NCERT Solutions Class 4 Maths Chapter 9 समान समूह

F R E E S T U D Y M AT E R I A L F O R E V E R Y S T U D E N T

क ा4

एनसीईआरट समाधान

अध्याय 9: समान समूह

एनसीईआरट पाठ्यपुस्तक — ग णत मेला

पुस्तक पृष्ठ खंड प्रश्न माध्यम

128 – 148 25 87 हन्द

Solutions, notes, sample papers & more at 111 pages

क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

क ा 4 · ग णत · ग णत मे ला

एनसीईआरट समाधान — अध्याय 9: समान समूह
ग णत मेला का अध्याय 9 गनती को गुणा और भाग म बदलता है। जंतु संख्या-रास्ते पर छोड़-छोड़कर गनते ह, कपकेक पं क्तय और स्तंभ म सजते
ह, और प हये तथा पैर समान समूह म बाँटे जाते ह।

पाठ्यपु स्तक पु स्तक पृ ष्ठ

ग णत मेला (क ा 4) 128 – 148

खं ड प्रश्न

25 87

माध्यम
हन्द

जंतओं
ु क छलाँग — पृष्ठ 128
रक्त स्थान को उपयुक्त संख्याओं से भ रए

प्र.1 मढक एक बार म 3 कदम कूदता है। वह कन- कन संख्याओं पर पहुँचेगा? क्या वह 67 को स्पश करेगा? ये
संख्याएँ 3 क गुणज ह।

0 3 6 12

18

मढक का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर तीसरी संख्या पर पहुँचता है।

मढक 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33 … पर पहुँचेगा। वह 3-3 करके गनता है।

0 से शुरू कीिजए।

0 → 3 → 6 → 9 → 12 → 15 → 18 → 21 → 24 → 27 → 30 → 33

रास्ते के खाली गोलों में आएँगे — 9, 15, 21, 24, 27, 30, 33

क्या वह 67 को छु एगा? 67 के पास 3 क गुणज ह — 60, 63, 66, 69।

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अत: मढक 67 पर नह पहुँचेगा।

ऐसा क्य होता है: मढक केवल उन्ह संख्याओं पर उतरता है जो 3 के पूरे समूह से बनती ह। 66 म 3 के 22 समूह
ह, पर 67 म 1 बच जाता है।

प्र.2 गलहरी एक बार म 4 कदम कूदती है। वह कन- कन संख्याओं को स्पश करेगी? 60 तक पहुँचने के लए गलहरी
को कतनी बार कूदना होगा? ये संख्याएँ ––––– क गुणज ह।

0 4 8 12

गलहरी का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर चौथी संख्या पर पहुँचती है।

गलहरी 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 … को स्पश करेगी। वह 4-4 करके गनती है।

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60

छलाँगें िगिनए — 60 में 4 के 15 समूह है ं

अत: िगलहरी को 15 बार कू दना होगा।

ये संख्याएँ 4 क गुणज ह।

सुझाव: 10 छलाँग म गलहरी 40 तक पहुँचती है। वहाँ से 5 छलाँग और लगाने पर 20 जुड़ते ह, और 40 + 20 =
60।

जंतओं
ु क छलाँग — पृष्ठ 129

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खरगोश और कंगारू

प्र.1 खरगोश एक बार म 6 कदम कूदता है। वह कन- कन संख्याओं पर पहुँचेगा? 3 अंक क सबसे छोट वह कौन-सी
संख्या है, जस पर खरगोश पहुँचेगा? इस संख्या तक पहुँचने के लए खरगोश ने कतनी छलाँग लगाईं? ये
संख्याएँ –––––– क गुणज ह।

0 6 12 18

खरगोश का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर छठ संख्या पर पहुँचता है।

खरगोश 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 … पर पहुँचेगा। वह 6-6 करके गनता है।

100 के पास: 90, 96, 102

96 सौ से छोटी है और 102 सौ से बड़ ी।

अत: 3 अंक की सबसे छोटी संख्या 102 है।

102 में 6 के 17 समूह है,ं इसिलए खरगोश ने 17 छलाँगें लगाईं।

ये संख्याएँ 6 क गुणज ह।

ऐसा क्य होता है: खरगोश केवल 6 के पूरे समूह वाली संख्याओं पर उतरता है। 100 ऐसी संख्या नह है, इस लए
वह उसे लाँघकर 102 पर पहुँचता है।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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कंगारू एक बार म 8 कदम कूदता है। कंगारू कन- कन संख्याओं पर पहुँचेगा? ये संख्याएँ –––––– क गुणज ह।
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प्र.2

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क्या ऐसी संख्याएँ भी ह जन पर खरगोश तथा कंगारू दोन पहुँचगे?

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कंगारू का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर आठव संख्या पर पहुँचता है।
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कंगारू 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 … पर पहुँचेगा। वह 8-8 करके गनता है।

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ये संख्याएँ 8 क गुणज ह।

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खरगोश: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72

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कं गारू: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72
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समान संख्याएँ: 24, 48, 72, 96 …

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agl । दोन 24, 48, 72 और 96 पर पहुँचते ह।
हाँ

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सुझाव: ये समान संख्याएँ 6 और 8 के साव गुणज ह। ये हर 24 कदम बाद आती ह।
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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 48 तक पहुँचने के लए खरगोश ने कतनी बार छलाँग लगाई? इसी संख्या तक पहुँचने के लए कंगारू कतनी
छलाँग लगाएगा? आपने क्या अवलोकन कया? अपने वचार साझा क जए।

0 6 12 18

खरगोश का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर छठ संख्या पर पहुँचता है।

0 8 16

कंगारू का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर आठव संख्या पर पहुँचता है।

खरगोश 6-6 कू दता है: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48

48 में 6 के 8 समूह है,ं अत: खरगोश ने 8 छलाँगें लगाईं।

कं गारू 8-8 कू दता है: 8, 16, 24, 32, 40, 48

48 में 8 के 6 समूह है,ं अत: कं गारू ने 6 छलाँगें लगाईं।

अवलोकन: जसक छलाँग बड़ी होती है, उसे कम छलाँग लगानी पड़ती ह।

ऐसा क्य होता है: दोन 48 कदम ही तय करते ह। खरगोश 6 के 8 समूह लेता है और कंगारू 8 के 6 समूह —
और 8 × 6 तथा 6 × 8 दोन 48 ह।

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जंतओं
ु क छलाँग — पृष्ठ 130
60 तक क छलाँग

प्र.1 60 तक पहुँचने के लए मढक कतनी छलाँग लगाएगा? उसी संख्या पर पहुँचने के लए खरगोश कतनी छलाँग
लगाएगा? आपने क्या अवलोकन कया? अपने वचार साझा क जए।

0 3 6 12

18

मढक का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर तीसरी संख्या पर पहुँचता है।

0 6 12 18

खरगोश का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर छठ संख्या पर पहुँचता है।

मेंढक 3-3 कू दता है: 3, 6, 9, … , 57, 60

60 में 3 के 20 समूह है,ं अत: मेंढक 20 छलाँगें लगाएगा।

खरगोश 6-6 कू दता है: 6, 12, 18, … , 54, 60

60 में 6 के 10 समूह है,ं अत: खरगोश 10 छलाँगें लगाएगा।

अवलोकन: खरगोश को मढक से ठ क आधी छलाँग लगानी पड़ती ह।

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ऐसा क्य होता है: खरगोश क एक छलाँग (6) मढक क दो छलाँग (3 + 3) के बराबर है। इस लए उसे आधी
छलाँग ही चा हए।

साव गुणज — पृष्ठ 130
साव गुणज, बल्ली-चूहा और संख्या-ता लका

प्र.1 कौन-सी संख्याओं पर मढक और गलहरी दोन पहुँचते ह? 3 और 4 के कुछ साव गुणज ह —

0 3 6 12

18

मढक का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर तीसरी संख्या पर पहुँचता है।

0 4 8 12

गलहरी का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर चौथी संख्या पर पहुँचती है।

मेंढक (3 के गुणज): 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36

िगलहरी (4 के गुणज): 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36

3 और 4 के कुछ साव गुणज ह — 12, 24, 36, 48 और 60।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: 12 म 3 के 4 समूह ह और 4 के 3 समूह भी। इसके बाद दोन जंतु हर 12 कदम पर फर मलते
ह।

प्र.2 कौन-सी संख्याओं पर खरगोश और कंगारू दोन पहुँचते ह? 6 और 8 के कुछ साव गुणज ह —

0 6 12 18

खरगोश का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर छठ संख्या पर पहुँचता है।

0 8 16

कंगारू का रास्ता। वह 0 से शुरू करके हर आठव संख्या पर पहुँचता है।

खरगोश (6 के गुणज): 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72

कं गारू (8 के गुणज): 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72

6 और 8 के कुछ साव गुणज ह — 24, 48, 72 और 96।

स्वयं जाँ चए: 24 = 6 के 4 समूह और 24 = 8 के 3 समूह। दोन वहाँ पहुँचते ह।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
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चूहा संख्या 12 पर है। जब बल्ली 3 कदम आगे कूदती है, तो चूहा भी 2 कदम आगे कूदता हैe।m
प्र.3 य द बल्ली और चूहा एक ही संख्या पर पहुँचते ह तो बल्ली चूहे को पकड़ लेगी। अभी बल्ली संख्या 6 पर है और

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क्या बल्ली चूहे को

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पकड़ पाएगी?

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16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30

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a s em संख्या-प । बल्ली 6 पर है और चूहा 12 पर है।

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हाँ, बल्ली चूहे को 24 पर पकड़ लेगी।

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आइए हर छलाँग के बाद दोन क जगह लख।

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छलाँग बल्ली (+3) चूहा (+2)

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शुरू 6 12

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4 18 20

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6 छलाँग के बाद दोन 24 पर पहुँच जाते ह।
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a s em ऐसा क्य होता है: बल्ली 6 कदम पीछे है। हर छलाँग म वह 3 − 2 = 1 कदम पास आ जाती है। इस लए 6

agl छलाँग म 6 कदम का अंतर मट जाता है और दोन 24 पर मलते ह।
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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 नीचे द गई ता लका म गुणनफल और भागफल के कथन का पता लगाइए। उन कथन को छायां कत क जए।
आप कतने कथन का पता लगा सकते ह? आपके लए दो उदाहरण हल करके प्रस्तुत कए गए ह।

3 4 2 7 4 9 8 2

4 2 10 20 5 2 2 4

12 8 0 6 4 8 8 1

3 2 6 2 2 6 16 2

2 3 6 18 6 5 3 1

10 3 4 1 12 2 7 14

2 0 2 2 6 10 7 2

20 5 8 2 2 5 10 2

पुस्तक क संख्या-ता लका। पं क्त म बाएँ से दाएँ या स्तंभ म ऊपर से नीचे प ढ़ए।
कसी पं क्त के तीन खाने बाएँ से दाएँ प ढ़ए, या कसी स्तंभ के तीन खाने ऊपर से नीचे प ढ़ए। हम 17 कथन मले।
पं क्तय म:

पं क्त 2: 2 × 10 = 20 तथा 2 × 2 = 4
पं क्त 3: 8 ÷ 8 = 1
पं क्त 4: 3 × 2 = 6
पं क्त 5: 2 × 3 = 6 तथा 3 × 6 = 18
पं क्त 6: 2 × 7 = 14
पं क्त 8: 2 × 5 = 10

स्तंभ म:

स्तंभ 1: 3 × 4 = 12 तथा 10 × 2 = 20
स्तंभ 2: 4 × 2 = 8
स्तंभ 3: 4 × 2 = 8
स्तंभ 4: 1 × 2 = 2
स्तंभ 5: 2 × 6 = 12 तथा 12 ÷ 6 = 2
स्तंभ 6: 5 × 2 = 10
स्तंभ 7: 2 × 8 = 16

ध्यान द जए: हमारी पुस्तक म “हल करके दए गए दो उदाहरण” कसी छाया से च त नह ह, इस लए ऊपर
सभी 17 कथन दए गए ह।

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गुलाबो का उ ान — पृष्ठ 131
गुणन कथन

प्र.1 गुलाबो के उ ान म कुमु दनी ( लली) के पुष्प ह। कुमु दनी के प्रत्येक पुष्प म 3 पंखु ड़याँ ह। 12 पुष्प म कतनी
पंखु ड़याँ ह गी? बताइए आपने यह उत्तर कैसे प्राप्त कया? 10 कुमु दनी म 10 × 3 पंखु ड़याँ = 30 पंखु ड़याँ। 2
कुमु दनी म पंखु ड़याँ ______। 12 कुमु दनी म पंखु ड़याँ ______।

गुलाबो के 12 कुमु दनी पुष्प। हर पुष्प म 3 पंखु ड़याँ ह।

12 कुमु दनी पुष्प म 36 पंखु ड़याँ ह गी।

12 पुष्प = 10 पुष्प + 2 पुष्प

10 कु मुिदनी में = 10 × 3 = 30 पंखिु ड़ याँ

2 कु मुिदनी में = 2 × 3 = 6 पंखिु ड़ याँ

12 कु मुिदनी में = 30 + 6 = 36 पंखिु ड़ याँ

गुणन कथन: 12 × 3 = 36

यहाँ 12 समूह क संख्या (गुणक) है, 3 समूह का आकार (गुण्य) है और 36 गुणनफल है।

ऐसा क्य होता है: 12 को 10 और 2 म बाँटने से गनती आसान हो जाती है, क्य क दहाई जल्द गने जाते ह। अंत
म दोन भाग जोड़ दए जाते ह।

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प्र.2 एक गुड़हल के पुष्प म 5 पंखु ड़याँ ह। गुलाबो ने सभी पंखु ड़य को गना और पाया क वे 80 ह। उसके पास कुल
कतने पुष्प ह? य द 5 पंखु ड़याँ ह तो 1 पुष्प है। य द 10 पंखु ड़याँ ह तो 2 पुष्प ह। य द 50 पंखु ड़याँ ह तो 10
पुष्प ह। अत: 80 पंखु ड़याँ ह तो ______ पुष्प ह।

गुड़हल के पुष्प। हर पुष्प म 5 पंखु ड़याँ ह।

गुलाबो के पास 16 पुष्प ह।

80 ÷ 5 पुष्प
50 पंखिु ड़ याँ = 10 पुष्प

80 − 50 = 30 पंखिु ड़ याँ अभी शेष है।
ं

30 पंखिु ड़ याँ = 6 पुष्प (क्योंिक 6 × 5 = 30)

10 + 6 = 16 पुष्प

जाँच : 16 × 5 = 80 ✓

ऐसा क्य होता है: हर पुष्प 5 पंखु ड़याँ लेता है। इस लए हम 80 म से 5-5 के समूह नकालते जाते ह और गनते ह
क कतने समूह नकले।

गुलाबो का उ ान — पृष्ठ 132

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पं क्तयाँ, स्तंभ और रचना

प्र.1 गुलाबो ने चत्र म दशाए गए अनुसार एक डब्बे म गदे के कुछ पौधे लगाए ह।

गुलाबो का गदे के पौध वाला डब्बा।

प्रत्येक पं क्त म ______ पौधे ह। कुल ______ पं क्तयाँ ह। उसने कतने पौधे लगाए ह? आपने गणना कैसे क ?
ग णतीय कथन ______

गुलाबो का गदे के पौध वाला डब्बा।

उसने 36 पौधे लगाए ह।

पत्येक पंिक्त में 12 पौधे है।
ं

कु ल 3 पंिक्तयाँ है।
ं

12-12 करके िगिनए: 12, 24, 36

गिणतीय कथन: 3 × 12 = 36

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
a g l AglaSem · NCERT Solutions

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ऐसा क्य होता है: हर पं क्त म पौध क संख्या समान है। इस लए 12 + 12 + 12 जोड़ना और 3 × 12 करना एक

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ही बात है।

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प्र.2 बड़ी माकट म एक बड़ी ट्रे (थाल) म अंगूर के डब्बे रखे ह। बड़ी माकट म अंगूर के कतने डब्बे ह? दशाइए क

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आपने यह कैसे पता कया।

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अंगूर के डब्ब वाली बड़ी ट्रे । बदुदार रेखा इसे दो भाग म बाँटती है।

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अंगूर के डब्ब के कुल ______ स्तंभ ह। प्रत्येक स्तंभ म ______ डब्बे ह। कुल मलाकर ______ डब्बे ह। ग णतीय

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कथन ______
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अंगूर के डब्ब वाली बड़ी ट्रे । बदुदार रेखा इसे दो भाग म बाँटती है।

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बड़ी माकट म अंगूर के 96 डब्बे ह।
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a g l Page 14 of 111

क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

कु ल 16 स्तं भ है।
ं

पत्येक स्तं भ में 6 िडब्बे है।
ं

िबंद ुद ार रेखा टे को 10 स्तं भ और 6 स्तं भ में बाँट ती है।

10 स्तं भ : 10 × 6 = 60 िडब्बे

6 स्तं भ : 6 × 6 = 36 िडब्बे

60 + 36 = 96 िडब्बे

गिणतीय कथन: 16 × 6 = 96

सुझाव: 16 को 10 और 6 म बाँटना वही तरीका है जो कुमु दनी वाले प्रश्न म था। पहले दहाई, फर बाक ।

प्र.3 राधा एक बेकरी क दुकान चलाती है। वह नीचे दखाए गए आकार क एक थाली म 18 कपकेक बनाती है। (क)
नीचे द गई दोन था लय म कपकेक को व्यव स्थत क जए।

पुस्तक म छपी हुई दोन था लयाँ। पहली थाली म कुछ कपकेक पहले से रखे ह।

पुस्तक म छपी हुई दोन था लयाँ।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

हर थाली म 18 कपकेक 6 क 3 पं क्तय म आते ह।

दोन था लयाँ भरी हुई — हर थाली म 6 कपकेक क 3 पं क्तयाँ।

पुस्तक में 6 कपके क की पहली पंिक्त और 3 कपके क का पहला स्तं भ पहले से बने है।
ं

अत: थाली में 3 पंिक्तयाँ × 6 स्तं भ है।
ं

एक थाली में 3 × 6 = 18 कपके क।

ऐसा क्य होता है: कसी रचना म हर पं क्त म समान संख्या होती है। एक पं क्त म 6 ह और 3 पं क्तयाँ ह, तो
बाक थाली भी वैसी ही भरेगी।

गुलाबो का उ ान — पृष्ठ 133
राधा क बे कग था लयाँ

प्र.1 (ख) वह अपने ओवन म एक बार म ऐसी दो था लय का उपयोग कर सकती है तो बताइए क वह एक बार म कुल
कतने कपकेक बना सकती है?

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दोन था लयाँ भरी हुई — हर थाली म 6 कपकेक क 3 पं क्तयाँ।

वह एक बार म 36 कपकेक बना सकती है।

1 थाली = 18 कपके क

2 थािलयाँ = 18 + 18

2 × 18 = 36 कपके क

ऐसा क्य होता है: दो समान था लयाँ दो समान समूह ह, इस लए एक थाली के 18 कपकेक दुगुने हो जाते ह।

प्र.2 (ग) आज उसे एक वशेष ऑडर मला है। उसने 108 कपकेक बनाए ह। उसने कुल कतनी था लयाँ बेक के लए
उपयोग क ?

दोन था लयाँ भरी हुई — हर थाली म 6 कपकेक क 3 पं क्तयाँ।

उसने 6 था लयाँ उपयोग क ।

एक थाली में 18 कपके क आते है,ं अत: 108 ÷ 18 ात कीिजए।

18-18 करके िगिनए:

18, 36, 54, 72, 90, 108

िगनती: 1, 2, 3, 4, 5, 6
जाँच : 6 × 18 = 108 ✓

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

सुझाव: दो-दो था लय म गनना आसान है — 2 था लयाँ = 36, 4 था लयाँ = 72, 6 था लयाँ = 108।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
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(घ) उसके पास एक दूसरी चौकोर बे कग थाली है जसम वह 36 छोटे कपकेक बना सकती है। नीचे द गई
e
प्र.3

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व्यवस्था को पूरा क जए।

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a

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a

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पुस्तक म छपी हुई चौकोर बे कग थाली — पहली पं क्त और पहला स्तंभ पहले से रखे गए ह।

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स्तंभ क संख्या ______ प्रत्येक स्तंभ म कपकेक क संख्या ______ गुणन कथन ______

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

पुस्तक म छपी हुई चौकोर बे कग थाली।

थाली चौकोर है, इस लए इसम पं क्तयाँ और स्तंभ बराबर ह गे।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

36 छोटे कपकेक से भरी चौकोर थाली।

स्तं भ ों की संख्या: 6

पत्येक स्तं भ में कपके क: 6
गुणन कथन: 6 × 6 = 36

ऐसा क्य होता है: पुस्तक म ऊपर 6 कपकेक और बाईं ओर 6 कपकेक बने ह। चौकोर थाली म पं क्तयाँ और स्तंभ
बराबर होते ह, और 6 के 6 समूह 36 बनाते ह।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 अपनी अभ्यास पु स्तका म कपकेक क नम्न ल खत संख्याओं को पं क्तय और स्तंभ म व्यव स्थत करने के
व भन्न तरीके खो जए। 36, 8, 12 और 24

हर संख्या के लए ऐसी दो संख्याएँ खो जए जनका गुणनफल वही संख्या हो। हर जोड़ा एक व्यव ा है।

कपकेक तरीके (पं क्तयाँ × स्तंभ)

36 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6

8 1 × 8, 2 × 4

12 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4

24 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6

हर जोड़े को उलटा भी कया जा सकता है, जैसे 3 पं क्तय म 12 के बदले 12 पं क्तय म 3।
नमूना उत्तर: 24 कपकेक 6 क 4 पं क्तय म, या 8 क 3 पं क्तय म, या 12 क 2 पं क्तय म, या 24 क 1 लंबी पं क्त म रखे जा
सकते ह।

ऐसा क्य होता है: रचना तभी बनती है जब हर पं क्त म समान संख्या हो। इस लए दोन भुजाओं क संख्याओं का
गुणनफल कुल संख्या होना चा हए।

दुगुने का जादू — पृष्ठ 134
जादूगरनी अन्वी पुष्प को दुगुना करती है

प्र.1 मुस्कुरा के दखाते हुए अपने चमक ले पुष्प, उसने कहा, “ फर से दे खो! बताओ अब कतने पुष्प?” अब यहाँ
कतने पुष्प ह? ______

अन्वी ने कोट से जो पुष्प नकाले।

अब 46 पुष्प ह।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

जादू के बाद के पुष्प — पहली पं क्त जैसी ही एक और पं क्त।

अन्वी ने पहली पंिक्त जै सी एक और पंिक्त बना दी।

23 + 23 = 46

या 2 × 23 = 46 पुष्प

ऐसा क्य होता है: दुगुना करने का अथ है दो समान समूह बनाना। 23 के दो समूह 2 × 23 के बराबर ह।

प्र.2 अन्वी ने कौन-सा जादू कया? ता लका को पूरा क जए।

जादू से पहले 23 10 51 95 150 199 425 500
पुष्प

जादू के बाद पुष्प 46 222 410 500

जादू से पहले पुष्प 23 10 51 95 150 199 425 500 ? ? ?

जादू के बाद पुष्प 46 ? ? ? ? ? ? ? 222 410 500

पुस्तक म छपी हुई ता लका।
अन्वी का जादू है — दुगुना करना। वह हर समूह को दुगुना कर दे ती है।

पहले 23 10 51 95 150 199 425 500 111 205 250

बाद म 46 20 102 190 300 398 850 1000 222 410 500

पूरी क गई ता लका।

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as e
क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
e m.
10 + 10 = 20 51 + 51 = 102 95 + 95 = 190
m l as
.co
150 + 150 = 300 199 + 199 = 398
m a g
l a se
g
425 + 425 = 850 500 + 500 = 1000
aअंितम तीन के िलए उल्टा चिलए (आधा कीिजए):

com
. ag
222 = 111 का दुगन
ु ा 410 = 205 का दुगन
ु ा 500 = 250 का दुगन
ु ा
e m
g l as
a
सुझाव: दुगुना करने के लए सैकड़ा, दहाई और इकाई अलग-अलग दुगुने क जए, फर जोड़ द जए। 199 → 200
+ 180 + 18 = 398।
co m
em.
m l as
.co a g
a s em(क) 32 का दुगुना = ___ (ख) 14 का दुगुना = ___ (ग) 26 का दुगुना = ___ (घ) 17 का दुगुना = ___ (ङ) 39 का
gl दुगुना = ___ (च) 45 का दुगुना = ___
प्र.3

a
m a s
m .co agl

l a se
(क) 32 + 32 = 64 a g
(ख) 14 + 14 = 28
co m
m .
(ग) 26 + 26 = 52
m as e
17o + 17 = 34
(घ).c a g l
m
ase
agl (ङ) 39 + 39 = 78

(च) 45 + 45 = 90
se m
com g l a
m . a
ase
agl
दुगुना करना और 2 से गुणा करना एक ही बात है।

ऐसा क्य होता है: 26 = 20 + 6। 20 का दुगुना 40 और 6 का दुगुना 12, और 40 + 12 = 52।

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m .
m as e
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se m
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m a s e
e m . co agl
g l as
a

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a g l Page 24 of 111

क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 अनुमान लगाइए क नम्न ल खत संख्याओं को दुगुना करने पर इकाई अंक क्या होगा? दए गए रक्त स्थान म
इकाई अंक को ल खए। (क) 28 ___ (ख) 56 ___ (ग) 45 ___ (घ) 17 ___

संख्या दुगुना इकाई अंक

28 56 6

56 112 2

45 90 0

17 34 4

हर संख्या को दुगुना क जए और अं तम अंक दे खए।
इकाई अंक ह गे — 6, 2, 0 और 4।

ऐसा क्य होता है: उत्तर का इकाई अंक केवल इकाई अंक से तय होता है। 8 का दुगुना 16 → इकाई 6। 6 का
दुगुना 12 → इकाई 2। 5 का दुगुना 10 → इकाई 0।

प्र.5 उन संख्याओं के उदाहरण द जए जन्ह दुगुना करने पर इकाई के स्थान पर नम्न ल खत अंक आते ह। (क) 0 ___
(ख) 2 ___ (ग) 4 ___ (घ) 6 ___ (ङ) 8 ___ क्या हम दुगुना करने के बाद इकाई अंक के रूप म 3, 5, 7, 9 प्राप्त
कर सकते ह?

चा हए इकाई अंक कुछ संख्याएँ जाँच

0 5, 10, 15, 20, 25 5 → 10, 15 → 30

2 1, 6, 11, 16, 21 1 → 2, 16 → 32

4 2, 7, 12, 17, 22 2 → 4, 17 → 34

6 3, 8, 13, 18, 23 3 → 6, 18 → 36

8 4, 9, 14, 19, 24 4 → 8, 19 → 38

नमूना उत्तर — और भी बहुत-सी संख्याएँ काम करती ह।
नह , दुगुना करने पर इकाई अंक 3, 5, 7 या 9 कभी नह आ सकता।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

ऐसा क्य होता है: दुगुना करने से दो समान समूह बनते ह, इस लए उत्तर सदै व सम संख्या होता है। सम संख्याएँ
केवल 0, 2, 4, 6 या 8 पर समाप्त होती ह।

प्र.6 संख्याओं को दुगुना करने पर जो संख्याएँ हम प्राप्त होती ह, उनके वषय म हम क्या दे खते ह? वे सम ह या
वषम?

दुगुना करने पर मलने वाली हर संख्या सम होती है।

2 × 7 = 14 2 × 13 = 26 2 × 25 = 50

14, 26 और 50 क्रमश: 4, 6 और 0 पर समाप्त होती है ं — सभी सम।

ऐसा क्य होता है: दुगुनी संख्या को दो बराबर समूह म बना कुछ बचे बाँटा जा सकता है। सम संख्या का यही अथ
है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 135

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

गुणन ता लका

प्र.1 पं क्त-संख्या को स्तंभ-संख्या से गुणा करके ता लका के प्रत्येक बक्से को भ रए।

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

6

7

8

9

10

पुस्तक म छपी खाली ता लका।
हर बक्से म पं क्त-संख्या को स्तंभ-संख्या से गुणा क जए।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।

पंिक्त 4, स्तं भ 7 → 4 × 7 = 28

पंिक्त 9, स्तं भ 6 → 9 × 6 = 54

सुझाव: पूरी पं क्त को छोड़-छोड़कर गनकर भ रए। पं क्त 6 है — 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60।

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as e
क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
हरे रंग से छायां कत संख्याओं के वषय म आपने क्या ध्यान दया? ऐसा क्य हो रहा है?
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प्र.2

m l as
m .co a g
l a se
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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1
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2
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3
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4

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5

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7

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8

9

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10
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a g पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

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× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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1 1 2 3 4 5 6 7 8 10

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. 4 8 12 ag14l 16 18 20

as
2 6 10

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3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

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m a
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4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

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5 5 10
g l a
15 25 30 35 40 45 50

6 6 12
a 18 24 30 36 42 48 54 60

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m .
m as e
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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

हरे बक्स को नारंगी रंग म दखाया गया है।
हरी संख्याएँ जोड़ म आती ह — एक जोड़ा वकण रेखा के दोन ओर।

एक बक्सा उसका जोड़ीदार संख्या

1×2 2×1 2

2×3 3×2 6

2×5 5×2 10

3×8 8×3 24

4 × 10 10 × 4 40

हर हरा जोड़ा एक ही गुणनफल दे ता है।

ऐसा क्य होता है: 8 बदुओं क 3 पं क्तयाँ और 3 बदुओं क 8 पं क्तयाँ एक ही बदु ह, बस घुमा दए गए ह।
इस लए 3 × 8 और 8 × 3 दोन 24 ह।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 ता लका म आपको जो पैटन (प्र तरूप) दखाई दे रहे ह, उन्ह साझा क जए।

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।
कुछ प्र तरूप ये ह।

हर पं क्त छोड़-छोड़कर गनने क सूची है। पं क्त 4 है — 4, 8, 12, 16 …, हर बार 4 जुड़ते ह।
पं क्त 10 क हर संख्या 0 पर समाप्त होती है — 10, 20, 30 … 100।
पं क्त 5 क संख्याएँ 5, 0, 5, 0, 5, 0 … पर समाप्त होती ह।
वकण रेखा के दोन ओर ता लका एक जैसी है।
उस रेखा पर 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 आती ह।
पं क्त 9 क संख्याओं के अंक का योग 9 होता है — 18 → 1 + 8 = 9, 27 → 2 + 7 = 9।

यह क जए: एक पं क्त ढककर बोल-बोलकर ग नए, फर ता लका से मलाइए।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.4 क्या पं क्त 7 क संख्याएँ स्तंभ 7 क संख्याओं के समान ह? सामान्यत: क्या कसी पं क्त क संख्याएँ संबं धत
स्तंभ क संख्याओं के समान होती ह? ऐसा क्य होता है?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

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as e
क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m50
m.
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

o m 12 l a se54
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6 6 18 24 30 36 42 48 60

a s em7
a gl
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

com
e m . ag
as
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 a g
40
l 50 60 70 80 90 100

ता लका क पं क्त 7 और स्तंभ 7।
co m
em.
as
हाँ। पं क्त 7 और स्तंभ 7 म बल्कुल वही संख्याएँ ह।
m l
.co a g
पंs
a em7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
gl
िक्त
a स्तं भ 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

m a s
m.co agl
se
यह हर पं क्त और उसके स्तंभ के लए सच है।

g l a
a
ऐसा क्य होता है: पं क्त 7 का स्तंभ 3 अथात् 7 × 3, और पं क्त 3 का स्तंभ 7 अथात् 3 × 7। बदुओं क रचना
घुमाने से बदुओं क संख्या नह बदलती, इस लए दोन 21 ह।
com
m .
m as e
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a g l Page 34 of 111

क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.5 क्या ऐसी कोई पं क्त है जहाँ सभी उत्तर (गुणनफल ) म सम संख्याएँ ह? कौन-सी पं क्तय म यह गुण है?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।
हाँ। पं क्त 2, 4, 6, 8 और 10 म सभी गुणनफल सम ह।

पंिक्त 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 — सभी सम

पंिक्त 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 — सभी सम

ऐसा क्य होता है: ये सम पं क्तयाँ ह। सम संख्या को हमेशा दो बराबर समूह म बाँटा जा सकता है, और उसके
कतने भी समूह ल, वह सम ही रहती है।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.6 क्या ऐसी कोई पं क्त है जसके गुणनफल म केवल वषम संख्याएँ ह?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

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7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।
नह । ऐसी कोई पं क्त नह है।

पंिक्त 1: 1, 2, 3, 4, 5 … — सम संख्याएँ भी है ं

पंिक्त 5: 5, 10, 15, 20, 25 … — सम संख्याएँ भी है ं

ऐसा क्य होता है: हर पं क्त म स्तंभ 2, स्तंभ 4 आ द होते ह। कसी भी संख्या को सम संख्या से गुणा करने पर
उत्तर सम ही आता है।

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as e
क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
क्या ऐसी कुछ पं क्तयाँ ह जनम सम और वषम दोन संख्याएँ ह? आपने क्या दे खा? ऐसा क्य है?
e
प्र.7

m l as
m .co a g
l a se
a g
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

co m
1
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2
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3
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4

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m
ase
5

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7

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8

9

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10
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l a se
a g पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

se m
com g l a
m . a
ase
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× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

co m9
m .
ase
1 1 2 3 4 5 6 7 8 10

m
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g l as
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3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

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4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

se m 20
5 5 10
g l a
15 25 30 35 40 45 50

6 6 12
a 18 24 30 36 42 48 54 60

co m
m .
m as e
.co


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7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।
हाँ। पं क्त 1, 3, 5, 7 और 9 — यानी वषम पं क्तय — म सम और वषम दोन ह।

पंिक्त 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

िवषम, सम, िवषम, सम … दोनों बारी-बारी से आते है।
ं

ऐसा क्य होता है: वषम × वषम वषम रहता है, पर वषम × सम सम बन जाता है। स्तंभ वषम, सम, वषम, सम
चलते ह, इस लए गुणनफल भी वैसे ही चलते ह।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.8 ता लका म सम संख्याएँ अ धक ह या वषम संख्याएँ? आपने यह कैसे पता कया?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।
ता लका म सम संख्याएँ बहुत अ धक ह।

पंिक्त 2, 4, 6, 8, 10 पूरी सम → 5 × 10 = 50 सम संख्याएँ

पंिक्त 1, 3, 5, 7, 9 में 5-5 सम संख्याएँ → 5 × 5 = 25 सम संख्याएँ

कु ल सम संख्याएँ = 50 + 25 = 75

कु ल िवषम संख्याएँ = 100 − 75 = 25

ऐसा क्य होता है: गुणनफल तभी वषम होता है जब पं क्त और स्तंभ दोन वषम ह । ऐसा 100 म से केवल 25
बक्स म होता है।

पाठ्य प्रश्न — पृष्ठ 136

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

गुणन ता लका के प्र तरूप

प्र.1 नम्न ल खत संख्याओं के साव गुणज को रं गए। प्रत्येक युग्म के सावगुणज के लए अलग-अलग रंग का प्रयोग
क जए। (क) 2 और 3 (ख) 4 और 8 (ग) 7 और 9। प्रत्येक स्थ त म जो साव गुणज ह, उनके संबंध म अपना
अवलोकन साझा क जए।

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

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as e
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a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m30
m.
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

o m8 l a se36
. c ag
4 4 12 16 20 24 28 32 40

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10 15 20 25 30 35 40 45 50
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6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

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7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 a g
32
l 40 48 56 64 72 80

m
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9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

se m 90
10
com
10 20 30 40 50 60 70
g l a
80 100

m . a
ase
l 2 और 3 के साव गुणज 6 के पहाड़े क संख्याएँ ह।
पूरी क गई गुणन ता लका।

ag(क)
m a s
m .co agl
se
2 के गुणज: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 …

3 के गुणज: 3, 6, 9, 12, 15, 18 …gla
a
साव गुणज: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96

co m
m .
o m l a se
(ख) 4 और 8 के साव गुणज 8 के पहाड़े क संख्याएँ ह — 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80।
g है, जो 100 से बड़ा है।
.c 9 का साव गुणज इस ता लका म केवल 63 है (7 × 9 और 9 × 7)। अगला a126
se m
(ग) 7 और

g l a
a ऐसा क्य होता है: साव गुणज म दोन संख्याओं के पूरे समूह होने चा हए। 2 और 3 के लए सबसे छोटा ऐसा

se m
com l a
गुणज 6 है, 4 और 8 के लए 8, और 7 और 9 के लए 63।
. a g
m
ase
agl

com
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m .
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g l as
a

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m .
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.co


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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.2 पं क्त 5 म गुणनफल के इकाई अंक के प्र तरूप को दे खए। दूसरी पं क्तय म भी गुणनफल के इकाई अंक का
अवलोकन क जए। आपको कैसा प्र तरूप दखाई दे ता है?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

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5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ता लका क पं क्त 5।
पं क्त 5 के इकाई अंक ह — 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0। ये दो-दो कदम पर दोहराते ह।

पं क्त गुणनफल के इकाई अंक

2 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0

4 4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6, 0

5 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0

6 6, 2, 8, 4, 0, 6, 2, 8, 4, 0

10 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

हर पं क्त म इकाई अंक दोहराते ह।

ऐसा क्य होता है: समान आकार के 10 कदम के बाद हम फर पूरे दहाई पर आ जाते ह, इस लए इकाई अंक फर
से शुरू हो जाते ह। पं क्त 2, 4, 6, 8 म 5 कदम बाद और पं क्त 5 म 2 कदम बाद।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.3 ता लका क पं क्त 8 इस प्रकार है — 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80। यहाँ गुणनफल के इकाई अंक ह
— 8, 6, 4, 2, 0, 8, 6, 4, 2, 0। क्या आप यहाँ दोहराव वाला कोई प्र तरूप दे खते ह? नम्न ल खत गुणनफल म
इकाई अंक का अनुमान लगाइए। गुणा करके अपने उत्तर क पु ष्ट क जए। 11 × 8 = ___ 12 × 8 = ___ 13 × 8
= ___

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ता लका क पं क्त 8।
हाँ। 8, 6, 4, 2, 0 का समूह बार-बार दोहराता है।

गुणनफल अनुमान (इकाई अंक) गुणा करके जाँच

11 × 8 8 88

12 × 8 6 96

13 × 8 4 104

अनुमान और असली गुणनफल मल जाते ह।

10 × 8 = 80, अत: 11 × 8 = 80 + 8 = 88

12 × 8 = 88 + 8 = 96

13 × 8 = 96 + 8 = 104

ऐसा क्य होता है: हर बार 8 जोड़ने से इकाई अंक उसी क्रम म बदलते ह, इस लए प्र तरूप कभी नह टू टता।

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as e
क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m
m.
ता लका क पं क्त 8 म ऐसी कोई संख्या नह है जसका इकाई अंक 1 हो। कौन-से अन्य अंक इकाई अंक के रूप
e
प्र.4

m l as
.co
म नह आए ह?

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g l a
a
1 2 3 4
. com5 6 7 8 9 10
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1

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2
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6

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8
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पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

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m 7l
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1 2 3 4 5 6 8 9 10

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agl 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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co agl
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

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g
a 12
4 4 8 16 20 24 28 32 36 40

co m
m .
m as e
.co


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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ता लका क पं क्त 8।
पं क्त 8 म 1, 3, 5, 7 और 9 अंक इकाई के ान पर कभी नह आते।

पंिक्त 8 के इकाई अंक : 8, 6, 4, 2, 0, 8, 6, 4, 2, 0
के वल 0, 2, 4, 6, 8 आते है।
ं

ऐसा क्य होता है: पं क्त 8 क हर संख्या 8 के समूह से बनी है, इस लए वह सम है। सम संख्या वषम अंक पर
समाप्त नह हो सकती।

Page 50 of 111

क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.5 क्या कोई ऐसी पं क्त है जसम 0 से 9 तक के सभी अंक इकाई के अंक के रूप म आए ह? कौन-सी पं क्तय म
यह गुण है?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।
हाँ। पं क्त 1, 3, 7 और 9 म सभी दस अंक इकाई अंक बनकर आते ह।

पं क्त इकाई अंक

1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

3 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0

7 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0

9 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0

इन पं क्तय म 0 से 9 तक हर अंक ठ क एक बार आता है।

ऐसा क्य होता है: 1, 3, 7 और 9 का 10 के साथ कोई साव गुणनखंड नह है। इस लए इनक छलाँग हर बार नया
इकाई अंक दे ती ह, जब तक दस अंक पूरे न हो जाएँ।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.6 पं क्त 8 म दे खा जा सकता है क 0 दो बार इकाई अंक के रूप म आया है। ___ × 8 म इकाई का अंक 0 आता है।
इस बक्से म कौन-सी संख्याएँ रखी जा सकती ह? ऐसी संख्याओं के 5 उदाहरण द जए।

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

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as e
क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
a g l AglaSem · NCERT Solutions

co m50
m.
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

o m 12 l a se54
. c ag
6 6 18 24 30 36 42 48 60

a s em7
gl
14 21 28 35 42 49 56 63 70
a
7

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

co m
e m . ag
as
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 a g
40
l 50 60 70 80 90 100

ता लका क पं क्त 8।
co m
em.
as
बक्से म 5 का कोई भी गुणज रखा जा सकता है।
m l
.co a g
a s em
बक्से क संख्या ×8 इकाई अंक

ag 5 l
40 0

m a s
.co agl
10 80 0

se m
g l a
a
15 120 0

20 160 0

com
m .
e
25 200

as
0

. cसंoख्mयाएँ। a g l
s em
पाँच ऐसी

gl a
a
m
ऐसा क्य होता है: 5 × 8 = 40 पहले ही 0 पर समाप्त होता है। 5 का हर अगला समूह 40 और जोड़ता है, इस लए

a se
com l
उत्तर 0 पर ही समाप्त होता रहता है।
. a g
m
ase
agl

co m
m .
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se m
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m .
m a s e
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g l as
a

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m .
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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह AglaSem · NCERT Solutions

प्र.7 क्या ऐसी कोई पं क्त है जसम 0 इकाई के अंक के रूप म केवल एक बार आया है? कौन-सी पं क्तय म यह गुण
है?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

पुस्तक क गुणन ता लका — 10 पं क्तयाँ और 10 स्तंभ, हरे रंग से छायां कत वग और तरछ रेखा के साथ।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

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5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।
हाँ। पं क्त 1, 3, 7 और 9 म 0 केवल एक बार — अं तम संख्या म — आता है।

पं क्त 0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ

1 10

3 30

7 70

9 90

2 10 और 20 (दो बार)

5 10, 20, 30, 40, 50 (पाँच बार)

केवल पं क्त 1, 3, 7 और 9 म 0 एक ही बार आता है।

ऐसा क्य होता है: गुणनफल 0 पर तभी समाप्त होता है जब वह पूरे दहाई बनाए। पं क्त 1, 3, 7 और 9 म ऐसा
पहली बार 10व कदम पर होता है और पं क्त वह समाप्त हो जाती है।

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प्र.8 प्रश्न 11 और 13 के उत्तर म आपने क्या वशेष दे खा? क ा म साझा क जए।

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

पूरी क गई गुणन ता लका।
दोन प्रश्न का उत्तर वही चार पं क्तयाँ — 1, 3, 7 और 9 ह।

सभी अंक इकाई अंक बनते है ं → पंिक्त 1, 3, 7, 9
0 के वल एक बार आता है → पंिक्त 1, 3, 7, 9

ऐसा क्य होता है: य द कसी पं क्त म हर अंक एक ही बार आता है, तो 0 भी एक ही बार आएगा। इस लए दोन
उत्तर एक जैसे होने ही थे।

दस के गुणज — पृष्ठ 137

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दहाई म प हए गनना

प्र.1 आइए, तप हया साइ कल म प हय क संख्या गनते ह। 3 प हय वाली 10 तप हया साइ कल म प हय क
संख्या है = 10 × 3 = ___ प हये। 3 प हय वाली 10 और तप हया साइ कल म प हय क संख्या है = 10 × 3 =
___ प हये। 3 प हय वाली 20 तप हया साइ कल म प हय क संख्या है = 20 × 3 = ___ + ___ = ___ प हये।

10 तप हया साइ कल। हर साइ कल म 3 प हये ह।

10 ितपिहया साइिकले:ं 10 × 3 = 30 पिहये

10 और ितपिहया साइिकले:ं 10 × 3 = 30 पिहये
20 ितपिहया साइिकले:ं 20 × 3 = 30 + 30 = 60 पिहये

अत: 10 × 3 = 30 और 20 × 3 = 60।

ऐसा क्य होता है: 20 साइ कल 10 साइ कल के दो समूह ह। 30 प हय के दो समूह 60 प हये बनाते ह।

प्र.2 आइए, अब हम कार म प हय क संख्या गनते ह। 4 प हय वाली 10 कार म प हय क संख्या है = 10 × 4 =
___ प हये। 4 प हय वाली 30 कार म प हय क संख्या है = 30 × 4 = ___ + ___ + ___ = ___ प हये।

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क ा 4 ग णत अध्याय 9 समान समूह
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10 कार। हर कार म 4 प हये ह।
co m
e m.
m l as
.co a g
s em
10 कारे:ं 10 × 4 = 40 पिहये
a
glकारे ं = 10 कारे ं + 10 कारे ं + 10 कारे ं
a30
m
30 × 4 = 40 + 40 + 40 = 120 पिहये
. co ag
e m
अत: 10 × 4 = 40 और 30 × 4 = 120।
g l as
a
m
ऐसा क्य होता है: 30 तीन दहाई है। दस कार के 40 प हय को तीन बार लेने पर 120 प हये मलते ह।
co
em.
m l as
.co a g
a s emनम्न ल खत प्रश्न को इसी प्रकार हल क जए। साझा क जए क आपको उत्तर कैसे मला। (क) 10 × 6 = (ख)
gl 40 × 6 = (ग) 10 × 8 = (घ) 60 × 8 = (ङ) 6 × 8 = (च) 60 × 8 = (छ) 4 × 6 = (ज) 40 × 8 =
प्र.3

a
m a s
.co agl

se m
g l a
(क) 10 × 6 = 60 a
m
(ख) 40 × 6 = 60 + 60 + 60 + 60 = 240
. co
e m
as
(ग) 10 × 8 = 80
m
60o × 8 = छह बार 80 = 480
(घ).c g l
m a
ase
agl
(ङ) 6 × 8 = 48

(च) 60 × 8 = 48 का दस गुन ा = 480
se m
com g l a
. a
sem
(छ) 4 × 6 = 24

a
(ज) 40 × 8 = 32 का दस गुन ा =l320
ag

co m
.
छोटा तथ्य दस गुना

em
m l as
.co a g
6 × 6 = 36 60 × 6 = 360

a s em 6 × 8 = 48
agl
60 × 8 = 480

.c
4 × 8 = 32 40 × 8 = 320
s e m
m a
m . co agl
se
4 × 6 = 24 40 × 6 = 240

l a
तुरg
छोटा तथ्य याद हो तो बड़ा उत्तर a ंत मल जाता है।

co m
m .
m ase
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