NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 8 चतुर्भुज
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About NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 8 चतुर्भुज
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Frequently Asked Questions
How can I download NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 8 चतुर्भुज?
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Yes. NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 8 चतुर्भुज can be viewed online and downloaded as a PDF free of cost on AglaSem Docs.
How many pages does NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 8 चतुर्भुज have?
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NCERT Solutions for Class 9 Maths (गणित) Chapter 8 चतुर्भुज – Text
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Page 1
NCERT
SOLUTIONS
CLASS - 9th
aglase .co
SOLUTIONS
CLASS - 9th
aglase .co
Page 2
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
Class : 9th
Subject : Mathematics
Chapter : 8
Chapter Name : चतुभज
ु
प्र नावली – 8.1
Q1 एक चतुभज ु के कोण 3:5:9:13 के अनुपात म है इस चतुभज
ु के सभी कोण ात कीिजए।
Answer. मान लीिजये िक
पहला कोण =3x
दूसरा कोण =5x
तीसरा कोण =9x
और चौथा कोण =13x
चतुभजु के सारे कोणों का योग 360 होता है
3x + 5x + 9x + 13x = 360°
360°
x= = 12°
13
अतः
पहला कोण = 3 × 12 = 36°
दूसरा कोण = 5 × 12 = 60°
तीसरा कोण = 9 × 12 = 108°
और चौथा कोण = 13 × 12 = 156°
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q2 यिद एक समांतर चतुभज
ु के िवकण बराबर हो, तो दशाइए िक वह एक आयत है।
Answer. मान लीिजए PQRS समांतर चतुभज
ु है िजसम PR=SQ (िदया है)
△PQR और △QPS पर यान दे
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Class : 9th
Subject : Mathematics
Chapter : 8
Chapter Name : चतुभज
ु
प्र नावली – 8.1
Q1 एक चतुभज ु के कोण 3:5:9:13 के अनुपात म है इस चतुभज
ु के सभी कोण ात कीिजए।
Answer. मान लीिजये िक
पहला कोण =3x
दूसरा कोण =5x
तीसरा कोण =9x
और चौथा कोण =13x
चतुभजु के सारे कोणों का योग 360 होता है
3x + 5x + 9x + 13x = 360°
360°
x= = 12°
13
अतः
पहला कोण = 3 × 12 = 36°
दूसरा कोण = 5 × 12 = 60°
तीसरा कोण = 9 × 12 = 108°
और चौथा कोण = 13 × 12 = 156°
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q2 यिद एक समांतर चतुभज
ु के िवकण बराबर हो, तो दशाइए िक वह एक आयत है।
Answer. मान लीिजए PQRS समांतर चतुभज
ु है िजसम PR=SQ (िदया है)
△PQR और △QPS पर यान दे
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Page 3
Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
QR=PS ( समांतर चतुभज
ु के स मुख भुजाओ के दोनों यु म समांतर होते है)
PR=QS (िदया है)
PQ=PQ (सामना)
अतः
△PQR ≅ △QPS (SSS)
∠PQR = ∠QPS (CPCT)
∠PQR + ∠QPS = 180
2∠QPS = 180
∠QPS = 180
अतः यह एक आयत है
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q3 दशाइए िक यिद एक चतुभज
ु के िवकण पर पर समकोण पर समि भािजत करे, तो वह एक समचतुभज
ु होता है।
Answer. मान लीिजए PQRS समांतर चतुभज
ु है िजसम PO=QO,RO=SO
angleSOR = 90
△POR और △POS पर यान दे
PS=QR (समांतर चतुभजु के स मुख भुजाओ के दोनों यु म समांतर होते है)
QO=PO (िदया है)
∠POQ = ∠POS (दोनों 90 है)
PO=PO (सामना)
अतः
△POQ ≅ △POS (SAS)
अतः PQ=PS (CPCT)
इस तरह से PQ=QR, QR=RS है
अतः यह एक समचतुभजु है
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q4 दशाइए िक एक वग के िवकण बराबर होते है और पर पर समकोण पर समि भािजत करते है।
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QR=PS ( समांतर चतुभज
ु के स मुख भुजाओ के दोनों यु म समांतर होते है)
PR=QS (िदया है)
PQ=PQ (सामना)
अतः
△PQR ≅ △QPS (SSS)
∠PQR = ∠QPS (CPCT)
∠PQR + ∠QPS = 180
2∠QPS = 180
∠QPS = 180
अतः यह एक आयत है
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q3 दशाइए िक यिद एक चतुभज
ु के िवकण पर पर समकोण पर समि भािजत करे, तो वह एक समचतुभज
ु होता है।
Answer. मान लीिजए PQRS समांतर चतुभज
ु है िजसम PO=QO,RO=SO
angleSOR = 90
△POR और △POS पर यान दे
PS=QR (समांतर चतुभजु के स मुख भुजाओ के दोनों यु म समांतर होते है)
QO=PO (िदया है)
∠POQ = ∠POS (दोनों 90 है)
PO=PO (सामना)
अतः
△POQ ≅ △POS (SAS)
अतः PQ=PS (CPCT)
इस तरह से PQ=QR, QR=RS है
अतः यह एक समचतुभजु है
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q4 दशाइए िक एक वग के िवकण बराबर होते है और पर पर समकोण पर समि भािजत करते है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
Answer.
△FEH और △EFG पर यान दे
EH=FG (वग की स मुख भुजा)
EF=EF (सामान)
∠EFG = ∠FEH (दोनों 90 है)
अतः △EFG ≅ △FEH (SAS)
अतः FH=EG (CPCT)
△EOF और △GOH पर यान दे
∠OEF = ∠OGH (एकांतर कोण)
EF=GH (वग के स मुख भुजा)
∠OFEA = ∠OGH (एकांतर कोण)
△EFH ≅ △FEH (ASA)
EO=OG, FO=OH (CPCT)
△EOF△EOH पर यान दे
OF=OH (ऊपर िस िकया गया है)
EF=EH
OE=OE (सामान)
अतः △EOF ≅ △EOH (SSS)
∠EOF = ∠EOH (CPCT)
पर तु, ∠EOF + ∠EOH = 180°
अतः 2∠EOF = 180°
∠EOF = 90°
अतः वग के िवकण बराबर होते है और पर पर समकोण समि भाजन करते है
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q5 दशाइए िक यिद एक चतुभज
ु के िवकण बराबर हो और पर पर समि भािजत करे, तो वह एक वग होता है।
Answer.
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Answer.
△FEH और △EFG पर यान दे
EH=FG (वग की स मुख भुजा)
EF=EF (सामान)
∠EFG = ∠FEH (दोनों 90 है)
अतः △EFG ≅ △FEH (SAS)
अतः FH=EG (CPCT)
△EOF और △GOH पर यान दे
∠OEF = ∠OGH (एकांतर कोण)
EF=GH (वग के स मुख भुजा)
∠OFEA = ∠OGH (एकांतर कोण)
△EFH ≅ △FEH (ASA)
EO=OG, FO=OH (CPCT)
△EOF△EOH पर यान दे
OF=OH (ऊपर िस िकया गया है)
EF=EH
OE=OE (सामान)
अतः △EOF ≅ △EOH (SSS)
∠EOF = ∠EOH (CPCT)
पर तु, ∠EOF + ∠EOH = 180°
अतः 2∠EOF = 180°
∠EOF = 90°
अतः वग के िवकण बराबर होते है और पर पर समकोण समि भाजन करते है
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q5 दशाइए िक यिद एक चतुभज
ु के िवकण बराबर हो और पर पर समि भािजत करे, तो वह एक वग होता है।
Answer.
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
यह एक समचतुभज ु है
अतः IJ=JK=KL=LI
△JIL और △IJK पर यान दे,
IJ =JK
JL=IK (िदया है)
IJ=IJ (सामान)
अतः △JIL ≅ △IJK (SSS)
∠JIK = ∠IJK (CPCT)
पर तु, ∠JIK = ∠IJK = 180
2∠IJK = 90
∠IJK = 90
अतः यह एक वग है
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q6 समांतर चतुभज
ु ABCD का िवकण AC कोण A को समि भािजत करता है (देिखए आकृित म) दशाइए िक
(i) यह ∠C को भी समि भािजत करता है।
(ii) ABCD एक समचतुभज ु है
Answer. (i) ∠SPR = ∠QPR
∠SPR = ∠QPR
∠QPR = ∠PRS
अतः ∠PRS = ∠QR
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यह एक समचतुभज ु है
अतः IJ=JK=KL=LI
△JIL और △IJK पर यान दे,
IJ =JK
JL=IK (िदया है)
IJ=IJ (सामान)
अतः △JIL ≅ △IJK (SSS)
∠JIK = ∠IJK (CPCT)
पर तु, ∠JIK = ∠IJK = 180
2∠IJK = 90
∠IJK = 90
अतः यह एक वग है
Page : 175 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q6 समांतर चतुभज
ु ABCD का िवकण AC कोण A को समि भािजत करता है (देिखए आकृित म) दशाइए िक
(i) यह ∠C को भी समि भािजत करता है।
(ii) ABCD एक समचतुभज ु है
Answer. (i) ∠SPR = ∠QPR
∠SPR = ∠QPR
∠QPR = ∠PRS
अतः ∠PRS = ∠QR
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
अतः PR, ∠R को समि भाजन करता है
(ii) △PSR पर यान दे
∠PRS = ∠SRP (ऊपर सािबत िकया है)
PS=SR
अतः यह एक समचतुभजु है
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q7 ABCD एक समचतुभज ु है। दशाइए िक िवकण AC कोणों A और C दोनों को समि भािजत करता है तथा िवकण BD कोणों B
और D दोनों को समि भािजत करता है।
Answer.
AB=CD (समचतुभज ु की भुजाएँ)
∠DAC = ∠DCA
AB ∥ CD
∠BCA = ∠DAC (वैकि पक आंतिरक कोण)
angleBCA = ∠DCA
अतः िवकण AC, ∠C का समि भाजन करता है
इसी तरह से हम सािबत कर सकते है िक िवकण BD, ∠C और angleD को समि भािजत करता है
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q8 ABCD एक आयत है िजसम िवकण AC दोनों कोणों A और C को समि भािजत करता है। दशाइए िक (i) ABCD एक वग है
(ii) िवकण BD दोनों कोणों B और D को समि भािजत करता है।
Answer.
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अतः PR, ∠R को समि भाजन करता है
(ii) △PSR पर यान दे
∠PRS = ∠SRP (ऊपर सािबत िकया है)
PS=SR
अतः यह एक समचतुभजु है
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q7 ABCD एक समचतुभज ु है। दशाइए िक िवकण AC कोणों A और C दोनों को समि भािजत करता है तथा िवकण BD कोणों B
और D दोनों को समि भािजत करता है।
Answer.
AB=CD (समचतुभज ु की भुजाएँ)
∠DAC = ∠DCA
AB ∥ CD
∠BCA = ∠DAC (वैकि पक आंतिरक कोण)
angleBCA = ∠DCA
अतः िवकण AC, ∠C का समि भाजन करता है
इसी तरह से हम सािबत कर सकते है िक िवकण BD, ∠C और angleD को समि भािजत करता है
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q8 ABCD एक आयत है िजसम िवकण AC दोनों कोणों A और C को समि भािजत करता है। दशाइए िक (i) ABCD एक वग है
(ii) िवकण BD दोनों कोणों B और D को समि भािजत करता है।
Answer.
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
(i) ∠DAC = ∠DCA (िवकण AC∠C और ∠A का समि भाजन करता है)
AD=CD और CD=AB
AB=BC=CD=AD
अतः यह एक वग है
(ii) △BCD पर यान दे
BC=CD
∠CDB = ∠CBD
∠CDB = ∠ABD
अतः ∠CBD = ∠ABD
अतः िवकण BD, ∠B को समि भािजत करता है
∠CBD = ∠ADB
∠CDB = ∠AOB
अतः िवकण BD, ∠C को समि भािजत करता है
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q9 समांतर चतुभज
ु ABCD के िवकण BD पर दो िबंद ु P और Q इस प्रकार ि थत है िक DP=BQ है (देिखए आकृित म) दशाइए िक
(i) △APD ≅ △CQB
(ii) AP=CQ
(iii) △AQB = △CPD
(iv) AQ=CP
(v) APCQ एक समांतर चतुभज
ु है
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(i) ∠DAC = ∠DCA (िवकण AC∠C और ∠A का समि भाजन करता है)
AD=CD और CD=AB
AB=BC=CD=AD
अतः यह एक वग है
(ii) △BCD पर यान दे
BC=CD
∠CDB = ∠CBD
∠CDB = ∠ABD
अतः ∠CBD = ∠ABD
अतः िवकण BD, ∠B को समि भािजत करता है
∠CBD = ∠ADB
∠CDB = ∠AOB
अतः िवकण BD, ∠C को समि भािजत करता है
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q9 समांतर चतुभज
ु ABCD के िवकण BD पर दो िबंद ु P और Q इस प्रकार ि थत है िक DP=BQ है (देिखए आकृित म) दशाइए िक
(i) △APD ≅ △CQB
(ii) AP=CQ
(iii) △AQB = △CPD
(iv) AQ=CP
(v) APCQ एक समांतर चतुभज
ु है
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
Answer. (i) △PAD और △CQB यान दे
QP=BQ
∠CBQ = ∠ADP
AD=BC
अतः △APD ≅ △CQB (SAS)
(ii) AP=CQ (CPCT)
(iii) △AQB और △CPD पे यान दे
BQ=DP
∠CDP = ∠ABQ
AB=CD
अतः △AQB ≅ CPD (SAS)
(iv) AQ=CP (CPCT)
(v) ऊपर से ये प ट है िक यह एक समा तर चतुभज
ु है।
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q10 ABCD एक समांतर चतुभज
ु है तथा AP और CQ शीष A और C से िवकण BD पर क्रमशः ल ब है। (देिखए आकृित म,)
दशाइए िक
(i) △APB = △CQD
(ii) AP=CQ
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Answer. (i) △PAD और △CQB यान दे
QP=BQ
∠CBQ = ∠ADP
AD=BC
अतः △APD ≅ △CQB (SAS)
(ii) AP=CQ (CPCT)
(iii) △AQB और △CPD पे यान दे
BQ=DP
∠CDP = ∠ABQ
AB=CD
अतः △AQB ≅ CPD (SAS)
(iv) AQ=CP (CPCT)
(v) ऊपर से ये प ट है िक यह एक समा तर चतुभज
ु है।
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q10 ABCD एक समांतर चतुभज
ु है तथा AP और CQ शीष A और C से िवकण BD पर क्रमशः ल ब है। (देिखए आकृित म,)
दशाइए िक
(i) △APB = △CQD
(ii) AP=CQ
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
Answer. (i) △APB और △CQD पर यान द
∠CDQ = ∠ABP
∠CQD = ∠APB
AB=CD
अतः △APB ≅ △CQD (AAS)
(ii) AP=CQ (CPCT)
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q11 △ABC और △DEF म, AB = DE, AB ∥ DE, BC = EF और BC ∥ EF है। शीष A,B और C को क्रमशः शीष D, E
और F से जोड़ा जाता है (देिखए आकृित) दशाइए िक
(i) चतुभजु ABED एक समांतर चतुभज ु है
(ii) चतुभजु BEFC एक समांतर चतुभज ु है
(iii) AD ∥ CF और AD =CF है
(iv) चतुभज ु ACFD एक समांतर चतुभज ु है
(v) AC=DF है
(vi) △ABC ≅ △DEF है
Answer. (i) AB=DE,AB∥DF
अतः ABCD यह एक समांतर चतुभज
ु है
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Answer. (i) △APB और △CQD पर यान द
∠CDQ = ∠ABP
∠CQD = ∠APB
AB=CD
अतः △APB ≅ △CQD (AAS)
(ii) AP=CQ (CPCT)
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q11 △ABC और △DEF म, AB = DE, AB ∥ DE, BC = EF और BC ∥ EF है। शीष A,B और C को क्रमशः शीष D, E
और F से जोड़ा जाता है (देिखए आकृित) दशाइए िक
(i) चतुभजु ABED एक समांतर चतुभज ु है
(ii) चतुभजु BEFC एक समांतर चतुभज ु है
(iii) AD ∥ CF और AD =CF है
(iv) चतुभज ु ACFD एक समांतर चतुभज ु है
(v) AC=DF है
(vi) △ABC ≅ △DEF है
Answer. (i) AB=DE,AB∥DF
अतः ABCD यह एक समांतर चतुभज
ु है
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
(ii) BC=EF,BC∥EF
अतः BEFC यह एक समांतर चतुभज
ु है
(iii) जैसे िक ABED और AEFC समांतर चतुभज
ु है
अतः AD=BE,BF=CF
अतः AD=CF
और AD ∥ BE, BE ∥ CF
अतःAD ∥ CF
(iv) AD ∥ CF और दोनों सामान है अतः ACFD समांतर चतुभज
ु है
(v) ACFD समांतर चतुभज
ु है
अतः AC=DF
(vi) △ABC और △DEF पर यान दे
AB=DE
AC=DF
BC=EF
अतः △ABC ≅ △DEF (SSS)
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q12 ABCD एक समलंब है, िजसम AB ∥ DC और AD=BC है (देिखए आकृित म) दशाइए िक
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) △ABC ≅ △BAD
(iv) िवकण AC = िवकण BD है
Answer. कोण C से एक ‘रेखा’ बनाये जो िक CE ∥ DA और AB अ तःिवभाजन करती है
(i) CE=AD
AD=BC
अतः BC=CE
∠CBE = ∠CEB
∠A + ∠CBE = 180°
और
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(ii) BC=EF,BC∥EF
अतः BEFC यह एक समांतर चतुभज
ु है
(iii) जैसे िक ABED और AEFC समांतर चतुभज
ु है
अतः AD=BE,BF=CF
अतः AD=CF
और AD ∥ BE, BE ∥ CF
अतःAD ∥ CF
(iv) AD ∥ CF और दोनों सामान है अतः ACFD समांतर चतुभज
ु है
(v) ACFD समांतर चतुभज
ु है
अतः AC=DF
(vi) △ABC और △DEF पर यान दे
AB=DE
AC=DF
BC=EF
अतः △ABC ≅ △DEF (SSS)
Page : 176 , Block Name : प्र नावली – 8.1
Q12 ABCD एक समलंब है, िजसम AB ∥ DC और AD=BC है (देिखए आकृित म) दशाइए िक
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) △ABC ≅ △BAD
(iv) िवकण AC = िवकण BD है
Answer. कोण C से एक ‘रेखा’ बनाये जो िक CE ∥ DA और AB अ तःिवभाजन करती है
(i) CE=AD
AD=BC
अतः BC=CE
∠CBE = ∠CEB
∠A + ∠CBE = 180°
और
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
∠B = ∠CBE = 180°
अतः ∠B = ∠A
(ii) ∠B + ∠C ± ∠A + ∠D = 180°
अतः ∠D = ∠C
(iii) ∠ABC और △BAD पे यान दे
AB=AB
AD=BC
∠DBA∠CBA
अतः △ABC ≅ △BAD (SAS)
(iv) िवकण AC=िवकण BD (CPCT)
Page : 177 , Block Name : प्र नावली – 8.1
प्र नावली – 8.2
Q1 ABCD एक चतुभज ु है िजसमे, P,Q,R और S क्रमशः भुजाओ AB,BC,CD और DA के म य-िबंद ु है। (देिखए आकृित) AC
उसका एक िवकण है दशाइए िक
1
(i) SR ∥ AC और SR = AC है
2
(ii) PQ=SR है
(iii) PQRS एक समांतर चतुभज
ु है
Answer.
(i) △ACD म
S, भुजा DA को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
R, भुजा DC को ि िवभािजत करता है (िदया है)
इसिलए,
SR ∥ AC
1
और SR = AC………. (i)
2
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∠B = ∠CBE = 180°
अतः ∠B = ∠A
(ii) ∠B + ∠C ± ∠A + ∠D = 180°
अतः ∠D = ∠C
(iii) ∠ABC और △BAD पे यान दे
AB=AB
AD=BC
∠DBA∠CBA
अतः △ABC ≅ △BAD (SAS)
(iv) िवकण AC=िवकण BD (CPCT)
Page : 177 , Block Name : प्र नावली – 8.1
प्र नावली – 8.2
Q1 ABCD एक चतुभज ु है िजसमे, P,Q,R और S क्रमशः भुजाओ AB,BC,CD और DA के म य-िबंद ु है। (देिखए आकृित) AC
उसका एक िवकण है दशाइए िक
1
(i) SR ∥ AC और SR = AC है
2
(ii) PQ=SR है
(iii) PQRS एक समांतर चतुभज
ु है
Answer.
(i) △ACD म
S, भुजा DA को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
R, भुजा DC को ि िवभािजत करता है (िदया है)
इसिलए,
SR ∥ AC
1
और SR = AC………. (i)
2
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
(ii) △ACD म,
P, भुजा AB को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया है)
इसिलए,
PQ ∥ AC
1
और PQ = AC………. (ii)
2
समीकरण (i) और (ii) से यह ात है िक
SR ∥ PQ [ योिक SR ∥ AC और PQ ∥ AC ]…………. . (3)
1 1
और PQ=SR [ योिक SR = AC, और PQ = AC]……..(4)
2 2
(iii) चतुभज
ु PQRS म,
PQ ∥ SR ( समीकरण 3 और 4 से ात है )
और PQ=SR ( समीकरण 3 और 4 से ात है )
इसिलए, PQRS एक समांतर चतुभज
ु है
Page : 180 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q2 ABCD एक समचतुभज
ु है और P,Q,R और S क्रमशः भुजाओ AB,BC,CD और DA के म य-िबंद ु है दशाइए िक चतुभज
ु
PQRS एक आयत है।
Answer.
△ABC म
P, भुजा AB को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
इसिलए,
PQ ∥ AC
1
और PQ = AC………. (1) (म यिबंद ु प्रमेय के ारा)
2
इसी प्रकार
△ACD म,
S, भुजा AD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
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(ii) △ACD म,
P, भुजा AB को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया है)
इसिलए,
PQ ∥ AC
1
और PQ = AC………. (ii)
2
समीकरण (i) और (ii) से यह ात है िक
SR ∥ PQ [ योिक SR ∥ AC और PQ ∥ AC ]…………. . (3)
1 1
और PQ=SR [ योिक SR = AC, और PQ = AC]……..(4)
2 2
(iii) चतुभज
ु PQRS म,
PQ ∥ SR ( समीकरण 3 और 4 से ात है )
और PQ=SR ( समीकरण 3 और 4 से ात है )
इसिलए, PQRS एक समांतर चतुभज
ु है
Page : 180 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q2 ABCD एक समचतुभज
ु है और P,Q,R और S क्रमशः भुजाओ AB,BC,CD और DA के म य-िबंद ु है दशाइए िक चतुभज
ु
PQRS एक आयत है।
Answer.
△ABC म
P, भुजा AB को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
इसिलए,
PQ ∥ AC
1
और PQ = AC………. (1) (म यिबंद ु प्रमेय के ारा)
2
इसी प्रकार
△ACD म,
S, भुजा AD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
ु
R, भुजा DC को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
इसिलए,
SR ∥ AC
1
और SR = AC………. (2)
2
समीकरण (1) और (2) से यह ात होता है
िक
PQ ∥ SR …………. . (3)
और PQ=SR ……. . (4)
अतः PQRS एक समांतर चतुभज ु है
ठीक इसी प्रकार से,
△BCD म,
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
R, भुजा CD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
इसिलए,
QR ∥ BD
और QN ∥ LM…………. (5)
तथा LQ ∥ MN. . . . . . . . . . . (6) ( योिक PQ ∥ AC)
समीकरण (5) और (6) से यह ात होता है
िक
LMNQ एक समांतर चतुभज ु है
योिक समांतर चतुभज ु के स मुख कोण बराबर होते है
इसिलए,
∠LMN = ∠LQN
∠LMN = 90 = ∠LQN
यहाँ से प्रतीत होता है िक PQRS एक आयत है योिक आयत का एक कोण समकोण होता है
Page : 180 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q3 ABCD एक समचतुभजु है और P,Q,R और S क्रमशः भुजाओ AB,BC,CD और DA के म य-िबंद ु है दशाइए िक चतुभज
ु
PQRS एक समचतुभज
ु है।
Answer.
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ु
R, भुजा DC को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
इसिलए,
SR ∥ AC
1
और SR = AC………. (2)
2
समीकरण (1) और (2) से यह ात होता है
िक
PQ ∥ SR …………. . (3)
और PQ=SR ……. . (4)
अतः PQRS एक समांतर चतुभज ु है
ठीक इसी प्रकार से,
△BCD म,
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
R, भुजा CD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
इसिलए,
QR ∥ BD
और QN ∥ LM…………. (5)
तथा LQ ∥ MN. . . . . . . . . . . (6) ( योिक PQ ∥ AC)
समीकरण (5) और (6) से यह ात होता है
िक
LMNQ एक समांतर चतुभज ु है
योिक समांतर चतुभज ु के स मुख कोण बराबर होते है
इसिलए,
∠LMN = ∠LQN
∠LMN = 90 = ∠LQN
यहाँ से प्रतीत होता है िक PQRS एक आयत है योिक आयत का एक कोण समकोण होता है
Page : 180 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q3 ABCD एक समचतुभजु है और P,Q,R और S क्रमशः भुजाओ AB,BC,CD और DA के म य-िबंद ु है दशाइए िक चतुभज
ु
PQRS एक समचतुभज
ु है।
Answer.
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
△ABC म
P, भुजा AB को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
इसिलए,
1
PQ ∥ AC और PQ = AC………. (1)△ACD म,
2
S, भुजा AD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
R, भुजा CD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
म य िबंद ु प्रमेय के अनुसार
1
SR ∥ AC और SR = AC………. (2)
2
समीकरण (1) और (2) से यह ात होता है
िक
PQ ∥ SR …………. . (3)
और PQ=SR ……. . (4)
अतः PQRS एक समांतर चतुभज ु है
ठीक इसी प्रकार से,
△BCD म,
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
R, भुजा CD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
इसिलए,
1
QR = BD………. . (5)
2
योिक AC=BD िदया गया है........(6)
समीकरण (1), \(() और (6) से यह ात होता है
िक
PQ=QR
तो, PQRS एक समचतुभज ु है
Page : 180 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q4 ABCD एक समलंब है, िजसमे AB ∥ DC है साथ ही, BD एक िवकण है और E भुजा AD का म य-िबंद ु है E से होकर एक रेखा
AB के समांतर खी ंची गई है, जो BC को F पर प्रित छे द करती है (देिखए आकृित म) दशाइए िक F भुजा BC का म य-िबंद ु है।
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△ABC म
P, भुजा AB को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
इसिलए,
1
PQ ∥ AC और PQ = AC………. (1)△ACD म,
2
S, भुजा AD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
R, भुजा CD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
म य िबंद ु प्रमेय के अनुसार
1
SR ∥ AC और SR = AC………. (2)
2
समीकरण (1) और (2) से यह ात होता है
िक
PQ ∥ SR …………. . (3)
और PQ=SR ……. . (4)
अतः PQRS एक समांतर चतुभज ु है
ठीक इसी प्रकार से,
△BCD म,
Q, भुजा BC को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
R, भुजा CD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
इसिलए,
1
QR = BD………. . (5)
2
योिक AC=BD िदया गया है........(6)
समीकरण (1), \(() और (6) से यह ात होता है
िक
PQ=QR
तो, PQRS एक समचतुभज ु है
Page : 180 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q4 ABCD एक समलंब है, िजसमे AB ∥ DC है साथ ही, BD एक िवकण है और E भुजा AD का म य-िबंद ु है E से होकर एक रेखा
AB के समांतर खी ंची गई है, जो BC को F पर प्रित छे द करती है (देिखए आकृित म) दशाइए िक F भुजा BC का म य-िबंद ु है।
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
Answer.
िदए गए िचत्र के अनुसार
△ABD म,
E, भुजा AD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
तथा, EG ∥ AB (िदया गया है)
इसिलए,
G, भुजा BD को ि िवभािजत करेगा
इसी प्रकार से,
G, भुजा BD को ि िवभािजत करता है ( ऊपर िस िकया गया है)
तथा FG ∥ DC (िदया गया है)
तो, F भुजा BC को ि िवभािजत करेगा ...........( म य िबंद ु प्रमेय के िवलोम से िस होता है)
Page : 180 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q5 एक समांतर चतुभज
ु ABCD म E और F क्रमशः भुजाओ AB और CD के म य-िबंद ु है (देिखए आकृित म) दशाइए िक रेखाखंड
AF और EC िवकण BD को समित्रभािजत करते है।
Answer.
ु ABCD म, AB=CD (िदया गया है)
िदए गए आकृित के अनुसार चतुभज
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Answer.
िदए गए िचत्र के अनुसार
△ABD म,
E, भुजा AD को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
तथा, EG ∥ AB (िदया गया है)
इसिलए,
G, भुजा BD को ि िवभािजत करेगा
इसी प्रकार से,
G, भुजा BD को ि िवभािजत करता है ( ऊपर िस िकया गया है)
तथा FG ∥ DC (िदया गया है)
तो, F भुजा BC को ि िवभािजत करेगा ...........( म य िबंद ु प्रमेय के िवलोम से िस होता है)
Page : 180 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q5 एक समांतर चतुभज
ु ABCD म E और F क्रमशः भुजाओ AB और CD के म य-िबंद ु है (देिखए आकृित म) दशाइए िक रेखाखंड
AF और EC िवकण BD को समित्रभािजत करते है।
Answer.
ु ABCD म, AB=CD (िदया गया है)
िदए गए आकृित के अनुसार चतुभज
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AB=CD………. ( 1
2
AB =
1
2
CD )
AE=CF ( योिक E और F, AB और CD को क्रमशः ि िवभािजत करता है)
ु AECF म,
चतुभज
AE=CF ( 1
2
AE =
1
2
CF )
AE ∥ CF
इसिलए, AECF एक समांतर चतुभज ु है
अब,
△DCQ म,
F, भुजा DC को ि िवभािजत करता है ( िदया गया है)
तथा, FP ∥ CQ ( योिक AECF एक समांतर चतुभज ु है)
इसिलए, P भुजा DQ को ि िवभािजत करेगा (म य िबंद ु प्रमेय के िवलोम से िस होता है)
इसिलए, DP=PQ………(1)
ठीक इसी प्रकार से,
△ABP म,
E भुजा AB को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
तथा, EQ ∥ AP ( योिक AECF समांतर चतुभज ु है)
इसिलए,
Q, भुजा PB को ि िवभािजत करेगा (म य िबंद ु के प्रमेय के िवलोम से िस हुआ)
इसिलए,
PQ=QB………(2)
समीकरण (1) और (2) से ात होता है िक
DP=PQ=QB
अतः िदए गए आकृित म AF और EC िवकण BD को समित्रभािजत करता है
Page : 181 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q6 दशाइए िक िकसी चतुभज
ु की स मुख भुजाओ के म य-िब दुओ को िमलाने वाले रेखाखंड पर पर समि भािजत करते है।
Answer. आकृित के अनुसार,
△LNO म,
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AB=CD………. ( 1
2
AB =
1
2
CD )
AE=CF ( योिक E और F, AB और CD को क्रमशः ि िवभािजत करता है)
ु AECF म,
चतुभज
AE=CF ( 1
2
AE =
1
2
CF )
AE ∥ CF
इसिलए, AECF एक समांतर चतुभज ु है
अब,
△DCQ म,
F, भुजा DC को ि िवभािजत करता है ( िदया गया है)
तथा, FP ∥ CQ ( योिक AECF एक समांतर चतुभज ु है)
इसिलए, P भुजा DQ को ि िवभािजत करेगा (म य िबंद ु प्रमेय के िवलोम से िस होता है)
इसिलए, DP=PQ………(1)
ठीक इसी प्रकार से,
△ABP म,
E भुजा AB को ि िवभािजत करता है (िदया गया है)
तथा, EQ ∥ AP ( योिक AECF समांतर चतुभज ु है)
इसिलए,
Q, भुजा PB को ि िवभािजत करेगा (म य िबंद ु के प्रमेय के िवलोम से िस हुआ)
इसिलए,
PQ=QB………(2)
समीकरण (1) और (2) से ात होता है िक
DP=PQ=QB
अतः िदए गए आकृित म AF और EC िवकण BD को समित्रभािजत करता है
Page : 181 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q6 दशाइए िक िकसी चतुभज
ु की स मुख भुजाओ के म य-िब दुओ को िमलाने वाले रेखाखंड पर पर समि भािजत करते है।
Answer. आकृित के अनुसार,
△LNO म,
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D, भुजा OL को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
C, भुजा ON को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
इसिलए,
DC ∥ LN और
1
DC = LN……. . (1) (म य िबंद ु के प्रमेय से िसध हुआ)
2
इसी प्रकार से,
△LNO म,
A, भुजा LM को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
B, भुजा MN को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
अतः AB ∥ LN
1
और AB= LN……. . (2) (म य िबंद ु के प्रमेय से िस हुआ)
2
समीकरण () और (2) से ात होता है
िक AB ∥ CD
और AB=CD
अतः ABCD एक चतुभज ु है िजसम
AB ∥ CD और AB=CD
के कारण एक समांतर चतुभजु है इसिलए रेखाखंड DBऔर AC चतुभज
ु को समि भािजत करते है।
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Q7 ABC एक ित्रभुज है िजसका कोण C समकोण है। कण AB के म य-िबंद ु M से होकर BC के समांतर खीची गई रेखा AC को D
पर प्रित छे द करती है। दशाइए िक
(i) D भुजा AC का म य-िबंद ु है।
(ii) MD⊥AC है।
1
(iii) CM=MA= AB है।
2
Answer.
िदए गए आकृित के अनुसार
(i) △ABC म,
M भुजा AB को ि िवभािजत करता है ..........(िदया हुआ है)
तथा DM ∥ BC. . . . . . . . (िदया गया है)
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D, भुजा OL को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
C, भुजा ON को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
इसिलए,
DC ∥ LN और
1
DC = LN……. . (1) (म य िबंद ु के प्रमेय से िसध हुआ)
2
इसी प्रकार से,
△LNO म,
A, भुजा LM को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
B, भुजा MN को ि िवभािजत करता है (िदया हुआ है)
अतः AB ∥ LN
1
और AB= LN……. . (2) (म य िबंद ु के प्रमेय से िस हुआ)
2
समीकरण () और (2) से ात होता है
िक AB ∥ CD
और AB=CD
अतः ABCD एक चतुभज ु है िजसम
AB ∥ CD और AB=CD
के कारण एक समांतर चतुभजु है इसिलए रेखाखंड DBऔर AC चतुभज
ु को समि भािजत करते है।
Page : 181 , Block Name : प्र नावली – 8.2
Q7 ABC एक ित्रभुज है िजसका कोण C समकोण है। कण AB के म य-िबंद ु M से होकर BC के समांतर खीची गई रेखा AC को D
पर प्रित छे द करती है। दशाइए िक
(i) D भुजा AC का म य-िबंद ु है।
(ii) MD⊥AC है।
1
(iii) CM=MA= AB है।
2
Answer.
िदए गए आकृित के अनुसार
(i) △ABC म,
M भुजा AB को ि िवभािजत करता है ..........(िदया हुआ है)
तथा DM ∥ BC. . . . . . . . (िदया गया है)
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Book : Maths Ncert Solutions | Chapter - 8 Maths
इसिलए, D भुजा AC को भी ि िवभािजत करेगा.........(म य िबंद ु प्रमेय के िवलोम से िस द होता है)
(ii) ∠ADM = ∠ACB ( योिक एक संगत कोण है)
∠ADM = 90°
तो, MD⊥AC है
(iii) △AMD और △CMD म,
AD=DC
∠ADM = ∠CDM (90 ° है)
DM=DM
इसिलए,
△AMD ≅ △CMD (SAS सावगसमता िनयम के अनुसार)
AM=CM
1
पर तु, AM= AB (िदया गया है)
2
1
इसिलए, CM=AM= AB
2
Page : 181 , Block Name : प्र नावली – 8.2
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इसिलए, D भुजा AC को भी ि िवभािजत करेगा.........(म य िबंद ु प्रमेय के िवलोम से िस द होता है)
(ii) ∠ADM = ∠ACB ( योिक एक संगत कोण है)
∠ADM = 90°
तो, MD⊥AC है
(iii) △AMD और △CMD म,
AD=DC
∠ADM = ∠CDM (90 ° है)
DM=DM
इसिलए,
△AMD ≅ △CMD (SAS सावगसमता िनयम के अनुसार)
AM=CM
1
पर तु, AM= AB (िदया गया है)
2
1
इसिलए, CM=AM= AB
2
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Document Details
| Board / Org | NCERT |
| Exam | Class 9 |
| Type | Solution |
| Pages | 18 |
| Language | hindi |
| Updated | 22 Jul 2026 |