HBSE Class 12 Sample Paper 2025 Answers Maths

Board Of School Education Haryana

मॉडल पेपर
उत्तर
2025

BOARD OF SCHOOL EDUCATION HARYANA
MARKING SCHEME
CLASS: 12th (Sr. Secondary)
Practice Paper 2024 – 25 SET – A
गणित
MATHEMATICS
[ Hindi and English Medium ]
(ACADEMIC / OPEN)

• मार्किंग स्कीम में दिए गए हल केवल एक ववधि है इसके अतिरिक्ि सब
ववधियाां भी बिाबि मान्य होंगी यदि वे गणििीय रूप से सही हैं |
• The solution methods adopted in the marking scheme are suggestive.
Different methods are also acceptable if these are mathematically correct.
Section -A : (1 Mark each)
Question Answer Hints/ Solution
No. उत्तर सांकेत / हल
प्रश्न
क्रम कां
1. C 𝐹𝑜𝑟 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑖𝑓 𝑥 = 𝑦 𝑡ℎ𝑒𝑛 (𝑥)3 = (𝑦)3 , so
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 is one-one.
Cube root (preimage) of any negative number does
not exist in R , so 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 is not onto.
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 के लिए यलि 𝑥 = 𝑦 तो (𝑥)3 = (𝑦)3 , अतः
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 एकैकी है |
र्कसी भी ऋिात्मक सांख्या का घनमूल (पव ू व
प्रतिबबम्ब ) R में उपलब्ि नहीां है | अिः 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 आच्छािक नहीां है |

2. 𝜋 माना (Let) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 −1 (−√2) = 𝑦
−
4 𝜋 𝜋
cosec 𝑦 = −√2 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 = cosec (− ),
4 4
𝜋
𝑦=
4
3. A No. of elements in 𝐴 = 2 × 2 = 4
Each of 4 elements can be filled in two possible
ways .
So, Required number of such possible matrices
=24 =16
आव्यूह में A अवयवोों की सोंख्या = 2 × 2 = 4
प्रत्येक 4 अवयवोों को िो सोंभव तरीकोों से भरा जा सकता
है
अतः ऐसी वाों लित आव्यूहोों की सोंख्या =24 =16

1
4. C यहाों (Here) |𝐴−1 | =
5
1
इसलिए (So) |𝐴| = |𝐴−1| = 5
|𝑎𝑑𝑗 𝐴| = |𝐴|𝑛−1 , यलि ( 𝑖𝑓) 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟(𝐴) = 𝑛
इसलिए (So) |𝑎𝑑𝑗 𝐴| = 52 = 25
5. D शेष सभी सही हैं All other are correct.
6. 1 𝑦 =𝑥−𝜋
𝑑𝑦
=1
𝑑𝑥
2
7. 2𝑥. 𝑒 𝑥 𝑑𝑓 2
𝑑𝑓 𝑑𝑥 2𝑥. 𝑒 𝑥
− 𝑠𝑖𝑛𝑥 = =
𝑑𝑔 𝑑𝑔 −𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
8. B 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑛 + 1)𝑥
2
𝑓(−𝑥) = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 (−𝑥) 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑛 + 1)(−𝑥)
2
𝑓(−𝑥) = −𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛3 (2𝑛 + 1)𝑥 = −𝑓(𝑥)
So 𝑓(𝑥) is an odd function.
𝑎

∫ 𝑜𝑑𝑑 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑥 = 0
−𝑎
इसलिए 𝑓(𝑥) एक लवषम फिन है |

𝑎

∫ लवषम फिन 𝑑𝑥 = 0
−𝑎

9. tan−1 (𝑒 𝑥 ) + 𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑥 =∫ = ∫ 2𝑥
𝑒 + 𝑒 −𝑥 𝑥 1 𝑒 +1
𝑒 + 𝑥
𝑒
माना ( Let 𝑒 𝑥 ) = 𝑡
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
𝑑𝑡
=∫ 2 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑒 𝑥 ) + 𝑐
𝑡 +1
10. B 1. 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
∫ =∫ 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥)𝑑𝑥 = tan 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝑐
11. A लवलशष्ट हि में कोई स्वेच्छ अचर नहीों होता है |
Particular solution has no arbitrary constants.
12. 1 Since the highest power raised to
𝑑2𝑦
is one.
𝑑𝑥 2
𝑑2𝑦
क्ोोंलक की घात 1 है |
𝑑𝑥 2

13. B All rest are scalar. शेष सभी अलिश हैं |

14. B
𝑎. 𝑏⃗
𝑏 के अनुरूप 𝑎का सलिश घटक = (
⃗⃗⃗ ⃗
2) 𝑏
|𝑏⃗|
𝑎. 𝑏⃗
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑓 𝑎 𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔 𝑏⃗ = ( 2) 𝑏
⃗
|𝑏⃗|
𝟏𝟖
= 𝟐𝟓 (3𝑗̂ + 4𝑘̂)
15. 𝐷 𝟐
|𝑎 + 𝑏⃗| = 𝟏
𝟐
|𝑎|𝟐 + |𝑏⃗| + 2𝑎. 𝑏⃗ = 1
⃗ =1
1 + 1 + 2 𝑎. 𝑏
2𝑎. 𝑏⃗ = −1

−1
𝑎. 𝑏⃗ =
2
Where जहााँ 𝑎. 𝑏⃗ = |𝑎|. |𝑏⃗|. cos 𝜃

𝑎. 𝑏⃗ = 1.1. cos 𝜃
−1
𝑎. 𝑏⃗ = cos 𝜃 =
2
2𝜋
So इसलिए 𝜃=
3

16. B यलि घटनाएों 𝐴 व 𝐵 परस्पर स्वतोंत्र घटनाएों हैं तो
𝐴′ व 𝐵′ भी परस्पर स्वोंतोंत्र घटनाएों होोंगी अतः

𝑃(𝐴′ 𝐵′ ) = 𝑃(𝐴′ )𝑃(𝐵′ )
= [1 − 𝑃(𝐴)][1 − 𝑃(𝐵)]

If 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝐵 𝑎𝑟𝑒 independent events then
𝐴′ 𝑎𝑛𝑑 𝐵′ will also be independent so :
𝑃(𝐴′ 𝐵′ ) = 𝑃(𝐴′ )𝑃(𝐵′ )
= [1 − 𝑃(𝐴)][1 − 𝑃(𝐵)]
17. C 𝑃(𝐴⁄𝐵) > 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴⋂𝐵)
⟹ > 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴⋂𝐵)
⟹ > 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴)
⟹ 𝑃(𝐵⁄𝐴) > 𝑃(𝐵)

18. Not Defined 𝑃(𝐴⋂𝐵)
𝑃(𝐴⁄𝐵) =
अपररभालषत 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴⋂𝐵)
=
0
= 𝑁𝑜𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑(अपररभालषत)
19. C A is true but R is false. A सही है परतुों R गित है |

20. D A is False since 𝑓 is not a function but R is true. A
गित है क्ोोंलक 𝑓 एक फिन नहीों है परतुों R सही है |

खंड – ब
SECTION – B (2×5=10)
21. R is reflexive, as 2 divides (𝑎 − 𝑎) ∀ 𝑎 ∈ 𝑍
If 2 divides (𝑎 − 𝑏) 𝑡ℎ𝑒𝑛 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑠 (𝑏 − 𝑎) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 1
So R is symmetric.
If 2 divides (𝑎 − 𝑏) 𝑎𝑛𝑑 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑠 (𝑏 − 𝑎)
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍
Then 2 divides (𝑎 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐) 𝑖. 𝑒. (𝑎 − 𝑐). 1
So R is transitive. Therefore R is an equivalence
relation.
R स्वतुल्य है क्ोोंलक समस्त 𝑎 ∈ 𝑍 के लिए 2, (𝑎 − 𝑎) को
लवभालजत करता है |
पुनः यलि समस्त 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 के लिए 2, (𝑎 − 𝑏) को लवभालजत
1
करता है तो 2, (𝑏 − 𝑎) को भी लवभालजत करे गा |अतः R
समलमत है |
पुनः यलि समस्त 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍 के लिए 2, (𝑎 − 𝑏) को
लवभालजत करता है तथा 2, (𝑏 − 𝑐) को भी लवभालजत करता
है तो 2, (𝑎 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐) = (𝑎 − 𝑐 ) को भी लवभालजत 1
करे गा |अतः R सोंक्रामक है | अतः सम्मुच्चय Z में R एक
तुल्यता सोंबध है |

अथवा (OR)

Taking 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃 िीलजए

−1
3𝑎2 𝑥 − 𝑥 3
𝑡𝑎𝑛 ( 3 ) 1
𝑎 − 3𝑎𝑥 2
−1
3𝑎2 . 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑎3 𝑡𝑎𝑛3 𝜃
= 𝑡𝑎𝑛 ( )
𝑎3 − 3𝑎. 𝑎2 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
3 𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑡𝑎𝑛3 𝜃
= 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) 1
1−3𝑡𝑎𝑛2 𝜃
−1 (tan −1
= 𝑡𝑎𝑛 3𝜃) = 3𝜃 = 3𝑡𝑎𝑛 𝑥
22. −2 3 −2 1 ½
𝐴′=[ ];𝐴 = [ ]
1 2 3 2
−1 0 −2 0
𝐵=[ ] ; 2𝐵 = [ ] ½
1 2 2 4
−4 1 ½
𝐴 + 2𝐵 = [ ]
5 6

(𝐴 + 2𝐵)′ = [−4 5]
1 6 ½

23. 𝑥 = 3पर 𝑓 सतत होगा यलि 𝑅. 𝐻. 𝐿. = 𝐿. 𝐻. 𝐿.
1
𝑓 𝑤𝑖𝑙𝑙 𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠 𝑎𝑡 𝑥 = 3 𝑖𝑓 𝑅. 𝐻. 𝐿. = 𝐿. 𝐻. 𝐿.
3 𝑎 + 1 = 3𝑏 + 3
3𝑎 = 3𝑏 + 2
2 1
⟹𝑎=𝑏+
3
24. लिया है : (Given that) 𝑦 − cos 𝑦 = 𝑥
⟹ 𝑦 ′ + 𝑠𝑖𝑛𝑦. 𝑦 ′ = 1
⟹ 𝑦 ′ (1 + sin 𝑦) = 1
1 1
⟹ 𝑦′ =
1 + 𝑠𝑖𝑛𝑦
Substituting the values of 𝑥 and 𝑦 ′ in the L.H.S. of
given differential equation:
𝑥 और 𝑦 ′ के मान लिए हुए अवकि समीकरण के वाम पक्ष
में रखने पर :
𝐿. 𝐻. 𝑆. = (𝑦 sin 𝑦 + cos 𝑦 + 𝑥 )𝑦′
1
⟹ (𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑦) 1
1 + 𝑠𝑖𝑛𝑦
1
⟹ 𝑦(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑦) (1+𝑠𝑖𝑛𝑦) = 𝑦 = 𝑅. 𝐻. 𝑆.

अथवा (OR)

𝑑𝑦 1 + 𝑦 2
=
𝑑𝑥 1 + 𝑥 2
𝑑𝑦 𝑑𝑥 1
⟹ =
1 + 𝑦2 1 + 𝑥2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
⟹∫ = ∫ +𝑐
1 + 𝑦2 1 + 𝑥2
⟹ 𝑡𝑎𝑛−1 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑐 1

25. Let mother (M), father(F), and son (S) line up for the
family picture, then the sample space will be :
माना माता(M), लपता(F), एवों पुत्र(S) पाररवाररक लचत्र में खड़े
हैं तो प्रलतिशश समलष्ट लनम्नलिखखत होगा:
𝑆 = {𝑀𝐹𝑆, 𝑀𝑆𝐹, 𝐹𝑀𝑆, 𝐹𝑆𝑀, 𝑆𝑀𝐹, 𝑆𝐹𝑀} ½
𝐸 = {𝑀𝐹𝑆, 𝐹𝑀𝑆, 𝑆𝑀𝐹, 𝑆𝐹𝑀}
𝐹 = {𝑀𝐹𝑆, 𝑆𝐹𝑀}
𝐸 ∩ 𝐹 = {𝑀𝐹𝑆, 𝑆𝐹𝑀}
2 1 ½
𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) = =
6 3
2 1 ½
𝑃(𝐹) = =
6 3
1
𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) 3 ½
𝑃(𝐸/𝐹) = = =1
𝑃(𝐹) 1
3

खंड – स
SECTION – C (3×6=18)

5 3
26. R.H.S= 𝑠𝑖𝑛−1 + 𝑐𝑜𝑠 −1
13 5

5 5
यहााँ 𝐻𝑒𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑛−1 13 = 𝑡𝑎𝑛−1 12
13
5

5
4 12

1
3

3 4
और 𝐴𝑛𝑑 𝑐𝑜𝑠 −1 = 𝑡𝑎𝑛−1
5 3
5 4
R.H.S= 𝑡𝑎𝑛−1 + 𝑡𝑎𝑛−1
12 3
5 4
+
= 𝑡𝑎𝑛−1 ( 12 3 ) 1
5 4
1− ×
12 3
5 + 16
= 𝑡𝑎𝑛−1 ( 12 )
5
1−
9
21⁄ 21 9
= 𝑡𝑎𝑛−1 ( 12) = 𝑡𝑎𝑛−1 ( × ) 1
4⁄ 12 4
9
63
= 𝑡𝑎𝑛−1 = 𝐿. 𝐻. 𝑆.
16

अथवा (OR)
लिया है (Given that ):
𝑥
𝑓: 𝑅 → {𝑥 ∈ 𝑅: −1 < 𝑥 < 1}; 𝑓(𝑥) =
1 + |𝑥|
णसद्ध करना है ∶ 𝒇 एकैकी है
(𝑻𝒐 𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆 ∶ 𝒇 𝒊𝒔 𝒐𝒏𝒆 − 𝒐𝒏𝒆)
Case 1: 𝑥 ≥ 0
1
तब (then) |𝑥| = 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) =
1+𝑥
माना 𝐿𝑒𝑡 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ; 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 𝑎𝑛𝑑 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)
𝑎 𝑏
⇒ =
1+𝑎 1+𝑏 ½
⇒ 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑏 + 𝑎𝑏

⇒𝑎=𝑏
Case 2: 𝑥 ≤ 0
1
तब (then) |𝑥| = −𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) =
1−𝑥
माना 𝐿𝑒𝑡 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ; 𝑎 ≤ 0, 𝑏 ≤ 0 𝑎𝑛𝑑 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)
½
𝑎 𝑏
⇒ =
1−𝑎 1−𝑏
⇒ 𝑎 − 𝑎𝑏 = 𝑏 − 𝑎𝑏
⇒𝑎=𝑏
िोनोों खिलतयोों में(In both cases):
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇔ 𝑎 = 𝑏 ½
⟹ 𝑓 𝑖𝑠 𝑜𝑛𝑒 − 𝑜𝑛𝑒. (𝑓 एकैकी है )
णसद्ध करना है ∶ 𝒇 आच्छादी है
(𝑻𝒐 𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆 ∶ 𝒇 𝒊𝒔 𝒐𝒏𝒕𝒐)
Case 1: 𝒚 ≤ 𝟎
𝑦
∀ 𝑦 ∈ 𝑅 ; −1 < 𝑦 < 1 ∃ 𝑥 = ∈ 𝑅 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡
1+𝑦
𝑦 𝑦 ½
𝑦 1+𝑦 1+𝑦
𝑓( )= = −𝑦 = 𝑦 ∈ 𝑅
1+𝑦 𝑦 1 + (1 + 𝑦)
1+|
1 + 𝑦|
Case 2: 𝒚 ≥ 𝟎
𝑦
∀ 𝑦 ∈ 𝑅 ; −1 < 𝑦 < 1 ∃ 𝑥 = ∈ 𝑅 𝑠𝑢𝑐ℎ 𝑡ℎ𝑎𝑡
1−𝑦
𝑦 𝑦 ½
𝑦 1+𝑦 1+𝑦
𝑓( )= = 𝑦 =𝑦∈𝑅
1−𝑦 𝑦 1 − (1 + 𝑦)
1−|
1 + 𝑦|
िोनोों खिलतयोों में(In both cases):

⟹ 𝑓 𝑖𝑠 𝑜𝑛𝑡𝑜. (𝑓 आच्छािी है )
So 𝑓 𝑖𝑠 𝑎 𝑜𝑛𝑒 − 𝑜𝑛𝑒 𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛. ½
अतः 𝑓 एक एकैकी आच्छािी फिन है

27. आव्यूह बीजगलणत के प्रयोग द्वारा सभी पुस्तकोों को बेचने पर
प्राप्त कुि धनरालश :

The total amount of money that will be received from
the sale of all these books can be represented in the
form of matrix multiplication as :

80
कुि धनरालश(Total Amount )=12[10 8 10 [60]
] 1.5
40
= 12[10 × 80 + 8 × 60 + 10 × 40] 0.5
= 12[800 + 480 + 400]
= 12[1680] = 20160 𝑅𝑠. 1

28. दिया है (Given that):
𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 4𝑥 3 − 12𝑥 2 + 12
⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 12𝑥 3 + 12𝑥 2 − 24𝑥
⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 12𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 0 𝑎𝑡 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = −2
1
⟹ 𝑓 ′′ (𝑥) = 36𝑥 2 + 24𝑥 − 24 = 12(3𝑥 2 + 2𝑥 − 2)

𝑓"(0) = −24 < 0
⟹ { 𝑓"(1) = 36 > 0
𝑓"(−2) = 72 > 0 1
nd
So by 2 derivative test :
लद्वतीय अवकिज परीक्षण द्वारा:

िानीय उच्चतम लबोंिु (Point of local maxima): 𝑥 = 0
𝑓 का िानीय उच्चतम मान (Local minimum value) :
𝑓(0) = 12
िानीय लनम्नतम लबोंिु (Points of local minima):𝑥 = 1, −2
𝑓 का िानीय लनम्नतम मान(Local maximum value): 1
𝑓(1) = 7 , 𝑓(−2) = −20

29. यहााँ (Here):
𝑥 sin 𝜋𝑥 ; −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑓(𝑥) = |𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑥| = { 3
−𝑥 sin 𝜋𝑥 ; 1 ≤ 𝑥 ≤ ½
2
अब (Now) :

3 3
1
2 2
∫ |𝑥 sin 𝜋𝑥|𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 sin 𝜋𝑥 𝑑𝑥 + ∫ −𝑥 sin 𝜋𝑥 𝑑𝑥 ½
−1 −1 1
3
1
2
= ∫ 𝑥 sin 𝜋𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 sin 𝜋𝑥 𝑑𝑥
−1 1
3
−𝑥 cos 𝜋𝑥 sin 𝜋𝑥 1 −𝑥 cos 𝜋𝑥 sin 𝜋𝑥 2
=[ + ] − [ + ]
𝜋 𝜋 2 −1 𝜋 𝜋2 1 1

2 1 1 3 1
= − [− 2 − ] = + 2 1
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋

30. At 𝑥 = 0
3𝑥 + 4 tan 𝑥 0
lim 𝑓(𝑥) = lim = 𝑓𝑜𝑟𝑚 ½
𝑥→0 𝑥→0 𝑥 0

Applying L’Hospital Rule:
L’Hospital तनयम का प्रयोग किने पि :

3 + 4 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
lim 𝑓(𝑥) = lim =3+4=7 1
𝑥→0 𝑥→0 1
So 𝑎𝑡 𝑥 = 0 for being continuous function should be
redefined as:
अिः 𝑥 = 0 पि सिि बनाने के ललए फलन 𝑓(𝑥) को
तनम्न प्रकाि से पुनपवरिभाविि र्कया जाना चादहए :
3𝑥 + 4 tan 𝑥
; 𝑥≠0
𝑓(𝑥) = { 𝑥
1
7 ; 𝑥=0
िब Then lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) = 7
𝑥→0 ½
So 𝑓 is continuous at 𝑥 = 0
अब 𝑓 अब एक सतत फिन होगा |

31. यहााँ (Here):
𝐴𝐵 = (2 − 1)𝑖̂ + (6 − 2)𝑗̂ + (3 − 7)𝑘̂ = 𝑖̂ + 4𝑗̂ − 4𝑘̂
⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵𝐶 = (3 − 2)𝑖̂ + (10 − 6)𝑗̂ + (−1 − 3)𝑘̂
⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑖̂ + 4𝑗̂ − 4𝑘̂ 1
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3 − 1)𝑖̂ + (10 − 2)𝑗̂ + (−1 − 7)𝑘̂
𝐶𝐴
= 2𝑖̂ + 8𝑗̂ − 8𝑘̂
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √12 + 42 + (−4)2 = √33
|𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √12 + 42 + (−4)2 = √33
|𝐵𝐶 1
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √22 + 82 + (−8)2 = √33 × 4 = 2√33
|𝐶𝐴
अब तीनोों लबोंिु सोंरेखी होोंगे यलि(Now these three points
will be collinear if ):
⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐴𝐵
|𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ | + |𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | 1
2√33 = √33 + √33 𝑤ℎ𝑖𝑐ℎ 𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒. (जो लक सत्य है )

खंड – द
SECTION – D (5×4=20)
32. माना तीन सोंख्याएों (Let the three numbers are) = 𝑥, 𝑦, 𝑧
प्रश्नानुसार ( According to question):
𝑥+𝑦+𝑧 =6
𝑦 + 3𝑧 = 11 ½
𝑥 + 𝑧 = 2𝑦 ⟹ 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
इस लनकाय को लनम्नलिखखत के रूप में लिखा जा सकता है :
This system of equations can be written as:
𝐴𝑋 = 𝐵, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 जहााँ
1 1 1 𝑥 6 ½
𝐴 = [0 1 3] , 𝑋 = [𝑦] , 𝐵 = [11]
1 −2 1 𝑧 0
⟹ |𝐴| = 1(1 + 6) − 1(0 − 3) + 1(0 − 1)
⟹ |𝐴| = 7 + 3 − 1 = 9 ≠ 0
अब (Now):
𝐴11 = 7, 𝐴12 = 3, 𝐴13 = −1
𝐴21 = −3, 𝐴22 = 0, 𝐴23 = 3 1
𝐴31 = 2, 𝐴32 = −3, 𝐴33 = 1

7 −3 2 ½
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = [ 3 0 −3]
−1 3 1
इस प्रकार (Thus):
−1
1 1 7 −3 2
𝐴 = . 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = [ 3 0 −3] 1
|𝐴| 9
−1 3 1
क्ोोंलक(Since):
−1
1 7 −3 2 6
𝑋=𝐴 𝐵= [ 3 0 −3] [11] ½
9
−1 3 1 0
𝑥 1
𝑋 = [𝑦 ] = [ 2 ]
𝑧 3
1
इस प्रकार (Thus): 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3

अथवा (OR)

इस लनकाय को लनम्नलिखखत के रूप में लिखा जा सकता है :
The given system of equations can be written as:
𝐴𝑋 = 𝐵, 𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒 जहााँ
2 1 1 𝑥 1
𝐴 = [1 −2 −1] , 𝑋 = [𝑦] , 𝐵 = [3⁄2]
0 3 −5 𝑧 9
|𝐴| = 34 ≠ 0
1
⟹ 𝐴 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑠(उपखित होगा )
−1

Co-factors of A are :
A के सहखोंडज :
𝐴11 = 13 , 𝐴12 = 5 , 𝐴13 = 3

𝐴21 = 8 , 𝐴22 = −10 , 𝐴23 = −6 1

𝐴31 = 1 , 𝐴32 = 3 , 𝐴33 = −5

13 8 1
⟹ 𝑎𝑑𝑗𝐴 = [ 5 −10 3 ]
3 −6 −5 ½

𝑎𝑑𝑗 𝐴 1 13 8 1
⟹ 𝐴−1 = = [ 5 −10 3 ] ½
|𝐴| 34
3 −6 −5
1
1 13 8 1
−1
⟹𝑋=𝐴 𝐵= [ 5 −10 3 ] [3⁄2]
34
3 −6 −5 9
1 13 + 12 + 9 1
⟹𝑋= [5 − 15 + 27]
34
3 − 9 − 45
1
1 34 1
⟹𝑋= [ 17 ] = [ ⁄2 ]
34 −3⁄
−51
2
𝑥 1
1⁄
⟹ 𝑋 = [𝑦 ] = [ 2 ]
𝑧 −3⁄
2
1 3
⟹ 𝑥 = 1, 𝑦 = , 𝑧 = − 1
2 2

33(a). We note that 𝑥 3 − 𝑥 ≥ 0 on [−1,0] and 𝑥 3 − 𝑥 ≤ 0 on
[0,1] 𝑎𝑛𝑑 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑥 3 − 𝑥 ≥ 0 on [1,2] ,So
हम िे खते हैं लक [−1,0]पर 𝑥 3 − 𝑥 ≥ 0 तथा
[0,1]पर 𝑥 3 − 𝑥 ≤ 0 तथा [1,2] पर 𝑥 3 − 𝑥 ≥ 0 अतः

2

𝐼 = ∫|𝑥 3 − 𝑥|𝑑𝑥
−1
0

= ∫(𝑥 3 − 𝑥)𝑑𝑥
−1
1 2

+ ∫(𝑥 − 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 + ∫(𝑥 3 − 𝑥)𝑑𝑥
0 1
=
0 1 2
𝑥4 𝑥2 𝑥2 𝑥4 𝑥4 𝑥2
⟹𝑰=[ − ] +[ − ] +[ − ]
4 2 −1 2 4 0 4 2 1

1 1 1 1 1 1 11
⟹ 𝑰 = − ( − ) + ( − ) + (4 − 2) − ( − ) =
4 2 2 4 4 2 4

33(b).
1 − √𝑥
𝐼 = ∫√ 𝑑𝑥
1 + √𝑥
माना (Let ) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 ⟹ 𝑑𝑥 = −2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

½
1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐼 = ∫√ (−2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝜃
1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃
2𝑠𝑖𝑛2 ½
𝐼 = −2 ∫ √ 2 (𝑠𝑖𝑛𝜃)(𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝜃
𝜃
2𝑐𝑜𝑠 2
2
𝜃
𝑠𝑖𝑛
= −2 ∫ 2 (2𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝜃 2 2
𝑐𝑜𝑠
2
½
𝜃
= −4 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2
𝜃 𝜃
= −4 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 (2𝑐𝑜𝑠 2 − 1) 𝑑𝜃
2 2

𝜃 𝜃 𝜃 ½
= −8 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑑𝜃 + 4 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑑𝜃
2 2 2
𝜃
= −2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃 + 4 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑑𝜃
2
= − ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 + 2 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝜃
𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝐼 = − [𝜃 − ] + 2[𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜃]
2 ½

= 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝐶
= 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2) + 𝐶
𝐼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 √𝑥 + √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃(√𝑥 − 2) + 𝐶

𝐼 = 𝑐𝑜𝑠 −1 √𝑥 + √1 − 𝑥(√𝑥 − 2) + 𝐶 ½

अथवा (OR)
Given ellipse is :
33(a_)
दिया गया िीघववि ृ :
𝑥2 𝑦2
+ =1
𝑎2 𝑏 2
𝑥2 𝑏
⟹ 𝑦 = ±𝑏√1 − 2
= ± √𝑎 2 − 𝑥 2 ½
𝑎 𝑎
आकृलत में (in figure ) :
𝑎 = 𝑠𝑒𝑚𝑖 𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟 𝑎𝑥𝑖𝑠(अर्द्श िीघश अक्ष ) ,
𝑏 = 𝑠𝑒𝑚𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟 𝑎𝑥𝑖𝑠(अर्द्श िघु अक्ष )

½

𝑎 ½
Required Arae (वाों लित क्षेत्रफि )=𝐴 = 4. ∫0 𝑦. 𝑑𝑥
𝑎 𝑎
𝑏 4𝑏
𝐴 = 4 ∫ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 ½
𝑎 𝑎
0 0
𝑎
4𝑏 𝑥 𝑎2 −1 𝑥
⟹𝐴= [ √𝑎 − 𝑥 + sin
2 2 ] ½
𝑎 2 2 𝑎 0
4𝑏 𝑎2 𝜋
𝐴= [ × ] = 𝜋𝑎𝑏 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠.
𝑎 2 2 ½

33(b) Given ellipse is :
दिया गया िीघववि ृ :
𝑥2 𝑦2
+ =1
9 4
𝑥2 2
⟹ 𝑦 = ±2√1 − = ± √2 2 − 𝑥 2
9 3
आकृलत में (in figure ) :
6
𝑎 = 𝑠𝑒𝑚𝑖 𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟 𝑎𝑥𝑖𝑠 (अर्द्श िीघश अक्ष ) = =3,
2 ½
4
𝑏 = 𝑠𝑒𝑚𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟 𝑎𝑥𝑖𝑠 (अर्द्श िघु अक्ष ) = = 2
2

½

3
Required Arae (वाों लित क्षेत्रफि )=𝐴 = 4. ∫0 𝑦. 𝑑𝑥
3 3
½
2 8
𝐴 = 4 ∫ √32 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ √32 − 𝑥 2 𝑑𝑥
3 3
0 0
3
8 𝑥 2 32 −1 𝑥
√ 2
⟹ 𝐴 = [ 3 − 𝑥 + sin ]
3 2 2 30
8 9 𝜋 ½
𝐴 = [ × ] = 6𝜋 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠.
3 2 2

34. Here (यहाों ):
𝑟 = (1 − 𝑡)𝑖̂ + (𝑡 − 2)𝑗̂ + (3 − 2𝑡)𝑘̂
𝑟 = (𝑠 + 1)𝑖̂ + (2𝑠 − 1)𝑗̂ − (2𝑠 + 1)𝑘̂
𝑟 = 𝑖̂ − 2𝑗̂ + 3𝑘̂ + 𝑡(−𝑖̂ + 𝑗̂ − 2𝑘̂)
½
𝑟 = 𝑖̂ − 𝑗̂ − 𝑘̂ + 𝑠(𝑖̂ + 2𝑗̂ − 2𝑘̂)

⃗⃗⃗⃗1 = 𝑖̂ − 2𝑗̂ + 3𝑘̂ ,
𝑎 ⃗⃗⃗
𝑏1 = −𝑖̂ + 𝑗̂ − 2𝑘̂
𝑎2 = 𝑖̂ − 𝑗̂ − 𝑘̂ ,
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
𝑏2 = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 2𝑘̂ 1
𝑎2 − 𝑎
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗1 = 𝑗̂ − 4𝑘̂
𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂
⃗⃗⃗
𝑏1 × 𝑏2 = |−1 1 −2| = 2𝑖̂ − 4𝑗̂ − 3𝑘̂
⃗⃗⃗⃗ 1
1 2 −2
⃗⃗⃗1 × ⃗⃗⃗⃗
(𝑏 𝑏2 ). (𝑎 ⃗⃗⃗⃗1 )
⃗⃗⃗⃗2 − 𝑎
𝑆. 𝐷. = | | 1
⃗⃗⃗1 × ⃗⃗⃗⃗
|𝑏 𝑏2 |
(2𝑖̂ − 4𝑗̂ − 3𝑘̂). (𝑗̂ − 4𝑘̂ )
न्यूनतम िू री (𝑆. 𝐷. ) = | | 1
|√4 + 16 + 9|
8 8
𝑆. 𝐷. = | |= 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠 ½
|√29| √29

अथवा (OR)
The vector equation of a line passing through a point
with position vector 𝑎 and parallel to a vector 𝑏⃗ is
given by :
दिए गए बबांि ु 𝑎 से जाने वाली िथा दिए गए सदिश 𝑏⃗
के समाांिि िे खा का समीकिि: 1
𝑟 = 𝑎 + 𝜆𝑏⃗
Given that (लिया है ):
𝑎 = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂
Direction vectors of given two lines :
1
िी हुई िोनों िे खाओां के दिक् सदिश:
⃗⃗⃗
𝑏1 = 3𝑖̂ − 16𝑗̂ + 7𝑘̂
⃗⃗⃗⃗
𝑏2 = 3𝑖̂ + 8𝑗̂ − 5𝑘̂
⃗⃗⃗ 1
𝑏1 × ⃗⃗⃗⃗
𝑏2 will be perpendicular to both ⃗⃗⃗ 𝑏1 and ⃗⃗⃗⃗
𝑏2 .
⃗⃗⃗⃗2 िोनोों 𝑏
⃗⃗⃗1 × 𝑏
𝑏 ⃗⃗⃗1 और𝑏 ⃗⃗⃗⃗2 के िम्ब सलिश होगा|

Now (अब) :

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 1
⃗⃗⃗
𝑏1 × 𝑏2 = |3 −16 7 | = 24𝑖̂ + 36𝑗̂ + 72𝑘̂ = 𝑏⃗
⃗⃗⃗⃗
3 8 −5
So required line is:
अिः वाांतछि िे खा का समीकिि:
1
𝑟 = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂ + 𝜆(24𝑖̂ + 36𝑗̂ + 72𝑘̂)
Or
𝑟 = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4𝑘̂ + 𝜆(2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 6𝑘̂)
35. Objective function (उद्िे श्य फलन) : 𝑍 = 𝑥 + 𝑦
Given constraints are:
दिए गए अविोि:
𝑥 ≥ 0, 𝑥 − 𝑦 ≤ −1, −𝑥 + 𝑦 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0
Consider the system of lines according to given
constraints:
दिए गए अविोिों के अनस ु ाि िै णखक समीकििों का
तनकाय:

x -1 0 1
𝑥 − 𝑦 = −1
y 0 1

−𝑥 + 𝑦 = 0 x -1 0
1
y -1 0

2

Conclusion:
There is no feasible region. So Z has no maximum 1
value for the given system.
लनष्कषश : यहाों कोई सुसोंगत क्षेत्र नहीों है अतः Z का कोई
अलधकतम मान नहीों है |

अथवा (OR)
Objective function (उद्िे श्य फलन) :
𝑍 = −50𝑥 + 20𝑦
Given constraints are:
दिए गए अविोि:
𝑥 ≥ 0,2𝑥 − 𝑦 ≥ −5,3𝑥 + 𝑦 ≥ 3,2𝑥 − 3𝑦 ≤ 12, 𝑦 ≥ 0
Consider the system of lines according to given
constraints:
दिए गए अविोिों के अनुसाि िै णखक समीकििों का
तनकाय:
2𝑥 − 𝑦 = −5 x 1 0
½
y 7 5

3𝑥 + 𝑦 = 3 x 1 0
y 0 3 ½

2𝑥 − 3𝑦 = 12 x 6 9
½
y 0 2

Corner Point 𝑍 = −50𝑥 + 20𝑦
Z का मान(Value of Z)
(शीिव बबांि)ु
(6,0) -300(smallest)
(0,5) 100 1
(0,3) 60
(1,0) -50

1

Since feasible region is unbounded so we have to graph
the inequality 𝑍 < −300
−50𝑥 + 20𝑦 = −300 ⟹ −5𝑥 + 2𝑦 = −30
x 6 9 ½
y 0 2
from which we find that resulting
region has points in common with U.F.R.
So Z has no maximum value.
क्योंर्क सुसग
ां ि क्षेत्र असीलमि है अिः हमें 𝑍 < −300
का आलेख बनाना होगा
−50𝑥 + 20𝑦 = −300 ⟹ −5𝑥 + 2𝑦 = −30

x 6 9
y 0 2

जजससे हम ये पािे हैं र्क 𝑍 < −300 का सस
ु ांगि क्षेत्र
में कुछ सााँझा क्षेत्र भी है अिः Z का कोई भी
1
अधिकिम मान नहीां हो सकिा |

खंड – ल
SECTION – E (4×3=12)
36. Here (यहाां) :
(a) Depth of tank (टैं क की गहराई)= 2 m = H
Volume of tank (टैं क का आयतन)= 8 𝑚3
So area of base of tank(टैं क के आधार का क्षेत्रफि ) = 1
8/2 = 4 m2= LB
Rate of building the base (आधार के लनमाश ण की िर) = 70
Rs/m2
Total cost (कुि कीमत)= 70 × 4 = 280 𝑅𝑠.
(b) LB = 4
4
B=
𝐿
Area of four walls (चार िीवारोों का क्षेत्रफि) = 2H(L+B)
4 4
⟹ 𝐴 = 2 × 2 (𝐿 + ) = 4 (𝐿 + )
𝐿 𝐿
⟹ 𝑃𝑈𝑇
𝑑𝐴 4
= 4 (1 − 2 ) = 0 1
𝑑𝐿 𝐿
4
⟹𝐿=2⟹𝐵= =2
2
2
𝑑 𝐴 32
𝑁𝑜𝑤 = 3 = 4 > 0 𝑎𝑡 𝐿 = 2
𝑑𝐿2 𝐿
So minimum area of 4 walls (अतः चारोों िीवारोों
का न्यूनतम क्षेत्रफि)= 2H(L+B)=16 m2
Min Cost of building walls(चार िीवारोों के लनमाश ण की कुि
कीमत ) = 16× 45 = 720 𝑅𝑠. 1

(c). Cost of least expensive tank (न्यूनतम िागत से बनी
टों की की कुि िागत)= 280+720=1000 Rs.

1
37. दिया हुआ समीकिि:
Given equation is :
1
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥 ≤ 3
2

Rate of growth of the plant with respect to no. of days exposed
to the sunlight(सूयश का प्रकाश उपिब्ध होने वािे लिनोों के सापेक्ष
(a)
पौधे की वृखर्द् की िर) :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=4−𝑥 1

Here(यहााँ ):
𝑑𝑦
(b) 𝑑𝑥
=4−𝑥

𝑑2𝑦
= −1 < 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 1
⟹ 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑎𝑠𝑒𝑠.
𝑑𝑥
So Rate of growth of the plant will decrease in the first three
days.
अतः पहिे तीन लिनोों में पौधे की वृखर्द् की िर घटे गी |
1
Height of plant after two days (िो लिन बाि पौधे की ऊोंचाई) :
(c)
Putting 𝑥 = 0 𝑖𝑛 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
(लिए हुए समीकरण में 𝑥 = 0रखने पर)
1 1
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 = 4(2) − (2)2 = 6 𝑐𝑚
2 2
1
38. Let event E1 = patient follows yoga and meditation
course.
E2 = patient follows prescription of certain
drug
A = patient suffers from a heart attack.
1 40
So 𝑃(𝐸1 ) = 𝑃(𝐸2 ) = , 𝑃(𝐴) =
2 100
(a) 𝐴
Now 𝑃 ( ) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑜𝑓 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑎 𝑝𝑎𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡
𝐸 1
𝑓𝑟𝑜𝑚 ℎ𝑒𝑎𝑟𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑎𝑓𝑡𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑙𝑙𝑜𝑤𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑜𝑔𝑎
𝑎𝑛𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛. )
𝐴
𝑇ℎ𝑒𝑛 𝑃 ( )
𝐸1

= 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛 40% − 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑑 𝑏𝑦 30% 𝑜𝑓 40%
40 30 40 28 1
= − × =
100 100 100 100

𝐴
(b) Now 𝑃 ( ) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑜𝑓 𝑠𝑢𝑓𝑓𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑎 𝑝𝑎𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡
𝐸 2
𝑓𝑟𝑜𝑚 ℎ𝑒𝑎𝑟𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑎𝑓𝑡𝑒𝑟 𝑢𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑟𝑢𝑔

𝐴
𝑇ℎ𝑒𝑛 𝑃 (
)
𝐸2
= 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛 40% − 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑑 𝑏𝑦 25% 𝑜𝑓 40%
40 25 40 30 1
= − × =
100 100 100 100

(c) Using Bayes’
𝐸
Theorem:
Now 𝑃 ( 1 ) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑜𝑓 𝑎 𝑝𝑎𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑓𝑜𝑙𝑙𝑜𝑤𝑒𝑑 𝑦𝑜𝑔𝑎
𝐴
𝑎𝑛𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑠𝑒 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑡ℎ𝑎𝑡 ℎ𝑒 ℎ𝑎𝑑 𝑎 ℎ𝑒𝑎𝑟𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘.
1 28
𝐸1 2
×
100 14 2
𝑃( ) = =
𝐴 1 28 1 30 29
× + ×
2 100 2 100

माना घटना E1 = रोगी ने ध्यान और योग को अपनाया
E2 = रोगी ने िवाई को अपनाया
A = रोगी को लिि का िौरा पड़ना
1 40
इसलिए 𝑃(𝐸1 ) = 𝑃(𝐸2 ) = , 𝑃(𝐴) =
2 100

(a) अब
𝐴
𝑃( ) = योग और ध्यान को अपनाने के बाि भी
𝐸1
लिि के िौरे से ग्रलसत होने की प्रालयकता
𝐴
तब 𝑃 ( )
𝐸1
= लिया हुआ 40% − 40% में 30% की कमी

=
40
−
30
×
40
=
28 1
100 100 100 100

(b) अब
𝐴
𝑃( ) = िवाई को अपनाने के बाि भी
𝐸2
लिि के िौरे से ग्रलसत होने की प्रालयकता
𝐴
तब 𝑃 ( )
𝐸2
= लिया हुआ 40% − 40% में 25% की कमी
40 25 40 30 1
= − × =
100 100 100 100

(c) बेज प्रमेय का प्रयोग करने पर :
𝐸
अब 𝑃 ( 1 ) = योग और ध्यान का उपयोग लकए जाने की प्रालयकता
𝐴
जबलक लिया है लक रोगी को लिि का िौरा पड़ा है .
1 28
𝐸1 × 14
𝑃( ) = 2 100 =
𝐴 1 28 1 30 29 2
× + ×
2 100 2 100

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