HBSE Class 12 Sample Paper 2024 Maths

HBSE
MODEL PAPER
2024
Practice Papers
MODEL PAPERS
Marking Scheme
ANSWER KEY

BOARD OF SCHOOL EDUCATION HARYANA
CLASS : 12th (Sr. Secondary)
Practice Paper 2023-24 SET – A

Roll No.

गणित
MATHEMATICS
[ Hindi and English Medium ]
(ACADEMIC / OPEN)
[Time allowed : 3 hours ] [Maximum Marks : 80 ]

• कृपया जााँ च कर लें कक इस प्रश्न-पत्र में मुकित पृष्ठ 19 तथा प्रश्न 38 हैं ।
• Please make sure that the printed pages in this question
paper are 19 in number and it contains 38 questions.
• प्रश्न-पत्र के दाई ओर कदए गए कोड नंबर को छात्र द्वारा उत्तर पुस्तिका के
पहले पृष्ठ पर कलखा जाना चाकहए ।
• The code No.on the right side of the question paper should be
written by the candidate on the front page of the answer-book.
• ककसी प्रश्न का उत्तर दे ना शुरू करने से पहले उसका क्रमां क कलखना होगा |
• Before beginning to answer a question, its Serial Number must
be written.
• अपनी उत्तर पुस्तिका में खाली पृष्ठ न छोड़ें |
• Don't leave blank page / pages in your answer-book.

• उत्तर-पुस्तिका के अकतररक्त कोई अन्य शीट नहीं दी जाएगी। अतः
आवश्यकतानुसार ही कलखे व कलखा उत्तर न काटें ।
• Except answer-book, no extra sheet will be given.Write to the
point and do not strikeoff the written answer.
• परीक्षाथी अपना रोल नंबर प्रश्न-पत्र पर अवश्य कलखे।
• Candidates must write their Roll Number on the question
paper.
• कृपया प्रश्नों का उत्तर दे ने से पहले यह सुकनकित कर लें कक प्रश्न-पत्र पूर्ण व
सही है , परीक्षा के उपराांत इस सांबांध में कोई भी दावा स्वीकार नही ां
णकया
जाएगा ।
• Before answering the questions,ensure that you have been
supplied the correct and complete question paper, no claim in
this regard, will be entertained after examination.

सामान्य णनदे श :

• इस प्रश्न - पत्र में कुल 38 प्रश्न हैं ,जो कक पांच खंडों : अ ,ब ,स ,द , ल में
बां टे गए हैं :

खांड अ : इस खंड में 1 से 20 तक कुल 20 प्रश्न हैं , कजनमें से 10
बहुकवकल्पी, 04 एक शब्दीय उत्तर वाले, 04 ररक्त स्थान भरो / सत्य-असत्य
एवं 02 अकभकथन- कारर् वाले प्रश्न हैं , प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है |
खांड ब : इस खंड में 21 से 25 तक कुल 05 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 2
अंक का है |

खांड स : इस खंड में 26 से 31 तक कुल 06 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 3
अंक का है | इनमें से एक प्रश्न उच्च िरीय तकण क्षमता/दक्षता आधाररत प्रश्न
(HOTS/CBQ) है ।
खांड द : इस खंड में 32 से 35 तक कुल 04 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 5
अंक का है |
खांड ल : इस खंड में 36 से 38 तक कुल 03 केस आधाररत प्रश्न हैं
,प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है |
• सभी प्रश्न अणनवायय हैं |
• कुछ प्रश्नों में आां तररक चयन का कवकल्प कदया गया है , उनमें से एक ही
प्रश्न को चुनना है |
• कदए गए ग्राफ पेपर को अपनी उत्तर पुस्तिका के साथ अवश्य नत्थी करें ।
• ग्राफ पेपर पर अपनी उत्तर पुस्तिका का क्रमांक अवश्य कलखें।
• कैलकुलेटर के प्रयोग की अनुमकत नही ां है |

General Instructions :
• This question paper consists of 38 questions in total which are divided into
five sections : A,B,C,D,E :

Section A : This section consists of twenty questions from 1 to 20 out of
which 10 are MCQ ,04 one word answer , 04 fill in the blanks / true false
questions .Each question carries 1 mark.
Section B : This section consists of five questions from 21 to 25.Each
question carries 2 marks.
Section C : This section consists of six questions from 26 to 31.Each
question carries 3 marks. Here one HOTS / Competency Based question is
also given.
Section D : This section consists of four questions from 32 to 35.Each
question carries 5 marks.
Section E : This section consists of three case based questions from 36 to
38.Each question carries 4 marks.

• All questions are compulsory.
• There are some questions where internal choice has been provided. Choose
only one of them.
• You must attach the given graph paper along with your answer book.
• You must write the answer book serial no. on the graph paper.
• Use of calculator is not permitted.

खांड – अ
SECTION – A (1 × 20=20)

1. मान लीकजए कक 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 द्वारा पररभाकित है | तो सही उत्तर का चयन
कीकजए :-
(A) f एकैकी आच्छादक है |
(B) f बहुएक आच्छादक है |
(C) f एकैकी है ककन्तु आच्छादक नहीं है |
(D) f न तो एकैकी है न आच्छादक है |

Let f: R R be defined as f(x)= x2 . Choose the correct
answer :
(A) f is one – one onto.
(B) f is many – one onto.
(C) f is one – one but not onto.
(D) f is neither one – one nor onto.

2. cot −1 ( 3 ) का मुख्य मान __− 3 ____ है | ( सत्य/ असत्य)
−1 𝜋
√

−1 𝜋
The principal value of cot −1 (√3) is ___− 3_____. (True/ False)

3. यकद A तथा B समान कोकट के समकमत आव्यूह हैं तो AB-BA एक :

(A) कविम समकमत आव्यूह है |
(B) समकमत आव्यूह है |
(C) शून्य आव्यूह है |
(D) तत्समक आव्यूह है |

If A, B are symmetric matrices of same order, then AB-BA is a
(A) Skew symmetric matrix
(B) symmetric matrix
(C) Zero matrix
(D)Identity matrix
4. यकद A, 3×3 कोकट का आव्यूह है ,और |A| = 4 है तो | adj A | का मान है :

(A) 0
(B) 4
(C) 16
(D) 64
Let A be a nonsingular matrix of order 3×3 . If |A| = 4 ,
then find | adj A| :
(A) 0
(B) 4
(C) 16
(D) 64

1 sin 𝜃 1
5. यकद A = [− sin 𝜃 1 sin 𝜃 ] , जहााँ 0≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, तो :
−1 − sin 𝜃 1

(A) Det (A) = 0
(B) Det (A) ∈ (2, ∞)
(C) Det (A) ∈ (2,4)

(D) Det (A) ∈ [2,4]

1 sin 𝜃 1
If A = [− sin 𝜃 1 sin 𝜃 ] , where 0≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, then :
−1 − sin 𝜃 1

(A) Det (A) = 0
(B) Det (A) ∈ (2, ∞)
(C) Det (A) ∈ (2,4)
(D) Det (A) ∈ [2,4]

2
6. f (x) = 𝑒 𝑥 का अवकलज x के सापेक्ष ज्ञात कीकजए |
2
Find the derivative of f (x) = 𝑒 𝑥 with respect to x .

2
7. f (x) = 𝑒 𝑥 का अवकलज g (x) = cos x के सापेक्ष ज्ञात कीकजए |

2
Find the derivative of f (x) = 𝑒 𝑥 with respect to g (x) = cos x.

𝑑𝑥
8. ∫ 𝑥 2 +2𝑥+2 का मान है :

(A) 𝑥 tan−1 (𝑥 + 1) + 𝑐
(B) tan−1 (𝑥 + 1) + 𝑐
(C) (𝑥 + 1) tan−1 (𝑥) + 𝑐
(D) tan−1 (𝑥) + 𝑐

𝑑𝑥
The value of ∫ 𝑥 2 +2𝑥+2 is :

(A) 𝑥 tan−1 (𝑥 + 1) + 𝑐
(B) tan−1 (𝑥 + 1) + 𝑐
(C) (𝑥 + 1) tan−1 (𝑥) + 𝑐
(D) tan−1 (𝑥 ) + 𝑐

𝜋

9. ∫ (sin 𝑥)7 𝑑𝑥 का मान ज्ञात कीकजए |
2
−𝜋
2

𝜋

Find the value of ∫ (sin 𝑥)7 𝑑𝑥 .
2
−𝜋
2

𝑑𝑥
10. ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 बराबर है :

(A) tan 𝑥 + cot 𝑥 + 𝑐
(B) tan 𝑥 − cot 𝑥 + 𝑐
(C) tan 𝑥 cot 𝑥 + 𝑐
(D) tan 𝑥 − cot 2𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 equals :

(A) tan 𝑥 + cot 𝑥 + 𝑐
(B) tan 𝑥 − cot 𝑥 + 𝑐
(C) tan 𝑥 cot 𝑥 + 𝑐
(D) tan 𝑥 − cot 2𝑥 + 𝑐

11. कनम्नकलस्तखत में से कौनसा समघातीय अवकल समीकरर् है :

(A) (4𝑥 + 6𝑦 + 5)𝑑𝑦 − (3𝑦 + 2𝑥 + 4)𝑑𝑥 = 0
(B) (𝑥𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 3 + 𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0
(C) (𝑥 3 + 2𝑦 2 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
(D) (𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0

Which of the following is a homogeneous differential equation ?

(A) (4𝑥 + 6𝑦 + 5)𝑑𝑦 − (3𝑦 + 2𝑥 + 4)𝑑𝑥 = 0
(B) (𝑥𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 3 + 𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0
(C) (𝑥 3 + 2𝑦 2 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0

(D) (𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0
,
12. अवकल समीकरर् 𝑦 ,,, + 𝑦 2 + 𝑒 𝑦 की घात 1 है | ( सत्य/असत्य)

,
The degree of the differential equation 𝑦 ,,, + 𝑦 2 + 𝑒 𝑦

Is 1 . (True / False)

13. यकद शून्येतर सकदश 𝑎⃗ का पररमार् 𝑎 है और 𝜆 एक शून्येतर अकदश है

तो 𝜆𝑎⃗ एक मात्रक सकदश है यकद

(A) 𝜆=1
(B) 𝜆 = −1
(C) 𝑎 = |𝜆|
(D) 𝑎 = 1/|𝜆|

If 𝑎⃗ is non zero vector of magnitude 𝑎 and 𝜆 is a nonzero

scalar,then 𝜆𝑎⃗ is unit vector if

(A) 𝜆=1
(B) 𝜆 = −1
(C) 𝑎 = |𝜆|
(D) 𝑎 = 1/|𝜆|

14. यकद दो सकदशों 𝑎⃗ और 𝑏⃗⃗ के बीच का कोर् 𝜃 है तो |𝑎⃗. 𝑏⃗⃗| = |𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ |
𝜋
जब 𝜃 बराबर है . ( सत्य/असत्य)
2

If 𝜃 is the angle between any two vectors 𝑎⃗ and 𝑏⃗⃗ ,then
𝜋
|𝑎⃗. 𝑏⃗⃗| = |𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ | when 𝜃 is equal to 2 . ( True / False ).

15. यकद एक रे खा के कदक् अनुपात −18,12, −4 हैं तो इसके कदक्

कोसाइन ज्ञात कीकजए |

If a line has the direction ratios −18,12, −4 , then what are its

direction cosines ?

16. दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतंत्र कहते हैं यकद

(A) A और B परस्पर अपवजी हैं

(B) 𝑃(𝐴′ 𝐵 ′ ) = [1 − 𝑃(𝐴)][1 − 𝑃(𝐵)]

(C) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)

(D) 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1

Two events A and B are mutually independent , if

(A) A and B are mutually exclusive.

(B) 𝑃(𝐴′ 𝐵 ′ ) = [1 − 𝑃(𝐴)][1 − 𝑃(𝐵)]

(C) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)

(D) 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1

17. यकद A और B दो घटनाएं इस प्रकार हैं कक 𝑃(𝐴⁄𝐵 ) = 𝑃(𝐵⁄𝐴) , तब

(A) 𝐴 ⊂ 𝐵 परन्तु 𝐴 ≠ 𝐵

(B) 𝐴 = 𝐵

(C) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙

(D) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)

If A and B are two events such that 𝑃(𝐴⁄𝐵 ) = 𝑃(𝐵⁄𝐴) , then

(A) 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑏𝑢𝑡 𝐴 ≠ 𝐵

(B) 𝐴 = 𝐵

(C) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙

(D) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)

18. A द्वारा सत्य बोलने की प्राकयकता 4⁄5 है | एक कसक्का उछाला जाता है

तथा A बताता है कक कचत्त प्रदकशणत हुआ | वािकवक रूप में कचत्त
1
प्रकट होने कक प्रायिकता____ 5 ______है | (सत्य/ असत्य)

Probability that A speaks truth is 4⁄5 . A coin is tossed . A

reports that a head appears . The probability that actually

there was a head is __1/5 __. (True/ False)

अणभकथन एवां कारि प्रश्न

कनम्नकलस्तखत प्रश्नों में कथन (A) अकभकथन के रूप में तथा कथन (R )कारर् के

रूप में कदया गया है | कनम्नकलस्तखत कवकल्पों में से सही कवकल्प का चयन कीकजए:

(a) A व R दोनों सही है तथा R , A की सही व्याख्या है |
(b) A व R दोनों सही है तथा R , A की सही व्याख्या नहीं है |
(c) A सही है ककन्तु R गलत है |
(d) A गलत है ककन्तु R सही है |

ASSERTION-REASON BASED QUESTIONS
In the following questions, a statement of assertion (A) is followed by a
statement of Reason (R). Choose the correct answer out of the following
choices :-
(a) Both A and R are true and R is the correct explanation of A.
(b) Both A and R are true but R is not the correct explanation of A.
(c) A is true but R is false.
(d) A is false but R is true.
19. अणभकथन (A) : दो रे खाएं

𝑙 = 5 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂ + 𝜆(3𝑖̂ + 2𝑗̂ − 8𝑘̂ )

और 𝑚 = 𝑖̂ + 𝑗̂ − 𝑘̂ + 𝜇(6𝑖̂ + 4𝑗̂ − 16𝑘̂ ) समां तर हैं |
कारि ( R ) : समां तर रे खाओं के कदक् अनुपात समान होने अकनवायण हैं |

ASSERTION (A) : Two lines
𝑙 = 5 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂ + 𝜆(3𝑖̂ + 2𝑗̂ − 8𝑘̂ )

𝑎𝑛𝑑 𝑚 = 𝑖̂ + 𝑗̂ − 𝑘̂ + 𝜇(6𝑖̂ + 4𝑗̂ − 16𝑘̂ ) are parallel .
REASON (R) : Direction ratios of two parallel lines must be equal.

20. अणभकथन (A) : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 द्वारा प्रदत्त फलन 𝒇 ∶ 𝑹 → 𝑹 , 𝑓(𝑥) = 2𝑥 ,

एकैकी तथा आच्छादक है |

कारि ( R ) : ककसी एकैकी तथा आच्छादक फलन के अंतगण त प्रत्येक

अवयव का एक अकद्वतीय प्रकतकबम्ब तथा पूवण प्रीकतकबम्ब होता है |

ASSERTION (A) : The function 𝒇 ∶ 𝑹 → 𝑹 , is given by 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , is
one - one and onto.
REASON (R) : Under any One – one and onto function each element
has a unique image and also a unique preimage.

खांड – ब
SECTION – B (2 × 5=10)

21. यकद 𝑓: 𝑅 → 𝑅 तथा 𝑔: 𝑅 → 𝑅 फलन क्रमशः 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2
के द्वारा पररभाकित हैं तो 𝑔𝑜𝑓 और 𝑓𝑜𝑔 ज्ञात कीकजए | कसद्ध कीकजए कक

𝑔𝑜𝑓 ≠ 𝑓𝑜𝑔

Find 𝑔𝑜𝑓 𝑎𝑛𝑑 𝑓𝑜𝑔, if 𝑓: 𝑅 → 𝑅 and 𝑔: 𝑅 → 𝑅 are given by
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 and 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 . Show that 𝑔𝑜𝑓 ≠ 𝑓𝑜𝑔 .
अथवा / OR

मान ज्ञात कीकजए :
−1 −1
tan−1 (1) + cos −1 ( 2 ) + sin−1 ( 2 )

Find the value of the following :
−1 −1
tan−1 (1) + cos −1 ( 2 ) + sin−1 ( 2 )
22. यकद 𝐴 = [cos 𝑥 − sin 𝑥 ] , 𝐴 + 𝐴′ = 𝐼 तो 𝑥 का मान ज्ञात कीकजए |
sin 𝑥 cos 𝑥

cos 𝑥 − sin 𝑥
If 𝐴 = [ ], and 𝐴 + 𝐴′ = 𝐼 then find the value of 𝑥.
sin 𝑥 cos 𝑥

sin 𝑥
23. 𝑥 के सापेक्ष अवकलन कीकजए: tan−1 (1+cos 𝑥 ).

sin 𝑥
Differentiate w.r.t. 𝑥 : tan−1 (1+cos 𝑥 ) .

24. सत्याकपत कीकजए कक फलन 𝑦 = 𝑎 cos 𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝑥 कजसमें 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ,
𝑑2 𝑦
अवकल समीकरर् 𝑑𝑥 2 + 𝑦 = 0 का हल है |

Verify that the function 𝑦 = 𝑎 cos 𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ,where 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
𝑑2 𝑦
is a solution of the differential equation 𝑑𝑥 2 + 𝑦 = 0 .

अथवा / OR
𝑑𝑦 1−cos 𝑥
अवकल समीकरर् 𝑑𝑥 = 1+cos 𝑥 का व्यापक हल ज्ञात कीकजए |

Find the general solution of the differential equation :
𝑑𝑦 1−cos 𝑥
= 1+cos 𝑥
𝑑𝑥

25. एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम से कम एक बार कविम संख्या

प्राप्त होने की प्राकयकता ज्ञात कीकजए |
A die is tossed thrice . Find the probability of getting an odd number
at least once.

खांड – स
SECTION – C (3 × 6=18)

26. मान लीकजए कक 𝑋𝑌 − तल में स्तस्थत समि रे खाओं का समुच्चय 𝐿 है और 𝐿 में
𝑅 = {(𝐿1 , 𝐿2 ): 𝐿1 समां तर है 𝐿2 के} द्वारा पररभाकित सम्बन्ध 𝑅 है |कसद्ध
कीकजए कक 𝑅 एक तुल्यता सम्बद्ध है | रे खा 𝑦 = 2𝑥 + 4. से संबकधत समि
रे खाओं का समुच्चय ज्ञात कीकजए|

Let L be the set of all lines in XY plane and R be the relation in L
defined as 𝑅 = {(𝐿1 , 𝐿2 ): 𝐿1 𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙 𝑡𝑜 𝐿2 } .Show that R is an
equivalence relation . Find the set of all lines related to the line
𝑦 = 2𝑥 + 4.
अथवा / OR

कनम्नकलस्तखत फलन को सरलतम रूप में कलस्तखए :
𝑥
tan−1 ( ), |𝑥| <𝑎
√𝑎2 −𝑥 2

Write the following function in simplest form:
𝑥
tan−1 ( ), |𝑥| <𝑎
√𝑎2 −𝑥 2

2 −2 −4
27. आव्यूह 𝐵 = [−1 3 4 ] को एक समकमत आव्यूह तथा एक कविम
1 −2 −3
समकमत आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीकजए |

2 −2 −4
Express the matrix 𝐵 = [−1 3 4 ] as the sum of a symmetric and
1 −2 −3
a skew symmetric matrix.

3𝑥+4 tan 𝑥
28. क्या कदया गया फलन 𝑓(𝑥) = , कबंदु 𝑥 = 0 पर एक संतत
𝑥

फलन है ? यकद नहीं , तो इस फलन को ककस प्रकार पुनपणररभाकित ककया जाए

कक यह एक संतत फलन हो |
3𝑥+4 tan 𝑥
Is the function defined by 𝑓(𝑥) = is a continuous at 𝑥 = 0?
𝑥

If not , then how may the function be defined to make it continuous at
this point ?
29. अंतराल ज्ञात कीकजए कजनमें 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

द्वारा प्रदत्त फलन 𝑓 वधणमान या ह्रासमान है |
Find the intervals in which the function 𝑓 is given by
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 is strictly increasing or strictly
decreasing.
𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
30. समाकलन कीकजए : ∫ 𝑑𝑥
√𝑡𝑎𝑛 2𝑥+4
𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
Integrate : ∫ 𝑑𝑥
√𝑡𝑎𝑛2 𝑥+4

अथवा / OR

𝑥3
समाकलन कीकजए : ∫ 𝑑𝑥
√1−𝑥 8
𝑥3
Integrate : ∫ 𝑑𝑥
√1−𝑥 8

31. सकदश (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) और (𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) में से प्रत्येक के लंबवत मात्रक सकदश ज्ञात

कीकजए जहां 𝑎⃗ = 𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂ , 𝑏⃗⃗ = 𝑖̂ + 2𝑗̂ + 3𝑘̂ हैं |

Find a unit vector perpendicular to each of the vectors (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) and

(𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗), where 𝑎⃗ = 𝑖̂ + 𝑗̂ + 𝑘̂ , 𝑏⃗⃗ = 𝑖̂ + 2𝑗̂ + 3𝑘̂ .

खांड – द
SECTION – D ( 𝟓 × 4=20)

32. कनम्नकलस्तखत समीकरर् कनकाय को आव्यूह कवकध से हल कीकजए :

2 3 10
+ + =4
𝑥 𝑦 𝑧
4 6 5
− + =1
𝑥 𝑦 𝑧
6 9 20
+ − =2
𝑥 𝑦 𝑧

Solve the system of the following equations using matrix method :

2 3 10
+ + =4
𝑥 𝑦 𝑧

4 6 5
− + =1
𝑥 𝑦 𝑧
6 9 20
+ − =2
𝑥 𝑦 𝑧

33. कनम्नकलस्तखत कनकित समाकलन का मान ज्ञात कीकजए:

𝜋
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥
∫ 2 2
0 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛 𝑥

Evaluate the following definite integral :

𝜋
2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥
∫ 2 2
0 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛 𝑥

अथवा / OR
𝑥2 𝑦2
दीघणवृत्त 25 + 3 = 1 से कघरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीकजए |

𝑥2 𝑦2
Find the area of the region bounded by the ellipse 25 + 3 = 1

34. कनम्नकलस्तखत दो रे खाओं के बीच की न्यूनतम दू री ज्ञात कीकजए :

𝑥+1 𝑦+1 𝑧+1 𝑥−3 𝑦−5 𝑧−7
= −6 = and = −2 =
7 1 1 1

Find the shortest distance between the lines :
𝑥+1 𝑦+1 𝑧+1 𝑥−3 𝑦−5 𝑧−7
= = and = =
7 −6 1 1 −2 1

अथवा / OR

𝑥−8 𝑦+19 𝑧−10
कबंदु (1,2, −4) से जाने वाली और दोनों रे खाओं = −16 =
3 7
𝑥−15 𝑦−29 𝑧−5
और + = −5 पर लंब रे खा का सकदश समीकरर् ज्ञात कीकजए |
3 8

Find the vector equation of the line passing through the

point (1,2, −4) and perpendicular to the two lines :
𝑥−8 𝑦+19 𝑧−10 𝑥−15 𝑦−29 𝑧−5
= −16 = and + = −5
3 7 3 8

35. कनम्न अवरोधों के अंतगणत 𝑍 = −𝑥 + 2𝑦 , का अकधकतमीकरर् कीकजए :
𝑥 ≥ 3 , 𝑥 + 𝑦 ≥ 5 , 𝑥 + 2𝑦 ≥ 6 , 𝑦 ≥ 0
Maximize 𝑍 = −𝑥 + 2𝑦 , subject to the constraints :
𝑥 ≥ 3 , 𝑥 + 𝑦 ≥ 5 , 𝑥 + 2𝑦 ≥ 6 , 𝑦 ≥ 0

खांड – ल
SECTION – E (4 × 3=12)

36. एक स्तखलौना कंपनी अपने लाभ की गर्ना कनम्नकलस्तखत लाभ फलन से करती है :

𝑝(𝑥) = 41 − 72𝑥 − 18𝑥 2 , कनम्न प्रश्नों के उत्तर दीकजए :

(a) इस लाभ फलन के कलए स्थानीय उच्चतम का कबंदु ज्ञात कीकजए , क्या हम
यहां कद्वतीय अवकलज परीक्षर् लगा सकते हैं यकद हााँ तो क्यों ,व्याख्या
कीकजए |
(b) कंपनी का अकधकतम लाभ ज्ञात कीकजए |

A toy company calculates its profit by the profit function :

𝑝(𝑥) = 41 − 72𝑥 − 18𝑥 2 ,

then answer the following questions :
(a) Find the point of local maxima for 𝑝(𝑥) , can we apply here second
derivative test ? If yes , explain why ?
(b) What will be the maximum profit of the company ?
37. राधा को पतंगबाजी का बहुत शौक है | इसकलए आज गकर्त परीक्षा दे ने के बाद

वह तनाव से मुक्त होने के कलए पतंग उड़ा रही है | उसकी पतंग एक ऐसी वक्र
𝑑𝑦
के साथ साथ उड़ रही है कजसका अवकलज समीकरर् 𝑑𝑥 + 2𝑦 = sin 𝑥 है |

कनम्न प्रश्नों के उत्तर दीकजए :

(a) यह ककस प्रकार का अवकलज समीकरर् है , इसके घात एवं कोकट
बताइए|
(b) पतंग की वक्र के अवकलज समीकरर् का व्यापक हल ज्ञात कीकजए|

Radha has a fond of flying kites. Today after taking math exam she is
flying kite to release the exam stress. Her kite is flying along the curve
𝑑𝑦
having differential equation 𝑑𝑥 + 2𝑦 = sin 𝑥 .Then answer the

following questions :
(a) What type of differential equation is it ? Find its order and degree.
(b) Find the general solution of the differential equation along which kite
is flying.
38. राम अपना जन्मकदवस 29 फरवरी को मनाता है | उसके जन्मकदवस पर उसके

दोि एक खेल खेलते हैं | वे वादा करते हैं कक यकद राम के ककसी यादृच्छया चुने

गए जन्मविण में 53 मंगलवार होंगे तो वे राम को एक नई घड़ी भेंट करें गे |

कनम्न प्रश्नों के उत्तर दीकजए :
(a) यादृच्छया चुने गए जन्मविण में अंकतम दो कदनों में कौनसे वार संभव हो
सकते हैं सभी जोड़ी बनाइए |
(b) इसकी क्या प्राकयकता है कक राम दोिों से नई घड़ी जीत जाएगा?

Ram celebrates his birthday on 29th of February .On his birthday his
friends play a game with him . They promise to present him a new
watch if his any randomly selected birth year contains 53 Tuesdays.
Answer the following questions:
(a) What are the all possible pair of days at the last two days of the
selected birthyear ?
(b) What is the probability that Ram will win the watch from his
friends.