NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 2 बहुपद

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CLASS - 9TH

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Class : 9th
Subject : Mathematics
Chapter : 2
Chapter Name : बहुपद

Exercise 2.1

Q1 िन निलिखत यंजको म कौन-कौन एक चर के बहुपद है और कौन- कौन नही ं है? कारण के साथ अपने उ र दीिजए:

(i) 4x 2-3x+7 (ii) y 2 + √2
2
(iii) 3√t + t√2 (iv) y+
y
(v) x 10 + y 3 + t 50

Answer. (i) 4x 2-3x+7
यह एक चर के बहुपद है इसम x एक चर है

(ii) y 2 + √2
यह एक चर के बहुपद है इसको y 2 + 0xy + √2 के प म िलखा जा सकता है

(iii) 3√t + t√2
1
यह एक चर के बहुपद नही ं है 3t 2 + t√2

2
(iv) y+
y
यह एक चर के बहुपद नही ं है y+2y − 1

(v) x 10 + y 3 + t 50
यह एक चर के बहुपद नही ं है, इसमे x,y,t अलग-अलग चर है

Page : 37 , Block Name : प्र नावली – 2.1

Q2 िन निलिखत म से प्र येक म x 2 का गुणांक िलिखए:
(i) 2+x 2+x
(ii)2-x 2 + x 3
Π
(iii) x 2+x
2
(iv) √2x+1

Answer. (i) (2+x 2+x)
→ x 2+x+2
→ 1x 2+1x+2
=1

(ii) 2-x 2 + x 3
→ x 3 − x 2+2
→ 1x 3 − 1x 2+2
=-1

π
(iii) x 2+x
2
π 2
→ x +x+0
2
π
=
2

(iv) √2x + 1
→ 0x 2 + √2x+1
=0

Page : 38 , Block Name : प्र नावली – 2.1

Q3 35 घात के ि पद का और 100 घात के एकपदी का एक –एक उदहारण दीिजए

Answer. 35 घात के ि पद =x 35 + 2x
100 घात के एकपदी =x 100

Page : 38 , Block Name : प्र नावली – 2.1

Q4 िन निलिखत बहुपदों म से प्र येक बहुपद की घात िलिखए:-
(i) 5x 3 + 4x 2+7x
(ii) 4-y 2
(iii) 5t=√7
(iv) 3

Answer. (i) 5x 3 + 4x 2+7x
बहुपद की घात है 3

(ii) 4-y 2
बहुपद की घात है 2

(iii) 5t=√7
बहुपद की घात है 1

(iv) 3
बहुपद की घात है 0

Page : 38 , Block Name : प्र नावली – 2.1

Q5 बताइए िक िन निलिखत बहुपदों म कौन- कौन बहुपद रैिखक ह, कौन ि घाती है और कौन- कौन ित्रघाती ह:
(i) x 2+x
(ii) x-x 3
(iii) y+y 2+4
(iv) 1+x
(iv) 1+x
(v) 3t
(vi) r 2
(vii) 7x 3

Answer. (i) x 2+x
बहुपद िक घात 2 है, अतः यह एक ि घाती बहुपद है

(ii) x-x 3
बहुपद िक घात 3 है, अतः यह एक ित्रघाती बहुपद है

(iii) y+y 2+4
ि घाती बहुपद

(iv) 1+x
रैिखक बहुपद

(v) 3t
रैिखक बहुपद

(vi) r 2
बहुपद की घात 2 है, अतः यह एक ि घाती बहुपद है

(vii) 7x 3
ित्रघाती बहुपद

Page : 38 , Block Name : प्र नावली – 2.1

Exercise 2.2

Q1 िन निलिखत पर बहुपद (5x-4x 2+3) के मान ात कीिजए:
(i) x=0
(ii)x=-1
(iii) x=2

Answer. (i) x=0
माना P(x) = 5x − 4x 2 + 3
x=0 रखने पर
P(0) = 5 × 0 − 4 × (0) 2+3=3
=3

(ii) x=-1
x=-1 रखने पर
P( − 1) = 5 × ( − 1) − 4( − 1) 2+3
=-5-4+3
=-6

(iii) x=2
x=2 रखने पर
P(2) = 5 × 2 − 4(2) 2+3
=10-16+3
=-3

Page : 41, Block Name : प्र नावली – 2.2

Q2 िन निलिखत बहुपदो म से प्र येक बहुपद के िलए P(0), P(1) और P(2) ात कीिजए:
(i) P(y) = y 2-y+1
(ii) P(t) = 2 + t + 2t 2 − t 3
(iii) P(x) = x 3
(iv) P(x) = (x − 1)(x + 1)

Answer. (i) P(y) = y 2-y+1
y=0 रखने पर
P(0) = 0 2 − 0 + 1
=1
y=1 रखने पर
P(1) = 1 2-1+1
=2
y=3 रखने पर
P(3) = 3 2-3+1
=3

(ii) P(t) =2+t+2t 2 − t 3
t=0 रखने पर
P(0) =2+0+2(0) 2 − 0 3
=2+0+0-0
=2
t=1 रखने पर
P(1) =2+1+2(1) 2 − 1 3
=2+1+2×1−1
=3+2-1
=4
t=2 रखने पर
P(2) = 2 + 2 + 2(2) 2 − 2 3
=4+2 × 4 − 8
=4

(iii) P(x) = x 3
x=0 रखने पर
P(0) = (0) 3
=0
x=1 रखने पर
P(1) = (1) 3
=1
x=2 रखने पर
P(2) = (2) 3
=8

(iv) P(x) = (x − 1)(x + 1)
x=0 रखने पर
P(0) = (0 − 1)(0 + 1)
=-1
x=1 रखने पर
P(1) = (1 − 1)(1 + 1)
=0
x=2 रखने पर
P(2) = (2 − 1)(2 + 1)
=1×3
=3

Page : 41, Block Name : प्र नावली – 2.2

Q3 स यािपत कीिजए िक िदखाए गए मान िन निलिखत ि थितयों म संगत बहुपद के शू यक है:
−1
(i) P(x)=3x+1;x=
3
4
(ii) P(x) = 5x − Π; x =
5
(iii) P(x) = x 2 − 1 ; x=1,-1
(iv) P(x) = (x + 1)(x − 2); x=-1,2
(v) P(x) = x 2; x=0
−m
(vi) P(x)=lx+m; x=
l
2
−1 2
(vii) P(x) = 3x − 1; x = ,
√3 √3

−1
Answer. (i) P(x)=3x+1;x=
3
P(x)=3x+1
−1
x= रखने पर
3

P ( ) ( )
−1
3
=3×
−1
3
+1

=-1+1
=0

यहाँ P − ( ) 1
3
= 0 है

−1
अतः x = और
3
P(x) = 3x + 1 का शू यक है

4
(ii) P(x) = 5x − π; x =
5
4
x = रखने पर
5

P () ()
4
5
=5×
4
5
−π

=4-pi

यहाँ P ()
4
5
≠ 0 है

4
अतः x = और
5
P(x) = 5x − π का शू यक नही ं है

(iii) P(x) = x 2-1 ; x=1,-1
x=1 रखने पर
P(1) = (1) 2 − 1
=1-1
=0
यहाँ P(1) = 0 है
अतः x=1 और
P(x) = x 2 − 1 का शू यक है
x=-1 रखने पर

P( − 1) = ( − 1) 2 − 1
=1-1
=0
यहाँ P( − 1)0 है
अतः x=-1 और
P(x) = x 2-1 का शू यक है

(iv) P(x) = (x + 1)(x − 2); x=-1,2
x=-1 रखने पर
P( − 1) = ( − 1 + 1)( − 1 − 2)
= 0 × ( − 3)
=0
यहाँ P( − 1) = 0 है
अतः x=-1 और
P(x) = (x + 2)(x − 2) का शू यक है
x=2 रखने पर
P(2) = (2 + 2)(2 − 2)
=0×3
=0
यहाँ P(2)= 0 है
अतः x=2 और
P(x) = (x + 1)(x − 2) का शू यक है

(v) P(x) = x 2; x=0
x=0 रखने पर
P(0) = 0 2
=0
यहाँ P(0)=0 है
अतः x=0 और
P(x) = x 2 का शू यक है

−m
(vi) P(x) = lx + m; x =
l
−m
x= रखने पर
l

P −
( ) ( )
m
l
=l× −
m
l
+m

=-m+m
=0

यहाँ P − ( ) m
l
=0 है

−m
अतः x = और
l
P(x) =lx+m का शू यक है

−1 2
(vii) P(x) = 3x 2 − 1; x = ,
√3 √3
−1
x= रखने पर
√3

P
( ) ( )
−1
√3
=3
−1 2
√3
−1

1
=3× −1
3
=1-1
=0

यहाँ P −
( ) 1
√3
= 0 है

−1
अतः x = और
√3
P(x) = 3x 2 − 1 का शू यक है
2
x= रखने पर
√3

P
( ) ( )
2
√3
=3
2
√3
2
−1

4
=3× −1
3
=3

यहाँ P
( )
2
√3
≠ 0 है

2
अतः x = और
√3
P(x) = 3x 2-1 का शू यक नही है।

1
(viii) P(x)=2x+1; x=
2
1
x= रखने पर
2

P
() ()
1
2
=2×
1
2
+1

=-1+1
=0

यहाँ P
()
1
2
= 0 है

1
अतः x = और
2
P(x) =2x+1 का शू यक है

Page : 41 , Block Name : प्र नावली – 2.2

Q4 िन निलिखत ि थितयों म से प्र येक ि थित म बहुपद का शू यक ात कीिजए:-
(i) P(x)=x+5
(ii) P(x)=x-5
(iii) P(x)=2x+5
(iv) P(x)=3x-2
(v) P(x)=3x
(vi) P(x)=ax) a ≠ 0
(vii) P(x)=cx+d; c ≠= 0, c, d वा तिवक सं याएँ है

Answer. (i) P(x)=x+5
P(x)=0 रखने पर
x+5=0
x=-5
इसिलए x=5 बहुपद का P(x) शू यक है

(ii) P(x)=x-5
P(x) = 0 रखने पर
x-5=0
x=5
इसिलए x=5 बहुपद का P(x) शू यक है

(iii) P(x)=2x+5
P(x)=0 रखने पर
2x+5=0
−5
→x=
2
इसिलए x=5 बहुपद का P(x) शू यक है

(iv) P(x)=3x-2
P(x) = 0 रखने पर
3x-2=0
2
x=
3
2
इसिलए x = बहुपद का P(x) शू यक है
3

(v) P(x)=3x
P(x) = 0 रखने पर
3x=0
x=0
अतः x=0 बहुपद का P(x) शू यक है

(vi) P(x)=ax a ≠ 0
P(x)=0 रखने पर
ax=0
x=0
अतः x=0 बहुपद का P(x) शू यक है

(vii) P(x)=cx+d;c ≠= 0, c, d
P(x)=0 रखने पर
cx+d=0
−d
→x=
c
d
अतः x = − बहुपद का P(x) शू यक है
c

Page : 41 , Block Name : प्र नावली – 2.2

Exercise 2.3

Q1 x 3 + 3x 2+3x+1 को िन निलिखत से भाग देने पर शेषफल ात कीिजए:
1
(i) x+1 (ii) x- (iii) x (iv) x+Π
2
(v) 5+2x

Answer. (i) x+1
माना P(x) = x 3 + 3x 2+3x+1
x+1=0
x=-1 रखने पर,
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर शेषफल.
P( − 1) = ( − 1) 3 + 3( − 1) 2 + 3( − 1) + 1
=-1+3-3+1
=0

1
(ii) x −
2
1
x − = 0 रखने पर,
2
शेषफल प्रमेयानुसार,
1
P(x) = x 3 + 3x 2+3x+1 को x − से भाग देने पर शेषफल.
2

P
() () () ()
1
2
=
1 3
2
+3
1 2
2
+3
1
2
+1

1 1 1
= +3× +3× +1
8 4 2
1 + 6 + 12 + 8
=
8
27
=
8

(iii) x
x=0 रखने पर,
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 1को x से भाग देने पर शेषफल
P(0) = (0) 3 + 3(0) 2 + 3(0) + 1
=0+1
=0

(iv) x + Π
x+Π=0
x = − Πरखने पर,
शेषफल प्रमेयानुसार
P(x) = x 3 + 3x 2+3x+1
को x + Π से भाग देने पर शेषफल
P( − Π) = ( − Π) 3 + 3( − Π) 2 + 3( − Π) + 1
= − Π 3 + 3Π 2 − 3Π + 1

(v) 5+2x
5+2x=0
−5
x= रखने पर,
2
शेषफल प्रमेयानुसार
P(x) = x 3 + 3x 2+3x+1
को 5+2x से भाग देने पर शेषफल

P
( ) ( ) ( ) ( )
−5
2
=
−5 3
2
+3
−5 2
2
+3
−5
2
+1

− 125 25 5
= +3× −3× +1
8 4 2
− 125 + 150 − 60 + 8
=
8
− 27
=
8

Page : 47 , Block Name : प्र नावली – 2.3

Q2 x 3 − ax 2 + 6x − a को (x-a) म भाग देने पर शेषफल ात कीिजए

Answer. माना P(x) = x 3 − ax 2+6x-a
(x-a=0)
(x=a)रखने पर
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = x 3 + ax 2+6x-a को (x-a ) से भाग देने पर शेषफल
P(x) = (a) 3 + − a(a) 2 + 6(a) − a
= a 3 − a 2 + 6a − a
=59

Page : 47 , Block Name : प्र नावली – 2.3

Q3 जाँच कीिजए िक 7 + 3x, 3x 3 + 7x का एक गुणनखंड है या नही

Answer. . माना P(x) = 3x 3 + 7x
7+3x= 0 रखने पर
−7
x=
3
शेषफल प्रमेयानुसार,

P
( ) ( )
−7
3
=3
−7 3
3
+ −7
( )
−7
3
343 49
= − −
27 3
− 490
=
9

शेषफल P =
( ) −7
3
≠= 0

अतः 7 + 3x, 3x 3 + 7x का गुणखंड नही ं है

Page : 47 , Block Name : प्र नावली – 2.3

Exercise 2.4

Q1 बताईए िक िन निलिखत बहुपदो म से िकस बहुपद का एक गुणाखंड x + 1 है
(i) x 3 + x 2 + x + 1 (ii) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1

( )
(iii) x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 1 (iv) x 3 − x 2 − 2 + √2 x + √2

Answer. (i) x 3 + x 2 + x + 1
माना P(x) = x 3 + x 2 + x + 1
x+1=0
x=-1 रखने पर,
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = x 3 + x 2 + x + 1 को (x+1) से भाग देने पर

P( − 1) = ( − 1) 3 + ( − 1) 2 + ( − 1) + 1
=-1+1-1+1
=0
यहाँ, शेषफल P( − 1) = 0
अतः x + 1, x 3 + x 2 + x + 1 का गुणखंड है

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

(ii) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
माना P(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
x+1=0
(x=-1) रखने पर
शेषफल प्रमेयानुसार
P( − 1) = ( − 1) 4 + ( − 1) 3 + ( − 1) 2 + ( − 1) + 1
=1-1+1-1+1
=1
शेषफल P( − 1) ≠ 0
इसिलये, x + 1, x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 का गुणखंड नही ं है

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

(iii) x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 1
माना P(x) = x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 1
x+1=0
x = − 1रखने पर
शेषफल प्रमेयानुसार,
P( − 1) = ( − 1) 4 + 3( − 1) 3 + 3( − 1) 2 + ( − 1) + 1
=1-3+3-1+1
=1
शेषफल P( − 1) ≠ 0
इसिलये, x + 1, x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x + 1 का गुणखंड नही है

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

( )
(iv) x 3 − x 2 − 2 + √2 x + √2

माना P(x) = x − x − (2 + √2 )x + √2
3 2

(x+1=0)
(x=-1)रखने पर,
शेषफल प्रमेयानुसार,

( )
P( − 1) = ( − 2) 3 − ( − 1) 2 − 2 + √2 ( − 1) + √2
= − 1 − 1 + 2 + √2 + √2
= 2√2
शेषफल P( − 1) ≠ 0
( )
इसिलये, x + 1, x 3 − x 2 − 2 + √2 x + √2 का गुणखंड नही ं है

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

Q2 गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए िक िन निलिखत ि थितयों म से प्र येक ि थित म (x − 1), p(x) का एक गुणनखंड है या नही ं:
(i) p(x) = 2x 3 + x 2 − 2x − 1, g(x)=x+1
(ii) P(x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 1, g(x)=x+2
(iii) p(x) = x 3 − 4x 2 + x + 6, g(x)=x-3

Answer. (i) p(x) = 2x 3 + x 2 − 2x − 1, g(x) = x + 1
(x+1=0) रखने पर, (x=-1)
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = 2x 3 + x 2 − 2x − 1 को g(x) = x + 1 से भाग देने पर शेषफल
p( − 1) = ( − 1) 3 + ( − 1) 2 + ( − 1) + 1
=-1+1-1+1
=0
यहाँ शेषफल p( − 1) = 0 अतः g(x), p(x) का गुणखंड है
Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

(ii) P(x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 1, g(x)=x+2
(x+2=0) रखने पर, (x=-2)
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 को g(x) = x + 2 से भाग देने पर शेषफल

p( − 2) = ( − 2) 3 + 3( − 2) 2 + 3( − 2) + 1
=-8+12-6+1
=-1
यहाँ शेषफल p( − 2) ≠ 0 अतः g(x), p(x) का गुणखंड नही ं है

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

(iii) p(x) = x 3 − 4x 2 + x + 6, g(x)=x-3
(x-3=0) रखने पर, x=3
शेषफल प्रमेयानुसार,
p(x) = x 3 − 4x 2 + x + 6 को g(x) = x − 3 से भाग देने पर शेषफल
p(3) = (3) 3 − 4(3) 2 + (3) + 6
=27-36+3+6
=0
यहाँ शेषफल p(3) = 0
अतः g(x), p(x) का गुणखंड है।

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

Q3 k का मान ात कीिजए जबिक िन निलिखत ि थितयों म से प्र येक ि थित म (x-1),p(x) का एक गुणखंड हो
(i) P(x) = x 2 + x + k
(ii) P(x) = 2x 2 + kx + √2
(iii) p(x) = kx 2 − √2x + 1
(iv) P(x) = kx 2 − − 3x + k

Answer. (i) P(x) = x 2 + x + k को (x-1) से भाग देने पर,
P(1) = (1) 2 + (1) + k
(=2+k)
चूिं क (x-1), P(x) का गुणखंड है
अतः शेषफल P(1) = 0
2+k=0
k=-2

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

(ii) P(x) = 2x 2 + kx + √2
(x-1=0) रखने पर, (x=1)
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = (2x 2 + kx + √2 को x − 1 से भाग देने पर,
P(1) = 2(1) 2 + k(1) + √2
= 2 + k + √2
चूिं क (x-1), P(x) का गुणखंड है
अतः शेषफल P(1) = 0
2 + k + √2 = 0
k = − 2 − √2

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

(iii) P(x) = kx 2 − √2x + 1
(x-1=0) रखने पर, (x=1)
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = (kx 2 − √2x + 1 को x − 1 से भाग देने पर,
P(1) = k(1) 2 − √2(1) + 1
= k − √2 + 1
चूिं क (x-1), P(x) का गुणखंड है
अतः शेषफल P(1) = 0
k − √2 + 1 = 0
k = √2 − 1

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

(iv) P(x) = kx 2 − 3x + k
(x-1=0) रखने पर, (x=1)
शेषफल प्रमेयानुसार,
P(x) = (kx 2 − 3x + k को (x-1) से भाग देने पर,

P(1) = k(1) 2 − 3(1) + k
(=2k-3)
चूिं क (x-1), P(x) का गुणखंड है
अतः शेषफल P(1) = 0
2k-3=0
3
k=
2

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

Q4 गुणखंड ात कीिजए :
(i) 12x 2 − 7x + 1 (ii) 2x 2 + 7x + 3
(iii) 6x 2 + 5x − 6 (iv) 3x 2 − x − 4

Answer. (i) 12x 2 − 7x + 1
= 12x 2 − (4 + 3)x + 1
= 12x 2 − 4x − 3x + 1
= 4x(3x − 1) − 1(3x − 1)
= (3x − 1)(4x − 1)

(ii) 2x 2 + 7x + 3
= 2x 2 + (96 + 1)x + 3
= 2x 2 + 6x + 1x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3)(2x + 1)

(iii) 6x 2 + 5x − 6
= 6x 2 + (9 − 4)x − 6
= 6x 2 + 9x − 4x − 6
= 3x(2x + 3) − 2(2x + 3)
= (2x + 3)(3x − 2)

(iv) 3x 2 − x − 4
= 3x 2 − (4 − 3)x − 4
= 3x 2 − 4x − 3x − 4
= x(3x − 4) + 1(3x − 4)
= (3x − 4)(x + 1)

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

Q5 गुणखंड ात कीिजए:-
(i) x 3 − 2x 2 − x + 2
(ii) x 3 − 3x 2 − 9x − 5
(iii) x 3 + 13x 2 + 32x + 20
(iv) 2y 3 + y 2 − 2y − 1

Answer. (i) x 3 − 2x 2 − x + 2
माना Q(x) = x 3 − 2x 2 − x + 2
(x=1) रखने पर,
Q(1) = (1) 3 − 2(1) 2 − (1) + 2
=1-2-1+2
=0
x-1, Q(x) का गुणखंड है

(
अतः Q(x) = (x − 1) x 2 − x − 2 )
( )
= (x − 1) x 2 − x − 2

= (x − 1) [x − (2 − 1)x − 2 ]
2

= (x − 1) [x − 2x + x − 2 ]
2

= (x − 1)[x(x − 2) + 1(x − 2)]
= (x − 1)(x − 2)(x + 1)

(ii) x 3 − 3x 2 − 9x − 5
माना Q(x) = x 3 − 3x 2 − 9x − 5
(x=1) रखने पर,
Q(1) = (1) 3 − 3(1) 2 − 9(1) − 5
=1-3-9-5
= − 16 ≠= 0
(x=-1) रखने पर
Q( − 1) = ( − 1) 3 − 3( − 1) 2 − 9( − 1) − 5
=-1-3+9-5
=0
x+1, Q(x) का गुणखंड है

(
अतः Q(x) = (x + 1) x 2 − 4x − 5 )
[
= (x + 1) x 2 − (5 − 1)x − 5]
= (x + 1) [x − 5x + x − 5 ]
2

= (x + 1)[x(x − 5) + 1(x − 5)]
= (x + 1)(x − 5)(x + 1)

(iii) x 3 + 13x 2 + 32x + 20
माना Q(x) = x 3 + 13x 2 + 32x + 20
(x=-1) रखने पर,
Q( − 1) = ( − 1) 2 + 13( − 1) 2 + 32( − 1) + 20
=-1+13-32+20
=0
x+1, Q(x) का गुणनखंड है

(
अतः Q(x) = (x + 1) x 2 + 12x + 20 )
(
= (x + 1) x 2 + 12x + 20)
= (x + 1) [x + (10 + 2)x + 20 ]
2

= (x + 1) [x + 10x + 2x + 20 ]
2

= (x + 1)[x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1)(x + 10)(x + 2)

(iv) 2y 3 + y 2 − 2y − 1
माना Q(y) = 2y 3 + y 2 − 2y − 1
(y=-1) रखने पर
Q( − 1)0 = 2( − 1) 3 + ( − 1) 2 − 2( − 1) − 1
=-2+1+2-1
=0

y+1, Q(y) का गुणनखंड है

(
अतः Q(y) = (y + 1) 2y 2 − y − 1 )
( )
= (y + 1) 2y 2 − y − 1

= (y + 1) (2y − (1 − 1)y − 1 )
2

= (y + 1) (2y − 2y − 1 )
2

= (y + 1)(2y(y − 2) + 1(y − 1))
= (y + 1)(y − 1)(2y + 1)

Page : 52 , Block Name : प्र नावली – 2.4

Exercise 2.5

Q1 उपयु त सवसिमको को प्रयोग करके िन निलिखत गुणनफल ात कीिजए:-
(i) (x + 4)(x + 10)
(ii) (x + 8)(x − 10)
(iii) (3x + 4)(3x − 5)

( )( )
(iv) y 2 +
3
2
y2 −
3
2
(v) (3 − 2x)(3 + 2x)

Answer. (i) (x + 4)(x + 10)
यहाँ सवसिमका (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
=x 2 + (4 + 10)x + 4 × 10
= x 2 + 14x + 40

(ii) (x + 8)(x − 10)
यहाँ सवसिमका (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
=x 2 + (8 − 10)x + 8 × ( − 10)
= x 2 − 2x − 80

(iii) (3x + 4)(3x − 5)
यहाँ सवसिमका (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
=(3x) 2 + (4 − 5)3x + 4 × ( − 5)
= 3x 2 − 5x − 20

( )( )
(iv) y 2 +
3
2
y2 −
3
2
यहाँ सवसिमका (x + a)(x − a) = x 2 − a 2 का प्रयोग करने पर

( ) − (2 )
2 3 2
= y2

9
= y4 −
4

(v) (3 − 2x)(3 + 2x)
यहाँ सवसिमका (x + a)(x − a) = x 2 − a 2 का प्रयोग करने पर
= (3) 2 − (2x) 2
= 9 − 4x 2

Page : 57 , Block Name : प्र नावली – 2.5

Q2 सीधे गुणा िकए िबना िन निलिखत गुणनफलों के मान ात कीिजए:-
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96

Answer. (i) 103 × 107
= (100 + 3)(100 + 7)
यहाँ सवसिमका (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
= 100 2 + (3 + 7)100 + 3 × 7
=10000+1000+21
=11021

(ii) 95 × 96
= (100 − 5)(100 − 4)
यहाँ सवसिमका (x − a)(x − b) = x 2 − (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
= (100) 2 + ( − 5 − 4)100 + ( − 5) × ( − 4)
=10000-200+20
=9120

(iii) 104 × 96
(100 + 4) × (100 − 4)
यहाँ सवसिमका (x + a)(x − a) = x 2 − a 2 का प्रयोग करने पर
= (100) 2 − (4) 2
=10000-16
=9984

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Q3 उपयु त सवसिमकाओं को प्रयोग करके िन निलिखत का गुणनखंड कीिजए:-
y2
(i) 9x 2 + 6xy + y 2 (ii) 4y 2 − 4y + 1 (iii) x 2 −
100

Answer. (i) 9x 2 + 6xy + y 2
(3x) 2 + 2 × 3x × y + y 2
= (3x + y) 2

(ii) 4y 2 − 4y + 1

(2y) 2 − 2 × 2y × 1 + 1 2
= (2y − 1) 2

y2
(iii) x 2 −
100

( ) y 2
=x 2 −
10

= x+ ( )( ) y
10
x−
y
10

Page : 57 , Block Name : प्र नावली – 2.5

Q4 उपयु त सवसिगकाओं को प्रयोग करके िन निलिखत का प्रसार कीिजए:-
(1) (x + 2y + 4z) 2
(2) (2x − y + z) 2
(3) ( − 2x + 3y + 2z) 2
(4) (3a − 7b − c) 2
(5) ( − 2x + 5y − 3z) 2

(6) ( 1
4
a−
1
2
b+1 ) 2

Answer. (1) (x + 2y + 4z) 2

[
यहाँ सवसिमका (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + abc + 2ca ]
का प्रयोग करने पर
= x 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 × (x) × (2y) + 2 × (2y) × (4z) + 2 × (4z) × x
= x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 4xy + 16yz + 42x

(2) (2x − y + z) 2

[
यहाँ सवसिमका (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + abc + 2ca ]
का प्रयोग करने पर
= (2x) 2 + ( − y) 2 + (z) 2 + 2 × (2x) × ( − y) + 2 × ( − y) + 2 × ( − y) × 2 + 2 × (2) × (2x)
= 4x 2 + y 2 + z 2 − 4xy − 2yz + 4zx

(3) ( − 2x + 3y + 2z) 2

[
यहाँ सवसिमका (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + abc + 2ca ]
का प्रयोग करने पर
= ( − 2x) 2 + (3y) 2 + (2z) 2 + 2 × ( − 2x) × (3y) + 2 × (3y) × (2z) + 2 × (2z) × ( − 2x)
= 4x 2 + 9y 2 + 4z 2 − 12xy + 12yz − 8zx

(4) (3a − 7b − c) 2

[
यहाँ सवसिमका (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + abc + 2ca ]
का प्रयोग करने पर
= (3a) 2 + ( − 7b) 2 + ( − c) 2 + 2 × (2a) × ( − 7b) + 2 × ( − 7b) × ( − c) + 2 × ( − c) × 3a
= 9a 2 + 49b 2 + c 2 − 42ab + 24bc − 6ca
(5)( − 2x + 5y − 3z) 2

[
यहाँ सवसिमका (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + abc + 2ca ]
का प्रयोग करने पर
= ( − 2x) 2 + ( − 5y) 2 + ( − 3z) 2 + 2 × ( − 2x) × ( − 5y) + 2 × (5y) × ( − 3z) + 2 × ( − 3z) × ( − 2x)
= 4x 2 + 25y 2 + 9z 2 − 20xy − 30yz + 12zx

( 1 1
)
2
(6) a− b+1
4 2

[
यहाँ सवसिमका (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + abc + 2ca ]
का प्रयोग करने पर

( ) ( )
1 1
( )( ) ( )
1 −1 −1
( )
1
2 2
= a + b + 12 + 2 × a × b +2× b ×1+2×1× a
4 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1
= a + b + 1 − ab − b + a
16 4 4 2

Page : 57 , Block Name : प्र नावली – 2.5

Q5 गुणनखंड कीिजए:-
(i) 4x 2 + 9y 2 + 16z 2 + 32xy − 24yz − 16xz
(ii) 2x 2 + y 2 + 8z 2 − 2√2xy + 4√2yz − 8xz

Answer. (i) 4x 2 + 9y 2 + 16z 2 + 32xy − 24yz − 16xz
= 4x 2 + 2y 2 + 16z 2 + 32xy − 24yz − 16xz = (zx) 2 + (3y) 2 + ( − 4z) 2 + 2 × (2x) × 3y + 2x3y × ( − 4z) + 2 × ( − 4z) × (2x)

[
यहाँ सवसिमका (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + abc + 2ca ]
का प्रयोग करने पर
=(2x + 3y − 4z) 2

(ii) 2x 2 + y 2 + 8z 2 − 2√2xy + 4√2yz − 8xz

= (√2x ) 2 + ( − 4)2 + ( − 2√2z )2 + 2 (√2x )( − y) + 2( − y) ( − 2√2z ) + 2 ( − 2√2z )(√2x )
[
यहाँ सवसिमका (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + abc + 2ca ]
का प्रयोग करने पर
= (√x − y − 2√2z )2
Page : 58 , Block Name : प्र नावली – 2.5

Q6 िन निलिखत घनो को प्रसािरत प से िलिखए:-
(i) (2x + 1) 3 (ii) (2a − 3b) 2

(iii)
[ ] 3
2
x+1
3

(iv) x −
[ ] 2
3
y
3

Answer. (i) (2x + 1) 3

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
= (2x + 1) 3=(2x) 3 + 1 3 + 3(2x) 2(1) + 3(2x)(1) 2
= 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1

(ii) (2a − 3b) 3

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
(2a) 3 + ( − 3b) 3 + 3(2a) 2 − ( − 3b) + 3(2a)( − 3b) 2
= 8a 3 − 27b 3 − 36a 2b + 54ab 2

(iii)
[ ] 3
2
x+1
3

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर

=
( )
2
3
x
3
+ (1) 3 + 3
2
x
( )
3 2
+1+3
( )
3
2
x (1) 3

27 27 9
= x3 + 1 + x2 + x
8 4 2

(iv) x −
[ ] 2
3
y
3

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर

= (x) 3 + ( ) −2
3
y
3
+ 3(x) 2 ( ) ( )
−2
3
y + 3(x)
−2
3
y
2

8 3 4
= x3 − y − 2x 2y + xy 2
27 3

Page : 58 , Block Name : प्र नावली – 2.5

Q7 उपयु त सवसिगकाओं को प्रयोग करके िन निलिखत का मान ात कीिजए:-
(i) (99) 3
(ii) (102) 3
(iii) (998) 3

Answer. (i) (99) 3
=(100 − 1) 3

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
= (100) 3 + ( − 1) 3 + 3(100) 2( − 1) + 3(100)( − 1) 2
=1000000-1-30000+300
=270299

(ii) (102) 3
= (100 + 2) 3

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
= (100) 3 + (2) 3 + 3(100) 2(2) + 3(100)(2) 2
=1000000+8+60000+3200
=1061208

(iii) (998) 3
= (1000 − 2) 3

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
= (1000) 3 + ( − 2) 3 + 3(1000) 3( − 2) + 3(10000) − ( − 2) 2
=1000000000000-8-6000000+12000
=994811992

Page : 58 , Block Name : प्र नावली – 2.5

Q8 िन निलिखत म से प्र येक का गुणनखंड कीिजए:-
(i) 8a 3 + b 3 + 12a 2b + 6ab 2
(ii) 8a 3 − b 3 − 12a b + 6ab 2
(iii) 27 − 125a 3 − 135a + 225a 2
(iv) 64a 3 − 27b 3 − 144a 2b + 108ab 2
1 9 1
(v) 27p 3 − − p2 + p
216 2 4

Answer. (i) 8a 3 + b 3 + 12a 2b + 6ab 2
= (2a) 3 + (b) 3 + 3(2a) 2(b) + 3(2a)(b) 2

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
= (2a + b) 3

(ii) 8a 3 − b 3 − 12a b + 6ab 2
= (2a) 3 + ( − b) 3 + 3(2a) 2( − b) + 3(2a)( − b) 2

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
= (2a − b) 3

(iii) 27 − 125a 3 − 135a + 225a 2
= (3) 3 + ( − 5a) 3 − 135a + 225a 2
= (3) 3 + ( − 5a) 3 + 3(3) 2( − 5a) + 3(3)( − 5a) 2

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
= (3 − 5a) 3

(iv) 64a 3 − 27b 3 − 144a 2b + 108ab 2

(4a) 3 + ( − 3b) 3 + 3(4a) 2( − 3b) + (14a)( − 3b) 2

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर
=(14a − 3b) 3

1 9 1
(v) 27p 3 − − p2 + p
216 2 4

= (3p) 3 +
( )
−1 3
6
+ 3(3p) 2
( )
−1
6
+ 5(3p)
() 1 2
6

(
यहाँ सवसिमका (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2b + 3ab 2 )
का प्रयोग करने पर

(
= 3p −
1 3
6 )
Page : 58 , Block Name : प्र नावली – 2.5

Q9 स यािपत कीिजए:-

( )
(i) x 3 + y 3 = (x + y) x 2 − xy + y 2

(ii) x − y = (x − y) (x + xy + y )
3 3 2 2

Answer. (i) x 3 + y 3 = (x + y) x 2 − xy + y 2 ( )
R.H.S

( )
= (x + y) x 2 − xy + y 2

= x (x − xy + y ) + y (x − xy + y )
2 2 2 2

= x 3 − x 2y + xy 2 + yx 2 − xy 2 + y 3
= x3 − y3

(
(ii) x 3 − y 3 = (x − y) x 2 + xy + y 2 )
R.H.S

(
= (x − y) x 2 + xy + y 2 )
( )(
= x x 2 + xy + y 2 y x 2 + xy + y 2 )
= x 3 + x 2y + xy 2 − yx 2 − xy 2 − y 2
= x3 − y3

Page : 58 , Block Name : प्र नावली – 2.5

Q10 िन निलिखत म से प्र येक का गुणनखंड कीिजए:-
(i) 27y 3 + 125z 3 (ii) 64m 3 − 343n 3

Answer. (i) 27y 3 + 125z 3
= (3y) 3 + (5z) 3

( )
यहाँ सवसिमका a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)
का प्रयोग करने पर

[ ]
= (3y + 5z) (3y) 2 − (3y)(5z) + (5z) 2

= (3y + 5z) (9y − 15yz + 25z )
2 2

(ii) 64m 3 − 343n 3
= (4m) 3 − (7n) 3

( )
यहाँ सवसिमका a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)
का प्रयोग करने पर

[ ]
= (4m − 7n) (4m) 2 + (4m)(7n) + (7n) 2

= (4m − 7n) (16m + 28mn + 49n )2 2

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Q11 गुणनखंड कीिजए: 27x 3 + y 3 + z 3 − 9xyz

Answer. 27x 3 + y 3 + z 3 − 3(3x)yz

[ (
यहाँ सवसिमका a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca )]
का प्रयोग करने पर

[ ]
= (3x + y + z) (3x) 2 + y 2 + z 2 − (3x)y– yz − z(3z)

= (3x + y + z) (9x + y + z − 3xy − yz − 3zx )
2 2 2

Page : 58 , Block Name : प्र नावली – 2.5

1
Q12 स यािपत कीिजए: x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz =
2 [
(x + y + z) (x − y) 2 + (y − z) 2 + (z − x) 2 ]
Answer. R.H.S
1
[
= (x + y + z) (x − y) 2 + (y − z) 2 + (z − x) 2
2 ]
( )
यहाँ सवसिमका (a − b) 2 = a 2 + b 2 − 2ab का प्रयोग करने पर
1
=
2 (
(x + y + z) x 2 + y 2 − 2xy + y 2 + z 2 − 2yz + z 2 + xz − 2zx )
1
(
= (x + y + z) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 − 2xy − 2yz − 2zx
2 )
1
(
= × 2(x + y + z) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx
2 )
( )
= (x + y + z) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx

यहाँ सवसिमका [(a + b + c) (a + b + c − ab − bc − ca ) = a + b + c − 3abc ]
2 2 2 3 3 3

का प्रयोग करने पर
= x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz

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Q13 यिद x+y+z=0 हो तो िदखाइए िक x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz है
Answer.
x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz

(
= (x + y + z) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx )
x+y+z=0

(
= x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (0) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz )
x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 0
x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz

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Q14 वा तव म घनों का पिरकलन िकए िबना िन निलिखत म से प्र येक का मान ात कीिजए
(i) ( − 12) 3 + (7) 3 + (5) 3
(ii) (28) 3 + ( − 15) 3 + ( − 13) 3

Answer. (i) ( − 12) 3 + (7) 3 + (5) 3
a=-12
b=7
c=5
a+b+c=-12+7+5=0
a+b+c =0 हो तो a 3 + b 3 + c 3 = 3abc होता है
इसिलए ( − 12) 3 + (7) 3 + (5) 3 = 3( − 12)(7)(5)
=-1260

(ii) (28) 3 + ( − 15) 3 + ( − 13) 3

a=28
b=-15
c=-13
a+b+c=28-15-13=0
a+b+c =0 हो तो a 3 + b 3 + c 3 = 3abc होता है
इसिलए (28) 3 + ( − 15) 3 + ( − 13) 3 = 3(28)( − 15)( − 13)
=163850

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Q15 नीचे िदए गए आयतों, िजनम उनके ेतर् फल िदए गए है, म से प्र येक की ल बाई और चौड़ाई के िलए संभव यंजन दीिजए:-
(i) ेतर् फल 25a 2 − 35a + 12 (ii) ेतर् फल 35y 2 + 13y − 12

Answer. (i) ेतर् फल 25a 2 − 35a + 12
= 25a 2 − 20a − 15a + 12
= 5a(5a − 4) − 3(5a − 4)
= (5a − 4)(5a − 3)
इसिलए ल बाई =(5y + 4)
चौड़ाई =(5a − 4)

(ii) ेतर् फल 35y 2 + 13y − 12
= 35y 2 + 28y − 15 − 12
= 7y(5y + 4) − 3(5y + 4)
= (5y + 4)(7y − 3)
इसिलए ल बाई =(5y + 4)
चौड़ाई =(7y − 3)

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Q16 घनाभों , िजनके आयतन नीचे िदए गए है, की िवमाओं के िलए संभव यंजन या है?
(i) आयतन = 3x 2 − 12x (ii) आयतन = 12ky 2 + 8ky − 20k

Ans. (i) आयतन = 3x 2 − 12x
3x(x − y)
= (3)(x)(x − 4)
अतः िवमाओ के िलए 3,x और x-4 यंजन है

(ii) आयतन = 12ky 2 + 8ky − 20k

( )
4k 3y 2 + 2y − 5

4k (3y + 5y − 3y − 5 )
2

4k[y(3y + 5) − 1(3y + 5)]
(4k)(3y + 5))y − 1)
अतः िवमाओ के िलए 4k, (3y+5) और(y-1) यंजन है

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