HBSE Class 12 Sample Paper 2025 Maths

Board Of School Education Haryana

मॉडल पेपर
2025

BOARD OF SCHOOL EDUCATION HARYANA
CLASS : 12th (Sr. Secondary)
Practice Paper 2024-25 SET – A

Roll No.

गणित
MATHEMATICS
[ Hindi and English Medium ]
(ACADEMIC / OPEN)
[Time allowed : 3 hours ] [Maximum Marks : 80 ]

• कृपया जााँ च कर लें कक इस प्रश्न-पत्र में मुकित पृष्ठ 22 तथा प्रश्न 38 हैं ।
• Please make sure that the printed pages in this question
paper are 22 in number and it contains 38 questions.
• प्रश्न-पत्र के दाई ओर कदए गए कोड नंबर को छात्र द्वारा उत्तर पुस्तिका के
पहले पृष्ठ पर कलखा जाना चाकहए ।
• The code No.on the right side of the question paper should be
written by the candidate on the front page of the answer-book.
• ककसी प्रश्न का उत्तर दे ना शुरू करने से पहले उसका क्रमां क कलखना होगा |
• Before beginning to answer a question, its Serial Number must
be written.
• अपनी उत्तर पुस्तिका में खाली पृष्ठ न छोड़ें |
• Don't leave blank page / pages in your answer-book.

• उत्तर-पुस्तिका के अकतररक्त कोई अन्य शीट नहीं दी जाएगी। अतः
आवश्यकतानुसार ही कलखे व कलखा उत्तर न काटें ।
• Except answer-book, no extra sheet will be given.Write to the
point and do not strikeoff the written answer.
• परीक्षाथी अपना रोल नंबर प्रश्न-पत्र पर अवश्य कलखे।
• Candidates must write their Roll Number on the question
paper.
• कृपया प्रश्नों का उत्तर दे ने से पहले यह सुकनकित कर लें कक प्रश्न-पत्र पूर्ण व
सही है , परीक्षा के उपराांत इस सांबांध में कोई भी दावा स्वीकार नही ां
णकया
जाएगा ।
• Before answering the questions,ensure that you have been
supplied the correct and complete question paper, no claim in
this regard, will be entertained after examination.

सामान्य णनदे श :

• इस प्रश्न - पत्र में कुल 38 प्रश्न हैं ,जो कक पां च खंडों : अ ,ब ,स ,द , ल में
बां टे गए हैं :

खांड अ : इस खंड में 1 से 20 तक कुल 20 प्रश्न हैं , कजनमें से 12
बहुकवकल्पी, 03 एक शब्दीय उत्तर वाले, 03 ररक्त स्थान भरो एवं 02
अकभकथन- कारर् वाले प्रश्न हैं , प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है |
खांड ब : इस खंड में 21 से 25 तक कुल 05 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 2
अंक का है |

खांड स : इस खंड में 26 से 31 तक कुल 06 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 3
अंक का है | इनमें से एक प्रश्न उच्च िरीय तकण क्षमता/दक्षता आधाररत प्रश्न
(HOTS/CBQ) है ।
खांड द : इस खंड में 32 से 35 तक कुल 04 प्रश्न हैं ,प्रत्येक प्रश्न 5
अंक का है |
खांड ल : इस खंड में 36 से 38 तक कुल 03 केस आधाररत प्रश्न हैं
,प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है |
• सभी प्रश्न अणनवायय हैं |
• कुछ प्रश्नों में आां तररक चयन का कवकल्प कदया गया है , उनमें से एक ही
प्रश्न को चुनना है |
• कदए गए ग्राफ पेपर को अपनी उत्तर पुस्तिका के साथ अवश्य नत्थी करें ।
• ग्राफ पेपर पर अपनी उत्तर पुस्तिका का क्रमां क अवश्य कलखें।
• कैलकुलेटर के प्रयोग की अनुमकत नही ां है |

General Instructions :
• This question paper consists of 38 questions in total which are divided into
five sections : A,B,C,D,E .

Section A : This section consists of twenty questions from 1 to 20 out of
which 12 are MCQ ,03 one word answer , 03 fill in the blanks and 02
Assertion Reason questions. Each question carries 1 mark.
Section B : This section consists of five questions from 21 to 25.Each
question carries 2 marks.
Section C : This section consists of six questions from 26 to 31.Each
question carries 3 marks. Here one HOTS / Competency Based question is
also given.
Section D : This section consists of four questions from 32 to 35.Each
question carries 5 marks.
Section E : This section consists of three case based questions from 36 to
38.Each question carries 4 marks.

• All questions are compulsory.
• There are some questions where internal choice has been provided. Choose
only one of them.
• You must attach the given graph paper along with your answer book.
• You must write the answer book serial no. on the graph paper.
• Use of calculator is not permitted.

खांड – अ
SECTION – A (1 × 20=20)

1. मान लीकजए कक 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 द्वारा पररभाकित है | तो सही उत्तर
का चयन कीकजए :-
(A) f एकैकी आच्छादक है |
(B) f बहुएक आच्छादक है |
(C) f एकैकी है ककन्तु आच्छादक नहीं है |
(D) f न तो एकैकी है न आच्छादक है |

Let 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 be defined as𝑓(𝑥) = 𝑥 3 . Choose the correct
answer :
(A) f is one – one onto.
(B) f is many – one onto.
(C) f is one – one but not onto.
(D) f is neither one – one nor onto.

2. cosec −1 (−√2) का मुख्य मान ________________ है |
The principal value of 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 −1 (−√2) is ___________.

3. 2 x 2 कोकट के ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या ककतनी होगी कजनकी प्रत्येक
प्रकवकि 3 या 4 है :

(A) 16
(B) 81
(C) 256
(D) 64

The number of all possible matrices of order 2 x 2 with each entry 3 and
4 is :
(A) 16
(B) 81
(C) 256
(D) 64
1
4. यकद A, 3×3 कोकट का आव्यूह है ,और |𝐴−1 | = है तो | adj A | का मान
5
है :

(A) 5
(B) 125
(C) 25
1
(D)
25
1
Let A be a nonsingular matrix of order 3×3 . If |𝐴−1 | = ,
5
then find | adj A| :
(A) 5
(B) 125
(C) 25
1
(D)
25

5. यकद 𝐴और 𝐵 समान कोकट के व्युत्क्रमर्ीय आव्यूह हैं तो कनम्नकलस्तखत में से
क्या सही नहीं है ?
|𝐴|
(A) |𝐴𝐵−1 | = |𝐵|

1
(B) |(𝐴𝐵)−1 | = |𝐴||𝐵|
(C) (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1
(D) (𝐴 + 𝐵)−1 = 𝐵−1 + 𝐴−1

If A and B are invertible square matrices of the same order, then
which of the following is not correct?
|𝐴|
(A) |𝐴𝐵−1 | = |𝐵|
1
(B) |(𝐴𝐵)−1 | = |𝐴||𝐵|
(C) (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1
(D) (𝐴 + 𝐵)−1 = 𝐵−1 + 𝐴−1

𝑑𝑦
6. यकद 𝑥 − 𝑦 = 𝜋 है तो ज्ञात कीकजए |
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Find 𝑖𝑓 𝑥 − 𝑦 = 𝜋
𝑑𝑥

7. f (x) = 𝑒 𝑥 का अवकलज g (x) = cos x के सापेक्ष ज्ञात कीकजए |
2

2
Find the derivative of f (x) = 𝑒 𝑥 with respect to g (x) = cos x.

𝜋
8. ककसी पूर्ाां क n के कलए ∫−𝜋 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑛 + 1)𝑥 𝑑𝑥 का मान है :
2

(A) −1
(B) 0
(C) 1
(D) 2

For any positive integer n,
𝜋
the value of ∫−𝜋 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑛 + 1)𝑥 𝑑𝑥 is :
2

(A) −1
(B) 0
(C) 1

(D) 2

𝑑𝑥
9. ∫ 𝑥 का मान ज्ञात कीकजए |
𝑒 +𝑒 −𝑥

𝑑𝑥
Find the value of ∫ 𝑥 .
𝑒 +𝑒 −𝑥

𝑑𝑥
10.∫ बराबर है :
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

(A) tan 𝑥 + cot 𝑥 + 𝑐
(B) tan 𝑥 − cot 𝑥 + 𝑐
(C) tan 𝑥 cot 𝑥 + 𝑐
(D) tan 𝑥 − cot 2𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 equals :

(A) tan 𝑥 + cot 𝑥 + 𝑐
(B) tan 𝑥 − cot 𝑥 + 𝑐
(C) tan 𝑥 cot 𝑥 + 𝑐
(D) tan 𝑥 − cot 2𝑥 + 𝑐

11. चार कोकट वाले ककसी अवकल समीकरर् के कवकशि हल में उपस्तस्थत

स्वेच्छ अचरों की संख्या है :
(A) 0
(B) 4
(C) 3
(D) 1

The number of arbitrary constants in the particular solution of the
differential equation of the forth order are :
(A) 0

(B) 4
(C) 3
(D) 1
𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
12. अवकल समीकरर् 𝑥𝑦 + 𝑥 ( ) − 𝑦 = 0 की घात ----- है |
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

The degree of the differential equation
𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑦
𝑥𝑦 + 𝑥 ( ) − 𝑦 = 0 is ------------- .
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

13. कनम्नकलस्तखत में से कौन सी एक सकदश राकश है :
(A) 10 𝑘𝑔
(B) 20 𝑚/𝑠 2
(C) 40 𝑤𝑎𝑡𝑡
(D) 10−19 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏
Which of the following measures is a vector quantity :
(A) 10 𝑘𝑔
(B) 20 𝑚/𝑠 2
(C) 40 𝑤𝑎𝑡𝑡
(D) 10−19 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏

14. यकद 𝑎⃗ = 4𝑖̂ + 6𝑗̂ और 𝑏⃗⃗ = 3𝑗̂ + 4𝑘̂ है तो 𝑏⃗⃗ के अनुरूप 𝑎⃗ के घटक
का

सकदश रूप क्या होगा
18
(A) (3𝑖̂ + 4𝑘̂)
5
18
(B) (3𝑗̂ + 4𝑘̂)
25
18
(C) (4𝑖̂ + 6𝑗̂)
5
18
(D) (4𝑖̂ + 6𝑗̂)
25

If 𝑎⃗ = 4𝑖̂ + 6𝑗̂ 𝑎𝑛𝑑 𝑏⃗⃗ = 3𝑗̂ + 4𝑘̂ then the vector form of the

component of 𝑎⃗ along 𝑏⃗⃗ is
18
(A) (3𝑖̂ + 4𝑘̂)
5
18
(B) (3𝑗̂ + 4𝑘̂)
25
18
(C) (4𝑖̂ + 6𝑗̂)
5
18
(D) (4𝑖̂ + 6𝑗̂)
25

15. यकद 𝑎⃗ और 𝑏⃗⃗ दो मात्रक सकदश हैं और उनके बीच का कोर् 𝜃 है तो 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗
एक मात्रक सकदश है यकद
𝜋
(A) 𝜃 =
4
𝜋
(B) 𝜃 =
3
𝜋
(C) 𝜃 =
2
2𝜋
(D) 𝜃 =
3

If 𝑎⃗ 𝑎𝑛𝑑 𝑏⃗⃗ be two unit vectors and 𝜃 is the angle between them .

Then 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ is a unit vector if
𝜋
(A) 𝜃 =
4
𝜋
(B) 𝜃 =
3
𝜋
(C) 𝜃 =
2
2𝜋
(D) 𝜃 =
3

16. दो घटनाओं A और B को परस्पर स्वतंत्र कहते हैं यकद
(A) A और B परस्पर अपवजी हैं

(B) 𝑃(𝐴′ 𝐵′ ) = [1 − 𝑃(𝐴)][1 − 𝑃(𝐵)]
(C) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)

(D) 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1

Two events A and B are mutually independent , if

(A) A and B are mutually exclusive.

(B) 𝑃(𝐴′ 𝐵′ ) = [1 − 𝑃(𝐴)][1 − 𝑃(𝐵)]

(C) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵)
(D) 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1

17. यकद 𝑃(𝐴⁄𝐵) > 𝑃(𝐴) , तो इनमें से कौन सा सही है :

(A) 𝑃(𝐵⁄𝐴) < 𝑃(𝐵)
(B) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) < 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵)
(C) 𝑃(𝐵⁄𝐴) > 𝑃(𝐵)

(D) 𝑃(𝐵⁄𝐴) = 𝑃(𝐵)

If 𝑃(𝐴⁄𝐵) > 𝑃(𝐴) , then which of the following is correct :
(A) 𝑃(𝐵⁄𝐴) < 𝑃(𝐵)
(B) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) < 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵)

(C) 𝑃(𝐵⁄𝐴) > 𝑃(𝐵)
(D) 𝑃(𝐵⁄𝐴) = 𝑃(𝐵)

18 यकद 𝑃(𝐴) = 1⁄2 , 𝑃(𝐵) = 0, तो 𝑃(𝐴⁄𝐵) = ___________.

If 𝑃(𝐴) = 1⁄2 , 𝑃(𝐵) = 0, 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑃(𝐴⁄𝐵) = ___________.

अणभकथन एवां कारि प्रश्न

कनम्नकलस्तखत प्रश्नों में कथन (A) अकभकथन के रूप में तथा कथन (R )कारर् के
रूप में कदया गया है | कनम्नकलस्तखत कवकल्पों में से सही कवकल्प का चयन कीकजए:

(a) A व R दोनों सही है तथा R , A की सही व्याख्या है |
(b) A व R दोनों सही है तथा R , A की सही व्याख्या नहीं है |
(c) A सही है ककन्तु R गलत है |
(d) A गलत है ककन्तु R सही है |

ASSERTION-REASON BASED QUESTIONS
In the following questions, a statement of assertion (A) is followed by a
statement of Reason (R). Choose the correct answer out of the following
choices :-
(a) Both A and R are true and R is the correct explanation of A.
(b) Both A and R are true but R is not the correct explanation of A.
(c) A is true but R is false.
(d) A is false but R is true.
19. अणभकथन (A) : 𝑟⃗ = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂ + 𝜆(2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 6𝑘̂)

और 𝑟⃗ = 3𝑖̂ + 3𝑗̂ − 5𝑘̂ + 𝜇(2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 6𝑘̂) .
√293
दी गई रे खाओं के बीच की न्यूनतम दू री है |
7

कारि ( R ) : अंतररक्ष में जो रे खाएं न तो प्रकतच्छे दी होती हैं न समान्तर वे

असमतलीय होती हैं तथा उन्हें कविमतलीय रे खाएं कहा जाता है | कविमतलीय

रे खाओं के कलए न्यूनतम दू री रे खाखण्ड ककसी एक रे खा पर अवश्य लंब होगा |

ASSERTION (A) : The shortest distance between the lines
𝑟⃗ = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂ + 𝜆(2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 6𝑘̂)

√293
𝑎𝑛𝑑 𝑟⃗ = 3𝑖̂ + 3𝑗̂ − 5𝑘̂ + 𝜇(2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 6𝑘̂) 𝑖𝑠 .
7

REASON (R) : In a space the lines which are neither intersecting nor
parallel are non coplanar and are called skew lines. For skew lines, the
line of the shortest distance will be perpendicular to one of the lines.

20. अणभकथन (A) : संबध 𝑓: {1,2,3,4} → {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} जहााँ

𝑓 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏), (3, 𝑐)} , एक एकैकी आच्छादी फलन है |
कारि ( R ) : फलन 𝑓: {1,2,3} → {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} जहााँ
𝑓 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏), (3, 𝑐)} , एक एकैकी फलन है |
ASSERTION (A): The relation 𝑓: {1,2,3,4} → {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} defined by
𝑓 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏), (3, 𝑐)} is a bijective function.
REASON (R): The function 𝑓: {1,2,3} → {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} such that
𝑓 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏), (3, 𝑐)} is one-one.

खांड – ब
SECTION – B (2 × 5=10)

21. कसद्ध कीकजये कक पूर्ाां कों के समुच्चय Z में
𝑅 = {(𝑎, 𝑏): संख्या 2 , (𝑎 − 𝑏) को कवभाकजत करती है } द्वारा प्रदत्त संबध एक
तुल्यता संबध है |

Show that the relation R in the set Z of integers given by
𝑅 = {(𝑎, 𝑏): 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑎 − 𝑏} is an equivalence relation.
अथवा / OR

कनम्नकलस्तखत फलन को सरलतम रूप में कलस्तखए :

3𝑎2 𝑥−𝑥 3 −𝑎 𝑎
tan−1 ( 3 ) , 𝑎 > 0; 3 < 𝑥 <
𝑎 −3𝑎𝑥 2 √ √3

Write the simplest form of the following function :
3𝑎2 𝑥−𝑥 3 −𝑎 𝑎
tan−1 ( 3 ) , 𝑎 > 0; 3 < 𝑥 <
𝑎 −3𝑎𝑥 2 √ √3

22. यकद 𝐴′ = [−2 3] , तथा B = [−1 0] तो (𝐴 + 2𝐵)′ का मान ज्ञात
1 2 1 2
कीकजए |

−2 3 −1 0
If 𝐴′ = [ ], and 𝐵 = [ ] then find (𝐴 + 2𝐵)′.
1 2 1 2

23. 𝑎 और 𝑏 के उस संबध को ज्ञात कीकजए कजसके कलए
𝑎𝑥 + 1 ; यकद 𝑥 ≤ 3
𝑓(𝑥) = { } द्वारा पररभाकित फलन 𝑥 = 3 पर संतत है |
𝑏𝑥 + 3 ; यकद 𝑥 > 3

Find the relationship between a and b so that the function 𝑓 defined by
𝑎𝑥 + 1 ; 𝑖𝑓 𝑥 ≤ 3
𝑓(𝑥) = { } is continuous at 𝑥 = 3.
𝑏𝑥 + 3 ; 𝑖𝑓 𝑥 > 3

24. सत्याकपत कीकजए कक फलन 𝑦 − cos 𝑦 = 𝑥
अवकल समीकरर् (𝑦 sin 𝑦 + cos 𝑦 + 𝑥 )𝑦 ′ = 𝑦 का हल है |

Verify that the function 𝑦 − cos 𝑦 = 𝑥, is a solution of the
differential equation (𝑦 sin 𝑦 + cos 𝑦 + 𝑥 )𝑦 ′ = 𝑦 .
अथवा / OR
𝑑𝑦 1+𝑦 2
अवकल समीकरर् = का व्यापक हल ज्ञात कीकजए |
𝑑𝑥 1+𝑥 2

Find the general solution of the differential equation :
𝑑𝑦 1+𝑦 2
=
𝑑𝑥 1+𝑥 2

25. एक पाररवाररक कचत्र में माता ,कपता और पुत्र यादृच्छया खड़े हैं :
E : पुत्र एक कसरे पर खड़ा है , F: कपता मध्य में खड़ा है

तो 𝑃(𝐸⁄𝐹 ) ज्ञात कीकजए |

Mother ,father and son line up at random for a family picture where

E : son on one end , F: father in middle , then find 𝑃(𝐸⁄𝐹 ).

खांड – स
SECTION – C (3 × 6=18)

26. कसद्ध कीकजये :
63 5 3
𝑡𝑎𝑛−1 = 𝑠𝑖𝑛−1 + 𝑐𝑜𝑠 −1
16 13 5
Prove that :
63 5 3
𝑡𝑎𝑛−1 = 𝑠𝑖𝑛−1 + 𝑐𝑜𝑠 −1
16 13 5

अथवा / OR

कसद्ध कीकजये कक 𝑓: 𝑹 → {𝑥 ∈ 𝑹: −1 < 𝑥 < 1} जहााँ
𝑥
𝑓(𝑥) = , 𝑥 ∈ 𝑹 , एक एकैकी आच्छादी फलन है |
1+|𝑥|

Show that the function 𝑓: 𝑹 → {𝑥 ∈ 𝑹: −1 < 𝑥 < 1} defined by
𝑥
𝑓(𝑥) = , 𝑥 ∈ 𝑹 is a one one and onto function.
1+|𝑥|

27. ककसी पुिकों की दु कान में 10 दजणन रसायन कवज्ञान ,8 दजणन भौकतक कवज्ञान ,
तथा 10 दजणन अथणशास्त्र की पुिकें हैं | इन पुिकों का कवक्रय मूल्य क्रमश:

Rs. 80, Rs. 60 और Rs.40 प्रकत पुिक है | आव्यूह बीजगकर्त के प्रयोग

द्वारा ज्ञात कीकजए कक सभी पुिकों को बेचने पर दु कानदार को कुल ककतनी

धनराकश प्राप्त होगी ?

A bookshop has 10 dozen chemistry books, 8 dozen physics books ,10
dozen economics books. Their selling price are Rs.80, Rs.60 and Rs.40
respectively. Find the total amount the bookshop will receive from
selling all the books using matrix algebra.
28. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 4𝑥 3 − 12𝑥 2 + 12 द्वारा प्रदत्त फलन 𝑓 के स्थानीय
उच्चत्तम और स्थानीय कनम्नतम मान ज्ञात कीकजए |
Find local maximum and local minimum values of the function 𝑓
given by 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 4𝑥 3 − 12𝑥 2 + 12 .
3
29. समाकलन कीकजए : ∫−1
2 |𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥)| 𝑑𝑥

3
2 |𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑥)| 𝑑𝑥
Integrate : ∫−1

अथवा / OR
1
समाकलन कीकजए : ∫ 𝑑𝑥
cos(𝑥−𝑎)cos (𝑥−𝑏)

1
Integrate : ∫ 𝑑𝑥
cos(𝑥−𝑎)cos (𝑥−𝑏)

3𝑥+4 tan 𝑥
30. क्या कदया गया फलन 𝑓(𝑥) = , कबंदु 𝑥 = 0 पर एक संतत
𝑥

फलन है ? यकद नहीं , तो इस फलन को ककस प्रकार पुनपणररभाकित ककया जाए

कक यह एक संतत फलन हो |
3𝑥+4 tan 𝑥
Is the function defined by 𝑓(𝑥) = is a continuous at 𝑥 = 0?
𝑥

If not , then how may the function be defined to make it continuous at
this point ?

31. कसद्ध कीकजए कक कबंदु 𝐴(1,2,7), 𝐵(2,6,3) और 𝐶(3,10, −1) संरेखी हैं |
Show that the points 𝐴(1,2,7), 𝐵(2,6,3) 𝑎𝑛𝑑 𝐶(3,10, −1) are

collinear.

खांड – द
SECTION – D ( 𝟓 × 4=20)

32. तीन संख्याओं का योग 6 है | यकद हम तीसरी संख्या को 3 से गुर्ा करके दू सरी
संख्या में जोड़ दें तो हमें 11 प्राप्त होता है | पहली और तीसरी संख्या को जोड़ने
पर हमें दू सरी संख्या का दोगुना प्राप्त होता है | इसका बीजगकर्तीय कनरूपर्
कीकजए और आव्यूह कवकध से संख्याएं ज्ञात कीकजए |
The sum of three numbers is 6. If we multiply third number by 3 and
add second number to it, we get 11. By adding first and third numbers
we get double of the second number. Represent it algebraically and
find the numbers using matrix method.
अथवा / OR
आव्यूह कवकध का प्रयोग करके कनम्नकलस्तखत रै स्तखक समीकरर्ों को हल कीकजए :
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
3
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 =
2

3𝑦 − 5𝑧 = 9
Solve the system of linear equations , using matrix method:
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
3
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 =
2

3𝑦 − 5𝑧 = 9
33. (a) कनम्नकलस्तखत कनकित समाकलन का मान ज्ञात कीकजए:
2
∫ |𝑥 3 − 𝑥|𝑑𝑥
−1

Evaluate the following definite integral :

2
∫ |𝑥 3 − 𝑥|𝑑𝑥
−1

(b) कनम्नकलस्तखत समाकलन का मान ज्ञात कीकजए:

1−√𝑥
∫ √1+√𝑥 𝑑𝑥

Evaluate the following integral:

1 − √𝑥
∫√ 𝑑𝑥
1 + √𝑥

अथवा / OR
𝑥2 𝑦2
(a) समाकलन का प्रयोग करके दीघणवृत्त 2
+ 2 = 1 से कघरे क्षेत्र का
𝑎 𝑏
क्षेत्रफल ज्ञात कीकजए |

𝑥2 𝑦2
Find the area of the region bounded by the ellipse 2
+ 2 = 1 using
𝑎 𝑏

integration.
(b) भाग (a ) का प्रयोग करके ऐसे दीघणवृत से कघरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीकजए
कजसके बृहत् अक्ष एवं लघु अक्ष क्रमश: 6 इकाई व 4 इकाई हों |

Using part (a) find the area of the region bounded by the ellipse with
major axis 6 units and minor axis 4 units.
34. कनम्नकलस्तखत दो रे खाओं के बीच की न्यूनतम दू री ज्ञात कीकजए :

𝑟⃗ = (1 − 𝑡)𝑖̂ + (𝑡 − 2)𝑗̂ + (3 − 2𝑡)𝑘̂ and
𝑟⃗ = (𝑠 + 1)𝑖̂ + (2𝑠 − 1)𝑗̂ − (2𝑠 + 1)𝑘̂

Find the shortest distance between the lines:
𝑟⃗ = (1 − 𝑡)𝑖̂ + (𝑡 − 2)𝑗̂ + (3 − 2𝑡)𝑘̂ and
𝑟⃗ = (𝑠 + 1)𝑖̂ + (2𝑠 − 1)𝑗̂ − (2𝑠 + 1)𝑘̂

अथवा / OR
𝑥−8 𝑦+19 𝑧−10
कबंदु (1,2, −4) से जाने वाली और दोनों रे खाओं = =
3 −16 7
𝑥−15 𝑦−29 𝑧−5
और + = पर लंब रे खा का सकदश समीकरर् ज्ञात कीकजए |
3 8 −5

Find the vector equation of the line passing through the
point (1,2, −4) and perpendicular to the two lines :
𝑥−8 𝑦+19 𝑧−10 𝑥−15 𝑦−29 𝑧−5
= = and + =
3 −16 7 3 8 −5

35. कनम्न अवरोधों के अंतगणत 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 , का अकधकतमीकरर् कीकजए :
𝑥 − 𝑦 ≤ −1 ; −𝑥 + 𝑦 ≤ 0 ; 𝑥 , 𝑦 ≥ 0
Maximize 𝑍 = 𝑥 + 𝑦, subject to the constraints :
𝑥 − 𝑦 ≤ −1 ; −𝑥 + 𝑦 ≤ 0 ; 𝑥 , 𝑦 ≥ 0
अथवा / OR

आलेखीय कवकध द्वारा उद्दे श्य फलन 𝑍 = −50𝑥 + 20𝑦 का न्यूनतम मान
कनम्नकलस्तखत व्यवरोधों के अंतगणत ज्ञात कीकजए :
2𝑥 − 𝑦 ≥ −5
3𝑥 + 𝑦 ≥ 3
2𝑥 − 3𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

Determine graphically the minimum value of the objective function
𝑍 = −50𝑥 + 20𝑦
Subject to the constraints:
2𝑥 − 𝑦 ≥ −5
3𝑥 + 𝑦 ≥ 3
2𝑥 − 3𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

खांड – ल
SECTION – E (4 × 3=12)

36. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 m गहरी एवं 8 m3 आयतन
की एक कबना ढक्कन की टं की का कनमाण र् करना है | यकद टं की के कनमाण र् में
आधार के कलए Rs 70 / m2 और दीवारों पर Rs 45 /m2 व्यय आता है तो
कनम्नकलस्तखत प्रश्नों के उत्तर दीकजए :
(a) टं की के आधार के कनमाण र् की लागत क्या होगी ?
(b) दीवारों को बनाने की लागत ज्ञात कीकजए |
(c) कनम्नतम लागत से बनी टं की की कुल लागत क्या होगी ?

A tank with rectangular base and rectangular sides, open at the top is to
be constructed so that its depth is 2 m and its volume is 8 m3. If the

building of tank costs Rs 70 per sq meters for the base and Rs 45 per sq
meter for sides, then answer the following questions:
(a) What will be the cost of building the base of tank?
(b) Find the cost of building walls ?
(c) What is the cost of least expensive tank?

37. कदए गए पैराग्राफ को पढ़कर कनम्नकलस्तखत प्रश्नों के उत्तर दीकजए:
पौधे की ऊंचाई ( y सेमी ) का सूयण के उपलब्ध प्रकाश से संबध कनम्नकलस्तखत

समीकरर् द्वारा कदया गया है :

1
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2
2
जहां 𝑥 उन कदनों की संख्या है कजतने कदन पौधे को सूयण का प्रकाश उपलब्ध हुआ;
𝑥≤3
(a) सूयण का प्रकाश उपलब्ध होने वाले कदनों के सापेक्ष पौधे की वृस्तद्ध की दर
ज्ञात कीकजए |
(b) पहले तीन कदनों में पौधे की वृस्तद्ध की दर घटती है या बढ़ती है ज्ञात कीकजए|
(c) यह भी बताइये की दो कदन बाद पौधे की ऊंचाई ककतनी होगी?

Read the following passage and answer the questions given below:
The relation between the height of the plant ('y' in cm ) with respect to its
exposure to the sunlight is governed by the following equation:
1
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2
2
where '𝑥' is the number of days exposed to the sunlight, for 𝑥 ≤ 3.
(a) Find the rate of growth of the plant with respect to the number of
days exposed to the sunlight.
(b) Does the rate of growth of the plant increase or decrease in the first
three days?
(c) What will be the height of the plant after 2 days?
38. मान लीकजए ककसी रोगी को कदल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है | यह मान कलया
जाता है कक ध्यान और योग कवकध कदल का दौरा पड़ने के खतरे को 30 % कम कर

दे ता है और दवा द्वारा खतरे को 25 % कम ककया जा सकता है | ककसी भी समय रोगी

इन दोनों में से ककसी एक कवकल्प का चयन करता है | यह कदया गया है कक उपरोक्त

कवकल्पों में से ककसी एक का चुनाव करने वाले रोकगयों में से यादृच्छया चुना गया रोगी

कदल के दौरे से ग्रकसत हो जाता है | ऐसी स्तस्थकत में कनम्नकलस्तखत प्रश्नों के उत्तर दीकजए :
(a) योग और ध्यान कवकध को अपनाने के बाद भी कदल के दौरे से ग्रकसत होने की क्या
प्राकयकता है ?
(b) दवा के कवकल्प को अपनाने के बाद भी कदल के दौरे से ग्रकसत होने की क्या
प्राकयकता है ?
(c) ऐसी स्तस्थकत में रोगी द्वारा ध्यान और योग कवकध का उपयोग ककए जाने की प्राकयकता
ज्ञात कीकजए |

Assume that the chances of a patient having a heart attack is 40%.
It is also assumed that a meditation and yoga course reduce the risk
of heart attack by 30% and prescription of certain drug reduces its
chances by 25%. At a time a patient can choose any one of the two
options with equal probabilities. It is given that after going through
one of the two options the patient selected at random suffers a heart
attack. Then answer the following questions:
(a) Find the probability of suffering from heart attack after
following the course of yoga and meditation?
(b) Find the probability of suffering from heart attack after adopting
the drug prescription?
(c) Find the probability that the patient followed a course of yoga
and meditation in this condition.

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