड़ा आगे

9950 9000 और 10,000 लगभग 10,000 पर

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

1500 2754 3600 5300 9590
1050 2180 3050 5030 8400 9950

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
10,000

ग्यारह संख्याएँ संख्या रेखा पर अं कत। 1050, 3050 और 5030 जैसी संख्याएँ हजार के चह्न के बहुत पास ह; 1500 ठ क 1000 और
2000 के बीच बीच है।

संकेत: कसी संख्या को रखने के लए पहले उसका हजार का अंक दे खए — इससे दोन चह्न तय हो जाते ह।
फर सैकड़े का अंक दे खए क कतना आगे जाना है: 3600 म 6 सैकड़े ह, अत: यह 3000 और 4000 के बीच से
थोड़ा आगे आएगी।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 59
अनुभाग 3.3 संख्या रेखा पर संख्याओं के पैटन

प्र.1 नीचे द गई संख्या रेखा पर च त संख्या को पहचानकर, नीचे दए गए संख्या अनुक्रम को पूरा क जए। a. …,
2010, …, 2020, … b. …, 9996, 9997, … c. 15,077, 15,078, …, 15,083, … d. …, 86,705, 87,705,
…

पहले दो चह्न के बीच क छलाँग ज्ञात क जए, फर आगे और पीछे गनते जाइए।
a. 2010 और 2020 के बीच दो छलाँग ह, अत: 20 ÷ 2 से प्रत्येक छलाँग 5 क है:

1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035

b. 9996 और 9997 साथ-साथ ह, अत: छलाँग 1 क है:

9993 9994 9995 9996 9997 9998 9999 10,000 10,001 10,002

c. 15,077 और 15,078 साथ-साथ ह, अत: छलाँग 1 क है:

15,077 15,078 15,079 15,080 15,081 15,082 15,083 15,084 15,085 15,086

d. 86,705 और 87,705 साथ-साथ ह, अत: छलाँग 1000 क है:

83,705 84,705 85,705 86,705 87,705 88,705 89,705 90,705 91,705 92,705

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

व ध एक पं क्त म: दो ज्ञात चह्न का अंतर ÷ उनके बीच क छलाँग क संख्या = एक छलाँग। (a) म अंतर 2020
− 2010 = 10 है और छलाँग 2 ह, अत: प्रत्येक छलाँग 5 क है।

प्र.2 उपरोक्त अनुक्रम म सबसे छोट संख्या पर गोला लगाइए तथा सबसे बड़ी संख्या पर बॉक्स बनाइए।

इन सभी संख्या रेखाओं पर संख्याएँ बाएँ से दाएँ बढ़ती ह। अत: पहला चह्न सदै व सबसे छोट संख्या है और अं तम चह्न सबसे
बड़ी।

अनुक्रम सबसे छोट (गोला लगाइए) सबसे बड़ी (बॉक्स बनाइए)

a. 1990 2035

b. 9993 10,002

c. 15,077 15,086

d. 83,705 92,705

क्या आपने ध्यान दया? (b) म अनुक्रम एक बड़ा पड़ाव पार करता है — 9999 के बाद 10,000 आता है, जहाँ 4
अंक क संख्या 5 अंक क बन जाती है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 60
अनुभाग 3.4 अंक के साथ खेल

प्र.1 हम संख्याओं को 1, 2, 3, … से लखना शुरू करते ह। 1 अंक वाली 9 संख्याएँ ह। 2 अंक, 3 अंक, 4 अंक और 5
अंक वाली कुल कतनी संख्याएँ होगी ात क जए।

पहली से अं तम ऐसी संख्या तक ग नए:

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

प्रकार कससे कस तक गणना कतनी

1 अंक वाली 1–9 9−1+1 9

2 अंक वाली 10 – 99 99 − 10 + 1 90

3 अंक वाली 100 – 999 999 − 100 + 1 900

4 अंक वाली 1000 – 9999 9999 − 1000 + 1 9000

5 अंक वाली 10,000 – 99,999 99,999 − 10,000 + 1 90,000

गनती 9, 90, 900, 9000 … क्य है: 3 अंक क संख्या म पहला अंक 9 प्रकार से भरा जा सकता है (1 से 9, 0
नह ) और शेष दो अंक म से प्रत्येक 10 प्रकार से (0 से 9)। अत: 9 × 10 × 10 = 900। हर अ त रक्त अंक गनती
को 10 गुना कर दे ता है।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 60
अनुभाग 3.4 संख्याओं के अंक के योग

ग णत चचा

प्र.1 अंक का योग 14 — a. अन्य संख्याएँ ल खए जनके अंक का योगफल 14 है। b. वह सबसे छोट संख्या कौन-
सी है, जसके अंक का योगफल 14 है? c. 5 अंक क वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है, जसके अंक का
योगफल 14 है? d. वह बड़ी से बड़ी कौन-सी संख्या बनाई जा सकती है, जसके अंक का योगफल 14 है? क्या
आप इससे भी बड़ी संख्या बता सकते ह?

a. ऐसी कोई भी संख्या चलेगी जसके अंक का योग 14 हो:

59 → 5 + 9 = 14 77 → 7 + 7 = 14 86 → 8 + 6 = 14 95 → 9 + 5 = 14

158 → 1 + 5 + 8 = 14 356 → 3 + 5 + 6 = 14 806 → 8 + 0 + 6 = 14

1247 → 1 + 2 + 4 + 7 = 14 3407 → 3 + 4 + 0 + 7 = 14 22226 → 2+2+2+2+6 = 14

b. सबसे छोट संख्या 59 है।

क्य : 1 अंक वाली संख्या के अंक का योग अ धक से अ धक 9 ही हो सकता है, अत: कम से कम 2 अंक चा हए।
संख्या छोट रखने के लए दहाई का अंक जतना छोटा हो सके उतना छोटा र खए: दहाई म 5 रखने पर इकाई म 9
आता है और 5 + 9 = 14। दहाई म 4 रखने पर इकाई म 10 चा हए, जो संभव नह है।

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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

c. 5 अंक क सबसे बड़ी संख्या 95,000 है।
co m
em.
m l as
m .co
सबसे बड़ ा अंक पहले रिखए: 9
a g
l a se
g
14 − 9 = 5, अत: अगला अंक 5
aअब कुछ शेष नही ं बचा, इसिलए बाकी स्थानों पर 0 → 95,000

co m
. ag
जाँच : 9 + 5 + 0 + 0 + 0 = 14 ✓
se m
l a
g सदै व इससे भी बड़ी संख्या बना सकते ह।
d. ऐसी कोई सबसे बड़ी संख्या है ही नह —aआप

co m
e m.
95 → 9005 → 900005 → 9000000005 → 9000000000000005 …
m l as
m .co a g
a se
हर बार 5 को और दाईं ओर खसकाइए और बीच म शून्य भर द जए। शून्य योग म कुछ नह जोड़ते, अत: योग 14 ही रहता है और

a g l
संख्या बड़ी होती जाती है। इस लए सदै व इससे भी बड़ी संख्या बनाई जा सकती है।

om a s
40 से 70 तक क सभी संख्याओं के अंकm
e
. c agl
a s
का योगफल ात क जए। अपने अवलोकन को कक्षा के साथ साझा

agl
प्र.2
क जए।

co m
.

e 47m
m l as
.co a g
संख्या 40 41 42 43 44 45 46 48 49

a s eअंmक का योग
gl
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
a
संख्या 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
se m
com8 g l a
m . a
e
अंक का योग 5 6 7 9 10 11 12 13 14
s
a 62
संख्या 60
agl
61 63 64 65 66 67 68 69

m
.co
अंक का योग 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

se m
com
तथा 70 → 7 + 0 = 7।
g l a
m . a
as e अवलोकन

agl एक ही दहाई म (40–49, 50–59, 60–69) अंक का योग हर बार 1 बढ़ता है।
c
m .
s e
नई दहाई म जाते ही योग 8 घट जाता है: 49 का योग 13 है पर 50 का 5, और 59 का 14 है पर 60 का 6।

om a
. c agl
इस परास म सबसे बड़ा योग 15 (69 पर) और सबसे छोटा 4 (40 पर) है।
कुछ योग दोहराए जाते ह — 5, 6, 7, 8,m
a s e 9 एक से अ धक दहाइय म आते ह। जैसे 41 और 50 दोन का योग 5 है।

agl

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 19 of 60

कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

8 क कमी क्य : 49 से 50 जाने पर इकाई का अंक 9 से 0 हो जाता है (−9) और दहाई का अंक 4 से 5 (+1)।
कुल प रवतन −9 + 1 = −8।

प्र.3 3 अंक क उन संख्याओं का योगफल ात क जए, जनके अंक क्रमागत (जैसे– 345) ह । क्या आप उनम एक
पैटन दे खते ह? क्या यह पैटन जारी रहेगा?

संख्या अंक का योग मान 3 × बीच का अंक

123 1+2+3 6 3×2=6

234 2+3+4 9 3×3=9

345 3+4+5 12 3 × 4 = 12

456 4+5+6 15 3 × 5 = 15

567 5+6+7 18 3 × 6 = 18

678 6+7+8 21 3 × 7 = 21

789 7+8+9 24 3 × 8 = 24

पैटन: प्रत्येक योग 3 का गुणज है, और योग 3-3 करके बढ़ते ह — 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24।

ऐसा क्य होता है: य द बीच का अंक m है तो तीन क्रमागत अंक (m − 1), m, (m + 1) ह। इन्ह जोड़ने पर:

(m − 1) + m + (m + 1) = 3 × m

−1 और +1 आपस म कट जाते ह, अत: अंक का योग सदै व बीच के अंक का तीन गुना होता है — और इस लए
सदै व 3 का गुणज।

क्या पैटन जारी रहेगा? नह — इसे रुकना ही पड़ेगा। अगली संख्या के लए अंक 8, 9, 10 चा हए, परंतु 10 एक अंक नह है।
अत: 789 अं तम ऐसी संख्या है और कुल सात ही ऐसी संख्याएँ ह।

प्रयास कर: अंक को उल्टे क्रम म लखने पर भी वही सात योग मलते ह — 321, 432, 543 … जाँ चए क 987
का योग भी 24 है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 61 एवं 62

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

अंक जासूस एवं अनुभाग 3.5 आकषक वलोमाक्षर पैटन

ग णत चचा

प्र.1 1 से 100 तक क संख्याओं म, अंक ‘7’ कतनी बार आएगा? 1 से 1000 तक क संख्याओं म, अंक ‘7’ कतनी
बार आएगा?

1 से 100 तक अंक 7 कुल 20 बार आएगा। ान के अनुसार ग नए:

इकाई के स्थान पर: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 → 10 बार
दहाई के स्थान पर: 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 → 10 बार
कु ल = 10 + 10 = 20

ध्यान द जए क 77 दो बार गना गया है — और यह ठ क है, क्य क 77 लखते समय दनेश अंक 7 दो बार लखता है।
1 से 1000 तक अंक 7 कुल 300 बार आएगा।

000 से 999 तक की पत्येक संख्या को 3 अंक ों में िलिखए।

अथ त् 1000 संख्याएँ × 3 अंक -स्थान = 3000 अंक -स्थान।

0 से 9 तक के दसों अंक ों का िहस्सा बराबर है: 3000 ÷ 10 = 300

(1000 में कोई 7 नही ं है, अत: इससे कोई अंत र नही ं पड़ ता।)

दूसरी व ध: इकाई के ान पर 7 सौ बार आता है, दहाई के ान पर सौ बार और सैकड़े के ान पर सौ बार
(700–799)। कुल 100 + 100 + 100 = 300।

प्र.2 संख्याएँ 1, 2, 3 अंक का प्रयोग करके बनी कुछ पै ल ोम संख्याएँ 121, 313 और 222 ह। इन अंक क
सहायता से बनने वाली सभी तीन अंक क पै ल ो मक संख्याएँ ल खए।

तीन अंक का पै ल ोम aba रूप का होता है — पहला और अं तम अंक समान होने चा हए। यहाँ a और b दोन 1, 2 या 3 हो
सकते ह।

a के िलए 3 िवकल्प × b के िलए 3 िवकल्प = 9 पैिलंडोम

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

पहला व अं तम अंक बीच म 1 बीच म 2 बीच म 3

1 111 121 131

2 212 222 232

3 313 323 333

उत्तर: 111, 121, 131, 212, 222, 232, 313, 323, 333 — कुल नौ।

प्र.3 इसी प्र क्रया को कुछ अन्य संख्याओं के साथ भी क जए तथा इन्ह चरण को दोहराइए। क्या आपको ऐसी
संख्याएँ भी प्राप्त हुईं जहाँ आप पै ल ोम तक नह पहुँच पाएँ?

पलट व जोड़ वाले चरण स्वयं आजमाइए:

34 + 43 = 77 (1 चरण)

29 + 92 = 121 (1 चरण)

48 + 84 = 132, 132 + 231 = 363 (2 चरण)

76 + 67 = 143, 143 + 341 = 484 (2 चरण)

59 + 95 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1111 (3 चरण)

2 अंक क कसी भी संख्या से शुरू करने पर पै ल ोम सदै व मल जाता है — कुछ म केवल अ धक समय लगता है। सबसे
क ठन संख्या 89 है, जसम 24 चरण के बाद पै ल ोम 8813200023188 प्राप्त होता है!

क्या आप जानते ह? 3 अंक क संख्याओं के लए उत्तर आज भी अज्ञात है। ग णतज्ञ का अनुमान है क 196 से
शुरू करने पर कभी पै ल ोम प्राप्त नह होगा, परंतु यह आज तक सद्ध नह हो सका है।

प्र.4 2 अंक क संख्या से शुरू करके, क्या संख्या और उसके अंक को पलटने से प्राप्त संख्या (प्र तलोम) का पुन:
योग करके हमेशा पै ल ोम ही प्राप्त होता है? खो जए और ात क जए।

हाँ। 2 अंक क प्रत्येक संख्या कुछ ही चरण म पै ल ोम तक पहुँच जाती है।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

प्रारंभ चरण प्राप्त पै ल ोम

12 12 + 21 33

47 47 + 74 121

68 68 + 86 = 154; 154 + 451 = 605; 605 + 506 1111

86 86 + 68 = 154; आगे वही चरण 1111

89 89 + 98 = 187; … कुल 24 चरण 8813200023188

एक छोट यु क्त: य द संख्या के दोन अंक का योग 9 या उससे कम हो (जैसे 34 → 3 + 4 = 7), तो पहले ही
जोड़ म पै ल ोम मल जाता है, क्य क कह हा सल नह आता: 34 + 43 = 77।

ग णत चचा: 68 और 86 दोन एक ही पै ल ोम तक, एक ही रास्ते से पहुँचते ह। क्य ? क्य क संख्या और उसके
प्र तलोम को जोड़ने पर दोन म से कसी से भी शुरू कर, योग एक ही आता है।

प्र.5 पहेली — म 5 अंक का एक पै ल ोम ँ। म एक वषम संख्या ँ। मेरा दहाई का अंक, इकाई के अंक से दो गुना
है। मेरा सैकड़े का अंक, दहाई के अंक से दो गुना है। म कौन ँ? ________ (अंक को शब्द म भी ल खए)

संख्या को tth th h t u के रूप म ल खए। पै ल ोम होने के कारण अंक आमने-सामने समान होने चा हए:

tth = u तथा th = t

अत: संख्या का रूप है u t h t u

अब संकेत का एक-एक करके उपयोग क जए:

संख्या वषम है, अत: इकाई का अंक u 1, 3, 5, 7 या 9 होगा।
t = 2 × u तथा h = 2 × t = 4 × u। h को एक अंक ही रहना है, अत: 4 × u ≤ 9।
केवल u = 1 संभव है: u = 3 लेने पर h = 12 हो जाएगा, जो अंक नह है।

u=1 → t=2×1=2 → h=2×2=4

संख्या = 1 2 4 2 1 = 12,421

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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
TTH TH H T U

m l a se 1
.co ag
1 2 4 2

se m
g l a
a
उत्तर: 12,421। शब्द म — बारह हजार चार सौ इक्क स।

co m
स्वयं जाँ चए: 12421 को उल्टा पढ़ने पर भी 12421 ✓ पै ल ोम; अंत म 1 है ✓ वषम; t = 2 = 2 × 1 ✓; h =
4 = 2 × 2 ✓।
e m . ag
g l as
a

co m
m.
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 63

m ase
.co l
अनुभाग 3.6 कापरेकर क जादुई संख्या

a g
a s em4 अंक क कोई अन्य संख्या लेकर इन चरण का अनुसरण करके प्रयास क जए। पता लगाइए क क्या होता है?
a gl प्र.1
अपने मत्र के साथ जाँच क जए क उन्ह क्या संख्या प्राप्त हुई? (अं तम स्तंभ भी पूरा क जए: A = ___, B =
___, C = ___)
m a s
m.co agl
l a se
g

a
आप 4 अंक क कोई भी संख्या ल ( जसके कम से कम दो अंक भन्न ह ), आप सदै व 6174 पर पहुँचगे — इसी को कापरेकर

m
रांक कहते ह — और फर यही दोहराता रहता है।

. co
em
पुस्तक म 6382 से शुरू हुई ंखला इस प्रकार पूरी होती है:

चरण.co
m g l as
m a
ase
1 2 3 4

agl A (सबसे बड़ी) 8632 6642 7641 7641

se m
B (सबसे छोट ) 2368
com
2466 1467 1467
g l a
m . a
gl ase
C=A−B 6264 4176 6174 6174

a
अत: अं तम स्तंभ है A = 7641, B = 1467, C = 7641 − 1467 = 6174। एक बार 6174 आ जाने पर आगे भी हर बार 6174

co m
.
ही मलेगा।

em
m as
एक नई संख्या 3524 ली जए:

.co a g l
se m
g l a
a c
m .
m a s e
e m . co agl
g l as
a

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 24 of 60

कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

5432 − 2345 = 3087

8730 − 3078 = 5652

6552 − 2556 = 3996

9963 − 3699 = 6264

6642 − 2466 = 4176

7641 − 1467 = 6174 ✓

प्रयास कर: चार मत्र से अलग-अलग 4 अंक क संख्याएँ चुनने को क हए। सभी 6174 पर पहुँचगे — केवल
चरण क संख्या अलग होगी। (3333 जैसी संख्या, जसके चार अंक समान ह, 0 दे ती है और मान्य नह है।)

प्र.2 इन्ह चरण को कुछ 3 अंक वाली संख्याओं के साथ दोहराइए। कौन-सी संख्या दोहराना शुरू होगी?

3 अंक क संख्याओं के साथ आप सदै व 495 पर पहुँचते ह और फर यही दोहराता है।
321 से शुरू क जए:

321 − 123 = 198

981 − 189 = 792

972 − 279 = 693

963 − 369 = 594

954 − 459 = 495

954 − 459 = 495 ← यही दोहराता है

517 से शुरू क जए:

751 − 157 = 594

954 − 459 = 495 ✓

उत्तर: संख्या 495 दोहराना शुरू होती है। जैसे 4 अंक के लए 6174 है, वैसे ही 3 अंक के लए 495 कापरेकर रांक है।

संकेत: प्रारं भक संख्या के तीन अंक समान नह होने चा हए (111, 222 … से 0 प्राप्त होता है)।

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पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 64
अनुभाग 3.7 घड़ी और कैलडर क संख्याएँ

प्रयास कर

प्र.1 सामान्य 12 घंटे वाली घड़ी म कुछ समय म पैटन दखाई दे ता है। उदाहरण के लए— 4:44, 10:10 और 12:21।
12 घंटे क घड़ी म इस प्रकार के सभी संभव समय को ात करने का प्रयास क जए।

यहाँ तीन अलग-अलग प्रकार के पैटन ह। इन्ह एक-एक करके दे खए।
प्रकार 1 — पूरे समय म एक ही अंक (जैसे 4:44)

1:11 2:22 3:33 4:44 5:55 11:11

6:66 आगे संभव नह है, क्य क मनट 59 से अ धक नह हो सकते।
प्रकार 2 — मनट म घंटा दोहराया गया हो (जैसे 10:10)

01:01 02:02 03:03 04:04 05:05 06:06

07:07 08:08 09:09 10:10 11:11 12:12

अथात् ऐसे 12 समय।
प्रकार 3 — पै ल ोम समय, जो दोन ओर से एक जैसा पढ़ा जाए (जैसे 12:21)

01:10 02:20 03:30 04:40 05:50

10:01 11:11 12:21

06:60 संभव नह है, अत: यह सूची 05:50 पर रुक जाती है।

क्या आपने ध्यान दया? 11:11 तीन सू चय म आता है — यही एकमात्र ऐसा समय है जो दोहराया हुआ भी है,
पै ल ोम भी है और एक ही अंक से बना भी है।

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प्र.2 मनीष का जन्म दन 20/12/2012 को है, जहाँ अंक ‘2’, ‘0’, ‘1’ और ‘2’ उसी क्रम म दोहराए जाते ह। बीते
समय म इस प्रकार क कुछ अन्य त थय को ात क जए।

ऐसी त थ म वष केवल दन और महीने को दोहराता है: 20/12/2012। अत: कोई भी दन और महीना चु नए, उन्ह साथ
ल खए — वही वष है।

तथ दन व महीना बना वष

20/01/2001 20 और 01 2001

20/04/2004 20 और 04 2004

20/06/2006 20 और 06 2006

20/11/2011 20 और 11 2011

19/11/1911 19 और 11 1911

18/12/1812 18 और 12 1812

17/09/1709 17 और 09 1709

नयम: 2000 के दशक क त थ के लए दन 20 होना चा हए ( जससे वष 20 से शुरू हो) और महीना 01 से 12
तक कुछ भी। पुरानी शता ब्दय के लए दन ही शताब्द तय करता है — 19 से 19xx, 18 से 18xx।

प्र.3 उसक बहन मेघना का जन्म दन 11/02/2011 को है, इसम बाएँ से दाएँ तथा दाएँ से बाएँ अंक को एक जैसा ही
पढ़ा जाता है। बीते हुए समय से इसी प्रकार क सभी संभा वत त थय को ात क जए।

त थ को आठ अंक म ल खए: 1 1 0 2 2 0 1 1। पै ल ोम होने के लए वष को दन और महीने का उल्टा होना चा हए।
हमारी शताब्द म वष 2 और फर 0 से शुरू होता है, अत: महीना 02 (फरवरी) ही हो सकता है। इससे 2000 के दशक क सभी
पै ल ो मक त थयाँ मलती ह:

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तथ अंक म उल्टा पढ़ने पर

10/02/2001 10022001 10022001 ✓

20/02/2002 20022002 20022002 ✓

01/02/2010 01022010 01022010 ✓

11/02/2011 11022011 11022011 ✓

21/02/2012 21022012 21022012 ✓

02/02/2020 02022020 02022020 ✓

12/02/2021 12022021 12022021 ✓

22/02/2022 22022022 22022022 ✓

21व शताब्द म अब तक क ये आठ ही पै ल ो मक त थयाँ ह — और इनम से हर एक फरवरी म पड़ती है!

क्या आप जानते ह? पुराने उदाहरण भी ह: 11/11/1111 तथा 12/11/1121। 22/02/2022 के बाद अगली
पै ल ो मक त थ 03/02/2030 होगी।

प्र.4 ले कन, क्या कसी वष का कैलडर कुछ वष बाद दोहराया जाएगा? क्या कसी वष क सभी त थयाँ और दन,
ठ क कसी दूसरे वष के कैलडर के साथ पूणतया मेल करगी?

हाँ — कैलडर दोहराए जाते ह और पुराने कैलडर का पुन: उपयोग कया जा सकता है।
साधारण वष म 365 दन = 52 सप्ताह + 1 अ त रक्त दन होते ह, अत: अगली बार वही त थ एक दन आगे खसक जाती है।
लीप वष म 366 दन = 52 सप्ताह + 2 अ त रक्त दन होते ह, अत: खसकाव दो दन का होता है।

1 जनवरी 2014 को बुधवार था → 1 जनवरी 2025 को भी बुधवार था

दोनों साधारण वष है,ं अत: 2014 का पूरा कै लेड
ं र 2025 से मेल खाता है।

साधारण वष का कैलडर प्राय: 6, 11 या 28 वष बाद लौटता है — जैसे 2018 और 2029 के कैलडर बल्कुल समान ह।
लीप वष का कैलडर 28 वष बाद लौटता है — 2024 का कैलडर 2052 म फर काम आएगा।

दो बात मलनी चा हए: (1) दोन वष एक ही वार से शुरू ह , तथा (2) दोन लीप वष ह या दोन साधारण। तभी
हर त थ उसी दन पड़ेगी।

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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
प्रयास कर: घर म रखा कोई पुराना कैलडर ढूँ ढ़ए और पता लगाइए क वह कस आने वाले वष म काम आएगा।

m as e
.co a g l
a s em
aglपता लगाएँ — पृष्ठ 64 एवं 65
आइए,
अनुभाग 3.7 घड़ी और कैलडर क संख्याएँ

com
m . ag
l a se
प्र तभा अंक ‘4’, ‘7’, ‘3’ और ‘2’ का उपयोग करके 4 अंक क सबसे बड़ी संख्या 7432 तथा सबसे छोट
संख्या 2347 बनाती है। इन दोन संख्g
प्र.1

a याओं का अंतर 7432 – 2347 = 5085 है। इन दोन संख्याओं का योगफल
9779 है। नम्न ल खत कथन को हल करने के लए 4 अंक को चु नए— a. सबसे बड़ी तथा सबसे छोट संख्या

co
का अंतर 5085 से अ धक हो। b. सबसे बड़ी तथा सबसे छोट संख्या का अंतर 5085 से कम हो। c. सबसे बड़ीm
em.
तथा सबसे छोट संख्या का योगफल 9779 से अ धक हो। d. सबसे बड़ी तथा सबसे छोट संख्या का योगफल
m l as
.co a g
9779 से कम हो।

se m
g l a
a उत्तर

s
चार अंक चु नए, उन्ह घटते क्रम म लखने पर सबसे बड़ी और बढ़ते क्रम म लखने पर सबसे छोट संख्या बनती है।
m a
.co agl
a. अंतर 5085 से अ धक → ऐसे अंक चु नए जो एक-दूसरे से बहुत दूर ह , जैसे 9, 8, 1, 0।

se m
g l a
सबसे बड़ ी = 9810, सबसे छोटी = 1089 a
9810 − 1089 = 8721 और 8721 > 5085 ✓
co m
m .
m as e
.co
b. अंतर 5085 से कम → पास-पास के अंक चु नए, जैसे 5, 4, 3, 2।
a g l
se m
g l a
a सबसे बड़ ी = 5432, सबसे छोटी = 2345

se m
5432 − 2345 = 3087 और 3087 < 5085 ✓
com g l a
m . a
e
s नए, जैसे 9, 8, 7, 6।
c. योगफल 9779 से अ धक → बड़े अंlकaचु
a g

co m
.
सबसे बड़ ी = 9876, सबसे छोटी = 6789

em
m l as
.co
9876 + 6789 = 16,665 और 16,665 > 9779 ✓
a g
a s emd. योगफल 9779 से कम → छोटे अंक चु नए, जैसे 4, 3, 2, 1।
agl
.c
s e m
m a
. co agl
सबसे बड़ ी = 4321, सबसे छोटी = 1234

e m
l as
4321 + 1234 = 5555 और 5555 < 9779 ✓
a g

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 29 of 60

कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

यह क्य काम करता है: अंतर इस पर नभर करता है क अंक कतने फैले हुए ह — 9 और 0 साथ ह तो अंतर
बड़ा मलता है। योगफल इस पर नभर करता है क अंक स्वयं कतने बड़े ह — चार अंक बड़े ह तो योग बड़ा
मलता है।

प्र.2 5 अंक के सबसे बड़े तथा सबसे छोटे पै ल ोम ( वलोमाक्षर) का योगफल क्या होगा? उनका अंतर क्या होगा?

5 अंक का सबसे छोटा पै ल ोम 10001 है (यह 1 से शुरू और 1 पर समाप्त होगा, बीच म शून्य) तथा सबसे बड़ा 99999 है।

योगफल = 10,001 + 99,999 = 1,10,000

अंत र = 99,999 − 10,001 = 89,998

स्वयं जाँ चए: 10001 को उल्टा पढ़ने पर 10001 ✓ तथा 99999 को उल्टा पढ़ने पर 99999 ✓ — दोन
पै ल ोम ह।

प्र.3 घड़ी म इस समय 10:01 बजे ह। कतने मनट लगगे जब तक क घड़ी अगला पै ल ोम दखाती है? इस पै ल ोम
के बाद आप अगले के बारे म क्या कहगे?

10:01 स्वयं एक पै ल ोम है (1001 को उल्टा पढ़ने पर 1001)। इसके बाद आने वाले पै ल ोम समय ह 11:11 और फर
12:21।

10:01 से 11:11 तक → 1 घंट ा 10 िमनट = 60 + 10 = 70 िमनट
11:11 से 12:21 तक → 1 घंट ा 10 िमनट = 70 िमनट

10:01 से 12:21 तक → 2 घंटे 20 िमनट = 120 + 20 = 140 िमनट

उत्तर: अगला पै ल ोम समय (11:11) 70 मनट बाद आएगा, और उसके बाद वाला (12:21) 10:01 से 140 मनट बाद।

बीच म कोई क्य नह : 10:01 और 11:11 के बीच घड़ी 10:02, 10:03 … 11:10 दखाती है। चार अंक वाला
समय पै ल ोम तभी होता है जब मनट घंटे को उल्टा लखने पर बन — 10:01, 11:11, 12:21 — और इस
अव ध म कोई अन्य समय ऐसा नह है।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 संख्या 5683 को कापरेकर रांक तक पहुँचने क प्र क्रया म कतने चरण लगगे?

प्रत्येक चरण का अथ है: सबसे बड़ी संख्या A बनाइए, सबसे छोट संख्या B बनाइए और C = A − B ज्ञात क जए।

चरण सबसे बड़ी (A) सबसे छोट (B) C=A−B

1 8653 3568 5085

2 8550 5058 3492

3 9432 2349 7083

4 8730 3078 5652

5 6552 2556 3996

6 9963 3699 6264

7 6642 2466 4176

8 7641 1467 6174

उत्तर: 8 चरण।

संकेत: दूसरे चरण म अंक 5, 0, 8, 5 ह। इनसे बनने वाली सबसे छोट चार अंक क संख्या 5058 है, क्य क कोई
संख्या 0 से शुरू नह होती। (य द 0558 मान ल तो 6174 तक 7 चरण म पहुँचते ह — पहुँचते दोन तरह से ह।)

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 65 एवं 66

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

अनुभाग 3.8 मान सक ग णत

ग णत चचा

प्र.1 नीचे द गई आकृ त का अवलोकन क जए। आप ख ची गई रेखाओं और संख्याओं के वषय म क्या सोचते ह?
वां छत योगफल को प्राप्त करने के लए मध्य स्तंभ क संख्या और साथ वाले स्तंभ क संख्या को तीर के नशान
लगाकर दशाइए।

25,000
38,800 3,400

400

28,000 63,000

13,000

61,600 19,500
1,500

31,000 60,000 20,900

पृष्ठ 65 क आकृ त। पहले से खचे हुए तीर दो हल कए गए उदाहरण ह — 38,800 के लए और 3,400 के लए।

कनारे क प्रत्येक संख्या मध्य स्तंभ क संख्याओं को जोड़कर बनाई गई है, और मध्य क कसी भी संख्या को जतनी बार चाह
उतनी बार लया जा सकता है। रेखाएँ यही दखाती ह क कौन-सी संख्याएँ प्रयोग हुईं।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

कनारे क संख्या मध्य स्तंभ से कैसे बनाएँ जाँच

38,800 25,000 + 400 × 2 + 13,000 25,000 + 800 + 13,000 = 38,800 ✓

28,000 25,000 + 1,500 × 2 25,000 + 3,000 = 28,000 ✓

61,600 60,000 + 400 × 4 60,000 + 1,600 = 61,600 ✓

31,000 25,000 + 1,500 × 4 25,000 + 6,000 = 31,000 ✓

3,400 1,500 + 1,500 + 400 3,000 + 400 = 3,400 ✓

63,000 60,000 + 1,500 × 2 60,000 + 3,000 = 63,000 ✓

19,500 13,000 + 1,500 × 3 + 400 × 5 13,000 + 4,500 + 2,000 = 19,500 ✓

20,900 13,000 + 1,500 × 5 + 400 13,000 + 7,500 + 400 = 20,900 ✓

संकेत: मध्य क उस सबसे बड़ी संख्या से शुरू क जए जो लक्ष्य से अ धक न हो, फर बचा हुआ भाग भ रए।
61,600 के लए 60,000 से शुरू क जए; अब केवल 1,600 बचता है और 1,600 = 400 × 4।

प्र.2 क्या हम मध्य स्तंभ क संख्याओं का प्रयोग करके 1000 बना सकते ह? क्य नह ? 14000, 15000 और 16000
के वषय म आपका क्या वचार है? हाँ, यह संभव है। खोज करके दे खए कैसे? कौन-सा हजार नह बनाया जा
सकता है?

1,000 नह बनाया जा सकता।

क्य नह : मध्य स्तंभ म 1,000 से छोट एकमात्र संख्या 400 है, और 400 को जोड़ते जाने पर 400, 800, 1200,
1600 … मलते ह — 1000 बीच म आता ही नह । शेष सभी संख्याएँ (1,500, 13,000, 25,000, 60,000)
पहले से ही 1,000 से बड़ी ह।

14,000, 15,000 और 16,000 तीन बनाए जा सकते ह:

14,000 = 1,500 × 8 + 400 × 5 = 12,000 + 2,000 ✓

15,000 = 13,000 + 400 × 5 = 13,000 + 2,000 ✓

16,000 = 13,000 + 1,500 × 2 = 13,000 + 3,000 ✓

कौन-सा हजार नह बनाया जा सकता? केवल 1,000। शेष प्रत्येक पूरा हजार बनाया जा सकता है:

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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
लक्ष्य एक तरीका लक्ष्य एक तरीका

m× 5 ase
2,000
.co
400 7,000
a g l
1,500 × 2 + 400 × 10

se m
g l a
a
3,000 1,500 × 2 8,000 400 × 20

4,000 400 × 10 9,000 1,500 × 6

m
co10,000
5,000 1,500 × 2 + 400 × 5
e m . 1,500 × 4 + 400 × 10 ag
g l as
6,000 1,500 × 4
a 11,000 1,500 × 6 + 400 × 5

co m
m.
ग णत चचा: ध्यान द जए क 400 × 5 = 2,000 और 1,500 × 2 = 3,000। जब 2,000 और 3,000 बन

m ase
.co l
सकते ह, तो इन्ह को मलाकर 2,000 से आगे का हर हजार बनाया जा सकता है।
a g
se m
g l a
a
जोड़ना और घटाना — नीचे बॉक्स म द गई संख्याओं का प्रयोग करके वां छत संख्या को प्राप्त करने के लए हम
s
प्र.3

co=m a
. agl
जोड़ने और घटाने क अनुम त है। एक उदाहरण: 39,800 = 40,000 – 800 + 300 + 300। अब ात क जए

s em
— 45,000 = , 5,900 = , 17,500 = , 21,400
a
agl

co m
.
m 40,000 7,000
a s em
m .co agl
l a se
a g
300 1,500 se m
com g l a
. a
a s em
agl
12,000 800 m
. co
m
m ase
e m . co agl
g l as इस प्रश्न के साथ पृष्ठ 66 पर छपे छह बॉक्स।

a c
m .
m a s e
em . co agl
g l as
a
अब घटाना भी कर सकते ह, जससे लक्ष्य तक पहुँचना और आसान हो जाता है।

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 34 of 60

कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

लक्ष्य एक सही तरीका जाँच

45,000 40,000 + 12,000 − 7,000 52,000 − 7,000 = 45,000 ✓

5,900 7,000 − 800 − 300 6,200 − 300 = 5,900 ✓

17,500 12,000 + 7,000 − 1,500 19,000 − 1,500 = 17,500 ✓

21,400 40,000 − 12,000 − 7,000 + 1,500 − 300 − 800 21,000 + 1,500 − 1,100 = 21,400 ✓

अं तम हल म प्रत्येक बॉक्स ठ क एक बार प्रयोग हुआ है। चरण-दर-चरण:

40,000 − 12,000 = 28,000

28,000 − 7,000 = 21,000
21,000 + 1,500 = 22,500

22,500 − 300 = 22,200

22,200 − 800 = 21,400 ✓

संकेत: पहले अं तम अंक को दे खए। 400 पर समाप्त होने के लए 1,500 − 300 − 800 = 400 चा हए। हजार
अपने आप सँभल जाते ह।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 66 एवं 67

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

अनुभाग 3.8 अंक और सं क्रयाएँ

ग णत चचा

प्र.1 नीचे द गई प्रत्येक त के लए जहाँ भी संभव हो, वहाँ एक उदाहरण ल खए — 5 अंक क संख्या + 5 अंक
क संख्या से प्राप्त 5 अंक क संख्या जो 90,250 से अ धक हो; 5 अंक क संख्या + 3 अंक क संख्या से 6
अंक क संख्या; 4 अंक क संख्या + 4 अंक क संख्या से 6 अंक क संख्या; 5 अंक क संख्या + 5 अंक क
संख्या से 6 अंक क संख्या; 5 अंक क संख्या + 5 अंक क संख्या से संख्या 18,500; 5 अंक क संख्या – 5
अंक क संख्या से 56,503 से छोट संख्या; 5 अंक क संख्या – 3 अंक क संख्या से 4 अंक क संख्या; 5
अंक क संख्या – 4 अंक क संख्या से 4 अंक क संख्या; 5 अंक क संख्या – 5 अंक क संख्या से 3 अंक
क संख्या; 5 अंक क संख्या – 5 अंक क संख्या से संख्या 91,500। क्या आप द गई सभी तय के लए
उपयुक्त उदाहरण खोज पाए? य द नह , तो सो चए और चचा क जए क इसका क्या कारण हो सकता है?

त उदाहरण संभव?

5 अंक + 5 अंक → 5 अंक का योग, 90,250 से अ धक 45,000 + 45,500 = 90,500 हाँ

5 अंक + 3 अंक → 6 अंक का योग 99,999 + 999 = 1,00,998 हाँ

4 अंक + 4 अंक → 6 अंक का योग अिधकतम संभव 9999 + 9999 = 19,998 नह

5 अंक + 5 अंक → 6 अंक का योग 60,000 + 40,000 = 1,00,000 हाँ

5 अंक + 5 अंक → 18,500 न्यूनतम संभव 10,000 + 10,000 = 20,000 नह

5 अंक − 5 अंक → 56,503 से छोटा अंतर 80,000 − 50,000 = 30,000 हाँ

5 अंक − 3 अंक → 4 अंक का अंतर 10,000 − 999 = 9,001 हाँ

5 अंक − 4 अंक → 4 अंक का अंतर 12,000 − 2,500 = 9,500 हाँ

5 अंक − 5 अंक → 3 अंक का अंतर 50,999 − 50,000 = 999 हाँ

5 अंक − 5 अंक → 91,500 अिधकतम संभव 99,999 − 10,000 = 89,999 नह

दस म से तीन तयाँ असंभव ह। प्रत्येक का कारण:

4 अंक + 4 अंक = 6 अंक: सबसे बड़ी दो 4-अंक य संख्याओं का योग भी 9999 + 9999 = 19,998 है, जो केवल 5 अंक
का है। 1,00,000 तक पहुँचने के लए कह बड़ी संख्याएँ चा हए।
5 अंक + 5 अंक = 18,500: 5 अंक क सबसे छोट संख्या 10,000 है, अत: न्यूनतम योग 20,000 होगा — जो 18,500
से पहले ही अ धक है।
5 अंक − 5 अंक = 91,500: दो 5-अंक य संख्याओं का अ धकतम अंतर 99,999 − 10,000 = 89,999 है, जो 91,500 से
कम है।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

ग णत चचा: ऐसे ही कुछ प्रश्न स्वयं बनाइए — जैसे “4 अंक + 4 अंक से 2,900” (संभव: 1,900 + 1,000 =
2,900) तथा “5 अंक + 5 अंक से 7 अंक क संख्या” (असंभव: अ धकतम योग 99,999 + 99,999 =
1,99,998, केवल 6 अंक)।

प्र.2 हमेशा, कभी-कभी, कभी नह ? नीचे कुछ कथन दए गए ह। सो चए, खो जए और ात क जए क क्या प्रत्येक
कथन ‘हमेशा सत्य है’, ‘केवल कभी-कभी सत्य है’ ‘या कभी सत्य नह है’। a. 5 अंक क संख्या + 5 अंक क
संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंक क संख्या। b. 4 अंक क संख्या + 2 अंक क संख्या से प्राप्त होती है, एक
4 अंक क संख्या। c. 4 अंक क संख्या + 2 अंक क संख्या से प्राप्त होती है, एक 6 अंक क संख्या। d. 5
अंक क संख्या – 5 अंक क संख्या से प्राप्त होती है, एक 5 अंक क संख्या। e. 5 अंक क संख्या – 2 अंक
क संख्या से प्राप्त होती है, एक 3 अंक क संख्या।

कथन नणय कारण व उदाहरण

a. 5 अंक + 5 अंक = 5 अंक के वल कभी-कभी स त्य 10,000 + 10,000 = 20,000 ✓ परंत ु 60,000 + 50,000 = 1,10,000 ✗

b. 4 अंक + 2 अंक = 4 अंक के वल कभी-कभी स त्य 1,000 + 10 = 1,010 ✓ परंत ु 9,999 + 99 = 10,098 ✗

c. 4 अंक + 2 अंक = 6 अंक कभी स त्य नही ं अिधकतम योग 9,999 + 99 = 10,098 — के वल 5 अंक

d. 5 अंक − 5 अंक = 5 अंक के वल कभी-कभी स त्य 99,999 − 10,000 = 89,999 ✓ परंत ु 12,000 − 10,000 = 2,000 ✗

e. 5 अंक − 2 अंक = 3 अंक कभी स त्य नही ं न्यूनतम उत्तर 10,000 − 99 = 9,901 — िफर भी 4 अंक

शीघ्र नणय कैसे कर: दोन चरम तयाँ जाँ चए। य द न्यूनतम संभव उत्तर और अ धकतम संभव उत्तर दोन ही
कथन के बाहर ह , तो कथन कभी सत्य नह है। य द एक उदाहरण सही बैठे और दूसरा नह , तो कथन केवल
कभी-कभी सत्य है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 67 एवं 68

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

अनुभाग 3.9 संख्या पैटन के साथ खेलना

ग णत चचा

प्र.1 नीचे कुछ संख्याओं को कुछ पैटन म व्यव त कया गया है। नीचे द गई प्रत्येक आकृ त म संख्याओं का
योगफल ात क जए। क्या हम उन्ह एक-एक करके जोड़ना चा हए या इसके लए हम कसी शीघ्र व ध का
उपयोग कर हल कर सकते ह? इन प्रश्न को हल करने के लए आपने जन अलग-अलग व धय का प्रयोग कया
है, उसे कक्षा म साझा क जए और चचा क जए।

a. b.

40 40 40 40

50 50 50 50 50

40 40 40 40

50 50 50 50 50

40 40 40 40

c. d.

32 32 32 32 32 32 32 32

32 32 32 32 32 32 32 32

32 32 32 32 32 32 32 32

32 32 32 32 32 32 32 32

64 64 64 64

64 64 64 64

64 64 64 64

64 64 64 64

e. f.

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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
15 15 35 35 25 25
125 125

e
125

as
15 15 25 25 125

com
35

l
35 125

g
25 25 15 15

m. a
250
125
35 35

e
las
25 25 15 15 125 250
15 25 250
35 35

ag
500
125
25 25 15 15
35 35 35 35 35 35
15 15 25 25 125
1000 500 250
250 500
35 35 125
25 15

m
15 15 25 25

.co
35 35

ag
125
500

sem
15 15 25 250 125
25 250
35 35

a
25 25 15 15 125

agl
250
15 15 125
25 25 35 35
125
125
125
125

. com
m उनक संख्याएँ और
पृष्ठ 67 और 68 पर छपे छह संख्या-पैटन। पुस्तक म (e) और (f) सजावट चत्र पर छपे ह;eयहाँ
s
m a
m .co उनका क्रम ज्य -का-त्य दया गया है।
agl
l a se
a g
m a s
.co agl

se m
शीघ्र व ध हर बार एक ही है: ग नए क कौन-सी संख्या कतनी बार आई है, गुणा क जए, फर जोड़ द जए। यह एक-एक
करके जोड़ने से कह तेज़ है।
g l a
a
आकृ त इसम क्या है शीघ्र गणना योगफल

co m
m .
ase
a. 12 बार 40 और 10 बार 50 12 × 40 = 480; 10 × 50 = 500 980
m
m . co agl
ase
b. 8 × 8 की जाली — 44 खानों में 1 िबंद ु, 20 खानों में 5 िबंद ु 44 × 1 = 44; 20 × 5 = 100 144

agl c. 32 खानों में 32 और 16 खानों में 64 32 × 32 = 1024; 16 × 64 = 1024 2048

se m
d. 5 × 7 की पिट्टयाँ — 17 पर 3 िबंद ु, 18 पर 4 िबंद ु
com
17 × 3 = 51; 18 × 4 = 72 123
g l a
m . a
gl ase
e. 22 बार 15, 22 बार 25 और 22 बार 35 22 × (15 + 25 + 35) = 22 × 75 1650

f.
a
18 बार 125, 8 बार 250, 4 बार 500 और एक बार 1000 2250 + 2000 + 2000 + 1000 7250

co m
m .
e
पूरी गणना

m l as
.co
m a. 40 वाली 3 पंि तयों में 4-4 संख्याएँ तथा 50 वाली 2 पंि तयों में 5-5 संख्याएँ है।ं a g
l a se
ag (3 × 4) × 40 + (2 × 5) × 50 = 480 + 500 = 980
.c
s e m
m a
e m . co agl
l as
b. जाली 8 × 8 = 64 खानों की है। इनमें 20 गहरे खानों में 5-5 िबंद ु है;ं शेष 44 में एक-एक िबंद ु।
g
44 + (20 × 5) = 44 + 100 = 144 a

co m
m .
m as e
.co


a g l Page 39 of 60

कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

c. ऊपर का भाग 4 पंि त × 8 स्तं भ = 32 खाने , पत्येक में 32।

नीचे का भाग 4 पंि त × 4 खाने = 16 खाने , पत्येक में 64।

(32 × 32) + (16 × 64) = 1024 + 1024 = 2048

d. पट्ट में 5 स्तं भ × 7 पंि त = 35 पत्ते है।
ं

पहले और अंितम स्तं भ (14 पत्ते) तथा छठी पंि त के तीन पत्तों पर 3-3 िबंद ु → 17 × 3 = 51

शेष 18 पत्तों पर 4-4 िबंद ु → 18 × 4 = 72

51 + 72 = 123

e. आकृ ित समिमत है और इसमें 15, 25 तथा 35 पत्येक ठीक 22 बार है।

22 × 15 + 22 × 25 + 22 × 35 = 22 × 75 = 1650

f. 18 × 125 = 2250, 8 × 250 = 2000, 4 × 500 = 2000, 1 × 1000 = 1000

2250 + 2000 + 2000 + 1000 = 7250

समूह बनाना अ धक बु द्धमानी क्य है: आकृ त (c) म 32 को एक-एक करके जोड़ने म 47 जोड़ करने पड़ते ह
और गलती क संभावना बढ़ जाती है। समूह बनाने से यह केवल दो गुणा और एक जोड़ रह जाता है — और एक
छपी बात भी दखती है: 32 वाले और 64 वाले भाग बराबर योगदान (1024-1024) दे ते ह।

ग णत चचा: अलग-अलग मत्र अलग-अलग समूह बनाएँगे। आकृ त (a) म कोई (40 × 12) + (50 × 10) करेगा
तो कोई पं क्त-दर-पं क्त 160 + 250 + 160 + 250 + 160 = 980। दोन सही ह — कक्षा म व धय क तुलना
क जए।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 68 एवं 69

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

अनुभाग 3.10 एक अनसुलझा रहस्य—कोलाट् ज़ अनुमान

प्र.1 नीचे दए गए अनुक्रम को दे खए—सभी अनुक्रम म एक ही नयम लागू होता है— a. 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8,
4, 2, 1 b. 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 c. 21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 d. 22, 11, 34,
17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. क्या आप बता सकते ह क इन अनुक्रम को कस प्रकार
बनाया गया है?

हाँ। एक ही नयम है जसके दो भाग ह, और वह बार-बार लगाया जाता है:

यिद संख्या सम है → उसका आधा कीिजए

यिद संख्या िवषम है → उसे 3 से गुणा करके 1 जोिड़ ए

अनुक्रम (a) को चरण-दर-चरण जाँ चए:

12 सम है → 12 ÷ 2 = 6

6 सम है → 6 ÷ 2 = 3

3 िवषम है → 3 × 3 + 1 = 10
10 सम है → 5

5 िवषम है → 5 × 3 + 1 = 16

16 → 8 → 4 → 2 → 1

अनुक्रम (c) सबसे छोटा है क्य क 21 → 64 मलता है और 64, 2 क घात है, अत: वह केवल आधा होता जाता है: 64, 32, 16,
8, 4, 2, 1।

क्या आपने ध्यान दया? प्रत्येक अनुक्रम का अंत एक ही पूँछ से होता है … 16, 8, 4, 2, 1। जैसे ही कोई अनुक्रम
2 क कसी घात पर पहुँचता है, आगे केवल आधा करना ही बचता है।

प्र.2 प्रत्येक अनुक्रम को अपने पसंद क पूण संख्या से शुरू करके ऊपर जैसे कुछ और कोलाट् ज अनुक्रम बनाइए।
क्या आप हमेशा 1 पर पहुँचते ह?

हाँ — अब तक जतनी भी संख्याएँ आजमाई गई ह, सभी 1 पर पहुँचती ह।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

प्रारंभ अनुक्रम चरण

6 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 8

7 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 16

9 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 19

15 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 17

32 32, 16, 8, 4, 2, 1 5

अनुक्रम ऊपर-नीचे क्य जाता है: वषम संख्या लगभग तीन गुनी हो जाती है, अत: अनुक्रम ऊपर उछलता है;
परंतु 3n + 1 सदै व सम होता है, इस लए अगला ही चरण उसे आधा कर दे ता है। कई चरण म आधा करना भारी
पड़ता है और संख्याएँ 1 तक उतर आती ह।

प्र.3 क्या आपको लगता है क कोलाट् ज़ के अनुमान म इस प्रकार का प्रत्येक अनुक्रम 1 पर पहुँचेगा? क्य और क्य
नह ?

हाँ, यह सत्य प्रतीत होता है — परंतु आज तक कोई इसे सद्ध नह कर पाया, और इसी लए यह इतना प्र सद्ध है।

व ास करने के कारण: संगणक ने बहुत-बहुत बड़ी संख्याओं तक हर प्रारं भक संख्या जाँच ली है और हर एक 1 पर पहुँचती
है। साथ ही, जब संख्या वषम होती है तो अगली संख्या 3n + 1 सम होती है और तुरंत आधी हो जाती है — अथात् कम से
कम आधे चरण म संख्या घटती ही है।
यह प्रमाण क्य नह है: करोड़ संख्याएँ जाँच लेना सभी संख्याएँ जाँचना नह है। पूण संख्याएँ अनंत ह, और ग णत ऐसा
कारण माँगता है जो हर एक पर लागू हो। हो सकता है कोई वशाल संख्या सदा बढ़ती जाए या कसी ऐसे चक्र म फँस जाए जो
1 तक कभी न पहुँचे।

क्या आप जानते ह? लोथर कोलाट् ज़ ने यह अनुमान 1937 म प्रस्तुत कया था। लगभग नब्बे वष बाद भी यह
अनसुलझा है — ऐसी समस्या जसे कक्षा 6 का व ाथ समझ सकता है, पर वश्व का कोई ग णतज्ञ हल नह कर
सका।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 69 एवं 70

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

अनुभाग 3.11 सरल आकलन

प्र.1 आपके ारा चलने के लए उठाए गए कदम— a. जस ान पर आप बैठे ह से लेकर कक्षा के दरवाजे तक b.
व ालय के मैदान के चार ओर सरे से सरे तक c. कक्षा के दरवाजे से व ालय के दरवाजे तक d. आपके
व ालय से आपके घर तक

ये उत्तर हर ब े के लए अलग ह गे — महत्वपूण व ध है। कक्षा 6 के व ाथ का एक कदम लगभग आधा मीटर होता है, अत: 2
कदम ≈ 1 मीटर।

दूरी लगभग लंबाई अनुमा नत कदम

a. अपनी सीट से कक्षा के दरवाजे तक लगभग 5 मी लगभग 10 कदम

b. व ालय के मैदान के सरे से सरे तक लगभग 100 मी लगभग 200 कदम

c. कक्षा के दरवाजे से व ालय के दरवाजे तक लगभग 150 मी लगभग 300 कदम

d. व ालय से घर तक लगभग 1 िकमी = 1000 मी लगभग 2000 कदम

स्वयं जाँ चए: अपनी सीट से दरवाजे तक के कदम सचमुच ग नए। फर उसी को अपना “पैमाना” बनाइए — य द
10 कदम म कक्षा पार होती है और मैदान लगभग 20 कक्षाओं जतना लंबा है, तो मैदान लगभग 200 कदम का है।

प्र.2 आपके ारा आँख को झपकने क संख्या या आपके ारा ली गई साँस क संख्या— a. एक मनट म b. एक
घंटे म c. एक दन म

एक मनट तक ग नए, फर गुणा क जए। ब ा प्राय: एक मनट म लगभग 15 बार पलक झपकाता है और लगभग 20 बार
साँस लेता है।

अव ध गणना पलक साँस

a. एक मनट म सीधे िगनकर लगभग 15 लगभग 20

b. एक घंटे म × 60 लगभग 900 लगभग 1,200

c. एक दन म × 24 लगभग 21,600 लगभग 28,800

एक िदन की पलकें = 15 × 60 × 24 = 15 × 1440 = 21,600
एक िदन की साँसे ं = 20 × 60 × 24 = 20 × 1440 = 28,800

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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
एक समझदारी भरा सुधार: सोते समय हम पलक नह झपकाते। य द आप 8 घंटे सोते ह तो पलक लगभग 15 ×

m as e
l
60 × 16 = 14,400 प्र त दन रह जाएँगी। साँस तो रात भर चलती ही रहती ह।

m .co a g
l a se
a g
प्र.3 अपने आसपास ऐसी वस्तुए ँ ात क जए जनक संख्या— a. कुछ हजार है b. दस हजार से अ धक है

com
e m . ag
a. कुछ हजार (लगभग 1,000 – 9,000) agl
as

m
आपक कक्षा क द वार म लगी ईंट।
co
m.
पाठ्यपुस्तक के दस पृष्ठ पर छपे शब्द।

as e
coवmालय के व ाथ या छोटे गाँव के लोग। g l
एक छोट कटोरी म चावल के दाने।
. a
s em
कसी बड़े

l a
agb. दस हजार से अ धक
व ालय भवन के फश क टाइल।

m a s
.co agl
सर के बाल (लगभग 1,00,000)।

se m
l a
1 क ा चावल के पैकेट के दाने (लगभग 40,000)।
कसी बड़े बरगद के पेड़ क प त्तयाँ। g
a
स्टे डयम म मैच दे खते दशक।

co m
.
आपक ग णत क पुस्तक म छपे अक्षर।

e m
m l as
.co
m े गनने का प्रयास मत क जए! a g
संकेत: द वार क ईंट गनने के लए एक पं क्त क ईंट और पं क्तय क संख्या गनकर गुणा क जए — एक-एक

a s eकरक
a gl
se m
com g l a
m . a
ase
पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 70 एवं 71

agl
अनुभाग 3.11 उत्तर का आकलन क जए

co m
.
प्र.1 आप क ग णत क पाठ्यपुस्तक म शब्द क संख्या— a. 5000 से अ धक b. 5000 से कम

em
com g l as
. a
sem(a) 5000 से अ धक।

a
agl c
m .
m a s e
co agl
एक पृष्ठ पर शब्द ≈ 150
m .
पृष्ठों की संख्या ≈ 250
l a se
ag श द
कु ल ≈ 150 × 250 = 37,500 ब्

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 44 of 60

कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

य द हम एक पृष्ठ पर केवल 100 शब्द और केवल 100 पृष्ठ भी मान, तब भी 10,000 शब्द हो जाते ह — जो 5,000 से कह
अ धक है। अत: उत्तर स्पष्ट रूप से 5000 से अ धक है।

प्र.2 आपके व ालय म बस ारा आने वाले व ा थय क संख्या— a. 200 से अ धक b. 200 से कम

अ धकांश व ालय के लए उत्तर (b) 200 से कम है।

िव ालय के िव ाथ ≈ 500

बस से आने वाले ≈ हर चार में से एक ≈ 500 ÷ 4 = 125

य द व ालय म 4 बस चलती ह और प्रत्येक म लगभग 40 ब े आते ह, तो 4 × 40 = 160 — फर भी 200 से कम।

स्वयं जाँ चए: अपने व ालय म खड़ी बस ग नए और एक बस क सीट से गुणा कर द जए। यह अ ा अनुमान
है और आधे मनट म हो जाता है।

प्र.3 रोशन 5 व्य क्तय के लए ू ट कस्टड बनाने के लए दूध और 3 प्रकार के फल खरीदना चाहता है। उसका
अनुमान है क ू ट कस्टड बनाने क लागत ₹100 है। क्या आप उससे सहमत ह? क्य या क्य नह ?

नह — ₹100 कुछ कम है। 5 व्य क्तय के लए सामान क सूची का आकलन क जए:

साम ी मात्रा लगभग मूल्य

दूध 1 लीटर ₹60

केले 4 ₹25

सेब 2 ₹50

अंगूर / पपीता 250 ग ाम ₹30

चीनी और कस्टड पाउडर थोड़ी मात्रा ₹20

कुल लगभग ₹185

अथात् लगभग ₹180 – ₹200 चा हए। रोशन ₹100 म तभी काम चला सकता है जब वह आधा लीटर दूध ले और मौसमी सस्ते
फल (केला, पपीता, अमरूद) थोड़ी मात्रा म खरीदे ।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

आकलन का वचार: हम पूरा बल ठ क-ठ क नह चा हए। हम केवल यह दे खना है क ₹100 का अनुमान लगभग
सही है या नह — और यहाँ वह लगभग आधा ही पड़ता है।

प्र.4 गांधीनगर (गुजरात म) और को हमा (नागालड म) के बीच क दूरी का आकलन क जए। संकेत— इन शहर का
पता लगाने के लए भारत के मान चत्र को दे खए।

गांधीनगर भारत के सुदूर प म म है और को हमा सुदूर पूव म, अत: दोन नगर लगभग उतनी ही दूर ह जतना भारत चौड़ा है।

भारत की पि चम से पूव तक चौड़ ाई ≈ 3000 िकमी

गांधीनगर → कोिहमा सीधी दू री ≈ 2400 िकमी

सड़ क माग से दू री ≈ 3000 िकमी

उत्तर: सीधी रेखा म लगभग 2,500 कमी (सड़क या रेल से यात्रा कर तो लगभग 3,000 कमी)।

संकेत: मान चत्र पर छपे पैमाने का उपयोग क जए। दोन नगर के बीच क दूरी स्केल से ना पए और पैमाने से गुणा
कर द जए।

प्र.5 शीतल कक्षा 6 म है और कहती है क उसने व ालय म आज तक लगभग 13000 घंटे व्यतीत कए ह? क्या आप
उससे सहमत ह? क्य या क्य नह ?

नह — 13,000 घंटे बहुत अ धक ह। एक छोट गणना से जाँ चए।

एक िदन के िव ालय के घंटे ≈ 6

वष में िव ालय के िदन ≈ 220

एक वष के घंटे = 6 × 220 = 1320 घंटे

शीतल ने लगभग 7 वष पढ़ ाई की है (क ा 1 से 6 तथा एक वष नसरी)

कु ल ≈ 1320 × 7 = 9,240 घंटे

अत: लगभग 9,000 – 10,000 घंटे ही उ चत आकलन है। 13,000 घंटे तक पहुँचने के लए उसे लगभग 10 वष व ालय म रहना
पड़ता, जो कक्षा 6 म संभव नह है।

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

आकलन क्य उपयोगी है: कोई बड़ी संख्या सुनने म ठ क लग सकती है पर गलत हो सकती है। उसे “प्र त दन घंटे
× वष के दन × वष क संख्या” म तोड़ने पर स ाई तीन ही चरण म सामने आ जाती है।

प्र.6 पुराने समय म यातायात के साधन उपलब्ध नह होने के कारण लोग लंबी दूरी पैदल चलकर तय करते थे। माना
आप अपनी सामान्य ग त से चलते ह। आपको नम्न ान से जाने म लगभग कतना समय लगेगा? a. आपके
वतमान ान से आपके आसपास के एक पसंद दा ान तक b. आपके वतमान ान से कसी पड़ोसी राज्य
क राजधानी तक c. भारत के सुदूर द क्षणी बदु से भारत के सुदूर उत्तरी बदु तक

व्य क्त एक घंटे म लगभग 5 कमी चलता है और दन भर म आराम से लगभग 25 कमी (5 घंटे चलकर)।

यात्रा लगभग दूरी पैदल लगने वाला समय

a. पास के पसंद दा ान तक (पाक, बाजार, मं दर) 2 िकमी लगभग 25 िमनट

b. पड़ोसी राज्य क राजधानी तक लगभग 500 िकमी लगभग 20 िदन

c. कन्याकुमारी से भारत के सुदूर उत्तरी बदु तक लगभग 3,200 िकमी लगभग 128 िदन, अथ त् 4 महीने से अिधक

(c) के िलए: 3200 िकमी ÷ 25 िकमी पितिदन = 128 िदन

यिद पितिदन 8 घंटे 5 िकमी/घंट ा की गित से चले ं तो 40 िकमी पितिदन → 3200 ÷ 40 = 80 िदन

क्या आप जानते ह? प्राचीन भारत म तीथयात्री और व्यापारी इसी प्रकार यात्रा करते थे — कन्याकुमारी से कश्मीर
तक क यात्रा म कई महीने लगते थे।

प्र.7 आकलन के कुछ प्रश्न बनाइए और अपने सहपा ठय को चुनौती द जए।

अपने मत्र से ये आकलन प्रश्न पू छए। मज़ा उत्तर म नह , यह समझाने म है क आपने वह संख्या कैसे नकाली।

हमारी कक्षा क द वार बनाने म कतनी ईंट लगी ह गी?
आपका प रवार एक वष म कतनी रो टयाँ खाता है?
एक कालांश म शक्षक लगभग कतने शब्द बोलते ह?
आपका प रवार एक दन म कतने लीटर पानी उपयोग करता है?
व ालय क छत क टं क भरने म कतनी बाल्ट पानी लगेगा?
जन्म से अब तक आपका हृदय कतनी बार धड़क चुका है?
आपके प रवार का स ब्जय पर एक महीने म कतना खच होता है?

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नमून ा उत्तर — एक वष की रोिटयाँ:

5 व्यि त × 3 रोटी पित भोजन × 2 भोजन पितिदन = 30 रोटी पितिदन

30 × 365 = लगभग 11,000 रोिटयाँ पित वष

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 71 एवं 72
अनुभाग 3.12 खेल और जीतने क यु क्तयाँ

प्र.1 खेल 1 के लए नयम— पहला खलाड़ी 1 और 3 के बीच एक संख्या बोलता है। अब दोन खलाड़ी बारी-बारी से
पहले बोली गई संख्या म 1, 2 या 3 जोड़ते ह। जो पहले 21 पर पहुँचेगा, वह जीतेगा! कौन-सा खलाड़ी हमेशा
जीत सकता है, य द वह सही पैटन से खेलता है? जीतने वाले खलाड़ी को कौन-सी संख्या का पैटन आना
चा हए?

पहला खलाड़ी सदै व जीत सकता है। जीतने वाली संख्याएँ ह

1, 5, 9, 13, 17, 21

सबसे पहले 1 बो लए। इसके बाद आपका साथी जो भी जोड़े, आप उतना जो ड़ए क योग आपक पछली संख्या से 4 बढ़ जाए।

साथी जोड़ता है आप जो ड़ए योग बढ़ता है

1 3 4

2 2 4

3 1 4

यह क्य काम करता है: 21 से उल्टा च लए। जीतने के लए आपको 21 बोलना है, अत: साथी को 17, 18, 19 या
20 पर छोड़ना होगा — अथात् आपको 17 बोलना चा हए। इसी तरह पीछे चलते हुए 13, 9, 5 और 1 मलते ह।
जो पहले 1 बोलता है वही पूरा खेल नयं त्रत करता है, और पहला खलाड़ी 1 बोल ही सकता है।

प्रयास कर: यहाँ मुख्य संख्या 4 = 3 + 1 है, अथात् अ धकतम जोड़ी जा सकने वाली संख्या म 1 जोड़ना। ऐसे सभी
खेल का यही रहस्य है।

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as e
कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

. com
emगा। कौन-सा
प्र.2 खेल 2 के लए नयम— पहला खलाड़ी 1 से 10 तक के बीच कोई संख्या बोलता है। अब दोन खलाड़ी बारी-

m a s
o शा जीत सकता है। इस बार जीतने वाले खलाड़ी क संख्या का पैटन aक्याglहोगा?
बारी से पहली बोली गई संख्या म संख्या जोड़ते ह। जो खलाड़ी पहले 99 पर पहुँचेगा वह जीते

. cहमे
em
खलाड़ी

l a s
ag

co m
इस बार दूसरा खलाड़ी सदै व जीतता है। जीतने वाली संख्याएँ 11 के गुणज ह:

e m . ag
g l as
a
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

co m
यहाँ अ धकतम 10 जोड़ा जा सकता है, अत: मुख्य संख्या 10 + 1 = 11 है। पहला खलाड़ी जो भी संख्या x (1 से 10) बोले, दूसरा
खलाड़ी 11 − x जोड़कर योग 11 बना दे ता है।
em.
c o m g l as
पहलाm . a
a s e खलाड़ी बोलता है 1 2 3 … 9 10

aglदूसरा खलाड़ी जोड़ता है 10 9 8 … 2 1

m a s
.co agl
योग 11 11 11 … 11 11

se m
g l a
a
इसी प्रकार दूसरा खलाड़ी 22, 33, 44 … और अंत म 99 पर पहुँचकर जीत जाता है।

पहला खलाड़ी क्य नह जीत सकता: वह केवल 1 से 10 तक ही बोल सकता है, अत: 11 कभी नह बोल
co m
m .
e
सकता। उसे हर बार ऐसा योग स पना पड़ता है जो 11 का गुणज नह है, और दूसरा खलाड़ी तुरंत पैटन बहाल कर
m l as
.co g
दे ता है।

em a
a s
a gl ध्यान द जए: हद संस्करण म इस नयम म “1, 2 या 3 जोड़ते ह” छपा है, जब क खेल 1 से 10 तक जोड़ने का
है (लक्ष्य 99) — ऊपर का हल इसी नयम पर आधा रत है।
se m
com g l a
m . a
ase
प्र.3 agl
इस खेल म अपने आप से प रवतन क जए। स्वयं नधा रत क जए क प्रत्येक बार म कतना जोड़ा जा सकता है

m
और कौन-सी संख्या जीतने वाली संख्या है। अब इस खेल को कई बार खे लए और जीतने क रणनी त को

. co
m
जा नए क कौन-सा खलाड़ी हमेशा खेल जीत सकता है।

as e
. com a g l
sem

a
agl
हर ऐसे खेल का नयम एक ही है। य द खलाड़ी 1 से k तक कुछ भी जोड़ सकता है, तो जादुई कदम k + 1 है।

.c
s e m
m a
. co agl
जीतने वाली संख्याएँ = लक्ष्य, िफर लक्ष्य − (k + 1), िफर लक्ष्य − 2(k + 1), और इसी पकार आगे।

e m
g l as
a
य द इस उल्ट सूची क पहली संख्या पहली ही चाल म बोली जा सकती है, तो पहला खलाड़ी जीतता है।
य द लक्ष्य स्वयं (k + 1) का गुणज है, तो दूसरा खलाड़ी जीतता है।

co m
m .
m ase
.co


a g l Page 49 of 60

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खेल K+1 बोली जाने वाली संख्याएँ वजेता

1–3 जोिड़ए, लक्ष्य 21 4 1, 5, 9, 13, 17, 21 पहला खलाड़ी

1–10 जोिड़ए, लक्ष्य 99 11 11, 22, …, 99 दूसरा खलाड़ी

1–3 जोिड़ए, लक्ष्य 20 4 4, 8, 12, 16, 20 दूसरा खलाड़ी

1–5 जोिड़ए, लक्ष्य 31 6 1, 7, 13, 19, 25, 31 पहला खलाड़ी

1–4 जोिड़ए, लक्ष्य 25 5 5, 10, 15, 20, 25 दूसरा खलाड़ी

संकेत: लक्ष्य को (k + 1) से भाग द जए। य द शेषफल 0 है तो दूसरा खलाड़ी जीतेगा; अन्यथा पहला खलाड़ी
पहली ही चाल म वही शेषफल बोलकर जीत जाएगा।

आइए, पता लगाएँ — पृष्ठ 72 एवं 73
अनुभाग 3.12 खेल और जीतने क यु क्तयाँ

प्रयास कर

प्र.1 यहाँ इस ड म, केवल एक महाकोष्ठ है (अपने पड़ोस क सभी संख्याओं म बड़ी संख्या)। य द आप इनम से
कसी एक संख्या के दो अंक क अदला-बदली करते ह, तो यहाँ 4 महाकोष्ठ बन जाते ह। जा नए क कौन-से
अंक क अदला-बदली क जानी चा हए।

16,200 39,344 29,765

23,609 62,871 45,306

19,381 50,319 38,408

पृष्ठ 72 पर छपी ड; रंगीन कोष्ठ ही इसका एकमात्र महाकोष्ठ है।

अभी केवल 62,871 (बीच वाला कोष्ठ) महाकोष्ठ है — यह 39,344, 23,609, 45,306 तथा 50,319 सभी से बड़ा है। यही एक
संख्या पूरे ड पर भारी पड़कर बाक सबको रोक दे ती है।
62,871 के अंक 6 और 1 क अदला-बदली क जए — अथात् पहला और अं तम अंक बदल द जए — जससे 12,876
बनता है।

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16,200 39,344 ✓ 29,765

23,609 ✓ 12,876 45,306 ✓
19,381 50,319 ✓ 38,408

अब चार क जाँच क जए:

39,344 > 16,200, 29,765 तथा 12,876 ✓

23,609 > 16,200, 12,876 तथा 19,381 ✓

45,306 > 29,765, 12,876 तथा 38,408 ✓
50,319 > 12,876, 19,381 तथा 38,408 ✓

उत्तर: 62,871 के 6 और 1 क अदला-बदली करके 12,876 बनाइए — तब ड म 4 महाकोष्ठ बन जाते ह।

यह क्य काम करता है: कनारे के बीच वाले चार कोष्ठ बीच वाले कोष्ठ को छू ते ह। जैसे ही बीच क संख्या छोट
(12,876) हो जाती है, वे चार एक साथ अपने-अपने सभी पड़ो सय से बड़े हो जाते ह।

प्र.2 अपने जन्म वष से शुरू करके आप कतने चरण म कापरेकर रांक पर पहुँच जाएँगे?

उदाहरण के लए वष 2014 ली जए (आप अपना जन्म वष इसी प्रकार ली जए)।

चरण सबसे बड़ी सबसे छोट अंतर

1 4210 1024 3186

2 8631 1368 7263

3 7632 2367 5265

4 6552 2556 3996

5 9963 3699 6264

6 6642 2466 4176

7 7641 1467 6174

2014 को 7 चरण लगते ह। दो और उदाहरण:

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2013: 3210 − 1023 = 2187; 8721 − 1278 = 7443; 7443 − 3447 = 3996; 9963 − 3699 = 6264;

6642 − 2466 = 4176; 7641 − 1467 = 6174 → 6 चरण

1980: 9810 − 1089 = 8721; 8721 − 1278 = 7443; 7443 − 3447 = 3996; 9963 − 3699 = 6264;
6642 − 2466 = 4176; 7641 − 1467 = 6174 → 6 चरण

संकेत: जब वष म 0 हो (जैसे 2014 म), तो सबसे छोट 4 अंक क संख्या 0 से शुरू नह हो सकती — अंक 2, 0,
1, 4 से सबसे छोट संख्या 1024 है।

प्र.3 हम 35,000 और 75,000 के बीच पाँच अंक क संख्याओं का वह समूह है, जसके सभी अंक वषम ह। हमारे
समूह क सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है? हमारे समूह क सबसे छोट संख्या कौन-सी है? हम म से कौन-सी संख्या
50,000 के अत्य धक नकट है?

केवल 1, 3, 5, 7, 9 अंक ही प्रयोग हो सकते ह और संख्या 35,000 तथा 75,000 के बीच होनी चा हए।
सबसे बड़ी → 73,999

पहला अंक अिधक से अिधक 7 हो सकता है (9 बहत
ु बड़ ा है — संख्या 75,000 से कम रहनी चािहए)।
7 पहले रखने पर अगला अंक 5 से कम होना चािहए, अत: वह 3 है।

शेष स्थानों पर सबसे बड़ ा िवषम अंक 9 → 73,999

सबसे छोट → 35,111

पहला अंक कम से कम 3 होना चािहए।

3 पहले रखने पर संख्या 35,000 से बड़ ी होनी चािहए, अत: अगला अंक 5 है।

शेष स्थानों पर सबसे छोटा िवषम अंक 1 → 35,111

50,000 के सबसे नकट → 51,111

50,000 से नीचे अिधकतम 39,999 ही संभ व है (4 िवषम अंक नही ं है!) → 50,000 − 39,999 = 10,001 की

दू री

50,000 से ऊपर सबसे छोटी 51,111 है → 51,111 − 50,000 = 1,111 की दू री

1,111 < 10,001, अत: 51,111 सबसे िनकट है

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अंक 4 यहाँ खलनायक है: 40,000 वाली हर संख्या 4 से शुरू होती है, जो सम अंक है। इस लए इस समूह म
39,999 और 51,111 के बीच एक भी संख्या नह है — ग्यारह हजार से अ धक का खाली ान!

प्र.4 आकलन क जए क आपको वष म सप्ताहांत (Weakends), त्योहार और छु य को मलाकर कुल कतनी
छु याँ मलती ह। अब अपनी छु य क सही संख्या का पता लगाइए और दे खए क सही संख्या आपके
आकलन के कतना समीप है।

पहले आकलन — बड़े-बड़े भाग को ग नए:

छु का प्रकार लगभग संख्या

र ववार 52

दूसरे श नवार 12

त्योहार (द वाली, होली, ईद, क्रसमस, प गल …) लगभग 15

ीष्मावकाश लगभग 40

शीतकालीन एवं अन्य अवकाश लगभग 15

अनुमा नत कुल लगभग 134 िदन

अब सही संख्या। व ालय-वष म लगभग 220 काय- दवस होते ह, अत:

365 − 220 = 145 छु िट्ट याँ

अनुमान 134, सही संख्या 145 के काफ नकट है — केवल लगभग 11 दन का अंतर, जो दसव भाग से भी कम है। यह अ ा
आकलन है!

स्वयं जाँ चए: कुछ त्योहार र ववार को पड़ते ह, अत: उन्ह दो बार गनना एक सामान्य गलती है। कैलडर पर नशान
लगाकर ऐसी दोहरी गनती हटाइए।

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
एक जग, एक बाल्ट और एक छत पर रखी टं क क क्षमता का लीटर म आकलन क जए।
e
प्र.5

m l as
m .co a g
a se

g l
aपात्र आकलन कैसे जाँच

जग
. com1 लीटर दू ध का पैकेट उसमें पूरा आ जाता है ag
m
लगभग 1 लीटर

ase
बाल्ट लगभग 15 – 20 लीटर
a g l लगभग 15 जग से एक बाल्टी भरती है

छत क टं क लगभग 500 – 1000 लीटर
m
लगभग 40 – 60 बाल्टी से भरती है

co
em.
m l as
.co a g
1 बाल्टी ≈ 15 जग ≈ 15 लीटर
m
1sटंeक ी ≈ 50 बाल्टी ≈ 50 × 15 = 750 लीटर
gl a
a
om a s
. c agl
व ध: कसी ऐसी चीज़ से शुरू क जए जो न त रूप से ज्ञात हो — 1 लीटर दूध का पैकेट। फर बाल्ट को जग म
और टं क को बाल्ट म ना पए। हर चरण म गुणm
a s e ा होता जाता है, इस लए बहुत छोट वस्तु से बहुत बड़ी मात्रा का

agl
आकलन हो जाता है।

com
m .
m as e
.co l
एक 5 अंक क संख्या तथा दो 3 अंक क संख्याएँ इस प्रकार ल खए क उनका योगफल 18,670 हो।
g
प्र.6

em a
a s
agl उत्तर

se m
पहले दोन 3 अंक क संख्याएँ चु नए, फर घटाकर 5 अंक क संख्या नका लए।

com g l a
m . a
ase
मान लीिजए 3 अंक ों की संख्याएँ 670 और 500 है।
ं

670 + 500 = 1,170 agl
18,670 − 1,170 = 17,500
co m
m .
m
जाँच : 17,500 + 670 + 500 = 18,670 ✓
as e
.co a g l
a s emउत्तर: 17,500 + 670 + 500 = 18,670। दो और सही उत्तर:
agl
.c
s e m
m a
co agl
18,000 + 370 + 300 = 18,670 ✓

m
16,870 + 900 + 900 = 18,670e✓
.
a s
agl

co m
m .
m as e
.co


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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

संकेत: दोन 3 अंक क संख्याओं का योग 200 से 1998 तक कुछ भी हो सकता है, अत: 5 अंक वाला भाग
16,672 से 18,470 तक कुछ भी हो सकता है। हजार सही उत्तर संभव ह।

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प्र.7 210 और 390 के बीच एक संख्या चु नए। अनु े द 3.9 म दए गए संख्या पैटन के समान एक पैटन न मत
क जए, जसम यह चुनी गई संख्या योगफल हो।

a. b.

40 40 40 40

50 50 50 50 50

40 40 40 40

50 50 50 50 50

40 40 40 40

c. d.

32 32 32 32 32 32 32 32

32 32 32 32 32 32 32 32

32 32 32 32 32 32 32 32

32 32 32 32 32 32 32 32

64 64 64 64

64 64 64 64

64 64 64 64

64 64 64 64

e. f.

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल AglaSem · NCERT Solutions

15 15 35 35 25 25
125 125
125
15 15 25 25 125
35 35
25 125
25 15 15
250
125
35 35
25 25 15 15 125 250
15 25 250
35 35 500
125
25 25 15 15
35 35 35 35 35 35
15 15 25 25 125
1000 500 250
250 500
35 35 125
25 15
15 15 25 25
35 35 125
500
15 15 25 250 125
25 250
35 35
25 25 15 15 125
250
15 15 125
25 25 35 35
125
125
125
125

पृष्ठ 67 और 68 पर छपे छह संख्या-पैटन। पुस्तक म (e) और (f) सजावट चत्र पर छपे ह; यहाँ उनक संख्याएँ और
उनका क्रम ज्य -का-त्य दया गया है।

250 चु नए। इसे चार 25 और तीन 50 से बनाइए:

4 × 25 = 100

3 × 50 = 150

100 + 150 = 250 ✓

25 25

50 50 50

25 25

4 × 25 + 3 × 50 = 100 + 150 = 250
अनुभाग 3.9 जैसा पैटन — दो-दो 25 क दो पं क्तयाँ और बीच म तीन 50 क एक पं क्त। सभी संख्याओं का योग 250 है।

इसी योग के लए एक और पैटन: 10 क 5 × 5 वगाकार जाली।

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25 खाने × 10 = 250 ✓

प्रयास कर: 360 के लए एक पैटन बनाइए — 10 क छह पं क्तयाँ जनम छह-छह संख्याएँ ह (36 × 10 =
360), या तीन 100 और तीन 20। फर कसी मत्र से योग शीघ्र नकालने को क हए।

प्र.8 अध्याय 1 क सारणी 1 से, 2 क घात का अनुक्रम याद क जए। इस अनुक्रम म शुरू क सभी संख्याओं के लए
कोलाट् ज अनुमान सही क्य है?

2 क घात ह 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … — और इनम से हर एक सम है।
कोलाट् ज़ नयम कहता है: संख्या सम हो तो आधा क जए। 2 क कसी घात का आधा उससे ठ क पहले वाली घात होती है, जो
फर सम है। अत: अनुक्रम केवल आधा-आधा होता जाता है और “3 गुना करके 1 जोड़ो” वाला भाग कभी लगता ही नह ।

64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

128 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

1 पर पहुँचना क्य न त है: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (अथात् 64) म हर बार आधा करने पर एक 2 कम हो
जाता है। ठ क छह बार आधा करने पर कोई 2 शेष नह बचता और केवल 1 रह जाता है। इसी प्रकार 2 को n बार
गुणा करने से बनी संख्या ठ क n चरण म 1 पर पहुँच जाती है — अत: 2 क प्रत्येक घात के लए कोलाट् ज़
अनुमान न त रूप से सही है।

क्या आपने ध्यान दया? हर कोलाट् ज़ अनुक्रम 16, 8, 4, 2, 1 पर समाप्त होता है — अथात् कोई भी अनुक्रम
जैसे ही 2 क कसी घात पर पहुँचता है, आगे क पूरी यात्रा केवल आधा करने क रह जाती है।

प्र.9 य द कोई व्य क्त संख्या 100 से शुरू करता है, तो क्या कोलाट् ज अनुमान लागू होगा, इस वषय क जाँच
क जए।

नयम को चरण-दर-चरण लगाइए — सम संख्या आधी होगी, वषम संख्या 3 गुना करके 1 जोड़ने पर बदलेगी।

100 → 50 → 25 → 76 (25 िवषम है: 25 × 3 + 1 = 76) → 38 → 19 → 58 → 29 → 88 → 44 →

22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

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कक्षा 6 ग णत अध्याय 3 संख्याओं का खेल
a g l AglaSem · NCERT Solutions

पूरा अनुक्रम इस प्रकार है
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100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
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हाँ, 100 के लए कोलाट् ज़ अनुमान लागू होता है। यह 25 चरण म 1 पर पहुँच जाता है।

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स्वयं जाँ चए: 22 के बाद यह ठ क वही अनुक्रम है जो पुस्तक के पृष्ठ 68 पर (d) म छपा है — 22, 11, 34, 17,
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52, … 1।
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शून्य से प्रारंभ करते हुए खलाड़ी बारी-बारी से 1 और 3 के बीच संख्या को जोड़ता है, जो व्य क्त 22 पर पहले
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प्र.10

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पहुँचेगा, वह वजयी होगा। अब जीतने क यु क्त क्या होगी?

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a अ धकतम 3 जोड़ा जा सकता है, अत: जादुई कदम 3 + 1 = 4 है। 22 से उल्टा 4-4 करके च लए:

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22, 18, 14, 10, 6, 2
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पहला खलाड़ी जीतता है। यु क्त इस प्रकार है:

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1. सबसे पहले 2 बो लए।

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2. इसके बाद साथी जो भी जोड़े (1, 2 या 3), आप वह संख्या जो ड़ए जससे उस चक्र म कुल 4 जुड़े — वह 1 जोड़े तो आप 3,
वह.2 a
s e m तो आप 2, वह 3 जोड़े तो आप 1।

g l a 3. आपके ारा बोले गए योग ह गे 2, 6, 10, 14, 18 और अंत म 22 — आप जीत गए।
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आप बोलते ह 2 6 10 14 18 22

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साथी केवल यहाँ तक पहुँच सकता —
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3, 4 या 11, 12 या 15, 16 या 19, 20 या
है
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2 से शुरू करना ही सही क्य है: 22 ÷ 4 = 5, शेषफल 2। यही शेषफल पहले खलाड़ी को पहली चाल म बोलना

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है। य द शेषफल 0 होता (जैसे लक्ष्य 20 म), तो दूसरा खलाड़ी जीतता।

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अध्याय — एक नज़र म
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संख्याएँ केवल गनती नह बतात , वे सूचना भी दे ती ह — इस अध्याय म पं क्त म खड़ा प्रत्येक ब ा अपने से लंबे पड़ो सय
क संख्या बताता है।

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